Hlavné vlastnosti prirodzeného logaritmu, graf, definičný obor, množina hodnôt, základné vzorce, derivácia, integrál, expanzia v mocninný rad a reprezentujúci funkciu ln x z hľadiska komplexných čísel.

Definícia

prirodzený logaritmus je funkcia y = ln x, inverzná k exponentu, x \u003d e y , a čo je logaritmus k základu čísla e: ln x = log e x.

Prirodzený logaritmus je široko používaný v matematike, pretože jeho derivát má najjednoduchšiu formu: (ln x)' = 1/ x.

Na základe definície, základom prirodzeného logaritmu je číslo e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Graf funkcie y = ln x.

Graf prirodzeného logaritmu (funkcie y = ln x) sa získa z grafu exponentov Zrkadlový obraz vzhľadom na priamku y = x .

Prirodzený logaritmus je definovaný pri kladné hodnoty premenná x. Monotónne narastá na svojej doméne definície.

Ako x → 0 limita prirodzeného logaritmu je mínus nekonečno ( - ∞ ).

Ako x → + ∞ je limita prirodzeného logaritmu plus nekonečno ( + ∞ ). Pre veľké x sa logaritmus zvyšuje pomerne pomaly. akýkoľvek výkonová funkcia x a s kladným exponentom a rastie rýchlejšie ako logaritmus.

Vlastnosti prirodzeného logaritmu

Oblasť definície, súbor hodnôt, extrémy, nárast, pokles

Prirodzený logaritmus je monotónne rastúca funkcia, takže nemá žiadne extrémy. Hlavné vlastnosti prirodzeného logaritmu sú uvedené v tabuľke.

ln x hodnoty

log 1 = 0

Základné vzorce pre prirodzené logaritmy

Vzorce vyplývajúce z definície inverznej funkcie:

Hlavná vlastnosť logaritmov a jej dôsledky

Vzorec na nahradenie bázy

Akýkoľvek logaritmus možno vyjadriť prirodzenými logaritmami pomocou vzorca na zmenu bázy:

Dôkazy týchto vzorcov sú uvedené v časti "Logaritmus".

Inverzná funkcia

Prevrátená hodnota prirodzeného logaritmu je exponent.

Ak potom

Ak potom .

Derivát ln x

Derivácia prirodzeného logaritmu:
.
Derivácia prirodzeného logaritmu modulo x:
.
Derivát n-tého rádu:
.
Odvodenie vzorcov > > >

Integrálne

Integrál sa vypočíta integráciou po častiach:
.
takze

Výrazy v komplexných číslach

Uvažujme funkciu komplexnej premennej z:
.
Vyjadrime komplexnú premennú z cez modul r a argument φ :
.
Pomocou vlastností logaritmu máme:
.
Alebo
.
Argument φ nie je jednoznačne definovaný. Ak dáme
, kde n je celé číslo,
potom to bude rovnaké číslo pre rôzne n.

Preto prirodzený logaritmus ako funkcia komplexnej premennej nie je funkciou s jednou hodnotou.

Rozšírenie výkonového radu

Pre , rozšírenie prebieha:

Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a študentov vysokých škôl, Lan, 2009.

Ako viete, pri násobení výrazov mocninami sa ich exponenty vždy sčítajú (a b * a c = a b + c). Toto matematický zákon odvodil Archimedes a neskôr, v 8. storočí, vytvoril matematik Virasen tabuľku celočíselných ukazovateľov. Boli to oni, ktorí slúžili na ďalšie objavovanie logaritmov. Príklady použitia tejto funkcie nájdeme takmer všade tam, kde je potrebné zjednodušiť ťažkopádne násobenie na jednoduché sčítanie. Ak strávite 10 minút čítaním tohto článku, vysvetlíme vám, čo sú to logaritmy a ako s nimi pracovať. Jednoduchý a prístupný jazyk.

Definícia v matematike

Logaritmus je vyjadrením nasledujúceho tvaru: log a b=c, teda logaritmus ľubovoľného nezáporné číslo(t. j. akékoľvek kladné) "b" na jeho základ "a" sa považuje za mocninu "c", na ktorú musí byť základ "a" povýšený, aby sa nakoniec dostala hodnota "b". Analyzujme logaritmus na príkladoch, povedzme, že existuje výraz log 2 8. Ako nájsť odpoveď? Je to veľmi jednoduché, musíte nájsť taký stupeň, aby ste od 2 do požadovaného stupňa dostali 8. Po vykonaní niekoľkých výpočtov vo vašej mysli dostaneme číslo 3! A je to tak správne, pretože 2 na mocninu 3 dáva v odpovedi číslo 8.

Odrody logaritmov

Pre mnohých žiakov a študentov sa táto téma zdá zložitá a nepochopiteľná, ale v skutočnosti logaritmy nie sú také strašidelné, hlavnou vecou je pochopiť ich všeobecný význam a zapamätať si ich vlastnosti a niektoré pravidlá. Sú tam tri určité typy logaritmické výrazy:

1. Prirodzený logaritmus ln a, kde základom je Eulerovo číslo (e = 2,7).
2. Desatinné a, kde základ je 10.
3. Logaritmus ľubovoľného čísla b so základom a>1.

Každý z nich je rozhodnutý štandardným spôsobom, ktorá zahŕňa zjednodušenie, redukciu a následnú redukciu na jeden logaritmus pomocou logaritmické vety. Obdržať správne hodnoty logaritmy, mali by ste si pamätať ich vlastnosti a postupnosť akcií pri ich rozhodnutiach.

Pravidlá a určité obmedzenia

V matematike existuje niekoľko pravidiel-obmedzení, ktoré sú akceptované ako axióma, to znamená, že nie sú predmetom diskusie a sú pravdivé. Nemôžete napríklad deliť čísla nulou a tiež nie je možné extrahovať koreň párny stupeň od záporné čísla. Logaritmy majú tiež svoje pravidlá, podľa ktorých sa ľahko naučíte pracovať aj s dlhými a objemnými logaritmickými výrazmi:

• základ „a“ musí byť vždy väčší ako nula a zároveň sa nesmie rovnať 1, inak výraz stratí svoj význam, pretože „1“ a „0“ sa v akomkoľvek stupni vždy rovnajú svojim hodnotám;
• ak a > 0, potom a b > 0, ukáže sa, že "c" musí byť väčšie ako nula.

Ako vyriešiť logaritmy?

Napríklad vzhľadom na úlohu nájsť odpoveď na rovnicu 10 x \u003d 100. Je to veľmi jednoduché, musíte si vybrať takú silu zvýšením čísla desať, na ktoré dostaneme 100. Toto je, samozrejme, 10 2 \u003d 100.

Teraz si predstavme daný výraz v logaritmickej forme. Dostaneme log 10 100 = 2. Pri riešení logaritmov všetky akcie prakticky konvergujú k zisteniu miery, do akej je potrebné zadať základ logaritmu, aby sme získali dané číslo.

Pre bezchybné určenie hodnoty neznámy stupeň musíte sa naučiť pracovať s tabuľkou stupňov. Vyzerá to takto:

Ako vidíte, niektoré exponenty sa dajú uhádnuť intuitívne, ak máte technické myslenie a znalosti násobilky. Avšak, pre veľké hodnoty potrebujete tabuľku stupňov. Môžu ho použiť aj tí, ktorí komplexne nerozumejú vôbec ničomu matematické témy. Ľavý stĺpec obsahuje čísla (základ a), horný rad čísel je hodnota mocniny c, na ktorú je číslo a umocnené. Na priesečníku buniek sa určia hodnoty čísel, ktoré sú odpoveďou (a c = b). Zoberme si napríklad úplne prvú bunku s číslom 10 a odmocnime ju, dostaneme hodnotu 100, ktorá je naznačená na priesečníku našich dvoch buniek. Všetko je také jednoduché a ľahké, že to pochopí aj ten najskutočnejší humanista!

Rovnice a nerovnice

Ukazuje sa, že za určitých podmienok je exponentom logaritmus. Preto akékoľvek matematické numerické výrazy možno zapísať ako logaritmickú rovnicu. Napríklad 3 4 = 81 možno zapísať ako logaritmus 81 k základu 3, čo je štyri (log 3 81 = 4). Pre negatívne sily pravidlá sú rovnaké: 2 -5 \u003d 1/32 píšeme vo forme logaritmu, dostaneme log 2 (1/32) \u003d -5. Jednou z najfascinujúcejších častí matematiky je téma „logaritmov“. Príklady a riešenia rovníc zvážime o niečo nižšie, hneď po preštudovaní ich vlastností. Teraz sa pozrime na to, ako vyzerajú nerovnosti a ako ich odlíšiť od rovníc.

Je daný výraz v nasledujúcom tvare: log 2 (x-1) > 3 - je logaritmická nerovnosť, pretože neznáma hodnota "x" je pod znamienkom logaritmu. A tiež vo výraze sa porovnávajú dve veličiny: logaritmus požadovaného čísla v základe dva je väčší ako číslo tri.

Najdôležitejší rozdiel medzi logaritmickými rovnicami a nerovnosťami je ten, že rovnice s logaritmami (napríklad logaritmus 2 x = √9) znamenajú jeden alebo viac špecifických číselné hodnoty, pričom pri riešení nerovností sú definované ako plocha povolené hodnoty a body diskontinuity tejto funkcie. V dôsledku toho odpoveď nie je jednoduchá jednotlivé čísla ako v odpovedi rovnice a a súvislý rad alebo súbor čísel.

Základné vety o logaritmoch

Pri riešení primitívnych úloh pri hľadaní hodnôt logaritmu nemusia byť jeho vlastnosti známe. Pokiaľ však ide o logaritmické rovnice alebo nerovnice, v prvom rade je potrebné jasne pochopiť a prakticky aplikovať všetky základné vlastnosti logaritmov. S príkladmi rovníc sa zoznámime neskôr, najprv si každú vlastnosť podrobnejšie rozoberieme.

1. Základná identita vyzerá takto: a logaB =B. Platí len vtedy, ak a je väčšie ako 0, nerovná sa jednej a B je väčšie ako nula.
2. Logaritmus súčinu môže byť vyjadrený v nasledujúcom vzorci: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. predpokladom je: d, s1 a s2 > 0; a≠1. Môžete poskytnúť dôkaz pre tento vzorec logaritmov s príkladmi a riešením. Nech log a s 1 = f 1 a log a s 2 = f 2, potom a f1 = s 1, a f2 = s 2. Dostaneme, že s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (vlastnosti stupňov ), a ďalej podľa definície: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, čo sa malo dokázať.
3. Logaritmus kvocientu vyzerá takto: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Veta vo forme vzorca nadobúda ďalší pohľad: log a q b n = n/q log a b.

Tento vzorec sa nazýva "vlastnosť stupňa logaritmu". Pripomína vlastnosti bežných stupňov a nie je to prekvapujúce, pretože celá matematika spočíva na pravidelných postulátoch. Pozrime sa na dôkaz.

Nechaj log a b \u003d t, ukáže sa t \u003d b. Ak zdvihnete obe časti na mocninu m: a tn = b n ;

ale keďže a tn = (a q) nt/q = b n , teda log a q b n = (n*t)/t, potom log a q b n = n/q log a b. Veta bola dokázaná.

Príklady problémov a nerovností

Najbežnejšími typmi logaritmických problémov sú príklady rovníc a nerovníc. Nachádzajú sa takmer vo všetkých problémových knihách a sú tiež zahrnuté povinná časť skúšky z matematiky. Na prijatie na univerzitu alebo absolvovanie prijímacie skúšky v matematike treba vedieť takéto úlohy správne riešiť.

Bohužiaľ neexistuje jednotný plán alebo schéma na riešenie a určenie neznámej hodnoty logaritmu, avšak pre každého matematická nerovnosť alebo možno použiť logaritmickú rovnicu určité pravidlá. Najprv by ste mali zistiť, či sa výraz dá zjednodušiť alebo zredukovať všeobecný pohľad. Zjednodušte dlho logaritmické výrazy Môžete, ak správne používate ich vlastnosti. Poďme sa s nimi čoskoro zoznámiť.

Pri riešení logaritmických rovníc je potrebné určiť, aký typ logaritmu máme pred sebou: príklad výrazu môže obsahovať prirodzený logaritmus alebo desiatkový.

Tu sú príklady ln100, ln1026. Ich riešenie sa scvrkáva na skutočnosť, že musíte určiť, do akej miery sa základ 10 bude rovnať 100 a 1026. Pre riešenia prirodzené logaritmy treba podať žiadosť logaritmické identity alebo ich vlastnosti. Pozrime sa na riešenie s príkladmi. logaritmické problémy iný typ.

Ako používať logaritmické vzorce: s príkladmi a riešeniami

Pozrime sa teda na príklady použitia hlavných teorémov na logaritmy.

1. Vlastnosť logaritmu súčinu môže byť použitá v úlohách, kde je potrebné expandovať veľký významčísla b do jednoduchších faktorov. Napríklad log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Odpoveď je 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - ako vidíte, aplikáciou štvrtej vlastnosti stupňa logaritmu sa nám podarilo vyriešiť na prvý pohľad zložitý a neriešiteľný výraz. Je potrebné iba faktorizovať základ a potom odobrať hodnoty exponentov zo znamienka logaritmu.

Úlohy zo skúšky

Logaritmy sa často nachádzajú v vstupné testy, najmä veľa logaritmických problémov na skúške ( Štátna skúška pre všetkých absolventov stredných škôl). Zvyčajne sú tieto úlohy prítomné nielen v časti A (najľahšie testovacia časť skúška), ale aj v časti C (najťažšie a najobjemnejšie úlohy). Skúška predpokladá presnú a dokonalú znalosť témy "Prirodzené logaritmy".

Príklady a riešenia problémov sú prevzaté z oficiálnych stránok POUŽÍVAŤ možnosti. Pozrime sa, ako sa takéto úlohy riešia.

Dané log 2 (2x-1) = 4. Riešenie:
prepíšme výraz, trochu ho zjednodušíme log 2 (2x-1) = 2 2 , definíciou logaritmu dostaneme, že 2x-1 = 2 4 , teda 2x = 17; x = 8,5.

• Všetky logaritmy je najlepšie zredukovať na rovnaký základ, aby riešenie nebolo ťažkopádne a mätúce.
• Všetky výrazy pod znamienkom logaritmu sú označené ako kladné, preto pri vyberaní exponentu exponentu výrazu, ktorý je pod znamienkom logaritmu a ako jeho základu, musí byť výraz zostávajúci pod logaritmom kladný.

Logaritmické výrazy, riešenie príkladov. V tomto článku sa budeme zaoberať problémami súvisiacimi s riešením logaritmov. Úlohy nastoľujú otázku hľadania hodnoty výrazu. Treba poznamenať, že koncept logaritmu sa používa v mnohých úlohách a je mimoriadne dôležité pochopiť jeho význam. Pokiaľ ide o USE, logaritmus sa používa pri riešení rovníc, v aplikované úlohy, aj v úlohách spojených so štúdiom funkcií.

Tu sú príklady na pochopenie samotného významu logaritmu:

Základná logaritmická identita:

Vlastnosti logaritmov, ktoré si musíte vždy zapamätať:

*Logaritmus produktu sa rovná súčtu logaritmy faktorov.

* * *

* Logaritmus kvocientu (zlomku) sa rovná rozdielu logaritmov faktorov.

* * *

*Logaritmus stupňa sa rovná produktu exponent k logaritmu jeho základne.

* * *

*Prechod na novú základňu

* * *

Ďalšie vlastnosti:

* * *

Výpočet logaritmov úzko súvisí s využívaním vlastností exponentov.

Uvádzame niektoré z nich:

esencia daný majetok je, že pri prenose čitateľa do menovateľa a naopak sa znamienko exponentu zmení na opačné. Napríklad:

Dôsledok tejto vlastnosti:

* * *

Pri zvýšení mocniny na mocninu zostáva základ rovnaký, ale exponenty sa násobia.

* * *

Ako vidíte, samotný koncept logaritmu je jednoduchý. Hlavná vec je, čo je potrebné dobre cvicenie, čo dáva určitú zručnosť. Znalosť vzorcov je určite povinná. Ak sa nevytvorí zručnosť v transformácii elementárnych logaritmov, potom pri riešení jednoduché úlohy je ľahké urobiť chybu.

Cvičte, najskôr vyriešte najjednoduchšie príklady z kurzu matematiky, potom prejdite na zložitejšie. V budúcnosti určite ukážem, ako sa riešia „škaredé“ logaritmy, na skúške také nebudú, ale sú zaujímavé, nenechajte si to ujsť!

To je všetko! Veľa šťastia!

S pozdravom Alexander Krutitskikh

P.S: Bol by som vďačný, keby ste o stránke povedali na sociálnych sieťach.

Takže máme mocniny dvoch. Ak vezmete číslo zo spodného riadku, potom môžete ľahko nájsť silu, na ktorú musíte zdvihnúť dvojku, aby ste získali toto číslo. Napríklad, ak chcete získať 16, musíte zvýšiť dve na štvrtú mocninu. A aby ste získali 64, musíte zvýšiť dve na šiestu mocninu. To je možné vidieť z tabuľky.

A teraz - v skutočnosti definícia logaritmu:

Logaritmus k základu a argumentu x je mocnina, na ktorú musí byť číslo a umocnené, aby sme dostali číslo x.

Zápis: log a x \u003d b, kde a je základ, x je argument, b je v skutočnosti to, čomu sa rovná logaritmus.

Napríklad 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (základný 2 logaritmus čísla 8 je tri, pretože 2 3 = 8). Môže tiež log 2 64 = 6, pretože 2 6 = 64.

Operácia nájdenia logaritmu čísla k danému základu sa nazýva logaritmus. Pridajme teda do tabuľky nový riadok:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Bohužiaľ, nie všetky logaritmy sa dajú ľahko zvážiť. Skúste napríklad nájsť log 2 5 . Číslo 5 nie je v tabuľke, ale logika diktuje, že logaritmus bude ležať niekde na segmente. Pretože 22< 5 < 2 3 , а чем viac stupňa dva, tým väčšie číslo bude.

Takéto čísla sa nazývajú iracionálne: čísla za desatinnou čiarkou možno písať donekonečna a nikdy sa neopakujú. Ak sa logaritmus ukáže ako iracionálny, je lepšie ho nechať takto: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 .

Je dôležité pochopiť, že logaritmus je výraz s dvoma premennými (základ a argument). Mnoho ľudí si spočiatku mýli, kde je základ a kde je argument. Vyhnúť sa nešťastné nedorozumenia stačí sa pozrieť na obrázok:

Pred nami nie je nič viac ako definícia logaritmu. Pamätajte: logaritmus je sila, ku ktorému je potrebné zvýšiť základ, aby ste dostali argument. Práve základ je mocne vyvýšený - na obrázku je zvýraznený červenou farbou. Ukazuje sa, že základňa je vždy na dne! Toto úžasné pravidlo hovorím svojim študentom na prvej hodine - a nie je tam žiadny zmätok.

Prišli sme na definíciu - zostáva sa naučiť počítať logaritmy, t.j. zbavte sa znaku „log“. Na začiatok si všimneme, že z definície vyplývajú dve dôležité skutočnosti:

1. Argument a základ musia byť vždy väčšie ako nula. Vyplýva to z definície stupňa racionálny ukazovateľ, na ktorý je zredukovaná definícia logaritmu.
2. Základ sa musí líšiť od jednoty, pretože jednotka k akejkoľvek moci je stále jednotkou. Z tohto dôvodu je otázka „na akú silu treba pozdvihnúť, aby sme dostali dve“ nezmyselná. Taký stupeň neexistuje!

Takéto obmedzenia sú tzv platný rozsah(ODZ). Ukazuje sa, že ODZ logaritmu vyzerá takto: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .

Všimnite si, že neexistujú žiadne obmedzenia na číslo b (hodnota logaritmu) nie je uložené. Napríklad logaritmus môže byť záporný: log 2 0,5 \u003d -1, pretože 0,5 = 2 -1.

Zatiaľ však iba zvažujeme číselné výrazy, kde nie je potrebné poznať ODZ logaritmu. Všetky obmedzenia už spracovatelia problémov vzali do úvahy. Ale keď idú logaritmické rovnice a nerovností, požiadavky DHS sa stanú povinnými. Skutočne, v základe a argumente môžu byť veľmi silné konštrukcie, ktoré nemusia nevyhnutne zodpovedať vyššie uvedeným obmedzeniam.

Teraz zvážte všeobecná schéma logaritmické výpočty. Pozostáva z troch krokov:

1. Vyjadrite základ a a argument x ako mocninu s najmenším možným základom väčším ako jedna. Po ceste je lepšie zbaviť sa desatinných zlomkov;
2. Riešte rovnicu pre premennú b: x = a b ;
3. Výsledné číslo b bude odpoveďou.

To je všetko! Ak sa logaritmus ukáže ako iracionálny, bude to vidieť už v prvom kroku. Požiadavka, aby bol základ väčší ako jedna, je veľmi dôležitá: znižuje sa tým pravdepodobnosť chyby a výrazne sa zjednodušujú výpočty. Podobný desatinné miesta: ak ich hneď preložíte do obyčajných, chýb bude mnohonásobne menej.

Pozrime sa, ako táto schéma funguje na konkrétnych príkladoch:

Úloha. Vypočítajte logaritmus: log 5 25

1. Predstavme si základ a argument ako mocninu päťky: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Zostavme a vyriešme rovnicu:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. Dostal odpoveď: 2.

Úloha. Vypočítajte logaritmus:

Úloha. Vypočítajte logaritmus: log 4 64

1. Predstavme si základ a argument ako mocninu dvoch: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Zostavme a vyriešme rovnicu:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Dostal odpoveď: 3.

Úloha. Vypočítajte logaritmus: log 16 1

1. Predstavme si základ a argument ako mocninu dvoch: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Zostavme a vyriešme rovnicu:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. Prijatá odpoveď: 0.

Úloha. Vypočítajte logaritmus: log 7 14

1. Predstavme si základ a argument ako mocninu siedmich: 7 = 7 1 ; 14 nie je vyjadrené ako mocnina siedmich, pretože 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Z predchádzajúceho odseku vyplýva, že logaritmus sa neuvažuje;
3. Odpoveď je žiadna zmena: log 7 14.

Malá poznámka k posledný príklad. Ako sa uistiť, že číslo nie je presnou mocninou iného čísla? Veľmi jednoduché - stačí ho rozšíriť hlavné faktory. Ak sú v expanzii aspoň dva odlišné faktory, číslo nie je presnou mocninou.

Úloha. Zistite, či sú presné mocniny čísla: 8; 48; 81; 35; štrnásť .

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - presný stupeň, pretože existuje len jeden multiplikátor;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 nie je presná mocnina, pretože existujú dva faktory: 3 a 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - presný stupeň;
35 = 7 5 - opäť nie presný stupeň;
14 \u003d 7 2 - opäť nie presný stupeň;

Poznamenávame tiež, že my základné čísla sú vždy presné sily samých seba.

Desatinný logaritmus

Niektoré logaritmy sú také bežné, že majú špeciálny názov a označenie.

Desatinný logaritmus argumentu x je logaritmus so základom 10, t.j. mocnina, na ktorú musíte zvýšiť číslo 10, aby ste dostali číslo x. Označenie: lg x .

Napríklad log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - atď.

Keď sa odteraz v učebnici objaví fráza ako „Nájsť lg 0,01“, vedzte, že to nie je preklep. Toto je desiatkový logaritmus. Ak však na takéto označenie nie ste zvyknutí, vždy ho môžete prepísať:
log x = log 10 x

Všetko, čo platí pre bežné logaritmy, platí aj pre desatinné miesta.

prirodzený logaritmus

Existuje ďalší logaritmus, ktorý má svoj vlastný zápis. V istom zmysle je ešte dôležitejšia ako desatinná. Je to o o prirodzenom logaritme.

Prirodzený logaritmus x je základný e logaritmus, t.j. mocnina, na ktorú treba zvýšiť číslo e, aby sme získali číslo x. Označenie: ln x .

Mnohí sa budú pýtať: čo iné je číslo e? Toto je iracionálne číslo, jeho presná hodnota nemožné nájsť a zaznamenať. Tu sú len prvé čísla:
e = 2,718281828459...

Nebudeme sa ponoriť do toho, čo je toto číslo a prečo je to potrebné. Pamätajte, že e je základom prirodzeného logaritmu:
ln x = log e x

Teda ln e = 1 ; loge2 = 2; ln e 16 = 16 - atď. Na druhej strane, ln 2 je iracionálne číslo. Vo všeobecnosti prirodzený logaritmus akéhokoľvek racionálne číslo iracionálny. Samozrejme okrem jednoty: ln 1 = 0.

Pre prirodzené logaritmy platia všetky pravidlá, ktoré platia pre bežné logaritmy.

odvodené z jeho definície. A teda logaritmus čísla b podľa rozumu a definovaný ako exponent, na ktorý sa musí číslo zvýšiť a získať číslo b(logaritmus existuje len pre kladné čísla).

Z tejto formulácie vyplýva, že výpočet x=log a b, je ekvivalentné riešeniu rovnice ax=b. Napríklad, log 2 8 = 3 pretože 8 = 2 3 . Formulácia logaritmu umožňuje zdôvodniť, že ak b = a c, potom logaritmus čísla b podľa rozumu a rovná sa s. Je tiež zrejmé, že téma logaritmu úzko súvisí s témou sily čísla.

S logaritmami, ako s akýmikoľvek číslami, môžete vykonávať operácie sčítania, odčítania a transformovať všetkými možnými spôsobmi. Ale vzhľadom na to, že logaritmy nie sú celkom bežné čísla, platia tu ich vlastné špeciálne pravidlá, tzv. základné vlastnosti.

Sčítanie a odčítanie logaritmov.

Zoberme si dva logaritmy rovnaké dôvody: log x a prihlásiť sa y. Potom je možné vykonať operácie sčítania a odčítania:

log a x+ log a y= log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y).

log a(X 1 . X 2 . X 3 ... x k) = log x 1 + log x 2 + log x 3 + ... + log a x k.

Od kvocientové logaritmické vety možno získať ešte jednu vlastnosť logaritmu. Je dobre známe, že log a 1 = 0, teda

log a 1 /b= log a 1 - log a b= -log a b.

Existuje teda rovnosť:

log a 1 / b = - log a b.

Logaritmy dvoch vzájomne recipročných čísel na rovnakom základe sa budú od seba líšiť iba znakom. Takže:

Log 3 9= - log 3 1/9 ; log 5 1/125 = -log 5 125.