წრფივი ან კვადრატული უტოლობის გრაფიკი აგებულია ისევე, როგორც ნებისმიერი ფუნქციის (განტოლების) გრაფიკი აგებული. განსხვავება ისაა, რომ უტოლობა გულისხმობს, რომ ბევრი ამონახსნები არსებობს, ამიტომ უტოლობის გრაფიკი არ არის მხოლოდ წერტილი რიცხვით წრფეზე ან წრფეზე. საკოორდინაციო თვითმფრინავი. მეშვეობით მათემატიკური ოპერაციებიდა უტოლობის ნიშანი, შეიძლება განისაზღვროს უტოლობის ამონახსნების ნაკრები.

ნაბიჯები

რიცხვითი წრფეზე წრფივი უტოლობის გრაფიკული გამოსახვა

1. უტოლობის ამოხსნა.ამისათვის გამოყავით ცვლადი იმავე ალგებრული ხრიკების გამოყენებით, რომლებსაც იყენებთ ნებისმიერი განტოლების ამოსახსნელად. დაიმახსოვრეთ, რომ უტოლობის გამრავლების ან გაყოფისას უარყოფითი რიცხვი(ან ტერმინი), შეცვალეთ უთანასწორობის ნიშანი.

   • მაგალითად, უთანასწორობის გათვალისწინებით 3წ + 9 > 12 (\displaystyle 3y+9>12). ცვლადის იზოლირებისთვის, გამოაკლეთ 9 უტოლობის ორივე მხარეს და შემდეგ გაყავით ორივე მხარე 3-ზე:
     3წ + 9 > 12 (\displaystyle 3y+9>12)
     3 y + 9 − 9 > 12 − 9 (\displaystyle 3y+9-9>12-9)
     3 წ > 3 (\displaystyle 3y>3)
     3 y 3 > 3 3 (\displaystyle (\frac (3y)(3))>(\frac (3)(3)))
     y > 1 (\displaystyle y>1)
   • უტოლობას უნდა ჰქონდეს მხოლოდ ერთი ცვლადი. თუ უტოლობას ორი ცვლადი აქვს, უმჯობესია დიაგრამა გამოვსახოთ კოორდინატულ სიბრტყეზე.

2. დახაზეთ რიცხვითი ხაზი.რიცხვთა ხაზში მონიშნეთ ნაპოვნი მნიშვნელობა (ცვლადი შეიძლება იყოს ამ მნიშვნელობაზე ნაკლები, მეტი ან ტოლი). დახაზეთ შესაბამისი სიგრძის რიცხვითი წრფე (გრძელი ან მოკლე).

   • მაგალითად, თუ თქვენ გამოთვალეთ ეს y > 1 (\displaystyle y>1), მონიშნეთ მნიშვნელობა 1 რიცხვით ხაზში.

3. დახაზეთ წრე ნაპოვნი მნიშვნელობის გამოსაჩენად.თუ ცვლადი ნაკლებია ( < {\displaystyle <} ) ან მეტი ( > (\displaystyle >)) ამ მნიშვნელობის, წრე არ არის შევსებული, რადგან ამოხსნის ნაკრები არ შეიცავს ამ მნიშვნელობას. თუ ცვლადი ნაკლებია ან ტოლია ( ≤ (\displaystyle \leq)) ან მეტი ან ტოლი ( ≥ (\displaystyle\geq)) ამ მნიშვნელობამდე წრე ივსება, რადგან ამოხსნის ნაკრები შეიცავს ამ მნიშვნელობას.

   • y > 1 (\displaystyle y>1), რიცხვთა წრფეზე დახაზეთ ღია წრე 1 წერტილში, რადგან 1 არ არის ამონახსნების ნაკრებში.

4. რიცხვთა ხაზზე დაჩრდილეთ არე, რომელიც განსაზღვრავს ამონახსნების სიმრავლეს.თუ ცვლადი აღემატება ნაპოვნ მნიშვნელობას, დაჩრდილეთ უბანი მის მარჯვნივ, რადგან ამოხსნის ნაკრები მოიცავს ყველა მნიშვნელობას, რომელიც აღემატება ნაპოვნი მნიშვნელობას. თუ ცვლადი ნაპოვნ მნიშვნელობაზე ნაკლებია, დაჩრდილეთ მისგან მარცხნივ მდებარე ტერიტორია, რადგან ამონახსნების ნაკრები მოიცავს ყველა მნიშვნელობას, რომელიც ნაკლებია ნაპოვნი მნიშვნელობაზე.

   • მაგალითად, უთანასწორობის გათვალისწინებით y > 1 (\displaystyle y>1)რიცხვთა ხაზზე დაჩრდილეთ არე 1-ის მარჯვნივ, რადგან ამონახსნების ნაკრები მოიცავს 1-ზე მეტ ყველა მნიშვნელობას.

   წრფივი უტოლობის გრაფიკული გამოსახვა კოორდინატულ სიბრტყეზე

   1. ამოხსენით უტოლობა (იპოვეთ მნიშვნელობა y (\displaystyle y)). მისაღებად წრფივი განტოლება, გამოყავით ცვლადი მარცხენა მხარეს ცნობილი გამოყენებით ალგებრული მეთოდები. ცვლადი უნდა დარჩეს მარჯვენა მხარეს x (\displaystyle x)და შესაძლოა გარკვეული მუდმივი.

      • მაგალითად, უთანასწორობის გათვალისწინებით 3წ + 9 > 9x (\displaystyle 3y+9>9x). ცვლადის იზოლირება y (\displaystyle y), გამოაკელი 9 უტოლობის ორივე მხარეს და შემდეგ გაყავი ორივე მხარე 3-ზე:
        3წ + 9 > 9x (\displaystyle 3y+9>9x)
        3 y + 9 − 9 > 9 x − 9 (\displaystyle 3y+9-9>9x-9)
        3 y > 9 x − 9 (\displaystyle 3y>9x-9)
        3 y 3 > 9 x − 9 3 (\displaystyle (\frac (3y)(3))>(\frac (9x-9)(3)))
        y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3)

   2. დახაზეთ წრფივი განტოლება კოორდინატულ სიბრტყეზე.დახაზეთ გრაფიკი ნებისმიერი წრფივი განტოლების გამოსახატავად. დახაზეთ გადაკვეთის წერტილი Y-ღერძთან და შემდეგ დახაზეთ სხვა წერტილები დახრილობის გამოყენებით.

      • y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3)დახაზეთ განტოლება y = 3 x − 3 (\displaystyle y=3x-3). Y-ღერძთან გადაკვეთის წერტილს აქვს კოორდინატები და ფერდობზეარის 3 (ან 3 1 (\displaystyle (\frac (3)(1)))). ასე რომ, ჯერ დახაზეთ წერტილი კოორდინატებით (0 , − 3) (\displaystyle (0,-3)); y-ღერძთან გადაკვეთის წერტილის ზემოთ წერტილს აქვს კოორდინატები (1 , 0) (\displaystyle (1,0)); y-ღერძთან გადაკვეთის წერტილის ქვემოთ წერტილს აქვს კოორდინატები (− 1 , − 6) (\displaystyle (-1,-6))

   3. დახაზეთ სწორი ხაზი.თუ უთანასწორობა მკაცრია (მოიცავს ნიშანს < {\displaystyle <} ან > (\displaystyle >)), დახაზეთ წერტილოვანი ხაზი, რადგან გადაწყვეტილებების ნაკრები არ შეიცავს ხაზზე მდებარე მნიშვნელობებს. თუ უთანასწორობა არ არის მკაცრი (მოიცავს ნიშანს ≤ (\displaystyle \leq)ან ≥ (\displaystyle\geq)), დახაზეთ მყარი ხაზი, რადგან გადაწყვეტილებების ნაკრები მოიცავს მნიშვნელობებს, რომლებიც დევს ხაზზე.

      • მაგალითად, უთანასწორობის შემთხვევაში y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3)დახაზეთ წერტილოვანი ხაზი, რადგან გადაწყვეტილებების კომპლექტი არ შეიცავს ხაზზე მდებარე მნიშვნელობებს.

   4. დაჩრდილეთ შესაბამისი ტერიტორია.თუ უტოლობას აქვს ფორმა y > m x + b (\displaystyle y>mx+b), შეავსეთ ზონა ხაზის ზემოთ. თუ უტოლობას აქვს ფორმა წ< m x + b {\displaystyle y, შეავსეთ ზონა ხაზის ქვეშ.

      • მაგალითად, უთანასწორობის შემთხვევაში y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3)დაჩრდილეთ ტერიტორია ხაზის ზემოთ.

   კვადრატული უტოლობის გრაფიკული გამოსახვა კოორდინატულ სიბრტყეზე

   1. დაადგინეთ, რომ ეს უტოლობა არის კვადრატი. კვადრატული უტოლობაფორმა აქვს a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c). ზოგჯერ უტოლობა არ შეიცავს პირველი რიგის ცვლადს ( x (\displaystyle x)) და/ან თავისუფალი ტერმინი (მუდმივი), მაგრამ უნდა შეიცავდეს მეორე რიგის ცვლადს ( x 2 (\displaystyle x^(2))). ცვლადები x (\displaystyle x)და y (\displaystyle y)უნდა იყოს იზოლირებული უთანასწორობის სხვადასხვა მხარეს.

      • მაგალითად, თქვენ უნდა გამოსახოთ უტოლობა წ< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y.

   2. დახაზეთ გრაფიკი კოორდინატულ სიბრტყეზე.ამისათვის გადააქციეთ უტოლობა განტოლებად და ააგეთ გრაფიკი, როგორც თქვენ ქმნით ნებისმიერი კვადრატული განტოლების გრაფიკს. გახსოვდეთ, რომ კვადრატული განტოლების გრაფიკი არის პარაბოლა.

      • მაგალითად, უთანასწორობის შემთხვევაში წ< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle yნაკვეთის კვადრატული განტოლება y = x 2 − 10 x + 16 (\displaystyle y=x^(2)-10x+16). პარაბოლას მწვერვალი არის წერტილში (5 , − 9) (\displaystyle (5,-9)), და პარაბოლა კვეთს x ღერძს წერტილებში (2 , 0) (\displaystyle (2,0))და (8 , 0) (\displaystyle (8,0)).

უტოლობა არის ორი რიცხვი ან მათემატიკური გამოსახულებები, რომლებიც დაკავშირებულია ერთ-ერთ ნიშანთან: > (მკაცრი უტოლობაზე მეტი),< (меньше, в случае строгих неравенств), ≥ (больше или равно, в случае нестрогих неравенств), ≤ (меньше или равно, в случае нестрогих неравенств).

უთანასწორობა არის ხაზოვანიიგივე პირობებში, როგორც განტოლება: ის შეიცავს ცვლადებს მხოლოდ პირველ ხარისხში და არ შეიცავს ცვლადების პროდუქტებს.

გადაწყვეტილება წრფივი უტოლობადა წრფივი უტოლობათა სისტემები განუყოფლად არის დაკავშირებული მათ გეომეტრიულ მნიშვნელობასთან: წრფივი უტოლობის ამონახსნები არის გარკვეული ნახევარსიბრტყე, რომელშიც მთელი სიბრტყე იყოფა სწორ ხაზთან, რომლის განტოლება მოცემულია წრფივი უტოლობით. ეს ნახევრად სიბრტყე და წრფივი უტოლობების სისტემის შემთხვევაში, სიბრტყის ნაწილი, რომელიც შემოსაზღვრულია რამდენიმე სწორი ხაზით, ნახაზზე უნდა მოიძებნოს.

ბევრი ეკონომიკური პრობლემა მცირდება წრფივი უტოლობების სისტემების გადაწყვეტაზე ცვლადების დიდი რაოდენობით, კერძოდ, ხაზოვანი პროგრამირების ამოცანები, რომლებშიც საჭიროა ფუნქციის მაქსიმალური ან მინიმალური პოვნა.

წრფივი უტოლობების სისტემების ამოხსნა ნებისმიერი რაოდენობის უცნობით

ჯერ გავაანალიზოთ წრფივი უტოლობა სიბრტყეში. განვიხილოთ ერთი უტოლობა ორი ცვლადით და:

,

სად არის ცვლადების კოეფიციენტები (ზოგიერთი რიცხვი), არის თავისუფალი წევრი (ასევე ზოგიერთი რიცხვი).

ერთ უტოლობას ორი უცნობით, ისევე როგორც განტოლებას, აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა. ამ უტოლობის გამოსავალი არის რიცხვების წყვილი, რომელიც აკმაყოფილებს ამ უტოლობას. გეომეტრიულად, უტოლობის ამონახსნების სიმრავლე გამოსახულია ნახევრად სიბრტყის სახით, რომელიც შემოსაზღვრულია სწორი ხაზით.

,

რომელსაც დავარქმევთ სასაზღვრო ხაზს.

ნაბიჯი 1. ააგეთ სწორი ხაზი, რომელიც ზღუდავს წრფივი უტოლობის ამონახსნებს

ამისათვის თქვენ უნდა იცოდეთ ამ ხაზის ნებისმიერი ორი წერტილი. ვიპოვოთ გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებთან. გადაკვეთის ორდინატი აარის ნული (სურათი 1). ამ ფიგურაში ღერძებზე რიცხვითი მნიშვნელობები ეხება მაგალითს 1, რომელსაც ჩვენ გავაანალიზებთ ამ თეორიული დიგრესიის შემდეგ.

აბსცისს ვპოულობთ ღერძის განტოლებასთან სწორი ხაზის განტოლების სისტემის სახით ამოხსნით.

ვიპოვოთ კვეთა ღერძთან:

მნიშვნელობის პირველ განტოლებაში ჩანაცვლებით, მივიღებთ

სად .

ამრიგად, ჩვენ ვიპოვეთ წერტილის აბსცისა ა .

ვიპოვოთ ღერძთან გადაკვეთის წერტილის კოორდინატები.

აბსცისის წერტილი ბუდრის ნულს. მოდი ამოვხსნათ სასაზღვრო წრფის განტოლება კოორდინატთა ღერძის განტოლებით:

,

აქედან გამომდინარე წერტილის კოორდინატები ბ: .

ნაბიჯი 2. დახაზეთ ხაზი, რომელიც ზღუდავს ამონახსნების სიმრავლეს უტოლობასთან.ქულების ცოდნა ადა ბსასაზღვრო ხაზის გადაკვეთა კოორდინატთა ღერძებთან, შეგვიძლია დავხატოთ ეს ხაზი. სწორი ხაზი (სურათი 1 ისევ) ყოფს მთელ სიბრტყეს ორ ნაწილად, რომლებიც მდებარეობს ამ სწორი ხაზის მარჯვნივ და მარცხნივ (ზემოთ და ქვემოთ).

ნაბიჯი 3. დაადგინეთ, რომელია ნახევრად სიბრტყეებიდან ამ უტოლობის ამოხსნა.ამისათვის ჩვენ უნდა ჩავანაცვლოთ კოორდინატების წარმოშობა (0; 0) ამ უტოლობაში. თუ საწყისი კოორდინატები აკმაყოფილებს უტოლობას, მაშინ უტოლობის ამოხსნა არის ნახევარსიბრტყე, რომელშიც მდებარეობს საწყისი. თუ კოორდინატები არ აკმაყოფილებენ უტოლობას, მაშინ უტოლობის ამონახსნი არის ნახევრად სიბრტყე, რომელიც არ შეიცავს საწყისს. უტოლობის ამოხსნის ნახევრად სიბრტყე აღინიშნა ნახევრად სიბრტყის შიგნით სწორი ხაზის შტრიხებით, როგორც სურათზე 1.

თუ წრფივი უტოლობათა სისტემას მოვაგვარებთ, მაშინ თითოეული ნაბიჯი შესრულებულია სისტემის თითოეული უტოლობისთვის.

მაგალითი 1ამოხსენით უტოლობა

გადაწყვეტილება. დავხატოთ სწორი ხაზი

სწორი ხაზის განტოლებაში ჩანაცვლებით ვიღებთ და ჩანაცვლებით ვიღებთ. ამრიგად, ღერძებთან გადაკვეთის წერტილების კოორდინატები იქნება ა(3; 0) , ბ(0; 2) . დახაზეთ სწორი ხაზი ამ წერტილებში (კიდევ ერთხელ, სურათი 1).

ჩვენ ვირჩევთ ამონახსნების ნახევარ სიბრტყეს უტოლობაზე. ამისათვის ჩვენ ვცვლით დასაწყისის კოორდინატებს (0; 0) უტოლობაში:

ვიღებთ, ანუ წარმოშობის კოორდინატები აკმაყოფილებს ამ უთანასწორობას. შესაბამისად, უტოლობის ამონახსნი არის ნახევრად სიბრტყე, რომელიც შეიცავს საწყისს, ანუ მარცხენა (ან ქვედა) ნახევარ სიბრტყეს.

ეს უთანასწორობა რომ მკაცრი ყოფილიყო, ანუ ფორმა ექნებოდა

მაშინ სასაზღვრო ხაზის წერტილები არ იქნება გამოსავალი, რადგან ისინი არ აკმაყოფილებენ უთანასწორობას.

ახლა განვიხილოთ წრფივი უტოლობების სისტემა ორი უცნობით:

სიბრტყეზე ამ სისტემის თითოეული უტოლობა განსაზღვრავს ნახევრად სიბრტყეს. წრფივი უტოლობათა სისტემას უწოდებენ თანმიმდევრულს, თუ მას აქვს ერთი ამონახსნი მაინც და არათანმიმდევრული, თუ მას არ აქვს ამონახსნები. წრფივი უტოლობების სისტემის ამონახსნი არის რიცხვების ნებისმიერი წყვილი () რომელიც აკმაყოფილებს ამ სისტემის ყველა უტოლობას.

გეომეტრიულად, წრფივი უტოლობების სისტემის ამონახსნი არის წერტილების ერთობლიობა, რომელიც აკმაყოფილებს სისტემის ყველა უტოლობას, ანუ მიღებული ნახევრად სიბრტყეების საერთო ნაწილს. მაშასადამე, გეომეტრიულად, ზოგად შემთხვევაში, გამოსავალი შეიძლება იყოს გამოსახული, როგორც გარკვეული მრავალკუთხედი, კონკრეტულ შემთხვევაში, ეს შეიძლება იყოს წრფე, სეგმენტი და წერტილიც კი. თუ წრფივი უტოლობათა სისტემა არათანმიმდევრულია, მაშინ სიბრტყეზე არ არის არც ერთი წერტილი, რომელიც აკმაყოფილებს სისტემის ყველა უტოლობას.

მაგალითი 2

გადაწყვეტილება. ასე რომ, საჭიროა ამ უტოლობათა სისტემის ამონახსნების მრავალკუთხედის პოვნა. ავაშენოთ სასაზღვრო ხაზი პირველი უტოლობისთვის, ანუ წრფე და მეორე უტოლობისთვის, ანუ წრფე.

ჩვენ ამას ვაკეთებთ ეტაპობრივად, როგორც ეს ნაჩვენებია თეორიულ მითითებაში და მაგალით 1-ში, მით უმეტეს, რომ მაგალით 1-ში აშენდა სასაზღვრო ხაზი უტოლობისთვის, რომელიც პირველია ამ სისტემაში.

ამონახსნის ნახევრად სიბრტყეები, რომლებიც შეესაბამება ამ სისტემის უტოლობებს, დაჩრდილულია 2-ში. ხსნარის ნახევრად სიბრტყეების საერთო ნაწილი არის ღია კუთხე ABC. ეს ნიშნავს, რომ სიბრტყეში წერტილების ნაკრები, რომლებიც ქმნიან ღია კუთხეს ABC, არის ამონახსნი სისტემის როგორც პირველი, ასევე მეორე უტოლობაზე, ანუ არის ამონახსნები ორი წრფივი უტოლობის სისტემისა. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ამ სიმრავლიდან ნებისმიერი წერტილის კოორდინატები აკმაყოფილებს სისტემის ორივე უტოლობას.

მაგალითი 3წრფივი უტოლობების სისტემის ამოხსნა

გადაწყვეტილება. ავაშენოთ სისტემის უტოლობების შესაბამისი სასაზღვრო ხაზები. ჩვენ ამას ვაკეთებთ თითოეული უთანასწორობის თეორიულ ფონზე მოცემული ნაბიჯების მიხედვით. ახლა ჩვენ განვსაზღვრავთ ამონახსნების ნახევარ სიბრტყეებს თითოეული უტოლობისთვის (სურათი 3).

მოცემული სისტემის უტოლობების შესაბამისი ამონახსნის ნახევრად სიბრტყეები დაჩრდილულია შიგნით. ამონახსნების ნახევრად სიბრტყეების კვეთა გამოსახულია, როგორც სურათზეა ნაჩვენები, ოთხკუთხედის სახით. ABCE. ჩვენ აღმოვაჩინეთ, რომ ორი ცვლადის მქონე წრფივი უტოლობების სისტემის ამოხსნის მრავალკუთხედი არის ოთხკუთხედი. ABCE .

ყველაფერი, რაც ზემოთ იყო აღწერილი წრფივი უტოლობების სისტემების შესახებ ორი უცნობით, ასევე ეხება უტოლობათა სისტემას ნებისმიერი რაოდენობის უცნობით, იმ განსხვავებით, რომ უტოლობის ამოხსნა ნუცნობი იქნება მთლიანობა ნრიცხვები () რომლებიც აკმაყოფილებენ ყველა უტოლობას და სასაზღვრო ხაზის ნაცვლად იქნება სასაზღვრო ჰიპერპლანი ნ- განზომილებიანი სივრცე. გამოსავალი იქნება ხსნარის პოლიედონი (მარტივი), რომელიც შემოიფარგლება ჰიპერთვითმფრინავებით.

უტოლობის ამოხსნა ორი ცვლადითდა უფრო მეტიც უტოლობების სისტემები ორი ცვლადით, როგორც ჩანს საკმაოდ გამოწვევაა. თუმცა, არსებობს მარტივი ალგორითმი, რომელიც ეხმარება მარტივად და უპრობლემოდ გადაჭრას მსგავსი ერთი შეხედვით ძალიან რთული პრობლემები. შევეცადოთ გავერკვეთ.

დავუშვათ, რომ გვაქვს უტოლობა ორი ცვლადთან ერთ-ერთი შემდეგი ტიპის:

y > f(x); y ≥ f(x); წ< f(x); y ≤ f(x).

კოორდინატულ სიბრტყეზე ასეთი უტოლობის ამონახსნების სიმრავლის გამოსახატავად, გააკეთეთ შემდეგი:

1. ვაშენებთ y = f(x) ფუნქციის გრაფიკს, რომელიც სიბრტყეს ორ რეგიონად ყოფს.

2. ჩვენ ვირჩევთ რომელიმე მიღებულ სფეროს და განვიხილავთ მასში თვითნებური წერტილი. ჩვენ ვამოწმებთ საწყისი უტოლობის დაკმაყოფილებას ამ წერტილისთვის. თუ ტესტის შედეგი სწორია რიცხვითი უტოლობა, შემდეგ დავასკვნით, რომ თავდაპირველი უტოლობა დაკმაყოფილებულია მთელ რეგიონში, რომელსაც ეკუთვნის არჩეული წერტილი. ამრიგად, უტოლობის ამონახსნების სიმრავლე არის ტერიტორია, რომელსაც ეკუთვნის შერჩეული წერტილი. თუ შემოწმების შედეგად მიიღება არასწორი რიცხვითი უტოლობა, მაშინ უტოლობის ამონახსნების სიმრავლე იქნება მეორე რეგიონი, რომელსაც არ ეკუთვნის არჩეული წერტილი.

3. თუ უტოლობა მკაცრია, მაშინ რეგიონის საზღვრები, ანუ y = f(x) ფუნქციის გრაფიკის წერტილები არ შედის ამონახსნთა სიმრავლეში და საზღვარი ნაჩვენებია წერტილოვანი ხაზის სახით. თუ უტოლობა არ არის მკაცრი, მაშინ რეგიონის საზღვრები, ანუ y = f (x) ფუნქციის გრაფიკის წერტილები შედის ამ უტოლობის ამონახსნთა სიმრავლეში და საზღვარი ამ შემთხვევაში არის გამოსახული სქელი ხაზი.
ახლა მოდით შევხედოთ რამდენიმე პრობლემას ამ თემაზე.

დავალება 1.

რა წერტილების სიმრავლეა მოცემული x უტოლობით · y ≤ 4?

გადაწყვეტილება.

1) ჩვენ ვქმნით x · y = 4 განტოლების გრაფიკს. ამისათვის ჯერ მას გარდაქმნით. აშკარაა, რომ x in ამ საქმესარ გადადის 0-ზე, რადგან წინააღმდეგ შემთხვევაში გვექნებოდა 0 · y = 4, რაც არ შეესაბამება სინამდვილეს. ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია გავყოთ ჩვენი განტოლება x-ზე. ვიღებთ: y = 4/x. ამ ფუნქციის გრაფიკი არის ჰიპერბოლა. ის მთელ სიბრტყეს ორ რეგიონად ყოფს: ჰიპერბოლის ორ შტოს შორის და მათ გარეთ.

2) ჩვენ ვირჩევთ თვითნებურ წერტილს პირველი რეგიონიდან, ეს იყოს წერტილი (4; 2).
უტოლობის შემოწმება: 4 2 ≤ 4 მცდარია.

ეს ნიშნავს, რომ ამ რეგიონის წერტილები არ აკმაყოფილებს თავდაპირველ უთანასწორობას. შემდეგ შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ უტოლობის ამონახსნების სიმრავლე იქნება მეორე რეგიონი, რომელსაც არ ეკუთვნის არჩეული წერტილი.

3) ვინაიდან უტოლობა არ არის მკაცრი, საზღვრის წერტილებს, ანუ y = 4/x ფუნქციის გრაფიკის წერტილებს ვხატავთ მყარი ხაზით.

მოდით გავაფერადოთ წერტილების ნაკრები, რომელიც განსაზღვრავს თავდაპირველ უტოლობას, ყვითელი (ნახ. 1).

დავალება 2.

დახაზეთ სისტემის მიერ კოორდინატულ სიბრტყეზე განსაზღვრული ფართობი
( y > x 2 + 2;
(y + x > 1;
( x 2 + y 2 ≤ 9.

გადაწყვეტილება.

გრაფიკის აშენება დასაწყებად შემდეგი ფუნქციები (ნახ. 2):

y \u003d x 2 + 2 - პარაბოლა,

y + x = 1 - სწორი ხაზი

x 2 + y 2 \u003d 9 არის წრე.

1) y > x 2 + 2.

ვიღებთ წერტილს (0; 5), რომელიც დევს ფუნქციის გრაფიკის ზემოთ.
უტოლობის შემოწმება: 5 > 0 2 + 2 მართალია.

მაშასადამე, მოცემულ პარაბოლას ზემოთ მდებარე ყველა წერტილი y = x 2 + 2 აკმაყოფილებს სისტემის პირველ უტოლობას. მოდით გავაფერადოთ ისინი ყვითლად.

2) y + x > 1.

ვიღებთ წერტილს (0; 3), რომელიც დევს ფუნქციის გრაფიკის ზემოთ.
უტოლობის შემოწმება: 3 + 0 > 1 სწორია.

მაშასადამე, y + x = 1 წრფის ზემოთ მდებარე ყველა წერტილი აკმაყოფილებს სისტემის მეორე უტოლობას. მოდით გავაფერადოთ ისინი მწვანეში.

3) x2 + y2 ≤ 9.

ჩვენ ვიღებთ წერტილს (0; -4), რომელიც მდებარეობს წრის გარეთ x 2 + y 2 = 9.
უტოლობის შემოწმება: 0 2 + (-4) 2 ≤ 9 არასწორია.

ამრიგად, ყველა წერტილი, რომელიც მდებარეობს წრის გარეთ x 2 + y 2 = 9, არ აკმაყოფილებდეს სისტემის მესამე უთანასწორობას. შემდეგ შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ყველა წერტილი, რომელიც მდებარეობს წრის შიგნით x 2 + y 2 = 9 აკმაყოფილებს სისტემის მესამე უტოლობას. მოდით დავხატოთ ისინი მეწამული ჩრდილით.

არ დაგავიწყდეთ, რომ თუ უტოლობა მკაცრია, მაშინ შესაბამისი სასაზღვრო ხაზი უნდა გაივლოს წერტილოვანი ხაზით. ჩვენ ვიღებთ შემდეგ სურათს (ნახ. 3).

(ნახ. 4).

დავალება 3.

დახაზეთ სისტემის მიერ კოორდინატულ სიბრტყეზე განსაზღვრული ფართობი:
(x 2 + y 2 ≤ 16;
(x ≥ -y;
(x 2 + y 2 ≥ 4.

გადაწყვეტილება.

დასაწყისისთვის, ჩვენ ვაშენებთ შემდეგი ფუნქციების გრაფიკებს:

x 2 + y 2 \u003d 16 - წრე,

x \u003d -y - სწორი

x 2 + y 2 \u003d 4 - წრე (ნახ. 5).

ახლა ჩვენ განვიხილავთ თითოეულ უთანასწორობას ცალ-ცალკე.

1) x2 + y2 ≤ 16.

ვიღებთ წერტილს (0; 0), რომელიც დევს წრის შიგნით x 2 + y 2 = 16.
უტოლობის შემოწმება: 0 2 + (0) 2 ≤ 16 სწორია.

მაშასადამე, ყველა წერტილი, რომელიც მდებარეობს წრის შიგნით x 2 + y 2 = 16, აკმაყოფილებს სისტემის პირველ უტოლობას.
მოდით გავაფერადოთ ისინი წითლად.

ვიღებთ წერტილს (1; 1), რომელიც დევს ფუნქციის გრაფიკის ზემოთ.
ვამოწმებთ უტოლობას: 1 ≥ -1 - მართალია.

მაშასადამე, x = -y წრფის ზემოთ მდებარე ყველა წერტილი აკმაყოფილებს სისტემის მეორე უტოლობას. მოდით გავაფერადოთ ისინი ლურჯად.

3) x2 + y2 ≥ 4.

ვიღებთ წერტილს (0; 5), რომელიც მდებარეობს წრის გარეთ x 2 + y 2 = 4.
ვამოწმებთ უტოლობას: 0 2 + 5 2 ≥ 4 მართალია.

ამიტომ, ყველა წერტილი წრის გარეთ x 2 + y 2 = 4 აკმაყოფილებს სისტემის მესამე უტოლობას. მოდით გავაფერადოთ ისინი ლურჯი.

ამ პრობლემაში ყველა უტოლობა არ არის მკაცრი, რაც ნიშნავს, რომ ყველა საზღვარს ვხატავთ მყარი ხაზით. ჩვენ ვიღებთ შემდეგ სურათს (ნახ. 6).

ინტერესის ზონა არის ტერიტორია, სადაც სამივე ფერადი უბანი კვეთს ერთმანეთს. (ნახ 7).

გაქვთ რაიმე შეკითხვები? არ იცით როგორ ამოხსნათ უტოლობების სისტემა ორი ცვლადით?
დამრიგებლისგან დახმარების მისაღებად -.
პირველი გაკვეთილი უფასოა!

blog.site, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

არის მხოლოდ „X“ და მხოლოდ აბსცისის ღერძი, ახლა „Ys“ არის დამატებული და აქტივობის სფერო ფართოვდება მთელ კოორდინატულ სიბრტყეზე. შემდგომ ტექსტში ფრაზა „წრფივი უთანასწორობა“ გაგებულია ორგანზომილებიანი მნიშვნელობით, რაც რამდენიმე წამში გახდება ნათელი.

Ცალკე ანალიტიკური გეომეტრია, მასალა შესაბამისია მთელი რიგი ამოცანებისთვის მათემატიკური ანალიზი, ეკონომიკური მათემატიკური მოდელირებაამიტომ გირჩევთ, მთელი სერიოზულობით შეისწავლოთ ეს ლექცია.

წრფივი უტოლობა

არსებობს წრფივი უტოლობების ორი ტიპი:

1) მკაცრიუტოლობები: .

2) არა მკაცრიუტოლობები: .

რომელიც გეომეტრიული გრძნობაეს უთანასწორობები?თუ წრფივი განტოლება განსაზღვრავს სწორ ხაზს, მაშინ წრფივი უტოლობა განსაზღვრავს ნახევრად თვითმფრინავი.

ქვემოთ მოცემული ინფორმაციის გასაგებად, თქვენ უნდა იცოდეთ ხაზების ტიპები თვითმფრინავზე და შეძლოთ ხაზების აგება. თუ ამ ნაწილში რაიმე სირთულე გაქვთ, წაიკითხეთ დახმარება ფუნქციების გრაფიკები და თვისებები– აბზაცი წრფივი ფუნქციის შესახებ.

დავიწყოთ უმარტივესი წრფივი უტოლობებით. ნებისმიერი დამარცხებულის ლურჯი ოცნება არის კოორდინატთა სიბრტყე, რომელზეც საერთოდ არაფერია:

მოგეხსენებათ, აბსცისის ღერძი მოცემულია განტოლებით - „y“ ყოველთვის („x“-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის) უდრის ნულს.

განვიხილოთ უთანასწორობა. როგორ გავიგოთ არაფორმალურად? "Y" ყოველთვის დადებითია ("x"-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის). აშკარაა, რომ ეს უთანასწორობა განაპირობებს ზედა ნახევარ სიბრტყეს, ვინაიდან ყველა პოზიტიური „თამაშის“ წერტილი იქ არის განთავსებული.

იმ შემთხვევაში, თუ უტოლობა არ არის მკაცრი, ზედა ნახევარ სიბრტყეში დამატებითღერძი ემატება.

ანალოგიურად: უტოლობას აკმაყოფილებს ქვედა ნახევარსიბრტყის ყველა წერტილი, არამკაცრი უტოლობა შეესაბამება ქვედა ნახევარსიბრტყეს + ღერძს.

y-ღერძით, იგივე პროზაული ამბავი:

– უტოლობა განსაზღვრავს მარჯვენა ნახევარსიბრტყეს;
– უტოლობა განსაზღვრავს მარჯვენა ნახევარსიბრტყეს, y ღერძის ჩათვლით;
– უტოლობა განსაზღვრავს მარცხენა ნახევარსიბრტყეს;
– უტოლობა განსაზღვრავს მარცხენა ნახევარსიბრტყეს, y ღერძის ჩათვლით.

მეორე საფეხურზე განვიხილავთ უტოლობას, რომელშიც ერთ-ერთი ცვლადი აკლია.

აკლია "y":

ან აკლია "x":

ეს უთანასწორობა შეიძლება მოგვარდეს ორი გზით. გთხოვთ გაითვალისწინოთ ორივე მიდგომა. ამ გზაზე გავიხსენოთ და გავაერთიანოთ სკოლის მოქმედებები გაკვეთილზე უკვე განხილული უთანასწორობებით. ფუნქციის ფარგლები.

მაგალითი 1

წრფივი უტოლობების ამოხსნა:

რას ნიშნავს წრფივი უტოლობის ამოხსნა?

წრფივი უტოლობის ამოხსნა ნიშნავს ნახევრად სიბრტყის პოვნას, რომლის წერტილები აკმაყოფილებს მოცემულ უტოლობას (პლუს თავად წრფე, თუ უტოლობა მკაცრი არ არის). გადაწყვეტილება, ჩვეულებრივ, გრაფიკული.

უფრო მოსახერხებელია დაუყონებლივ შეასრულოთ ნახაზი და შემდეგ დააკომენტაროთ ყველაფერი:

ა) ამოხსენით უტოლობა

მეთოდი პირველი

მეთოდი ძალიან ჰგავს კოორდინატთა ღერძების ამბავს, რომელიც ზემოთ განვიხილეთ. იდეა არის უტოლობის გარდაქმნა - მარცხენა მხარეს ერთი ცვლადის დატოვება ყოველგვარი მუდმივების გარეშე, ამ შემთხვევაში, x ცვლადი.

წესი: უტოლობაში ტერმინები გადადის ნაწილიდან ნაწილზე ნიშნის ცვლილებით, ხოლო თავად უტოლობის ნიშანი. არ იცვლება(მაგალითად, თუ იყო "ნაკლები" ნიშანი, მაშინ ის დარჩება "ნაკლები").

ჩვენ გადავიტანთ "ხუთეულს". მარჯვენა მხარენიშნის შეცვლით:

წესი პოზიტიური არ იცვლება.

ახლა დახაზეთ სწორი ხაზი (დატეხილი ლურჯი ხაზი). სწორი ხაზი წყვეტილია უთანასწორობის გამო მკაცრი, და ამ ხაზის კუთვნილი პუნქტები, რა თქმა უნდა, არ შედის ამოხსნაში.

რა მნიშვნელობა აქვს უთანასწორობას? "X" ყოველთვის ("y"-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის) ნაკლებია ვიდრე . ცხადია, ამ მტკიცებას აკმაყოფილებენ მარცხენა ნახევარსიბრტყის ყველა წერტილი. ეს ნახევრად სიბრტყე, პრინციპში, შეიძლება იყოს დაჩრდილული, მაგრამ მე შემოვიფარგლები პატარა ლურჯი ისრებით, რათა ნახატი მხატვრულ პალიტრაში არ გადავაქციო.

მეთოდი მეორე

ეს უნივერსალური გზაა. წაიკითხეთ ძალიან ფრთხილად!

პირველი, დახაზეთ სწორი ხაზი. სიცხადისთვის, სხვათა შორის, მიზანშეწონილია განტოლების სახით წარმოდგენა.

ახლა აირჩიე თვითმფრინავის ნებისმიერი წერტილი, არ მიეკუთვნება სწორ ხაზს. უმეტეს შემთხვევაში, ყველაზე გემრიელი წერტილი, რა თქმა უნდა. ჩაანაცვლეთ ამ წერტილის კოორდინატები უტოლობაში:

მიღებული არასწორი უთანასწორობა (მარტივი სიტყვებით, ეს ასე არ შეიძლება), რაც ნიშნავს, რომ წერტილი არ აკმაყოფილებს უთანასწორობას.

საკვანძო წესიჩვენი ამოცანა:
არ აკმაყოფილებსმაშინ უთანასწორობა ყველამოცემული ნახევრად სიბრტყის წერტილები არ დააკმაყოფილოამ უთანასწორობას.
- თუ ნახევრად სიბრტყის რომელიმე წერტილი (არ მიეკუთვნება ხაზს) აკმაყოფილებსმაშინ უთანასწორობა ყველამოცემული ნახევრად სიბრტყის წერტილები დააკმაყოფილოსამ უთანასწორობას.

შეგიძლიათ შეამოწმოთ: ხაზის მარჯვნივ მდებარე ნებისმიერი წერტილი არ დააკმაყოფილებს უტოლობას.

რა დასკვნა გამოდის წერტილის ექსპერიმენტიდან? წასასვლელი არსად არის, უთანასწორობას აკმაყოფილებს მეორის - მარცხენა ნახევარსიბრტყის ყველა წერტილი (შეგიძლიათ შეამოწმოთ).

ბ) ამოხსენით უტოლობა

მეთოდი პირველი

გადავცვალოთ უტოლობა:

წესი: უტოლობის ორივე მხარე შეიძლება გამრავლდეს (გაიყოს). ნეგატიურირიცხვი, ხოლო უტოლობის ნიშანი იცვლებასაპირისპიროდ (მაგალითად, თუ იყო ნიშანი "მეტი ან ტოლი", მაშინ ის გახდება "ნაკლები ან ტოლი").

გაამრავლეთ უტოლობის ორივე მხარე:

დავხაზოთ სწორი ხაზი (წითელი ფერი), უფრო მეტიც, დავხაზოთ მყარი ხაზი, რადგან გვაქვს უტოლობა არა მკაცრი, და ხაზი, რა თქმა უნდა, ეკუთვნის გადაწყვეტას.

მიღებული უტოლობის გაანალიზების შემდეგ მივდივართ დასკვნამდე, რომ მისი ამონახსნი არის ქვედა ნახევარსიბრტყე (+ თავად ხაზი).

შესაფერისი ნახევრად თვითმფრინავი გამოჩეკით ან აღინიშნება ისრებით.

მეთოდი მეორე

დავხატოთ სწორი ხაზი. მაგალითად, ავირჩიოთ სიბრტყის თვითნებური წერტილი (არ მიეკუთვნება სწორ ხაზს) და ჩავანაცვლოთ მისი კოორდინატები ჩვენს უტოლობაში:

მიღებული სწორი უთანასწორობა, მაშინ წერტილი აკმაყოფილებს უტოლობას და ზოგადად, ქვედა ნახევარსიბრტყის ყველა წერტილი აკმაყოფილებს ამ უტოლობას.

აი, ექსპერიმენტული წერტილით „დავარტყით“ სასურველ ნახევრად თვითმფრინავს.

პრობლემის გადაწყვეტა მითითებულია წითელი სწორი ხაზით და წითელი ისრებით.

მე პირადად პირველი გამოსავალი უფრო მომწონს, რადგან მეორე უფრო ფორმალურია.

მაგალითი 2

წრფივი უტოლობების ამოხსნა:

ეს არის მაგალითი დამოუკიდებელი გადაწყვეტილება. შეეცადეთ მოაგვაროთ პრობლემა ორი გზით (სხვათა შორის, ეს არის კარგი გზაგადაწყვეტის შემოწმება). გაკვეთილის ბოლოს პასუხში იქნება მხოლოდ საბოლოო ნახაზი.

მე ვფიქრობ, რომ მაგალითებში შესრულებული ყველა მოქმედების შემდეგ მოგიწევთ მათზე დაქორწინება, არ გაგიჭირდებათ უმარტივესი უთანასწორობის ამოხსნა, როგორიცაა და ა.შ.

გადავიდეთ მესამეზე ზოგადი შემთხვევაროდესაც ორივე ცვლადი იმყოფება უტოლობაში:

ალტერნატიულად, თავისუფალი ტერმინი "ce" შეიძლება იყოს ნული.

მაგალითი 3

იპოვეთ შემდეგი უტოლობების შესაბამისი ნახევარსიბრტყეები:

გადაწყვეტილება: აქ გამოიყენება უნივერსალური მეთოდიწერტილების შემცვლელი გადაწყვეტილებები.

ა) ავაშენოთ სწორი ხაზის განტოლება, ხოლო წრფე უნდა დავხატოთ წერტილოვანი ხაზით, რადგან უტოლობა მკაცრია და თავად სწორი ხაზი არ შედის ამონახსნში.

ჩვენ ვირჩევთ სიბრტყის ექსპერიმენტულ წერტილს, რომელიც არ ეკუთვნის მოცემულ წრფეს, მაგალითად, და ვანაცვლებთ მის კოორდინატებს ჩვენს უტოლობაში:

მიღებული არასწორი უთანასწორობაასე რომ, ამ ნახევარსიბრტყის წერტილი და ყველა წერტილი არ აკმაყოფილებს უტოლობას. უთანასწორობის გამოსავალი იქნება კიდევ ერთი ნახევრად სიბრტყე, ჩვენ აღფრთოვანებული ვართ ლურჯი ელვით:

ბ) ამოვიხსნათ უტოლობა. ჯერ გავავლოთ სწორი ხაზი. ამის გაკეთება ადვილია, ჩვენ გვაქვს კანონიკური პირდაპირი პროპორციულობა. ხაზი შედგენილია მყარი, რადგან უთანასწორობა არ არის მკაცრი.

ჩვენ ვირჩევთ სიბრტყის თვითნებურ წერტილს, რომელიც არ ეკუთვნის ხაზს. მე მინდა ისევ გამოვიყენო წარმოშობა, მაგრამ, სამწუხაროდ, ახლა ეს არ არის შესაფერისი. ამიტომ მოგიწევთ სხვა შეყვარებულთან მუშაობა. ქულის აღება უფრო მომგებიანია მცირე ღირებულებებიკოორდინატები, მაგალითად, . ჩაანაცვლეთ მისი კოორდინატები ჩვენს უტოლობაში:

მიღებული სწორი უთანასწორობა, ასე რომ წერტილი და მოცემული ნახევარსიბრტყის ყველა წერტილი აკმაყოფილებს უტოლობას. სასურველი ნახევრად თვითმფრინავი აღინიშნება წითელი ისრებით. გარდა ამისა, გამოსავალი მოიცავს თავად ხაზს.

მაგალითი 4

იპოვეთ უტოლობების შესაბამისი ნახევარსიბრტყეები:

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. სრული გადაწყვეტა, ნიმუში დასრულების ნიმუში და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

მოდით შევხედოთ შებრუნებული პრობლემა:

მაგალითი 5

ა) მოცემულია სწორი ხაზი. განსაზღვრეთ ნახევრად სიბრტყე, რომელშიც წერტილი მდებარეობს, ხოლო თავად ხაზი უნდა იყოს ჩართული ხსნარში.

ბ) მოცემულია სწორი ხაზი. განსაზღვრეთ ნახევრად სიბრტყე, რომელშიც წერტილი მდებარეობს. თავად ხაზი არ შედის ხსნარში.

გადაწყვეტილება: აქ ნახატი არ არის საჭირო და გამოსავალი იქნება ანალიტიკური. არაფერი რთული:

ა) შეადგინეთ დამხმარე მრავალწევრი და გამოთვალეთ მისი მნიშვნელობა წერტილში:
. ამრიგად, სასურველი უთანასწორობა იქნება "ნაკლები" ნიშნით. პირობით, ხაზი შედის ამოხსნაში, ამიტომ უთანასწორობა არ იქნება მკაცრი:

ბ) შეადგინეთ მრავალწევრი და გამოთვალეთ მისი მნიშვნელობა წერტილში:
. ამგვარად, სასურველი უთანასწორობა იქნება „ზე მეტი“ ნიშნით. პირობით, ხაზი არ შედის ამონახსნში, შესაბამისად, უტოლობა მკაცრი იქნება: .

უპასუხე:

შემოქმედებითი მაგალითიამისთვის თვითშესწავლა:

მაგალითი 6

მოცემული ქულები და ხაზი. ჩამოთვლილ პუნქტებს შორის იპოვეთ ის, რაც საწყისთან ერთად დევს მოცემული ხაზის ერთ მხარეს.

პატარა მინიშნება: ჯერ უნდა დაწეროთ უტოლობა, რომელიც განსაზღვრავს ნახევარ სიბრტყეს, რომელშიც მდებარეობს საწყისი. ანალიტიკური ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

წრფივი უტოლობების სისტემები

წრფივი უტოლობათა სისტემა, როგორც გესმით, არის სისტემა, რომელიც შედგება რამდენიმე უტოლობისგან. ლოლ, მე გავეცი განმარტება =) ზღარბი არის ზღარბი, დანა არის დანა. მაგრამ სიმართლე ის არის - აღმოჩნდა მარტივი და ხელმისაწვდომი! არა, სერიოზულად, არ მინდა რაიმე მაგალითის მოყვანა ზოგადი ხედი, ასე რომ პირდაპირ გადავიდეთ აქტუალური საკითხები:

რას ნიშნავს წრფივი უტოლობების სისტემის ამოხსნა?

წრფივი უტოლობების სისტემის ამოხსნა- ეს ნიშნავს იპოვნეთ წერტილების სიმრავლე სიბრტყეშირომ დააკმაყოფილებს თითოეულსისტემის უთანასწორობა.

როგორც უმარტივესი მაგალითი, განვიხილოთ უტოლობების სისტემები, რომლებიც განსაზღვრავენ კოორდინატთა მეოთხედებს მართკუთხა სისტემაკოორდინატები ("ორების დახატვა" არის გაკვეთილის დასაწყისში):

უტოლობათა სისტემა განსაზღვრავს პირველ კოორდინატთა მეოთხედს (ზედა მარჯვნივ). პირველი კვარტლის ნებისმიერი წერტილის კოორდინატები, მაგალითად, და ა.შ. დააკმაყოფილოს თითოეულამ სისტემის უთანასწორობა.

ანალოგიურად:
– უტოლობათა სისტემა განსაზღვრავს მეორე კოორდინატთა მეოთხედს (ზედა მარცხენა);
– უტოლობათა სისტემა განსაზღვრავს მესამე კოორდინატულ კვარტალს (ქვედა მარცხნივ);
– უტოლობათა სისტემა განსაზღვრავს მეოთხე კოორდინატთა მეოთხედს (ქვედა მარჯვნივ).

წრფივი უტოლობების სისტემას შეიძლება არ ჰქონდეს ამონახსნები, ანუ იყოს შეუთავსებელი. ისევ უმარტივესი მაგალითი: . სავსებით აშკარაა, რომ „x“ არ შეიძლება იყოს ერთდროულად სამზე მეტი და ორზე ნაკლები.

უტოლობათა სისტემის ამონახსნი შეიძლება იყოს სწორი ხაზი, მაგალითად: . გედი, კირჩხიბი, პაიკის გარეშე, ეტლის ორად გაყვანა სხვადასხვა მხარეები. დიახ, ყველაფერი ჯერ კიდევ არსებობს - ამ სისტემის გამოსავალი არის სწორი ხაზი.

მაგრამ ყველაზე გავრცელებული შემთხვევა, როდესაც სისტემის გამოსავალი არის გარკვეული თვითმფრინავის ტერიტორია. გადაწყვეტილების არეალიშესაძლოა შეუზღუდავი(მაგალითად, კოორდინატთა კვარტლები) ან შეზღუდული. გადაწყვეტილებების შეზღუდული დომენი ეწოდება მრავალკუთხა გადაწყვეტის სისტემა.

მაგალითი 7

წრფივი უტოლობების სისტემის ამოხსნა

პრაქტიკაში, უმეტეს შემთხვევაში, თქვენ უნდა გაუმკლავდეთ არამკაცრ უთანასწორობებს, ამიტომ ისინი იცეკვებენ გაკვეთილის დარჩენილ ნაწილს.

გადაწყვეტილება: ის ფაქტი, რომ ძალიან ბევრი უთანასწორობაა, არ უნდა იყოს საშინელი. რამდენი უტოლობა შეიძლება იყოს სისტემაში?კი, რამდენიც გინდა. მთავარია დაიცვან რაციონალური ალგორითმი ამოხსნის არეალის ასაგებად:

1) პირველ რიგში, საქმე გვაქვს უმარტივეს უტოლობასთან. უტოლობა განსაზღვრავს პირველ კოორდინატთა კვარტალს, საზღვრის ჩათვლით კოორდინატთა ღერძები. უკვე ბევრად უფრო ადვილია, რადგან საძიებო ზონა მნიშვნელოვნად შემცირდა. ნახაზში მაშინვე ისრებით აღვნიშნავთ შესაბამის ნახევრად სიბრტყეებს (წითელი და ლურჯი ისრები)

2) მეორე უმარტივესი უტოლობა - აქ „y“ არ არის. ჯერ ერთი, თავად ვაშენებთ ხაზს და მეორეც, უტოლობის ფორმაში გადაქცევის შემდეგ, მაშინვე ირკვევა, რომ ყველა "x" 6-ზე ნაკლებია. შესაბამის ნახევარ სიბრტყეს მწვანე ისრებით ვნიშნავთ. ისე, საძიებო ზონა კიდევ უფრო მცირე გახდა - ასეთი მართკუთხედი, რომელიც არ არის შეზღუდული ზემოდან.

3) ბოლო საფეხურზე ვხსნით „სრული საბრძოლო მასალის“ უტოლობას: . გადაწყვეტის ალგორითმი დეტალურად განვიხილეთ წინა ნაწილში. მოკლედ: ჯერ ვაშენებთ სწორ ხაზს, შემდეგ ექსპერიმენტული წერტილის დახმარებით ვპოულობთ საჭირო ნახევარ სიბრტყეს.

ადექით, ბავშვებო, დადექით წრეში:


სისტემის ამოხსნის ფართობი არის მრავალკუთხედი, ნახატში იგი შემოხაზულია ჟოლოსფერი ხაზით და დაჩრდილულია. ცოტა გადავაჭარბე =) რვეულში საკმარისია ან დაჩრდილოთ ხსნარის არე, ან უფრო თამამად გამოვკვეთოთ უბრალო ფანქრით.

ამ მრავალკუთხედის ნებისმიერი წერტილი აკმაყოფილებს სისტემის ყველა უთანასწორობას (ინტერესისთვის შეგიძლიათ შეამოწმოთ).

უპასუხე: სისტემის ამონახსნი არის მრავალკუთხედი.

სუფთა ასლის მიღებისას კარგი იქნებოდა დეტალურად აღწერო რა წერტილებში ააშენე სწორი ხაზები (იხილეთ გაკვეთილი ფუნქციების გრაფიკები და თვისებები), და როგორ განისაზღვრა ნახევრად სიბრტყეები (იხ. პირველი აბზაცი ეს გაკვეთილი). თუმცა, პრაქტიკაში, უმეტეს შემთხვევაში, თქვენ დაგერიცხებათ და უბრალოდ სწორი ნახაზი. თავად გამოთვლები შეიძლება განხორციელდეს პროექტზე ან თუნდაც ზეპირად.

სისტემის ამოხსნის მრავალკუთხედის გარდა, პრაქტიკაში, თუმცა ნაკლებად ხშირად, არსებობს ღია ტერიტორია. ეცადე გაარკვიო შემდეგი მაგალითიერთი საკუთარი. თუმცა, სიზუსტისთვის, აქ წამება არ არის - მშენებლობის ალგორითმი იგივეა, უბრალოდ, ტერიტორია აღმოჩნდება შეუზღუდავი.

მაგალითი 8

გადაჭრით სისტემა

ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს. თქვენ დიდი ალბათობით გექნებათ სხვა ასოების აღნიშვნები მიღებული უბნის წვეროებისთვის. ეს არ არის მნიშვნელოვანი, მთავარია წვეროების სწორად პოვნა და ფართობის სწორად აგება.

იშვიათი არაა, როდესაც ამოცანებში საჭიროა არა მხოლოდ სისტემის ამონახსნების დომენის აგება, არამედ დომენის წვეროების კოორდინატების პოვნა. ორ წინა მაგალითში აშკარა იყო ამ წერტილების კოორდინატები, მაგრამ პრაქტიკაში ყველაფერი შორს არის ყინულისგან:

მაგალითი 9

ამოხსენით სისტემა და იპოვნეთ მიღებული ფართობის წვეროების კოორდინატები

გადაწყვეტილება: ნახაზზე გამოვხატავთ ამ სისტემის ამოხსნის არეალს. უტოლობა ადგენს მარცხენა ნახევარ სიბრტყეს y ღერძით და აქ მეტი უფასო არ არის. გათვლების შემდეგ სუფთა / ნახაზზე ან ღრმაზე აზროვნების პროცესებიჩვენ ვიღებთ გადაწყვეტის შემდეგ არეალს:

მიეცით განტოლება ორი ცვლადით F(x; y). თქვენ უკვე ისწავლეთ როგორ ამოხსნათ ასეთი განტოლებები ანალიტიკურად. ასეთი განტოლებების ამონახსნების სიმრავლე ასევე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს გრაფიკის სახით.

F(x; y) განტოლების გრაფიკი არის xOy კოორდინატთა სიბრტყის წერტილების ერთობლიობა, რომელთა კოორდინატები აკმაყოფილებს განტოლებას.

ორცვლადიანი განტოლების გამოსათვლელად, ჯერ გამოთქვით y ცვლადი განტოლების x ცვლადის მიხედვით.

რა თქმა უნდა, თქვენ უკვე იცით, თუ როგორ უნდა ააწყოთ განტოლებების სხვადასხვა გრაფიკები ორი ცვლადით: ax + b \u003d c არის სწორი ხაზი, yx \u003d k არის ჰიპერბოლა, (x - a) 2 + (y - b) 2 \u003d R 2 არის წრე, რომლის რადიუსი არის R, ხოლო ცენტრი არის O(a; b) წერტილში.

მაგალითი 1

დახაზეთ განტოლება x 2 - 9y 2 = 0.

გადაწყვეტილება.

მოდით, განტოლების მარცხენა მხარე გავამრავლოთ.

(x - 3y) (x+ 3y) = 0, ანუ y = x/3 ან y = -x/3.

პასუხი: სურათი 1.

განსაკუთრებული ადგილი უჭირავს სიბრტყეზე ფიგურების მინიჭებას ნიშნის შემცველი განტოლებით აბსოლუტური მნიშვნელობა, რომელსაც დეტალურად განვიხილავთ. განვიხილოთ |y|-ის ფორმის განტოლებების გამოსახვის ეტაპები = f(x) და |y| = |f(x)|.

პირველი განტოლება სისტემის ტოლფასია

(f(x) ≥ 0,
(y = f(x) ან y = -f(x).

ანუ მისი გრაფიკი შედგება ორი ფუნქციის გრაფიკებისაგან: y = f(x) და y = -f(x), სადაც f(x) ≥ 0.

მეორე განტოლების გრაფიკის გამოსათვლელად გამოსახულია ორი ფუნქციის გრაფიკები: y = f(x) და y = -f(x).

მაგალითი 2

დახაზეთ განტოლება |y| = 2 + x.

გადაწყვეტილება.

მოცემული განტოლება სისტემის ტოლფასია

(x + 2 ≥ 0,
(y = x + 2 ან y = -x - 2.

ჩვენ ვაშენებთ პუნქტების კომპლექტს.

პასუხი: სურათი 2.

მაგალითი 3

დახაზეთ განტოლება |y – x| = 1.

გადაწყვეტილება.

თუ y ≥ x, მაშინ y = x + 1, თუ y ≤ x, მაშინ y = x - 1.

პასუხი: სურათი 3.

მოდულის ნიშნის ქვეშ ცვლადის შემცველი განტოლებების გრაფიკების აგებისას მოსახერხებელი და რაციონალურია გამოყენება ფართობის მეთოდი, ეფუძნება კოორდინატთა სიბრტყის ნაწილებად დაყოფას, რომლებშიც თითოეული ქვემოდულის გამოხატულება ინარჩუნებს თავის ნიშანს.

მაგალითი 4

დახაზეთ განტოლება x + |x| + y + |y| = 2.

გადაწყვეტილება.

AT ეს მაგალითითითოეული ქვემოდულის გამოხატვის ნიშანი დამოკიდებულია კოორდინატთა მეოთხედი.

1) პირველ კოორდინატულ კვადრატში x ≥ 0 და y ≥ 0. მოდულის გაფართოების შემდეგ მოცემული განტოლებაასე გამოიყურება:

2x + 2y = 2 და გამარტივების შემდეგ x + y = 1.

2) მეორე კვარტალში, სადაც x< 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.

3) მესამე კვარტალში x< 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.

4) მეოთხე კვარტალში x ≥ 0 და y< 0 получим, что x = 1.

განრიგი მოცემული განტოლებავაშენებთ კვარტლებში.

პასუხი: სურათი 4.

მაგალითი 5

დახაზეთ წერტილების სიმრავლე, რომელთა კოორდინატები აკმაყოფილებს ტოლობას |x – 1| + |y – 1| = 1.

გადაწყვეტილება.

ქვემოდულის გამონათქვამების ნულები x = 1 და y = 1 ყოფს კოორდინატთა სიბრტყეს ოთხ რეგიონად. მოდით დავყოთ მოდულები რეგიონების მიხედვით. დავდოთ ცხრილის სახით.

რეგიონი	სუბმოდულის გამოხატვის ნიშანი	მიღებული განტოლება მოდულის გაფართოების შემდეგ
მე	x ≥ 1 და y ≥ 1	x + y = 3
II	x< 1 и y ≥ 1	-x+y=1
III	x< 1 и y < 1	x + y = 1
IV	x ≥ 1 და y< 1	x – y = 1

პასუხი: ფიგურა 5.

კოორდინატთა სიბრტყეზე ფიგურები შეიძლება დაზუსტდეს და უთანასწორობები.

უტოლობის გრაფიკიორი ცვლადით არის კოორდინატთა სიბრტყის ყველა წერტილის სიმრავლე, რომელთა კოორდინატები არის ამ უტოლობის ამონახსნები.

განიხილეთ ალგორითმი ორი ცვლადით უტოლობის ამოხსნის მოდელის ასაგებად:

1. ჩაწერეთ უტოლობის შესაბამისი განტოლება.
2. დახაზეთ განტოლება 1 საფეხურიდან.
3. აირჩიეთ თვითნებური წერტილი ერთ-ერთ ნახევრად სიბრტყეში. შეამოწმეთ, აკმაყოფილებს თუ არა შერჩეული წერტილის კოორდინატები მოცემულ უტოლობას.
4. გრაფიკულად დახაზეთ უტოლობის ყველა ამონახსნის სიმრავლე.

განვიხილოთ, უპირველეს ყოვლისა, უტოლობა ax + bx + c > 0. განტოლება ax + bx + c = 0 განსაზღვრავს სწორ ხაზს, რომელიც ყოფს სიბრტყეს ორ ნახევრად სიბრტყეზე. თითოეულ მათგანში ფუნქცია f(x) = ax + bx + c ნიშნის შენარჩუნების ფუნქციაა. ამ ნიშნის დასადგენად საკმარისია აიღოთ ნახევრად სიბრტყის კუთვნილი ნებისმიერი წერტილი და გამოვთვალოთ ამ წერტილში ფუნქციის მნიშვნელობა. თუ ფუნქციის ნიშანი ემთხვევა უტოლობის ნიშანს, მაშინ ეს ნახევრად სიბრტყე იქნება უტოლობის ამოხსნა.

განვიხილოთ მაგალითები გრაფიკული გადაწყვეტაყველაზე გავრცელებული ორცვლადიანი უტოლობა.

1) ცული + bx + c ≥ 0. სურათი 6.

2) |x| ≤ a, a > 0. სურათი 7.

3) x 2 + y 2 ≤ a, a > 0. Ფიგურა 8.

4) y ≥ x2. სურათი 9

5) xy ≤ 1. სურათი 10.

თუ თქვენ გაქვთ შეკითხვები ან გსურთ ივარჯიშოთ მოდელირებაზე ორი ცვლადი უტოლობების ყველა ამონახსნის კომპლექტების მოდელირებაზე მათემატიკური მოდელირების გამოყენებით, შეგიძლიათ უფასო 25 წუთიანი სესია ონლაინ დამრიგებელი დარეგისტრირების შემდეგ. ამისთვის შემდგომი მუშაობამასწავლებელთან ერთად გექნებათ შესაძლებლობა აირჩიოთ თქვენთვის შესაფერისი სატარიფო გეგმა.

გაქვთ რაიმე შეკითხვები? არ იცით როგორ დავხატოთ ფიგურა კოორდინატულ სიბრტყეზე?
დამრიგებლის დახმარების მისაღებად - დარეგისტრირდით.
პირველი გაკვეთილი უფასოა!

საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.