गुणन उत्पाद। खेल "त्वरित स्कोर"

इस संदर्भ में, गुणन चिह्न एक बाइनरी ऑपरेटर है। गुणन चिह्न का कोई विशेष नाम नहीं होता है, जैसे कि जोड़ चिह्न, जिसे "प्लस" कहा जाता है।

उपयोग में सबसे पुराना प्रतीक विकर्ण क्रॉस (×) है। यह पहली बार अंग्रेजी गणितज्ञ विलियम ओउट्रेड द्वारा 1631 में अपने क्लैविस मैथेमेटिका में इस्तेमाल किया गया था। जर्मन गणितज्ञ लीबनिज़ ने उठाए हुए बिंदु चिह्न (∙) को प्राथमिकता दी थी। उन्होंने इस प्रतीक का इस्तेमाल 1698 के पत्र में किया था। यह 1659 के उनके ट्यूट्स बीजगणित में दिखाई दिया था।

गणित की रूसी पाठ्यपुस्तकों में, मुख्य रूप से उभरे हुए बिंदु (∙) के रूप में चिन्ह का उपयोग किया जाता है। कंप्यूटर संकेतन में तारांकन (∗) का उपयोग किया जाता है। परिणाम समान चिह्न का उपयोग करके लिखा जाता है " =", उदाहरण के लिए:

a \cdot b = c ; 6 \cdot 3 = 18("छह गुणा तीन बराबर अठारह" या "छह गुणा तीन बराबर अठारह")।

पहाड़ा दशमलव प्रणालीगणना

* 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
3 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27
4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36
5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
6 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54
7 0 7 14 21 28 35 42 49 56 63
8 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72
9 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81

यह प्रक्रिया प्राकृतिक और पूर्णांक (हस्ताक्षर के अधीन) संख्याओं के गुणन पर लागू होती है। अन्य संख्याओं के लिए, अधिक जटिल एल्गोरिदम का उपयोग किया जाता है।

संख्या गुणन

पूर्णांकों

आइए प्राकृतिक संख्याओं की परिभाषा का उपयोग करें \mathbb(एन)परिमित समुच्चयों के तुल्यता वर्गों के रूप में। परिमित समुच्चयों के तुल्यता वर्गों को निरूपित करें टैक्सीकोष्ठक का उपयोग करते हुए, आपत्तियों द्वारा उत्पन्न: [टैक्सी]. फिर अंकगणितीय ऑपरेशन "गुणा" को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

[सी] = [ए] \ सीडीटी [बी] =;

कहाँ पे: A \times B=\((a,b) \mid a \in A , b \in B \)सेट का प्रत्यक्ष उत्पाद - सेट सी, जिनके तत्व क्रमित जोड़े हैं (ए, बी)सभी प्रकार के लिए a \in A , b \in B. यह ऑपरेशनकक्षाओं पर सही ढंग से पेश किया जाता है, अर्थात यह वर्ग तत्वों की पसंद पर निर्भर नहीं करता है, और आगमनात्मक परिभाषा के साथ मेल खाता है।

एक परिमित सेट का एक-से-एक मानचित्रण एएक खंड के लिए एन_एएक सेट के तत्वों की संख्या के रूप में समझा जा सकता है ए: \ क्वाड ए \ सिम एन_ए. इस क्रमांकन प्रक्रिया को "COUNT" कहा जाता है। इस प्रकार, "खाता" एक सेट के तत्वों और संख्याओं की प्राकृतिक श्रृंखला के एक खंड के बीच एक-से-एक पत्राचार की स्थापना है।

गुणन के लिए प्राकृतिक संख्याएंसंख्याओं के स्थितीय संकेतन में, एक बिटवाइज़ गुणन एल्गोरिथ्म का उपयोग किया जाता है। दो प्राकृत संख्याओं को देखते हुए एऔर बीऐसा है कि:

a=a_(n-1) a_(n-2)\dots a_0, \quad b=b_(n-1) b_(n-2)\dots b_0, \quad \forall a_(k),b_(k ) \in \(P \), \quad \forall a_(n-1), b_(n-1) \ne 0, \quad\exists 0\in \N;

कहाँ पे a_(0 \dots n-1)=a_k P^k, \quad b_(0 \dots n-1)=b_k P^k; एन- संख्या में अंकों की संख्या n \in \(1, 2, \dots ,n \); क - क्रमिक संख्यानिर्वहन (स्थिति), k \in \(0, 1, \dots ,n-1 \); पी- संख्या प्रणाली का आधार; \(पी\)संख्यात्मक वर्णों (अंकों) का एक सेट, एक विशिष्ट संख्या प्रणाली: \(P_2 \)= \(0,1 \), \(P_(10) \)= \(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \), \(P_(16) \)= \(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,F \); तब:

सी = ए \ एसडॉट बी; \quad c_(n-1) c_(n-2)\dots c_0=a_(n-1) a_(n-2)\dots a_0 \sdot b_(n-1) b_(n-2)\dots b_0 ;

थोड़ा-थोड़ा करके गुणा करने पर, हमें मिलता है एनमध्यवर्ती परिणाम:

  • t_(n-1,~0) = mod(a_(n-1) \cdot b_0 + r_(n-1),P), \quad r_(n)=div(a_(n-1) \cdot b_0 + r_(n-1),P)~,~~ t_0 \sdot~ P^k;
  • t_(n-1,~1) = mod(a_(n-1) \cdot b_1 + r_(n-1),P), \quad r_(n)=div(a_(n-1) \cdot b_1 + r_(n-1),P)~,~~ t_1 \sdot~ P^k;
  • ... \qquad \qquad... \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad... \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad...
  • t_(n-1,~k) = mod(a_(n-1) \cdot b_(k) + r_(n-1),P), \quad r_(n)=div(a_(n-1) \cdot b_(k) + r_(n-1),P)~,~~ t_(k) \sdot~ P^k;

जहां: आर कैरी वैल्यू है, मॉड () डिवीजन के शेष को खोजने का कार्य है, डिव () आंशिक भागफल को खोजने का कार्य है।

फिर प्राप्त एनहम मध्यवर्ती परिणाम जोड़ते हैं: c=t_0+t_1+...+t_(k)।

इस प्रकार, गुणन का संचालन अनुक्रमिक की प्रक्रिया में कम हो जाता है सरल गुणनएकल अंक संख्या a_(k)\sdot b_(k), स्थानांतरण के गठन के साथ, यदि आवश्यक हो, जो या तो सारणीबद्ध विधि द्वारा या अनुक्रमिक जोड़ द्वारा किया जाता है। और फिर जोड़ने के लिए।

किसी भी स्थितीय संख्या प्रणाली में संख्याओं पर अंकगणितीय संचालन दशमलव प्रणाली के समान नियमों के अनुसार किया जाता है, क्योंकि वे सभी संबंधित बहुपदों पर संचालन करने के नियमों पर आधारित होते हैं। इस मामले में, आपको इस आधार के अनुरूप गुणन तालिका का उपयोग करने की आवश्यकता है। पीसंख्या प्रणाली।

बाइनरी, दशमलव और हेक्साडेसिमल संख्या प्रणालियों में प्राकृतिक संख्याओं के गुणन का एक उदाहरण, सुविधा के लिए, अंकों के अनुसार संख्याओं को एक दूसरे के नीचे लिखा जाता है, स्थानान्तरण शीर्ष पर लिखा जाता है:

\ start (सरणी) (cccccccccc)

& & & & & & & & \\ & & & &1&1&0&1&1&0 \\ & & &*& &1&1&0&1 \\ \hline & & & &1&1&0&1&1&0 \\ & & & 0&0&0&0&0&0&(\color(ग्रे)0) \\ & &1&1&0&1 रंग(ग्रे)0) और(\रंग(ग्रे)0) \\ +&1&1&0&1&1&0&(\color(ग्रे)0) &(\color(ग्रे)0) &(\color(ग्रे)0) \\ \hline 1&0&1&0&1&1&1&1&0 \ अंत (सरणी); \quad \quad \begin(array)(cccccccccc) & & & &_2&_2&_3&_3& \\ & & & &_1&_2&_2& \\ & & & &8&4&5&6&7 \\ & & &*& & &5&4&1 \\ \hline & & & & & 0&2&_2&_3&_3& रंग(ग्रे)0) \\ +&4&2&2&8&3&5&(\color(ग्रे)0)&(\color(ग्रे)0) \\ \hline &4&5&7&5&0&7&4&7 \end(array); \quad \quad

\begin(array)(ccccccccc) &&&&_8&_8&_2 \\ &&&_D&_D&_3 \\ &&&&6&D&E&4 \\ &&&(*)&&A&1&F \\ \hline &&&6&7&0&5&C \&4&0&0&6&6&6&E&(4& \color(ग्रे)0) \\ \hline &4&5&8&3&6&9&C

\ अंत (सरणी) ~~।

पूर्ण संख्याएं

\alpha = \pm a_0, a_1 a_2 \ldots a_n \ldots = \(a_n\), \beta = \pm b_0, b_1 b_2 \ldots b_n \ldots = \(b_n\)

परिमेय संख्याओं के मौलिक अनुक्रमों द्वारा क्रमशः परिभाषित किया गया है (कॉची की स्थिति को संतुष्ट करते हुए), जिसे इस प्रकार दर्शाया गया है: \अल्फा=और \ बीटा =, तो उनके गुणनफल को संख्या . कहा जाता है \गामा=, अनुक्रमों के उत्पाद द्वारा परिभाषित \(एक\)और \(बी_एन\):

\gamma = \alpha \cdot \beta \overset(\text(def))(=) \cdot =;

वास्तविक संख्या \गामा = \अल्फा \cdot \beta, निम्नलिखित शर्त को पूरा करता है:

\forall a", a ,बी",बी\ में \ mathbb (क्यू); ~~~~ (ए" \leqslant \alpha \leqslant a ) \और (बी" \leqslant \beta \leqslant b) \Rightarrow (a" \cdot b" ​​\leqslant \alpha \times \beta \leqslant a \cdot b) \Rightarrow (a" \cdot b" ​​\leqslant \gamma \leqslant a \cdot b)

.

अत: दो वास्तविक संख्याओं का गुणनफल \alphaऔर \बीटाइतनी वास्तविक संख्या है \गामाजो प्रपत्र के सभी उत्पादों के बीच निहित है ए" \cdot b"एक ओर और प्रपत्र के सभी उत्पाद ए \cdot bदूसरी ओर ।

व्यवहार में, दो संख्याओं को गुणा करने के लिए \alphaऔर \बीटा, उन्हें अनुमानित परिमेय संख्याओं द्वारा आवश्यक सटीकता के साथ बदलना आवश्यक है एऔर बी. संख्याओं के गुणनफल के अनुमानित मूल्य के लिए \अल्फा \cdot \betaनिर्दिष्ट परिमेय संख्याओं का गुणनफल लें एक\cdot बी. साथ ही इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि कौन सा पक्ष (कमी या अधिकता से) लिया गया परिमेय संख्यापास करना \alphaऔर \बीटा. गुणा बिटवाइज़ गुणन एल्गोरिथम के अनुसार किया जाता है।

दो सम्मिश्र संख्याओं को में गुणा करने के लिए त्रिकोणमितीय रूपरिकॉर्ड, आपको उनके मॉड्यूल को गुणा करने और तर्क जोड़ने की आवश्यकता है:

c=a \cdot b=r_1 (कोस \varphi _1+ iSin \varphi _1) ~\cdot~ r_2 (Cos \varphi _2+ iSin\varphi _2) =r_1 \cdot r_2 (Cos (\varphi _1+\varphi _2)+ iSin (\varphi_1+\varphi_2)),कहाँ पे: r=|z|=|a+ib|=\sqrt(a^2+b^2);~~~\varphi = Arg(z)=arctg \biggl(\frac(b)(a) \biggr) ,एक सम्मिश्र संख्या का मापांक और तर्क।

एक सम्मिश्र संख्या का गुणन a = r_1 e^ (i\varphi _1)में सांकेतिक रूप, एक जटिल संख्या के लिए b = r_2 e^ (i\varphi _2)संख्या के अनुरूप वेक्टर को घुमाने के लिए कम कर देता है ए, कोने में आर्ग (बी)और इसकी लंबाई को बदल रहा है |बी|एक बार। काम के लिए जटिल आंकड़ेघातीय रूप में, समानता सत्य है:

c=re^ (i\varphi)=a \cdot b = r_1 e^ (i\varphi _1) \cdot r_2 e^ (i\varphi _2)= r_1\cdot r_2\cdot e^ (i(\varphi _1+) \varphi_2)),

कहाँ पे: ई=2.718281828...- नंबर ई।

सँबोध वाचक चिन्ह

उदाहरण के लिए, यदि आप गति को गुणा करते हैं वी = 4 ~ एम / एसथोड़ी देर के लिए टी = 2 ~ एसएक भौतिक प्रक्रिया के अनुरूप, तो आपको उसी भौतिक प्रक्रिया के अनुरूप एक नामित संख्या (भौतिक मात्रा) मिलती है, जिसे "लंबाई" कहा जाता है और इसे मीटर में मापा जाता है: एल = 8 ~ एम.

L=V \cdot T = 4~\frac(m)(s) \cdot 2~s =8 ~\frac(m \cdot s)(s)= 8 ~m.

वर्णन करते समय गणितीय साधन शारीरिक प्रक्रियाएंएकरूपता की अवधारणा द्वारा एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाई जाती है, जिसका अर्थ है, उदाहरण के लिए, "1 किलो आटा" और "1 किलो तांबा" संबंधित हैं अलग सेट(आटा) और (तांबा) क्रमशः। साथ ही, एकरूपता की अवधारणा से पता चलता है कि गुणा मात्रा एक ही भौतिक प्रक्रिया से संबंधित है।

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टिप्पणियाँ

साहित्य

  • इलिन वी.ए. और आदि।. - मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी, 1985. - टी। 1. - 662 पी।
  • एंडर्टन जी.सेट थ्योरी के तत्व = सेट थ्योरी के तत्व। - गल्फ प्रोफेशनल पब्लिशिंग, 1977. - 279 पी। - आईएसबीएन 0-12-238440-7।
  • बारसुकोव ए.एन.. - ज्ञानोदय, 1966. - 296 पी।
  • गुसेव वी.ए., मोर्दकोविच ए.जी.. - ज्ञानोदय, 1988. - 416 पी।
  • इस्तोमिना एन.बी.. - एसोसिएशन XXI सदी, 2005। - 272 पी। - आईएसबीएन 5-89308-193-5।
  • वायगोडस्की एम। हां।प्राथमिक गणित की हैंडबुक। - एम।: एएसटी, 2003। - आईएसबीएन 5-17-009554-6।
  • में और। इगोशिन(रूसी): लेख। - सारातोव स्टेट यूनिवर्सिटीएनजी के नाम पर चेर्नशेव्स्की, 2010।
  • कोनोनुक ए.ई.. - यूक्रेन की शिक्षा, 2012। - वॉल्यूम 2. - 548 पी। - आईएसबीएन 978-966-7599-50-8।
  • : [24 अगस्त 2011] // नेतृत्व / आर्टेम लेबेदेव। - जनवरी 15, 2003 - नंबर 97।

गुणन की विशेषता वाला एक अंश

"यदि आप कृपया, अपने कपड़े बदल लें, कृपया," उसने चलते हुए कहा।

- वह आ रहा है! उस समय मशीनिस्ट चिल्लाया।
रेजिमेंटल कमांडर, शरमाते हुए, घोड़े के पास दौड़ा, कांपते हाथों से रकाब को पकड़ लिया, शरीर को ऊपर फेंक दिया, खुद को बरामद किया, अपनी तलवार खींची, और एक खुश, दृढ़ चेहरे के साथ, एक तरफ मुंह खोलकर, तैयार किया चिल्लाना। रेजिमेंट एक स्वस्थ पक्षी की तरह शुरू हुई और जम गई।
- स्मिर आर आर ना! रेजिमेंटल कमांडर को आत्मा-टूटने वाली आवाज में चिल्लाया, खुद के लिए हर्षित, रेजिमेंट के संबंध में सख्त और आने वाले प्रमुख के संबंध में मैत्रीपूर्ण।
चौड़ी, पेड़-पंक्तिबद्ध, ऊँची, राजमार्ग रहित सड़क के साथ, झरनों की हल्की खड़खड़ाहट के साथ, एक लंबी नीली विनीज़ गाड़ी एक तेज़ गति से ट्रेन में सवार हुई। गाड़ी के पीछे एक अनुचर और क्रोएट्स का एक काफिला सरपट दौड़ा। कुतुज़ोव के पास एक ऑस्ट्रियाई जनरल एक अजीब तरह से, काले रूसियों के बीच, सफेद वर्दी में बैठा था। गाड़ी रेजिमेंट में रुक गई। कुतुज़ोव और ऑस्ट्रियाई जनरल चुपचाप कुछ के बारे में बात कर रहे थे, और कुतुज़ोव थोड़ा मुस्कुराया, जबकि, भारी कदम उठाते हुए, उसने अपना पैर फुटबोर्ड से नीचे कर दिया, जैसे कि वे 2,000 लोग नहीं थे जो उसे देख रहे थे और बिना सांस लिए उसे देख रहे थे। रेजिमेंटल कमांडर.
कमांड की जयजयकार हुई, रेजिमेंट फिर से बज रही थी, कांप रही थी, पहरा दे रही थी। मृत मौन में मैंने सुना कमजोर आवाजप्रमुख कमांडर। रेजिमेंट ने कहा: "हम आपके अच्छे स्वास्थ्य की कामना करते हैं, आपके आधिपत्य!" और फिर से सब कुछ जम गया। सबसे पहले, कुतुज़ोव एक स्थान पर खड़ा था, जबकि रेजिमेंट चलती थी; फिर कुतुज़ोव, श्वेत सेनापति के बगल में, पैदल, अपने अनुचर के साथ, रैंकों के माध्यम से चलने लगा।
जिस तरह से रेजिमेंटल कमांडर ने कमांडर-इन-चीफ को सलामी दी, उसे घूरते हुए, बाहर खींचते और उठते हुए, कैसे वह आगे झुक गया, रैंकों के साथ जनरलों का पीछा किया, बमुश्किल अपने कांपने वाले आंदोलन को वापस पकड़ लिया, कैसे वह हर शब्द और आंदोलन पर कूद गया कमांडर-इन-चीफ का, यह स्पष्ट था कि वह अपने अधीनस्थ कर्तव्यों को एक मालिक के कर्तव्यों से भी अधिक खुशी के साथ पूरा कर रहा था। रेजिमेंट, रेजिमेंटल कमांडर की गंभीरता और परिश्रम के लिए धन्यवाद, अन्य लोगों की तुलना में उत्कृष्ट स्थिति में था, जो उसी समय ब्रौनौ में आए थे। केवल 217 मंदबुद्धि और बीमार लोग थे। जूतों के अलावा सब कुछ ठीक था।
कुतुज़ोव पंक्तियों से नीचे चला गया, कभी-कभी रुक कर कुछ बातें करता रहा करुणा भरे शब्दअधिकारियों को वह जानता था तुर्की युद्धऔर कभी-कभी सैनिक। जूतों की ओर देखते हुए, उसने कई बार उदास रूप से अपना सिर हिलाया और ऑस्ट्रियाई जनरल की ओर इस तरह से इशारा किया कि वह इसके लिए किसी को फटकारता नहीं था, लेकिन वह मदद नहीं कर सकता था लेकिन देख सकता था कि यह कितना बुरा था। रेजिमेंट के बारे में कमांडर-इन-चीफ के शब्द को याद करने के डर से, रेजिमेंटल कमांडर हर बार आगे भागता था। कुतुज़ोव के पीछे, इतनी दूरी पर कि किसी भी कमजोर शब्द को सुना जा सकता था, 20 अनुचरों का एक आदमी चला गया। अनुचरों के सज्जन आपस में बातें करते थे और कभी हँसते थे। कमांडर-इन-चीफ के पीछे एक सुंदर सहायक था। यह प्रिंस बोल्कॉन्स्की था। उनके बगल में उनके साथी नेस्वित्स्की, एक लंबा स्टाफ अधिकारी, अत्यंत कठोर, एक दयालु और मुस्कुराते हुए सुंदर चेहरे और नम आंखों के साथ चल रहा था; Nesvitsky मुश्किल से अपने आप को हँसने से रोक सका, उसके बगल में चल रहे काले रंग के हुसार अधिकारी से उत्तेजित हो गया। हुसार अधिकारी ने बिना मुस्कुराए, अपनी स्थिर आँखों के भाव को बदले बिना, रेजिमेंटल कमांडर के पीछे एक गंभीर चेहरे को देखा और उसकी हर हरकत की नकल की। हर बार रेजिमेंटल कमांडर कांपता और आगे झुकता, ठीक उसी तरह, ठीक उसी तरह, हुसार अधिकारी थरथराता और आगे झुक जाता। Nesvitsky हँसा और दूसरों को मजाकिया आदमी को देखने के लिए धक्का दिया।
कुतुज़ोव धीरे-धीरे और बिना सोचे-समझे उन हज़ारों आँखों के सामने से गुज़रा जो उनकी जेब से निकली थीं, बॉस का पीछा करते हुए। तीसरी कंपनी के साथ तालमेल बिठाने के बाद, वह अचानक रुक गया। अनुचर, इस पड़ाव का पूर्वाभास न करते हुए, अनैच्छिक रूप से उस पर आगे बढ़ा।
- आह, तिमोखिन! - कमांडर-इन-चीफ ने लाल नाक वाले कप्तान को पहचानते हुए कहा, जो नीले ओवरकोट के लिए पीड़ित था।
ऐसा लग रहा था कि टिमोखिन की तुलना में अधिक खींचना असंभव था, जबकि रेजिमेंटल कमांडर ने उसे फटकार लगाई। लेकिन उस समय कमांडर-इन-चीफ ने उसे संबोधित किया, कप्तान ने इस कदर तान दी कि ऐसा लगने लगा कि अगर कमांडर-इन-चीफ ने उसे थोड़ी और देर तक देखा होता, तो कप्तान इसे बर्दाश्त नहीं कर पाता; और इसलिए कुतुज़ोव, जाहिरा तौर पर अपनी स्थिति को समझते हुए और इसके विपरीत, कप्तान के लिए शुभकामनाएं, जल्दबाजी में दूर हो गए। कुतुज़ोव के मोटे, घायल चेहरे पर एक बमुश्किल बोधगम्य मुस्कान दौड़ गई।
"एक और इज़मायलोव्स्की कॉमरेड," उन्होंने कहा। "बहादुर अधिकारी!" क्या तुम्हे इससे खुशी हुई? कुतुज़ोव ने रेजिमेंटल कमांडर से पूछा।
और रेजिमेंटल कमांडर, जैसे कि एक दर्पण में परिलक्षित होता है, अदृश्य रूप से खुद को, हुसार अधिकारी में, थरथराता हुआ, आगे बढ़ गया और उत्तर दिया:
"बहुत प्रसन्न, महामहिम।
"हम सभी कमजोरियों के बिना नहीं हैं," कुतुज़ोव ने मुस्कुराते हुए और उससे दूर जाते हुए कहा। "उन्हें बैचस से लगाव था।
रेजिमेंटल कमांडर को डर था कि वह इसके लिए दोषी नहीं था, और उसने जवाब नहीं दिया। अधिकारी ने उस समय कप्तान के चेहरे को एक लाल नाक और एक बंद पेट के साथ देखा, और उसके चेहरे और मुद्रा की इसी तरह नकल की कि नेस्वित्स्की हँसने में मदद नहीं कर सका।
कुतुज़ोव घूम गया। यह स्पष्ट था कि अधिकारी अपने चेहरे को नियंत्रित कर सकता था जैसा वह चाहता था: जिस समय कुतुज़ोव घूमा, अधिकारी एक मुस्कराहट बनाने में कामयाब रहा, और उसके बाद सबसे गंभीर, सम्मानजनक और निर्दोष अभिव्यक्ति ली।
तीसरी कंपनी आखिरी थी, और कुतुज़ोव ने सोचा, जाहिर तौर पर कुछ याद कर रहा था। प्रिंस आंद्रेई ने रेटिन्यू से बाहर कदम रखा और चुपचाप फ्रेंच में कहा:
- आपने इस रेजिमेंट में पदावनत डोलोखोव को याद दिलाने का आदेश दिया।
- डोलोखोव कहाँ है? कुतुज़ोव ने पूछा।
पहले से ही एक सैनिक के ग्रे ओवरकोट पहने डोलोखोव ने बुलाए जाने का इंतजार नहीं किया। स्पष्ट के साथ एक गोरा का पतला आंकड़ा नीली आंखेंसिपाही सामने से निकल गया। वह कमांडर-इन-चीफ के पास पहुंचा और एक गार्ड बनाया।
- दावा? - थोड़ा डूबते हुए, कुतुज़ोव ने पूछा।
"यह डोलोखोव है," प्रिंस आंद्रेई ने कहा।
- ए! कुतुज़ोव ने कहा। - मुझे आशा है कि यह पाठ आपको सही करेगा, अच्छी सेवा करेगा। सम्राट दयालु है। और अगर तुम इसके लायक हो तो मैं तुम्हें नहीं भूलूंगा।
स्पष्ट नीली आँखों ने कमांडर-इन-चीफ को उतनी ही निर्भीकता से देखा जैसे उन्होंने रेजिमेंटल कमांडर को देखा था, मानो अपनी अभिव्यक्ति से वे उस परंपरा के परदे को फाड़ रहे थे जिसने कमांडर-इन-चीफ को सैनिक से अब तक अलग किया था।
"मैं आपसे एक बात पूछता हूं, महामहिम," उन्होंने अपनी गुंजायमान, दृढ़, अविचलित आवाज में कहा। "मैं आपसे अपने अपराध के लिए संशोधन करने और सम्राट और रूस के प्रति अपनी भक्ति साबित करने का मौका देने के लिए कहता हूं।
कुतुज़ोव दूर हो गया। उसकी आँखों की वही मुस्कान उसके चेहरे पर चमक उठी, जब वह कैप्टन टिमोखिन से दूर हो गया था। वह मुड़ा और मुस्कुराया, जैसे कि वह यह व्यक्त करना चाहता था कि डोलोखोव ने उसे जो कुछ भी बताया, और जो कुछ भी वह उसे बता सकता था, वह लंबे समय से जानता था कि यह सब उसे पहले ही ऊब चुका था और यह सब था बिल्कुल नहीं जिसकी उसे जरूरत थी.. वह मुड़ा और गाड़ी की तरफ चल दिया।
रेजिमेंट कंपनियों में छा गई और ब्रौनौ से बहुत दूर निर्दिष्ट अपार्टमेंट की ओर नहीं गई, जहां वे कठिन बदलावों के बाद जूते, पोशाक और आराम करने की उम्मीद करते थे।
- तुम मेरे लिए दिखावा नहीं करते, प्रोखोर इग्नाटिच? - रेजिमेंटल कमांडर ने कहा, तीसरी कंपनी का चक्कर लगाते हुए जगह की ओर बढ़ रहा है और कैप्टन टिमोखिन तक गाड़ी चला रहा है, जो उसके सामने चल रहा था। एक खुशी-खुशी विदा होने के बाद, रेजिमेंटल कमांडर के चेहरे ने अपरिवर्तनीय खुशी व्यक्त की। - शाही सेवा ... आप नहीं कर सकते ... दूसरी बार आप सामने से कट जाएंगे ... मैं सबसे पहले माफी मांगूंगा, आप मुझे जानते हैं ... बहुत बहुत धन्यवाद! और उसने अपना हाथ सेनापति की ओर बढ़ाया।
"क्षमा करें, जनरल, क्या मेरी हिम्मत है!" - कप्तान ने जवाब दिया, अपनी नाक से लाल हो गया, मुस्कुराया और एक मुस्कान के साथ सामने के दो दांतों की कमी का खुलासा किया, इश्माएल के पास एक बट से खटखटाया।
- हां, मिस्टर डोलोखोव से कहो कि मैं उसे नहीं भूलूंगा, ताकि वह शांत रहे। हाँ, कृपया मुझे बताओ, मैं पूछना चाहता था कि वह क्या है, कैसा व्यवहार कर रहा है? और सब कुछ...
"वह अपनी सेवा में बहुत सेवा योग्य है, महामहिम ... लेकिन काराखटर ..." टिमोखिन ने कहा।
- और क्या, चरित्र क्या है? रेजिमेंटल कमांडर से पूछा।
"वह पाता है, महामहिम, दिनों के लिए," कप्तान ने कहा, "वह स्मार्ट है, और सीखा है, और दयालु है। और यह एक जानवर है। पोलैंड में उसने एक यहूदी को मार डाला, कृपया जान लें...
- अच्छा, हाँ, ठीक है, हाँ, - रेजिमेंटल कमांडर ने कहा, - आपको अभी भी दुर्भाग्य में युवक के लिए खेद महसूस करना है। आख़िरकार बड़े संबंध… आप जो…
"मैं सुन रहा हूँ, महामहिम," टिमोखिन ने मुस्कुराते हुए कहा, यह महसूस करते हुए कि वह बॉस की इच्छाओं को समझ गया है।
- हाँ हाँ।
रेजिमेंटल कमांडर ने डोलोखोव को रैंकों में पाया और अपने घोड़े पर लगाम लगाई।
"पहले मामले से पहले, एपॉलेट्स," उन्होंने उससे कहा।
डोलोखोव ने चारों ओर देखा, कुछ नहीं कहा और अपने मजाकिया मुस्कुराते हुए मुंह के भाव को नहीं बदला।
"ठीक है, यह अच्छा है," रेजिमेंटल कमांडर ने जारी रखा। उन्होंने कहा, "लोगों को मुझसे वोडका का एक गिलास मिलता है," उन्होंने कहा, ताकि सैनिक सुन सकें। - आप सभी को धन्यवाद! भगवान का शुक्र है! - और उसने एक कंपनी को पछाड़कर दूसरे को चला दिया।
"ठीक है, वह वास्तव में एक अच्छा आदमी है; आप उसके साथ सेवा कर सकते हैं," तिमोखिन सबाल्टर्न ने अपने बगल में चल रहे अधिकारी से कहा।
- एक शब्द, लाल! ... (रेजिमेंट कमांडर को लाल राजा उपनाम दिया गया था) - सबाल्टर्न अधिकारी ने हंसते हुए कहा।
समीक्षा के बाद अधिकारियों का खुश मिजाज जवानों के पास गया। रोटा मजा कर रहा था। हर तरफ से सैनिकों की आवाजें सुनाई दे रही थीं।
- उन्होंने कैसे कहा, कुतुज़ोव कुटिल, एक आँख के बारे में?
- लेकिन कोई नहीं! एकदम टेढ़ा।
- नहीं ... भाई, तुमसे ज्यादा बड़ी आंखों वाला। जूते और कॉलर - चारों ओर देखा ...
- वह, मेरे भाई, मेरे पैरों को कैसे देखता है ... अच्छा! सोच…
- और दूसरा ऑस्ट्रियाई है, वह उसके साथ था, मानो चाक से लिपटा हो। आटे की तरह, सफेद। मैं चाय हूँ, वे गोला-बारूद कैसे साफ करते हैं!
- क्या, फेडशो! ... उन्होंने कहा, शायद, जब गार्ड शुरू हुए, तो क्या आप करीब खड़े थे? उन्होंने सब कुछ कह दिया, बुनापार्ट खुद ब्रूनोव में खड़ा है।
- बुनापार्ट खड़ा है! तुम झूठ बोलते हो, मूर्ख! क्या नहीं पता! अब प्रशिया विद्रोह में है। इसलिए, ऑस्ट्रियाई उसे शांत करता है। जैसे ही वह सुलह करेगा, बौनापार्ट के साथ युद्ध शुरू हो जाएगा। और फिर, वे कहते हैं, ब्रूनोव में, बुनापार्ट खड़ा है! यह स्पष्ट है कि वह एक मूर्ख है। आप और सुनें।
"देखो, धिक्कार है किरायेदारों! पांचवीं कंपनी, देखो, पहले से ही गांव में बदल रही है, वे दलिया पकाएंगे, और हम अभी तक उस जगह पर नहीं पहुंचेंगे।
- मुझे एक पटाखा दो, धिक्कार है।
"क्या तुमने कल तंबाकू दिया था?" बस इतना ही है भाई। खैर, भगवान आपके साथ है।
- यदि केवल उन्होंने एक पड़ाव बनाया, अन्यथा आप एक और पांच मील का प्रोप्रेम नहीं खाएंगे।
- यह अच्छा था कि जर्मनों ने हमें घुमक्कड़ कैसे दिए। तुम जाओ, जानो: यह महत्वपूर्ण है!
- और यहाँ, भाई, लोग पूरी तरह से उन्मत्त हो गए। वहाँ सब कुछ एक ध्रुव की तरह लग रहा था, सब कुछ रूसी ताज का था; और अब, भाई, एक ठोस जर्मन चला गया है।
- गीतकार आगे! - मैंने कप्तान का रोना सुना।
और बीस लोग अलग-अलग रैंकों से कंपनी के सामने भागे। ढोल बजाने वाला गीत-पुस्तकों का सामना करने के लिए घूमता है, और अपना हाथ लहराते हुए, एक खींचे हुए सैनिक का गीत गाया, शुरुआत: "क्या यह भोर नहीं है, सूरज उग रहा था ..." और शब्दों के साथ समाप्त: " वह, भाइयों, हमारे लिए कमेंस्की पिता के साथ महिमा होगी ..." यह गीत तुर्की में बनाया गया था और अब ऑस्ट्रिया में गाया गया था, केवल इस बदलाव के साथ कि "कमेन्स्की पिता" के स्थान पर "कुतुज़ोव के पिता" शब्द डाले गए थे।
इन सैनिकों को फाड़ना अंतिम शब्दऔर अपनी बाहों को लहराते हुए मानो वह जमीन पर कुछ फेंक रहे हों, ढोलक, सूखा और सुंदर सैनिकलगभग चालीस साल की उम्र में, गीतकार सिपाही ने सख्ती से देखा और अपनी आँखें मूँद लीं। फिर, यह सुनिश्चित करते हुए कि सभी की निगाहें उस पर टिकी हुई हैं, वह ध्यान से अपने दोनों हाथों से किसी अदृश्य, कीमती चीज को अपने सिर के ऊपर से उठा रहा था, उसे कई सेकंड तक ऐसे ही पकड़े रहा, और अचानक उसे जोर से फेंक दिया:
ओह, तुम, मेरी छत्र, मेरी छत्र!
"कैनोपी माय न्यू...", बीस आवाजें उठीं, और स्पूनमैन, गोला-बारूद के भारीपन के बावजूद, तेजी से आगे कूद गया और कंपनी के सामने पीछे की ओर चला गया, अपने कंधों को हिलाया और किसी को चम्मच से धमकाया। सैनिकों ने अपनी बाहों को गीत की थाप पर झुलाते हुए, एक विशाल कदम के साथ, अनजाने में पैर को मारते हुए चले गए। कंपनी के पीछे पहियों की आवाज़, झरनों की आवाज़ और घोड़ों की गड़गड़ाहट आई।
कुतुज़ोव अपने अनुचर के साथ शहर लौट रहा था। कमांडर-इन-चीफ ने संकेत दिया कि लोगों को स्वतंत्र रूप से चलना जारी रखना चाहिए, और उनके चेहरे और उनके रेटिन्यू के सभी चेहरों ने गाने की आवाज पर, नाचते हुए सैनिक और हर्षित और तेज गति से चलने वाले सैनिकों को देखकर खुशी व्यक्त की। कंपनी। दूसरी पंक्ति में, दाहिनी ओर से, जहां से गाड़ी ने कंपनियों को पछाड़ दिया, एक नीली आंखों वाले सैनिक, डोलोखोव ने अनजाने में आंख पकड़ ली, जो विशेष रूप से तेज और शालीनता से गाने की थाप पर चला गया और चेहरों को देखा राहगीरों ने इस तरह की अभिव्यक्ति के साथ जैसे कि उन्होंने उन सभी पर दया की जो इस समय एक कंपनी के साथ नहीं गए थे। कुतुज़ोव के रेटिन्यू से एक हुसार कॉर्नेट, जो रेजिमेंटल कमांडर की नकल कर रहा था, गाड़ी से पिछड़ गया और डोलोखोव तक चला गया।
सेंट पीटर्सबर्ग में एक समय में हुसार कॉर्नेट ज़ेरकोव डोलोखोव के नेतृत्व वाले उस हिंसक समाज के थे। ज़ेरकोव विदेश में एक सैनिक के रूप में डोलोखोव से मिले, लेकिन उन्हें पहचानना आवश्यक नहीं समझा। अब, कुतुज़ोव के पदावनत के साथ बातचीत के बाद, वह एक पुराने दोस्त की खुशी के साथ उसकी ओर मुड़ा:
- प्रिय मित्र, आप कैसे हैं? - उन्होंने अपने घोड़े के कदम को कंपनी के कदम के साथ बराबर करते हुए गाने की आवाज पर कहा।
- मैं जैसा हूँ? - डोलोखोव ने ठंडे स्वर में उत्तर दिया, - जैसा कि आप देख सकते हैं।
जीवंत गीत दिया विशेष अर्थचुटीले उल्लास का स्वर जिसके साथ ज़ेरकोव ने बात की, और डोलोखोव के उत्तरों की जानबूझकर शीतलता।
- तो, ​​आप अधिकारियों के साथ कैसे मिलते हैं? ज़ेरकोव ने पूछा।
- कुछ नहीं, अच्छे लोग. आप मुख्यालय में कैसे पहुंचे?
- दूसरा, मैं ड्यूटी पर हूं।
वे चुप थे।
"मैंने बाज़ को अपनी दाहिनी आस्तीन से बाहर जाने दिया," गीत ने कहा, अनजाने में एक हंसमुख, हर्षित भावना पैदा करना। उनकी बातचीत शायद अलग होती अगर वे किसी गाने की आवाज पर नहीं बोलते।
- क्या सच है, ऑस्ट्रियाई लोगों को पीटा गया था? डोलोखोव ने पूछा।
"शैतान जानता है, वे कहते हैं।
"मुझे खुशी है," डोलोखोव ने संक्षिप्त और स्पष्ट रूप से उत्तर दिया, जैसा कि गीत ने मांग की थी।
- ठीक है, हमारे पास आओ जब शाम को फिरौन मोहरा बन जाएगा, - ज़ेरकोव ने कहा।
या आपके पास बहुत पैसा है?
- आइए।
- यह वर्जित है। उन्होंने प्रतिज्ञा दी। मैं तब तक नहीं पीता या नहीं खेलता जब तक कि यह पूरा न हो जाए।
खैर, पहली बात से पहले...
- आप इसे वहां देखेंगे।
वे फिर चुप हो गए।
"अंदर आओ, अगर आपको किसी चीज की जरूरत है, तो मुख्यालय में हर कोई मदद करेगा ..." ज़ेरकोव ने कहा।
डोलोखोव ने चुटकी ली।
"बेहतर होगा कि आप चिंता न करें। मुझे जो चाहिए, मैं नहीं मांगूंगा, मैं खुद ले लूंगा।
"हाँ, ठीक है, मैं ऐसा हूँ...
- अच्छा, मैं भी।
- अलविदा।
- स्वस्थ रहो…
... और उच्च और दूर,
घर की तरफ...
ज़ेरकोव ने अपने घोड़े को अपने स्पर्स से छुआ, जो तीन बार, उत्तेजित होकर, लात मारी, न जाने कहाँ से शुरू करना, प्रबंधित और सरपट दौड़ना, कंपनी को पछाड़ना और गाड़ी को पकड़ना, गीत के साथ भी।

समीक्षा से लौटते हुए, कुतुज़ोव, एक ऑस्ट्रियाई जनरल के साथ, अपने कार्यालय में गया और, सहायक को बुलाकर, आने वाले सैनिकों की स्थिति से संबंधित कुछ कागजात देने का आदेश दिया, और आर्कड्यूक फर्डिनेंड से प्राप्त पत्र, जो प्रभारी थे उन्नत सेना. आवश्यक कागजात के साथ प्रिंस आंद्रेई बोल्कॉन्स्की ने कमांडर इन चीफ के कार्यालय में प्रवेश किया। मेज पर रखी गई योजना के सामने कुतुज़ोव और हॉफक्रिग्सराट के एक ऑस्ट्रियाई सदस्य बैठे थे।
"आह ..." कुतुज़ोव ने बोल्कॉन्स्की की ओर देखते हुए कहा, जैसे कि इस शब्द से एडजुटेंट को प्रतीक्षा करने के लिए आमंत्रित किया गया, और फ्रेंच में बातचीत शुरू हुई।
"मैं केवल एक ही बात कहता हूं, जनरल," कुतुज़ोव ने अभिव्यक्ति और स्वर की सुखद लालित्य के साथ कहा, हर इत्मीनान से बोले गए शब्द को सुनने के लिए मजबूर किया। यह स्पष्ट था कि कुतुज़ोव ने खुशी से अपनी बात सुनी। - मैं केवल एक ही बात कहता हूं, जनरल, कि अगर मामला मेरी व्यक्तिगत इच्छा पर निर्भर करता, तो महामहिम सम्राट फ्रांज की इच्छा बहुत पहले पूरी हो जाती। मैं बहुत पहले आर्कड्यूक में शामिल हो गया होता। और मेरे सम्मान पर विश्वास करें, कि मेरे लिए व्यक्तिगत रूप से सेना की उच्च कमान को एक जानकार और कुशल जनरल से अधिक स्थानांतरित करना, जैसे कि ऑस्ट्रिया इतना प्रचुर मात्रा में है, और मेरे लिए यह सब भारी जिम्मेदारी व्यक्तिगत रूप से एक खुशी होगी . लेकिन हालात हमसे ज्यादा मजबूत हैं, जनरल।
और कुतुज़ोव एक अभिव्यक्ति के साथ मुस्कुराया जैसे कि वह कह रहा था: "आपको मुझ पर विश्वास न करने का पूरा अधिकार है, और यहां तक ​​\u200b\u200bकि मुझे परवाह नहीं है कि आप मुझ पर विश्वास करते हैं या नहीं, लेकिन आपके पास मुझे यह बताने का कोई कारण नहीं है। और वह पूरी बात है।"
ऑस्ट्रियाई जनरल असंतुष्ट दिखे, लेकिन कुतुज़ोव को उसी स्वर में जवाब नहीं दे सके।
"इसके विपरीत," उन्होंने बड़बड़ाते और क्रोधित स्वर में कहा, इसलिए उनके द्वारा कहे गए शब्दों के चापलूसी अर्थ के विपरीत, "इसके विपरीत, महामहिम की भागीदारी सामान्य कारणउसकी महिमा से अत्यधिक सम्मानित; लेकिन हम मानते हैं कि एक वास्तविक मंदी शानदार रूसी सैनिकों और उनके कमांडरों को उन प्रशंसाओं से वंचित करती है जो वे लड़ाई में काटने के आदी हैं, ”उन्होंने स्पष्ट रूप से तैयार वाक्यांश को समाप्त किया।
कुतुज़ोव अपनी मुस्कान बदले बिना झुक गया।
- और मैं इतना आश्वस्त हूं और अंतिम पत्र के आधार पर कि महामहिम आर्कड्यूक फर्डिनेंड ने मुझे सम्मानित किया, मैं मानता हूं कि ऑस्ट्रियाई सैनिकों ने, जनरल मैक जैसे कुशल सहायक की कमान के तहत, अब पहले से ही एक निर्णायक जीत हासिल कर ली है और अब नहीं हमारी मदद की ज़रूरत है, - कुतुज़ोव ने कहा।
जनरल ने मुँह फेर लिया। हालांकि ऑस्ट्रियाई लोगों की हार के बारे में कोई सकारात्मक खबर नहीं थी, सामान्य प्रतिकूल अफवाहों की पुष्टि करने वाली कई परिस्थितियां थीं; और इसलिए ऑस्ट्रियाई लोगों की जीत के बारे में कुतुज़ोव की धारणा एक मजाक के समान थी। लेकिन कुतुज़ोव नम्रता से मुस्कुराया, फिर भी उसी अभिव्यक्ति के साथ जिसने कहा कि उसे यह मानने का अधिकार है। सच में, अंतिम अक्षर, मैक की सेना से उसे प्राप्त हुआ, उसे जीत और सेना की सबसे लाभप्रद रणनीतिक स्थिति के बारे में सूचित किया।
"मुझे यह पत्र यहाँ दो," कुतुज़ोव ने राजकुमार आंद्रेई की ओर मुड़ते हुए कहा। - यहाँ आप हैं, यदि आप इसे देखना चाहते हैं। - और कुतुज़ोव, अपने होठों के सिरों पर एक मजाकिया मुस्कान के साथ, जर्मन-ऑस्ट्रियाई जनरल के आर्कड्यूक फर्डिनेंड के पत्र से निम्नलिखित अंश पढ़ें: डेन लेच पासिरटे, एंग्रीफेन और श्लेगेन ज़ू कोनेन। वायर कोनन, दा विर मिस्टर वॉन उल्म सिंध, डेन वोर्थेइल, आच वॉन बीडेन उफेरियन डेर डोनाउ मिस्टर ज़ू ब्लीबेन, निचट वर्लिरेन; और मिथिन आच जेडेन ऑगेनब्लिक, वेन्न डेर फीइंड डेन लेच निच्ट पासिरते, डाई डोनौ उबेरसेटजेन, उन औफ सीन कम्युनिकेशंस लिनी वेरफेन, डाई डोनौ अनटरहाल्ब रिपैसिरेन और डेम फींडे, वेन्न एर सिच गेजेन अनसेरे ट्रेयू अल्लिर्ट मिट गान। वाइर वेर्डन औफ सॉल्चे वेइस डेन ज़ीटपंकट, वो डाई कैसरलिच रुसीश आर्मी ऑस्गेरुस्टेट सेन विर्ड, मुथिग एंटेगेनहर्रेन, और सोडान लीच्ट जेमिन्सचाफ्ट्लिच डाई मोग्लिचकेइट फाइंडेन, डेम फींडे दास स्किक्सल ज़ुबेरेइटन, सो एर।" [हमारे पास पूरी तरह से केंद्रित बल है, लगभग 70,000 लोग, ताकि हम दुश्मन पर हमला कर सकें और अगर वह लेक को पार कर जाए तो उसे हरा सकें। चूंकि हम पहले से ही उल्म के मालिक हैं, इसलिए हम डेन्यूब के दोनों किनारों की कमान का लाभ बरकरार रख सकते हैं, इसलिए, हर मिनट, अगर दुश्मन लेक को पार नहीं करता है, डेन्यूब को पार करता है, उसकी संचार लाइन पर जाता है, डेन्यूब को पार करता है और दुश्मन , अगर वह अपने इरादे को पूरा होने से रोकने के लिए, हमारे वफादार सहयोगियों पर अपनी सारी ताकत लगाने का फैसला करता है। इस प्रकार, हम खुशी-खुशी उस समय की प्रतीक्षा करेंगे जब शाही रूसी सेनापूरी तरह से तैयार है, और फिर एक साथ हम आसानी से दुश्मन के भाग्य को तैयार करने का अवसर पा सकते हैं, जिसका वह हकदार है।
कुतुज़ोव ने इस अवधि को समाप्त करने के बाद जोर से आहें भरी, और ध्यान से और प्यार से हॉफक्रिग्सराट के सदस्य को देखा।
"लेकिन आप जानते हैं, महामहिम, बुद्धिमान नियमसबसे खराब मानने के लिए, ”ऑस्ट्रियाई जनरल ने कहा, जाहिर तौर पर चुटकुले को खत्म करना और व्यापार में उतरना चाहते हैं।
उसने अनैच्छिक रूप से सहायक को देखा।
"क्षमा करें, जनरल," कुतुज़ोव ने उसे बाधित किया और राजकुमार आंद्रेई की ओर भी मुड़ गया। - यही है, मेरे प्रिय, आप कोज़लोवस्की से हमारे स्काउट्स से सभी रिपोर्ट लेते हैं। यहाँ काउंट नोस्टिट्ज़ के दो पत्र हैं, यहाँ महामहिम आर्कड्यूक फर्डिनेंड का एक पत्र है, यहाँ एक और है," उन्होंने उसे कुछ कागजात सौंपते हुए कहा। - और इस सब से सफाई से, पर फ्रेंच, उन सभी समाचारों की दृश्यता के लिए एक ज्ञापन, एक नोट तैयार करें जो हमारे पास कार्यों के बारे में है ऑस्ट्रियाई सेनाथा। खैर, फिर, और महामहिम के सामने पेश करें।
प्रिंस आंद्रेई ने एक संकेत के रूप में अपना सिर झुकाया कि वह पहले शब्दों से न केवल जो कहा गया था, बल्कि यह भी समझा कि कुतुज़ोव उसे क्या बताना चाहेंगे। उसने कागजात एकत्र किए, और एक सामान्य धनुष देते हुए, चुपचाप कालीन पर चलते हुए, प्रतीक्षा कक्ष में चला गया।
इस तथ्य के बावजूद कि प्रिंस आंद्रेई को रूस छोड़े ज्यादा समय नहीं हुआ है, इस दौरान वह बहुत बदल गए हैं। उसके चेहरे की अभिव्यक्ति में, उसकी चाल में, उसकी चाल में, लगभग कोई ध्यान देने योग्य पूर्व दिखावा, थकान और आलस्य नहीं था; उसके पास एक ऐसे व्यक्ति की उपस्थिति थी जिसके पास दूसरों पर पड़ने वाले प्रभाव के बारे में सोचने का समय नहीं है, और वह सुखद और दिलचस्प व्यवसाय में व्यस्त है। उनके चेहरे ने अपने और अपने आसपास के लोगों के साथ अधिक संतुष्टि व्यक्त की; उसकी मुस्कान और रूप अधिक हंसमुख और आकर्षक था।
कुतुज़ोव, जिसे उसने पोलैंड में वापस पकड़ लिया, ने उसे बहुत प्यार से प्राप्त किया, उसे न भूलने का वादा किया, उसे अन्य सहायकों से अलग किया, उसे अपने साथ वियना ले गया और उसे और अधिक गंभीर कार्य दिए। वियना से, कुतुज़ोव ने अपने पुराने साथी, राजकुमार आंद्रेई के पिता को लिखा:
"आपका बेटा," उन्होंने लिखा, "एक अधिकारी बनने की आशा देता है जो अपनी पढ़ाई, दृढ़ता और परिश्रम में उत्कृष्टता प्राप्त करता है। मैं खुद को भाग्यशाली मानता हूं कि मेरे पास ऐसा अधीनस्थ है। ”
कुतुज़ोव के मुख्यालय में, उनके साथियों के बीच, और सामान्य रूप से सेना में, प्रिंस आंद्रेई, साथ ही सेंट पीटर्सबर्ग समाज में, दो पूरी तरह से विपरीत प्रतिष्ठा थी।
अकेला अल्पसंख्यक, प्रिंस आंद्रेई को खुद से और अन्य सभी लोगों से कुछ खास के रूप में पहचाना, उनसे बड़ी सफलता की उम्मीद की, उनकी बात सुनी, उनकी प्रशंसा की और उनकी नकल की; और इन लोगों के साथ, प्रिंस आंद्रेई सरल और सुखद थे। अन्य, बहुमत, राजकुमार आंद्रेई को पसंद नहीं करते थे, उन्हें फुलाया, ठंडा और मानते थे अप्रिय व्यक्ति. लेकिन इन लोगों के साथ, प्रिंस आंद्रेई जानते थे कि खुद को इस तरह से कैसे पेश किया जाए कि उनका सम्मान किया जाए और यहां तक ​​​​कि डर भी।
कुतुज़ोव के कार्यालय से प्रतीक्षा कक्ष में आकर, राजकुमार आंद्रेई कागजात के साथ अपने कामरेड, ड्यूटी पर सहायक कोज़लोवस्की के पास पहुंचे, जो एक किताब के साथ खिड़की के पास बैठा था।
- अच्छा, क्या, राजकुमार? कोज़लोव्स्की ने पूछा।
- एक नोट तैयार करने का आदेश दिया, क्यों न आगे बढ़ें।
- और क्यों?
प्रिंस एंड्रयू ने अपने कंधे उचका दिए।
- मैक से कोई शब्द नहीं? कोज़लोव्स्की ने पूछा।
- नहीं।
- अगर यह सच होता कि वह हार जाता, तो खबर आती।
"शायद," प्रिंस आंद्रेई ने कहा और बाहर निकलने के दरवाजे पर चला गया; लेकिन साथ ही, उससे मिलने के लिए दरवाजा पटकते हुए, एक लंबा, स्पष्ट रूप से नवागंतुक, फ्रॉक कोट में ऑस्ट्रियाई जनरल, अपने सिर को एक काले रूमाल से बंधा हुआ था और उसके गले में मारिया थेरेसा के आदेश के साथ, जल्दी से प्रतीक्षा कक्ष में प्रवेश किया . प्रिंस एंड्रयू रुक गए।
- जनरल अनशेफ कुतुज़ोव? - जल्दी से एक तीखे जर्मन लहजे के साथ विजिटिंग जनरल ने कहा, दोनों तरफ से देखा और बिना रुके ऑफिस के दरवाजे पर जा पहुंचे।
"जनरल व्यस्त है," कोज़लोवस्की ने कहा, जल्दी से अज्ञात जनरल के पास पहुंचा और दरवाजे से अपना रास्ता रोक दिया। - आप कैसे रिपोर्ट करना चाहेंगे?
अज्ञात जनरल ने छोटे कोज़लोवस्की को तिरस्कारपूर्वक नीचे देखा, जैसे कि आश्चर्यचकित हो कि वह ज्ञात नहीं हो सकता है।
"जनरल चीफ व्यस्त है," कोज़लोवस्की ने शांति से दोहराया।
जनरल के चेहरे पर झुर्रियां पड़ गईं, उसके होंठ कांपने लगे और कांपने लगे। उसने एक नोटबुक निकाली, जल्दी से एक पेंसिल के साथ कुछ खींचा, कागज का एक टुकड़ा फाड़ दिया, उसे दे दिया, खिड़की पर तेजी से कदम रखा, अपने शरीर को एक कुर्सी पर फेंक दिया और कमरे में चारों ओर देखा, जैसे पूछ रहा हो : वे उसे क्यों देख रहे हैं? फिर जनरल ने अपना सिर उठाया, अपनी गर्दन को बढ़ाया, जैसे कि कुछ कहना चाहता था, लेकिन तुरंत, जैसे कि लापरवाही से खुद को गुनगुनाना शुरू कर दिया, अजीब आवाज, जो तुरंत बंद हो गया। कार्यालय का दरवाजा खुला, और कुतुज़ोव दहलीज पर दिखाई दिया। जनरल ने अपने सिर पर पट्टी बांधी, जैसे कि खतरे से भाग रहा हो, झुक गया, पतले पैरों के बड़े, तेज कदमों के साथ, कुतुज़ोव के पास पहुंचा।
- वौस वोएज़ ले मल्हेउरेक्स मैक, [आप दुर्भाग्यपूर्ण मैक देखें।] - उसने टूटी हुई आवाज में कहा।
कुतुज़ोव का चेहरा, जो कार्यालय के द्वार पर खड़ा था, कई क्षणों तक पूरी तरह से गतिहीन रहा। फिर लहर की नाईं उसके चेहरे पर झुर्रियां पड़ गईं, और उसका माथा चिकना हो गया; उसने सम्मानपूर्वक अपना सिर झुकाया, अपनी आँखें बंद कर लीं, चुपचाप मैक को अपने पास से जाने दिया, और उसके पीछे का दरवाजा बंद कर दिया।
ऑस्ट्रियाई लोगों की हार और उल्म में पूरी सेना के आत्मसमर्पण के बारे में पहले से ही फैली अफवाह सच निकली। आधे घंटे बाद पहले ही अलग दिशासहायकों को यह साबित करने के आदेश के साथ बाहर भेजा गया था कि जल्द ही रूसी सैनिकों, जो अभी भी निष्क्रिय हैं, को दुश्मन से मिलना होगा।
प्रिंस आंद्रेई कर्मचारियों के उन दुर्लभ अधिकारियों में से एक थे, जो उनकी मुख्य रुचि को मानते थे सामान्य पाठ्यक्रमसैन्य व्यवसाय। मैक को देखकर और उसकी मृत्यु का विवरण सुनकर, उसने महसूस किया कि अभियान का आधा हिस्सा खो गया था, रूसी सैनिकों की स्थिति की पूरी कठिनाई को समझा और स्पष्ट रूप से कल्पना की कि सेना को क्या इंतजार करना होगा, और इसमें उसे क्या भूमिका निभानी होगी .
अनजाने में, उन्होंने अभिमानी ऑस्ट्रिया को शर्मसार करने के विचार पर एक रोमांचक खुशी का अनुभव किया और एक सप्ताह में, शायद, उन्हें सुवोरोव के बाद पहली बार रूसियों और फ्रांसीसी के बीच संघर्ष में भाग लेना और देखना होगा।
लेकिन वह बोनापार्ट की प्रतिभा से डरता था, जो रूसी सैनिकों के सभी साहस से अधिक मजबूत हो सकता था, और साथ ही वह अपने नायक के लिए शर्म की अनुमति नहीं दे सकता था।
इन विचारों से उत्साहित और चिढ़कर, राजकुमार आंद्रेई अपने पिता को लिखने के लिए अपने कमरे में गया, जिसे वह हर दिन लिखता था। वह गलियारे में अपने रूममेट नेस्वित्स्की और जोकर ज़ेरकोव से मिले; वे, हमेशा की तरह, किसी बात पर हँसे।

और गुणा। गुणन के संचालन के बारे में और इस लेख में चर्चा की जाएगी।

संख्या गुणन

दूसरी कक्षा के बच्चों को संख्याओं के गुणन में महारत हासिल है, और इसमें कुछ भी जटिल नहीं है। अब हम उदाहरण के द्वारा गुणन को देखेंगे।

उदाहरण 2*5. इसका मतलब या तो 2+2+2+2+2 या 5+5 है। हम 5 दो बार या 2 पांच बार लेते हैं। उत्तर क्रमशः 10 है।

उदाहरण 4*3. इसी तरह, 4+4+4 या 3+3+3+3। तीन गुना 4 या चार गुना 3. उत्तर 12.

उदाहरण 5*3. हम पिछले उदाहरणों की तरह ही करते हैं। 5+5+5 या 3+3+3+3+3। उत्तर 15.

गुणन सूत्र

गुणन योग है वही नंबर, उदाहरण के लिए, 2 * 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 या 2 * 5 = 5 + 5. गुणन सूत्र:

जहाँ, a कोई संख्या है, n पदों की संख्या है a। मान लीजिए a=2, फिर 2+2+2=6, फिर n=3 3 को 2 से गुणा करने पर, हमें 6 प्राप्त होता है। उल्टे क्रम. उदाहरण के लिए, दिया गया: 3 * 3, अर्थात्। 3 को 3 से गुणा करना - इसका मतलब है कि तीनों को 3 बार लेना होगा: 3 + 3 + 3 \u003d 9. 3 * 3 \u003d 9।

संक्षिप्त गुणन

संक्षिप्त गुणन कुछ मामलों में गुणन संक्रिया का संक्षिप्त रूप है, और इसके लिए संक्षिप्त गुणन के सूत्र विशेष रूप से विकसित किए गए हैं। जो गणनाओं को सबसे तर्कसंगत और तेज़ बनाने में मदद करेगा:

संक्षिप्त गुणन सूत्र

मान लीजिए a, b, R से संबंधित है, तो:

    दो भावों के योग का वर्ग हैपहली अभिव्यक्ति का वर्ग प्लस पहली अभिव्यक्ति के उत्पाद का दोगुना और दूसरा प्लस दूसरी अभिव्यक्ति का वर्ग। सूत्र: (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

    दो भावों के अंतर का वर्ग हैपहली व्यंजक का वर्ग घटा पहली व्यंजक के गुणनफल का दुगुना और दूसरा जोड़ दूसरी व्यंजक का वर्ग। सूत्र: (ए-बी)^2 = ए^2 - 2एबी + बी^2

    वर्गों का अंतरदो व्यंजक इन व्यंजकों और उनके योग के अंतर के गुणनफल के बराबर हैं। सूत्र: ए^2 - बी^2 = (ए - बी) (ए + बी)

    योग घनदो भाव घन के बराबरपहले व्यंजक का जोड़ पहली व्यंजक के वर्ग के गुणनफल को दूसरे से तिगुना जोड़ पहली व्यंजक के गुणनफल को दूसरे व्यंजक के वर्ग और दूसरी व्यंजक के घन से तिगुना करें। सूत्र: (a + b)^3 = a^3 + 3a(^2)b + 3ab^2 + b^3

    अंतर घनदो व्यंजकों का योग पहली व्यंजक के घन के बराबर है, पहली व्यंजक के वर्ग के गुणनफल का तीन गुना और दूसरा जोड़ पहली व्यंजक के गुणनफल का तीन गुना और दूसरे व्यंजक का वर्ग दूसरी व्यंजक का घन घटाता है। सूत्र: (a-b)^3 = a^3 - 3a(^2)b + 3ab^2 - b^3

    घनों का योग a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

    घनों का अंतरदो व्यंजक पहले और दूसरे व्यंजकों के योग के गुणनफल के बराबर होते हैं जो इन व्यंजकों के अंतर के अधूरे वर्ग से होते हैं। सूत्र: a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

पाठ्यक्रम के लिए साइन अप करें "हम मानसिक गणना में तेजी लाते हैं, नहीं मनो अंकगणितीय"जल्दी और सही तरीके से जोड़ना, घटाना, गुणा करना, भाग करना, वर्ग संख्याएँ और यहाँ तक कि मूल लेना सीखना। 30 दिनों में, आप सीखेंगे कि अंकगणितीय संक्रियाओं को सरल बनाने के लिए आसान तरकीबों का उपयोग कैसे करें। प्रत्येक पाठ में नई तरकीबें, स्पष्ट उदाहरण और उपयोगी हैं। कार्य।

भिन्नों का गुणन

भिन्नों के जोड़ और घटाव को ध्यान में रखते हुए, भिन्नों को में लाते हुए, नियम लग रहा था आम विभाजकगणना करने के लिए। इसे गुणा करते समय करें कोई ज़रुरत नहीं है! दो भिन्नों को गुणा करते समय, हर को हर से और अंश को अंश से गुणा किया जाता है।

उदाहरण के लिए, (2/5) * (3 * 4)। दो तिहाई को एक चौथाई से गुणा करें। हम हर को हर से और अंश को अंश से गुणा करते हैं: (2 * 3) / (5 * 4), फिर 6/20, हम घटाते हैं, हमें 3/10 मिलता है।

गुणन ग्रेड 2

दूसरी कक्षा केवल गुणा सीखने की शुरुआत है, इसलिए दूसरे ग्रेडर सबसे सरल कार्यों को हल करते हैं, जोड़ को गुणा से बदल देते हैं, संख्याओं को गुणा करते हैं, गुणन तालिका सीखते हैं। आइए दूसरी कक्षा के स्तर पर गुणन कार्यों को देखें:

    ओलेग पांच मंजिला इमारत में सबसे ऊपरी मंजिल पर रहता है। एक मंजिल की ऊंचाई 2 मीटर है। घर की ऊंचाई कितनी है?

    बॉक्स में बिस्कुट के 10 पैक हैं। प्रत्येक पैक में 7 टुकड़े होते हैं। बॉक्स में कितनी कुकीज़ हैं?

    मीशा ने अपनी खिलौना कारों को एक पंक्ति में व्यवस्थित किया। उनमें से प्रत्येक पंक्ति में 7 हैं, और केवल 8 पंक्तियाँ हैं। मीशा के पास कितनी कारें हैं?

    भोजन कक्ष में 6 मेजें हैं, और प्रत्येक मेज के पीछे 5 कुर्सियाँ रखी गई हैं। भोजन कक्ष में कितनी कुर्सियाँ हैं?

    माँ दुकान से संतरे के 3 बैग ले आई। पैकेज में 22 संतरे हैं। माँ कितने संतरे लाए?

    बगीचे में 9 स्ट्रॉबेरी झाड़ियाँ उग रही हैं, और प्रत्येक झाड़ी पर 11 जामुन उगते हैं। सभी झाड़ियों पर कितने जामुन उगते हैं?

    रोमा ने एक के बाद एक 8 पाइप के पुर्जे लगाए, 2 मीटर का एक ही आकार। पूर्ण पाइप की लंबाई क्या है?

    पहली सितंबर को अभिभावक अपने बच्चों को स्कूल लेकर आए। 12 कारें आईं, जिनमें से प्रत्येक में 2 बच्चे थे। इन कारों में उनके माता-पिता कितने बच्चे लाए थे?

गुणन ग्रेड 3

तीसरी कक्षा में अधिक गंभीर कार्य दिए जाते हैं। गुणन के अलावा, विभाजन भी पारित किया जाएगा।

गुणन के कार्यों में से होंगे: दो अंकों की संख्याओं का गुणन, एक कॉलम से गुणा, गुणा द्वारा जोड़ का प्रतिस्थापन और इसके विपरीत।

कॉलम गुणन:

कॉलम गुणा बड़ी संख्याओं को गुणा करने का सबसे आसान तरीका है। विचार करना यह विधिदो नंबर 427 * 36 के उदाहरण पर।

1 कदम. आइए एक के नीचे एक संख्या लिखते हैं, ताकि 427 सबसे ऊपर और 36 सबसे नीचे, यानी 6 अंडर 7, 3 अंडर 2 हो।

2 कदम. हम नीचे की संख्या के सबसे दाहिने अंक से गुणा करना शुरू करते हैं। यानी गुणन का क्रम है: 6 * 7, 6 * 2, 6 * 4, फिर त्रिगुण के साथ समान: 3 * 7, 3 * 2, 3 * 4।

तो, पहले 6 को 7 से गुणा करें, उत्तर है: 42. हम इसे इस तरह लिखते हैं: चूंकि यह 42 निकला, फिर 4 दहाई हैं, और 2 एक हैं, रिकॉर्डिंग जोड़ के समान है, जिसका अर्थ है कि हम 2 को छह के नीचे लिखते हैं, और 4 हम संख्या 427 में से दो में जोड़ते हैं .

3 कदम. फिर हम 6*2 के साथ भी ऐसा ही करते हैं। उत्तर: 12. पहला दस, जो संख्या 427 के चार में जोड़ा जाता है, और दूसरा - इकाइयाँ। हम परिणामी दो को पिछले गुणन से चार के साथ जोड़ते हैं।

4 कदम. 6 को 4 से गुणा करें। उत्तर 24 है और पिछले गुणा से 1 जोड़ें। हमें 25 मिलते हैं।

तो, 427 को 6 से गुणा करने पर, उत्तर 2562 . है

याद रखना!दूसरे गुणन का परिणाम नीचे लिखा जाना चाहिए दूसरापहले परिणाम की संख्या!

5 कदम. हम संख्या 3 के साथ समान क्रिया करते हैं। हमें गुणन उत्तर 427 * 3 = 1281 . मिलता है

6 कदम. फिर हम गुणा करने पर प्राप्त उत्तरों को जोड़ते हैं और गुणा 427 * 36 का अंतिम उत्तर प्राप्त करते हैं। उत्तर: 15372।

गुणन ग्रेड 4

चौथा वर्ग पहले से ही केवल गुणा है बड़ी संख्या. गणना एक कॉलम में गुणन विधि द्वारा की जाती है। विधि एक सुलभ भाषा में ऊपर वर्णित है।

उदाहरण के लिए, संख्याओं के निम्नलिखित युग्मों का गुणनफल ज्ञात कीजिए:

  1. 988 * 98 =
  2. 99 * 114 =
  3. 17 * 174 =
  4. 164 * 19 =

गुणन प्रस्तुति

दूसरे ग्रेडर के लिए सरलतम कार्यों के साथ गुणन पर एक प्रस्तुति डाउनलोड करें। प्रस्तुतिकरण बच्चों को इस ऑपरेशन को बेहतर ढंग से नेविगेट करने में मदद करेगा क्योंकि यह रंगीन और अंदर है खेल शैली- बच्चे को पढ़ाने का सबसे अच्छा विकल्प!

पहाड़ा

दूसरी कक्षा के प्रत्येक छात्र द्वारा गुणन तालिका का अध्ययन किया जाता है। यह सभी को पता होना चाहिए!

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गुणन उदाहरण

असंदिग्ध से गुणा

  1. 9 * 5 =
  2. 9 * 8 =
  3. 8 * 4 =
  4. 3 * 9 =
  5. 7 * 4 =
  6. 9 * 5 =
  7. 8 * 8 =
  8. 6 * 9 =
  9. 6 * 7 =
  10. 9 * 2 =
  11. 8 * 5 =
  12. 3 * 6 =

दो अंकों से गुणा

  1. 4 * 16 =
  2. 11 * 6 =
  3. 24 * 3 =
  4. 9 * 19 =
  5. 16 * 8 =
  6. 27 * 5 =
  7. 4 * 31 =
  8. 17 * 5 =
  9. 28 * 2 =
  10. 12 * 9 =

दो अंकों का दो अंकों से गुणा

  1. 24 * 16 =
  2. 14 * 17 =
  3. 19 * 31 =
  4. 18 * 18 =
  5. 10 * 15 =
  6. 15 * 40 =
  7. 31 * 27 =
  8. 23 * 25 =
  9. 17 * 13 =

तीन अंकों की संख्याओं का गुणन

  1. 630 * 50 =
  2. 123 * 8 =
  3. 201 * 18 =
  4. 282 * 72 =
  5. 96 * 660 =
  6. 910 * 7 =
  7. 428 * 37 =
  8. 920 * 14 =

मानसिक गिनती के विकास के लिए खेल

स्कोल्कोवो के रूसी वैज्ञानिकों की भागीदारी से विकसित विशेष शैक्षिक खेल एक दिलचस्प खेल रूप में मौखिक गिनती कौशल में सुधार करने में मदद करेंगे।

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इस अभ्यास के साथ अभ्यास करते समय खेल "नंबर कवरेज" आपकी याददाश्त को लोड करेगा।

खेल का सार संख्या को याद रखना है, जिसे याद करने में लगभग तीन सेकंड लगते हैं। फिर आपको इसे खेलने की जरूरत है। जैसे-जैसे आप खेल के चरणों में आगे बढ़ते हैं, संख्याओं की संख्या बढ़ती जाती है, दो से शुरू करें और आगे बढ़ें।

खेल "ऑपरेशन लगता है"

खेल "ऑपरेशन का अनुमान लगाएं" सोच और स्मृति विकसित करता है। मुख्य सारचुनने के लिए खेल गणितीय चिन्हसमानता के सच होने के लिए। उदाहरण स्क्रीन पर दिए गए हैं, ध्यान से देखें और लगाएं वांछित संकेत"+" या "-", ताकि समानता सत्य हो। चिह्न "+" और "-" चित्र के नीचे स्थित हैं, वांछित चिह्न का चयन करें और वांछित बटन पर क्लिक करें। यदि आप सही उत्तर देते हैं, तो आप अंक अर्जित करते हैं और खेलना जारी रखते हैं।

खेल "सरलीकृत करें"

खेल "सरलीकृत" सोच और स्मृति विकसित करता है। खेल का मुख्य सार जल्दी से एक गणितीय ऑपरेशन करना है। एक छात्र को ब्लैकबोर्ड पर स्क्रीन पर खींचा जाता है, और दिया जाता है गणितीय क्रिया, छात्र को इस उदाहरण की गणना करने और उत्तर लिखने की आवश्यकता है। नीचे तीन उत्तर दिए गए हैं, गिनें और माउस से अपनी जरूरत की संख्या पर क्लिक करें। यदि आप सही उत्तर देते हैं, तो आप अंक अर्जित करते हैं और खेलना जारी रखते हैं।

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एक खेल " त्वरित जोड़» सोच और स्मृति विकसित करता है। खेल का मुख्य सार संख्याओं का चयन करना है, जिसका योग किसी दिए गए नंबर के बराबर है। इस गेम को एक से सोलह तक का मैट्रिक्स दिया गया है। मैट्रिक्स के ऊपर एक दी गई संख्या लिखी होती है, आपको मैट्रिक्स में संख्याओं का चयन करना होगा ताकि इन संख्याओं का योग दी गई संख्या के बराबर हो। यदि आप सही उत्तर देते हैं, तो आप अंक अर्जित करते हैं और खेलना जारी रखते हैं।

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एक खेल " दृश्य ज्यामिति» सोच और स्मृति विकसित करता है। खेल का मुख्य सार छायांकित वस्तुओं की संख्या को जल्दी से गिनना और उत्तरों की सूची से इसका चयन करना है। इस गेम में कुछ सेकंड के लिए नीले वर्ग स्क्रीन पर दिखाए जाते हैं, उन्हें जल्दी से गिना जाना चाहिए, फिर वे बंद हो जाते हैं। टेबल के नीचे चार नंबर लिखे हुए हैं, आपको एक सही नंबर चुनना होगा और माउस से उस पर क्लिक करना होगा। यदि आप सही उत्तर देते हैं, तो आप अंक अर्जित करते हैं और खेलना जारी रखते हैं।

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खेल "गणितीय तुलना" सोच और स्मृति विकसित करता है। खेल का मुख्य सार संख्याओं की तुलना करना है और गणितीय संचालन. इस गेम में आपको दो नंबरों की तुलना करनी होती है। सबसे ऊपर एक प्रश्न लिखा होता है, उसे पढ़ें और पूछे गए प्रश्न का सही उत्तर दें। आप नीचे दिए गए बटनों का उपयोग करके उत्तर दे सकते हैं। तीन बटन "बाएं", "बराबर" और "दाएं" हैं। यदि आप सही उत्तर देते हैं, तो आप अंक अर्जित करते हैं और खेलना जारी रखते हैं।

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एक पूर्णांक को दूसरे से गुणा करने का मतलब एक संख्या को उतनी बार दोहराना है, जितनी बार दूसरे में है। किसी संख्या को दोहराने का अर्थ है उसके योग को कई बार लेना और योग का निर्धारण करना।

गुणन की परिभाषा

पूर्णांकों का गुणन एक ऐसी संक्रिया है जिसमें आपको एक संख्या को पदों के रूप में उतनी बार लेने की आवश्यकता होती है जितनी कि दूसरी में इकाइयाँ होती हैं, और इन पदों का योग ज्ञात करना होता है।

7 को 3 से गुणा करने का अर्थ है संख्या 7 का योग तीन बार लेना और योग ज्ञात करना। वांछित राशि 21 है।

गुणन समान पदों का योग है.

गुणन में डेटा को कहा जाता है गुणक और गुणक, और वांछित - काम.

प्रस्तावित उदाहरण में, डेटा गुणक 7, गुणक 3 और वांछित उत्पाद 21 होगा।

गुण्य जिस को किसी संख्या से गुणा किया जाय. गुणक वह संख्या है जिसे योग से गुणा या दोहराया जाता है। गुणक समान पदों के परिमाण को व्यक्त करता है।

कारक. गुणक दर्शाता है कि पद द्वारा गुणक को कितनी बार दोहराया जाता है। गुणक समान पदों की संख्या दर्शाता है।

कार्य. गुणन वह संख्या है जो गुणन के परिणामस्वरूप होती है। यह समान पदों का योग है।

गुणक और गुणक एक साथ कहलाते हैं निर्माताओं.

पूर्णांकों को गुणा करते समय, एक संख्या उतनी ही बढ़ जाती है जितनी दूसरी संख्या में इकाइयाँ होती हैं।

गुणन चिह्न. गुणन की क्रिया को × (अप्रत्यक्ष क्रॉस) या चिह्न द्वारा दर्शाया जाता है। (डॉट)। गुणक और गुणक के बीच गुणन चिह्न रखा जाता है।

एक योग के रूप में संख्या 7 को तीन बार दोहराएं और योग का अर्थ 7 गुना 3 पाएं। लिखने के बजाय

गुणन चिह्न का उपयोग करके संक्षेप में लिखें:

7 × 3 या 7 3

गुणन समान पदों का संक्षिप्त जोड़ है।

संकेत ( × ) ओउट्रेड (1631), और संकेत द्वारा पेश किया गया था। क्रिश्चियन वोल्फ (1752)।

डेटा और वांछित संख्या के बीच संबंध गुणन में व्यक्त किया जाता है

लेखन में:

7 × 3 = 21 या 7 3 = 21

मौखिक रूप से:

सात गुना तीन 21 है।

21 का उत्पाद बनाने के लिए, आपको 7 को तीन बार दोहराना होगा

3 का गुणनखंड बनाने के लिए, आपको इकाई को तीन बार दोहराना होगा

इसलिए हमारे पास है गुणन की एक और परिभाषा: गुणन एक ऐसी संक्रिया है जिसमें गुणन गुणक से ठीक उसी प्रकार बनता है जैसे गुणक एकता से बना होता है।

काम की मुख्य संपत्ति

उत्पादकों के क्रम में परिवर्तन से उत्पाद नहीं बदलता है।

प्रमाण. 7 को 3 से गुणा करने का अर्थ है 7 को तीन बार दोहराना। 7 को 7 इकाइयों के योग के साथ बदलकर और उन्हें लंबवत रूप से घोंसला बनाना, हमारे पास है:

इस प्रकार, दो संख्याओं को गुणा करते समय, हम दोनों उत्पादकों में से किसी एक को गुणक मान सकते हैं। इस आधार पर निर्माताओं को कहा जाता है कारकोंया केवल मल्टीप्लायरों.

ज़्यादातर सामान्य स्वागतगुणन में समान पदों को जोड़ना शामिल है; लेकिन अगर निर्माता बड़े हैं, तो यह चाल लंबी गणनाओं की ओर ले जाती है, इसलिए गणना स्वयं अलग तरीके से व्यवस्थित की जाती है।

एकल अंकों की संख्याओं का गुणन। पाइथागोरस तालिका

दो एकल-अंकीय संख्याओं को गुणा करने के लिए, आपको एक संख्या को शब्दों के साथ उतनी बार दोहराना होगा, जितनी बार दूसरे में इकाइयाँ हैं, और उनका योग ज्ञात करना है। चूंकि पूर्णांकों के गुणन को एकल-अंकीय संख्याओं के गुणन में घटा दिया जाता है, इसलिए वे जोड़े में सभी एकल-अंकीय संख्याओं के गुणनफल की एक तालिका बनाते हैं। एकल-अंकीय संख्याओं के सभी गुणनफलों की जोड़ी में ऐसी तालिका कहलाती है पहाड़ा.

इसके आविष्कार का श्रेय यूनानी दार्शनिक पाइथागोरस को दिया जाता है, जिनके नाम पर इसे कहा जाता है। पाइथागोरस तालिका. (पाइथागोरस का जन्म 569 ईसा पूर्व के आसपास हुआ था)।

इस तालिका को संकलित करने के लिए, आपको क्षैतिज पंक्ति में पहले 9 नंबर लिखने होंगे:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

फिर, इस पंक्ति के तहत, आपको इन संख्याओं के गुणनफल को 2 से व्यक्त करने वाली संख्याओं की एक श्रृंखला पर हस्ताक्षर करने की आवश्यकता है। संख्याओं की यह श्रृंखला तब निकलेगी जब हम प्रत्येक संख्या को पहली पंक्ति में स्वयं में जोड़ देंगे। संख्याओं की दूसरी पंक्ति से हम क्रमिक रूप से 3, 4, आदि पर जाते हैं। प्रत्येक अनुवर्ती पंक्ति में पहली पंक्ति की संख्याओं को जोड़कर प्राप्त की जाती है।

पंक्ति 9 तक ऐसा करना जारी रखते हुए, हमें पाइथागोरस तालिका निम्न रूप में प्राप्त होती है

इस तालिका से दो एकल-अंकीय संख्याओं के गुणनफल को खोजने के लिए, आपको पहली क्षैतिज पंक्ति में एक निर्माता को खोजने की आवश्यकता है, और दूसरे को पहले ऊर्ध्वाधर कॉलम में; तो वांछित उत्पाद संबंधित कॉलम और पंक्ति के चौराहे पर होगा। इस प्रकार, गुणनफल 6 × 7 = 42 छठी पंक्ति और 7वें स्तंभ के प्रतिच्छेदन पर है। किसी संख्या के शून्य गुणा और एक संख्या के शून्य के गुणनफल से हमेशा शून्य प्राप्त होता है।

चूँकि किसी संख्या का 1 से गुणनफल स्वयं ही संख्या देता है, और कारकों के क्रम को उलटने से गुणनफल नहीं बदलता है, तो दो एकल-अंकीय संख्याओं के सभी विभिन्न उत्पाद जिन पर आपको ध्यान देना चाहिए, वे निम्न तालिका में हैं:

इस तालिका में शामिल एकल-अंकीय संख्याओं के उत्पाद डेटा से प्राप्त किए जाते हैं, यदि उनमें केवल गुणक का क्रम बदल दिया जाता है; तो 9 x 4 = 4 x 9 = 36.

बहु-अंकीय संख्या का एकल-अंकीय संख्या से गुणा

संख्या 8094 का 3 से गुणा गुणक के नीचे गुणक पर हस्ताक्षर करके, गुणन चिह्न को बाईं ओर लगाकर और उत्पाद को अलग करने के लिए एक रेखा खींचकर इंगित किया जाता है।

बहु-अंकीय संख्या 8094 को 3 से गुणा करने का अर्थ है तीन समान पदों का योग ज्ञात करना

इसलिए, गुणा के लिए, आपको एक बहु-अंकीय संख्या के सभी आदेशों को तीन बार दोहराने की आवश्यकता है, अर्थात, 3 इकाइयों, दहाई, सैकड़ों, आदि से गुणा करें। जोड़ एक से शुरू होता है, इसलिए, गुणा भी एक से शुरू होना चाहिए, और फिर से जाओ दायाँ हाथउच्च क्रम इकाइयों के लिए बाईं ओर।

इस मामले में, गणना का कोर्स मौखिक रूप से व्यक्त किया जाता है:

    हम इकाइयों के साथ गुणा शुरू करते हैं: 3 × 4 है 12, हम इकाई 2 के तहत हस्ताक्षर करते हैं, और हम अगले क्रम के गुणनफल पर इकाई (1 दस) को गुणनखंड द्वारा लागू करते हैं (या इसे अपने दिमाग में याद रखें)।

    दसियों को गुणा करना: 3 × 9 27 है, हाँ 1 मन में 28 है; हम दहाई 8 और 2 को ध्यान में रखकर हस्ताक्षर करते हैं।

    सैकड़ों गुणा करना: जीरो को 3 से गुणा करने पर जीरो मिलता है, हां 2 दिमाग में 2 होगा, हम सैकड़ा 2 के नीचे साइन करते हैं।

    हजारों गुणा करना: 3 × 8 = 24, हम पूर्ण रूप से 24 पर हस्ताक्षर करते हैं, क्योंकि हमारे पास निम्नलिखित आदेश नहीं हैं।

यह क्रिया लिखित रूप में व्यक्त की जाएगी:

पिछले उदाहरण से, हम घटाते हैं अगला नियम. बहु-अंकीय संख्या को एकल-अंकीय संख्या से गुणा करने के लिए, आपको चाहिए:

    गुणक की इकाइयों के नीचे गुणक पर हस्ताक्षर करें, गुणन चिह्न को बाईं ओर रखें और एक रेखा खींचें।

    गुणन प्रारंभ . से सरल इकाइयाँ, फिर, दाहिने हाथ से बायीं ओर बढ़ते हुए, वे क्रमिक रूप से दसियों, सैकड़ों, हजारों आदि को गुणा करते हैं।

    यदि गुणन के दौरान गुणनफल को एकल अंकों की संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता है, तो यह गुणक के गुणा अंक के तहत हस्ताक्षरित होता है।

    यदि उत्पाद को दो अंकों की संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता है, तो इकाइयों के अंक को उसी कॉलम के तहत हस्ताक्षरित किया जाता है, और दहाई अंक को कारक द्वारा अगले क्रम के उत्पाद में जोड़ा जाता है।

    गुणन तब तक जारी रहता है जब तक कि पूर्ण उत्पाद प्राप्त न हो जाए।

संख्याओं को 10, 100, 1000 से गुणा करने पर...

संख्याओं को 10 से गुणा करने का अर्थ है साधारण इकाइयों को दहाई, दहाई को सैकड़ा आदि में बदलना, यानी सभी अंकों के क्रम को एक से बढ़ाना। यह दाईं ओर एक शून्य जोड़कर प्राप्त किया जाता है। 100 से गुणा करने का अर्थ है गुणक के सभी आदेशों को दो इकाइयों से बढ़ाना, यानी इकाइयों को सैकड़ों में, दसियों को हजारों में बदलना आदि।

यह संख्या को दो शून्य बताकर प्राप्त किया जाता है।

इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं:

किसी पूर्णांक को 10, 100, 1000 और सामान्यत: 1 से शून्य से गुणा करने के लिए, आपको दायीं ओर उतने ही शून्य देने होंगे जितने गुणक में हैं।

संख्या 6035 को 1000 से गुणा करना लिखित रूप में व्यक्त किया जाएगा:

जब गुणक शून्य में समाप्त होने वाली संख्या होती है, तो गुणक के तहत केवल महत्वपूर्ण अंकों पर हस्ताक्षर किए जाते हैं, और गुणक के शून्य को दाईं ओर जिम्मेदार ठहराया जाता है।

2039 को 300 से गुणा करने के लिए, आपको संख्या 2029 को 300 गुना के रूप में लेना होगा। 300 पद लेना तीन गुणा 100 पद या 100 गुणा तीन पद लेने के समान है। ऐसा करने के लिए, हम संख्या को 3 से गुणा करते हैं, और फिर 100 से, या हम पहले 3 से गुणा करते हैं, और फिर हम दो शून्य को दाईं ओर रखते हैं।

गणना के पाठ्यक्रम को लिखित रूप में व्यक्त किया जाएगा:

नियम. एक संख्या को दूसरे से गुणा करने के लिए, शून्य के साथ एक अंक द्वारा दर्शाया गया है, आपको पहले गुणक को एक महत्वपूर्ण अंक द्वारा व्यक्त की गई संख्या से गुणा करना होगा, और फिर उतने ही शून्य निर्दिष्ट करना होगा जितने गुणक में हैं।

एक बहु-अंकीय संख्या को एक बहु-अंकीय संख्या से गुणा करना

एक बहु-अंकीय संख्या 3029 को बहु-अंकीय संख्या 429 से गुणा करने के लिए, या गुणनफल 3029 * 429 खोजने के लिए, आपको 3029 पदों को 429 बार दोहराना होगा और योग ज्ञात करना होगा। 3029 पदों को 429 बार दोहराने का अर्थ है इसके पदों को पहले 9, फिर 20 और अंत में 400 बार दोहराना। इसलिए, 3029 को 429 से गुणा करने के लिए, आपको 3029 को पहले 9 से, फिर 20 से और अंत में 400 से गुणा करना होगा और इन तीन उत्पादों का योग ज्ञात करना होगा।

तीन काम

बुलाया निजी कार्य.

3029 × 429 का पूर्ण गुणनफल तीन भागफलों के योग के बराबर होता है:

3029 x 429 = 3029 x 9 + 3029 x 20 + 3029 x 400।

आइए हम इन तीन आंशिक उत्पादों के मूल्यों का पता लगाएं।

    3029 को 9 से गुणा करने पर, हम पाते हैं:

    3029 ×9 27261 पहला निजी काम

    3029 को 20 से गुणा करने पर, हम पाते हैं:

    3029 × 20 60580 दूसरा निजी कार्य

    3026 को 400 से गुणा करने पर हम पाते हैं:

    3029 ×400 1211600 तीसरा निजी कार्य

इन आंशिक उत्पादों को जोड़ने पर, हमें उत्पाद 3029 × 429 मिलता है:

यह देखना कठिन नहीं है कि ये सभी आंशिक उत्पाद संख्या 3029 by . के उत्पाद हैं एकल अंक 9, 2, 4, और एक शून्य को दूसरे उत्पाद के लिए जिम्मेदार ठहराया जाता है, जो दसियों से गुणा और दो शून्य से तीसरे तक आता है।

आंशिक उत्पादों के लिए जिम्मेदार शून्य गुणन के दौरान छोड़े जाते हैं और गणना प्रक्रिया लिखित रूप में व्यक्त की जाती है:

इस मामले में, जब 2 (गुणक के दहाई का अंक) से गुणा किया जाता है, तो वे दहाई के नीचे 8 पर हस्ताक्षर करते हैं, या एक अंक से बाईं ओर पीछे हट जाते हैं; जब सैकड़ों अंक 4 से गुणा किया जाता है, तो तीसरे कॉलम में 6 पर हस्ताक्षर करें, या 2 अंकों से पीछे हटें। सामान्य तौर पर, प्रत्येक निजी कार्य पर दाहिने हाथ से बाईं ओर हस्ताक्षर किए जाने लगते हैं, जिस क्रम में गुणक अंक होता है।

209 तक 3247 के गुणनफल की तलाश में, हमारे पास है:

यहां हम तीसरे कॉलम के तहत दूसरे आंशिक उत्पाद पर हस्ताक्षर करना शुरू करते हैं, क्योंकि यह गुणक के तीसरे अंक 3247 के गुणनफल को 2 से व्यक्त करता है।

हमने यहां केवल दो शून्य छोड़े हैं जो दूसरे आंशिक उत्पाद में दिखाई देने चाहिए थे, क्योंकि यह किसी संख्या के उत्पाद को 2 सैकड़ों या 200 से व्यक्त करता है।

जो कहा गया है, उससे हम नियम निकालते हैं। एक बहु-अंकीय संख्या को एक बहु-अंकीय संख्या से गुणा करने के लिए,

    आपको गुणक के नीचे गुणक पर हस्ताक्षर करने की आवश्यकता है ताकि समान क्रम की संख्याएँ एक ही ऊर्ध्वाधर कॉलम में हों, गुणा चिह्न को बाईं ओर रखें और एक रेखा खींचें।

    गुणन सरल इकाइयों से शुरू होता है, फिर वे दाहिने हाथ से बाईं ओर चलते हैं, लगातार गुणक को दहाई, सैकड़ों आदि के अंकों से गुणा करते हैं और जितने आंशिक उत्पाद बनाते हैं महत्वपूर्ण आंकड़ेगुणक में।

    प्रत्येक निजी उत्पाद की इकाइयों को उस कॉलम के तहत हस्ताक्षरित किया जाता है जिससे गुणक अंक संबंधित होता है।

    इस तरह से मिलने वाले सभी निजी कार्यों को एक साथ जोड़ा जाता है और कुल मिलाकर एक उत्पाद प्राप्त होता है।

एक बहु-अंकीय संख्या को शून्य में समाप्त होने वाले कारक से गुणा करने के लिए, आपको गुणनखंड में शून्य को त्यागना होगा, शेष संख्या से गुणा करना होगा, और फिर गुणनफल में उतने ही शून्य जोड़ना होगा जितने गुणनखंड में हैं।

उदाहरण. 342 बटा 2700 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

यदि गुणक और गुणक दोनों शून्य में समाप्त होते हैं, तो उन्हें गुणा के दौरान छोड़ दिया जाता है और फिर उत्पाद में उतने ही शून्य जोड़े जाते हैं जितने दोनों उत्पादकों में होते हैं।

उदाहरण. 2700 के गुणनफल को 35000 से परिकलित करते हुए, हम 27 को 35 . से गुणा करते हैं

पांच शून्य को 945 पर निर्दिष्ट करते हुए, हमें वांछित उत्पाद मिलता है:

2700 × 35000 = 9450000।

उत्पाद के अंकों की संख्या. उत्पाद 3728 × 496 के अंकों की संख्या निम्नानुसार निर्धारित की जा सकती है। यह गुणनफल 3728 × 100 से अधिक और 3728 × 1000 से कम है। पहले गुणन 6 के अंकों की संख्या गुणक 3728 में अंकों की संख्या के बराबर है और गुणक में बिना एकता के 496 है। दूसरे गुणनफल 7 के अंकों की संख्या गुणक और गुणक में अंकों की संख्या के बराबर होती है। 3728 × 496 के दिए गए उत्पाद में 6 अंकों से कम नहीं हो सकता है (उत्पाद के अंकों की संख्या 3728 × 100 है, और 7 से अधिक है (उत्पाद के अंकों की संख्या 3728 × 1000 है)।

हम कहाँ निष्कर्ष निकालते हैं: किसी भी उत्पाद के अंकों की संख्या या तो गुणक और गुणनखंड में अंकों की संख्या के बराबर होती है, या एकता के बिना इस संख्या के बराबर होती है.

हमारे उत्पाद में या तो 7 या 6 अंक हो सकते हैं।

डिग्री

विभिन्न कार्यों के बीच लायक विशेष ध्यानजहां निर्माता बराबर हैं। उदाहरण के लिए:

2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9.

वर्गों. दो समान गुणनखंडों के गुणनफल को किसी संख्या का वर्ग कहते हैं।

हमारे उदाहरणों में 4 वर्ग 2 है, 9 वर्ग 3 है।

क्यूबा. तीन समान गुणनखंडों के गुणनफल को किसी संख्या का घन कहते हैं।

तो, उदाहरणों में 2 × 2 × 2 = 8, 3 × 3 × 3 = 27, संख्या 8 2 का घन है, 27 3 का घन है।

सामान्यतया कई समान कारकों के उत्पाद को कहा जाता हैसंख्या की डिग्री . डिग्रियों को उनके नाम समान कारकों की संख्या से मिलते हैं।

दो समान कारकों के उत्पाद या वर्गोंबुलाया दूसरी डिग्री.

तीन समान कारकों के उत्पाद या क्यूब्सबुलाया तीसरी डिग्री, आदि।

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