Apakah Anda ingin merasa seperti pencari ranjau? Maka pelajaran ini untuk Anda! Karena sekarang kita akan mempelajari pecahan - pecahan itu sangat sederhana dan tidak berbahaya objek matematika yang melampaui mata pelajaran aljabar lainnya dalam kemampuan mereka untuk "menahan otak".

Bahaya utama pecahan adalah bahwa mereka terjadi di kehidupan nyata. Dalam hal ini mereka berbeda, misalnya, dari polinomial dan logaritma, yang dapat dilewati dan dengan mudah dilupakan setelah ujian. Oleh karena itu, materi yang disajikan dalam pelajaran ini, tanpa berlebihan bisa disebut eksplosif.

Pecahan numerik (atau hanya pecahan) adalah sepasang bilangan bulat yang ditulis melalui garis miring atau batang horizontal.

Pecahan yang ditulis melalui batang horizontal:

Pecahan yang sama ditulis dengan garis miring:
5/7; 9/(−30); 64/11; (−1)/4; 12/1.

Biasanya pecahan ditulis melalui garis horizontal - lebih mudah untuk bekerja dengannya, dan terlihat lebih baik. Bilangan yang tertulis di atas disebut pembilang pecahan, dan bilangan yang tertulis di bawah disebut penyebut.

Setiap bilangan bulat dapat direpresentasikan sebagai pecahan dengan penyebut 1. Misalnya, 12 = 12/1 adalah pecahan dari contoh di atas.

Secara umum, Anda dapat memasukkan bilangan bulat apa pun ke dalam pembilang dan penyebut pecahan. Satu-satunya batasan adalah bahwa penyebutnya harus berbeda dari nol. Ingat aturan lama yang bagus: "Anda tidak bisa membagi dengan nol!"

Jika penyebutnya masih nol, maka pecahan tersebut disebut tak tentu. Catatan seperti itu tidak masuk akal dan tidak dapat berpartisipasi dalam perhitungan.

Sifat dasar pecahan

Pecahan a /b dan c /d disebut sama jika ad = bc.

Dari definisi ini dapat disimpulkan bahwa pecahan yang sama dapat ditulis dengan cara yang berbeda. Misalnya, 1/2 = 2/4 karena 1 4 = 2 2. Tentu saja, ada banyak pecahan yang tidak sama satu sama lain. Misalnya 1/3 5/4 karena 1 4 3 5.

Muncul pertanyaan yang masuk akal: bagaimana menemukan semua pecahan sama dengan yang diberikan? Kami memberikan jawabannya dalam bentuk definisi:

Sifat utama pecahan adalah pembilang dan penyebut dapat dikalikan dengan bilangan yang sama selain nol. Ini akan menghasilkan pecahan yang sama dengan yang diberikan.

Ini sangat properti penting- ingat itu. Dengan bantuan sifat dasar pecahan, banyak ekspresi dapat disederhanakan dan dipersingkat. Di masa depan, itu akan terus "muncul" dalam bentuk berbagai properti dan teorema.

Pecahan yang salah. Pemilihan seluruh bagian

Jika pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya, pecahan seperti itu disebut wajar. Jika tidak (yaitu, ketika pembilangnya lebih besar dari atau setidaknya sama dengan penyebutnya), pecahan tersebut disebut pecahan biasa, dan bagian bilangan bulat dapat dibedakan di dalamnya.

Bagian bilangan bulat ditulis sebagai angka besar di depan pecahan dan terlihat seperti ini (ditandai dengan warna merah):

Untuk mengisolasi seluruh bagian dalam pecahan biasa, Anda perlu mengikuti tiga langkah sederhana:

1. Temukan berapa kali penyebut cocok dengan pembilangnya. Dengan kata lain, temukan bilangan bulat maksimum yang, ketika dikalikan dengan penyebut, masih akan lebih kecil dari pembilangnya (dalam kasus ekstrem, sama). Nomor ini akan menjadi seluruh bagian, jadi kami menulisnya di depan;
2. Kalikan penyebutnya dengan bagian bilangan bulat yang ditemukan pada langkah sebelumnya, dan kurangi hasilnya dari pembilangnya. "Stub" yang dihasilkan disebut sisa pembagian, itu akan selalu positif (dalam kasus ekstrim, nol). Kami menuliskannya di pembilang pecahan baru;
3. Kami menulis ulang penyebut tidak berubah.

Nah, apakah sulit? Sekilas mungkin sulit. Tetapi dibutuhkan sedikit latihan - dan Anda akan melakukannya hampir secara verbal. Untuk saat ini, lihat contohnya:

Tugas. Pilih seluruh bagian dalam pecahan yang diberikan:

Dalam semua contoh, bagian bilangan bulat disorot dengan warna merah, dan sisa pembagian berwarna hijau.

Perhatikan pecahan terakhir, di mana sisa pembagiannya adalah nol. Ternyata pembilangnya habis dibagi penyebutnya. Ini cukup logis, karena 24: 6 \u003d 4 adalah fakta pahit dari tabel perkalian.

Jika semuanya dilakukan dengan benar, pembilang pecahan baru tentu akan lebih kecil dari penyebutnya, mis. pecahan menjadi benar. Saya juga mencatat bahwa lebih baik untuk menyorot seluruh bagian di akhir tugas, sebelum menulis jawabannya. Jika tidak, Anda dapat secara signifikan memperumit perhitungan.

Transisi ke pecahan biasa

Ada juga operasi terbalik, ketika kita menyingkirkan seluruh bagian. Ini disebut transisi pecahan tak wajar dan jauh lebih umum karena pecahan tak wajar lebih mudah dikerjakan.

Transisi ke pecahan biasa juga dilakukan dalam tiga langkah:

1. Kalikan bagian bilangan bulat dengan penyebutnya. Hasilnya bisa lumayan angka besar, tapi kita tidak perlu malu;
2. Tambahkan nomor yang dihasilkan ke pembilang dari pecahan asli. Tulis hasilnya dalam pembilang dari pecahan biasa;
3. Tulis ulang penyebutnya - sekali lagi, tidak ada perubahan.

Berikut adalah contoh spesifik:

Tugas. Ubah ke pecahan biasa:

Untuk kejelasan, bagian bilangan bulat disorot lagi dengan warna merah, dan pembilang dari pecahan aslinya berwarna hijau.

Pertimbangkan kasus ketika pembilang atau penyebut suatu pecahan mengandung bilangan negatif. Sebagai contoh:

Pada prinsipnya, tidak ada pidana dalam hal ini. Namun, bekerja dengan pecahan seperti itu bisa merepotkan. Oleh karena itu, dalam matematika adalah kebiasaan untuk mengambil minus sebagai tanda pecahan.

Ini sangat mudah dilakukan jika Anda ingat aturannya:

1. Ditambah kali dikurangi sama dengan dikurangi. Karena itu, jika pembilangnya adalah bilangan negatif, dan penyebutnya positif (atau sebaliknya), jangan ragu untuk mencoret minusnya dan meletakkannya di depan seluruh pecahan;
2. "Dua negatif membuat afirmatif". Ketika minus ada di pembilang dan penyebut, kita cukup mencoretnya - tidak ada tindakan tambahan yang diperlukan.

Tentu saja, aturan ini juga dapat diterapkan pada arah sebaliknya, yaitu anda dapat menambahkan minus di bawah tanda pecahan (paling sering - di pembilang).

Kami sengaja tidak mempertimbangkan kasus "plus plus" - dengan dia, saya pikir, semuanya sudah jelas. Mari kita lihat bagaimana aturan ini bekerja dalam praktiknya:

Tugas. Hilangkan minus dari keempat pecahan yang tertulis di atas.

Perhatikan pecahan terakhir: sudah ada tanda minus di depannya. Namun, itu "dibakar" menurut aturan "dikurangi dikali minus memberi plus".

Juga, jangan pindahkan minus dalam pecahan dengan bagian bilangan bulat yang disorot. Pecahan ini pertama-tama dikonversi menjadi yang tidak tepat - dan baru kemudian mereka mulai menghitung.

Kita akan memulai pembahasan kita tentang topik ini dengan mempelajari konsep pecahan secara keseluruhan, yang akan memberi kita pemahaman yang lebih lengkap tentang arti pecahan biasa. Mari kita berikan istilah utama dan definisinya, pelajari topik dalam interpretasi geometris, mis. pada garis koordinat, dan juga tentukan daftar tindakan dasar dengan pecahan.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Bagian dari keseluruhan

Bayangkan sebuah objek yang terdiri dari beberapa, sepenuhnya bagian yang sama. Misalnya, itu bisa berupa jeruk, yang terdiri dari beberapa irisan identik.

Definisi 1

Bagikan keseluruhan atau bagikan adalah masing-masing bagian yang sama yang membentuk keseluruhan objek.

Jelas, sahamnya bisa berbeda. Untuk menjelaskan pernyataan ini dengan jelas, bayangkan dua apel, salah satunya dipotong menjadi dua bagian yang sama, dan yang kedua menjadi empat. Jelas bahwa ukuran bagian yang dihasilkan untuk apel yang berbeda akan bervariasi.

Saham memiliki nama sendiri, yang tergantung pada jumlah saham yang membentuk keseluruhan subjek. Jika suatu item memiliki dua bagian, maka masing-masing akan didefinisikan sebagai satu bagian kedua dari item ini; ketika suatu benda terdiri dari tiga bagian, maka masing-masing sepertiganya, dan seterusnya.

Definisi 2

Setengah- satu bagian kedua dari subjek.

Ketiga- sepertiga dari subjek.

Perempat- seperempat dari subjek.

Untuk mempersingkat catatan, notasi berikut untuk bagian diperkenalkan: setengah - 1 2 atau 1/2 ; ketiga - 1 3 atau 1/3 ; seperempat bagian 1 4 atau 1/4 dan seterusnya. Entri dengan batang horizontal lebih sering digunakan.

Konsep bagian secara alami berkembang dari objek ke besaran. Jadi, Anda dapat menggunakan pecahan meter (sepertiga atau seperseratus) untuk mengukur benda kecil, sebagai salah satu satuan panjang. Bagian dari kuantitas lain dapat diterapkan dengan cara yang sama.

Pecahan umum, definisi dan contoh

pecahan biasa digunakan untuk menggambarkan jumlah saham. Pertimbangkan contoh sederhana yang akan membawa kita lebih dekat ke definisi pecahan biasa.

Bayangkan sebuah jeruk, terdiri dari 12 irisan. Setiap bagian kemudian akan menjadi - satu per dua belas atau 1 / 12. Dua bagian - 2/12; tiga bagian - 3 / 12, dll. Semua 12 bagian atau bilangan bulat akan terlihat seperti ini: 12 / 12 . Setiap entri yang digunakan dalam contoh adalah contoh pecahan biasa.

Definisi 3

pecahan biasa adalah catatan bentuk m n atau m / n , di mana m dan n adalah sembarang bilangan asli.

Berdasarkan definisi ini, contoh pecahan biasa dapat entri: 4 / 9, 1134, 91754. Dan entri ini: 11 5 , 1 , 9 4 , 3 bukan pecahan biasa.

Pembilang dan penyebut

Definisi 4

pembilang pecahan biasa m n atau m / n adalah bilangan asli m .

penyebut pecahan biasa m n atau m / n adalah bilangan asli n .

Itu. pembilang adalah angka di atas batang pecahan biasa (atau di sebelah kiri garis miring), dan penyebut adalah angka di bawah batang (di sebelah kanan garis miring).

Apa yang dimaksud dengan pembilang dan penyebut? Penyebut pecahan biasa menunjukkan berapa banyak bagian yang terdiri dari satu item, dan pembilangnya memberi kita informasi tentang berapa banyak bagian tersebut yang dipertimbangkan. Misalnya, pecahan biasa 7 54 menunjukkan kepada kami bahwa objek tertentu terdiri dari 54 bagian, dan untuk pertimbangan kami mengambil 7 bagian tersebut.

Bilangan asli sebagai pecahan dengan penyebut 1

Penyebut pecahan biasa adalah sama dengan satu. Dalam hal ini dapat dikatakan bahwa objek (nilai) yang ditinjau tidak dapat dibagi-bagi, adalah sesuatu yang utuh. Pembilang dalam seperti pecahan akan menunjukkan berapa banyak barang yang diambil, mis. pecahan biasa dari bentuk m 1 masuk akal bilangan asli m . Pernyataan ini berfungsi sebagai pembenaran untuk persamaan m 1 = m .

Mari kita tulis persamaan terakhir seperti ini: m = m 1 . Ini akan memberi kita kesempatan untuk menggunakan bilangan asli apa pun dalam bentuk pecahan biasa. Misalnya, bilangan 74 adalah pecahan biasa dari bentuk 74 1 .

Definisi 5

Setiap bilangan asli m dapat ditulis sebagai pecahan biasa, di mana penyebutnya adalah satu: m 1 .

Pada gilirannya, setiap pecahan biasa dalam bentuk m 1 dapat diwakili oleh bilangan asli m .

Bilah pecahan sebagai tanda pembagian

Representasi yang digunakan di atas Subjek ini bagaimana n bagian tidak lain adalah pembagian menjadi n bagian yang sama. Ketika sebuah objek dibagi menjadi n bagian, kami memiliki kesempatan untuk membaginya secara merata di antara n orang - semua orang mendapat bagiannya.

Dalam kasus ketika kita awalnya memiliki m barang identik(masing-masing dibagi menjadi n bagian), maka m item ini dapat dibagi rata di antara n orang, memberikan masing-masing satu bagian dari masing-masing m item. Dalam hal ini, setiap orang akan memiliki m bagian 1 n , dan m bagian 1 n akan memberikan pecahan biasa m n . Oleh karena itu, pecahan biasa m n dapat digunakan untuk menyatakan pembagian m item di antara n orang.

Pernyataan yang dihasilkan membuat hubungan antara pecahan biasa dan pembagian. Dan hubungan ini dapat dinyatakan sebagai berikut: : adalah mungkin untuk mengartikan garis pecahan sebagai tanda pembagian, yaitu. m/n=m:n.

Dengan bantuan pecahan biasa, kita dapat menulis hasil pembagian dua bilangan asli. Misalnya, membagi 7 apel dengan 10 orang akan ditulis sebagai 7 10: setiap orang akan mendapatkan tujuh persepuluh.

Pecahan biasa yang sama dan tidak sama

Tindakan logisnya adalah membandingkan pecahan biasa, karena jelas bahwa, misalnya, 1 8 sebuah apel berbeda dengan 7 8 .

Hasil dari membandingkan pecahan biasa dapat berupa: sama atau tidak sama.

Definisi 6

Pecahan Biasa Setara adalah pecahan biasa a b dan c d , yang persamaannya benar: a d = b c .

Pecahan biasa yang tidak sama- pecahan biasa a b dan c d , yang persamaannya: a · d = b · c tidak benar.

Contoh pecahan sama: 1 3 dan 4 12 - karena persamaan 1 · 12 = 3 · 4 terpenuhi.

Dalam hal ternyata pecahan tidak sama, biasanya juga perlu untuk mengetahui pecahan mana yang lebih kecil dan mana yang lebih besar. Untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan ini, pecahan biasa dibandingkan, mengarahkan mereka ke faktor persekutuan dan kemudian membandingkan pembilangnya.

bilangan pecahan

Setiap pecahan adalah catatan dari angka pecahan, yang sebenarnya hanya "kulit", visualisasi beban semantik. Tapi tetap saja, untuk kenyamanan, kami menggabungkan konsep pecahan dan bilangan pecahan, secara sederhana - pecahan.

Semua bilangan pecahan, seperti bilangan lainnya, memiliki lokasi uniknya sendiri di balok koordinat: terdapat korespondensi satu-satu antara pecahan dan titik-titik pada sinar koordinat.

Untuk menemukan titik pada sinar koordinat, yang menunjukkan pecahan m n , perlu untuk menunda m segmen ke arah positif dari titik asal koordinat, yang panjangnya masing-masing akan menjadi 1 n pecahan dari unit segmen. Segmen dapat diperoleh dengan membagi satu segmen menjadi n bagian yang identik.

Sebagai contoh, mari kita tunjukkan titik M pada sinar koordinat, yang sesuai dengan pecahan 14 10 . Panjang segmen, yang ujungnya adalah titik O dan titik terdekat yang ditandai dengan goresan kecil, sama dengan 1 10 fraksi unit segmen. Titik yang sesuai dengan fraksi 14 10 terletak pada jarak dari titik asal koordinat pada jarak 14 segmen tersebut.

Jika pecahannya sama, mis. mereka sesuai dengan nomor pecahan yang sama, maka pecahan ini berfungsi sebagai koordinat titik yang sama pada sinar koordinat. Misalnya, koordinat dalam bentuk pecahan yang sama 1 3 , 2 6 , 3 9 , 5 15 , 11 33 sesuai dengan titik yang sama pada sinar koordinat, yang terletak pada jarak sepertiga segmen satuan, ditunda dari asal ke arah positif.

Prinsip yang sama bekerja di sini seperti dengan bilangan bulat: pada sinar koordinat horizontal, arah kanan, titik yang sesuai dengan fraksi besar akan ditempatkan di sebelah kanan titik yang sesuai dengan pecahan kecil. Dan sebaliknya: titik, yang koordinatnya merupakan pecahan yang lebih kecil, akan terletak di sebelah kiri titik, yang sesuai dengan koordinat yang lebih besar.

Pecahan yang tepat dan tidak tepat, definisi, contoh

Pembagian pecahan menjadi benar dan tidak tepat didasarkan pada perbandingan pembilang dan penyebut dalam pecahan yang sama.

Definisi 7

pecahan biasa adalah pecahan biasa yang pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya. Artinya, jika pertidaksamaan m< n , то обыкновенная дробь m n является правильной.

Bukan pecahan biasa adalah pecahan yang pembilangnya lebih besar atau sama dengan penyebutnya. Artinya, jika pertidaksamaan tak terdefinisi benar, maka pecahan biasa m n tidak wajar.

Berikut adalah beberapa contohnya: - pecahan biasa:

Contoh 1

5 / 9 , 3 67 , 138 514 ;

Pecahan tak wajar:

Contoh 2

13 / 13 , 57 3 , 901 112 , 16 7 .

Dimungkinkan juga untuk memberikan definisi pecahan biasa dan pecahan biasa, berdasarkan perbandingan pecahan dengan satuan.

Definisi 8

pecahan biasa adalah pecahan biasa kurang dari satu.

Fraksi yang tidak tepat adalah pecahan biasa yang sama dengan atau lebih besar dari satu.

Misalnya, pecahan 8 12 benar, karena 8 12< 1 . Дроби 53 2 и 14 14 являются неправильными, т.к. 53 2 >1 , dan 14 14 = 1 .

Mari kita berpikir lebih dalam mengapa pecahan yang pembilangnya lebih besar dari atau sama dengan penyebutnya disebut "tidak wajar".

Pertimbangkan pecahan biasa 8 8: ini memberitahu kita bahwa 8 bagian dari suatu benda yang terdiri dari 8 bagian diambil. Jadi, dari delapan bagian yang tersedia, kita dapat menyusun objek keseluruhan, yaitu. fraksi yang diberikan 8 8 pada dasarnya mewakili seluruh objek: 8 8 \u003d 1. Pecahan yang pembilang dan penyebutnya sama sepenuhnya menggantikan bilangan asli 1.

Perhatikan juga pecahan yang pembilangnya lebih besar dari penyebutnya: 11 5 dan 36 3 . Jelas bahwa pecahan 11 5 menunjukkan bahwa kita dapat membuat dua benda utuh darinya dan masih akan ada seperlimanya. Itu. pecahan 11 5 adalah 2 objek dan 1 5 lagi darinya. Pada gilirannya, 36 3 adalah pecahan, yang pada dasarnya berarti 12 benda utuh.

Contoh-contoh ini memungkinkan untuk menyimpulkan bahwa pecahan biasa dapat diganti dengan bilangan asli (jika pembilangnya habis dibagi dengan penyebutnya tanpa sisa: 8 8 \u003d 1; 36 3 \u003d 12) atau jumlah bilangan asli dan a pecahan biasa (jika pembilangnya tidak habis dibagi oleh penyebutnya tanpa sisa: 11 5 = 2 + 1 5). Ini mungkin mengapa pecahan seperti itu disebut "tidak wajar".

Di sini juga, kita menemukan salah satu keterampilan angka yang paling penting.

Definisi 9

Mengekstrak bagian bilangan bulat dari pecahan biasa adalah pecahan biasa yang ditulis sebagai jumlah dari bilangan asli dan pecahan biasa.

Perhatikan juga bahwa ada hubungan yang kuat antara pecahan biasa dan bilangan campuran.

Pecahan positif dan negatif

Di atas kami mengatakan bahwa setiap pecahan biasa sesuai dengan bilangan pecahan positif. Itu. pecahan biasa adalah pecahan positif. Misalnya, pecahan 5 17 , 6 98 , 64 79 adalah positif, dan ketika perlu untuk menekankan "kepositifan" suatu pecahan, itu ditulis menggunakan tanda tambah: + 5 17 , + 6 98 , + 64 79 .

Jika kita menetapkan tanda minus ke pecahan biasa, maka catatan yang dihasilkan akan menjadi catatan bilangan pecahan negatif, dan dalam hal ini kita berbicara tentang pecahan negatif. Misalnya, - 8 17 , - 78 14 dst.

Pecahan positif dan negatif m n dan - m n adalah bilangan berlawanan, misalnya pecahan 7 8 dan - 7 8 berlawanan.

Pecahan positif, seperti apa saja bilangan positif secara umum berarti penambahan, perubahan arah kenaikan. Pada gilirannya, pecahan negatif sesuai dengan konsumsi, perubahan arah penurunan.

Jika kita perhatikan garis koordinat, kita akan melihat bahwa pecahan negatif terletak di sebelah kiri titik acuan. Titik-titik yang sesuai dengan pecahan, yang berlawanan (m n dan - m n), terletak pada jarak yang sama dari titik asal koordinat O, tetapi sepanjang sisi yang berbeda dari dia.

Di sini kita juga berbicara secara terpisah tentang pecahan yang ditulis dalam bentuk 0 n . Pecahan seperti itu sama dengan nol, mis. 0 n = 0 .

Meringkas semua hal di atas, kita sampai pada konsep yang paling penting angka rasional.

Definisi 10

Angka rasional adalah himpunan pecahan positif, pecahan negatif dan pecahan berbentuk 0 n .

Tindakan dengan pecahan

Mari kita daftar operasi dasar dengan pecahan. Secara umum, esensinya sama dengan operasi yang sesuai dengan bilangan asli

1. Perbandingan Pecahan - aksi ini kami ulas di atas.
2. Penjumlahan pecahan - hasil penjumlahan pecahan biasa adalah pecahan biasa (dalam kasus tertentu, dikurangi menjadi bilangan asli).
3. Pengurangan pecahan adalah tindakan, kebalikan dari penambahan, ketika satu pecahan diketahui dan jumlah yang diberikan pecahan ditentukan oleh pecahan yang tidak diketahui.
4. Perkalian pecahan - tindakan ini dapat digambarkan sebagai menemukan pecahan dari pecahan. Hasil perkalian dua pecahan biasa adalah pecahan biasa (dalam kasus tertentu, sama dengan bilangan asli).
5. Pembagian pecahan - aksi, kebalikan dari perkalian, ketika kita menentukan pecahan yang diperlukan untuk mengalikan yang diberikan untuk mendapatkan karya terkenal dua fraksi.

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Pembilangnya, dan yang membaginya adalah penyebutnya.

Untuk menulis pecahan, pertama-tama tulis pembilangnya, lalu gambar garis horizontal di bawah angka ini, dan tulis penyebutnya di bawah garis. Garis horizontal yang memisahkan pembilang dan penyebut disebut batang pecahan. Kadang-kadang digambarkan sebagai miring "/" atau "∕". Dalam hal ini, pembilangnya ditulis di sebelah kiri garis, dan penyebutnya di sebelah kanan. Jadi, misalnya, pecahan "dua pertiga" akan ditulis sebagai 2/3. Untuk kejelasan, pembilang biasanya ditulis di bagian atas baris, dan penyebut di bagian bawah, yaitu, alih-alih 2/3, Anda dapat menemukan: .

Untuk menghitung produk pecahan, pertama kalikan pembilang satu pecahan ke pembilang lain. Tulis hasilnya ke pembilang baru pecahan. Kemudian kalikan juga penyebutnya. Tentukan nilai akhir di new pecahan. Misalnya 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).

Untuk membagi satu pecahan dengan pecahan lainnya, pertama kalikan pembilang pertama dengan penyebut kedua. Lakukan hal yang sama dengan pecahan kedua (pembagi). Atau, sebelum melakukan semua langkah, pertama-tama "balik" pembagi, jika lebih nyaman bagi Anda: penyebut harus menggantikan pembilang. Kemudian kalikan penyebut bagi hasil dengan penyebut baru dari pembagi dan kalikan pembilangnya. Misalnya, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 × 5 = 5; 3 × 1 = 3).

Sumber:

• Tugas dasar untuk pecahan

Bilangan pecahan memungkinkan Anda untuk menyatakan dalam bentuk yang berbeda nilai yang tepat kuantitas. Dengan pecahan, Anda dapat melakukan operasi matematika yang sama dengan bilangan bulat: pengurangan, penambahan, perkalian, dan pembagian. Untuk mempelajari cara memutuskan pecahan, perlu untuk mengingat beberapa fitur mereka. Mereka tergantung pada jenisnya pecahan, kehadiran bagian bilangan bulat, penyebut yang sama. Beberapa operasi aritmatika setelah eksekusi, mereka membutuhkan pengurangan bagian pecahan dari hasil.

Anda akan perlu

• - Kalkulator

Petunjuk

Perhatikan baik-baik angkanya. Jika ada desimal dan tidak beraturan di antara pecahan, terkadang lebih mudah untuk melakukan tindakan dengan desimal terlebih dahulu, dan kemudian mengubahnya menjadi bentuk yang salah. Bisakah kamu menerjemahkan? pecahan dalam bentuk ini awalnya, menulis nilai setelah titik desimal di pembilang dan menempatkan 10 di penyebut. Jika perlu, kurangi pecahan dengan membagi angka di atas dan di bawah dengan satu pembagi. Pecahan di mana seluruh bagian menonjol, mengarah ke bentuk yang salah dengan mengalikannya dengan penyebut dan menambahkan pembilang ke hasilnya. Nilai yang diberikan akan menjadi pembilang baru pecahan. Untuk mengekstrak seluruh bagian dari yang awalnya salah pecahan, bagi pembilang dengan penyebut. Tulis seluruh hasil dari pecahan. Dan sisa pembagian menjadi pembilang baru, penyebut pecahan sementara tidak berubah. Untuk pecahan dengan bagian bilangan bulat, dimungkinkan untuk melakukan tindakan secara terpisah, pertama untuk bilangan bulat dan kemudian untuk bagian pecahan. Misalnya, jumlah 1 2/3 dan 2 dapat dihitung:
- Mengubah pecahan ke bentuk yang salah:
- 1 2/3 + 2 = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Penjumlahan secara terpisah dari bagian bilangan bulat dan pecahan:
- 1 2/3 + 2 = (1+2) + (2/3 + ) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Tulis ulang dengan pemisah ":" dan lanjutkan divisi biasa.

Menerima hasil akhir kurangi pecahan yang dihasilkan dengan membagi pembilang dan penyebut dengan satu bilangan bulat, yang terbesar mungkin dalam kasus ini. Dalam hal ini, harus ada bilangan bulat di atas dan di bawah garis.

catatan

Jangan melakukan aritmatika dengan pecahan yang penyebutnya berbeda. Pilih suatu bilangan sedemikian rupa sehingga bila pembilang dan penyebut setiap pecahan dikalikan, maka penyebut kedua pecahan tersebut adalah sama.

Saran yang bermanfaat

Saat menulis angka pecahan, dividen ditulis di atas garis. Besaran ini disebut pembilang pecahan. Di bawah garis, pembagi, atau penyebut, dari pecahan ditulis. Misalnya, satu setengah kilogram beras dalam bentuk pecahan akan ditulis sebagai berikut: 1 kg beras. Jika penyebut suatu pecahan adalah 10, maka disebut pecahan desimal. Dalam hal ini, pembilang (dividen) ditulis di sebelah kanan seluruh bagian dipisahkan dengan koma: 1,5 kg beras. Untuk memudahkan perhitungan, pecahan seperti itu selalu dapat ditulis dalam bentuk yang salah: 1 2/10 kg kentang. Untuk menyederhanakan, Anda dapat mengurangi nilai pembilang dan penyebut dengan membaginya dengan satu bilangan bulat. PADA contoh ini membagi dengan 2. Hasilnya adalah 1 1/5 kg kentang. Pastikan bahwa angka-angka yang akan Anda gunakan untuk melakukan aritmatika memiliki bentuk yang sama.

Berbicara tentang matematika, seseorang tidak bisa tidak mengingat pecahan. Studi mereka diberikan banyak perhatian dan waktu. Ingat berapa banyak contoh yang harus Anda pecahkan untuk mempelajari aturan tertentu untuk bekerja dengan pecahan, bagaimana Anda menghafal dan menerapkan sifat utama pecahan. Berapa banyak saraf yang dihabiskan untuk menemukan penyebut yang sama, terutama jika ada lebih dari dua istilah dalam contoh!

Mari kita mengingat apa itu, dan menyegarkan ingatan kita sedikit tentang informasi dasar dan aturan untuk bekerja dengan pecahan.

Pengertian pecahan

Mari kita mulai dengan hal yang paling penting - definisi. Pecahan adalah bilangan yang terdiri dari satu atau lebih bagian satuan. Bilangan pecahan ditulis sebagai dua bilangan yang dipisahkan oleh garis horizontal atau garis miring. Dalam hal ini, yang atas (atau pertama) disebut pembilang, dan yang lebih rendah (kedua) disebut penyebut.

Perlu dicatat bahwa penyebut menunjukkan berapa banyak bagian yang dibagi, dan pembilang menunjukkan jumlah bagian atau bagian yang diambil. Seringkali pecahan, jika benar, kurang dari satu.

Sekarang mari kita lihat properti dari angka-angka ini dan aturan dasar yang digunakan saat bekerja dengannya. Tapi sebelum kita menganalisis hal seperti "properti dasar" pecahan rasional Mari kita bicara tentang jenis-jenis pecahan dan fitur-fiturnya.

Apa itu pecahan?

Ada beberapa jenis angka seperti itu. Pertama-tama, ini biasa dan desimal. Yang pertama adalah jenis record yang sudah kami tunjukkan menggunakan horizontal atau slash. Jenis pecahan kedua ditunjukkan menggunakan apa yang disebut notasi posisi, ketika bagian bilangan bulat dari angka ditunjukkan terlebih dahulu, dan kemudian, setelah titik desimal, bagian pecahan ditunjukkan.

Perlu dicatat di sini bahwa dalam matematika pecahan desimal dan biasa digunakan sama. Properti utama pecahan hanya berlaku untuk opsi kedua. Selain itu, dalam pecahan biasa, benar dan nomor yang salah. Untuk yang pertama, pembilangnya selalu lebih kecil dari penyebutnya. Perhatikan juga bahwa pecahan seperti itu kurang dari satu. Dalam pecahan biasa, sebaliknya, pembilangnya lebih besar dari penyebutnya, dan itu sendiri lebih besar dari satu. Dalam hal ini, bilangan bulat dapat diekstraksi darinya. Pada artikel ini, kita hanya akan membahas pecahan biasa.

Sifat pecahan

Setiap fenomena, kimia, fisik atau matematika, memiliki karakteristik dan sifat tersendiri. Tidak terkecuali bilangan pecahan. Mereka memiliki satu fitur penting, yang dengannya dimungkinkan untuk melakukan operasi tertentu pada mereka. Apa sifat utama pecahan? Aturan mengatakan bahwa jika pembilang dan penyebutnya dikalikan atau dibagi sama bilangan rasional, kita mendapatkan pecahan baru, yang nilainya akan sama dengan nilai aslinya. Artinya, mengalikan dua bagian dari bilangan pecahan 3/6 dengan 2, kita mendapatkan pecahan baru 6/12, sementara mereka akan sama.

Berdasarkan sifat ini, Anda dapat mengurangi pecahan, serta memilih penyebut yang sama untuk pasangan angka tertentu.

Operasi

Meskipun pecahan tampak lebih kompleks bagi kita, pecahan juga dapat melakukan operasi matematika dasar, seperti penjumlahan dan pengurangan, perkalian dan pembagian. Selain itu, ada tindakan khusus seperti pengurangan pecahan. Secara alami, masing-masing tindakan ini dilakukan sesuai dengan aturan tertentu. Mengetahui hukum-hukum ini memudahkan untuk bekerja dengan pecahan, membuatnya lebih mudah dan lebih menarik. Itulah sebabnya lebih lanjut kami akan mempertimbangkan aturan dasar dan algoritme tindakan saat bekerja dengan angka-angka tersebut.

Tetapi sebelum kita berbicara tentang operasi matematika seperti penambahan dan pengurangan, kita akan menganalisis operasi seperti pengurangan ke penyebut yang sama. Di sinilah pengetahuan tentang sifat dasar pecahan akan berguna.

Faktor persekutuan

Untuk mengurangi suatu bilangan menjadi penyebut yang sama, Anda harus mencari kelipatan persekutuan terkecil dari kedua penyebutnya terlebih dahulu. Yaitu bilangan terkecil, yang secara bersamaan dapat dibagi oleh kedua penyebut tanpa sisa. Cara termudah untuk menemukan KPK (kelipatan persekutuan terkecil) adalah dengan menulis satu baris untuk satu penyebut, kemudian untuk yang kedua dan menemukan nomor yang cocok di antara mereka. Dalam hal KPK tidak ditemukan, yaitu angka-angka ini tidak memiliki kelipatan persekutuan, mereka harus dikalikan, dan nilai yang dihasilkan harus dianggap sebagai KPK.

Jadi, kami telah menemukan NOC, sekarang kami harus menemukan pengganda tambahan. Untuk melakukan ini, Anda perlu membagi KPK secara bergantian menjadi penyebut pecahan dan menuliskan angka yang dihasilkan di atas masing-masingnya. Selanjutnya, kalikan pembilang dan penyebutnya dengan faktor tambahan yang dihasilkan dan tulis hasilnya sebagai pecahan baru. Jika Anda ragu bahwa nomor yang Anda terima sama dengan yang sebelumnya, ingatlah sifat utama pecahan.

Tambahan

Sekarang mari kita langsung ke operasi matematika pada bilangan pecahan. Mari kita mulai dengan yang paling sederhana. Ada beberapa opsi untuk menjumlahkan pecahan. Dalam kasus pertama, kedua angka memiliki penyebut yang sama. Dalam hal ini, tinggal menjumlahkan pembilangnya saja. Tapi penyebutnya tidak berubah. Misalnya, 1/5 + 3/5 = 4/5.

Jika pecahan penyebut yang berbeda, Anda harus menguranginya menjadi yang umum dan baru kemudian melakukan penambahan. Bagaimana melakukan ini, kami telah berdiskusi dengan Anda sedikit lebih tinggi. Dalam situasi ini, properti utama pecahan akan berguna. Aturan akan memungkinkan Anda untuk membawa nomor ke penyebut yang sama. Nilai tidak akan berubah dengan cara apa pun.

Atau, mungkin terjadi bahwa fraksi dicampur. Maka pertama-tama Anda harus menjumlahkan seluruh bagian, dan kemudian yang pecahan.

Perkalian

Itu tidak memerlukan trik apa pun, dan untuk melakukan tindakan ini, tidak perlu mengetahui sifat dasar pecahan. Cukup dengan mengalikan dulu pembilang dan penyebutnya. Dalam hal ini, hasil kali pembilangnya akan menjadi pembilang baru, dan hasil kali penyebutnya akan menjadi penyebut baru. Seperti yang Anda lihat, tidak ada yang rumit.

Satu-satunya hal yang diperlukan dari Anda adalah pengetahuan tentang tabel perkalian, serta perhatian. Selain itu, setelah menerima hasilnya, sangat penting untuk memeriksa apakah mungkin untuk mengurangi nomor yang diberikan atau tidak. Kami akan berbicara tentang cara mengurangi pecahan nanti.

Pengurangan

Melakukan harus dipandu oleh aturan yang sama seperti saat menambahkan. Jadi, dalam bilangan dengan penyebut yang sama itu cukup untuk mengurangkan pembilang dari pengurangan dari pembilang dari minuend. Jika pecahan memiliki penyebut yang berbeda, Anda harus membawanya ke penyebut yang sama dan kemudian mengeksekusi operasi ini. Seperti halnya kasus tambahan analog, Anda harus menggunakan properti utama pecahan aljabar, serta keterampilan dalam menemukan NOC dan pembagi umum untuk pecahan.

Divisi

Dan operasi terakhir yang paling menarik ketika bekerja dengan angka-angka seperti itu adalah pembagian. Ini cukup sederhana dan tidak menimbulkan kesulitan khusus bahkan bagi mereka yang tidak mengerti cara bekerja dengan pecahan, terutama untuk melakukan operasi penjumlahan dan pengurangan. Saat membagi, aturannya adalah mengalikan dengan timbal-balik. Properti utama pecahan, seperti dalam kasus perkalian, tidak akan digunakan untuk operasi ini. Mari kita lihat lebih dekat.

Saat membagi angka, dividen tetap tidak berubah. Pembagi dibalik, yaitu pembilang dan penyebut dibalik. Setelah itu, angka-angka tersebut dikalikan satu sama lain.

Pengurangan

Jadi, kami telah memeriksa definisi dan struktur pecahan, jenisnya, aturan operasi pada bilangan yang diberikan, dan menemukan sifat utama pecahan aljabar. Sekarang mari kita bicara tentang operasi seperti pengurangan. Mengurangi pecahan adalah proses mengubahnya - membagi pembilang dan penyebut dengan angka yang sama. Jadi, pecahan direduksi tanpa mengubah sifat-sifatnya.

Biasanya saat membuat operasi matematika Anda harus hati-hati melihat hasil akhir dan mencari tahu apakah mungkin untuk mengurangi pecahan yang dihasilkan atau tidak. Ingat itu di hasil akhir bilangan pecahan yang tidak memerlukan pengurangan selalu ditulis.

Operasi lainnya

Akhirnya, kami mencatat bahwa kami telah mendaftar jauh dari semua operasi pada bilangan pecahan, hanya menyebutkan yang paling terkenal dan perlu. Pecahan juga dapat dibandingkan, dikonversi ke desimal, dan sebaliknya. Tetapi dalam artikel ini kami tidak mempertimbangkan operasi ini, karena dalam matematika mereka dilakukan jauh lebih jarang daripada yang telah kami berikan di atas.

temuan

Kami telah berbicara tentang bilangan pecahan dan transaksi dengan mereka. Kami juga menganalisis properti utama, tetapi kami mencatat bahwa semua masalah ini dipertimbangkan oleh kami secara sepintas. Kami hanya memberikan aturan yang paling terkenal dan digunakan, kami telah memberikan saran yang paling penting, menurut pendapat kami.

Artikel ini dimaksudkan untuk menyegarkan kembali informasi yang Anda lupakan tentang pecahan daripada memberikannya informasi baru dan pukul kepalamu aturan tanpa akhir dan formula yang kemungkinan besar tidak akan pernah Anda butuhkan.

Kami berharap materi yang disajikan dalam artikel secara sederhana dan ringkas dapat bermanfaat bagi Anda.