Tällä oppitunnilla tarkastellaan kahden yhtälön kahden muuttujan järjestelmien ratkaisemista. Tarkastellaan ensin kahden järjestelmän graafista ratkaisua lineaariset yhtälöt, niiden kaavioiden kokonaisuuden erityispiirteet. Seuraavaksi ratkaisemme useita järjestelmiä graafisella menetelmällä.

Aihe: Yhtälöjärjestelmät

Oppitunti: Graafinen menetelmä yhtälöjärjestelmän ratkaisemiseksi

Harkitse järjestelmää

Lukuparia, joka on samanaikaisesti ratkaisu sekä järjestelmän ensimmäiseen että toiseen yhtälöön, kutsutaan yhtälöjärjestelmän ratkaisu.

Yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen tarkoittaa kaikkien sen ratkaisujen löytämistä tai sen toteamista, ettei ratkaisuja ole. Olemme tarkastelleet perusyhtälöiden kuvaajia, siirrytään järjestelmien tarkasteluun.

Esimerkki 1. Ratkaise järjestelmä

Ratkaisu:

Nämä ovat lineaarisia yhtälöitä, joista jokaisen kaavio on suora. Ensimmäisen yhtälön kuvaaja kulkee pisteiden (0; 1) ja (-1; 0) läpi. Toisen yhtälön kuvaaja kulkee pisteiden (0; -1) ja (-1; 0) läpi. Suorat leikkaavat pisteessä (-1; 0), tämä on ratkaisu yhtälöjärjestelmään ( Riisi. 1).

Järjestelmän ratkaisu on lukupari, jonka korvaamalla tämä lukupari jokaiseen yhtälöön saadaan oikea yhtälö.

Saimme ainoa päätös lineaarinen järjestelmä.

Muista, että kun ratkaiset lineaarisen järjestelmän, seuraavat tapaukset ovat mahdollisia:

järjestelmässä on ainutlaatuinen ratkaisu - viivat leikkaavat,

järjestelmässä ei ole ratkaisuja - suorat ovat yhdensuuntaisia,

järjestelmässä on ääretön määrä ratkaisuja - suorat osuvat yhteen.

Olemme tarkistaneet erikoistapaus järjestelmät, kun p(x; y) ja q(x; y) ovat lineaarisia lausekkeita x:ssä ja y:ssä.

Esimerkki 2. Ratkaise yhtälöjärjestelmä

Ratkaisu:

Ensimmäisen yhtälön kuvaaja on suora, toisen yhtälön kuvaaja on ympyrä. Rakennetaan ensimmäinen graafi pisteittäin (kuva 2).

Ympyrän keskipiste on pisteessä O(0; 0), säde on 1.

Kaaviot leikkaavat pisteet A(0; 1) ja pisteet B(-1; 0).

Esimerkki 3. Ratkaise järjestelmä graafisesti

Ratkaisu: Tehdään kuvaaja ensimmäisestä yhtälöstä - tämä on ympyrä, jonka keskipiste on pisteessä O (0; 0) ja jonka säde on 2. Toisen yhtälön kuvaaja on paraabeli. Sitä siirretään origon suhteen 2 ylöspäin, ts. sen yläosa on piste (0; 2) (kuva 3).

Kaavioissa on yksi yhteinen kohta- t. A(0; 2). Se on ratkaisu järjestelmään. Korvaa yhtälöön muutama numero tarkistaaksesi oikeellisuuden.

Esimerkki 4. Ratkaise järjestelmä

Ratkaisu: Tehdään kuvaaja ensimmäisestä yhtälöstä - tämä on ympyrä, jonka keskipiste on pisteessä O (0; 0) ja jonka säde on 1 (kuva 4).

Rakennetaan kuvaaja funktiosta Tämä on katkoviiva (kuva 5).

Siirretään nyt sitä 1 alas oy-akselia pitkin. Tämä on funktion kaavio

Laitetaan molemmat kuvaajat samaan koordinaattijärjestelmään (kuva 6).

Saamme kolme leikkauspistettä - piste A (1; 0), piste B (-1; 0), piste C (0; -1).

Olemme tarkistaneet graafinen menetelmä järjestelmäratkaisuja. Jos on mahdollista piirtää jokainen yhtälö ja löytää leikkauspisteiden koordinaatit, tämä menetelmä on varsin riittävä.

Mutta usein graafinen menetelmä mahdollistaa vain likimääräisen ratkaisun löytämisen järjestelmästä tai vastauksen kysymykseen ratkaisujen lukumäärästä. Siksi tarvitaan muita, tarkempia menetelmiä, ja käsittelemme niitä seuraavilla tunneilla.

1. Mordkovich A.G. ja muut Algebra 9. luokka: Proc. Yleissivistävää koulutusta varten Toimielimet - 4. painos. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 s.: ill.

2. Mordkovich A.G. ja muut Algebra Grade 9: Tehtäväkirja opiskelijoille koulutusinstituutiot/ A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina ja muut - 4. painos. — M.: Mnemosyne, 2002.-143 s.: ill.

3. Yu. N. Makarychev, Algebra. Luokka 9: oppikirja. yleissivistävän koulutuksen opiskelijoille. laitokset / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. - 7. painos, Rev. ja ylimääräistä - M .: Mnemosyne, 2008.

4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Algebra. Luokka 9 16. painos - M., 2011. - 287 s.

5. Mordkovich A. G. Algebra. Luokka 9 Klo 14 Osa 1. Oppikirja oppilaitosten opiskelijoille / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 12. painos, poistettu. — M.: 2010. — 224 s.: ill.

6. Algebra. Luokka 9 Klo 2. Osa 2. Tehtäväkirja oppilaitosten opiskelijoille / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina ym.; Ed. A. G. Mordkovich. - 12. painos, Rev. — M.: 2010.-223 s.: ill.

1. College.ru matematiikan osio ().

2. Internet-projekti "Tehtävät" ().

3. Koulutusportaali"RATKAISIN KÄYTÖN" ().

1. Mordkovich A.G. et al. Algebra Grade 9: Tehtäväkirja oppilaitosten opiskelijoille / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al. - 4. painos. - M .: Mnemosyne, 2002.-143 s.: ill. nro 105, 107, 114, 115.

Harkitse seuraavia yhtälöitä:

1. 2*x + 3*y = 15;

2. x2 + y2 = 4;

4. 5*x 3 + y 2 = 8.

Jokainen yllä olevista yhtälöistä on yhtälö, jossa on kaksi muuttujaa. Monia pisteitä koordinaattitaso, jonka koordinaatit muuttavat yhtälön oikeaksi numeerinen tasa-arvo, kutsutaan yhtälön kaavio kahdessa tuntemattomassa.

Kaavio yhtälöstä, jossa on kaksi muuttujaa

Yhtälöillä, joissa on kaksi muuttujaa, on laaja valikoima kaavioita. Esimerkiksi yhtälölle 2*x + 3*y = 15 kaavio on suora, yhtälön x 2 + y 2 = 4 kaavio on ympyrä, jonka säde on 2, kaavio yhtälö y*x = 1 on hyperbola jne.

Kokonaislukuyhtälöissä, joissa on kaksi muuttujaa, on myös sellainen asia kuin aste. Tämä aste määritetään samalla tavalla kuin koko yhtälölle yhdellä muuttujalla. Tätä varten yhtälö tuodaan muotoon, kun vasen puoli on polynomi vakionäkymä, kun taas oikea on nolla. Tämä tehdään vastaavilla muunnoksilla.

Graafinen tapa ratkaista yhtälöjärjestelmiä

Selvitetään kuinka ratkaista yhtälöjärjestelmät, jotka koostuvat kahdesta yhtälöstä, joissa on kaksi muuttujaa. Harkitse graafista tapaa ratkaista tällaiset järjestelmät.

Esimerkki 1. Ratkaise yhtälöjärjestelmä:

( x 2 + y 2 = 25

(y = -x 2 + 2*x + 5.

Piirretään ensimmäisen ja toisen yhtälön kuvaajat samaan koordinaattijärjestelmään. Ensimmäisen yhtälön kuvaaja on ympyrä, jonka keskipiste on origossa ja jonka säde on 5. Toisen yhtälön kuvaaja on paraabeli, jonka haarat ovat alaspäin.

Kaikki kaavioiden pisteet täyttävät kukin oman yhtälönsä. Meidän on löydettävä sellaisia ​​pisteitä, jotka täyttävät sekä ensimmäisen että toisen yhtälön. Ilmeisesti nämä ovat pisteitä, joissa nämä kaksi kuvaajaa leikkaavat.

Piirustuksen avulla löydämme koordinaattien likimääräiset arvot, joissa nämä pisteet leikkaavat. Saamme seuraavat tulokset:

A(-2,2;-4,5), B(0;5), C(2,2;4,5), D(4,-3).

Joten yhtälöjärjestelmällämme on neljä ratkaisua.

x1 ≈ -2,2; y1 ≈ -4,5;

x2 ≈ 0; y2 ≈ 5;

x3 ≈ 2,2; y3 ≈ 4,5;

x4 ≈ 4,y4 ≈ -3.

Jos korvaamme nämä arvot järjestelmämme yhtälöihin, voimme nähdä, että ensimmäinen ja kolmas ratkaisu ovat likimääräisiä ja toinen ja neljäs ovat tarkkoja. Graafista menetelmää käytetään usein arvioimaan juurien lukumäärää ja niiden likimääräisiä rajoja. Ratkaisut ovat useammin likimääräisiä kuin tarkkoja.

Ensimmäinen taso

Yhtälöiden, epäyhtälöiden, järjestelmien ratkaiseminen funktiokaavioiden avulla. visuaalinen opas (2019)

Monet tehtävät, jotka olemme tottuneet laskemaan puhtaasti algebrallisesti, voidaan ratkaista paljon helpommin ja nopeammin, funktiokaavioiden käyttö auttaa meitä tässä. Sanot "miten niin?" piirtää jotain ja mitä piirtää? Luota minuun, joskus se on kätevämpää ja helpompaa. Aloittaisimmeko? Aloitetaan yhtälöistä!

Yhtälöiden graafinen ratkaisu

Lineaaristen yhtälöiden graafinen ratkaisu

Kuten jo tiedät, lineaarisen yhtälön kuvaaja on suora, mistä johtuu tämän tyypin nimi. Lineaariset yhtälöt on melko helppo ratkaista algebrallisesti - siirrämme kaikki tuntemattomat yhtälön toiselle puolelle, kaikki mitä tiedämme - toiselle, ja voila! Olemme löytäneet juuren. Nyt näytän sinulle, kuinka se tehdään graafinen tapa.

Joten sinulla on yhtälö:

Miten se ratkaistaan?
Vaihtoehto 1, ja yleisin on siirtää tuntemattomat toiselle puolelle ja tunnetut toiselle puolelle, saadaan:

Ja nyt rakennamme. Mitä sinä sait?

Mikä on mielestäsi yhtälömme juuri? Aivan oikein, kaavioiden leikkauspisteen koordinaatti:

Vastauksemme on

Se on graafisen ratkaisun koko viisaus. Kuten voit helposti tarkistaa, yhtälömme juuri on numero!

Kuten edellä sanoin, tämä on yleisin vaihtoehto, lähellä algebrallinen ratkaisu, mutta se voidaan tehdä myös eri tavalla. Vaihtoehtoisen ratkaisun harkitsemiseksi palataan yhtälöihimme:

Tällä kertaa emme siirrä mitään puolelta toiselle, vaan rakennamme kaavioita suoraan sellaisena kuin ne nyt ovat:

Rakennettu? Katso!

Mikä on ratkaisu tällä kertaa? Selvä. Sama on kaavioiden leikkauspisteen koordinaatti:

Ja jälleen, vastauksemme on.

Kuten näet, lineaarisilla yhtälöillä kaikki on erittäin yksinkertaista. On aika miettiä jotain monimutkaisempaa... Esimerkiksi toisen asteen yhtälöiden graafinen ratkaisu.

Toisen asteen yhtälöiden graafinen ratkaisu

Joten aloitetaan nyt toisen asteen yhtälön ratkaiseminen. Oletetaan, että sinun on löydettävä tämän yhtälön juuret:

Tietysti nyt voi alkaa laskea erottimen kautta tai Vieta-lauseen mukaan, mutta monet hermot tekevät virheitä kertoessaan tai neliöiessään, varsinkin jos esimerkki on suuria lukuja, ja, kuten tiedät, sinulla ei ole laskinta kokeessa ... Siksi yritetään rentoutua ja piirtää samalla kun ratkaiset tämän yhtälön.

Etsi ratkaisuja graafisesti annettu yhtälö voi eri tavoilla. Harkitse erilaisia ​​vaihtoehtoja ja voit valita, mistä pidät eniten.

Menetelmä 1. Suoraan

Rakennamme vain paraabelin tämän yhtälön mukaan:

Jotta se olisi nopeaa, annan sinulle pienen vihjeen: rakentaminen on kätevää aloittaa määrittämällä paraabelin kärki. Seuraavat kaavat auttavat määrittämään paraabelin kärjen koordinaatit:

Sanot: "Lopeta! Kaava on hyvin samanlainen kuin kaava erottavan tekijän löytämiseksi "kyllä, se on ja se on valtava miinus"suora" paraabelin rakentaminen sen juurten löytämiseksi. Lasketaan kuitenkin loppuun, ja sitten näytän sinulle, kuinka voit tehdä siitä paljon (paljon!) helpompaa!

Laskitko? Mitkä ovat paraabelin kärjen koordinaatit? Selvitetään se yhdessä:

Täsmälleen sama vastaus? Hyvin tehty! Ja nyt tiedämme jo kärjen koordinaatit, ja paraabelin rakentamiseen tarvitsemme lisää ... pisteitä. Mitä mieltä olette, kuinka monta vähimmäispistettä tarvitsemme? Oikein,.

Tiedät, että paraabeli on symmetrinen kärjensä suhteen, esimerkiksi:

Vastaavasti tarvitsemme kaksi pistettä lisää paraabelin vasempaan tai oikeaan haaraan, ja tulevaisuudessa heijastamme nämä pisteet symmetrisesti vastakkaisella puolella:

Palaamme paraabeliimme. Meidän tapauksessamme pointti. Tarvitsemme vastaavasti kaksi pistettä lisää, voimmeko ottaa positiivisia, mutta voimmeko ottaa negatiivisia? Mitkä ovat sinulle parhaat pisteet? Minulle on mukavampaa työskennellä positiivisten kanssa, joten lasken - ja -käskyillä.

Nyt meillä on kolme pistettä, ja voimme helposti rakentaa paraabelimme heijastamalla kaksi viimeistä pistettä sen huipulta:

Mikä on mielestäsi yhtälön ratkaisu? Aivan oikein, kohdat, joissa eli ja. Koska.

Ja jos sanomme niin, se tarkoittaa, että sen on myös oltava yhtä suuri, tai.

Vain? Olemme ratkaisseet yhtälön kanssasi monimutkaisella graafisella tavalla, tai niitä tulee lisää!

Tietysti voit tarkistaa vastauksemme algebrallisesti - voit laskea juuret Vieta-lauseen tai Diskriminantin kautta. Mitä sinä sait? Sama? Tässä näet! Katsotaanpa nyt hyvin yksinkertaista graafista ratkaisua, olen varma, että pidät siitä kovasti!

Menetelmä 2. Jaa useisiin toimintoihin

Otetaan myös kaikki, yhtälömme: , mutta kirjoitamme sen hieman eri tavalla, nimittäin:

Voimmeko kirjoittaa näin? Voimme, koska muunnos on vastaava. Katsotaanpa pidemmälle.

Rakennetaan kaksi funktiota erikseen:

1. - Graafi on yksinkertainen paraabeli, jonka voit helposti rakentaa myös ilman kärkipisteen määrittämistä kaavoilla ja taulukon tekemistä muiden pisteiden määrittämiseksi.
2. - kaavio on suora, jonka voit yhtä helposti rakentaa arvoja arvioimalla ja omassa päässäsi ilman, että tarvitset edes laskinta.

Rakennettu? Vertaa siihen mitä sain:

Luuletko että sisään Tämä tapaus ovat yhtälön juuret? oikein! Koordinaatit, jotka saadaan risteämällä kaksi kuvaajaa, eli:

Vastaavasti tämän yhtälön ratkaisu on:

Mitä sanot? Samaa mieltä, tämä ratkaisumenetelmä on paljon helpompi kuin edellinen ja jopa helpompi kuin juurien etsiminen diskriminantin kautta! Jos näin on, kokeile tätä menetelmää seuraavan yhtälön ratkaisemiseksi:

Mitä sinä sait? Verrataanpa kaavioitamme:

Kaavioista näkyy, että vastaukset ovat:

onnistuitko? Hyvin tehty! Katsotaan nyt yhtälöitä hieman monimutkaisemmin, nimittäin sekayhtälöiden ratkaisua, eli yhtälöitä, jotka sisältävät erityyppisiä funktioita.

Sekayhtälöiden graafinen ratkaisu

Yritetään nyt ratkaista seuraava:

Tietysti kaiken voi tuoda yhteinen nimittäjä, etsi tuloksena olevan yhtälön juuret unohtamatta ottaa huomioon ODZ:tä, mutta yritämme jälleen ratkaista graafisesti, kuten teimme kaikissa aiemmissa tapauksissa.

Piirretään tällä kertaa seuraavat 2 kaaviota:

1. - kaavio on hyperboli
2. - Kaavio on suora viiva, jonka voit helposti rakentaa arvioimalla arvoja omassa päässäsi ilman, että tarvitset edes laskinta.

Tajusi? Aloita nyt rakentaminen.

Tässä on mitä minulle tapahtui:

Kun katsot tätä kuvaa, mitkä ovat yhtälömme juuret?

Aivan oikein ja. Tässä on vahvistus:

Yritä liittää juuremme yhtälöön. Tapahtui?

Selvä! Samaa mieltä, tällaisten yhtälöiden graafinen ratkaiseminen on ilo!

Yritä ratkaista yhtälö itse graafisesti:

Annan sinulle vihjeen: siirrä osa yhtälöstä kohtaan oikea puoli niin, että molemmilla puolilla on yksinkertaisimmat toiminnot rakentaa. Saitko vihjeen? Toimia!

Katsotaan nyt mitä sait:

Vastaavasti:

1. - kuutioinen paraabeli.
2. - tavallinen suora.

No, rakennamme:

Kuten kirjoitit muistiin pitkään, tämän yhtälön juuri on -.

Tämän ratkaistuaan suuri määrä Esimerkkejä, olen varma, että ymmärsit kuinka voit helposti ja nopeasti ratkaista yhtälöitä graafisesti. On aika miettiä, miten päättää samaan tapaan järjestelmät.

Graafinen ratkaisu järjestelmiin

Graafinen ratkaisu järjestelmät eivät pohjimmiltaan eroa yhtälöiden graafisesta ratkaisusta. Rakennamme myös kaksi kuvaajaa, ja niiden leikkauspisteet ovat tämän järjestelmän juuret. Yksi graafi on yksi yhtälö, toinen kaavio on toinen yhtälö. Kaikki on erittäin yksinkertaista!

Aloitetaan yksinkertaisimmista - lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemisesta.

Lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaiseminen

Oletetaan, että meillä on seuraava järjestelmä:

Aluksi muutamme sen siten, että vasemmalla on kaikki, mikä liittyy, ja oikealla - mikä liittyy. Toisin sanoen kirjoitamme nämä yhtälöt funktiona meille tavallisessa muodossa:

Ja nyt rakennamme vain kaksi suoraa viivaa. Mikä on ratkaisu meidän tapauksessamme? oikein! Heidän risteyspisteensä! Ja tässä sinun on oltava erittäin, hyvin varovainen! Mieti miksi? Annan sinulle vihjeen: olemme tekemisissä järjestelmän kanssa: järjestelmässä on molemmat, ja... Saitko vihjeen?

Selvä! Järjestelmää ratkaistaessa meidän on tarkasteltava molempia koordinaatteja, eikä vain, kuten yhtälöitä ratkaistaessa! Toinen tärkeä pointti- kirjoita ne oikein äläkä sekoita, missä meillä on arvo ja missä arvo on! Äänitetty? Verrataan nyt kaikkea järjestyksessä:

Ja vastaukset: i. Tee tarkistus - korvaa löydetyt juuret järjestelmään ja varmista, että ratkaisimme sen oikein graafisesti?

Epälineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaiseminen

Mutta entä jos yhden suoran sijasta meillä on toisen asteen yhtälö? Se on okei! Rakennat vain paraabelin suoran linjan sijaan! Älä luota? Yritä ratkaista seuraava järjestelmä:

Mikä on meidän seuraava askel? Aivan oikein, kirjoita se muistiin, jotta meidän on kätevää rakentaa kaavioita:

Ja nyt on kyse pienistä asioista – rakensin sen nopeasti ja tässä on ratkaisu sinulle! Rakennus:

Onko grafiikat samat? Merkitse nyt kuvaan järjestelmän ratkaisut ja kirjoita paljastuneet vastaukset oikein ylös!

Olenko tehnyt kaiken? Vertaa muistiinpanoihini:

Selvä? Hyvin tehty! Napsautat jo sellaisia ​​tehtäviä kuin pähkinöitä! Ja jos on, annetaan sinulle monimutkaisempi järjestelmä:

Mitä olemme tekemässä? oikein! Kirjoitamme järjestelmän niin, että se on kätevä rakentaa:

Annan sinulle pienen vihjeen, koska järjestelmä näyttää erittäin monimutkaiselta! Kun rakennat kaavioita, rakenna niitä "enemmän", ja mikä tärkeintä, älä ylläty risteyspisteiden lukumäärästä.

Mennään siis! Hengitetty ulos? Aloita nyt rakentaminen!

No miten? komeasti? Kuinka monta risteyspistettä sait? Minulla on kolme! Verrataanpa kaavioitamme:

Samalla tavalla? Kirjoita nyt huolellisesti kaikki järjestelmämme ratkaisut:

Katso nyt järjestelmää uudelleen:

Voitko kuvitella, että ratkaisit sen vain 15 minuutissa? Samaa mieltä, matematiikka on edelleen yksinkertaista, varsinkin kun katsot lauseketta, et pelkää tehdä virhettä, vaan otat sen ja päätät! Olet iso poika!

Epäyhtälöiden graafinen ratkaisu

Lineaaristen epäyhtälöiden graafinen ratkaisu

Jälkeen viimeinen esimerkki sinulla on kaikki hartioillasi! Hengitä nyt ulos - verrattuna edellisiin osiin, tämä on erittäin, erittäin helppoa!

Aloitamme tuttuun tapaan graafisella ratkaisulla lineaarinen epätasa-arvo. Esimerkiksi tämä:

Aluksi suoritamme yksinkertaisimmat muunnokset - avaamme sulut täysiä neliöitä ja lisää vastaavat termit:

Epäyhtälö ei ole tiukka, joten - ei sisälly väliin, ja ratkaisu on kaikki oikealla olevat pisteet, koska enemmän, enemmän ja niin edelleen:

Vastaus:

Siinä kaikki! Helposti? Ratkaistaan ​​yksinkertainen epäyhtälö kahdella muuttujalla:

Piirretään funktio koordinaattijärjestelmään.

Onko sinulla sellainen kaavio? Ja nyt tarkastelemme huolellisesti, mitä meillä on epätasa-arvossa? Vähemmän? Joten maalaamme kaiken päälle, mikä on suoran linjamme vasemmalla puolella. Entä jos niitä olisi enemmän? Se on oikein, silloin he maalasivat kaiken, mikä on suoran linjamme oikealla puolella. Kaikki on yksinkertaista.

Kaikki tämän epätasa-arvon ratkaisut ovat "varjostettuja" oranssi. Siinä se, kahden muuttujan epäyhtälö on ratkaistu. Tämä tarkoittaa, että koordinaatit ja mikä tahansa piste varjostetulta alueelta ovat ratkaisuja.

Toissijaisten epäyhtälöiden graafinen ratkaisu

Nyt käsittelemme, kuinka graafisesti ratkaistaan ​​toisen asteen epäyhtälöt.

Mutta ennen kuin siirrymme suoraan asiaan, kerrotaanpa joitain asioita neliöfunktiosta.

Mistä syrjintä on vastuussa? Aivan oikein, kuvaajan sijainnille suhteessa akseliin (jos et muista tätä, niin lue varmasti teoria neliöfunktioista).

Joka tapauksessa, tässä pieni muistutus sinulle:

Nyt kun olemme päivittäneet kaiken materiaalin muistissamme, ryhdytään asiaan - ratkaisemme epätasa-arvon graafisesti.

Kerron sinulle heti, että sen ratkaisemiseksi on kaksi vaihtoehtoa.

Vaihtoehto 1

Kirjoitamme paraabelimme funktiona:

Kaavojen avulla määritämme paraabelin kärjen koordinaatit (samalla tavalla kuin ratkaisettaessa toisen asteen yhtälöitä):

Laskitko? Mitä sinä sait?

Otetaan nyt kaksi lisää erilaisia ​​kohtia ja laske heille:

Alamme rakentaa paraabelin yhtä haaraa:

Heijastamme pisteemme symmetrisesti paraabelin toisessa haarassa:

Nyt takaisin eriarvoisuuteen.

Meidän täytyy olla alle nolla, vastaavasti:

Koska epätasa-arvossamme on merkkiä tiukasti vähemmän, jätämme pois päätepisteet - "työntäämme ulos".

Vastaus:

Pitkä matka, eikö? Nyt näytän sinulle yksinkertaisemman version graafisesta ratkaisusta käyttäen samaa epäyhtälöä esimerkkinä:

Vaihtoehto 2

Palaamme eriarvoisuuteen ja merkitsemme tarvitsemamme välit:

Samaa mieltä, se on paljon nopeampi.

Kirjoitetaan nyt vastaus ylös:

Harkitse toista ratkaisua, joka yksinkertaistaa ja algebrallinen osa, mutta tärkeintä ei ole hämmentyä.

Kerro vasen ja oikea puoli luvulla:

Yritä ratkaista seuraava neliön epätasa-arvo millään haluamallasi tavalla.

onnistuitko?

Katso kuinka kaaviostani muodostui:

Vastaus: .

Sekoitettujen epäyhtälöiden graafinen ratkaisu

Siirrytään nyt monimutkaisempiin epätasa-arvoihin!

Mitä pidät tästä:

Kamalaa, eikö? Rehellisesti sanottuna minulla ei ole aavistustakaan kuinka ratkaista tämä algebrallisesti ... Mutta se ei ole välttämätöntä. Graafisesti tässä ei ole mitään monimutkaista! Silmät pelkäävät, mutta kädet tekevät!

Ensimmäinen asia, josta aloitamme, on rakentaa kaksi kaaviota:

En kirjoita taulukkoa kaikille - olen varma, että voit tehdä sen täydellisesti yksin (tietysti on niin monia esimerkkejä ratkaistavaksi!).

Maalattu? Rakenna nyt kaksi kaaviota.

Verrataanko piirustuksiamme?

Onko sinulla samanlainen? Erinomainen! Laitetaan nyt leikkauspisteet ja määritetään värillä, minkä graafin pitäisi teoriassa olla suurempi, eli. Katso mitä lopulta tapahtui:

Ja nyt katsomme vain, missä valitsemamme kaavio on kaaviota korkeampi? Voit vapaasti ottaa kynän ja maalata annettu alue! Se on ratkaisu monimutkaiseen epätasa-arvoomme!

Millä aikaväleillä akselia pitkin olemme korkeammalla kuin? Oikein,. Tämä on vastaus!

No, nyt voit käsitellä mitä tahansa yhtälöä ja mitä tahansa järjestelmää, ja vielä enemmän mitä tahansa epätasa-arvoa!

LYHYESTI TÄRKEISTÄ

Algoritmi yhtälöiden ratkaisemiseksi funktiokaavioiden avulla:

1. Express kautta
2. Määritä funktion tyyppi
3. Rakennetaan kaavioita tuloksena olevista funktioista
4. Etsi kaavioiden leikkauspisteet
5. Kirjoita vastaus oikein (ottaen huomioon ODZ- ja epätasa-arvomerkit)
6. Tarkista vastaus (korvaa juuret yhtälössä tai järjestelmässä)

Lisätietoja funktiokaavioiden piirtämisestä on aiheessa "".

Videotunti "Graafinen menetelmä yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi" esittelee koulutusmateriaalia tutkimaan tätä aihetta. Materiaali sisältää yleinen käsite yhtälöjärjestelmän ratkaisemisesta ja myös yksityiskohtainen selitys esimerkissä kuinka yhtälöjärjestelmä ratkaistaan ​​graafisesti.

Visuaalinen apuväline käyttää animaatiota helpottamaan ja ymmärrettävämpää rakennusten toteuttamista sekä eri tavoilla jakaminen tärkeitä käsitteitä ja yksityiskohdat materiaalin syvälliseen ymmärtämiseen ja sen parempaan ulkoamiseen.

Opetusvideo alkaa aiheen esittelyllä. Oppilaat muistutetaan, mitä yhtälöjärjestelmä on ja mihin yhtälöjärjestelmiin heidän piti tutustua jo 7. luokalla. Aikaisemmin opiskelijoiden piti ratkaista yhtälöjärjestelmiä muotoa ax+by=c. Syventämällä yhtälöjärjestelmien ratkaisemisen käsitettä ja muodostaakseen kykyä ratkaista ne, tämä videotunti käsittelee järjestelmän ratkaisua, joka koostuu kahdesta toisen asteen yhtälöstä sekä yhdestä toisen asteen yhtälöstä ja toisen asteen yhtälöstä. - ensimmäisen asteen. Muistuttaa sinua siitä, mikä on yhtälöjärjestelmän ratkaisu. Järjestelmän ratkaisun määritelmä muuttujien arvojen parina, jotka kääntävät sen yhtälöt vaihtaessaan oikeaan yhtälöön, näytetään näytöllä. Järjestelmän ratkaisun määritelmän mukaisesti tehtävä määritellään. Se näkyy näytöllä muistaakseni, että järjestelmän ratkaiseminen tarkoittaa sopivien ratkaisujen etsimistä tai niiden puuttumisen osoittamista.

On ehdotettu hallitsemaan graafinen menetelmä tietyn yhtälöjärjestelmän ratkaisemiseksi. Sovellus tätä menetelmää tarkastellaan esimerkissä yhtälöistä x 2 + y 2 \u003d 16 ja y \u003d - x 2 + 2x + 4 koostuvan järjestelmän ratkaisemisesta. Järjestelmän graafinen ratkaisu alkaa piirtämällä jokainen näistä yhtälöistä. Ilmeisesti yhtälön x 2 + y 2 \u003d 16 kuvaaja on ympyrä. Tähän ympyrään kuuluvat pisteet ovat yhtälön ratkaisu. Yhtälön viereen rakennetaan koordinaattitasolle ympyrä, jonka säde on 4, jonka keskipiste O on origossa. Toisen yhtälön kuvaaja on paraabeli, jonka haarat on laskettu alas. Tämä paraabeli on rakennettu koordinaattitasolle, joka vastaa yhtälön kuvaajaa. Mikä tahansa paraabeliin kuuluva piste on yhtälön y \u003d -x 2 + 2x + 4 ratkaisu. Selitetään, että yhtälöjärjestelmän ratkaisu on kaavioissa olevia pisteitä, jotka kuuluvat samanaikaisesti molempien yhtälöiden kaavioihin. Tämä tarkoittaa, että muodostettujen kaavioiden leikkauspisteet ovat yhtälöjärjestelmän ratkaisuja.

On huomattava, että graafinen menetelmä koostuu kahden kaavion leikkauspisteessä sijaitsevien pisteiden koordinaattien likimääräisestä arvosta, jotka heijastavat järjestelmän kunkin yhtälön ratkaisujoukkoa. Kuvassa on merkitty kahden kaavion löydettyjen leikkauspisteiden koordinaatit: A, B, C, D[-2;-3.5]. Nämä pisteet ovat graafisesti löydettyjen yhtälöjärjestelmän ratkaisuja. Voit tarkistaa niiden oikeellisuuden korvaamalla ne yhtälössä ja saamalla oikeudenmukaisen tasa-arvon. Kun pisteet on korvattu yhtälöllä, voidaan nähdä, että osa pisteistä antaa tarkka arvo ratkaisuja, ja osa edustaa yhtälön ratkaisun likimääräistä arvoa: x 1 =0, y 1 =4; x 2 \u003d 2, y 2 ≈ 3,5; x 3 ≈ 3,5, y 3 \u003d -2; x 4 \u003d -2, y 4 ≈ -3,5.

Video-opetusohjelma selittää yksityiskohtaisesti olemuksen ja sovelluksen graafinen tapa yhtälöjärjestelmän ratkaisu. Tämä mahdollistaa sen käytön video-apuna koulun algebratunnilla tätä aihetta tutkittaessa. Materiaalista on myös hyötyä Itsenäinen opiskelu opiskelijoille ja voi auttaa selittämään aihetta etäopetuksessa.