jungkir balik tiga kali kapal pesiar laut pemberat ditempatkan rendah, yang tidak memungkinkan mereka untuk tumit kuat dan umumnya terbalik. Namun, kebetulan kapal pesiar masih terbang jungkir balik, seperti iol tanpa pemberat, dan ini hanya terjadi di sini - di Samudra Selatan yang luas. Saya tahu

Di antara tugas dalam dua tindakan, ada sekelompok tugas yang diselesaikan persatuan. Memecahkan masalah seperti itu, anak-anak harus secara praktis mempelajari sifat-sifat besaran yang berbanding lurus.

Mari kita ambil contoh soal: Sebuah kapal uap menempuh 40 km dalam 2 jam. Berapa kilometer perjalanan kapal dalam 4 jam dengan kecepatan yang sama? Dalam masalah ini, dua nilai waktu dan satu nilai jarak diketahui, sesuai dengan nilai waktu pertama; diketahui bahwa kecepatan gerak tidak berubah, maka perlu dicari nilai jarak yang lain.

Mari kita pertimbangkan berbagai cara untuk menyelesaikan masalah ini, tuliskan solusi di sebelah kiri dan pembenarannya di sebelah kanan.

I metode solusi - metode reduksi langsung ke kesatuan

larutan oral

2 jam - 40 km
1 jam – 20 km
4 jam - 80 km

Keputusan tertulis

1) 40km: 2 = 20km
2)20km x 4 = 80km

Nilai numerik waktu, dua nilai yang diketahui, dikurangi menjadi satu.

Pada kecepatan tetap jika waktu dikurangi 2 kali, jarak akan berkurang 2 kali, jika ditambah 4 kali, jarak akan bertambah 4 kali.

Metode penyelesaian yang kedua adalah metode reduksi terbalik menjadi satu.

larutan oral

40 km - 2 jam = 120 menit.
1 km - 3 menit.
4 jam (240 menit) – 80 km

Keputusan tertulis

1) 120 menit. : 40 = 3 menit.
2) 240 menit. : 3 menit = 80 (km)

Nilai numerik jarak dikurangi menjadi satu, satu nilainya diketahui, dan yang lainnya tidak diketahui.

Dengan kecepatan tetap, diperlukan waktu 40 kali lebih sedikit untuk menempuh 1 km lintasan daripada menempuh 40 km lintasan, yaitu 3 menit, dan dalam 4 jam (240 menit) kapal uap akan menempuh jarak sebanyak beberapa kilometer sebagai 240 menit. lebih dari 3 menit.

Cara penyelesaian ketiga adalah cara menemukan relasi.

Catatan singkat tentang kondisi tugas:

2 jam - 40 km
4 jam - x

1) 4 jam: 2 jam = 2
2) 40 km x 2 = 80 km

Pada kecepatan gerakan konstan, berapa kali waktu bertambah, jarak yang ditempuh bertambah dengan jumlah yang sama

Metode solusi IV - metode menemukan nilai numerik nilai konstan.

Pernyataan singkat tentang kondisi tugas

2 jam - 40 km
4 jam -?

1) 40 km: 2 = 20 km
2) 20 km x 4 = 80 km

Saat memecahkan masalah ini, metode IV bertepatan dengan metode I.

Untuk menemukan jarak yang ditempuh dalam 4 jam, Anda perlu mengalikan kecepatan, yang diperoleh dengan membagi jarak dengan nilai waktu yang sesuai, dengan nilai waktu baru.

Mari kita terapkan metode menemukan nilai numerik dari nilai konstan untuk masalah lain:

Kapal menempuh jarak 40 km dengan kecepatan 20 km per jam. Berapa kilometer perjalanan kapal uap tersebut dalam waktu yang sama dengan kecepatan 30 km per jam?

Keputusan. Menurut kondisi masalah ini, waktu adalah nilai konstan.

1) Berapa jam yang diperlukan kapal untuk menempuh jarak 40 km?

40 km: 20 km = 2 (jam)

2) Berapa kilometer yang akan ditempuh kapal uap dalam 2 jam dengan kecepatan baru?

30 km x 2 – 60 km

Jawab: 60 km.

Ketika memecahkan masalah ini, metode untuk menemukan nilai numerik dari suatu konstanta berbeda dari metode pengurangan langsung ke kesatuan. Hal ini terlihat dari perbandingan metode di atas dengan metode reduksi langsung menjadi kesatuan.

Kemungkinan menerapkan satu atau lain metode penyelesaian masalah pada aturan rangkap tiga sederhana dalam kerangka operasi dengan bilangan bulat tergantung pada karakteristik data numerik. Jadi, misalnya, metode menemukan rasio hanya dapat diterapkan jika angka yang menyatakan dua arti yang berbeda besarnya sama, merupakan kelipatan satu sama lain.

Metode pengurangan kembali ke kesatuan lebih mudah digunakan ketika memecahkan masalah di mana diperlukan untuk menemukan nilai kuantitas atau waktu yang tidak diketahui. Oleh karena itu, dalam buku teks aritmatika untuk kelas dasar, tugas untuk aturan rangkap tiga sederhana dipilih dalam kelompok sesuai dengan metode untuk menyelesaikannya. Pada saat yang sama, menurut program saat ini, masalah yang diselesaikan dengan metode pengurangan langsung dan terbalik ke kesatuan ditugaskan ke kelas II, dan masalah yang diselesaikan dengan metode menemukan rasio ditugaskan ke kelas IV.

Ada alasan untuk percaya bahwa tugas yang lebih mudah, diselesaikan dengan metode menemukan rasio, dapat diperkenalkan di kelas II, di mana siswa sudah menyelesaikannya. tugas sederhana untuk beberapa perbandingan. Tidak ada masalah yang diselesaikan dengan metode menemukan nilai numerik dari nilai konstan dalam buku teks aritmatika yang ada, dan sangat berguna untuk menawarkan solusi yang sudah ada di kelas II.

Ketika mengajarkan solusi dari masalah ini, seseorang harus mengandalkan kemampuan yang sebelumnya diperoleh siswa untuk menyelesaikan masalah perkalian dan pembagian sederhana, di mana diperlukan untuk mengetahui nilai salah satu dari tiga besaran yang berhubungan satu sama lain, misalnya , cari tahu biaya berdasarkan harga dan jumlah barang, kuantitas berdasarkan harga dan nilai, harga dalam hal biaya dan kuantitas.

Pengetahuan yang baik dari anak-anak tentang hubungan antara kuantitas berfungsi sebagai dasar, yang dengannya mereka menguasai solusi masalah dengan metode reduksi menjadi kesatuan.

Untuk menjelaskan kepada siswa bagaimana menemukan hubungan, Anda dapat menggunakan alat peraga(Gbr. 22). Biarlah perlu untuk memecahkan masalah: 2 amplop dengan perangko berharga 9 kopecks. Berapa 6 amplop ini?

Melihat gambar amplop yang dikelompokkan berpasangan akan membantu siswa memahami bahwa peningkatan jumlah pasangan amplop beberapa kali berarti peningkatan nilainya dengan jumlah yang sama.

Nasi. 22

Siswa mengajukan pertanyaan: berapa kali 6 amplop lebih dari 2 amplop? - Mereka menemukan jawabannya, yaitu 3 kali lebih banyak, dan mengetahui harga 6 amplop, mengalikan 9 kopek. pada 3.

Pertimbangan bersama tugas dan kerja mandiri anak-anak untuk mengubah tugas langsung menjadi tugas terbalik berkontribusi pada pemahaman yang lebih baik tentang bagaimana menyelesaikannya.

Misalnya, tugas 3 cangkir berharga 6 rubel. Berapa harga 5 cangkir ini? dengan mengganti angka yang diinginkan dengan angka yang ditemukan, dan salah satu data dengan angka yang diinginkan, dapat ditransformasikan ke dalam masalah invers berikut:

1. 5 cangkir berharga 10 rubel. Berapa harga 3 cangkir ini?
2. 3 cangkir berharga 6 rubel. Berapa banyak cangkir ini yang dapat Anda beli untuk 10 rubel?
3. 5 cangkir berharga 10 rubel. Berapa banyak cangkir ini yang dapat Anda beli untuk 6 rubel?

Solusi dari masalah asli dan yang pertama dari yang ditransformasikan dilakukan metode reduksi langsung menjadi kesatuan, solusi dari kedua dan ketiga - kembali ke kesatuan.

Bagian ketiga

HUBUNGAN DAN PROPORSI.

TUGAS DISELESAIKAN DENGAN BANTUAN PROPORSI DAN
DENGAN METODE REDUKSI MENJADI SATU.

BAGIAN VIII..

50. Aturan rangkap tiga yang rumit.

2661. 45 tukang batu dibayar 216 rubel untuk enam hari kerja; Berapa banyak pekerjaan yang harus dilakukan oleh 30 tukang selama 8 hari?

2662. 5 pompa memompa 1800 ember air dalam waktu 3 jam. Berapa banyak air yang akan dipompa keluar oleh 4 pompa serupa dalam 4 jam?

2663. 25 pekerja menggali kanal dalam 12 hari, panjangnya 36 depa. Berapa panjang saluran yang dapat digali oleh 15 pekerja yang sama dalam 10 hari?

2664. Modal 100 rubel dalam 12 bulan menghasilkan 6 rubel keuntungan. Berapa keuntungan yang akan diperoleh modal 8600 rubel dalam 4 bulan?

2665. Dari ladang persegi panjang, panjang 40 sazhen dan lebar 30 sazhen, 6 perempat 2 perempat gandum dipanen. Berapa banyak gandum yang dipanen dari ladang lain yang panjangnya 96 depa dan lebarnya 50 depa, jika kondisi tanam dan panen kedua ladang itu sama?

2666. Untuk 15 pasang gaun, digunakan 45 arshin kain dengan lebar 1 arshin. 14 inci. Berapa lebar kain lainnya, jika panjangnya 60 arshin untuk 10 pasang gaun yang sama?

2667 .18 pekerja, bekerja 7 jam sehari, menyelesaikan beberapa pekerjaan dalam 30 hari dan menerima 201 rubel untuk ini. 60 kop. 14 karyawan, bekerja setiap hari selama 4 jam, menerima 67,2 rubel untuk melakukan pekerjaan lain. Dengan asumsi bahwa upah per jam untuk pekerja kedua belah pihak adalah sama, tentukan berapa hari pekerja pihak kedua bekerja.

2668. Untuk pengangkutan 420 pod barang dengan kereta api melalui jarak 24 ayat, 2 rubel dibayar. 52 kopek. Menurut perhitungan ini, untuk pengangkutan 50 pon barang di sepanjang jalur kereta Nikolaev, dari Sankt Peterburg ke Moskow, harus dibayar 7 rubel. 61 1/4 kop. Cari panjang jalan ini.

2669. 155 tiket penumpang kelas dua, yang diambil dengan kereta api dari Paris ke Rouen, berharga 1488 franc. Mengetahui bahwa harga 10 tiket kelas dua yang diambil untuk perjalanan 4 kilometer sama dengan 3 franc, dan bahwa 16 kilometer adalah 15 vers, nyatakan dalam vers panjang rel kereta api antara Paris dan Rouen.

2670. Jika roda sebuah mesin yang membuat kawat besi berputar dengan kecepatan 60 putaran per menit, maka mesin ini akan menghasilkan 240 arsh. kawat selama 3 jam 20 menit. Berapa lama waktu yang dibutuhkannya untuk membuat 33 1/8 depa kawat jika roda membuat 41 2/3 putaran per menit?

2671. Dari sebuah ladang persegi panjang, yang panjangnya 125 sazhen dan lebarnya 0,08 vers, 12 1/2 perempat gandum dipanen; dengan demikian, perhitungan menunjukkan hasil self-enam. Dari ladang persegi panjang lain, yang panjangnya 0,3 (9) ayat, 8 1/3 perempat gandum dipanen, yang berjumlah lima panen. Dengan asumsi bahwa kondisi tanam kedua bidang sama, tentukan lebar bidang kedua.

2672. Lempengan batu, panjang 5,3 kaki, lebar 0,8 kaki, dan tebal 2 5/8 inci, beratnya 4,2 pon. Lempengan lain dari batu yang sama dengan yang pertama beratnya 7 pon 35 pon dan lebar 15 inci dan tebal 2 inci. Berapa panjang piring kedua?

2673 . Sepotong besi, panjang 2 arshin, lebar 1 1/2 inci dan tebal 2/3 inci, beratnya 0,4375 pon. Berapa berat sebatang besi, yang panjangnya 2 kaki, lebar 1 3/7 inci, dan tebal 0,16666 .... kaki?

2674. 36 pekerja, bekerja setiap hari selama 12 jam 30 menit, membangun rumah kayu dalam 30 hari. Berapa jam sehari 27 pekerja harus bekerja untuk membangun rumah yang sama dalam 50 hari?

2675. Panjang koridor adalah 6 sazhens. 2 arsh. 9 1/7 inci, lebar 1,4(9) sazhen. dan tinggi 5, (3) yard (ukuran panjang yard-Inggris). Udara atmosfer yang terkandung di dalam koridor memiliki berat 17 kilogram. 34 pon. Udara yang memenuhi ruangan yang berdekatan dengan koridor memiliki berat 11,9 pon. Diketahui 0,58 (3) yard = 0,75 ar., dan tinggi ruangan adalah 5 5/7 ar., dan lebarnya adalah 0,945 dari tingginya, hitunglah panjang ruangan ini.

2676. Untuk penerangan tangga rumah dengan 6 jet gas yang menyala selama 40 malam, selama 6 jam dan 12 menit setiap malam, 22 rubel dibayarkan ke perusahaan gas. 32 kopek. Di tangga lain, 5 tanduk serupa dibakar selama 60 malam, yang membayar 27 rubel. Berapa jam setiap malam gas menyala di tangga kedua?

2677 . Untuk 4 lampu yang dinyalakan setiap malam selama 7 1/2 jam, 2,25 pon minyak tanah dikonsumsi selama 30 malam. Dalam berapa malam 1,8 pon minyak tanah akan habis jika 5 lampu seperti itu dinyalakan setiap malam selama 4 jam 30 menit?

2678 . 32 tukang, bekerja setiap hari selama 8 1/2 jam, dalam 42 hari meletakkan dinding bata dengan panjang 10 sazhen, tebal 7 1/2 inci dan tinggi 1 sazhen 3,5 kaki. Dalam berapa hari 40 tukang batu, dengan kekuatan yang sama seperti yang pertama, bekerja setiap hari selama 6,8 jam, akan memasang dinding bata dengan panjang 15 sazhen, tebal 0,9375 arshin, dan tinggi 2 1/2 arshin?

2679. Panjang jalan surat antara Vitebsk dan Orel adalah 483 ayat; seorang pengelana menempuh jarak ini dalam 7 hari, berada di kota selama 10 jam setiap hari dan menempuh jumlah mil per jam yang sama. Pelancong lain meninggalkan Vitebsk ke Mogilev dan, berada di jalan setiap hari selama 12 jam, berjalan dalam 4 hari. Berapa verst dari Witsbsk ke Mogilev, jika diketahui bahwa pengelana kedua melakukan perjalanan 10 vers pada waktu yang sama dengan pengelana pertama menempuh 23 vers?

2680. Bata (klinker), panjang 0,375 arshin, lebar 3 inci dan tebal 1 1/2 inci, beratnya 10 pon 38,4 gulungan. Berapa berat sepotong kelereng berbentuk persegi, yang panjangnya 8,75 inci, lebar 2 1/4 inci, dan tebal 2 inci, dan kelereng diketahui 1 1/2 kali lebih berat daripada batu bata?

2681. 25 penenun, bekerja 8 1/3 jam sehari, menenun dalam 32 hari 120 arshin linen, lebar 1 arshin. 5 1/3 inci. Dalam berapa hari 40 orang penenun yang bekerja setiap hari selama 4 jam 10 menit akan menenun 320 arshin linen dengan lebar 0,75 arshin?

2682. Modal 1200 rubel dalam 8 bulan menghasilkan 40 rubel keuntungan; jam berapa 100 gosok. akan membawa 5 rubel. tiba?

2683. Modal sebesar 30.000 rubel dalam 7 1/2 bulan menghasilkan keuntungan 1.125 rubel. Berapa keuntungan yang diperoleh setiap 100 rubel modal ini dalam 1 tahun?

2684. Modal 24.400 rubel selama 10 bulan menghasilkan keuntungan 1.525 rubel. Jenis modal apa yang harus dimiliki seseorang agar, yang beredar di bawah kondisi yang sama seperti yang pertama, menghasilkan 1.250 rubel laba dalam waktu 2 1/2 bulan?

2685. 54 penggali, bekerja 10 jam sehari, membuat gundukan dalam 33 hari, panjang 124 depa, lebar 1 depa 2 1/2 arshin dan tinggi 6 3/4 kaki. Berapa banyak penggali yang perlu dipekerjakan agar, bekerja setiap hari selama 7 1/2 jam, dalam 30 hari mereka membuat tanggul, panjang 0,31 versts, 7 1/3 arsh sprin. dan tinggi 3 6/7 arshins?

2686. 48 penggali, bekerja setiap hari selama 9 jam 20 menit, dalam 55 hari membuat benteng tanah, panjang 40 1/3 depa, lebar 4 1/2 arshin, dan tinggi 7 arshin. Berapakah tinggi yang akan dicapai 40 penggali dalam 64 hari, bekerja setiap hari selama 6 jam 45 menit, jika panjang poros 44 depa dan lebarnya 1 depa?

2687 . 14 sazhen kayu bakar pinus dihabiskan untuk memanaskan apartemen dengan 6 kompor selama 2 bulan 10 hari. Berapa lama waktu yang dibutuhkan 10 sazhen kayu bakar birch untuk memanaskan sebuah apartemen dengan 8 tungku, jika jumlah panas yang dipancarkan oleh setiap tungku harus sama dengan apartemen pertama, dan jika 9 sazhen kayu bakar pinus memberikan panas sebanyak 7 1/2 depa birch?

2688. Dari sebuah ladang berbentuk persegi panjang, yang memiliki panjang 2 bujur dan lebar 1 1/2 bujur, dengan hasil panen sam-27, banyak bit gula yang dipanen sehingga 937 1/2 butir gula diambil darinya di pabrik . Dari ladang lain, yang memiliki lebar 400 sazhen, dengan panen 18 sam, bit gula dipanen, dari mana 250 pon gula diekstraksi. Dengan asumsi bahwa kondisi penaburan dan kualitas bit untuk kedua bidang adalah sama, temukan panjang bidang kedua.

2689. 4 juru tulis, bekerja setiap hari selama 7 1/2 jam, menyalin 225 lembar dalam 15 hari, dengan rata-rata 32 baris pada setiap halaman. Berapa banyak juru tulis yang perlu dipekerjakan agar, bekerja setiap hari selama 5 jam 20 menit, mereka dapat menyalin 64 lembar dalam 9 hari, dengan menempatkan rata-rata 36 baris pada setiap halaman?

2690. 3 pipa selama 4 1/2 jam mengisi reservoir, panjang 1 jelaga. 2 arshins, lebar 1,5 arshins dan kedalaman 3 2/3 kaki. Sampai kedalaman berapa 4 pipa akan mengisi reservoir lain dalam waktu 5,4 jam, jika panjang reservoir ini adalah 1 jelaga. 2 5/8 kaki, lebar 1,2 ars, dan jika masing-masing pipa pertama menuangkan 16 ember air secara bersamaan, ke dalam pipa mana yang terakhir menuangkan 9 ember?

2691 . 22 penenun, bekerja 10 jam sehari, menyiapkan 120 potong lenan dalam 30 hari. Berapa banyak penenun yang perlu dipekerjakan agar, dengan bekerja 7 1/2 jam sehari, dalam 40 hari mereka dapat menyiapkan 300 lembar kain lenan, dan panjang masing-masing lembar ini harus 1 1/10 kali panjang kain pertama, dan lebarnya harus 0,8(3) lebar yang pertama?

2692. Untuk makanan bagi sejumlah prajurit tertentu, akan diperoleh persediaan gandum selama 60 hari jika setiap prajurit diberikan 2 1/2 pon setiap hari. Berapa hari 3/4 persediaan ini akan bertahan, jika jumlah tentara dikurangi 3/8 dari jumlah sebelumnya, dan porsi harian masing-masing ditambah 1,25 pound.?

2693. Lima belas pekerja dan 12 pekerja, bekerja setiap hari selama 10 jam 30 menit, memindahkan roti dari ladang dalam 12 hari. Berapa hari 21 pekerja dan 8 pekerja, yang bekerja 8,4 jam sehari, memindahkan roti dari ladang, yang panjangnya terkait dengan panjang yang pertama, sebagai 0,3: 1 / 5, dan yang lebarnya terkait dengan lebar pertama, sebagai 0, 51: 0,5(6) - jika diketahui bahwa kekuatan seorang pria terkait dengan kekuatan seorang wanita, bagaimana 0,2(6) : 0,1(9)?

2694. Untuk memompa air dari kolam, disediakan 3 pompa besar dan 5 pompa kecil, yang jika bekerja bersama-sama, dapat mengalirkan semua air dalam waktu 6 jam. Setelah 2 1/2 jam aksi gabungan mereka, dua pompa besar memburuk dan segera digantikan oleh 5 pompa kecil. Mengetahui bahwa kekuatan setiap pompa kecil terkait dengan kekuatan masing-masing pompa besar, bagaimana 2 1/2: 4 1 / 6 menentukan berapa jam yang dibutuhkan untuk memompa air keluar dari kolam.

2695. 4215 batu bata digunakan untuk membangun dinding rumah, yang masing-masing memiliki panjang 10 1/2 inci dan lebar 5,25 inci. dan tebal 2 5/8 inci. Untuk membangun tembok lain, batu bata digunakan, yang masing-masing panjangnya 5 1/2 inci, lebar 3 1/3 inci, dan tebal 1 1/4 inci. Berapa banyak bata tersebut yang akan digunakan untuk membangun tembok kedua, jika panjangnya 0,8 (3) panjang tembok pertama, tebalnya 1,1 kali tebal tembok pertama, dan tingginya 0. (5) tingginya dari dinding pertama?

2696. Dua puluh lima orang, bekerja setiap hari selama 5 jam, berhasil melakukan 0,27 pekerjaan dalam 15 hari. Berapa orang lagi yang perlu dipekerjakan, agar mereka, belajar bersama dengan yang pertama selama 8 1/3 jam sehari, dapat menyelesaikan sisa pekerjaan yang sama dalam 20 hari?

Tidak ada ungkapan yang cukup kuat sehingga para penyusun aritmatika abad pertengahan akan pelit untuk memuji aturan rangkap tiga. "Baris itu terpuji tiga kali lipat dan garis terbaik dari semua garis lainnya." "Para filsuf menyebutnya garis emas." Dalam buku teks Jerman, ia disebut sebagai "diatas semua pujian", itu adalah "kunci pedagang". Dengan cara yang sama, di antara orang Prancis, ia dikenal dengan nama règle dorée - aturan emas. Itu bertentangan dengan seluruh ilmu aljabar.

Lalu, mengapa pujian yang tidak pantas diberikan kepada departemen, yang di zaman kita terbiasa menempati tempat yang lebih sederhana? Sangat menarik untuk mengetahui hal ini, dan kami membiarkan diri kami kembali sedikit dan memberikan deskripsi singkat tentang tujuan yang telah dicapai aritmatika sejak zaman kuno.

Ilmu apa pun pada tahap awal perkembangannya disebabkan oleh kebutuhan praktis dan, pada gilirannya, berusaha untuk memuaskannya. Kemudian, tergantung pada kondisi di mana ia berkembang, sains terkadang cukup cepat, terkadang lebih lambat mengambil warna teoretis dan bertindak mendidik pada mereka yang mempelajarinya, yaitu, meningkatkan kemampuan spiritual mereka: pikiran, perasaan dan kemauan: dengan pertumbuhan yang lambat, sains tetap menjadi pemimpin keterampilan untuk waktu yang lama, hanya memberikan keterampilan, memberi seseorang keterampilan mekanis dan memberinya fitur mekanis. Kedua arah diuji dengan aritmatika. Di satu sisi, para sarjana Yunani melihat dalam aritmatika, terutama, elemen pendidikan; mereka terus-menerus mengajukan pertanyaan “mengapa?”. dan “mengapa?”, selalu mencari alasan dan kesimpulan; para siswa sekolah-sekolah Yunani menggali esensi sains, memikirkannya, dan oleh karena itu studi tersebut bertindak atas mereka dengan cara yang mendidik dan berkembang. Di sisi lain, orang India melihat aritmatika bukan dari sisi seni, mereka tidak menyukai pertanyaan "mengapa?", tetapi pertanyaan utama mereka selalu: "bagaimana melakukannya?" Arah orang Hindu diteruskan ke orang Arab, dan dari sana ke Eropa abad pertengahan. Di dalamnya, ia bertemu dengan sambutan yang sangat ramah, dan tanah untuk itu ternyata cukup berterima kasih: setelah migrasi besar-besaran orang-orang dan dengan perang yang tak henti-hentinya, tidak ada yang perlu dipikirkan tentang pengembangan yang tepat, sering , ilmu abstrak, dan pada saat itu perlu untuk membatasi diri pada bagian yang diterapkan, itu cukup hanya mengajarkan "bagaimana melakukan" daripada "mengapa melakukannya." Jadi pewarnaan praktis tetap berada di belakang aritmatika untuk waktu yang lama, hampir sampai hari ini, pada saat yang sama, studinya secara sempit mekanis: tanpa kesimpulan, penjelasan, tanpa pendalaman ke dasar; di mana-mana di buku teks ada "lakukan ini", "Anda harus melakukan ini", dan siswa hanya perlu mengkonfirmasi dan mengajukan permohonan untuk kasus ini; Magnitsky kami juga memiliki sejumlah ekspresi karakteristik "lihat tahta", "lihat penemuan"; anggaplah di antara ungkapan-ungkapan ini dia memiliki "berpikir dan datang", tetapi bagaimana tepatnya berpikir, sangat sedikit petunjuk yang diberikan. Sesuai dengan makna praktis aritmatika, segala sesuatu yang dapat membawa manfaat langsung, menghasilkan pendapatan, secara khusus dibedakan dan dihargai di dalamnya.

“Siapa pun yang mengetahui kebijaksanaan ini,” kata aritmatika Rusia abad ke-17, “dapat bersama penguasa dengan kehormatan besar dan gaji; menurut kebijaksanaan ini, para tamu berdagang di negara bagian, dan dalam segala macam barang dan perdagangan, mereka tahu kekuatan dan dalam segala macam bobot dan ukuran, dan dalam tata ruang duniawi dan arus laut, mereka jahat, dan mereka tahu akunnya. dari sejumlah daftar.

Tetapi bagian mana dari aritmatika yang dapat memberikan keterampilan yang lebih praktis dan dapat diterapkan secara langsung daripada pemecahan masalah? Oleh karena itu, semua upaya penulis abad pertengahan diarahkan untuk mengumpulkan sebanyak mungkin masalah dan, pada saat yang sama, konten sehari-hari yang paling beragam. Berikut adalah masalah tentang jual beli, tentang wesel dan tentang bunga, tentang pencampuran, tentang pertukaran; keragamannya sangat buruk dan tidak ada cara untuk menyelesaikan seluruh massa masalah. Untuk mengelompokkan setidaknya sedikit dan memperkenalkan beberapa sistem dan ketertiban, mereka mencoba mendistribusikan semua tugas berdasarkan departemen atau jenis. Ide ini, tentu saja, bagus, tetapi biasanya dilakukan dengan sangat tidak berhasil, dan tugas-tugas didistribusikan tidak sesuai dengan metode penyelesaiannya, sebagaimana mestinya, tetapi sesuai dengan isinya, yaitu, menurut penampilannya. ; misalnya, ada masalah khusus tentang anjing yang mengejar kelinci, tentang pohon, tentang anak perempuan, dll.

Penyelesaian masalah dengan pembagian menurut isinya hampir tidak membawa manfaat apa pun, karena itu tidak membantu sedikit pun untuk lebih memahami solusinya. Dan, menurut pendapat para penulis kuno, hampir tidak perlu untuk memahaminya.

"Itu bukan apa-apa," sang mentor biasa menghibur murid-muridnya: "bahwa kamu tidak mengerti apa-apa, kamu juga tidak akan mengerti banyak di depan."

Alih-alih memahami, disarankan untuk tidak terbawa, tetapi untuk menghafal semua yang ditanyakan, dan kemudian mencoba menerapkannya pada kasus, yaitu pada contoh, dan semua kekuatan pemahaman terkonsentrasi bukan pada pemahaman kesimpulan. aturan, tetapi yang lebih sederhana, tentang bagaimana menerapkan aturan umum pada contoh.

Jadi aturan rangkap tiga itu luar biasa dan layak mendapat perhatian khusus dalam banyak hal. Pertama, jangkauan tugasnya cukup luas, kedua, aturan itu sendiri diungkapkan dengan cukup sederhana dan jelas, dan ketiga, relatif mudah untuk menerapkan aturan ini. Untuk semua jasa ini, dia diberi nama "emas", "kunci pedagang", dll.

Aturan rangkap tiga berasal dari orang-orang Hindu, di mana tugas-tugasnya sebagian besar diselesaikan dengan pengurangan menjadi kesatuan. Cendekiawan Arab Alkhvarizmi (abad ke-9 M) menghubungkannya dengan aljabar. Leonardo Fibonacci, Italia abad ke-13 menurut R. X., mencurahkan bagian khusus untuk aturan rangkap tiga dengan judul: ad majorem guisam, di mana tugas diberikan untuk menghitung nilai barang. Contoh: 100 rotuli (berat Pisan) harganya 40 lira, berapa harga 5 rotuli? Kondisinya ditulis seperti ini:

Aturan yang ditentukan untuk memecahkan masalah ini dalam urutan berikut: produk dari 40 dengan 5 dibagi dengan 100.

Perhatian khusus telah diberikan pada aturan rangkap tiga sejak abad ke-16, yaitu sejak saat perdagangan dan industri Eropa segera bergerak maju, berkat penemuan-penemuan penting dan penemuan negara-negara baru. Tetapi ini tidak menghalangi kami untuk mengembangkan bab ini dengan cara yang sama sekali tidak memuaskan, setidaknya dari sudut pandang kami. Pertama-tama, aturan itu ditentukan murni secara eksternal: “masalahnya terdiri dari tiga angka dan memberikan dirinya sendiri angka keempat, sama seperti jika Anda meletakkan tiga sudut sebuah rumah, maka ini akan menentukan sudut ke-4; angka kedua harus dikalikan dengan yang ke-3, dan apa yang terjadi, kemudian dibagi dengan angka 1. Definisi seperti itu tidak bisa tidak mengarah pada inkonsistensi, dan yang terpenting, pertanyaannya adalah: apa yang harus dianggap sebagai bilangan pertama, dan dapatkah masalah dengan tiga bilangan tertentu diselesaikan dengan aturan rangkap tiga? Buku teks tidak menganggap perlu untuk mengklarifikasi kesalahpahaman ini. Selain itu, masalah diselesaikan tidak hanya dengan bilangan bulat, tetapi juga dengan pecahan, dan dalam aritmatika lain mereka disusun secara tidak konsisten sehingga masalah dengan bilangan pecahan pada aturan rangkap tiga, bab tentang pecahan ditempatkan lebih awal, karena seluruh aturan rangkap mendahului aritmatika bilangan pecahan.

Setelah aturan rangkap tiga dengan bilangan bulat dan pecahan, aturan khusus"mengurangi", di mana dijelaskan bagaimana mungkin untuk mengurangi beberapa angka yang diberikan, dan kemudian aturan "refleksif" sudah berjalan; itu adalah departemen yang sangat membingungkan, yang memiliki pertanyaan dengan proporsi terbalik, dan penulis buku teks sama sekali tidak dapat membedakan masalah mana yang termasuk dalam kelompok ini; para murid harus mengandalkan firasat mereka sendiri dan puas dengan kecerdikan. Pada abad XV dan XXII. penjelasannya diberikan sebagai berikut: “Jika satu takaran biji-bijian berharga 1½ mark, maka dua pucuk roti diberikan untuk 1 mark; berapa banyak roti yang akan diberikan per mark jika satu takaran gandum berharga 1¾ mark; selesaikan dengan aturan rangkap tiga, ternyata

tetapi pemahaman orang akan menyadari bahwa ketika gandum naik harga, maka mereka akan memberi lebih sedikit roti, tidak lebih, jadi pertanyaannya harus dibalik, itu akan menjadi

Magnitsky (1703) menafsirkan dalam semangat yang sama

“Ada aturan kembali, ketika perlu dalam penugasan untuk menempatkan daftar ketiga alih-alih yang pertama: perlu dalam kasus-kasus sipil yang sering, seolah-olah berbicara di pantat: seorang pria tertentu memanggil seorang tukang kayu dan memerintahkan halaman akan dibangun, memberinya dua puluh orang pekerja: dan bertanya berapa hari kemudian dia akan membangun halamannya, dia menjawab, dalam tiga puluh hari; tetapi tuan perlu membangun seluruhnya dalam 5 hari, dan untuk ini dia bertanya kepada pak tukang kayu, berapa banyak orang yang layak dimiliki, sehingga Anda dapat membangun halaman bersama mereka dalam 5 hari, dan tukang kayu itu, bingung, bertanya kepada Anda secara aritmatika : berapa banyak orang yang layak dia miliki untuk membangun halaman itu dalam 5 hari, dan jika Anda mulai membuat sesuai dengan urutan aturan tiga sederhana; maka benar-benar keliru; tetapi tidak cocok untuk Anda: 30-20-5, tetapi mengubahnya menjadi duduk: 5-20-30; 30X20=600; 600: 5=120".

Aturan tiga diikuti oleh lima, diikuti oleh tujuh. Mudah ditebak bahwa ini adalah kasus khusus dari aturan rangkap tiga yang kompleks, tepatnya ketika, menurut 5 atau 7 data, yang secara proporsional bergantung satu sama lain, yang ke-6 atau ke-8, nomor yang sesuai, ditemukan, dengan kata lain: aturan lima kali lipat membutuhkan 2 proporsi, dan yang ketujuh adalah tiga. Aturan lima dijelaskan pada abad kedelapan belas sebagai berikut:

mereka membuat perhitungan yang tidak dapat dibuat menurut aturan lain; 5 nomor diberikan di dalamnya, dan nomor yang diinginkan keenam ditemukan dari mereka; misalnya, seseorang memasukkan seratus rubel ke dalam sirkulasi, dan mereka memberinya keuntungan 7 rubel, pertanyaannya adalah berapa banyak keuntungan yang akan dia terima dengan 100 rubel. selama 5 tahun;

diselesaikan seperti ini: 100-1-7-1000-5, kalikan dua angka kiri, dan juga kalikan 3 angka kanan dan bagi produk terakhir dengan yang pertama, jawabannya adalah 350, begitu banyak rubel keuntungan akan menghasilkan 1000 rubel. dalam waktu 5 tahun.

Aturan rangkap tiga yang sederhana dan kompleks biasanya didistribusikan pada abad ke-16-18. menjadi banyak departemen kecil, yang memiliki nama yang sangat rumit, tergantung pada isi tugas. Berikut adalah nama-nama ini menurut Magnitsky: "aturan perdagangan tiga kali lipat", yaitu, perhitungan biaya barang yang dibeli; b "perdagangan tiga kali lipat tentang pembelian dan penjualan", - sama dengan yang sebelumnya, tetapi hanya lebih rumit; c "perdagangan tiga kali lipat sayuran yang dapat dipasarkan dan dengan tanda", ketika Anda harus membuat pengurangan untuk piring dan selongsong pada umumnya; d "tentang untung dan rugi"; e "artikel pertanyaan dalam aturan tiga", di dalamnya tugas konten yang sangat beragam, sebagian besar dengan proporsi terbalik; f "artikel yang dipertanyakan dengan waktu", di mana ia diminta untuk menghitung durasi pekerjaan, jalur, dll.

Pada awal abad ke-19, Bazedov mengusulkan perubahan lain dalam aturan rangkap tiga dan sekali lagi ke arah yang sama dari kebiasaan mekanis yang tidak disadari. Guru Jerman ini menetapkan tujuan untuk lebih menyederhanakan penyelesaian masalah pada aturan tiga, sehingga semakin mengurangi penalaran dalam menyelesaikannya dan menggantinya dengan menulis rumus yang sudah jadi. Dia menyarankan untuk mengatur angka-angka yang diberikan dalam 2 kolom: di sebelah kiri ditulis jumlah yang tidak diketahui dan semua angka yang harus dimasukkan dalam pembilang rumus, dan di sebelah kanan - semua faktor yang membentuk penyebut. Contoh: untuk makanan 1.200 orang selama 4 bulan, dibutuhkan 2.400 sen tepung; berapa banyak orang yang akan 4000 sen keluar dalam 3 bulan? Kami menulis 2 kolom:

dan dapatkan rumus jawabannya

Mengapa bilangan 1200, 4000 dan 4 termasuk dalam pembilangnya, dan 2400 dan 3 dalam penyebutnya? Ini dapat dijawab dengan aturan berikut: pembilang mencakup angka yang homogen dengan yang diinginkan, yaitu, dalam kasus kami, angka 1200; selain itu, ini juga mencakup semua angka dari kondisi kedua (4000 4), yang berbanding lurus dengan yang diinginkan; jika berbanding terbalik, seperti dalam contoh 3 kita, maka mereka diganti dengan angka yang sesuai dari kondisi ke-1 (ke-4).

Hanya itu yang dapat kami katakan tentang perkembangan sejarah aturan rangkap tiga. Dari semua yang telah dikatakan, seseorang dapat menarik kesimpulan yang cocok untuk zaman kita. Aritmatika abad pertengahan, dengan kecenderungannya untuk hanya memberikan aturan dan menghilangkan kesimpulan, dengan solusi pertanyaan mekanisnya, memiliki terlalu banyak pengaruh pada keseluruhan berikutnya. kehidupan sekolah, dan begitu besar sehingga jejaknya muncul di setiap langkah bahkan di zaman kita. Tidak peduli seberapa keras kita mencoba untuk melepaskan diri dari tradisi, untuk membebaskan diri kita dari kebiasaan, tetapi mereka menangkap kita terlalu dekat dan menarik kita terlalu kuat untuk dibuang sama sekali. Sekolah kami masih bersalah karena hafalan aritmatika, tanpa partisipasi kesadaran yang memadai. Aturan rangkap tiga adalah bukti yang bagus untuk ini. Sering lupa rata-rata dan sekolah rendah bahwa itu dimaksudkan untuk memberikan pendidikan umum, dan bukan untuk melatih akuntan, juru tulis, akuntan, dll. Sementara itu, metode kerajinan orang Italia dan Jerman, yang tidak berusaha untuk mengembangkan seseorang, tetapi untuk membuat mesin hitung darinya , sering digunakan sampai sekarang. Mengapa semua aturan ini: rangkap tiga, campuran, dll.? Apa tujuan yang harus mereka layani? Mereka harus menjadi kesimpulan dari masalah yang dipecahkan, dan tidak mendahului solusi masalah; berbahaya untuk memecahkan masalah menurut aturan yang dipelajari sebelumnya, tetapi seseorang harus mencoba untuk sampai pada jawaban dengan pertimbangan pribadi yang bebas. Singkatnya, aturan tidak boleh dipahami dalam bentuk resep, yang cukup untuk diingat untuk menyiapkan berbagai solusi rumit darinya; tetapi mereka harus dinilai hanya sebagai kesimpulan yang diperoleh siswa: jika siswa tidak dapat menarik kesimpulan ini, maka ini berarti masalah yang diambil sedikit, atau tidak disusun secara sistematis, dan kesalahan ini harus diperbaiki dengan cara yang lebih sistematis. penataan masalah; jika siswa tidak menarik kesimpulan yang lengkap dan terperinci seperti yang diinginkan guru, maka lebih baik puas dengannya daripada memaksanya mempelajari aturan yang diberlakukan oleh buku teks: itu akan segera dilupakan dan tidak akan memiliki mengembangkan efek, karena independensi harus menjadi kualitas turunan matematika yang diperlukan, tetapi kondisi kesadaran yang diperlukan harus ada hubungan yang erat dari semua bagian kursus, itulah sebabnya tidak ada tempat untuk penyisipan mekanis ke kepala yang terpisah. potongan berasimilasi dengan memori.

Shvetsov K.I., BEVZ G.P.
BUKU PANDUAN MATEMATIKA DASAR
Aritmatika, ALJABAR, 1965


1. Aturan rangkap tiga sederhana. Dari masalah besaran proporsional, yang paling umum adalah masalah yang disebut aturan rangkap tiga sederhana. Dalam tugas-tugas ini, tiga angka diberikan dan diperlukan untuk menentukan yang keempat, sebanding dengan mereka.

Soal 1. 10 baut beratnya 4 kg. Berapa berat 25 baut ini? Tugas seperti itu dapat diselesaikan dengan beberapa cara.

Solusi I (dengan reduksi menjadi satu).

1) Berapa berat satu baut?

4 kg: 10 = 0,4 kg.

2) Berapa berat 25 baut?

0,4 kg 25 = 10 kg.

Solusi II (metode proporsi). Karena berat baut berbanding lurus dengan jumlahnya, maka perbandingan beratnya sama dengan perbandingan potongannya (baut). Menunjukkan berat yang diinginkan dengan huruf x, kami mendapatkan proporsi:

X : 4 = 25: 10,

(kg)

Anda bisa berdebat seperti ini: 25 baut 2,5 kali lebih banyak dari 10 baut. Oleh karena itu, mereka juga 2,5 kali lebih berat dari 4 kg:

4kg 2,5 = 10kg.

Menjawab. 25 baut berat 10 kg.

Masalah 2. Gigi pertama menghasilkan 50 rpm. Gigi kedua, menyatu dengan yang pertama, menghasilkan 75 rpm. Hitunglah jumlah gigi roda kedua jika jumlah gigi roda pertama adalah 30.

Solusi (dengan reduksi menjadi kesatuan). Kedua roda gigi bertautan akan menggerakkan jumlah gigi yang sama dalam satu menit, sehingga jumlah putaran roda berbanding terbalik dengan jumlah giginya.

50 putaran - 30 gigi

75 putaran - X gigi.

X : 30 = 50: 75; (gigi).

Anda juga dapat berdebat seperti ini: roda kedua membuat putaran 1,5 kali lebih banyak dari yang pertama (75: 50 \u003d 1,5). Oleh karena itu, ia memiliki gigi 1,5 kali lebih kecil dari yang pertama:

30: 1,5 = 20 (gigi).

Menjawab. 20 gigi.

2. Aturan rangkap tiga yang rumit. Tugas di mana, untuk serangkaian nilai tertentu yang sesuai dari beberapa (lebih dari dua) kuantitas proporsional, diperlukan untuk menemukan nilai salah satunya yang sesuai dengan seri lain dari nilai yang diberikan dari jumlah yang tersisa, mereka adalah disebut tugas untuk aturan rangkap tiga yang kompleks.

Tugas. 5 pompa memompa 1800 ember air dalam waktu 3 jam. Berapa banyak air yang akan dipompa keluar oleh 4 pompa tersebut dalam 4 jam?

5 kita. 3 jam - 1800 ve.

4 kita. 4 jam - X ved.

1) Berapa ember air yang dipompa oleh 1 pompa dalam 3 jam?

1800: 5 = 360 (ember).

2) Berapa ember air yang dipompa oleh 1 pompa dalam 1 jam?

360: 3 = 120 (ember).

3) Berapa banyak air yang akan dipompa keluar oleh 4 pompa dalam 1 jam?

120 4 = 480 (ember).

4) Berapa banyak air yang akan dipompa keluar oleh 4 pompa dalam 4 jam?

480 4 = 1920 (ember).

Menjawab. 1920 ember

Solusi yang disingkat dengan rumus numerik:

(ember).

Tugas. Bagilah angka 100 menjadi dua bagian yang berbanding lurus dengan angka 2 dan 3,

Tugas ini harus dipahami sebagai berikut: bagilah 100 menjadi dua bagian sehingga yang pertama berhubungan dengan yang kedua sebagai 2 hingga 3. Jika kita menunjukkan angka yang diinginkan dengan huruf X 1 dan X 2, masalah ini dapat dirumuskan sebagai berikut. Mencari X 1 dan X 2 sedemikian sehingga

X 1 + X 2 = 100,

X 1: X 2 = 2: 3.