Während des Unterrichts können Sie sich selbstständig mit dem Thema " Grafische Lösung Gleichungen, Ungleichungen. Der Lehrer in der Lektion analysiert die grafischen Methoden zum Lösen von Gleichungen und Ungleichungen. Es wird Ihnen beibringen, wie man Diagramme erstellt, sie analysiert und Lösungen für Gleichungen und Ungleichungen erhält. Der Unterricht wird auch diskutieren konkrete Beispiele Zu diesem Thema.

Thema: Numerische Funktionen

Lektion: Graphisches Lösen von Gleichungen, Ungleichungen

1. Unterrichtsthema, Einführung

Wir haben uns Diagramme angesehen elementare Funktionen, einschließlich Grafiken Machtfunktionen c verschiedene Indikatoren. Wir haben auch die Regeln zum Verschieben und Transformieren von Funktionsgraphen betrachtet. All diese Fähigkeiten müssen bei Bedarf angewendet werden. GrafikLösung Gleichungen oder Grafik LösungUngleichheiten.

2. Gleichungen und Ungleichungen grafisch lösen

Beispiel 1. Lösen Sie die Gleichung grafisch:

Lassen Sie uns Funktionsgraphen erstellen (Abb. 1).

Der Graph der Funktion ist eine Parabel, die durch die Punkte geht

Der Graph der Funktion ist eine gerade Linie, wir werden ihn gemäß der Tabelle erstellen.

Graphen schneiden sich an einem Punkt Es gibt keine anderen Schnittpunkte, da die Funktion monoton steigend ist, die Funktion monoton fallend ist und daher ihr Schnittpunkt eindeutig ist.

Beispiel 2. Lösen Sie die Ungleichung

a. Damit die Ungleichung gilt, muss der Funktionsgraph oberhalb der Geraden liegen (Abb. 1). Dies geschieht wann

b. In diesem Fall sollte die Parabel hingegen unter der Linie liegen. Dies geschieht wann

Beispiel 3. Lösen Sie die Ungleichung

Lassen Sie uns Graphen von Funktionen erstellen (Abb. 2).

Finden Sie die Wurzel der Gleichung, wenn es keine Lösungen gibt. Es gibt eine Lösung für .

Damit die Ungleichung gilt, muss sich die Hyperbel oberhalb der Geraden befinden .

Beispiel 4. Lösen Sie die Ungleichung grafisch:

Domain:

Lassen Sie uns Graphen von Funktionen erstellen für (Abb. 3).

a. Der Graph der Funktion sollte sich unter dem Graphen befinden, dies geschieht, wenn

b. Der Graph der Funktion befindet sich oberhalb des Graphen bei Da wir aber ein nicht strenges Vorzeichen in der Bedingung haben, ist es wichtig, die isolierte Wurzel nicht zu verlieren

3. Fazit

Wir haben überprüft grafische Methode Lösen von Gleichungen und Ungleichungen; betrachteten spezifische Beispiele, bei deren Lösung wir solche Eigenschaften von Funktionen wie Monotonie und Gleichmäßigkeit verwendet haben.

1. Mordkovich A. G. et al. Algebra 9. Klasse: Proc. Für die Allgemeinbildung Institutionen - 4. Aufl. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 S.: mit Abb.

2. Mordkovich A. G. et al. Algebra Klasse 9: Aufgabenheft für Schüler Bildungsinstitutionen/ A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina und andere - 4. Aufl. — M.: Mnemosyne, 2002.-143 S.: mit Abb.

3. Yu N. Makarychev, Algebra. Klasse 9: Lehrbuch. für allgemeinbildende Schülerinnen und Schüler. Institutionen / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. - 7. Aufl., Rev. und zusätzlich - M.: Mnemosyne, 2008.

4. Sh. A. Alimov, Yu. M. Kolyagin und Yu. V. Sidorov, Algebra. Klasse 9 16. Aufl. - M., 2011. - 287 S.

5. Mordkovich A. G. Algebra. Klasse 9 Um 14 Uhr Teil 1. Lehrbuch für Studenten von Bildungseinrichtungen / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 12. Aufl., gelöscht. — M.: 2010. — 224 S.: mit Abb.

6. Algebra. Klasse 9 Bei 2 Stunden Teil 2. Aufgabenbuch für Studenten von Bildungseinrichtungen / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina und andere; Ed. A. G. Mordkovich. - 12. Aufl., Rev. — M.: 2010.-223 S.: mit Abb.

1. College-Sektion. ru in Mathematik.

2. Internetprojekt „Aufgaben“.

3. Bildungsportal"ICH WERDE DIE VERWENDUNG AUFLÖSEN".

1. Mordkovich A. G. et al.Algebra 9. Klasse: Aufgabenbuch für Schüler von Bildungseinrichtungen / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al. - 4. Aufl. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 S.: Abb. Nr. 355, 356, 364.

Eine der bequemsten Lösungsmethoden quadratische Ungleichungen ist eine grafische Methode. In diesem Artikel werden wir analysieren, wie quadratische Ungleichungen gelöst werden grafisch. Lassen Sie uns zunächst besprechen, was die Essenz dieser Methode ist. Und dann geben wir den Algorithmus an und betrachten Beispiele für die grafische Lösung quadratischer Ungleichungen.

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Die Essenz der grafischen Methode

Allgemein grafische Methode zur Lösung von Ungleichungen mit einer Variablen wird nicht nur verwendet, um quadratische Ungleichungen zu lösen, sondern auch Ungleichungen anderer Art. Die Essenz der grafischen Methode zum Lösen von Ungleichungen als nächstes: Betrachten Sie die Funktionen y=f(x) und y=g(x), die dem linken und entsprechen richtige Teile Ungleichungen, bauen ihre Graphen in einem auf rechteckiges System Koordinaten und finden Sie heraus, in welchen Abständen der Graph des einen unter oder über dem anderen liegt. Diese Intervalle wo

• der Graph der Funktion f über dem Graph der Funktion g sind Lösungen der Ungleichung f(x)>g(x) ;
• der Graph der Funktion f nicht kleiner als der Graph der Funktion g sind Lösungen der Ungleichung f(x)≥g(x) ;
• der Graph der Funktion f unter dem Graph der Funktion g sind Lösungen der Ungleichung f(x)
• der Graph der Funktion f nicht über dem Graph der Funktion g sind Lösungen der Ungleichung f(x)≤g(x) .

Nehmen wir auch an, dass die Abszissen der Schnittpunkte der Graphen der Funktionen f und g Lösungen der Gleichung f(x)=g(x) sind.

Übertragen wir diese Ergebnisse auf unseren Fall – zur Lösung der quadratischen Ungleichung a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥).

Wir führen zwei Funktionen ein: die erste y=a x 2 +b x+c (in diesem Fall f(x)=a x 2 +b x+c) entspricht der linken Seite der quadratischen Ungleichung, die zweite y=0 (in in diesem Fall entspricht g (x)=0 ) der rechten Seite der Ungleichung. zeitlicher Ablauf quadratische Funktion f ist eine Parabel und der Graph dauerhafte Funktion g ist eine gerade Linie, die mit der Abszissenachse Ox zusammenfällt.

Außerdem muss gemäß der grafischen Methode zum Lösen von Ungleichungen analysiert werden, in welchen Abständen sich der Graph einer Funktion über oder unter der anderen befindet, wodurch wir die gewünschte Lösung der quadratischen Ungleichung schreiben können. In unserem Fall müssen wir die Position der Parabel relativ zur Achse Ox analysieren.

Abhängig von den Werten der Koeffizienten a, b und c sind die folgenden sechs Optionen möglich (eine schematische Darstellung ist für unsere Bedürfnisse ausreichend, und es ist möglich, die Oy-Achse nicht darzustellen, da ihre Position die Lösung nicht beeinflusst der Ungleichheit):

In dieser Zeichnung sehen wir eine Parabel, deren Äste nach oben gerichtet sind und die die Achse Ox an zwei Punkten schneidet, deren Abszissen x 1 und x 2 sind. Diese Zeichnung entspricht der Variante, wenn der Koeffizient a positiv ist (er ist verantwortlich für die Aufwärtsrichtung der Äste der Parabel) und wenn der Wert positiv ist Diskriminante eines quadratischen Trinoms a x 2 + b x + c (in diesem Fall hat das Trinom zwei Nullstellen, die wir als x 1 und x 2 bezeichnet haben, und wir haben x 1 angenommen 0 , D=b 2 −4 ein c=(−1) 2 −4 1 (−6)=25>0, x 1 =−2 , x 2 =3 .

Lassen Sie uns zur Verdeutlichung die Teile der Parabel, die sich oberhalb der Abszissenachse befinden, in Rot und die Teile der Parabel, die sich unterhalb der Abszissenachse befinden, in Blau einzeichnen.


Lassen Sie uns nun herausfinden, welche Lücken diesen Teilen entsprechen. Die folgende Zeichnung hilft bei der Bestimmung (in Zukunft werden wir solche Auswahlen in Form von Rechtecken mental treffen):


Auf der Abszissenachse wurden also zwei Intervalle (−∞, x 1) und (x 2, +∞) rot hervorgehoben, auf denen die Parabel höher ist als die Achse Ox, sie bilden die Lösung der quadratischen Ungleichung a x 2 +b x+c>0 , und das Intervall (x 1 , x 2) ist blau hervorgehoben, darauf liegt die Parabel unterhalb der Achse Ox , es ist eine Lösung der Ungleichung a x 2 + b x + c<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

Und nun kurz: für a>0 und D=b 2 −4 a c>0 (bzw. D"=D/4>0 für einen geraden Koeffizienten b)

• die Lösung der quadratischen Ungleichung a x 2 +b x+c>0 ist (−∞, x 1)∪(x 2 , +∞) oder anders ausgedrückt x x2;
• die Lösung der quadratischen Ungleichung a x 2 +b x+c≥0 ist (−∞, x 1 ]∪ oder in anderer Schreibweise x 1 ≤x≤x 2 ,

wobei x 1 und x 2 die Wurzeln des quadratischen Trinoms a x 2 + b x + c und x 1 sind


Hier sehen wir eine Parabel, deren Äste nach oben gerichtet sind und die die Abszissenachse berührt, also einen gemeinsamen Punkt mit ihr hat, bezeichnen wir die Abszisse dieses Punktes mit x 0. Der dargestellte Fall entspricht a>0 (die Äste sind nach oben gerichtet) und D=0 ( quadratisches Trinom hat eine Wurzel x 0 ). Zum Beispiel können wir die quadratische Funktion y=x 2 −4 x+4 nehmen, hier a=1>0 , D=(−4) 2 −4 1 4=0 und x 0 =2 .

Die Zeichnung zeigt deutlich, dass sich die Parabel bis auf den Berührungspunkt überall oberhalb der Ox-Achse befindet, also in den Intervallen (−∞, x 0) , (x 0 , ∞) . Der Übersichtlichkeit halber wählen wir Bereiche in der Zeichnung analog zum vorherigen Absatz aus.


Wir ziehen Schlussfolgerungen: für a>0 und D=0

• die Lösung der quadratischen Ungleichung a x 2 +b x+c>0 ist (−∞, x 0)∪(x 0 , +∞) oder in anderer Schreibweise x≠x 0 ;
• die Lösung der quadratischen Ungleichung a x 2 +b x+c≥0 ist (−∞, +∞) oder in anderer Schreibweise x∈R ;
• quadratische Ungleichung a x 2 +b x+c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
• die quadratische Ungleichung a x 2 +b x+c≤0 hat eine eindeutige Lösung x=x 0 (sie ist durch den Tangentenpunkt gegeben),

wobei x 0 die Wurzel des quadratischen Trinoms a x 2 + b x + c ist.


In diesem Fall sind die Äste der Parabel nach oben gerichtet und es gibt keine Gemeinsame Punkte mit der Abszissenachse. Hier haben wir die Bedingungen a>0 (die Äste sind nach oben gerichtet) und D<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0 , D=0 2 −4 2 1=−8<0 .

Offensichtlich befindet sich die Parabel auf ihrer gesamten Länge über der Ochsenachse (es gibt keine Intervalle unterhalb der Ochsenachse, es gibt keinen Berührungspunkt).


Also für a>0 und D<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 und a x 2 +b x+c≥0 ist die Menge aller reale Nummern, und die Ungleichungen a x 2 +b x+c<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

Und es gibt drei Möglichkeiten für die Position der Parabel mit nach unten und nicht nach oben gerichteten Zweigen relativ zur Achse Ochse. Sie dürfen prinzipiell nicht berücksichtigt werden, da man durch Multiplikation beider Teile der Ungleichung mit −1 zu einer äquivalenten Ungleichung mit positivem Koeffizienten bei x 2 übergehen kann. Es schadet jedoch nicht, sich ein Bild von diesen Fällen zu machen. Die Argumentation hier ist ähnlich, also schreiben wir nur die Hauptergebnisse auf.

Lösungsalgorithmus

Das Ergebnis aller bisherigen Berechnungen ist Algorithmus zur grafischen Lösung quadratischer Ungleichungen:

Auf der Koordinatenebene Es wird eine schematische Zeichnung erstellt, die die Ox-Achse darstellt (die Oy-Achse muss nicht dargestellt werden) und eine Skizze einer Parabel, die einer quadratischen Funktion entspricht y \u003d a x 2 + b x + c. Um eine Skizze einer Parabel zu erstellen, genügt es, zwei Punkte herauszufinden:

• Zuerst wird durch den Wert des Koeffizienten a herausgefunden, wohin seine Zweige gerichtet sind (für a>0 - nach oben, für a<0 – вниз).
• Und zweitens ergibt sich aus dem Wert der Diskriminante des quadratischen Trinoms a x 2 + b x + c, ob die Parabel die x-Achse in zwei Punkten schneidet (für D> 0), sie in einem Punkt berührt (für D= 0) oder hat keine gemeinsamen Punkte mit der Ox-Achse (für D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

• Wenn die Zeichnung fertig ist, darauf im zweiten Schritt des Algorithmus

  • beim Lösen der quadratischen Ungleichung a·x 2 + b·x + c > 0 werden die Abstände bestimmt, in denen sich die Parabel über der Abszissenachse befindet;
  • beim Lösen der Ungleichung a x 2 +b x+c≥0 werden die Abstände bestimmt, in denen sich die Parabel über der Abszissenachse befindet und die Abszissen der Schnittpunkte (bzw. die Abszisse des Tangentenpunktes) dazu addiert;
  • beim Lösen der Ungleichung a x 2 +b x+c<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
  • schließlich gibt es beim Lösen einer quadratischen Ungleichung der Form a x 2 + b x + c ≤ 0 Intervalle, in denen die Parabel unterhalb der Ox-Achse liegt und die Abszissen der Schnittpunkte (oder die Abszisse des Tangentenpunktes) dazu addiert werden ;

  sie stellen die gewünschte Lösung der quadratischen Ungleichung dar, und wenn es keine solchen Intervalle und keine Berührungspunkte gibt, dann hat die ursprüngliche quadratische Ungleichung keine Lösungen.

Es bleiben nur noch einige quadratische Ungleichungen mit diesem Algorithmus zu lösen.

Beispiele mit Lösungen

Beispiel.

Löse die Ungleichung .

Lösung.

Wir müssen eine quadratische Ungleichung lösen, wir werden den Algorithmus aus dem vorherigen Absatz verwenden. Im ersten Schritt müssen wir eine Skizze des Graphen der quadratischen Funktion zeichnen . Der Koeffizient bei x 2 ist 2, er ist positiv, daher sind die Zweige der Parabel nach oben gerichtet. Lassen Sie uns auch herausfinden, ob die Parabel mit der Abszissenachse gemeinsame Punkte hat, dazu berechnen wir die Diskriminante des quadratischen Trinoms . Wir haben . Es stellte sich heraus, dass die Diskriminante größer als Null war, daher hat das Trinom zwei reelle Wurzeln: und , das heißt, x 1 = –3 und x 2 = 1/3.

Daraus ist ersichtlich, dass die Parabel die Achse Ox an zwei Punkten mit den Abszissen −3 und 1/3 schneidet. Wir werden diese Punkte in der Zeichnung als gewöhnliche Punkte darstellen, da wir eine nicht-strikte Ungleichung lösen. Nach den geklärten Daten erhalten wir die folgende Zeichnung (sie passt zur ersten Vorlage aus dem ersten Absatz des Artikels):

Wir gehen zum zweiten Schritt des Algorithmus über. Da wir eine nicht strenge quadratische Ungleichung mit dem Vorzeichen ≤ lösen, müssen wir die Abstände bestimmen, in denen die Parabel unterhalb der Abszissenachse liegt, und dazu die Abszissen der Schnittpunkte addieren.

Aus der Zeichnung ist ersichtlich, dass die Parabel im Intervall (−3, 1/3) unter der Abszisse liegt und wir addieren die Abszissen der Schnittpunkte dazu, also die Zahlen −3 und 1/3. Als Ergebnis erhalten wir das numerische Segment [−3, 1/3] . Dies ist die gewünschte Lösung. Sie kann als doppelte Ungleichung −3≤x≤1/3 geschrieben werden.

Antworten:

[−3, 1/3] oder −3≤x≤1/3 .

Beispiel.

Finden Sie eine Lösung für die quadratische Ungleichung −x 2 +16 x−63<0 .

Lösung.

Wie üblich beginnen wir mit einer Zeichnung. Der numerische Koeffizient für das Quadrat der Variablen ist negativ, −1, daher sind die Äste der Parabel nach unten gerichtet. Berechnen wir die Diskriminante, oder besser ihren vierten Teil: D"=8 2 −(−1)(−63)=64−63=1. Sein Wert ist positiv, wir berechnen die Wurzeln des quadratischen Trinoms: und , x 1 = 7 und x 2 = 9. Die Parabel schneidet also die Ochsenachse an zwei Punkten mit den Abszissen 7 und 9 (die anfängliche Ungleichung ist streng, also stellen wir diese Punkte mit einem leeren Zentrum dar.) Jetzt können wir eine schematische Zeichnung machen:

Da wir eine strenge vorzeichenbehaftete quadratische Ungleichung lösen<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

Die Zeichnung zeigt, dass die Lösungen der ursprünglichen quadratischen Ungleichung zwei Intervalle (−∞, 7) , (9, +∞) sind.

Antworten:

(−∞, 7)∪(9, +∞) oder in einer anderen Schreibweise x<7 , x>9 .

Wenn Sie quadratische Ungleichungen lösen und die Diskriminante eines quadratischen Trinoms auf seiner linken Seite gleich Null ist, müssen Sie vorsichtig sein, wenn Sie die Abszisse des Tangentenpunkts in die Antwort einbeziehen oder ausschließen. Es hängt vom Vorzeichen der Ungleichung ab: Wenn die Ungleichung streng ist, dann ist sie keine Lösung der Ungleichung, und wenn sie nicht streng ist, dann ist sie es.

Beispiel.

Hat die quadratische Ungleichung 10 x 2 −14 x+4,9≤0 mindestens eine Lösung?

Lösung.

Zeichnen wir die Funktion y=10 x 2 −14 x+4.9 . Seine Äste sind nach oben gerichtet, da der Koeffizient bei x 2 positiv ist, und er berührt die Abszisse am Punkt mit der Abszisse 0,7, da D "=(−7) 2 −10 4,9=0, also 0,7 als Dezimalzahl. Schematisch sieht das so aus:

Da wir eine quadratische Ungleichung mit dem Zeichen ≤ lösen, ist ihre Lösung die Intervalle, in denen die Parabel unter der Ox-Achse liegt, sowie die Abszisse des Tangentenpunktes. Aus der Zeichnung ist ersichtlich, dass dort, wo die Parabel unter der Achse Ox liegen würde, kein einziger Spalt vorhanden ist, daher ist ihre Lösung nur die Abszisse des Kontaktpunkts, dh 0,7.

Antworten:

diese Ungleichung hat eine eindeutige Lösung 0,7 .

Beispiel.

Lösen Sie die quadratische Ungleichung –x 2 +8 x−16<0 .

Lösung.

Wir gehen nach dem Algorithmus zum Lösen quadratischer Ungleichungen vor und beginnen mit dem Plotten. Die Äste der Parabel sind nach unten gerichtet, da der Koeffizient bei x 2 negativ ist, −1. Finden Sie die Diskriminante des quadratischen Trinoms –x 2 +8 x−16 , haben wir D'=4 2 −(−1)(−16)=16−16=0 und weiter x 0 = –4/(–1) , x 0 =4 . Die Parabel berührt also die Ox-Achse im Punkt mit der Abszisse 4 . Machen wir eine Zeichnung:

Wir betrachten das Zeichen der ursprünglichen Ungleichung, es ist<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

In unserem Fall sind dies offene Strahlen (−∞, 4) , (4, +∞) . Unabhängig davon stellen wir fest, dass 4 - die Abszisse des Tangentenpunktes - keine Lösung ist, da die Parabel am Tangentenpunkt nicht niedriger als die Ox-Achse ist.

Antworten:

(−∞, 4)∪(4, +∞) oder in anderer Notation x≠4 .

Achten Sie besonders auf Fälle, in denen die Diskriminante des quadratischen Trinoms auf der linken Seite der quadratischen Ungleichung liegt weniger als Null. Es besteht kein Grund, hier voreilig zu sagen, dass die Ungleichung keine Lösungen hat (wir sind es gewohnt, eine solche Schlussfolgerung für quadratische Gleichungen mit negativer Diskriminante zu ziehen). Der Punkt ist, dass die quadratische Ungleichung für D<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

Beispiel.

Finde die Lösung der quadratischen Ungleichung 3 x 2 +1>0 .

Lösung.

Wie üblich beginnen wir mit einer Zeichnung. Der Koeffizient a ist 3, er ist positiv, daher sind die Äste der Parabel nach oben gerichtet. Berechne die Diskriminante: D=0 2 −4 3 1=−12 . Da die Diskriminante negativ ist, hat die Parabel keine gemeinsamen Punkte mit der x-Achse. Die erhaltenen Informationen reichen für eine schematische Darstellung aus:

Wir lösen eine streng quadratische Ungleichung mit > Vorzeichen. Seine Lösung sind alle Intervalle, in denen die Parabel über der Ochsenachse liegt. In unserem Fall liegt die Parabel auf ihrer gesamten Länge über der x-Achse, sodass die gesuchte Lösung die Menge aller reellen Zahlen ist.

Ox , und Sie müssen auch die Abszisse der Schnittpunkte oder die Abszisse des Berührungspunkts hinzufügen. Aber die Zeichnung zeigt deutlich, dass es keine solchen Lücken gibt (da die Parabel überall unterhalb der Abszissenachse liegt), ebenso wie es keine Schnittpunkte gibt, ebenso wie es keine Berührungspunkte gibt. Daher hat die ursprüngliche quadratische Ungleichung keine Lösungen.

Antworten:

es gibt keine Lösungen oder in anderer Notation ∅.

Referenzliste.

• Algebra: Lehrbuch für 8 Zellen. Allgemeinbildung Institutionen / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teljakowski. - 16. Aufl. - M. : Bildung, 2008. - 271 p. : krank. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algebra: Klasse 9: Lehrbuch. für Allgemeinbildung Institutionen / [Ju. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teljakowski. - 16. Aufl. - M. : Bildung, 2009. - 271 p. : krank. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Mordkowitsch A. G. Algebra. 8. Klasse. Um 14 Uhr Teil 1. Ein Lehrbuch für Studenten von Bildungseinrichtungen / A. G. Mordkovich. - 11. Aufl., gelöscht. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 S.: mit Abb. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Mordkowitsch A. G. Algebra. Klasse 9 Um 14 Uhr Teil 1. Lehrbuch für Studenten von Bildungseinrichtungen / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. Aufl., Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 S.: mit Abb. ISBN 978-5-346-01752-3.
• Mordkowitsch A. G. Algebra und Beginn der mathematischen Analyse. Klasse 11. Um 14 Uhr Teil 1. Lehrbuch für Studenten von Bildungseinrichtungen (Profilebene) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. Aufl., gelöscht. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 S.: mit Abb. ISBN 978-5-346-01027-2.

Ein Graph einer linearen oder quadratischen Ungleichung wird auf die gleiche Weise erstellt wie ein Graph einer beliebigen Funktion (Gleichung). Der Unterschied besteht darin, dass Ungleichheit mehrere Lösungen impliziert, sodass ein Ungleichungsgraph nicht nur ein Punkt auf einem Zahlenstrahl oder eine Linie auf einer Koordinatenebene ist. Mit Hilfe von mathematischen Operationen und dem Ungleichheitszeichen kannst du die Lösungsmenge der Ungleichung bestimmen.

Schritte

Grafische Darstellung einer linearen Ungleichung auf einem Zahlenstrahl

1. Löse die Ungleichung. Isolieren Sie dazu die Variable mit denselben algebraischen Tricks, mit denen Sie jede Gleichung lösen. Denken Sie daran, dass Sie beim Multiplizieren oder Dividieren einer Ungleichheit mit einer negativen Zahl (oder einem negativen Term) das Ungleichheitszeichen umkehren müssen.

   • Zum Beispiel angesichts der Ungleichheit 3y + 9 > 12 (\displaystyle 3y+9>12). Um die Variable zu isolieren, subtrahieren Sie 9 von beiden Seiten der Ungleichung und teilen Sie dann beide Seiten durch 3:
     3y + 9 > 12 (\displaystyle 3y+9>12)
     3 y + 9 − 9 > 12 − 9 (\displaystyle 3y+9-9>12-9)
     3 y > 3 (\displaystyle 3y>3)
     3 y 3 > 3 3 (\displaystyle (\frac (3y)(3))>(\frac (3)(3)))
     y > 1 (\displaystyle y>1)
   • Eine Ungleichung darf nur eine Variable haben. Wenn die Ungleichung zwei Variablen hat, ist es besser, den Graphen auf der Koordinatenebene zu zeichnen.

2. Zeichne einen Zahlenstrahl. Markieren Sie auf dem Zahlenstrahl den gefundenen Wert (die Variable kann kleiner, größer oder gleich diesem Wert sein). Zeichne einen Zahlenstrahl in passender Länge (lang oder kurz).

   • Zum Beispiel, wenn Sie das berechnet haben y > 1 (\displaystyle y>1), markieren Sie den Wert 1 auf dem Zahlenstrahl.

3. Zeichnen Sie einen Kreis, um den gefundenen Wert darzustellen. Wenn die Variable kleiner als ( < {\displaystyle <} ) oder mehr ( > (\displaystyle >)) dieses Werts wird der Kreis nicht ausgefüllt, da die Lösungsmenge diesen Wert nicht enthält. Wenn die Variable kleiner oder gleich ( ≤ (\displaystyle \leq)) oder größer oder gleich ( ≥ (\displaystyle\geq)) auf diesen Wert, wird der Kreis ausgefüllt, da die Lösungsmenge diesen Wert enthält.

   • y > 1 (\displaystyle y>1), zeichnen Sie auf dem Zahlenstrahl einen offenen Kreis bei Punkt 1, da 1 nicht in der Lösungsmenge enthalten ist.

4. Schattieren Sie auf dem Zahlenstrahl den Bereich, der die Menge der Lösungen definiert. Wenn die Variable größer als der gefundene Wert ist, schattieren Sie den Bereich rechts davon, da die Lösungsmenge alle Werte umfasst, die größer als der gefundene Wert sind. Wenn die Variable kleiner als der gefundene Wert ist, schattieren Sie den Bereich links davon, da die Lösungsmenge alle Werte umfasst, die kleiner als der gefundene Wert sind.

   • Zum Beispiel angesichts der Ungleichheit y > 1 (\displaystyle y>1), schattieren Sie auf dem Zahlenstrahl den Bereich rechts von 1, da die Lösungsmenge alle Werte größer als 1 enthält.

   Grafische Darstellung einer linearen Ungleichung auf der Koordinatenebene

   1. Lösen Sie die Ungleichung (finden Sie den Wert y (\displaystyle y)). Um eine lineare Gleichung zu erhalten, isolieren Sie die Variable auf der linken Seite mit bekannt algebraische Methoden. Die Variable sollte auf der rechten Seite bleiben x (\displaystyle x) und möglicherweise einige konstant.

      • Zum Beispiel angesichts der Ungleichheit 3y + 9 > 9x (\displaystyle 3y+9>9x). Um eine Variable zu isolieren y (\displaystyle y), subtrahiere 9 von beiden Seiten der Ungleichung und dividiere dann beide Seiten durch 3:
        3y + 9 > 9x (\displaystyle 3y+9>9x)
        3 y + 9 − 9 > 9 x − 9 (\displaystyle 3y+9-9>9x-9)
        3 y > 9 x − 9 (\displaystyle 3y>9x-9)
        3 y 3 > 9 x − 9 3 (\displaystyle (\frac (3y)(3))>(\frac (9x-9)(3)))
        y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3)

   2. Zeichnen Sie die lineare Gleichung auf der Koordinatenebene. Zeichnen Sie den Graphen, während Sie eine beliebige lineare Gleichung zeichnen. Plotten Sie den Schnittpunkt mit der Y-Achse und plotten Sie dann andere Punkte unter Verwendung der Neigung.

      • y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3) Zeichnen Sie die Gleichung y = 3 x − 3 (\displaystyle y=3x-3). Der Schnittpunkt mit der Y-Achse hat die Koordinaten , und Neigung ist 3 (bzw 3 1 (\displaystyle (\frac (3)(1)))). Zeichnen Sie also zuerst einen Punkt mit Koordinaten (0 , − 3) (\displaystyle (0,-3)); der Punkt über dem Schnittpunkt mit der y-Achse hat Koordinaten (1 , 0) (\displaystyle (1,0)); der Punkt unter dem Schnittpunkt mit der y-Achse hat Koordinaten (− 1 , − 6) (\displaystyle (-1,-6))

   3. Zeichnen Sie eine gerade Linie. Wenn die Ungleichung streng ist (enthält das Vorzeichen < {\displaystyle <} oder > (\displaystyle >)), zeichnen Sie eine gepunktete Linie, da der Lösungssatz keine Werte enthält, die auf der Linie liegen. Wenn die Ungleichung nicht streng ist (enthält das Vorzeichen ≤ (\displaystyle \leq) oder ≥ (\displaystyle\geq)), zeichnen Sie eine durchgezogene Linie, da die Menge der Lösungen Werte enthält, die auf der Linie liegen.

      • Zum Beispiel bei Ungleichheit y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3) Zeichnen Sie die gepunktete Linie, da die Menge der Lösungen keine Werte enthält, die auf der Linie liegen.

   4. Schattieren Sie den entsprechenden Bereich. Wenn die Ungleichung die Form hat y > m x + b (\displaystyle y>mx+b), füllen Sie den Bereich über der Linie aus. Wenn die Ungleichung die Form hat j< m x + b {\displaystyle y, füllen Sie den Bereich unter der Linie aus.

      • Zum Beispiel bei Ungleichheit y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3) Schattieren Sie den Bereich über der Linie.

   Grafische Darstellung einer quadratischen Ungleichung auf der Koordinatenebene

   1. Stellen Sie fest, dass diese Ungleichung quadratisch ist. Die quadratische Ungleichung hat die Form a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c). Manchmal enthält die Ungleichung keine Variable erster Ordnung ( x (\displaystyle x)) und/oder freier Term (Konstante), muss aber eine Variable zweiter Ordnung enthalten ( x 2 (\displaystyle x^(2))). Variablen x (\displaystyle x) und y (\displaystyle y) isoliert werden soll verschiedene Seiten Ungleichheiten.

      • Beispielsweise müssen Sie die Ungleichung darstellen j< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y.

   2. Zeichne einen Graphen auf der Koordinatenebene. Wandeln Sie dazu die Ungleichung in eine Gleichung um und erstellen Sie einen Graphen, wie Sie einen Graphen einer beliebigen quadratischen Gleichung erstellen. Denken Sie daran, dass der Graph einer quadratischen Gleichung eine Parabel ist.

      • Zum Beispiel bei Ungleichheit j< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y quadratische Gleichung zeichnen y = x 2 − 10 x + 16 (\displaystyle y=x^(2)-10x+16). Der Scheitelpunkt der Parabel ist der Punkt (5 , − 9) (\displaystyle (5,-9)), und die Parabel schneidet die x-Achse an Punkten (2 , 0) (\displaystyle (2,0)) und (8 , 0) (\displaystyle (8,0)).

Das graphische Verfahren besteht darin, eine Menge zulässiger LLP-Lösungen zu konstruieren und in dieser Menge einen Punkt zu finden, der der Max/Min-Zielfunktion entspricht.

Aufgrund der begrenzten Möglichkeiten einer visuellen grafischen Darstellung wird diese Methode nur für Systeme verwendet Lineare Ungleichungen mit zwei Unbekannten und auf eine gegebene Form reduzierbaren Systemen.

Um die grafische Methode visuell zu demonstrieren, werden wir das folgende Problem lösen:

1. In der ersten Phase ist es notwendig, den Bereich der machbaren Lösungen zu konstruieren. Für dieses Beispiel ist es am bequemsten, X2 für die Abszisse und X1 für die Ordinate zu wählen und die Ungleichungen in der folgenden Form zu schreiben:

Denn sowohl die Grafiken als auch der Bereich der zulässigen Lösungen liegen im ersten Quartal. Um die Grenzpunkte zu finden, lösen wir die Gleichungen (1)=(2), (1)=(3) und (2)=(3).

Wie der Abbildung zu entnehmen ist, bildet das Polyeder ABCDE einen Bereich möglicher Lösungen.

Wenn der Bereich der zulässigen Lösungen nicht abgeschlossen ist, dann entweder max(f)=+ ? oder min(f)= -?.

2. Jetzt können wir damit fortfahren, direkt das Maximum der Funktion f zu finden.

Wenn wir abwechselnd die Koordinaten der Ecken des Polyeders in die Funktion f einsetzen und die Werte vergleichen, finden wir, dass f(C) = f (4; 1) = 19 - das Maximum der Funktion.

Dieser Ansatz ist für eine kleine Anzahl von Scheitelpunkten sehr vorteilhaft. Dieser Vorgang kann sich jedoch verzögern, wenn sehr viele Eckpunkte vorhanden sind.

In diesem Fall ist es bequemer, eine Höhenlinie der Form f=a zu betrachten. Bei einer monotonen Zunahme der Zahl a von -? bis +? Geraden f=a werden entlang des Normalenvektors verschoben. Wenn es bei einer solchen Verschiebung der Niveaulinie einen Punkt X gibt - den ersten gemeinsamen Punkt des Bereichs zulässiger Lösungen (Polyeder ABCDE) und der Niveaulinie, dann ist f(X) das Minimum von f auf der Menge ABCDE . Wenn X der letzte Schnittpunkt der Niveaulinie und der Menge ABCDE ist, dann ist f(X) das Maximum auf der Menge der zulässigen Lösungen. Wenn für a>-? die Linie f=a schneidet die Menge der zulässigen Lösungen, dann ist min(f)= -?. Wenn dies geschieht, wenn a>+?, dann ist max(f)=+?.

Erste Ebene

Lösen von Gleichungen, Ungleichungen, Systemen mit Funktionsgraphen. visuelle Führung (2019)

Viele Aufgaben, die wir gewohnt sind, rein algebraisch zu rechnen, lassen sich viel einfacher und schneller lösen, die Verwendung von Funktionsgraphen hilft uns dabei. Du sagst "wie so?" etwas zeichnen, und was zeichnen? Vertrauen Sie mir, manchmal ist es bequemer und einfacher. Sollen wir anfangen? Beginnen wir mit Gleichungen!

Grafische Lösung von Gleichungen

Grafische Lösung linearer Gleichungen

Wie Sie bereits wissen, ist der Graph einer linearen Gleichung eine gerade Linie, daher der Name dieses Typs. Lineare Gleichungen sind recht einfach algebraisch zu lösen – wir übertragen alle Unbekannten auf eine Seite der Gleichung, alles, was wir wissen – auf die andere, und voila! Wir haben die Wurzel gefunden. Jetzt zeige ich dir, wie es geht grafische Weise.

Du hast also eine Gleichung:

Wie man es löst?
Variante 1, und am häufigsten werden die Unbekannten in eine Richtung und die Bekannten in die andere Richtung verschoben, wir erhalten:

Und jetzt bauen wir. Was hast du bekommen?

Was ist Ihrer Meinung nach die Wurzel unserer Gleichung? Richtig, die Koordinate des Schnittpunkts der Graphen:

Unsere Antwort ist

Das ist die ganze Weisheit der grafischen Lösung. Wie Sie leicht überprüfen können, ist die Wurzel unserer Gleichung eine Zahl!

Wie ich oben sagte, ist dies die häufigste Option, in der Nähe algebraische Lösung, aber es geht auch anders. Um eine alternative Lösung in Betracht zu ziehen, kehren wir zu unserer Gleichung zurück:

Diesmal werden wir nichts von Seite zu Seite verschieben, sondern direkt Graphen erstellen, wie sie jetzt sind:

Gebaut? Aussehen!

Was ist diesmal die Lösung? Alles ist richtig. Dasselbe ist die Koordinate des Schnittpunkts der Graphen:

Und wieder ist unsere Antwort .

Wie Sie sehen können, mit lineare Gleichungen alles ist sehr einfach. Es ist an der Zeit, etwas Komplizierteres in Betracht zu ziehen ... Zum Beispiel grafische Lösung quadratischer Gleichungen.

Grafische Lösung quadratischer Gleichungen

Beginnen wir also mit der Lösung der quadratischen Gleichung. Angenommen, Sie müssen die Wurzeln dieser Gleichung finden:

Natürlich kann man jetzt anfangen, durch die Diskriminante oder nach dem Satz von Vieta zu zählen, aber viele Nerven machen Fehler beim Multiplizieren oder Quadrieren, besonders wenn das Beispiel mit ist große Zahlen, und wie Sie wissen, haben Sie bei der Prüfung keinen Taschenrechner ... Versuchen wir also, uns ein wenig zu entspannen und zu zeichnen, während wir diese Gleichung lösen.

Finden Sie grafisch Lösungen gegebene Gleichung kann verschiedene Wege. In Betracht ziehen Verschiedene Optionen und Sie können wählen, welche Ihnen am besten gefällt.

Methode 1. Direkt

Wir bauen einfach eine Parabel nach dieser Gleichung:

Um es schnell zu machen, gebe ich Ihnen einen kleinen Hinweis: Es ist zweckmäßig, die Konstruktion mit der Bestimmung des Scheitelpunkts der Parabel zu beginnen. Die folgenden Formeln helfen bei der Bestimmung der Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel:

Du sagst „Halt! Die Formel für ist der Formel zum Finden der Diskriminante „ja, es ist, und es ist“ sehr ähnlich ein riesiges Minus"direkte" Konstruktion einer Parabel, um ihre Wurzeln zu finden. Zählen wir jedoch bis zum Ende, und dann zeige ich Ihnen, wie Sie es viel (viel!) einfacher machen können!

Hast du gezählt? Wie lauten die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel? Lassen Sie es uns gemeinsam herausfinden:

Genau die gleiche Antwort? Gut erledigt! Und jetzt kennen wir bereits die Koordinaten des Scheitelpunkts, und um eine Parabel zu bauen, brauchen wir mehr ... Punkte. Was denken Sie, wie viele Punkte brauchen wir mindestens? Richtig, .

Sie wissen, dass eine Parabel symmetrisch zu ihrem Scheitelpunkt ist, zum Beispiel:

Dementsprechend brauchen wir zwei weitere Punkte entlang des linken oder rechten Astes der Parabel und werden diese Punkte zukünftig symmetrisch auf der gegenüberliegenden Seite spiegeln:

Wir kehren zu unserer Parabel zurück. Für unseren Fall der Punkt. Wir brauchen zwei Punkte mehr bzw. können wir positive nehmen, aber können wir negative nehmen? Was sind die besten Punkte für Sie? Es ist bequemer für mich, mit positiven zu arbeiten, also werde ich mit und rechnen.

Jetzt haben wir drei Punkte, und wir können unsere Parabel leicht bauen, indem wir die letzten beiden Punkte an ihrer Spitze spiegeln:

Was ist Ihrer Meinung nach die Lösung der Gleichung? Das ist richtig, die Punkte, an denen, das heißt, und. Weil.

Und wenn wir das sagen, dann bedeutet das, dass es auch gleich sein muss, oder.

Gerade? Wir haben die Gleichung mit Ihnen auf komplexe grafische Weise gelöst, oder es wird noch mehr geben!

Natürlich können Sie unsere Antwort algebraisch überprüfen - Sie können die Wurzeln durch das Vieta-Theorem oder die Diskriminante berechnen. Was hast du bekommen? Das selbe? Hier sehen Sie! Sehen wir uns jetzt eine sehr einfache grafische Lösung an, ich bin sicher, sie wird Ihnen sehr gefallen!

Methode 2. In mehrere Funktionen aufteilen

Nehmen wir auch alles, unsere Gleichung: , aber wir schreiben sie etwas anders, nämlich:

Können wir das so schreiben? Wir können, da die Transformation äquivalent ist. Schauen wir weiter.

Lassen Sie uns zwei Funktionen separat erstellen:

1. - Der Graph ist eine einfache Parabel, die Sie leicht erstellen können, auch ohne den Scheitelpunkt mit Formeln zu definieren und eine Tabelle zu erstellen, um andere Punkte zu bestimmen.
2. - Der Graph ist eine gerade Linie, die Sie genauso einfach durch Schätzen der Werte und in Ihrem Kopf erstellen können, ohne auf einen Taschenrechner zurückzugreifen.

Gebaut? Vergleichen Sie mit dem, was ich habe:

Meinst du das in dieser Fall sind die Wurzeln der Gleichung? Korrekt! Koordinaten von, die durch Kreuzen zweier Graphen erhalten werden, und das heißt:

Dementsprechend lautet die Lösung dieser Gleichung:

Was sagst du? Stimmen Sie zu, diese Lösungsmethode ist viel einfacher als die vorherige und sogar einfacher als die Suche nach Wurzeln durch die Diskriminante! Wenn ja, versuchen Sie diese Methode, um die folgende Gleichung zu lösen:

Was hast du bekommen? Vergleichen wir unsere Diagramme:

Die Grafiken zeigen, dass die Antworten lauten:

Hast du es geschafft? Gut erledigt! Schauen wir uns nun die etwas komplizierteren Gleichungen an, nämlich die Lösung gemischter Gleichungen, also Gleichungen, die Funktionen unterschiedlichen Typs enthalten.

Grafische Lösung gemischter Gleichungen

Versuchen wir nun, Folgendes zu lösen:

Natürlich kann alles mitgebracht werden gemeinsamer Nenner, finden Sie die Wurzeln der resultierenden Gleichung und vergessen Sie nicht, die ODZ zu berücksichtigen, aber wir werden wieder versuchen, sie grafisch zu lösen, wie wir es in allen vorherigen Fällen getan haben.

Lassen Sie uns dieses Mal die folgenden 2 Diagramme zeichnen:

1. - Der Graph ist eine Hyperbel
2. - Ein Graph ist eine gerade Linie, die Sie leicht durch Schätzen der Werte und in Ihrem Kopf erstellen können, ohne auf einen Taschenrechner zurückgreifen zu müssen.

Erkannte? Beginnen Sie jetzt mit dem Bauen.

Folgendes ist mir passiert:

Wenn Sie sich dieses Bild ansehen, was sind die Wurzeln unserer Gleichung?

Das ist richtig, und. Hier die Bestätigung:

Versuchen Sie, unsere Wurzeln in die Gleichung einzufügen. Passiert?

Alles ist richtig! Stimmen Sie zu, das grafische Lösen solcher Gleichungen ist ein Vergnügen!

Versuchen Sie, die Gleichung selbst grafisch zu lösen:

Ich gebe Ihnen einen Tipp: Verschieben Sie einen Teil der Gleichung nach rechte Seite damit beide Seiten die einfachsten Funktionen zu bauen haben. Haben Sie den Hinweis? Handeln Sie!

Nun lass uns sehen, was du hast:

Beziehungsweise:

1. - kubische Parabel.
2. - eine gewöhnliche gerade Linie.

Nun, wir bauen:

Wie Sie lange aufgeschrieben haben, ist die Wurzel dieser Gleichung -.

Nachdem ich das gelöst habe große Menge Beispielen haben Sie bestimmt schon bemerkt, wie Sie Gleichungen einfach und schnell grafisch lösen können. Es ist Zeit herauszufinden, wie man sich entscheidet auf eine ähnliche Art und Weise Systeme.

Grafische Lösung von Systemen

Die graphische Lösung von Systemen unterscheidet sich im Wesentlichen nicht von der graphischen Lösung von Gleichungen. Wir werden auch zwei Graphen erstellen, und ihre Schnittpunkte werden die Wurzeln dieses Systems sein. Ein Graph ist eine Gleichung, der zweite Graph ist eine andere Gleichung. Alles ganz einfach!

Beginnen wir mit dem Einfachsten - dem Lösen von linearen Gleichungssystemen.

Lineare Gleichungssysteme lösen

Nehmen wir an, wir haben das folgende System:

Zunächst werden wir es so umwandeln, dass links alles steht, was damit verbunden ist, und rechts - was damit verbunden ist. Anders ausgedrückt schreiben wir diese Gleichungen als Funktion in der für uns üblichen Form:

Und jetzt bauen wir einfach zwei gerade Linien. Was ist die Lösung in unserem Fall? Korrekt! Der Schnittpunkt! Und hier müssen Sie sehr, sehr vorsichtig sein! Denken Sie warum? Ich gebe Ihnen einen Hinweis: Wir haben es mit einem System zu tun: Das System hat beides, und... Haben Sie den Hinweis verstanden?

Alles ist richtig! Beim Lösen des Systems müssen wir beide Koordinaten betrachten, und nicht nur, wie beim Lösen von Gleichungen! Noch eins wichtiger Punkt- Schreiben Sie sie richtig auf und verwechseln Sie nicht, wo wir den Wert haben und wo der Wert ist! Verzeichnet? Jetzt vergleichen wir alles der Reihe nach:

Und antwortet: i. Machen Sie eine Überprüfung - ersetzen Sie die gefundenen Wurzeln in das System und stellen Sie sicher, dass wir es grafisch richtig gelöst haben?

Lösen von Systemen nichtlinearer Gleichungen

Aber was ist, wenn wir statt einer geraden Linie haben werden quadratische Gleichung? Es ist okay! Du baust statt einer Geraden einfach eine Parabel! Glaubst du nicht? Versuche folgendes System zu lösen:

Was ist unser der nächste Schritt? Das ist richtig, schreiben Sie es auf, damit wir bequem Diagramme erstellen können:

Und jetzt geht es um die Kleinigkeit - ich habe es schnell gebaut und hier ist die Lösung für Sie! Gebäude:

Sind die Grafiken gleich? Markiere nun die Lösungen des Systems im Bild und schreibe die aufgedeckten Antworten richtig auf!

Ich habe alles getan? Vergleiche mit meinen Notizen:

Alles ist richtig? Gut erledigt! Solche Aufgaben klickst du schon wie Nüsse an! Und wenn ja, geben wir Ihnen ein komplizierteres System:

Was machen wir? Korrekt! Wir schreiben das System so, dass es bequem zu bauen ist:

Ich gebe Ihnen einen kleinen Hinweis, da das System sehr kompliziert aussieht! Wenn Sie Diagramme erstellen, bauen Sie sie "mehr" und wundern Sie sich vor allem nicht über die Anzahl der Schnittpunkte.

So lass uns gehen! Ausgeatmet? Beginnen Sie jetzt mit dem Bauen!

Und wie? Schön? Wie viele Schnittpunkte hast du bekommen? Ich habe drei! Vergleichen wir unsere Grafiken:

Gleicher Weg? Schreiben Sie nun sorgfältig alle Lösungen unseres Systems auf:

Betrachten Sie nun noch einmal das System:

Können Sie sich vorstellen, dass Sie es in nur 15 Minuten gelöst haben? Stimmen Sie zu, Mathematik ist immer noch einfach, besonders wenn Sie einen Ausdruck betrachten, haben Sie keine Angst, einen Fehler zu machen, aber Sie nehmen es und entscheiden! Du bist ein großer Junge!

Grafische Lösung von Ungleichungen

Grafische Lösung linearer Ungleichungen

Nach letztes Beispiel Sie haben alles auf Ihrer Schulter! Atmen Sie jetzt aus - im Vergleich zu den vorherigen Abschnitten wird dieser sehr, sehr einfach sein!

Wir beginnen wie üblich mit einer graphischen Lösung einer linearen Ungleichung. Zum Beispiel dieser:

Zunächst führen wir die einfachsten Transformationen durch - wir öffnen die Klammern volle Quadrate und füge ähnliche Begriffe hinzu:

Die Ungleichung ist daher nicht streng - ist nicht im Intervall enthalten, und die Lösung sind alle Punkte, die rechts liegen, da mehr, mehr und so weiter:

Antworten:

Das ist alles! Leicht? Lösen wir eine einfache Ungleichung mit zwei Variablen:

Lassen Sie uns eine Funktion im Koordinatensystem zeichnen.

Hast du so ein Diagramm? Und jetzt schauen wir uns genau an, was wir an Ungleichheit haben? Weniger? Also übermalen wir alles, was sich links von unserer geraden Linie befindet. Was wäre, wenn es mehr gäbe? Richtig, dann würden sie alles übermalen, was sich rechts von unserer Geraden befindet. Alles ist einfach.

Alle Lösungen dieser Ungleichung sind „schattiert“ Orange. Das war's, die Zwei-Variablen-Ungleichung ist gelöst. Das bedeutet, dass die Koordinaten und jeder Punkt aus dem schraffierten Bereich die Lösungen sind.

Grafische Lösung quadratischer Ungleichungen

Nun beschäftigen wir uns damit, wie man quadratische Ungleichungen grafisch löst.

Aber bevor wir direkt zum Punkt kommen, lassen Sie uns noch einmal etwas über die Quadratfunktion rekapitulieren.

Wofür ist die Diskriminante verantwortlich? Richtig, für die Position des Graphen relativ zur Achse (wenn Sie sich nicht daran erinnern, dann lesen Sie auf jeden Fall die Theorie der quadratischen Funktionen).

Auf jeden Fall hier eine kleine Erinnerung für dich:

Nachdem wir nun das gesamte Material in unserem Gedächtnis aufgefrischt haben, kommen wir zur Sache – wir werden die Ungleichung grafisch lösen.

Ich werde Ihnen gleich sagen, dass es zwei Möglichkeiten gibt, es zu lösen.

Variante 1

Wir schreiben unsere Parabel als Funktion:

Mit den Formeln bestimmen wir die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel (wie beim Lösen quadratischer Gleichungen):

Hast du gezählt? Was hast du bekommen?

Nehmen wir jetzt zwei weitere verschiedene Punkte und berechne für sie:

Wir fangen an, einen Ast der Parabel zu bauen:

Wir spiegeln unsere Punkte symmetrisch an einem anderen Ast der Parabel:

Nun zurück zu unserer Ungleichheit.

Wir brauchen, dass es kleiner als Null ist:

Da es in unserer Ungleichheit ein streng geringeres Zeichen gibt, schließen wir die Endpunkte aus - wir „stechen heraus“.

Antworten:

Weit weg, oder? Jetzt zeige ich Ihnen eine einfachere Version der grafischen Lösung am Beispiel derselben Ungleichung:

Option 2

Wir kehren zu unserer Ungleichung zurück und markieren die Intervalle, die wir brauchen:

Stimmen Sie zu, es ist viel schneller.

Schreiben wir jetzt die Antwort auf:

Betrachten Sie eine andere Lösung, die und vereinfacht algebraischer Teil, aber die Hauptsache ist, sich nicht verwirren zu lassen.

Multiplizieren Sie die linke und rechte Seite mit:

Versuchen Sie, die folgende quadratische Ungleichung auf beliebige Weise selbst zu lösen: .

Hast du es geschafft?

Sehen Sie, wie mein Diagramm ausgefallen ist:

Antworten: .

Grafische Lösung gemischter Ungleichungen

Kommen wir nun zu komplexeren Ungleichungen!

Wie findest Du das:

Schrecklich, oder? Ehrlich gesagt habe ich keine Ahnung, wie ich das algebraisch lösen soll ... Aber es ist nicht notwendig. Grafisch ist das nicht kompliziert! Die Augen haben Angst, aber die Hände tun es!

Das erste, womit wir beginnen, ist, zwei Diagramme zu erstellen:

Ich werde keine Tabelle für jeden schreiben – ich bin sicher, dass Sie es alleine perfekt machen können (natürlich gibt es so viele Beispiele zu lösen!).

Gemalt? Erstellen Sie nun zwei Graphen.

Vergleichen wir unsere Zeichnungen?

Hast du das gleiche? Exzellent! Lassen Sie uns nun die Schnittpunkte platzieren und mit einer Farbe bestimmen, welcher Graph theoretisch größer sein sollte, dh größer sein sollte. Schau, was am Ende passiert ist:

Und jetzt schauen wir uns nur an, wo unser ausgewähltes Diagramm höher ist als das Diagramm? Fühlen Sie sich frei, einen Bleistift zu nehmen und zu übermalen gegebenen Bereich! Es wird die Lösung unserer komplexen Ungleichheit sein!

In welchen Intervallen entlang der Achse sind wir höher als? Recht, . Das ist die Antwort!

Nun, jetzt können Sie mit jeder Gleichung und jedem System umgehen, und noch mehr mit jeder Ungleichung!

KURZ ÜBER DAS WESENTLICHE

Algorithmus zum Lösen von Gleichungen mit Funktionsgraphen:

1. Durch ausdrücken
2. Definieren Sie den Funktionstyp
3. Lassen Sie uns Graphen der resultierenden Funktionen erstellen
4. Finde die Schnittpunkte der Graphen
5. Schreiben Sie die Antwort richtig auf (unter Berücksichtigung der ODZ- und Ungleichheitszeichen)
6. Überprüfe die Antwort (ersetze die Wurzeln in der Gleichung oder dem System)

Weitere Informationen zum Zeichnen von Funktionsgraphen finden Sie im Thema "".