ऊर्जा समीकरण, इसके गुण और ग्राफ डेमो सामग्रीपाठ-व्याख्यान समारोह की अवधारणा। समारोह गुण। पावर फंक्शन, इसके गुण और ग्राफ। ग्रेड 10 सर्वाधिकार सुरक्षित। कॉपीराइट के साथ कॉपीराइट

पाठ प्रगति: दोहराव। समारोह। समारोह गुण। नई सामग्री सीखना। 1. एक शक्ति समारोह की परिभाषा एक शक्ति समारोह की परिभाषा। 2. शक्ति कार्यों के गुण और रेखांकन। शक्ति कार्यों के गुण और रेखांकन। अध्ययन सामग्री का समेकन। मौखिक गणना। मौखिक गणना। पाठ का सारांश। गृहकार्य, गृहकार्य।

फ़ंक्शन का डोमेन और रेंज स्वतंत्र चर के सभी मान फ़ंक्शन का डोमेन बनाते हैं x y=f(x) f फ़ंक्शन का डोमेन फ़ंक्शन का डोमेन सभी मान जो आश्रित चर फ़ंक्शन का डोमेन बनाते हैं समारोह। समारोह गुण

फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक फ़ंक्शन दिया जाता है जहां xY y x.75 3 0.6 4 0.5 फ़ंक्शन का ग्राफ समन्वय विमान के सभी बिंदुओं का सेट होता है, जिनमें से एब्सिसास तर्क के मूल्यों के बराबर होते हैं, और निर्देशांक फ़ंक्शन के संगत मानों के बराबर हैं। समारोह। समारोह गुण

Y x फलन की परिभाषा और परिसर का क्षेत्र 4 y=f(x) फलन का क्षेत्र: फलन का प्रांत: फलन। समारोह गुण

सम फलन y x y=f(x) ग्राफ यहां तक ​​कि समारोह y-अक्ष के बारे में सममित फलन y=f(x) को तब भी कहा जाता है, भले ही f(-x) = f(x) किसी भी x के लिए फलन फलन के प्रांत से हो। समारोह गुण

विषम फलन y x y=f(x) ग्राफ पुराना फंक्शनमूल O(0;0) के संबंध में सममित फलन y=f(x) को विषम कहा जाता है यदि फलन फलन के प्रांत से किसी x के लिए f(-x) = -f(x) हो। समारोह गुण

पावर फ़ंक्शन की परिभाषा एक फ़ंक्शन, जहां p एक वास्तविक संख्या है, पावर फ़ंक्शन कहलाता है। पी वाई \u003d एक्स पी पी \u003d एक्स वाई 0 पाठ प्रगति

पावर फ़ंक्शन x y 1. परिभाषा का डोमेन और फॉर्म के पावर फ़ंक्शंस के मानों की श्रेणी, जहां n है प्राकृतिक संख्या, सभी वास्तविक संख्याएँ हैं। 2. ये फलन विषम हैं। उनका ग्राफ मूल के संबंध में सममित है। पावर फंक्शन गुण और भूखंड

परिभाषा के एक तर्कसंगत सकारात्मक घातांक के साथ शक्ति कार्य करता है - सभी सकारात्मक संख्याऔर संख्या 0. ऐसे घातांक वाले फलनों का परिसर भी सभी धनात्मक संख्याएँ और संख्या 0 है। ये फलन न तो सम और न ही विषम हैं। y x पावर फंक्शन के गुण और रेखांकन

तर्कसंगत के साथ पावर फ़ंक्शन नकारात्मक संकेतक. परिभाषा का क्षेत्र और ऐसे कार्यों की सीमा सभी सकारात्मक संख्याएं हैं। कार्य न तो सम हैं और न ही विषम। इस तरह के कार्य उनकी परिभाषा के पूरे क्षेत्र में घटते हैं। y x पावर फ़ंक्शन के गुण और ग्राफ़ पाठ प्रगति

1. पावर फंक्शन, इसके गुण और ग्राफ;

2. परिवर्तन:

समानांतर स्थानांतरण;

समन्वय अक्षों के बारे में समरूपता;

उत्पत्ति के बारे में समरूपता;

रेखा y = x के बारे में सममिति;

समन्वय अक्षों के साथ खिंचाव और सिकुड़ना।

3. एक घातीय कार्य, इसके गुण और ग्राफ, समान परिवर्तन;

4. लघुगणक फलन, इसके गुण और ग्राफ;

5. त्रिकोणमितीय फलन, इसके गुण और ग्राफ, समान परिवर्तन (y = sin x; y = cos x; y = tg x);

फलन: y = x\n - इसके गुण और ग्राफ।

पावर फंक्शन, इसके गुण और ग्राफ

y \u003d x, y \u003d x 2, y \u003d x 3, y \u003d 1 / xआदि। ये सभी फ़ंक्शन पावर फ़ंक्शन, यानी फ़ंक्शन के विशेष मामले हैं वाई = एक्सपीजहाँ p एक वास्तविक संख्या है।
एक शक्ति फ़ंक्शन के गुण और ग्राफ अनिवार्य रूप से एक वास्तविक घातांक के साथ एक शक्ति के गुणों पर और विशेष रूप से उन मूल्यों पर निर्भर करते हैं जिनके लिए एक्सऔर पीसमझ में आता है एक्सपी. आइए इसी तरह के विचार पर चलते हैं। विभिन्न अवसरनिर्भर करना
प्रतिपादक पी।

1. सूचक पी = 2एनएक सम प्राकृत संख्या है।

y=x2n, कहाँ पे एनएक प्राकृतिक संख्या है और इसमें निम्नलिखित गुण हैं:

• परिभाषा का क्षेत्र सभी वास्तविक संख्याएँ हैं, अर्थात् समुच्चय R;
• मूल्यों का समूह - गैर-ऋणात्मक संख्या, यानी y 0 से बड़ा या उसके बराबर है;
• समारोह y=x2nयहां तक ​​कि, क्योंकि एक्स 2एन = (-एक्स) 2एन
• समारोह अंतराल पर घट रहा है एक्स< 0 और अंतराल पर बढ़ रहा है एक्स > 0.

फंक्शन ग्राफ y=x2nएक ही रूप है, उदाहरण के लिए, किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ वाई = x4.

2. संकेतक पी = 2एन - 1- विषम प्राकृतिक संख्या

इस मामले में, शक्ति समारोह वाई = x2n-1, जहां एक प्राकृतिक संख्या है, निम्नलिखित गुण हैं:

• परिभाषा का क्षेत्र - सेट आर;
• मूल्यों का सेट - आर सेट करें;
• समारोह वाई = x2n-1अजीब है क्योंकि (- एक्स) 2एन-1= एक्स 2एन-1;
• संपूर्ण वास्तविक अक्ष पर फलन बढ़ रहा है।

फंक्शन ग्राफ वाई = x2n-1 वाई = x3.

3. संकेतक पी=-2एन, कहाँ पे एन-प्राकृतिक संख्या।

इस मामले में, शक्ति समारोह y=x-2n=1/x2nनिम्नलिखित गुण हैं:

• मूल्यों का सेट - सकारात्मक संख्या y>0;
• समारोह y = 1/x2nयहां तक ​​कि, क्योंकि 1/(-x) 2n= 1/x2n;
• अंतराल x0 पर फलन बढ़ रहा है।

फंक्शन का ग्राफ y = 1/x2nएक ही रूप है, उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन y . का ग्राफ = 1/x2.

4. संकेतक पी = -(2एन-1), कहाँ पे एन- प्राकृतिक संख्या।
इस मामले में, शक्ति समारोह y=x-(2n-1)निम्नलिखित गुण हैं:

• x = 0 को छोड़कर, परिभाषा का क्षेत्र समुच्चय R है;
• मानों का सेट - y = 0 को छोड़कर, R सेट करें;
• समारोह y=x-(2n-1)अजीब है क्योंकि (- एक्स)-(2एन-1) = -एक्स-(2एन-1);
• समारोह अंतराल पर घट रहा है एक्स< 0 और एक्स > 0.

फंक्शन ग्राफ y=x-(2n-1)एक ही रूप है, उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन का ग्राफ वाई = 1/x3.

विधिवत सामग्रीकेवल संदर्भ के लिए है और पर लागू होता है एक विस्तृत श्रृंखलाविषय। लेख मुख्य प्राथमिक कार्यों के रेखांकन का अवलोकन प्रदान करता है और मानता है सबसे महत्वपूर्ण प्रश्न – कैसे सही ढंग से और तेजी से एक ग्राफ बनाने के लिए. अध्ययन के दौरान उच्च गणितबुनियादी प्राथमिक कार्यों के ग्राफ़ को जाने बिना, यह मुश्किल होगा, इसलिए यह याद रखना बहुत महत्वपूर्ण है कि परवलय, हाइपरबोला, साइन, कोसाइन आदि के ग्राफ़ क्या दिखते हैं, कुछ फ़ंक्शन मान याद रखें। हम मुख्य कार्यों के कुछ गुणों के बारे में भी बात करेंगे।

मैं पूर्ण और वैज्ञानिक रूप से संपूर्ण सामग्री होने का दिखावा नहीं करता, सबसे पहले अभ्यास पर जोर दिया जाएगा - वे चीजें जिनके साथ उच्च गणित के किसी भी विषय में हर कदम पर शाब्दिक रूप से सामना करना पड़ता है. डमी के लिए चार्ट? आप ऐसा कह सकते हैं।

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गंभीरता से, छह, मैं भी खुद हैरान था। यह सारइसमें बेहतर ग्राफिक्स हैं और यह मामूली शुल्क पर उपलब्ध है, एक डेमो संस्करण देखा जा सकता है। फ़ाइल को प्रिंट करना सुविधाजनक है ताकि ग्राफ़ हमेशा हाथ में रहे। परियोजना का समर्थन करने के लिए धन्यवाद!

और हम तुरंत शुरू करते हैं:

समन्वय अक्षों को सही तरीके से कैसे बनाया जाए?

व्यवहार में, परीक्षण लगभग हमेशा छात्रों द्वारा अलग-अलग नोटबुक में तैयार किए जाते हैं, जो एक पिंजरे में पंक्तिबद्ध होते हैं। आपको चेकर्ड चिह्नों की आवश्यकता क्यों है? आखिरकार, काम, सिद्धांत रूप में, ए 4 शीट पर किया जा सकता है। और पिंजरा केवल चित्र के उच्च-गुणवत्ता और सटीक डिजाइन के लिए आवश्यक है।

फ़ंक्शन ग्राफ़ का कोई भी आरेखण निर्देशांक अक्षों से प्रारंभ होता है.

चित्र द्वि-आयामी और त्रि-आयामी हैं।

आइए पहले द्वि-आयामी मामले पर विचार करें काटीज़ियन आयताकार प्रणाली COORDINATES:

1) हम आकर्षित करते हैं समायोजन ध्रुव. अक्ष कहा जाता है X- अक्ष , और अक्ष शाफ़्ट . हम हमेशा उन्हें खींचने की कोशिश करते हैं साफ और कुटिल नहीं. तीर भी पापा कार्लो की दाढ़ी से मिलते जुलते नहीं होने चाहिए।

2) हम कुल्हाड़ियों पर हस्ताक्षर करते हैं बड़े अक्षर"एक्स" और "वाई"। कुल्हाड़ियों पर हस्ताक्षर करना न भूलें.

3) कुल्हाड़ियों के साथ स्केल सेट करें: शून्य और दो ड्रा करें. ड्राइंग बनाते समय, सबसे सुविधाजनक और सामान्य पैमाना है: 1 यूनिट = 2 सेल (बाईं ओर ड्राइंग) - यदि संभव हो तो उससे चिपके रहें। हालांकि, समय-समय पर ऐसा होता है कि ड्राइंग एक नोटबुक शीट पर फिट नहीं होती है - फिर हम स्केल को कम करते हैं: 1 यूनिट = 1 सेल (दाईं ओर ड्राइंग)। शायद ही कभी, लेकिन ऐसा होता है कि ड्राइंग के पैमाने को और भी कम करना (या बढ़ाना) है

मशीन गन से स्क्रिबल न करें ... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ....के लिए विमान का समन्वयडेसकार्टेस का स्मारक नहीं है, और छात्र कबूतर नहीं है। हम डालते है शून्यऔर कुल्हाड़ियों के साथ दो इकाइयाँ. कभी-कभी के बजायइकाइयाँ, अन्य मानों का "पता लगाना" सुविधाजनक है, उदाहरण के लिए, एब्सिस्सा अक्ष पर "दो" और समन्वय अक्ष पर "तीन" - और यह प्रणाली (0, 2 और 3) भी विशिष्ट रूप से समन्वय ग्रिड सेट करेगी।

ड्राइंग तैयार करने से पहले ड्राइंग के अनुमानित आयामों का अनुमान लगाना बेहतर होता है।. इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि कार्य को शीर्षों के साथ एक त्रिभुज बनाने की आवश्यकता है, तो यह बिल्कुल स्पष्ट है कि लोकप्रिय पैमाने 1 इकाई = 2 सेल काम नहीं करेंगे। क्यों? आइए बिंदु को देखें - यहां आपको पंद्रह सेंटीमीटर नीचे मापना है, और, जाहिर है, ड्राइंग एक नोटबुक शीट पर फिट नहीं होगी (या मुश्किल से फिट)। इसलिए, हम तुरंत एक छोटे पैमाने के 1 इकाई = 1 सेल का चयन करते हैं।

वैसे, लगभग सेंटीमीटर और नोटबुक सेल। क्या यह सच है कि 30 नोटबुक सेल में 15 सेंटीमीटर होते हैं? एक शासक के साथ 15 सेंटीमीटर ब्याज के लिए एक नोटबुक में मापें। यूएसएसआर में, शायद यह सच था ... यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि यदि आप इन समान सेंटीमीटर को क्षैतिज और लंबवत रूप से मापते हैं, तो परिणाम (कोशिकाओं में) अलग होंगे! कड़ाई से बोलते हुए, आधुनिक नोटबुक चेकर नहीं हैं, लेकिन आयताकार हैं। यह बकवास लग सकता है, लेकिन उदाहरण के लिए, ऐसी स्थितियों में कम्पास के साथ एक वृत्त खींचना बहुत असुविधाजनक है। ईमानदार होने के लिए, ऐसे क्षणों में आप कॉमरेड स्टालिन की शुद्धता के बारे में सोचना शुरू कर देते हैं, जिन्हें उत्पादन में हैक के काम के लिए शिविरों में भेजा गया था, न कि घरेलू मोटर वाहन उद्योग, गिरने वाले विमानों या बिजली संयंत्रों में विस्फोट का उल्लेख करने के लिए।

गुणवत्ता की बात कर रहे हैं, या संक्षिप्त अनुशंसास्टेशनरी द्वारा। आज तक, अधिकांश नोटबुक बिक्री पर हैं, गालीउल्लेख नहीं करने के लिए, पूर्ण बकवास। इस कारण से कि वे गीले हो जाते हैं, और न केवल जेल पेन से, बल्कि बॉलपॉइंट पेन से भी! कागज पर सहेजें। निकासी के लिए नियंत्रण कार्यमैं आर्कान्जेस्क पल्प और पेपर मिल (18 शीट, पिंजरा) या प्याटेरोचका की नोटबुक का उपयोग करने की सलाह देता हूं, हालांकि यह अधिक महंगा है। जेल पेन चुनने की सलाह दी जाती है, यहां तक ​​​​कि सबसे सस्ता चीनी जेल रीफिल भी बॉलपॉइंट पेन से काफी बेहतर है, जो या तो स्मीयर करता है या पेपर फाड़ता है। केवल "प्रतिस्पर्धी" बॉलपॉइंट कलममेरी याद में "एरिच क्रूस" है। वह स्पष्ट रूप से, खूबसूरती से और दृढ़ता से लिखती है - या तो एक पूर्ण तने के साथ, या लगभग खाली के साथ।

इसके साथ ही: आंखों से एक आयताकार समन्वय प्रणाली देखना विश्लेषणात्मक ज्यामितिलेख में शामिल वैक्टर की रैखिक (गैर) निर्भरता। वेक्टर आधार, विस्तार में जानकारीके विषय में समन्वय क्वार्टरपाठ के दूसरे पैराग्राफ में पाया जा सकता है रैखिक असमानताएं.

3डी केस

यहां भी लगभग ऐसा ही है।

1) हम निर्देशांक अक्ष खींचते हैं। मानक: अनुप्रयुक्त अक्ष - ऊपर की ओर निर्देशित, अक्ष - दाईं ओर निर्देशित, अक्ष - नीचे की ओर बाईं ओर कठोरता से 45 डिग्री के कोण पर।

2) हम कुल्हाड़ियों पर हस्ताक्षर करते हैं।

3) कुल्हाड़ियों के साथ स्केल सेट करें। अक्ष के साथ स्केल - अन्य अक्षों के साथ स्केल से दो गुना छोटा. यह भी ध्यान दें कि सही ड्राइंग में, मैंने अक्ष के साथ एक गैर-मानक "सेरिफ़" का उपयोग किया था (इस संभावना का पहले ही ऊपर उल्लेख किया जा चुका है). मेरे दृष्टिकोण से, यह अधिक सटीक, तेज और अधिक सौंदर्यवादी रूप से मनभावन है - आपको माइक्रोस्कोप के तहत सेल के मध्य को देखने की आवश्यकता नहीं है और इकाई को मूल तक "मूर्तिकला" करना है।

3D आरेखण दोबारा करते समय - पैमाने को प्राथमिकता दें
1 इकाई = 2 कक्ष (बाईं ओर आरेखण)।

ये सभी नियम किस लिए हैं? नियम तोड़े जाने हैं। मैं अब क्या करुंगा। तथ्य यह है कि लेख के बाद के चित्र मेरे द्वारा एक्सेल में बनाए जाएंगे, और समन्वय कुल्हाड़ियों के दृष्टिकोण से गलत दिखेंगे सही डिजाइन. मैं सभी रेखांकन हाथ से खींच सकता था, लेकिन उन्हें खींचना वास्तव में डरावना है, क्योंकि एक्सेल उन्हें और अधिक सटीक रूप से खींचने के लिए अनिच्छुक है।

प्राथमिक कार्यों के रेखांकन और बुनियादी गुण

रैखिक कार्य समीकरण द्वारा दिया गया है। रैखिक फलन ग्राफ है सीधे. एक सीधी रेखा बनाने के लिए, दो बिंदुओं को जानना पर्याप्त है।

उदाहरण 1

फ़ंक्शन प्लॉट करें। आइए दो बिंदु खोजें। शून्य को एक अंक के रूप में चुनना फायदेमंद है।

तो अगर

हम एक और बात लेते हैं, उदाहरण के लिए, 1.

तो अगर

कार्य तैयार करते समय, बिंदुओं के निर्देशांक आमतौर पर एक तालिका में संक्षेपित किए जाते हैं:

और मूल्यों की गणना स्वयं मौखिक रूप से या ड्राफ्ट, कैलकुलेटर पर की जाती है।

दो बिंदु पाए जाते हैं, आइए ड्रा करें:

ड्राइंग बनाते समय, हम हमेशा ग्राफिक्स पर हस्ताक्षर करते हैं.

रैखिक फ़ंक्शन के विशेष मामलों को याद करना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा:

ध्यान दें कि मैंने कैप्शन कैसे रखा, ड्राइंग का अध्ययन करते समय हस्ताक्षर अस्पष्ट नहीं होने चाहिए. पर इस मामले मेंलाइनों के प्रतिच्छेदन बिंदु के बगल में, या ग्राफ़ के बीच नीचे दाईं ओर हस्ताक्षर करना बेहद अवांछनीय था।

1) फॉर्म () के एक रैखिक कार्य को प्रत्यक्ष आनुपातिकता कहा जाता है। उदाहरण के लिए, । प्रत्यक्ष आनुपातिकता ग्राफ हमेशा मूल बिंदु से होकर गुजरता है। इस प्रकार, एक सीधी रेखा का निर्माण सरल है - यह केवल एक बिंदु खोजने के लिए पर्याप्त है।

2) रूप का एक समीकरण अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है, विशेष रूप से, अक्ष स्वयं समीकरण द्वारा दिया जाता है। फ़ंक्शन का ग्राफ़ बिना किसी बिंदु को खोजे तुरंत बनाया जाता है। यानी प्रविष्टि को इस प्रकार समझा जाना चाहिए: "y हमेशा -4 के बराबर होता है, x के किसी भी मान के लिए।"

3) रूप का एक समीकरण अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है, विशेष रूप से, अक्ष स्वयं समीकरण द्वारा दिया जाता है। फ़ंक्शन का ग्राफ भी तुरंत बनाया जाता है। प्रविष्टि को इस प्रकार समझा जाना चाहिए: "x हमेशा, y के किसी भी मान के लिए, 1 के बराबर होता है।"

कुछ लोग पूछेंगे, अच्छा, छठी कक्षा क्यों याद है?! ऐसा ही है, शायद ऐसा है, केवल अभ्यास के वर्षों के दौरान मैं एक दर्जन अच्छे छात्रों से मिला, जो या जैसे ग्राफ के निर्माण के कार्य से चकित थे।

चित्र बनाते समय एक सीधी रेखा खींचना सबसे आम क्रिया है।

विश्लेषणात्मक ज्यामिति के पाठ्यक्रम में सीधी रेखा पर विस्तार से चर्चा की गई है, और जो लोग चाहें वे लेख का उल्लेख कर सकते हैं समतल पर एक सीधी रेखा का समीकरण.

द्विघात फलन ग्राफ, घन फलन ग्राफ, बहुपद ग्राफ

परवलय। अनुसूची द्विघात फंक्शन () एक परवलय है। विचार करना प्रसिद्ध मामला:

आइए फ़ंक्शन के कुछ गुणों को याद करें।

तो, हमारे समीकरण का हल: - यह इस बिंदु पर है कि परवलय का शीर्ष स्थित है। ऐसा क्यों है यह व्युत्पन्न पर सैद्धांतिक लेख और फ़ंक्शन के चरम पर पाठ से सीखा जा सकता है। इस बीच, हम "y" के संगत मान की गणना करते हैं:

तो शीर्ष बिंदु पर है

अब हम अन्य बिंदुओं को ढूंढते हैं, जबकि परवलय की समरूपता का निर्लज्जतापूर्वक उपयोग करते हुए। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि समारोह – सम नहीं है, लेकिन, फिर भी, किसी ने परवलय की समरूपता को रद्द नहीं किया।

शेष अंक किस क्रम में ज्ञात करें, मुझे लगता है कि यह अंतिम तालिका से स्पष्ट होगा:

यह एल्गोरिथमनिर्माण को आलंकारिक रूप से "शटल" या अनफिसा चेखोवा के साथ "आगे और पीछे" का सिद्धांत कहा जा सकता है।

आइए एक चित्र बनाएं:

माना रेखांकन से, एक और उपयोगी विशेषता दिमाग में आती है:

द्विघात फलन के लिए () निम्नलिखित सत्य है:

यदि , तो परवलय की शाखाएं ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं.

यदि , तो परवलय की शाखाओं को नीचे की ओर निर्देशित किया जाता है.

वक्र का गहन ज्ञान हाइपरबोला और परवलय पाठ में प्राप्त किया जा सकता है।

क्यूबिक परवलय फ़ंक्शन द्वारा दिया जाता है। यहाँ स्कूल से परिचित एक चित्र है:

हम फ़ंक्शन के मुख्य गुणों को सूचीबद्ध करते हैं

फंक्शन ग्राफ

यह परवलय की शाखाओं में से एक का प्रतिनिधित्व करता है। आइए एक चित्र बनाएं:

समारोह के मुख्य गुण:

इस मामले में, अक्ष है ऊर्ध्वाधर एसिम्पटोट हाइपरबोला ग्राफ के लिए .

यह एक बहुत बड़ी भूल होगी यदि, चित्र बनाते समय, लापरवाही से, आप ग्राफ़ को स्पर्शोन्मुख के साथ प्रतिच्छेद करने की अनुमति देते हैं।

साथ ही एकतरफा सीमाएं, हमें बताएं कि एक अतिशयोक्ति ऊपर से सीमित नहींऔर नीचे से सीमित नहीं.

आइए अनंत पर फ़ंक्शन का पता लगाएं: यानी, यदि हम अक्ष के साथ बाईं ओर (या दाएं) अनंत तक जाना शुरू करते हैं, तो "खेल" एक पतला कदम होगा असीम रूप से करीबशून्य तक पहुंचें, और, तदनुसार, अतिपरवलय की शाखाएं असीम रूप से करीबधुरी के करीब पहुंचें।

तो अक्ष है समस्तरीय अनंतस्पर्शी रेखा फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए, यदि "x" प्लस या माइनस अनंत की ओर जाता है।

समारोह है अजीब, जिसका अर्थ है कि अतिपरवलय मूल के संबंध में सममित है। इस तथ्यड्राइंग से स्पष्ट है, इसके अलावा, इसे आसानी से विश्लेषणात्मक रूप से सत्यापित किया जा सकता है: .

फॉर्म के एक फ़ंक्शन का ग्राफ () हाइपरबोला की दो शाखाओं का प्रतिनिधित्व करता है.

यदि , तो अतिपरवलय पहले और तीसरे निर्देशांक चतुर्भुज में स्थित है(ऊपर चित्र देखें)।

यदि , तो हाइपरबोला दूसरे और चौथे निर्देशांक चतुर्भुज में स्थित है.

रेखांकन के ज्यामितीय परिवर्तनों के दृष्टिकोण से हाइपरबोला के निवास स्थान की निर्दिष्ट नियमितता का विश्लेषण करना मुश्किल नहीं है।

उदाहरण 3

अतिपरवलय की दाहिनी शाखा की रचना कीजिए

हम बिंदुवार निर्माण पद्धति का उपयोग करते हैं, जबकि मूल्यों का चयन करना फायदेमंद होता है ताकि वे पूरी तरह से विभाजित हो जाएं:

आइए एक चित्र बनाएं:

हाइपरबोला की बाईं शाखा का निर्माण करना मुश्किल नहीं होगा, यहां फ़ंक्शन की विषमता बस मदद करेगी। मोटे तौर पर, बिंदुवार निर्माण की तालिका में, मानसिक रूप से प्रत्येक संख्या में एक माइनस जोड़ें, संबंधित अंक डालें और दूसरी शाखा बनाएं।

माना रेखा के बारे में विस्तृत ज्यामितीय जानकारी हाइपरबोला और परबोला लेख में पाई जा सकती है।

घातांकीय फलन का ग्राफ

पर यह पैराग्राफमैं तुरंत घातीय कार्य पर विचार करूंगा, क्योंकि उच्च गणित की समस्याओं में 95% मामलों में यह घातांक होता है।

मैं आपको याद दिलाता हूं कि यह है अपरिमेय संख्या: , ग्राफ़ बनाते समय इसकी आवश्यकता होगी, जो वास्तव में, मैं बिना समारोह के बनाऊंगा। तीन अंकशायद पर्याप्त:

आइए फ़ंक्शन के ग्राफ़ को अभी के लिए छोड़ दें, इसके बारे में बाद में।

समारोह के मुख्य गुण:

मूल रूप से, कार्यों के रेखांकन समान दिखते हैं, आदि।

मुझे कहना होगा कि दूसरा मामला व्यवहार में कम आम है, लेकिन ऐसा होता है, इसलिए मैंने इसे इस लेख में शामिल करना आवश्यक समझा।

एक लघुगणकीय फलन का ग्राफ

के साथ एक समारोह पर विचार करें प्राकृतिक.
आइए एक रेखा आरेखण करें:

यदि आप भूल गए हैं कि लघुगणक क्या है, तो कृपया स्कूल की पाठ्यपुस्तकें देखें।

समारोह के मुख्य गुण:

कार्यक्षेत्र:

मूल्यों की श्रृंखला: ।

समारोह ऊपर से सीमित नहीं है: , यद्यपि धीरे-धीरे, लेकिन लघुगणक की शाखा अनंत तक जाती है।
आइए हम दायीं ओर शून्य के निकट फलन के व्यवहार की जाँच करें: . तो अक्ष है ऊर्ध्वाधर एसिम्पटोट फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए "x" के साथ दाईं ओर शून्य की ओर झुकाव।

लॉगरिदम के विशिष्ट मूल्य को जानना और याद रखना सुनिश्चित करें: .

मूल रूप से, आधार पर लघुगणक का ग्राफ समान दिखता है: , , ( दशमलव लघुगणकआधार 10 में), आदि। साथ ही, से अधिक आधार, ग्राफ जितना चापलूसी होगा।

हम मामले पर विचार नहीं करेंगे, मुझे याद नहीं है कि कब पिछली बारइस तरह के आधार के साथ एक ग्राफ बनाया। हां, और उच्च गणित की समस्याओं में लघुगणक एक बहुत ही दुर्लभ अतिथि प्रतीत होता है।

पैराग्राफ के अंत में, मैं एक और तथ्य कहूंगा: घातांक प्रकार्यऔर लॉगरिदमिक फ़ंक्शन दो परस्पर हैं उलटा कार्य . यदि आप लघुगणक के ग्राफ को करीब से देखते हैं, तो आप देख सकते हैं कि यह वही घातांक है, बस यह थोड़ा अलग स्थित है।

त्रिकोणमितीय कार्यों के रेखांकन

स्कूल में त्रिकोणमितीय पीड़ा कैसे शुरू होती है? सही ढंग से। साइन से

आइए फ़ंक्शन को प्लॉट करें

यह रेखाबुलाया sinusoid.

मैं आपको याद दिलाता हूं कि "पी" एक अपरिमेय संख्या है: और त्रिकोणमिति में यह आंखों में चकाचौंध कर देता है।

समारोह के मुख्य गुण:

यह समारोहएक नियत कालीनएक अवधि के साथ। इसका क्या मतलब है? आइए कट को देखें। इसके बाईं और दाईं ओर, ग्राफ़ का एक ही टुकड़ा अंतहीन रूप से दोहराता है।

कार्यक्षेत्र: अर्थात, "x" के किसी भी मान के लिए एक ज्या मान होता है।

मूल्यों की श्रृंखला: । समारोह है सीमित: , यानी सभी "खेल" खंड में सख्ती से बैठते हैं।
ऐसा नहीं होता है: या, अधिक सटीक रूप से, ऐसा होता है, लेकिन इन समीकरणों का कोई हल नहीं होता है।

पावर फ़ंक्शन पर विचार करने की सुविधा के लिए, हम 4 अलग-अलग मामलों पर विचार करेंगे: एक पावर फ़ंक्शन जिसके साथ प्राकृतिक संकेतक, पूर्णांक एक्सपोनेंट के साथ पावर फ़ंक्शन, पावर फ़ंक्शन के साथ तर्कसंगत संकेतकऔर शक्ति समारोह के साथ तर्कहीन संकेतक.

प्राकृतिक एक्सपोनेंट के साथ पावर फ़ंक्शन

आरंभ करने के लिए, हम एक प्राकृतिक प्रतिपादक के साथ एक डिग्री की अवधारणा का परिचय देते हैं।

परिभाषा 1

प्राकृतिक घातांक $n$ के साथ एक वास्तविक संख्या $a$ की शक्ति संख्या . है उत्पाद के बराबर$n$ कारक, जिनमें से प्रत्येक संख्या $a$ के बराबर है।

चित्र 1।

$a$ डिग्री का आधार है।

$n$ - प्रतिपादक।

अब एक प्राकृतिक घातांक, उसके गुणों और ग्राफ के साथ एक घात फलन पर विचार करें।

परिभाषा 2

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in N)$ को प्राकृतिक घातांक वाला पावर फंक्शन कहा जाता है।

अधिक सुविधा के लिए, अलग-अलग घातांक $f\left(x\right)=x^(2n)$ और विषम घातांक $f\left(x\right)=x^(2n- के साथ पावर फ़ंक्शन के साथ पावर फ़ंक्शन पर विचार करें। 1)$ ($n\n में)$।

प्राकृतिक सम घातांक के साथ एक शक्ति फलन के गुण

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n)=x^(2n)=f(x)$ एक सम फलन है।

दायरा - $ \

फ़ंक्शन $x\in (-\infty ,0)$ के रूप में घटता है और $x\in (0,+\infty)$ के रूप में बढ़ता है।

$f("")\left(x\right)=(\left(2n\cdot x^(2n-1)\right))"=2n(2n-1)\cdot x^(2(n-1) ))\ge 0$

फ़ंक्शन परिभाषा के पूरे डोमेन पर उत्तल है।

दायरे के अंत में व्यवहार:

\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^( 2n)\ )=+\infty \]

ग्राफ (चित्र 2)।

चित्र 2. फ़ंक्शन का ग्राफ $f\left(x\right)=x^(2n)$

प्राकृतिक विषम घातांक के साथ एक शक्ति फलन के गुण

परिभाषा का क्षेत्र सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ एक विषम फलन है।

$f(x)$ परिभाषा के पूरे डोमेन पर निरंतर है।

रेंज सभी वास्तविक संख्याएं हैं।

$f"\बाएं(x\दाएं)=\बाएं(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

परिभाषा के पूरे क्षेत्र में फ़ंक्शन बढ़ता है।

$f\बाएं(x\दाएं)0$, $x\in (0,+\infty)$ के लिए।

$f(""\बाएं(x\दाएं))=(\बाएं(\बाएं(2n-1\दाएं)\cdot x^(2\बाएं(n-1\दाएं))\दाएं))"=2 \बाएं(2n-1\दाएं)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

फ़ंक्शन $x\in (-\infty ,0)$ के लिए अवतल है और $x\in (0,+\infty)$ के लिए उत्तल है।

ग्राफ (चित्र 3)।

चित्र 3. फ़ंक्शन का ग्राफ $f\left(x\right)=x^(2n-1)$

पूर्णांक घातांक के साथ पावर फ़ंक्शन

आरंभ करने के लिए, हम एक पूर्णांक घातांक के साथ एक डिग्री की अवधारणा का परिचय देते हैं।

परिभाषा 3

डिग्री वास्तविक संख्या$a$ पूर्णांक अनुक्रमणिका के साथ $n$ सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

चित्र 4

अब एक पूर्णांक घातांक के साथ एक घात फलन पर विचार करें, इसके गुण और ग्राफ।

परिभाषा 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ को इंटीजर एक्सपोनेंट वाला पावर फंक्शन कहा जाता है।

यदि डिग्री शून्य से अधिक है, तो हम एक प्राकृतिक घातांक वाले घात फलन के मामले में आते हैं। हम पहले ही ऊपर विचार कर चुके हैं। $n=0$ के लिए हमें मिलता है रैखिक प्रकार्य$वाई = 1$। हम इसका विचार पाठक पर छोड़ते हैं। यह एक नकारात्मक पूर्णांक घातांक के साथ एक शक्ति फ़ंक्शन के गुणों पर विचार करने के लिए बनी हुई है

एक नकारात्मक पूर्णांक घातांक के साथ एक शक्ति समारोह के गुण

दायरा $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$ है।

यदि घातांक सम है, तो फलन सम है, यदि विषम है, तो फलन विषम है।

$f(x)$ परिभाषा के पूरे डोमेन पर निरंतर है।

मूल्य की सीमा:

यदि घातांक सम है, तो $(0,+\infty)$, यदि विषम है, तो $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$।

यदि घातांक विषम है, तो फ़ंक्शन $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$ के रूप में घटता है। एक सम घातांक के लिए, फ़ंक्शन $x\in (0,+\infty)$ के रूप में घटता है। और $x\in \left(-\infty ,0\right)$ के रूप में बढ़ता है।

पूरे डोमेन पर $f(x)\ge 0$