Triple jungkir balik Di kapal pesiar laut, pemberatnya rendah, yang tidak memungkinkan mereka untuk terlalu banyak tumit dan umumnya terbalik. Namun, kebetulan kapal pesiar masih terbang jungkir balik, seperti iol tanpa pemberat, dan ini hanya terjadi di sini - di Samudra Selatan yang luas. Saya tahu

Masalah yang diselesaikan dengan bantuan proporsi secara tradisional dipelajari dalam kursus aritmatika di kelas 5-6. Diyakini bahwa pada usia inilah siswa harus belajar memecahkan proporsi, berkenalan dengan dua dependensi yang praktis penting - proporsi langsung dan terbalik, belajar membedakannya dan memecahkan masalah yang sesuai. Studi tentang proporsi dan dependensi yang ditunjukkan tidak ada hubungannya dengan kebutuhan kursus aritmatika itu sendiri atau dengan kebutuhan pengajaran pemecahan masalah di kelas 6 - tidak ada masalah proporsional langsung dan terbalik dalam buku teks yang tidak dapat diselesaikan tanpa proporsi . Namun, penggunaan proporsi sangat penting untuk studi matematika selanjutnya. Di buku pelajaran kelas 6, sering diusulkan untuk memecahkan masalah persentase menggunakan proporsi. Meskipun, menurut kami, penyelesaian masalah persentase tidak memerlukan penggunaan proporsi.

Mari kita pertimbangkan teknik untuk memecahkan masalah pada proporsi, yang, tampaknya, milik guru kimia, bosan dengan pengetahuan siswa yang buruk tentang perhitungan persentase. Itu bermuara pada saran: pada catatan

400 gramsolusi - 100%

20 g garam - x%

pisahkan dua baris data numerik menjadi dua baris, satukan kedua baris tersebut hingga Anda mendapatkan tanda
"=" dan selesaikan proporsi yang dihasilkan:

400 / 20 = 100 /X.

Terkadang dalam proses penyelesaian proporsinya tidak tetap secara eksplisit. Misalnya, dalam manual siswa "500 masalah dalam kimia" (Prosveshchenie, 1981), catatan singkat tentang solusinya diberikan:

b) 32 gbelerang bergabung dengan 32 g oksigen, dan

xg » 8g »

x = 32 8/ 32 = 8 (d).

di) 32 gbelerang bergabung dengan 48 g oksigen, dan

xg » 8g »

x = 32 8/ 48 = 5,33 (g).

Seperti yang Anda lihat, di sini proporsi dibiarkan "di belakang layar", siswa dapat mengalikan dan membagi angka "melintasi". Tidak ada yang tercela dalam cara merancang solusi ini, sangat mungkin untuk menggunakannya saat menyelesaikan jumlah yang besar tugas serupa dalam pelajaran kimia. Benar, kami tidak akan menerapkan trik umum yang rumit dalam kasus yang jelas "b" dan menggunakan tanda "=" alih-alih "≈" dalam kasus "c". Tetapi kami yakin bahwa jika siswa tidak memahami proporsi dan tidak dapat menjelaskan arti dari tindakannya, maka pemecahan masalah menurut model akan sedikit berguna untuk perkembangannya.

Bagus untuk ahli kimia! Mereka berurusan dengan proporsionalitas langsung. Dan siswa kelas 6 (terutama yang ketinggalan penjelasan guru) terkadang membawa dari rumah cara menyelesaikan soal pertama tanpa perbandingan: “kita kalikan angkanya secara menyilang: 20 kali 100, x- dengan 400, kami menyamakan hasil yang diperoleh dan menemukan x". Sulit bagi siswa tersebut untuk mengajarkan penggunaan proporsi, karena mereka menganggap metode mereka sendiri lebih sederhana, tetapi kesulitan ini dengan mudah dihilangkan setelah mencoba menyelesaikan masalah proporsionalitas terbalik menggunakan metode "crosswise".

Perhatikan bahwa aturan "perkalian dan pembagian melintang" mirip dengan aturan yang digunakan di masa lalu ketika memecahkan masalah aritmatika. Mari kita manfaatkan keadaan ini dan kembali sekali lagi ke sejarah pertanyaan itu. Tapi pertama-tama, mari kita perjelas terminologinya.

PADA masa lalu untuk memecahkan banyak jenis masalah, ada aturan khusus untuk menyelesaikannya. Masalah yang akrab bagi kita untuk proporsionalitas langsung dan terbalik, di mana perlu untuk menemukan yang keempat dengan tiga nilai dua kuantitas, disebut tugas untuk aturan rangkap tiga (aturan rangkap tiga sederhana). Jika lima nilai diberikan untuk tiga kuantitas dan diperlukan untuk menemukan yang keenam, maka aturan itu disebut lima. Demikian pula, untuk empat kuantitas ada aturan "septenary". Aturan-aturan ini juga disebut tugas untuk aturan rangkap tiga yang kompleks.

Dalam artikel pengantar paragraf pertama buku kami, kami mengutip sebuah fragmen dari buku karya I. Beshenshtein (1514), yang mencerminkan sikap guru yang hampir mistis terhadap aturan rangkap tiga, dan penyajian materi itu sendiri memiliki karakter resep yang jelas. Pelatihan menurut aturan juga tersebar luas di Rusia. Ingin menggambarkan metodologi pengajaran memecahkan masalah zaman L.F. Magnitsky, kami akan merujuk ke S.I. Shokhor-Trotsky, yang dalam bukunya "Metode Aritmatika untuk Guru Lembaga Pendidikan Menengah" menulis: "Berapa banyak buku tentang aritmatika yang berlimpah di masa lalu dengan aturan dapat dinilai oleh karya Leonty Magnitsky, sangat terhormat pada masanya . .. Dalam buku pertama ... selain banyak aturan tentang bilangan bulat dan pecahan, aturan ditetapkan, yang disebut oleh penulis "serupa" (sekarang disebut triple) ... penulis membedakan: aturannya adalah triple in bilangan bulat, aturannya adalah tiga kali lipat dalam pecahan, aturannya adalah kontraktil rangkap tiga, aturannya adalah "reaktif" (berbanding terbalik), aturannya adalah lima, aturannya adalah "septenary" ..., dan kemudian, dalam bentuk penerapan ini aturan, ia menawarkan sejumlah "artikel": artikel perdagangan rangkap tiga ("secara keseluruhan" dan "dalam saham"), artikel perdagangan tiga kali tentang pembelian dan penjualan, artikel perdagangan tiga kali dalam sayuran yang dapat dipasarkan dan "dengan tanda" ( yaitu, tentang menghitung pengemasan barang), tentang "pembelian" dan "biaya overhead", "pertanyaan" tentang aturan rangkap tiga, "pertanyaan dari waktu", "bisnis dalam aturan tiga kali lipat", perdagangan "pertukaran dalam aturan tiga kali lipat" ...

Selanjutnya S.I. Shokhor-Trotsky mengutip sebuah fragmen dari "Aritmatika" oleh L.F. Magnitsky, dari mana terlihat dengan jelas bahwa gaya penyajian materi yang ditentukan, karakteristik sumber-sumber Eropa sebelumnya, belum diatasi dalam buku teks aritmatika Rusia pertama. Dalam penggalan tentang penerapan lima aturan ini, pertama-tama diberikan definisi aturan dan contoh penerapannya (teks soal dicetak miring di sini), lalu resep untuk mendapatkan jawaban; dalam kasus lain dianjurkan untuk melakukan hal yang sama.

“Ada aturan lima kali lipat, ketika perkiraan seperti itu terjadi, mereka tidak dapat dipahami oleh peringkat atau aturan lain, hanya melalui aturan lima poin atau lima poin ini, yang tiga kali lipat juga diucapkan ... karena lima daftar [angka] disediakan dalam aturan, dan yang keenam ditemukan ...: seseorang yang memiliki seratus rubel di pedagang selama satu tahun, dan jika mereka hanya memperoleh 7 rubel, dan dia memberikan paket 1000 rubel kepada pedagang selama 5 tahun, berapa banyak yang akan dia dapatkan dengan mereka, dan Anda benar-benar sial, meletakkan awal dari aturan rangkap tiga:

tahun tahun

100 –––––– 1 –––––– 7 –––––– 1000 –––––– 5

Dan kalikan dua daftar dari tangan kiri di antara mereka sendiri, juga tiga lainnya seperti tangan kanan, jadi kalikan di antara Anda sendiri secara berurutan, dan bagi produk mereka dengan produk itu dari dua yang pertama, setelah menghasilkan: seperti di sini. [ibid.]

Kami akan berbicara tentang kemungkinan menggunakan tugas semacam ini dalam proses pembelajaran, tetapi untuk saat ini, mengikuti aturan, kami akan mendapatkan jawaban yang benar:

(7 1000 5):(100 1) = 350 ( R.).

Pada saat S.I. Shokhor-Trotsky masih melestarikan tradisi memecahkan masalah sesuai aturan. Buku teks aritmatika paling terkenal saat itu adalah A.P. Kiseleva (edisi pertama tahun 1884). Agar pembaca mendapatkan gambaran tentang metode penyajian materi yang berkaitan dengan tugas-tugas pada aturan rangkap tiga dalam buku teks ini, untuk dapat membayangkan praktik mengajar anak sekolah memecahkan masalah pada proporsionalitas langsung dan terbalik pada saat itu , kami akan memberikan beberapa kutipan dari edisi ke-9 buku teks ini (1896 .). Komentar kami dalam teks dicetak miring.

Aturan sederhana tiga.

Tugas untuk aturan ini diselesaikan dengan metode proporsi atau pengurangan menjadi satu.

Tugas. 8 arshins kain berharga 30 rubel; berapa harga 15 arshin kain ini?

Dengan p tentang dengan tentang tentang tentang dan y. Mari dilambangkan dengan huruf x harga
15 ars. kain dan atur angkanya seperti ini:

Jumlah arshin. biaya mereka.

8 arsh. . . . . . . . 30 gosok.

lima belas". . . . . . . x »

Karena biaya kain sebanding dengan jumlah arshin, maka

x : 30 = 15: 8.

Di mana: x\u003d 30 15 / 8 \u003d 56 1/4 rubel.

Pengurangan menjadi kesatuan Untuk menyelesaikan masalah dengan cara ini, pertama-tama kita cari tahu berapa rubel berharga 1 arshin (dari sini metode ini disebut pengurangan menjadi kesatuan). Untuk kejelasan, kami akan mengatur solusi dalam baris:

8 arsh. biaya 30 rubel.

1 arsh. biaya 30/8 rubel.

8 arsh. biaya 30/8 · 15 \u003d 56 1/4 gosok.

Perhatikan bahwa penyajian materi dalam buku teks bisa lebih sederhana. Lagi pula, cara kedua untuk menyelesaikan masalah hanyalah catatan lain dari keputusan dengan tindakan:

1) 30: 8 = 30 / 8 (gosok); 2) 30/8 15 = 56 (menggosok.)

Dengan cara ini, tetapi dengan biaya kain yang dinyatakan dalam kopek, siswa harus dapat menyelesaikan masalah bahkan sebelum mempelajari operasi pecahan. Metode pengurangan menjadi kesatuan dengan pelestarian yang disengaja dari pecahan yang dapat direduksi diperlukan untuk menyajikan solusi masalah untuk aturan rangkap tiga yang kompleks, untuk "rumus akhir", untuk mengajar anak-anak sekolah untuk secara berurutan mengubah satu nilai pertama (seperti di sini), dan kemudian beberapa kuantitas (seperti dalam memecahkan masalah pada aturan rangkap tiga yang kompleks).

Juga, dalam dua cara (pertama dengan bantuan proporsi, kemudian pengurangan menjadi kesatuan), masalah proporsionalitas terbalik juga diselesaikan.

Suatu cara untuk memecahkan masalah seperti di mana satu nilai yang sesuai dari dua kuantitas diberikan, berbanding lurus atau berbanding terbalik, tetapi diperlukan mencari, berapa nilai yang akan diambil salah satu dari mereka jika yang lain menerima yang baru? nilai yang diberikan, ditelepon aturan rangkap tiga sederhana.

Berikut ini adalah tugas untuk aturan rangkap tiga yang kompleks, yang kompleksitasnya melebihi kebutuhan pelatihan awal - di sini akan cukup untuk mengambil tiga nilai, bukan empat (yaitu, mengambil tugas untuk aturan lima, seperti dalam L.F. Magnitsky, dan bukan untuk "septenary") .

Aturan rangkap tiga yang rumit.

Tugas. Untuk penerangan 18 kamar dalam 48 hari, 120 pound dihabiskan. minyak tanah, dengan 4 lampu menyala di setiap kamar. Berapa hari 125 lb? minyak tanah, jika 20 kamar diterangi dan 3 lampu menyala di setiap kamar?

Dengan p tentang dengan tentang tentang tentang dan y. Mari kita atur data tugas ini dalam dua baris:

20" - X» – 125 » – 3 »

Jika kita membiarkan jumlah pound dan lampu tidak berubah (jumlah ini dalam tanda kurung), maka kita dapat menemukan: x 1 adalah jumlah hari yang sesuai dengan 20 kamar, memecahkan masalah aturan rangkap tiga sederhana.

18 kamar – 48 hari - 120 pon – 4 lampu

20" - X 1" - 120" - 4"

X 1 \u003d 48 18 / 20 \u003d 216 / 5 (hari).

20 kamar – 216/5 hari – 120 pon – 4 lampu

20" - X 2" - 125" - 4"

X 2 = 216 125 / 5 120 = 45 (hari).

Sekarang mari kita ganti 4 lampu dengan 3 lampu:

20 kamar – 45 hari - 125 pon – 4 lampu

20" - X» – 125 » – 3 »

X= 45 4 / 3 = 60 (hari).

Cara untuk memecahkan masalah seperti itu ketika ada lebih dari dua besaran yang diberikan, disebut. aturan rangkap tiga yang kompleks.

A n d e r t i o n ke kesatuan.... Mari kita susun, untuk kemudahan, data dan nomor yang diinginkan sehingga x berdiri di kolom terakhir di sebelah kanan:

20 » 125 » 3 » x »

Sekarang kita akan mencari tahu berapa hari jika diterangi 1 kamar, minyak tanah akan 1 pound dan setiap kamar akan memiliki 1 lampu. Ini kita pelajari dengan mengarahkan ke 1 bertahap satu demi satu kondisi.

18 kamar 120 pon 4 lampu 48 hari

1" 120" 4" 48 18"

1 » 1 » 4 » 48 18 / 120 »

1 » 1 » 1 » 48 18 4 / 120 »

Sekarang kita akan mengganti satuan secara bertahap dengan angka yang diberikan pada soal soal:

1 kamar 1 pon 1 lam. 48 18 4 / 120 hari.

20 » 1 » 1 » 48 18 4 / 120 20 »

20 » 125 » 1 » 48 18 4 125 / 120 20 »

20 » 125 » 3 » 48 18 4 125 / 120 20 3 »

Tetap mengurangi formula yang dihasilkan dan menghitung.

F u n t untuk m u l a l . Dengan keterampilan yang cukup dalam memecahkan masalah untuk aturan rangkap tiga yang kompleks, Anda dapat segera menulis rumus akhir untuk x. Mari kita tunjukkan bagaimana hal itu dilakukan. Mari kita ambil masalah di atas:

18 kamar – 48 hari - 120 pon – 4 lampu

20" - X» – 125 » – 3 »

Jumlah hari akan menjadi 48 jika 18 kamar diterangi; jika hanya satu ruangan yang diterangi, maka akan ada 48 hari · 18, dan saat menyalakan 20 kamar, hari-harinya harus 48 18 / 20 (di bawah kondisi lain yang sama). Jumlah hari seperti itu akan dikenakan 120 pon minyak tanah; jika ada 1 pon minyak tanah, maka jumlah hari adalah 48 18 / 20 120, dan dengan 125 pon minyak tanah menjadi 48 18 125 / 20 120. Jumlah hari seperti itu akan dikenakan 4 lampu; dengan 1 lampu adalah 48 18 125 4 / 20 120, dan dengan 3 lampu seharusnya:

x = 48 18 125 4 / 120 20 3 , atau x= 48 18/20 125/120 4/3.

Aturan. Untuk mendapatkan angka yang diinginkan, cukup mengalikan nilai yang diberikan dari nilai yang sama secara berurutan dengan rasio nilai yang diberikan dari jumlah yang tersisa, mengambil rasio nilai baru dengan yang sebelumnya, jika nilainya langsung sebanding dengan yang dicari nilainya, dan nilai yang dulu dengan yang baru, bila nilainya berbanding terbalik dengan nilai yang dicari.

Untuk menghafal dan menerapkan aturan ini secara akurat ternyata tidak mudah. Mari kita perhatikan fakta bahwa itu seharusnya diteruskan ke formula akhir "dengan keterampilan yang cukup dalam memecahkan masalah pada aturan rangkap tiga yang kompleks" dalam dua cara pertama. Apakah mengherankan bahwa pelatihan seperti itu sulit dan tidak banyak berguna bagi siswa, dan menimbulkan keberatan dari para guru dan ahli metodologi. Jadi, misalnya, dalam program tahap I dan II sekolah tujuh tahun sekolah buruh terpadu tahun 1921, tertulis dengan cukup jelas: "Semua "aturan" lainnya adalah sisa-sisa masa lalu dan omong kosong , bahkan tidak alami, tetapi buatan.” Dan selanjutnya: "Aturan rangkap tiga yang kompleks mencakup koleksi tugas buatan yang harus dibuang dari kehidupan sekolah sejak lama karena ketidakberartiannya.

Kategorisasi yang begitu tajam dari penulis program, tampaknya, tidak begitu terkait dengan tugas itu sendiri (kondisi mereka dapat didekatkan dengan pengalaman anak), tetapi dengan sedikit metode yang berguna untuk mengajar anak-anak sekolah untuk memecahkan masalah. "Menurut aturan." Fragmen-fragmen teks di atas dari buku teks karya A.P. Kiseleva memberikan gambaran tentang metode penyajian materi yang menarik bagi kita dalam buku teks pra-revolusioner. Perhatikan bahwa dalam versi revisi buku teks pada tahun 1938, tugas-tugas untuk aturan rangkap tiga yang kompleks masih dipertahankan, dan sedikit lebih dari satu halaman buku teks dikhususkan untuk analisis satu masalah seperti itu - segera untuk aturan "septenary" . Namun, hanya "formula akhir" yang dipertimbangkan di sini dan aturannya tidak dirumuskan. Jelas, perubahan ini tidak menyelesaikan masalah penggunaan tugas dari jenis yang dimaksud.

Hanya dengan menyederhanakan metodologi untuk menggunakan jenis masalah ini, seseorang dapat secara berguna melestarikan seluruh kelas masalah tradisional dalam praktik sekolah. Seperti yang akan kita lihat nanti, banyak dari mereka mungkin memiliki konten yang cukup dekat dengan praktik, dan implementasinya pekerjaan persiapan ketika belajar memecahkan masalah pada aturan rangkap tiga sederhana dan membangun rantai masalah dari yang sederhana ke yang kompleks, mereka akan meningkatkan ketersediaan masalah jenis ini. Benar, pertanyaannya tetap tidak terpecahkan: haruskah semua siswa dilatih untuk memecahkan masalah seperti itu? Jawabannya tergantung pada apa yang kita lihat nilai praktis belajar memecahkan masalah teks - hanya dalam belajar memecahkan masalah yang dihadapi dalam praktik atau, terlebih lagi, dalam pengembangan pemikiran anak sekolah dalam proses memecahkan berbagai masalah, termasuk yang buatan. Pencapaian tujuan kedua mungkin difasilitasi oleh penggunaan tugas-tugas untuk aturan rangkap tiga yang kompleks dalam proses pendidikan. Tentu saja, persyaratan untuk dapat memecahkan masalah seperti itu tidak wajib bagi semua siswa, tetapi partisipasi dalam analisis solusi mereka, pelatihan untuk membedakan antara proporsi langsung dan terbalik akan bermanfaat bagi mereka masing-masing.

Adapun penggunaan masalah proporsionalitas langsung dan terbalik dalam buku pelajaran modern, lalu di buku teks N.Ya. Vilenkin dan lain-lain. langsung dan mundur ketergantungan proporsional item 22 dialokasikan. Ini berisi 18 tugas. Selain itu, mulai dari sampel dalam teks pendidikan, nilai kuantitas yang sesuai dinyatakan dalam pecahan desimal atau bilangan asli, yang rasionya tidak dinyatakan sebagai bilangan bulat. Hal ini membuat belajar menjadi sulit. Selain itu, sepertiga dari tugas adalah tugas untuk persentase. Ketika awalnya mempelajari penggunaan proporsi, lebih baik untuk memisahkan kesulitan: mempelajari proporsi secara terpisah dari pecahan desimal dan persen. PADA paragraf berikut Di buku teks, dari waktu ke waktu ada tugas "untuk proporsi", tetapi jumlahnya tidak banyak dan sebagian besar juga mudah diselesaikan tanpa proporsi.

Dengan demikian, proporsi itu sendiri tidak banyak memperkaya gudang metode untuk memecahkan masalah yang digunakan oleh anak sekolah dalam proses mempelajari seluruh mata pelajaran matematika di kelas 5–6, dan tanpa peningkatan kompleksitas masalah, proporsionalitas langsung dan terbalik tidak memiliki efek yang diinginkan pada perkembangan anak sekolah. Pada sejumlah kecil tugas sederhana dengan jenis yang sama, tidak selalu mungkin untuk mencapai tujuan penting lainnya - untuk mengajar anak-anak sekolah membedakan dengan baik antara proporsionalitas langsung dan terbalik.

Kami tidak mengklaim bahwa di masa lalu, masalah proporsionalitas langsung dan terbalik digunakan jauh lebih efektif. Tetapi tugas yang lebih beragam, termasuk tugas "untuk aturan rangkap tiga yang kompleks", memberi guru kesempatan untuk mengembangkan siswa terkuat. Itulah mengapa kami merekomendasikan guru untuk menggunakan dalam pekerjaan mereka dengan semua siswa, terutama dengan mereka yang paling siap, tugas-tugas yang sekarang hampir terlupakan ini. Tentu saja, kami akan menyederhanakan penyertaan mereka di proses pendidikan dan membuat penyesuaian yang diperlukan untuk metode mengajar mereka untuk menyelesaikannya. Kami sama sekali tidak mengusulkan untuk mengajar semua anak sekolah untuk memecahkan masalah seperti masalah lampu minyak tanah, dan dengan cara yang persis sama seperti yang ditunjukkan di atas. Mungkin tugas ini harus menjadi yang terakhir dalam rantai tugas, penyelesaian yang siswa tidak hanya dapat memahami solusi yang ditawarkan oleh guru, tetapi juga secara mandiri bergerak maju dari yang sederhana ke yang kompleks. Pekerjaan seperti itu akan lebih berguna daripada menandai waktu ketika memecahkan masalah dengan jenis yang sama dengan kompleksitas yang sama, itu akan memungkinkan siswa untuk mendapatkan pelatihan yang baik dalam membedakan antara proporsionalitas langsung dan terbalik. Di mana seseorang harus memulai?

Pertama, kita perlu mengajari siswa cara menyelesaikan proporsi. Cara utama untuk menyelesaikannya harus didasarkan pada properti utama proporsi. Ketika tujuan ini tercapai, maka Anda dapat menunjukkan penggunaan sifat-sifat proporsi untuk menyederhanakan penyelesaiannya. Misalnya, untuk menyelesaikan proporsi
X/ 5 \u003d 1 / 10, Anda dapat mengalikan sisi kanan dan kiri persamaan dengan 5 atau menukar bagian tengah dari proporsi.

Kedua, perlu untuk mengajar anak sekolah untuk memilih dua kuantitas dalam kondisi masalah, untuk menetapkan jenis ketergantungan di antara mereka.

Ketiga, Anda perlu mengajari mereka untuk membuat proporsi sesuai dengan kondisi masalah.

Dengan demikian, siswa akan menguasai berbagai keterampilan minimum yang disediakan oleh program matematika saat ini. Hanya setelah itu, untuk mempersiapkan solusi lebih tugas yang menantang untuk nilai proporsional (aturan rangkap tiga yang kompleks), Anda perlu menunjukkan kepada siswa cara untuk menyelesaikan masalah yang dipelajari tanpa proporsi sama sekali. Mari kita selesaikan masalahnya:

- Dengan kecepatan 80 km / jam, sebuah kereta barang menempuh perjalanan 720 km. Berapa jarak yang akan ditempuh kemudian waktu yang sama dengan kereta penumpang dengan kecepatan 60 km/jam?

Lintasan sebanding dengan kecepatan pada waktu pergerakan konstan, yang berarti bahwa dengan penurunan kecepatan 80/60 kali, lintasan akan berkurang 80/60 kali.

720: 80 / 60 = 540 (km).

Masalah diselesaikan dengan cara yang sama jika kecepatan tidak berkurang, tetapi meningkat, jika nilainya tidak langsung, tetapi berbanding terbalik. Tentu saja, penerapan pertama dari teknik ini harus didahului dengan pertanyaan yang diajukan dalam menyelesaikan masalah sebelumnya: berapa kali nilai ini meningkat (menurun)? Jawaban pertama untuk mereka harus dinyatakan dalam bilangan bulat, dan kemudian dalam pecahan, selalu diperoleh dengan pembagian nilai yang lebih besar nilai ke yang lebih kecil. Hanya setelah siswa belajar bagaimana menentukan bagaimana nilai kuantitas kedua akan berubah dengan perubahan yang sesuai pada yang pertama, mereka dapat melanjutkan untuk memecahkan masalah pertama dengan dua kuantitas (aturan rangkap tiga), kemudian dengan tiga dan empat kuantitas (aturan rangkap tiga kompleks) .

Tidak ada ungkapan yang cukup kuat sehingga para penyusun aritmatika abad pertengahan akan pelit untuk memuji aturan rangkap tiga. "Baris itu terpuji tiga kali lipat dan garis terbaik dari semua garis lainnya." "Para filsuf menyebutnya garis emas." Dalam buku teks Jerman, ia disebut sebagai "diatas semua pujian", itu adalah "kunci pedagang". Dengan cara yang sama, di antara orang Prancis, ia dikenal dengan nama règle dorée - aturan emas. Itu bertentangan dengan seluruh ilmu aljabar.

Lalu, mengapa pujian yang tidak pantas diberikan kepada departemen, yang di zaman kita terbiasa menempati tempat yang lebih sederhana? Sangat menarik untuk mengetahuinya, dan kami membiarkan diri kami kembali sedikit dan memberi Deskripsi singkat tujuan yang dikejar oleh aritmatika sejak zaman kuno.

Setiap ilmu pada tahap awal perkembangannya disebabkan oleh kebutuhan praktis dan, pada gilirannya, berusaha untuk memuaskannya. Kemudian, tergantung pada kondisi di mana ia berkembang, sains terkadang cukup cepat, terkadang lebih lambat mengambil warna teoretis dan bertindak mendidik pada mereka yang mempelajarinya, yaitu, meningkatkan kemampuan spiritual mereka: pikiran, perasaan dan kemauan: dengan pertumbuhan yang lambat, sains tetap menjadi pemimpin keterampilan untuk waktu yang lama, hanya memberikan keterampilan, memberi seseorang keterampilan mekanis dan memberinya fitur mekanis. Kedua arah diuji dengan aritmatika. Di satu sisi, para sarjana Yunani melihat dalam aritmatika, terutama, elemen pendidikan; mereka terus-menerus mengajukan pertanyaan “mengapa?”. dan “mengapa?”, selalu mencari alasan dan kesimpulan; para siswa sekolah-sekolah Yunani menggali esensi sains, memikirkannya, dan oleh karena itu studi tersebut bertindak atas mereka dengan cara yang mendidik dan berkembang. Di sisi lain, orang India melihat aritmatika bukan dari sisi seni, mereka tidak menyukai pertanyaan "mengapa?", tetapi pertanyaan utama mereka selalu: "bagaimana melakukannya?" Arah orang-orang Hindu diteruskan ke orang-orang Arab, dan dari sana ke Eropa abad pertengahan. Di dalamnya, ia bertemu dengan sambutan yang sangat ramah, dan tanah untuk itu ternyata cukup berterima kasih: setelah migrasi besar-besaran orang-orang dan dengan perang yang tak henti-hentinya, tidak ada yang perlu dipikirkan tentang pengembangan yang tepat, sering , ilmu abstrak, dan pada saat itu perlu untuk membatasi diri pada bagian yang diterapkan, itu cukup hanya mengajarkan "bagaimana melakukan" daripada "mengapa melakukannya." Jadi pewarnaan praktis tetap di belakang aritmatika lama, hampir sampai hari ini, pada saat yang sama, studinya sangat mekanis: tanpa kesimpulan, penjelasan, tanpa pendalaman ke dasar; di mana-mana di buku teks ada "lakukan ini", "Anda harus melakukan ini", dan siswa hanya perlu mengkonfirmasi dan mengajukan permohonan untuk kasus ini; Magnitsky kami juga memiliki sejumlah ekspresi karakteristik "lihat tahta", "lihat penemuan"; anggaplah di antara ungkapan-ungkapan ini ia memiliki "berpikir dan datang", tetapi bagaimana tepatnya berpikir, sangat sedikit petunjuk yang diberikan. Sesuai dengan makna praktis aritmatika, segala sesuatu yang dapat membawa manfaat langsung, menghasilkan pendapatan, secara khusus dibedakan dan dihargai di dalamnya.

“Siapa pun yang mengetahui kebijaksanaan ini,” kata aritmatika Rusia abad ke-17, “dapat bersama penguasa dengan kehormatan besar dan gaji; menurut kebijaksanaan ini, para tamu berdagang di negara bagian, dan dalam segala macam barang dan perdagangan, mereka tahu kekuatan dan dalam segala macam bobot dan ukuran, dan dalam tata ruang duniawi dan arus laut, mereka jahat, dan mereka tahu akunnya. dari sejumlah daftar.

Tetapi bagian mana dari aritmatika yang dapat memberikan keterampilan yang lebih praktis dan dapat diterapkan secara langsung daripada pemecahan masalah? Oleh karena itu, semua upaya penulis abad pertengahan diarahkan untuk mengumpulkan sebanyak mungkin masalah dan, pada saat yang sama, konten sehari-hari yang paling beragam. Berikut adalah masalah tentang jual beli, tentang wesel dan tentang bunga, tentang pencampuran, tentang pertukaran; keragamannya sangat buruk dan tidak ada cara untuk menyelesaikan seluruh massa masalah. Untuk mengelompokkan setidaknya sedikit dan memperkenalkan beberapa sistem dan ketertiban, mereka mencoba mendistribusikan semua tugas berdasarkan departemen atau jenis. Ide ini, tentu saja, bagus, tetapi biasanya dilakukan dengan sangat tidak berhasil, dan tugas-tugas didistribusikan tidak sesuai dengan metode penyelesaiannya, sebagaimana mestinya, tetapi sesuai dengan isinya, yaitu, menurut penampilannya. ; misalnya, ada masalah khusus tentang anjing yang mengejar kelinci, tentang pohon, tentang anak perempuan, dll.

Penyelesaian masalah dengan pembagian menurut isinya hampir tidak membawa manfaat apa pun, karena tidak membantu sedikit pun untuk lebih memahami solusinya. Dan, menurut pendapat para penulis kuno, hampir tidak perlu untuk memahaminya.

"Itu bukan apa-apa," sang mentor biasa menghibur murid-muridnya: "bahwa kamu tidak mengerti apa-apa, kamu juga tidak akan mengerti banyak di depan."

Alih-alih memahami, disarankan untuk tidak terbawa, tetapi untuk menghafal semua yang ditanyakan, dan kemudian mencoba menerapkannya pada kasus, yaitu pada contoh, dan semua kekuatan pemahaman terkonsentrasi bukan pada pemahaman kesimpulan. aturan, tetapi pada yang lebih sederhana, tentang bagaimana menerapkannya peraturan umum untuk contoh.

Jadi aturan rangkap tiga itu luar biasa dan layak mendapat perhatian khusus dalam banyak hal. Pertama, jangkauan tugasnya cukup luas, kedua, aturan itu sendiri diungkapkan dengan cukup sederhana dan jelas, dan ketiga, relatif mudah untuk menerapkan aturan ini. Untuk semua jasa ini, ia diberi nama "emas", "kunci pedagang", dll.

Aturan rangkap tiga berasal dari orang-orang Hindu, di mana tugas-tugasnya sebagian besar diselesaikan dengan pengurangan menjadi kesatuan. Cendekiawan Arab Alkhvarizmi (abad ke-9 M) menghubungkannya dengan aljabar. Leonardo Fibonacci, Italia abad ke-13 menurut R. X., mencurahkan bagian khusus untuk aturan rangkap tiga dengan judul: ad majorem guisam, di mana tugas diberikan untuk menghitung nilai barang. Contoh: 100 rotuli (berat Pisan) harganya 40 lira, berapa harga 5 rotuli? Kondisinya ditulis seperti ini:

Aturan yang ditentukan untuk memecahkan masalah ini dalam urutan berikut: produk dari 40 dengan 5 dibagi dengan 100.

Perhatian khusus telah diberikan pada aturan rangkap tiga sejak abad ke-16, yaitu sejak saat perdagangan dan industri Eropa segera bergerak maju, berkat penemuan-penemuan penting dan penemuan negara-negara baru. Tetapi ini tidak menghalangi kami untuk mengembangkan bab ini dengan cara yang sama sekali tidak memuaskan, setidaknya dari sudut pandang kami. Pertama-tama, aturan ditentukan murni secara eksternal: “masalahnya terdiri dari tiga angka dan memberikan dirinya angka keempat, sama seperti jika Anda meletakkan tiga sudut sebuah rumah, maka ini akan menentukan sudut ke-4; angka kedua harus dikalikan dengan yang ke-3, dan apa yang terjadi, kemudian dibagi dengan angka 1. Definisi seperti itu tidak bisa tidak mengarah pada inkonsistensi, dan di atas segalanya, pertanyaannya adalah: apa yang harus dianggap sebagai bilangan pertama, dan dapatkah masalah dengan tiga bilangan tertentu diselesaikan dengan aturan rangkap tiga? Buku teks tidak menganggap perlu untuk mengklarifikasi kesalahpahaman ini. Selain itu, masalah diselesaikan tidak hanya dengan bilangan bulat, tetapi juga dengan pecahan, dan dalam aritmatika lain mereka disusun secara tidak konsisten sehingga masalah dengan bilangan pecahan pada aturan rangkap tiga, bab tentang pecahan ditempatkan lebih awal, karena seluruh aturan rangkap mendahului aritmatika bilangan pecahan.

Setelah aturan rangkap tiga dengan bilangan bulat dan pecahan, aturan khusus"mengurangi", di mana dijelaskan bagaimana mungkin untuk mengurangi beberapa angka yang diberikan, dan kemudian aturan "refleksif" sudah berjalan; itu adalah departemen yang sangat membingungkan, yang memiliki pertanyaan dengan proporsi terbalik, dan penulis buku teks tidak dapat membedakan dengan cara apa pun masalah yang termasuk dalam kelompok ini; para murid harus mengandalkan firasat mereka sendiri dan puas dengan kecerdikan. Pada abad XV dan XXII. penjelasannya diberikan sebagai berikut: “Jika satu takaran biji-bijian berharga 1½ mark, maka dua pucuk roti diberikan untuk 1 mark; berapa banyak roti yang akan diberikan per mark jika satu takaran gandum berharga 1¾ mark; selesaikan dengan aturan rangkap tiga, ternyata

tetapi pemahaman orang akan menyadari bahwa ketika gandum naik harga, maka mereka akan memberi lebih sedikit roti, tidak lebih, jadi pertanyaannya harus dibalik, itu akan menjadi

Magnitsky (1703) menafsirkan dalam semangat yang sama

“Ada aturan kembali, ketika perlu dalam penugasan untuk menempatkan daftar ketiga alih-alih yang pertama: perlu dalam kasus-kasus sipil yang sering, seolah-olah berbicara di pantat: seorang pria tertentu memanggil seorang tukang kayu dan memerintahkan halaman akan dibangun, memberinya dua puluh orang pekerja: dan bertanya berapa hari kemudian dia akan membangun halamannya, dia menjawab, dalam tiga puluh hari; tetapi tuan perlu membangun seluruhnya dalam 5 hari, dan untuk ini dia bertanya kepada pak tukang kayu, berapa banyak orang yang layak dimiliki, sehingga Anda dapat membangun halaman bersama mereka dalam 5 hari, dan tukang kayu itu, bingung, bertanya kepada Anda secara aritmatika : berapa banyak orang yang layak dia miliki untuk membangun halaman itu dalam 5 hari, dan jika Anda mulai membuat sesuai dengan urutan aturan tiga sederhana; maka benar-benar keliru; tetapi tidak cocok untuk Anda: 30-20-5, tetapi mengubahnya menjadi duduk: 5-20-30; 30X20=600; 600: 5=120".

Aturan tiga diikuti oleh lima, diikuti oleh tujuh. Mudah ditebak bahwa ini adalah kasus khusus dari aturan rangkap tiga yang kompleks, tepatnya ketika, menurut 5 atau 7 data, yang secara proporsional bergantung satu sama lain, yang ke-6 atau ke-8, nomor yang sesuai, ditemukan, dengan kata lain: aturan lima kali lipat membutuhkan 2 proporsi, dan yang ketujuh adalah tiga. Aturan lima dijelaskan pada abad kedelapan belas sebagai berikut:

mereka membuat perhitungan yang tidak dapat dibuat menurut aturan lain; 5 nomor diberikan di dalamnya, dan nomor yang diinginkan keenam ditemukan dari mereka; misalnya, seseorang memasukkan seratus rubel ke dalam sirkulasi, dan mereka memberinya keuntungan 7 rubel, pertanyaannya adalah berapa banyak keuntungan yang akan dia terima dengan 100 rubel. selama 5 tahun;

diselesaikan seperti ini: 100-1-7-1000-5, kalikan dua angka kiri, dan juga kalikan 3 angka kanan dan bagi produk terakhir dengan yang pertama, jawabannya adalah 350, begitu banyak rubel keuntungan akan menghasilkan 1000 rubel. dalam waktu 5 tahun.

Aturan rangkap tiga yang sederhana dan kompleks biasanya didistribusikan pada abad ke-16-18. menjadi banyak departemen kecil, yang memiliki nama yang sangat rumit, tergantung pada isi tugas. Berikut adalah nama-nama ini menurut Magnitsky: "aturan perdagangan tiga kali lipat", yaitu, perhitungan biaya barang yang dibeli; b "perdagangan tiga kali lipat tentang pembelian dan penjualan", - sama dengan yang sebelumnya, tetapi hanya lebih rumit; c "perdagangan tiga kali lipat sayuran yang dapat dipasarkan dan dengan tanda", ketika Anda harus membuat pengurangan untuk piring dan selongsong pada umumnya; d "tentang untung dan rugi"; e "artikel pertanyaan dalam aturan tiga", di dalamnya tugas konten yang sangat beragam, sebagian besar dengan proporsi terbalik; f "artikel yang dipertanyakan dengan waktu", di mana ia diminta untuk menghitung durasi pekerjaan, jalur, dll.

Pada awal abad ke-19, Bazedov mengusulkan perubahan lain dalam aturan rangkap tiga dan sekali lagi ke arah yang sama dari kebiasaan mekanis yang tidak disadari. Guru bahasa Jerman ini menetapkan tujuan untuk lebih menyederhanakan penyelesaian masalah pada aturan rangkap tiga, dengan semakin mengurangi penalaran dalam menyelesaikannya dan menggantinya dengan menulis rumus yang sudah jadi. Dia menyarankan untuk mengatur angka-angka yang diberikan dalam 2 kolom: di sebelah kiri ditulis jumlah yang tidak diketahui dan semua angka yang harus dimasukkan dalam pembilang rumus, dan di sebelah kanan - semua faktor yang membentuk penyebut. Contoh: untuk makanan 1.200 orang selama 4 bulan, dibutuhkan 2.400 sen tepung; berapa banyak orang yang akan 4000 sen keluar dalam 3 bulan? Kami menulis 2 kolom:

dan dapatkan rumus jawabannya

Mengapa bilangan 1200, 4000 dan 4 termasuk dalam pembilangnya, dan 2400 dan 3 dalam penyebutnya? Ini dapat dijawab dengan aturan berikut: pembilang mencakup angka yang homogen dengan yang diinginkan, yaitu, dalam kasus kami, angka 1200; selain itu, ini juga mencakup semua angka dari kondisi kedua (4000 4), yang berbanding lurus dengan yang diinginkan; jika berbanding terbalik, seperti dalam contoh 3 kita, maka mereka diganti dengan angka yang sesuai dari kondisi ke-1 (ke-4).

Hanya itu yang dapat kami katakan tentang perkembangan sejarah aturan rangkap tiga. Dari semua yang telah dikatakan, seseorang dapat menarik kesimpulan yang cocok untuk zaman kita. Aritmatika abad pertengahan, dengan kecenderungannya untuk hanya memberikan aturan dan menghilangkan kesimpulan, dengan pemecahan pertanyaan mekanisnya, memiliki terlalu banyak pengaruh pada keseluruhan berikutnya. kehidupan sekolah, dan begitu besar sehingga jejaknya muncul di setiap langkah bahkan di zaman kita. Tidak peduli seberapa keras kita mencoba untuk melepaskan diri dari tradisi, untuk membebaskan diri dari kebiasaan, tetapi mereka menangkap kita terlalu dekat dan menarik kita terlalu kuat untuk dibuang tanpa jejak. Sekolah kami masih bersalah karena hafalan aritmatika, tanpa partisipasi kesadaran yang memadai. Aturan rangkap tiga adalah bukti yang bagus untuk ini. Sering lupa rata-rata dan sekolah rendah bahwa itu dimaksudkan untuk memberikan pendidikan umum, dan bukan untuk melatih akuntan, juru tulis, akuntan, dll. Sementara itu, metode kerajinan orang Italia dan Jerman, yang berusaha tidak mengembangkan seseorang, tetapi membuatnya mesin hitung, sering digunakan sampai sekarang. Mengapa semua aturan ini: rangkap tiga, campuran, dll.? Apa tujuan yang harus mereka layani? Mereka harus menjadi kesimpulan dari masalah yang dipecahkan, dan tidak mendahului solusi masalah; berbahaya untuk memecahkan masalah menurut aturan yang dipelajari sebelumnya, tetapi seseorang harus mencoba untuk sampai pada jawaban dengan pertimbangan pribadi yang bebas. Singkatnya, aturan tidak boleh dipahami dalam bentuk resep, yang cukup untuk dihafal untuk menyiapkan berbagai solusi rumit yang sesuai dengannya; tetapi mereka harus dinilai hanya sebagai kesimpulan yang diperoleh siswa: jika siswa tidak dapat menarik kesimpulan ini, maka ini berarti masalah yang diambil sedikit, atau tidak disusun secara sistematis, dan kesalahan ini harus diperbaiki dengan cara yang lebih sistematis. penataan masalah; jika siswa tidak menarik kesimpulan yang lengkap dan terperinci seperti yang diinginkan guru, maka lebih baik puas dengannya daripada memaksanya mempelajari aturan yang diberlakukan oleh buku teks: itu akan segera dilupakan dan tidak akan memiliki mengembangkan efek, karena independensi harus menjadi kualitas turunan matematika yang diperlukan, tetapi kondisi kesadaran yang diperlukan harus ada hubungan yang erat dari semua bagian kursus, itulah sebabnya tidak ada tempat untuk penyisipan mekanis ke kepala yang terpisah. potongan berasimilasi dengan memori.

Bagian ketiga

HUBUNGAN DAN PROPORSI.

TUGAS DISELESAIKAN DENGAN BANTUAN PROPORSI DAN
DENGAN METODE REDUKSI MENJADI SATU.

BAGIAN VIII..

50. Aturan rangkap tiga yang rumit.

2661. 45 tukang batu dibayar 216 rubel untuk enam hari kerja; Berapa banyak pekerjaan yang harus dilakukan oleh 30 tukang selama 8 hari?

2662. 5 pompa memompa 1800 ember air dalam waktu 3 jam. Berapa banyak air yang akan dipompa keluar oleh 4 pompa serupa dalam 4 jam?

2663. 25 pekerja menggali kanal dalam 12 hari, panjangnya 36 depa. Berapa panjang saluran yang dapat digali oleh 15 pekerja yang sama dalam 10 hari?

2664. Modal 100 rubel dalam 12 bulan menghasilkan 6 rubel keuntungan. Berapa keuntungan yang akan diperoleh modal 8600 rubel dalam 4 bulan?

2665. Dari ladang persegi panjang, panjang 40 sazhen dan lebar 30 sazhen, 6 perempat 2 perempat gandum dipanen. Berapa banyak gandum yang dipanen dari ladang lain yang panjangnya 96 depa dan lebarnya 50 depa, jika kondisi tanam dan panen kedua ladang itu sama?

2666. Untuk 15 pasang gaun, digunakan 45 arshin kain dengan lebar 1 arshin. 14 inci. Berapa lebar kain lainnya, jika panjangnya 60 arshin untuk 10 pasang gaun yang sama?

2667 .18 pekerja, bekerja 7 jam sehari, menyelesaikan beberapa pekerjaan dalam 30 hari dan menerima 201 rubel untuk ini. 60 kop. 14 karyawan, bekerja setiap hari selama 4 jam, menerima 67,2 rubel untuk melakukan pekerjaan lain. Dengan asumsi bahwa upah per jam untuk pekerja kedua belah pihak adalah sama, tentukan berapa hari pekerja pihak kedua bekerja.

2668. Untuk pengangkutan 420 pod barang dengan kereta api melalui jarak 24 ayat, 2 rubel dibayar. 52 kopek. Menurut perhitungan ini, untuk pengangkutan 50 pon barang di sepanjang jalur kereta Nikolaev, dari Sankt Peterburg ke Moskow, harus dibayar 7 rubel. 61 1/4 kop. Cari panjang jalan ini.

2669. 155 tiket penumpang kelas dua, yang diambil dengan kereta api dari Paris ke Rouen, berharga 1488 franc. Mengetahui bahwa harga 10 tiket kelas dua yang diambil untuk perjalanan 4 kilometer sama dengan 3 franc, dan bahwa 16 kilometer adalah 15 vers, nyatakan dalam vers panjangnya kereta api antara Paris dan Rouen.

2670. Jika roda sebuah mesin yang membuat kawat besi berputar dengan kecepatan 60 putaran per menit, maka mesin ini akan menghasilkan 240 arsh. kawat selama 3 jam 20 menit. Berapa lama waktu yang dibutuhkannya untuk membuat 33 1/8 depa kawat jika roda membuat 41 2/3 putaran per menit?

2671. Dari sebuah ladang persegi panjang, yang panjangnya 125 sazhen dan lebarnya 0,08 vers, 12 1/2 perempat gandum dipanen; dengan demikian, perhitungan menunjukkan hasil self-enam. Dari ladang persegi panjang lain, yang panjangnya 0,3 (9) ayat, 8 1/3 perempat gandum dipanen, yang berjumlah lima panen. Dengan asumsi bahwa kondisi tanam kedua bidang sama, tentukan lebar bidang kedua.

2672. Lempengan batu, panjang 5,3 kaki, lebar 0,8 kaki, dan tebal 2 5/8 inci, beratnya 4,2 pon. Lempengan lain dari batu yang sama dengan yang pertama beratnya 7 pon 35 pon dan lebar 15 inci dan tebal 2 inci. Berapa panjang piring kedua?

2673 . Sepotong besi, panjang 2 arshin, lebar 1 1/2 inci dan tebal 2/3 inci, beratnya 0,4375 pon. Berapa berat sebatang besi, yang panjangnya 2 kaki, lebar 1 3/7 inci, dan tebal 0,16666 .... kaki?

2674. 36 pekerja, bekerja setiap hari selama 12 jam 30 menit, dibangun rumah kayu dalam 30 hari. Berapa jam sehari 27 pekerja harus bekerja untuk membangun rumah yang sama dalam 50 hari?

2675. Panjang koridor adalah 6 sazhens. 2 arsh. 9 1/7 inci, lebar 1,4(9) sazhen. dan tinggi 5, (3) yard (ukuran panjang yard-Inggris). Udara atmosfer yang terkandung di dalam koridor memiliki berat 17 kilogram. 34 pon. Udara yang memenuhi ruangan yang berdekatan dengan koridor memiliki berat 11,9 pon. Diketahui 0,58 (3) yard = 0,75 ar., dan tinggi ruangan adalah 5 5/7 ar., dan lebarnya adalah 0,945 dari tingginya, hitunglah panjang ruangan ini.

2676. Untuk penerangan tangga rumah dengan 6 jet gas yang menyala selama 40 malam, selama 6 jam dan 12 menit setiap malam, 22 rubel dibayarkan ke perusahaan gas. 32 kopek. Di tangga lain, 5 tanduk serupa dibakar selama 60 malam, yang membayar 27 rubel. Berapa jam setiap malam gas menyala di tangga kedua?

2677 . Untuk 4 lampu yang dinyalakan setiap malam selama 7 1/2 jam, 2,25 pon minyak tanah dikonsumsi selama 30 malam. Dalam berapa malam 1,8 pon minyak tanah akan habis jika 5 lampu seperti itu dinyalakan setiap malam selama 4 jam 30 menit?

2678 . 32 tukang, bekerja setiap hari selama 8 1/2 jam, dalam 42 hari meletakkan dinding bata dengan panjang 10 sazhen, tebal 7 1/2 inci dan tinggi 1 sazhen 3,5 kaki. Dalam berapa hari 40 tukang batu, dengan kekuatan yang sama seperti yang pertama, bekerja setiap hari selama 6,8 jam, akan memasang dinding bata dengan panjang 15 sazhen, tebal 0,9375 arshin, dan tinggi 2 1/2 arshin?

2679. Panjang jalan surat antara Vitebsk dan Orel adalah 483 ayat; seorang pengelana menempuh jarak ini dalam 7 hari, berada di kota selama 10 jam setiap hari dan menempuh jumlah mil per jam yang sama. Pelancong lain meninggalkan Vitebsk ke Mogilev dan, berada di jalan setiap hari selama 12 jam, berjalan dalam 4 hari. Berapa verst dari Witsbsk ke Mogilev, jika diketahui bahwa pengelana kedua melakukan perjalanan 10 vers pada waktu yang sama dengan pengelana pertama menempuh 23 vers?

2680. Bata (klinker), panjang 0,375 arshin, lebar 3 inci dan tebal 1 1/2 inci, beratnya 10 pon 38,4 gulungan. Berapa beratnya? bentuk persegi panjang sepotong kelereng, yang panjangnya 8,75 inci, lebar 2 1/4 inci, dan tebal 2 inci, di mana kelereng diketahui 1 1/2 kali lebih berat dari batu bata?

2681. 25 penenun, bekerja 8 1/3 jam sehari, menenun dalam 32 hari 120 arshin linen, lebar 1 arshin. 5 1/3 inci. Dalam berapa hari 40 orang penenun yang bekerja setiap hari selama 4 jam 10 menit akan menenun 320 arshin linen dengan lebar 0,75 arshin?

2682. Modal 1200 rubel dalam 8 bulan menghasilkan 40 rubel keuntungan; jam berapa 100 gosok. akan membawa 5 rubel. tiba?

2683. Modal sebesar 30.000 rubel dalam 7 1/2 bulan menghasilkan keuntungan 1.125 rubel. Berapa keuntungan yang diperoleh setiap 100 rubel modal ini dalam 1 tahun?

2684. Modal 24.400 rubel selama 10 bulan menghasilkan keuntungan 1.525 rubel. Jenis modal apa yang harus dimiliki seseorang agar, yang beredar di bawah kondisi yang sama seperti yang pertama, menghasilkan 1.250 rubel laba dalam waktu 2 1/2 bulan?

2685. 54 penggali, bekerja 10 jam sehari, membuat gundukan dalam 33 hari, panjang 124 depa, lebar 1 depa 2 1/2 arshin dan tinggi 6 3/4 kaki. Berapa banyak penggali yang perlu dipekerjakan agar, bekerja setiap hari selama 7 1/2 jam, dalam 30 hari mereka membuat tanggul, panjang 0,31 versts, 7 1/3 arsh sprin. dan tinggi 3 6/7 arshins?

2686. 48 penggali, bekerja setiap hari selama 9 jam 20 menit, dibuat dalam 55 hari pekerjaan tanah, panjang 40 1/3 depa, lebar 4 1/2 arshin, dan tinggi 7 arshin. Berapakah tinggi yang akan dicapai 40 penggali dalam 64 hari, bekerja setiap hari selama 6 jam 45 menit, jika panjang poros 44 depa dan lebarnya 1 depa?

2687 . 14 sazhen kayu bakar pinus dihabiskan untuk memanaskan apartemen dengan 6 kompor selama 2 bulan 10 hari. Berapa lama waktu yang dibutuhkan 10 sazhen kayu bakar birch untuk memanaskan sebuah apartemen dengan 8 tungku, jika jumlah panas yang dipancarkan oleh masing-masing tungku harus sama dengan apartemen pertama, dan jika 9 sazhen kayu bakar pinus memberikan panas sebanyak 7 1/2 depa birch?

2688. Dari ladang berbentuk persegi panjang, yang memiliki panjang 2 bujur dan lebar 1 1/2 bujur, dengan hasil panen sam-27, begitu banyak bit gula dipanen sehingga 937 1/2 butir gula diambil darinya di pabrik . Dari ladang lain, yang memiliki lebar 400 sazhen, dengan panen 18 sam, bit gula dipanen, dari mana 250 pon gula diekstraksi. Dengan asumsi bahwa kondisi penaburan dan kualitas bit untuk kedua bidang adalah sama, temukan panjang bidang kedua.

2689. 4 juru tulis, bekerja setiap hari selama 7 1/2 jam, menyalin 225 lembar dalam 15 hari, dengan rata-rata 32 baris pada setiap halaman. Berapa banyak juru tulis yang perlu dipekerjakan agar, dengan belajar setiap hari selama 5 jam 20 menit, mereka dapat menyalin 64 lembar dalam 9 hari, dengan menempatkan rata-rata 36 baris pada setiap halaman?

2690. 3 pipa selama 4 1/2 jam mengisi reservoir, panjang 1 jelaga. 2 arshins, lebar 1,5 arshins dan kedalaman 3 2/3 kaki. Sampai kedalaman berapa 4 pipa akan mengisi reservoir lain dalam waktu 5,4 jam, jika panjang reservoir ini adalah 1 jelaga. 2 5/8 kaki, lebar 1,2 ars, dan jika masing-masing pipa pertama menuangkan 16 ember air secara bersamaan, ke dalam pipa mana yang terakhir menuangkan 9 ember?

2691 . 22 penenun, bekerja 10 jam sehari, menyiapkan 120 potong lenan dalam 30 hari. Berapa banyak penenun yang perlu dipekerjakan agar, dengan bekerja 7 1/2 jam sehari, dalam 40 hari mereka dapat menyiapkan 300 lembar kain lenan, dan panjang masing-masing lembar ini harus 1 1/10 kali panjang kain pertama, dan lebarnya harus 0,8(3) lebar yang pertama?

2692. Untuk makanan bagi sejumlah prajurit tertentu, akan diperoleh persediaan gandum selama 60 hari jika setiap prajurit diberikan 2 1/2 pon setiap hari. Berapa hari 3/4 dari persediaan ini akan bertahan, jika jumlah tentara dikurangi 3/8 dari jumlah sebelumnya, dan porsi harian masing-masing ditambah 1,25 pound.?

2693. Lima belas pekerja dan 12 pekerja, bekerja setiap hari selama 10 jam 30 menit, memindahkan roti dari ladang dalam 12 hari. Berapa hari 21 pekerja dan 8 pekerja, yang bekerja 8,4 jam sehari, memindahkan roti dari ladang, yang panjangnya terkait dengan panjang yang pertama, sebagai 0,3: 1 / 5, dan yang lebarnya terkait dengan lebar pertama, sebagai 0, 51: 0,5(6) - jika diketahui bahwa kekuatan seorang pria terkait dengan kekuatan seorang wanita, bagaimana 0,2(6) : 0,1(9)?

2694. Untuk memompa air dari kolam, disediakan 3 pompa besar dan 5 pompa kecil, yang jika bekerja bersama-sama, dapat mengalirkan semua air dalam waktu 6 jam. Setelah 2 1/2 jam aksi gabungan mereka, dua pompa besar memburuk dan segera digantikan oleh 5 pompa kecil. Mengetahui bahwa kekuatan setiap pompa kecil terkait dengan kekuatan masing-masing pompa besar, bagaimana 2 1/2: 4 1 / 6 menentukan berapa jam yang dibutuhkan untuk memompa air keluar dari kolam.

2695. 4215 batu bata digunakan untuk membangun dinding rumah, yang masing-masing memiliki panjang 10 1/2 inci dan lebar 5,25 inci. dan tebal 2 5/8 inci. Untuk membangun tembok lain, batu bata digunakan, yang masing-masing panjangnya 5 1/2 inci, lebar 3 1/3 inci, dan tebal 1 1/4 inci. Berapa banyak bata tersebut yang akan digunakan untuk membangun tembok kedua, jika panjangnya 0,8 (3) panjang tembok pertama, tebalnya 1,1 kali tebal tembok pertama, dan tingginya 0. (5) tingginya dari dinding pertama?

2696. Dua puluh lima orang, bekerja setiap hari selama 5 jam, berhasil melakukan 0,27 pekerjaan dalam 15 hari. Berapa orang lagi yang perlu dipekerjakan, agar mereka, belajar bersama dengan yang pertama selama 8 1/3 jam sehari, dapat menyelesaikan sisa pekerjaan yang sama dalam 20 hari?

Shvetsov K.I., BEVZ G.P.
BUKU PANDUAN MATEMATIKA DASAR
Aritmatika, ALJABAR, 1965


1. Aturan rangkap tiga sederhana. Dari masalah besaran proporsional, yang paling umum adalah masalah yang disebut aturan rangkap tiga sederhana. Dalam tugas-tugas ini, tiga angka diberikan dan diperlukan untuk menentukan yang keempat, sebanding dengan mereka.

Soal 1. 10 baut beratnya 4 kg. Berapa berat 25 baut ini? Tugas seperti itu dapat diselesaikan dengan beberapa cara.

Solusi I (dengan reduksi menjadi satu).

1) Berapa berat satu baut?

4 kg: 10 = 0,4 kg.

2) Berapa berat 25 baut?

0,4 kg 25 = 10 kg.

Solusi II (metode proporsi). Karena berat baut berbanding lurus dengan jumlahnya, maka perbandingan beratnya sama dengan perbandingan potongannya (baut). Menunjukkan berat yang diinginkan dengan huruf x, kami mendapatkan proporsi:

X : 4 = 25: 10,

(kg)

Anda bisa berdebat seperti ini: 25 baut 2,5 kali lebih banyak dari 10 baut. Oleh karena itu, mereka juga 2,5 kali lebih berat dari 4 kg:

4kg 2,5 = 10kg.

Menjawab. 25 baut berat 10 kg.

Masalah 2. Gigi pertama menghasilkan 50 rpm. Gigi kedua, menyatu dengan yang pertama, menghasilkan 75 rpm. Hitunglah jumlah gigi roda kedua jika jumlah gigi roda pertama adalah 30.

Solusi (dengan reduksi menjadi kesatuan). Kedua roda gigi bertautan akan bergerak dalam satu menit dengan jumlah gigi yang sama, sehingga jumlah putaran roda berbanding terbalik dengan jumlah giginya.

50 putaran - 30 gigi

75 putaran - X gigi.

X : 30 = 50: 75; (gigi).

Anda juga dapat berdebat seperti ini: roda kedua membuat putaran 1,5 kali lebih banyak dari yang pertama (75: 50 \u003d 1,5). Oleh karena itu, ia memiliki gigi 1,5 kali lebih kecil dari yang pertama:

30: 1,5 = 20 (gigi).

Menjawab. 20 gigi.

2. Aturan rangkap tiga yang rumit. Tugas di mana, untuk serangkaian nilai tertentu yang sesuai dari beberapa (lebih dari dua) kuantitas proporsional, diperlukan untuk menemukan nilai salah satunya yang sesuai dengan seri lain dari nilai yang diberikan dari jumlah yang tersisa, mereka adalah disebut tugas untuk aturan rangkap tiga yang kompleks.

Tugas. 5 pompa memompa 1800 ember air dalam waktu 3 jam. Berapa banyak air yang akan dipompa keluar oleh 4 pompa tersebut dalam 4 jam?

5 kita. 3 jam - 1800 ve.

4 kita. 4 jam - X ved.

1) Berapa ember air yang dipompa oleh 1 pompa dalam 3 jam?

1800: 5 = 360 (ember).

2) Berapa ember air yang dipompa oleh 1 pompa dalam 1 jam?

360: 3 = 120 (ember).

3) Berapa banyak air yang akan dipompa keluar oleh 4 pompa dalam 1 jam?

120 4 = 480 (ember).

4) Berapa banyak air yang akan dipompa keluar oleh 4 pompa dalam 4 jam?

480 4 = 1920 (ember).

Menjawab. 1920 ember

Solusi jalan pintas untuk rumus numerik:

(ember).

Tugas. Bagilah angka 100 menjadi dua bagian yang berbanding lurus dengan angka 2 dan 3,

Tugas ini harus dipahami sebagai berikut: bagilah 100 menjadi dua bagian sehingga yang pertama berhubungan dengan yang kedua sebagai 2 hingga 3. Jika kita menunjukkan angka yang diinginkan dengan huruf X 1 dan X 2, masalah ini dapat dirumuskan sebagai berikut. Mencari X 1 dan X 2 sedemikian sehingga

X 1 + X 2 = 100,

X 1: X 2 = 2: 3.