ეს გაკვეთილიარის გაკვეთილი შესწავლილ თემაზე ცოდნის განზოგადებისა და სისტემატიზაციის შესახებ, გაკვეთილის მსვლელობისას მოსწავლეებს საშუალება ეძლევათ შეამოწმონ თავიანთი ცოდნა თემებზე „ჩამოწერილი კუთხე“ და „აკორდებისა და სეკანტური წრეების სეგმენტების პროპორციულობა“, ამოხსნან ამოცანები. ღია ბანკი OGE.

დოკუმენტის შინაარსის ნახვა
,,გაკვეთილის თემაა ,,აკორდებისა და სექანტების წრეების სეგმენტების პროპორციულობა“ მე-9 კლასი“

გაკვეთილის ნომერი ____ (გეომეტრიის კლასი 9)

სეგმენტების, აკორდების და სეკანტების პროპორციულობა

გაკვეთილის მიზანი: დააფიქსირეთ გადამკვეთი აკორდების სეგმენტების თვისებები და სკანტური სეგმენტების თვისებები და აჩვენეთ, თუ როგორ გამოიყენება ისინი ამოცანების გადაჭრაში.

გაკვეთილის მიზნები:

საგანმანათლებლო:ტესტის ცოდნა თეორიული მასალათემაზე „წრეში ჩაწერილი კუთხეები. სეგმენტების, აკორდების და სეკანტების პროპორციულობა "

განვითარებადი: განვითარება შემეცნებითი ინტერესი, ცნობისმოყვარეობა, ანალიზის, დაკვირვებისა და დასკვნების გამოტანის უნარი;

საგანმანათლებლო:მათემატიკის საგნის შესწავლისადმი ინტერესის გაზრდა; დამოუკიდებლობის განათლება, აქტიურობა.

გაკვეთილების დროს

საორგანიზაციო მომენტი (1 წთ)

ექსპერტიზა საშინაო დავალება(ფრონტალური) (3 წთ.)

განახლება საბაზისო ცოდნასტუდენტები. ფრონტალური მუშაობა კლასთან. (7 წთ.)

	რა არის წრე, წრის ცენტრი, რადიუსი? არის ამ წრის რადიუსი OS სეგმენტი; სეგმენტი OD; სეგმენტი OB, OA? რა არის წრის აკორდი? რა არის აკორდის დიამეტრი? შექმენით ნახევრად ხაზი DC. რა ჰქვია ასეთ ნახევარხაზს?
	წრესთან დაკავშირებული რა კუთხეები იცით უკვე? განსაზღვრეთ და დაასახელეთ ისინი ნახატზე. როგორ არის დაკავშირებული ამ კუთხეების გრადუსები? როგორ არის დაკავშირებული მათი ხარისხის ზომები იმ რკალთან, რომელსაც ისინი ეყრდნობიან?
	წრეში ჩაწერილი კუთხის შესახებ თეორემის რა შედეგები შევისწავლეთ?
	ჩამოაყალიბეთ გადამკვეთი წრის აკორდების სეგმენტების თვისება.
	ჩამოაყალიბეთ სეგმენტური წრეების სეგმენტების თვისება.

სავარჯიშო სავარჯიშოები. პრობლემის გადაჭრა (14 წთ.)

აკორდები MK და RT იკვეთება A წერტილში. იპოვეთ AM-ის სიგრძე, თუ AP = 2 dm, AT = 24 dm, AM: KA = 3: 4.

ერთი წერტილიდან წრეზე გაყვანილია ორი სეგმენტი, რომლის შიდა სეგმენტები შესაბამისად 8-ისა და 16-ის ტოლია. მეორე სეკანტის გარე სეგმენტი 1-ით ნაკლებია პირველის გარე სეგმენტზე. იპოვეთ თითოეული სეკანტის სიგრძე.

დამოუკიდებელი მუშაობა ურთიერთშემოწმებით (12 წთ).

ვარიანტი 1	ვარიანტი 2
ცენტრალური კუთხე 59 0-ით მეტია იმავე წრიულ რკალზე დაფუძნებული მწვავე ჩაწერილ კუთხეზე. იპოვეთ ჩაწერილი კუთხე. მიეცით თქვენი პასუხი გრადუსით.	ცენტრალური კუთხე 52 0-ით მეტია იმავე წრიულ რკალზე დაფუძნებულ მკვეთრ ჩაწერილ კუთხეზე. იპოვეთ ჩაწერილი კუთხე. მიეცით თქვენი პასუხი გრადუსით.
წრეში ცენტრით ო ACდა BD AODუდრის 138 0-ს. იპოვეთ ჩაწერილი კუთხე ACB. მიეცით თქვენი პასუხი გრადუსით.	2) წრეში ცენტრით ო ACდა BD- დიამეტრი. ცენტრალური კუთხე AODუდრის 146 0-ს. იპოვეთ ჩაწერილი კუთხე ACB. მიეცით თქვენი პასუხი გრადუსით.
AB და CD აკორდები იკვეთება M წერტილში CM=2 სმ, MD=6 სმ, BM=3 სმ იპოვეთ AM მონაკვეთის სიგრძე.	AB და CD აკორდები იკვეთება M წერტილში CM=2 სმ, MD=12 სმ, BM=3 სმ იპოვეთ AM მონაკვეთის სიგრძე.
მოცემულია: BC=12 სმ BE=4 სმ VA=16 სმ.	მოცემულია: BC=12 სმ BE=5 სმ VA=15 სმ.

ვარიანტი 1	ვარიანტი 2

გაკვეთილის შეჯამება (2 წთ). ანარეკლი.

საშინაო დავალების შეტყობინება (2 წთ)

საშინაო დავალების ბარათი.

Პობლემების მოგვარება:

1. აკორდები MN და KL იკვეთება A წერტილში, ხოლო აკორდი MN იყოფა A წერტილით 1 სმ და 15 სმ-ის ტოლ მონაკვეთებად რა სეგმენტებად ყოფს A წერტილი აკორდს KL თუ KL ორჯერ ნაკლებია. MN.

2. AB და CD აკორდები იკვეთება M წერტილში იპოვეთ AB აკორდის სიგრძე თუ CM=4 სმ, DM=9 სმ, AM:MB=4.

თეორემა 1. თუ აკორდები ABდა CDწრეები იკვეთება წერტილში ს, შემდეგ (სურათი 1).
თეორემა 2. თუ წერტილიდან პწრეზე ორი სეკანტია დახატული, რომლებიც წრეს კვეთენ, შესაბამისად, წერტილებზე ა,ბ,C,დ, შემდეგ (სურათი 2).
ანუ, მოცემული წერტილიდან მის გარე ნაწილამდე წრეზე დახატული სეკანტის ნამრავლი არის მუდმივი რიცხვი.
თეორემა 3. თუ წერტილიდან პტანგენსი, რომელიც შედგენილია წრეზე, რომელიც გადის ტანგენციის წერტილში ა, და სეკანტი, რომელიც კვეთს წრეს წერტილებში ბდა C, შემდეგ (სურათი 3).

ბრინჯი. ერთი

ბრინჯი. 2 ნახ. 3
ანუ ერთი წერტილიდან წრეზე დახატული სეკანტისა და ტანგენსისთვის ტანგენტის კვადრატი უდრის პროდუქტსსკანირება მის გარე ნაწილზე.
თეორემა 4. პარალელური აკორდების ბოლოების დამაკავშირებელი აკორდები, დონე.

წარწერიანი და შემოხაზული ოთხკუთხედები

თეორემა 1. წრე შეიძლება შემოიფარგლოს ოთხკუთხედის გარშემო, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მისი ჯამი მოპირდაპირე კუთხეებიუდრის .
სურათზე.
აქედან გამომდინარეობს, რომ წრე შეიძლება აღწერილი იყოს მართკუთხედის გარშემო (სურათი ქვემოთ მარცხნივ), კერძოდ კვადრატი (ფიგურა მარჯვნივ), მისი ცენტრი იქნება მისი დიაგონალების გადაკვეთის წერტილი. რადიუსი არის დიაგონალის ნახევარი.

წრე შეიძლება აღწერილი იყოს ტრაპეციის ირგვლივ, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ის ტოლია (იხ. სურათი). წრის ცენტრი არის მედიალური პერპენდიკულარების გვერდებზე გადაკვეთის წერტილი. პარალელოგრამისა და ტრაპეციის გარშემო ზოგადი ხედიწრის აღწერა შეუძლებელია. (კერძოდ, წრე შეიძლება შემოიფარგლოს რომბის გარშემო.)

თეორემა 2. ოთხკუთხედი შეიძლება შემოიფარგლოს წრის გარშემო, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მისი ჯამებია მოპირდაპირე მხარეებიერთმანეთის ტოლები არიან.
სურათზე .

ასე რომ, წრე შეიძლება ჩაიწეროს რომბში (კერძოდ, კვადრატში), მაგრამ არა ზოგად ოთხკუთხედში ან პარალელოგრამაში.
რომბში ჩაწერილი წრის ცენტრი არის დიაგონალების გადაკვეთის წერტილი (სურათი ქვემოთ მარცხნივ). წრის რადიუსი უდრის რომბის სიმაღლის ნახევარს, ხოლო კვადრატში - გვერდის ნახევარს (ფიგურა მარჯვნივ).

შენიშვნა: რომბში ჩაწერილი წრის რადიუსი ( ჩართულია) არის მართკუთხა სამკუთხედის სიმაღლე BOC, რომელიც დახატულია ზემოდან სწორი კუთხედა აქვს მართი კუთხის წვეროდან გამოყვანილი მართკუთხა სამკუთხედის სიმაღლის ყველა თვისება.
თეორემა 3. ტრაპეცია შეიძლება აღწერილი იყოს წრის გარშემო, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მისი ფუძეების ჯამი ტოლია გვერდების ჯამის (სურათი ქვემოთ მარცხნივ). ამ წრის ცენტრი არის ტრაპეციის კუთხეების ბისექტრების გადაკვეთის წერტილი. რადიუსი არის ტრაპეციის სიმაღლის ნახევარი. თანაბარი ტრაპეციის შემთხვევაში, ჩაწერილი წრის ცენტრი დევს ტრაპეციის სიმაღლის შუაზე, რომელიც გადის ფუძის შუა წერტილებში (სურათი მარჯვნივ). ტრაპეციის გვერდითი მხარე ამ შემთხვევაში მისი შუა ხაზის ტოლია.

„წრის განტოლება“ მე-9 კლასი „- მიღებული მონაცემების მიხედვით რვეულში ააგეთ წრეები. შეავსეთ ცხრილი. წრის განტოლება. წრის წერტილის კოორდინატები. ცენტრის კოორდინატები. ჩამოწერეთ ფორმულა. წრე. Ჯგუფური სამუშაო. იპოვეთ ცენტრისა და რადიუსის კოორდინატები. დახაზეთ წრეები თქვენს ბლოკნოტში მოცემული განტოლებებით. წარმოშობა. დაწერეთ განტოლება წრეზე.

"წრე მე-8 კლასი" - წრე შეიძლება ჩაიწეროს ნებისმიერ სამკუთხედში. დავხატოთ O წერტილზე გადამკვეთი სამკუთხედის ბისექტრები.თეორემა. შედეგები: დავხატოთ პერპენდიკულარები OK, OL და OM გვერდებზე ABC. ჩაწერილი წრე.

„წრეზე ტანგენტის აგება“ – წრესა და სწორ ხაზს ერთი საერთო წერტილი აქვთ. საერთო წერტილები. ურთიერთშეთანხმებასწორი ხაზი და წრე. წრე და ხაზი. წრე. გადაწყვეტილება. ტანგენტის სეგმენტის თეორემა. გამეორება. აკორდი. წრის ტანგენტი. დიამეტრი.

"როგორ ვიპოვოთ წრეწირის წრე" - რა უტოლობა აქვს რიცხვს. როგორ იცვლება გარშემოწერილობა. როგორ არის დაკავშირებული ორი რეგულარული n-გონების პერიმეტრი? თეორემა. როგორ არის დაკავშირებული ორი წრის სიგრძე? იპოვეთ პერიმეტრი რეგულარული n-gon. იპოვეთ კუთხეების რადიანის ზომა. რა არის რიცხვის სავარაუდო მნიშვნელობა. იპოვეთ წრის რკალის სიგრძე ერთი რადიუსით.

"წრეზე ტანგენსი" - თვისება + ნიშანი: თუ K არის წრის წერტილი, მაშინ KM არის ტანგენსი? კმ? ᲙᲐᲠᲒᲘ. მტკიცებულება. ტანგენტის ნიშანი. მერე. წრის ტანგენსი პერპენდიკულარულია ტანგენტის წერტილზე მიყვანილი რადიუსის მიმართ. სეგმენტებს AK და AM ეწოდება A-დან გამოყვანილი ტანგენტების სეგმენტები. მოდით d იყოს მანძილი O ცენტრიდან KM წრფემდე.

"ელიფსი" - ძაფის ბოლოები მიამაგრეთ ილეთებზე. რა არის ელიფსი. ფანქარს გადავიტანთ ქაღალდზე ისე, რომ ძაფი დაჭიმული დარჩეს. F1, F2 წერტილებს ელიფსის კერები ეწოდება. ელიფსის აგება. საერთო წერტილიუწოდეს კონტაქტის წერტილი. ტანგენტი. ელიფსი. Საინტერესო ფაქტები. მთვარეზე კრატერები ასევე ელიფსური ფორმისაა.

თემაში სულ 21 პრეზენტაციაა

წრეში ჩაწერილი კუთხეები

კუთხე სიბრტყეს ორ ნაწილად ყოფს. თითოეულ ნაწილს ბრტყელი კუთხე ეწოდება. სურათზე 13, ერთ-ერთი ბრტყელი კუთხე a და b გვერდებით დაჩრდილულია. ბრტყელი კუთხეებით საერთო მხარეებიშემავსებელს უწოდებენ.

თუ სიბრტყე კუთხე ნახევრად სიბრტყის ნაწილია, მაშინ მისი გრადუსის საზომი არის ჩვეულებრივი კუთხის ხარისხი იგივე გვერდებით. თუ ბრტყელი კუთხე შეიცავს ნახევრად სიბრტყეს, მაშინ მისი ხარისხის ზომა აღებულია 360 ° - b-ის ტოლი, სადაც b არის დამატებითი ბრტყელი კუთხის გრადუსული ზომა (ნახ. 14).

ბრინჯი. ცამეტი

წრეში ცენტრალური კუთხე არის ბრტყელი კუთხე, რომლის ცენტრში არის წვერო. წრის ნაწილს, რომელიც მდებარეობს ბრტყელი კუთხის შიგნით, ეწოდება ამ ცენტრალური კუთხის შესაბამისი წრის რკალი (სურ. 15). წრის რკალის ხარისხი არის შესაბამისი ცენტრალური კუთხის ხარისხი.

ბრინჯი. თხუთმეტი

კუთხეს, რომლის წვერო დევს წრეზე და რომლის გვერდები კვეთს ამ წრეს, ჩაწერილი კუთხე ეწოდება. კუთხე BAC სურათზე 16 ჩაწერილია წრეში. მისი A წვერო დევს წრეზე და გვერდები კვეთენ წრეს B და C წერტილებში. ასევე ამბობენ, რომ A კუთხე ეყრდნობა BC აკორდს. BC ხაზი წრეს ორ რკალად ყოფს. ცენტრალურ კუთხეს, რომელიც შეესაბამება ერთ-ერთ ამ რკალს, რომელიც არ შეიცავს A წერტილს, ეწოდება მოცემული ჩაწერილი კუთხის შესაბამისი ცენტრალური კუთხე.

თეორემა 5. წრეში ჩაწერილი კუთხე არის შესაბამისი ცენტრალური კუთხის ნახევარი.

მტკიცებულება.ჯერ განიხილეთ განსაკუთრებული შემთხვევაროდესაც კუთხის ერთ-ერთი მხარე გადის წრის ცენტრში (სურ. 17, ა). სამკუთხედი AOB ტოლფერდაა, რადგან მისი გვერდები OA და OB რადიუსის ტოლია. ამიტომ სამკუთხედის A და B კუთხეები ტოლია. და რადგან მათი ჯამი უდრის სამკუთხედის გარე კუთხეს O წვეროზე, მაშინ სამკუთხედის B კუთხე უდრის AOC კუთხის ნახევარს, რაც საჭირო იყო დასამტკიცებლად.

ზოგადი შემთხვევა მცირდება განხილულ კონკრეტულ შემთხვევამდე დამხმარე დიამეტრის BD დახაზვით (ნახ. 17, b, c). 17-ზე ნაჩვენები შემთხვევაში, b, ABC= CBD+ ABD= S COD + S AOD= S AOC.

17-ზე ნაჩვენები შემთხვევაში, გ,

CBD - ABD = S COD - S AOD = S AOC.

თეორემა სრულად არის დადასტურებული.

აკორდების ხაზებისა და წრის სექციების პროპორციულობა

თუ წრის AB და CD აკორდები იკვეთება S წერტილში

შემდეგ AS?BS=CS?DS.

ჯერ დავამტკიცოთ, რომ ASD და CSB სამკუთხედები მსგავსია (ნახ. 19). ჩაწერილი კუთხეები DCB და DAB ტოლია თეორემა 5-ის დასკვნის მიხედვით. ASD და BSC კუთხეები ტოლია ვერტიკალურების. მითითებული კუთხეების ტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ სამკუთხედები ASZ და CSB მსგავსია.

სამკუთხედების მსგავსებიდან გამომდინარეობს პროპორცია

AS?BS = CS?DS, რაც დასამტკიცებელი იყო

სურ.19

თუ P წერტილიდან წრეზე ორი სეკანტია გაყვანილი, რომლებიც კვეთენ წრეს A, B და C, D წერტილებზე, შესაბამისად, მაშინ

A და C წერტილები იყოს სექანტების გადაკვეთის წერტილები P წერტილთან ყველაზე ახლოს წრესთან (სურ. 20). სამკუთხედები PAD და RSV მსგავსია. მათ აქვთ საერთო კუთხე P წვეროსთან, ხოლო B და D წვეროებზე კუთხეები ტოლია წრეში ჩაწერილი კუთხეების თვისებით. სამკუთხედების მსგავსებიდან გამომდინარეობს პროპორცია

აქედან გამომდინარე, PA?PB=PC?PD, რომელიც უნდა დადასტურდეს.

აკორდების და სეკანტების სეგმენტების პროპორციულობა.

ტანგენტური სეგმენტების თვისება.

თეორემა წერტილების ლოკუსზე.

შუა პერპენდიკულარი.

შემოხაზული წრე. წრეში ჩაწერილი სამკუთხედი.

სამკუთხედში ჩაწერილი წრე.

ყველა კონცეფციისა და განცხადებისთვის შემოთავაზებულია ამოცანები.

პრეზენტაცია შექმნილია როგორც გაკვეთილების სერია. შეიძლება გამოყენებულ იქნას დისტანციური სწავლებისთვის.

ჩამოტვირთვა:

გადახედვა:

პრეზენტაციების გადახედვის გამოსაყენებლად, შექმენით ანგარიში თქვენთვის ( ანგარიში) Google და შედით: https://accounts.google.com

სლაიდების წარწერები:

თემა: "წრე".

წრე. რადიუსი. აკორდი. დიამეტრი. ცენტრალური კუთხე. ცენტრალური კუთხე. ჩაწერილი კუთხე. დავალება. ჩაწერილი კუთხის თვისება. დავალება. რკალების ნახევრად ჯამის თეორემა. დავალება. თეორემა რკალების ნახევარგანსხვავების შესახებ. დავალება. გადაკვეთის აკორდების სეგმენტების ნამრავლი. აკორდების და სეკანტების სეგმენტების პროპორციულობა. ტანგენტური სეგმენტების თვისება. დავალება. წერტილების გეომეტრიული ლოკუსი. თეორემა წერტილების ლოკუსზე. შუა პერპენდიკულარი. შემოხაზული წრე. წრეში ჩაწერილი სამკუთხედი. დავალება. დავალება. წრის ტანგენტი. სამკუთხედში ჩაწერილი წრე. დავალება. ოთხკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრე. დავალება. ოთხკუთხედში ჩაწერილი წრე. დავალება.

წრე არის ფიგურა, რომელიც შედგება სიბრტყის ყველა წერტილისგან, რომელიც თანაბარი მანძილით არის დაშორებული მოცემული წერტილიდან - წრის ცენტრიდან. მანძილი წრის O ცენტრიდან მასზე მდებარე A წერტილამდე არის 5 სმ. დაამტკიცეთ, რომ მანძილი O წერტილიდან ამ წრის B წერტილამდე არის 5 სმ, ხოლო O-დან C და D წერტილებამდე, რომლებიც არ დევს. მასზე არ უდრის 5 სმ. წრეწირი. O C D A B უკან

რადიუსი. რადიუსი არის ხაზის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ცენტრს წრის ნებისმიერ წერტილთან. პუნქტები X,Y,Zდაწექით წრეზე M ცენტრით. არის ამ წრის რადიუსი სეგმენტი MX; სეგმენტი YZ? Y X Z უკან

აკორდი. რა არის წრის აკორდი? აკორდი არის ხაზის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს წრეზე ორ წერტილს. უკან O A V

დიამეტრი. რა არის წრის დიამეტრი? დიამეტრი არის აკორდი, რომელიც გადის ცენტრში. უკან O A V

ცენტრალური კუთხე ცენტრალური კუთხე არის კუთხე წრის ცენტრში წვეროთი. ცენტრალური კუთხის ხარისხის ზომა შეესაბამება ხარისხის საზომირკალი, რომელზეც ის ეყრდნობა (თუ რკალი ნახევარწრეზე ნაკლებია). დაასახელეთ ყველაფერი სურათიდან. ცენტრალური კუთხეები. O C A B m უკან

თუ მოცემული წრის ცენტრალური კუთხეები ტოლია, მაშინ შესაბამისი რკალი წყვილი ტოლია. ჩამოაყალიბეთ საპირისპირო განცხადება. A O C B D უკან

ჩართული კუთხე. კუთხეს, რომლის წვერო დევს წრეზე და რომლის გვერდები კვეთს ამ წრეს, ჩაწერილი კუთხე ეწოდება. რომელი კუთხეა ჩაწერილი წრეში? უკან A B C

ABC კუთხე ჩაწერილია წრეში. AC - დიამეტრი. დაამტკიცე რომ კუთხე ABC- სწორი. დავალება. უკან O A C B

ჩაწერილი კუთხის საკუთრება. დაამტკიცეთ, რომ წრეში ჩაწერილი ყველა კუთხე ტოლია, რომლის გვერდები გადის წრის ორ მოცემულ წერტილს, ხოლო წვეროები დევს ამ წერტილების დამაკავშირებელი წრფის ერთსა და იმავე მხარეს. უკან

ამოცანა. A, B და C წერტილები დევს წრეზე O ცენტრით,  ABC \u003d 50 ,  AB:  CB \u003d 5: 8. იპოვეთ ეს რკალი და  AOC. უკან

დაამტკიცეთ თეორემა ნახაზიდან. კუთხე ( ABC), რომლის წვერო მდებარეობს წრის შიგნით, იზომება ორი რკალის ნახევრად ჯამით (AC და D E), რომელთაგან ერთი ჩასმულია მის გვერდებს შორის, მეორე კი გვერდების გაფართოებებს შორის. .  ABC = 0,5 ( D E +  AC). D E A C უკან

ამოცანა. აკორდები MK და RT იკვეთება A წერტილში. იპოვეთ AM-ის სიგრძე, თუ AP = 2 დმ, AT = 24 დმ, AM: KA = 3: 4. უკან

დაამტკიცეთ თეორემა ნახაზიდან. კუთხე ( ABC), რომლის წვერო დგას წრის გარეთ და გვერდები იკვეთება წრეზე, იზომება მის გვერდებს შორის ჩასმული ორი რკალის (AC და D E) ნახევრად სხვაობით.  ABC = 0,5 ( D E +  AC). B D E A C უკან

ამოცანა. მანძილი A წერტილიდან 5 სმ რადიუსის წრის ცენტრამდე არის 10 სმ. A წერტილის გავლით კვეთენ წრეს, რომელიც კვეთს წრეს B და C წერტილებში. იპოვეთ AC, თუ B წერტილი ყოფს AC სეგმენტს შუაზე. უკან

კვეთის აკორდების ხაზების პროდუქტი. გადამკვეთი აკორდების სეგმენტების სიგრძის ნამრავლი ტოლია. ჩამოაყალიბეთ ეს თეორემა სიტყვებით „თუ“, „მაშინ“. შეამოწმეთ საკუთარი თავი: ”თუ აკორდები AB და C D იკვეთება M წერტილში, მაშინ AM  VM \u003d CM  D M C B m A D უკან

აკორდებისა და სექუტივის ხაზების პროპორციულობა. სკანტური სეგმენტების სიგრძის ნამრავლი უდრის ტანგენტის სეგმენტის სიგრძის კვადრატს. თუ წრეზე სეკანტი და ტანგენსი გავლებულია M წერტილში, ხოლო A და B წერტილები არის წრის გადაკვეთის წერტილები სეკანტთან, ხოლო C არის შეხების წერტილი, მაშინ AM  VM = CM. M C B A უკან

ტანგენტის სეგმენტების თვისებები. წრეზე გაყვანილი ორი ტანგენტის სეგმენტები გარე წერტილიდან ტოლია და ყალიბდება თანაბარი კუთხეებიამ წერტილის ცენტრთან დამაკავშირებელი ხაზით. თავად დაამტკიცეთ თეორემა. A O C B უკან

ამოცანა. AM და VM ტანგენტები გაყვანილია M წერტილიდან წრეზე O ცენტრით და რადიუსით 8 სმ (A და B არის ტანგენტური წერტილები). იპოვეთ AVM სამკუთხედის პერიმეტრი, თუ კუთხე AOB არის 120 . უკან

წერტილების გეომეტრიული ადგილი. წერტილების ლოკუსი არის ფიგურა, რომელიც შედგება სიბრტყის ყველა წერტილისგან, რომელსაც აქვს გარკვეული თვისება. ახსენით, რატომ არის წრე მოცემული წერტილიდან თანაბრად დაშორებული წერტილების ლოკუსი. უკან O A V

თეორემა წერტილების გეომეტრიული მდებარეობის შესახებ. ორი მოცემული წერტილიდან თანაბრად დაშორებული წერტილების ლოკუსი არის ხაზი პერპენდიკულარული ხაზის სეგმენტზე, რომელიც აკავშირებს ამ წერტილებს და გადის მის შუა წერტილში. მოცემულია: ა; AB  a; AO = OB. დაამტკიცე: a - გეომეტრიული ადგილიწერტილები თანაბარი მანძილითაა დაშორებული A-დან და B-დან. დამტკიცდება თუ არა თეორემა, თუ დადგინდება, რომ a წრფის რომელიმე წერტილი თანაბრად არის დაშორებული A-დან და B-დან. უკან A B O M a

შუა პერპენდიკულარული. AB სეგმენტის პერპენდიკულური ბისექტორი არის სწორი ხაზი, რომელიც გადის მასზე პერპენდიკულარული AB სეგმენტის შუა წერტილში. დაამტკიცეთ, რომ წრის ცენტრი დევს ამ წრის რომელიმე აკორდის პერპენდიკულარულ ბისექტორზე. უკან

წრე. სამკუთხედის ჩაწერა. ამბობენ, რომ წრე შემოიფარგლება სამკუთხედთან, თუ ის გადის მის ყველა წვეროზე. ამ შემთხვევაში ამბობენ, რომ სამკუთხედი წრეშია ჩაწერილი. დაამტკიცეთ, რომ წარწერილი სამკუთხედის გვერდები მის გარშემო შემოხაზული წრის აკორდებია. სად არის სამკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრის ცენტრი? უკან

სად არის მართკუთხა სამკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრის ცენტრი? დავალება. უკან O A C B

ამოცანა. იპოვეთ წრის რადიუსი, რომელიც გარშემორტყმულია სამკუთხედით 10, 12 და 10 სმ უკან გვერდებით

წრის ტანგენსი სწორ წრფეს, რომელსაც აქვს მხოლოდ ერთი საერთო წერტილი წრესთან, წრის ტანგენსი ეწოდება წრის და ტანგენსის საერთო წერტილს ტანგენსი. რა შეიძლება ითქვას C D E სამკუთხედის გვერდებზე წრის მიმართ? უკან

წრე სამკუთხედში. წრე ეწოდება სამკუთხედში ჩაწერილად, თუ ის ეხება მის ყველა მხარეს. ამ შემთხვევაში, ამბობენ, რომ სამკუთხედი შემოიფარგლება წრეზე. სად არის სამკუთხედში ჩაწერილი წრის ცენტრი? სამკუთხედი ABC შემოიფარგლება წრეზე. სამკუთხედებიდან რომელია AOM, MOB, BON, NOC, COK, KOA ტოლი? უკან

ამოცანა. AT მართკუთხა სამკუთხედიერთ-ერთი კუთხე არის 30. იპოვეთ სამკუთხედის უფრო მცირე გვერდი, თუ შემოხაზული წრის რადიუსი არის 4 სმ უკან

წრე ოთხკუთხედის შესახებ. თუ დაახლოებით ამოზნექილი ოთხკუთხედიშემოხაზეთ წრე, მაშინ მისი მოპირდაპირე კუთხის ჯამი უდრის ორ მართ კუთხს. დაამტკიცეთ:  A +  C = 180  . ჩამოაყალიბეთ საპირისპირო განცხადება. დაახლოებით რა ოთხკუთხედების შემოხაზვა შეიძლება წრეზე? რატომ? B C D A უკან

ამოცანა. ტრაპეციის დიაგონალი დიდი ფუძით ქმნის 30  კუთხეს და ტრაპეციის მახლობლად შემოხაზული წრის ცენტრი სწორედ ამ ფუძეს ეკუთვნის. იპოვეთ ტრაპეციის ფართობი თუ მხარესუდრის 2 სმ უკან

წრე ოთხკუთხედზე ჩაწერა თუ წრე შეიძლება ჩაიწეროს ოთხკუთხედში, მაშინ მისი მოპირდაპირე გვერდების სიგრძის ჯამი ტოლია. დაადასტურეთ: AB+C D = BC+A D. ჩამოაყალიბეთ საპირისპირო განცხადება. რა ოთხკუთხედებში შეიძლება ჩაიწეროს წრე? B C D A N P K M უკან

ამოცანა. იპოვეთ ტერიტორია ტოლფერდა ტრაპეციაშემოხაზულია წრეზე, თუ მისი ფუძეები არის 2 სმ და 8 სმ უკან