ឯកជនភាពរបស់អ្នកគឺសំខាន់សម្រាប់ពួកយើង។ សម្រាប់ហេតុផលនេះ យើងបានបង្កើតគោលការណ៍ឯកជនភាពដែលពិពណ៌នាអំពីរបៀបដែលយើងប្រើប្រាស់ និងរក្សាទុកព័ត៌មានរបស់អ្នក។ សូមអានគោលការណ៍ឯកជនភាពរបស់យើង ហើយប្រាប់យើងឱ្យដឹង ប្រសិនបើអ្នកមានសំណួរណាមួយ។

ការប្រមូល និងប្រើប្រាស់ព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួន

ព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនសំដៅលើទិន្នន័យដែលអាចប្រើដើម្បីកំណត់អត្តសញ្ញាណបុគ្គលជាក់លាក់ ឬទាក់ទងគាត់។

អ្នកអាចនឹងត្រូវបានស្នើសុំឱ្យផ្តល់ព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនរបស់អ្នកគ្រប់ពេលនៅពេលអ្នកទាក់ទងមកយើង។

ខាងក្រោមនេះគឺជាឧទាហរណ៍មួយចំនួននៃប្រភេទព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនដែលយើងអាចប្រមូលបាន និងរបៀបដែលយើងអាចប្រើប្រាស់ព័ត៌មានទាំងនោះ។

តើព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនអ្វីខ្លះដែលយើងប្រមូលបាន៖

• នៅពេលអ្នកដាក់ពាក្យសុំនៅលើគេហទំព័រ យើងអាចប្រមូលព័ត៌មានផ្សេងៗ រួមទាំងឈ្មោះ លេខទូរស័ព្ទ អាស័យដ្ឋានរបស់អ្នក។ អ៊ីមែលល។

របៀបដែលយើងប្រើប្រាស់ព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនរបស់អ្នក៖

• ប្រមូលដោយពួកយើង ព័ត៌មាន​ផ្ទាល់ខ្លួនអនុញ្ញាតឱ្យយើងទាក់ទងអ្នក និងជូនដំណឹងដល់អ្នកអំពី ការផ្តល់ជូនពិសេសការផ្សព្វផ្សាយ និងព្រឹត្តិការណ៍ផ្សេងទៀត និងព្រឹត្តិការណ៍នាពេលខាងមុខ។
• ពីពេលមួយទៅពេលមួយ យើងអាចប្រើព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនរបស់អ្នក ដើម្បីផ្ញើការជូនដំណឹង និងសារសំខាន់ៗដល់អ្នក។
• យើងក៏អាចប្រើព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនសម្រាប់គោលបំណងផ្ទៃក្នុងដូចជា សវនកម្ម ការវិភាគទិន្នន័យ និង ការសិក្សាផ្សេងៗដើម្បីកែលម្អសេវាកម្មដែលយើងផ្តល់ជូន និងផ្តល់ឱ្យអ្នកនូវការណែនាំទាក់ទងនឹងសេវាកម្មរបស់យើង។
• ប្រសិនបើអ្នកបញ្ចូលការចាប់រង្វាន់ ការប្រកួត ឬការលើកទឹកចិត្តស្រដៀងគ្នា យើងអាចប្រើព័ត៌មានដែលអ្នកផ្តល់ដើម្បីគ្រប់គ្រងកម្មវិធីបែបនេះ។

ការបង្ហាញដល់ភាគីទីបី

យើងមិនបង្ហាញព័ត៌មានដែលទទួលបានពីអ្នកទៅភាគីទីបីទេ។

ករណីលើកលែង៖

• បើចាំបាច់ - ស្របតាមច្បាប់ សណ្តាប់ធ្នាប់តុលាការ ក្នុងដំណើរការផ្លូវច្បាប់ និង/ឬផ្អែកលើសំណើសាធារណៈ ឬសំណើពី ទី​ភ្នាក់​ងារ​រដ្ឋា​ភិ​បាលនៅលើទឹកដីនៃសហព័ន្ធរុស្ស៊ី - បង្ហាញព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនរបស់អ្នក។ យើងក៏អាចបង្ហាញព័ត៌មានអំពីអ្នកផងដែរ ប្រសិនបើយើងកំណត់ថាការបង្ហាញបែបនេះគឺចាំបាច់ ឬសមរម្យសម្រាប់សន្តិសុខ ការអនុវត្តច្បាប់ ឬសាធារណៈផ្សេងទៀត ឱកាសសំខាន់ៗ.
• នៅក្នុងព្រឹត្តិការណ៍នៃការរៀបចំឡើងវិញ ការរួមបញ្ចូលគ្នា ឬការលក់ យើងអាចផ្ទេរព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនដែលយើងប្រមូលទៅកាន់អ្នកស្នងតំណែងភាគីទីបីដែលពាក់ព័ន្ធ។

ការការពារព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួន

យើងមានការប្រុងប្រយ័ត្ន - រួមទាំងរដ្ឋបាល បច្ចេកទេស និងរូបវន្ត - ដើម្បីការពារព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនរបស់អ្នកពីការបាត់បង់ ការលួច និងការប្រើប្រាស់ខុស ក៏ដូចជាពីការចូលប្រើប្រាស់ ការលាតត្រដាង ការផ្លាស់ប្តូរ និងការបំផ្លិចបំផ្លាញដោយគ្មានការអនុញ្ញាត។

រក្សាភាពឯកជនរបស់អ្នកនៅកម្រិតក្រុមហ៊ុន

ដើម្បីធានាថាព័ត៌មានផ្ទាល់ខ្លួនរបស់អ្នកមានសុវត្ថិភាព យើងទាក់ទងការអនុវត្តឯកជនភាព និងសុវត្ថិភាពដល់បុគ្គលិករបស់យើង និងអនុវត្តការអនុវត្តឯកជនភាពយ៉ាងតឹងរ៉ឹង។

ការណែនាំ

ស្វែងរកវិសាលភាពនៃមុខងារ។ ឧទាហរណ៍ អនុគមន៍ sin(x) ត្រូវបានកំណត់លើចន្លោះពេលទាំងមូលពី -∞ ទៅ +∞ ហើយអនុគមន៍ 1/x ត្រូវបានកំណត់ពី -∞ ទៅ +∞ លើកលែងតែចំនុច x = 0។

កំណត់តំបន់នៃការបន្ត និងចំណុចបំបែក។ ជាធម្មតាមុខងារមួយគឺបន្តនៅក្នុងដែនដូចគ្នាដែលវាត្រូវបានកំណត់។ ដើម្បីរកមើលភាពមិនដំណើរការ អ្នកត្រូវគណនានៅពេលដែលអាគុយម៉ង់ខិតជិតចំណុចដាច់ស្រយាលនៅខាងក្នុងដែននិយមន័យ។ ឧទាហរណ៍ អនុគមន៍ 1/x មានទំនោរទៅរកភាពគ្មានទីបញ្ចប់នៅពេល x → 0+ និង ដកគ្មានដែនកំណត់នៅពេល x → 0- ។ នេះមានន័យថានៅចំណុច x = 0 វាមានការដាច់នៃប្រភេទទីពីរ។
ប្រសិនបើដែនកំណត់នៅចំណុចដាច់គឺកំណត់ ប៉ុន្តែមិនស្មើគ្នា នោះនេះគឺជាការមិនបន្តនៃប្រភេទទីមួយ។ ប្រសិនបើពួកវាស្មើគ្នា នោះមុខងារត្រូវបានចាត់ទុកថាជាបន្ត ទោះបីជាវាមិនត្រូវបានកំណត់នៅចំណុចដាច់ពីគ្នាក៏ដោយ។

ស្វែងរក asymtotes បញ្ឈរប្រសិនបើពួកគេមាន។ ការគណនាពីជំហានមុននឹងជួយអ្នកនៅទីនេះ ចាប់តាំងពី asymptote បញ្ឈរគឺស្ទើរតែតែងតែនៅចំណុចដាច់នៃប្រភេទទីពីរ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ ពេលខ្លះវាមិនមែនជាចំណុចបុគ្គលដែលត្រូវបានដកចេញពីដែននៃនិយមន័យនោះទេ ប៉ុន្តែចន្លោះពេលទាំងមូលនៃចំណុច ហើយបន្ទាប់មក asymtotes បញ្ឈរអាចមានទីតាំងនៅគែមនៃចន្លោះពេលទាំងនេះ។

ពិនិត្យមើលថាតើមុខងារមាន លក្ខណៈសម្បត្តិពិសេស៖ គូ សេស និងតាមកាលកំណត់។
អនុគមន៍​នឹង​មាន​សូម្បី​តែ​សម្រាប់ x ក្នុង​ដែន f(x) = f(-x)។ ឧទាហរណ៍ cos(x) និង x^2 - សូម្បីតែមុខងារ.

Periodicity គឺជាទ្រព្យសម្បត្តិដែលនិយាយថាមានលេខជាក់លាក់ T ហៅថារយៈពេល ដែលសម្រាប់ x f(x) = f(x + T) ។ ឧទាហរណ៍ មេទាំងអស់។ អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ(ស៊ីនុស, កូស៊ីនុស, តង់សង់) - តាមកាលកំណត់។

ស្វែងរកពិន្ទុ។ ដើម្បីធ្វើដូច្នេះសូមគណនាដេរីវេនៃ មុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យហើយស្វែងរកតម្លៃ x ទាំងនោះដែលជាកន្លែងដែលវាបាត់។ ឧទាហរណ៍ អនុគមន៍ f(x) = x^3 + 9x^2 -15 មានដេរីវេ g(x) = 3x^2 + 18x ដែលបាត់នៅ x = 0 និង x = −6 ។

ដើម្បីកំណត់ថាតើចំណុចខ្លាំងណាមួយជាអតិបរមា និងមួយណាជាអប្បបរមា សូមតាមដានការផ្លាស់ប្តូរនៃសញ្ញានៃដេរីវេនៅក្នុងលេខសូន្យដែលបានរកឃើញ។ g(x) ផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាពីបូកនៅ x = -6 ហើយត្រលប់ពីដកទៅបូកនៅ x = 0 ។ ដូច្នេះ អនុគមន៍ f(x) មានអប្បបរមានៅចំណុចទីមួយ និងអប្បបរមានៅទីពីរ។

ដូច្នេះហើយ អ្នកក៏បានរកឃើញតំបន់នៃ monotonicity៖ f(x) បង្កើន monotonically នៅចន្លោះពេល -∞;-6, ថយចុះ monotonically នៅលើ -6;0 និងកើនឡើងម្តងទៀតនៅលើ 0;+∞។

ស្វែងរកដេរីវេទីពីរ។ ឫសរបស់វានឹងបង្ហាញកន្លែងដែលក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យនឹងមានរាងប៉ោង ហើយកន្លែងដែលវានឹងមានរាងប៉ោង។ ឧទាហរណ៍ ដេរីវេទី 2 នៃអនុគមន៍ f(x) នឹងជា h(x) = 6x + 18 ។ វាបាត់នៅ x = -3 ដោយប្តូរសញ្ញារបស់វាពីដកទៅបូក។ ដូច្នេះ ក្រាហ្វ f (x) មុនចំនុចនេះនឹងមានរាងប៉ោង បន្ទាប់ពីវា - concave ហើយចំនុចនេះនឹងក្លាយជាចំនុចបញ្ឆេះ។

មុខងារមួយអាចមាន asymptotes ផ្សេងទៀត លើកលែងតែបញ្ឈរ ប៉ុន្តែលុះត្រាតែដែននៃនិយមន័យរបស់វារួមបញ្ចូល។ ដើម្បីស្វែងរកពួកវា សូមគណនាដែនកំណត់នៃ f(x) នៅពេល x→∞ ឬ x→-∞។ ប្រសិនបើវាកំណត់ នោះអ្នកបានរកឃើញ asymptote ផ្ដេក។

asymptote oblique គឺជាបន្ទាត់ត្រង់នៃទម្រង់ kx + b ។ ដើម្បីស្វែងរក k សូមគណនាដែនកំណត់នៃ f(x)/x ជា x →∞ ។ ដើម្បីស្វែងរក b - limit (f(x) – kx) ដែលមាន x →∞ ដូចគ្នា។

មួយ​នៃ ភារកិច្ចសំខាន់ ការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺជាការអភិវឌ្ឍន៍ ឧទាហរណ៍ទូទៅការសិក្សាអំពីឥរិយាបថនៃមុខងារ។

ប្រសិនបើមុខងារ y \u003d f (x) បន្តនៅចន្លោះពេល ហើយដេរីវេរបស់វាគឺវិជ្ជមាន ឬស្មើនឹង 0 នៅចន្លោះពេល (a, b) បន្ទាប់មក y \u003d f (x) កើនឡើងដោយ (f "(x) 0) ប្រសិនបើមុខងារ y \u003d f (x) បន្តនៅលើផ្នែក ហើយដេរីវេរបស់វាគឺអវិជ្ជមាន ឬស្មើនឹង 0 នៅចន្លោះពេល (a,b) នោះ y=f(x) ថយចុះដោយ (f"( x)0)

ចន្លោះពេលដែលអនុគមន៍មិនថយចុះ ឬកើនឡើង ត្រូវបានគេហៅថាចន្លោះពេលនៃ monotonicity នៃអនុគមន៍។ ធម្មជាតិនៃ monotonicity នៃអនុគមន៍មួយអាចផ្លាស់ប្តូរបានតែនៅចំណុចទាំងនោះនៃដែននិយមន័យរបស់វា ដែលសញ្ញានៃការផ្លាស់ប្តូរដេរីវេទី 1 ។ ចំនុចដែលដេរីវេទី 1 នៃមុខងារមួយបាត់ ឬបំបែកត្រូវបានគេហៅថាចំនុចសំខាន់។

ទ្រឹស្តីបទ ១ (ទី១ លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់អត្ថិភាពនៃភាពជ្រុលនិយម) ។

អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ y = f(x) ត្រូវបានកំណត់នៅចំណុច x 0 ហើយអនុញ្ញាតឱ្យមានសង្កាត់ δ> 0 ដែលអនុគមន៍បន្តនៅលើផ្នែក ដែលអាចបែងចែកតាមចន្លោះពេល (x 0 -δ, x 0)u( x 0 , x 0 + δ) និងដេរីវេរបស់វារក្សាទុក សញ្ញាសម្គាល់អចិន្រ្តៃយ៍នៅចន្លោះពេលនីមួយៗទាំងនេះ។ បន្ទាប់មកប្រសិនបើនៅលើ x 0 -δ, x 0) និង (x 0, x 0 + δ) សញ្ញានៃដេរីវេគឺខុសគ្នា នោះ x 0 គឺជាចំណុចខ្លាំង ហើយប្រសិនបើពួកគេផ្គូផ្គង នោះ x 0 មិនមែនជាចំណុចខ្លាំងនោះទេ។ . លើសពីនេះទៅទៀត ប្រសិនបើនៅពេលឆ្លងកាត់ចំនុច x0 និស្សន្ទវត្ថុផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាពីបូកទៅដក (នៅខាងឆ្វេង x 0, f "(x)> 0 ត្រូវបានអនុវត្ត នោះ x 0 គឺជាចំណុចអតិបរមា ប្រសិនបើសញ្ញាផ្លាស់ប្តូរដេរីវេ ពីដកទៅបូក (នៅខាងស្តាំ x 0 ត្រូវបានប្រតិបត្តិដោយ f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

ចំណុចអតិបរិមា និងអប្បរមាត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចខ្លាំងនៃអនុគមន៍ ហើយអតិបរមា និងអប្បបរមានៃអនុគមន៍ត្រូវបានគេហៅថាតម្លៃខ្លាំងរបស់វា។

ទ្រឹស្តីបទ 2 (លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យចាំបាច់សម្រាប់ភាពជ្រុលនិយមក្នុងតំបន់) ។

ប្រសិនបើអនុគមន៍ y=f(x) មានចំណុចខ្លាំងនៅ x=x 0 បច្ចុប្បន្ន នោះទាំង f'(x 0)=0 ឬ f'(x 0) មិនមានទេ។
នៅចំណុចខ្លាំងនៃមុខងារដែលអាចបែងចែកបាន តង់សង់ទៅក្រាហ្វរបស់វាគឺស្របទៅនឹងអ័ក្សអុក។

ក្បួន​ដោះស្រាយ​សម្រាប់​ការ​សិក្សា​អនុគមន៍​សម្រាប់​ខ្លាំង​មួយ​:

1) ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍។
2) ស្វែងរកចំណុចសំខាន់, i.e. ចំណុចដែលអនុគមន៍បន្ត ហើយដេរីវេគឺសូន្យ ឬមិនមាន។
3) ពិចារណាពីសង្កាត់នៃចំនុចនីមួយៗ ហើយពិនិត្យមើលសញ្ញានៃដេរីវេនៅខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃចំនុចនេះ។
4) កំណត់កូអរដោនេនៃចំណុចខ្លាំងសម្រាប់តម្លៃនេះ។ ចំណុចសំខាន់ដោតចូលទៅក្នុងមុខងារនេះ។ ដោយ​ប្រើ​លក្ខខណ្ឌ​ជ្រុល​ពេក ទាញ​ការ​សន្និដ្ឋាន​សមស្រប។

ឧទាហរណ៍ 18. ស៊ើបអង្កេតអនុគមន៍ y=x 3 −9x 2 +24x

ការសម្រេចចិត្ត។
1) y"=3x 2-18x+24=3(x-2)(x-4) ។
2) សមីការដេរីវេទៅសូន្យ យើងរកឃើញ x 1 = 2, x 2 = 4 ។ ក្នុងករណីនេះ ដេរីវេត្រូវបានកំណត់នៅគ្រប់ទីកន្លែង; អាស្រ័យហេតុនេះ ក្រៅ​ពី​ចំណុច​ពីរ​ដែល​រក​ឃើញ​នោះ ក៏​មិន​មាន​ចំណុច​សំខាន់​ផ្សេង​ទៀត​ដែរ។
3) សញ្ញានៃដេរីវេទី y "=3(x-2)(x-4) ផ្លាស់ប្តូរអាស្រ័យលើចន្លោះពេលដូចបង្ហាញក្នុងរូបភាពទី 1។ នៅពេលឆ្លងកាត់ចំនុច x=2 និស្សន្ទវត្ថុផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាពីបូកទៅដក។ ហើយនៅពេលឆ្លងកាត់ចំណុច x = 4 - ពីដកទៅបូក។
4) នៅចំណុច x = 2 អនុគមន៍មានអតិបរមា y អតិបរមា = 20 ហើយនៅចំណុច x = 4 - អប្បបរមា y min = 16 ។

ទ្រឹស្តីបទ 3. (លក្ខខណ្ឌទី 2 គ្រប់គ្រាន់សម្រាប់អត្ថិភាពនៃភាពជ្រុលនិយម) ។

អនុញ្ញាតឱ្យ f "(x 0) និង f "" (x 0) មាននៅចំណុច x 0 ។ បន្ទាប់មក ប្រសិនបើ f "" (x 0) > 0 នោះ x 0 គឺជាចំណុចអប្បបរមា ហើយប្រសិនបើ f "" ( x 0 ។ )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

នៅលើផ្នែក មុខងារ y \u003d f (x) អាចឈានដល់តម្លៃតូចបំផុត (យ៉ាងហោចណាស់) ឬធំបំផុត (ច្រើនបំផុត) ទាំងនៅចំណុចសំខាន់នៃមុខងារដែលស្ថិតនៅចន្លោះពេល (a; b) ឬនៅចុងបញ្ចប់ នៃផ្នែក។

ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍បន្ត y=f(x) នៅលើផ្នែក៖

1) រក f "(x) ។
2) ស្វែងរកចំណុចដែល f "(x) = 0 ឬ f" (x) - មិនមាន ហើយជ្រើសរើសពីពួកវាដែលស្ថិតនៅខាងក្នុងផ្នែក។
3) គណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍ y \u003d f (x) នៅចំណុចដែលទទួលបានក្នុងកថាខណ្ឌទី 2) ក៏ដូចជានៅខាងចុងនៃផ្នែក ហើយជ្រើសរើសធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃពួកវា៖ រៀងគ្នា ធំបំផុត ( សម្រាប់ធំបំផុត) និងតម្លៃអនុគមន៍តូចបំផុត (សម្រាប់តូចបំផុត) នៅចន្លោះពេល។

ឧទាហរណ៍ 19. ស្វែងរកតម្លៃធំបំផុតនៃអនុគមន៍បន្ត y=x 3 -3x 2 -45+225 នៅលើផ្នែក .

1) យើងមាន y "=3x 2 -6x-45 នៅលើផ្នែក
2) ដេរីវេទី y" មានសម្រាប់ x ទាំងអស់។ ចូររកចំណុចដែល y"=0; យើង​ទទួល​បាន:
៣x២-៦x-៤៥=០
x 2 −2x −15 = 0
x 1 \u003d -3; x2=5
៣) គណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំនុច x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
មានតែចំនុច x=5 ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ផ្នែក។ ធំបំផុតនៃតម្លៃដែលបានរកឃើញនៃអនុគមន៍គឺ 225 ហើយតូចបំផុតគឺលេខ 50។ ដូច្នេះនៅ max = 225 នៅ max = 50 ។

ការស៊ើបអង្កេតមុខងារនៅលើប៉ោង

រូបបង្ហាញពីក្រាហ្វនៃមុខងារពីរ។ ទីមួយនៃពួកគេត្រូវបានប្រែជាប៉ោងឡើង, ទីពីរ - ជាមួយនឹងប៉ោងចុះក្រោម។

អនុគមន៍ y=f(x) គឺបន្តនៅលើផ្នែកមួយ និងអាចខុសគ្នាក្នុងចន្លោះពេល (a;b) ត្រូវបានគេហៅថាប៉ោងឡើង (ចុះក្រោម) នៅលើផ្នែកនេះ ប្រសិនបើសម្រាប់ axb ក្រាហ្វរបស់វាមិនខ្ពស់ជាង (មិនទាបជាង) ជាង។ តង់សង់ត្រូវបានគូរនៅចំណុចណាមួយ M 0 (x 0 ; f (x 0)) ដែល axb ។

ទ្រឹស្តីបទ 4. អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ y=f(x) មានដេរីវេទី 2 នៅចំនុចខាងក្នុង x នៃចម្រៀក ហើយបន្តនៅចុងបញ្ចប់នៃផ្នែកនេះ។ បន្ទាប់មក ប្រសិនបើវិសមភាព f""(x)0 ពេញចិត្តនៅចន្លោះពេល (a;b) នោះមុខងារគឺប៉ោងចុះក្រោមនៅលើផ្នែក ; ប្រសិនបើវិសមភាព f""(x)0 ពេញចិត្តនៅចន្លោះពេល (а;b) នោះមុខងារគឺប៉ោងឡើងលើ។

ទ្រឹស្តីបទ 5. ប្រសិនបើអនុគមន៍ y \u003d f (x) មានដេរីវេទីពីរនៅលើចន្លោះពេល (a; b) ហើយប្រសិនបើវាផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៅពេលឆ្លងកាត់ចំនុច x 0 នោះ M (x 0 ; f (x 0)) គឺជាចំណុចបញ្ឆេះ។

វិធានសម្រាប់ការស្វែងរកចំណុចប្រសព្វ៖

1) ស្វែងរកចំណុចដែល f""(x) មិនមាន ឬបាត់។
2) ពិនិត្យសញ្ញា f""(x) នៅខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃចំនុចនីមួយៗដែលរកឃើញនៅជំហានដំបូង។
3) ដោយផ្អែកលើទ្រឹស្តីបទទី 4 សូមធ្វើការសន្និដ្ឋានមួយ។

ឧទាហរណ៍ 20. ស្វែងរកចំណុចខ្លាំង និងចំណុចបញ្ឆេះនៃក្រាហ្វអនុគមន៍ y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12 ។

យើងមាន f"(x)=12x 3 −24x 2 +12x=12x(x-1) 2. ជាក់ស្តែង f"(x)=0 សម្រាប់ x 1 =0, x 2=1។ ដេរីវេ នៅពេលឆ្លងកាត់ចំនុច x=0 ផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាពីដកទៅបូក ហើយនៅពេលឆ្លងកាត់ចំនុច x=1 វាមិនផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាទេ។ នេះមានន័យថា x=0 គឺជាចំណុចអប្បបរមា (y min=12) ហើយគ្មានចំណុចខ្លាំងណាមួយទេ x=1។ បន្ទាប់យើងរកឃើញ . ដេរីវេទី 2 បាត់នៅចំនុច x 1 = 1, x 2 = 1/3 ។ សញ្ញានៃការផ្លាស់ប្តូរដេរីវេទី 2 ដូចខាងក្រោម៖ នៅលើកាំរស្មី (-∞;) យើងមាន f""(x)>0 នៅចន្លោះពេល (;1) យើងមាន f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. ដូច្នេះ x= គឺជាចំណុចបញ្ឆេះនៃក្រាហ្វមុខងារ (ការផ្លាស់ប្តូរពីប៉ោងចុះក្រោមទៅប៉ោងឡើងលើ) ហើយ x=1 ក៏ជាចំណុចបញ្ឆេះ (ការផ្លាស់ប្តូរពីប៉ោងឡើងទៅប៉ោងចុះក្រោម)។ ប្រសិនបើ x = នោះ y= ; ប្រសិនបើ x = 1, y = 13 ។

ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរក asymptote នៃក្រាហ្វ

I. ប្រសិនបើ y=f(x) ជា x → a នោះ x=a គឺជា asymptote បញ្ឈរ។
II. ប្រសិនបើ y = f(x) ជា x → ∞ ឬ x → -∞ នោះ y = A គឺជា asymptote ផ្ដេក។
III. ដើម្បីស្វែងរក asymptote oblique យើងប្រើ algorithm ខាងក្រោម៖
1) គណនា។ ប្រសិនបើដែនកំណត់មាន ហើយស្មើនឹង b នោះ y=b គឺជា asymptote ផ្ដេក។ ប្រសិនបើបន្ទាប់មកទៅជំហានទីពីរ។
2) គណនា។ ប្រសិនបើដែនកំណត់នេះមិនមានទេ នោះមិនមាន asymptote ទេ។ ប្រសិនបើវាមាន ហើយស្មើនឹង k បន្ទាប់មកទៅជំហានទីបី។
3) គណនា។ ប្រសិនបើដែនកំណត់នេះមិនមានទេ នោះមិនមាន asymptote ទេ។ ប្រសិនបើវាមាន ហើយស្មើនឹង b បន្ទាប់មកទៅជំហានទីបួន។
4) សរសេរសមីការនៃ oblique asymptote y=kx+b ។

ឧទាហរណ៍ 21: ស្វែងរក asymptote សម្រាប់មុខងារមួយ។

1)
2)
3)
4) សមីការ asymptote oblique មានទម្រង់

គ្រោងការណ៍នៃការសិក្សាមុខងារនិងការសាងសង់ក្រាហ្វរបស់វា។

I. ស្វែងរកដែននៃអនុគមន៍។
II. ស្វែងរកចំណុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ជាមួយអ័ក្សកូអរដោនេ។
III. ស្វែងរក asymtotes ។
IV. ស្វែងរកចំណុចខ្លាំងដែលអាចកើតមាន។
V. ស្វែងរកចំណុចសំខាន់។
VI. ដោយប្រើគំនូរជំនួយ ស៊ើបអង្កេតសញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុទីមួយ និងទីពីរ។ កំណត់តំបន់នៃការកើនឡើង និងការថយចុះនៃមុខងារ ស្វែងរកទិសដៅនៃភាពប៉ោងនៃក្រាហ្វ ចំណុចខ្លាំង និងចំណុចបញ្ឆេះ។
VII. បង្កើតក្រាហ្វដោយគិតគូរពីការសិក្សាដែលបានធ្វើឡើងក្នុងកថាខណ្ឌ 1-6 ។

ឧទាហរណ៍ទី 22៖ រៀបចំក្រាហ្វមុខងារមួយតាមគ្រោងការណ៍ខាងលើ

ការសម្រេចចិត្ត។
I. ដែននៃអនុគមន៍ គឺជាសំណុំនៃចំនួនពិតទាំងអស់ លើកលែងតែ x=1។
II. ដោយសារសមីការ x 2 +1=0 មិនមានឫសពិត នោះក្រាហ្វនៃអនុគមន៍មិនមានចំនុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្សអុកទេ ប៉ុន្តែប្រសព្វអ័ក្ស Oy នៅចំណុច (0; -1)។
III. ចូរយើងស្រាយចម្ងល់អំពីអត្ថិភាពនៃ asymtotes ។ យើងស៊ើបអង្កេតឥរិយាបថនៃអនុគមន៍នៅជិតចំណុចមិនបន្ត x=1។ ចាប់តាំងពី y → ∞ សម្រាប់ x → -∞, y → +∞ សម្រាប់ x → 1+ បន្ទាប់មកបន្ទាត់ x = 1 គឺជា asymptote បញ្ឈរនៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍។
ប្រសិនបើ x → +∞(x → -∞) បន្ទាប់មក y → +∞(y → -∞); ដូច្នេះ ក្រាហ្វមិនមាន asymptote ផ្ដេកទេ។ លើសពីនេះទៀតពីអត្ថិភាពនៃដែនកំណត់

ការដោះស្រាយសមីការ x 2 -2x-1=0 យើងទទួលបានពីរចំណុចនៃអតិបរមាដែលអាចកើតមាន៖
x 1 =1-√2 និង x 2 =1+√2

V. ដើម្បីស្វែងរកចំណុចសំខាន់ យើងគណនាដេរីវេទី ២៖

ដោយសារ f""(x) មិនរលាយបាត់ គ្មានចំណុចសំខាន់ទេ។
VI. យើងស៊ើបអង្កេតសញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុទីមួយ និងទីពីរ។ ចំណុចខ្លាំងដែលអាចពិចារណាបាន៖ x 1 = 1-√2 និង x 2 = 1+√2 បែងចែកតំបន់នៃអត្ថិភាពនៃអនុគមន៍ទៅជាចន្លោះពេល (-∞;1-√2),(1-√2) ;1+√2) និង (1+√2;+∞)។

ក្នុងចន្លោះពេលនីមួយៗ និស្សន្ទវត្ថុរក្សាសញ្ញារបស់វា៖ នៅក្នុងទីមួយ - បូក, ក្នុងទីពីរ - ដក, នៅទីបី - បូក។ លំដាប់នៃសញ្ញានៃដេរីវេទី 1 នឹងត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម: +, -, + ។
យើងទទួលបានថាមុខងារនៅលើ (-∞; 1-√2) កើនឡើង នៅលើ (1-√2; 1+√2) វាថយចុះ ហើយនៅលើ (1+√2;+∞) វាកើនឡើងម្តងទៀត។ ចំណុចខ្លាំង៖ អតិបរមានៅ x=1-√2 លើសពីនេះ f(1-√2)=2-2√2 អប្បបរមានៅ x=1+√2 លើសពីនេះ f(1+√2)=2+2√2។ នៅលើ (-∞; 1) ក្រាហ្វគឺប៉ោងឡើងលើ ហើយនៅលើ (1;+∞) - ចុះក្រោម។
VII ចូរយើងបង្កើតតារាងនៃតម្លៃដែលទទួលបាន

VIII ដោយផ្អែកលើទិន្នន័យដែលទទួលបាន យើងបង្កើតគំនូរព្រាងនៃក្រាហ្វនៃមុខងារ

ប្រសិនបើភារកិច្ចទាមទារ ការសិក្សាពេញលេញមុខងារ f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 ជាមួយនឹងការសាងសង់ក្រាហ្វរបស់វា បន្ទាប់មកយើងនឹងពិចារណាគោលការណ៍នេះឱ្យបានលម្អិត។

ដើម្បីដោះស្រាយបញ្ហានៃប្រភេទនេះ មួយគួរតែប្រើលក្ខណៈសម្បត្តិ និងក្រាហ្វនៃមេ មុខងារបឋម. ក្បួនដោះស្រាយស្រាវជ្រាវរួមមានជំហានដូចខាងក្រោមៈ

Yandex.RTB R-A-339285-1

ការស្វែងរកដែននៃនិយមន័យ

ចាប់តាំងពីការស្រាវជ្រាវត្រូវបានអនុវត្តលើដែននៃមុខងារ វាចាំបាច់ក្នុងការចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងជំហាននេះ។

ឧទាហរណ៍ ១

នៅខាងក្រោយ ឧទាហរណ៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យពាក់ព័ន្ធនឹងការស្វែងរកលេខសូន្យនៃភាគបែង ដើម្បីដកពួកគេចេញពី DPV ។

4 x 2 − 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ − ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

ជាលទ្ធផល អ្នកអាចទទួលបានឫស លោការីត ជាដើម។ បន្ទាប់មក ODZ អាចស្វែងរកឫសនៃកម្រិតគូនៃប្រភេទ g (x) 4 ដោយវិសមភាព g (x) ≥ 0 សម្រាប់លោការីតកត់ត្រា a g (x) ដោយវិសមភាព g (x) > 0 ។

ការស៊ើបអង្កេតព្រំដែន ODZ និងការស្វែងរកសញ្ញាបញ្ឈរ

មាន asymptotes បញ្ឈរនៅលើព្រំដែននៃមុខងារ នៅពេលដែលដែនកំណត់ម្ខាងនៅចំណុចបែបនេះគឺគ្មានកំណត់។

ឧទាហរណ៍ ២

ជាឧទាហរណ៍ សូមពិចារណាចំណុចព្រំដែនស្មើនឹង x = ± 1 2 ។

បន្ទាប់មកចាំបាច់ត្រូវសិក្សាមុខងារដើម្បីស្វែងរកដែនកំណត់ម្ខាង។ បន្ទាប់មកយើងទទួលបាននោះ៖ lim x → − 1 2 − 0 f (x) = lim x → − 1 2 − 0 x 2 4 x 2 − 1 = = lim x → − 1 2 − 0 x 2 (2 x − 1 ) (2 x + 1) = 1 4 ( − 2 ) − 0 = + ∞ lim x → − 1 2 + 0 f ( x ) = lim x → − 1 2 + 0 x 2 4 x − 1 = = lim x → − 1 2 + 0 x 2 (2 x − 1) (2 x + 1) = 1 4 (− 2) (+ 0) = − ∞ lim x → 1 2 − 0 f (x) = lim x → 1 2 − 0 x 2 4 x 2 − 1 = = lim x → 1 2 − 0 x 2 (2 x − 1) (2 x + 1) = 1 4 ( − 0) 2 = − ∞ lim x → 1 2 − 0 f (x) = lim x → 1 2 − 0 x 2 4 x 2 − 1 = = lim x → 1 2 − 0 x 2 (2 x − 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

នេះបង្ហាញថាដែនកំណត់ម្ខាងគឺគ្មានកំណត់ ដែលមានន័យថាបន្ទាត់ x = ± 1 2 គឺជា asymtotes បញ្ឈរនៃក្រាហ្វ។

ការស៊ើបអង្កេតមុខងារ និងសម្រាប់គូ ឬសេស

នៅពេលដែលលក្ខខណ្ឌ y (- x) = y (x) ត្រូវបានបំពេញ មុខងារត្រូវបានចាត់ទុកថាជាគូ។ នេះបង្ហាញថាក្រាហ្វមានទីតាំងនៅស៊ីមេទ្រីទាក់ទងនឹង O y ។ នៅពេលដែលលក្ខខណ្ឌ y (- x) = - y (x) ត្រូវបានបំពេញ មុខងារត្រូវបានចាត់ទុកថាសេស។ នេះមានន័យថាស៊ីមេទ្រីទៅដោយគោរពតាមប្រភពដើមនៃកូអរដោនេ។ ប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់វិសមភាពមួយបរាជ័យ យើងទទួលបានមុខងារនៃទម្រង់ទូទៅមួយ។

ការបំពេញសមភាព y (- x) = y (x) បង្ហាញថាអនុគមន៍គឺគូ។ នៅពេលសាងសង់វាចាំបាច់ត្រូវយកទៅពិចារណាថានឹងមានស៊ីមេទ្រីទាក់ទងនឹង O y ។

ដើម្បីដោះស្រាយវិសមភាព ចន្លោះពេលនៃការកើនឡើង និងការថយចុះ ត្រូវបានប្រើជាមួយលក្ខខណ្ឌ f "(x) ≥ 0 និង f" (x) ≤ 0 រៀងគ្នា។

និយមន័យ ១

ចំណុចស្ថានីគឺ​ជា​ចំណុច​ដែល​បង្វែរ​ដេរីវេ​ទៅ​សូន្យ។

ចំណុចសំខាន់គឺជាចំណុចខាងក្នុងពីដែន ដែលដេរីវេនៃអនុគមន៍ស្មើនឹងសូន្យ ឬមិនមាន។

នៅពេលធ្វើការសម្រេចចិត្ត ចំណុចខាងក្រោមគួរត្រូវយកមកពិចារណា៖

• សម្រាប់ចន្លោះពេលដែលមានស្រាប់នៃការកើនឡើង និងការថយចុះនៃវិសមភាពនៃទម្រង់ f "(x) > 0 ចំនុចសំខាន់ៗមិនត្រូវបានរាប់បញ្ចូលក្នុងដំណោះស្រាយទេ។
• ចំនុចដែលអនុគមន៍ត្រូវបានកំណត់ដោយគ្មាននិស្សន្ទវត្ថុកំណត់ត្រូវតែបញ្ចូលក្នុងចន្លោះពេលនៃការកើនឡើង និងថយចុះ (ឧទាហរណ៍ y \u003d x 3 ដែលចំនុច x \u003d 0 ធ្វើឱ្យមុខងារកំណត់ ដេរីវេមានគុណតម្លៃគ្មានកំណត់។ នៅចំណុចនេះ y " \u003d 1 3 x 2 3 , y " (0) = 1 0 = ∞ , x = 0 ត្រូវបានរួមបញ្ចូលក្នុងចន្លោះពេលកើនឡើង);
• ដើម្បីជៀសវាងការមិនចុះសម្រុងគ្នា វាត្រូវបានណែនាំឱ្យប្រើអក្សរសិល្ប៍គណិតវិទ្យា ដែលត្រូវបានណែនាំដោយក្រសួងអប់រំ។

ការដាក់បញ្ចូលនូវចំណុចសំខាន់ៗក្នុងចន្លោះពេលនៃការបង្កើន និងការថយចុះ ក្នុងករណីដែលពួកគេបំពេញនូវដែននៃមុខងារ។

និយមន័យ ២

សម្រាប់ កំណត់ចន្លោះពេលនៃការកើនឡើង និងការថយចុះនៃមុខងារ វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរក:

• ដេរីវេ;
• ចំណុចសំខាន់;
• បំបែកដែននៃនិយមន័យដោយមានជំនួយពីចំណុចសំខាន់ទៅជាចន្លោះពេល;
• កំណត់សញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុនៅចន្លោះពេលនីមួយៗ ដែល + ជាការកើនឡើង និង - គឺជាការថយចុះ។

ឧទាហរណ៍ ៣

ស្វែងរកដេរីវេនៅលើដែន f "(x) = x 2" (4 x 2 − 1) - x 2 4 x 2 - 1" (4 x 2 − 1) 2 = − 2 x (4 x 2 − 1) ២.

ការសម្រេចចិត្ត

ដើម្បីដោះស្រាយអ្នកត្រូវការ៖

• ស្វែងរកចំណុចស្ថានី ឧទាហរណ៍នេះមាន x = 0 ;
• រកលេខសូន្យនៃភាគបែង ឧទាហរណ៍យកតម្លៃសូន្យនៅ x = ± 1 2 ។

យើងបង្ហាញចំណុចនៅលើអ័ក្សលេខដើម្បីកំណត់ដេរីវេនៅចន្លោះពេលនីមួយៗ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះវាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីយកចំណុចណាមួយពីចន្លោះពេលហើយធ្វើការគណនា។ ប្រសិនបើលទ្ធផលគឺវិជ្ជមានយើងគូរ + នៅលើក្រាហ្វដែលមានន័យថាការកើនឡើងនៃមុខងារនិង - មានន័យថាការថយចុះរបស់វា។

ឧទាហរណ៍ f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0 ដែលមានន័យថាចន្លោះពេលដំបូងនៅខាងឆ្វេងមានសញ្ញា +។ ពិចារណាលើលេខ បន្ទាត់។

ចម្លើយ៖

• មានការកើនឡើងនៃមុខងារនៅលើចន្លោះពេល - ∞ ; - 1 2 និង (- 1 2 ; 0 ] ;
• មានការថយចុះនៅចន្លោះពេល [ 0 ; 1 2) និង 12 ; +∞ .

នៅក្នុងដ្យាក្រាម ការប្រើប្រាស់ + និង - ភាពវិជ្ជមាន និងអវិជ្ជមាននៃអនុគមន៍ត្រូវបានបង្ហាញ ហើយព្រួញបង្ហាញពីការថយចុះ និងកើនឡើង។

ចំនុចខ្លាំងនៃអនុគមន៍ គឺជាចំនុចដែលអនុគមន៍ត្រូវបានកំណត់ ហើយតាមរយៈនោះសញ្ញានៃការផ្លាស់ប្តូរដេរីវេ។

ឧទាហរណ៍ 4

ប្រសិនបើយើងពិចារណាឧទាហរណ៍ដែល x \u003d 0 នោះតម្លៃនៃមុខងារនៅក្នុងវាគឺ f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0 ។ នៅពេលដែលសញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុផ្លាស់ប្តូរពី + ទៅ - ហើយឆ្លងកាត់ចំនុច x \u003d 0 បន្ទាប់មកចំនុចដែលមានកូអរដោណេ (0; 0) ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាចំណុចអតិបរមា។ នៅពេលដែលសញ្ញាត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរពី - ទៅ + យើងទទួលបានចំណុចអប្បបរមា។

ភាពប៉ោង និង concavity ត្រូវបានកំណត់ដោយការដោះស្រាយវិសមភាពនៃទម្រង់ f "" (x) ≥ 0 និង f "" (x) ≤ 0 ។ មិនសូវជាញឹកញាប់ទេ ពួកគេប្រើឈ្មោះ ប៉ោងចុះក្រោម ជំនួសឱ្យការប៉ោង ហើយប៉ោងឡើង ជំនួសឱ្យប៉ោង។

និយមន័យ ៣

សម្រាប់ កំណត់គម្លាតនៃ concavity និង convexityចាំបាច់៖

• ស្វែងរកដេរីវេទីពីរ;
• រកលេខសូន្យនៃអនុគមន៍នៃដេរីវេទី 2;
• បំបែកដែននៃនិយមន័យដោយចំណុចដែលលេចឡើងជាចន្លោះពេល;
• កំណត់សញ្ញានៃគម្លាត។

ឧទាហរណ៍ ៥

ស្វែងរកដេរីវេទីពីរពីដែននៃនិយមន័យ។

ការសម្រេចចិត្ត

f "" (x) = − 2 x (4 x 2 − 1) 2 " = = (− 2 x) " (4 x 2 − 1) 2 − − 2 x 4 x 2 − 1 2" (4 x 2 − 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 − 1) ៣

យើងរកឃើញលេខសូន្យនៃភាគបែង និងភាគបែង ដែលដោយប្រើឧទាហរណ៍របស់យើង យើងមានថាសូន្យនៃភាគបែង x = ± 1 2

ឥឡូវអ្នកត្រូវដាក់ពិន្ទុ អ័ក្សលេខនិងកំណត់សញ្ញានៃដេរីវេទី 2 ពីចន្លោះនីមួយៗ។ យើងទទួលបាននោះ។

ចម្លើយ៖

• មុខងារគឺប៉ោងពីចន្លោះពេល - 1 2 ; ១២ ;
• មុខងារគឺកោងពីចន្លោះប្រហោង - ∞ ; - 1 2 និង 12 ; +∞ .

និយមន័យ ៤

ចំណុចឆ្លងគឺជាចំណុចនៃទម្រង់ x 0 ; f (x0) ។ នៅពេលដែលវាមានតង់ហ្សង់ទៅក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ បន្ទាប់មកនៅពេលដែលវាឆ្លងកាត់ x 0 មុខងារនឹងផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាទៅផ្ទុយ។

ម្យ៉ាងវិញទៀត នេះគឺជាចំណុចមួយ ដែលនិស្សន្ទវត្ថុទីពីរឆ្លងកាត់ និងផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា ហើយនៅចំណុចខ្លួនគេស្មើនឹងសូន្យ ឬមិនមាន។ ចំណុចទាំងអស់ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាដែននៃមុខងារ។

នៅក្នុងឧទាហរណ៍ វាត្រូវបានគេមើលឃើញថាមិនមានចំណុចបញ្ឆេះទេ ចាប់តាំងពីសញ្ញាផ្លាស់ប្តូរដេរីវេទី 2 ខណៈពេលដែលឆ្លងកាត់ចំនុច x = ± 1 2 ។ ពួកគេ​មិន​ត្រូវ​បាន​រួម​បញ្ចូល​ក្នុង​ដែន​កំណត់​ទេ។

ការស្វែងរក asymtotes ផ្ដេក និង oblique

នៅពេលកំណត់មុខងារនៅភាពគ្មានទីបញ្ចប់ មនុស្សម្នាក់ត្រូវតែរកមើល asymptotes ផ្ដេក និង oblique ។

និយមន័យ ៥

រោគសញ្ញា Obliqueតំណាងដោយបន្ទាត់ត្រង់ ផ្តល់ឱ្យដោយសមីការ y = k x + b ដែល k = lim x → ∞ f (x) x និង b = lim x → ∞ f (x) − k x ។

សម្រាប់ k = 0 និង b មិនស្មើនឹង infinity យើងទទួលបាននោះ។ oblique asymptoteក្លាយជា ផ្ដេក.

ម្យ៉ាងវិញទៀត asymtotes គឺជាបន្ទាត់ដែលក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ចូលទៅជិតភាពគ្មានកំណត់។ នេះរួមចំណែកដល់ការសាងសង់ក្រាហ្វនៃមុខងារយ៉ាងឆាប់រហ័ស។

ប្រសិនបើមិនមាន asymptotes ទេ ប៉ុន្តែមុខងារត្រូវបានកំណត់នៅភាពគ្មានដែនកំណត់ទាំងពីរនោះ ចាំបាច់ត្រូវគណនាដែនកំណត់នៃអនុគមន៍នៅភាពគ្មានកំណត់ទាំងនេះ ដើម្បីយល់ពីរបៀបដែលក្រាហ្វនៃអនុគមន៍នឹងមានឥរិយាបទ។

ឧទាហរណ៍ ៦

ជាឧទាហរណ៍សូមពិចារណាវា។

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 − 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) − k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 − 1 = 1 4 ⇒ y = 1 ៤

គឺជា asymptote ផ្ដេក. បន្ទាប់ពីស្រាវជ្រាវមុខងារនេះ អ្នកអាចចាប់ផ្តើមបង្កើតវាបាន។

ការគណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមធ្យម

ដើម្បីធ្វើឱ្យការគូសវាសមានភាពត្រឹមត្រូវបំផុត វាត្រូវបានណែនាំឱ្យស្វែងរកតម្លៃជាច្រើននៃមុខងារនៅចំណុចមធ្យម។

ឧទាហរណ៍ ៧

ពីឧទាហរណ៍ដែលយើងបានពិចារណា វាចាំបាច់ក្នុងការស្វែងរកតម្លៃនៃមុខងារនៅចំណុច x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4 ។ ដោយសារមុខងារគឺស្មើ យើងទទួលបានថាតម្លៃស្របគ្នានឹងតម្លៃនៅចំណុចទាំងនេះ នោះគឺយើងទទួលបាន x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4 ។

ចូរយើងសរសេរនិងដោះស្រាយ៖

F ( − 2 ) = f ( 2 ) = 2 2 4 2 2 − 1 = 4 15 ≈ 0 , 27 f ( − 1 ) − f ( 1 ) = 1 2 4 1 2 − 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f − 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 − 1 = 9 20 = 0 , 45 f − 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 − 1 = − 1 12 ≈ − 0.08

ដើម្បីកំណត់អតិបរិមា និងអប្បបរមានៃមុខងារ ចំណុចបញ្ឆេះ ចំណុចមធ្យមវាចាំបាច់ក្នុងការបង្កើត asymtotes ។ សម្រាប់ការរចនាងាយស្រួល ចន្លោះពេលនៃការកើនឡើង ការថយចុះ ភាពប៉ោង និង concavity ត្រូវបានជួសជុល។ ពិចារណារូបភាពខាងក្រោម។

វាចាំបាច់ក្នុងការគូរបន្ទាត់ក្រាហ្វតាមចំណុចដែលបានសម្គាល់ ដែលនឹងអនុញ្ញាតឱ្យអ្នកខិតទៅជិត asymtotes ដោយធ្វើតាមព្រួញ។

នេះបញ្ចប់ការសិក្សាពេញលេញនៃមុខងារ។ មានករណីនៃការសាងសង់អនុគមន៍បឋមមួយចំនួនដែលការបំប្លែងធរណីមាត្រត្រូវបានប្រើប្រាស់។

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញមានកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមបន្លិចវា ហើយចុច Ctrl+Enter

ធ្វើការសិក្សាពេញលេញ និងរៀបចំក្រាហ្វមុខងារ

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x ។

1) វិសាលភាពមុខងារ។ ដោយសារអនុគមន៍ជាប្រភាគ អ្នកត្រូវស្វែងរកលេខសូន្យនៃភាគបែង។

1−x=0,⇒x=1.1−x=0,⇒x=1។

យើងដកចំណុចតែមួយគត់ x=1x=1 ពីតំបន់និយមន័យមុខងារ ហើយទទួលបាន៖

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞))D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞)។

2) ចូរ​យើង​សិក្សា​ពី​ឥរិយាបថ​នៃ​មុខងារ​នៅ​ជុំវិញ​ចំណុច​ដែល​មិន​ជាប់​ពាក់ព័ន្ធ។ ស្វែងរកដែនកំណត់ម្ខាង៖

ដោយសារដែនកំណត់ស្មើនឹងភាពគ្មានទីបញ្ចប់ ចំនុច x=1x=1 គឺជាការមិនបន្តនៃប្រភេទទីពីរ បន្ទាត់ x=1x=1 គឺជា asymptote បញ្ឈរ។

3) ចូរកំណត់ចំនុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ដោយអ័ក្សកូអរដោនេ។

ចូរយើងស្វែងរកចំនុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្សតម្រៀប OyOy ដែលយើងស្មើនឹង x=0x=0៖

ដូច្នេះចំនុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្ស OyOy មានកូអរដោនេ (0;8)(0;8) ។

ចូរយើងស្វែងរកចំនុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្ស abscissa OxOx ដែលយើងកំណត់ y=0y=0៖

សមីការមិនមានឫសគល់ ដូច្នេះមិនមានចំណុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្ស OxOx ទេ។

ចំណាំថា x2+8>0x2+8>0 សម្រាប់ xx ណាមួយ។ ដូច្នេះសម្រាប់ x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) អនុគមន៍ y>0y>0(យក តម្លៃវិជ្ជមានក្រាហ្វគឺនៅពីលើអ័ក្ស x) សម្រាប់ x∈(1;+∞)x∈(1;+∞) អនុគមន៍ y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) មុខងារ​នេះ​មិន​ខុស​ពី​ធម្មតា​ទេ​ព្រោះ​៖

5) យើងស៊ើបអង្កេតមុខងារសម្រាប់ភាពទៀងទាត់។ អនុគមន៍មិនតាមកាលកំណត់ទេ ព្រោះវាជាអនុគមន៍ប្រភាគ។

6) យើងស៊ើបអង្កេតមុខងារសម្រាប់ extremums និង monotonicity ។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងរកឃើញដេរីវេដំបូងនៃមុខងារ៖

ចូរយើងគណនាដេរីវេទី 1 ទៅសូន្យ ហើយស្វែងរកចំនុចស្ថានី (ដែល y′=0y′=0)៖

យើងទទួលបានចំណុចសំខាន់បី៖ x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4។ យើងបែងចែកដែនទាំងមូលនៃអនុគមន៍ទៅជាចន្លោះពេលដោយចំណុចទាំងនេះ ហើយកំណត់សញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុក្នុងចន្លោះនីមួយៗ៖

សម្រាប់ x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) ដេរីវេ y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

សម្រាប់ x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) ដេរីវេទីវ y′>0y′> 0 មុខងារកើនឡើងនៅលើចន្លោះពេលទាំងនេះ។

ក្នុងករណីនេះ x=−2x=−2 គឺជាចំណុចអប្បបរមាក្នុងតំបន់ (មុខងារថយចុះ ហើយបន្ទាប់មកកើនឡើង) x=4x=4 គឺជាចំណុចអតិបរមាក្នុងតំបន់ (មុខងារកើនឡើង ហើយបន្ទាប់មកថយចុះ)។

ចូរយើងស្វែងរកតម្លៃនៃមុខងារនៅចំណុចទាំងនេះ៖

ដូច្នេះចំនុចអប្បបរមាគឺ (−2;4)(−2;4) ចំណុចអតិបរមាគឺ (4;−8)(4;−8)។

7) យើងពិនិត្យមើលមុខងារសម្រាប់ kinks និងប៉ោង។ ចូរយើងស្វែងរកដេរីវេទីពីរនៃអនុគមន៍៖

ស្មើដេរីវេទី 2 ទៅសូន្យ៖

សមីការលទ្ធផលមិនមានឫសគល់ ដូច្នេះមិនមានចំណុចបញ្ឆេះទេ។ ជាងនេះទៅទៀត នៅពេលដែល x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″> 0 ពេញចិត្ត នោះគឺជាអនុគមន៍គឺប៉ោងនៅពេលដែល x∈(1;+∞)x∈(1 ;+ ∞) y′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) យើងស៊ើបអង្កេតឥរិយាបថនៃអនុគមន៍នៅភាពគ្មានកំណត់ ពោលគឺនៅ .

ដោយសារដែនកំណត់គឺគ្មានដែនកំណត់ គ្មានសញ្ញាសម្គាល់ផ្ដេកទេ។

តោះព្យាយាមកំណត់ asymptotes oblique នៃទម្រង់ y=kx+by=kx+b។ យើងគណនាតម្លៃនៃ k,bk,b តាមរូបមន្តដែលគេស្គាល់៖

យើងបានរកឃើញថាអនុគមន៍មាន asymptote oblique មួយ y=−x−1y=−x−1 ។

9) ចំណុចបន្ថែម។ ចូរយើងគណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុចមួយចំនួនផ្សេងទៀត ដើម្បីបង្កើតក្រាហ្វឱ្យកាន់តែត្រឹមត្រូវ។

y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5។

10) ដោយផ្អែកលើទិន្នន័យដែលទទួលបាន យើងនឹងបង្កើតក្រាហ្វ បន្ថែមវាជាមួយ asymptotes x=1x=1 (ពណ៌ខៀវ) y=−x−1y=−x−1 (បៃតង) ហើយសម្គាល់ចំណុចលក្ខណៈ (ចំនុចប្រសព្វជាមួយ y - អ័ក្សគឺពណ៌ស្វាយ, ខ្លាំងគឺពណ៌ទឹកក្រូច, ចំណុចបន្ថែមគឺខ្មៅ)៖

កិច្ចការទី ៤៖ ធរណីមាត្រ កិច្ចការសេដ្ឋកិច្ច (ខ្ញុំមិនដឹងអ្វីទេ នេះជាជម្រើសប្រហាក់ប្រហែលនៃកិច្ចការដែលមានដំណោះស្រាយ និងរូបមន្ត)

ឧទាហរណ៍ 3.23 ។ ក

ការសម្រេចចិត្ត។ xនិង y y
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2 ។ ដោយសារ x = a/4 គឺជាចំណុចសំខាន់តែមួយគត់ សូមពិនិត្យមើលថាតើសញ្ញានៃការផ្លាស់ប្តូរដេរីវេពេលឆ្លងកាត់ចំណុចនេះឬអត់។ សម្រាប់ xa/4 S"> 0 និងសម្រាប់ x >a/4 S"< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

ឧទាហរណ៍ 3.24 ។

ការសម្រេចចិត្ត។
R = 2, H = 16/4 = 4 ។

ឧទាហរណ៍ 3.22 ។រកភាពខ្លាំងនៃអនុគមន៍ f(x) = 2x 3 − 15x 2 + 36x − 14 ។

ការសម្រេចចិត្ត។ចាប់តាំងពី f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x - 2) (x - 3) បន្ទាប់មកចំនុចសំខាន់នៃអនុគមន៍ x 1 \u003d 2 និង x 2 \u003d 3. ចំនុចខ្លាំងអាច មានតែនៅចំណុចទាំងនេះ។ ដូច្នេះនៅពេលដែលឆ្លងកាត់ចំណុច x 1 \u003d 2 និស្សន្ទវត្ថុផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាពីបូកទៅដកបន្ទាប់មកនៅចំណុចនេះមុខងារមានអតិបរមា។ ពេលឆ្លងកាត់ចំនុច x 2 \u003d 3 នោះ ការ​ផ្លាស់​ប្តូ​រ​ដេរីវេ​សញ្ញា​ពី​ដក​ទៅ​បូក ដូច្នេះ​នៅ​ចំណុច x 2 \u003d 3 អនុគមន៍​មាន​អប្បបរមា។ ការ​គណនា​តម្លៃ​នៃ​អនុគមន៍​ជា​ពិន្ទុ
x 1 = 2 និង x 2 = 3 យើងរកឃើញភាពខ្លាំងនៃអនុគមន៍៖ អតិបរមា f(2) = 14 និងអប្បបរមា f(3) = 13 ។

ឧទាហរណ៍ 3.23 ។វាចាំបាច់ក្នុងការសាងសង់តំបន់ចតុកោណនៅជិតជញ្ជាំងថ្មដើម្បីឱ្យវាត្រូវបានហ៊ុមព័ទ្ធដោយសំណាញ់លួសនៅសងខាងបីហើយនៅជាប់នឹងជញ្ជាំងនៅជ្រុងទីបួន។ សម្រាប់នេះមាន កម៉ែត្រលីនេអ៊ែរនៃក្រឡាចត្រង្គ។ តើ​គេហទំព័រ​នឹង​មាន​ផ្ទៃ​ធំ​ជាង​គេ​នៅ​សមាមាត្រ​មួយ​ណា?

ការសម្រេចចិត្ត។សម្គាល់ផ្នែកនៃគេហទំព័រតាមរយៈ xនិង y. តំបន់នៃគេហទំព័រគឺ S = xy ។ អនុញ្ញាតឱ្យមាន yគឺជាប្រវែងនៃផ្នែកដែលនៅជាប់នឹងជញ្ជាំង។ បន្ទាប់មក តាមលក្ខខណ្ឌ សមភាព 2x + y = ត្រូវតែកាន់។ ដូច្នេះ y = a − 2x និង S = x (a − 2x) ដែល
0 ≤ x ≤ a/2 (ប្រវែង និងទទឹងនៃផ្ទៃមិនអាចជាអវិជ្ជមាន)។ S” = a − 4x, a − 4x = 0 សម្រាប់ x = a/4, មកពីណា
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2 ។ ដោយសារ x = a/4 គឺជាចំណុចសំខាន់តែមួយគត់ សូមពិនិត្យមើលថាតើសញ្ញានៃការផ្លាស់ប្តូរដេរីវេពេលឆ្លងកាត់ចំណុចនេះឬអត់។ សម្រាប់ xa/4 S"> 0 និងសម្រាប់ x >a/4 S"< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

ឧទាហរណ៍ 3.24 ។វាត្រូវបានទាមទារដើម្បីធ្វើធុងស៊ីឡាំងបិទជិតដែលមានសមត្ថភាព V = 16p ≈ 50 m 3 ។ តើទំហំធុង (កាំ R និងកម្ពស់ H) គួរតែមានទំហំប៉ុនណា ដើម្បីប្រើបរិមាណតិចបំផុតនៃសម្ភារៈសម្រាប់ការផលិតរបស់វា?

ការសម្រេចចិត្ត។ផ្ទៃដីសរុបនៃស៊ីឡាំងគឺ S = 2pR (R + H) ។ យើងដឹងពីបរិមាណនៃស៊ីឡាំង V = pR 2 H Þ H = V/pR 2 = 16p/ pR 2 = 16/ R 2 ។ ដូច្នេះ S(R) = 2p(R 2 +16/R)។ យើងរកឃើញដេរីវេនៃមុខងារនេះ៖
S "(R) \u003d 2p (2R- 16 / R 2) \u003d 4p (R- 8 / R 2) ។ S " (R) \u003d 0 សម្រាប់ R 3 \u003d 8 ដូច្នេះ
R = 2, H = 16/4 = 4 ។

ព័ត៌មានស្រដៀងគ្នា។