1 na tinatawag na degree na may rational exponent. Degree na may hindi makatwirang exponent

Mula sa integer exponents ng numero a, ang paglipat sa makatwirang tagapagpahiwatig. Tinutukoy namin sa ibaba ang isang degree na may rational exponent, at gagawin namin ito sa paraang mapangalagaan ang lahat ng katangian ng isang degree na may integer exponent. Ito ay kinakailangan dahil ang mga integer ay bahagi ng mga rational na numero.

Ito ay kilala na ang hanay ng mga rational na numero ay binubuo ng mga integer at fractional na mga numero, at bawat isa praksyonal na numero maaaring ilarawan bilang positibo o negatibo karaniwang fraction. Tinukoy namin ang degree na may integer exponent sa nakaraang talata, samakatuwid, upang makumpleto ang kahulugan ng degree na may rational exponent, kailangan naming ibigay ang kahulugan ng antas ng numero a Sa fractional indicator m/n, saan m ay isang integer, at n- natural. Gawin natin.

Isaalang-alang ang isang degree na may fractional exponent ng form. Upang ang pag-aari ng degree sa isang degree ay manatiling wasto, ang pagkakapantay-pantay ay dapat magkaroon . Kung isasaalang-alang natin ang nagresultang pagkakapantay-pantay at kung paano natin natukoy ang ugat ng ika-n degree, lohikal na tanggapin, sa kondisyon na kasama ang data m, n at a may katuturan ang ekspresyon.

Madaling i-verify na ang lahat ng katangian ng isang degree na may integer exponent ay wasto para sa bilang (ginagawa ito sa seksyon ng mga katangian ng isang degree na may rational exponent).

Ang pangangatwiran sa itaas ay nagpapahintulot sa amin na gawin ang mga sumusunod konklusyon: kung bibigyan m, n at a may katuturan ang expression, pagkatapos ay ang kapangyarihan ng numero a na may isang fraction m/n tinatawag na ugat n ika-degree ng a hanggang sa m.

Ang pahayag na ito ay naglalapit sa atin sa kahulugan ng isang degree na may fractional exponent. Ito ay nananatiling lamang upang ilarawan sa ilalim ng kung ano m, n at a may katuturan ang ekspresyon. Depende sa mga paghihigpit na inilagay sa m, n at a mayroong dalawang pangunahing diskarte.

1. Ang pinakamadaling paraan ay ang magpataw ng paghihigpit sa a, pagtanggap a≥0 para sa positibo m at a>0 para sa negatibo m(dahil sa m≤0 degree 0 m hindi determinado). Pagkatapos ay makukuha natin ang sumusunod na kahulugan ng degree na may fractional exponent.

Kahulugan.

Degree ng isang positibong numero a na may isang fraction m/n , saan m ay isang buo, at n ay isang natural na numero, na tinatawag na ugat n-ika mula sa gitna a hanggang sa m, yan ay, .



Ang fractional degree ng zero ay tinukoy din sa tanging caveat na ang exponent ay dapat na positibo.

Kahulugan.

Power ng zero na may fractional positive exponent m/n , saan m ay isang positibong integer, at n ay isang natural na numero, na tinukoy bilang .
Kapag ang degree ay hindi tinukoy, iyon ay, ang antas ng zero na may isang fractional negatibong tagapagpahiwatig walang saysay.

Dapat pansinin na sa gayong kahulugan ng antas na may fractional exponent, mayroong isang nuance: para sa ilang negatibo a at ilan m at n ang expression ay may katuturan, at itinapon namin ang mga kasong ito sa pamamagitan ng pagpapasok ng kundisyon a≥0. Halimbawa, makatuwirang magsulat o , at pinipilit tayo ng kahulugan sa itaas na sabihin na ang mga degree na may fractional exponent ng form ay walang kabuluhan, dahil ang batayan ay hindi dapat negatibo.

2. Isa pang diskarte sa pagtukoy ng degree na may fractional exponent m/n binubuo sa magkahiwalay na pagsasaalang-alang ng pantay at kakaibang mga exponent ng ugat. Nangangailangan ang diskarteng ito karagdagang kondisyon: antas ng a, na ang indicator ay isang pinababang ordinaryong fraction, ay itinuturing na kapangyarihan ng isang numero a, na ang indicator ay ang katumbas irreducible fraction(Ang kahalagahan ng kundisyong ito ay ipapaliwanag sa ibaba). Ibig sabihin, kung m/n ay isang irreducible fraction, pagkatapos ay para sa anumang natural na numero k degree ay preliminarily pinalitan ng .

Para kahit na n at positibo m ang pagpapahayag ay may katuturan para sa anumang hindi negatibo a(ugat kahit degree mula sa isang negatibong numero ay hindi makatuwiran), na may negatibo m numero a dapat ay naiiba pa rin sa zero (kung hindi, ito ay magiging dibisyon ng zero). At para sa kakaiba n at positibo m numero a maaaring maging anuman (isang kakaibang ugat ay tinukoy para sa alinman totoong numero), at para sa negatibo m numero a dapat na iba sa zero (upang walang dibisyon sa zero).

Ang pangangatwiran sa itaas ay humahantong sa amin sa ganoong kahulugan ng antas na may fractional exponent.

Kahulugan.

Hayaan m/n- hindi mababawasang bahagi m ay isang buo, at n- natural na numero. Para sa anumang mababawas na ordinaryong fraction, ang antas ay pinapalitan ng . Degree ng a na may irreducible fractional exponent m/n- ito'y para

o anumang tunay na numero a, isang integer positive m at kakaibang natural n, Halimbawa, ;

o anumang di-zero na tunay na numero a, isang integer na negatibo m at kakaiba n, Halimbawa, ;

o anumang di-negatibong numero a, isang integer positive m at kahit na n, Halimbawa, ;

o anumang positibo a, isang integer na negatibo m at kahit na n, Halimbawa, ;

o sa ibang mga kaso, ang degree na may fractional exponent ay hindi tinukoy, bilang, halimbawa, degree ay hindi tinukoy .mga entry na hindi namin inilalagay ang anumang kahulugan, tinutukoy namin ang antas ng zero para sa mga positibong fractional exponents m/n paano , para sa mga negatibong fractional exponents, ang antas ng numerong zero ay hindi tinukoy.

Sa pagtatapos ng talatang ito, bigyang-pansin natin ang katotohanan na ang isang fractional exponent ay maaaring isulat bilang isang decimal fraction o halo-halong numero, Halimbawa, . Upang kalkulahin ang mga halaga ng mga expression ng ganitong uri, kailangan mong isulat ang exponent bilang isang ordinaryong fraction, at pagkatapos ay gamitin ang kahulugan ng degree na may fractional exponent. Para sa mga halimbawang ito, mayroon kami at


Sa artikulong ito, mauunawaan natin kung ano ang antas ng. Dito ay magbibigay kami ng mga kahulugan ng antas ng isang numero, habang isinasaalang-alang nang detalyado ang lahat ng posibleng mga exponent ng degree, na nagsisimula sa isang natural na exponent, na nagtatapos sa isang hindi makatwiran. Sa materyal ay makakahanap ka ng maraming mga halimbawa ng mga degree na sumasaklaw sa lahat ng mga subtleties na lumabas.

Pag-navigate sa pahina.

Degree na may natural na exponent, square ng isang numero, cube ng isang numero

Magsimula tayo sa . Sa hinaharap, sabihin natin na ang kahulugan ng antas ng isang may natural na tagapagpahiwatig n ay ibinigay para sa isang , na tatawagin natin base ng degree, at n , na tatawagin natin exponent. Tandaan din namin na ang antas na may natural na tagapagpahiwatig ay tinutukoy sa pamamagitan ng produkto, kaya upang maunawaan ang materyal sa ibaba, kailangan mong magkaroon ng ideya tungkol sa pagpaparami ng mga numero.

Kahulugan.

Kapangyarihan ng numero a na may natural na exponent n ay isang pagpapahayag ng anyo a n , na ang halaga ay katumbas ng produkto ng n salik, na ang bawat isa ay katumbas ng a , iyon ay, .
Sa partikular, ang antas ng isang numero a na may exponent 1 ay ang numero a mismo, iyon ay, a 1 =a.

Kaagad ito ay nagkakahalaga ng pagbanggit ng mga patakaran para sa pagbabasa ng mga degree. Ang unibersal na paraan upang basahin ang entry a n ay: "a sa kapangyarihan ng n". Sa ilang mga kaso, katanggap-tanggap din ang mga ganitong opsyon: "a to the nth power" at "nth power of the number a". Halimbawa, kunin natin ang kapangyarihan ng 8 12, ito ay "eight to the power of twelve", o "eight to the twelfth power", o "twelfth power of eight".

Ang pangalawang kapangyarihan ng isang numero, pati na rin ang pangatlong kapangyarihan ng isang numero, ay may sariling mga pangalan. Ang pangalawang kapangyarihan ng isang numero ay tinatawag ang parisukat ng isang numero, halimbawa, ang 7 2 ay binabasa bilang "pitong parisukat" o "parisukat ng bilang pito". Ang ikatlong kapangyarihan ng isang numero ay tinatawag numero ng kubo, halimbawa, ang 5 3 ay maaaring basahin bilang "limang kubo" o sabihing "kubo ng numero 5".

Oras na para magdala mga halimbawa ng mga degree na may mga pisikal na tagapagpahiwatig. Magsimula tayo sa kapangyarihan ng 5 7 , kung saan 5 ang base ng kapangyarihan at 7 ang exponent. Magbigay tayo ng isa pang halimbawa: 4.32 ang base, at ang natural na numero 9 ay ang exponent (4.32) 9 .

Mangyaring tandaan na sa huling halimbawa ang base ng degree 4.32 ay nakasulat sa mga bracket: upang maiwasan ang mga pagkakaiba, kukunin namin sa mga bracket ang lahat ng mga base ng degree na naiiba sa natural na mga numero. Bilang halimbawa, binibigyan namin ang mga sumusunod na degree na may mga natural na tagapagpahiwatig , ang kanilang mga base ay hindi natural na mga numero, kaya ang mga ito ay nakasulat sa panaklong. Buweno, para sa kumpletong kalinawan sa puntong ito, ipapakita namin ang pagkakaiba na nakapaloob sa mga talaan ng form (−2) 3 at −2 3 . Ang expression (−2) 3 ay ang kapangyarihan ng −2 na may natural na exponent 3, at ang expression na −2 3 (maaari itong isulat bilang −(2 3) ) ay tumutugma sa numero, ang halaga ng kapangyarihan 2 3 .

Tandaan na mayroong notasyon para sa antas ng a na may exponent n ng anyong a^n . Bukod dito, kung ang n ay isang multivalued na natural na numero, kung gayon ang exponent ay kinuha sa mga bracket. Halimbawa, ang 4^9 ay isa pang notasyon para sa kapangyarihan ng 4 9 . At narito ang higit pang mga halimbawa ng pagsulat ng mga degree gamit ang simbolong “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Sa mga sumusunod, pangunahing gagamitin natin ang notasyon ng antas ng anyo a n .

Ang isa sa mga problema na kabaligtaran sa exponentiation na may natural na exponent ay ang problema sa paghahanap ng base ng degree sa pamamagitan ng kilalang halaga degree at kilalang exponent. Ang gawaing ito ay humahantong sa .

Alam na ang hanay ng mga rational na numero ay binubuo ng mga integer at fractional na numero, at ang bawat fractional na numero ay maaaring katawanin bilang positibo o negatibong ordinaryong fraction. Tinukoy namin ang degree na may integer exponent sa nakaraang talata, samakatuwid, upang makumpleto ang kahulugan ng degree na may rational exponent, kailangan naming ibigay ang kahulugan ng degree ng numero a na may fractional exponent m / n, kung saan ang m ay isang integer at n ay isang natural na numero. Gawin natin.

Isaalang-alang ang isang degree na may fractional exponent ng form. Upang ang pag-aari ng degree sa isang degree ay manatiling wasto, ang pagkakapantay-pantay ay dapat magkaroon . Kung isasaalang-alang natin ang nagresultang pagkakapantay-pantay at ang paraan na ating tinukoy , kung gayon makatuwirang tanggapin, sa kondisyon na para sa ibinigay na m, n at a, ang pagpapahayag ay may katuturan.

Madaling i-verify na ang lahat ng katangian ng isang degree na may integer exponent ay wasto para sa bilang (ginagawa ito sa seksyon ng mga katangian ng isang degree na may rational exponent).

Ang pangangatwiran sa itaas ay nagpapahintulot sa amin na gawin ang mga sumusunod konklusyon: kung para sa ibinigay na m, n at a ang expression ay may katuturan, kung gayon ang kapangyarihan ng numero a na may fractional exponent m / n ay ang ugat ng ika-n degree ng a hanggang sa kapangyarihan m.

Ang pahayag na ito ay naglalapit sa atin sa kahulugan ng isang degree na may fractional exponent. Ito ay nananatiling lamang upang ilarawan kung saan ang m, n at a ang ekspresyon ay may katuturan. Depende sa mga paghihigpit na ipinataw sa m , n at a, mayroong dalawang pangunahing diskarte.

    Ang pinakamadaling paraan upang hadlangan ang a ay ang pagpapalagay na a≥0 para sa positibong m at a>0 para sa negatibong m (dahil ang m≤0 ay walang kapangyarihan na 0 m). Pagkatapos ay makukuha natin ang sumusunod na kahulugan ng degree na may fractional exponent.

    Kahulugan.

    Kapangyarihan ng isang positibong numero a na may fractional exponent m/n, kung saan ang m ay isang integer, at ang n ay isang natural na numero, ay tinatawag na ugat ng ika-n ng numero a sa kapangyarihan ng m, iyon ay, .

    Ang fractional degree ng zero ay tinukoy din sa tanging caveat na ang exponent ay dapat na positibo.

    Kahulugan.

    Power ng zero na may fractional positive exponent m/n, kung saan ang m ay isang positibong integer at n ay isang natural na numero, ay tinukoy bilang .
    Kapag ang degree ay hindi tinukoy, ibig sabihin, ang antas ng numerong zero na may fractional na negatibong exponent ay hindi makatwiran.

    Dapat pansinin na sa gayong kahulugan ng antas na may fractional exponent, mayroong isang nuance: para sa ilang negatibong a at ilang m at n, ang expression ay may katuturan, at itinapon namin ang mga kasong ito sa pamamagitan ng pagpapakilala ng kundisyon a≥0 . Halimbawa, makatuwirang magsulat o , at pinipilit tayo ng kahulugan sa itaas na sabihin na ang mga degree na may fractional exponent ng form ay walang kabuluhan, dahil ang batayan ay hindi dapat negatibo.

    Ang isa pang diskarte sa pagtukoy ng degree na may fractional exponent m / n ay ang hiwalay na isaalang-alang ang pantay at kakaibang exponent ng ugat. Nangangailangan ang diskarteng ito ng karagdagang kundisyon: ang antas ng numero a, na ang exponent ay , ay itinuturing na antas ng numero a, ang exponent nito ay ang katumbas na hindi mababawasang bahagi (ang kahalagahan ng kundisyong ito ay ipapaliwanag sa ibaba). Iyon ay, kung ang m/n ay isang irreducible fraction, kung gayon para sa anumang natural na numero k ang degree ay unang pinalitan ng .

    Para sa kahit na n at positibong m, ang expression ay may katuturan para sa anumang hindi negatibong a (ang ugat ng pantay na antas mula sa negatibong numero ay walang kahulugan), para sa negatibong m, ang bilang a ay dapat na iba pa rin sa zero (kung hindi, doon ay magiging dibisyon ng zero). At para sa kakaibang n at positibong m, ang numero a ay maaaring maging anuman (ang ugat ng isang kakaibang antas ay tinukoy para sa anumang tunay na numero), at para sa negatibong m, ang bilang a ay dapat na iba sa zero (upang walang paghahati sa pamamagitan ng zero).

    Ang pangangatwiran sa itaas ay humahantong sa amin sa ganoong kahulugan ng antas na may fractional exponent.

    Kahulugan.

    Hayaang ang m/n ay isang irreducible fraction, m isang integer, at n isang natural na numero. Para sa anumang mababawas na ordinaryong fraction, ang antas ay pinapalitan ng . Ang kapangyarihan ng a na may hindi mababawasan na fractional exponent m / n ay para sa

    Ipaliwanag natin kung bakit ang isang degree na may isang reducible fractional exponent ay unang pinalitan ng isang degree na may isang hindi mababawasan exponent. Kung tinukoy lang namin ang degree bilang , at hindi gumawa ng reserbasyon tungkol sa irreducibility ng fraction m / n , pagkatapos ay makakatagpo kami ng mga sitwasyong katulad ng sumusunod: dahil 6/10=3/5 , pagkatapos ay ang pagkakapantay-pantay , ngunit , a .

Degree na may rational exponent

Khasyanova T.G.,

guro sa matematika

Ang ipinakita na materyal ay magiging kapaki-pakinabang sa mga guro ng matematika kapag pinag-aaralan ang paksang "Degree na may rational indicator".

Ang layunin ng ipinakita na materyal: pagsisiwalat ng aking karanasan sa pagsasagawa ng isang aralin sa paksang "Degree na may makatwirang tagapagpahiwatig" programa sa trabaho disiplina "Matematika".

Ang pamamaraan ng aralin ay tumutugma sa uri nito - isang aralin sa pag-aaral at pangunahing pagsasama-sama ng bagong kaalaman. Isang update ang ginawa pangunahing kaalaman at mga kasanayan batay sa nakaraang karanasan; pangunahing pagsasaulo, pagsasama-sama at aplikasyon ng bagong impormasyon. Ang pagsasama-sama at paglalapat ng bagong materyal ay naganap sa anyo ng paglutas ng mga problemang sinubukan ko ng iba't ibang kumplikado pagbibigay ng positibong resulta ng pagkabisado sa paksa.

Sa simula ng aralin, itinakda ko ang mga sumusunod na layunin para sa mga mag-aaral: pang-edukasyon, pagbuo, pang-edukasyon. Sa klase, ginamit ko iba't-ibang paraan mga aktibidad: pangharap, indibidwal, silid ng singaw, independyente, pagsubok. Ang mga gawain ay naiba-iba at ginawang posible upang matukoy, sa bawat yugto ng aralin, ang antas ng asimilasyon ng kaalaman. Ang dami at pagiging kumplikado ng mga gawain ay tumutugma sa mga katangian ng edad mga mag-aaral. Mula sa aking karanasan, ang araling-bahay ay katulad ng mga problemang nalutas sa silid-aralan nagbibigay-daan sa iyong ligtas na pagsamahin ang nakuhang kaalaman at kasanayan. Sa pagtatapos ng aralin, isinagawa ang pagninilay at nasuri ang gawain ng mga indibidwal na mag-aaral.

Ang mga layunin ay nakamit. Pinag-aralan ng mga mag-aaral ang konsepto at katangian ng isang degree na may rational exponent, natutunan kung paano gamitin ang mga katangiang ito kapag nagso-solve mga praktikal na gawain. Per pansariling gawain ibinalita ang mga marka sa susunod na aralin.

Naniniwala ako na ang pamamaraang ginamit ko sa pagsasagawa ng mga klase sa matematika ay maaaring gamitin ng mga guro ng matematika.

Paksa ng aralin: Degree na may rational indicator

Layunin ng aralin:

Pagkilala sa antas ng mastering ng mga mag-aaral ng isang kumplikadong kaalaman at kasanayan at, sa batayan nito, aplikasyon ilang mga desisyon upang mapabuti ang proseso ng edukasyon.

Mga layunin ng aralin:

Mga Tutorial: upang makabuo ng bagong kaalaman sa mga mag-aaral ng mga pangunahing konsepto, panuntunan, batas para sa pagtukoy ng antas na may isang nakapangangatwiran na tagapagpahiwatig, ang kakayahang independiyenteng mag-aplay ng kaalaman sa mga karaniwang kondisyon, sa mga nabago at hindi pamantayang kondisyon;

pagbuo: isiping lohikal at ipatupad Mga malikhaing kasanayan;

mga tagapagturo: bumuo ng interes sa matematika bokabularyo bagong terms, get Karagdagang impormasyon tungkol sa mundo sa paligid. Linangin ang pasensya, tiyaga, ang kakayahang malampasan ang mga paghihirap.

    Oras ng pag-aayos

    Pag-update ng pangunahing kaalaman

    Kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base, ang mga exponent ay idinagdag, at ang base ay nananatiling pareho:

Halimbawa,

2. Kapag naghahati ng mga kapangyarihan na may parehong mga base, ang mga exponent ay ibinabawas, at ang base ay nananatiling pareho:


Halimbawa,

3. Kapag nagtataas ng isang antas sa isang kapangyarihan, ang mga exponent ay pinarami, at ang base ay nananatiling pareho:


Halimbawa,

4. Ang antas ng produkto ay katumbas ng produkto ng mga kapangyarihan ng mga salik:

Halimbawa,

5. Ang antas ng quotient ay katumbas ng quotient ng mga kapangyarihan ng dibidendo at ng divisor:


Halimbawa,

Mga Pagsasanay sa Solusyon

Hanapin ang halaga ng isang expression:

Solusyon:

AT kasong ito sa tahasang anyo, wala sa mga katangian ng isang degree na may natural na exponent ang maaaring ilapat, dahil lahat ng degree ay may iba't ibang batayan. Sumulat tayo ng ilang degree sa ibang anyo:

(ang antas ng produkto ay katumbas ng produkto ng mga antas ng mga kadahilanan);


(kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base, ang mga exponents ay idinagdag, at ang base ay nananatiling pareho, kapag ang pagtaas ng isang antas sa isang kapangyarihan, ang mga exponents ay pinarami, ngunit ang base ay nananatiling pareho).

Pagkatapos makuha namin:

AT halimbawang ito ginamit ang unang apat na katangian ng degree na may natural na exponent.

Arithmetic square root
- ay hindi isang negatibong numero, na ang parisukat aya,
. Sa
- pagpapahayag
hindi tinukoy, dahil walang tunay na numero na ang parisukat ay katumbas ng negatibong numeroa.

Pagdidikta sa matematika(8-10 min.)

    Pagpipilian

II. Pagpipilian

1. Hanapin ang halaga ng expression

a)

b)

1. Hanapin ang halaga ng expression

a)

b)

2. Kalkulahin

a)

b)

AT)

2. Kalkulahin

a)

b)

sa)

Pagsusulit sa sarili(sa lapel board):

Response Matrix:

opsyon/gawain

Gawain 1

Gawain 2

Opsyon 1

a) 2

b) 2

a) 0.5

b)

sa)

Opsyon 2

a) 1.5

b)

a)

b)

sa 4

II.Pagbuo ng bagong kaalaman

Isaalang-alang ang kahulugan ng expression, kung saan - positibong numero – fractional number at m-integer, n-natural (n>1)

Depinisyon: antas ng numero a›0 na may rational exponentr = , m-buo, n- natural ( n›1) may tinatawag na numero.

Kaya:

Halimbawa:

Mga Tala:

1. Para sa anumang positibong a at anumang makatwirang r, ang numero positibo.

2. Kailan
rasyonal na antas numeroahindi tinukoy.

Mga ekspresyon tulad ng
walang saysay.

3.Kung fractional positive number
.

Kung ang fractional negatibong numero, kung gayon -walang saysay.

Halimbawa: - walang saysay.

Isaalang-alang ang mga katangian ng isang degree na may rational exponent.

Hayaan ang isang>0, в>0; r, s - anumang mga rational na numero. Pagkatapos, ang isang degree na may anumang rational exponent ay may mga sumusunod na katangian:

1.
2.
3.
4.
5.

III. Pagsasama-sama. Pagbuo ng mga bagong kasanayan at kakayahan.

Gumagana ang mga task card sa maliliit na grupo sa anyo ng isang pagsubok.

MBOU "Sidorskaya

komprehensibong paaralan»

Pagbuo ng isang balangkas ng plano bukas na aralin

sa algebra sa grade 11 sa paksa:

Inihanda at isinagawa

Guro ng Matematika

Iskhakova E.F.

Balangkas ng isang bukas na aralin sa algebra sa grade 11.

Paksa : "Degree na may rational exponent".

Uri ng aralin : Pag-aaral ng bagong materyal

Mga Layunin ng Aralin:

    Upang ipakilala sa mga mag-aaral ang konsepto ng isang degree na may isang nakapangangatwiran na tagapagpahiwatig at ang mga pangunahing katangian nito, batay sa naunang pinag-aralan na materyal (isang degree na may tagapagpahiwatig ng integer).

    Bumuo ng mga kasanayan sa computational at ang kakayahang mag-convert at maghambing ng mga numero sa isang rational exponent.

    Upang linangin ang mathematical literacy at mathematical interest sa mga mag-aaral.

Kagamitan : Mga task card, pagtatanghal ng mag-aaral sa isang degree na may integer indicator, pagtatanghal ng guro sa isang degree na may rational indicator, isang laptop, isang multimedia projector, isang screen.

Sa panahon ng mga klase:

    Oras ng pag-aayos.

Sinusuri ang asimilasyon ng paksang sakop ng mga indibidwal na task card.

Gawain bilang 1.

=2;

B) = x + 5;

Lutasin ang sistema hindi makatwirang equation: - 3 = -10,

4 - 5 =6.

Gawain bilang 2.

Lutasin ang hindi makatwirang equation: = - 3;

B) = x - 2;

Lutasin ang isang sistema ng mga hindi makatwirang equation: 2 + = 8,

3 - 2 = - 2.

    Paglalahad ng paksa at layunin ng aralin.

Ang paksa ng ating aralin ngayon Degree na may rational exponent».

    Pagpapaliwanag ng bagong materyal sa halimbawa ng naunang pinag-aralan.

Pamilyar ka na sa konsepto ng degree na may integer exponent. Sino ang makakatulong sa akin na maalala ang mga ito?

Pag-uulit na may Presentasyon Degree na may integer exponent».

Para sa anumang mga numero a , b at anumang integers m at n equalities ay totoo:

a m * a n = a m + n ;

a m: a n = a m-n (a ≠ 0);

(am) n = isang mn ;

(a b) n = a n * b n ;

(a/b) n = a n / b n (b ≠ 0) ;

a 1 = a ; a 0 = 1(a ≠ 0)

Ngayon ay gagawin nating pangkalahatan ang konsepto ng antas ng isang numero at bigyan ng kahulugan ang mga expression na may fractional exponent. Magpakilala tayo kahulugan degree na may rational indicator (Pagtatanghal "Degree na may rational indicator"):

Ang antas ng a > 0 na may rational exponent r = , saan m ay isang integer, at n - natural ( n > 1), tinawag ang numero m .

Kaya, sa pamamagitan ng kahulugan, nakukuha natin iyon = m .

Subukan nating ilapat ang kahulugang ito kapag nagsasagawa ng isang gawain.

HALIMBAWA #1

Ipinapahayag ko bilang ugat ng isang numero ang expression:

PERO) B) AT) .

Ngayon, subukan nating ilapat ang kahulugan na ito sa kabaligtaran

II Ipahayag ang expression bilang isang kapangyarihan na may rational exponent:

PERO) 2 B) AT) 5 .

Ang kapangyarihan ng 0 ay tinukoy lamang para sa mga positibong exponent.

0 r= 0 para sa alinman r> 0.

Gamit depinisyon na ito, sa bahay kukumpletuhin mo ang #428 at #429.

Ipakita natin ngayon na ang kahulugan sa itaas ng isang degree na may rational exponent ay nagpapanatili ng mga pangunahing katangian ng mga degree na totoo para sa anumang exponent.

Para sa anumang mga makatwirang numero r at s at anumang positibong a at b, ang mga pagkakapantay-pantay ay totoo:

1 0 . a r a s =a r+s ;

HALIMBAWA: *

dalawampu . a r: a s =a r-s ;

HALIMBAWA: :

3 0 . (a r ) s =a rs ;

HALIMBAWA: ( -2/3

4 0 . ( ab) r = a r b r ; 5 0 . ( = .

HALIMBAWA: (25 4) 1/2 ; ( ) 1/2

HALIMBAWA sa paggamit ng ilang property nang sabay-sabay: * : .

    Fizkultminutka.

Naglagay kami ng mga panulat sa mesa, itinuwid ang mga likod, at ngayon ay umaabot na kami, gusto naming hawakan ang board. At ngayon ay umangat kami at sumandal sa kanan, sa kaliwa, pasulong, pabalik. Ipinakita nila sa akin ang mga panulat, at ngayon ipakita sa akin kung paano sumayaw ang iyong mga daliri.

    Magtrabaho sa materyal

Napansin namin ang dalawa pang katangian ng mga kapangyarihan na may mga rational exponents:

60 . Hayaan r- makatwirang numero at 0< a < b . Тогда

a r < b r sa r> 0,

a r < b r sa r< 0.

7 0 . Para sa anumang mga rational na numeror at s mula sa hindi pagkakapantay-pantay r> s sinusundan iyon

a r> a r para sa isang > 1,

a r < а r sa 0< а < 1.

HALIMBAWA: Paghambingin ang mga numero:

At ; 2 300 at 3 200 .

    Buod ng aralin:

Ngayon sa aralin naalala namin ang mga katangian ng isang degree na may isang integer exponent, natutunan ang kahulugan at mga pangunahing katangian ng isang degree na may isang rational exponent, isinasaalang-alang ang aplikasyon nito teoretikal na materyal sa pagsasanay sa panahon ng ehersisyo. Nais kong iguhit ang iyong pansin sa katotohanan na ang paksang "Degree na may rasyonal na tagapagpahiwatig" ay ipinag-uutos GAMITIN ang mga takdang-aralin. Sa paghahanda takdang aralin ( 428 at No. 429

Ang aralin sa video na "Degree with a rational indicator" ay naglalaman ng visual materyal na pang-edukasyon upang magturo sa paksang ito. Ang aralin sa video ay naglalaman ng impormasyon tungkol sa konsepto ng isang degree na may makatwirang exponent, mga katangian, tulad ng mga degree, pati na rin ang mga halimbawa na naglalarawan sa paggamit ng materyal na pang-edukasyon upang malutas ang mga praktikal na problema. Ang gawain ng araling video na ito ay malinaw at malinaw na ipakita ang materyal na pang-edukasyon, upang mapadali ang pagbuo at pagsasaulo ng mga mag-aaral, upang mabuo ang kakayahang malutas ang mga problema gamit ang mga konseptong natutunan.

Ang pangunahing bentahe ng aralin sa video ay ang kakayahang gumawa ng mga visual na pagbabago at kalkulasyon, ang kakayahang gumamit ng mga epekto ng animation upang mapabuti ang kahusayan sa pag-aaral. Ang paggabay sa boses ay tumutulong sa pagbuo ng tama pagsasalita sa matematika, at ginagawang posible na palitan ang paliwanag ng guro, na nagpapalaya sa kanya para sa indibidwal na gawain.

Ang video tutorial ay nagsisimula sa pamamagitan ng pagpapakilala ng paksa. Pag-uugnay ng pag-aaral bagong paksa sa naunang pinag-aralan na materyal, iminumungkahi na alalahanin na ang n √ a ay tinutukoy ng isang 1/n para sa natural na n at positibong a. Ang representasyong ito ang ugat ng n-power ay ipinapakita sa screen. Dagdag pa, iminungkahi na isaalang-alang kung ano ang ibig sabihin ng expression na a m / n, kung saan ang a ay isang positibong numero, at m / n ay ilang fraction. Ang kahulugan ng degree na naka-highlight sa kahon ay ibinigay na may rational exponent bilang a m/n = n √ a m . Ito ay nabanggit na ang n ay maaaring maging natural na numero, at ang m ay isang integer.

Matapos matukoy ang antas na may rational exponent, ang kahulugan nito ay ipinahayag sa pamamagitan ng mga halimbawa: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3 . Ang isang halimbawa ay ipinapakita din kung saan ang antas na kinakatawan ng decimal, ay na-convert sa maliit na bahagi na kinakatawan bilang isang ugat: (1/7) 1.7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 at halimbawa c negatibong halaga grado: 3 -1/8 \u003d 8 √3 -1.

Hiwalay, ang isang tampok ng isang partikular na kaso ay ipinahiwatig kapag ang base ng antas ay zero. Nabanggit na ang antas na ito ay may katuturan lamang sa isang positibong fractional exponent. Sa kasong ito, ang halaga nito ay katumbas ng zero: 0 m/n =0.

Ang isa pang tampok ng degree na may rational exponent ay nabanggit - na ang degree na may fractional exponent ay hindi maaaring isaalang-alang na may fractional exponent. Ang mga halimbawa ng maling notasyon ng degree ay ibinigay: (-9) -3/7 , (-3) -1/3 , 0 -1/5 .

Dagdag pa sa aralin sa video, ang mga katangian ng isang degree na may rational exponent ay isinasaalang-alang. Nabanggit na ang mga katangian ng isang degree na may integer exponent ay magiging wasto din para sa isang degree na may rational exponent. Iminumungkahi na alalahanin ang listahan ng mga ari-arian na may bisa din sa kasong ito:

  1. Kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong mga base, ang kanilang mga tagapagpahiwatig ay idinagdag: a p a q \u003d a p + q.
  2. Ang dibisyon ng mga degree na may parehong mga base ay binabawasan sa isang degree na may isang ibinigay na base at ang pagkakaiba sa mga exponents: a p:a q =a p-q .
  3. Kung itataas natin ang kapangyarihan sa isang tiyak na kapangyarihan, kung gayon bilang resulta ay nakukuha natin ang kapangyarihan kasama ang ibinigay na base at ang produkto ng mga exponents: (a p) q =a pq .

Ang lahat ng mga katangiang ito ay may bisa para sa mga kapangyarihan na may mga rational exponents p, q at positibong base a>0. Gayundin, nananatiling totoo ang mga pagbabago sa antas kapag binubuksan ang mga panaklong:

  1. (ab) p =a p b p - ang pagtaas ng isang produkto ng dalawang numero sa isang tiyak na kapangyarihan na may rational exponent ay binabawasan sa isang produkto ng mga numero, na ang bawat isa ay itinaas sa isang ibinigay na kapangyarihan.
  2. (a/b) p =a p /b p - ang exponentiation na may rational exponent ng isang fraction ay binabawasan sa isang fraction na ang numerator at denominator ay itinaas sa ibinigay na kapangyarihan.

Tinatalakay ng video tutorial ang solusyon ng mga halimbawa na gumagamit ng mga itinuturing na katangian ng mga degree na may rational exponent. Ang unang halimbawa ay nagmumungkahi na hanapin ang halaga ng expression na naglalaman ng mga variable na x in fractional degree: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Sa kabila ng pagiging kumplikado ng pagpapahayag, gamit ang mga katangian ng mga degree, ito ay nalutas nang simple. Ang solusyon ng gawain ay nagsisimula sa isang pagpapasimple ng expression, na gumagamit ng panuntunan ng pagtataas ng isang degree na may makatwirang exponent sa isang kapangyarihan, pati na rin ang pagpaparami ng mga degree na may parehong base. Pagkatapos ng pagpapalit itakda ang halaga x=8 sa isang pinasimpleng expression x 1/3 +48, ​​madaling makuha ang halaga - 50.

Sa pangalawang halimbawa, kinakailangan na bawasan ang isang fraction na ang numerator at denominator ay naglalaman ng mga kapangyarihan na may rational exponent. Gamit ang mga katangian ng degree, pipiliin namin ang factor x 1/3 mula sa pagkakaiba, na pagkatapos ay nabawasan sa numerator at denominator, at gamit ang pagkakaiba ng mga parisukat na formula, ang numerator ay nabubulok sa mga kadahilanan, na nagbibigay ng higit pang mga pagbawas ng parehong salik sa numerator at denominator. Ang resulta ng naturang pagbabago ay isang maikling fraction x 1/4 +3.

Maaaring gamitin ang aralin sa video na "Degree with a rational indicator" sa halip na ipaliwanag ng guro ang bagong paksa ng aralin. Gayundin manwal na ito naglalaman ng sapat buong impormasyon para sa sariling pag-aaral mag-aaral. Ang materyal ay maaaring maging kapaki-pakinabang sa distance learning.