निम्नलिखित समीकरणों पर विचार करें:

1. 2*x + 3*y = 15;

2. x2 + y2 = 4;

4. 5*x 3 + y 2 = 8.

उपरोक्त प्रत्येक समीकरण दो चरों वाला एक समीकरण है। कई बिंदु विमान का समन्वय, जिनके निर्देशांक समीकरण को सही में बदल देते हैं संख्यात्मक समानता, कहा जाता है दो अज्ञात में एक समीकरण का ग्राफ.

दो चरों वाले समीकरण का आलेख

दो चर वाले समीकरणों में कई प्रकार के भूखंड होते हैं। उदाहरण के लिए, समीकरण 2*x + 3*y = 15 के लिए, ग्राफ एक सीधी रेखा होगा, समीकरण x 2 + y 2 = 4 के लिए, ग्राफ 2 की त्रिज्या वाला एक वृत्त होगा, का ग्राफ समीकरण y*x = 1 अतिपरवलय होगा, आदि।

दो चर वाले पूर्णांक समीकरणों में भी डिग्री जैसी कोई चीज़ होती है। यह डिग्री उसी तरह निर्धारित की जाती है जैसे एक चर के साथ पूरे समीकरण के लिए। ऐसा करने के लिए, समीकरण को उस रूप में लाया जाता है जब बाईं ओर एक बहुपद होता है मानक दृश्य, जबकि दायां शून्य है। यह समकक्ष परिवर्तनों के माध्यम से किया जाता है।

समीकरणों के सिस्टम को हल करने का ग्राफिकल तरीका

आइए जानें कि दो चर वाले दो समीकरणों वाले समीकरणों के सिस्टम को कैसे हल किया जाए। ऐसी प्रणालियों को हल करने के लिए एक ग्राफिकल तरीके पर विचार करें।

उदाहरण 1. समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

(एक्स 2 + वाई 2 = 25

(y = -x 2 + 2*x + 5.

आइए एक ही समन्वय प्रणाली में पहले और दूसरे समीकरणों के ग्राफ़ को प्लॉट करें। पहले समीकरण का ग्राफ मूल और त्रिज्या 5 पर केंद्रित एक वृत्त होगा। दूसरे समीकरण का ग्राफ नीचे की शाखाओं वाला एक परवलय होगा।

रेखांकन के सभी बिंदु प्रत्येक अपने स्वयं के समीकरण को संतुष्ट करेंगे। हमें ऐसे बिंदु खोजने होंगे जो पहले और दूसरे दोनों समीकरणों को संतुष्ट करें। जाहिर है, ये वे बिंदु होंगे जहां ये दो ग्राफ प्रतिच्छेद करते हैं।

हमारे ड्राइंग का उपयोग करके, हम उन निर्देशांकों के अनुमानित मान पाते हैं जिन पर ये बिंदु प्रतिच्छेद करते हैं। हमें निम्नलिखित परिणाम मिलते हैं:

ए(-2.2;-4.5), बी(0;5), सी(2.2;4.5), डी(4,-3)।

तो समीकरणों की हमारी प्रणाली के चार समाधान हैं।

x1 -2.2; y1 -4.5;

x2 0; y2 5;

x3 2.2; y3 4.5;

x4 4,y4 -3।

यदि हम इन मानों को हमारे सिस्टम के समीकरणों में प्रतिस्थापित करते हैं, तो हम देख सकते हैं कि पहला और तीसरा समाधान अनुमानित है, और दूसरा और चौथा सटीक है। आलेखीय पद्धति का उपयोग प्रायः जड़ों की संख्या और उनकी अनुमानित सीमाओं का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है। समाधान अक्सर सटीक से अधिक अनुमानित होते हैं।

इस पाठ में, हम दो चरों वाले दो समीकरणों के निकाय को हल करने पर विचार करेंगे। सबसे पहले, दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के ग्राफिकल समाधान पर विचार करें, उनके ग्राफ की समग्रता की विशिष्टताएं। इसके बाद, हम ग्राफिकल विधि का उपयोग करके कई प्रणालियों को हल करते हैं।

विषय: समीकरणों की प्रणाली

पाठ: समीकरणों के निकाय को हल करने की आलेखीय विधि

प्रणाली पर विचार करें

संख्याओं की एक जोड़ी जो एक साथ सिस्टम के पहले और दूसरे दोनों समीकरणों का समाधान है, कहलाती है समीकरणों की प्रणाली का समाधान.

समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने का अर्थ है इसके सभी समाधान खोजना, या यह स्थापित करना कि कोई समाधान नहीं हैं। हमने बुनियादी समीकरणों के रेखांकन पर विचार किया है, आइए प्रणालियों के विचार पर आगे बढ़ते हैं।

उदाहरण 1. सिस्टम को हल करें

फेसला:

ये रैखिक समीकरण हैं, इनमें से प्रत्येक का आलेख एक सीधी रेखा है। पहले समीकरण का ग्राफ बिंदुओं (0; 1) और (-1; 0) से होकर गुजरता है। दूसरे समीकरण का ग्राफ बिंदुओं (0; -1) और (-1; 0) से होकर गुजरता है। रेखाएँ बिंदु (-1; 0) पर प्रतिच्छेद करती हैं, यह समीकरणों के निकाय का हल है ( चावल। 1).

प्रणाली का हल संख्याओं का एक युग्म है। संख्याओं के इस युग्म को प्रत्येक समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम सही समानता प्राप्त करते हैं।

हमें मिला केवल निर्णय रैखिक प्रणाली.

याद रखें कि एक रैखिक प्रणाली को हल करते समय, निम्नलिखित मामले संभव हैं:

प्रणाली का एक अनूठा समाधान है - रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं,

प्रणाली का कोई समाधान नहीं है - रेखाएं समानांतर हैं,

सिस्टम में अनंत संख्या में समाधान हैं - रेखाएं मेल खाती हैं।

हमने समीक्षा की विशेष मामलाप्रणाली जब p(x; y) और q(x; y) x और y में रैखिक व्यंजक हैं।

उदाहरण 2. समीकरणों के निकाय को हल करें

फेसला:

पहले समीकरण का आलेख एक सीधी रेखा है, दूसरे समीकरण का आलेख एक वृत्त है। आइए बिंदुओं द्वारा पहला ग्राफ बनाएं (चित्र 2)।

वृत्त का केंद्र बिंदु O(0; 0) पर है, त्रिज्या 1 है।

ग्राफ़ बिंदु A(0; 1) और बिंदु B(-1; 0) पर प्रतिच्छेद करते हैं।

उदाहरण 3. सिस्टम को ग्राफिक रूप से हल करें

हल: आइए पहले समीकरण का एक ग्राफ बनाते हैं - यह एक वृत्त है जिसका केंद्र बिंदु O (0; 0) पर है और 2 की त्रिज्या है। दूसरे समीकरण का ग्राफ एक परवलय है। इसे मूल के सापेक्ष 2 ऊपर की ओर स्थानांतरित किया जाता है, अर्थात। इसका शीर्ष बिंदु (0; 2) (चित्र 3) है।

रेखांकन में एक है आम बात- टी। ए (0; 2)। यह व्यवस्था का समाधान है। शुद्धता की जाँच के लिए समीकरण में कुछ संख्याएँ रखें।

उदाहरण 4. सिस्टम को हल करें

हल: आइए पहले समीकरण का एक ग्राफ बनाते हैं - यह एक वृत्त है जिसका केंद्र O (0; 0) पर है और 1 की त्रिज्या है (चित्र 4)।

आइए फ़ंक्शन का एक ग्राफ बनाएं यह एक टूटी हुई रेखा है (चित्र 5)।

अब इसे oy अक्ष के अनुदिश 1 से नीचे ले जाएँ। यह फ़ंक्शन का ग्राफ होगा

आइए दोनों ग्राफों को एक ही निर्देशांक प्रणाली में रखें (चित्र 6)।

हमें तीन प्रतिच्छेदन बिंदु मिलते हैं - बिंदु A (1; 0), बिंदु B (-1; 0), बिंदु C (0; -1)।

हमने समीक्षा की ग्राफिक विधिसिस्टम समाधान। यदि प्रत्येक समीकरण को रेखांकन करना और प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात करना संभव है, तो यह विधि काफी पर्याप्त है।

लेकिन अक्सर ग्राफिकल विधि से सिस्टम का केवल एक अनुमानित समाधान खोजना संभव हो जाता है या समाधानों की संख्या के बारे में प्रश्न का उत्तर देना संभव हो जाता है। इसलिए, अन्य विधियों, अधिक सटीक, की आवश्यकता है, और हम अगले पाठों में उनके साथ व्यवहार करेंगे।

1. मोर्दकोविच ए.जी. और अन्य बीजगणित 9वीं कक्षा: प्रोक। सामान्य शिक्षा के लिए संस्थान - चौथा संस्करण। - एम .: मेनेमोसिन, 2002.-192 पी .: बीमार।

2. मोर्दकोविच ए.जी. और अन्य। बीजगणित ग्रेड 9: छात्रों के लिए कार्यपुस्तिका शिक्षण संस्थान/ ए। जी। मोर्दकोविच, टी। एन। मिशुस्टिना और अन्य - चौथा संस्करण। - एम .: मेमोसिन, 2002.-143 पी .: बीमार।

3. यू। एन। मकारिचेव, बीजगणित। ग्रेड 9: पाठ्यपुस्तक। सामान्य शिक्षा के छात्रों के लिए। संस्थान / यू। एन। मकारिचेव, एन। जी। मिंड्युक, के। आई। नेशकोव, आई। ई। फेओक्टिस्टोव। - 7 वां संस्करण।, रेव। और अतिरिक्त - एम।: निमोसिन, 2008।

4. अलीमोव श.ए., कोल्यागिन यू.एम., सिदोरोव यू.वी. बीजगणित। श्रेणी 9 16वां संस्करण। - एम।, 2011. - 287 पी।

5. मोर्दकोविच ए.जी. बीजगणित। श्रेणी 9 दोपहर 2 बजे भाग 1। शैक्षणिक संस्थानों के छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तक / ए। जी। मोर्दकोविच, पी। वी। सेमेनोव। - 12 वां संस्करण।, मिटा दिया गया। — एम .: 2010। — 224 पी .: बीमार।

6. बीजगणित। श्रेणी 9 2 घंटे में। भाग 2। शैक्षिक संस्थानों के छात्रों के लिए टास्क बुक / ए। जी। मोर्दकोविच, एल। ए। अलेक्जेंड्रोवा, टी। एन। मिशुस्टिना और अन्य; ईडी। ए जी मोर्दकोविच। - 12 वां संस्करण।, रेव। - एम .: 2010.-223 पी .: बीमार।

1. College.ru गणित पर अनुभाग ()।

2. इंटरनेट परियोजना "कार्य" ()।

3. शैक्षिक पोर्टल"मैं उपयोग का समाधान करूंगा" ()।

1. मोर्दकोविच ए.जी. एट अल। बीजगणित ग्रेड 9: शैक्षणिक संस्थानों के छात्रों के लिए कार्यपुस्तिका / ए जी मोर्दकोविच, टी। एन। मिशुस्टिना एट अल। - चौथा संस्करण। - एम ।: मेनेमोसिन, 2002.-143 पी .: बीमार। नंबर 105, 107, 114, 115।

वीडियो पाठ "समीकरण प्रणालियों को हल करने के लिए चित्रमय विधि" प्रस्तुत करता है शैक्षिक सामग्रीइस विषय का पता लगाने के लिए। सामग्री शामिल है सामान्य सिद्धांतसमीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के बारे में, साथ ही विस्तृत विवरणसमीकरणों की प्रणाली को कैसे हल किया जाता है इसका एक उदाहरण का उपयोग करना रेखांकन.

दृश्य सहायता निर्माण के अधिक सुविधाजनक और समझने योग्य निष्पादन के लिए एनीमेशन का उपयोग करती है, साथ ही विभिन्न तरीकेआवंटन महत्वपूर्ण अवधारणाएंऔर सामग्री की गहन समझ, इसके बेहतर संस्मरण के लिए विवरण।

वीडियो ट्यूटोरियल विषय का परिचय देकर शुरू होता है। छात्रों को याद दिलाया जाता है कि समीकरणों की एक प्रणाली क्या है, और 7 वीं कक्षा में उन्हें पहले से ही समीकरणों की कौन सी प्रणाली से परिचित होना था। पहले, छात्रों को ax+by=c फॉर्म के समीकरणों के सिस्टम को हल करना होता था। समीकरणों की प्रणालियों को हल करने की अवधारणा को गहरा करने और उन्हें हल करने की क्षमता बनाने के लिए, इस वीडियो पाठ में दूसरी डिग्री के दो समीकरणों के साथ-साथ दूसरी डिग्री के एक समीकरण और दूसरे से मिलकर एक प्रणाली के समाधान पर चर्चा की गई है। - पहली डिग्री के। आपको याद दिलाता है कि समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान क्या है। सिस्टम के समाधान की परिभाषा चर के मूल्यों की एक जोड़ी के रूप में होती है जो सही समानता में प्रतिस्थापित करते समय इसके समीकरणों को उलट देती है, स्क्रीन पर प्रदर्शित होती है। सिस्टम के समाधान की परिभाषा के अनुसार, कार्य निर्दिष्ट है। यह याद रखने के लिए स्क्रीन पर प्रदर्शित होता है कि किसी सिस्टम को हल करने का अर्थ है उपयुक्त समाधान खोजना या उनकी अनुपस्थिति को साबित करना।

समीकरणों की एक निश्चित प्रणाली को हल करने की चित्रमय पद्धति में महारत हासिल करने का प्रस्ताव है। आवेदन पत्र यह विधिसमीकरण x 2 + y 2 \u003d 16 और y \u003d - x 2 + 2x + 4 से मिलकर एक प्रणाली को हल करने के उदाहरण पर विचार किया जाता है। ग्राफिक समाधानप्रणाली इन समीकरणों में से प्रत्येक की साजिश रचने के साथ शुरू होती है। जाहिर है, समीकरण x 2 + y 2 \u003d 16 का ग्राफ एक वृत्त होगा। इस वृत्त से संबंधित बिंदु समीकरण का हल हैं। समीकरण के आगे, 4 की त्रिज्या वाला एक वृत्त मूल बिंदु पर O केंद्र के साथ समन्वय तल पर बनाया गया है। दूसरे समीकरण का ग्राफ एक परवलय है, जिसकी शाखाएँ नीचे की ओर होती हैं। यह परवलय समीकरण के ग्राफ के अनुरूप समन्वय तल पर निर्मित होता है। परवलय से संबंधित कोई भी बिंदु समीकरण y \u003d -x 2 + 2x + 4 का हल है। यह समझाया गया है कि समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान उन ग्राफ़ पर बिंदु है जो एक साथ दोनों समीकरणों के ग्राफ़ से संबंधित हैं। इसका मतलब है कि निर्मित ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु समीकरणों की प्रणाली के समाधान होंगे।

यह ध्यान दिया जाता है कि ग्राफिकल विधि में दो ग्राफ़ के चौराहे पर स्थित बिंदुओं के निर्देशांक के अनुमानित मूल्य को खोजने में शामिल होता है, जो सिस्टम के प्रत्येक समीकरण के समाधान के सेट को दर्शाता है। यह आंकड़ा दो रेखांकन के पाए गए प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक को चिह्नित करता है: ए, बी, सी, डी[-2;-3.5]। ये बिंदु ग्राफिक रूप से पाए गए समीकरणों की प्रणाली के समाधान हैं। आप उन्हें समीकरण में प्रतिस्थापित करके और निष्पक्ष समानता प्राप्त करके उनकी शुद्धता की जांच कर सकते हैं। बिंदुओं को समीकरण में प्रतिस्थापित करने के बाद, यह देखा जा सकता है कि कुछ बिंदु देते हैं सही मूल्यसमाधान, और भाग समीकरण के समाधान के अनुमानित मूल्य का प्रतिनिधित्व करता है: x 1 = 0, y 1 = 4; एक्स 2 \u003d 2, वाई 2 3.5; x 3 3.5, y 3 \u003d -2; एक्स 4 \u003d -2, वाई 4 -3.5।

वीडियो ट्यूटोरियल समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए ग्राफिकल विधि के सार और अनुप्रयोग के बारे में विस्तार से बताता है। यह इस विषय का अध्ययन करते समय स्कूल में बीजगणित पाठ में वीडियो सहायता के रूप में इसका उपयोग करना संभव बनाता है। इसके अलावा, सामग्री के लिए उपयोगी होगा स्वयं अध्ययनछात्र और दूरस्थ शिक्षा में विषय को समझाने में मदद कर सकते हैं।

प्रथम स्तर

फ़ंक्शन ग्राफ़ का उपयोग करके समीकरणों, असमानताओं, प्रणालियों को हल करना। दृश्य गाइड (2019)

कई कार्य जिनका उपयोग हम विशुद्ध रूप से बीजगणितीय रूप से गणना करने के लिए करते हैं, उन्हें बहुत आसान और तेज़ी से हल किया जा सकता है, फ़ंक्शन ग्राफ़ का उपयोग करने से हमें इसमें मदद मिलेगी। आप कहते हैं "ऐसा कैसे?" कुछ आकर्षित करने के लिए, और क्या आकर्षित करना है? मेरा विश्वास करो, कभी-कभी यह अधिक सुविधाजनक और आसान होता है। हम शुरू करें? आइए समीकरणों से शुरू करते हैं!

समीकरणों का आलेखीय हल

रैखिक समीकरणों का आलेखीय हल

जैसा कि आप पहले से ही जानते हैं, एक रैखिक समीकरण का आलेख एक सीधी रेखा है, इसलिए इस प्रकार का नाम। रैखिक समीकरण बीजगणितीय रूप से हल करना काफी आसान है - हम सभी अज्ञात को समीकरण के एक तरफ स्थानांतरित करते हैं, जो कुछ भी हम जानते हैं - दूसरे को, और वॉयला! हमें जड़ मिल गई है। अब मैं आपको दिखाऊंगा कि यह कैसे करना है ग्राफिक तरीका।

तो आपके पास एक समीकरण है:

इसे कैसे हल करें?
विकल्प 1, और सबसे आम अज्ञात को एक तरफ ले जाना है, और दूसरे को जाना जाता है, हमें मिलता है:

और अब हम निर्माण कर रहे हैं। तुम्हें क्या मिला?

आपको क्या लगता है कि हमारे समीकरण की जड़ क्या है? यह सही है, रेखांकन के प्रतिच्छेदन बिंदु का समन्वय:

हमारा जवाब है

यही ग्राफिक समाधान का संपूर्ण ज्ञान है। जैसा कि आप आसानी से देख सकते हैं, हमारे समीकरण का मूल एक संख्या है!

जैसा कि मैंने ऊपर कहा, यह सबसे आम विकल्प है, के करीब बीजीय समाधान, लेकिन इसे दूसरे तरीके से भी किया जा सकता है। एक वैकल्पिक समाधान पर विचार करने के लिए, आइए अपने समीकरण पर वापस आते हैं:

इस बार हम किसी भी चीज़ को अगल-बगल से नहीं घुमाएंगे, बल्कि सीधे ग्राफ़ बनाएंगे, जैसे वे अभी हैं:

बनाया? नज़र!

इस बार क्या उपाय है? ठीक है। वही ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्देशांक है:

और, फिर से, हमारा जवाब है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, साथ रेखीय समीकरणसब कुछ बेहद सरल है। कुछ अधिक जटिल विचार करने का समय आ गया है... उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरणों का ग्राफिक समाधान।

द्विघात समीकरणों का आलेखीय हल

तो, अब द्विघात समीकरण को हल करना शुरू करते हैं। मान लीजिए कि आपको इस समीकरण की जड़ें खोजने की जरूरत है:

बेशक, अब आप विवेचक के माध्यम से या विएटा प्रमेय के अनुसार गिनना शुरू कर सकते हैं, लेकिन कई तंत्रिकाएं गुणा या वर्ग करते समय गलती करती हैं, खासकर अगर उदाहरण के साथ है बड़ी संख्या, और, जैसा कि आप जानते हैं, आपके पास परीक्षा में कैलकुलेटर नहीं होगा ... इसलिए, आइए इस समीकरण को हल करते समय थोड़ा आराम करने और ड्रा करने का प्रयास करें।

ग्राफिक रूप से समाधान खोजें दिया गया समीकरणकर सकते हैं विभिन्न तरीके. विचार करना विभिन्न विकल्पऔर आप चुन सकते हैं कि आपको कौन सा सबसे अच्छा पसंद है।

विधि 1. सीधे

हम इस समीकरण के अनुसार सिर्फ एक परवलय बनाते हैं:

इसे जल्दी करने के लिए, मैं आपको एक छोटा सा संकेत दूंगा: परवलय के शीर्ष का निर्धारण करके निर्माण शुरू करना सुविधाजनक है।निम्नलिखित सूत्र परवलय के शीर्ष के निर्देशांक निर्धारित करने में मदद करेंगे:

आप कहते हैं "रुको! के लिए सूत्र विवेचक को खोजने के सूत्र के समान है "हाँ, यह है, और यह है एक बहुत बड़ा ऋणइसकी जड़ों को खोजने के लिए एक परवलय का "प्रत्यक्ष" निर्माण। हालांकि, चलिए अंत तक गिनती करते हैं, और फिर मैं आपको दिखाऊंगा कि इसे बहुत (बहुत!) आसान कैसे बनाया जाए!

क्या आपने गिनती की? परवलय के शीर्ष के निर्देशांक क्या हैं? आइए इसे एक साथ समझें:

बिल्कुल वही जवाब? बहुत अच्छा! और अब हम पहले से ही शीर्ष के निर्देशांक जानते हैं, और एक परवलय बनाने के लिए, हमें और अधिक ... अंक चाहिए। आपको क्या लगता है, हमें कितने न्यूनतम अंक चाहिए? सही ढंग से, .

आप जानते हैं कि एक परवलय अपने शीर्ष के प्रति सममित होता है, उदाहरण के लिए:

तदनुसार, हमें परवलय की बाईं या दाईं शाखा के साथ दो और बिंदुओं की आवश्यकता है, और भविष्य में हम इन बिंदुओं को विपरीत दिशा में सममित रूप से प्रतिबिंबित करेंगे:

हम अपने परवलय में लौटते हैं। हमारे मामले के लिए, बिंदु। हमें क्रमशः दो और अंक चाहिए, क्या हम सकारात्मक अंक ले सकते हैं, लेकिन क्या हम नकारात्मक ले सकते हैं? आपके लिए सबसे अच्छे अंक क्या हैं? मेरे लिए सकारात्मक लोगों के साथ काम करना अधिक सुविधाजनक है, इसलिए मैं और के साथ गणना करूंगा।

अब हमारे पास तीन बिंदु हैं, और हम अपने शीर्ष के बारे में अंतिम दो बिंदुओं को दर्शाकर आसानी से अपना परवलय बना सकते हैं:

आपको क्या लगता है कि समीकरण का हल क्या है? यह सही है, जिन बिंदुओं पर, वह है, और। क्योंकि।

और अगर हम ऐसा कहते हैं, तो इसका मतलब है कि यह भी बराबर होना चाहिए, या।

अभी-अभी? हमने आपके साथ समीकरण को एक जटिल चित्रमय तरीके से हल करना समाप्त कर दिया है, या और भी बहुत कुछ होगा!

बेशक, आप हमारे उत्तर को बीजगणितीय रूप से देख सकते हैं - आप वियत प्रमेय या विभेदक के माध्यम से जड़ों की गणना कर सकते हैं। तुम्हें क्या मिला? यह वही? आप समझ सकते हैं! आइए अब एक बहुत ही सरल आलेखीय समाधान देखते हैं, मुझे विश्वास है कि आपको यह बहुत पसंद आएगा!

विधि 2. कई कार्यों में विभाजित करें

आइए सब कुछ लेते हैं, हमारा समीकरण: , लेकिन हम इसे थोड़ा अलग तरीके से लिखते हैं, अर्थात्:

क्या हम इसे इस तरह लिख सकते हैं? हम कर सकते हैं, क्योंकि परिवर्तन समतुल्य है। आइए आगे देखें।

आइए दो कार्यों को अलग-अलग बनाएं:

1. - ग्राफ एक साधारण परवलय है, जिसे आप सूत्रों का उपयोग करके शीर्ष को परिभाषित किए बिना और अन्य बिंदुओं को निर्धारित करने के लिए एक तालिका बनाए बिना भी आसानी से बना सकते हैं।
2. - ग्राफ एक सीधी रेखा है, जिसे आप कैलकुलेटर का सहारा लिए बिना भी मूल्यों का अनुमान लगाकर और अपने सिर में आसानी से बना सकते हैं।

बनाया? मुझे जो मिला है उसकी तुलना करें:

क्या आपको लगता है कि में इस मामले मेंसमीकरण की जड़ें हैं? सही ढंग से! निर्देशांक जिसके द्वारा दो ग्राफों को पार करके प्राप्त किया जाता है, अर्थात्:

तदनुसार, इस समीकरण का हल है:

आपका क्या कहना है? सहमत हूँ, यह समाधान विधि पिछले एक की तुलना में बहुत आसान है और विवेचक के माध्यम से जड़ों की तलाश करने से भी आसान है! यदि ऐसा है, तो निम्न समीकरण को हल करने के लिए इस विधि का प्रयास करें:

तुम्हें क्या मिला? आइए हमारे चार्ट की तुलना करें:

रेखांकन दिखाते हैं कि उत्तर हैं:

क्या आप संभाल पाओगे? बहुत अच्छा! अब आइए समीकरणों को थोड़ा और जटिल देखें, अर्थात् मिश्रित समीकरणों का समाधान, अर्थात्, विभिन्न प्रकार के कार्यों वाले समीकरण।

मिश्रित समीकरणों का आलेखीय हल

आइए अब निम्नलिखित को हल करने का प्रयास करें:

बेशक, सब कुछ लाया जा सकता है आम विभाजक, परिणामी समीकरण की जड़ों को खोजें, ODZ को ध्यान में रखना न भूलें, लेकिन फिर से, हम ग्राफिक रूप से हल करने का प्रयास करेंगे, जैसा कि हमने पिछले सभी मामलों में किया था।

इस बार आइए निम्नलिखित 2 ग्राफ़ बनाते हैं:

1. - ग्राफ एक अतिपरवलय है
2. - एक ग्राफ एक सीधी रेखा है जिसे आप कैलकुलेटर का सहारा लिए बिना भी मूल्यों का अनुमान लगाकर और अपने सिर में आसानी से बना सकते हैं।

समझना? अब निर्माण शुरू करें।

यहाँ मेरे साथ क्या हुआ है:

इस तस्वीर को देखकर, हमारे समीकरण की जड़ें क्या हैं?

यह सही है, और। यहाँ पुष्टि है:

हमारी जड़ों को समीकरण में जोड़ने का प्रयास करें। हो गई?

ठीक है! सहमत हूं, ऐसे समीकरणों को ग्राफिक रूप से हल करना खुशी की बात है!

समीकरण को रेखांकन द्वारा स्वयं हल करने का प्रयास करें:

मैं आपको एक संकेत देता हूं: समीकरण के भाग को ले जाएं दाईं ओरताकि दोनों पक्षों के पास निर्माण करने के लिए सबसे सरल कार्य हों। संकेत मिला? कार्यवाही करना!

अब देखते हैं कि आपको क्या मिला:

क्रमश:

1. - घन परवलय।
2. - एक साधारण सीधी रेखा।

खैर, हम निर्माण कर रहे हैं:

जैसा कि आपने लंबे समय तक लिखा है, इस समीकरण का मूल है -।

इसे हल करने के बाद एक बड़ी संख्या कीउदाहरण के लिए, मुझे यकीन है कि आपने महसूस किया है कि आप कैसे आसानी से और जल्दी से समीकरणों को ग्राफिक रूप से हल कर सकते हैं। यह पता लगाने का समय है कि कैसे निर्णय लिया जाए एक समान तरीके सेसिस्टम

सिस्टम का ग्राफिक समाधान

सिस्टम का ग्राफिकल सॉल्यूशन अनिवार्य रूप से समीकरणों के ग्राफिकल सॉल्यूशन से अलग नहीं है। हम दो रेखांकन भी बनाएंगे, और उनके प्रतिच्छेदन बिंदु इस प्रणाली की जड़ें होंगे। एक ग्राफ एक समीकरण है, दूसरा ग्राफ एक और समीकरण है। सब कुछ बेहद सरल है!

आइए रैखिक समीकरणों की सरलतम - हल करने वाली प्रणालियों से शुरू करें।

रैखिक समीकरणों को हल करने वाली प्रणाली

मान लें कि हमारे पास निम्न प्रणाली है:

शुरू करने के लिए, हम इसे इस तरह से बदल देंगे कि बाईं ओर सब कुछ है जो जुड़ा हुआ है, और दाईं ओर - जो जुड़ा हुआ है। दूसरे शब्दों में, हम इन समीकरणों को हमारे लिए सामान्य रूप में एक फ़ंक्शन के रूप में लिखते हैं:

और अब हम केवल दो सीधी रेखाएँ बनाते हैं। हमारे मामले में समाधान क्या है? सही ढंग से! उनके चौराहे का बिंदु! और यहां आपको बहुत सावधान रहने की जरूरत है! सोचो क्यों? मैं आपको एक संकेत देता हूँ: हम एक प्रणाली के साथ काम कर रहे हैं: सिस्टम में दोनों हैं, और... संकेत मिला?

ठीक है! सिस्टम को हल करते समय, हमें दोनों निर्देशांकों को देखना चाहिए, और न केवल समीकरणों को हल करते समय! एक और महत्वपूर्ण बिंदु- उन्हें सही ढंग से लिखें और भ्रमित न करें कि हमारे पास मूल्य कहाँ है, और मूल्य कहाँ है! रिकॉर्ड किया गया? आइए अब सब कुछ क्रम में तुलना करें:

और उत्तर: मैं। एक जाँच करें - सिस्टम में मिली जड़ों को प्रतिस्थापित करें और सुनिश्चित करें कि हमने इसे ग्राफिकल तरीके से सही ढंग से हल किया है?

गैर-रेखीय समीकरणों की प्रणाली को हल करना

लेकिन क्या होगा अगर एक सीधी रेखा के बजाय, हमारे पास होगा द्विघात समीकरण? ठीक है! आप बस एक सीधी रेखा के बजाय एक परवलय का निर्माण करें! विश्वास नहीं करते? निम्नलिखित प्रणाली को हल करने का प्रयास करें:

हमारा क्या है अगला कदम? यह सही है, इसे लिख लें ताकि हमारे लिए रेखांकन बनाना सुविधाजनक हो:

और अब यह सब छोटी चीज़ों के बारे में है - मैंने इसे जल्दी से बनाया और यहाँ आपके लिए समाधान है! इमारत:

क्या ग्राफिक्स समान हैं? अब चित्र में सिस्टम के समाधानों को चिह्नित करें और प्रकट उत्तरों को सही ढंग से लिखें!

मैंने सब कुछ किया है? मेरे नोट्स के साथ तुलना करें:

ठीक है? बहुत अच्छा! आप पहले से ही पागल जैसे कार्यों पर क्लिक करते हैं! और यदि हां, तो आइए आपको एक अधिक जटिल प्रणाली प्रदान करते हैं:

हम क्या कर रहे हैं? सही ढंग से! हम सिस्टम लिखते हैं ताकि इसे बनाना सुविधाजनक हो:

मैं आपको थोड़ा संकेत दूंगा, क्योंकि सिस्टम बहुत जटिल दिखता है! रेखांकन बनाते समय, उन्हें "अधिक" बनाएं, और सबसे महत्वपूर्ण बात, चौराहे के बिंदुओं की संख्या पर आश्चर्यचकित न हों।

तो चलते हैं! साँस छोड़ी? अब निर्माण शुरू करो!

कितनी अच्छी तरह से? सुन्दर है? आपको कितने चौराहे बिंदु मिले? मेरे पास तीन हैं! आइए हमारे रेखांकन की तुलना करें:

उसी तरह? अब हमारे सिस्टम के सभी समाधानों को ध्यान से लिखें:

अब सिस्टम को फिर से देखें:

क्या आप सोच सकते हैं कि आपने इसे केवल 15 मिनट में हल कर लिया? सहमत हूं, गणित अभी भी सरल है, खासकर जब एक अभिव्यक्ति को देखते हुए, आप गलती करने से डरते नहीं हैं, लेकिन आप इसे लेते हैं और निर्णय लेते हैं! तुम बड़े लड़के हो!

असमानताओं का चित्रमय समाधान

रैखिक असमानताओं का आलेखीय समाधान

बाद में अंतिम उदाहरणआपके कंधे पर सब कुछ है! अब साँस छोड़ें - पिछले खंडों की तुलना में, यह बहुत, बहुत आसान होगा!

हम हमेशा की तरह एक ग्राफिकल समाधान के साथ शुरू करेंगे रैखिक असमानता. उदाहरण के लिए, यह एक:

आरंभ करने के लिए, हम सबसे सरल परिवर्तन करेंगे - हम कोष्ठक खोलेंगे पूर्ण वर्गऔर समान शब्द जोड़ें:

असमानता सख्त नहीं है, इसलिए - अंतराल में शामिल नहीं है, और समाधान सभी बिंदु होंगे जो दाईं ओर हैं, क्योंकि अधिक, अधिक, और इसी तरह:

जवाब:

बस इतना ही! सरलता? आइए दो चर के साथ एक साधारण असमानता को हल करें:

आइए समन्वय प्रणाली में एक फ़ंक्शन बनाएं।

क्या आपके पास ऐसा कोई चार्ट है? और अब हम ध्यान से देखें कि हमारे पास असमानता में क्या है? छोटा? इसलिए, हम अपनी सीधी रेखा के बाईं ओर की हर चीज़ पर पेंट करते हैं। क्या होगा अगर और भी थे? यह सही है, तब वे हमारी सीधी रेखा के दायीं ओर की हर चीज़ पर पेंट करेंगे। सब कुछ सरल है।

इस असमानता के सभी समाधान "छायांकित" हैं संतरा. यही है, दो-चर असमानता हल हो गई है। इसका मतलब है कि निर्देशांक और छायांकित क्षेत्र से कोई भी बिंदु समाधान हैं।

द्विघात असमानताओं का आलेखीय समाधान

अब हम देखेंगे कि द्विघात असमानताओं को आलेखीय रूप से कैसे हल किया जाए।

लेकिन इससे पहले कि हम सीधे मुद्दे पर पहुँचें, चलिए वर्गाकार फलन के बारे में कुछ बातें फिर से समझते हैं।

भेदभाव करने वाला किसके लिए जिम्मेदार है? यह सही है, अक्ष के सापेक्ष ग्राफ की स्थिति के लिए (यदि आपको यह याद नहीं है, तो निश्चित रूप से द्विघात कार्यों के बारे में सिद्धांत पढ़ें)।

किसी भी मामले में, यहां आपके लिए एक छोटा सा अनुस्मारक है:

अब जब हमने अपनी स्मृति में सभी सामग्री को ताज़ा कर दिया है, तो चलिए व्यापार में उतरते हैं - हम असमानता को ग्राफिक रूप से हल करेंगे।

मैं आपको तुरंत बता दूंगा कि इसे हल करने के लिए दो विकल्प हैं।

विकल्प 1

हम अपने परवलय को एक फंक्शन के रूप में लिखते हैं:

सूत्रों का उपयोग करते हुए, हम परवलय के शीर्ष के निर्देशांक निर्धारित करते हैं (उसी तरह जैसे द्विघात समीकरणों को हल करते समय):

क्या आपने गिनती की? तुम्हें क्या मिला?

अब दो और लेते हैं विभिन्न बिंदुऔर उनके लिए गणना करें:

हम परवलय की एक शाखा बनाना शुरू करते हैं:

हम परवलय की एक अन्य शाखा पर सममित रूप से अपनी बातों को प्रतिबिंबित करते हैं:

अब वापस हमारी असमानता पर।

हमें होना चाहिए शून्य से कम, क्रमश:

चूंकि हमारी असमानता में एक संकेत सख्ती से कम है, हम अंतिम बिंदुओं को बाहर करते हैं - हम "बाहर निकलते हैं"।

जवाब:

लंबा रास्ता, है ना? अब मैं आपको एक उदाहरण के रूप में समान असमानता का उपयोग करके ग्राफिकल समाधान का एक सरल संस्करण दिखाऊंगा:

विकल्प 2

हम अपनी असमानता पर लौटते हैं और उन अंतरालों को चिह्नित करते हैं जिनकी हमें आवश्यकता होती है:

सहमत हूँ, यह बहुत तेज़ है।

आइए अब उत्तर लिखें:

एक अन्य समाधान पर विचार करें जो सरल करता है और बीजीय भाग, लेकिन मुख्य बात भ्रमित नहीं होना है।

बाएँ और दाएँ पक्षों को इससे गुणा करें:

निम्नलिखित द्विघात असमानता को अपने आप किसी भी तरह से हल करने का प्रयास करें:

क्या आप संभाल पाओगे?

देखें कि मेरा चार्ट कैसा निकला:

जवाब: .

मिश्रित असमानताओं का आलेखीय समाधान

अब आइए अधिक जटिल असमानताओं की ओर बढ़ते हैं!

आपको यह कैसे लगता है:

भयानक, है ना? ईमानदारी से, मुझे नहीं पता कि इसे बीजगणितीय रूप से कैसे हल किया जाए ... लेकिन यह आवश्यक नहीं है। ग्राफिक रूप से, इसमें कुछ भी जटिल नहीं है! आंखें डरती हैं, लेकिन हाथ कर रहे हैं!

पहली चीज जो हम शुरू करते हैं वह है दो रेखांकन बनाना:

मैं हर किसी के लिए एक टेबल नहीं लिखूंगा - मुझे यकीन है कि आप इसे पूरी तरह से अपने दम पर कर सकते हैं (बेशक, हल करने के लिए बहुत सारे उदाहरण हैं!)

चित्रित? अब दो ग्राफ बनाएं।

आइए हमारे चित्र की तुलना करें?

क्या आपके पास वही है? बढ़िया! अब आइए चौराहे के बिंदुओं को रखें और एक रंग के साथ निर्धारित करें कि हमारे पास कौन सा ग्राफ होना चाहिए, सिद्धांत रूप में, बड़ा होना चाहिए, अर्थात। देखिए आखिर में क्या हुआ:

और अब हम देखते हैं कि हमारा चयनित चार्ट चार्ट से कहाँ ऊँचा है? बेझिझक एक पेंसिल लें और उस पर पेंट करें दिया गया क्षेत्र! यह हमारी जटिल असमानता का समाधान होगा!

अक्ष के अनुदिश हम किस अंतराल से ऊपर हैं? सही, । यह उत्तर है!

ठीक है, अब आप किसी भी समीकरण, और किसी भी प्रणाली, और इससे भी अधिक किसी भी असमानता को संभाल सकते हैं!

संक्षेप में मुख्य के बारे में

फ़ंक्शन ग्राफ़ का उपयोग करके समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम:

1. एक्सप्रेस के माध्यम से
2. फ़ंक्शन प्रकार को परिभाषित करें
3. आइए परिणामी कार्यों के रेखांकन बनाएं
4. ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए
5. उत्तर को सही ढंग से लिखें (ODZ और असमानता के संकेतों को ध्यान में रखते हुए)
6. उत्तर की जाँच करें (समीकरण या प्रणाली में जड़ों को प्रतिस्थापित करें)

फ़ंक्शन ग्राफ़ प्लॉट करने के बारे में अधिक जानकारी के लिए, "" विषय देखें।