Ao estudar álgebra em escola de ensino geral(Grau 9) um dos tópicos importantesé o estudo sequências numéricas, que incluem progressões - geométricas e aritméticas. Neste artigo, consideraremos uma progressão aritmética e exemplos com soluções.

O que é uma progressão aritmética?

Para entender isso, é necessário definir a progressão em questão, bem como fórmulas básicas, que será usado posteriormente na resolução de problemas.

Aritmética ou é um conjunto de números racionais ordenados, cada membro dos quais difere do anterior por algum valor constante. Esse valor é chamado de diferença. Ou seja, conhecendo qualquer membro de uma série ordenada de números e a diferença, você pode restaurar toda a progressão aritmética.

Vamos dar um exemplo. A próxima sequência de números será uma progressão aritmética: 4, 8, 12, 16, ..., pois a diferença neste caso é 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Mas o conjunto dos números 3, 5, 8, 12, 17 não pode mais ser atribuído ao tipo de progressão em consideração, pois a diferença para ele não é um valor constante (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17-12).

Fórmulas importantes

Apresentamos agora as fórmulas básicas que serão necessárias para resolver problemas usando uma progressão aritmética. Denote pelo símbolo a n enésimo membro sequências em que n é um número inteiro. Vamos denotar a diferença letra latina d. Então as seguintes expressões são verdadeiras:

1. Para determinar o valor do enésimo termo, a fórmula é adequada: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. Para determinar a soma dos primeiros n termos: S n = (a n + a 1)*n/2.

Para compreender quaisquer exemplos de progressão aritmética com solução no 9º ano, basta recordar estas duas fórmulas, uma vez que quaisquer problemas do tipo em questão são construídos na sua utilização. Além disso, não esqueça que a diferença de progressão é determinada pela fórmula: d = a n - a n-1 .

Exemplo nº 1: Encontrando um membro desconhecido

Damos um exemplo simples de progressão aritmética e as fórmulas que devem ser usadas para resolver.

Seja dada a sequência 10, 8, 6, 4, ..., é necessário encontrar cinco termos nela.

Já decorre das condições do problema que os primeiros 4 termos são conhecidos. A quinta pode ser definida de duas maneiras:

1. Vamos calcular a diferença primeiro. Temos: d = 8 - 10 = -2. De maneira semelhante, pode-se tomar quaisquer outros dois termos, parado por perto juntos. Por exemplo, d = 4 - 6 = -2. Como se sabe que d \u003d a n - a n-1, então d \u003d a 5 - a 4, de onde obtemos: a 5 \u003d a 4 + d. Substituto valores conhecidos: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. O segundo método também requer conhecimento da diferença da progressão em questão, então você precisa primeiro determiná-la, como mostrado acima (d = -2). Sabendo que o primeiro termo a 1 = 10, usamos a fórmula para o número n da sequência. Temos: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Substituindo n = 5 na última expressão, obtemos: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Como você pode ver, ambas as soluções levam ao mesmo resultado. Observe que neste exemplo a diferença d da progressão é negativa. Essas sequências são chamadas decrescentes porque cada termo sucessivo é menor que o anterior.

Exemplo #2: diferença de progressão

Agora vamos complicar um pouco a tarefa, dar um exemplo de como encontrar a diferença de uma progressão aritmética.

Sabe-se que em alguma progressão algébrica o 1º termo é igual a 6, e o 7º termo é igual a 18. É necessário encontrar a diferença e restaurar esta sequência ao 7º termo.

Vamos usar a fórmula para determinar o termo desconhecido: a n = (n - 1) * d + a 1 . Substituímos os dados conhecidos da condição, ou seja, os números a 1 e a 7, temos: 18 \u003d 6 + 6 * d. A partir desta expressão, você pode calcular facilmente a diferença: d = (18 - 6) / 6 = 2. Assim, a primeira parte do problema foi respondida.

Para restaurar uma sequência de até 7 termos, deve-se usar a definição progressão algébrica, ou seja, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d e assim por diante. Como resultado, restauramos a sequência inteira: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 e 7 = 18.

Exemplo #3: fazendo uma progressão

Vamos complicar ainda mais a condição do problema. Agora você precisa responder à pergunta de como encontrar uma progressão aritmética. pode levar próximo exemplo: são dados dois números, por exemplo, - 4 e 5. É necessário fazer uma progressão algébrica para que mais três termos sejam colocados entre estes.

Antes de começar a resolver este problema, é necessário entender que lugar os números dados ocuparão na progressão futura. Como haverá mais três termos entre eles, então 1 \u003d -4 e 5 \u003d 5. Tendo estabelecido isso, passamos a uma tarefa semelhante à anterior. Novamente, para o enésimo termo, usamos a fórmula, obtemos: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. De: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2,25. Aqui não recebemos um valor inteiro da diferença, mas é número racional, então as fórmulas para a progressão algébrica permanecem as mesmas.

Agora vamos adicionar a diferença encontrada a 1 e restaurar os membros ausentes da progressão. Obtemos: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u003d 5, que coincidiu com a condição do problema.

Exemplo #4: O primeiro membro da progressão

Continuamos a dar exemplos de uma progressão aritmética com uma solução. Em todos os problemas anteriores, o primeiro número da progressão algébrica era conhecido. Agora considere um problema de um tipo diferente: sejam dados dois números, onde a 15 = 50 e a 43 = 37. É necessário descobrir de qual número essa sequência começa.

As fórmulas que foram usadas até agora pressupõem o conhecimento de a 1 e d. Nada se sabe sobre esses números na condição do problema. No entanto, vamos escrever as expressões para cada termo sobre o qual temos informações: a 15 = a 1 + 14 * d e a 43 = a 1 + 42 * d. Temos duas equações em que 2 quantidades desconhecidas(a 1 e d). Isso significa que o problema é reduzido a resolver um sistema de equações lineares.

O sistema especificado é mais fácil de resolver se você expressar um 1 em cada equação e depois comparar as expressões resultantes. Primeira equação: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; segunda equação: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Igualando essas expressões, obtemos: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, de onde a diferença d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (apenas 3 casas decimais são fornecidas).

Conhecendo d, você pode usar qualquer uma das 2 expressões acima para a 1 . Por exemplo, primeiro: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Se houver dúvidas sobre o resultado, você pode verificá-lo, por exemplo, determinar o 43º membro da progressão, especificado na condição. Obtemos: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Um pequeno erro se deve ao fato de ter sido utilizado arredondamento para milésimos nos cálculos.

Exemplo #5: Soma

Agora vamos ver alguns exemplos com soluções para a soma de uma progressão aritmética.

Que seja dado progressão numérica o seguinte tipo: 1, 2, 3, 4, ...,. Como calcular a soma de 100 desses números?

Graças ao desenvolvimento tecnologia de computador você pode resolver esse problema, ou seja, somar sequencialmente todos os números, que Calculadora fará assim que a pessoa pressionar a tecla Enter. No entanto, o problema pode ser resolvido mentalmente se você prestar atenção que a série de números apresentada é uma progressão algébrica, e sua diferença é 1. Aplicando a fórmula da soma, temos: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

É curioso notar que este problema é chamado de "Gaussiano" porque em início do XVIII do século, o famoso alemão, ainda com apenas 10 anos de idade, conseguiu resolvê-lo em sua mente em poucos segundos. O menino não conhecia a fórmula para a soma de uma progressão algébrica, mas percebeu que se somarmos pares de números localizados nas bordas da sequência, obteremos sempre o mesmo resultado, ou seja, 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., e como essas somas serão exatamente 50 (100 / 2), para obter a resposta correta, basta multiplicar 50 por 101.

Exemplo #6: soma dos termos de n a m

Outro um exemplo típico a soma de uma progressão aritmética é a seguinte: dada uma série de números: 3, 7, 11, 15, ..., você precisa descobrir qual será a soma de seus membros de 8 a 14.

O problema é resolvido de duas maneiras. O primeiro deles envolve encontrar termos desconhecidos de 8 a 14 e, em seguida, resumi-los sequencialmente. Como existem poucos termos, esse método não é trabalhoso o suficiente. No entanto, propõe-se resolver este problema pelo segundo método, que é mais universal.

A ideia é obter uma fórmula para a soma de uma progressão algébrica entre os termos m e n, onde n > m são inteiros. Para ambos os casos, escrevemos duas expressões para a soma:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Como n > m, é óbvio que a soma 2 inclui o primeiro. A última conclusão significa que, se pegarmos a diferença entre essas somas e adicionarmos o termo a m a ela (no caso de tirar a diferença, ela é subtraída da soma S n), obteremos a resposta necessária para o problema. Temos: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). É necessário substituir fórmulas para a n e a m nesta expressão. Então temos: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

A fórmula resultante é um pouco complicada, no entanto, a soma S mn depende apenas de n, m, a 1 e d. No nosso caso, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Substituindo esses números, obtemos: S mn = 301.

Como pode ser visto nas soluções acima, todos os problemas são baseados no conhecimento da expressão para o enésimo termo e a fórmula para a soma do conjunto dos primeiros termos. Antes de começar a resolver qualquer um desses problemas, é recomendável que você leia atentamente a condição, entenda claramente o que deseja encontrar e só então prossiga com a solução.

Outra dica é buscar a simplicidade, ou seja, se você conseguir responder a pergunta sem usar cálculos matemáticos complexos, é preciso fazer exatamente isso, pois nesse caso a probabilidade de errar é menor. Por exemplo, no exemplo de uma progressão aritmética com a solução nº 6, pode-se parar na fórmula S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, e dividir tarefa comum em subtarefas separadas (em este caso primeiro encontre os termos a n e a m).

Se houver dúvidas sobre o resultado obtido, recomenda-se verificar, como foi feito em alguns dos exemplos apresentados. Como encontrar uma progressão aritmética, descobri. Depois de descobrir, não é tão difícil.

Atenção!
Existem adicionais
material na Seção Especial 555.
Para aqueles que fortemente "não muito..."
E para aqueles que "muito...")

Progressão aritmética- esta é uma série de números em que cada número é maior (ou menor) que o anterior na mesma quantidade.

Este tópico é muitas vezes difícil e incompreensível. Índices de letras, o enésimo membro da progressão, a diferença da progressão - tudo isso é um pouco confuso, sim ... Vamos descobrir o significado da progressão aritmética e tudo funcionará imediatamente.)

O conceito de progressão aritmética.

A progressão aritmética é um conceito muito simples e claro. Dúvida? Em vão.) Veja por si mesmo.

Vou escrever uma série inacabada de números:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Você pode estender esta linha? Quais serão os próximos números, depois dos cinco? Todo mundo... uh..., resumindo, todo mundo vai descobrir que os números 6, 7, 8, 9, etc. vão mais longe.

Vamos complicar a tarefa. Eu dou uma série inacabada de números:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Você pode pegar o padrão, estender a série e nomear sétimo número da linha?

Se você descobriu que esse número é 20 - parabenizo você! Você não só sentiu pontos chave progressão aritmética, mas também os usou com sucesso nos negócios! Se você não entendeu, continue lendo.

Agora vamos traduzir os pontos-chave das sensações para a matemática.)

Primeiro ponto chave.

A progressão aritmética lida com séries de números. Isso é confuso no início. Estamos acostumados a resolver equações, construir gráficos e tudo mais... E depois estender a série, encontrar o número da série...

Tudo bem. É só que as progressões são o primeiro contato com um novo ramo da matemática. A seção se chama "Série" e trabalha com séries de números e expressões. Acostume-se.)

Segundo ponto chave.

Em uma progressão aritmética, qualquer número difere do anterior pela mesma quantidade.

No primeiro exemplo, essa diferença é uma. Qualquer que seja o número escolhido, é um a mais que o anterior. No segundo - três. Qualquer número é três vezes maior que o anterior. Na verdade, é este momento que nos dá a oportunidade de pegar o padrão e calcular os números subsequentes.

Terceiro ponto chave.

Esse momento não é marcante, sim... Mas muito, muito importante. Aqui está ele: cada número de progressão fica em seu lugar. Há o primeiro número, há o sétimo, há o quadragésimo quinto, e assim por diante. Se você confundi-los ao acaso, o padrão desaparecerá. A progressão aritmética também desaparecerá. É apenas uma série de números.

Esse é o ponto.

Claro, em novo topico aparecem novos termos e notações. Eles precisam saber. Caso contrário, você não entenderá a tarefa. Por exemplo, você tem que decidir algo como:

Escreva os primeiros seis termos da progressão aritmética (a n) se a 2 = 5, d = -2,5.

Inspira?) Cartas, alguns índices... E a tarefa, aliás, não poderia ser mais fácil. Você só precisa entender o significado dos termos e notação. Agora vamos dominar este assunto e retornar à tarefa.

Termos e designações.

Progressão aritméticaé uma série de números em que cada número é diferente do anterior pela mesma quantidade.

Esse valor é chamado . Vamos lidar com esse conceito com mais detalhes.

Diferença de progressão aritmética.

Diferença de progressão aritméticaé a quantidade pela qual qualquer número de progressão mais o anterior.

Um ponto importante. Por favor, preste atenção na palavra "mais". Matematicamente, isso significa que cada número de progressão é obtido adicionando a diferença de uma progressão aritmética para o número anterior.

Para calcular, digamos segundo números da linha, é necessário primeiro número adicionar esta mesma diferença de uma progressão aritmética. Para cálculo quinto- a diferença é necessária adicionar para quarto bem, etc

Diferença de progressão aritmética talvez positivo então cada número da série será real mais do que o anterior. Essa progressão é chamada aumentando. Por exemplo:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Aqui cada número é adicionando número positivo, +5 ao anterior.

A diferença pode ser negativo então cada número da série será menor que o anterior. Essa progressão é chamada (você não vai acreditar!) diminuindo.

Por exemplo:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Aqui cada número é obtido também adicionando ao número anterior, mas já negativo, -5.

A propósito, ao trabalhar com uma progressão, é muito útil determinar imediatamente sua natureza - se está aumentando ou diminuindo. Ajuda muito encontrar seu rumo na decisão, detectar seus erros e corrigi-los antes que seja tarde demais.

Diferença de progressão aritmética geralmente indicado pela letra d.

Como encontrar d? Muito simples. É necessário subtrair de qualquer número da série anterior número. Subtrair. By the way, o resultado da subtração é chamado de "diferença".)

Vamos definir, por exemplo, d para uma progressão aritmética crescente:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Pegamos qualquer número da linha que queremos, por exemplo, 11. Subtrai dela número anterior, Essa. oito:

Essa é a resposta correta. Para esta progressão aritmética, a diferença é três.

Você pode simplesmente pegar qualquer número de progressões, Porque para uma progressão específica d-sempre o mesmo. Pelo menos em algum lugar no início da linha, pelo menos no meio, pelo menos em qualquer lugar. Você não pode pegar apenas o primeiro número. Só porque o primeiro número nenhum anterior.)

Aliás, sabendo disso d=3, encontrar o sétimo número desta progressão é muito simples. Adicionamos 3 ao quinto número - obtemos o sexto, será 17. Adicionamos três ao sexto número, obtemos o sétimo número - vinte.

Vamos definir d para uma progressão aritmética decrescente:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Relembro que, independentemente dos sinais, para determinar d necessário de qualquer número tirar o anterior. Escolhemos qualquer número de progressão, por exemplo -7. Seu número anterior é -2. Então:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

A diferença de uma progressão aritmética pode ser qualquer número: inteiro, fracionário, irracional, qualquer.

Outros termos e designações.

Cada número da série é chamado membro de uma progressão aritmética.

Cada membro da progressão tem o seu número. Os números estão estritamente em ordem, sem nenhum truque. Primeiro, segundo, terceiro, quarto, etc. Por exemplo, na progressão 2, 5, 8, 11, 14, ... dois é o primeiro membro, cinco é o segundo, onze é o quarto, bem, você entende ...) Por favor, entenda claramente - os próprios números pode ser absolutamente qualquer, inteiro, fracionário, negativo, o que for, mas numeração- estritamente em ordem!

Como gravar uma progressão em visão geral? Sem problemas! Cada número da série é escrito como uma letra. Para denotar uma progressão aritmética, como regra, a letra é usada uma. O número do membro é indicado pelo índice no canto inferior direito. Os membros são escritos separados por vírgulas (ou ponto e vírgula), assim:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

um 1é o primeiro número um 3- terceiro, etc Nada complicado. Você pode escrever esta série brevemente assim: (um).

Existem progressões finito e infinito.

Final progressão tem quantidade limitada membros. Cinco, trinta e oito, tanto faz. Mas é um número finito.

Sem fim progressão - tem um número infinito de membros, como você pode imaginar.)

Você pode escrever uma progressão final através de uma série como esta, todos os membros e um ponto no final:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .

Ou assim, se houver muitos membros:

a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .

NO abreviação você terá que especificar o número de membros adicionalmente. Por exemplo (para vinte membros), assim:

(a n), n = 20

Uma progressão infinita pode ser reconhecida pelas reticências no final da linha, como nos exemplos desta lição.

Agora você já pode resolver tarefas. As tarefas são simples, puramente para entender o significado da progressão aritmética.

Exemplos de tarefas para progressão aritmética.

Vamos dar uma olhada na tarefa acima:

1. Escreva os primeiros seis membros da progressão aritmética (a n), se a 2 = 5, d = -2,5.

Transferimos a tarefa para linguagem compreensível. Dada uma progressão aritmética infinita. O segundo número desta progressão é conhecido: a 2 = 5. Diferença de progressão conhecida: d = -2,5. Precisamos encontrar o primeiro, terceiro, quarto, quinto e sexto membros desta progressão.

Para maior clareza, vou escrever uma série de acordo com a condição do problema. Os primeiros seis membros, onde o segundo membro é cinco:

a 1 , 5 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ,....

um 3 = um 2 + d

Substituímos na expressão a 2 = 5 e d=-2,5. Não se esqueça do menos!

um 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

O terceiro termo é menos de um segundo. Tudo é lógico. Se o número for maior que o anterior negativo valor, então o próprio número será menor que o anterior. A progressão está diminuindo. Ok, vamos levar isso em consideração.) Consideramos o quarto membro da nossa série:

um 4 = um 3 + d

um 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

um 5 = um 4 + d

um 5=0+(-2,5)= - 2,5

um 6 = um 5 + d

um 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Assim, os termos do terceiro ao sexto foram calculados. Isso resultou em uma série:

a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....

Resta encontrar o primeiro termo um 1 sobre segundo famoso. Este é um passo na outra direção, para a esquerda.) Daí, a diferença da progressão aritmética d não deve ser adicionado um 2, uma Leve embora:

um 1 = um 2 - d

um 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Isso é tudo o que há para isso. Resposta da tarefa:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

De passagem, observo que resolvemos essa tarefa recorrente caminho. Esta palavra terrível significa, apenas, a busca de um membro da progressão pelo número anterior (adjacente). Outras formas de trabalhar com progressão serão discutidas posteriormente.

A partir disso tarefa simples uma conclusão importante pode ser tirada.

Lembrar:

Se conhecermos pelo menos um membro e a diferença de uma progressão aritmética, podemos encontrar qualquer membro dessa progressão.

Lembrar? Esta derivação simples nos permite resolver a maioria dos problemas curso escolar neste tópico. Todas as tarefas giram em torno três principais parâmetros: membro de uma progressão aritmética, diferença de uma progressão, número de um membro de uma progressão. Tudo.

É claro que toda álgebra anterior não é cancelada.) Desigualdades, equações e outras coisas são anexadas à progressão. Mas de acordo com a progressão- tudo gira em torno de três parâmetros.

Por exemplo, considere alguns tarefas populares neste tópico.

2. Escreva a progressão aritmética final como uma série se n=5, d=0,4 e a 1=3,6.

Tudo é simples aqui. Tudo já está dado. Você precisa se lembrar de como os membros de uma progressão aritmética são calculados, contados e anotados. É aconselhável não pular as palavras na condição de tarefa: "final" e " n=5". Para não contar até ficar completamente azul de cara.) Existem apenas 5 (cinco) membros nesta progressão:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0,4 \u003d 4,4

um 4 = um 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

um 5 = um 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Resta anotar a resposta:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Outra tarefa:

3. Determine se o número 7 será membro de uma progressão aritmética (a n) se a 1 \u003d 4,1; d = 1,2.

Hum... Quem sabe? Como definir algo?

Como-como... Sim, anote a progressão em forma de série e veja se haverá um sete ou não! Nós acreditamos:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4,1 + 1,2 \u003d 5,3

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5,3 + 1,2 \u003d 6,5

um 4 = um 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Agora vê-se claramente que somos apenas sete escorregou entre 6,5 e 7,7! O sete não entrou em nossa série de números e, portanto, o sete não será membro da progressão dada.

Resposta: não.

E aqui está um problema baseado em versão real GIA:

4. Vários membros consecutivos da progressão aritmética são escritos:

...; quinze; X; 9; 6; ...

Aqui está uma série sem fim e sem começo. Sem números de membros, sem diferença d. Tudo bem. Para resolver o problema, basta entender o significado de uma progressão aritmética. Vamos ver e ver o que podemos saber desta linha? Quais são os parâmetros dos três principais?

Números de membros? Não há um único número aqui.

Mas há três números e - atenção! - palavra "consecutivo" em condição. Isso significa que os números estão estritamente em ordem, sem lacunas. Há dois nesta fileira? vizinho números conhecidos? Sim existe! Estes são 9 e 6. Assim podemos calcular a diferença de uma progressão aritmética! Subtraímos dos seis anterior número, ou seja nove:

Restam espaços vazios. Qual será o número anterior para x? Quinze. Então X pode ser facilmente encontrado adição simples. Para 15 adicione a diferença de uma progressão aritmética:

Isso é tudo. Responda: x=12

Nós mesmos resolvemos os seguintes problemas. Nota: estes quebra-cabeças não são para fórmulas. Puramente para entender o significado de uma progressão aritmética.) Nós apenas escrevemos uma série de números-letras, olhamos e pensamos.

5. Encontre o primeiro termo positivo da progressão aritmética se a 5 = -3; d = 1,1.

6. Sabe-se que o número 5,5 é um membro da progressão aritmética (a n), onde a 1 = 1,6; d = 1,3. Determine o número n deste termo.

7. Sabe-se que em uma progressão aritmética a 2 = 4; a 5 \u003d 15.1. Encontre um 3 .

8. Vários membros consecutivos da progressão aritmética são escritos:

...; 15,6; X; 3,4; ...

Encontre o termo da progressão, denotado pela letra x.

9. O trem começou a se mover da estação, aumentando gradativamente sua velocidade em 30 metros por minuto. Qual será a velocidade do trem em cinco minutos? Dê sua resposta em km/h.

10. Sabe-se que em uma progressão aritmética a 2 = 5; a 6 = -5. Encontre um 1.

Respostas (em desordem): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; quatro.

Deu tudo certo? Maravilhoso! Você pode dominar a progressão aritmética por mais alto nível, nas próximas aulas.

Não deu tudo certo? Sem problemas. Na Seção Especial 555, todos esses quebra-cabeças são classificados por ossos.) E, claro, um simples técnica prática, que imediatamente destaca a solução de tais tarefas de forma clara, clara, à vista!

A propósito, no quebra-cabeça sobre o trem, existem dois problemas nos quais as pessoas costumam tropeçar. Um - puramente por progressão, e o segundo - comum a qualquer tarefa em matemática e física também. Esta é uma tradução de dimensões de uma para outra. Mostra como esses problemas devem ser resolvidos.

Nesta lição, examinamos o significado elementar de uma progressão aritmética e seus principais parâmetros. Isso é suficiente para resolver quase todos os problemas sobre este tópico. Adicionar d aos números, escreva uma série, tudo será decidido.

A solução do dedo funciona bem para peças muito curtas da série, como nos exemplos desta lição. Se a série for mais longa, os cálculos se tornam mais complicados. Por exemplo, se estiver no problema 9 da pergunta, substitua "cinco minutos" no "trinta e cinco minutos" o problema se tornará muito pior.)

E também há tarefas que são simples em sua essência, mas totalmente absurdas em termos de cálculos, por exemplo:

Dada uma progressão aritmética (a n). Encontre um 121 se a 1 = 3 e d = 1/6.

E o que, vamos adicionar 1/6 muitas, muitas vezes?! É possível se matar!?

Você pode.) Se você não sabe uma fórmula simples, segundo o qual você pode resolver essas tarefas em um minuto. Esta fórmula estará na próxima lição. E esse problema está resolvido lá. Em um minuto.)

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Você pode praticar a resolução de exemplos e descobrir seu nível. Testes com verificação instantânea. Aprendendo - com interesse!)

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Instrução

Uma progressão aritmética é uma sequência da forma a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Etapa número d progressões. Obviamente, o total de um enésimo termo arbitrário da aritmética progressões tem a forma: An = A1+(n-1)d. Então, conhecendo um dos membros progressões, membro progressões e passo progressões, pode ser , ou seja, o número do termo de progressão. Obviamente, será determinado pela fórmula n = (An-A1+d)/d.

Seja conhecido agora o m-ésimo termo progressões e algum outro membro progressões- n-th, mas n , como no caso anterior, mas sabe-se que n e m não coincidem.Passo progressões pode ser calculado pela fórmula: d = (An-Am)/(n-m). Então n = (An-Am+md)/d.

Se a soma de vários elementos de uma aritmética progressões, bem como seu primeiro e último , então o número desses elementos também pode ser determinado. progressões será igual a: S = ((A1+An)/2)n. Então n = 2S/(A1+An) são chdenov progressões. Usando o fato de que An = A1+(n-1)d, esta fórmula pode ser reescrita como: n = 2S/(2A1+(n-1)d). A partir disso, pode-se expressar n resolvendo Equação quadrática.

Uma sequência aritmética é um conjunto ordenado de números, cada membro dos quais, exceto o primeiro, difere do anterior pela mesma quantidade. este constanteé chamado a diferença da progressão ou seu passo e pode ser calculado a partir dos membros conhecidos da progressão aritmética.

Instrução

Se os valores do primeiro e do segundo ou qualquer outro par de termos vizinhos são conhecidos das condições do problema, para calcular a diferença (d), basta subtrair o termo anterior do próximo termo. O valor resultante pode ser positivo ou número negativo- depende se a progressão está aumentando. NO Forma geral escreva a solução para um par arbitrário (aᵢ e aᵢ₊₁) de membros vizinhos da progressão como segue: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Para um par de membros de tal progressão, um dos quais é o primeiro (a₁), e o outro é qualquer outro escolhido arbitrariamente, pode-se também fazer uma fórmula para encontrar a diferença (d). No entanto, neste caso, o número de série (i) de um membro escolhido arbitrário da sequência deve ser conhecido. Para calcular a diferença, some os dois números e divida o resultado pelo número ordinal de um termo arbitrário reduzido por um. Em geral, escreva esta fórmula da seguinte forma: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Se, além de um membro arbitrário da progressão aritmética com número ordinal i, outro membro com número ordinal u for conhecido, altere a fórmula do passo anterior de acordo. Nesse caso, a diferença (d) da progressão será a soma desses dois termos dividida pela sua diferença números de série: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

A fórmula para calcular a diferença (d) torna-se um pouco mais complicada se, nas condições do problema, for dado o valor de seu primeiro membro (a₁) e a soma (Sᵢ) de um dado número (i) dos primeiros membros sequência aritmética. Para obter o valor desejado, divida a soma pelo número de termos que a compuseram, subtraia o valor do primeiro número da sequência e dobre o resultado. Divida o valor resultante pelo número de termos que compuseram a soma reduzida por um. Em geral, escreva a fórmula para calcular o discriminante da seguinte forma: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

o que ponto principal fórmulas?

Esta fórmula permite encontrar algum POR SEU NÚMERO" n" .

Claro, você precisa saber o primeiro termo um 1 e diferença de progressão d, bem, sem esses parâmetros, você não pode escrever uma progressão específica.

Não é suficiente memorizar (ou trapacear) esta fórmula. É preciso assimilar sua essência e aplicar a fórmula em vários problemas. E não se esqueça de momento certo, mas como não esqueça- Não sei. Mas como lembrar Se precisar, dou uma dica. Para aqueles que dominam a lição até o fim.)

Então, vamos lidar com a fórmula do n-ésimo membro de uma progressão aritmética.

O que é uma fórmula em geral - imaginamos.) O que é uma progressão aritmética, um número de membro, uma diferença de progressão - é claramente indicado na lição anterior. Dê uma olhada se você não leu. Tudo é simples lá. Resta saber o que enésimo membro.

A progressão em geral pode ser escrita como uma série de números:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

um 1- denota o primeiro termo de uma progressão aritmética, um 3- terceiro membro um 4- quarto, e assim por diante. Se estamos interessados ​​no quinto termo, digamos que estamos trabalhando com um 5, se centésimo vigésimo - de um 120.

Como definir em geral algum membro de uma progressão aritmética, s algum número? Muito simples! Assim:

um

É isso que é n-ésimo membro de uma progressão aritmética. Sob a letra n, todos os números de membros estão ocultos de uma só vez: 1, 2, 3, 4 e assim por diante.

E o que esse registro nos dá? Basta pensar, em vez de um número, eles escreveram uma carta ...

Esta entrada nos dá ferramenta poderosa trabalhar com progressão aritmética. Usando a notação um, podemos encontrar rapidamente algum membro algum progressão aritmética. E um monte de tarefas para resolver em progressão. Você verá mais adiante.

Na fórmula do enésimo membro de uma progressão aritmética:

a n = a 1 + (n-1)d

um 1- o primeiro membro da progressão aritmética;

n- número de membro.

A fórmula vincula os principais parâmetros de qualquer progressão: um ; um 1; d e n. Em torno desses parâmetros, todos os quebra-cabeças giram em progressão.

A fórmula do enésimo termo também pode ser usada para escrever uma progressão específica. Por exemplo, no problema pode-se dizer que a progressão é dada pela condição:

a n = 5 + (n-1) 2.

Tal problema pode até confundir... Não há série, não há diferença... Mas, comparando a condição com a fórmula, é fácil perceber que nessa progressão a 1 \u003d 5 e d \u003d 2.

E pode ser ainda mais irado!) Se tomarmos a mesma condição: a n = 5 + (n-1) 2, sim, abra os colchetes e dê os semelhantes? Obtemos uma nova fórmula:

an = 3 + 2n.

isto Só não geral, mas para uma progressão específica. É aqui que está a armadilha. Algumas pessoas pensam que o primeiro termo é um três. Embora na realidade o primeiro membro seja um cinco... Um pouco mais baixo trabalharemos com essa fórmula modificada.

Em tarefas para progressão, há outra notação - um n+1. Este é, você adivinhou, o "n mais o primeiro" termo da progressão. Seu significado é simples e inofensivo.) Este é um membro da progressão, cujo número é maior que o número n por um. Por exemplo, se em algum problema tomamos por um quinto termo, então um n+1 será o sexto membro. etc.

Na maioria das vezes a designação um n+1 ocorre em fórmulas recursivas. Não tenha medo disso palavra terrível!) Esta é apenas uma maneira de expressar um termo de uma progressão aritmética através do anterior. Suponha que nos seja dada uma progressão aritmética nesta forma, usando a fórmula recorrente:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

O quarto - até o terceiro, o quinto - até o quarto e assim por diante. E como contar imediatamente, digamos o vigésimo termo, um 20? Mas de jeito nenhum!) Enquanto o 19º termo não é conhecido, o 20º não pode ser contado. Esta é a diferença fundamental entre a fórmula recursiva e a fórmula do enésimo termo. A recursiva funciona apenas através de anterior termo, e a fórmula do enésimo termo - através o primeiro e permite imediatamente encontrar qualquer membro pelo seu número. Não contando toda a série de números em ordem.

Em uma progressão aritmética, uma fórmula recursiva pode ser facilmente transformada em uma regular. Conte um par de termos consecutivos, calcule a diferença d, encontre, se necessário, o primeiro termo um 1, escreva a fórmula na forma usual e trabalhe com ela. No GIA, essas tarefas são frequentemente encontradas.

Aplicação da fórmula do n-ésimo membro de uma progressão aritmética.

Para começar, considere aplicação direta fórmulas. No final da lição anterior, havia um problema:

Dada uma progressão aritmética (a n). Encontre um 121 se a 1 = 3 e d = 1/6.

Este problema pode ser resolvido sem fórmulas, simplesmente com base no significado da progressão aritmética. Adicionar, sim, adicionar... Uma ou duas horas.)

E de acordo com a fórmula, a solução levará menos de um minuto. Você pode cronometrar.) Nós decidimos.

As condições fornecem todos os dados para usar a fórmula: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Resta saber o que n. Sem problemas! Precisamos encontrar um 121. Aqui escrevemos:

Por favor preste atenção! Em vez de um índice n apareceu um número específico: 121. O que é bastante lógico.) Estamos interessados ​​no membro da progressão aritmética número cento e vinte e um. Este será o nosso n.É este significado n= 121 substituiremos mais adiante na fórmula, entre colchetes. Substitua todos os números na fórmula e calcule:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Isso é tudo o que há para isso. Tão rapidamente se poderia encontrar o quingentésimo décimo membro, e o milésimo terceiro, qualquer um. Colocamos em seu lugar n número desejado no índice da carta " uma" e entre parênteses, e nós consideramos.

Deixe-me lembrá-lo da essência: esta fórmula permite que você encontre algum termo de uma progressão aritmética POR SEU NÚMERO" n" .

Vamos resolver o problema de forma mais inteligente. Digamos que temos o seguinte problema:

Encontre o primeiro termo da progressão aritmética (a n) se a 17 =-2; d=-0,5.

Se você tiver alguma dificuldade, vou sugerir o primeiro passo. Escreva a fórmula para o enésimo termo de uma progressão aritmética! Sim Sim. Escreva à mão, diretamente no seu caderno:

a n = a 1 + (n-1)d

E agora, olhando as letras da fórmula, entendemos quais dados temos e o que está faltando? Disponível d=-0,5, há um décimo sétimo membro... Tudo? Se você pensa que é tudo, então você não pode resolver o problema, sim...

Também temos um número n! Na condição a 17 =-2 escondido duas opções. Este é o valor do décimo sétimo membro (-2) e seu número (17). Aqueles. n=17. Essa "coisinha" muitas vezes passa pela cabeça, e sem ela (sem a "coisinha", não a cabeça!) O problema não pode ser resolvido. Embora... e sem cabeça também.)

Agora podemos substituir estupidamente nossos dados na fórmula:

a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

Oh sim, um 17 sabemos que é -2. Ok, vamos colocar:

-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

Isso, em essência, é tudo. Resta expressar o primeiro termo da progressão aritmética da fórmula e calcular. Você obtém a resposta: 1 = 6.

Tal técnica - escrever uma fórmula e simplesmente substituir dados conhecidos - ajuda muito na tarefas simples. Bem, você deve, é claro, ser capaz de expressar uma variável a partir de uma fórmula, mas o que fazer!? Sem essa habilidade, a matemática não pode ser estudada ...

Outro problema popular:

Encontre a diferença da progressão aritmética (a n) se a 1 =2; a 15 = 12.

O que estamos fazendo? Você ficará surpreso, escrevemos a fórmula!)

a n = a 1 + (n-1)d

Considere o que sabemos: a 1 = 2; a 15 = 12; e (destaque especial!) n=15. Sinta-se à vontade para substituir na fórmula:

12=2 + (15-1)d

Vamos fazer a aritmética.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Essa é a resposta correta.

Então, tarefas um n , um 1 e d decidido. Resta saber como encontrar o número:

O número 99 é membro de uma progressão aritmética (a n), onde a 1 = 12; d=3. Encontre o número deste membro.

Substituímos as quantidades conhecidas na fórmula do enésimo termo:

a n = 12 + (n-1) 3

À primeira vista, existem duas quantidades desconhecidas aqui: um n e n. Mas umé algum membro da progressão com o número n... E este membro da progressão que conhecemos! É 99. Não sabemos o número dele. n, então esse número também precisa ser encontrado. Substitua o termo de progressão 99 na fórmula:

99 = 12 + (n-1) 3

Expressamos pela fórmula n, nós pensamos. Obtemos a resposta: n=30.

E agora um problema no mesmo tópico, mas mais criativo):

Determine se o número 117 será um membro de uma progressão aritmética (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Vamos escrever a fórmula novamente. O que, não há opções? Hm... Por que precisamos de olhos?) Vemos o primeiro membro da progressão? Nós vemos. Isso é -3,6. Você pode escrever com segurança: a 1 \u003d -3,6. Diferença d pode ser determinado a partir da série? É fácil se você souber qual é a diferença de uma progressão aritmética:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Sim, fizemos a coisa mais simples. Resta lidar com um número desconhecido n e um número incompreensível 117. No problema anterior, pelo menos se sabia que era o termo da progressão que era dado. Mas aqui a gente nem sabe disso... Como ser!? Bem, como ser, como ser... Ligue Habilidades criativas!)

Nós suponha que 117 é, afinal, um membro de nossa progressão. Com um número desconhecido n. E, assim como no problema anterior, vamos tentar encontrar esse número. Aqueles. escrevemos a fórmula (sim-sim!)) e substituímos nossos números:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Novamente expressamos pela fórmulan, contamos e obtemos:

Ops! O número acabou fracionário! Cento e um e meio. E números fracionários em progressões não pode ser. Que conclusão tiramos? Sim! Número 117 não é membro da nossa progressão. Está em algum lugar entre o 101º e o 102º membros. Se o número for natural, ou seja, inteiro positivo, então o número seria um membro da progressão com o número encontrado. E no nosso caso, a resposta para o problema será: não.

Tarefa baseada em uma versão real do GIA:

A progressão aritmética é dada pela condição:

a n \u003d -4 + 6,8n

Encontre o primeiro e o décimo termos da progressão.

Aqui a progressão é definida de uma forma incomum. Algum tipo de fórmula ... Acontece.) No entanto, esta fórmula (como escrevi acima) - também a fórmula do n-ésimo membro de uma progressão aritmética! Ela também permite encontre qualquer membro da progressão pelo seu número.

Estamos procurando o primeiro membro. Aquele que pensa. que o primeiro termo é menos quatro, é um erro fatal!) Porque a fórmula do problema é modificada. O primeiro termo de uma progressão aritmética nele escondido. Nada, vamos encontrá-lo agora.)

Assim como nas tarefas anteriores, substituímos n=1 dentro esta fórmula:

a 1 \u003d -4 + 6,8 1 \u003d 2,8

Aqui! O primeiro termo é 2,8, não -4!

Da mesma forma, estamos procurando o décimo termo:

a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64

Isso é tudo o que há para isso.

E agora, para aqueles que leram até estas linhas, o bônus prometido.)

Suponha que, em uma situação de combate difícil, o GIA ou o Unified State Examination, você esqueceu fórmula útil enésimo membro de uma progressão aritmética. Algo vem à mente, mas de alguma forma incerta ... Se n lá, ou n+1, ou n-1... Como ser!?

Calma! Esta fórmula é fácil de derivar. Não muito rigoroso, mas para ter certeza e decisão certa isso é o suficiente!) Para a conclusão, basta lembrar o significado elementar da progressão aritmética e ter alguns minutos de tempo. Você só precisa fazer um desenho. Para maior clareza.

Nos desenhamos eixo numérico e marque o primeiro nele. segundo, terceiro, etc. membros. E observe a diferença d entre membros. Assim:

Olhamos para a imagem e pensamos: a que equivale o segundo termo? Segundo 1 d:

uma 2 =a 1 + 1 d

Qual é o terceiro termo? Terceiro termo é igual ao primeiro termo mais dois d.

uma 3 =a 1 + 2 d

Você entendeu? Não sou em vão destacando algumas palavras em negrito. Ok, mais um passo.)

Qual é o quarto termo? Quarto termo é igual ao primeiro termo mais três d.

uma 4 =a 1 + 3 d

É hora de perceber que o número de lacunas, ou seja, d, sempre um a menos que o número do membro que você está procurando n. Ou seja, até o número n, número de lacunas vai ser n-1. Então, a fórmula será (sem opções!):

a n = a 1 + (n-1)d

Em geral, as imagens visuais são muito úteis na resolução de muitos problemas de matemática. Não negligencie as imagens. Mas se for difícil desenhar uma imagem, então ... apenas uma fórmula!) Além disso, a fórmula do enésimo termo permite conectar todo o poderoso arsenal da matemática à solução - equações, desigualdades, sistemas etc. Você não pode colocar uma imagem em uma equação...

Tarefas para decisão independente.

Para aquecimento:

1. Na progressão aritmética (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. Encontre um 3 .

Dica: de acordo com a imagem, o problema é resolvido em 20 segundos... De acordo com a fórmula, fica mais difícil. Mas para dominar a fórmula, é mais útil.) Na Seção 555, esse problema é resolvido tanto pela figura quanto pela fórmula. Sinta a diferença!)

E isso não é mais um aquecimento.)

2. Na progressão aritmética (a n) a 85 \u003d 19,1; a 236 =49, 3. Encontre a 3 .

O que, relutância em desenhar?) Ainda! É melhor na fórmula, sim...

3. A progressão aritmética é dada pela condição:a 1 \u003d -5,5; an+1 = an+0,5. Encontre o centésimo vigésimo quinto termo dessa progressão.

Nesta tarefa, a progressão é dada de forma recorrente. Mas contando até o centésimo vigésimo quinto termo... Nem todos podem fazer tal façanha.) Mas a fórmula do enésimo termo está ao alcance de todos!

4. Dada uma progressão aritmética (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Encontre o número do menor termo positivo da progressão.

5. De acordo com a condição da tarefa 4, encontre a soma dos menores membros positivos e maiores negativos da progressão.

6. O produto do quinto e décimo segundo termos de uma progressão aritmética crescente é -2,5, e a soma do terceiro e décimo primeiro termos é zero. Encontre um 14 .

Não é a tarefa mais fácil, sim ...) Aqui o método "nos dedos" não funcionará. Você tem que escrever fórmulas e resolver equações.

Respostas (em desordem):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Ocorrido? É legal!)

Nem tudo dá certo? Acontece. Aliás, em última tarefa há um ponto sutil. Será necessária atenção na leitura do problema. E lógica.

A solução para todos esses problemas é discutida em detalhes na Seção 555. E o elemento de fantasia para o quarto, e o momento sutil para o sexto, e abordagens gerais para resolver quaisquer problemas para a fórmula do enésimo termo - tudo é pintado. Eu recomendo.

Se você gosta deste site...

A propósito, tenho mais alguns sites interessantes para você.)

Você pode praticar a resolução de exemplos e descobrir seu nível. Testes com verificação instantânea. Aprendendo - com interesse!)

você pode se familiarizar com funções e derivadas.

O lema da nossa lição serão as palavras do matemático russo V.P. Ermakova: “Na matemática, deve-se lembrar não de fórmulas, mas de processos de pensamento”.

Durante as aulas

Formulação do problema

No quadro há um retrato de Gauss. Um professor ou aluno que recebeu antecipadamente a tarefa de preparar uma mensagem diz que quando Gauss estava na escola, o professor pediu aos alunos que somassem tudo inteiros de 1 a 100. Little Gauss resolveu esse problema em um minuto.

Pergunta . Como Gauss obteve a resposta?

Busque soluções

Os alunos expressam suas suposições e depois resumem: percebendo que as somas 1 + 100, 2 + 99 etc. são iguais, Gauss multiplicou 101 por 50, ou seja, pelo número de tais somas. Em outras palavras, ele notou um padrão inerente a uma progressão aritmética.

Derivação da fórmula da soma n os primeiros termos de uma progressão aritmética

Escreva o tópico da lição no quadro e em seus cadernos. Os alunos, juntamente com o professor, escrevem a derivação da fórmula:

Deixar uma 1 ; uma 2 ; uma 3 ; uma 4 ; ...; um – 2 ; um – 1 ; um- progressão aritmética.

Fixação primária

1. Vamos resolver, usando a fórmula (1), o problema de Gauss:

2. Usando a fórmula (1), resolva os problemas oralmente (suas condições estão escritas no quadro ou código positivo), ( um) - progressão aritmética:

a) uma 1 = 2, uma 10 = 20. S 10 - ?

b) uma 1 = –5, uma 7 = 1. S 7 - ? [–14]

dentro) uma 1 = –2, uma 6 = –17. S 6 - ? [–57]

G) uma 1 = –5, uma 11 = 5. S 11 - ?

3. Conclua a tarefa.

Dado :( um) - progressão aritmética;

uma 1 = 3, uma 60 = 57.

Achar: S 60 .

Solução. Vamos usar a fórmula da soma n os primeiros termos de uma progressão aritmética

Responda: 1800.

Pergunta adicional. Quantos tipos de problemas diferentes podem ser resolvidos por esta fórmula?

Responda. Quatro tipos de tarefas:

Encontre a quantidade S n;

Encontre o primeiro termo de uma progressão aritmética uma 1 ;

Achar n-ésimo membro de uma progressão aritmética um;

Encontre o número de membros de uma progressão aritmética.

4. Tarefa completa: Nº 369(b).

Encontre a soma dos sexagésimo primeiro termos de uma progressão aritmética ( um), E se uma 1 = –10,5, uma 60 = 51,5.

Solução.

Responda: 1230.

Pergunta adicional. Anote a fórmula nº membro de uma progressão aritmética.

Responda: um = uma 1 + d(n – 1).

5. Calcule a fórmula para os primeiros nove termos de uma progressão aritmética ( b n),
E se b 1 = –17, d = 6.

É possível calcular imediatamente usando uma fórmula?

Não, porque o nono termo é desconhecido.

Como encontrá-lo?

De acordo com a fórmula nº membro de uma progressão aritmética.

Solução. b 9 = b 1 + 8d = –17 + 8∙6 = 31;

Responda: 63.

Pergunta. É possível encontrar a soma sem calcular o nono termo da progressão?

Formulação do problema

Problema: obter a fórmula da soma n os primeiros termos de uma progressão aritmética, conhecendo seu primeiro termo e a diferença d.

(A saída da fórmula no quadro-negro pelo aluno.)

Decisão nº 371(a) sobre nova fórmula (2):

Consolide verbalmente as fórmulas (2) ( as condições da tarefa são escritas no quadro).

(um

1. uma 1 = 3, d = 4. S 4 - ?

2. uma 1 = 2, d = –5. S 3 - ? [–9]

Pergunte aos alunos quais perguntas eles não entendem.

Trabalho independente

Opção 1

Dado: (um) é uma progressão aritmética.

1. uma 1 = –3, uma 6 = 21. S 6 - ?

2. uma 1 = 6, d = –3. S 4 - ?

opção 2

Dado: (um) é uma progressão aritmética.

1.uma 1 = 2, uma 8 = –23. S 8 - ? [–84]

2.uma 1 = –7, d = 4. S 5 - ?

Os alunos trocam os cadernos e verificam as soluções uns dos outros.

Resuma a assimilação do material com base nos resultados do trabalho independente.