Pernyataan itu terbukti.

Memang, misalnya, 2< 3, но

Sifat 4. Jika a > b dan c > d, maka a + c > b + d.

Bukti. Karena a>b dan c>d, maka perbedaan a-b dan c-d adalah bilangan positif. Maka jumlah dari bilangan-bilangan tersebut juga merupakan bilangan positif (a-b)+(c-d). Perluas tanda kurung dan grup (a-b)+(c-d) = a-b+ c-d= (a+c)-(b+ d). Mengingat kesetaraan ini, ekspresi yang dihasilkan (a + c) - (b + d) akan menjadi bilangan positif. Oleh karena itu, a+ c> b+ d.

Pertidaksamaan bentuk a>b, c>d atau a< b, c< d называют неравенствами одинакового смысла, а неравенства a>b, c

Sifat 5. Jika a > b, c > d, maka ac > bd, di mana a, b, c, d adalah bilangan positif.

Bukti. Karena a>b dan c adalah bilangan positif, maka, dengan menggunakan sifat 3, diperoleh ac > bc. Karena c >d dan b adalah bilangan positif, maka bc > bd. Oleh karena itu, dengan properti pertama ac > bd. Arti dari sifat terbukti adalah sebagai berikut: “Jika kita mengalikan suku dengan pertidaksamaan istilah yang sama artinya, yang bagian kiri dan kanannya adalah bilangan positif, maka kita mendapatkan pertidaksamaan yang sama artinya”

Misalnya, 6< a < 7, 4 < b< 5 тогда, 24 < ab < 35.

Sifat 6. Jika a< b, a и b - положительные числа, то an< bn, где n- натуральное число.

Bukti. Jika kita mengalikan suku demi suku, n pertidaksamaan ini a< b, то, согласно утверждению свойства 5, получим an< bn. Прочесть доказанное утверждение можно так: «Если обе части неравенства - положительные числа, то их можно возвести в одну и ту же gelar alami, menjaga tanda pertidaksamaan.

3 Aplikasi properti

Pertimbangkan contoh penerapan properti yang telah kami pertimbangkan.

Biarkan 33< a < 34, 3 < b< 4. Оценить сумму a + b, разность a - b, произведение a ∙ b и частное a: b.

1) Perkirakan jumlah a + b. Menggunakan properti 4, kita mendapatkan 33 + 3< a + b < 34 + 4 или

36 < a+ b <38.

2) Perkirakan selisih a - b. Karena tidak ada sifat pengurangan, maka selisih a - b akan diganti dengan jumlah a + (-b). Mari kita evaluasi (- b) terlebih dahulu. Untuk melakukan ini, gunakan properti 3, kedua bagian dari pertidaksamaan 3< b< 4 умножим на -1, при этом меняем знак неравенства на противоположный знак 3 ∙ (-1) >b∙ (-1) > 4 (-1). Kami mendapatkan -4< -b< -3. Теперь можно сложить два неравенства одного знака 33< a < 34 и -4< -b< -3. Имеем 2 9< a - b <31.

3) Perkirakan produk a b. Dengan properti 5, kami mengalikan pertidaksamaan dengan tanda yang sama

PERSAMAAN LINIER DAN PERTIMBANGAN I

10 Sifat dasar pertidaksamaan numerik

1. Jika a > b, kemudian b< а , dan sebaliknya, jika sebuah< b , kemudian b > a.

Bukti. Biarlah a > b . Menurut definisi, ini berarti bahwa jumlah ( a - b ) adalah positif. Jika kita meletakkan tanda minus di depannya, maka angka yang dihasilkan adalah - ( a - b ) jelas akan negatif. Jadi - ( a - b ) < 0, или b - a < 0. А это (опять же по определению) и означает, что b< a .

Kami mengundang siswa untuk membuktikan pernyataan kebalikannya sendiri.

Properti pertidaksamaan yang terbukti mengakui sederhana interpretasi geometris: jika titik A terletak pada garis bilangan di sebelah kanan titik B, maka titik B terletak di sebelah kiri titik A, dan sebaliknya (lihat Gambar 20).

2. Jika a > b, sebuah b > c, kemudian a > c.

Secara geometris, sifat ini adalah sebagai berikut. Misalkan titik A (sesuai dengan angka sebuah ) terletak di sebelah kanan titik B (sesuai dengan nomor b ), dan titik B, pada gilirannya, terletak di sebelah kanan titik C (sesuai dengan nomor dengan ). Kemudian titik A akan lebih terletak di sebelah kanan titik C (Gbr. 21).

Mari kita berikan bukti aljabar dari sifat pertidaksamaan ini.

Biarlah a > b , sebuah b > c . Artinya bilangan ( a - b ) dan ( b-c ) adalah positif. Jumlah dua bilangan positif jelas positif. Jadi ( a - b ) + (b-c ) > 0, atau a - c > 0. Tapi ini berarti sebuah > dengan .

3. Jika a > b, maka untuk sembarang bilangan dengan a + c > b + c, a - c > b - c.

Dengan kata lain, jika suatu bilangan yang sama ditambahkan atau dikurangkan dari kedua bagian suatu pertidaksamaan numerik, maka pertidaksamaan tersebut tidak akan dilanggar.

Bukti. Biarlah a > b . Ini berarti bahwa a - b > 0. Tapi a - b = (a + c ) - (b + c ). Jadi ( a + c ) - (b + c ) > 0. Dan menurut definisi, ini berarti bahwa a + c > b + c . Demikian pula, ditunjukkan bahwa a - c > b - c .

Misalnya, jika kita menambahkan 1 1/2 ke kedua bagian dari pertidaksamaan 5 > 4, maka kita dapatkan
6 1/2 > 5 1/2 . Kurangi angka 5 dari kedua bagian pertidaksamaan ini, kita dapatkan 0 > - 1.

Konsekuensi. Suku apa pun dari satu bagian pertidaksamaan numerik dapat dipindahkan ke bagian lain pertidaksamaan dengan mengubah tanda suku ini menjadi kebalikannya.

Biarkan, misalnya, a + b > c . Hal ini diperlukan untuk membuktikan bahwa a > c - b . Untuk membuktikan dari kedua bagian pertidaksamaan ini, cukup dengan mengurangi angkanya b .

4. Biarlah a > b. Jika sebuah c > 0, kemudian ac > bc . Jika dengan< 0 , kemudian kartu as< bс .

Dengan kata lain, jika kedua bagian dari pertidaksamaan numerik dikalikan dengan bilangan positif, maka pertidaksamaan tersebut tidak akan dilanggar;
Jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan negatif, maka tanda pertidaksamaan akan berubah menjadi kebalikannya.

Singkatnya, properti ini dirumuskan sebagai berikut:

Pertidaksamaan dipertahankan di bawah perkalian suku-demi-suku dengan bilangan positif dan tanda terbalik di bawah perkalian suku-demi-suku dengan bilangan negatif.

Misalnya, mengalikan pertidaksamaan 5 > 1 suku dengan 7, kita mendapatkan 35 > 7. Suku demi suku, perkalian dari pertidaksamaan yang sama dengan - 7 menghasilkan - 35< - 7.

Bukti properti ke-4.

Biarlah a > b. Ini berarti bahwa nomor a - b secara positif. Hasil kali dua bilangan positif a - b dan dengan jelas juga positif, yaitu ( a - b ) dengan > 0, atau
ac - sm > 0. Oleh karena itu ac > bc .

Demikian pula, kami mempertimbangkan kasus ketika nomor dengan negatif. Produk dari bilangan positif a - b ke bilangan negatif dengan jelas negatif, yaitu
(a - b) c< 0; Itu sebabnya ac - sm< 0, dari mana kartu as< bс .

Konsekuensi. Tanda pertidaksamaan dipertahankan ketika dibagi suku dengan bilangan positif dan dibalik bila dibagi suku dengan bilangan negatif.

Ini mengikuti dari fakta bahwa pembagian dengan angka dengan =/= 0 sama dengan mengalikan dengan angka 1 / c .

Latihan

81. Dapatkah pertidaksamaan 2 > 1 dikalikan suku dengan suku dengan

sebuah) sebuah 2+1; b) | sebuah |; di) sebuah ; d) 1 - 2a + sebuah 2

sehingga tanda pertidaksamaan dipertahankan?

82. Apakah selalu 5 X lebih dari 4 X , sebuah - pada lebih kecil pada ?

83. Apa yang bisa menjadi angka? X jika diketahui bahwa - X > 7?

84. Susun dalam urutan menaik dari nomor: a) a 2, 5a 2, 2a 2; b) 5 sebuah , 2sebuah ; di) sebuah , sebuah 2 , sebuah 3 . 85. Susun dalam urutan menurun

a - b , sebuah - 2b , sebuah - 3b .

86. Berikan interpretasi geometris dari sifat ketiga pertidaksamaan numerik.

Bidang bilangan asli memiliki sifat keteraturan (butir 6, hal. 35): untuk sembarang bilangan a, b, satu dan hanya satu dari tiga relasi yang berlaku: atau . Dalam hal ini, notasi a > b berarti selisihnya positif, dan selisih notasinya negatif. Berbeda dengan bidang bilangan real, bidang bilangan kompleks tidak berurutan: untuk bilangan kompleks, konsep "lebih besar dari" dan "kurang dari" tidak didefinisikan; oleh karena itu, bab ini hanya membahas bilangan real.

Kita sebut pertidaksamaan relasi, angka a dan b adalah anggota (atau bagian) dari pertidaksamaan, tanda > (lebih besar dari) dan Pertidaksamaan a > b dan c > d disebut pertidaksamaan yang sama artinya; pertidaksamaan a > b dan c Dari definisi pertidaksamaan langsung diperoleh

1) bilangan positif apa pun yang lebih besar dari nol;

2) bilangan negatif apa pun yang kurang dari nol;

3) setiap angka positif lebih besar dari angka negatif apa pun;

4) dari dua bilangan negatif, yang nilai absolutnya lebih kecil lebih besar.

Semua pernyataan ini mengakui interpretasi geometris sederhana. Biarkan arah positif sumbu numerik pergi ke kanan dari titik awal; maka, apa pun tanda-tanda bilangan, yang lebih besar dilambangkan dengan sebuah titik yang terletak di sebelah kanan titik yang mewakili bilangan yang lebih kecil.

Pertidaksamaan memiliki sifat utama sebagai berikut.

1. Asimetri (ireversibilitas): jika , maka , dan sebaliknya.

Memang, jika perbedaannya positif, maka perbedaannya negatif. Mereka mengatakan bahwa ketika istilah pertidaksamaan disusun kembali, arti pertidaksamaan harus diubah menjadi kebalikannya.

2. Transitivitas: jika , maka . Memang, kepositifan perbedaan menyiratkan kepositifan

Selain tanda pertidaksamaan, tanda pertidaksamaan dan juga digunakan didefinisikan sebagai berikut: record berarti salah satu atau Oleh karena itu, misalnya, Anda dapat menulis dan juga. Biasanya, pertidaksamaan yang ditulis dengan tanda disebut ketidaksetaraan yang ketat, dan ditulis dengan bantuan tanda pertidaksamaan yang tidak tegas. Dengan demikian, tanda-tanda itu sendiri disebut tanda-tanda ketidaksetaraan ketat atau tidak ketat. Properti 1 dan 2 yang dibahas di atas juga berlaku untuk ketidaksetaraan non-ketat.

Pertimbangkan sekarang operasi yang dapat dilakukan pada satu atau lebih pertidaksamaan.

3. Dari penjumlahan bilangan yang sama ke anggota pertidaksamaan, arti pertidaksamaan tidak berubah.

Bukti. Biarkan pertidaksamaan dan nomor arbitrer diberikan. Menurut definisi, perbedaannya positif. Mari kita tambahkan dua untuk itu. angka berlawanan dari mana itu tidak akan berubah, yaitu.

Persamaan ini dapat ditulis ulang seperti ini:

Dari sini dapat disimpulkan bahwa perbedaannya positif, yaitu

dan ini harus dibuktikan.

Ini adalah dasar untuk kemungkinan memiringkan setiap suku pertidaksamaan dari satu bagian ke bagian lain dengan tanda yang berlawanan. Misalnya dari pertidaksamaan

mengikuti itu

4. Saat mengalikan suku-suku pertidaksamaan dengan bilangan positif yang sama, arti pertidaksamaan tidak berubah; jika istilah pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan negatif yang sama, arti pertidaksamaan berubah menjadi kebalikannya.

Bukti. Membiarkan maka Jika maka karena produk bilangan positif adalah positif. Memperluas tanda kurung di sisi kiri pertidaksamaan terakhir, kita mendapatkan , yaitu . Kasus ini dianggap dengan cara yang sama.

Kesimpulan yang persis sama dapat ditarik mengenai pembagian bagian-bagian pertidaksamaan dengan suatu bilangan bukan nol, karena pembagian dengan suatu bilangan sama dengan mengalikan suatu bilangan dan bilangan-bilangan tersebut memiliki tanda yang sama.

5. Biarkan persyaratan pertidaksamaan menjadi positif. Kemudian, ketika menaikkan anggotanya menjadi sama derajat positif arti ketimpangan tidak berubah.

Bukti. Membiarkan dalam hal ini, dengan sifat transitivitas, dan . Kemudian, karena peningkatan monoton fungsi daya untuk dan positif, kita akan memiliki

Secara khusus, jika di mana -bilangan asli, maka kita dapatkan

yaitu, ketika mengekstrak akar dari kedua bagian pertidaksamaan dengan suku positif, arti pertidaksamaan tidak berubah.

Biarkan persyaratan pertidaksamaan menjadi negatif. Maka mudah untuk membuktikan bahwa ketika anggotanya dinaikkan ke pangkat ganjil, arti pertidaksamaan tidak berubah, dan ketika dinaikkan ke pangkat genap, berubah menjadi kebalikannya. Dari pertidaksamaan dengan suku negatif, Anda juga dapat mengekstrak akar pangkat ganjil.

Biarkan, lebih lanjut, persyaratan pertidaksamaan memiliki tanda yang berbeda. Kemudian, saat menaikkannya menjadi derajat genap arti pertidaksamaan tidak akan berubah, dan ketika arti pertidaksamaan yang dihasilkan dinaikkan menjadi pangkat genap, tidak ada yang pasti dalam kasus umum tidak bisa dikatakan. Memang, ketika suatu bilangan dipangkatkan ganjil, tanda bilangan tersebut dipertahankan dan oleh karena itu arti pertidaksamaan tidak berubah. Jika pertidaksamaan dipangkatkan genap, maka pertidaksamaan dengan suku positif akan terbentuk, dan artinya akan bergantung pada nilai mutlak anggota ketidaksetaraan asli, Anda bisa mendapatkan ketidaksetaraan dengan arti yang sama dengan yang asli, ketidaksetaraan dengan arti yang berlawanan, dan bahkan persamaan!

Semua yang dikatakan tentang meningkatkan ketidaksetaraan menjadi kekuatan berguna untuk memeriksa contoh berikut.

Contoh 1. Naikkan pertidaksamaan berikut ke pangkat yang ditunjukkan, ubah tanda pertidaksamaan menjadi lawan atau tanda sama dengan, jika perlu.

a) 3 > 2 pangkat 4; b) pangkat 3;

c) pangkat 3; d) pangkat 2;

e) pangkat 5; e) pangkat 4;

g) 2 > -3 pangkat 2; h) pangkat 2,

6. Dari pertidaksamaan, Anda dapat pergi ke pertidaksamaan antara jika istilah pertidaksamaan keduanya positif atau keduanya negatif, maka antara kebalikannya ada pertidaksamaan yang berlawanan artinya:

Bukti. Jika a dan b bertanda sama, maka hasil kali keduanya positif. Bagi dengan pertidaksamaan

yaitu, yang diperlukan untuk mendapatkan.

Jika suku-suku pertidaksamaan memiliki tanda berlawanan, maka pertidaksamaan antara resiprokalnya memiliki arti yang sama, karena tanda-tandanya timbal balik sama dengan tanda-tanda besaran itu sendiri.

Contoh 2. Periksa properti terakhir 6 pada pertidaksamaan berikut:

7. Logaritma pertidaksamaan hanya dapat dilakukan jika suku pertidaksamaan adalah positif (bilangan negatif dan nol tidak memiliki logaritma).

Biarlah. Lalu kapan?

dan kapan?

Kebenaran dari pernyataan-pernyataan ini didasarkan pada monotonisitas fungsi logaritma, yang meningkat jika basis dan menurun jika

Jadi, ketika mengambil logaritma dari pertidaksamaan yang terdiri dari suku-suku positif, dengan basis lebih besar dari satu, pertidaksamaan dengan arti yang sama dengan yang diberikan terbentuk, dan ketika mengambil logaritmanya dengan basis positif kurang dari satu, pertidaksamaan dari makna yang berlawanan terbentuk.

8. Jika , maka jika , tetapi , maka .

Ini segera mengikuti dari sifat monotonisitas Fungsi eksponensial(Bagian 42), yang meningkat dalam kasus ini dan menurun jika

Saat menambahkan pertidaksamaan dengan arti yang sama istilah demi istilah, ketidaksetaraan dengan arti yang sama dengan data terbentuk.

Bukti. Mari kita buktikan pernyataan ini untuk dua pertidaksamaan, meskipun pernyataan ini benar untuk sejumlah pertidaksamaan yang dijumlahkan. Biarkan ketidaksetaraan

Menurut definisi, angka akan positif; maka jumlah mereka juga ternyata positif, yaitu.

Mengelompokkan istilah secara berbeda, kita dapatkan

dan karenanya

dan ini harus dibuktikan.

Tidak ada yang pasti dapat dikatakan dalam kasus umum tentang arti dari sebuah pertidaksamaan yang dihasilkan dari penambahan dua atau lebih pertidaksamaan dari arti yang berbeda.

10. Jika pertidaksamaan lain yang berlawanan maknanya dikurangi suku demi suku dari satu pertidaksamaan, maka pertidaksamaan yang sama maknanya dengan pertidaksamaan pertama akan terbentuk.

Bukti. Biarkan dua ketidaksetaraan arti yang berbeda diberikan. Yang kedua, dengan sifat ireversibilitas, dapat ditulis ulang sebagai berikut: d > c. Mari kita sekarang menambahkan dua pertidaksamaan dengan arti yang sama dan memperoleh pertidaksamaan

arti yang sama. Dari yang terakhir kita temukan

dan ini harus dibuktikan.

Tidak ada yang pasti dapat dikatakan dalam kasus umum tentang arti dari suatu pertidaksamaan yang diperoleh dengan mengurangkan pertidaksamaan lain yang memiliki arti yang sama dari suatu pertidaksamaan.

Pertidaksamaan numerik dan sifat-sifatnya

Presentasi merinci isi topik PERTIMBANGAN NUMERIK dan SIFAT-SIFAT KETIMPANGAN NUMERIK, contoh diberikan untuk membuktikan ketidaksetaraan numerik. (Aljabar kelas 8, penulis Makarychev Yu.N.)

Lihat konten dokumen
Pertidaksamaan numerik dan sifat-sifatnya

Pertidaksamaan numerik

dan sifat-sifatnya

guru MOU Matematika"Upshinskaya OOSh"

Distrik Orsha di Republik Mari El

(Untuk buku teks Yu.A. Makarychev Aljabar 8

Pertidaksamaan numerik

Hasil perbandingan dua bilangan atau lebih ditulis pertidaksamaan dengan menggunakan tanda  ,  , =

Kami membandingkan angka menggunakan berbagai aturan (metode). Lebih mudah untuk memiliki generalisasi metode perbandingan yang mencakup semua kasus.

Definisi:

Nomor sebuah lebih banyak nomor b jika selisih ( sebuah – b) adalah bilangan positif.

Nomor sebuah kurang dari angka b jika selisih ( sebuah – b) adalah bilangan negatif.

Nomor sebuah sama dengan b jika selisihnya ( sebuah – b) – sama dengan nol

Cara umum untuk membandingkan angka

Contoh 1

Penerapan cara umum membandingkan angka untuk membuktikan ketidaksetaraan

Contoh 2. Buktikan bahwa rata-rata aritmatika dari dua bilangan positif tidak kurang dari rata-rata geometrik dari bilangan-bilangan ini.

Jika kedua ruas pertidaksamaan sejati dikalikan atau dibagi dengan bilangan positif yang sama, maka pertidaksamaan yang benar diperoleh.

Jika kedua bagian dari pertidaksamaan sejati dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama dan tanda pertidaksamaan dibalik, maka diperoleh pertidaksamaan yang benar.

P = 3a

Kalikan dengan 3 kedua sisi dari setiap pertidaksamaan

54.2 3 a 3

162,6

Menerapkan sifat-sifat pertidaksamaan numerik