Lopulta sain käsiini laajan ja kauan odotetun aiheen analyyttinen geometria . Ensinnäkin vähän tästä korkeamman matematiikan osasta…. Varmasti nyt muistit koulun geometrian kurssin lukuisine lauseineen, niiden todistukset, piirustukset jne. Mitä salata, ei-rakastettu ja usein hämärä aihe merkittävälle osalle opiskelijoista. Analyyttinen geometria, omituista kyllä, saattaa tuntua kiinnostavammalta ja helpommalta. Mitä adjektiivi "analyyttinen" tarkoittaa? Välittömästi tulee mieleen kaksi leimattua matemaattista lausetta: "graafinen ratkaisumenetelmä" ja " analyyttinen menetelmä ratkaisuja". Graafinen menetelmä liittyy tietysti kaavioiden, piirustusten rakentamiseen. Analyyttinen sama menetelmä sisältää ongelmanratkaisun pääasiassa kautta algebralliset operaatiot. Tältä osin algoritmi lähes kaikkien analyyttisen geometrian ongelmien ratkaisemiseksi on yksinkertainen ja läpinäkyvä, sitä on usein melko tarkka soveltaa. tarvittavat kaavat- ja vastaus on valmis! Ei, tietenkään, se ei tule ollenkaan ilman piirustuksia, lisäksi yritän tuoda ne yli tarpeen materiaalin ymmärtämiseksi.

Geometrian oppituntien avoin kurssi ei vaadi teoreettista täydellisyyttä, se keskittyy käytännön ongelmien ratkaisemiseen. Otan luennoilleni vain sen, mikä on omasta näkökulmastani tärkeää käytännössä. Jos tarvitset lisää täysi apu missä tahansa alaosiossa suosittelen seuraavaa kokonaan saatavilla olevaa kirjallisuutta:

1) Asia, joka, ei vitsi, on tuttu useille sukupolville: Geometrian koulukirja, kirjailijat - L.S. Atanasyan ja yritys. Tämä koulun pukuhuoneen ripustin on kestänyt jo 20 (!) uusintajulkaisua, mikä ei tietenkään ole raja.

2) Geometria 2 osassa. Kirjailijat L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Tämä on kirjallisuutta varten lukio, tarvitset ensimmäinen osa. Harvoin esiintyvät tehtävät voivat pudota näkökentältäni ja opetusohjelma tarjoaa korvaamatonta apua.

Molemmat kirjat ovat ladattavissa ilmaiseksi verkosta. Voit myös käyttää arkistoani kanssa valmiita ratkaisuja, joka löytyy sivulta Lataa korkeamman matematiikan esimerkkejä.

Työkaluista tarjoan jälleen omaa kehitystäni - ohjelmistopaketti analyyttiselle geometrialle, mikä yksinkertaistaa huomattavasti elämää ja säästää paljon aikaa.

Lukijan oletetaan tuntevan perusasiat geometrisia käsitteitä ja hahmot: piste, viiva, taso, kolmio, suuntaviiva, suuntaissärmiö, kuutio jne. On suositeltavaa muistaa joitain lauseita, ainakin Pythagoraan lause, hei toistimet)

Ja nyt tarkastelemme peräkkäin: vektorin käsitettä, vektoreita koskevia toimia, vektorin koordinaatteja. Lisäksi suosittelen lukemista tärkein artikkeli Vektorien pistetulo, yhtä hyvin kuin Vektori ja vektorien sekatulo. Paikallinen tehtävä ei ole tarpeeton - segmentin jako tässä suhteessa. Yllä olevien tietojen perusteella voit tasossa olevan suoran yhtälö kanssa yksinkertaisimmat esimerkit ratkaisuista, mikä mahdollistaa oppia ratkaisemaan geometrian ongelmia. Myös seuraavat artikkelit ovat hyödyllisiä: Tason yhtälö avaruudessa, Suoran yhtälöt avaruudessa, Perustehtävät viivalla ja tasolla , muut analyyttisen geometrian osat. Luonnollisesti vakiotehtävät huomioidaan matkan varrella.

Vektorin käsite. ilmainen vektori

Ensin toistetaan vektorin koulun määritelmä. Vektori nimeltään ohjattu segmentti, jonka alku ja loppu on merkitty:

AT Tämä tapaus janan alku on piste, janan loppu on piste. Itse vektoria merkitään . Suunta on välttämätöntä, jos järjestät nuolen uudelleen segmentin toiseen päähän, saat vektorin, ja tämä on jo täysin eri vektori. On kätevää tunnistaa vektorin käsite liikkeestä fyysinen keho: suostua, mennä instituutin ovista tai lähteä instituutin ovista ovat täysin eri asioita.

On kätevää tarkastella tason yksittäisiä pisteitä, avaruutta ns nolla vektori. Tällaisella vektorilla on sama loppu ja alku.

!!! Huomautus: Tässä ja alla voidaan olettaa, että vektorit ovat samassa tasossa tai voit olettaa, että ne sijaitsevat avaruudessa - esitetyn materiaalin olemus pätee sekä tasoon että avaruuteen.

Nimitykset: Monet kiinnittivät heti huomion keppiin, joissa ei ollut nuolta nimikkeessä, ja sanoivat, että he laittoivat myös nuolen yläosaan! Aivan oikein, voit kirjoittaa nuolella: , mutta sallittu ja tallenne, jota käytän myöhemmin. Miksi? Ilmeisesti tällainen tapa on kehittynyt käytännön syistä, ampujani koulussa ja yliopistossa osoittautuivat liian monipuolisiksi ja pörröisiksi. AT opetuskirjallisuutta joskus he eivät välitä nuolenkirjoituksesta ollenkaan, vaan korostavat kirjaimia lihavoituna: , mikä tarkoittaa, että se on vektori.

Tämä oli tyyli, ja nyt vektorien kirjoitustavoista:

1) Vektorit voidaan kirjoittaa kahdella isolla latinalaiskirjaimella:
jne. Vaikka ensimmäinen kirjain välttämättä tarkoittaa vektorin aloituspistettä ja toinen kirjain tarkoittaa vektorin loppupistettä.

2) Vektorit kirjoitetaan myös pienillä latinalaisilla kirjaimilla:
Erityisesti vektoriamme voidaan merkitä uudelleen lyhyyden vuoksi pienellä Latinalainen kirjain.

Pituus tai moduuli nollasta poikkeavaa vektoria kutsutaan segmentin pituudeksi. Nollavektorin pituus on nolla. Loogisesti.

Vektorin pituus merkitään modulomerkillä: ,

Kuinka löytää vektorin pituus, opimme (tai toistamme, kenelle kuinka) hieman myöhemmin.

Se oli alkeellista tietoa vektorista, joka oli tuttu kaikille koululaisille. Analyyttisessä geometriassa ns ilmainen vektori.

Jos se on melko yksinkertaista - vektori voidaan piirtää mistä tahansa pisteestä:

Olemme tottuneet kutsumaan tällaisia ​​vektoreita yhtäläisiksi (yhtäsuuruisten vektoreiden määritelmä annetaan alla), mutta puhtaasti matemaattinen piste visio on SAMA VEKTORI tai ilmainen vektori. Miksi ilmainen? Koska tehtävien ratkaisemisen aikana voit "kiinnittää" yhden tai toisen vektorin MINKÄÄN tarvitsemasi tason tai tilan pisteeseen. Tämä on erittäin siisti omaisuus! Kuvittele mielivaltaisen pituuden ja suunnan vektori - se voidaan "kloonata" äärettömän monta kertaa ja missä tahansa pisteessä avaruudessa, itse asiassa se on olemassa KAIKKILLA. On olemassa sellainen opiskelijan sananlasku: Jokainen luennoitsija f ** u:ssa vektorissa. Loppujen lopuksi, ei vain nokkela riimi, kaikki on matemaattisesti oikein - siihen voidaan liittää myös vektori. Mutta älä kiirehdi iloitsemaan, opiskelijat itse kärsivät useammin =)

Niin, ilmainen vektori- Tämä joukko identtiset suuntaiset segmentit. koulun määritelmä vektori, joka on annettu kappaleen alussa: "Suunnattua segmenttiä kutsutaan vektoriksi ...", tarkoittaa erityistä tietystä joukosta otettu suunnattu segmentti, joka on kiinnitetty tiettyyn pisteeseen tasossa tai avaruudessa.

On huomattava, että fysiikan näkökulmasta vapaan vektorin käsite yleinen tapaus on virheellinen, ja vektorin käyttökohdalla on väliä. Todellakin, suora saman voiman isku nenään tai otsaan riittää kehittämään typerää esimerkkiäni erilaisia ​​seurauksia. Kuitenkin, ei ilmainen vektoreita löytyy myös vyshmatin aikana (älä mene sinne :)).

Toiminnot vektoreilla. Vektorien kollineaarisuus

Koulun geometrian kurssilla tarkastellaan useita vektoreilla varustettuja toimintoja ja sääntöjä: yhteenlasku kolmiosäännön mukaan, yhteenlasku suuntaviivasäännön mukaan, vektorien eron sääntö, vektorin kertominen luvulla, vektorien skalaaritulo jne. Siemenenä toistamme kaksi sääntöä, jotka ovat erityisen tärkeitä analyyttisen geometrian ongelmien ratkaisemisessa.

Vektorien summaussääntö kolmioiden säännön mukaan

Tarkastellaan kahta mielivaltaista nollasta poikkeavaa vektoria ja :

On tarpeen löytää näiden vektorien summa. Koska kaikkia vektoreita pidetään vapaina, siirrämme vektoria alkaen loppu vektori:

Vektorien summa on vektori . Säännön ymmärtämiseksi paremmin on suositeltavaa laittaa siihen fyysinen merkitys: antaa jonkin kappaleen tehdä polku vektoria pitkin ja sitten vektoria pitkin. Tällöin vektorien summa on tuloksena olevan polun vektori, joka alkaa lähtöpisteestä ja päättyy saapumispisteeseen. Samanlainen sääntö on muotoiltu minkä tahansa vektorien määrän summalle. Kuten sanotaan, keho voi kulkea tiensä vahvasti siksakissa tai ehkä autopilotissa - tuloksena olevaa summavektoria pitkin.

Muuten, jos vektoria lykätään alkaa vektori , niin saamme vastineen suunnikassääntö vektorien lisääminen.

Ensinnäkin vektorien kollineaarisuudesta. Näitä kahta vektoria kutsutaan kollineaarinen jos ne sijaitsevat samalla linjalla tai yhdensuuntaisilla linjoilla. Karkeasti sanottuna puhumme rinnakkaisista vektoreista. Mutta suhteessa niihin käytetään aina adjektiivia "kollineaarinen".

Kuvittele kaksi kollineaarista vektoria. Jos näiden vektorien nuolet on suunnattu samaan suuntaan, niin tällaisia ​​vektoreita kutsutaan yhteissuuntainen. Jos nuolet osoittavat eri puolia, silloin vektorit ovat vastakkaiseen suuntaan.

Nimitykset: vektorien kollineaarisuus kirjoitetaan tavallisella rinnakkaiskuvakkeella: , kun taas yksityiskohdat ovat mahdollisia: (vektorit ovat yhdessä suunnattuja) tai (vektorit on suunnattu vastakkain).

tehdä työtä Nollasta poikkeavan vektorin numero on vektori, jonka pituus on yhtä suuri kuin , ja vektorit ja ovat yhdessä suunnattu ja vastakkaisesti suunnattu .

Sääntö vektorin kertomisesta luvulla on helpompi ymmärtää kuvan avulla:

Ymmärrämme tarkemmin:

1) Suunta. Jos kerroin on negatiivinen, niin vektori muuttaa suuntaa päinvastoin.

2) Pituus. Jos tekijä on sisällä tai , niin vektorin pituus vähenee. Joten vektorin pituus on kaksi kertaa pienempi kuin vektorin pituus. Jos modulokerroin on suurempi kuin yksi, niin vektorin pituus lisääntyy ajallaan.

3) Huomaa tämä kaikki vektorit ovat kollineaarisia, kun taas yksi vektori ilmaistaan ​​toisen kautta, esimerkiksi . Päinvastoin on myös totta: jos yksi vektori voidaan ilmaista toisella, niin tällaiset vektorit ovat välttämättä kollineaarisia. Täten: jos kerromme vektorin luvulla, saadaan kollineaari(alkuperäiseen verrattuna) vektori.

4) Vektorit ovat samansuuntaisia. Vektorit ja ovat myös samansuuntaisia. Mikä tahansa ensimmäisen ryhmän vektori on vastakkainen toisen ryhmän mille tahansa vektorille.

Mitkä vektorit ovat yhtä suuria?

Kaksi vektoria ovat yhtä suuret, jos ne ovat samansuuntaisia ​​ja niillä on sama pituus. Huomaa, että yhteissuuntaus tarkoittaa, että vektorit ovat kollineaarisia. Määritelmä on epätarkka (redundantti), jos sanot: "Kaksi vektoria ovat yhtä suuret, jos ne ovat kollineaarisia, yhteissuuntautuneita ja niillä on sama pituus."

Vapaan vektorin käsitteen näkökulmasta yhtäläiset vektorit ovat samat vektorit, mistä puhuttiin jo edellisessä kappaleessa.

Vektorikoordinaatit tasossa ja avaruudessa

Ensimmäinen kohta on tarkastella vektoreita tasossa. Kuvataanpa karteesista suorakaiteen muotoinen järjestelmä koordinaatit ja origosta, jonka jätimme sivuun yksittäinen vektorit ja:

Vektorit ja ortogonaalinen. Ortogonaalinen = kohtisuora. Suosittelen pikkuhiljaa totuttelua termeihin: yhdensuuntaisuuden ja kohtisuoran sijasta käytämme sanoja vastaavasti kollineaarisuus ja ortogonaalisuus.

Nimitys: vektorien ortogonaalisuus kirjoitetaan tavallisella kohtisuoralla merkillä, esimerkiksi: .

Tarkasteltuja vektoreita kutsutaan koordinaattivektorit tai orts. Nämä vektorit muodostuvat perusta pinnalla. Se, mikä on perusta, on mielestäni intuitiivisesti selvää monille ja muille yksityiskohtainen tieto löytyy artikkelista Vektorien lineaarinen (ei) riippuvuus. Vektoripohjalta.Yksinkertaisin sanoin, koordinaattien perusta ja alkuperä asettavat koko järjestelmän - tämä on eräänlainen perusta, jolla täydellinen ja rikas geometrinen elämä kiehuu.

Joskus konstruoitua perustaa kutsutaan ortonormaali tason perusta: "ortho" - koska koordinaattivektorit ortogonaalinen, adjektiivi "normalisoitu" tarkoittaa yksittäistä, ts. kantavektoreiden pituudet ovat yhtä suuria kuin yksi.

Nimitys: peruste on yleensä kirjoitettu suluissa, jonka sisällä tiukassa järjestyksessä kantavektorit on lueteltu, esimerkiksi: . Koordinaattivektorit se on kielletty vaihtaa paikkoja.

Minkä tahansa tasovektori ainoa tapa ilmaistu:
, missä - numeroita, joita kutsutaan vektorin koordinaatit tällä perusteella. Mutta itse ilmaisu nimeltään vektorin hajoaminenperusta .

Tarjottu illallinen:

Aloitetaan aakkosten ensimmäisellä kirjaimella: . Piirustuksessa näkyy selvästi, että kun vektoria hajotetaan perusteen suhteen, käytetään juuri tarkasteltuja:
1) sääntö vektorin kertomisesta luvulla: ja ;
2) vektorien yhteenlasku kolmiosäännön mukaan: .

Aseta nyt henkisesti sivuun vektori mistä tahansa muusta tason pisteestä. On aivan ilmeistä, että hänen korruptionsa "seuraa häntä hellittämättä". Tässä se on, vektorin vapaus - vektori "kantaa kaiken mukanasi". Tämä ominaisuus pätee tietysti mille tahansa vektorille. Hassua, että itse perus (vapaat) vektorit eivät tarvitse olla syrjään origosta, yksi voidaan piirtää esim. vasempaan alareunaan ja toinen oikeaan yläreunaan, eikä mikään tästä muutu! Totta, sinun ei tarvitse tehdä tätä, koska opettaja osoittaa myös omaperäisyyttä ja tekee sinulle "passin" odottamattomassa paikassa.

Vektorit havainnollistavat tarkalleen sääntöä vektorin kertomisesta luvulla, vektori on suunnattu yhdessä kantavektorin kanssa, vektori on suunnattu vastapäätä kantavektoria . Näille vektoreille yksi koordinaateista on nolla, se voidaan kirjoittaa huolellisesti seuraavasti:


Ja kantavektorit ovat muuten tällaiset: (itse asiassa ne ilmaistaan ​​itsensä kautta).

Ja lopuksi: , . Muuten, mitä on vektorivähennys, ja miksi en kertonut sinulle vähennyssäännöstä? Jossain sisällä lineaarialgebra, en muista missä, huomasin, että vähennys on erityinen yhteenlaskutapaus. Joten vektorien "de" ja "e" laajennukset kirjoitetaan rauhallisesti summana: . Järjestä termit paikoilleen ja seuraa piirustusta kuinka selkeästi vanha kunnon vektoreiden yhteenlasku kolmiosäännön mukaan toimii näissä tilanteissa.

Tarkastellaan muodon hajoamista kutsutaan joskus vektorihajotukseksi järjestelmässä ort(eli yksikkövektorijärjestelmässä). Mutta tämä ei ole ainoa tapa kirjoittaa vektori, seuraava vaihtoehto on yleinen:

Tai yhtäläisyysmerkillä:

Itse kantavektorit kirjoitetaan seuraavasti: ja

Eli vektorin koordinaatit on merkitty suluissa. AT käytännön tehtäviä Kaikki kolme vaihtoehtoa ovat käytössä.

Epäilin puhuakseni, mutta sanon silti: vektorin koordinaatteja ei voi järjestää uudelleen. Ehdottomasti ykkössijalla kirjoita muistiin koordinaatti, joka vastaa yksikkövektoria, tiukasti toisella sijalla kirjoita muistiin koordinaatti, joka vastaa yksikkövektoria. Todellakin, ja ovat kaksi eri vektoria.

Selvitimme lentokoneen koordinaatit. Harkitse nyt vektoreita kolmiulotteisessa avaruudessa, kaikki on melkein sama täällä! Vain yksi koordinaatti lisätään. Kolmiulotteisten piirustusten tekeminen on vaikeaa, joten rajoitan yhteen vektoriin, jonka yksinkertaisuuden vuoksi siirrän alkuperästä:

Minkä tahansa 3d avaruusvektori ainoa tapa laajentaa ortonormaalisesti:
, missä ovat vektorin (luvun) koordinaatit annetussa kannassa.

Esimerkki kuvasta: . Katsotaan kuinka vektoritoimintosäännöt toimivat tässä. Ensin kerrotaan vektori numerolla: (punainen nuoli), (vihreä nuoli) ja (magenta nuoli). Toiseksi tässä on esimerkki useiden, tässä tapauksessa kolmen vektorin lisäämisestä: . Summavektori alkaa kohdasta lähtökohta lähtö (vektorin alku) ja pistää viimeiseen saapumispisteeseen (vektorin loppu).

Kaikki kolmiulotteisen avaruuden vektorit ovat tietysti myös vapaita, yritä henkisesti lykätä vektoria mistä tahansa muusta pisteestä, ja ymmärrät, että sen laajeneminen "pysyy sen mukana".

Samoin kuin lentokonekotelo, kirjoittamisen lisäksi suluilla varustetut versiot ovat laajalti käytössä: joko .

Jos laajennuksesta puuttuu yksi (tai kaksi) koordinaattivektoria, laitetaan sen sijaan nollia. Esimerkkejä:
vektori (tarkasti ) - Kirjoita ylös ;
vektori (tarkasti ) - Kirjoita ylös ;
vektori (tarkasti ) - Kirjoita ylös .

Perusvektorit kirjoitetaan seuraavasti:

Tässä on ehkä kaikki minimi teoreettista tietoa tarvitaan analyyttisen geometrian ongelmien ratkaisemiseen. Ehkä termejä ja määritelmiä on liikaa, joten suosittelen tutteja lukemaan uudelleen ja ymmärtämään Tämä informaatio uudelleen. Ja se on hyödyllinen kaikille lukijoille aika ajoin viitata siihen perusoppitunti materiaalin ymmärtämiseksi paremmin. Kollineaarisuus, ortogonaalisuus, ortonormaalikanta, vektorihajotelma - näitä ja muita käsitteitä käytetään usein seuraavassa. Huomaan, että sivuston materiaalit eivät riitä teoreettisen kokeen, geometrian kollokvion läpäisemiseen, koska salaan huolellisesti kaikki lauseet (ja ilman todisteita) - vahingoksi tieteellinen tyyli esitys, mutta plussaa aiheen ymmärtämisestä. Yksityiskohtaisia ​​teoreettisia tietoja varten pyydän teitä kumartamaan professori Atanasyanille.

Siirrytään nyt käytännön osaan:

Analyyttisen geometrian yksinkertaisimmat tehtävät.
Toiminnot, joissa vektorit ovat koordinaateissa

Harkittavat tehtävät on erittäin toivottavaa oppia ratkaisemaan ne täysin automaattisesti, ja kaavat muistaa, älä edes muista sitä tarkoituksella, he muistavat sen itse =) Tämä on erittäin tärkeää, koska muut analyyttisen geometrian ongelmat perustuvat yksinkertaisimpiin alkeellisiin esimerkkeihin ja on ärsyttävää kuluttaa lisäaikaa syömään pelinappuloita. Paidan ylänappeja ei tarvitse kiinnittää, monet asiat ovat tuttuja koulusta.

Aineiston esittely tapahtuu rinnakkain - sekä tasoon että avaruuteen. Siitä syystä, että kaikki kaavat ... näet itse.

Kuinka löytää vektori, jolla on kaksi pistettä?

Jos tason ja kaksi pistettä on annettu, niin vektorilla on seuraavat koordinaatit:

Jos on annettu kaksi pistettä avaruudessa ja, niin vektorilla on seuraavat koordinaatit:

Eli vektorin lopun koordinaateista sinun on vähennettävä vastaavat koordinaatit vektorin aloitus.

Harjoittele: Kirjoita samoille pisteille kaavat vektorin koordinaattien löytämiseksi. Kaavat oppitunnin lopussa.

Esimerkki 1

Koska kaksi pistettä koneessa ja . Etsi vektorin koordinaatit

Päätös: vastaavan kaavan mukaan:

Vaihtoehtoisesti voidaan käyttää seuraavaa merkintää:

Esteetit päättävät näin:

Henkilökohtaisesti olen tottunut levyn ensimmäiseen versioon.

Vastaus:

Ehdon mukaan piirustusta ei vaadittu rakentamaan (mikä on tyypillistä analyyttisen geometrian ongelmille), mutta selittääkseni joitain kohtia nukkeille, en ole liian laiska:

On ymmärrettävä pistekoordinaattien ja vektorin koordinaattien välinen ero:

Pistekoordinaatit ovat tavanomaisia ​​koordinaatteja suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä. Varaa pisteitä varten koordinaattitaso Uskon, että jokainen voi tehdä sen 5-6 luokalla. Jokaisella pisteellä on tiukka paikka lentokoneessa, etkä voi siirtää niitä minnekään.

Saman vektorin koordinaatit on sen laajennus suhteessa perustaan ​​, tässä tapauksessa . Mikä tahansa vektori on vapaa, joten voimme tarvittaessa helposti siirtää sitä jostain muusta tason pisteestä. Mielenkiintoista on, että vektoreille et voi rakentaa akseleita ollenkaan, suorakaiteen muotoista koordinaattijärjestelmää, tarvitset vain perustan, tässä tapauksessa tason ortonormaalin kannan.

Piste- ja vektorikoordinaattien tietueet näyttävät olevan samanlaisia: , ja koordinaattien tunnetta ehdottomasti eri, ja sinun tulee olla tietoinen tästä erosta. Tämä ero pätee tietysti myös avaruuteen.

Hyvät naiset ja herrat, täytämme kätemme:

Esimerkki 2

a) Koska pistettä ja . Etsi vektorit ja .
b) Pisteitä annetaan ja . Etsi vektorit ja .
c) Koska pistettä ja . Etsi vektorit ja .
d) Pisteitä annetaan. Etsi vektoreita .

Ehkä tarpeeksi. Nämä ovat esimerkkejä varten itsenäinen ratkaisu, yritä olla laiminlyömättä niitä, se maksaa itsensä takaisin ;-). Piirustuksia ei vaadita. Ratkaisut ja vastaukset oppitunnin lopussa.

Mikä on tärkeää analyyttisen geometrian ongelmien ratkaisemisessa? On tärkeää olla ERITTÄIN VAROVAINEN välttääksesi mestarillisen "kaksi plus kaksi on nolla" -virheen. Pyydän jo etukäteen anteeksi jos tein virheen =)

Kuinka löytää segmentin pituus?

Pituus, kuten jo todettiin, osoitetaan moduulimerkillä.

Jos kaksi tason pistettä ja annetaan, janan pituus voidaan laskea kaavalla

Jos kaksi pistettä avaruudessa ja annetaan, niin janan pituus voidaan laskea kaavalla

Huomautus: Kaavat pysyvät oikeina, jos vastaavat koordinaatit vaihdetaan: ja , mutta ensimmäinen vaihtoehto on vakio

Esimerkki 3

Päätös: vastaavan kaavan mukaan:

Vastaus:

Selvyyden vuoksi teen piirustuksen

Jana - se ei ole vektori, etkä tietenkään voi siirtää sitä minnekään. Lisäksi, jos täytät piirustuksen mittakaavassa: 1 yksikkö. \u003d 1 cm (kaksi tetradisolua), niin vastaus voidaan tarkistaa tavallisella viivaimella mittaamalla suoraan segmentin pituus.

Kyllä, ratkaisu on lyhyt, mutta siinä on pari muutakin tärkeitä kohtia Haluaisin selventää:

Ensin asetimme vastauksessa mittasuhteen: "yksiköt". Kunto ei kerro MITÄ se on, millimetrejä, senttejä, metrejä tai kilometrejä. Siksi yleinen muotoilu on matemaattisesti pätevä ratkaisu: "yksiköt" - lyhennetty "yksiköiksi".

Toiseksi, toistetaan koulumateriaalia, joka on hyödyllinen paitsi harkittuun ongelmaan:

kiinnitä huomiota tärkeä tekniikka – kertoimen ottaminen juuren alta. Laskelmien tuloksena saimme tuloksen ja hyvään matemaattiseen tyyliin kuuluu tekijän poistaminen juuren alta (jos mahdollista). Prosessi näyttää tarkemmin tältä: . Tietenkään vastauksen jättäminen lomakkeeseen ei ole virhe - mutta se on ehdottomasti puute ja painava argumentti opettajan tyhmyydelle.

Tässä on muita yleisiä tapauksia:

Usein juuren alla se paljastuu tarpeeksi iso luku, Esimerkiksi . Kuinka olla tällaisissa tapauksissa? Tarkistamme laskimella, onko luku jaollinen 4:llä. Kyllä, jakaa kokonaan, näin: . Tai ehkä luku voidaan jakaa uudelleen neljällä? . Täten: . Numeron viimeinen numero on pariton, joten jakaminen 4:llä kolmatta kertaa ei selvästikään ole mahdollista. Yritetään jakaa yhdeksällä: . Tuloksena:
Valmis.

Johtopäätös: jos juuren alle saamme kokonaisluvun, jota ei voida erottaa, niin yritämme ottaa kertoimen juuren alta - tarkistamme laskimella, onko luku jaollinen: 4, 9, 16, 25, 36, 49 , jne.

Päätöksen aikana erilaisia ​​tehtäviä juuret ovat yleisiä, yritä aina poimia tekijöitä juuren alta välttääksesi huonomman pistemäärän ja turhia ongelmia viimeistellä ratkaisusi opettajan huomautuksen mukaan.

Toistetaan samaan aikaan juurien ja muiden voimien neliöinti:

Säännöt toimille, joissa on astetta yleisnäkymä löytyy osoitteesta koulun oppikirja algebrassa, mutta mielestäni annetuista esimerkeistä kaikki tai melkein kaikki on jo selvää.

Tehtävä itsenäiselle ratkaisulle segmentillä avaruudessa:

Esimerkki 4

Annetut pisteet ja . Etsi segmentin pituus.

Ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Kuinka löytää vektorin pituus?

Jos tasovektori on annettu, niin sen pituus lasketaan kaavalla.

Jos avaruusvektori on annettu, niin sen pituus lasketaan kaavalla .

Tällä oppitunnilla tarkastelemme kahta muuta operaatiota vektoreilla: vektorien ristitulo ja vektorien sekatulo (välitön linkki sitä tarvitseville). Ei hätää, joskus käy niin täydellinen onnellisuus, sitä paitsi vektorien pistetulo, tarvitaan enemmän ja enemmän. Tällainen on vektoririippuvuus. Saattaa saada vaikutelma, että olemme joutumassa analyyttisen geometrian viidakkoon. Tämä ei ole totta. Tässä korkeamman matematiikan osiossa polttopuuta on yleensä vähän, paitsi ehkä tarpeeksi Pinocchiolle. Itse asiassa materiaali on hyvin yleinen ja yksinkertainen - tuskin vaikeampi kuin sama skalaarituote, jopa tyypillisiä tehtäviä tulee olemaan vähemmän. Pääasia analyyttisessä geometriassa, kuten monet näkevät tai ovat jo nähneet, EI VÄÄRÄ LASKENTIA. Toista kuin loitsu, niin olet onnellinen =)

Jos vektorit kimaltelevat jossain kaukana, kuten salama horisontissa, sillä ei ole väliä, aloita oppitunnilla Vektorit tutille palauttaa tai ostaa takaisin perustietämys vektoreista. Valmistautuneemmat lukijat voivat tutustua tietoihin valikoivasti, yritin kerätä mahdollisimman kattavan kokoelman esimerkkejä, joita usein löytyy käytännön työ

Mikä tekee sinut onnelliseksi? Kun olin pieni, pystyin jongleeraamaan kahta ja jopa kolmea palloa. Se onnistui hyvin. Nyt ei tarvitse jongleerata ollenkaan, koska harkitsemme vain avaruusvektorit, ja tasaiset vektorit, joissa on kaksi koordinaattia, jätetään pois. Miksi? Näin nämä teot syntyivät - vektori ja sekoitettu tuote vektorit on määritelty ja toimivat kolmiulotteinen tila. Helpompaa jo!

Tässä operaatiossa, samalla tavalla kuin skalaaritulossa, kaksi vektoria. Olkoon ne katoamattomia kirjaimia.

Itse toiminta merkitty seuraavalla tavalla: . On muitakin vaihtoehtoja, mutta olen tottunut merkitsemään vektorien ristituloa tällä tavalla, in hakasulkeet ristin kanssa.

Ja heti kysymys: jos sisään vektorien pistetulo kaksi vektoria on mukana, ja tässä myös kerrotaan kaksi vektoria mikä on ero? Selkeä ero ensinnäkin TULOKSET:

Vektorien skalaaritulon tulos on NUMERO:

Vektorien ristitulon tulos on VEKTORI: , eli kerrotaan vektorit ja saadaan taas vektori. Suljettu klubi. Itse asiassa, tästä toiminnan nimi. Erilaisissa oppikirjoissa nimitykset voivat myös vaihdella, käytän kirjainta .

Ristituotteen määritelmä

Ensin tulee määritelmä kuvan kanssa, sitten kommentit.

Määritelmä: ristiintuote ei-kollineaarinen vektorit, otettu tässä järjestyksessä, on nimeltään VECTOR, pituus mikä on numeerisesti yhtä suuri kuin suunnikkaan pinta-ala, rakennettu näille vektoreille; vektori kohtisuorassa vektoreihin nähden, ja se on suunnattu siten, että pohjalla on oikea suunta:

Analysoimme määritelmää luiden mukaan, siellä on paljon mielenkiintoisia asioita!

Joten voimme korostaa seuraavia tärkeitä kohtia:

1) Lähdevektorit, merkitty punaisilla nuolilla, määritelmän mukaan ei kollineaarista. Tapahtuu kollineaariset vektorit sitä kannattaa harkita hieman myöhemmin.

2) Vektorit otettu tiukassa järjestyksessä: – "a" kerrotaan "olla", ei "olla" - "a". Vektorikertoimen tulos on VECTOR , joka on merkitty sinisellä. Jos vektorit kerrotaan käänteinen järjestys, niin saamme vektorin, joka on yhtä pitkä ja vastakkainen (punainen väri). Eli tasa-arvoa .

3) Tutustutaan nyt vektoritulon geometriseen merkitykseen. Tämä on erittäin tärkeä pointti! Sinisen vektorin PITUUS (ja siten purppuraisen vektorin ) on numeerisesti yhtä suuri kuin vektoreille rakennetun suunnikkaan ALUE. Kuvassa tämä suunnikas on varjostettu mustalla.

Huomautus : piirustus on kaavamainen, ja tietenkään ristitulon nimellispituus ei ole yhtä suuri kuin suunnikkaan pinta-ala.

Muistamme yhden geometriset kaavat: suunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri kuin tulo viereiset puolueet niiden välisen kulman sinin mukaan. Siksi edellä olevan perusteella kaava vektoritulon PITUUS laskemiseksi on pätevä:

Korostan, että kaavassa puhumme vektorin PITUUDESTA, emme itse vektorista. Mikä on käytännön merkitys? Ja merkitys on sellainen, että analyyttisen geometrian ongelmissa suunnikkaan pinta-ala löytyy usein vektoritulon käsitteen kautta:

Otetaan hetki tärkeä kaava. Suunnikkaan diagonaali (punainen katkoviiva) jakaa sen kahteen osaan tasainen kolmio. Siksi vektoreille rakennetun kolmion pinta-ala (punainen varjostus) löytyy kaavasta:

4) Vähintään tärkeä tosiasia on, että vektori on ortogonaalinen vektoreihin nähden, eli . Tietysti myös vastakkaiseen suuntaan suunnattu vektori (punainen nuoli) on ortogonaalinen alkuperäisiin vektoreihin nähden.

5) Vektori on suunnattu siten, että perusta Sillä on oikein suuntautuminen. Oppitunnilla aiheesta siirtyminen uudelle perustalle Olen puhunut yksityiskohtaisesti tasosuuntaus, ja nyt selvitämme mikä avaruuden suunta on. Selitän sormillasi oikea käsi . Yhdistä henkisesti etusormi vektorilla ja keskisormi vektorin kanssa. Nimetön ja pikkusormi paina kämmenelle. Tuloksena peukalo - vektoritulo näyttää ylöspäin. Tämä on oikealle suuntautunut perusta (se on kuvassa). Vaihda nyt vektorit ( indeksi ja keskisormet ) paikoin tämän seurauksena peukalo kääntyy ympäri ja vektoritulo näyttää jo alas. Tämä on myös oikealle suuntautunut perusta. Ehkä sinulla on kysymys: millä perusteella on vasen suuntaus? "Määritä" samat sormet vasen käsi vektorit ja saat vasemman kanta- ja vasemman avaruuden suunnan (tässä tapauksessa peukalo sijaitsee alemman vektorin suunnassa). Kuvannollisesti puhuen nämä pohjat "kiertelevät" tai suuntaavat tilaa eri suuntiin. Ja tätä käsitettä ei pidä pitää kaukaa haettuna tai abstraktina - esimerkiksi tavallisin peili muuttaa tilan suuntaa, ja jos "vedät heijastuneen kohteen ulos peilistä", niin yleensä ei ole mahdollista yhdistä se "alkuperäiseen". Tuo muuten kolme sormea ​​peilin luo ja analysoi heijastus ;-)

... kuinka hyvä se on, että tiedät siitä nyt oikealle ja vasemmalle suunnattu perusteet, koska joidenkin luennoitsijoiden lausunnot suunnanmuutoksesta ovat kauheita =)

Kollineaaristen vektorien vektoritulo

Määritelmä on laadittu yksityiskohtaisesti, on vielä selvitettävä, mitä tapahtuu, kun vektorit ovat kollineaarisia. Jos vektorit ovat kollineaarisia, ne voidaan sijoittaa yhdelle suoralle ja suunnikkaamme myös "taittuu" yhdeksi suoraksi. Sellaisten alue, kuten matemaatikot sanovat, rappeutunut suunnikas on nolla. Sama seuraa kaavasta - nollan sini tai 180 astetta nolla, ja siksi alue on nolla

Eli jos , niin . Tarkkaan ottaen vektoritulo itse on nolla vektori, mutta käytännössä tämä usein jätetään huomiotta ja kirjoitetaan, että se on yksinkertaisesti nolla.

erikoistapaus on vektorin ja itsensä ristitulo:

Ristituloa käyttämällä voit tarkistaa kolmiulotteisten vektorien kollineaarisuuden ja tämä tehtävä muun muassa analysoimme myös.

Ratkaisuja varten käytännön esimerkkejä voidaan tarvita trigonometrinen taulukko löytääksesi sinien arvot siitä.

No, sytytetään tulipalo:

Esimerkki 1

a) Laske vektorien vektoritulon pituus jos

b) Etsi vektoreille rakennetun suunnikkaan pinta-ala, jos

Päätös: Ei, tämä ei ole kirjoitusvirhe, tein tarkoituksella ehtokohteiden alkutiedot samanlaisiksi. Koska ratkaisujen suunnittelu on erilainen!

a) Ehdon mukaan se on löydettävä pituus vektori (vektoritulo). Vastaavan kaavan mukaan:

Vastaus:

Koska pituudesta kysyttiin, ilmoitamme vastauksessa mitat - yksiköt.

b) Ehdon mukaan se on löydettävä neliö- vektoreihin rakennettu suunnikas. Tämän suuntaviivan pinta-ala on numeerisesti yhtä suuri kuin ristitulon pituus:

Vastaus:

Huomaa, että vektorituloa koskevassa vastauksessa ei puhuta ollenkaan, meiltä kysyttiin hahmon alue vastaavasti mitat ovat neliöyksiköitä.

Katsomme aina MITÄ ehto edellyttää, ja sen perusteella muotoilemme asia selvä vastaus. Se saattaa tuntua kirjaimellisuudesta, mutta opettajien joukossa on tarpeeksi kirjailijoita, ja tehtävä hyvillä mahdollisuuksilla palautetaan tarkistettavaksi. Vaikka tämä ei olekaan erityisen kireä nippu - jos vastaus on väärä, syntyy vaikutelma, että henkilö ei ymmärrä yksinkertaisia ​​asioita ja/tai ei ymmärtänyt tehtävän ydintä. Tämä hetki on aina pidettävä hallinnassa ja ratkaista kaikki ongelmat korkeampi matematiikka ja myös muissa aineissa.

Mihin iso en-kirjain katosi? Periaatteessa se voisi olla lisäksi kiinni ratkaisussa, mutta ennätyksen lyhentämiseksi en tehnyt. Toivottavasti kaikki ymmärtävät sen ja tarkoittavat samaa asiaa.

Suosittu esimerkki itsenäiseen ratkaisuun:

Esimerkki 2

Etsi vektoreille rakennetun kolmion pinta-ala, jos

Kaava kolmion alueen löytämiseksi vektoritulon kautta on annettu määritelmän kommenteissa. Ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa.

Käytännössä tehtävä on todella yleinen, kolmiot voidaan yleensä kiduttaa.

Muiden ongelmien ratkaisemiseksi tarvitsemme:

Vektorien ristitulon ominaisuudet

Olemme jo tarkastelleet joitain vektorituotteen ominaisuuksia, mutta sisällytän ne tähän luetteloon.

Mielivaltaisille vektoreille ja mielivaltaiselle luvulle seuraavat ominaisuudet ovat tosia:

1) Muissa tietolähteissä tätä kohtaa ei yleensä eroteta ominaisuuksista, mutta se on käytännön kannalta erittäin tärkeä. Joten anna sen olla.

2) - kiinteistöstä on myös keskusteltu yllä, joskus sitä kutsutaan antikommutatiivisuus. Toisin sanoen vektorien järjestyksellä on väliä.

3) - yhdistelmä tai assosiatiivista vektoritulolakeja. Vakiot saadaan helposti pois vektoritulon rajoista. Oikeasti, mitä he tekevät siellä?

4) - jakelu tai jakelu vektoritulolakeja. Myöskään kiinnikkeiden avaamisessa ei ole ongelmia.

Harkitse esittelynä lyhyt esimerkki:

Esimerkki 3

Etsi jos

Päätös: Ehdon mukaan on jälleen löydettävä vektoritulon pituus. Maalataan pienoismallimme:

(1) Assosiatiivisten lakien mukaan otamme pois vakiot vektoritulon rajojen yli.

(2) Otamme vakion pois moduulista, kun taas moduuli "syö" miinusmerkin. Pituus ei voi olla negatiivinen.

(3) Seuraava on selvää.

Vastaus:

On aika heittää puita tuleen:

Esimerkki 4

Laske vektoreille rakennetun kolmion pinta-ala, jos

Päätös: Etsi kolmion pinta-ala kaavan avulla . Ongelmana on, että vektorit "ce" ja "te" esitetään itse vektoreiden summana. Tässä oleva algoritmi on vakio ja muistuttaa jonkin verran oppitunnin esimerkkejä 3 ja 4. Vektorien pistetulo. Jaa se kolmeen vaiheeseen selvyyden vuoksi:

1) Ensimmäisessä vaiheessa ilmaisemme vektorituotteen vektorituotteen kautta, itse asiassa, ilmaista vektoria vektorilla. Pituudesta ei vielä sanaakaan!

(1) Korvaamme vektoreiden lausekkeet.

(2) Distributiivisia lakeja käyttäen avataan sulut polynomien kertolaskusäännön mukaisesti.

(3) Assosiatiivisia lakeja käyttämällä otamme pois kaikki vakiot vektoritulojen ulkopuolella. Vähäisellä kokemuksella toiminnot 2 ja 3 voidaan suorittaa samanaikaisesti.

(4) Ensimmäinen ja viimeinen termi ovat yhtä kuin nolla (nollavektori) miellyttävästä ominaisuudesta johtuen. Toisessa termissä käytämme vektorituotteen:

(5) Esittelemme samanlaisia ​​termejä.

Tämän seurauksena vektori osoittautui ilmennetyksi vektorin kautta, mikä oli se, mitä vaadittiin saavuttamiseksi:

2) Toisessa vaiheessa löydämme tarvitsemamme vektoritulon pituuden. Tämä toiminta muistuttaa esimerkkiä 3:

3) Etsi haluamasi kolmion pinta-ala:

Ratkaisun vaiheet 2-3 voitaisiin järjestää yhdelle riville.

Vastaus:

Käsitelty ongelma on melko yleinen valvoa työtä, tässä on esimerkki tee-se-itse-ratkaisusta:

Esimerkki 5

Etsi jos

Nopea Ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa. Katsotaan kuinka tarkkaavainen olit tutkiessasi aiempia esimerkkejä ;-)

Koordinaattien vektorien ristitulo

, annettu ortonormaalilla perusteella , ilmaistaan ​​kaavalla:

Kaava on todella yksinkertainen: kirjoitamme koordinaattivektorit determinantin yläriville, "pakkaamme" vektorien koordinaatit toiselle ja kolmannelle riville ja laitamme tiukassa järjestyksessä- ensin vektorin "ve" koordinaatit, sitten vektorin "double-ve" koordinaatit. Jos vektorit on kerrottava eri järjestyksessä, tulee myös rivit vaihtaa:

Esimerkki 10

Tarkista, ovatko seuraavat avaruusvektorit kollineaarisia:
a)
b)

Päätös: Validointi perustuu johonkin väitteestä tämä oppitunti: jos vektorit ovat kollineaarisia, niin niiden ristitulo on nolla (nollavektori): .

a) Etsi vektoritulo:

Joten vektorit eivät ole kollineaarisia.

b) Etsi vektoritulo:

Vastaus: a) ei kollineaarinen, b)

Tässä on ehkä kaikki perustiedot vektorien vektoritulosta.

Tämä alue ei ole kovin suuri, koska vektoreiden sekatuloa käytettäessä on vähän ongelmia. Itse asiassa kaikki riippuu määritelmästä, geometrinen merkitys ja pari toimivaa kaavaa.

Vektorien sekatulo on kolmen tuote vektorit:

Näin he asettuivat jonoon kuin juna ja odottavat, he eivät voi odottaa, kunnes heidät lasketaan.

Ensin taas määritelmä ja kuva:

Määritelmä: Sekoitettu tuote ei-tasossa vektorit, otettu tässä järjestyksessä, kutsutaan suuntaissärmiön tilavuus, rakennettu näille vektoreille, varustettu "+"-merkillä, jos kanta on oikea, ja "-"-merkillä, jos kanta on vasen.

Tehdään piirustus. Meille näkymätön viivat piirretään katkoviivalla:

Sukellaanpa määritelmään:

2) Vektorit otettu tietyssä järjestyksessä, eli vektorien permutaatio tuotteessa, kuten saatat arvata, ei jää ilman seurauksia.

3) Ennen kuin kommentoin geometrista merkitystä, huomautan ilmeinen tosiasia: vektorien sekatulo on NUMERO: . Oppikirjallisuudessa muotoilu voi olla hieman erilainen, minulla oli tapana nimetä sekatuotteen läpi, ja laskelmien tulos kirjaimella "pe".

A-priory sekoitettu tuote on suuntaissärmiön tilavuus, rakennettu vektoreille (kuvio on piirretty punaisilla vektoreilla ja mustilla viivoilla). Eli luku on yhtä suuri kuin annetun suuntaissärmiön tilavuus.

Huomautus : Piirustus on kaavamainen.

4) Älkäämme enää vaivautuko kantajan ja tilan orientaation käsitteeseen. Loppuosan tarkoitus on, että äänenvoimakkuuteen voidaan lisätä miinusmerkki. Yksinkertaisesti sanottuna sekoitettu tuote voi olla negatiivinen: .

Kaava vektoreihin rakennetun suuntaissärmiön tilavuuden laskemiseksi seuraa suoraan määritelmästä.

7.1. Ristituotteen määritelmä

Kolme ei-koplanaarista vektoria a , b ja c, jotka on otettu esitetyssä järjestyksessä, muodostavat oikeanpuoleisen kolmion, jos kolmannen vektorin c lopusta lyhin käännös ensimmäisestä vektorista a toiseen vektoriin b nähdään vastapäivään, ja vasen jos myötäpäivään (katso kuva . kuusitoista).

Vektorien a ja b vektorituloa kutsutaan vektoriksi c, joka:

1. Kohtisuorassa vektoreihin a ja b, eli c ^ a ja c ^ b;

2. Sen pituus on numeerisesti yhtä suuri kuin vektoreihin a ja rakennetun suunnikkaan pinta-alab kuten sivuilla (katso kuva 17), ts.

3. Vektorit a , b ja c muodostavat oikeanpuoleisen kolmion.

vektorituote merkitty a x b tai [a,b]. Vektoritulon määritelmästä seuraavat suoraan seuraamani orttien väliset suhteet, j ja k(katso kuva 18):

i x j \u003d k, j x k \u003d i, k x i \u003d j.
Todistakaamme se esimerkiksi i xj \u003d k.

1) k ^ i , k ^ j;

2) |k |=1, mutta | i x j| = |i | |J| sin(90°)=1;

3) vektorit i , j ja k muodostavat oikeanpuoleisen kolmion (katso kuva 16).

7.2. Ristikkäisten tuotteiden ominaisuudet

1. Kun tekijät järjestetään uudelleen, vektoritulo vaihtaa etumerkkiä, ts. ja xb \u003d (b xa) (katso kuva 19).

Vektorit a xb ja b xa ovat kollineaarisia, niillä on samat moduulit (suunnikaspinta-ala pysyy ennallaan), mutta ovat vastakkaisiin suuntautuneita (vastakkaisen suuntaiset kolmiot a, b ja xb sekä a, b, b x a). Tuo on axb = -(bxa).

2. Vektoritulolla on assosiatiivista omaisuutta skalaaritekijän suhteen, eli l (a xb) \u003d (la) x b \u003d a x (l b).

Olkoon l >0. Vektori l (a xb) on kohtisuorassa vektoreihin a ja b nähden. Vektori ( l kirves b on myös kohtisuorassa vektoreihin a ja b(vektorit a, l mutta makaa samassa tasossa). Siis vektorit l(a xb) ja ( l kirves b kollineaarinen. On selvää, että heidän suunnansa ovat samat. Niillä on sama pituus:

Niin l(a xb)= l a xb. Se on todistettu samalla tavalla l<0.

3. Kaksi nollasta poikkeavaa vektoria a ja b ovat kollineaarisia silloin ja vain, jos niiden vektoritulo on yhtä suuri kuin nollavektori, eli ja ||b<=>ja xb \u003d 0.

Erityisesti i*i =j*j =k*k =0.

4. Vektoritulolla on jakautumisominaisuus:

(a+b) xs = a xs + b xs .

Hyväksy ilman todisteita.

7.3. Ristituotteen ilmaisu koordinaatteina

Käytämme vektoriristitulotaulukkoa i , j ja k:

jos lyhimmän polun suunta ensimmäisestä vektorista toiseen on sama kuin nuolen suunta, niin tulo on yhtä suuri kuin kolmas vektori, jos se ei täsmää, otetaan kolmas vektori miinusmerkillä.

Olkoon kaksi vektoria a =a x i +a y j+az k ja b = bx i+tekijä j+bz k. Etsitään näiden vektorien vektoritulo kertomalla ne polynomeina (vektoritulon ominaisuuksien mukaan):

Tuloksena oleva kaava voidaan kirjoittaa vielä lyhyemmäksi:

koska yhtälön (7.1) oikea puoli vastaa kolmannen kertaluvun determinantin laajennusta ensimmäisen rivin elementtien suhteen.Yhtälö (7.2) on helppo muistaa.

7.4 Jotkut ristiintuotteen sovellukset

Vektorien kollineaarisuuden määrittäminen

Suunnikkaan ja kolmion alueen löytäminen

Vektorien ristitulon määritelmän mukaan a ja b |a xb | =| a | * |b |sin g , eli S par = |a x b |. Ja siksi D S \u003d 1/2 | a x b |.

Voiman momentin määrittäminen pisteen ympärillä

Kohdistetaan voima pisteeseen A F = AB Anna olla O- jokin piste avaruudessa (katso kuva 20).

Fysiikasta tiedetään, että vääntömomentti F suhteessa pisteeseen O kutsutaan vektoriksi M , joka kulkee pisteen läpi O ja:

1) kohtisuorassa pisteiden läpi kulkevaan tasoon nähden O, A, B;

2) numeerisesti yhtä suuri kuin voiman ja olkapään tulo

3) muodostaa oikean kolmion vektoreilla OA ja A B .

Siksi M \u003d OA x F.

Lineaarisen pyörimisnopeuden löytäminen

Nopeus v kulmanopeudella pyörivän jäykän kappaleen piste M w kiinteän akselin ympärillä määritetään Eulerin kaavalla v \u003d w x r, missä r \u003d OM, missä O on jokin akselin kiinteä piste (katso kuva 21).

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ennen kuin annamme vektoritulon käsitteen, siirrytään kysymykseen vektorien a → , b → , c → järjestetyn kolmikon orientaatiosta kolmiulotteisessa avaruudessa.

Laitetaan aluksi syrjään vektorit a → , b → , c → yhdestä pisteestä. Kolmoiskappaleen a → , b → , c → orientaatio on oikea tai vasen vektorin c → suunnasta riippuen. Suunta, johon lyhin käännös tehdään vektorista a → b → vektorin c → lopusta, määritetään kolmion a → , b → , c → muoto.

Jos lyhin kierto on vastapäivään, niin vektoreiden a → , b → , c → kolmoisosaa kutsutaan oikein jos myötäpäivään - vasemmalle.

Otetaan seuraavaksi kaksi ei-kollineaarista vektoria a → ja b → . Siirretään sitten vektorit A B → = a → ja A C → = b → pisteestä A. Muodostetaan vektori A D → = c → , joka on samanaikaisesti kohtisuorassa sekä A B → että A C → suhteen. Siten vektoria A D → = c → rakentaessamme voimme tehdä kaksi asiaa antamalla sille joko yhden suunnan tai päinvastaisen (katso kuva).

Järjestetty vektoreiden trio a → , b → , c → voi, kuten havaitsimme, olla oikea tai vasen vektorin suunnasta riippuen.

Yllä olevasta voimme ottaa käyttöön vektoritulon määritelmän. Tämä määritelmä on annettu kahdelle vektorille, jotka on määritelty kolmiulotteisen avaruuden suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä.

Määritelmä 1

Kahden vektorin a → ja b → vektoritulo kutsumme tällaista kolmiulotteisen avaruuden suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä annettua vektoria siten, että:

• jos vektorit a → ja b → ovat kollineaarisia, se on nolla;
• se on kohtisuorassa sekä vektoriin a →​​ että vektoriin b → ts. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• sen pituus määritetään kaavalla: c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
• vektorien tripletillä a → , b → , c → on sama suunta kuin annetulla koordinaatistolla.

Vektorien a → ja b → ristitulolla on seuraava merkintä: a → × b → .

Tuotekoordinaatit ristiin

Koska millä tahansa vektorilla on tietyt koordinaatit koordinaattijärjestelmässä, on mahdollista ottaa käyttöön toinen ristitulon määritelmä, jonka avulla voit löytää sen koordinaatit vektorien annetuista koordinaateista.

Määritelmä 2

Kolmiulotteisen avaruuden suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä kahden vektorin a → = (a x ; a y ; a z) ja b → = (b x ; b y ; b z) vektoritulo kutsutaan vektoria c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , missä i → , j → , k → ovat koordinaattivektoreita.

Vektoritulo voidaan esittää kolmannen kertaluvun neliömatriisin determinanttina, jossa ensimmäisellä rivillä on ortavektorit i → , j → , k → , toisella rivillä on vektorin a → koordinaatit ja kolmannella on vektorin b → koordinaatit tietyssä suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa, tämä matriisideterminantti näyttää tältä: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Laajentamalla tätä determinanttia ensimmäisen rivin alkioihin saadaan yhtälö: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a k → = = × b y a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Ristikkäisten tuotteiden ominaisuudet

Tiedetään, että vektoritulo koordinaateissa esitetään matriisin determinanttina c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , sitten kannassa matriisin determinanttien ominaisuudet seuraavat vektorituotteen ominaisuudet:

1. antikommutatiivisuus a → × b → = - b → × a → ;
2. jakauma a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → tai a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. assosiatiivisuus λ a → × b → = λ a → × b → tai a → × (λ b →) = λ a → × b → , missä λ on mielivaltainen reaaliluku.

Näillä ominaisuuksilla ei ole monimutkaisia ​​todisteita.

Voimme esimerkiksi todistaa vektorituotteen.

Todiste antikommutatiivisuudesta

Määritelmän mukaan a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z ja b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . Ja jos kaksi matriisin riviä vaihdetaan, niin matriisin determinantin arvon tulisi muuttua päinvastaiseksi, joten a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , joka ja todistaa vektoritulon antikommutatiivisuuden.

Vektorituote - esimerkkejä ja ratkaisuja

Useimmissa tapauksissa on kolmenlaisia ​​tehtäviä.

Ensimmäisen tyypin tehtävissä on yleensä annettu kahden vektorin pituudet ja niiden välinen kulma, mutta sinun on löydettävä ristitulon pituus. Käytä tässä tapauksessa seuraavaa kaavaa c → = a → b → sin ∠ a → , b → .

Esimerkki 1

Laske vektorien a → ja b → ristitulon pituus, jos tunnetaan a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4.

Päätös

Käyttämällä vektorien a → ja b → vektoritulon pituuden määritelmää ratkaisemme tämän ongelman: a → × b → = a → b → sin ∠ a → , b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2 .

Vastaus: 15 2 2 .

Toisen tyypin tehtävillä on yhteys vektorien koordinaatteihin, ne sisältävät vektoritulon, sen pituuden jne. haetaan annettujen vektorien tunnetuista koordinaateista a → = (a x ; a y ; a z) ja b → = (b x ; b y ; b z) .

Tämän tyyppisissä tehtävissä voit ratkaista monia vaihtoehtoja tehtäville. Ei esimerkiksi vektorien a → ja b → koordinaatteja, vaan niiden laajennuksia muodon koordinaattivektoreihin b → = b x i → + b y j → + b z k → ja c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , tai vektorit a → ja b → voidaan antaa niiden koordinaateista. aloitus- ja loppupisteet.

Harkitse seuraavia esimerkkejä.

Esimerkki 2

Kaksi vektoria asetetaan suorakaiteen muotoiseen koordinaattijärjestelmään a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) . Etsi heidän vektoritulonsa.

Päätös

Toisen määritelmän mukaan löydämme kahden vektorin vektoritulon annetuissa koordinaateissa: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Jos kirjoitamme vektoritulon matriisideterminantin kautta, niin tämän esimerkin ratkaisu on seuraava: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Vastaus: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Esimerkki 3

Laske vektorien i → - j → ja i → + j → + k → ristitulon pituus, missä suorakulmaisen karteesisen koordinaatiston i → , j → , k → - orts.

Päätös

Etsitään ensin annetun vektoritulon i → - j → × i → + j → + k → koordinaatit annetusta suorakaiteen muotoisesta koordinaatistosta.

On tunnettua, että vektoreilla i → - j → ja i → + j → + k → on koordinaatit (1 ; - 1 ; 0) ja (1 ; 1 ; 1) vastaavasti. Laske vektoritulon pituus matriisideterminantilla, jolloin meillä on i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Siksi vektoritulolla i → - j → × i → + j → + k → on koordinaatit (- 1 ; - 1 ; 2) annetussa koordinaattijärjestelmässä.

Löydämme vektoritulon pituuden kaavalla (katso luku vektorin pituuden löytämisestä): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

Vastaus: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

Esimerkki 4

Kolmen pisteen A (1 , 0 , 1) , B (0 , 2 , 3) ​​, C (1 , 4 , 2) koordinaatit on annettu suorakulmaisessa suorakulmaisessa koordinaatistossa. Etsi jokin vektori, joka on kohtisuorassa A B → ja A C → samanaikaisesti.

Päätös

Vektoreilla A B → ja A C → on seuraavat koordinaatit (- 1 ; 2 ; 2) ja (0 ; 4 ; 1) vastaavasti. Kun vektorien A B → ja A C → vektoritulo on löydetty, on selvää, että se on määritelmän mukaan kohtisuora vektori sekä A B → että A C → suhteen, eli se on ratkaisu ongelmaamme. Etsi se A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Vastaus: - 6 i → + j → - 4 k → . on yksi kohtisuorassa olevista vektoreista.

Kolmannen tyypin ongelmat keskittyvät vektorien vektoritulon ominaisuuksien käyttöön. Sen soveltamisen jälkeen saamme ratkaisun annettuun ongelmaan.

Esimerkki 5

Vektorit a → ja b → ovat kohtisuorassa ja niiden pituus on 3 ja 4. Laske ristitulon pituus 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → .

Päätös

Vektoritulon distributiivisuusominaisuuden perusteella voidaan kirjoittaa 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Assosiatiivisuuden ominaisuudella otamme pois numeeriset kertoimet vektoritulojen etumerkin ulkopuolella viimeisessä lausekkeessa: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Vektoritulot a → × a → ja b → × b → ovat yhtä suuria kuin 0, koska a → × a → = a → a → sin 0 = 0 ja b → × b → = b → b → sin 0 = 0, sitten 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a → . .

Vektoritulon antikommutatiivisuudesta seuraa - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .

Vektoritulon ominaisuuksia käyttämällä saadaan yhtälö 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Ehdolla vektorit a → ja b → ovat kohtisuorassa, eli niiden välinen kulma on yhtä suuri kuin π 2 . Nyt jää vain korvata löydetyt arvot vastaaviin kaavoihin: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → sin (a →, b →) = 5 3 4 sin π 2 = 60.

Vastaus: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60 .

Vektorien ristitulon pituus määritelmän mukaan on a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Koska tiedetään jo (koulun kurssilta), että kolmion pinta-ala on puolet sen kahden sivun pituuksien tulosta kerrottuna näiden sivujen välisen kulman sinillä. Siksi vektoritulon pituus on yhtä suuri kuin suunnikkaan pinta-ala - kaksinkertainen kolmio, nimittäin sivujen tulo vektorien a → ja b → muodossa, jotka on irrotettu yhdestä pisteestä sinin avulla niiden välisestä kulmasta sin ∠ a → , b → .

Tämä on vektoritulon geometrinen merkitys.

Vektoritulon fyysinen merkitys

Mekaniikassa, yhdessä fysiikan haaroista, vektorituotteen ansiosta voit määrittää voimamomentin suhteessa avaruuspisteeseen.

Määritelmä 3

Pisteeseen B kohdistetun voiman F → alaisena suhteessa pisteeseen A ymmärrämme seuraavan vektoritulon A B → × F → .

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Määritelmä Reaalilukujen järjestettyä kokoelmaa (x 1 , x 2 , ... , x n) n kutsutaan n-ulotteinen vektori, ja luvut x i (i = ) - komponentit tai koordinaatit,

Esimerkki. Jos esimerkiksi tietyn autotehtaan on valmistettava vuoroa kohden 50 autoa, 100 kuorma-autoa, 10 linja-autoa, 50 sarjaa autojen varaosia ja 150 sarjaa kuorma-autoihin ja linja-autoihin, niin tämän tehtaan tuotantoohjelma voidaan kirjoittaa esim. vektori (50, 100 , 10, 50, 150), jossa on viisi komponenttia.

Merkintä. Vektorit on merkitty lihavoituilla pienillä kirjaimilla tai kirjaimilla, joiden yläosassa on palkki tai nuoli, esim. a tai. Näitä kahta vektoria kutsutaan yhtä suuri jos niissä on sama määrä komponentteja ja niitä vastaavat komponentit ovat yhtä suuret.

Vektorikomponentteja ei voi vaihtaa keskenään, esim. (3, 2, 5, 0, 1) ja (2, 3, 5, 0, 1) eri vektoreita.
Operaatiot vektoreille. tehdä työtä x= (x 1 , x 2 , ... ,x n) reaaliluvuksiλ kutsutaan vektoriksiλ x= (λx1, λx2, ..., λxn).

summax= (x 1 , x 2 , ... ,x n) ja y= (y 1 , y 2 , ... ,y n) kutsutaan vektoriksi x+y= (x1 + y1, x 2 + y2, ..., x n + + y n).

Vektorien avaruus. N -dimensiaalinen vektoriavaruus R n määritellään joukoksi kaikkia n-ulotteisia vektoreita, joille on määritelty reaalilukujen kertominen ja yhteenlasku.

Taloudellinen kuva. Taloudellinen esimerkki n-ulotteisesta vektoriavaruudesta: tavaroiden tilaa (tavaroita). Alla hyödyke ymmärrämme jotakin tavaraa tai palvelua, joka tuli myyntiin tiettyyn aikaan tietyssä paikassa. Oletetaan, että käytettävissä on äärellinen määrä tavaroita n; kunkin kuluttajan ostamille määrille on ominaista tavaroiden joukko

x= (x 1 , x 2 , ..., x n),

missä x i tarkoittaa kuluttajan ostaman i:nnen tavaran määrää. Oletetaan, että kaikilla tavaroilla on mielivaltainen jaettavissa oleva ominaisuus, joten jokainen niistä voidaan ostaa mikä tahansa ei-negatiivinen määrä. Tällöin kaikki mahdolliset tavarajoukot ovat hyödykeavaruuden vektoreita C = ( x= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i = ).

Lineaarinen riippumattomuus. Järjestelmä e 1 , e 2 , ... , e m n-ulotteista vektoria kutsutaan lineaarisesti riippuvainen jos sellaisia ​​lukuja onλ 1 , λ 2 , ... , λ m , josta vähintään yksi on nollasta poikkeava, mikä täyttää yhtälönλ1 e 1 + λ2 e 2+...+λm e m = 0; muuten tätä vektorijärjestelmää kutsutaan lineaarisesti riippumaton, eli tämä tasa-arvo on mahdollista vain siinä tapauksessa, että kaikki . Vektorien lineaarisen riippuvuuden geometrinen merkitys in R 3, tulkittu suunnatuiksi segmenteiksi, selittää seuraavat lauseet.

Lause 1. Yhdestä vektorista koostuva järjestelmä on lineaarisesti riippuvainen silloin ja vain jos tämä vektori on nolla.

Lause 2. Jotta kaksi vektoria olisivat lineaarisesti riippuvaisia, on välttämätöntä ja riittävää, että ne ovat kollineaarisia (rinnakkaisia).

Lause 3 . Jotta kolme vektoria olisivat lineaarisesti riippuvaisia, on välttämätöntä ja riittävää, että ne ovat samassa tasossa (samassa tasossa).

Vasen ja oikea vektorin kolmiot. Kolmiosa ei-samantasoisia vektoreita a, b, c nimeltään oikein, jos havaitsija niiden yhteisestä origosta ohittaa vektorien päät a, b, c tässä järjestyksessä näyttää etenevän myötäpäivään. Muuten a, b, c -vasen kolmikko. Kaikkia oikeanpuoleisia (tai vasenta) vektoreita kutsutaan yhtä suuntautunut.

Pohja ja koordinaatit. Troikka e 1, e 2 , e 3 ei-koplanaarista vektoria sisään R 3 soitti perusta, ja itse vektorit e 1, e 2 , e 3 - perus. Mikä tahansa vektori a voidaan laajentaa ainutlaatuisella tavalla kantavektoreiden suhteen, eli se voidaan esittää muodossa

a= x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)

luvut x 1 , x 2 , x 3 laajennuksessa (1.1) kutsutaan koordinaatita pohjalta e 1, e 2 , e 3 ja on merkitty a(x 1, x 2, x 3).

Ortonormaali perusta. Jos vektorit e 1, e 2 , e 3 ovat pareittain kohtisuorat ja kunkin pituus on yksi, niin kantaa kutsutaan ortonormaali, ja koordinaatit x 1 , x 2 , x 3 - suorakulmainen. Ortonormaalin kannan kantavektorit merkitään i, j, k.

Oletamme sen avaruudessa R 3 oikea suorakulmaisten suorakulmaisten koordinaattien järjestelmä (0, i, j, k}.

Vector tuote. vektori taidetta a vektoria kohti b kutsutaan vektoriksi c, joka määritetään seuraavilla kolmella ehdolla:

1. Vektorin pituus c numeerisesti yhtä suuri kuin vektoreihin rakennetun suunnikkaan pinta-ala a ja b, eli
c= |a||b| synti( a^b).

2. Vektori c kohtisuorassa jokaiseen vektoriin nähden a ja b.

3. Vektorit a, b ja c, tässä järjestyksessä, muodostavat oikean kolmoiskappaleen.

Vektorituotteelle c nimitys otetaan käyttöön c=[ab] tai
c = a × b.

Jos vektorit a ja b ovat kollineaarisia, sitten syn( a^b) = 0 ja [ ab] = 0, erityisesti [ aa] = 0. Orttien vektoritulot: [ ij]=k, [jk] = i, [ki]=j.

Jos vektorit a ja b perusteessa annettu i, j, k koordinaatit a(a 1, a 2, a 3), b(b 1 , b 2 , b 3 ), sitten

Sekatyötä. Jos kahden vektorin ristitulo a ja b skalaari kerrottuna kolmannella vektorilla c, silloin tällaista kolmen vektorin tuloa kutsutaan sekoitettu tuote ja se on merkitty symbolilla a eaa.

Jos vektorit a, b ja c pohjalta i, j, k asettaa niiden koordinaatit
a(a 1, a 2, a 3), b(b 1 , b 2 , b 3), c(c1, c2, c3), sitten

.

Sekoitustulolla on yksinkertainen geometrinen tulkinta - se on skalaari, jonka absoluuttinen arvo on sama kuin kolmelle annetulle vektorille rakennetun suuntaissärmiön tilavuus.

Jos vektorit muodostavat oikean kolmion, niin niiden sekoitettu tulo on positiivinen luku, joka on yhtä suuri kuin ilmoitettu tilavuus; jos kolme a, b, c - vasemmalle siis a b c<0 и V = - a b c, joten V =|a b c|.

Ensimmäisen luvun ongelmissa havaittujen vektorien koordinaatit oletetaan annetuiksi suhteessa oikeaan ortonormaalikantaan. Yksikkövektori samansuuntainen vektorin kanssa a, merkitty symbolilla a noin. Symboli r=OM merkitty pisteen M sädevektorilla, symboleilla a, AB tai|a|, | AB |vektoreiden moduulit on merkitty a ja AB.

Esimerkki 1.2. Etsi vektoreiden välinen kulma a= 2m+4n ja b= m-n, missä m ja n- yksikkövektorit ja niiden välinen kulma m ja n yhtä suuri kuin 120 o.

Päätös. Meillä on: cos φ = ab/ab, ab=(2m+4n) (m-n) = 2m 2 - 4n 2 +2mn=
= 2 - 4+2cos120 o = -2 + 2 (-0,5) = -3; a = ; a 2 = (2m+4n) (2m+4n) =
= 4m 2 +16mn+16n 2 = 4+16(-0,5)+16=12, joten a = . b= ; b 2 =
= (m-n)(m-n) = m 2 -2mn+n 2 = 1-2(-0,5)+1 = 3, joten b = . Lopulta meillä on: cosφ \u003d -1/2, φ \u003d 120 o.

Esimerkki 1.3.Vektorien tunteminen AB(-3,-2,6) ja eKr(-2,4,4), laske kolmion ABC korkeus AD.

Päätös. Merkitsemällä kolmion ABC pinta-alaa S:llä, saamme:
S = 1/2 eKr. jKr. Sitten AD=2S/BC, BC== = 6,
S = 1/2| AB ×AC|. AC=AB+BC, joten vektori AC on koordinaatit
. .

Esimerkki 1.4 . Annettu kaksi vektoria a(11,10,2) ja b(4,0,3). Etsi yksikkövektori c, kohtisuorassa vektoreihin nähden a ja b ja suunnattu siten, että vektoreiden tilattu kolmikko a, b, c oli oikeassa.

Päätös.Merkitään vektorin koordinaatit c suhteessa annettuun oikeaan ortonormaaliseen kantaan x:n, y:n, z:n suhteen.

Sikäli kuin c ⊥ a, c ⊥b, sitten noin= 0, cb= 0. Tehtävän ehdon mukaan c = 1 ja a b c >0.

Meillä on yhtälöjärjestelmä x,y,z:n löytämiseksi: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

Järjestelmän ensimmäisestä ja toisesta yhtälöstä saadaan z = -4/3 x, y = -5/6 x. Korvaamalla y:n ja z:n kolmanteen yhtälöön, saamme: x 2 = 36/125, mistä
x=± . Käyttöehto a b c > 0, saamme epätasa-arvon

Ottaen huomioon z:n ja y:n lausekkeet, kirjoitetaan saatu epäyhtälö muotoon: 625/6 x > 0, josta seuraa, että x>0. Joten x = , y = - , z = - .