Jos kerrotaan määrä itsestään, se selviää rakentamisesta neliö-. Jopa ekaluokkalainen tietää, että "kaksi kertaa kaksi on neljä". Kolminumeroinen, nelinumeroinen jne. on parempi kertoa numerot sarakkeessa tai laskimessa, mutta käsitellä kaksinumeroisia lukuja ilman elektronista avustajaa, kertomalla mielessäsi.

Ohje

1. Laajenna mikä tahansa kaksiarvoinen määrä osiksi korostaen yksiköiden lukumäärää. Numerossa 96 ykkösten lukumäärä on 6. Siksi on sallittua kirjoittaa: 96 \u003d 90 + 6.

2. Nosta neliö- ensimmäinen luvuista: 90 * 90 = 8100.

3. Tee sama toisen kanssa. määrä m: 6 * 6 = 36

4. Kerro luvut yhteen ja tuplaa kokonaismäärä: 90 * 6 * 2 = 540 * 2 = 1080.

5. Laske yhteen toisen, kolmannen ja neljännen vaiheen tulokset: 8100 + 36 + 1080 = 9216. Tämä on tulos korotuksesta neliö- numero 96. Harjoittelun jälkeen pystyt nopeasti ottamaan askeleita mielessäsi ja osumaan vanhempiisi ja luokkatovereihin. Ennen kuin totut siihen, kirjoita koko vaiheen tulokset muistiin, jotta et hämmentyisi.

6. Koulutusta varten nosta arvoon neliö- määrä 74 ja tarkista itsesi laskimesta. Toimintojen järjestys: 74 = 70 + 4, 70 * 70 = 4900, 4 * 4 = 16, 70 * 4 * 2 = 560, 4900 + 16 + 560 = 5476.

7. Nosta toiseen tehoon määrä 81. Toimintasi: 81 = 80 + 1, 80 * 80 = 6400, 1 * 1 = 1, 80 * 1 * 2 = 160, 6400 + 1 + 160 = 6561.

8. Muistaa ei-standardi menetelmä erektio sisään neliö- kaksinumeroisia lukuja, jotka päättyvät numeroon 5. Valitse kymmenien lukumäärä: numerossa 75 on niitä 7.

9. Kerro kymmenien määrä seuraavalla numerolla määrä ensimmäinen rivi: 7 * 8 = 56.

10. Attribuutti oikealla määrä 25:5625 - erektion tulos vuonna neliö- numero 75.

11. Nosta toiseen tehoon harjoittelua varten määrä 95. Se päättyy numeroon 5, joten toimintosarja: 9 * 10 = 90, 9025 on yhteensä.

12. Opi rakentamaan neliö- negatiiviset luvut: -95 tuumaa neliö- on yhtä suuri kuin 9025, kuten yhdestoista vaiheessa. Kuten -74 tuumaa neliö- e on 5476, kuten kuudennessa vaiheessa. Tämä johtuu siitä, että kun kerrotaan 2 negatiivista lukua, oikea saadaan aina. määrä: -95 * -95 = 9025. Näin ollen, kun korotetaan arvoon neliö- Voit helposti jättää huomioimatta miinusmerkin.

Numeron nostaminen potenssiin on yksi yksinkertaisimmista algebrallisia operaatioita. AT jokapäiväinen elämä erektiota käytetään harvoin, mutta tuotannossa, laskelmia suoritettaessa, se on käytännössä kaikkialla, joten on hyödyllistä muistaa, kuinka tämä tehdään.

Ohje

1. Kuvittele, että meillä on jokin luku a, jonka potenssi on luku n. Luvun muodostaminen potenssiksi tarkoittaa, että sinun on kerrottava luku a itsellään n kertaa.

2. Katsotaanpa muutamia esimerkkejä. Jotta voit rakentaa luvun 2 toiseen potenssiin, sinun on suoritettava toiminto: 2x2 \u003d 4

3. Jotta voit rakentaa numeron 3 viidenteen potenssiin, sinun on suoritettava toiminto: 3x3x3x3x3 \u003d 243

4. Numeroiden toiselle ja kolmannelle potenssille on yleisesti hyväksytty nimitys. Ilmaus "toinen aste" korvataan yleensä sanalla "neliö", ja ilmaisun "kolmas aste" sijaan sanotaan perinteisesti "kuutio".

5. Kuten yllä olevista esimerkeistä voidaan nähdä, laskelmien kesto ja monimutkaisuus riippuvat luvun eksponentin arvosta. Neliöinti tai kuutio riittää yksinkertainen tehtävä; luvun nostaminen viidenteen tai valtavaan tehoon vaatii jo paljon aikaa ja tarkkuutta laskelmissa. Koventaa vauhtia Tämä prosessi ja poikkeuksia virheistä on sallittua käyttää erityistä matemaattiset taulukot tai tekninen laskin.

Saman luvun tuloa varten matemaatikot keksivät asteen esityksen. Näin ollen lauseke 16 * 16 * 16 * 16 * 16 voidaan kirjoittaa enemmän lyhyt menetelmä. Se näyttää 16^5. Lauseke luetaan numerona 16 viidenteen potenssiin.

Tarvitset

• Paperi, kynä.

Ohje

1. Yleisesti tutkinnon kirjoitettuna a^n. Tämä merkintä tarkoittaa, että luku a kerrotaan itsestään n kertaa. Kutsutaan lauseke a ^ n tutkinnon u,a on numero, tutkinnon perusta, n on luku, eksponentti. Sano a = 4, n = 5 ja kirjoita sitten 4^5 = 4*4*4*4*4 = 1024

2. n:n potenssi voi olla negatiivinen luku n = -1, -2, -3 jne. Negatiivisen laskemiseksi tutkinnon numeroita, se on laskettava nimittäjään. ^(-3) = (1/2)^3 = 1/2*1/2*1/2 = 1/(2^3) = 1/8 = 0,125

3. Kuten esimerkistä näkyy, -3 tutkinnon luvusta 2 voidaan laskea eri menetelmillä. 1) Laske ensin murto-osa 1/2 \u003d 0,5; ja sen jälkeen rakentaa sisään tutkinnon 3, eli 0,5^3 = 0,5*0,5*0,5 = 0,1252) Luo ensin nimittäjä tutkinnon 2^3 = 2*2*2 = 8, ja sen jälkeen laske murto-osa 1/8 = 0,125.

4. Lasketaan nyt -1 tutkinnon numerolle, ts. n = -1. Yllä käsitellyt säännöt sopivat tähän tapaukseen. a^(-1) = (1/a)^1 = 1/(a^1) = 1/a tutkinnon 5^(-1) = (1/5)^1 = 1/(5^1) = 1/5 = 0,2.

5. Esimerkki osoittaa selvästi, että luku potenssiin -1 on vastavuoroinen luvusta. Oletetaan, että luku 5 on murto-osan muodossa 5/1, niin 5 ^ (-1) ei voida laskea aritmeettisesti, vaan kirjoita heti käänteisluku 5/1, tämä on 1/5. 15 ^ (-1) \u003d 1 /15,6^ (-1) = 1/6,25^ (-1) = 1/25

Merkintä!
Kun nostat luvun negatiiviseen potenssiin, muista, että luku ei voi olla yhtä suuri kuin nolla. Säännön mukaan meidän on alennettava luku nimittäjään. Ja nolla ei voi olla nimittäjässä, koska se on mahdotonta jakaa nollalla.

Hyödyllisiä neuvoja
Joskus työskenneltäessä eksponentien kanssa laskennan helpottamiseksi murtoluku korvattu tarkoituksella kokonaisluvulla potenssilla -11/6 = 6^(-1)1/52 = 52^(-1).

Kun ratkaiset aritmeettisia ja algebrallisia ongelmia joskus jouduttu rakentamaan murto-osa sisään neliö-. Kaikkien on helpompi tehdä tämä silloin murto-osa desimaali - melko tavallinen laskin. Kuitenkin, jos murto-osa tavallinen tai sekoitettu, sitten kun nostat tällaista numeroa arvoon neliö- joitain vaikeuksia saattaa ilmetä.

Tarvitset

• laskin, tietokone, excel-sovellus.

Ohje

1. Desimaaliluvun muodostaminen murto-osa sisään neliö-, ota tekninen laskin, kirjoita siihen pystytettynä neliö- murto-osa ja paina eksponentionäppäintä. Useimmissa laskimissa tämä painike on merkitty "x?". Tavallisella Windows-laskimella korotus arvoon neliö- näyttää "x^2". Sanokaamme neliö- desimaaliluku 3,14 on yhtä suuri kuin: 3,14? = 9,8596.

2. Sisään rakentamiseen neliö- desimaali murto-osa kerro tämä luku itsellään tavallisella (kirjanpito)laskimella. Muuten, joissakin laskurin malleissa todennäköisyys nostaa luku neliö- vaikka erikoispainiketta ei olisikaan. Lue siksi ohjeet erityinen laskin. Joskus laskimen takakannessa tai laatikossa on esimerkkejä "ovelista" eksponentioinnista. Sanotaan, että monet laskimet nostaa luku neliö- paina vain "x"- ja "="-painikkeita.

3. Erektioon sisään neliö- tavallinen murto-osa(koostuu osoittajasta ja nimittäjästä), korota neliö- erikseen tämän murtoluvun osoittaja ja nimittäjä. Eli käytä seuraavaa sääntöä: (h / s)? = h? / s?, missä h on murtoluvun osoittaja, s on murtoluvun nimittäjä Esimerkki: (3/4)? = 3?/4? = 9/16.

4. Jos asennettu sisään neliö- murto-osa- sekoitettu (koostuu kokonaislukuosasta ja tavallisesta murto-osasta), tuo se sitten tavalliseen muotoonsa etukäteen. Eli käytä seuraavaa kaavaa: (c h / s)? \u003d ((c * s + h) / s)? = (c*s+h)? / s?, missä ts - koko osa sekafraktio Esimerkki: (3 2/5)? = ((3*5+2) / 5)? = (3*5+2)? / 5? = 17? / 5? = 289/25 = 11 14/25.

5. Jos asennettu sisään neliö- tavallisia (ei desimaalilukuja) tuodaan jatkuvasti, käytä sitten MS Exceliä. Voit tehdä tämän kirjoittamalla seuraavan kaavan johonkin taulukon soluista: \u003d DEGREE (A2; 2) missä A2 on sen solun osoite, johon nostettava arvo syötetään neliö- murto-osa.Ohjelmaan ilmoittamiseksi, että syötettyä numeroa tulee käsitellä normaalina murto-osa yu (eli älä muunna sitä desimaaliksi), kirjoita ennen murto-osa numero "0" ja merkki "välilyönti". Eli syöttääksesi esimerkiksi murto-osan 2/3, sinun on syötettävä: "0 2/3" (ja paina Enter). Tässä tapauksessa syöttörivillä näkyy syötetyn murtoluvun desimaaliesitys. Solun murto-osan arvo ja esitys tallennetaan alkumuoto. Lisäksi hakemuksen yhteydessä matemaattiset funktiot, jonka argumentit ovat tavallisia murtolukuja, tulos esitetään myös tavallisena murtolukuna. Näin ollen neliö- murto-osa 2/3 esitetään muodossa 4/9.

Binomin neliön korostusmenetelmää käytetään massiivisten lausekkeiden helpottamiseen sekä toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseen. Käytännössä se yhdistetään perinteisesti muihin tekniikoihin, kuten tekijöihin jakamiseen, ryhmittelyyn jne.

Ohje

1. Tapa valita binomilin täysi neliö perustuu kahden kaavan käyttöön polynomien lyhennettyyn kertolaskuun. Nämä kaavat ovat binomiaalisen Newtonin erikoistapauksia 2. asteessa, ja niiden avulla voit yksinkertaistaa haluttua lauseketta niin, että on mahdollista suorittaa lisävähennys tai tekijöihin lisääminen: (m + n)² = m² + 2 m n + n²; (m - n)² \u003d m² - 2 m n + n².

2. Tämän menetelmän mukaan alkuperäisestä polynomista on erotettava 2 monomin neliöt ja niiden kaksoistulon summa/ero. Tämän menetelmän käyttäminen on järkevää, jos termien suurin potenssi on vähintään 2. Kuvittele, että seuraava lauseke tekijöihin on annettu laskevalla asteella: 4 y ^ 4 + z ^ 4

3. Ongelman ratkaisemiseksi on käytettävä koko neliön valintamenetelmää. Osoittautuu, että lauseke koostuu kahdesta monomiasta, joissa on muuttujia tasainen tutkinto. Näin ollen mikä tahansa niistä on sallittua merkitä m:llä ja n:m = 2 y²; n = z2.

4. Nyt meidän on saatava alkulauseke muotoon (m + n)². Se sisältää tarkemmin näiden termien neliöt, mutta siitä puuttuu kaksoistulo. Sinun on lisättävä se luonnottomasti ja vähennettävä sitten: (2 y²)² + 2 2 y² z² + (z²)² - 2 2 y² z² = (2 y² + z²)² - 4 y² z².

5. Tuloksena olevasta lausekkeesta näet kaavan neliöiden erolle: (2 y² + z²)² - (2 y z)² = (2 y² + z² - 2 y z) (2 y² + z² + 2 ) y z).

6. Osoittautuu, että menetelmä koostuu kahdesta vaiheesta: täysneliön m ja n monomien valinta, niiden kaksoistulon lisääminen ja vähentäminen. Binomin täyden neliön erotusmenetelmää voidaan käyttää paitsi yksinään myös yhdessä muiden menetelmien kanssa: yleistekijän sulkeminen, muuttujan korvaaminen, termien ryhmittely jne.

7. Esimerkki 2: Korosta täysi neliö lausekkeessa: 4 y² + 2 y z + z². Ratkaisu. 4 y² + 2 y z + z² = = (2 y)² + 2 2 y z + (z) ² - 2 y z = (2 y + z)² - 2 y z.

8. Menetelmää käytetään juurien etsimiseen toisen asteen yhtälö. Yhtälön vasen puoli on trinomi muotoa a y? + b y + c, missä a, b ja c ovat joitain lukuja, ja a ? 0.a y? + b y + c = a (y? + (b/a) y) + c = a (y? + 2 (b/(2 a)) y) + c = a ( y? + 2 (b/(2) a)) y + b?/(4 a?)) + c – b?/(4 a) = a (y + b/(2 a )) ? – (b? – 4 a c)/(4 a).

9. Nämä laskelmat johtavat diskriminantin esitykseen, joka on yhtä suuri kuin (b? - 4 a c)/(4 a), ja yhtälön juuret ovat: y_1,2 = ±(b/(2 a)) ± ? ((b? - 4 a c)/(4 a)).

Erektiooperaatio tutkinnon on "binäärinen", eli siinä on kaksi välttämätöntä tuloparametria ja yksi lähtö. Yhtä alkuparametreista kutsutaan eksponenttiksi, ja se määrittää, kuinka monta kertaa kertolaskua tulee soveltaa toiseen parametriin - kantaan. Syy voi olla joko oikea tai negatiivinen. määrä .

Ohje

1. Kun nostat negatiivista lukua potenssiin, käytä tämän toiminnon tavallisia sääntöjä. Kuten positiivisten lukujen kohdalla, potenssiin nostaminen tarkoittaa alkuarvon kertomista itsestään useita kertoja, yksi vähemmän kuin eksponentti. Sanotaan, että luvun -2 rakentamiseksi neljänteen potenssiin se on kerrottava itsellään kolme kertaa: -2?=-2*(-2)*(-2)*(-2)=16.

2. 2 negatiivisen luvun kertominen antaa aina positiivinen arvo, ja tämän operaation tulos määrille, joissa on erilaisia ​​merkkejä tulee olemaan negatiivinen luku. Tästä voidaan päätellä, että rakentamisen aikana negatiiviset arvot potenssiin, jolla on parillinen eksponentti, tulee aina saada positiivinen luku, ja parittomilla eksponenteilla tulos on aina alle nolla. Käytä tätä laatua laskelmiesi tarkistamiseen. Oletetaan, että viidenteen potenssiin -2 on negatiivinen luku -2?=-2*(-2)*(-2)*(-2)*(-2)=-32 ja -2 kuudenteen potenssiin pitäisi olla positiivinen -2?=-2*(-2)*(-2)*(-2)*(-2)*(-2)=64.

3. Nostettaessa negatiivista lukua potenssiin, eksponentti voidaan antaa säännöllisen murtoluvun muodossa - esimerkiksi -64 potenssiin?. Tällainen indikaattori tarkoittaa, että alkuarvo tulee rakentaa potenssiin, joka on yhtä suuri kuin murto-osuuden osoittaja, ja asteen juuri pitäisi erottaa siitä, yhtä suuri kuin nimittäjä. Yksi osa tästä toimenpiteestä käsiteltiin edellisissä vaiheissa, mutta tässä sinun tulee kiinnittää huomiota toiseen.

4. Juuren louhinta outo toiminto, eli negatiiviselle todellisia lukuja sitä voidaan käyttää vain, kun eksponentti on pariton. Jos jopa, tällä toiminnolla ei ole merkitystä. Näin ollen, jos tehtävän olosuhteissa vaaditaan negatiivinen luku in murto-aste parillinen nimittäjä, ongelmalla ei ole ratkaisua. Muissa tapauksissa suorita ensin operaatiot kahdesta ensimmäisestä vaiheesta käyttämällä osion osoittajaa eksponenttina ja erota sitten juuri nimittäjän asteen kanssa.

Luvun potenssimerkintä on lyhennetty muoto operaatiosta, jossa kanta kerrotaan itsestään. Tässä muodossa esitetyllä numerolla on sallittua suorittaa samat toiminnot kuin muillakin numeroilla, mukaan lukien niiden korottaminen tutkinnon. Oletetaan, että on sallittua rakentaa mielivaltaisesti tutkinnon neliö- numerot ja kokonaismäärän hankkiminen tekniikan nykyaikaisessa muodostumisvaiheessa ei ole vaikeuksia.

Tarvitset

• Internet-yhteys tai Windows-laskin.

Ohje

1. Erektioon neliö- ja sisään tutkinnon käytä yleistä korotuksen sääntöä tutkinnon numero lähempänä kuin on tehon eksponentti. Tällaisella toiminnolla indikaattorit kerrotaan, ja perusta pysyy entisenä. Jos kantaa merkitään x:llä ja alku- ja lisäeksponentit a ja b, tämä sääntö voidaan kirjoittaa yleisessä muodossa seuraavasti: (x?)?=x??.

2. Utilitaristisia laskelmia varten kaikkien on helpompi käyttää hakukonetta Google-järjestelmä- Siinä on sisäänrakennettu erittäin helppokäyttöinen laskin. Oletetaan, että jos haluat rakentaa viidenteen tutkinnon neliö- numero 6, siirry hakukoneen pääsivulle ja kirjoita sopiva kysely. Se on sallittua muotoilla näin: (6 ^ 2) ^ 5 - tässä ^-symboli tarkoittaa tutkinnon. Ja tuloksena oleva eksponentti voidaan laskea itsenäisesti edellisen vaiheen kaavan mukaisesti ja muotoilla kysely seuraavasti: 6 ^ 10. Tai luota Googleen antamalla seuraava pyyntö: 6^(2*5). Jollekin näistä vaihtoehdoista hakukoneen laskin palauttaa identtisen tuloksen: 60 466 176.

3. Internet-yhteyden puuttuessa Google-laskin voidaan korvata esimerkiksi sisäänrakennetulla Windows-laskimella. Jos käytät tämän käyttöjärjestelmän Seven- tai Vista-versiota, avaa järjestelmän päävalikko ja kirjoita kaksi kirjainta kummallekin: "ka". Järjestelmä näyttää päävalikossa kaikki ohjelmat ja tiedostot, jotka se yhdistää tähän yhdistelmään. Ensimmäisellä rivillä on linkki "Laskin" - napsauta sitä hiirellä ja sovellus käynnistetään.

4. Paina näppäinyhdistelmää Alt + 2, jolloin sovellusliittymään ilmestyy painike, jonka tehtävänä on nostaa mielivaltaiseen tutkinnon. Syötä sen jälkeen kanta - esimerkissä toisesta vaiheesta se on numero 6 - ja napsauta ensin x?-painiketta ja sitten x?-painiketta. Syötä eksponentti, johon haluat rakentaa neliö-- käytetyssä esimerkissä tämä luku on 5. Paina Enter-painiketta, jolloin laskin näyttää toiminnon lopullisen tuloksen.

Liittyvät videot

Hyödyllisiä neuvoja
Jotta harjoittelu ei olisi tylsää, soita ystävällesi avuksi. Anna hänen kirjoittaa kaksinumeroinen luku, ja sinä - tämän luvun neliöimisen tulos. Sen jälkeen vaihda paikkaa.

* neliöitä jopa satoihin

Jotta kaikkia lukuja ei neliöisi mielettömästi kaavan mukaan, sinun on yksinkertaistettava tehtäväsi mahdollisimman paljon seuraavilla säännöillä.

Sääntö 1 (leikkaa 10 numeroa)

Numeroihin, jotka päättyvät nollaan.
Jos luku päättyy nollaan, sen kertominen ei ole sen vaikeampaa kuin yksinumeroinen. Sinun tarvitsee vain lisätä pari nollaa.
70 * 70 = 4900.
Taulukko on merkitty punaisella.

Sääntö 2 (leikkaa 10 numeroa)

Numeroille, jotka päättyvät 5:een.
Jos haluat neliöidä viiteen päättyvän kaksinumeroisen luvun, kerro ensimmäinen numero (x) luvulla (x+1) ja lisää tulokseen "25".
75 * 75 = 7 * 8 = 56 … 25 = 5625.
Taulukko on merkitty vihreällä.

Sääntö 3 (leikkaa 8 numeroa)

Numeroille 40-50.
XX * XX = 1500 + 100 * toinen numero + (10 - toinen numero)^2
Aika vaikeaa, eikö? Otetaan esimerkki:
43 * 43 = 1500 + 100 * 3 + (10 - 3)^2 = 1500 + 300 + 49 = 1849.
Pöytä on merkitty vaalean oranssilla.

Sääntö 4 (leikkaa 8 numeroa)

Numeroille 50-60.
XX * XX = 2500 + 100 * toinen numero + (toinen numero)^2
Se on myös melko vaikea ymmärtää. Otetaan esimerkki:
53 * 53 = 2500 + 100 * 3 + 3^2 = 2500 + 300 + 9 = 2809.
Pöytä on merkitty tummanoranssilla.

Sääntö 5 (leikkaa 8 numeroa)

Numeroille 90-100.
XX * XX = 8000+ 200 * toinen numero + (10 - toinen numero)^2
Samanlainen kuin sääntö 3, mutta eri kertoimilla. Otetaan esimerkki:
93 * 93 = 8000 + 200 * 3 + (10 - 3)^2 = 8000 + 600 + 49 = 8649.
Pöytä on merkitty tumman tummanoranssilla.

Sääntö 6 (leikkaa 32 numeroa)

On tarpeen muistaa numeroiden neliöt 40 asti. Se kuulostaa hullulta ja vaikealta, mutta itse asiassa 20 asti useimmat ihmiset tietävät neliöt. 25, 30, 35 ja 40 sopivat kaavoihin. Ja vain 16 numeroparia on jäljellä. Ne voidaan jo muistaa muistotekniikalla (josta haluan myös puhua myöhemmin) tai millä tahansa muulla tavalla. Kuin kertotaulukko :)
Pöytä on merkitty sinisellä.

Voit muistaa kaikki säännöt tai muistaa valikoivasti, joka tapauksessa kaikki luvut 1-100 noudattavat kahta kaavaa. Säännöt auttavat laskemaan nopeasti yli 70% vaihtoehdoista ilman näitä kaavoja. Tässä on kaksi kaavaa:

Kaavat (24 numeroa jäljellä)

Numeroille 25-50
XX * XX = 100(XX - 25) + (50 - XX)^2
Esimerkiksi:
37 * 37 = 100(37 - 25) + (50 - 37)^2 = 1200 + 169 = 1369

Numeroille 50-100
XX * XX = 200(XX - 50) + (100 - XX)^2
Esimerkiksi:
67 * 67 = 200(67 - 50) + (100 - 67)^2 = 3400 + 1089 = 4489

Älä tietenkään unohda tavallista kaavaa summan neliön laajentamiseksi ( erikoistapaus binomiaalinen Newton):
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. 56^2 = 50^2 + 2*50*6 + 6*2 = 2500 + 600 + 36 = 3136.

PÄIVITTÄÄ
Lähellä 100 olevien lukujen tulot ja erityisesti niiden neliöt voidaan myös laskea "puutteet 100 asti" -periaatteen mukaisesti:

Sanoilla: ensimmäisestä numerosta vähennetään toisen "virhe" sataan ja lasketaan "puutteiden" kaksinumeroinen tulo.

Neliöille, vastaavasti, vielä helpompaa.
92*92 = (92-8)*100+8*8 = 8464
(sieloverin kirjoittaja)

Neliöinti ei ehkä ole hyödyllisin asia kotitaloudessa. Et heti muista tapausta, jossa saatat tarvita luvun neliön. Mutta kyky toimia nopeasti numeroiden kanssa, soveltaa asianmukaisia ​​sääntöjä jokaiselle numerolle, kehittää täydellisesti aivojen muistia ja "laskentakykyjä".

Muuten, mielestäni kaikki Habran lukijat tietävät, että 64^2 = 4096 ja 32^2 = 1024.
Monet numeroruudut muistetaan assosiatiivisella tasolla. Esimerkiksi muistin helposti 88^2 = 7744, johtuen samat numerot. Jokaisella on varmasti omat ominaisuutensa.

Kaksi ainutlaatuista kaavaa, jotka löysin ensimmäisen kerran kirjasta "13 askelta mentalismiin", joilla ei ole juurikaan tekemistä matematiikan kanssa. Tosiasia on, että aiemmin (ehkä nytkin) ainutlaatuiset laskennalliset kyvyt olivat yksi lavataikuuden luvuista: taikuri kertoi pyörälle, kuinka hän sai supervoimia ja todisteena tästä neliöi luvut hetkessä sataan. Kirja näyttää myös kuinka kuutioi, kuinka vähennetään juuria ja kuutiojuuria.

Jos pikalaskennan aihe kiinnostaa, kirjoitan lisää.
Kirjoita kommentit virheistä ja korjauksista PM:ään, kiitos jo etukäteen.

Tänään opimme, kuinka suuria lausekkeita neliötetään nopeasti ilman laskinta. Suurilla tarkoitan lukuja kymmenen ja sadan välillä. Suuret lausekkeet ovat erittäin harvinaisia ​​todellisissa ongelmissa, ja tiedät jo kuinka laskea arvot alle kymmenen, koska tämä on tavallinen kertotaulukko. Tämän päivän oppitunnin materiaali on hyödyllinen melko kokeneille opiskelijoille, koska aloittelevat opiskelijat eivät yksinkertaisesti arvosta tämän tekniikan nopeutta ja tehokkuutta.

Ensinnäkin katsotaan mitä kysymyksessä. Esimerkiksi ehdotan, että rakentaminen tehdään mielivaltaiseksi numeerinen lauseke kuten me yleensä teemme. Oletetaan 34. Nostetaan se kertomalla itsellään sarakkeella:

\[((34)^(2))=\times \frac(34)(\frac(34)(+\frac(136)(\frac(102)(1156))))\]

1156 on neliö 34.

ongelma tätä menetelmää voidaan kuvata kahdella tavalla:

1) se vaatii kirjallisen rekisteröinnin;

2) on erittäin helppo tehdä virhe laskentaprosessissa.

Tänään opimme kertomaan nopeasti ilman laskinta, sanallisesti ja käytännössä ilman virheitä.

Joten aloitetaan. Toimiaksemme tarvitsemme summan ja erotuksen neliön kaavan. Kirjoitetaan ne muistiin:

\[(((a+b))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))\]

\[(((a-b))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))\]

Mitä tämä antaa meille? Tosiasia on, että mikä tahansa arvo väliltä 10 ja 100 voidaan esittää lukuna $a$, joka on jaollinen 10:llä, ja lukuna $b$, joka on 10:llä jaon loppuosa.

Esimerkiksi 28 voidaan esittää seuraavasti:

\[\begin(align)& ((28)^(2)) \\& 20+8 \\& 30-2 \\\end(tasaa)\]

Samalla tavalla esitämme loput esimerkit:

\[\begin(align)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\& 60-9 \\\end(tasaa)\]

\[\begin(align)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\& 50-8 \\\end(tasaa)\]

\[\begin(align)& ((77)^(2)) \\& 70+7 \\& 80-3 \\\end(tasaa)\]

\[\begin(align)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\& 30-9 \\\end(tasaa)\]

\[\begin(align)& ((26)^(2)) \\& 20+6 \\& 30-4 \\\end(tasaa)\]

\[\begin(align)& ((39)^(2)) \\& 30+9 \\& 40-1 \\\end(tasaa)\]

\[\begin(align)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\& 90-9 \\\end(tasaa)\]

Mistä saamme sellaisen käsityksen? Tosiasia on, että summalla tai erolla voimme soveltaa yllä olevia laskelmia. Tietenkin laskutoimitusten lyhentämiseksi jokaiselle elementille tulee valita lauseke, jolla on pienin sekunti termi. Esimerkiksi $20+8$ ja $30-2$ vaihtoehdoista kannattaa valita $30-2$ vaihtoehto.

Samalla tavalla valitsemme vaihtoehdot muille esimerkeille:

\[\begin(align)& ((28)^(2)) \\& 30-2 \\\end(tasaa)\]

\[\begin(align)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\\end(tasaa)\]

\[\begin(align)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\\end(tasaa)\]

\[\begin(align)& ((77)^(2)) \\& 80-3 \\\end(tasaa)\]

\[\begin(align)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\\end(tasaa)\]

\[\begin(align)& ((26)^(2)) \\& 30-4 \\\end(tasaa)\]

\[\begin(align)& ((39)^(2)) \\& 40-1 \\\end(tasaa)\]

\[\begin(align)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\\end(tasaa)\]

Miksi pitäisi pyrkiä vähentämään toista toimikautta klo nopea kertolasku? Kyse on summan ja eron neliön alkuperäisistä laskelmista. Tosiasia on, että plus- tai miinustermi $2ab$ on vaikein laskea todellisia ongelmia ratkaistaessa. Ja jos kerroin $a$, 10:n kerrannainen, kerrotaan aina helposti, niin kertoimella $b$, joka on luku väliltä 1-10, monilla opiskelijoilla on säännöllisesti vaikeuksia.

\[{{28}^{2}}={{(30-2)}^{2}}=200-120+4=784\]

\[{{51}^{2}}={{(50+1)}^{2}}=2500+100+1=2601\]

\[{{42}^{2}}={{(40+2)}^{2}}=1600+160+4=1764\]

\[{{77}^{2}}={{(80-3)}^{2}}=6400-480+9=5929\]

\[{{21}^{2}}={{(20+1)}^{2}}=400+40+1=441\]

\[{{26}^{2}}={{(30-4)}^{2}}=900-240+16=676\]

\[{{39}^{2}}={{(40-1)}^{2}}=1600-80+1=1521\]

\[{{81}^{2}}={{(80+1)}^{2}}=6400+160+1=6561\]

Joten kolmessa minuutissa teimme kahdeksan esimerkin kertolaskua. Tämä on alle 25 sekuntia lauseketta kohden. Todellisuudessa pienen harjoittelun jälkeen lasket vielä nopeammin. Kaksinumeroisen lausekkeen laskeminen vie korkeintaan viisi tai kuusi sekuntia.

Mutta siinä ei vielä kaikki. Niille, joille esitetty tekniikka ei vaikuta tarpeeksi nopealta ja ei tarpeeksi viileältä, suosittelen vielä enemmän nopea tapa kertolasku, joka ei kuitenkaan toimi kaikissa tehtävissä, vaan vain niille, jotka eroavat yhdellä luvun 10 kerrannaisista. Oppitunnillamme on neljä tällaista arvoa: 51, 21, 81 ja 39.

Se näyttäisi paljon nopeammalta, laskemme ne jo kirjaimellisesti pariin riviin. Mutta itse asiassa on mahdollista kiihtyä, ja tämä tehdään seuraavasti. Kirjoitamme muistiin arvon, kymmenen kerrannaisen, joka on lähimpänä haluttua arvoa. Otetaan esimerkiksi 51. Siksi nostamme aluksi viisikymmentä:

\[{{50}^{2}}=2500\]

Arvot, jotka ovat kymmenen kerrannaisia, on paljon helpompi neliöttää. Ja nyt lisäämme yksinkertaisesti viisikymmentä ja 51 alkuperäiseen lausekkeeseen. Vastaus on sama:

\[{{51}^{2}}=2500+50+51=2601\]

Ja niin kaikilla numeroilla, jotka eroavat yhdellä.

Jos etsimämme arvo on suurempi kuin luulemme, lisäämme numerot tuloksena olevaan neliöön. Jos haluttu luku on pienempi, kuten 39, niin toimintoa suoritettaessa arvo on vähennettävä neliöstä. Harjoitellaan ilman laskinta:

\[{{21}^{2}}=400+20+21=441\]

\[{{39}^{2}}=1600-40-39=1521\]

\[{{81}^{2}}=6400+80+81=6561\]

Kuten näet, vastaukset ovat kaikissa tapauksissa samat. Lisäksi, tätä tekniikkaa sovelletaan kaikkiin viereisiin arvoihin. Esimerkiksi:

\[\begin(align)& ((26)^(2))=625+25+26=676 \\& 26=25+1 \\\end(tasaa)\]

Samanaikaisesti meidän ei tarvitse muistaa summan ja erotuksen neliöiden laskelmia ollenkaan ja käyttää laskinta. Työn nopeus on kiitettävä. Muista siis, harjoittele ja käytä käytännössä.

Avainkohdat

Tällä tekniikalla voit helposti kertoa minkä tahansa luonnolliset luvut 10-100. Lisäksi kaikki laskelmat suoritetaan suullisesti, ilman laskinta ja jopa ilman paperia!

Muista ensin arvojen neliöt, jotka ovat 10:n kerrannaisia:

\[\begin(align)& ((10)^(2))=100,((20)^(2))=400,((30)^(2))=900,..., \\ & ((80)^(2))=6400,((90)^(2))=8100. \\\end(tasaa)\]

\[\begin(align)& ((34)^(2))=(((30+4))^(2))=((30)^(2))+2\cdot 30\cdot 4+ ((4)^(2))= \\& =900+240+16=1156; \\\end(tasaa)\]

\[\begin(align)& ((27)^(2))=(((30-3))^(2))=((30)^(2))-2\cdot 30\cdot 3+ ((3)^(2))= \\& =900-180+9=729. \\\end(tasaa)\]

Kuinka laskea vielä nopeammin

Mutta ei siinä vielä kaikki! Näitä lausekkeita käyttämällä voit välittömästi neliöidä numerot, jotka ovat "vierekkäin" viitelukujen kanssa. Esimerkiksi tiedämme 152 (viitearvo), mutta meidän on löydettävä 142 (viereinen luku, joka on yksi pienempi kuin viite). Kirjoitetaan:

\[\begin(align)& ((14)^(2))=((15)^(2))-14-15= \\& =225-29=196. \\\end(tasaa)\]

Huomaa: ei mystiikkaa! Lukujen neliöt, jotka eroavat 1:llä, saadaan todellakin kertomalla viitenumerot itsellään vähentämällä tai lisäämällä kaksi arvoa:

\[\begin(align)& ((31)^(2))=((30)^(2))+30+31= \\& =900+61=961. \\\end(tasaa)\]

Miksi tämä tapahtuu? Kirjataan muistiin summan (ja erotuksen) neliön kaava. Olkoon $n$ viitearvomme. Sitten ne lasketaan näin:

\[\begin(align)& (((n-1))^(2))=(n-1)(n-1)= \\& =(n-1)\cdot n-(n-1) )= \\& ==((n)^(2))-n-(n-1) \\\end(tasaa)\]

- tämä on kaava.

\[\begin(align)& (((n+1))^(2))=(n+1)(n+1)= \\& =(n+1)\cdot n+(n+1) = \\& =((n)^(2))+n+(n+1) \\\end(tasaa)\]

- samanlainen kaava numeroille, jotka ovat suurempia kuin 1.

Toivon, että tämä tekniikka säästää aikaasi kaikissa tärkeissä matematiikan kokeissa ja kokeissa. Ja siinä kaikki minulle. Nähdään!

Neliöinti kolminumeroisia lukuja- vaikuttava esitys henkisen magian taidosta. Aivan kuten kaksinumeroista lukua neliöitäessä, se pyöristetään ylöspäin tai pienempi puoli saadaksesi 10:n kerrannaisen, kolminumeroisen luvun neliöimiseksi, sinun on pyöristettävä se ylös- tai alaspäin saadaksesi 100:n kerrannainen. Nelitetään luku 193.

Pyöristämällä 193:sta 200:aan (toisesta tekijästä tuli 186), 3x3-ongelmasta tuli enemmän yksinkertainen tyyppi"3 x 1", koska 200 x 186 on vain 2 x 186 = 372, jossa on kaksi nollaa lopussa. Melkein valmis! Nyt sinun tarvitsee vain lisätä 7 2 = 49 ja saada vastaus - 37249.

Yritetään neliöttää 706.

Kun pyöristät luvun 706 700:aan, sinun on myös muutettava sama luku 6:lla, jotta saat 712:n.

Koska 712 x 7 = 4984 (yksinkertainen 3-on-1-tehtävä), 712 x 700 = 498 400. Lisäämällä 62 = 36 saadaan 498 436.

Viimeisimmät esimerkit eivät ole niin pelottavia, koska ne eivät sisällä lisäystä sellaisenaan. Lisäksi tiedät ulkoa, mitä 6 2 ja 7 2 ovat yhtä suuria. Yli 10 yksikön päässä olevan luvun neliöinti 100:n kerrannaisesta on paljon vaikeampaa. Kokeile kättäsi 314 2:lla.

Tässä esimerkissä lukua 314 pienennetään 14:llä pyöristetään 300:aan ja lisätään 14:llä 328:aan. Kerro 328 x 3 = 984 ja lisää kaksi nollaa loppuun saadaksesi 98 400. Lisää sitten neliö 14. Jos tulet heti muistaa (kiitos muistista tai nopeista laskelmista), että 14 2 = 196, niin olet hyvässä kunnossa. Lisää sitten 98 400 + 196 saadaksesi lopullisen vastauksen 98 596.

Jos tarvitset aikaa 142:n laskemiseen, toista "98400" useita kertoja ennen kuin jatkat. Muussa tapauksessa voit laskea 14 2 \u003d 196 ja unohtaa, mihin numeroon sinun on lisättävä tuote.

Jos sinulla on yleisö, johon haluat tehdä vaikutuksen, voit sanoa "279 000" ääneen ennen kuin löydät 292. Mutta se ei toimi jokaisessa ratkaisemassasi ongelmassa.

Kokeile esimerkiksi neliöintiä 636.

Nyt aivosi todella toimivat, eikö niin?

Muista toistaa "403200" itsellesi muutaman kerran, kun kirjoitat ruudun 36 tavalliseen tapaan saadaksesi 1296. Vaikein osuus on 1296 + 403200 lisääminen. Tee tämä numero kerrallaan vasemmalta oikealle, niin saat vastauksen 404496 Sanon sanani, että kun olet perehtynyt kaksinumeroisten lukujen neliöintiin, kolminumeroiset tehtävät helpottuvat paljon.

Tässä lisää monimutkainen esimerkki: 863 2 .

Ensimmäinen ongelma on päättää, mitkä luvut kerrotaan. Epäilemättä yksi niistä on 900 ja toinen yli 800. Mutta mikä? Tämä voidaan laskea kahdella tavalla.

1. Vaikeamman kautta: ero 863:n ja 900:n välillä on 37 (täydennä 63:lla), vähennä 37 863:sta ja saat 826.

2. Helppo tapa: tuplaa luku 63, saamme 126, nyt lisäämme tämän luvun kaksi viimeistä numeroa numeroon 800, joka antaa lopulta 826.

Näin se toimii helppo tie. Koska molemmilla luvuilla on sama ero luvun 863 kanssa, niiden summan tulee olla kaksi kertaa luku 863, eli 1726. Toinen luvuista on 900, joten toinen on yhtä suuri kuin 826.

Sitten suoritamme seuraavat laskelmat.

Jos sinulla on vaikeuksia muistaa 743 400 neliöinnin jälkeen 37, älä lannistu. Seuraavissa luvuissa opit muistotekniikan ja opit muistamaan tällaiset numerot.

Kokeile käsiäsi tähän mennessä vaikeimmassa tehtävässä - luvun 359 neliöimisessä.

Saadaksesi 318, joko vähennä 41 (59:n komplementti) luvusta 359 tai kerro 2 x 59 = 118 ja käytä kahta viimeistä numeroa. Kerro seuraavaksi 400 x 318 = 127 200. Lisäämällä tähän numeroon 412 = 1681, saadaan yhteensä 128 881. Siinä kaikki! Jos teit kaiken oikein ensimmäisellä kerralla, hyvin tehty!

Lopetetaan tämä suuri jakso, mutta helppo tehtävä: laske 987 2 .

HARJOITUS: KOLMENUMEROT NELIÖN

1. 409 2 2. 805 2 3. 217 2 4. 896 2

5. 345 2 6. 346 2 6. 276 2 8. 682 2

9. 413 2 10. 781 2 11. 975 2

Mitä on oven numero 1 takana?

Vuoden 1991 matemaattinen banaalisuus, joka hämmästytti kaikkia, oli Marilyn Savantin - naisen, jolla on maailman korkein älykkyysosamäärä (joka on rekisteröity Guinnessin ennätysten kirjaan) - artikkeli Parade-lehdessä. Tämä paradoksi on tullut tunnetuksi "Monty Hall -ongelmana" ja se on seuraava.

Osallistut Monty Hallin Let's Make a Deal -ohjelmaan. Isäntä antaa sinulle mahdollisuuden valita yhden kolmesta ovesta, joista yhden takana on iso palkinto, kahden muun takana - vuohet. Oletetaan, että valitset oven numero 2. Mutta ennen kuin hän näyttää mitä oven takana on, Monty avaa oven numero 3. Siellä on vuohi. Nyt Monty kysyy kiusaavalla tavallaan: haluatko avata oven numero 2 vai uskaltaako nähdä mitä oven numero 1 takana on? Mitä sinun pitäisi tehdä? Olettaen, että Monty aikoo kertoa sinulle, missä pääpalkinto ei ole, hän avaa aina yhden "lohdutusovista". Tämä jättää sinulle valinnanvaran: yksi ovi suurella palkinnolla ja toinen lohdutus. Nyt mahdollisuutesi ovat 50/50, eikö?

Mutta ei! Mahdollisuus, että osuit oikein ensimmäisellä kerralla, on edelleen 1:3. Mahdollisuus, että suuri palkinto on toisen oven takana, kasvaa 2/3:een, koska todennäköisyyksien pitäisi olla 1.

Näin ollen, kun muutat valintaasi, tuplaat mahdollisuutesi voittaa! (Ongelma olettaa, että Monty antaa pelaajalle aina mahdollisuuden tehdä uusi valinta, jossa näkyy "ei-voittava" ovi, ja kun ensimmäinen valintasi on oikea, avaa "ei-voittaneen" oven satunnaisesti.) Ajattele peliä, jossa on kymmenen ovea. Ensimmäisen valinnan jälkeen anna isännän avata kahdeksan "ei-voittavaa" ovea. Täällä vaistosi edellyttävät todennäköisesti oven vaihtamista. Ihmiset tekevät yleensä sen virheen luullessaan, että jos Monty Hall ei tiedä missä pääpalkinto on ja avaa oven nro 3, joka päätyy vuohiin (vaikka siellä saattaa olla palkinto), niin ovella 1 on 50 prosentin mahdollisuus olla oikea. Tällainen perustelu on ristiriidassa maalaisjärkeä Marilyn Savant sai kuitenkin kasoittain kirjeitä (monet tiedemiehiltä ja jopa matemaatikoilta), joiden mukaan hänen ei olisi pitänyt kirjoittaa matematiikasta. Tietysti kaikki nämä ihmiset olivat väärässä.

Tarkastellaan nyt binomin neliöintiä ja aritmeettista näkökulmaa soveltaen puhutaan summan neliöstä eli (a + b)² ja kahden luvun eron neliöstä, eli (a - b)² .

Koska (a + b)² = (a + b) ∙ (a + b),

niin saadaan: (a + b) ∙ (a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b², ts.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Tämä tulos on hyödyllistä muistaa sekä yllä olevan yhtälön muodossa että sanoilla: kahden luvun summan neliö on yhtä suuri kuin neliö ensimmäinen luku plus kahden kertaa ensimmäisen luvun tulo ja toisen luvun tulo plus toisen luvun neliö.

Kun tiedämme tämän tuloksen, voimme heti kirjoittaa esimerkiksi:

(x + y)² = x² + 2xy + y²
(3ab + 1)² = 9a² b² + 6ab + 1

(x n + 4x)² = x 2n + 8x n+1 + 16x 2

Katsotaanpa toista näistä esimerkeistä. Meidän on neliötettävä kahden luvun summa: ensimmäinen luku on 3ab, toinen on 1. Sen pitäisi olla: 1) ensimmäisen luvun neliö, eli (3ab)², joka on yhtä suuri kuin 9a²b²; 2) kahden ensimmäisen ja toisen tulo, eli 2 ∙ 3ab ∙ 1 = 6ab; 3) toisen luvun neliö, eli 1² \u003d 1 - kaikki nämä kolme termiä on laskettava yhteen.

Samalla tavalla saamme kaavan kahden luvun eron neliöimiseksi, eli (a - b)²:

(a - b)² = (a - b) (a - b) = a² - ab - ab + b² = a² - 2ab + b².

(a - b)² = a² - 2ab + b²,

eli kahden luvun erotuksen neliö on yhtä suuri kuin ensimmäisen luvun neliö, josta on vähennetty kahden ensimmäisen ja toisen luvun tulo plus toisen luvun neliö.

Kun tiedämme tämän tuloksen, voimme välittömästi suorittaa binomiaalien neliöinnin, jotka edustavat aritmeettisesti kahden luvun erotusta.

(m - n)² = m² - 2mn + n²
(5ab 3 - 3a 2 b) 2 = 25a 2 b 6 - 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2

(a n-1 - a) 2 \u003d a 2n-2 - 2a n + a 2 jne.

Selitetään toinen esimerkki. Tässä on suluissa kahden luvun ero: ensimmäinen numero 5ab 3 ja toinen numero 3a 2 b. Tuloksen tulee olla: 1) ensimmäisen luvun neliö, eli (5ab 3) 2 = 25a 2 b 6, 2) kahden tulo 1. ja 2. luvulla, eli 2 ∙ 5ab 3 ∙ 3a 2 b = 30a 3 b 4 ja 3) toisen luvun neliö, eli (3a 2 b) 2 = 9a 4 b 2; ensimmäinen ja kolmas termi on otettava plussalla ja toinen miinuksella, saamme 25a 2 b 6 - 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2. Neljännen esimerkin selventämiseksi huomioimme vain, että 1) (a n-1)2 = a 2n-2 ... eksponentti on kerrottava 2:lla ja 2) kahden tulo ensimmäisellä luvulla ja 2. = 2 ∙ a n-1 ∙ a = 2a n .

Jos tarkastelemme algebran näkökulmaa, niin molemmat yhtäläisyydet: 1) (a + b)² = a² + 2ab + b² ja 2) (a - b)² = a² - 2ab + b² ilmaisevat saman asian, nimittäin: binomiaalin neliö on yhtä kuin ensimmäisen termin neliö plus luvun (+2) tulo kerrottuna ensimmäinen termi ja toinen termi plus toisen termin neliö. Tämä on selvää, koska tasa-arvomme voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

1) (a + b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (+b) + (+b)²
2) (a - b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (-b) + (-b)²

Joissakin tapauksissa on kätevää tulkita saadut yhtäläisyydet näin:

(–4a – 3b)² = (–4a)² + (+2) (–4a) (–3b) + (–3b)²

Tässä neliötetään binomi, jonka ensimmäinen termi = -4a ja toinen = -3b. Sitten saadaan (-4a)² = 16a², (+2) (-4a) (-3b) = +24ab, (-3b)² = 9b² ja lopuksi:

(-4a - 3b)² = 6a² + 24ab + 9b²

Olisi myös mahdollista saada ja muistaa kaava trinomin, neliön ja yleensä minkä tahansa polynomin neliöimiseksi. Emme kuitenkaan tee näin, koska näitä kaavoja joutuu käyttämään harvoin, ja jos joudumme neliöimään minkä tahansa polynomin (paitsi binomia), niin pelkistetään asia kertolaskuksi. Esimerkiksi:

31. Käytä saatuja 3 yhtäläisyyttä, nimittäin:

(a + b) (a - b) = a² - b²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²

aritmetiikkaan.

Olkoon se 41 ∙ 39. Sitten voimme esittää sen muodossa (40 + 1) (40 - 1) ja pelkistää asian ensimmäiseen yhtälöön - saamme 40² - 1 tai 1600 - 1 = 1599. Tämän ansiosta on helppo tehdä kertolaskuja, kuten 21 ∙ 19; 22 ∙ 18; 31 ∙ 29; 32 ∙ 28; 71 ∙ 69 jne.

Olkoon se 41 ∙ 41; se on sama kuin 41² tai (40 + 1)² = 1600 + 80 + 1 = 1681. Myös 35 ∙ 35 = 35² = (30 + 5)² = 900 + 300 + 25 = 1225. Jos tarvitset 37 ∙ 37 silloin se on yhtä suuri kuin (40 - 3)² = 1600 - 240 + 9 = 1369. Tällaiset kertolasku (tai kaksinumeroisten lukujen neliöinti) on helppo suorittaa tietyllä taidolla mielessä.