Konsep monomial

Definisi monomial: monomial adalah ekspresi aljabar, yang hanya menggunakan perkalian.

Bentuk standar dari monomial

Apa bentuk standar dari monomial? Monomial ditulis dalam bentuk standar, jika memiliki faktor numerik di tempat pertama dan faktor ini, itu disebut koefisien monomial, hanya satu di monomial, huruf-huruf monomial terletak di Sesuai abjad dan setiap huruf hanya muncul sekali.

Contoh monomial dalam bentuk standar:

di sini di tempat pertama adalah nomor, koefisien monomial, dan nomor ini hanya satu di monomial kami, setiap huruf hanya muncul sekali dan huruf disusun dalam urutan abjad, di kasus ini adalah alfabet Latin.

Contoh lain dari monomial dalam bentuk standar:

setiap huruf hanya muncul sekali, mereka diatur dalam urutan abjad Latin, tetapi di mana adalah koefisien monomial, mis. faktor bilangan yang harus didahulukan? Dia di sini sama dengan satu: 1 adm.

Bisakah koefisien monomial negatif? Ya, mungkin, contoh: -5a.

Bisakah koefisien monomial menjadi pecahan? Ya, mungkin, contoh: 5.2a.

Jika monomial hanya terdiri dari angka, mis. tidak memiliki huruf, bagaimana membawanya ke bentuk standar? Setiap monomial yang berupa bilangan sudah dalam bentuk baku, contoh: bilangan 5 merupakan bentuk baku monomial.

Pengurangan monomial ke bentuk standar

Bagaimana cara membawa monomial ke bentuk standar? Pertimbangkan contoh.

Biarkan monomial 2a4b diberikan, kita perlu membawanya ke bentuk standar. Kami mengalikan dua faktor numeriknya dan mendapatkan 8ab. Sekarang monomial ditulis dalam bentuk standar, yaitu. hanya memiliki satu faktor numerik, ditulis di tempat pertama, setiap huruf dalam monomial hanya muncul satu kali, dan huruf-huruf ini disusun dalam urutan abjad. Jadi 2a4b = 8ab.

Diberikan: monomial 2a4a, bawa monomial ke bentuk standar. Kami mengalikan angka 2 dan 4, produk aa diganti dengan kekuatan kedua a 2 . Kami mendapatkan: 8a 2 . Ini adalah bentuk standar dari monomial ini. Jadi, 2a4a = 8a2 .

Monomial serupa

Apa itu monomial yang serupa? Jika monomial hanya berbeda dalam koefisien atau sama, maka mereka disebut serupa.

Contoh monomial serupa: 5a dan 2a. Monomial ini hanya berbeda dalam koefisien, yang berarti mereka serupa.

Apakah monomial 5abc dan 10cba serupa? Kami membawa monomial kedua ke bentuk standar, kami mendapatkan 10abc. Sekarang jelas bahwa monomial 5abc dan 10abc hanya berbeda dalam koefisiennya, yang berarti mereka serupa.

Penambahan monomial

Berapa jumlah monomial? Kami hanya dapat menjumlahkan monomial yang serupa. Perhatikan contoh penambahan monomial. Berapa jumlah monomial 5a dan 2a? Jumlah dari monomial ini akan menjadi monomial yang serupa dengan mereka, yang koefisiennya sama dengan jumlah koefisien istilah. Jadi, jumlah monomialnya adalah 5a + 2a = 7a.

Lebih banyak contoh penambahan monomial:

2a 2 + 3a 2 = 5a 2
2a 2 b 3 c 4 + 3a 2 b 3 c 4 = 5a 2 b 3 c 4

Lagi. Anda hanya dapat menambahkan monomial serupa; penambahan dikurangi untuk menambahkan koefisiennya.

Pengurangan monomial

Apa perbedaan monomial? Kita hanya dapat mengurangi monomial yang serupa. Perhatikan contoh pengurangan monomial. Apa perbedaan antara monomial 5a dan 2a? Perbedaan monomial ini akan menjadi monomial yang serupa dengan mereka, yang koefisiennya sama dengan perbedaan koefisien monomial ini. Jadi, selisih monomial sama dengan 5a - 2a = 3a.

Lebih banyak contoh pengurangan monomial:

10a2 - 3a2 = 7a2
5a 2 b 3 c 4 - 3a 2 b 3 c 4 = 2a 2 b 3 c 4

Perkalian monomial

Apa produk dari monomial? Pertimbangkan sebuah contoh:

itu. produk monomial sama dengan monomial yang faktor-faktornya terdiri dari faktor-faktor monomial asli.

Contoh lain:

2a 2 b 3 * a 5 b 9 = 2a 7 b 12 .

Bagaimana hasil ini terjadi? Setiap faktor memiliki "a" di tingkat: yang pertama - "a" di tingkat 2, dan yang kedua - "a" di tingkat 5. Ini berarti bahwa produk akan memiliki "a" di tingkat dari 7, karena ketika mengalikan huruf identik, eksponennya bertambah:

A2 * a 5 = a 7 .

Hal yang sama berlaku untuk faktor "b".

Koefisien faktor pertama sama dengan dua, dan yang kedua - satu, jadi kita mendapatkan 2 * 1 = 2 sebagai hasilnya.

Ini adalah bagaimana hasil 2a 7 b 12 dihitung.

Contoh-contoh ini menunjukkan bahwa koefisien monomial dikalikan, dan huruf identik digantikan oleh jumlah kekuatan mereka dalam produk.

Perbandingan luas 2 segitiga sebangun sama dengan kuadrat koefisien keserupaan. Teorema (kriteria kedua untuk persamaan segitiga). Jika dua sudut dari satu segitiga masing-masing sama dengan dua sudut yang lain, maka segitiga-segitiga ini sebangun. Disebut segitiga sebangun, yang sudut-sudutnya sama besar, dan sisi-sisi yang sebangun sebanding: , di mana adalah koefisien keseragaman.

Untuk contoh penerapan akibat wajar ini, lihat di bawah di bagian: "Contoh segitiga sebangun" dan "Sifat paralelisme (anti-paralelisme) dari sisi segitiga terkait." Oleh karena itu, misalnya, orthotriangle dari orthotriangle dan segitiga asli adalah serupa, seperti segitiga dengan sisi sejajar. Titik-titik yang tidak terletak pada satu garis lurus, dengan kemiripan apapun, menuju titik-titik yang tidak terletak pada satu garis lurus. Kemiripan disebut tepat (tidak tepat) jika gerakan D(\displaystyle D) tepat (tidak tepat).

Dalam segitiga sebangun tempat penting menempati konsep rasio segmen. Segitiga serupa dalam beberapa hal. Untuk menetapkan kesamaan segitiga, perlu untuk menetapkan validitas enam persamaan di atas (sudut dan rasio sisi), tetapi tidak selalu mungkin untuk melakukan ini. Ada tiga kesamaan secara total. Penjelasan: luas segitiga adalah produk dari dua elemen linier - sisi dan tinggi.

Keliling segitiga diberikan kepada kita, kita dapat menemukan keliling segitiga, karena kita diberikan panjang sisi-sisinya, jadi kita akan menemukan koefisien kesamaan dan menentukan panjang sisi yang diinginkan. Koefisien keserupaan menyatakan proporsionalitas, yaitu perbandingan panjang sisi suatu segitiga dengan sisi-sisi sebangun lainnya: k = AB/A’B’= BC/B’C’ = AC/A’C’.

Temukan rasio sisi yang sama, yang akan menjadi koefisien kesamaan

Misalnya, dalam tugas yang diberikan segitiga serupa dan panjang sisinya diberikan. Karena segitiga-segitiga itu sebangun dari segi kondisinya, carilah sisi-sisinya yang sebangun. Bagilah luas segitiga sebangun satu per satu dan ekstrak Akar pangkat dua dari hasil. Rasio keliling, panjang median, mediatrik yang dibangun ke sisi yang sama adalah sama dengan koefisien kesamaan.

Hukum kesamaan - dalam aerodinamika

Dengan teorema sinus, untuk setiap segitiga dengan rasio sisi terhadap sinus sudut yang berlawanan sama dengan diameter lingkaran yang mengelilinginya. Gunakan cara yang sama untuk mencari koefisien jika Anda memiliki lingkaran dalam segitiga yang sama dengan jari-jari yang diketahui.

Kesamaan sendiri mempertahankan orientasi gambar, dan tidak tepat - mengubah orientasi ke sebaliknya. Kemiripan didefinisikan serupa (dengan pelestarian sifat-sifat di atas) dalam ruang Euclidean 3-dimensi, serta dalam ruang Euclidean dan pseudo-Euclidean dimensi-n. Sisi-sisi yang sebangun pada segitiga adalah berhadapan sudut yang sama. Koefisien kesamaan dapat ditemukan cara yang berbeda. Untuk melakukan ini, tuliskan panjang sisi satu dan yang lain dalam urutan menaik.

Anda dapat menghitung faktor kesamaan untuk segitiga jika Anda mengetahui luasnya. Jika Anda membagi panjang garis bagi atau tinggi yang ditarik dari sudut yang sama, Anda juga akan mendapatkan koefisien kesamaan.

Gunakan properti ini untuk menemukan koefisien jika nilai-nilai ini diberikan dalam pernyataan masalah

Jika tiga sisi dari suatu segitiga sebanding dengan tiga sisi dari segitiga yang lain, maka segitiga-segitiga tersebut sebangun. Koefisien kesamaan k sama dengan rasio dimensi linier yang sesuai dari angka F dan oleh karena itu luasnya angka serupa berhubungan sebagai kuadrat dari dimensi liniernya masing-masing. Kami menemukan bahwa persamaan segitiga adalah kasus spesial kesamaan.

Adalah . Dalam artikel ini, kita akan mendefinisikan suku-suku serupa, mencari tahu apa yang disebut pengurangan suku-suku serupa, mempertimbangkan aturan-aturan yang digunakan untuk melakukan tindakan ini, dan memberikan contoh-contoh pengurangan suku-suku serupa dengan Detil Deskripsi solusi.

Navigasi halaman.

Pengertian dan contoh istilah yang mirip.

Percakapan tentang istilah-istilah tersebut muncul setelah berkenalan dengan ekspresi literal, ketika menjadi perlu untuk melakukan transformasi dengan mereka. Menurut buku teks matematika N. Ya. Vilenkin definisi istilah sejenis diberikan di kelas 6, dan memiliki kata-kata berikut:

Definisi.

Istilah serupa adalah suku-suku yang memiliki bagian huruf yang sama.

Perlu mempertimbangkan definisi ini dengan cermat. Pertama-tama, kita sedang berbicara tentang istilah, dan, seperti diketahui, istilahnya adalah elemen penyusun jumlah. Cara, seperti istilah hanya dapat hadir dalam ekspresi yang mewakili jumlah. Kedua, dalam definisi yang disuarakan dari istilah-istilah tersebut ada konsep yang tidak dikenal tentang "bagian literal". Apa yang dimaksud dengan bagian huruf? Ketika definisi ini diberikan di kelas enam, bagian huruf mengacu pada satu huruf (variabel) atau produk dari beberapa huruf. Ketiga, pertanyaannya tetap: "Apa istilah-istilah ini dengan bagian huruf"? Ini adalah istilah yang merupakan produk dari angka tertentu, yang disebut koefisien numerik, dan bagian huruf.

Sekarang Anda dapat membawa contoh istilah serupa. Perhatikan jumlah dua suku 3·a dan 2·a yang berbentuk 3·a+2·a . Istilah-istilah dalam jumlah ini memiliki bagian huruf yang sama, yang diwakili oleh huruf a , oleh karena itu, menurut definisi, istilah-istilah ini serupa. Koefisien numerik dari suku-suku serupa ini adalah angka 3 dan 2 .

Contoh lain: total 5 x y 3 z+12 x y 3 z+1 suku-suku 5·x·y 3 ·z dan 12·x·y 3 ·z dengan bagian literal yang sama x·y 3 ·z adalah serupa. Perhatikan bahwa y 3 hadir di bagian literal, kehadirannya tidak melanggar definisi bagian literal yang diberikan di atas, karena sebenarnya adalah produk dari y·y·y .

Secara terpisah, kita perhatikan bahwa koefisien numerik 1 dan 1 untuk suku-suku seperti itu sering tidak ditulis secara eksplisit. Misalnya, dalam penjumlahan 3 z 5 +z 5 z 5 ketiga suku 3 z 5 , z 5 dan z 5 serupa, mereka memiliki bagian huruf yang sama z 5 dan koefisien 3 , 1 dan 1 berturut-turut, dari yang 1 dan 1 tidak terlihat jelas.

Berasal dari ini, dalam jumlah 5+7 x−4+2 x+y, tidak hanya 7 x dan 2 x adalah suku-suku serupa, tetapi juga suku-suku tanpa huruf bagian 5 dan 4 .

Kemudian, konsep bagian literal juga berkembang - saya mulai mempertimbangkan bagian literal tidak hanya produk huruf, tetapi ekspresi literal yang sewenang-wenang. Misalnya, dalam buku teks aljabar untuk penulis kelas 8 Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorov, diedit oleh S. A. Telykovsky, jumlah bentuk diberikan, dan dikatakan bahwa suku-suku komponennya serupa. Bagian literal umum dari istilah serupa ini adalah ekspresi dengan akar bentuk .

Demikian pula, istilah serupa dalam ekspresi 4 (x 2 +x−1/x)−0,5 (x 2 +x−1/x)−1 kita dapat mempertimbangkan suku 4 (x 2 +x−1/x) dan 0.5 (x 2 +x−1/x) , karena mereka memiliki bagian huruf yang sama (x 2 +x−1/x) .

Meringkas semua informasi di atas, kami dapat memberikan definisi istilah serupa berikut.

Definisi.

Istilah serupa disebut istilah dalam ekspresi literal memiliki bagian literal yang sama, serta istilah yang tidak memiliki bagian literal, di mana bagian literal dipahami sebagai ekspresi literal apa pun.

Secara terpisah, kita katakan bahwa suku-suku yang serupa bisa sama (bila koefisien numeriknya sama), atau bisa berbeda (bila koefisien numeriknya berbeda).

Sebagai penutup paragraf ini, kita akan membahas satu hal yang sangat halus. Pertimbangkan ekspresi 2 x y+3 y x . Apakah suku 2 x y dan 3 y x serupa? Pertanyaan ini juga dapat dirumuskan sebagai berikut: “Apakah bagian literal x y dan y x dari suku-suku yang ditunjukkan adalah sama”? Urutan faktor literal di dalamnya berbeda, sehingga sebenarnya tidak sama, oleh karena itu, istilah 2·x·y dan 3·y·x menurut definisi yang diperkenalkan di atas tidak serupa.

Namun, cukup sering istilah seperti itu disebut istilah serupa (tetapi demi ketelitian lebih baik tidak melakukan ini). Dalam hal ini, mereka dipandu oleh yang berikut: menurut permutasi faktor-faktor dalam produk, itu tidak mempengaruhi hasil, sehingga ekspresi asli 2 x y+3 y x dapat ditulis ulang sebagai 2 x y+3 x y , yang istilahnya mirip. Yaitu, ketika mereka berbicara tentang istilah serupa 2 x y dan 3 y x dalam ekspresi 2 x y+3 y x , mereka berarti istilah 2 x y dan 3 x y dalam ekspresi transformasi bentuk 2 x y+3 x y .

Pengurangan istilah, aturan, contoh yang serupa

Transformasi ekspresi yang mengandung istilah serupa menyiratkan penambahan istilah ini. Tindakan ini memiliki nama khusus - pengurangan suku-suku sejenis.

Pengurangan istilah serupa dilakukan dalam tiga tahap:

• pertama, istilah-istilah tersebut disusun kembali sehingga istilah-istilah yang serupa saling bersebelahan;
• setelah itu, bagian literal dari istilah serupa dikeluarkan dari tanda kurung;
• akhirnya, nilai ekspresi numerik yang dibentuk dalam tanda kurung dihitung.

Mari kita menganalisis langkah-langkah yang direkam dengan sebuah contoh. Kami menyajikan istilah serupa dalam ekspresi 3 x y+1+5 x y . Pertama, kita susun kembali suku-sukunya sehingga suku-suku serupa 3 x y dan 5 x y saling bersebelahan: 3 x y+1+5 x y=3 x y+5 x y+1. Kedua, kami mengambil bagian literal dari tanda kurung, kami mendapatkan ekspresi x·y·(3+5)+1 . Ketiga, kami menghitung nilai ekspresi yang dibentuk dalam tanda kurung: x·y·(3+5)+1=x·y·8+1 . Karena koefisien numerik biasanya ditulis sebelum bagian huruf, kami akan memindahkannya ke tempat ini: x·y·8+1=8·x·y+1. Ini melengkapi pengurangan istilah serupa.

Untuk kenyamanan, tiga langkah di atas digabungkan menjadi aturan pengurangan suku sejenis: untuk menghasilkan suku-suku serupa, Anda perlu menambahkan koefisiennya dan mengalikan hasilnya dengan bagian huruf (jika ada).

Penyelesaian dari contoh sebelumnya menggunakan aturan pengurangan suku-suku sejenis akan lebih pendek. Mari kita bawa dia. Koefisien suku sebangun 3 x y dan 5 x y dalam ekspresi 3 x y+1+5 x y adalah bilangan 3 dan 5, jumlah mereka adalah 8, dikalikan dengan bagian huruf x y , kita mendapatkan hasil pengurangan suku-suku ini adalah 8·x·y . Tetap tidak melupakan istilah 1 dalam ekspresi aslinya, sebagai hasilnya kami memiliki 3 x y+1+5 x y=8 x y+1 .

Tingkat pertama

konversi ekspresi. teori rinci (2019)

Konversi ekspresi

Sering kita mendengar ini ungkapan yang tidak menyenangkan: "sederhanakan ekspresi." Biasanya, dalam hal ini, kami memiliki beberapa jenis monster seperti ini:

"Ya, jauh lebih mudah," kata kami, tetapi jawaban seperti itu biasanya tidak berhasil.

Sekarang saya akan mengajari Anda untuk tidak takut dengan tugas seperti itu. Selain itu, di akhir pelajaran, Anda sendiri akan menyederhanakan contoh ini menjadi (hanya!) nomor biasa(ya, persetan dengan surat-surat itu).

Tetapi sebelum Anda memulai pelajaran ini, Anda harus mampu menangani pecahan dan polinomial faktor. Karena itu, pertama-tama, jika Anda belum pernah melakukan ini sebelumnya, pastikan untuk menguasai topik "" dan "".

Membaca? Jika ya, maka Anda siap.

Operasi penyederhanaan dasar

Sekarang kita akan menganalisis teknik utama yang digunakan untuk menyederhanakan ekspresi.

Yang paling sederhana adalah

1. Membawa yang serupa

Apa yang mirip? Anda mengalami ini di kelas 7, ketika huruf pertama kali muncul dalam matematika, bukan angka. Serupa adalah istilah (monomial) dengan bagian huruf yang sama. Misalnya, dalam penjumlahan, suku-suku sejenis adalah dan.

Ingat?

Membawa istilah yang sama berarti menambahkan beberapa istilah yang mirip satu sama lain dan mendapatkan satu istilah.

Tapi bagaimana kita bisa menyatukan huruf? - Anda bertanya.

Ini sangat mudah dipahami jika Anda membayangkan bahwa huruf-huruf itu adalah semacam benda. Misalnya, surat itu adalah kursi. Lalu apa ekspresinya? Dua kursi ditambah tiga kursi, berapa harganya? Betul, kursi: .

Sekarang coba ekspresi ini:

Agar tidak bingung, yuk huruf yang berbeda mewakili hal yang berbeda. Misalnya, - ini (seperti biasa) kursi, dan - ini meja. Kemudian:

kursi meja kursi meja kursi kursi meja

Angka-angka dengan mana huruf-huruf dalam istilah tersebut dikalikan disebut koefisien. Misalnya, dalam monomial koefisiennya sama. Dan dia setara.

Jadi, aturan untuk membawa yang serupa:

Contoh:

Bawa yang serupa:

Jawaban:

2. (dan serupa, karena, oleh karena itu, istilah-istilah ini memiliki bagian huruf yang sama).

2. Faktorisasi

Ini biasanya yang paling bagian utama dalam menyederhanakan ekspresi. Setelah Anda memberikan yang serupa, paling sering ekspresi yang dihasilkan harus difaktorkan, yaitu, disajikan sebagai produk. Ini sangat penting dalam pecahan: lagi pula, untuk mengurangi pecahan, pembilang dan penyebutnya harus direpresentasikan sebagai produk.

Anda telah mempelajari metode terperinci dari ekspresi pemfaktoran dalam topik "", jadi di sini Anda hanya perlu mengingat apa yang telah Anda pelajari. Untuk melakukan ini, selesaikan beberapa contoh(untuk difaktorkan):

Solusi:

3. Pengurangan pecahan.

Nah, apa yang bisa lebih baik daripada mencoret bagian dari pembilang dan penyebut, dan membuangnya dari hidup Anda?

Itulah indahnya singkatan.

Itu mudah:

Jika pembilang dan penyebutnya memiliki faktor yang sama, mereka dapat direduksi, yaitu dikeluarkan dari pecahan.

Aturan ini mengikuti dari sifat dasar pecahan:

Artinya, inti dari operasi reduksi adalah bahwa Kami membagi pembilang dan penyebut pecahan dengan angka yang sama (atau dengan ekspresi yang sama).

Untuk mengurangi pecahan, Anda perlu:

1) pembilang dan penyebut menguraikan pd pengali

2) jika pembilang dan penyebutnya mengandung faktor umum , mereka dapat dihapus.

Prinsipnya, saya pikir, sudah jelas?

Saya ingin menarik perhatian pada satu kesalahan tipikal saat mengurangi. Meskipun topik ini sederhana, tetapi banyak orang melakukan kesalahan, tidak menyadarinya memotong- itu berarti membagi pembilang dan penyebut dengan bilangan yang sama.

Tidak ada singkatan jika pembilang atau penyebutnya adalah jumlah.

Misalnya: Anda perlu menyederhanakan.

Beberapa melakukan ini: yang benar-benar salah.

Contoh lain: mengurangi.

"Yang paling pintar" akan melakukan ini:.

Katakan apa yang salah di sini? Tampaknya: - ini adalah pengganda, sehingga Anda dapat mengurangi.

Tapi tidak: - ini adalah faktor dari hanya satu istilah dalam pembilang, tetapi pembilang itu sendiri secara keseluruhan tidak didekomposisi menjadi faktor.

Ini contoh lainnya: .

Ekspresi ini diuraikan menjadi faktor-faktor, yang berarti Anda dapat mengurangi, yaitu, membagi pembilang dan penyebut dengan, dan kemudian dengan:

Anda dapat langsung membagi dengan:

Untuk menghindari kesalahan seperti itu, ingatlah jalan mudah cara menentukan apakah ekspresi difaktorkan:

Operasi aritmatika yang dilakukan terakhir saat menghitung nilai ekspresi adalah "utama". Artinya, jika Anda mengganti beberapa (apa saja) angka alih-alih huruf, dan mencoba menghitung nilai ekspresi, maka jika tindakan terakhir adalah perkalian, maka kami memiliki produk (ekspresi didekomposisi menjadi faktor). Jika tindakan terakhir adalah penambahan atau pengurangan, ini berarti bahwa ekspresi tidak difaktorkan (dan karena itu tidak dapat direduksi).

Untuk memperbaikinya, selesaikan sendiri beberapa contoh:

Jawaban:

1. Saya harap Anda tidak segera buru-buru memotong dan? Itu masih belum cukup untuk "mengurangi" unit seperti ini:

Langkah pertama yang harus dilakukan adalah memfaktorkan:

4. Penjumlahan dan pengurangan pecahan. Membawa pecahan ke penyebut yang sama.

Penambahan dan pengurangan pecahan biasa- operasinya terkenal: kami mencari penyebut yang sama, kami mengalikan setiap pecahan dengan faktor yang hilang dan menambah / mengurangi pembilangnya. Mari kita ingat:

Jawaban:

1. Penyebut dan koprima, yaitu tidak memiliki faktor persekutuan. Oleh karena itu, KPK dari angka-angka ini sama dengan produk mereka. Ini akan menjadi penyebut umum:

2. Di sini penyebutnya adalah:

3. Hal pertama di sini pecahan campuran mengubahnya menjadi yang salah, dan kemudian - sesuai dengan skema yang biasa:

Lain halnya jika pecahan mengandung huruf, misalnya:

Mari kita mulai dengan sederhana:

a) Penyebut tidak mengandung huruf

Di sini semuanya sama dengan pecahan numerik biasa: kami menemukan penyebut yang sama, mengalikan setiap pecahan dengan faktor yang hilang dan menambahkan / mengurangi pembilangnya:

sekarang di pembilang Anda dapat membawa yang serupa, jika ada, dan memfaktorkannya:

Cobalah sendiri:

b) Penyebutnya mengandung huruf

Mari kita ingat prinsip menemukan penyebut yang sama tanpa huruf:

Pertama-tama, kita tentukan faktor persekutuannya;

Kemudian kami menulis semua faktor persekutuan satu kali;

dan kalikan dengan semua faktor lain, bukan faktor umum.

Untuk menentukan faktor persekutuan penyebut, pertama-tama kita uraikan menjadi faktor-faktor sederhana:

Kami menekankan faktor umum:

Sekarang kami menulis faktor umum satu kali dan menambahkan semua faktor non-umum (tidak digarisbawahi):

Ini adalah penyebut umum.

Mari kita kembali ke surat-surat. Penyebut diberikan dengan cara yang persis sama:

Kami menguraikan penyebut menjadi faktor;

menentukan pengganda umum (identik);

tuliskan semua faktor persekutuan satu kali;

Kami mengalikannya dengan semua faktor lain, bukan yang umum.

Jadi, secara berurutan:

1) uraikan penyebutnya menjadi faktor-faktor:

2) menentukan faktor-faktor umum (identik):

3) tuliskan semua faktor persekutuan satu kali dan kalikan dengan semua faktor lainnya (tidak digarisbawahi):

Jadi penyebut umum ada di sini. Pecahan pertama harus dikalikan dengan, yang kedua - dengan:

Omong-omong, ada satu trik:

Sebagai contoh: .

Kami melihat faktor yang sama dalam penyebut, hanya semuanya dengan indikator yang berbeda. Penyebut yang sama akan menjadi:

sejauh

sejauh

sejauh

dalam derajat.

Mari kita memperumit tugas:

Bagaimana cara membuat pecahan memiliki penyebut yang sama?

Mari kita ingat sifat dasar pecahan:

Tidak ada tempat yang mengatakan bahwa bilangan yang sama dapat dikurangkan (atau dijumlahkan) dari pembilang dan penyebut suatu pecahan. Karena itu tidak benar!

Lihat sendiri: ambil pecahan apa saja, misalnya, dan tambahkan beberapa angka ke pembilang dan penyebut, misalnya, . Apa yang telah dipelajari?

Jadi, aturan lain yang tak tergoyahkan:

Ketika Anda membawa pecahan ke faktor persekutuan, gunakan hanya operasi perkalian!

Tapi apa yang perlu Anda perbanyak untuk mendapatkan?

Di sini dan berkembang biak. Dan kalikan dengan:

Ekspresi yang tidak dapat difaktorkan akan disebut "faktor elementer". Misalnya, adalah faktor dasar. - juga. Tapi - tidak: itu didekomposisi menjadi faktor-faktor.

Bagaimana dengan ekspresi? Apakah itu dasar?

Tidak, karena dapat difaktorkan:

(Anda sudah membaca tentang faktorisasi di topik "").

Jadi, faktor dasar di mana Anda menguraikan ekspresi dengan huruf adalah analog faktor utama di mana Anda menguraikan angka-angka. Dan kami akan melakukan hal yang sama dengan mereka.

Kita melihat bahwa kedua penyebut memiliki faktor. Ini akan menjadi penyebut yang sama dalam kekuasaan (ingat mengapa?).

Penggandanya bersifat elementer, dan mereka tidak memiliki kesamaan, yang berarti bahwa pecahan pertama harus dikalikan dengannya:

Contoh lain:

Keputusan:

Sebelum mengalikan penyebut ini dengan panik, Anda perlu memikirkan cara memfaktorkannya? Keduanya mewakili:

Bagus! Kemudian:

Contoh lain:

Keputusan:

Seperti biasa, kita memfaktorkan penyebutnya. Pada penyebut pertama, kita cukup mengeluarkannya dari tanda kurung; di kedua - perbedaan kotak:

Tampaknya tidak ada faktor umum. Tetapi jika Anda melihat lebih dekat, mereka sudah sangat mirip ... Dan kenyataannya adalah:

Jadi mari kita menulis:

Artinya, ternyata seperti ini: di dalam tanda kurung, kami menukar istilah, dan pada saat yang sama, tanda di depan pecahan berubah menjadi kebalikannya. Perhatikan, Anda harus sering melakukan ini.

Sekarang kita bawa ke penyebut yang sama:

Mengerti? Sekarang mari kita periksa.

Tugas untuk solusi independen:

Jawaban:

Di sini kita harus mengingat satu hal lagi - perbedaan kubus:

Harap dicatat bahwa penyebut pecahan kedua tidak mengandung rumus "kuadrat jumlah"! Kuadrat jumlah akan terlihat seperti ini:

A adalah apa yang disebut kuadrat tidak lengkap dari jumlah: suku kedua di dalamnya adalah produk dari yang pertama dan terakhir, dan bukan produk ganda mereka. Kuadrat tidak lengkap dari jumlah adalah salah satu faktor dalam perluasan selisih kubus:

Bagaimana jika sudah ada tiga pecahan?

Ya sama! Pertama-tama, mari kita buat agar jumlah maksimum faktor penyebutnya sama:

Perhatikan: jika Anda mengubah tanda di dalam satu kurung, tanda di depan pecahan berubah menjadi sebaliknya. Ketika kita mengubah tanda di kurung kedua, tanda di depan pecahan dibalik lagi. Akibatnya, dia (tanda di depan pecahan) tidak berubah.

Kami menulis penyebut pertama secara lengkap dalam penyebut yang sama, dan kemudian kami menambahkan semua faktor yang belum ditulis, dari yang kedua, dan kemudian dari yang ketiga (dan seterusnya, jika ada lebih banyak pecahan). Artinya, berjalan seperti ini:

Hmm... Dengan pecahan, jelas apa yang harus dilakukan. Tapi bagaimana dengan keduanya?

Sederhana saja: Anda tahu cara menjumlahkan pecahan, bukan? Jadi, Anda perlu memastikan bahwa deuce menjadi pecahan! Ingat: pecahan adalah operasi pembagian (pembilang dibagi dengan penyebut, jika Anda tiba-tiba lupa). Dan tidak ada yang lebih mudah daripada membagi angka dengan. Dalam hal ini, angka itu sendiri tidak akan berubah, tetapi akan berubah menjadi pecahan:

Persis apa yang dibutuhkan!

5. Perkalian dan pembagian pecahan.

Nah, bagian tersulit sekarang sudah berakhir. Dan di depan kita adalah yang paling sederhana, tetapi pada saat yang sama yang paling penting:

Prosedur

Bagaimana prosedur menghitungnya? ekspresi numerik? Ingat, dengan mempertimbangkan nilai ekspresi seperti itu:

Apakah Anda menghitung?

Ini harus bekerja.

Jadi, saya mengingatkan Anda.

Langkah pertama adalah menghitung derajat.

Yang kedua adalah perkalian dan pembagian. Jika ada beberapa perkalian dan pembagian sekaligus, Anda dapat melakukannya dalam urutan apa pun.

Dan akhirnya, kami melakukan penambahan dan pengurangan. Sekali lagi, dalam urutan apa pun.

Tapi: ekspresi dalam kurung dievaluasi rusak!

Jika beberapa tanda kurung dikalikan atau dibagi satu sama lain, pertama-tama kita mengevaluasi ekspresi di setiap tanda kurung, lalu mengalikan atau membaginya.

Bagaimana jika ada tanda kurung lain di dalam tanda kurung? Nah, mari kita pikirkan: beberapa ekspresi ditulis di dalam tanda kurung. Apa hal pertama yang harus dilakukan ketika mengevaluasi ekspresi? Itu benar, hitung kurung. Yah, kami menemukan jawabannya: pertama kami menghitung tanda kurung dalam, lalu yang lainnya.

Jadi, urutan tindakan untuk ekspresi di atas adalah sebagai berikut (tindakan saat ini disorot dengan warna merah, yaitu tindakan yang saya lakukan sekarang):

Oke, semuanya sederhana.

Tapi itu tidak sama dengan ekspresi dengan huruf, bukan?

Tidak, itu sama! Hanya sebagai gantinya operasi aritmatika Anda perlu melakukan aljabar, yaitu tindakan yang dijelaskan di bagian sebelumnya: membawa serupa, menjumlahkan pecahan, mengurangi pecahan, dan sebagainya. Satu-satunya perbedaan adalah tindakan memfaktorkan polinomial (kita sering menggunakannya saat bekerja dengan pecahan). Paling sering, untuk faktorisasi, Anda perlu menggunakan i atau cukup keluarkan faktor persekutuan dari tanda kurung.

Biasanya tujuan kami adalah untuk mewakili ekspresi sebagai produk atau hasil bagi.

Sebagai contoh:

Mari kita sederhanakan ekspresinya.

1) Pertama kita sederhanakan ekspresi dalam tanda kurung. Di sana kami memiliki perbedaan pecahan, dan tujuan kami adalah untuk mewakilinya sebagai produk atau hasil bagi. Jadi, kami membawa pecahan ke penyebut yang sama dan menambahkan:

Tidak mungkin untuk menyederhanakan ungkapan ini lebih lanjut, semua faktor di sini adalah dasar (apakah Anda masih ingat apa artinya ini?).

2) Kami mendapatkan:

Perkalian pecahan: apa yang bisa lebih mudah.

3) Sekarang Anda dapat mempersingkat:

Itu dia. Tidak ada yang rumit, kan?

Contoh lain:

Sederhanakan ekspresi.

Pertama, coba selesaikan sendiri, dan baru kemudian lihat solusinya.

Pertama-tama, mari kita tentukan prosedurnya. Pertama, mari kita tambahkan pecahan dalam tanda kurung, alih-alih dua pecahan, satu akan menjadi. Kemudian kita akan melakukan pembagian pecahan. Nah, kita tambahkan hasilnya dengan pecahan terakhir. Saya akan memberi nomor skema langkah-langkahnya:

Sekarang saya akan menunjukkan seluruh proses, mewarnai tindakan saat ini dengan warna merah:

Akhirnya, saya akan memberi Anda dua tips berguna:

1. Jika ada yang serupa harus segera dibawa. Pada saat apa pun kita memiliki yang serupa, disarankan untuk segera membawanya.

2. Hal yang sama berlaku untuk pengurangan pecahan: segera setelah ada peluang untuk mengurangi, itu harus digunakan. Pengecualiannya adalah pecahan yang Anda tambahkan atau kurangi: jika ada penyebut yang sama, maka pengurangan harus dibiarkan untuk nanti.

Berikut adalah beberapa tugas untuk Anda selesaikan sendiri:

Dan berjanji di awal:

Solusi (singkat):

Jika Anda mengatasi setidaknya tiga contoh pertama, maka Anda, pertimbangkan, telah menguasai topik tersebut.

Sekarang untuk belajar!

KONVERSI EKSPRESI. RINGKASAN DAN FORMULA DASAR

Operasi penyederhanaan dasar:

• Membawa serupa: untuk menambah (mengurangi) suku-suku sejenis, Anda perlu menambahkan koefisiennya dan menetapkan bagian hurufnya.
• Faktorisasi: mengambil faktor persekutuan dari tanda kurung, menerapkan, dll.
• Pengurangan pecahan: pembilang dan penyebut suatu pecahan dapat dikalikan atau dibagi dengan bilangan bukan nol yang sama, yang nilai pecahannya tidak berubah.
  1) pembilang dan penyebut menguraikan pd pengali
  2) jika pembilang dan penyebutnya memiliki faktor persekutuan, dapat dicoret.

  PENTING: hanya pengganda yang dapat dikurangi!

• Penjumlahan dan pengurangan pecahan:
  ;
• Perkalian dan pembagian pecahan:
  ;