अंशों के साथ क्रियाएँ। इस लेख में, हम उदाहरणों का विश्लेषण करेंगे, स्पष्टीकरण के साथ सब कुछ विस्तृत है। हम विचार करेंगे सामान्य भिन्न. भविष्य में, हम दशमलव का विश्लेषण करेंगे। मेरा सुझाव है कि इसे पूरा देखें और क्रमिक रूप से अध्ययन करें।

1. भिन्नों का योग, भिन्नों का अंतर।

नियम: भिन्नों को जोड़ने पर समान भाजक, परिणामस्वरूप हमें एक भिन्न प्राप्त होता है - जिसका हर वही रहता है, और उसका अंश होगा योग के बराबर हैअंश अंश।

नियम: समान हर के साथ भिन्नों के अंतर की गणना करते समय, हमें एक भिन्न मिलता है - हर समान रहता है, और दूसरे का अंश पहले अंश के अंश से घटाया जाता है।

समान हर वाले अंशों के योग और अंतर का औपचारिक संकेतन:

उदाहरण (1):

यह स्पष्ट है कि जब साधारण भिन्न दिए जाते हैं, तो सब कुछ सरल होता है, लेकिन यदि वे मिश्रित हों? कुछ भी जटिल नहीं...

विकल्प 1- आप उन्हें सामान्य में बदल सकते हैं और फिर उनकी गणना कर सकते हैं।

विकल्प 2- आप पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों के साथ अलग से "काम" कर सकते हैं।

उदाहरण (2):

अधिक:

और यदि दो मिश्रित भिन्नों का अंतर दिया गया हो और पहली भिन्न का अंश दूसरे के अंश से कम हो? इसे दो तरह से भी किया जा सकता है।

उदाहरण (3):

* साधारण अंशों में परिवर्तित, अंतर की गणना, परिणामी का अनुवाद अनुचित अंशएक मिश्रित में।

* पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों में विभाजित, तीन मिला, फिर 3 को 2 और 1 के योग के रूप में प्रस्तुत किया, इकाई को 11/11 के रूप में प्रस्तुत किया, फिर 11/11 और 7/11 के बीच का अंतर पाया और परिणाम की गणना की। उपरोक्त परिवर्तनों का अर्थ एक इकाई लेना (चुनना) है और इसे एक अंश के रूप में प्रस्तुत करना है जिसकी हमें आवश्यकता है, फिर इस अंश से हम पहले से ही दूसरे को घटा सकते हैं।

एक और उदाहरण:

निष्कर्ष: एक सार्वभौमिक दृष्टिकोण है - समान भाजक के साथ मिश्रित अंशों के योग (अंतर) की गणना करने के लिए, उन्हें हमेशा अनुचित में परिवर्तित किया जा सकता है, फिर निष्पादित करें आवश्यक कार्रवाई. उसके बाद, यदि परिणामस्वरूप हमें कोई अनुचित भिन्न मिलता है, तो हम उसे मिश्रित भिन्न में बदल देते हैं।

ऊपर, हमने भिन्नों वाले उदाहरणों को देखा जिनमें समान भाजक हैं। क्या होगा यदि भाजक भिन्न होते हैं? इस मामले में, अंशों को एक ही हर में घटाया जाता है और निर्दिष्ट क्रिया की जाती है। भिन्न को बदलने (रूपांतरित) करने के लिए भिन्न के मुख्य गुण का उपयोग किया जाता है।

सरल उदाहरणों पर विचार करें:

इन उदाहरणों में, हम तुरंत देखते हैं कि समान हर प्राप्त करने के लिए भिन्नों में से एक को कैसे परिवर्तित किया जा सकता है।

यदि हम भिन्नों को एक हर में कम करने के तरीके निर्दिष्ट करते हैं, तो इसे कहा जाएगा विधि एक.

यही है, अंश का "मूल्यांकन" करते समय, आपको यह पता लगाने की आवश्यकता है कि क्या ऐसा दृष्टिकोण काम करेगा - हम जांचते हैं कि क्या बड़ा हर छोटे से विभाज्य है। और अगर इसे विभाजित किया जाता है, तो हम परिवर्तन करते हैं - हम अंश और हर को गुणा करते हैं ताकि दोनों अंशों के हर बराबर हो जाएं।

अब इन उदाहरणों को देखें:

यह तरीका उन पर लागू नहीं होता। भिन्नों को कम करने के अन्य तरीके हैं आम विभाजकआइए उन पर एक नजर डालते हैं।

विधि सेकंड.

हम पहली भिन्न के अंश और हर को दूसरे के हर से गुणा करते हैं, और दूसरे भिन्न के अंश और हर को पहले के हर से गुणा करते हैं:

*वास्तव में, हम भिन्नों को उस रूप में लाते हैं जब हर बराबर हो जाते हैं। अगला, हम समान हर के साथ डरपोक जोड़ने के नियम का उपयोग करते हैं।

उदाहरण:

*इस विधि को सार्वभौमिक कहा जा सकता है, और यह हमेशा काम करती है। केवल नकारात्मक यह है कि गणना के बाद, एक अंश निकल सकता है जिसे और कम करने की आवश्यकता होगी।

एक उदाहरण पर विचार करें:

यह देखा जा सकता है कि अंश और हर 5 से विभाज्य हैं:

विधि तीसरा।

भाजक का अल्पतम समापवर्तक (LCM) ज्ञात कीजिए। यह सामान्य भाजक होगा। यह संख्या क्या है? यह सबसे छोटा है प्राकृतिक संख्या, जो प्रत्येक संख्या से विभाज्य है।

देखिए, यहाँ दो संख्याएँ हैं: 3 और 4, ऐसी कई संख्याएँ हैं जो उनसे विभाज्य हैं - ये 12, 24, 36, ... इनमें से सबसे छोटी संख्या 12 है। या 6 और 15, 30, 60, 90 हैं उनके द्वारा विभाज्य .... कम से कम 30. प्रश्न - इस कम से कम सामान्य गुणक का निर्धारण कैसे करें?

एक स्पष्ट एल्गोरिथ्म है, लेकिन अक्सर यह गणना के बिना तुरंत किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, उपरोक्त उदाहरणों (3 और 4, 6 और 15) के अनुसार, किसी एल्गोरिथ्म की आवश्यकता नहीं है, हमने बड़ी संख्याएँ (4 और 15) लीं, उन्हें दोगुना किया और देखा कि वे दूसरी संख्या से विभाज्य हैं, लेकिन संख्याओं के जोड़े 51 और 119 जैसे अन्य हो सकते हैं।

कलन विधि। अनेक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के लिए, आपको यह करना होगा:

- प्रत्येक संख्या को सरल कारकों में विघटित करें

- उनमें से BIGGER का अपघटन लिखिए

- इसे अन्य संख्याओं के गुम गुणनखंडों से गुणा करें

उदाहरणों पर विचार करें:

50 और 60 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

अपघटन में अधिकएक पांच लापता

=> एलसीएम(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 और 72 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

एक बड़ी संख्या के विस्तार में, दो और तीन लुप्त हैं

=> एलसीएम (48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

*दो का कम से कम सामान्य गुणज अभाज्य सँख्याउनके उत्पाद के बराबर

प्रश्न! और कम से कम सामान्य गुणक को खोजना क्यों उपयोगी है, क्योंकि आप दूसरी विधि का उपयोग कर सकते हैं और परिणामी अंश को कम कर सकते हैं? हाँ, आप कर सकते हैं, लेकिन यह हमेशा सुविधाजनक नहीं होता है। संख्या 48 और 72 के लिए हर को देखें, यदि आप उन्हें 48∙72 = 3456 से गुणा करते हैं। सहमत हैं कि छोटी संख्याओं के साथ काम करना अधिक सुखद है।

उदाहरणों पर विचार करें:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

एक बड़ी संख्या के विस्तार में, एक ट्रिपल गायब है

=> एलसीएम(51,119) = 3∙7∙17

और अब हम पहली विधि लागू करते हैं:

* गणनाओं में अंतर देखें, पहले मामले में उनमें से एक न्यूनतम है, और दूसरे में आपको कागज के एक टुकड़े पर अलग से काम करने की आवश्यकता है, और यहां तक ​​कि जो अंश आपको मिला है उसे भी कम करने की आवश्यकता है। एलसीएम खोजने से काम काफी सरल हो जाता है।

और ज्यादा उदाहरण:

*दूसरे उदाहरण में स्पष्ट है कि सबसे छोटी संख्या, जिसे 40 और 60 से विभाजित किया जाता है, 120 के बराबर होता है।

कुल! सामान्य गणना एल्गोरिथ्म!

- यदि कोई पूर्णांक भाग है, तो हम साधारण अंशों में भिन्न लाते हैं।

- हम भिन्नों को एक सामान्य हर में लाते हैं (पहले हम देखते हैं कि क्या एक भाजक दूसरे से विभाज्य है, यदि यह विभाज्य है, तो हम इस भिन्न के अंश और हर को गुणा करते हैं; यदि यह विभाज्य नहीं है, तो हम इसका उपयोग करके कार्य करते हैं ऊपर बताए गए अन्य तरीके)।

- समान भाजक के साथ अंश प्राप्त करने के बाद, हम क्रिया (जोड़, घटाव) करते हैं।

- यदि आवश्यक हो, तो हम परिणाम कम करते हैं।

- यदि आवश्यक हो, तो पूरे भाग का चयन करें।

2. भिन्नों का गुणनफल।

नियम सरल है। भिन्नों को गुणा करते समय, उनके अंश और हर को गुणा किया जाता है:

उदाहरण:

प्रथम स्तर

अभिव्यक्ति रूपांतरण। विस्तृत सिद्धांत (2019)

अभिव्यक्ति रूपांतरण

अक्सर हम यह सुनते हैं एक अप्रिय वाक्यांश: "अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।" आमतौर पर, इस मामले में, हमारे पास इस तरह का कोई राक्षस होता है:

"हाँ, बहुत आसान है," हम कहते हैं, लेकिन ऐसा उत्तर आमतौर पर काम नहीं करता है।

अब मैं तुम्हें सिखाऊंगा कि ऐसे किसी भी काम से मत डरो। इसके अलावा, पाठ के अंत में, आप स्वयं इस उदाहरण को (सिर्फ!) साधारण संख्या(हाँ, उन पत्रों के साथ नरक में)।

लेकिन इससे पहले कि आप इस पाठ को शुरू करें, आपको भिन्नों और गुणनखंड बहुपदों को संभालने में सक्षम होना चाहिए। इसलिए, पहले, यदि आपने पहले ऐसा नहीं किया है, तो "" और "" विषयों में महारत हासिल करना सुनिश्चित करें।

पढ़ना? अगर हां, तो आप तैयार हैं।

बुनियादी सरलीकरण संचालन

अब हम उन मुख्य तकनीकों का विश्लेषण करेंगे जिनका प्रयोग व्यंजकों को सरल बनाने के लिए किया जाता है।

उनमें से सबसे सरल है

1. समान लाना

समान क्या हैं? आपने इसे 7वीं कक्षा में पढ़ा था, जब पहली बार गणित में संख्याओं के बजाय अक्षर दिखाई देते थे। समान अक्षर वाले भाग वाले शब्द (मोनोमियल) समान हैं। उदाहरण के लिए, कुल समान शब्द- यह और।

याद आया?

समान पदों को लाने का अर्थ है कई समान पदों को एक दूसरे से जोड़ना और एक पद प्राप्त करना।

लेकिन हम अक्षरों को एक साथ कैसे रख सकते हैं? - तुम पूछो।

यह समझना बहुत आसान है यदि आप कल्पना करते हैं कि अक्षर किसी प्रकार की वस्तुएं हैं। उदाहरण के लिए, पत्र एक कुर्सी है। फिर अभिव्यक्ति क्या है? दो कुर्सियाँ और तीन कुर्सियाँ, कितनी होगी? यह सही है, कुर्सियाँ: .

अब इस अभिव्यक्ति का प्रयास करें:

भ्रमित न होने के लिए, आइए अलग अक्षरविभिन्न चीजों का प्रतिनिधित्व करते हैं। उदाहरण के लिए, - यह (हमेशा की तरह) एक कुर्सी है, और - यह एक मेज है। फिर:

कुर्सियाँ मेजें कुर्सी मेज़ कुर्सियाँ कुर्सियाँ मेज़

वे संख्याएँ जिनसे ऐसे पदों के अक्षरों को गुणा किया जाता है, कहलाती हैं गुणांकों. उदाहरण के लिए, एकपदी में गुणांक बराबर होता है। और वह बराबर है।

तो, समान लाने का नियम:

उदाहरण:

समान लाओ:

उत्तर:

2. (और समान हैं, इसलिए, इन शब्दों में एक ही अक्षर भाग है)।

2. गुणनखंड

यह आमतौर पर सबसे अधिक है मुख्य हिस्साअभिव्यक्तियों को सरल बनाने में। आपके द्वारा समान दिए जाने के बाद, अक्सर परिणामी अभिव्यक्ति को गुणनखंडित किया जाना चाहिए, अर्थात उत्पाद के रूप में प्रस्तुत किया जाना चाहिए। यह भिन्नों में विशेष रूप से महत्वपूर्ण है: आखिरकार, एक अंश को कम करने के लिए, अंश और हर को एक उत्पाद के रूप में दर्शाया जाना चाहिए।

आपने "" विषय में व्यंजकों के गुणनखंडन की विस्तृत विधियों का अध्ययन किया है, इसलिए यहां आपको केवल यह याद रखना है कि आपने क्या सीखा है। ऐसा करने के लिए, कुछ हल करें उदाहरण(गुणन करने के लिए):

समाधान:

3. अंश में कमी।

खैर, अंश और हर के एक हिस्से को काटकर अपने जीवन से बाहर निकालने से अच्छा और क्या हो सकता है?

यही संक्षेप की सुंदरता है।

यह आसान है:

यदि अंश और हर में समान गुणनखंड हों, तो उन्हें घटाया जा सकता है, अर्थात भिन्न से हटाया जा सकता है।

यह नियम भिन्न के मूल गुण से अनुसरण करता है:

यानी कमी ऑपरेशन का सार यह है कि हम एक भिन्न के अंश और हर को एक ही संख्या (या एक ही व्यंजक) से विभाजित करते हैं।

अंश को कम करने के लिए, आपको चाहिए:

1) अंश और हर खंड करना

2) यदि अंश और हर में शामिल हैं सामान्य तथ्य, उन्हें हटाया जा सकता है।

सिद्धांत, मुझे लगता है, स्पष्ट है?

मैं एक की ओर ध्यान आकर्षित करना चाहता हूं सामान्य गलतीकम करते समय। हालाँकि यह विषय सरल है, लेकिन बहुत से लोग सब कुछ गलत करते हैं, यह महसूस नहीं करते हैं कट गया- मतलब है विभाजित करनाअंश और हर एक ही संख्या से।

यदि अंश या हर योग है तो कोई संक्षिप्ताक्षर नहीं है।

उदाहरण के लिए: आपको सरल बनाने की आवश्यकता है।

कुछ लोग ऐसा करते हैं: जो बिल्कुल गलत है।

एक और उदाहरण: कम करें।

"सबसे चतुर" यह करेगा:।

मुझे बताओ यहाँ क्या गलत है? ऐसा प्रतीत होता है: - यह एक गुणक है, इसलिए आप कम कर सकते हैं।

लेकिन नहीं: - यह अंश में केवल एक पद का गुणनखंड है, लेकिन अंश स्वयं समग्र रूप से कारकों में विघटित नहीं होता है।

यहाँ एक और उदाहरण है:।

यह अभिव्यक्ति कारकों में विघटित हो जाती है, जिसका अर्थ है कि आप कम कर सकते हैं, अर्थात अंश और हर को विभाजित कर सकते हैं, और फिर:

आप तुरंत विभाजित कर सकते हैं:

ऐसी गलतियों से बचने के लिए याद रखें आसान तरीकायह निर्धारित करने के लिए कि कोई अभिव्यक्ति कारक है या नहीं:

व्यंजक के मान की गणना करते समय अंतिम बार किया गया अंकगणितीय ऑपरेशन "मुख्य" है। अर्थात्, यदि आप अक्षरों के स्थान पर कुछ (कोई भी) संख्याओं को प्रतिस्थापित करते हैं, और व्यंजक के मान की गणना करने का प्रयास करते हैं, तो यदि अंतिम क्रिया गुणन है, तो हमारे पास एक गुणनफल होता है (व्यंजक गुणनखंडों में विघटित होता है)। यदि अंतिम क्रिया जोड़ या घटाव है, तो इसका अर्थ है कि व्यंजक गुणनखंडित नहीं है (और इसलिए कम नहीं किया जा सकता)।

इसे ठीक करने के लिए, इसे स्वयं कुछ हल करें उदाहरण:

उत्तर:

1. मुझे आशा है कि आप तुरंत काटने के लिए नहीं गए और? यह अभी भी इस तरह की इकाइयों को "कम" करने के लिए पर्याप्त नहीं था:

कारक बनाने के लिए पहला कदम होना चाहिए:

4. भिन्नों का जोड़ और घटाव। भिन्नों को एक सामान्य भाजक में लाना।

जोड़ना और घटाना साधारण अंश- ऑपरेशन सर्वविदित है: हम एक सामान्य भाजक की तलाश कर रहे हैं, हम प्रत्येक अंश को लापता कारक से गुणा करते हैं और अंशों को जोड़ते / घटाते हैं। चलो याद करते हैं:

उत्तर:

1. हर और सह अभाज्य हैं, अर्थात् उनके समान गुणनखंड नहीं हैं। इसलिए, इन संख्याओं का एलसीएम उनके उत्पाद के बराबर है। यह आम भाजक होगा:

2. यहाँ सार्व भाजक है:

3. पहली बात यहाँ मिश्रित भिन्नउन्हें गलत में बदल दें, और फिर - सामान्य योजना के अनुसार:

उदाहरण के लिए, भिन्नों में अक्षर हों तो यह बिल्कुल दूसरी बात है:

आइए सरल शुरू करें:

क) हर में अक्षर नहीं होते हैं

यहां सब कुछ सामान्य संख्यात्मक अंशों के समान है: हम एक सामान्य भाजक पाते हैं, प्रत्येक अंश को लापता कारक से गुणा करते हैं और अंशों को जोड़ते / घटाते हैं:

अब अंश में आप समान अंश ला सकते हैं, यदि कोई हो, और उनका गुणनखंड करें:

इसे स्वयं आज़माएं:

b) हर में अक्षर होते हैं

आइए अक्षरों के बिना एक सामान्य भाजक खोजने का सिद्धांत याद रखें:

सबसे पहले, हम सामान्य कारकों का निर्धारण करते हैं;

फिर हम सभी सामान्य कारकों को एक बार लिखते हैं;

और उन्हें अन्य सभी कारकों से गुणा करें, सामान्य नहीं।

हर के सामान्य गुणनखंडों को निर्धारित करने के लिए, हम पहले उन्हें सरल कारकों में विघटित करते हैं:

हम सामान्य कारकों पर जोर देते हैं:

अब हम सामान्य कारकों को एक बार लिखते हैं और उनमें सभी गैर-सामान्य (रेखांकित नहीं) कारक जोड़ते हैं:

यह सामान्य भाजक है।

आइए पत्रों पर वापस जाएं। भाजक ठीक उसी तरह दिए गए हैं:

हम भाजक को कारकों में विघटित करते हैं;

सामान्य (समान) गुणक निर्धारित करें;

सभी सामान्य कारकों को एक बार लिख लें;

हम उन्हें अन्य सभी कारकों से गुणा करते हैं, सामान्य नहीं।

तो, क्रम में:

1) हर को कारकों में विघटित करें:

2) सामान्य (समान) कारकों का निर्धारण करें:

3) सभी सामान्य कारकों को एक बार लिखें और उन्हें अन्य सभी (रेखांकित नहीं) कारकों से गुणा करें:

तो आम भाजक यहाँ है। पहले अंश से गुणा किया जाना चाहिए, दूसरा - द्वारा:

वैसे, एक तरकीब है:

उदाहरण के लिए: ।

हम हर में समान कारक देखते हैं, केवल सब कुछ के साथ विभिन्न संकेतक. आम भाजक होगा:

सीमा तक

सीमा तक

सीमा तक

डिग्री में।

आइए कार्य को जटिल करें:

भिन्नों को एक ही भाजक कैसे बनाते हैं?

आइए एक भिन्न का मूल गुण याद रखें:

यह कहीं नहीं कहा गया है कि एक भिन्न के अंश और हर में से एक ही संख्या को घटाया (या जोड़ा) जा सकता है। क्योंकि यह सच नहीं है!

अपने लिए देखें: उदाहरण के लिए, कोई भिन्न लें, और अंश और हर में कुछ संख्या जोड़ें, उदाहरण के लिए, . क्या सीखा है?

तो, एक और अटल नियम:

जब आप एक सामान्य हर में भिन्न लाते हैं, तो केवल गुणन संक्रिया का उपयोग करें!

लेकिन प्राप्त करने के लिए आपको गुणा करने की क्या आवश्यकता है?

यहाँ पर और गुणा करें। और इससे गुणा करें:

जिन व्यंजकों को गुणनखंडित नहीं किया जा सकता उन्हें "प्राथमिक कारक" कहा जाएगा। उदाहरण के लिए, एक प्राथमिक कारक है। - भी। लेकिन - नहीं: यह कारकों में विघटित हो जाता है।

अभिव्यक्ति के बारे में क्या? क्या यह प्राथमिक है?

नहीं, क्योंकि इसे गुणनखंडित किया जा सकता है:

(आप पहले ही "" विषय में गुणनखंडन के बारे में पढ़ चुके हैं)।

तो, प्राथमिक कारक जिसमें आप अक्षरों के साथ अभिव्यक्ति को विघटित करते हैं, एक अनुरूप है प्रधान कारणजिसमें आप संख्याओं को विघटित करते हैं। और हम उनके साथ भी ऐसा ही करेंगे।

हम देखते हैं कि दोनों हरों में एक गुणनखंड होता है। यह सत्ता में आम भाजक के पास जाएगा (याद रखें क्यों?)

गुणक प्राथमिक है, और उनके पास यह सामान्य नहीं है, जिसका अर्थ है कि पहले अंश को बस इससे गुणा करना होगा:

एक और उदाहरण:

फेसला:

पैनिक में इन हरों को गुणा करने से पहले, आपको यह सोचने की ज़रूरत है कि उन्हें कैसे फ़ैक्टर किया जाए? वे दोनों प्रतिनिधित्व करते हैं:

बढ़िया! फिर:

एक और उदाहरण:

फेसला:

हमेशा की तरह, हम भाजक का गुणनखंड करते हैं। पहले हर में, हम इसे केवल कोष्ठक से बाहर रखते हैं; दूसरे में - वर्गों का अंतर:

ऐसा लगता है कि कोई सामान्य कारक नहीं हैं। लेकिन अगर आप करीब से देखें, तो वे पहले से ही बहुत समान हैं ... और सच्चाई यह है:

तो चलिए लिखते हैं:

यही है, यह इस तरह निकला: ब्रैकेट के अंदर, हमने शर्तों की अदला-बदली की, और साथ ही, अंश के सामने का चिन्ह विपरीत में बदल गया। ध्यान दें, आपको ऐसा अक्सर करना होगा।

अब हम एक सामान्य भाजक को लाते हैं:

समझ गया? अब चलो जाँच करते हैं।

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य:

उत्तर:

यहां हमें एक और बात याद रखनी चाहिए - क्यूब्स का अंतर:

कृपया ध्यान दें कि दूसरे भिन्न के हर में "योग का वर्ग" सूत्र नहीं होता है! योग का वर्ग इस तरह दिखेगा:

ए योग का तथाकथित अपूर्ण वर्ग है: इसमें दूसरा पद पहले और अंतिम का गुणनफल है, न कि उनका दोगुना गुणनफल। योग का अधूरा वर्ग घनों के अंतर के विस्तार के कारकों में से एक है:

क्या होगा यदि पहले से ही तीन अंश हैं?

हाँ वही! सबसे पहले इसे बनाते हैं ताकि अधिकतम राशिहर में कारक समान थे:

ध्यान दें: यदि आप एक कोष्ठक के अंदर के चिन्हों को बदलते हैं, तो भिन्न के सामने का चिन्ह विपरीत में बदल जाता है। जब हम दूसरे कोष्ठक में चिन्ह बदलते हैं, तो भिन्न के सामने का चिन्ह फिर से उलट जाता है। नतीजतन, वह (अंश के सामने का चिन्ह) नहीं बदला है।

हम सामान्य हर में पहले हर को पूर्ण रूप से लिखते हैं, और फिर हम इसमें उन सभी कारकों को जोड़ते हैं जो अभी तक नहीं लिखे गए हैं, दूसरे से, और फिर तीसरे से (और इसी तरह, यदि अधिक अंश हैं)। यानी यह इस प्रकार है:

हम्म ... भिन्नों के साथ, यह स्पष्ट है कि क्या करना है। लेकिन दोनों का क्या?

यह आसान है: आप भिन्नों को जोड़ना जानते हैं, है ना? तो, आपको यह सुनिश्चित करने की ज़रूरत है कि ड्यूस एक अंश बन जाए! याद रखें: एक अंश एक विभाजन ऑपरेशन है (अंश को हर से विभाजित किया जाता है, यदि आप अचानक भूल जाते हैं)। और किसी संख्या को विभाजित करने से आसान कुछ भी नहीं है। इस मामले में, संख्या स्वयं नहीं बदलेगी, लेकिन एक अंश में बदल जाएगी:

आख़िर ज़रूरत क्या है!

5. भिन्नों का गुणा और भाग।

खैर, सबसे कठिन हिस्सा अब खत्म हो गया है। और हमारे आगे सबसे सरल है, लेकिन साथ ही सबसे महत्वपूर्ण है:

प्रक्रिया

मतगणना की प्रक्रिया क्या है संख्यात्मक अभिव्यक्ति? याद रखें, ऐसी अभिव्यक्ति के मूल्य को देखते हुए:

क्या आपने गिनती की?

यह काम करना चाहिए।

तो, मैं आपको याद दिलाता हूं।

डिग्री की गणना करने के लिए पहला कदम है।

दूसरा गुणन और भाग है। यदि एक ही समय में कई गुणा और भाग हैं, तो आप उन्हें किसी भी क्रम में कर सकते हैं।

और अंत में, हम जोड़ और घटाव करते हैं। फिर से, किसी भी क्रम में।

लेकिन: कोष्ठक की अभिव्यक्ति का मूल्यांकन क्रम से किया जाता है!

यदि कई कोष्ठकों को एक दूसरे से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो हम पहले प्रत्येक कोष्ठक में व्यंजक का मूल्यांकन करते हैं, और फिर उन्हें गुणा या विभाजित करते हैं।

क्या होगा यदि कोष्ठक के अंदर अन्य कोष्ठक हैं? अच्छा, आइए सोचते हैं: कोष्ठक के अंदर कुछ व्यंजक लिखे गए हैं। किसी व्यंजक का मूल्यांकन करते समय सबसे पहले क्या करना चाहिए? यह सही है, कोष्ठक की गणना करें। खैर, हमने इसका पता लगा लिया: पहले हम आंतरिक कोष्ठक की गणना करते हैं, फिर बाकी सब कुछ।

तो, उपरोक्त अभिव्यक्ति के लिए क्रियाओं का क्रम इस प्रकार है (वर्तमान क्रिया को लाल रंग में हाइलाइट किया गया है, अर्थात वह क्रिया जो मैं अभी कर रहा हूँ):

ठीक है, यह सब आसान है।

लेकिन यह अक्षरों के साथ एक अभिव्यक्ति के समान नहीं है, है ना?

नहीं, यह वही है! केवल इसके बजाय अंकगणितीय आपरेशनसआपको बीजगणित करने की आवश्यकता है, अर्थात्, पिछले भाग में वर्णित क्रियाएं: समान लाना, भिन्नों को जोड़ना, भिन्नों को घटाना, इत्यादि। फर्क सिर्फ इतना है कि बहुपदों को फैक्टरिंग करने की क्रिया होगी (अक्सर हम इसका इस्तेमाल भिन्नों के साथ काम करते समय करते हैं)। बहुधा, गुणनखंडन के लिए, आपको आवेदन करने की आवश्यकता होती है i या बस निकालना सामान्य अवयवकोष्ठक के लिए।

आमतौर पर हमारा लक्ष्य किसी व्यंजक को उत्पाद या भागफल के रूप में प्रस्तुत करना होता है।

उदाहरण के लिए:

आइए अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।

1) सबसे पहले हम कोष्ठक में व्यंजक को सरल बनाते हैं। वहां हमारे पास भिन्नों का अंतर है, और हमारा लक्ष्य इसे उत्पाद या भागफल के रूप में प्रस्तुत करना है। इसलिए, हम भिन्नों को एक सामान्य हर में लाते हैं और जोड़ते हैं:

इस अभिव्यक्ति को और सरल बनाना असंभव है, यहाँ सभी कारक प्राथमिक हैं (क्या आपको अभी भी इसका अर्थ याद है?)

2) हमें मिलता है:

भिन्नों का गुणन: क्या आसान हो सकता है।

3) अब आप छोटा कर सकते हैं:

यही बात है। कुछ भी जटिल नहीं है, है ना?

एक और उदाहरण:

अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।

सबसे पहले, इसे स्वयं हल करने का प्रयास करें, और उसके बाद ही समाधान देखें।

सबसे पहले, आइए प्रक्रिया को परिभाषित करें। सबसे पहले, आइए भिन्नों को कोष्ठकों में जोड़ें, दो भिन्नों के बजाय, एक निकलेगा। फिर हम भिन्नों का विभाजन करेंगे। खैर, हम परिणाम को अंतिम भिन्न के साथ जोड़ते हैं। मैं योजनाबद्ध रूप से चरणों की संख्या दूंगा:

अब मैं वर्तमान क्रिया को लाल रंग से रंगते हुए पूरी प्रक्रिया दिखाऊंगा:

अंत में, मैं आपको दो उपयोगी टिप्स दूंगा:

1. यदि समान हैं, तो उन्हें तुरंत लाया जाना चाहिए। हमारे पास जो भी क्षण हैं, उन्हें तुरंत लाने की सलाह दी जाती है।

2. भिन्नों को कम करने के लिए भी यही होता है: जैसे ही कम करने का अवसर आता है, इसका उपयोग किया जाना चाहिए। अपवाद वे अंश हैं जिन्हें आप जोड़ते या घटाते हैं: यदि उनके पास है एक ही भाजक, तो कटौती को बाद के लिए छोड़ दिया जाना चाहिए।

यहां कुछ कार्य दिए गए हैं जिन्हें आप स्वयं हल कर सकते हैं:

और शुरुआत में ही वादा किया था:

समाधान (संक्षिप्त):

यदि आपने कम से कम पहले तीन उदाहरणों का सामना किया है, तो विचार करें कि आपने इस विषय में महारत हासिल कर ली है।

अब सीखने के लिए!

अभिव्यक्ति रूपांतरण। सारांश और बुनियादी सूत्र

बुनियादी सरलीकरण संचालन:

• समान लाना: समान पदों को जोड़ने (घटाने) के लिए, आपको उनके गुणांक जोड़ने और अक्षर भाग निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है।
• गुणनखंडन:कोष्ठक से उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालना, आवेदन करना आदि।
• अंश में कमी: किसी भिन्न के अंश और हर को उसी गैर-शून्य संख्या से गुणा या भाग किया जा सकता है, जिससे भिन्न का मान नहीं बदलता है।
  1) अंश और हर खंड करना
  2) यदि अंश और हर में समान गुणनखंड हैं, तो उन्हें काट दिया जा सकता है।

  महत्वपूर्ण: केवल गुणक कम किए जा सकते हैं!

• भिन्नों का जोड़ और घटाव:
  ;
• भिन्नों का गुणन और विभाजन:
  ;

आठवीं प्रकार के स्कूल में, छात्र भिन्नों के निम्नलिखित परिवर्तनों से परिचित होते हैं: बड़े अंशों में एक अंश की अभिव्यक्ति (6 वीं कक्षा), एक पूर्णांक या मिश्रित संख्या (6 वीं कक्षा) के साथ एक अनुचित अंश की अभिव्यक्ति, समान भागों में अंशों की अभिव्यक्ति (7वीं कक्षा), अभिव्यक्ति मिश्रित संख्याअनुचित अंश (7 वीं कक्षा)।

अनुचित भिन्न व्यंजकया मिश्रित संख्या

मैं अध्ययन करता हूं पदार्थआपको कार्य से शुरू करना चाहिए: 2 सिले हुए मंडल लें और उनमें से प्रत्येक को 4 बराबर भागों में विभाजित करें, चौथे भागों की संख्या गिनें (चित्र 25)। इसके अलावा, इस राशि को भिन्न के रूप में लिखने का प्रस्ताव है (t) फिर चौथे भाग को एक दूसरे में जोड़ दिया जाता है और छात्रों को यह विश्वास हो जाता है कि यह निकला

पहला सर्कल। इसलिये, -टी =एक । चार तिमाहियों में जोड़ता है - क्रमिक रूप से अधिक -टी,और छात्र लिखते हैं: t=1, -7=1 6 2 7 3 8 9

शिक्षक छात्रों का ध्यान इस तथ्य की ओर आकर्षित करता है कि सभी मामलों में माना जाता है कि उन्होंने एक अनुचित अंश लिया, और परिवर्तन के परिणामस्वरूप उन्हें एक पूर्णांक या एक मिश्रित संख्या प्राप्त हुई, अर्थात, उन्होंने एक पूर्णांक के रूप में एक अनुचित अंश को व्यक्त किया। या मिश्रित संख्या। इसके बाद, हमें यह सुनिश्चित करने का प्रयास करना चाहिए कि छात्र स्वतंत्र रूप से यह निर्धारित करें कि यह परिवर्तन किस अंकगणितीय ऑपरेशन को किया जा सकता है। ज्वलंत उदाहरण उत्तर की ओर ले जाते हैं

4. 8 0 5 .1 7 .3 एल

प्रश्न के लिए हैं: -2-=! और टी = 2, 4" = 1t और टी टी " वाई वी डिग्री डी : को

एक अनुचित भिन्न को पूर्ण या मिश्रित संख्या के रूप में व्यक्त करने के लिए, आपको भिन्न के अंश को हर से विभाजित करना होगा, भागफल को पूर्णांक के रूप में लिखना होगा, शेष को अंश में लिखना होगा, और हर को समान छोड़ना होगा। चूंकि नियम बोझिल है, इसलिए यह बिल्कुल भी जरूरी नहीं है कि छात्र इसे याद रखें। इस परिवर्तन को करते समय उन्हें लगातार क्रियाओं के बारे में बताने में सक्षम होना चाहिए।

एक पूर्णांक या मिश्रित संख्या द्वारा एक अनुचित भिन्न की अभिव्यक्ति के लिए छात्रों को पेश करने से पहले, उनके साथ एक पूर्णांक के विभाजन को एक पूर्णांक द्वारा शेष के साथ दोहराने की सलाह दी जाती है।

छात्रों के लिए एक नए परिवर्तन का समेकन एक महत्वपूर्ण और व्यावहारिक प्रकृति की समस्याओं के समाधान से सुगम होता है, उदाहरण के लिए:

“फूलदान में नौ-चौथाई संतरे हैं। स्कोल| इन शेयरों से पूरे संतरे जोड़े जा सकते हैं? कितने चौथाई बचे रहेंगे?"

"बक्से के लिए ढक्कन के निर्माण के लिए, कार्ड की प्रत्येक शीट

35 को 16 बराबर भागों में काटा जाता है। मिलना -^. कितने लक्ष्य!

कार्डबोर्ड की चादरें काटें? एक कट के कितने सोलहवें! अगले भाग से? आदि।

पूर्णांक और मिश्रित संख्या का व्यंजकअनुचित अंश

इस नए परिवर्तन के लिए छात्रों का परिचय समस्या समाधान से पहले होना चाहिए, उदाहरण के लिए:

“कपड़े के 2 टुकड़े, लंबाई में बराबर, एक वर्ग के आकार के। > 4 बराबर भागों में काट लें। ऐसे हर हिस्से से एक रूमाल सिल दिया गया था। कितने रूमाल मिले? मैं रिकॉर्ड: 2= - 1 4^-, 2= -% ]

क्या आपको शराब मिली? लिखो: 1 * वृत्त थे, यह * वृत्त बन गए, जिसका अर्थ है

इस प्रकार, एक दृश्य और व्यावहारिक आधार पर, हम कई उदाहरणों पर विचार करते हैं। विचाराधीन उदाहरणों में, छात्रों को मूल संख्या (मिश्रित या पूर्णांक) और रूपांतरण के बाद प्राप्त संख्या (अनुचित अंश) की तुलना करने के लिए कहा जाता है।

विद्यार्थियों को पूर्ण और मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न के रूप में व्यक्त करने के नियम से परिचित कराने के लिए, मिश्रित संख्या और अनुचित भिन्न के हरों की तुलना करने के साथ-साथ अंश कैसे प्राप्त किया जाता है, इस पर उनका ध्यान आकर्षित करना आवश्यक है। उदाहरण:

1 2"=?, 1 = 2", प्लस ^, कुल ^ 3 ^=?, 3=-^-, प्लस ^, कुल

होगा -^-। नतीजतन, नियम तैयार किया जाता है: ताकि एक मिश्रित संख्या

एक अनुचित अंश के रूप में व्यक्त करने के लिए, आपको हर को एक पूर्णांक से गुणा करना होगा, गुणन में अंश जोड़ना होगा और योग को अंश के रूप में लिखना होगा, और हर को अपरिवर्तित छोड़ना होगा।

सबसे पहले, आपको छात्रों को एक इकाई को एक अनुचित भिन्न के रूप में व्यक्त करने की आवश्यकता है, फिर किसी अन्य पूर्ण संख्या को हर के साथ, और उसके बाद ही एक मिश्रित संख्या:

भिन्न का मूल गुण 1

[बढ़ते समय एक अंश की अपरिवर्तनीयता की अवधारणा

इसके सदस्यों में 1 कमी, यानी अंश और हर, आठवीं प्रकार के स्कूल के छात्रों द्वारा सीखे जाते हैं बड़ी मुश्किल से. इस अवधारणा को दृश्य और उपदेशात्मक सामग्री पर पेश किया जाना चाहिए,

यह क्यों महत्वपूर्ण है कि छात्र न केवल शिक्षक की गतिविधियों का निरीक्षण करते हैं, बल्कि सक्रिय रूप से उपदेशात्मक सामग्री के साथ काम करते हैं और टिप्पणियों और व्यावहारिक गतिविधियों के आधार पर कुछ निष्कर्ष, सामान्यीकरण पर आते हैं।

उदाहरण के लिए, शिक्षक एक पूरी शलजम लेता है, उसे 2 समान प्रतिशोधों में विभाजित करता है और पूछता है: “पूरे शलजम को विभाजित करने पर आपको क्या मिला

आधे में? (2 आधा।) दिखाएँ * शलजम। चलो काटते हैं (अलग)

आधा शलजम 2 और बराबर भागों में बाँट लें। हमें क्या मिलेगा? -वाई। चलो लिखते है:

tt \u003d - m - आइए इन भिन्नों के अंश और हर की तुलना करें। किस समय पर

संख्या कितनी बढ़ गई है? भाजक कितनी बार बढ़ा है? अंश और हर दोनों में कितनी बार वृद्धि हुई है? क्या अंश बदल गया है? यह क्यों नहीं बदला? शेयर क्या थे: बड़ा या छोटा? संख्या बढ़ी या घटी

फिर सभी विद्यार्थी वृत्त को 2 बराबर भागों में बाँट देते हैं, प्रत्येक आधे को 2 और बराबर भागों में बाँट दिया जाता है, प्रत्येक तिमाही को आगे में विभाजित किया जाता है

2 बराबर भागों, आदि, और नीचे लिखें: "ओ ^ ए ^ टीजी ^ टीजीजी और टी - एल- फिर वे स्थापित करते हैं कि कितनी बार अंश के अंश और हर में वृद्धि हुई है, क्या अंश बदल गया है। फिर वे एक आकर्षित करते हैं खंड करें और इसे क्रमिक रूप से 3 , 6, 12 . से विभाजित करें बराबर भागऔर लिखा:

1 21 4 भिन्न -^ और -^, -^ और -^ की तुलना करने पर यह पाया जाता है कि

भिन्न r के अंश और हर में समान संख्या में वृद्धि होती है, इससे भिन्न नहीं बदलता है।

कई उदाहरणों पर विचार करने के बाद, गणित में सीखने में कठिनाई वाले बच्चों के लिए कक्षाओं को समतल करने में, छात्रों से इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए कहा जाना चाहिए: "क्या अंश बदल जाएगा?"। इस पाठ्यपुस्तक में, पैराग्राफ जो इस सामग्री के अध्ययन के लिए एक पद्धति देते हैं,

तारांकन (*) के साथ चिह्नित।

और भिन्न के हर को उसी संख्या से गुणा करें (बढ़ेगा - समान संख्या से गुणा)? इसके अलावा, छात्रों को स्वयं उदाहरण प्रदान करने के लिए कहा जाना चाहिए।

इसी तरह के उदाहरण दिए गए हैं जब अंश और हर को एक ही संख्या से कम करने पर विचार किया जाता है (अंश और हर को एक ही संख्या से विभाजित किया जाता है)। उदाहरण के लिए, करोड़>"

( 4 \ 8 बराबर भागों में विभाजित, एक वृत्त I -o- का 4 आठवां भाग लें]

शेयरों को बड़ा करने के बाद, वे चौथा लेते हैं, उनमें से 2 होंगे। शेयरों को बड़ा करने के बाद

4 2 1 दूसरा लें। 1 . होगा : ~ थ = -डी--%-अनुयायी की तुलना करें!मैं

इन भिन्नों के अंश और हर, प्रश्नों का उत्तर देते हुए: “In<>अंश और हर कितनी बार घटते हैं? क्या अंश बदल जाएगा?

एक अच्छा लाभ धारियों को 12, 6, 3 बराबर भागों में विभाजित किया जाता है (चित्र 26)।

एच

12 6 3 अंजीर। 26

विचार किए गए उदाहरणों के आधार पर, छात्र यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि भिन्न नहीं बदलेगा यदि भिन्न के अंश और हर को एक ही संख्या (समान संख्या से घटाकर) से विभाजित किया जाता है। फिर एक सामान्यीकृत निष्कर्ष दिया जाता है - एक अंश की मुख्य संपत्ति: अंश नहीं बदलेगा यदि अंश के अंश और हर को समान संख्या में बढ़ाया या घटाया जाए।

मूल व्यंजक बनाने वाली संख्याओं और व्यंजकों को उन व्यंजकों द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है जो उनके समान रूप से समान हों। मूल अभिव्यक्ति के इस तरह के परिवर्तन से एक अभिव्यक्ति होती है जो समान रूप से इसके बराबर होती है।

उदाहरण के लिए, व्यंजक 3+x में, संख्या 3 को योग 1+2 से बदला जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप व्यंजक (1+2)+x होता है, जो मूल व्यंजक के समान रूप से बराबर होता है। एक अन्य उदाहरण: व्यंजक 1+a 5 में 5 की डिग्री को समान रूप से इसके बराबर उत्पाद से बदला जा सकता है, उदाहरण के लिए, a·a 4 के रूप में। यह हमें व्यंजक 1+a·a 4 देगा।

यह परिवर्तन निस्संदेह कृत्रिम है, और आमतौर पर कुछ और परिवर्तन की तैयारी है। उदाहरण के लिए, योग 4·x 3 +2·x 2 में, डिग्री के गुणों को ध्यान में रखते हुए, पद 4·x 3 को उत्पाद 2·x 2 ·2·x के रूप में दर्शाया जा सकता है। इस तरह के परिवर्तन के बाद, मूल व्यंजक 2·x 2 ·2·x+2·x 2 का रूप ले लेगा। जाहिर है, परिणामी योग की शर्तों में एक सामान्य कारक 2 x 2 है, इसलिए हम निम्नलिखित परिवर्तन कर सकते हैं - कोष्ठक। इसके बाद, हम व्यंजक पर आएंगे: 2 x 2 (2 x+1)।

एक ही संख्या को जोड़ना और घटाना

किसी व्यंजक का एक अन्य कृत्रिम रूपांतरण एक ही समय में एक ही संख्या या व्यंजक का जोड़ और घटाव है। ऐसा परिवर्तन समान है, क्योंकि यह वास्तव में शून्य जोड़ने के बराबर है, और शून्य जोड़ने से मान नहीं बदलता है।

एक उदाहरण पर विचार करें। आइए व्यंजक x 2 +2 x लें। यदि इसमें एक जोड़ा जाता है और एक को हटा दिया जाता है, तो यह भविष्य में एक और समान परिवर्तन करने की अनुमति देगा - द्विपद का वर्ग चुनें: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 −1.

ग्रंथ सूची।

• बीजगणित:पाठयपुस्तक 7 कोशिकाओं के लिए। सामान्य शिक्षा संस्थान / [यू. एन। मकारिचेव, एन। जी। मिंड्युक, के। आई। नेशकोव, एस। बी। सुवोरोवा]; ईडी। एस ए तेल्याकोवस्की। - 17वां संस्करण। - एम।: शिक्षा, 2008। - 240 पी। : बीमार। - आईएसबीएन 978-5-09-019315-3।
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के बीच में विभिन्न भाव, जिन्हें बीजगणित में माना जाता है, महत्वपूर्ण स्थानएकपदी के योग हैं। यहां ऐसे भावों के उदाहरण दिए गए हैं:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

एकपदी के योग को बहुपद कहते हैं। बहुपद के पद बहुपद के सदस्य कहलाते हैं। एकपदी को बहुपद के रूप में भी संदर्भित किया जाता है, एक मोनोमियल को एक सदस्य से मिलकर बहुपद के रूप में माना जाता है।

उदाहरण के लिए, बहुपद
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
सरलीकृत किया जा सकता है।

हम सभी पदों को एकपदी के रूप में निरूपित करते हैं मानक दृश्य:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

हम परिणामी बहुपद में समान पद देते हैं:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
परिणाम एक बहुपद है, जिसके सभी सदस्य मानक रूप के एकपदी हैं, और उनमें से कोई भी समान नहीं है। ऐसे बहुपद कहलाते हैं मानक रूप के बहुपद.

पीछे बहुपद डिग्रीमानक रूप अपने सदस्यों की शक्तियों का सबसे बड़ा हिस्सा लेते हैं। तो, द्विपद \(12a^2b - 7b \) में तीसरी डिग्री है, और ट्रिनोमियल \(2b^2 -7b + 6 \) के पास दूसरा है।

आमतौर पर, एक चर वाले बहुपद के मानक रूप के सदस्यों को इसके घातांक के अवरोही क्रम में व्यवस्थित किया जाता है। उदाहरण के लिए:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

कई बहुपदों के योग को एक मानक रूप बहुपद में परिवर्तित (सरलीकृत) किया जा सकता है।

कभी-कभी बहुपद के सदस्यों को समूहों में विभाजित करने की आवश्यकता होती है, प्रत्येक समूह को कोष्ठक में संलग्न करते हैं। चूंकि कोष्ठक कोष्ठक के विपरीत हैं, इसलिए इसे बनाना आसान है कोष्ठक खोलने के नियम:

यदि कोष्ठक के आगे + चिन्ह रखा जाता है, तो कोष्ठक में संलग्न पदों को समान चिन्हों के साथ लिखा जाता है।

यदि कोष्ठक के सामने "-" का चिन्ह रखा जाता है, तो कोष्ठक में संलग्न पदों को विपरीत चिन्हों के साथ लिखा जाता है।

एकपदी और एक बहुपद के गुणनफल का रूपांतरण (सरलीकरण)

ज़रिये वितरण की जाने वाली संपत्तिगुणन को एक बहुपद, एक एकपदी और एक बहुपद के गुणनफल में परिवर्तित (सरलीकृत) किया जा सकता है। उदाहरण के लिए:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

एकपदी और एक बहुपद का गुणनफल समान रूप से इस एकपदी के गुणनफल और बहुपद के प्रत्येक पद के योग के बराबर होता है।

यह परिणाम आमतौर पर एक नियम के रूप में तैयार किया जाता है।

एक एकपदी को एक बहुपद से गुणा करने के लिए, इस एकपदी को बहुपद के प्रत्येक पद से गुणा करना चाहिए।

हमने इस नियम का बार-बार योग से गुणा करने के लिए उपयोग किया है।

बहुपदों का गुणनफल। दो बहुपदों के गुणनफल का परिवर्तन (सरलीकरण)

सामान्य तौर पर, दो बहुपदों का गुणनफल एक बहुपद के प्रत्येक पद और दूसरे के प्रत्येक पद के गुणनफल के योग के बराबर होता है।

आमतौर पर निम्नलिखित नियम का उपयोग करें।

एक बहुपद को एक बहुपद से गुणा करने के लिए, आपको एक बहुपद के प्रत्येक पद को दूसरे के प्रत्येक पद से गुणा करना होगा और परिणामी उत्पादों को जोड़ना होगा।

संक्षिप्त गुणन सूत्र। योग, अंतर और अंतर वर्ग

कुछ भावों के साथ बीजीय परिवर्तनदूसरों की तुलना में अधिक व्यवहार करना पड़ता है। शायद सबसे आम भाव हैं \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) और \(a^2 - b^2 \), यानी योग का वर्ग, अंतर का वर्ग, और वर्ग अंतर। आपने देखा कि संकेतित व्यंजकों के नाम अधूरे प्रतीत होते हैं, इसलिए, उदाहरण के लिए, \((a + b)^2 \) निश्चित रूप से योग का वर्ग नहीं है, बल्कि योग के योग का वर्ग है। ए और बी। हालाँकि, a और b के योग का वर्ग इतना सामान्य नहीं है, एक नियम के रूप में, a और b अक्षरों के बजाय, इसमें विभिन्न, कभी-कभी काफी जटिल भाव होते हैं।

व्यंजक \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) मानक रूप के बहुपदों में परिवर्तित (सरलीकृत) करना आसान है, वास्तव में, बहुपदों को गुणा करते समय आप पहले ही इस तरह के कार्य से मिल चुके हैं :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

परिणामी सर्वसमिकाएँ मध्यवर्ती गणनाओं के बिना याद रखने और लागू करने के लिए उपयोगी हैं। लघु मौखिक सूत्रीकरण इसमें मदद करते हैं।

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - योग का वर्ग वर्गों और दोहरे गुणनफल के योग के बराबर होता है।

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - अंतर का वर्ग गुणन को दोगुना किए बिना वर्गों का योग है।

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - वर्गों का अंतर अंतर और योग के गुणनफल के बराबर है।

ये तीन पहचान परिवर्तनों में अपने बाएं हिस्सों को दाएं से बदलने की अनुमति देती हैं और इसके विपरीत - बाएं हिस्से के साथ दाएं हिस्से। इस मामले में सबसे कठिन बात यह है कि संबंधित अभिव्यक्तियों को देखना और यह समझना कि उनमें कौन से चर a और b बदले गए हैं। आइए संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करने के कुछ उदाहरण देखें।