Derivative ng derivative formula function ng kapangyarihan(x sa kapangyarihan ng a). Ang mga derivatives ng mga ugat mula sa x ay isinasaalang-alang. Ang formula para sa derivative ng isang power function mas mataas na pagkakasunud-sunod. Mga halimbawa ng pagkalkula ng mga derivative.
Ang derivative ng x sa kapangyarihan ng a ay isang beses na x sa kapangyarihan ng isang minus one:
(1)
.
Ang derivative ng nth root ng x sa mth power ay:
(2)
.
Derivation ng formula para sa derivative ng isang power function
Case x > 0
Isaalang-alang ang isang power function ng variable x na may exponent a :
(3)
.
Narito ang isang ay arbitrary totoong numero. Isaalang-alang muna natin ang kaso.
Upang mahanap ang derivative ng function (3), ginagamit namin ang mga katangian ng power function at ibahin ito sa sumusunod na anyo:
.
Ngayon nahanap namin ang derivative sa pamamagitan ng paglalapat:
;
.
Dito .
Ang formula (1) ay napatunayan.
Derivation ng formula para sa derivative ng root ng degree n ng x hanggang sa degree m
Ngayon isaalang-alang ang isang function na ang ugat ng sumusunod na form:
(4)
.
Upang mahanap ang derivative, i-convert namin ang root sa isang power function:
.
Kung ikukumpara sa formula (3), nakikita natin iyon
.
Pagkatapos
.
Sa pamamagitan ng formula (1) nakita natin ang derivative:
(1)
;
;
(2)
.
Sa pagsasagawa, hindi na kailangang isaulo ang formula (2). Mas maginhawang i-convert muna ang mga ugat sa mga function ng kapangyarihan, at pagkatapos ay hanapin ang kanilang mga derivatives gamit ang formula (1) (tingnan ang mga halimbawa sa dulo ng pahina).
Kaso x = 0
Kung , kung gayon ang exponential function ay tinukoy din para sa halaga ng variable x = 0
. Hanapin natin ang derivative ng function (3) para sa x = 0
. Upang gawin ito, ginagamit namin ang kahulugan ng isang derivative:
.
Palitan ang x = 0
:
.
Sa kasong ito, ang ibig sabihin ng derivative ay ang kanang-kamay na limitasyon kung saan .
Kaya natagpuan namin:
.
Mula dito makikita na sa , .
Sa , .
Sa , .
Ang resulta na ito ay nakuha din sa pamamagitan ng formula (1):
(1)
.
Samakatuwid, ang formula (1) ay wasto din para sa x = 0
.
kaso x< 0
Isaalang-alang muli ang function (3):
(3)
.
Para sa ilang mga halaga ng pare-pareho ang a , ito ay tinukoy din para sa mga negatibong halaga variable x . Namely, let a be makatwirang numero. Pagkatapos ay maaari itong ilarawan bilang irreducible fraction:
,
kung saan ang m at n ay mga integer na wala karaniwang divisor.
Kung ang n ay kakaiba, ang exponential function ay tinukoy din para sa mga negatibong halaga ng variable x. Halimbawa, para sa n = 3
at m = 1
mayroon kaming cube root ng x :
.
Tinukoy din ito para sa mga negatibong halaga ng x .
Hanapin natin ang derivative ng power function (3) para sa at para sa makatwirang halaga constant a , kung saan ito ay tinukoy. Upang gawin ito, kinakatawan namin ang x sa sumusunod na anyo:
.
tapos ,
.
Nahanap namin ang derivative sa pamamagitan ng pag-alis ng pare-pareho sa sign ng derivative at paglalapat ng panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong function:
.
Dito . Pero
.
Dahil, kung gayon
.
Pagkatapos
.
Ibig sabihin, ang formula (1) ay may bisa din para sa:
(1)
.
Derivatives ng mas mataas na mga order
Ngayon nakita namin ang mas mataas na pagkakasunud-sunod na mga derivatives ng power function
(3)
.
Natagpuan na namin ang unang order derivative:
.
Ang pag-alis ng pare-parehong a sa tanda ng derivative, makikita natin ang pangalawang-order na derivative:
.
Katulad nito, nakakahanap kami ng mga derivatives ng ikatlo at ikaapat na order:
;
.
Mula dito ay malinaw na derivative ng isang arbitrary nth order ay may sumusunod na anyo:
.
pansinin mo yan kung ang a ay isang natural na numero, , kung gayon ang nth derivative ay pare-pareho:
.
Pagkatapos ang lahat ng kasunod na derivatives ay katumbas ng zero:
,
sa .
Mga Halimbawa ng Derivative
Halimbawa
Hanapin ang derivative ng function:
.
Desisyon
I-convert natin ang mga ugat sa mga kapangyarihan:
;
.
Pagkatapos ang orihinal na pag-andar ay kumukuha ng form:
.
Nakahanap kami ng mga derivatives ng mga degree:
;
.
Ang derivative ng isang pare-pareho ay zero:
.
Unang antas
Function derivative. Komprehensibong gabay (2019)
Isipin natin ang isang tuwid na kalsada na dumadaan sa isang maburol na lugar. Ibig sabihin, ito ay pataas at pababa, ngunit hindi lumiliko sa kanan o kaliwa. Kung ang axis ay nakadirekta nang pahalang sa kahabaan ng kalsada, at patayo, ang linya ng kalsada ay magiging halos kapareho sa graph ng ilang tuluy-tuloy na function:
Ang axis ay isang tiyak na antas ng zero na taas, sa buhay ginagamit namin ang antas ng dagat bilang ito.
Pasulong sa kahabaan ng naturang kalsada, tayo rin ay umaakyat o pababa. Masasabi rin natin: kapag nagbago ang argumento (gumagalaw kasama ang abscissa axis), nagbabago ang halaga ng function (gumagalaw kasama ang ordinate axis). Ngayon isipin natin kung paano matukoy ang "steep" ng ating kalsada? Ano kaya ang halagang ito? Napakasimple: gaano kalaki ang magbabago sa taas kapag sumusulong sa isang tiyak na distansya. Sa katunayan, sa iba't ibang mga seksyon ng kalsada, pasulong (sa kahabaan ng abscissa axis) sa loob ng isang kilometro, tataas o babagsak tayo nang magkaibang halaga metro na may kaugnayan sa antas ng dagat (sa kahabaan ng y-axis).
Tinutukoy namin ang pag-unlad pasulong (basahin ang "delta x").
Ang letrang Griyego (delta) ay karaniwang ginagamit sa matematika bilang prefix na nangangahulugang "pagbabago". Iyon ay - ito ay isang pagbabago sa magnitude, - isang pagbabago; Pagkatapos ano? Tama, pagbabago ng laki.
Mahalaga: ang expression ay iisang entity, isang variable. Hindi mo dapat tanggalin ang "delta" mula sa "x" o anumang iba pang titik! Iyon ay, halimbawa, .
Kaya, kami ay sumulong, pahalang, sa. Kung ihahambing natin ang linya ng kalsada sa graph ng isang function, kung gayon paano natin tinutukoy ang pagtaas? Tiyak, . Iyon ay, kapag sumusulong tayo ay tumataas nang mas mataas.
Madaling kalkulahin ang halaga: kung sa simula tayo ay nasa taas, at pagkatapos lumipat tayo ay nasa taas, kung gayon. Kung ang dulong punto ay naging mas mababa kaysa sa panimulang punto, ito ay magiging negatibo - nangangahulugan ito na hindi tayo pataas, ngunit pababa.
Bumalik sa "steepness": ito ay isang value na nagsasaad kung gaano kalaki (steeply) ang pagtaas ng taas kapag sumusulong sa bawat unit na distansya:
Ipagpalagay na sa ilang seksyon ng landas, kapag sumusulong ng km, ang kalsada ay tumaas ng km. Tapos ang tirik sa lugar na ito ay pantay. At kung ang kalsada, kapag sumusulong ng m, lumubog ng km? Pagkatapos ay pantay ang slope.
Ngayon isaalang-alang ang tuktok ng isang burol. Kung dadalhin mo ang simula ng seksyon kalahating kilometro sa tuktok, at ang dulo - kalahating kilometro pagkatapos nito, makikita mo na ang taas ay halos pareho.
Ibig sabihin, ayon sa ating lohika, lumalabas na ang pagiging matarik dito ay halos katumbas ng zero, na malinaw na hindi totoo. Marami ang maaaring magbago ilang milya lamang ang layo. Ang mga maliliit na lugar ay kailangang isaalang-alang para sa isang mas sapat at tumpak na pagtatantya ng steepness. Halimbawa, kung susukatin mo ang pagbabago sa taas kapag gumagalaw ng isang metro, ang resulta ay magiging mas tumpak. Ngunit kahit na ang katumpakang ito ay maaaring hindi sapat para sa atin - kung tutuusin, kung may poste sa gitna ng kalsada, maaari tayong dumaan dito. Anong distansya ang dapat nating piliin kung gayon? sentimetro? milimetro? Mas kaunti ay mas mabuti!
AT totoong buhay ang pagsukat ng distansya sa pinakamalapit na milimetro ay higit pa sa sapat. Ngunit ang mga mathematician ay palaging nagsusumikap para sa pagiging perpekto. Samakatuwid, ang konsepto ay infinitesimal, ibig sabihin, ang halaga ng modulo ay mas mababa sa anumang numero na maaari nating pangalanan. Halimbawa, sasabihin mo: isang trilyon! gaano pa kaunti? At hinati mo ang numerong ito sa - at magiging mas kaunti pa ito. atbp. Kung gusto naming isulat na ang halaga ay walang katapusang maliit, sumusulat kami ng ganito: (nababasa namin ang "x ay may posibilidad na zero"). Napakahalagang maunawaan na ang numerong ito ay hindi katumbas ng zero! Ngunit napakalapit dito. Nangangahulugan ito na maaari itong hatiin sa.
Ang konsepto na kabaligtaran ng walang hanggan maliit ay walang hanggan malaki (). Marahil ay naranasan mo na ito noong ikaw ay gumagawa ng mga hindi pagkakapantay-pantay: ang bilang na ito ay mas malaki sa modulus kaysa sa anumang numerong maiisip mo. Kung makabuo ka ng pinakamalaking posibleng numero, i-multiply lang ito sa dalawa at makakakuha ka ng higit pa. Pero infinity pa rin saka kung ano ang gagana. Sa katunayan, ang walang hanggan malaki at walang hanggan maliit ay kabaligtaran sa isa't isa, iyon ay, sa, at vice versa: at.
Ngayon bumalik sa aming kalsada. Ang perpektong kinakalkula na slope ay ang slope na kinakalkula para sa isang walang katapusang maliit na bahagi ng landas, iyon ay:
Pansinin ko na sa isang walang katapusang maliit na displacement, ang pagbabago sa taas ay magiging napakaliit din. Ngunit hayaan mong ipaalala ko sa iyo na ang walang katapusang maliit ay hindi nangangahulugang sero. Kung hahatiin mo ang mga infinitesimal na numero sa isa't isa, maaari kang makakuha ng lubos karaniwang numero, Halimbawa, . Iyon ay, ang isang maliit na halaga ay maaaring eksaktong dalawang beses na mas malaki kaysa sa isa pa.
Bakit lahat ng ito? Ang daan, ang tirik ... Hindi tayo magra-rally, pero nag-aaral tayo ng matematika. At sa matematika ang lahat ay eksaktong pareho, naiiba lamang ang tawag.
Ang konsepto ng isang derivative
Ang derivative ng isang function ay ang ratio ng increment ng function sa increment ng argument sa isang infinitesimal na increment ng argument.
Pagtaas sa matematika ay tinatawag na pagbabago. Kung gaano kalaki ang nabago ng argumento () kapag gumagalaw kasama ang axis ay tinatawag pagtaas ng argumento at tinutukoy ng Gaano kalaki ang nabago ng function (taas) kapag sumusulong kasama ang axis sa pamamagitan ng isang distansya ay tinatawag pagtaas ng function at minarkahan.
Kaya, ang derivative ng isang function ay ang kaugnayan sa kung kailan. Tinutukoy namin ang derivative na may parehong titik bilang ang function, sa pamamagitan lamang ng isang stroke mula sa kanang tuktok: o simple. Kaya, isulat natin ang derivative formula gamit ang mga notasyong ito:
Tulad ng pagkakatulad sa kalsada, dito, kapag tumaas ang function, ang derivative ay positibo, at kapag ito ay bumaba, ito ay negatibo.
Ngunit ang derivative ba ay katumbas ng zero? tiyak. Halimbawa, kung kami ay nagmamaneho sa isang patag na pahalang na kalsada, ang matarik ay zero. Sa katunayan, ang taas ay hindi nagbabago. Ganoon din sa derivative: ang derivative permanenteng pag-andar(constant) ay zero:
dahil ang pagtaas ng naturang function ay zero para sa alinman.
Kunin natin ang halimbawa sa tuktok ng burol. Ito ay naging posible na ayusin ang mga dulo ng segment sa paraang magkaibang panig mula sa itaas, na ang taas sa mga dulo ay pareho, iyon ay, ang segment ay kahanay sa axis:
Ngunit ang malalaking segment ay tanda ng hindi tumpak na pagsukat. Itataas namin ang aming segment parallel sa sarili nito, pagkatapos ay bababa ang haba nito.
Sa huli, kapag malapit na tayo sa tuktok, ang haba ng segment ay magiging napakaliit. Ngunit sa parehong oras, ito ay nanatiling parallel sa axis, iyon ay, ang pagkakaiba sa taas sa mga dulo nito ay katumbas ng zero (ay hindi malamang, ngunit katumbas ng). Kaya ang derivative
Ito ay mauunawaan bilang mga sumusunod: kapag tayo ay nakatayo sa pinakatuktok, ang isang maliit na paglipat sa kaliwa o kanan ay nagbabago sa ating taas nang bale-wala.
Mayroon ding purong algebraic na paliwanag: sa kaliwa ng itaas, ang function ay tumataas, at sa kanan, ito ay bumababa. Tulad ng nalaman na natin kanina, kapag ang function ay tumaas, ang derivative ay positibo, at kapag ito ay bumaba, ito ay negatibo. Ngunit ito ay nagbabago nang maayos, nang walang pagtalon (dahil ang kalsada ay hindi nagbabago nang husto sa slope nito kahit saan). Samakatuwid, sa pagitan ng negatibo at mga positibong halaga dapat. Ito ay kung saan ang function ay hindi tumataas o bumababa - sa vertex point.
Totoo rin ito para sa lambak (ang lugar kung saan bumababa ang function sa kaliwa at tumataas sa kanan):
Kaunti pa tungkol sa mga increment.
Kaya binago namin ang argumento sa isang halaga. Nagbabago tayo mula sa anong halaga? Ano na siya (argumento) ngayon? Maaari tayong pumili ng anumang punto, at ngayon ay sasayaw tayo mula rito.
Isaalang-alang ang isang punto na may coordinate. Ang halaga ng function sa loob nito ay pantay. Pagkatapos ay ginagawa namin ang parehong pagtaas: taasan ang coordinate ng. Ano ang argumento ngayon? Napakadaling: . Ano ang halaga ng function ngayon? Kung saan napupunta ang argumento, napupunta doon ang function: . Paano ang tungkol sa pagtaas ng function? Walang bago: ito pa rin ang halaga kung saan nagbago ang function:
Magsanay sa paghahanap ng mga increment:
- Hanapin ang increment ng function sa isang punto na may increment ng argument na katumbas ng.
- Ang parehong para sa isang function sa isang punto.
Mga solusyon:
AT iba't ibang puntos na may parehong pagtaas ng argumento, ang pagtaas ng function ay magkakaiba. Nangangahulugan ito na ang derivative sa bawat punto ay may sariling (tinalakay namin ito sa pinakadulo simula - iba ang matarik na kalsada sa iba't ibang mga punto). Samakatuwid, kapag sumulat tayo ng isang derivative, dapat nating ipahiwatig kung anong punto:
Pag-andar ng kapangyarihan.
Ang isang function ng kapangyarihan ay tinatawag na isang function kung saan ang argumento ay sa ilang lawak (lohikal, tama?).
At - sa anumang lawak: .
Ang pinakasimpleng kaso ay kapag ang exponent ay:
Hanapin natin ang derivative nito sa isang punto. Tandaan ang kahulugan ng derivative:
Kaya ang argumento ay nagbabago mula sa. Ano ang function increment?
Ang pagtaas ay. Ngunit ang pag-andar sa anumang punto ay katumbas ng argumento nito. Kaya:
Ang derivative ay:
Ang derivative ng ay:
b) Ngayon isaalang-alang quadratic function (): .
Ngayon tandaan natin iyan. Nangangahulugan ito na ang halaga ng pagtaas ay maaaring mapabayaan, dahil ito ay walang katapusan na maliit, at samakatuwid ay hindi gaanong mahalaga laban sa background ng isa pang termino:
Kaya, mayroon kaming isa pang panuntunan:
c) Ipinagpapatuloy namin ang lohikal na serye: .
Ang expression na ito ay maaaring pasimplehin sa iba't ibang paraan: buksan ang unang bracket gamit ang formula para sa pinaikling multiplikasyon ng cube ng kabuuan, o i-decompose ang buong expression sa mga salik gamit ang formula para sa pagkakaiba ng mga cube. Subukang gawin ito sa iyong sarili sa alinman sa mga iminungkahing paraan.
Kaya, nakuha ko ang sumusunod:
At muli nating tandaan iyon. Nangangahulugan ito na maaari nating pabayaan ang lahat ng mga terminong naglalaman ng:
Nakukuha namin ang: .
d) Maaaring makuha ang mga katulad na tuntunin para sa malalaking kapangyarihan:
e) Lumalabas na ang panuntunang ito ay maaaring gawing pangkalahatan para sa isang power function na may arbitrary exponent, hindi kahit isang integer:
| (2) |
Maaari mong bumalangkas ng panuntunan sa mga salitang: "ang antas ay dinadala bilang isang koepisyent, at pagkatapos ay bumababa ng".
Papatunayan natin ang panuntunang ito mamaya (halos sa pinakadulo). Ngayon tingnan natin ang ilang halimbawa. Hanapin ang derivative ng mga function:
- (sa dalawang paraan: sa pamamagitan ng formula at paggamit ng kahulugan ng derivative - sa pamamagitan ng pagbibilang ng pagtaas ng function);
- . Maniwala ka man o hindi, ito ay isang power function. Kung mayroon kang mga tanong tulad ng "Paano ito? At nasaan ang degree? ”, Tandaan ang paksa“ ”!
Oo, oo, ang ugat ay isang degree din, isang fractional lamang:.
Kaya ang aming square root ay isang kapangyarihan lamang na may exponent:
.
Hinahanap namin ang derivative gamit ang kamakailang natutunang formula:Kung sa puntong ito ay naging hindi malinaw muli, ulitin ang paksang "" !!! (tungkol sa degree na may negatibong tagapagpahiwatig)
- . Ngayon ang exponent:
At ngayon sa pamamagitan ng kahulugan (nakalimutan mo na ba?):
;
.
Ngayon, gaya ng dati, napapabayaan namin ang terminong naglalaman ng:
. - . Kumbinasyon ng mga nakaraang kaso: .
trigonometriko function.
Dito gagamitin natin ang isang katotohanan mula sa mas mataas na matematika:
Kapag expression.
Malalaman mo ang patunay sa unang taon ng institute (at para makarating doon, kailangan mong makapasa ng mabuti sa pagsusulit). Ngayon ay ipapakita ko lang ito nang graphical:
Nakikita namin na kapag ang function ay hindi umiiral - ang punto sa graph ay mabutas. Ngunit kung mas malapit sa halaga, mas malapit ang pag-andar. Ito ang mismong "nagsusumikap".
Bilang karagdagan, maaari mong suriin ang panuntunang ito gamit ang isang calculator. Oo, oo, huwag kang mahiya, kumuha ng calculator, wala pa tayo sa pagsusulit.
Subukan Natin: ;
Huwag kalimutang ilipat ang calculator sa Radians mode!
atbp. Nakikita natin na mas maliit ang mas malapit na kahulugan relasyon sa.
a) Isaalang-alang ang isang function. Gaya ng dati, nakita namin ang pagtaas nito:
Gawin nating produkto ang pagkakaiba ng mga sine. Upang gawin ito, ginagamit namin ang formula (tandaan ang paksang ""):.
Ngayon ang derivative:
Gumawa tayo ng pamalit: . Pagkatapos, para sa walang hanggan maliit, ito rin ay walang hanggan maliit: . Ang expression para sa ay tumatagal sa anyo:
At ngayon naaalala natin iyon sa ekspresyon. At saka, paano kung walang katapusan maliit na sukat maaaring mapabayaan sa kabuuan (iyon ay, sa).
Kaya nakuha namin susunod na tuntunin:ang derivative ng sine ay katumbas ng cosine:
Ito ay mga pangunahing derivatives ("talahanayan"). Narito sila sa isang listahan:
Sa ibang pagkakataon ay magdaragdag kami ng ilan pa sa kanila, ngunit ito ang pinakamahalaga, dahil madalas silang ginagamit.
Pagsasanay:
- Hanapin ang derivative ng isang function sa isang punto;
- Hanapin ang derivative ng function.
Mga solusyon:
- Una naming mahanap ang derivative sa pangkalahatang pananaw, at pagkatapos ay palitan ang halaga nito para dito:
;
. - Narito mayroon kaming isang bagay na katulad ng isang power function. Subukan nating dalhin siya sa
normal na view:
.
Ok, ngayon ay maaari mong gamitin ang formula:
.
. - . Eeeeee.... Ano yun????
Okay, tama ka, hindi pa rin namin alam kung paano makahanap ng mga derivatives. Narito mayroon kaming isang kumbinasyon ng ilang mga uri ng mga pag-andar. Upang makatrabaho sila, kailangan mong matuto ng ilan pang panuntunan:
Exponent at natural logarithm.
Mayroong ganoong function sa matematika, ang derivative nito para sa alinman ay katumbas ng halaga ng mismong function para sa pareho. Ito ay tinatawag na "exponent", at isang exponential function
Ang base ng function na ito ay pare-pareho - ito ay walang hanggan desimal, iyon ay, isang hindi makatwirang numero (tulad ng). Ito ay tinatawag na "Euler number", kung kaya't ito ay tinutukoy ng isang titik.
Kaya ang panuntunan ay:
Napakadaling tandaan.
Well, huwag na tayong lumayo, isaalang-alang natin agad baligtad na pag-andar. Aling function ang kabaligtaran ng exponential function? Logarithm:
Sa aming kaso, ang base ay isang numero:
Ang ganitong logarithm (iyon ay, isang logarithm na may base) ay tinatawag na isang "natural", at gumagamit kami ng isang espesyal na notasyon para dito: sumulat kami sa halip.
Ano ang katumbas ng? Syempre, .
Ang derivative ng natural logarithm ay napaka-simple din:
Mga halimbawa:
- Hanapin ang derivative ng function.
- Ano ang derivative ng function?
Mga sagot: Exhibitor at natural na logarithm- ang mga function ay katangi-tanging simple sa mga tuntunin ng derivative. Ang mga exponential at logarithmic function sa anumang iba pang base ay magkakaroon ng ibang derivative, na tatalakayin natin mamaya, pagkatapos dumaan tayo sa rules pagkakaiba-iba.
Mga panuntunan sa pagkakaiba-iba
Anong mga patakaran? muli bagong termino, ulit?!...
Pagkakaiba-iba ay ang proseso ng paghahanap ng derivative.
Tanging at lahat. Ano ang isa pang salita para sa prosesong ito? Hindi proizvodnovanie... Ang kaugalian ng matematika ay tinatawag na mismong pagtaas ng function sa. Ang terminong ito ay nagmula sa Latin differentia - pagkakaiba. Dito.
Kapag nakuha ang lahat ng mga panuntunang ito, gagamit kami ng dalawang function, halimbawa, at. Kakailanganin din namin ang mga formula para sa kanilang mga increment:
Mayroong 5 panuntunan sa kabuuan.
Ang pare-pareho ay kinuha sa labas ng sign ng derivative.
Kung - ilan pare-parehong numero(patuloy), pagkatapos.
Malinaw, gumagana din ang panuntunang ito para sa pagkakaiba: .
Patunayan natin. Hayaan, o mas madali.
Mga halimbawa.
Maghanap ng mga derivatives ng mga function:
- sa punto;
- sa punto;
- sa punto;
- sa punto.
Mga solusyon:
- (ang derivative ay pareho sa lahat ng mga punto, dahil ito ay isang linear function, tandaan?);
Derivative ng isang produkto
Ang lahat ay magkatulad dito: ipinakilala namin ang isang bagong function at hinahanap ang pagtaas nito:
Derivative:
Mga halimbawa:
- Maghanap ng mga derivatives ng mga function at;
- Hanapin ang derivative ng isang function sa isang punto.
Mga solusyon:
Derivative ng exponential function
Ngayon ang iyong kaalaman ay sapat na upang matutunan kung paano hanapin ang derivative ng anumang exponential function, at hindi lamang ang exponent (nakalimutan mo na ba kung ano ito?).
Kaya kung saan ang ilang numero.
Alam na natin ang derivative ng function, kaya subukan nating dalhin ang ating function sa isang bagong base:
Upang gawin ito, gumagamit kami ng isang simpleng panuntunan: . Pagkatapos:
Well, ito ay nagtrabaho. Ngayon subukang hanapin ang derivative, at huwag kalimutan na ang function na ito ay kumplikado.
Nangyari?
Dito, suriin ang iyong sarili:
Ang formula ay naging halos kapareho sa derivative ng exponent: tulad ng dati, nananatili ito, isang salik lamang ang lumitaw, na isang numero lamang, ngunit hindi isang variable.
Mga halimbawa:
Maghanap ng mga derivatives ng mga function:
Mga sagot:
Ito ay isang numero lamang na hindi maaaring kalkulahin nang walang calculator, iyon ay, walang paraan upang isulat ito nang higit pa simpleng anyo. Samakatuwid, sa sagot ito ay naiwan sa form na ito.
Derivative ng isang logarithmic function
Narito ito ay katulad: alam mo na ang derivative ng natural logarithm:
Samakatuwid, upang makahanap ng isang arbitrary mula sa logarithm na may ibang base, halimbawa, :
Kailangan nating dalhin ang logarithm na ito sa base. Paano mo babaguhin ang base ng isang logarithm? Sana ay tandaan mo ang formula na ito:
Ngayon lamang sa halip na magsusulat tayo:
Ang denominator ay naging pare-pareho lamang (isang pare-parehong numero, walang variable). Ang derivative ay napaka-simple:
Ang mga derivatives ng exponential at logarithmic function ay halos hindi makikita sa pagsusulit, ngunit hindi magiging kalabisan na malaman ang mga ito.
Derivative ng isang kumplikadong function.
Ano ang isang "kumplikadong function"? Hindi, hindi ito isang logarithm, at hindi isang arc tangent. Ang mga function na ito ay maaaring mahirap maunawaan (bagaman kung ang logarithm ay tila mahirap sa iyo, basahin ang paksang "Logarithm" at lahat ay gagana), ngunit sa mga tuntunin ng matematika, ang salitang "kumplikado" ay hindi nangangahulugang "mahirap".
Isipin ang isang maliit na conveyor: dalawang tao ang nakaupo at gumagawa ng ilang mga aksyon sa ilang mga bagay. Halimbawa, binalot ng una ang isang chocolate bar sa isang wrapper, at ang pangalawa ay tinatali ito ng isang laso. Ito ay lumiliko tulad ng isang pinagsama-samang bagay: isang chocolate bar na nakabalot at nakatali sa isang laso. Upang kumain ng tsokolate, kailangan mong gawin baliktad na aksyon sa baligtarin ang pagkakasunod-sunod.
Gumawa tayo ng katulad na mathematical pipeline: unang makikita natin ang cosine ng isang numero, at pagkatapos ay i-square natin ang resultang numero. Kaya, binibigyan nila kami ng isang numero (tsokolate), nakita ko ang cosine nito (pambalot), at pagkatapos ay i-square mo ang nakuha ko (itali ito ng isang laso). Anong nangyari? Function. Ito ang halimbawa kumplikadong pag-andar: kapag, upang mahanap ang halaga nito, ginagawa namin ang unang aksyon nang direkta sa variable, at pagkatapos ay isa pang pangalawang aksyon sa kung ano ang nangyari bilang resulta ng una.
Maaari naming gawin ang parehong mga aksyon sa reverse order: una mong parisukat, at pagkatapos ay hinahanap ko ang cosine ng resultang numero:. Madaling hulaan na ang resulta ay halos palaging naiiba. Mahalagang tampok mga kumplikadong function: kapag binago mo ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon, nagbabago ang function.
Sa ibang salita, Ang isang kumplikadong function ay isang function na ang argumento ay isa pang function: .
Para sa unang halimbawa, .
Pangalawang halimbawa: (pareho). .
Ang huling aksyon na gagawin natin ay tatawagin "panlabas" na function, at ang aksyon na unang ginawa - ayon sa pagkakabanggit "panloob" na function(ito ay mga impormal na pangalan, ginagamit ko lamang ang mga ito upang ipaliwanag ang materyal sa simpleng wika).
Subukang tukuyin para sa iyong sarili kung aling function ang panlabas at kung alin ang panloob:
Mga sagot: Ang paghihiwalay ng panloob at panlabas na mga pag-andar ay halos kapareho sa pagbabago ng mga variable: halimbawa, sa pag-andar
- Anong aksyon ang una nating gagawin? Una naming kalkulahin ang sine, at pagkatapos ay itataas namin ito sa isang kubo. Kaya ito ay isang panloob na pag-andar, hindi isang panlabas.
At ang orihinal na function ay ang kanilang komposisyon: . - Panloob: ; panlabas: .
Pagsusuri: . - Panloob: ; panlabas: .
Pagsusuri: . - Panloob: ; panlabas: .
Pagsusuri: . - Panloob: ; panlabas: .
Pagsusuri: .
binabago namin ang mga variable at kumuha ng isang function.
Well, ngayon ay kukunin namin ang aming tsokolate - hanapin ang hinango. Ang pamamaraan ay palaging binabaligtad: una ay hinahanap namin ang derivative ng panlabas na function, pagkatapos ay pinarami namin ang resulta sa derivative ng panloob na function. Inilapat sa orihinal na halimbawa parang ganito:
Isa pang halimbawa:
Kaya, sa wakas ay bumalangkas tayo ng opisyal na panuntunan:
Algorithm para sa paghahanap ng derivative ng isang kumplikadong function:
Parang simple lang ang lahat, tama ba?
Suriin natin gamit ang mga halimbawa:
Mga solusyon:
1) Panloob: ;
Panlabas: ;
2) Panloob: ;
(huwag mo lang subukang bawasan sa ngayon! Walang naalis sa ilalim ng cosine, remember?)
3) Panloob: ;
Panlabas: ;
Kaagad na malinaw na mayroong tatlong antas na kumplikadong pag-andar dito: pagkatapos ng lahat, ito ay isang kumplikadong pag-andar sa sarili nito, at kinukuha pa rin namin ang ugat mula dito, iyon ay, ginagawa namin ang pangatlong aksyon (ilagay ang tsokolate sa isang wrapper. at may laso sa isang portpolyo). Ngunit walang dahilan upang matakot: gayon pa man, "i-unpack" namin ang function na ito sa parehong pagkakasunud-sunod tulad ng dati: mula sa dulo.
Iyon ay, una nating pinag-iiba ang ugat, pagkatapos ay ang cosine, at pagkatapos lamang ang expression sa mga bracket. At pagkatapos ay pinarami natin ang lahat.
Sa ganitong mga kaso, ito ay maginhawa upang bilangin ang mga aksyon. Ibig sabihin, isipin natin kung ano ang alam natin. Sa anong pagkakasunud-sunod namin magsasagawa ng mga aksyon upang makalkula ang halaga ng expression na ito? Tingnan natin ang isang halimbawa:
Sa paglaon ang aksyon ay ginanap, mas magiging "panlabas" ang kaukulang function. Ang pagkakasunud-sunod ng mga aksyon - tulad ng dati:
Dito ang nesting ay karaniwang 4-level. Tukuyin natin ang takbo ng aksyon.
1. Radikal na pagpapahayag. .
2. Ugat. .
3. Sinus. .
4. Square. .
5. Pinagsasama-sama ang lahat:
DERIVATIVE. MAIKLING TUNGKOL SA PANGUNAHING
Function derivative- ang ratio ng pagtaas ng function sa pagtaas ng argumento na may infinitesimal na pagtaas ng argumento:
Mga pangunahing derivatives:
Mga panuntunan sa pagkakaiba-iba:
Ang pare-pareho ay kinuha sa labas ng tanda ng hinalaw:
Derivative ng sum:
Derivative na produkto:
Derivative ng quotient:
Derivative ng isang kumplikadong function:
Algorithm para sa paghahanap ng derivative ng isang kumplikadong function:
- Tinukoy namin ang "panloob" na function, hanapin ang derivative nito.
- Tinukoy namin ang "panlabas" na function, hanapin ang hinango nito.
- Pina-multiply namin ang mga resulta ng una at pangalawang puntos.
Sa video na ito, nagsisimula ako ng mahabang serye ng mga aralin sa mga derivatives. Ang araling ito ay may ilang bahagi.
Una sa lahat, sasabihin ko sa iyo kung ano ang mga derivative sa pangkalahatan at kung paano kalkulahin ang mga ito, ngunit hindi sa isang sopistikadong akademikong wika, ngunit sa paraan na naiintindihan ko ito mismo at kung paano ko ito ipinapaliwanag sa aking mga mag-aaral. Pangalawa, isasaalang-alang natin ang pinakasimpleng tuntunin para sa paglutas ng mga problema kung saan hahanapin natin ang mga derivatives ng sums, derivatives ng pagkakaiba, at derivatives ng power function.
Titingnan natin ang mas kumplikadong pinagsamang mga halimbawa, kung saan matututunan mo, sa partikular, na ang mga katulad na problema na kinasasangkutan ng mga ugat at kahit na mga fraction ay maaaring malutas gamit ang formula para sa derivative ng isang power function. Bilang karagdagan, siyempre, magkakaroon ng maraming mga gawain at mga halimbawa ng mga solusyon sa iba't ibang antas kahirapan.
Sa pangkalahatan, sa una ay magre-record ako ng maikling 5 minutong video, ngunit makikita mo mismo kung ano ang nangyari dito. Kaya't sapat na ang mga liriko - tayo ay bumaba sa negosyo.
Ano ang derivative?
Kaya, magsimula tayo sa malayo. Maraming taon na ang nakalilipas, nang ang mga puno ay mas luntian at ang buhay ay mas masaya, naisip ito ng mga mathematician: isaalang-alang ang isang simpleng function na ibinigay ng graph nito, tawagin natin itong $y=f\left(x \right)$. Siyempre, ang graph ay hindi umiiral sa sarili nitong, kaya kailangan mong iguhit ang $x$ axis, pati na rin ang $y$ axis. At ngayon pumili tayo ng anumang punto sa graph na ito, ganap na anuman. Tawagan natin ang abscissa $((x)_(1))$, ang ordinate, gaya ng maaari mong hulaan, ay magiging $f\left(((x)_(1)) \right)$.
Isaalang-alang ang isa pang punto sa parehong graph. Hindi mahalaga kung alin, ang pangunahing bagay ay naiiba ito sa orihinal. Ito, muli, ay may abscissa, tawagin natin itong $((x)_(2))$, pati na rin ang isang ordinate - $f\left(((x)_(2)) \right)$.
Kaya, nakakuha kami ng dalawang puntos: mayroon silang iba't ibang abscissas at, samakatuwid, iba't ibang kahulugan function, kahit na ang huli ay opsyonal. Ngunit ang talagang mahalaga ay alam natin mula sa kursong planimetry na ang isang tuwid na linya ay maaaring iguhit sa pamamagitan ng dalawang puntos at, bukod dito, isa lamang. Dito, patakbuhin natin ito.
At ngayon, gumuhit tayo ng isang tuwid na linya sa pinakauna sa kanila, parallel sa x-axis. Kunin kanang tatsulok. Tawagin natin itong $ABC$, right angle na $C$. Ang tatsulok na ito ay may isa kawili-wiling ari-arian: ang katotohanan ay ang anggulo ng $\alpha $, sa katunayan, katumbas ng anggulo, kung saan ang tuwid na linya na $AB$ ay nagsa-intersect sa pagpapatuloy ng abscissa axis. Maghusga para sa iyong sarili:
- line $AC$ ay parallel sa axis $Ox$ sa pamamagitan ng construction,
- ang linyang $AB$ ay bumabagtas sa $AC$ sa ilalim ng $\alpha $,
- kaya't ang $AB$ ay nag-intersect sa $Ox$ sa ilalim ng parehong $\alpha $.
Ano ang masasabi natin tungkol sa $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$? Walang konkreto, maliban na sa tatsulok na $ABC$ ang ratio ng binti $BC$ sa binti $AC$ ay katumbas ng tangent ng mismong anggulong ito. Kaya't magsulat tayo:
Siyempre, $AC$ in kasong ito madaling isaalang-alang:
Katulad para sa $BC$:
Sa madaling salita, maaari nating isulat ang sumusunod:
\[\operatorname(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )=\frac(f\left(((x)_(2)) \right)-f\left( ((x)_(1)) \kanan))(((x)_(2))-((x)_(1)))\]
Ngayon na nakuha na natin ang lahat ng ito, bumalik tayo sa ating tsart at tingnan bagong punto$B$. Burahin ang mga lumang halaga at kunin at dalhin ang $B$ sa isang lugar na mas malapit sa $((x)_(1))$. Muli nating tukuyin ang abscissa nito bilang $((x)_(2))$, at ang ordinate nito bilang $f\left(((x)_(2)) \right)$.
Isaalang-alang muli ang aming maliit na tatsulok na $ABC$ at $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$ sa loob nito. Halatang halata na ito ay magiging isang ganap na magkakaibang anggulo, ang tangent ay magkakaiba din dahil ang mga haba ng mga segment na $AC$ at $BC$ ay nagbago nang malaki, at ang formula para sa tangent ng anggulo ay hindi nagbago sa lahat. - ito pa rin ang ratio sa pagitan ng pagbabago ng function at pagbabago ng argumento .
Sa wakas, patuloy naming inililipat ang $B$ palapit nang palapit sa paunang puntong $A$, bilang resulta, ang tatsulok ay bababa pa, at ang linyang naglalaman ng segment na $AB$ ay magiging parang tangent sa graph ng function.
Bilang resulta, kung patuloy tayong lalapit sa mga punto, ibig sabihin, bawasan ang distansya sa zero, kung gayon ang linya na $AB$ ay talagang magiging tangent sa graph sa puntong ito, at $\text( )\!\!\ alpha\!\ !\text( )$ ay magbabago mula sa isang normal na elemento ng tatsulok patungo sa anggulo sa pagitan ng tangent hanggang sa graph at ang positibong direksyon ng $Ox$ axis.
At dito tayo ay maayos na lumipat sa kahulugan ng $f$, ibig sabihin, ang derivative ng function sa puntong $((x)_(1))$ ay ang tangent ng anggulo $\alpha $ sa pagitan ng tangent sa graph sa puntong $((x)_( 1))$ at ang positibong direksyon ng $Ox$ axis:
\[(f)"\left(((x)_(1)) \right)=\operatorname(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )\]
Pagbabalik sa aming graph, dapat tandaan na bilang $((x)_(1))$, maaari kang pumili ng anumang punto sa graph. Halimbawa, sa parehong tagumpay, maaari naming alisin ang stroke sa puntong ipinapakita sa figure.
Tawagan natin ang anggulo sa pagitan ng tangent at ang positibong direksyon ng axis na $\beta $. Alinsunod dito, ang $f$ sa $((x)_(2))$ ay magiging katumbas ng tangent ng anggulong ito na $\beta $.
\[(f)"\left(((x)_(2)) \right)=tg\text( )\!\!\beta\!\!\text( )\]
Ang bawat punto ng graph ay magkakaroon ng sarili nitong tangent, at, dahil dito, ang sarili nitong halaga ng function. Sa bawat isa sa mga kasong ito, bilang karagdagan sa punto kung saan hinahanap natin ang derivative ng isang pagkakaiba o isang kabuuan, o isang derivative ng isang power function, kinakailangan na kumuha ng isa pang punto na matatagpuan sa ilang distansya mula dito, at pagkatapos idirekta ang puntong ito sa orihinal at, siyempre, alamin kung paano sa proseso ang naturang paggalaw ay magbabago sa tangent ng anggulo ng pagkahilig.
Power function derivative
Sa kasamaang palad, ang kahulugan na ito ay hindi angkop sa amin. Ang lahat ng mga formula, larawan, mga anggulo na ito ay hindi nagbibigay sa amin ng kaunting ideya kung paano kalkulahin ang tunay na derivative sa tunay na mga gawain. Samakatuwid, lumihis tayo ng kaunti mula sa pormal na kahulugan at isaalang-alang ang mas epektibong mga formula at pamamaraan kung saan maaari mo nang malutas ang mga tunay na problema.
Magsimula tayo sa pinakasimpleng mga konstruksyon, ibig sabihin, mga function ng form na $y=((x)^(n))$, i.e. mga function ng kapangyarihan. Sa kasong ito, maaari nating isulat ang sumusunod: $(y)"=n\cdot ((x)^(n-1))$. Sa madaling salita, ang degree na nasa exponent ay ipinapakita sa multiplier sa harap , at ang exponent mismo ay binabawasan ng unit, halimbawa:
\[\begin(align)& y=((x)^(2)) \\& (y)"=2\cdot ((x)^(2-1))=2x \\\end(align) \]
At narito ang isa pang pagpipilian:
\[\begin(align)& y=((x)^(1)) \\& (y)"=((\left(x \right))^(\prime ))=1\cdot ((x )^(0))=1\cdot 1=1 \\& ((\left(x \right))^(\prime ))=1 \\\end(align)\]
Gamit ang mga ito simpleng tuntunin, subukan nating alisin ang stroke ng mga sumusunod na halimbawa:
Kaya nakuha namin:
\[((\left(((x)^(6)) \right))^(\prime ))=6\cdot ((x)^(5))=6((x)^(5)) \]
Ngayon lutasin natin ang pangalawang expression:
\[\begin(align)& f\left(x \right)=((x)^(100)) \\& ((\left(((x)^(100)) \right))^(\ prime ))=100\cdot ((x)^(99))=100((x)^(99)) \\\end(align)\]
Siyempre, ang mga ito ay napaka mga simpleng gawain. Gayunpaman, ang mga tunay na problema ay mas kumplikado at hindi ito limitado sa mga kapangyarihan ng isang function.
Kaya, ang panuntunan bilang 1 - kung ang function ay kinakatawan bilang ang iba pang dalawa, kung gayon ang derivative ng kabuuan na ito ay katumbas ng kabuuan ng mga derivatives:
\[((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"\]
Katulad nito, ang derivative ng pagkakaiba ng dalawang function ay katumbas ng pagkakaiba ng derivatives:
\[((\kaliwa(f-g \kanan))^(\prime ))=(f)"-(g)"\]
\[((\left(((x)^(2))+x \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \right))^(\ prime ))+((\kaliwa(x \right))^(\prime ))=2x+1\]
Bilang karagdagan, may isa pa mahalagang tuntunin: kung ang ilang $f$ ay nauuna sa isang pare-parehong $c$, kung saan ang function na ito ay pinarami, kung gayon ang $f$ ng buong konstruksyon na ito ay isinasaalang-alang bilang mga sumusunod:
\[((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)"\]
\[((\kaliwa(3((x)^(3))) \kanan))^(\prime ))=3((\kaliwa(((x)^(3)) \kanan))^(\ prime ))=3\cdot 3((x)^(2))=9((x)^(2))\]
Panghuli, isa pang napakahalagang tuntunin: ang mga problema ay kadalasang naglalaman ng hiwalay na termino na hindi naglalaman ng $x$. Halimbawa, mapapansin natin ito sa ating mga pananalita ngayon. Ang derivative ng isang pare-pareho, ibig sabihin, isang numero na hindi nakadepende sa anumang paraan sa $x$, ay palaging katumbas ng zero, at hindi mahalaga kung ano ang katumbas ng pare-parehong $c$:
\[((\kaliwa(c \kanan))^(\prime ))=0\]
Halimbawa ng solusyon:
\[((\left(1001 \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(1000) \right))^(\prime ))=0\]
Muli ang mga pangunahing punto:
- Ang derivative ng kabuuan ng dalawang function ay palaging katumbas ng kabuuan ng mga derivatives: $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$;
- Para sa magkatulad na mga kadahilanan, ang derivative ng pagkakaiba ng dalawang function ay katumbas ng pagkakaiba ng dalawang derivatives: $((\left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$;
- Kung ang function ay may pare-parehong multiplier, ang pare-parehong ito ay maaaring alisin sa derivative sign: $((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)"$;
- Kung ang buong function ay pare-pareho, ang derivative nito ay palaging zero: $((\left(c \right))^(\prime ))=0$.
Tingnan natin kung paano gumagana ang lahat tunay na mga halimbawa. Kaya:
Sumulat kami:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(5))-3((x)^(2))+7 \right))^(\prime ))=((\left (((x)^(5)) \kanan))^(\prime ))-((\kaliwa(3((x)^(2)) \right))^(\prime ))+(7) "= \\& =5((x)^(4))-3((\kaliwa(((x)^(2)) \kanan))^(\prime ))+0=5((x) ^(4))-6x \\\end(align)\]
Sa halimbawang ito, makikita natin ang parehong derivative ng kabuuan at ang derivative ng pagkakaiba. Kaya ang derivative ay $5((x)^(4))-6x$.
Lumipat tayo sa pangalawang function:
Isulat ang solusyon:
\[\begin(align)& ((\left(3((x)^(2))-2x+2 \right))^(\prime ))=((\left(3((x)^( 2)) \right))^(\prime ))-((\left(2x \right))^(\prime ))+(2)"= \\& =3((\left(((x)) ^(2)) \kanan))^(\prime ))-2(x)"+0=3\cdot 2x-2\cdot 1=6x-2 \\\end(align)\]
Dito nahanap namin ang sagot.
Lumipat tayo sa pangatlong function - ito ay mas seryoso:
\[\begin(align)& ((\left(2((x)^(3))-3((x)^(2))+\frac(1)(2)x-5 \right)) ^(\prime ))=((\left(2((x)^(3)) \right))^(\prime ))-(\left(3((x)^(2)) \right ))^(\prime ))+((\left(\frac(1)(2)x \right))^(\prime ))-(5)"= \\& =2((\left(( (x)^(3)) \kanan))^(\prime ))-3((\kaliwa(((x)^(2)) \kanan))^(\prime ))+\frac(1) (2)\cdot (x)"=2\cdot 3((x)^(2))-3\cdot 2x+\frac(1)(2)\cdot 1=6((x)^(2)) -6x+\frac(1)(2) \\\end(align)\]
Nahanap na namin ang sagot.
Lumipat tayo sa huling expression - ang pinaka kumplikado at pinakamahabang:
Kaya, isinasaalang-alang namin:
\[\begin(align)& ((\left(6((x)^(7))-14((x)^(3))+4x+5 \right))^(\prime ))=( (\left(6((x)^(7)) \right))^(\prime ))-((\left(14((x)^(3)) \right))^(\prime )) +((\left(4x \right))^(\prime ))+(5)"= \\& =6\cdot 7\cdot ((x)^(6))-14\cdot 3((x )^(2))+4\cdot 1+0=42((x)^(6))-42((x)^(2))+4 \\\end(align)\]
Ngunit ang solusyon ay hindi nagtatapos doon, dahil hinihiling sa amin hindi lamang tanggalin ang stroke, ngunit kalkulahin ang halaga nito sa isang tiyak na punto, kaya pinapalitan namin ang −1 sa halip na $x$ sa expression:
\[(y)"\left(-1 \right)=42\cdot 1-42\cdot 1+4=4\]
Pumunta kami sa higit pa at lumipat sa mas kumplikado at kawili-wiling mga halimbawa. Ang punto ay ang formula para sa paglutas ng power derivative $((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1) Ang )$ ay may mas malawak na saklaw kaysa sa karaniwang pinaniniwalaan. Sa tulong nito, maaari mong lutasin ang mga halimbawa na may mga fraction, ugat, atbp. Ito ang gagawin natin ngayon.
Upang magsimula, muli nating isulat ang formula, na tutulong sa atin na mahanap ang derivative ng power function:
At ngayon pansin: sa ngayon ay isinasaalang-alang namin bilang $n$ lamang mga integer, gayunpaman, hindi kami nakikialam sa pagsasaalang-alang sa mga fraction at kahit mga negatibong numero. Halimbawa, maaari nating isulat ang sumusunod:
\[\begin(align)& \sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\ prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(2))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(2)\cdot ((x) ^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(x))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\\end(align)\]
Walang kumplikado, kaya tingnan natin kung paano tayo matutulungan ng formula na ito kapag mas marami tayong nilulutas mapaghamong mga gawain. Kaya isang halimbawa:
Isulat ang solusyon:
\[\begin(align)& \left(\sqrt(x)+\sqrt(x)+\sqrt(x) \right)=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime )) \\& ((\ left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^( \prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot ((x )^(-\frac(2)(3)))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x)^(2)))) \\& (( \left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(4))) \right))^(\prime )) =\frac(1)(4)((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1)(4)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x)) ^(3)))) \\\end(align)\]
Bumalik tayo sa ating halimbawa at isulat:
\[(y)"=\frac(1)(2\sqrt(x))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^(2))))+\frac(1)(4 \sqrt(((x)^(3))))\]
Ito ay isang mahirap na desisyon.
Lumipat tayo sa pangalawang halimbawa - mayroon lamang dalawang termino, ngunit ang bawat isa sa kanila ay naglalaman ng parehong klasikal na antas at mga ugat.
Ngayon ay matututunan natin kung paano hanapin ang derivative ng isang power function, na, bilang karagdagan, ay naglalaman ng isang ugat:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\sqrt(((x)^(2)))+((x)^(7))\sqrt(x) \kanan))^(\prime ))=((\left(((x)^(3))\cdot \sqrt(((x)^(2))) \right))^(\prime )) =((\left(((x)^(3))\cdot ((x)^(\frac(2)(3))) \right))^(\prime ))= \\& =(( \left(((x)^(3+\frac(2)(3))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(11)(3 ))) \kanan))^(\prime ))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(\frac(8)(3)))=\frac(11)(3)\ cdot ((x)^(2\frac(2)(3)))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2 ))) \\& ((\left(((x)^(7))\cdot \sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(7 ))\cdot ((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(7\frac(1)(3 ))) \kanan))^(\prime ))=7\frac(1)(3)\cdot ((x)^(6\frac(1)(3)))=\frac(22)(3 )\cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x) \\\end(align)\]
Ang parehong mga termino ay kinakalkula, nananatili itong isulat ang huling sagot:
\[(y)"=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2)))+\frac(22)(3) \cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x)\]
Nahanap na namin ang sagot.
Derivative ng isang fraction sa mga tuntunin ng isang power function
Ngunit ang mga posibilidad ng formula para sa paglutas ng derivative ng isang power function ay hindi nagtatapos doon. Ang katotohanan ay sa tulong nito maaari mong bilangin hindi lamang ang mga halimbawa na may mga ugat, kundi pati na rin sa mga praksyon. Ito ay isang pambihirang pagkakataon na lubos na nagpapadali sa solusyon ng mga naturang halimbawa, ngunit madalas na hindi pinapansin hindi lamang ng mga mag-aaral, kundi pati na rin ng mga guro.
Kaya, ngayon ay susubukan naming pagsamahin ang dalawang formula nang sabay-sabay. Sa isang banda, ang classical derivative ng isang power function
\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]
Sa kabilang banda, alam namin na ang isang expression ng anyong $\frac(1)(((x)^(n)))$ ay maaaring katawanin bilang $((x)^(-n))$. Kaya naman,
\[\left(\frac(1)(((x)^(n))) \right)"=((\left(((x)^(-n)) \right))^(\prime ) )=-n\cdot ((x)^(-n-1))=-\frac(n)(((x)^(n+1)))\]
\[((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=\left(((x)^(-1)) \right)=-1\cdot ((x )^(-2))=-\frac(1)(((x)^(2)))\]
Kaya ang mga derivatives mga simpleng fraction, kung saan ang numerator ay isang pare-pareho, at ang denominator ay isang degree, ay kinakalkula din gamit ang klasikal na formula. Tingnan natin kung paano ito gumagana sa pagsasanay.
Kaya ang unang function:
\[((\left(\frac(1)(((x)^(2))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(-2)) \ kanan))^(\prime ))=-2\cdot ((x)^(-3))=-\frac(2)(((x)^(3)))\]
Ang unang halimbawa ay nalutas, lumipat tayo sa pangalawa:
\[\begin(align)& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4)))-\frac(2)(3((x)^(3)))+\ frac(5)(2)((x)^(2))+2((x)^(3))-3((x)^(4)) \right))^(\prime ))= \ \& =((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \right))^(\prime ))-((\left(\frac(2)(3(( x)^(3))) \kanan))^(\prime ))+((\kaliwa(2((x)^(3)) \kanan))^(\prime ))-((\kaliwa( 3((x)^(4)) \kanan))^(\prime )) \\& ((\kaliwa(\frac(7)(4((x)^(4))) \kanan))^ (\prime ))=\frac(7)(4)((\left(\frac(1)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=\frac(7 )(4)\cdot ((\left(((x)^(-4)) \right))^(\prime ))=\frac(7)(4)\cdot \left(-4 \right) \cdot ((x)^(-5))=\frac(-7)(((x)^(5))) \\& ((\left(\frac(2)(3((x)^) (3))) \kanan))^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(\frac(1)((x)^(3))) \right) )^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(((x)^(-3)) \right))^(\prime ))=\frac(2)( 3)\cdot \left(-3 \right)\cdot ((x)^(-4))=\frac(-2)(((x)^(4))) \\& ((\left( \frac(5)(2)((x)^(2)) \kanan))^(\prime ))=\frac(5)(2)\cdot 2x=5x \\& ((\kaliwa(2) ((x)^(3)) \kanan))^(\prime ))=2\cdot 3((x)^(2))=6((x)^(2)) \\& ((\ kaliwa(3((x)^(4)) \kanan))^(\prime ))=3\cdot 4((x)^ (3))=12((x)^(3)) \\\end(align)\]...
Ngayon kinokolekta namin ang lahat ng mga terminong ito sa iisang formula:
\[(y)"=-\frac(7)(((x)^(5)))+\frac(2)(((x)^(4)))+5x+6((x)^ (2))-12((x)^(3))\]
Nakatanggap kami ng tugon.
Gayunpaman, bago magpatuloy, nais kong iguhit ang iyong pansin sa anyo ng pagsulat ng mga orihinal na expression mismo: sa unang expression isinulat namin ang $f\left(x \right)=...$, sa pangalawa: $y =...$ Maraming estudyante ang naliligaw kapag nakakita sila iba't ibang anyo mga talaan. Ano ang pagkakaiba sa pagitan ng $f\left(x \right)$ at $y$? Sa totoo lang, wala. Magkaiba lang sila ng mga entry na may parehong kahulugan. Basta kapag sinabi nating $f\left(x \right)$ then nag-uusap kami, una sa lahat, tungkol sa function, at pagdating sa $y$, kadalasan ang graph ng function ang ibig sabihin. Kung hindi, ito ay pareho, ibig sabihin, ang derivative ay itinuturing na pareho sa parehong mga kaso.
Mga kumplikadong problema sa mga derivatives
Sa konklusyon, nais kong isaalang-alang ang isang pares ng mga kumplikadong pinagsamang mga problema na gumagamit ng lahat ng bagay na isinasaalang-alang natin ngayon nang sabay-sabay. Sa kanila, naghihintay kami ng mga ugat, at mga fraction, at mga kabuuan. Gayunpaman, ang mga halimbawang ito ay magiging masalimuot lamang sa loob ng balangkas ng video tutorial ngayon, dahil ang tunay na kumplikadong mga derivative function ay maghihintay sa iyo sa unahan.
Kaya, ang huling bahagi ng video tutorial ngayon, na binubuo ng dalawang pinagsamang gawain. Magsimula tayo sa una:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))-\frac(1)((x)^(3)))+\sqrt(x) \right))^ (\prime ))=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))-(\left(\frac(1)(((x)^(3) )) \right))^(\prime ))+\left(\sqrt(x) \right) \\& ((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ) )=3((x)^(2)) \\& ((\left(\frac(1)(((x)^(3))) \right))^(\prime ))=((\ kaliwa(((x)^(-3)) \kanan))^(\prime ))=-3\cdot ((x)^(-4))=-\frac(3)(((x)^ (4))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \kanan))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)((x)^(\frac(2)(3))))=\frac(1) (3\sqrt(((x)^(2)))) \\\end(align)\]
Ang derivative ng function ay:
\[(y)"=3((x)^(2))-\frac(3)(((x)^(4)))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^ (2))))\]
Ang unang halimbawa ay nalutas. Isaalang-alang ang pangalawang problema:
Sa pangalawang halimbawa, pareho tayong kumilos:
\[((\left(-\frac(2)(((x)^(4)))+\sqrt(x)+\frac(4)(x\sqrt(((x)^(3)) )) \right))^(\prime ))=((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))+((\left (\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \right))^ (\prime))\]
Kalkulahin natin ang bawat termino nang hiwalay:
\[\begin(align)& ((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=-2\cdot ((\left( ((x)^(-4)) \kanan))^(\prime ))=-2\cdot \left(-4 \right)\cdot ((x)^(-5))=\frac(8 )(((x)^(5))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac( 1)(4))) \kanan))^(\prime ))=\frac(1)(4)\cdot ((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1 )(4\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3)))) \\& ((\ kaliwa(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(4)(x\cdot ((x)^(\frac(3)(4)))) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(4)(((x)^(1\frac(3) )(4)))) \right))^(\prime ))=4\cdot ((\left(((x)^(-1\frac(3)(4))) \right))^( \prime ))= \\& =4\cdot \left(-1\frac(3)(4) \right)\cdot ((x)^(-2\frac(3)(4)))=4 \cdot \left(-\frac(7)(4) \right)\cdot \frac(1)(((x)^(2\frac(3)(4))))=\frac(-7) (((x)^(2))\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=-\frac(7)(((x)^(2))\cdot \sqrt (((x)^(3)))) \\\end(align)\]
Lahat ng termino ay binibilang. Ngayon bumalik sa orihinal na pormula at pagsamahin ang lahat ng tatlong termino. Nakuha namin na ang huling sagot ay:
\[(y)"=\frac(8)(((x)^(5)))+\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3))))-\frac(7 )(((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(3))))\]
At iyon lang. Ito ang aming unang aralin. Sa mga susunod na aralin, higit pa nating titingnan mga kumplikadong istruktura, at alamin din kung bakit kailangan ang mga derivative.
Derivative na pagkalkula- isa sa pinaka mahahalagang operasyon sa differential calculus. Nasa ibaba ang isang talahanayan para sa paghahanap ng mga derivatives mga simpleng function. Higit pa kumplikadong mga patakaran pagkakaiba, tingnan ang iba pang mga aralin:- Talaan ng mga derivative ng exponential at logarithmic function
Mga derivatives ng mga simpleng function
1. Ang derivative ng isang numero ay zeroс´ = 0
Halimbawa:
5' = 0
Paliwanag:
Ipinapakita ng derivative ang rate kung saan nagbabago ang halaga ng function kapag nagbago ang argumento. Dahil ang numero ay hindi nagbabago sa anumang paraan sa ilalim ng anumang mga kundisyon, ang rate ng pagbabago nito ay palaging zero.
2. Derivative ng isang variable katumbas ng isa
x' = 1
Paliwanag:
Sa bawat pagtaas ng argument (x) ng isa, ang halaga ng function (resulta ng pagkalkula) ay tumataas ng parehong halaga. Kaya, ang rate ng pagbabago ng halaga ng function na y = x ay eksaktong katumbas ng rate ng pagbabago ng halaga ng argumento.
3. Ang derivative ng variable at factor ay katumbas ng factor na ito
сx´ = с
Halimbawa:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Paliwanag:
Sa kasong ito, sa bawat oras na ang function argument ( X) ang halaga nito (y) ay lumalaki kasama minsan. Kaya, ang rate ng pagbabago ng halaga ng function na may paggalang sa rate ng pagbabago ng argumento ay eksaktong katumbas ng halaga kasama.
Kung saan sinusundan iyon
(cx + b)" = c
ibig sabihin, kaugalian linear function y=kx+b ay angular coefficient slope ng tuwid na linya (k).
4. Modulo derivative ng isang variable ay katumbas ng quotient ng variable na ito sa modulus nito
|x|"= x / |x| sa kondisyon na x ≠ 0
Paliwanag:
Dahil ang derivative ng variable (tingnan ang formula 2) ay katumbas ng isa, ang derivative ng module ay nagkakaiba lamang dahil ang halaga ng rate ng pagbabago ng function ay nagbabago sa kabaligtaran kapag tumatawid sa origin point (subukang gumuhit ng graph ng function na y = |x| at tingnan para sa iyong sarili. Ito ay eksaktong halaga at ibinabalik ang expression na x / |x| Kapag x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - isa. Iyon ay, sa mga negatibong halaga ng variable x, sa bawat pagtaas sa pagbabago sa argumento, ang halaga ng function ay bumababa ng eksaktong parehong halaga, at sa mga positibong halaga, sa kabaligtaran, ito ay tumataas, ngunit sa eksaktong ang parehong halaga.
5. Power derivative ng isang variable ay katumbas ng produkto ng bilang ng kapangyarihang ito at ang variable sa kapangyarihan, na nabawasan ng isa
(x c)"= cx c-1, sa kondisyon na ang x c at cx c-1 ay tinukoy at c ≠ 0
Halimbawa:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Upang isaulo ang formula:
Kunin ang exponent ng variable na "pababa" bilang isang multiplier, at pagkatapos ay bawasan ang exponent mismo ng isa. Halimbawa, para sa x 2 - ang dalawa ay nauuna sa x, at pagkatapos ay ang pinababang kapangyarihan (2-1 = 1) ay nagbigay lamang sa amin ng 2x. Ang parehong bagay ay nangyari para sa x 3 - binabaan namin ang triple, bawasan ito ng isa at sa halip na isang kubo mayroon kaming isang parisukat, iyon ay, 3x 2 . Medyo "unscientific", ngunit napakadaling tandaan.
6.Fraction derivative 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Halimbawa:
Dahil ang isang fraction ay maaaring katawanin bilang pagtaas sa negatibong kapangyarihan
(1/x)" = (x -1)" , pagkatapos ay maaari mong ilapat ang formula mula sa panuntunan 5 ng derivatives table
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2
7. Fraction derivative na may variable na di-makatwirang antas sa denominator
(1/x c)" = - c / x c+1
Halimbawa:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3
8. pinagmulang ugat(derivative ng variable sa ilalim ng square root)
(√x)" = 1 / (2√x) o 1/2 x -1/2
Halimbawa:
(√x)" = (x 1/2)" para mailapat mo ang formula mula sa panuntunan 5
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)
9. Derivative ng isang variable sa ilalim ng root ng isang arbitrary degree
(n √ x)" = 1 / (n n √ x n-1)
Ang operasyon ng paghahanap ng derivative ay tinatawag na differentiation.
Bilang resulta ng paglutas ng mga problema sa paghahanap ng mga derivatives para sa pinakasimpleng (at hindi masyadong simple) na mga function, sa pamamagitan ng pagtukoy sa derivative bilang limitasyon ng ratio ng increment sa increment ng argument, lumitaw ang isang table ng derivatives at eksaktong ilang mga tuntunin pagkakaiba-iba. Sina Isaac Newton (1643-1727) at Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) ang unang nagtrabaho sa larangan ng paghahanap ng mga derivatives.
Samakatuwid, sa ating panahon, upang mahanap ang derivative ng anumang function, hindi kinakailangang kalkulahin ang nabanggit na limitasyon ng ratio ng pagtaas ng function sa pagtaas ng argumento, ngunit kailangan lamang gamitin ang talahanayan. ng mga derivatives at ang mga patakaran ng pagkita ng kaibhan. Ang sumusunod na algorithm ay angkop para sa paghahanap ng derivative.
Upang mahanap ang derivative, kailangan mo ng expression sa ilalim ng stroke sign hatiin ang mga simpleng function at tukuyin kung anong mga aksyon (produkto, kabuuan, kusyente) magkaugnay ang mga function na ito. Karagdagang derivatives elementarya na pag-andar makikita natin sa talahanayan ng mga derivatives, at ang mga formula para sa mga derivatives ng produkto, sum at quotient - sa mga patakaran ng pagkita ng kaibhan. Ang talahanayan ng mga derivatives at mga panuntunan sa pagkakaiba-iba ay ibinigay pagkatapos ng unang dalawang halimbawa.
Halimbawa 1 Hanapin ang derivative ng isang function
Desisyon. Mula sa mga patakaran ng pagkita ng kaibhan nalaman natin na ang hinango ng kabuuan ng mga pag-andar ay ang kabuuan ng mga derivatives ng mga pag-andar, i.e.
Mula sa talahanayan ng mga derivatives, nalaman namin na ang derivative ng "X" ay katumbas ng isa, at ang derivative ng sine ay cosine. Pinapalitan namin ang mga halagang ito sa kabuuan ng mga derivative at hinahanap ang hinango na kinakailangan ng kondisyon ng problema:
Halimbawa 2 Hanapin ang derivative ng isang function
Desisyon. I-differentiate bilang derivative ng kabuuan, kung saan ang pangalawang termino na may pare-parehong salik, maaari itong alisin sa tanda ng derivative:
Kung mayroon pa ring mga katanungan tungkol sa kung saan nagmula ang isang bagay, sila, bilang panuntunan, ay nagiging malinaw pagkatapos basahin ang talahanayan ng mga derivatives at ang pinakasimpleng mga patakaran ng pagkita ng kaibhan. Pupunta kami sa kanila ngayon.
Talaan ng mga derivatives ng mga simpleng function
| 1. Derivative ng isang pare-pareho (numero). Anumang numero (1, 2, 5, 200...) na nasa expression ng function. Laging zero. Napakahalagang tandaan ito, dahil madalas itong kinakailangan | |
| 2. Derivative ng independent variable. Kadalasan ay "x". Laging katumbas ng isa. Mahalaga rin itong tandaan | |
| 3. Derivative ng degree. Kapag nilulutas ang mga problema, kailangan mong i-convert ang mga di-square na ugat sa isang kapangyarihan. | |
| 4. Derivative ng isang variable sa kapangyarihan ng -1 | |
| 5. Derivative parisukat na ugat | |
| 6. Sine derivative | |
| 7. Cosine derivative |  |
| 8. Tangent derivative |  |
| 9. Derivative ng cotangent |  |
| 10. Derivative ng arcsine |  |
| 11. Derivative ng arc cosine |  |
| 12. Derivative ng arc tangent |  |
| 13. Derivative ng inverse tangent |  |
| 14. Derivative ng natural logarithm | |
| 15. Derivative ng isang logarithmic function |  |
| 16. Derivative ng exponent | |
| 17. Derivative ng exponential function |
Mga panuntunan sa pagkakaiba-iba
| 1. Derivative ng kabuuan o pagkakaiba |  |
| 2. Derivative ng isang produkto |  |
| 2a. Derivative ng isang expression na pinarami ng isang pare-parehong kadahilanan | |
| 3. Derivative ng quotient |  |
| 4. Derivative ng isang kumplikadong function |  |
Panuntunan 1Kung functions
ay differentiable sa ilang mga punto , pagkatapos ay sa parehong punto ang mga function
at
mga. ang derivative ng algebraic sum of functions ay algebraic sum derivatives ng mga function na ito.
Bunga. Kung ang dalawang naiba-iba na pag-andar ay naiiba sa pamamagitan ng isang pare-pareho, kung gayon ang kanilang mga derivatives ay, ibig sabihin.
Panuntunan 2Kung functions
ay naiba-iba sa isang punto , pagkatapos ang kanilang produkto ay naiba-iba din sa parehong punto
at
mga. ang derivative ng produkto ng dalawang function ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng bawat isa sa mga function na ito at ang derivative ng isa pa.
Bunga 1. Ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa tanda ng derivative:
Bunga 2. Ang derivative ng produkto ng ilang differentiable function ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng derivative ng bawat salik at lahat ng iba pa.
Halimbawa, para sa tatlong multiplier:
Panuntunan 3Kung functions
naiba sa isang punto at , pagkatapos sa puntong ito ang kanilang quotient ay din differentiable.u/v , at
mga. ang derivative ng isang quotient ng dalawang function ay katumbas ng isang fraction na ang numerator ay ang pagkakaiba sa pagitan ng mga produkto ng denominator at ang derivative ng numerator at numerator at ang derivative ng denominator, at ang denominator ay ang parisukat ng dating numerator .
Kung saan titingin sa ibang mga pahina
Kapag nahanap ang derivative ng produkto at ang quotient sa mga totoong problema, palaging kinakailangan na maglapat ng ilang mga panuntunan sa pagkita ng kaibhan nang sabay-sabay, samakatuwid higit pang mga halimbawa sa mga derivatives na ito - sa artikulo"Ang derivative ng isang produkto at isang quotient".
Magkomento. Hindi mo dapat malito ang isang pare-pareho (iyon ay, isang numero) bilang isang termino sa kabuuan at bilang isang pare-parehong kadahilanan! Sa kaso ng isang termino, ang derivative nito ay katumbas ng zero, at sa kaso ng pare-pareho ang kadahilanan ito ay inalis sa tanda ng mga derivatives. Ito ay tipikal na pagkakamali, na nangyayari sa paunang yugto pag-aaral ng mga derivatives, ngunit habang nilulutas mo ang ilang isa-dalawang bahagi na mga halimbawa karaniwang estudyante hindi na gumagawa ng pagkakamaling ito.
At kung, kapag iniiba ang isang produkto o isang quotient, mayroon kang termino u"v, kung saan u- isang numero, halimbawa, 2 o 5, iyon ay, isang pare-pareho, kung gayon ang derivative ng numerong ito ay magiging katumbas ng zero at, samakatuwid, ang buong termino ay magiging katumbas ng zero (ang ganitong kaso ay sinusuri sa halimbawa 10) .
Iba pa karaniwang pagkakamali - mekanikal na solusyon derivative ng complex function bilang derivative ng simpleng function. Kaya derivative ng isang kumplikadong function nakatuon sa isang hiwalay na artikulo. Ngunit matututunan muna nating maghanap ng mga derivatives ng mga simpleng function.
Kasama ang paraan, hindi mo magagawa nang walang pagbabago ng mga expression. Upang gawin ito, maaaring kailanganin mong buksan sa mga bagong window ang mga manual Mga aksyon na may kapangyarihan at ugat at Mga aksyon na may mga fraction .
Kung naghahanap ka ng mga solusyon sa mga derivatives na may mga kapangyarihan at ugat, iyon ay, kapag ang function ay mukhang 
, pagkatapos ay sundan ang aralin na " Derivative of the sum of fractions with powers and roots".
Kung mayroon kang gawain tulad ng 
, kung gayon ikaw ay nasa aralin na "Derivatives of simple trigonometric functions".
Hakbang-hakbang na mga halimbawa - kung paano hanapin ang derivative
Halimbawa 3 Hanapin ang derivative ng isang function
Desisyon. Tinutukoy namin ang mga bahagi ng pagpapahayag ng function: ang buong expression ay kumakatawan sa produkto, at ang mga kadahilanan nito ay mga kabuuan, sa pangalawa kung saan ang isa sa mga termino ay naglalaman ng pare-parehong kadahilanan. Inilapat namin ang panuntunan sa pagkakaiba-iba ng produkto: ang derivative ng produkto ng dalawang function ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng bawat isa sa mga function na ito at ang derivative ng isa pa:
Susunod, inilalapat namin ang tuntunin ng pagkita ng kaibhan ng kabuuan: ang derivative ng algebraic sum ng mga function ay katumbas ng algebraic sum ng mga derivatives ng mga function na ito. Sa aming kaso, sa bawat kabuuan, ang pangalawang termino na may minus sign. Sa bawat kabuuan, makikita natin ang parehong independiyenteng variable, ang derivative nito ay katumbas ng isa, at isang pare-pareho (numero), ang derivative nito ay katumbas ng zero. Kaya, ang "x" ay nagiging isa, at minus 5 - sa zero. Sa pangalawang expression, ang "x" ay pinarami ng 2, kaya pinarami namin ang dalawa sa parehong yunit bilang derivative ng "x". Nakukuha namin ang mga sumusunod na halaga derivatives:
Pinapalitan namin ang mga nahanap na derivative sa kabuuan ng mga produkto at nakuha ang derivative ng buong function na kinakailangan ng kondisyon ng problema:
Halimbawa 4 Hanapin ang derivative ng isang function
Desisyon. Kinakailangan nating hanapin ang derivative ng quotient. Inilapat namin ang pormula para sa pagkakaiba-iba ng quotient: ang derivative ng isang quotient ng dalawang function ay katumbas ng isang fraction na ang numerator ay ang pagkakaiba sa pagitan ng mga produkto ng denominator at derivative ng numerator at numerator at ang derivative ng denominator, at ang denominator ay ang parisukat ng dating numerator. Nakukuha namin:
Natagpuan na natin ang derivative ng mga salik sa numerator sa Halimbawa 2. Huwag din nating kalimutan na ang produkto, na siyang pangalawang salik sa numerator sa kasalukuyang halimbawa kinuha gamit ang minus sign:
Kung naghahanap ka ng mga solusyon sa mga ganitong problema kung saan kailangan mong hanapin ang derivative ng isang function, kung saan mayroong tuluy-tuloy na tumpok ng mga ugat at degree, tulad ng, halimbawa, 
pagkatapos ay maligayang pagdating sa klase "Ang derivative ng kabuuan ng mga fraction na may kapangyarihan at ugat" .
Kung kailangan mong matuto nang higit pa tungkol sa mga derivatives ng mga sine, cosine, tangent at iba pa trigonometriko function, iyon ay, kapag ang function ay mukhang , tapos may lesson ka "Mga derivative ng simpleng trigonometric function" .
Halimbawa 5 Hanapin ang derivative ng isang function
Desisyon. Sa function na ito, nakikita natin ang isang produkto, ang isa sa mga salik kung saan ay ang square root ng independent variable, na may derivative kung saan naging pamilyar tayo sa talahanayan ng mga derivatives. Sa pamamagitan ng panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng produkto at halaga ng talahanayan derivative ng square root na nakukuha natin:
Halimbawa 6 Hanapin ang derivative ng isang function
Desisyon. Sa function na ito, nakikita natin ang quotient, na ang dibidendo ay ang square root ng independent variable. Ayon sa panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng quotient, na inulit namin at inilapat sa halimbawa 4, at ang halaga ng tabular ng derivative ng square root, nakukuha namin:
Upang maalis ang fraction sa numerator, i-multiply ang numerator at denominator sa .
