Regra para multiplicar ou dividir uma equação. Regra para resolver equações simples

Recentemente, a mãe de uma criança da escola com quem estudo liga e pede para explicar matemática para a criança, porque ela não entende, mas ela grita com ele e a conversa com o filho não sai.

eu não tenho armazém matemático mente, pessoas criativas isso não é típico, mas eu disse que iria ver o que eles passam e tentar. E foi o que aconteceu.

Peguei uma folha de papel A4, branco comum, canetas hidrográficas, um lápis nas mãos e comecei a destacar o que vale a pena entender, lembrar, prestar atenção. E para que você possa ver onde essa figura vai e como ela muda.

Explicação dos exemplos do lado esquerdo, no lado direito.

Exemplo 1

Um exemplo de uma equação para a classe 4 com um sinal de mais.

O primeiro passo é olhar, o que podemos fazer nesta equação? Aqui podemos realizar a multiplicação. Multiplicamos 80 * 7 e obtemos 560. Reescrevemos novamente.

X + 320 = 560 (destaque os números com um marcador verde).

X \u003d 560 - 320. Definimos o menos porque quando o número é transferido, o sinal na frente dele muda para o oposto. Vamos fazer a subtração.

X = 240 Certifique-se de verificar. A verificação mostrará se resolvemos a equação corretamente. Substitua x pelo número que você obteve.

Exame:

240 + 320 \u003d 80 * 7 Adicionamos os números, por outro lado, multiplicamos.

Isso mesmo! Então resolvemos a equação corretamente!

Exemplo #2

Um exemplo de uma equação para a classe 4 com um sinal de menos.

X - 180 = 240/3

O primeiro passo é olhar, o que podemos fazer nessa equação? NO este exemplo nós podemos compartilhar. Dividimos 240 por 3 e obtemos 80. Reescreva a equação novamente.

X - 180 = 80 (destaque os números com um marcador verde).

Agora vemos que temos x (desconhecido) e números, só que não lado a lado, mas separados por um sinal de igual. X de um lado, números do outro.

X \u003d 80 + 180 Colocamos o sinal de mais porque quando o número é transferido, o sinal que estava na frente do número muda para o oposto. Nós consideramos.

X = 260 trabalho de verificação. A verificação mostrará se resolvemos a equação corretamente. Substitua x pelo número que você obteve.

Exame:

260 – 180 = 240/3

Isso mesmo!

Exemplo #3

400 - x \u003d 275 + 25 Some os números.

400 - x = 300 Números separados por um sinal de igual, x é negativo. Para torná-lo positivo, precisamos movê-lo pelo sinal de igual, coletar os números de um lado, x do outro.

400 - 300 \u003d x O número 300 era positivo, quando transferido para o outro lado, mudou de sinal e se tornou menos. Nós consideramos.

Como não é costume escrever assim, e o primeiro da equação deve ser x, basta trocá-los.

Exame:

400 - 100 = 275 + 25 Contamos.

Isso mesmo!

Exemplo #4

Um exemplo de equação para classe 4 com sinal de menos, onde x está no meio, ou seja, um exemplo de equação onde x é negativo no meio.

72 - x \u003d 18 * 3 Realizamos a multiplicação. Reescrevendo o exemplo.

72 - x \u003d 54 Alinhamos os números em uma direção, x na outra. O número 54 inverte seu sinal, porque salta sobre o sinal de igual.

72 - 54 \u003d x Contamos.

18 = x Troca, por conveniência.

Exame:

72 – 18 = 18 * 3

Isso mesmo!

Exemplo #5

Um exemplo de uma equação com x com subtração e adição para a 4ª série.

X - 290 = 470 + 230 Some.

X - 290 = 700 Colocamos os números em um lado.

X \u003d 700 + 290 Consideramos.

Exame:

990 - 290 = 470 + 230 Adicionando.

Isso mesmo!

Exemplo #6

Um exemplo de uma equação com x para multiplicação e divisão para a 4ª série.

15 * x \u003d 630/70 Realizamos divisão. Vamos reescrever a equação.

15 * x \u003d 90 É o mesmo que 15x \u003d 90 Deixe x de um lado, números do outro. Esta equação assume a seguinte forma.

X \u003d 90/15 ao transferir o número 15, o sinal de multiplicação muda para divisão. Nós consideramos.

Exame:

15*6 = 630 / 7 Faça multiplicação e subtração.

Isso mesmo!

Agora vamos às regras básicas:

Multiplicar, adicionar, dividir ou subtrair;
Fazendo o que pode ser feito, a equação ficará um pouco mais curta.
X de um lado, números do outro.
Uma variável desconhecida em uma direção (nem sempre x, talvez uma letra diferente), números na outra.
Ao transferir x ou um dígito pelo sinal de igual, seu sinal é invertido.
Se o número for positivo, ao transferir, colocamos um sinal de menos na frente do número. E vice-versa, se o número ou x estiver com um sinal de menos, ao transferir por igual, colocamos um sinal de mais.
Se no final a equação começar com um número, basta trocar.
Sempre verificamos!

Ao fazer trabalho de casa, trabalho de classe, testes, você sempre pode pegar uma folha e escrever nela primeiro e fazer uma verificação.

Além disso, encontramos exemplos semelhantes na internet, livros adicionais, manuais. É mais fácil não mudar os números, mas pegar exemplos prontos.

Quão mais bebê decidirá por si mesmo, estudará por conta própria, mais rápido ele aprenderá o material.

Se a criança não entender exemplos com uma equação, vale a pena explicar o exemplo e dizer aos demais que sigam o modelo.

Dado descrição detalhada como explicar equações com x para um estudante para:

pais;
escolares;
tutores;
avós;
professores;

As crianças precisam fazer tudo em cores, com lápis de cor diferentes no quadro, mas, infelizmente, nem todo mundo faz isso.

Da minha prática

O menino escrevia como queria, contrariando as regras existentes na matemática. Ao verificar a equação, havia números diferentes e um número (do lado esquerdo) não era igual ao outro (o do lado direito), ele passou um tempo procurando um erro.

Quando perguntado por que ele faz isso? Havia uma resposta que ele estava tentando adivinhar e pensar, e de repente ele faria certo.

NO este caso você precisa resolver exemplos semelhantes todos os dias (dia sim, dia não). Para trazer ações para o automatismo e claro que todas as crianças são diferentes, pode não chegar desde a primeira aula.

Se os pais não têm tempo, e muitas vezes têm, porque os pais ganham dinheiro, então é melhor encontrar um tutor em sua cidade que possa explicar o material abordado para a criança.

Agora é a idade do exame, testes, controle funciona, existem coleções e manuais adicionais. Ao fazer a lição de casa para a criança, os pais devem lembrar que eles não farão o exame na escola. É melhor explicar claramente à criança 1 vez, para que a criança possa resolver exemplos de forma independente.

Uma equação é uma igualdade contendo uma letra cujo valor deve ser encontrado.

Nas equações, a incógnita é geralmente denotada por uma minúscula letra latina. As letras mais usadas são "x" [x] e "y" [y].

Raiz da equação- este é o valor da letra, no qual a igualdade numérica correta é obtida da equação.
resolva a equação- significa encontrar todas as suas raízes ou certificar-se de que não há raízes.

Tendo resolvido a equação, sempre anotamos o cheque após a resposta.

Informações para os pais

Caros pais, por favor, note que escola primaria e na 5ª série, as crianças NÃO conhecem o tópico “Números Negativos”.

Portanto, eles devem resolver equações usando apenas as propriedades de adição, subtração, multiplicação e divisão. Os métodos para resolver equações para o grau 5 são dados abaixo.

Não tente explicar a solução de equações transferindo números e letras de uma parte da equação para outra com uma mudança de sinal.

Você pode atualizar seus conhecimentos sobre os conceitos relacionados à adição, subtração, multiplicação e divisão na lição "Leis da aritmética".

Resolvendo equações para adição e subtração

Como encontrar o desconhecido
prazo

Como encontrar o desconhecido
minuendo

Como encontrar o desconhecido
subtraendo

Para encontrar o termo desconhecido, subtraia o termo conhecido da soma.

Para encontrar o minuendo desconhecido, você precisa adicionar o subtraendo à diferença.

Para encontrar o subtraendo desconhecido, é necessário subtrair a diferença do minuendo.

x + 9 = 15
x = 15 − 9
x=6
Exame

x − 14 = 2
x = 14 + 2
x=16
Exame

16 − 2 = 14
14 = 14

5 − x = 3
x = 5 − 3
x=2
Exame

Resolvendo equações para multiplicação e divisão

Como encontrar o desconhecido
fator

Como encontrar o desconhecido
dividendo

Como encontrar o desconhecido
divisor

Encontrar multiplicador desconhecido, é necessário dividir o produto por um fator conhecido.

Para encontrar o dividendo desconhecido, você precisa multiplicar o quociente pelo divisor.

Para encontrar o divisor desconhecido, divida o dividendo pelo quociente.

e 4 = 12
y=12:4
y=3
Exame

y:7=2
y = 2 7
a = 14
Exame

8:y=4
y=8:4
y=2
Exame

Uma equação é uma equação que contém a letra cujo sinal deve ser encontrado. A solução de uma equação é o conjunto de valores de letras que transforma a equação em uma verdadeira igualdade:

Lembre-se que para resolver equaçãoé necessário transferir os termos com a incógnita para uma parte da igualdade, e os termos numéricos para a outra, trazer os semelhantes e obter a seguinte igualdade:

A partir da última igualdade, determinamos a incógnita pela regra: "um dos fatores é igual ao quociente dividido pelo segundo fator".

Porque números racionais a e b podem ter o mesmo e sinais diferentes, então o sinal da incógnita é determinado pelas regras de divisão de números racionais.

O procedimento para resolver equações lineares

A equação linear deve ser simplificada abrindo os colchetes e realizando as ações da segunda etapa (multiplicação e divisão).

Mova as incógnitas para um lado do sinal de igual e os números para o outro lado do sinal de igual, ficando idêntico à igualdade dada,

Traga like para a esquerda e para a direita do sinal de igual, obtendo uma igualdade da forma machado = b.

Calcule a raiz da equação (encontre a incógnita X da igualdade x = b : uma),

Faça um teste substituindo a incógnita na dada equação.

Se obtivermos uma identidade em igualdade numérica, então a equação está correta.

Casos especiais de resolução de equações

Se um a equaçãoé dado por um produto igual a 0, então para resolvê-lo usamos a propriedade da multiplicação: "o produto é igual a zero se um dos fatores ou ambos os fatores forem iguais a zero."

27 (x - 3) = 0
27 não é igual a 0, então x - 3 = 0

O segundo exemplo tem duas soluções para a equação, pois
Esta é uma equação do segundo grau:

Se os coeficientes da equação são frações ordinárias, a primeira coisa a fazer é se livrar dos denominadores. Por esta:

Achar denominador comum;

Definir multiplicadores adicionais para cada termo da equação;

Multiplique os numeradores de frações e inteiros por fatores adicionais e anote todos os termos da equação sem denominadores (o denominador comum pode ser descartado);

Mova os termos com incógnitas para uma parte da equação e os termos numéricos para a outra a partir do sinal de igual, obtendo uma igualdade equivalente;

Traga como membros;

Propriedades básicas das equações

Qualquer parte da equação pode ser dada termos semelhantes ou parênteses abertos.

Qualquer termo da equação pode ser transferido de uma parte da equação para outra mudando seu sinal para o oposto.

Ambos os lados da equação podem ser multiplicados (divididos) pelo mesmo número, exceto 0.

No exemplo acima, todas as suas propriedades foram usadas para resolver a equação.

Regra para resolver equações simples

Atenção!
Existem adicionais
materiais em seção especial 555.
Para quem é forte "não muito. »
E para aqueles que “muito mesmo. "")

Equações lineares.

Equações lineares não são as melhores tópico difícil matemática escolar. Mas existem alguns truques que podem confundir até mesmo um aluno treinado. Vamos descobrir?)

Uma equação linear é geralmente definida como uma equação da forma:

Nada complicado, certo? Especialmente se você não notar as palavras: "onde a e b são quaisquer números". E se você notar, mas pensar descuidadamente sobre isso?) Afinal, se a=0, b=0(algum número é possível?), então obtemos uma expressão engraçada:

Mas isso não é tudo! Se, digamos, a=0, uma b=5, acontece algo bastante absurdo:

O que sobrecarrega e mina a confiança na matemática, sim.) Especialmente nos exames. Mas dessas expressões estranhas, você também precisa encontrar X! O que não existe de jeito nenhum. E, surpreendentemente, esse X é muito fácil de encontrar. Vamos aprender como fazê-lo. Nesta lição.

Como reconhecer uma equação linear na aparência? Depende do que aparência.) O truque é que as equações lineares são chamadas não apenas de equações da forma machado + b = 0 , mas também quaisquer equações que são reduzidas a esta forma por transformações e simplificações. E quem sabe se é reduzido ou não?)

Uma equação linear pode ser claramente reconhecida em alguns casos. Digamos, se temos uma equação na qual existem apenas incógnitas no primeiro grau, sim números. E a equação não frações divididas por desconhecido , é importante! E divisão por número, ou uma fração numérica - é isso! Por exemplo:

Esta é uma equação linear. Há frações aqui, mas não há x no quadrado, no cubo, etc., e não há x nos denominadores, ou seja, Não divisão por x. E aqui está a equação

não pode ser chamado de linear. Aqui os x estão todos no primeiro grau, mas há divisão por expressão com x. Após simplificações e transformações, você pode obter uma equação linear e uma quadrática e qualquer coisa que desejar.

Acontece que é impossível descobrir uma equação linear em algum exemplo intrincado até que você quase a resolva. É perturbador. Mas em trabalhos, via de regra, eles não perguntam sobre a forma da equação, certo? Nas tarefas, as equações são ordenadas decidir. Isso me faz feliz.)

Solução de equações lineares. Exemplos.

Solução completa equações lineares consiste em transformações idênticas de equações. Aliás, essas transformações (até duas!) estão na base das soluções todas as equações da matemática. Em outras palavras, a decisão algum A equação começa com essas mesmas transformações. No caso de equações lineares, ela (a solução) nessas transformações termina com uma resposta completa. Faz sentido seguir o link, certo?) Além disso, também há exemplos de resolução de equações lineares.

Vamos começar com o exemplo mais simples. Sem nenhuma armadilha. Digamos que precisamos resolver a seguinte equação.

Esta é uma equação linear. Xs são todos à primeira potência, não há divisão por X. Mas, na verdade, não nos importamos qual seja a equação. Precisamos resolvê-lo. O esquema aqui é simples. Recolha tudo com x's no lado esquerdo da igualdade, tudo sem x's (números) à direita.

Para fazer isso, você precisa transferir — 4x para o lado esquerdo, com mudança de sinal, claro, mas — 3 - Para a direita. Aliás, isso é primeira transformação idêntica de equações. Surpreso? Então, eles não seguiram o link, mas em vão.) Obtemos:

Damos semelhante, consideramos:

O que nos falta felicidade completa? Sim, para que haja um X limpo à esquerda! Cinco fica no caminho. Livre-se dos cinco com segunda transformação idêntica de equações. Ou seja, dividimos ambas as partes da equação por 5. Obtemos uma resposta pronta:

Um exemplo elementar, é claro. Isto é para um aquecimento.) Não está muito claro por que estou aqui transformações idênticas lembrou? OK. Pegamos o touro pelos chifres.) Vamos decidir algo mais impressionante.

Por exemplo, aqui está esta equação:

Por onde começamos? Com x - à esquerda, sem x - à direita? Pode ser assim. Em pequenos passos estrada longa. E você pode imediatamente, de forma universal e poderosa. A menos, é claro, que em seu arsenal existam transformações idênticas de equações.

Faço-lhe uma pergunta fundamental: O que você menos gosta nessa equação?

95 pessoas em 100 responderão: frações ! A resposta está correta. Então vamos nos livrar deles. Então começamos imediatamente com segunda transformação idêntica. O que você precisa para multiplicar a fração à esquerda por para que o denominador seja completamente reduzido? Isso mesmo, 3. E à direita? Por 4. Mas a matemática nos permite multiplicar ambos os lados por o mesmo número. Como saímos? Vamos multiplicar ambos os lados por 12! Aqueles. a um denominador comum. Então os três serão reduzidos, e os quatro. Não esqueça que você precisa multiplicar cada parte inteiramente. Veja como é o primeiro passo:

Observação! Numerador (x+2) peguei entre parênteses! Isso porque ao multiplicar frações, o numerador é multiplicado pelo todo, inteiramente! E agora você pode reduzir frações e reduzir:

Abrindo os parênteses restantes:

Não é um exemplo, mas puro prazer!) Agora lembramos o feitiço das séries mais baixas: com x - para a esquerda, sem x - para a direita! E aplique esta transformação:

E dividimos ambas as partes por 25, ou seja. aplique a segunda transformação novamente:

Isso é tudo. Responda: X=0,16

Tome nota: para trazer a equação confusa original para uma forma agradável, usamos duas (apenas duas!) transformações idênticas- translação esquerda-direita com mudança de sinal e multiplicação-divisão da equação pelo mesmo número. Este é o caminho universal! Vamos trabalhar desta forma algum equações! Absolutamente qualquer. É por isso que continuo repetindo essas transformações idênticas o tempo todo.)

Como você pode ver, o princípio de resolver equações lineares é simples. Pegamos a equação e a simplificamos com a ajuda de transformações idênticas até obtermos a resposta. Os principais problemas aqui estão nos cálculos, e não no princípio da solução.

Mas. Há tantas surpresas no processo de resolução das equações lineares mais elementares que elas podem levar a um forte estupor.) Felizmente, só pode haver duas dessas surpresas. Vamos chamá-los de casos especiais.

Casos especiais na resolução de equações lineares.

Surpreenda primeiro.

Suponha que você encontre uma equação elementar, algo como:

Ligeiramente entediados, transferimos com X para a esquerda, sem X - para a direita. Com uma mudança de sinal, tudo é chinar. Nós temos:

Consideramos e. opa. Nós temos:

Em si, essa igualdade não é censurável. Zero é realmente zero. Mas X se foi! E devemos escrever na resposta, a que x é igual. Caso contrário, a solução não conta, sim.) Beco sem saída?

Calma! Em tais casos duvidosos, as regras mais gerais salvam. Como resolver equações? O que significa resolver uma equação? Isso significa, encontre todos os valores de x que, quando substituídos na equação original, nos darão a igualdade correta.

Mas temos a igualdade correta já ocorrido! 0=0, onde realmente?! Resta descobrir em que x isso é obtido. Quais valores de x podem ser substituídos em original equação se esses x's ainda encolher a zero? Vamos?)

Sim. Xs podem ser substituídos algum! O que você quer. Pelo menos 5, pelo menos 0,05, pelo menos -220. Eles ainda vão encolher. Se você não acredita em mim, você pode verificar.) Substitua quaisquer valores x em original equação e calcule. O tempo todo a verdade pura será obtida: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 e assim por diante.

Aqui está sua resposta: x é qualquer número.

A resposta pode ser escrita em diferentes símbolos matemáticos, a essência não muda. Esta é uma resposta completamente correta e completa.

Surpresa em segundo.

Vamos pegar a mesma equação linear elementar e mudar apenas um número nela. Isto é o que vamos decidir:

Após as mesmas transformações idênticas, obtemos algo intrigante:

Assim. Resolvi uma equação linear, obtive uma estranha igualdade. Matematicamente falando, temos igualdade errada. E falando linguagem simples, isso não é verdade. Delírio. Mas, no entanto, esse absurdo é uma boa razão para decisão certa equações.)

Novamente, pensamos com base em regras gerais. Que x, quando substituído na equação original, nos dará correto igualdade? Sim, nenhum! Não existem tais x. O que quer que você substitua, tudo será reduzido, o absurdo permanecerá.)

Aqui está sua resposta: não há soluções.

Esta também é uma resposta perfeitamente válida. Em matemática, essas respostas ocorrem com frequência.

Assim. Agora, espero, a perda de x no processo de resolução de qualquer equação (não apenas linear) não o incomode em nada. O assunto é familiar.)

Agora que lidamos com todas as armadilhas das equações lineares, faz sentido resolvê-las.

Eles estarão no exame? - Eu ouço a pergunta de pessoas práticas. Eu respondo. NO forma pura- Não. Muito elementar. Mas no GIA, ou ao resolver problemas no exame, você definitivamente os encontrará! Então, mudamos o mouse para a alça e decidimos.

As respostas são dadas em desordem: 2,5; sem soluções; 51; 17.

Ocorrido?! Parabéns! Você tem boas chances nos exames.)

As respostas não correspondem? M-sim. Isso não é agradável. Este não é um tópico que você pode prescindir. Eu recomendo que você visite a Seção 555. É muito detalhada, o que fazer e Como as faça isso para não se confundir na decisão. No exemplo dessas equações.

MAS como resolver equações mais complicado - isso está no próximo tópico.

Se você gosta deste site.

A propósito, tenho mais alguns sites interessantes para você.)

Aqui você pode praticar a resolução de exemplos e descobrir o seu nível. Testes com verificação instantânea. Aprenda com interesse!

E aqui você pode se familiarizar com funções e derivadas.

Resolvendo equações lineares 7º ano

Por soluções de equações lineares use duas regras básicas (propriedades).

Propriedade nº 1
ou
regra de transferência

Quando transferido de uma parte da equação para outra, o termo da equação muda seu sinal para o oposto.

Vejamos a regra de transferência com um exemplo. Suponha que precisamos resolver uma equação linear.

Lembre-se de que qualquer equação tem um lado esquerdo e um lado direito.

Vamos mover o número "3" do lado esquerdo da equação para a direita.

Como o número "3" tinha um sinal "+" no lado esquerdo da equação, significa que em lado direito a equação "3" será transferida com o sinal "−".

Recebido valor numérico"x = 2" é chamado de raiz da equação.

Não se esqueça de anotar a resposta depois de resolver qualquer equação.

Vamos considerar outra equação.

De acordo com a regra de transferência, vamos transferir "4x" do lado esquerdo da equação para o lado direito, mudando o sinal para o oposto.

Mesmo que não haja sinal antes de "4x", entendemos que existe um sinal de "+" antes de "4x".

Agora damos os semelhantes e resolvemos a equação até o final.

Propriedade #2
ou
regra de divisão

Em qualquer equação, você pode dividir os lados esquerdo e direito pelo mesmo número.

Mas você não pode dividir pelo desconhecido!

Vejamos um exemplo de como usar a regra de divisão ao resolver equações lineares.

O número "4", que fica em "x", é chamado de coeficiente numérico da incógnita.

Entre o coeficiente numérico e a incógnita está sempre a ação da multiplicação.

Para resolver a equação, é necessário certificar-se de que em "x" existe um coeficiente "1".

Vamos nos fazer a pergunta: "O que você precisa para dividir" 4 "para
obter "1"?. A resposta é óbvia, você precisa dividir por "4".

Use a regra da divisão e divida os lados esquerdo e direito da equação por "4". Não esqueça que você precisa dividir as partes esquerda e direita.

Usamos a redução de frações e resolvemos a equação linear até o final.

Como resolver uma equação se "x" for negativo

Muitas vezes, nas equações, há uma situação em que há um coeficiente negativo em "x". Como na equação abaixo.

Para resolver essa equação, novamente nos perguntamos: “O que você precisa para dividir “-2” para obter “1”?”. Divida por "-2".

Resolvendo equações lineares simples

Neste vídeo, analisaremos todo um conjunto de equações lineares que são resolvidas usando o mesmo algoritmo - por isso são chamadas de mais simples.

Para começar, vamos definir: o que é uma equação linear e qual delas deve ser chamada de mais simples?

Uma equação linear é aquela em que há apenas uma variável, e apenas no primeiro grau.

A equação mais simples significa a construção:

Todas as outras equações lineares são reduzidas às mais simples usando o algoritmo:

Abra colchetes, se houver;
Mova os termos que contêm uma variável para um lado do sinal de igual e os termos sem variável para o outro;
Traga termos semelhantes à esquerda e à direita do sinal de igual;
Divida a equação resultante pelo coeficiente da variável $x$ .

Claro, esse algoritmo nem sempre ajuda. O fato é que às vezes, depois de todas essas maquinações, o coeficiente da variável $x$ acaba sendo igual a zero. Neste caso, duas opções são possíveis:

A equação não tem nenhuma solução. Por exemplo, quando você obtém algo como $0\cdot x=8$, ou seja, à esquerda é zero e à direita é um número diferente de zero. No vídeo abaixo, veremos várias razões pelas quais essa situação é possível.
A solução são todos os números. O único caso em que isso é possível é quando a equação é reduzida à construção $0\cdot x=0$. É bastante lógico que não importa o $x$ que substituirmos, ainda assim, “zero é igual a zero”, ou seja, igualdade numérica correta.

E agora vamos ver como tudo funciona no exemplo de problemas reais.

Exemplos de resolução de equações

Hoje lidamos com equações lineares, e apenas as mais simples. Em geral, uma equação linear significa qualquer igualdade que contém exatamente uma variável e vai apenas até o primeiro grau.

Tais construções são resolvidas aproximadamente da mesma maneira:

Primeiro de tudo, você precisa abrir os colchetes, se houver (como em nosso último exemplo);
Em seguida, traga semelhantes
Finalmente, isole a variável, ou seja, tudo o que está relacionado com a variável - os termos em que ela está contida - é transferido para um lado, e tudo o que permanece sem ela é transferido para o outro lado.

Então, como regra, você precisa trazer semelhante em cada lado da igualdade resultante e, depois disso, resta apenas dividir pelo coeficiente em "x", e obteremos a resposta final.

Em teoria, isso parece bom e simples, mas na prática, mesmo alunos experientes do ensino médio podem cometer erros ofensivos em equações lineares bastante simples. Normalmente, os erros são cometidos ao abrir parênteses ou ao contar "mais" e "menos".

Além disso, acontece que uma equação linear não tem nenhuma solução, ou então a solução é a reta numérica inteira, ou seja, qualquer número. Analisaremos essas sutilezas na lição de hoje. Mas vamos começar, como você já entendeu, com o mais tarefas simples.

Esquema para resolver equações lineares simples

Para começar, deixe-me mais uma vez escrever todo o esquema para resolver as equações lineares mais simples:

Expanda os parênteses, se houver.
Variáveis isoladas, ou seja, tudo o que contém "x" é transferido para um lado e sem "x" - para o outro.
Apresentamos termos semelhantes.
Dividimos tudo pelo coeficiente em "x".

Obviamente, esse esquema nem sempre funciona, tem certas sutilezas e truques, e agora vamos conhecê-los.

Resolvendo exemplos reais de equações lineares simples

Na primeira etapa, somos obrigados a abrir os colchetes. Mas eles não estão neste exemplo, então pulamos este estágio. Na segunda etapa, precisamos isolar as variáveis. Observação: nós estamos falando apenas sobre termos individuais. Vamos escrever:

Damos termos semelhantes à esquerda e à direita, mas isso já foi feito aqui. Portanto, passamos para o quarto passo: dividir por um fator:

Aqui temos a resposta.

Nesta tarefa, podemos observar os colchetes, então vamos expandi-los:

Tanto à esquerda quanto à direita, vemos aproximadamente a mesma construção, mas vamos agir de acordo com o algoritmo, ou seja. variáveis de sequestro:

Em quais raízes isso funciona? Resposta: para qualquer. Portanto, podemos escrever que $x$ é qualquer número.

A terceira equação linear já é mais interessante:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Existem alguns colchetes aqui, mas eles não são multiplicados por nada, eles apenas ficam na frente deles vários sinais. Vamos decompô-los:

Realizamos o segundo passo já conhecido por nós:

Realizamos a última etapa - dividimos tudo pelo coeficiente em "x":

Coisas para lembrar ao resolver equações lineares

Se ignorarmos tarefas muito simples, gostaria de dizer o seguinte:

Como eu disse acima, nem toda equação linear tem uma solução - às vezes simplesmente não há raízes;
Mesmo que existam raízes, o zero pode entrar entre elas - não há nada de errado com isso.

Zero é o mesmo número que o resto, você não deve de alguma forma discriminá-lo ou assumir que se você obteve zero, então você fez algo errado.

Outra característica está relacionada à expansão dos parênteses. Atenção: quando há um “menos” na frente deles, nós o removemos, mas entre colchetes mudamos os sinais para oposto. E então podemos abri-lo de acordo com algoritmos padrão: obteremos o que vimos nos cálculos acima.

Entendendo isso fato simples evitará que você cometa erros estúpidos e dolorosos no ensino médio quando essas coisas são tidas como certas.

Resolvendo equações lineares complexas

Vamos para mais equações complexas. Agora as construções se tornarão mais complicadas e uma função quadrática aparecerá ao realizar várias transformações. No entanto, você não deve ter medo disso, porque se, de acordo com a intenção do autor, resolvermos uma equação linear, no processo de transformação todos os monômios contendo uma função quadrática serão necessariamente reduzidos.

Obviamente, o primeiro passo é abrir os colchetes. Vamos fazer isso com muito cuidado:

Agora vamos a privacidade:

Obviamente, esta equação não tem soluções, então na resposta escrevemos o seguinte:

Executamos os mesmos passos. Primeiro passo:

Vamos mover tudo com uma variável para a esquerda e sem ela - para a direita:

Obviamente, esta equação linear não tem solução, então escrevemos assim:

ou sem raízes.

Nuances da solução

Ambas as equações estão completamente resolvidas. No exemplo dessas duas expressões, mais uma vez nos certificamos de que mesmo nas equações lineares mais simples, tudo pode não ser tão simples: pode haver um, ou nenhum, ou infinitamente muitos. No nosso caso, consideramos duas equações, em ambas simplesmente não há raízes.

Mas gostaria de chamar sua atenção para outro fato: como trabalhar com colchetes e como expandi-los se houver um sinal de menos na frente deles. Considere esta expressão:

Antes de abrir, você precisa multiplicar tudo por "x". Atenção: multiplique cada termo individual. Dentro há dois termos - respectivamente, dois termos e é multiplicado.

E somente depois que essas transformações aparentemente elementares, mas muito importantes e perigosas forem concluídas, o colchete pode ser aberto do ponto de vista de que há um sinal de menos depois dele. Sim, sim: só agora, quando as transformações são feitas, lembramos que há um sinal de menos na frente dos colchetes, o que significa que tudo para baixo apenas muda de sinal. Ao mesmo tempo, os próprios colchetes desaparecem e, mais importante, o “menos” frontal também desaparece.

Fazemos o mesmo com a segunda equação:

Não é por acaso que presto atenção a esses pequenos e aparentemente insignificantes fatos. Porque resolver equações é sempre uma sequência transformações elementares onde a incapacidade de executar de forma clara e competente passos simples leva ao fato de que estudantes do ensino médio vêm até mim e aprendem a resolver equações tão simples novamente.

Claro, chegará o dia em que você aprimorará essas habilidades para o automatismo. Você não precisa mais realizar tantas transformações a cada vez, você escreverá tudo em uma linha. Mas enquanto você está apenas aprendendo, você precisa escrever cada ação separadamente.

Resolvendo equações lineares ainda mais complexas

O que vamos resolver agora dificilmente pode ser chamado de tarefa mais simples, mas o significado permanece o mesmo.

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21=3\]

Vamos multiplicar todos os elementos da primeira parte:

Vamos fazer um retiro:

Vamos fazer o último passo:

Aqui está a nossa resposta final. E, apesar do fato de que no processo de resolução tivemos coeficientes com função quadrática, no entanto, eles se aniquilaram mutuamente, o que torna a equação exatamente linear, não quadrada.

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Vamos fazer o primeiro passo com cuidado: multiplique cada elemento do primeiro parêntese por cada elemento do segundo. No total, quatro novos termos devem ser obtidos após as transformações:

E agora realize cuidadosamente a multiplicação em cada termo:

Vamos mover os termos com "x" para a esquerda e sem - para a direita:

Aqui estão termos semelhantes:

Recebemos uma resposta definitiva.

A observação mais importante sobre essas duas equações é a seguinte: assim que começamos a multiplicar colchetes em que há um termo maior que ele, isso é feito de acordo com próxima regra: tomamos o primeiro termo do primeiro e multiplicamos com cada elemento do segundo; então pegamos o segundo elemento do primeiro e multiplicamos da mesma forma com cada elemento do segundo. Como resultado, obtemos quatro termos.

Na soma algébrica

No último exemplo, gostaria de lembrar aos alunos o que é soma algébrica. Na matemática clássica, por $1-7$ queremos dizer uma construção simples: subtraímos sete de um. Em álgebra, queremos dizer com isso o seguinte: ao número "um" adicionamos outro número, a saber, "menos sete". Esta soma algébrica difere da soma aritmética usual.

Assim que ao realizar todas as transformações, cada adição e multiplicação, você começar a ver construções semelhantes às descritas acima, você simplesmente não terá problemas em álgebra ao trabalhar com polinômios e equações.

Concluindo, vejamos mais alguns exemplos que serão ainda mais complexos do que os que acabamos de ver e, para resolvê-los, teremos que expandir um pouco nosso algoritmo padrão.

Resolvendo equações com uma fração

Para resolver tais tarefas, mais um passo terá que ser adicionado ao nosso algoritmo. Mas primeiro, vou lembrar nosso algoritmo:

Variáveis separadas.

Infelizmente, esse maravilhoso algoritmo, apesar de toda a sua eficiência, não é totalmente apropriado quando temos frações à nossa frente. E no que veremos a seguir, temos uma fração à esquerda e à direita em ambas as equações.

Como trabalhar neste caso? Sim, é muito simples! Para fazer isso, você precisa adicionar mais uma etapa ao algoritmo, que pode ser executada antes da primeira ação e depois dela, ou seja, livrar-se das frações. Assim, o algoritmo será o seguinte:

Livre-se das frações.
Abra os colchetes.
Traga semelhante.
Divida por um fator.

O que significa "livrar-se de frações"? E por que é possível fazer isso depois e antes da primeira etapa padrão? De fato, no nosso caso, todas as frações são numéricas em termos do denominador, ou seja, em todos os lugares o denominador é apenas um número. Portanto, se multiplicarmos ambas as partes da equação por esse número, nos livraremos das frações.

Vamos nos livrar das frações nesta equação:

Observe: tudo é multiplicado por “quatro” uma vez, ou seja, só porque você tem dois colchetes não significa que você tem que multiplicar cada um deles por "quatro". Vamos escrever:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(-1 \right)\cdot 4\]

Realizamos a reclusão de uma variável:

Realizamos a redução de termos semelhantes:

\[-4x=-1\esquerda| :\left(-4 \right) \right.\]

Obtemos decisão final, passamos para a segunda equação.

Aqui realizamos todas as mesmas ações:

Isso, na verdade, é tudo o que eu queria dizer hoje.

Pontos chave

As principais descobertas são as seguintes:

Conhecer o algoritmo para resolver equações lineares.
Capacidade de abrir colchetes.
Não se preocupe se em algum lugar você tiver funções quadráticas, provavelmente, no processo de novas transformações, eles serão reduzidos.
As raízes nas equações lineares, mesmo as mais simples, são de três tipos: uma única raiz, toda a reta numérica é uma raiz, não há nenhuma raiz.

Espero que esta lição o ajude a dominar um tópico simples, mas muito importante para uma maior compreensão de toda a matemática. Se algo não estiver claro, acesse o site, resolva os exemplos ali apresentados. Fique atento, há muito mais coisas interessantes esperando por você!

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Neste vídeo, analisaremos todo um conjunto de equações lineares que são resolvidas usando o mesmo algoritmo - por isso são chamadas de mais simples.

Para começar, vamos definir: o que é uma equação linear e qual delas deve ser chamada de mais simples?

Uma equação linear é aquela em que há apenas uma variável, e apenas no primeiro grau.

A equação mais simples significa a construção:

Todas as outras equações lineares são reduzidas às mais simples usando o algoritmo:

Abra colchetes, se houver;
Mova os termos que contêm uma variável para um lado do sinal de igual e os termos sem variável para o outro;
Traga termos semelhantes à esquerda e à direita do sinal de igual;
Divida a equação resultante pelo coeficiente da variável $x$ .

A equação não tem nenhuma solução. Por exemplo, quando você obtém algo como $0\cdot x=8$, ou seja, à esquerda é zero e à direita é um número diferente de zero. No vídeo abaixo, veremos várias razões pelas quais essa situação é possível.
A solução são todos os números. O único caso em que isso é possível é quando a equação foi reduzida à construção $0\cdot x=0$. É bastante lógico que não importa o $x$ que substituirmos, ainda assim, “zero é igual a zero”, ou seja, igualdade numérica correta.

E agora vamos ver como tudo funciona no exemplo de problemas reais.

Exemplos de resolução de equações

Hoje lidamos com equações lineares, e apenas as mais simples. Em geral, uma equação linear significa qualquer igualdade que contém exatamente uma variável e vai apenas até o primeiro grau.

Tais construções são resolvidas aproximadamente da mesma maneira:

Antes de tudo, você precisa abrir os parênteses, se houver (como no nosso último exemplo);
Em seguida, traga semelhantes
Finalmente, isole a variável, ou seja, tudo o que está relacionado com a variável - os termos em que ela está contida - é transferido para um lado, e tudo o que permanece sem ela é transferido para o outro lado.

Então, como regra, você precisa trazer semelhante em cada lado da igualdade resultante e, depois disso, resta apenas dividir pelo coeficiente em "x", e obteremos a resposta final.

Esquema para resolver equações lineares simples

Para começar, deixe-me mais uma vez escrever todo o esquema para resolver as equações lineares mais simples:

Expanda os parênteses, se houver.
Variáveis isoladas, ou seja, tudo o que contém "x" é transferido para um lado e sem "x" - para o outro.
Apresentamos termos semelhantes.
Dividimos tudo pelo coeficiente em "x".

Obviamente, esse esquema nem sempre funciona, tem certas sutilezas e truques, e agora vamos conhecê-los.

Resolvendo exemplos reais de equações lineares simples

Tarefa nº 1

Na primeira etapa, somos obrigados a abrir os colchetes. Mas eles não estão neste exemplo, então pulamos esta etapa. Na segunda etapa, precisamos isolar as variáveis. Observação: estamos falando apenas de termos individuais. Vamos escrever:

Damos termos semelhantes à esquerda e à direita, mas isso já foi feito aqui. Portanto, passamos para o quarto passo: dividir por um fator:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Aqui temos a resposta.

Tarefa nº 2

Nesta tarefa, podemos observar os colchetes, então vamos expandi-los:

Tanto à esquerda quanto à direita, vemos aproximadamente a mesma construção, mas vamos agir de acordo com o algoritmo, ou seja. variáveis de sequestro:

Aqui estão alguns como:

Em quais raízes isso funciona? Resposta: para qualquer. Portanto, podemos escrever que $x$ é qualquer número.

Tarefa nº 3

A terceira equação linear já é mais interessante:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Existem vários colchetes aqui, mas eles não são multiplicados por nada, apenas têm sinais diferentes na frente deles. Vamos decompô-los:

Realizamos o segundo passo já conhecido por nós:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Vamos calcular:

Realizamos a última etapa - dividimos tudo pelo coeficiente em "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Coisas para lembrar ao resolver equações lineares

Se ignorarmos tarefas muito simples, gostaria de dizer o seguinte:

Como eu disse acima, nem toda equação linear tem uma solução - às vezes simplesmente não há raízes;
Mesmo que existam raízes, o zero pode entrar entre elas - não há nada de errado com isso.

Zero é o mesmo número que o resto, você não deve de alguma forma discriminá-lo ou assumir que se você obtiver zero, então você fez algo errado.

Compreender este simples fato irá ajudá-lo a evitar cometer erros estúpidos e dolorosos no ensino médio, quando fazer tais ações é um dado adquirido.

Resolvendo equações lineares complexas

Vamos passar para equações mais complexas. Agora as construções se tornarão mais complicadas e uma função quadrática aparecerá ao realizar várias transformações. No entanto, você não deve ter medo disso, porque se, de acordo com a intenção do autor, resolvermos uma equação linear, no processo de transformação todos os monômios contendo uma função quadrática serão necessariamente reduzidos.

Exemplo 1

Obviamente, o primeiro passo é abrir os colchetes. Vamos fazer isso com muito cuidado:

Agora vamos a privacidade:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Aqui estão alguns como:

Obviamente, esta equação não tem soluções, então na resposta escrevemos o seguinte:

\[\variedade \]

ou sem raízes.

Exemplo #2

Executamos os mesmos passos. Primeiro passo:

Vamos mover tudo com uma variável para a esquerda e sem ela - para a direita:

Aqui estão alguns como:

Obviamente, esta equação linear não tem solução, então escrevemos assim:

\[\varnada\],

ou sem raízes.

Nuances da solução

Mas gostaria de chamar sua atenção para outro fato: como trabalhar com colchetes e como expandi-los se houver um sinal de menos na frente deles. Considere esta expressão:

Antes de abrir, você precisa multiplicar tudo por "x". Atenção: multiplique cada termo individual. Dentro há dois termos - respectivamente, dois termos e é multiplicado.

Fazemos o mesmo com a segunda equação:

Não é por acaso que presto atenção a esses pequenos fatos aparentemente insignificantes. Porque resolver equações é sempre uma sequência de transformações elementares, onde a incapacidade de realizar ações simples de forma clara e competente leva ao fato de alunos do ensino médio virem até mim e aprenderem a resolver equações tão simples novamente.

Resolvendo equações lineares ainda mais complexas

O que vamos resolver agora dificilmente pode ser chamado de tarefa mais simples, mas o significado permanece o mesmo.

Tarefa nº 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Vamos multiplicar todos os elementos da primeira parte:

Vamos fazer um retiro:

Aqui estão alguns como:

Vamos fazer o último passo:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Tarefa nº 2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Vamos fazer o primeiro passo com cuidado: multiplique cada elemento do primeiro parêntese por cada elemento do segundo. No total, quatro novos termos devem ser obtidos após as transformações:

E agora realize cuidadosamente a multiplicação em cada termo:

Vamos mover os termos com "x" para a esquerda e sem - para a direita:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Aqui estão termos semelhantes:

Recebemos uma resposta definitiva.

Nuances da solução

A observação mais importante sobre essas duas equações é a seguinte: assim que começamos a multiplicar colchetes em que há mais de um termo, isso é feito de acordo com a seguinte regra: pegamos o primeiro termo do primeiro e multiplicamos com cada elemento do segundo; então pegamos o segundo elemento do primeiro e multiplicamos da mesma forma com cada elemento do segundo. Como resultado, obtemos quatro termos.

Na soma algébrica

Com o último exemplo, gostaria de lembrar aos alunos o que é uma soma algébrica. Na matemática clássica, por $1-7$ queremos dizer uma construção simples: subtraímos sete de um. Em álgebra, queremos dizer com isso o seguinte: ao número "um" adicionamos outro número, a saber, "menos sete". Esta soma algébrica difere da soma aritmética usual.

Concluindo, vejamos mais alguns exemplos que serão ainda mais complexos do que os que acabamos de ver e, para resolvê-los, teremos que expandir um pouco nosso algoritmo padrão.

Resolvendo equações com uma fração

Para resolver tais tarefas, mais um passo terá que ser adicionado ao nosso algoritmo. Mas primeiro, vou lembrar nosso algoritmo:

Abra os colchetes.
Variáveis separadas.
Traga semelhante.
Divida por um fator.

Livre-se das frações.
Abra os colchetes.
Variáveis separadas.
Traga semelhante.
Divida por um fator.

Exemplo 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Vamos nos livrar das frações nesta equação:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot quatro\]

Observe: tudo é multiplicado por “quatro” uma vez, ou seja, só porque você tem dois colchetes não significa que você tem que multiplicar cada um deles por "quatro". Vamos escrever:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Agora vamos abrir:

Realizamos a reclusão de uma variável:

Realizamos a redução de termos semelhantes:

\[-4x=-1\esquerda| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Recebemos a solução final, passamos para a segunda equação.

Exemplo #2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Aqui realizamos todas as mesmas ações:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problema resolvido.

Isso, na verdade, é tudo o que eu queria dizer hoje.

Pontos chave

As principais descobertas são as seguintes:

Conhecer o algoritmo para resolver equações lineares.
Capacidade de abrir colchetes.
Não se preocupe se em algum lugar você tiver funções quadráticas, provavelmente, no processo de outras transformações, elas serão reduzidas.
As raízes nas equações lineares, mesmo as mais simples, são de três tipos: uma única raiz, toda a reta numérica é uma raiz, não há nenhuma raiz.

As equações são uma das tópicos difíceis para assimilação, mas ao mesmo tempo são suficientes ferramenta poderosa para resolver a maioria dos problemas.

As equações são usadas para descrever vários processos fluindo na natureza. As equações são amplamente utilizadas em outras ciências: em economia, física, biologia e química.

NO esta lição vamos tentar entender a essência das equações mais simples, aprender a expressar incógnitas e resolver várias equações. À medida que você aprende novos materiais, as equações se tornam mais complexas, portanto, entender o básico é muito importante.

Habilidades preliminares

Conteúdo da lição

O que é uma equação?

Uma equação é uma igualdade que contém uma variável cujo valor você deseja encontrar. Este valor deve ser tal que, ao ser substituído na equação original, seja obtida a igualdade numérica correta.

Por exemplo, a expressão 2 + 2 = 4 é uma igualdade. Ao calcular o lado esquerdo, a igualdade numérica correta é obtida 4 = 4 .

Mas a igualdade 2 + x= 4 é uma equação porque contém uma variável x, cujo valor pode ser encontrado. O valor deve ser tal que quando este valor for substituído na equação original, a igualdade numérica correta seja obtida.

Em outras palavras, precisamos encontrar um valor onde o sinal de igual justifique sua localização - o lado esquerdo deve ser igual ao lado direito.

Equação 2+ x= 4 é elementar. Valor da variável xé igual ao número 2. Qualquer outro valor não será igual

Diz-se que o número 2 é raiz ou solução da equação 2 + x = 4

Raiz ou solução da equaçãoé o valor da variável em que a equação se torna uma verdadeira igualdade numérica.

Pode haver várias raízes ou nenhuma. resolva a equação significa encontrar suas raízes ou provar que não há raízes.

A variável na equação também é conhecida como desconhecido. Você é livre para chamá-lo como quiser. Estes são sinônimos.

Observação. A frase "resolver a equação" fala por si. Resolver uma equação significa “igualar” uma equação – torná-la balanceada de modo que o lado esquerdo seja igual ao lado direito.

Expresse um em função do outro

O estudo de equações tradicionalmente começa com o aprendizado de expressar um número incluído na igualdade em termos de vários outros. Não vamos quebrar essa tradição e fazer o mesmo.

Considere a seguinte expressão:

8 + 2

Esta expressão é a soma dos números 8 e 2. O valor dada expressãoé igual a 10

8 + 2 = 10

Conseguimos igualdade. Agora você pode expressar qualquer número dessa igualdade em termos de outros números incluídos na mesma igualdade. Por exemplo, vamos expressar o número 2.

Para expressar o número 2, você precisa fazer a pergunta: "o que precisa ser feito com os números 10 e 8 para obter o número 2". É claro que para obter o número 2, você precisa subtrair o número 8 do número 10.

Então nós fazemos. Escrevemos o número 2 e através do sinal de igual dizemos que para obter este número 2, subtraímos o número 8 do número 10:

2 = 10 − 8

Expressamos o número 2 da equação 8 + 2 = 10 . Como você pode ver no exemplo, não há nada complicado nisso.

Ao resolver equações, em particular ao expressar um número em termos de outros, é conveniente substituir o sinal de igual pela palavra " há" . Isso deve ser feito mentalmente, e não na expressão em si.

Assim, expressando o número 2 a partir da igualdade 8 + 2 = 10, obtemos a igualdade 2 = 10 − 8 . Esta equação pode ser lida assim:

2 há 10 − 8

Ou seja, o sinal = substituído pela palavra "é". Além disso, a igualdade 2 = 10 − 8 pode ser traduzida de linguagem matemática para um pleno linguagem humana. Então pode ser lido assim:

Número 2 há diferença entre 10 e 8

Número 2 há a diferença entre o número 10 e o número 8.

Mas nos limitaremos a substituir o sinal de igual pela palavra “é”, e nem sempre faremos isso. Expressões elementares pode ser entendido sem traduzir a linguagem matemática para a linguagem humana.

Vamos retornar a igualdade resultante 2 = 10 − 8 ao seu estado original:

8 + 2 = 10

Desta vez, vamos expressar o número 8. O que deve ser feito com o resto dos números para obter o número 8? Isso mesmo, você precisa subtrair o número 2 do número 10

8 = 10 − 2

Vamos retornar a igualdade resultante 8 = 10 − 2 ao seu estado original:

8 + 2 = 10

Desta vez vamos expressar o número 10. Mas acontece que o dez não precisa ser expresso, pois já está expresso. Basta trocar as partes esquerda e direita, então obtemos o que precisamos:

10 = 8 + 2

Exemplo 2. Considere a igualdade 8 − 2 = 6

Expressamos o número 8 dessa igualdade. Para expressar o número 8, os outros dois números devem ser somados:

8 = 6 + 2

Vamos retornar a igualdade resultante 8 = 6 + 2 ao seu estado original:

8 − 2 = 6

Expressamos o número 2 dessa igualdade. Para expressar o número 2, precisamos subtrair 6 de 8

2 = 8 − 6

Exemplo 3. Considere a equação 3 × 2 = 6

Expresse o número 3. Para expressar o número 3, você precisa dividir 6 por 2

Vamos retornar a igualdade resultante ao seu estado original:

3 x 2 = 6

Vamos expressar o número 2 dessa igualdade. Para expressar o número 2, você precisa dividir 3 por 6

Exemplo 4. Considere a igualdade

Expressamos o número 15 dessa igualdade. Para expressar o número 15, você precisa multiplicar os números 3 e 5

15 = 3 x 5

Vamos retornar a igualdade resultante 15 = 3 × 5 ao seu estado original:

Expressamos o número 5 dessa igualdade. Para expressar o número 5, você precisa dividir 15 por 3

Regras para encontrar incógnitas

Considere várias regras para encontrar incógnitas. Talvez eles sejam familiares para você, mas não custa repeti-los novamente. No futuro, eles podem ser esquecidos, pois aprenderemos a resolver equações sem aplicar essas regras.

Vamos voltar ao primeiro exemplo que vimos em tópico anterior, onde na equação 8 + 2 = 10 era necessário expressar o número 2.

Na equação 8 + 2 = 10, os números 8 e 2 são termos, e o número 10 é a soma.

Para expressar o número 2, fizemos o seguinte:

2 = 10 − 8

Ou seja, subtraia 8 da soma de 10.

Agora imagine que na equação 8 + 2 = 10, em vez do número 2, existe uma variável x

8 + x = 10

Neste caso, a equação 8 + 2 = 10 torna-se a equação 8 + x= 10 e a variável x termo desconhecido

Nossa tarefa é encontrar esse termo desconhecido, ou seja, resolver a equação 8 + x= 10. Para encontrar o termo desconhecido, a seguinte regra é fornecida:

Para encontrar o termo desconhecido, subtraia o termo conhecido da soma.

Que é basicamente o que fizemos quando expressamos os dois na equação 8 + 2 = 10. Para expressar o termo 2, subtraímos outro termo 8 da soma 10

2 = 10 − 8

E agora para encontrar o termo desconhecido x, devemos subtrair o termo conhecido 8 da soma 10:

x = 10 − 8

Se você calcular o lado direito da igualdade resultante, poderá descobrir a que a variável é igual x

x = 2

Resolvemos a equação. Valor da variável x igual a 2. Para verificar o valor de uma variável x enviado para a equação original 8 + x= 10 e substitua por x.É desejável fazer isso com qualquer equação resolvida, pois você não pode ter certeza de que a equação foi resolvida corretamente:

Como resultado

A mesma regra se aplicaria se o termo desconhecido fosse o primeiro número 8.

x + 2 = 10

Nesta equação xé o termo desconhecido, 2 é o termo conhecido, 10 é a soma. Para encontrar o termo desconhecido x, você precisa subtrair o termo conhecido 2 da soma 10

x = 10 − 2

x = 8

Voltemos ao segundo exemplo do tópico anterior, onde na equação 8 − 2 = 6 era necessário expressar o número 8.

Na equação 8 − 2 = 6, o número 8 é o minuendo, o número 2 é o subtraendo, o número 6 é a diferença

Para expressar o número 8, fizemos o seguinte:

8 = 6 + 2

Ou seja, some a diferença de 6 e o 2 subtraído.

Agora imagine que na equação 8 − 2 = 6, em vez do número 8, existe uma variável x

x − 2 = 6

Neste caso, a variável x assume o papel do chamado minuendo desconhecido

Para encontrar o minuendo desconhecido, a seguinte regra é fornecida:

Para encontrar o minuendo desconhecido, você precisa adicionar o subtraendo à diferença.

Que foi o que fizemos quando expressamos o número 8 na equação 8 − 2 = 6. Para expressar o minuendo 8, adicionamos o subtraendo 2 à diferença de 6.

E agora, para encontrar o minuendo desconhecido x, devemos adicionar o subtraendo 2 à diferença 6

x = 6 + 2

Se você calcular o lado direito, poderá descobrir a que a variável é igual x

x = 8

Agora imagine que na equação 8 − 2 = 6, em vez do número 2, existe uma variável x

8 − x = 6

Neste caso, a variável x assume um papel subtraendo desconhecido

Para encontrar o subtraendo desconhecido, a seguinte regra é fornecida:

Para encontrar o subtraendo desconhecido, você precisa subtrair a diferença do minuendo.

Foi o que fizemos quando expressamos o número 2 na equação 8 − 2 = 6. Para expressar o número 2, subtraímos a diferença 6 do 8 reduzido.

E agora, para encontrar o subtraendo desconhecido x, você deve subtrair novamente a diferença 6 do 8 reduzido

x = 8 − 6

Calcule o lado direito e encontre o valor x

x = 2

Vamos voltar ao terceiro exemplo do tópico anterior, onde na equação 3 × 2 = 6 tentamos expressar o número 3.

Na equação 3 × 2 = 6, o número 3 é o multiplicando, o número 2 é o multiplicador, o número 6 é o produto

Para expressar o número 3, fizemos o seguinte:

Ou seja, divida o produto de 6 por um fator de 2.

Agora imagine que na equação 3 × 2 = 6, em vez do número 3, existe uma variável x

x×2=6

Neste caso, a variável x assume um papel multiplicando desconhecido.

Para encontrar o multiplicador desconhecido, a seguinte regra é fornecida:

Encontrar multiplicando desconhecido, você precisa dividir o produto por um fator.

Que foi o que fizemos quando expressamos o número 3 da equação 3 × 2 = 6. Dividimos o produto de 6 por um fator de 2.

E agora para encontrar o multiplicador desconhecido x, você precisa dividir o produto de 6 por um fator de 2.

O cálculo do lado direito permite encontrar o valor da variável x

x = 3

A mesma regra se aplica se a variável x está localizado em vez do multiplicador, não o multiplicando. Imagine que na equação 3 × 2 = 6, em vez do número 2, existe uma variável x.

Neste caso, a variável x assume um papel multiplicador desconhecido. Para encontrar um fator desconhecido, é fornecido o mesmo que para encontrar um multiplicador desconhecido, ou seja, dividindo o produto por um fator conhecido:

Para encontrar o fator desconhecido, você precisa dividir o produto pelo multiplicando.

Que foi o que fizemos quando expressamos o número 2 da equação 3 × 2 = 6. Então, para obter o número 2, dividimos o produto de 6 pelo multiplicando 3.

E agora para encontrar o fator desconhecido x dividimos o produto de 6 pelo multiplicador de 3.

Calcular o lado direito da equação permite descobrir quanto x é igual a

x = 2

O multiplicando e o multiplicador juntos são chamados de fatores. Como as regras para encontrar o multiplicando e o multiplicador são as mesmas, podemos formular regra geral encontrar o fator desconhecido:

Para encontrar o fator desconhecido, você precisa dividir o produto pelo fator conhecido.

Por exemplo, vamos resolver a equação 9 × x= 18. Variável xé um fator desconhecido. Para encontrar esse fator desconhecido, você precisa dividir o produto 18 pelo fator conhecido 9

Vamos resolver a equação x× 3 = 27 . Variável xé um fator desconhecido. Para encontrar esse fator desconhecido, você precisa dividir o produto 27 pelo fator conhecido 3

De volta a quarto exemplo do tópico anterior, onde na igualdade era necessário expressar o número 15. Nesta igualdade, o número 15 é o dividendo, o número 5 é o divisor, o número 3 é o quociente.

Para expressar o número 15, fizemos o seguinte:

15 = 3 x 5

Ou seja, multiplique o quociente de 3 pelo divisor de 5.

Agora imagine que na igualdade, ao invés do número 15, existe uma variável x

Neste caso, a variável x assume um papel dividendo desconhecido.

Para encontrar um dividendo desconhecido, a seguinte regra é fornecida:

Para encontrar o dividendo desconhecido, você precisa multiplicar o quociente pelo divisor.

Que foi o que fizemos quando expressamos o número 15 da igualdade. Para expressar o número 15, multiplicamos o quociente de 3 pelo divisor de 5.

E agora, para encontrar o dividendo desconhecido x, você precisa multiplicar o quociente de 3 pelo divisor de 5

x= 3 × 5

x .

x = 15

Agora imagine que na igualdade, ao invés do número 5, existe uma variável x .

Neste caso, a variável x assume um papel divisor desconhecido .

Para encontrar o divisor desconhecido, a seguinte regra é fornecida:

Que foi o que fizemos quando expressamos o número 5 da igualdade. Para expressar o número 5, dividimos o dividendo 15 pelo quociente 3.

E agora para encontrar o divisor desconhecido x, você precisa dividir o dividendo 15 pelo quociente 3

Vamos calcular o lado direito da igualdade resultante. Então descobrimos o que a variável é igual a x .

x = 5

Então, para encontrar incógnitas, estudamos as seguintes regras:

Para encontrar o termo desconhecido, você precisa subtrair o termo conhecido da soma;
Para encontrar o minuendo desconhecido, você precisa adicionar o subtraendo à diferença;
Para encontrar o subtraendo desconhecido, você precisa subtrair a diferença do minuendo;
Para encontrar o multiplicando desconhecido, você precisa dividir o produto pelo fator;
Para encontrar o fator desconhecido, você precisa dividir o produto pelo multiplicando;
Para encontrar o dividendo desconhecido, você precisa multiplicar o quociente pelo divisor;
Para encontrar um divisor desconhecido, você precisa dividir o dividendo pelo quociente.

Componentes

Componentes que chamaremos de números e variáveis incluídos na igualdade

Assim, os componentes da adição são termos e soma

Os componentes de subtração são minuendo, subtraendo e diferença

Os componentes da multiplicação são multiplicando, fator e trabalhar

Os componentes da divisão são o dividendo, o divisor e o quociente.

Dependendo de quais componentes estamos lidando, as regras correspondentes para encontrar incógnitas serão aplicadas. Estudamos essas regras no tópico anterior. Ao resolver equações, é desejável saber essas regras de cor.

Exemplo 1. Encontre a raiz da equação 45+ x = 60

45 - prazo, xé o termo desconhecido, 60 é a soma. Estamos lidando com componentes de adição. Lembramos que para encontrar o termo desconhecido, você precisa subtrair o termo conhecido da soma:

x = 60 − 45

Calcule o lado direito, obtenha o valor x igual a 15

x = 15

Então a raiz da equação é 45 + x= 60 é igual a 15.

Na maioria das vezes, o termo desconhecido deve ser reduzido a uma forma na qual possa ser expresso.

Exemplo 2. resolva a equação

Aqui, ao contrário do exemplo anterior, o termo desconhecido não pode ser expresso imediatamente, pois contém o coeficiente 2. Nossa tarefa é trazer essa equação para a forma em que seria possível expressar x

Neste exemplo, estamos lidando com os componentes da adição - os termos e a soma. 2 xé o primeiro termo, 4 é o segundo termo, 8 é a soma.

Neste caso, o termo 2 x contém uma variável x. Depois de encontrar o valor da variável x termo 2 x assumirá uma forma diferente. Portanto, o termo 2 x pode ser completamente tomado para o termo desconhecido:

Agora aplicamos a regra para encontrar o termo desconhecido. Subtraia o termo conhecido da soma:

Vamos calcular o lado direito da equação resultante:

Temos uma nova equação. Agora estamos lidando com os componentes da multiplicação: multiplicando, multiplicador e produto. 2 - multiplicador, x- multiplicador, 4 - produto

Ao mesmo tempo, a variável x não é apenas um fator, mas um fator desconhecido

Para encontrar esse fator desconhecido, você precisa dividir o produto pelo multiplicando:

Calcule o lado direito, obtenha o valor da variável x

Para verificar a raiz encontrada, envie-a para a equação original e substitua x

Exemplo 3. resolva a equação 3x+ 9x+ 16x= 56

Expresse o desconhecido xé proibido. Primeiro você precisa trazer essa equação para a forma em que ela pode ser expressa.

Apresentamos no lado esquerdo desta equação:

Estamos lidando com os componentes da multiplicação. 28 - multiplicador, x- multiplicador, 56 - produto. Em que xé um fator desconhecido. Para encontrar o fator desconhecido, você precisa dividir o produto pelo multiplicando:

Daqui xé 2

Equações equivalentes

No exemplo anterior, ao resolver a equação 3x + 9x + 16x = 56 , fornecemos termos semelhantes no lado esquerdo da equação. O resultado é uma nova equação 28 x= 56. equação antiga 3x + 9x + 16x = 56 e a nova equação resultante 28 x= 56 chamados equações equivalentes porque suas raízes são as mesmas.

As equações são ditas equivalentes se suas raízes são iguais.

Vamos verificar. Para a equação 3x+ 9x+ 16x= 56 encontramos a raiz igual a 2 . Substitua essa raiz primeiro na equação 3x+ 9x+ 16x= 56 , e então na Equação 28 x= 56 , que resultou da redução de termos semelhantes do lado esquerdo da equação anterior. Devemos obter as igualdades numéricas corretas

De acordo com a ordem das operações, a multiplicação é realizada primeiro:

Substitua a raiz de 2 na segunda equação 28 x= 56

Vemos que ambas as equações têm as mesmas raízes. Então as equações 3x+ 9x+ 16x= 6 e 28 x= 56 são de fato equivalentes.

Para resolver a equação 3x+ 9x+ 16x= 56 usamos um dos — redução de termos semelhantes. A transformação de identidade correta da equação nos permitiu obter equação equivalente 28x= 56 , que é mais fácil de resolver.

De transformações idênticas para este momento só podemos reduzir frações, trazer termos semelhantes, retirar fator comum fora dos colchetes e abra os colchetes. Existem outras transformações das quais você deve estar ciente. Mas pelo ideia geral sobre transformações idênticas de equações, os tópicos que estudamos são suficientes.

Considere algumas transformações que nos permitem obter uma equação equivalente

Se você adicionar o mesmo número a ambos os lados da equação, obterá uma equação equivalente à dada.

e da mesma forma:

Se o mesmo número for subtraído de ambos os lados da equação, então uma equação equivalente à dada será obtida.

Em outras palavras, a raiz da equação não muda se o mesmo número for adicionado (ou subtraído de ambos os lados) da equação.

Exemplo 1. resolva a equação

Subtraia o número 10 de ambos os lados da equação

Obteve a Equação 5 x= 10. Estamos lidando com os componentes da multiplicação. Para encontrar o fator desconhecido x, você precisa dividir o produto de 10 pelo fator conhecido 5.

e substituir em vez x valor encontrado 2

Conseguimos o número correto. Então a equação está correta.

Resolvendo a equação subtraímos o número 10 de ambos os lados da equação. O resultado é uma equação equivalente. A raiz desta equação, como as equações também é igual a 2

Exemplo 2. Resolva a Equação 4( x+ 3) = 16

Subtraia o número 12 de ambos os lados da equação

Lado esquerdo será 4 x, e do lado direito o número 4

Obteve a Equação 4 x= 4. Estamos lidando com os componentes da multiplicação. Para encontrar o fator desconhecido x, você precisa dividir o produto 4 pelo fator conhecido 4

Vamos voltar para a equação original 4( x+ 3) = 16 e substitua x valor encontrado 1

Conseguimos o número correto. Então a equação está correta.

Resolvendo a equação 4( x+ 3) = 16 subtraímos o número 12 de ambos os lados da equação. Como resultado, obtivemos uma equação equivalente 4 x= 4. A raiz desta equação, bem como as equações 4( x+ 3) = 16 também é igual a 1

Exemplo 3. resolva a equação

Vamos expandir os colchetes no lado esquerdo da equação:

Vamos adicionar o número 8 a ambos os lados da equação

Apresentamos termos semelhantes em ambas as partes da equação:

Lado esquerdo será 2 x, e do lado direito o número 9

Na equação 2 resultante x= 9 expressamos o termo desconhecido x

De volta à equação original e substituir em vez x valor encontrado 4,5

Conseguimos o número correto. Então a equação está correta.

Resolvendo a equação adicionamos o número 8 a ambos os lados da equação e, como resultado, obtivemos uma equação equivalente. A raiz desta equação, como as equações também é igual a 4,5

A próxima regra, que permite obter uma equação equivalente, é a seguinte

Se na equação transferimos o termo de uma parte para outra, mudando seu sinal, obtemos uma equação equivalente à dada.

Ou seja, a raiz da equação não mudará se transferirmos o termo de uma parte da equação para outra alterando seu sinal. Esta propriedade é uma das mais importantes e uma das mais utilizadas na resolução de equações.

Considere a seguinte equação:

A raiz desta equação é 2. Substitua em vez de x esta raiz e verifique se a igualdade numérica correta é obtida

Acontece a igualdade correta. Então o número 2 é realmente a raiz da equação.

Agora vamos tentar experimentar os termos desta equação, transferindo-os de uma parte para outra, mudando de sinal.

Por exemplo, o termo 3 x localizado no lado esquerdo da equação. Vamos movê-lo para o lado direito, mudando o sinal para o contrário:

Acabou a equação 12 = 9x − 3x . do lado direito desta equação:

xé um fator desconhecido. Vamos encontrar este fator conhecido:

Daqui x= 2. Como você pode ver, a raiz da equação não mudou. Então as equações 12 + 3 x = 9x e 12 = 9x − 3x são equivalentes.

Na verdade, dada transformaçãoé um método simplificado da transformação anterior, onde o mesmo número foi adicionado (ou subtraído) a ambos os lados da equação.

Dissemos que na equação 12 + 3 x = 9x termo 3 x foi movido para o lado direito, alterando o sinal. Na realidade, aconteceu o seguinte: o termo 3 foi subtraído de ambos os lados da equação x

Em seguida, termos semelhantes foram dados no lado esquerdo e a equação foi obtida 12 = 9x − 3x. Em seguida, termos semelhantes foram dados novamente, mas do lado direito, e a equação 12 = 6 foi obtida x.

Mas a chamada "transferência" é mais conveniente para tais equações, razão pela qual se tornou tão difundida. Ao resolver equações, muitas vezes usaremos essa transformação específica.

As equações 12 + 3 também são equivalentes x= 9x e 3x- 9x= −12 . Desta vez na equação 12 + 3 x= 9x o termo 12 foi movido para o lado direito e o termo 9 x Para a esquerda. Não se deve esquecer que os sinais destes termos foram alterados durante a transferência

A próxima regra, que permite obter uma equação equivalente, é a seguinte:

Se ambas as partes da equação forem multiplicadas ou divididas pelo mesmo número que não é igual a zero, então uma equação equivalente à dada será obtida.

Em outras palavras, as raízes de uma equação não mudam se ambos os lados forem multiplicados ou divididos pelo mesmo número. Esta ação é frequentemente usada quando você precisa resolver uma equação contendo expressões fracionárias.

Primeiro, considere exemplos em que ambos os lados da equação serão multiplicados pelo mesmo número.

Exemplo 1. resolva a equação

Ao resolver equações contendo expressões fracionárias, primeiro é costume simplificar essa equação.

Neste caso, estamos lidando apenas com essa equação. Para simplificar esta equação, ambos os lados podem ser multiplicados por 8:

Lembramos que para , você precisa multiplicar o numerador de uma dada fração por esse número. Temos duas frações e cada uma delas é multiplicada pelo número 8. Nossa tarefa é multiplicar os numeradores das frações por esse número 8

Agora acontece o mais interessante. Os numeradores e denominadores de ambas as frações contêm um fator de 8, que pode ser reduzido por 8. Isso nos permitirá livrar-nos da expressão fracionária:

Como resultado, a equação mais simples permanece

Bem, é fácil adivinhar que a raiz desta equação é 4

x valor encontrado 4

Acontece a igualdade numérica correta. Então a equação está correta.

Ao resolver esta equação, multiplicamos ambas as partes por 8. Como resultado, obtivemos a equação. A raiz desta equação, como as equações, é 4. Então essas equações são equivalentes.

O multiplicador pelo qual ambas as partes da equação são multiplicadas geralmente é escrito antes da parte da equação, e não depois dela. Então, resolvendo a equação, multiplicamos ambas as partes por um fator de 8 e obtivemos a seguinte entrada:

A partir disso, a raiz da equação não mudou, mas se tivéssemos feito isso na escola, teríamos sido notados, pois em álgebra é costume escrever o fator antes da expressão com a qual é multiplicado. Portanto, multiplicando ambos os lados da equação por um fator de 8 é desejável reescrever da seguinte forma:

Exemplo 2. resolva a equação

No lado esquerdo, os fatores 15 podem ser reduzidos em 15, e no lado direito, os fatores 15 e 5 podem ser reduzidos em 5

Vamos abrir os colchetes do lado direito da equação:

Vamos mover o termo x do lado esquerdo da equação para o lado direito mudando o sinal. E o termo 15 do lado direito da equação será transferido para o lado esquerdo, mudando novamente o sinal:

Trazemos termos semelhantes em ambas as partes, obtemos

Estamos lidando com os componentes da multiplicação. Variável x

De volta à equação original e substituir em vez x valor encontrado 5

Acontece a igualdade numérica correta. Então a equação está correta. Ao resolver esta equação, multiplicamos ambos os lados por 15. Além disso, realizando transformações idênticas, obtivemos a equação 10 = 2 x. A raiz desta equação, como as equações igual a 5. Então essas equações são equivalentes.

Exemplo 3. resolva a equação

No lado esquerdo, dois triplos podem ser reduzidos, e o lado direito será igual a 18

A equação mais simples permanece. Estamos lidando com os componentes da multiplicação. Variável xé um fator desconhecido. Vamos encontrar este fator conhecido:

Vamos voltar à equação original e substituir em vez de x valor encontrado 9

Acontece a igualdade numérica correta. Então a equação está correta.

Exemplo 4. resolva a equação

Multiplique os dois lados da equação por 6

Abra os colchetes do lado esquerdo da equação. No lado direito, o fator 6 pode ser elevado ao numerador:

Reduzimos em ambas as partes das equações o que pode ser reduzido:

Vamos reescrever o que nos resta:

Usamos a transferência de termos. Termos contendo o desconhecido x, agrupamos no lado esquerdo da equação, e os termos livres de incógnitas - no lado direito:

Apresentamos termos semelhantes em ambas as partes:

Agora encontre o valor variável x. Para fazer isso, dividimos o produto 28 pelo fator conhecido 7

Daqui x= 4.

De volta à equação original e substituir em vez x valor encontrado 4

Descobriu-se a igualdade numérica correta. Então a equação está correta.

Exemplo 5. resolva a equação

Vamos abrir os colchetes em ambas as partes da equação sempre que possível:

Multiplique os dois lados da equação por 15

Vamos abrir os colchetes em ambas as partes da equação:

Vamos reduzir em ambas as partes da equação, o que pode ser reduzido:

Vamos reescrever o que nos resta:

Vamos abrir os colchetes sempre que possível:

Usamos a transferência de termos. Os termos que contêm a incógnita são agrupados no lado esquerdo da equação e os termos livres de incógnitas são agrupados no lado direito. Não esqueça que durante a transferência, os termos mudam seus sinais para o oposto:

Apresentamos termos semelhantes em ambas as partes da equação:

Vamos encontrar o valor x

Na resposta resultante, você pode selecionar a parte inteira:

Vamos voltar à equação original e substituir em vez de x valor encontrado

Acaba por ser uma expressão bastante complicada. Vamos usar variáveis. Colocamos o lado esquerdo da igualdade em uma variável UMA, e o lado direito da igualdade em uma variável B

Nossa tarefa é garantir que o lado esquerdo seja igual ao lado direito. Em outras palavras, prove a igualdade A = B

Encontre o valor da expressão na variável A.

Valor da variável MASé igual a . Agora vamos encontrar o valor da variável B. Ou seja, o valor do lado direito da nossa igualdade. Se for igual a , então a equação será resolvida corretamente

Vemos que o valor da variável B, assim como o valor da variável A é . Isso significa que o lado esquerdo é igual ao lado direito. A partir disso, concluímos que a equação está resolvida corretamente.

Agora vamos tentar não multiplicar ambos os lados da equação pelo mesmo número, mas dividir.

Considere a equação 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 . Resolvemos da maneira usual: agrupamos os termos contendo incógnitas no lado esquerdo da equação e os termos sem incógnitas no lado direito. Além disso, realizando as transformações idênticas conhecidas, encontramos o valor x

Substitua o valor encontrado 2 em vez de x na equação original:

Agora vamos tentar separar todos os termos da equação 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 por algum número. Notamos que todos os termos desta equação têm um fator comum 2. Dividimos cada termo por ele:

Vamos reduzir em cada termo:

Vamos reescrever o que nos resta:

Resolvemos esta equação usando as transformações idênticas conhecidas:

Temos a raiz 2 . Então as equações 15x+ 7x+ 7 = 35x- 20x+ 21 e 30x+ 14x+ 14 = 70x− 40x+ 42 são equivalentes.

Dividir ambos os lados da equação pelo mesmo número permite liberar a incógnita do coeficiente. No exemplo anterior, quando obtivemos a equação 7 x= 14 , precisávamos dividir o produto 14 pelo fator conhecido 7. Mas se liberássemos a incógnita do coeficiente 7 do lado esquerdo, a raiz seria encontrada imediatamente. Para isso, bastava dividir as duas partes por 7

Também usaremos esse método com frequência.

Multiplicar por menos um

Se ambos os lados da equação são multiplicados por menos um, então uma equação equivalente à dada será obtida.

Esta regra decorre do fato de que ao multiplicar (ou dividir) ambas as partes da equação pelo mesmo número, a raiz desta equação não muda. Isso significa que a raiz não mudará se ambas as partes forem multiplicadas por -1.

Esta regra permite alterar os sinais de todos os componentes incluídos na equação. Para que serve? Novamente, para obter uma equação equivalente que seja mais fácil de resolver.

Considere a equação. o que é igual a raiz esta equação?

Vamos adicionar o número 5 a ambos os lados da equação

Aqui estão termos semelhantes:

E agora vamos lembrar sobre. Qual é o lado esquerdo da equação. Este é o produto de menos um e a variável x

Ou seja, o menos na frente da variável x não se refere à própria variável x, mas para a unidade, que não vemos, pois é costume não anotar o coeficiente 1. Isso significa que a equação realmente se parece com isso:

Estamos lidando com os componentes da multiplicação. Encontrar X, você precisa dividir o produto −5 pelo fator conhecido −1 .

ou divida ambos os lados da equação por -1, o que é ainda mais fácil

Então a raiz da equação é 5. Para verificar, substituímos na equação original. Não esqueça que na equação original, o menos na frente da variável x refere-se a uma unidade invisível

Descobriu-se a igualdade numérica correta. Então a equação está correta.

Agora vamos tentar multiplicar ambos os lados da equação por menos um:

Após abrir os colchetes, a expressão é formada do lado esquerdo, e o lado direito será igual a 10

A raiz desta equação, como a equação, é 5

Portanto, as equações são equivalentes.

Exemplo 2. resolva a equação

Nesta equação, todos os componentes são negativos. É mais conveniente trabalhar com componentes positivos do que com negativos, então vamos mudar os sinais de todos os componentes incluídos na equação. Para fazer isso, multiplique ambos os lados desta equação por -1.

É claro que depois de multiplicar por -1, qualquer número mudará seu sinal para o oposto. Portanto, o próprio procedimento de multiplicar por -1 e abrir os colchetes não é descrito em detalhes, mas os componentes da equação com sinais opostos são imediatamente escritos.

Então, multiplicando uma equação por -1 pode ser escrito em detalhes como segue:

ou você pode apenas alterar os sinais de todos os componentes:

Acontecerá o mesmo, mas a diferença será que economizaremos tempo.

Então, multiplicando ambos os lados da equação por -1, obtemos a equação. Vamos resolver esta equação. Subtraia o número 4 de ambas as partes e divida ambas as partes por 3

Quando a raiz é encontrada, a variável geralmente é escrita no lado esquerdo e seu valor no lado direito, o que fizemos.

Exemplo 3. resolva a equação

Multiplique ambos os lados da equação por -1. Então todos os componentes mudarão seus sinais para opostos:

Subtraia 2 de ambos os lados da equação resultante x e adicione termos semelhantes:

Adicionamos a unidade a ambas as partes da equação e fornecemos termos semelhantes:

Equivale a Zero

Recentemente, aprendemos que se em uma equação transferimos um termo de uma parte para outra mudando seu sinal, obtemos uma equação equivalente à dada.

E o que acontecerá se transferirmos de uma parte para outra não um termo, mas todos os termos? Isso mesmo, na parte de onde foram retirados todos os termos, o zero permanecerá. Em outras palavras, não sobrará nada.

Tomemos a equação como exemplo. Resolvemos esta equação, como de costume - agrupamos os termos contendo incógnitas em uma parte e deixamos os termos numéricos livres de incógnitas na outra. Além disso, realizando as transformações idênticas conhecidas, encontramos o valor da variável x

Agora vamos tentar resolver a mesma equação igualando todos os seus componentes a zero. Para fazer isso, transferimos todos os termos do lado direito para o esquerdo, alterando os sinais:

Aqui estão os termos semelhantes no lado esquerdo:

Vamos adicionar 77 a ambas as partes e dividir ambas as partes por 7

Uma alternativa às regras para encontrar incógnitas

Obviamente, conhecendo as transformações idênticas de equações, não se pode memorizar as regras para encontrar incógnitas.

Por exemplo, para encontrar a incógnita na equação, dividimos o produto 10 pelo fator conhecido 2

Mas se na equação ambas as partes forem divididas por 2, a raiz é imediatamente encontrada. No lado esquerdo da equação, o fator 2 no numerador e o fator 2 no denominador serão reduzidos em 2. E o lado direito será igual a 5

Resolvemos equações da forma expressando o termo desconhecido:

Mas você pode usar as transformações idênticas que estudamos hoje. Na equação, o termo 4 pode ser movido para o lado direito alterando o sinal:

No lado esquerdo da equação, dois dois serão reduzidos. O lado direito será igual a 2. Portanto .

Ou você pode subtrair 4 de ambos os lados da equação e obter o seguinte:

No caso de equações da forma, é mais conveniente dividir o produto por um fator conhecido. Vamos comparar as duas soluções:

A primeira solução é muito mais curta e organizada. A segunda solução pode ser significativamente reduzida se você fizer a divisão em sua cabeça.

No entanto, você precisa conhecer os dois métodos e só então usar o que mais gostar.

Quando existem várias raízes

Uma equação pode ter múltiplas raízes. Por exemplo equação x(x + 9) = 0 tem duas raízes: 0 e −9 .

Na equação x(x + 9) = 0 era necessário encontrar tal valor x para o qual o lado esquerdo seria igual a zero. O lado esquerdo desta equação contém as expressões x e (x + 9), que são fatores. Pelas leis do produto, sabemos que o produto é igual a zero se pelo menos um dos fatores for igual a zero (o primeiro fator ou o segundo).

Ou seja, na equação x(x + 9) = 0 igualdade será alcançada se x será zero ou (x + 9) será nulo.

x= 0 ou x + 9 = 0

Igualando ambas as expressões a zero, podemos encontrar as raízes da equação x(x + 9) = 0. A primeira raiz, como pode ser visto no exemplo, foi encontrada imediatamente. Para encontrar a segunda raiz, você precisa resolver equação elementar x+ 9 = 0 . É fácil adivinhar que a raiz desta equação é -9. A verificação mostra que a raiz está correta:

−9 + 9 = 0

Exemplo 2. resolva a equação

Esta equação tem duas raízes: 1 e 2. O lado esquerdo da equação é o produto de expressões ( x− 1) e ( x- 2) . E o produto é igual a zero se pelo menos um dos fatores for igual a zero (ou o fator ( x− 1) ou fator ( x − 2) ).

Vamos encontrá-lo x em que as expressões ( x− 1) ou ( x− 2) desaparecer:

Substituímos os valores encontrados por sua vez na equação original e garantimos que com esses valores o lado esquerdo seja igual a zero:

Quando existem infinitas raízes

Uma equação pode ter infinitas raízes. Ou seja, substituindo qualquer número em tal equação, obtemos a igualdade numérica correta.

Exemplo 1. resolva a equação

A raiz desta equação é qualquer número. Se você abrir os colchetes no lado esquerdo da equação e trazer termos semelhantes, obterá a igualdade 14 \u003d 14. Essa igualdade será obtida para qualquer x

Exemplo 2. resolva a equação

A raiz desta equação é qualquer número. Se você abrir os colchetes no lado esquerdo da equação, você obtém a igualdade 10x + 12 = 10x + 12. Essa igualdade será obtida para qualquer x

Quando não há raízes

Acontece também que a equação não tem solução alguma, ou seja, não tem raízes. Por exemplo, a equação não tem raízes, porque para qualquer valor x, o lado esquerdo da equação não será igual ao lado direito. Por exemplo, deixe . Então a equação terá a seguinte forma

Exemplo 2. resolva a equação

Vamos expandir os colchetes no lado esquerdo da equação:

Aqui estão termos semelhantes:

Vemos que o lado esquerdo não é igual ao lado direito. E assim será para qualquer valor y. Por exemplo, deixe y = 3 .

Equações de letras

Uma equação pode conter não apenas números com variáveis, mas também letras.

Por exemplo, a fórmula para encontrar a velocidade é uma equação literal:

Esta equação descreve a velocidade do corpo em movimento uniformemente acelerado.

Uma habilidade útil é a capacidade de expressar qualquer componente incluído em uma equação de letras. Por exemplo, para determinar a distância de uma equação, você precisa expressar a variável s .

Multiplique os dois lados da equação por t

Variáveis à direita t Reduzir por t

Na equação resultante, as partes esquerda e direita são trocadas:

Obtivemos a fórmula para encontrar a distância, que estudamos anteriormente.

Vamos tentar determinar o tempo a partir da equação. Para fazer isso, você precisa expressar a variável t .

Multiplique os dois lados da equação por t

Variáveis à direita t Reduzir por t e reescrever o que nos resta:

Na equação resultante v × t = s dividir as duas partes em v

Variáveis à esquerda v Reduzir por v e reescrever o que nos resta:

Obtivemos a fórmula para determinar o tempo, que estudamos anteriormente.

Suponha que a velocidade do trem seja 50 km/h

v= 50km/h

E a distância é de 100 km

s= 100km

Então a carta terá a seguinte forma

A partir desta equação você pode encontrar o tempo. Para fazer isso, você precisa ser capaz de expressar a variável t. Você pode usar a regra para encontrar um divisor desconhecido dividindo o dividendo pelo quociente e assim determinar o valor da variável t

ou você pode usar transformações idênticas. Primeiro multiplique ambos os lados da equação por t

Depois divida as duas partes por 50

Exemplo 2 x

Subtrair de ambos os lados da equação uma

Divida os dois lados da equação por b

a + bx = c, então teremos solução chave na mão. Será o suficiente para substituí-lo valores desejados. Aqueles valores que serão substituídos por letras a, b, c chamado parâmetros. E equações da forma a + bx = c chamado equação com parâmetros. Dependendo dos parâmetros, a raiz mudará.

Resolva a equação 2 + 4 x= 10. Parece uma equação literal a + bx = c. Em vez de realizar transformações idênticas, podemos usar uma solução pronta. Vamos comparar as duas soluções:

Vemos que a segunda solução é muito mais simples e curta.

Para uma solução completa, você precisa fazer uma pequena observação. Parâmetro b não deve ser zero (b ≠ 0), pois a divisão por zero não é permitida.

Exemplo 3. Dada uma equação literal. Expresse desta equação x

Vamos abrir os colchetes em ambas as partes da equação

Usamos a transferência de termos. Parâmetros que contêm uma variável x, agrupamos no lado esquerdo da equação, e os parâmetros livres dessa variável - no lado direito.

No lado esquerdo, tiramos o fator x

Divida ambas as partes em uma expressão a-b

No lado esquerdo, o numerador e o denominador podem ser reduzidos por a-b. Então a variável é finalmente expressa x

Agora, se encontrarmos uma equação da forma a(x − c) = b(x + d), então teremos uma solução pronta. Será o suficiente para substituir os valores necessários nele.

Suponha que nos seja dada uma equação 4(x- 3) = 2(x+ 4) . Parece uma equação a(x − c) = b(x + d). Resolvemos de duas maneiras: usando transformações idênticas e usando uma solução pronta:

Por conveniência, extraímos da equação 4(x- 3) = 2(x+ 4) valores de parâmetro uma, b, c, d . Isso nos permitirá não cometer erros ao substituir:

Como no exemplo anterior, o denominador aqui não deve ser igual a zero ( a - b ≠ 0). Se encontrarmos uma equação da forma a(x − c) = b(x + d) em que os parâmetros uma e b são iguais, podemos dizer sem resolvê-la que esta equação não tem raízes, pois a diferença mesmos números igual a zero.

Por exemplo, a equação 2(x − 3) = 2(x + 4)é uma equação da forma a(x − c) = b(x + d). Na equação 2(x − 3) = 2(x + 4) opções uma e b o mesmo. Se começarmos a resolvê-lo, chegaremos à conclusão de que o lado esquerdo não será igual ao lado direito:

Exemplo 4. Dada uma equação literal. Expresse desta equação x

Trazemos o lado esquerdo da equação para um denominador comum:

Multiplique os dois lados por uma

No lado esquerdo x tire-o dos parênteses

Dividimos ambas as partes pela expressão (1 − uma)

Equações lineares com uma incógnita

As equações consideradas nesta lição são chamadas equações lineares de primeiro grau com uma incógnita.

Se a equação é dada no primeiro grau, não contém divisão pela incógnita e também não contém raízes da incógnita, então ela pode ser chamada de linear. Ainda não estudamos graus e raízes, então para não complicar nossas vidas, vamos entender a palavra “linear” como “simples”.

A maioria das equações resolvidas nesta lição acabou sendo reduzida à equação mais simples em que o produto tinha que ser dividido por um fator conhecido. Por exemplo, a equação 2( x+ 3) = 16 . Vamos resolver.

Vamos abrir os colchetes do lado esquerdo da equação, temos 2 x+ 6 = 16. Vamos mover o termo 6 para o lado direito mudando o sinal. Então obtemos 2 x= 16 − 6. Calcule o lado direito, obtemos 2 x= 10. Para encontrar x, dividimos o produto 10 pelo fator conhecido 2. Portanto x = 5.

Equação 2( x+ 3) = 16 é linear. Reduziu para a equação 2 x= 10 , para encontrar a raiz da qual foi necessário dividir o produto por um fator conhecido. Essa equação simples é chamada equação linear do primeiro grau com uma incógnita na forma canônica. A palavra "canônico" é sinônimo das palavras "simples" ou "normal".

Uma equação linear de primeiro grau com uma incógnita na forma canônica é chamada de equação da forma ax = b.

Nossa Equação 2 x= 10 é uma equação linear de primeiro grau com uma incógnita na forma canônica. Esta equação tem o primeiro grau, uma incógnita, não contém divisão pela incógnita e não contém raízes da incógnita, e é apresentada na forma canônica, ou seja, na forma mais simples em que é fácil determinar o valor x. Em vez de parâmetros uma e b nossa equação contém os números 2 e 10. Mas uma equação semelhante pode conter outros números: positivo, negativo ou igual a zero.

Se em uma equação linear uma= 0 e b= 0 , então a equação tem infinitas raízes. Com efeito, se umaé zero e b igual a zero, então a equação linear machado= b toma a forma 0 x= 0. Para qualquer valor x o lado esquerdo será igual ao lado direito.

Se em uma equação linear uma= 0 e b≠ 0, então a equação não tem raízes. Com efeito, se umaé zero e b igual a algum número zero, diga o número 5, então a equação ax=b toma a forma 0 x= 5. O lado esquerdo será zero e o lado direito cinco. E zero não é igual a cinco.

Se em uma equação linear uma≠ 0 e bé igual a qualquer número, então a equação tem uma raiz. É determinado dividindo o parâmetro b por parâmetro uma

Com efeito, se umaé igual a algum número diferente de zero, digamos o número 3, e b for igual a algum número, digamos o número 6, então a equação terá a forma .
Daqui.

Existe outra forma de escrever uma equação linear de primeiro grau com uma incógnita. Se parece com isso: ax - b= 0. Esta é a mesma equação que ax=b

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Por soluções de equações lineares use duas regras básicas (propriedades).

Propriedade nº 1
ou
regra de transferência

Quando transferido de uma parte da equação para outra, o termo da equação muda seu sinal para o oposto.

Vejamos a regra de transferência com um exemplo. Suponha que precisamos resolver uma equação linear.

Lembre-se de que qualquer equação tem um lado esquerdo e um lado direito.

Vamos mover o número "3" do lado esquerdo da equação para a direita.

Como o número “3” tinha um sinal “+” no lado esquerdo da equação, significa que o “3” será transferido para o lado direito da equação com o sinal “-”.

O valor numérico resultante " x \u003d 2 " é chamado de raiz da equação.

Não se esqueça de anotar a resposta depois de resolver qualquer equação.

Vamos considerar outra equação.

De acordo com a regra de transferência, vamos transferir "4x" do lado esquerdo da equação para o lado direito, mudando o sinal para o oposto.

Mesmo que não haja sinal antes de "4x", entendemos que existe um sinal de "+" antes de "4x".

Agora damos os semelhantes e resolvemos a equação até o final.

Propriedade #2
ou
regra de divisão

Em qualquer equação, você pode dividir os lados esquerdo e direito pelo mesmo número.

Mas você não pode dividir pelo desconhecido!

Vejamos um exemplo de como usar a regra de divisão ao resolver equações lineares.

O número "4", que fica em "x", é chamado de coeficiente numérico da incógnita.

Entre o coeficiente numérico e a incógnita está sempre a ação da multiplicação.

Para resolver a equação, é necessário certificar-se de que em "x" existe um coeficiente "1".

Vamos nos fazer a pergunta: "O que você precisa para dividir" 4 "para
obter "1"?. A resposta é óbvia, você precisa dividir por "4".

Use a regra da divisão e divida os lados esquerdo e direito da equação por "4". Não esqueça que você precisa dividir as partes esquerda e direita.

Usamos a redução de frações e resolvemos a equação linear até o final.

Como resolver uma equação se "x" for negativo

Muitas vezes, nas equações, há uma situação em que há um coeficiente negativo em "x". Como na equação abaixo.

Para resolver essa equação, novamente nos perguntamos: “O que você precisa para dividir “-2” para obter “1”?”. Divida por "-2".

Equações lineares. Primeiro nível.

Você quer testar sua força e descobrir o resultado de quão pronto você está para o Exame Estadual Unificado ou o OGE?

1. Equação linear

isto equação algébrica, qual deles grau completo de seus polinômios constituintes é igual.

2. Equação linear com uma variável parece:

Onde e são quaisquer números;

3. Equação linear com duas variáveis parece:

Onde, e são quaisquer números.

4. Transformações de identidade

Para determinar se a equação é linear ou não, é necessário fazer transformações idênticas:

mover termos semelhantes para a esquerda/direita, não esquecendo de mudar o sinal;
multiplique/divida ambos os lados da equação pelo mesmo número.

O que são "equações lineares"

ou em oral- três amigos receberam maçãs cada, com base no fato de que Vasya tem maçãs no total.

E agora você decidiu equação linear
Agora vamos dar a este termo uma definição matemática.

Equação linear – é uma equação algébrica cujo grau total de seus polinômios constituintes é. Se parece com isso:

Onde e são quaisquer números e

Para o nosso caso com Vasya e maçãs, escreveremos:

- “se Vasya der a todos os três amigos o mesmo número de maçãs, ele não terá mais maçãs”

Equações lineares "ocultas", ou a importância de transformações idênticas

Apesar do fato de que, à primeira vista, tudo é extremamente simples, ao resolver equações, você precisa ter cuidado, porque as equações lineares são chamadas não apenas de equações da forma, mas também de quaisquer equações reduzidas a essa forma por transformações e simplificações. Por exemplo:

Vemos que está à direita, o que, em tese, já indica que a equação não é linear. Além disso, se abrirmos os colchetes, obteremos mais dois termos em que será, mas não tire conclusões precipitadas! Antes de julgar se a equação é linear, é necessário fazer todas as transformações e assim simplificar exemplo original. Nesse caso, as transformações podem mudar a aparência, mas não a própria essência da equação.

Em outras palavras, essas transformações devem ser idêntico ou equivalente. Existem apenas duas dessas transformações, mas elas tocam muito, MUITO papel importante ao resolver problemas. Vamos considerar ambas as transformações em exemplos concretos.

Mover esquerda-direita.

Digamos que precisamos resolver a seguinte equação:

De volta ao ensino fundamental, nos disseram: “com Xs - para a esquerda, sem Xs - para a direita”. Que expressão com x está à direita? Certo, não como não. E isso é importante, porque se isso for mal interpretado, parece questão simples, dá uma resposta incorreta. E qual é a expressão com x à esquerda? Corretamente, .

Agora que lidamos com isso, transferimos todos os termos com incógnitas para a esquerda, e tudo o que é conhecido para a direita, lembrando que se não houver sinal na frente do número, por exemplo, então o número é positivo, que ou seja, é precedido pelo sinal " ".

Mudou-se? O que você conseguiu?

Tudo o que resta a ser feito é trazer termos semelhantes. Apresentamos:

Assim, analisamos com sucesso a primeira transformação idêntica, embora eu tenha certeza de que você já a conhecia e a usou ativamente sem mim. O principal - não se esqueça dos sinais dos números e altere-os para o oposto ao transferir pelo sinal de igual!

Multiplicação-divisão.

Vamos começar imediatamente com um exemplo

Olhamos e pensamos: o que não gostamos neste exemplo? O desconhecido está todo em uma parte, o conhecido em outra, mas algo está nos parando... E isso é algo - um quatro, porque se não estivesse lá, tudo seria perfeito - x é igual ao número- do jeito que queremos!

Como você pode se livrar dele? Não podemos transferir para a direita, porque aí precisamos transferir o multiplicador inteiro (não podemos pegar e arrancar dele), e transferir o multiplicador inteiro também não faz sentido...

É hora de lembrar sobre a divisão, em conexão com a qual dividiremos tudo! Todos - isso significa tanto o lado esquerdo quanto o direito. Assim e somente assim! O que obtemos?

Vejamos agora outro exemplo:

Adivinha o que fazer neste caso? Isso mesmo, multiplique as partes esquerda e direita por! Que resposta você obteve? Corretamente. .

Certamente você já sabia tudo sobre transformações idênticas. Considere que acabamos de atualizar esse conhecimento em sua memória e é hora de algo mais - Por exemplo, para resolver nosso grande exemplo:

Como dissemos anteriormente, olhando para ela, você não pode dizer que essa equação é linear, mas precisamos abrir os colchetes e realizar transformações idênticas. Então vamos começar!

Para começar, lembramos as fórmulas da multiplicação abreviada, em particular, o quadrado da soma e o quadrado da diferença. Se você não lembra o que é e como os colchetes são abertos, recomendo fortemente a leitura do tópico “Fórmulas de Multiplicação Reduzida”, pois essas habilidades serão úteis para você resolver quase todos os exemplos encontrados na prova.
Revelado? Comparar:

Agora é hora de trazer termos semelhantes. Você se lembra de como estamos no mesmo escola primaria eles disseram “não colocamos moscas com costeletas”? Aqui estou eu te lembrando disso. Adicionamos tudo separadamente - fatores que possuem, fatores que possuem e outros fatores que não possuem incógnitas. Ao trazer termos semelhantes, mova todas as incógnitas para a esquerda e tudo o que for conhecido para a direita. O que você conseguiu?

Como você pode ver, o quadrado x desapareceu e vemos um equação linear. Resta apenas encontrar!

E por fim, direi mais uma muito coisa importante sobre transformações idênticas - transformações idênticas são aplicáveis não apenas para equações lineares, mas também para quadrados, racionais fracionários e outros. Você só precisa lembrar que ao transferir fatores pelo sinal de igual, mudamos o sinal para o oposto, e ao dividir ou multiplicar por algum número, multiplicamos/dividimos os dois lados da equação pelo MESMO número.

O que mais você tirou desse exemplo? Que olhando para uma equação nem sempre é possível determinar direta e precisamente se ela é linear ou não. Você deve primeiro simplificar completamente a expressão e só então julgar o que é.

Equações lineares. Exemplos.

Aqui estão mais alguns exemplos para você praticar por conta própria - determine se a equação é linear e, em caso afirmativo, encontre suas raízes:

Respostas:

1. É.

2. não é.

Vamos abrir os colchetes e dar termos semelhantes:

Vamos fazer uma transformação idêntica - dividimos as partes esquerda e direita em:

Vemos que a equação não é linear, então não há necessidade de procurar suas raízes.

3. É.

Vamos fazer uma transformação idêntica - multiplique as partes esquerda e direita por para se livrar do denominador.

Pense por que é tão importante? Se você souber a resposta para esta pergunta, passamos para a solução adicional da equação, caso contrário, verifique o tópico “ODZ” para não cometer erros em mais exemplos difíceis. By the way, como você pode ver, uma situação em que é impossível. Por quê?
Então vamos em frente e reorganizar a equação:

Se você lidou com tudo sem dificuldade, vamos falar sobre equações lineares com duas variáveis.

Equações lineares com duas variáveis

Agora vamos passar para um um pouco mais complicado - equações lineares com duas variáveis.

Equações lineares com duas variáveis se parece com:

Onde, e são quaisquer números e.

Como você pode ver, a única diferença é que mais uma variável é adicionada à equação. E então tudo é o mesmo - não há x ao quadrado, não há divisão por uma variável, etc. etc.

Qual deles te traria exemplo de vida. Vamos pegar o mesmo Vasya. Suponha que ele decida dar a cada um de seus 3 amigos o mesmo número de maçãs e ficar com as maçãs para si. Quantas maçãs Vasya precisa comprar se der uma maçã a cada amigo? A respeito? E se por?

A dependência do número de maçãs que cada pessoa receberá por total maçãs a serem compradas será expressa pela equação:

- o número de maçãs que uma pessoa receberá (, ou, ou);
- o número de maçãs que Vasya levará para si;
- quantas maçãs Vasya precisa comprar, levando em consideração o número de maçãs por pessoa.

Resolvendo este problema, temos que se Vasya der uma maçã a um amigo, então ele precisa comprar pedaços, se ele der maçãs, etc.

E de um modo geral. Temos duas variáveis. Por que não plotar essa dependência em um gráfico? Construímos e marcamos o valor do nosso, ou seja, pontos, com coordenadas, e!

Como você pode ver, e dependem um do outro linearmente, daí o nome das equações - " linear».

Abstraímos de maçãs e consideramos graficamente várias equações. Observe atentamente os dois gráficos construídos - uma linha reta e uma parábola, dados por funções arbitrárias:

Encontre e marque os pontos correspondentes em ambas as figuras.
O que você conseguiu?

Você pode ver que no gráfico da primeira função sozinho corresponde 1, ou seja, e linearmente dependem um do outro, o que não pode ser dito sobre a segunda função. Claro, você pode objetar que no segundo gráfico, x também corresponde a - , mas este é apenas um ponto, ou seja, caso especial, já que você ainda pode encontrar um que corresponda a mais de um. E o gráfico construído não se assemelha a uma linha de forma alguma, mas é uma parábola.

Repito, mais uma vez: o gráfico de uma equação linear deve ser uma linha RETA.

Com o fato de que a equação não será linear se formos até certo ponto - isso é compreensível usando o exemplo de uma parábola, embora você possa construir mais algumas por si mesmo gráficos simples, por exemplo ou. Mas garanto a você - nenhum deles será uma LINHA RETA.

Não confie? Construa e compare com o que eu obtive:

E o que acontece se dividirmos algo por, por exemplo, algum número? Será que dependência linear e? Não vamos discutir, mas vamos construir! Por exemplo, vamos traçar um gráfico de função.

De alguma forma, não parece uma linha reta construída ... consequentemente, a equação não é linear.
Vamos resumir:

Equação Linear -é uma equação algébrica na qual o grau total de seus polinômios constituintes é igual.
Equação linear com uma variável se parece com:
, onde e são quaisquer números;
Equação linear com duas variáveis:
, onde e são quaisquer números.
Nem sempre é possível determinar imediatamente se uma equação é linear ou não. Às vezes, para entender isso, é necessário realizar transformações idênticas, mover termos semelhantes para a esquerda/direita, não esquecendo de mudar o sinal, ou multiplicar/dividir ambas as partes da equação pelo mesmo número.

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A partir da última igualdade, determinamos a incógnita pela regra: "um dos fatores é igual ao quociente dividido pelo segundo fator".

Como os números racionais a e b podem ter sinais iguais e diferentes, o sinal da incógnita é determinado pelas regras de divisão dos números racionais.

O procedimento para resolver equações lineares

A equação linear deve ser simplificada abrindo os colchetes e realizando as ações da segunda etapa (multiplicação e divisão).

Mova as incógnitas para um lado do sinal de igual e os números para o outro lado do sinal de igual, ficando idêntico à igualdade dada,

Traga like para a esquerda e para a direita do sinal de igual, obtendo uma igualdade da forma machado = b.

Calcule a raiz da equação (encontre a incógnita X da igualdade x = b : uma),

Teste substituindo a incógnita na equação dada.

Se obtivermos uma identidade em igualdade numérica, a equação será resolvida corretamente.

Casos especiais de resolução de equações

Se um a equaçãoé dado por um produto igual a 0, então para resolvê-lo usamos a propriedade da multiplicação: "o produto é igual a zero se um dos fatores ou ambos os fatores forem iguais a zero."

27 (x - 3) = 0
27 não é igual a 0, então x - 3 = 0

O segundo exemplo tem duas soluções para a equação, pois
Esta é uma equação do segundo grau:

Se os coeficientes da equação são frações ordinárias, primeiro você precisa se livrar dos denominadores. Por esta:

Encontre um denominador comum;

Determinar fatores adicionais para cada termo da equação;

Multiplique os numeradores de frações e inteiros por fatores adicionais e anote todos os termos da equação sem denominadores (o denominador comum pode ser descartado);

Mova os termos com incógnitas para uma parte da equação e os termos numéricos para a outra a partir do sinal de igual, obtendo uma igualdade equivalente;

Traga como membros;

Propriedades básicas das equações

Em qualquer parte da equação, você pode trazer termos semelhantes ou abrir o colchete.

Qualquer termo da equação pode ser transferido de uma parte da equação para outra mudando seu sinal para o oposto.

Ambos os lados da equação podem ser multiplicados (divididos) pelo mesmo número, exceto 0.

No exemplo acima, todas as suas propriedades foram usadas para resolver a equação.

Equações lineares. Solução de equações lineares. A regra de transferência de prazo.

A regra de transferência de prazo.

Ao resolver e transformar equações, muitas vezes torna-se necessário transferir o termo para o outro lado da equação. Observe que o termo pode ter um sinal de mais e um sinal de menos. De acordo com a regra, ao transferir o termo para outra parte da equação, você precisa alterar o sinal para o oposto. Além disso, a regra também funciona para desigualdades.

Exemplos transferência de prazo:

Transferir primeiro 5x

Observe que o sinal "+" mudou para "-" e o sinal "-" para "+". Nesse caso, não importa se o termo transferido é um número, uma variável ou uma expressão.

Transferimos o 1º termo para o lado direito da equação. Nós temos:

Observe que em nosso exemplo, o termo é a expressão (−3x 2 (2+7x)). Portanto, não pode ser transferido separadamente. (−3x2) e (2+7x), uma vez que estes são componentes do termo. Por isso não toleram (−3x2 ⋅ 2) e (7x). No entanto, abrimos os colchetes e obtemos 2 termos: (−3x-⋅ 2) e (−3×2⋅ 7x). Esses 2 termos podem ser transportados separadamente um do outro.

As desigualdades são transformadas da mesma forma:

Coletamos cada número de um lado. Nós temos:

As 2ª partes da equação são, por definição, as mesmas, então podemos subtrair as mesmas expressões de ambas as partes da equação, e a igualdade permanecerá verdadeira. Você precisa subtrair a expressão, que, em última análise, precisa ser movida para o outro lado. Então, em um lado do sinal “=”, ele será reduzido com o que era. E do outro lado da igualdade, a expressão que subtraímos aparecerá com um sinal “-”.

Esta regra é frequentemente usada para resolver equações lineares. Outros métodos são usados para resolver sistemas de equações lineares.

Fundamentos de Álgebra / Regra de transferência do termo

Vamos mover o primeiro termo para o lado direito da equação. Nós temos:

Vamos mover todos os números em uma direção. Como resultado, temos:

Exemplos ilustrando a prova Editar

Para Editar Equações

Digamos que queremos mover todos os x do lado esquerdo da equação para o lado direito. Subtrair de ambas as partes 5 x

Agora precisamos verificar se os lados esquerdo e direito da equação são os mesmos. Vamos substituir a variável desconhecida pelo resultado resultante:

Agora podemos adicionar termos semelhantes:

Vamos mover primeiro 5 x do lado esquerdo da equação para o direito:

Agora vamos mover o número (−6) do lado direito para o esquerdo:

Observe que o sinal de mais mudou para menos e o sinal de menos mudou para mais. Além disso, não importa se o termo transferido é um número, uma variável ou uma expressão inteira.

Os dois lados da equação são por definição iguais, então você pode subtrair de ambos os lados da equação mesma expressão, e a igualdade permanece verdadeira. De um lado do sinal de igual, ele se contrairá com o que era. Do outro lado da equação, a expressão que subtraímos aparecerá com um sinal de menos.

A regra para equações está provada.

Para desigualdades Editar

Portanto, 4 é a raiz da equação 5x+2=7x-6. Uma vez que a identidade foi provada para ela, também para as desigualdades, por definição.

Resolvendo equações, a regra de transferência de termos

O objetivo da lição

Tarefas educativas da lição:

— Ser capaz de aplicar a regra de transferência de termos na resolução de equações;

Desenvolvimento de tarefas da lição:

- desenvolve atividade independente alunos;

- desenvolver a fala (dar respostas completas em uma linguagem matemática competente);

Tarefas educacionais da lição:

- educar a capacidade de fazer anotações corretas em cadernos e no quadro;

?Equipamento:

Multimídia
quadro interativo

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"lição Resolvendo equações 6 células"

AULA DE MATEMÁTICA 6ª SÉRIE

Professora: Timofeeva M. A.

O objetivo da lição: o estudo da regra para a transferência de termos de uma parte da equação para outra.

Tarefas educativas da lição:

Ser capaz de aplicar a regra de transferência de termos na resolução de equações;

Desenvolvimento de tarefas da lição:

desenvolver atividade independente dos alunos;

desenvolver a fala (dar respostas completas em uma linguagem matemática competente);

Tarefas educacionais da lição:

cultivar a capacidade de fazer anotações corretas em cadernos e no quadro;

As principais etapas da aula

1. Momento organizador, comunicação do objetivo da aula e forma de trabalho

"Se você quer aprender a nadar,

então corajosamente entre na água,

Se você quer aprender a resolver equações,

2. Hoje começamos a estudar o tema: "Resolvendo Equações" (Slide 1)

Mas você já aprendeu a resolver equações! Então o que vamos estudar?

— Novas formas de resolver equações.

3. Vamos repetir o material abordado ( trabalho oral) (Slide 2)

3). 7m + 8n - 5m - 3n

quatro). – 6a + 12b – 5a – 12b

5). 9x - 0,6a - 14x + 1,2a

A equação veio
trouxe muitos segredos

Que expressões são equações?(Slide 3)

4. O que é chamado de equação?

Uma equação é uma igualdade que contém número desconhecido. (Slide 4)

O que significa resolver uma equação?

resolva a equação significa encontrar suas raízes ou provar que elas não existem.

Vamos resolver equações oralmente. (Slide 5)

Que regra usamos ao resolver?

— Encontrar o fator desconhecido.

Vamos anotar várias equações em um caderno e resolvê-las usando as regras para encontrar um termo desconhecido e um reduzido: (Slide 7)

Como resolver tal equação?

x + 5 = - 2x - 7 (Slide 8)

Não podemos simplificar, pois termos semelhantes estão em partes diferentes equações, portanto, é necessário transferi-las.

Cores fantásticas estão queimando
E não importa quão sábia a cabeça
Você ainda acredita em contos de fadas?
A história está sempre certa.

Era uma vez dois reis: preto e branco. O Rei Negro vivia no Reino Negro na margem direita do rio, e o Rei Branco vivia no Reino Branco na margem esquerda. Um rio muito turbulento e perigoso corria entre os reinos. Era impossível atravessar este rio a nado ou de barco. Precisávamos de uma ponte! A construção da ponte levou muito tempo e agora, finalmente, a ponte foi construída. Todos se alegrariam e se comunicariam, mas o problema é: o Rei Branco não gostava de preto, todos os habitantes de seu reino usavam roupas de cores claras e o Rei Negro não gostava cor branca e, os habitantes de seu reino usavam mantos de cor escura. Se alguém do Reino Negro se mudou para o Reino Branco, ele imediatamente caiu em desgraça com o Rei Branco, e se alguém do Reino Branco se mudou para o Reino Negro, ele caiu em desgraça com o Rei Negro. Os habitantes dos reinos tiveram que inventar algo para não irritar seus reis. O que você acha que eles inventaram?

Portal para o aluno. Autotreinamento

Exemplo 1

Exame:

Exemplo #2

Exame:

Exemplo #3

Exame:

Exemplo #4

Exame:

Exemplo #5

Exame:

Exemplo #6

Exame:

Agora vamos às regras básicas:

Da minha prática

Informações para os pais

Resolvendo equações para adição e subtração

Resolvendo equações para multiplicação e divisão

O procedimento para resolver equações lineares

Casos especiais de resolução de equações

Propriedades básicas das equações

Regra para resolver equações simples

Equações lineares.

Solução de equações lineares. Exemplos.

Casos especiais na resolução de equações lineares.

Se você gosta deste site.

Resolvendo equações lineares 7º ano

Propriedade nº 1 ou regra de transferência

Propriedade #2 ou regra de divisão

Como resolver uma equação se "x" for negativo

Resolvendo equações lineares simples

Exemplos de resolução de equações

Esquema para resolver equações lineares simples

Resolvendo exemplos reais de equações lineares simples

Coisas para lembrar ao resolver equações lineares

Resolvendo equações lineares complexas

Nuances da solução

Resolvendo equações lineares ainda mais complexas

Na soma algébrica

Resolvendo equações com uma fração

Pontos chave

Exemplos de resolução de equações

Esquema para resolver equações lineares simples

Resolvendo exemplos reais de equações lineares simples

Tarefa nº 1

Tarefa nº 2

Tarefa nº 3

Coisas para lembrar ao resolver equações lineares

Resolvendo equações lineares complexas

Exemplo 1

Exemplo #2

Nuances da solução

Resolvendo equações lineares ainda mais complexas

Tarefa nº 1

Tarefa nº 2

Nuances da solução

Na soma algébrica

Resolvendo equações com uma fração

Exemplo 1

Exemplo #2

Pontos chave

O que é uma equação?

Expresse um em função do outro

Regras para encontrar incógnitas

Componentes

Equações equivalentes

Multiplicar por menos um

Equivale a Zero

Uma alternativa às regras para encontrar incógnitas

Quando existem várias raízes

Quando existem infinitas raízes

Quando não há raízes

Equações de letras

Equações lineares com uma incógnita

Propriedade nº 1 ou regra de transferência

Propriedade #2 ou regra de divisão

Como resolver uma equação se "x" for negativo

Equações lineares. Primeiro nível.

O que são "equações lineares"

Equações lineares "ocultas", ou a importância de transformações idênticas

Propriedade nº 1
ou
regra de transferência

Propriedade #2
ou
regra de divisão

Propriedade nº 1
ou
regra de transferência

Propriedade #2
ou
regra de divisão

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