Medyo mabuti, tama? Habang naghahanap ang mga mathematician ng mga salita na magbibigay sa iyo ng mahaba, malikot na kahulugan, tingnan natin ang simple at malinaw na ito.

Ang bilang e ay nangangahulugan ng paglago

Ang bilang e ay nangangahulugang patuloy na paglaki. Gaya ng nakita natin sa nakaraang halimbawa, pinapayagan tayo ng e x na iugnay ang interes at oras: 3 taon sa 100% na paglago ay kapareho ng 1 taon sa 300%, napapailalim sa "compound interest".

Maaari mong palitan ang anumang porsyento at mga halaga ng oras (50% sa loob ng 4 na taon), ngunit mas mahusay na itakda ang porsyento bilang 100% para sa kaginhawahan (lumalabas na 100% sa loob ng 2 taon). Sa pamamagitan ng paglipat sa 100%, maaari tayong tumuon lamang sa bahagi ng oras:

e x = e porsyento * oras = e 1.0 * oras = e oras

Malinaw, ang ibig sabihin ng e x ay:

• magkano ang lalago ng aking kontribusyon sa x unit ng oras (ipagpalagay na 100% tuloy-tuloy na paglago).
• halimbawa, pagkatapos ng 3 agwat ng oras makakakuha ako ng e 3 = 20.08 beses na mas maraming "bagay".

Ang e x ay isang scaling factor na nagpapakita kung saang antas tayo lalago sa x na mga yugto ng panahon.

Ang ibig sabihin ng natural logarithm ay oras

natural na logarithm ay ang kabaligtaran ng e, tulad ng isang magarbong termino para sa kabaligtaran. Nagsasalita ng mga quirks; sa Latin ito ay tinatawag na logarithmus naturali, kaya ang pagdadaglat na ln.

At ano ang ibig sabihin ng pagbabaligtad o kabaligtaran na ito?

• Binibigyang-daan kami ng e x na isaksak ang oras at makuha ang paglaki.
• Binibigyang-daan tayo ng ln(x) na kunin ang paglago o kita at alamin ang oras na kinakailangan para makuha ito.

Halimbawa:

• e 3 ay katumbas ng 20.08. Pagkatapos ng tatlong yugto ng panahon, magkakaroon tayo ng 20.08 beses saka kung saan tayo nagsimula.
• Ang ln(20.08) ay magiging tungkol sa 3. Kung interesado ka sa 20.08x na pagtaas, kakailanganin mo ng 3 beses (muli, sa pag-aakalang 100% tuloy-tuloy na paglago).

Nagbabasa ka pa ba? Ang natural na logarithm ay nagpapakita ng oras na kinakailangan upang maabot ang nais na antas.

Ang hindi karaniwang logarithmic na bilang na ito

Naipasa mo ang logarithms - ito ay kakaibang nilalang. Paano nila nagawang gawing karagdagan ang multiplikasyon? Paano ang paghahati sa pagbabawas? Tingnan natin.

Ano ang katumbas ng ln(1)? Sa madaling salita, ang tanong ay: gaano katagal ako maghihintay para makakuha ng 1 beses na higit pa sa kung ano ang mayroon ako?

Zero. Zero. Hindi talaga. Mayroon ka na nito minsan. Hindi ito tumatagal ng anumang oras upang lumago mula sa antas 1 hanggang sa antas 1.

• log(1) = 0

Okay, ano naman fractional na halaga? Gaano katagal bago tayo magkaroon ng 1/2 ng natitira natin? Alam namin na sa 100% tuloy-tuloy na paglaki, ang ln(2) ay nangangahulugan ng oras na kailangan para madoble. Kung tayo ibalik ang oras(ibig sabihin, maghintay ng negatibong tagal ng oras), pagkatapos ay makukuha natin ang kalahati ng kung ano ang mayroon tayo.

• ln(1/2) = -ln(2) = -0.693

Logical, tama ba? Kung babalik tayo (back time) nang 0.693 segundo, makikita natin ang kalahati ng magagamit na halaga. Sa pangkalahatan, maaari mong i-flip ang fraction at kunin negatibong kahulugan: ln(1/3) = -ln(3) = -1.09. Nangangahulugan ito na kung babalik tayo sa nakaraan sa 1.09 na beses, makikita lamang natin ang ikatlong bahagi ng kasalukuyang numero.

Okay, paano ang logarithm ng isang negatibong numero? Gaano katagal bago "lumago" ang isang kolonya ng bakterya mula 1 hanggang -3?

Imposible! Hindi ka makakakuha ng isang negatibong bilang ng bakterya, hindi ba? Maaari kang makakuha ng maximum (uh... minimum) ng zero, ngunit walang paraan na makakakuha ka ng negatibong bilang ng maliliit na nilalang na ito. AT negatibong numero walang saysay ang bacteria.

• ln(negatibong numero) = hindi natukoy

Ang ibig sabihin ng "hindi natukoy" ay walang tagal na maghintay para makakuha ng negatibong halaga.

Nakakatuwa lang ang logarithmic multiplication

Gaano katagal ang aabutin para ma-quadruple ang paglaki? Siyempre, maaari mo lamang kunin ang ln(4). Pero napakadali lang, sa ibang paraan tayo pupunta.

Maaari mong isipin ang quadrupling bilang pagdodoble (nangangailangan ng ln(2) na yunit ng oras) at pagkatapos ay pagdodoble muli (nangangailangan ng isa pang ln(2) na yunit ng oras):

• Oras sa 4x paglago = ln(4) = Oras para doblehin at pagkatapos ay doble muli = ln(2) + ln(2)

Interesting. Anumang rate ng paglago, sabihin nating 20, ay makikita na nagdodoble kaagad pagkatapos ng 10x na pagtaas. O paglago ng 4 na beses, at pagkatapos ay 5 beses. O isang tripling at pagkatapos ay isang pagtaas ng 6.666 beses. Tingnan ang pattern?

• ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

Ang logarithm ng A times B ay log(A) + log(B). Ang relasyong ito ay agad na may katuturan kung magpapatakbo ka sa mga tuntunin ng paglago.

Kung interesado ka sa 30x na paglago, maaari mong hintayin ang ln(30) nang sabay-sabay, o hintayin ang ln(3) na triple, at pagkatapos ay isa pang ln(10) na dumami sa sampu. Panghuling resulta pareho, kaya siyempre ang oras ay dapat manatiling pare-pareho (at nananatili).

Paano naman ang division? Sa partikular, ang ln(5/3) ay nangangahulugang: gaano katagal lumaki ng 5 beses at pagkatapos ay makuha ang 1/3 niyan?

Mahusay, ang salik ng 5 ay ln(5). Ang paglaki ng 1/3 beses ay aabutin -ln(3) mga yunit ng oras. Kaya,

• ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

Ang ibig sabihin nito ay: hayaan itong lumaki ng 5 beses, at pagkatapos ay "bumalik sa nakaraan" sa punto kung saan ang ikatlong bahagi na lamang ng halagang iyon ang natitira, upang makakuha ka ng 5/3 na paglago. Sa pangkalahatan, lumalabas ito

• ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

Umaasa ako na ang kakaibang aritmetika ng logarithms ay nagsisimula nang magkaroon ng kahulugan sa iyo: ang pagpaparami ng mga rate ng paglago ay nagiging pagdaragdag ng mga yunit ng oras ng paglago, at ang paghahati ay nagiging pagbabawas ng mga yunit ng oras. Huwag kabisaduhin ang mga patakaran, subukang maunawaan ang mga ito.

Paggamit ng Natural Logarithm para sa Arbitraryong Paglago

Well, siyempre, - sabi mo, - lahat ng ito ay mabuti kung ang paglago ay 100%, ngunit paano ang tungkol sa 5% na nakukuha ko?

Walang problema. Ang "oras" na kinakalkula namin sa ln() ay talagang kumbinasyon ng rate ng interes at oras, ang parehong X mula sa e x equation. Pinili lang naming itakda ang porsyento sa 100% para sa pagiging simple, ngunit malaya kaming gumamit ng anumang numero.

Sabihin nating gusto nating makamit ang 30x na paglago: kukuha tayo ng ln(30) at makakuha ng 3.4 Nangangahulugan ito:

• e x = taas
• e 3.4 = 30

Malinaw, ang equation na ito ay nangangahulugang "100% na pagbabalik sa loob ng 3.4 na taon ay tumaas ng 30 beses." Maaari nating isulat ang equation na ito tulad nito:

• e x = e rate*time
• e 100% * 3.4 taon = 30

Maaari naming baguhin ang mga halaga ng "rate" at "oras", hangga't ang rate * oras ay nananatiling 3.4. Halimbawa, kung interesado tayo sa 30x na paglago, gaano katagal tayo maghihintay sa 5% na rate ng interes?

• log(30) = 3.4
• rate * oras = 3.4
• 0.05 * oras = 3.4
• oras = 3.4 / 0.05 = 68 taon

Nangangatuwiran ako ng ganito: "ln(30) = 3.4, kaya sa 100% na paglago ay aabutin ng 3.4 na taon. Kung doblehin ko ang rate ng paglago, ang oras na kailangan ay hinahati."

• 100% sa 3.4 na taon = 1.0 * 3.4 = 3.4
• 200% sa 1.7 taon = 2.0 * 1.7 = 3.4
• 50% sa 6.8 taon = 0.5 * 6.8 = 3.4
• 5% sa loob ng 68 taon = .05 * 68 = 3.4 .

Ang galing diba? Ang natural na logarithm ay maaaring gamitin sa anumang rate ng interes at oras, hangga't ang kanilang produkto ay nananatiling pare-pareho. Maaari mong ilipat ang mga halaga ng mga variable hangga't gusto mo.

Masamang Halimbawa: Ang Pitumpu't dalawang Panuntunan

Ang panuntunan ng pitumpu't dalawa ay isang mathematical technique na nagbibigay-daan sa iyong matantya kung gaano katagal bago dumoble ang iyong pera. Ngayon ay kukunin natin ito (oo!), At saka, susubukan nating maunawaan ang kakanyahan nito.

Gaano katagal upang madoble ang iyong pera sa 100% rate na tumataas bawat taon?

Op-pa. Ginamit namin ang natural na logarithm para sa kaso ng tuluy-tuloy na paglago, at ngayon ay pinag-uusapan mo ang taunang accrual? Hindi ba magiging hindi angkop ang formula na ito para sa ganoong kaso? Oo, mangyayari ito, ngunit para sa mga tunay na rate ng interes tulad ng 5%, 6%, o kahit na 15%, ang pagkakaiba sa pagitan ng pagsasama-sama taun-taon at patuloy na paglaki ay magiging maliit. Kaya't gumagana ang magaspang na pagtatantya, uh, humigit-kumulang, kaya magpapanggap tayo na mayroon tayong ganap na tuluy-tuloy na accrual.

Ngayon ang tanong ay simple: Gaano kabilis ka makakapagdoble sa 100% na paglago? ln(2) = 0.693. Ito ay tumatagal ng 0.693 mga yunit ng oras (mga taon sa aming kaso) upang doblehin ang aming halaga na may patuloy na paglago ng 100%.

So, what if hindi 100% ang interest rate, pero let's say 5% or 10%?

Madali lang! Dahil rate * time = 0.693, dodoblehin namin ang halaga:

• rate * oras = 0.693
• oras = 0.693 / rate

Kaya kung ang paglago ay 10%, aabutin ng 0.693 / 0.10 = 6.93 taon upang madoble.

Upang gawing simple ang mga kalkulasyon, i-multiply natin ang parehong bahagi sa 100, pagkatapos ay maaari nating sabihin ang "10" at hindi "0.10":

• oras ng pagdodoble = 69.3 / taya, kung saan ang taya ay ipinahayag bilang isang porsyento.

Ngayon ay oras na upang doblehin sa 5%, 69.3 / 5 = 13.86 taon. Gayunpaman, ang 69.3 ay hindi ang pinaka-maginhawang dibidendo. Pumili tayo ng malapit na numero, 72, na madaling mahahati ng 2, 3, 4, 6, 8, at iba pang mga numero.

• oras ng pagdodoble = 72 / taya

na siyang tuntunin ng pitumpu't dalawa. Lahat ay tinatakpan.

Kung kailangan mong maghanap ng oras para mag-triple, maaari mong gamitin ang ln(3) ~ 109.8 at makuha

• tripling time = 110 / taya

Ano ang isa pa kapaki-pakinabang na tuntunin. Nalalapat ang "Rule 72" sa paglago ni mga rate ng interes, paglaki ng populasyon, mga kultura ng bakterya, at lahat ng bagay na lumalaki nang husto.

Anong susunod?

Umaasa ako na ang natural na logarithm ay may katuturan na ngayon sa iyo - ipinapakita nito ang oras na kinakailangan para sa anumang numero na lumago nang husto. Sa tingin ko ito ay tinatawag na natural dahil ang e ay isang unibersal na sukatan ng paglago, kaya ln ay maituturing na isang unibersal na paraan upang matukoy kung gaano katagal ang paglaki.

Sa tuwing makikita mo ang ln(x), tandaan "ang oras na kinakailangan upang lumaki ng x beses". Sa isang nalalapit na artikulo, ilalarawan ko ang e at ln nang magkasabay, upang ang sariwang aroma ng matematika ay mapuno ng hangin.

Complement: Natural logarithm ng e

Mabilis na pagsusulit: magkano ang magiging ln(e)?

• sasabihin ng math robot: dahil ang mga ito ay tinukoy bilang kabaligtaran ng isa't isa, malinaw na ang ln(e) = 1.
• taong maunawain: Ang ln(e) ay ang bilang ng beses na lumaki ang "e" na beses (mga 2.718). Gayunpaman, ang bilang e mismo ay isang sukatan ng paglago sa pamamagitan ng isang salik na 1, kaya ln(e) = 1.

Mag-isip ng mabuti.

Setyembre 9, 2013

madalas kumuha ng numero e = 2,718281828 . Tapos na ang logarithms itong dahilan ay tinatawag natural. Kapag nagsasagawa ng mga kalkulasyon na may natural na logarithms, karaniwan nang gumana gamit ang sign ln, ngunit hindi log; habang ang numero 2,718281828 , pagtukoy sa base, huwag ipahiwatig.

Sa madaling salita, ang mga salita ay magiging ganito: natural na logarithm numero X ay ang exponent kung saan itataas ang numero e, Para makuha x.

Kaya, ln(7,389...)= 2 kasi e 2 =7,389... . Ang natural na logarithm ng numero mismo e= 1 kasi e 1 =e, at ang natural na logarithm ng pagkakaisa sero, bilang e 0 = 1.

Ang numero mismo e tumutukoy sa limitasyon ng isang monotone bounded sequence

kalkulado iyon e = 2,7182818284... .

Kadalasan, upang ayusin ang isang numero sa memorya, ang mga digit ng kinakailangang numero ay nauugnay sa ilan natitirang petsa. Ang bilis ng pag-alala sa unang siyam na digit ng isang numero e pagkatapos ng decimal point ay tataas kung mapapansin mo na ang 1828 ay ang taon ng kapanganakan ni Leo Tolstoy!

Ngayon ay may sapat na kumpletong mga talahanayan natural logarithms.

natural na log graph(mga function y=sa x) ay bunga ng graph ng exponent imahe ng salamin medyo tuwid y = x at mukhang:

Ang natural na logarithm ay matatagpuan para sa bawat positibong tunay na numero a bilang ang lugar sa ilalim ng kurba y = 1/x mula sa 1 dati a.

Ang elementarya na katangian ng pagbabalangkas na ito, na akma sa maraming iba pang mga pormula kung saan ang natural na logarithm ay kasangkot, ang dahilan ng pagbuo ng pangalang "natural".

Kung susuriin natin natural na logarithm, bilang isang tunay na function ng isang tunay na variable, pagkatapos ito ay gumaganap baligtad na pag-andar sa exponential function, na bumababa sa mga pagkakakilanlan:

ln(a)=a (a>0)

ln(e a)=a

Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa lahat ng logarithms, ang natural na logarithm ay nagpapalit ng multiplikasyon sa karagdagan, paghahati sa pagbabawas:

ln(xy) = ln(x) + ln(y)

ln(x/y)= lnx - lny

Ang logarithm ay matatagpuan para sa bawat positibong base na hindi katumbas ng isa, hindi lamang para sa e, ngunit ang mga logarithm para sa iba pang mga base ay naiiba sa natural na logarithm lamang pare-pareho ang kadahilanan, at karaniwang tinutukoy sa mga tuntunin ng natural na logarithm.

Nasuri natural na log graph, nalaman namin na ito ay umiiral sa mga positibong halaga variable x. Ito ay monotonically tumataas sa kanyang domain ng kahulugan.

Sa x → 0 ang limitasyon ng natural na logarithm ay minus infinity ( -∞ ).Sa x → +∞ ang limitasyon ng natural na logarithm ay plus infinity ( + ∞ ). Sa kabuuan x medyo mabagal ang pagtaas ng logarithm. Anumang power function x a na may positibong exponent a mas mabilis na tumataas kaysa sa logarithm. Ang natural na logarithm ay isang monotonically increase na function, kaya wala itong extrema.

Paggamit natural logarithms very rational kapag pumasa mas mataas na matematika. Kaya, ang paggamit ng logarithm ay maginhawa para sa paghahanap ng sagot sa mga equation kung saan lumilitaw ang mga hindi alam bilang isang exponent. Ang paggamit ng natural na logarithms sa mga kalkulasyon ay ginagawang posible upang lubos na mapadali malaking bilang ng mga pormula sa matematika. base logarithms e ay naroroon sa paglutas ng isang makabuluhang bilang mga gawaing pisikal at natural na kasama sa paglalarawan sa matematika indibidwal na kemikal, biyolohikal at iba pang mga proseso. Kaya, ang logarithms ay ginagamit upang kalkulahin ang decay constant para sa kilalang panahon kalahating buhay, o upang kalkulahin ang oras ng pagkabulok sa paglutas ng mga problema ng radyaktibidad. Nagpe-perform sila sa nangungunang papel sa maraming sangay ng matematika at praktikal na agham, ang mga ito ay ginagamit sa larangan ng pananalapi upang malutas isang malaking bilang mga gawain, kabilang ang pagkalkula ng tambalang interes.

Ang mga pangunahing katangian ng natural na logarithm, graph, domain ng kahulugan, set ng mga halaga, mga pangunahing formula, derivative, integral, pagpapalawak sa serye ng kapangyarihan at kumakatawan sa function na ln x sa mga tuntunin ng kumplikadong mga numero.

Kahulugan

natural na logarithm ay ang function na y = sa x, kabaligtaran sa exponent, x \u003d e y , at alin ang logarithm sa base ng numerong e: ln x = log e x.

Ang natural na logarithm ay malawakang ginagamit sa matematika dahil ang derivative nito ay may pinakasimpleng anyo: (ln x)′ = 1/ x.

Batay mga kahulugan, ang base ng natural na logarithm ay ang numero e:
e ≅ 2.718281828459045...;
.

Graph ng function na y = sa x.

Graph ng natural na logarithm (mga function y = sa x) ay nakuha mula sa graph ng exponent sa pamamagitan ng mirror reflection tungkol sa tuwid na linya y = x .

Ang natural na logarithm ay tinukoy para sa mga positibong halaga ng x . Ito ay monotonically tumataas sa kanyang domain ng kahulugan.

Bilang x → 0 ang limitasyon ng natural na logarithm ay minus infinity ( - ∞ ).

Bilang x → + ∞, ang limitasyon ng natural na logarithm ay plus infinity ( + ∞ ). Para sa malaking x, medyo mabagal ang pagtaas ng logarithm. Anumang power function x a na may positibong exponent a ay lumalaki nang mas mabilis kaysa sa logarithm.

Mga katangian ng natural na logarithm

Domain ng kahulugan, hanay ng mga halaga, extrema, pagtaas, pagbaba

Ang natural na logarithm ay isang monotonically increase na function, kaya wala itong extrema. Ang mga pangunahing katangian ng natural na logarithm ay ipinakita sa talahanayan.

ln x na mga halaga

log 1 = 0

Mga pangunahing formula para sa natural na logarithms

Mga formula na nagmumula sa kahulugan ng inverse function:

Ang pangunahing pag-aari ng logarithms at ang mga kahihinatnan nito

Base kapalit na formula

Ang anumang logarithm ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng natural na logarithms gamit ang base change formula:

Ang mga patunay ng mga formula na ito ay ipinakita sa seksyong "Logarithm".

Baliktad na pag-andar

Ang kapalit ng natural logarithm ay ang exponent.

Kung , kung gayon

Kung , kung gayon .

Derivative ln x

Derivative ng natural logarithm:
.
Derivative ng natural logarithm ng modulo x:
.
Derivative ng ika-na order:
.
Pinagmulan ng mga formula > > >

integral

Ang integral ay kinakalkula sa pamamagitan ng pagsasama ng mga bahagi:
.
Kaya,

Mga expression sa mga tuntunin ng kumplikadong mga numero

Isaalang-alang ang isang function ng isang kumplikadong variable z :
.
Ipahayag natin ang kumplikadong variable z sa pamamagitan ng modyul r at argumento φ :
.
Gamit ang mga katangian ng logarithm, mayroon kaming:
.
O kaya
.
Ang argumento φ ay hindi natatanging tinukoy. Kung ilalagay natin
, kung saan ang n ay isang integer,
pagkatapos ito ay magiging parehong numero para sa magkaibang n.

Samakatuwid, ang natural na logarithm, bilang isang function ng isang complex variable, ay hindi isang single-valued function.

Pagpapalawak ng serye ng kapangyarihan

Para sa , nagaganap ang pagpapalawak:

Mga sanggunian:
SA. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook ng Mathematics para sa mga Inhinyero at Mag-aaral ng Mas Mataas na Institusyon ng Edukasyon, Lan, 2009.

natural na logarithm

Graph ng natural na logarithm function. Ang function ay dahan-dahang lumalapit sa positibong infinity bilang x at mabilis na lumalapit sa negatibong kawalang-hanggan kapag x may posibilidad na 0 (“mabagal” at “mabilis” kumpara sa alinman function ng kapangyarihan mula sa x).

natural na logarithm ay ang batayang logarithm , saan e ay isang hindi makatwiran na pare-pareho na katumbas ng humigit-kumulang 2.718281 828 . Ang natural na logarithm ay karaniwang tinutukoy bilang ln( x), log e (x) o minsan mag log( x) kung ang batayan e ipinahiwatig.

Natural logarithm ng isang numero x(isinulat bilang log(x)) ay ang exponent kung saan mo gustong itaas ang numero e, Para makuha x. Halimbawa, ln(7,389...) katumbas ng 2 dahil e 2 =7,389... . Ang natural na logarithm ng numero mismo e (ln(e)) ay katumbas ng 1 dahil e 1 = e, at ang natural na logarithm 1 ( log(1)) ay 0 dahil e 0 = 1.

Ang natural na logarithm ay maaaring tukuyin para sa anumang positibong tunay na numero a bilang ang lugar sa ilalim ng kurba y = 1/x mula 1 hanggang a. Ang pagiging simple ng kahulugan na ito, na naaayon sa maraming iba pang mga formula na gumagamit ng natural na logarithm, ay humantong sa pangalang "natural". Ang kahulugan na ito ay maaaring pahabain sa mga kumplikadong numero, na tatalakayin sa ibaba.

Kung isasaalang-alang natin ang natural na logarithm bilang isang tunay na pag-andar ng isang tunay na variable, kung gayon ito ay ang kabaligtaran na pag-andar ng exponential function, na humahantong sa mga pagkakakilanlan:

Tulad ng lahat ng logarithms, ang natural na logarithm ay nagmamapa ng multiplikasyon sa karagdagan:

Kaya, ang logarithmic function ay isang isomorphism ng pangkat ng positibo tunay na mga numero tungkol sa pagpaparami ng isang pangkat tunay na mga numero sa pamamagitan ng karagdagan, na maaaring kinakatawan bilang isang function:

Ang logarithm ay maaaring tukuyin para sa anumang positibong base maliban sa 1, hindi lamang e, ngunit ang mga logarithm para sa iba pang mga base ay naiiba sa natural na logarithm sa pamamagitan lamang ng isang pare-parehong salik, at kadalasang tinutukoy sa mga tuntunin ng natural na logarithm. Ang logarithms ay kapaki-pakinabang para sa paglutas ng mga equation kung saan ang mga hindi alam ay naroroon bilang isang exponent. Halimbawa, ang logarithms ay ginagamit upang mahanap ang decay constant para sa isang kilalang kalahating buhay, o upang mahanap ang oras ng pagkabulok sa paglutas ng mga problema ng radioactivity. Sila ay naglalaro mahalagang papel sa maraming larangan ng matematika at mga inilapat na agham, ay ginagamit sa pananalapi upang malutas ang maraming problema, kabilang ang paghahanap ng tambalang interes.

Kwento

Ang unang pagbanggit ng natural logarithm ay ginawa ni Nicholas Mercator sa kanyang trabaho Logarithmotechnia, na inilathala noong 1668, bagama't ang guro ng matematika na si John Spydell ay nag-compile ng isang talahanayan ng natural logarithms noong 1619. Noong nakaraan, tinawag itong hyperbolic logarithm dahil tumutugma ito sa lugar sa ilalim ng hyperbola. Minsan ito ay tinatawag na Napier logarithm, bagaman ang orihinal na kahulugan ng terminong ito ay medyo naiiba.

Mga Kumbensyon sa Notasyon

Ang natural na logarithm ay karaniwang tinutukoy ng "ln( x)", base 10 logarithm sa pamamagitan ng "lg( x)", at kaugalian na ipahiwatig ang iba pang mga batayan nang tahasan sa simbolong "log".

Sa maraming papel sa discrete mathematics, cybernetics, computer science, ginagamit ng mga may-akda ang notasyong “log( x)" para sa logarithms sa base 2, ngunit ang convention na ito ay hindi pangkalahatang tinatanggap at nangangailangan ng paglilinaw, alinman sa isang listahan ng notasyong ginamit o (kung walang ganoong listahan) sa pamamagitan ng footnote o komento sa unang paggamit.

Ang mga panaklong sa paligid ng argumento ng logarithms (kung hindi ito humantong sa isang maling pagbabasa ng formula) ay karaniwang tinanggal, at kapag tinataas ang logarithm sa isang kapangyarihan, ang exponent ay direktang iniuugnay sa sign ng logarithm: ln 2 ln 3 4 x 5 = [ ln ( 3 )] 2 .

Anglo-American system

Karaniwang ginagamit ng mga mathematician, statistician at ilang inhinyero ang alinman sa "log( x)", o "ln( x)" , at upang tukuyin ang logarithm sa base 10 - "log 10 ( x)».

Ang ilang mga inhinyero, biologist, at iba pang mga propesyonal ay palaging nagsusulat ng "ln( x)" (o paminsan-minsan ay "log e ( x)") kapag ang ibig nilang sabihin ay ang natural na logarithm, at ang notasyong "log( x)" ay nangangahulugang log 10 ( x).

log e ay ang "natural" na logarithm dahil awtomatiko itong nangyayari at madalas na lumilitaw sa matematika. Halimbawa, isaalang-alang ang derivative na problema logarithmic function:

Kung ang basehan b katumbas e, kung gayon ang derivative ay 1/ x, At kailan x= 1 ang derivative na ito ay katumbas ng 1. Isa pang katwiran kung saan ang base e logarithm ay ang pinaka-natural, ay na ito ay maaaring medyo simpleng tinukoy sa mga tuntunin ng simpleng integral o isang serye ng Taylor, na hindi masasabi tungkol sa iba pang logarithms.

Ang mga karagdagang pagpapatunay ng pagiging natural ay hindi konektado sa bilang. Kaya, halimbawa, mayroong ilan mga simpleng hanay na may natural na logarithms. Tinawag sila nina Pietro Mengoli at Nicholas Mercator logarithmus naturalis ilang dekada hanggang bumuo ng differential at integral calculus sina Newton at Leibniz.

Kahulugan

Pormal na ln( a) ay maaaring tukuyin bilang ang lugar sa ilalim ng curve ng graph 1/ x mula 1 hanggang a, ibig sabihin, bilang integral:

Ito ay talagang isang logarithm dahil ito ay nasiyahan pangunahing ari-arian logarithm:

Ito ay maipakikita sa pamamagitan ng pag-aakalang sumusunod:

Numerical na halaga

Para sa pagkalkula numerical value natural logarithm ng isang numero, maaari mong gamitin ang pagpapalawak nito sa isang serye ng Taylor sa anyo:

Upang makuha ang pinakamahusay na rate ng convergence, maaari mong gamitin ang sumusunod na pagkakakilanlan:

sa kondisyon na y = (x−1)/(x+1) at x > 0.

Para sa ln( x), saan x> 1 kaysa mas malapit na kahulugan x sa 1, ang mas mabilis na bilis convergence. Ang mga pagkakakilanlan na nauugnay sa logarithm ay maaaring gamitin upang makamit ang layunin:

Ang mga pamamaraan na ito ay ginamit kahit na bago ang pagdating ng mga calculator, kung saan ginamit ang mga ito mga talahanayan ng numero at nagsagawa ng mga manipulasyon na katulad ng mga inilarawan sa itaas.

Mataas na katumpakan

Upang kalkulahin ang natural na logarithm sa malaking dami digit ng katumpakan, ang serye ng Taylor ay hindi mahusay dahil ang convergence nito ay mabagal. Ang isang alternatibo ay ang paggamit ng pamamaraan ni Newton upang ibalik sa isang exponential function, na ang mga serye ay mas mabilis na nagtatagpo.

Ang isang alternatibo para sa napakataas na katumpakan ng pagkalkula ay ang formula:

saan M nagsasaad ng arithmetic-geometric mean ng 1 at 4/s, at

m pinili kaya na p ang mga marka ng katumpakan ay nakamit. (Sa karamihan ng mga kaso, sapat na ang halagang 8 para sa m.) Sa katunayan, kung gagamitin ang pamamaraang ito, maaaring ilapat ang inversion ni Newton ng natural logarithm upang mahusay na makalkula ang exponential function. (Ang mga constant ln 2 at pi ay maaaring ma-precompute sa nais na katumpakan gamit ang alinman sa kilalang mabilis na convergent na serye.)

Ang pagiging kumplikado ng computational

Ang computational complexity ng natural logarithms (gamit ang arithmetic-geometric mean) ay O( M(n)ln n). Dito n ay ang bilang ng mga digit ng katumpakan kung saan susuriin ang natural na logarithm, at M(n) ay ang computational complexity ng pagpaparami ng dalawa n-digit na mga numero.

Patuloy na mga fraction

Bagama't walang simpleng patuloy na fraction na kumakatawan sa logarithm, maaaring gamitin ang ilang generalized continue fraction, kabilang ang:

Mga kumplikadong logarithms

Ang exponential function ay maaaring palawigin sa isang function na nagbibigay ng isang kumplikadong numero ng form e x para sa anumang arbitrary kumplikadong numero x, habang gumagamit ng infinite series na may complex x. Ito exponential function ay maaaring baligtarin upang bumuo ng isang kumplikadong logarithm, na magkakaroon para sa pinaka-bahagi mga katangian ng ordinaryong logarithms. Gayunpaman, mayroong dalawang kahirapan: wala x, para sa e x= 0, at lumalabas na e 2pi = 1 = e 0 . Dahil ang multiplicativity property ay wasto para sa isang kumplikadong exponential function, kung gayon e z = e z+2npi para sa lahat ng kumplikado z at buo n.

Ang logarithm ay hindi maaaring tukuyin sa buong kumplikadong eroplano, at kahit na ito ay multivalued - anumang kumplikadong logarithm ay maaaring mapalitan ng isang "katumbas" na logarithm sa pamamagitan ng pagdaragdag ng anumang integer multiple ng 2 pi. Ang kumplikadong logarithm ay maaari lamang iisa ang halaga sa isang slice kumplikadong eroplano. Halimbawa ln i = 1/2 pi o 5/2 pi o −3/2 pi, atbp., at bagaman i 4 = 1.4log i maaaring tukuyin bilang 2 pi, o 10 pi o -6 pi, atbp.

Tingnan din

• John Napier - imbentor ng logarithms

Mga Tala

1. Matematika para sa pisikal na kimika. - ika-3. - Academic Press, 2005. - P. 9. - ISBN 0-125-08347-5, Extract ng pahina 9
2. J J O "Connor at EF Robertson Ang dami e. Ang MacTutor History of Mathematics archive (Setyembre 2001). naka-archive
3. Cajori Florian Isang Kasaysayan ng Matematika, ika-5 ed. - AMS Bookstore, 1991. - P. 152. - ISBN 0821821024
4. Flashman, Martin Pagtatantya ng Integrals gamit ang Polynomials . Na-archive mula sa orihinal noong Pebrero 12, 2012.