ការស្រាវជ្រាវមុខងារពេញលេញតាមអ៊ីនធឺណិត។ ឧទាហរណ៍ពេញលេញនៃមុខងារស្រាវជ្រាវតាមអ៊ីនធឺណិត

សម្រាប់ការសិក្សាពេញលេញនៃមុខងារ និងការរៀបចំក្រាហ្វរបស់វា វាត្រូវបានណែនាំឱ្យប្រើគ្រោងការណ៍ខាងក្រោម៖

1) ស្វែងរកវិសាលភាពនៃមុខងារ;

2) ស្វែងរកចំណុចបំបែកនៃមុខងារ និង asymtotes បញ្ឈរ(ប្រសិនបើពួកគេមាន);

3) ស៊ើបអង្កេតឥរិយាបថនៃមុខងារនៅភាពគ្មានទីបញ្ចប់, ស្វែងរក asymptotes ផ្ដេកនិង oblique;

4) ស៊ើបអង្កេតមុខងារសម្រាប់ភាពស្មើគ្នា (ភាពចម្លែក) និងសម្រាប់ភាពទៀងទាត់ (សម្រាប់ អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ);

5) ស្វែងរកជ្រុលនិងចន្លោះពេលនៃ monotonicity នៃមុខងារ;

6) កំណត់ចន្លោះពេលនៃការប៉ោងនិងចំណុច inflection;

7) ស្វែងរកចំណុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្សកូអរដោណេ ប្រសិនបើអាចធ្វើបាន និងចំណុចបន្ថែមមួយចំនួនដែលកែលម្អក្រាហ្វ។

ការសិក្សាអំពីមុខងារត្រូវបានអនុវត្តក្នុងពេលដំណាលគ្នាជាមួយនឹងការស្ថាបនាក្រាហ្វរបស់វា។

ឧទាហរណ៍ ៩រុករកមុខងារ និងបង្កើតក្រាហ្វ។

1. ដែននៃនិយមន័យ: ;

2. មុខងារបំបែកនៅចំណុច
,
;

យើងស៊ើបអង្កេតមុខងារសម្រាប់វត្តមាននៃ asymtotes បញ្ឈរ។

;
,
─ asymptote បញ្ឈរ។

3. យើងស៊ើបអង្កេតមុខងារសម្រាប់វត្តមាននៃ asymptotes oblique និងផ្ដេក។

ត្រង់
─ oblique asymptote, ប្រសិនបើ
,
.

,
.

ត្រង់
─ asymptote ផ្ដេក។

4. មុខងារគឺសូម្បីតែដោយសារតែ
. ភាពស្មើគ្នានៃអនុគមន៍បង្ហាញពីស៊ីមេទ្រីនៃក្រាហ្វដោយគោរពតាមអ័ក្ស y ។

5. ស្វែងរកចន្លោះពេលនៃ monotonicity និង extrema នៃមុខងារ។

ចូរយើងស្វែងរកចំណុចសំខាន់ i.e. ចំណុចដែលដេរីវេគឺ 0 ឬមិនមាន៖
;
. យើងមានបីពិន្ទុ
;

. ចំនុចទាំងនេះបែងចែកអ័ក្សពិតទាំងមូលជាបួនចន្លោះពេល។ ចូរយើងកំណត់សញ្ញា នៅលើពួកគេម្នាក់ៗ។

នៅចន្លោះពេល (-∞; -1) និង (-1; 0) មុខងារកើនឡើង នៅចន្លោះពេល (0; 1) និង (1; +∞) វាថយចុះ។ នៅពេលឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ។
ការផ្លាស់ប្តូរនិស្សន្ទវត្ថុសញ្ញាពីបូកទៅដក ដូច្នេះនៅចំណុចនេះ អនុគមន៍មានអតិបរមា
.

6. ចូរយើងស្វែងរកចន្លោះប្រហោង ចំណុច inflection ។

ចូរយើងស្វែងរកចំណុចណា គឺ 0 ឬមិនមាន។

មិនមានឫសពិតប្រាកដទេ។
,
,

ពិន្ទុ
និង
កម្ទេច អ័ក្សពិតសម្រាប់ចន្លោះពេលបី។ ចូរយើងកំណត់សញ្ញា នៅគ្រប់ចន្លោះពេល។

ដូច្នេះខ្សែកោងនៅលើចន្លោះពេល
និង
ប៉ោងចុះក្រោម នៅចន្លោះពេល (-1;1) ប៉ោងឡើងលើ; មិនមានចំនុចបញ្ឆេះទេ ចាប់តាំងពីមុខងារនៅចំណុច
និង
មិនបានបញ្ជាក់។

7. រកចំនុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្ស។

ជាមួយអ័ក្ស
ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ប្រសព្វនៅចំណុច (0; -1) និងជាមួយអ័ក្ស
ក្រាហ្វមិនប្រសព្វគ្នាទេ ពីព្រោះ លេខភាគនៃអនុគមន៍នេះមិនមានឫសពិតទេ។

ក្រាហ្វនៃមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានបង្ហាញក្នុងរូបភាពទី 1 ។

រូបភាពទី 1 ─ ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍

ការអនុវត្តគំនិតនៃដេរីវេក្នុងសេដ្ឋកិច្ច។ ការបត់បែនមុខងារ

ដើម្បីសិក្សាដំណើរការសេដ្ឋកិច្ច និងដោះស្រាយបញ្ហាផ្សេងៗ ភារកិច្ចដែលបានអនុវត្តគោលគំនិតនៃការបត់បែននៃមុខងារមួយត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់។

និយមន័យ។ការបត់បែនមុខងារ
ត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់នៃសមាមាត្រនៃការកើនឡើងដែលទាក់ទងនៃអនុគមន៍ ទៅនឹងការកើនឡើងដែលទាក់ទងនៃអថេរ នៅ
, . (VII)

ភាពយឺតនៃអនុគមន៍បង្ហាញប្រហែលប៉ុន្មានភាគរយដែលមុខងារនឹងផ្លាស់ប្តូរ
នៅពេលអថេរឯករាជ្យផ្លាស់ប្តូរ ដោយ 1% ។

ភាពយឺតនៃមុខងារមួយត្រូវបានប្រើក្នុងការវិភាគតម្រូវការ និងការប្រើប្រាស់។ ប្រសិនបើភាពបត់បែននៃតម្រូវការ (គិតជាតម្លៃដាច់ខាត)
បន្ទាប់មកតម្រូវការត្រូវបានចាត់ទុកថាយឺតប្រសិនបើ
─អព្យាក្រឹតប្រសិនបើ
─ ភាពមិនស៊ីសង្វាក់គ្នាទាក់ទងនឹងតម្លៃ (ឬប្រាក់ចំណូល) ។

ឧទាហរណ៍ 10គណនាភាពយឺតនៃមុខងារ
និងស្វែងរកតម្លៃនៃសន្ទស្សន៍ភាពបត់បែនសម្រាប់ = 3.

ដំណោះស្រាយ៖ យោងតាមរូបមន្ត (VII) ការបត់បែននៃមុខងារ៖

អនុញ្ញាតឱ្យ x = 3 បន្ទាប់មក
នេះមានន័យថា ប្រសិនបើអថេរឯករាជ្យកើនឡើង 1% នោះតម្លៃនៃអថេរអាស្រ័យនឹងកើនឡើង 1.42% ។

ឧទាហរណ៍ 11អនុញ្ញាតឱ្យមានមុខងារទាមទារ ទាក់ទងនឹងតម្លៃ មានទម្រង់
កន្លែងណា ─ កត្តាថេរ. ស្វែងរកតម្លៃនៃសន្ទស្សន៍ភាពបត់បែននៃមុខងារតម្រូវការក្នុងតម្លៃ x = 3 den ។ ឯកតា

ដំណោះស្រាយ៖ គណនាភាពយឺតនៃមុខងារតម្រូវការដោយប្រើរូបមន្ត (VII)

សន្មត់
ឯកតារូបិយវត្ថុ យើងទទួលបាន
. នេះមានន័យថាក្នុងតម្លៃ
ឯកតារូបិយវត្ថុ ការកើនឡើងតម្លៃ 1% នឹងបណ្តាលឱ្យមានការថយចុះនៃតម្រូវការ 6%, i.e. តម្រូវការគឺយឺត។

មួយនៃ ភារកិច្ចសំខាន់ ការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺជាការអភិវឌ្ឍន៍ ឧទាហរណ៍ទូទៅការសិក្សាអំពីឥរិយាបថនៃមុខងារ។

ប្រសិនបើមុខងារ y \u003d f (x) បន្តនៅចន្លោះពេល ហើយដេរីវេរបស់វាគឺវិជ្ជមាន ឬស្មើនឹង 0 នៅចន្លោះពេល (a, b) បន្ទាប់មក y \u003d f (x) កើនឡើងដោយ (f "(x) 0) ប្រសិនបើមុខងារ y \u003d f (x) បន្តនៅលើផ្នែក ហើយដេរីវេរបស់វាគឺអវិជ្ជមាន ឬស្មើនឹង 0 នៅចន្លោះពេល (a,b) នោះ y=f(x) ថយចុះដោយ (f"( x)0)

ចន្លោះពេលដែលអនុគមន៍មិនថយចុះ ឬកើនឡើង ត្រូវបានគេហៅថាចន្លោះពេលនៃ monotonicity នៃអនុគមន៍។ ធម្មជាតិនៃ monotonicity នៃអនុគមន៍មួយអាចផ្លាស់ប្តូរបានតែនៅចំណុចទាំងនោះនៃដែននិយមន័យរបស់វា ដែលសញ្ញានៃការផ្លាស់ប្តូរដេរីវេទី 1 ។ ចំនុចដែលដេរីវេទី 1 នៃមុខងារមួយបាត់ ឬបំបែកត្រូវបានគេហៅថាចំនុចសំខាន់។

ទ្រឹស្តីបទ ១ (ទី១ លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់អត្ថិភាពនៃភាពជ្រុលនិយម) ។

អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ y = f(x) ត្រូវបានកំណត់នៅចំណុច x 0 ហើយអនុញ្ញាតឱ្យមានសង្កាត់ δ> 0 ដែលអនុគមន៍បន្តនៅលើផ្នែក ដែលអាចបែងចែកតាមចន្លោះពេល (x 0 -δ, x 0)u( x 0 , x 0 + δ) និងដេរីវេរបស់វារក្សាទុក សញ្ញាសម្គាល់អចិន្រ្តៃយ៍នៅចន្លោះពេលនីមួយៗទាំងនេះ។ បន្ទាប់មកប្រសិនបើនៅលើ x 0 -δ, x 0) និង (x 0, x 0 + δ) សញ្ញានៃដេរីវេគឺខុសគ្នា នោះ x 0 គឺជាចំណុចខ្លាំង ហើយប្រសិនបើពួកគេត្រូវគ្នានោះ x 0 មិនមែនជាចំណុចខ្លាំងនោះទេ។ . លើសពីនេះទៅទៀត ប្រសិនបើនៅពេលឆ្លងកាត់ចំនុច x0 និស្សន្ទវត្ថុផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាពីបូកទៅដក (នៅខាងឆ្វេង x 0, f "(x)> 0 ត្រូវបានអនុវត្ត នោះ x 0 គឺជាចំណុចអតិបរមា ប្រសិនបើសញ្ញាផ្លាស់ប្តូរដេរីវេ ពីដកទៅបូក (នៅខាងស្តាំ x 0 ត្រូវបានប្រតិបត្តិដោយ f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

ចំណុចអតិបរិមា និងអប្បរមាត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចខ្លាំងនៃអនុគមន៍ ហើយអតិបរមា និងអប្បបរមានៃអនុគមន៍ត្រូវបានគេហៅថាតម្លៃខ្លាំងរបស់វា។

ទ្រឹស្តីបទ 2 (លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យចាំបាច់សម្រាប់ភាពជ្រុលនិយមក្នុងតំបន់) ។

ប្រសិនបើអនុគមន៍ y=f(x) មានចំណុចខ្លាំងនៅ x=x 0 បច្ចុប្បន្ន នោះទាំង f'(x 0)=0 ឬ f'(x 0) មិនមានទេ។
នៅចំណុចខ្លាំងនៃមុខងារដែលអាចបែងចែកបាន តង់សង់ទៅក្រាហ្វរបស់វាគឺស្របទៅនឹងអ័ក្សអុក។

ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការសិក្សាអនុគមន៍សម្រាប់ខ្លាំងមួយ:

1) ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍។
2) ស្វែងរកចំណុចសំខាន់, i.e. ចំណុចដែលអនុគមន៍បន្ត ហើយដេរីវេគឺសូន្យ ឬមិនមាន។
3) ពិចារណាពីសង្កាត់នៃចំនុចនីមួយៗ ហើយពិនិត្យមើលសញ្ញានៃដេរីវេនៅខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃចំនុចនេះ។
4) កំណត់កូអរដោនេនៃចំណុចខ្លាំង សម្រាប់តម្លៃនៃចំណុចសំខាន់នេះ ជំនួសមុខងារនេះ។ ដោយប្រើលក្ខខណ្ឌជ្រុលពេក ទាញការសន្និដ្ឋានសមស្រប។

ឧទាហរណ៍ 18. ស៊ើបអង្កេតអនុគមន៍ y=x 3 −9x 2 +24x

ការសម្រេចចិត្ត។
1) y"=3x 2-18x+24=3(x-2)(x-4) ។
2) សមីការដេរីវេទៅសូន្យ យើងរកឃើញ x 1 = 2, x 2 = 4 ។ អេ ករណីនេះដេរីវេត្រូវបានកំណត់នៅគ្រប់ទីកន្លែង; អាស្រ័យហេតុនេះ ក្រៅពីចំណុចពីរដែលរកឃើញនោះ ក៏មិនមានចំណុចសំខាន់ផ្សេងទៀតដែរ។
3) សញ្ញានៃដេរីវេទី y "=3(x-2)(x-4) ផ្លាស់ប្តូរអាស្រ័យលើចន្លោះពេលដូចបង្ហាញក្នុងរូបភាពទី 1។ នៅពេលឆ្លងកាត់ចំនុច x=2 និស្សន្ទវត្ថុផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាពីបូកទៅដក។ ហើយនៅពេលឆ្លងកាត់ចំណុច x = 4 - ពីដកទៅបូក។
4) នៅចំណុច x = 2 អនុគមន៍មានអតិបរមា y អតិបរមា = 20 ហើយនៅចំណុច x = 4 - អប្បបរមា y min = 16 ។

ទ្រឹស្តីបទ 3. (លក្ខខណ្ឌទី 2 គ្រប់គ្រាន់សម្រាប់អត្ថិភាពនៃភាពជ្រុលនិយម) ។

អនុញ្ញាតឱ្យ f "(x 0) និង f "" (x 0) មាននៅចំណុច x 0 ។ បន្ទាប់មក ប្រសិនបើ f "" (x 0) > 0 នោះ x 0 គឺជាចំណុចអប្បបរមា ហើយប្រសិនបើ f "" ( x 0 ។ )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

នៅលើផ្នែក មុខងារ y \u003d f (x) អាចឈានដល់តម្លៃតូចបំផុត (យ៉ាងហោចណាស់) ឬធំបំផុត (ច្រើនបំផុត) ទាំងនៅចំណុចសំខាន់នៃមុខងារដែលស្ថិតនៅចន្លោះពេល (a; b) ឬនៅចុងបញ្ចប់ នៃផ្នែក។

ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍បន្ត y=f(x) នៅលើផ្នែក៖

1) រក f "(x) ។
2) ស្វែងរកចំណុចដែល f "(x) = 0 ឬ f" (x) - មិនមាន ហើយជ្រើសរើសពីពួកវាដែលស្ថិតនៅខាងក្នុងផ្នែក។
3) គណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍ y \u003d f (x) នៅចំណុចដែលទទួលបានក្នុងកថាខណ្ឌទី 2) ក៏ដូចជានៅខាងចុងនៃផ្នែក ហើយជ្រើសរើសធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃពួកវា៖ រៀងគ្នា ធំបំផុត ( សម្រាប់ធំបំផុត) និងតម្លៃអនុគមន៍តូចបំផុត (សម្រាប់តូចបំផុត) នៅលើផ្នែក .

ឧទាហរណ៍ 19. ស្វែងរកច្រើនបំផុត តម្លៃធំជាងអនុគមន៍បន្ត y=x 3 -3x 2 -45+225 នៅលើផ្នែក។

1) យើងមាន y "=3x 2 -6x-45 នៅលើផ្នែក
2) ដេរីវេទី y" មានសម្រាប់ x ទាំងអស់។ ចូររកចំណុចដែល y"=0; យើងទទួលបាន:
៣x២-៦x-៤៥=០
x 2 −2x −15 = 0
x 1 \u003d -3; x2=5
៣) គណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំនុច x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
មានតែចំនុច x=5 ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ផ្នែក។ ធំបំផុតនៃតម្លៃដែលបានរកឃើញនៃអនុគមន៍គឺ 225 ហើយតូចបំផុតគឺលេខ 50។ ដូច្នេះនៅ max = 225 នៅ max = 50 ។

ការស៊ើបអង្កេតមុខងារនៅលើប៉ោង

រូបបង្ហាញពីក្រាហ្វនៃមុខងារពីរ។ ទីមួយនៃពួកគេត្រូវបានប្រែជាប៉ោងឡើង, ទីពីរ - ជាមួយនឹងប៉ោងចុះក្រោម។

អនុគមន៍ y=f(x) គឺបន្តនៅលើផ្នែកមួយ និងអាចខុសគ្នាក្នុងចន្លោះពេល (a;b) ត្រូវបានគេហៅថាប៉ោងឡើង (ចុះក្រោម) នៅលើផ្នែកនេះ ប្រសិនបើសម្រាប់ axb ក្រាហ្វរបស់វាមិនខ្ពស់ជាង (មិនទាបជាង) ជាង។ តង់សង់ត្រូវបានគូរនៅចំណុចណាមួយ M 0 (x 0 ; f (x 0)) ដែល axb ។

ទ្រឹស្តីបទ 4. អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ y=f(x) មានដេរីវេទី 2 នៅចំនុចខាងក្នុង x នៃចម្រៀក ហើយបន្តនៅចុងបញ្ចប់នៃផ្នែកនេះ។ បន្ទាប់មក ប្រសិនបើវិសមភាព f""(x)0 ពេញចិត្តនៅចន្លោះពេល (a;b) នោះមុខងារគឺប៉ោងចុះក្រោមនៅលើផ្នែក ; ប្រសិនបើវិសមភាព f""(x)0 ពេញចិត្តនៅចន្លោះពេល (а;b) នោះមុខងារគឺប៉ោងឡើងលើ។

ទ្រឹស្តីបទ 5. ប្រសិនបើអនុគមន៍ y=f(x) មានដេរីវេទី 2 នៅចន្លោះពេល (a;b) ហើយប្រសិនបើវាផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៅពេលឆ្លងកាត់ចំនុច x 0 នោះ M(x 0 ;f(x 0)) គឺ ចំណុចឆ្លង។

វិធានសម្រាប់ការស្វែងរកចំណុចប្រសព្វ៖

1) ស្វែងរកចំណុចដែល f""(x) មិនមាន ឬបាត់។
2) ពិនិត្យសញ្ញា f""(x) នៅខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃចំនុចនីមួយៗដែលរកឃើញនៅជំហានដំបូង។
3) ដោយផ្អែកលើទ្រឹស្តីបទទី 4 សូមធ្វើការសន្និដ្ឋានមួយ។

ឧទាហរណ៍ 20. ស្វែងរកចំណុចខ្លាំង និងចំណុចបញ្ឆេះនៃក្រាហ្វអនុគមន៍ y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12 ។

យើងមាន f"(x)=12x 3 −24x 2 +12x=12x(x-1) 2. ជាក់ស្តែង f"(x)=0 សម្រាប់ x 1 =0, x 2=1។ ដេរីវេ នៅពេលឆ្លងកាត់ចំនុច x=0 ផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាពីដកទៅបូក ហើយនៅពេលឆ្លងកាត់ចំនុច x=1 វាមិនផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាទេ។ នេះមានន័យថា x=0 គឺជាចំណុចអប្បបរមា (y min=12) ហើយគ្មានចំណុចខ្លាំងណាមួយទេ x=1។ បន្ទាប់យើងរកឃើញ . ដេរីវេទី 2 បាត់នៅចំនុច x 1 = 1, x 2 = 1/3 ។ សញ្ញានៃការផ្លាស់ប្តូរដេរីវេទី 2 ដូចខាងក្រោម៖ នៅលើកាំរស្មី (-∞;) យើងមាន f""(x)>0 នៅចន្លោះពេល (;1) យើងមាន f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. ដូច្នេះ x= គឺជាចំណុចបញ្ឆេះនៃក្រាហ្វមុខងារ (ការផ្លាស់ប្តូរពីប៉ោងចុះក្រោមទៅប៉ោងឡើងលើ) ហើយ x=1 ក៏ជាចំណុចបញ្ឆេះ (ការផ្លាស់ប្តូរពីប៉ោងឡើងទៅប៉ោងចុះក្រោម)។ ប្រសិនបើ x = នោះ y= ; ប្រសិនបើ x = 1, y = 13 ។

ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរក asymptote នៃក្រាហ្វ

I. ប្រសិនបើ y=f(x) ជា x → a នោះ x=a ជា asymptote បញ្ឈរ។
II. ប្រសិនបើ y = f(x) ជា x → ∞ ឬ x → -∞ នោះ y = A គឺជា asymptote ផ្ដេក។
III. ដើម្បីស្វែងរក asymptote oblique យើងប្រើ algorithm ខាងក្រោម៖
1) គណនា។ ប្រសិនបើដែនកំណត់មាន ហើយស្មើនឹង b នោះ y=b គឺជា asymptote ផ្ដេក។ ប្រសិនបើបន្ទាប់មកទៅជំហានទីពីរ។
2) គណនា។ ប្រសិនបើដែនកំណត់នេះមិនមានទេ នោះមិនមាន asymptote ទេ។ ប្រសិនបើវាមាន ហើយស្មើនឹង k បន្ទាប់មកទៅជំហានទីបី។
3) គណនា។ ប្រសិនបើដែនកំណត់នេះមិនមានទេ នោះមិនមាន asymptote ទេ។ ប្រសិនបើវាមាន ហើយស្មើនឹង b បន្ទាប់មកទៅជំហានទីបួន។
4) សរសេរសមីការនៃ oblique asymptote y=kx+b ។

ឧទាហរណ៍ 21: ស្វែងរក asymptote សម្រាប់មុខងារមួយ។

1)
2)
3)
4) សមីការ asymptote oblique មានទម្រង់

គ្រោងការណ៍នៃការសិក្សាមុខងារនិងការសាងសង់ក្រាហ្វរបស់វា។

I. ស្វែងរកដែននៃអនុគមន៍។
II. ស្វែងរកចំណុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ជាមួយអ័ក្សកូអរដោនេ។
III. ស្វែងរក asymtotes ។
IV. ស្វែងរកចំណុចខ្លាំងដែលអាចកើតមាន។
V. ស្វែងរកចំណុចសំខាន់។
VI. ដោយប្រើគំនូរជំនួយ ស៊ើបអង្កេតសញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុទីមួយ និងទីពីរ។ កំណត់តំបន់នៃការកើនឡើង និងការថយចុះនៃមុខងារ ស្វែងរកទិសដៅនៃភាពប៉ោងនៃក្រាហ្វ ចំណុចខ្លាំង និងចំណុចបញ្ឆេះ។
VII. បង្កើតក្រាហ្វដោយគិតគូរពីការសិក្សាដែលបានធ្វើឡើងក្នុងកថាខណ្ឌ 1-6 ។

ឧទាហរណ៍ទី 22៖ រៀបចំក្រាហ្វមុខងារមួយតាមគ្រោងការណ៍ខាងលើ

ការសម្រេចចិត្ត។
I. ដែននៃអនុគមន៍ គឺជាសំណុំនៃចំនួនពិតទាំងអស់ លើកលែងតែ x=1។
II. ដោយសារសមីការ x 2 +1=0 មិនមានឫសពិត នោះក្រាហ្វនៃអនុគមន៍មិនមានចំនុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្សអុកទេ ប៉ុន្តែប្រសព្វអ័ក្ស Oy នៅចំណុច (0; -1)។
III. ចូរយើងស្រាយចម្ងល់អំពីអត្ថិភាពនៃ asymtotes ។ យើងស៊ើបអង្កេតឥរិយាបថនៃអនុគមន៍នៅជិតចំណុចមិនបន្ត x=1។ ចាប់តាំងពី y → ∞ សម្រាប់ x → -∞, y → +∞ សម្រាប់ x → 1+ បន្ទាប់មកបន្ទាត់ x = 1 គឺជា asymptote បញ្ឈរនៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍។
ប្រសិនបើ x → +∞(x → -∞) បន្ទាប់មក y → +∞(y → -∞); ដូច្នេះ ក្រាហ្វមិនមាន asymptote ផ្ដេកទេ។ លើសពីនេះទៀតពីអត្ថិភាពនៃដែនកំណត់

ការដោះស្រាយសមីការ x 2 -2x-1=0 យើងទទួលបានពីរចំណុចនៃអតិបរមាដែលអាចកើតមាន៖
x 1 =1-√2 និង x 2 =1+√2

V. ដើម្បីស្វែងរកចំណុចសំខាន់ យើងគណនាដេរីវេទី ២៖

ដោយសារ f""(x) មិនរលាយបាត់ គ្មានចំណុចសំខាន់ទេ។
VI. យើងស៊ើបអង្កេតសញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុទីមួយ និងទីពីរ។ ចំណុចខ្លាំងដែលអាចពិចារណាបាន៖ x 1 = 1-√2 និង x 2 = 1+√2 បែងចែកតំបន់នៃអត្ថិភាពនៃអនុគមន៍ទៅជាចន្លោះពេល (-∞;1-√2),(1-√2) ;1+√2) និង (1+√2;+∞)។

ក្នុងចន្លោះពេលនីមួយៗ និស្សន្ទវត្ថុរក្សាសញ្ញារបស់វា៖ នៅក្នុងទីមួយ - បូក, ក្នុងទីពីរ - ដក, នៅទីបី - បូក។ លំដាប់នៃសញ្ញានៃដេរីវេទី 1 នឹងត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម: +, -, + ។
យើងទទួលបានថាមុខងារនៅលើ (-∞; 1-√2) កើនឡើង នៅលើ (1-√2; 1+√2) វាថយចុះ ហើយនៅលើ (1+√2;+∞) វាកើនឡើងម្តងទៀត។ ចំណុចខ្លាំង៖ អតិបរមានៅ x=1-√2 លើសពីនេះ f(1-√2)=2-2√2 អប្បបរមានៅ x=1+√2 លើសពីនេះ f(1+√2)=2+2√2។ នៅលើ (-∞; 1) ក្រាហ្វគឺប៉ោងឡើងលើ ហើយនៅលើ (1;+∞) - ចុះក្រោម។
VII ចូរយើងបង្កើតតារាងនៃតម្លៃដែលទទួលបាន

VIII ដោយផ្អែកលើទិន្នន័យដែលទទួលបាន យើងបង្កើតគំនូរព្រាងនៃក្រាហ្វនៃមុខងារ

នៅក្នុងអត្ថបទនេះ យើងនឹងពិចារណាអំពីគ្រោងការណ៍សម្រាប់សិក្សាមុខងារមួយ ហើយក៏ផ្តល់ឧទាហរណ៍នៃការសិក្សា extrema, monotonicity និង asymptotes នៃអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យផងដែរ។

គ្រោងការណ៍

ដែននៃអត្ថិភាព (ODZ) នៃមុខងារមួយ។
ចំនុចប្រសព្វអនុគមន៍ (ប្រសិនបើមាន) ជាមួយអ័ក្សកូអរដោនេ សញ្ញាមុខងារ ភាពស្មើគ្នា ភាពទៀងទាត់។
ចំណុចបំបែក (ប្រភេទរបស់ពួកគេ) ។ ការបន្ត។ Asymptotes គឺបញ្ឈរ។
ភាពឯកកោ និងចំណុចខ្លាំង។
ចំណុចឆ្លង។ ប៉ោង។
ការស៊ើបអង្កេតមុខងារនៅភាពគ្មានទីបញ្ចប់ សម្រាប់ asymtotes: ផ្ដេក និង oblique ។
ការកសាងក្រាហ្វ។

ការសិក្សាសម្រាប់ monotonicity

ទ្រឹស្តីបទ។ប្រសិនបើមុខងារ gបន្ត , បែងចែកដោយ (a; ខ)និង g'(x) ≥ 0 (g'(x)≤0), xє(а; ខ)បន្ទាប់មក gកើនឡើង (ថយចុះ) .

ឧទាហរណ៍៖

y = 1: 3x 3 − 6: 2x 2 + 5x ។

ODZ៖ хєR

y' = x 2 + 6x + 5 ។

ស្វែងរកចន្លោះពេលនៃសញ្ញាថេរ y'. ដរាបណា y'គឺជាអនុគមន៍បឋម បន្ទាប់មកវាអាចផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាបានតែនៅចំណុចដែលវាក្លាយជាសូន្យ ឬមិនមាន។ ODZ របស់នាង៖ хєR.

ចូររកចំណុចដែលដេរីវេស្មើនឹង 0 (សូន្យ)៖

y' = 0;

x = −1; -៥.

ដូច្នេះ yរីកលូតលាស់នៅលើ (-∞; -5] និងនៅលើ [-មួយ; +∞) y ចុះមក .

ការស្រាវជ្រាវសម្រាប់ភាពជ្រុលនិយម

ធ. x0ត្រូវបានគេហៅថាចំណុចអតិបរមា (អតិបរមា) នៅលើសំណុំ ប៉ុន្តែមុខងារ gនៅពេលដែលតម្លៃអតិបរមាត្រូវបានយកនៅចំណុចនេះដោយមុខងារ g(x 0) ≥ g(x), xєA.

ធ. x0ត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចអប្បបរមា (នាទី) នៃអនុគមន៍ gនៅលើឈុត ប៉ុន្តែនៅពេលដែលតម្លៃតូចបំផុតត្រូវបានយកដោយមុខងារនៅចំណុចនេះ។ g(x 0) ≤ g(x), xєА។

នៅលើឈុត ប៉ុន្តែពិន្ទុអតិបរមា (អតិបរមា) និងអប្បបរមា (អប្បបរមា) ត្រូវបានគេហៅថាចំណុចខ្លាំង g. extrema បែបនេះក៏ត្រូវបានគេហៅថា absolute extrema នៅលើឈុត .

ប្រសិនបើ ក x0- ចំណុចខ្លាំងនៃមុខងារ gនៅក្នុងស្រុកមួយចំនួន x0ត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចនៃមូលដ្ឋាន ឬ មូលដ្ឋាន (អតិបរមា ឬ នាទី) នៃមុខងារ g.

ទ្រឹស្តីបទ (លក្ខខណ្ឌចាំបាច់) ។ប្រសិនបើ ក x0- ចំណុចខ្លាំងនៃមុខងារ (មូលដ្ឋាន) gបន្ទាប់មក ដេរីវេមិនមានទេ ឬស្មើនឹង 0 (សូន្យ) នៅចំណុចនេះ។

និយមន័យ។ពិន្ទុដែលមិនមានឬស្មើនឹង 0 (សូន្យ) ដេរីវេត្រូវបានគេហៅថាសំខាន់។ វាជាចំណុចទាំងនេះដែលគួរឲ្យសង្ស័យសម្រាប់ភាពជ្រុលនិយម។

ទ្រឹស្តីបទ (លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់លេខ 1) ។ប្រសិនបើមុខងារ gកំពុងបន្តនៅក្នុងស្រុកមួយចំនួន។ x0ហើយសញ្ញាផ្លាស់ប្តូរតាមរយៈចំណុចនេះ នៅពេលដែលនិស្សន្ទវត្ថុឆ្លងកាត់ បន្ទាប់មកចំណុចនេះគឺជាចំណុចខ្លាំង g.

ទ្រឹស្តីបទ (លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់លេខ 2) ។អនុញ្ញាតឱ្យមុខងារមានភាពខុសប្លែកគ្នាពីរដងនៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុច និង g' = 0 និង g'' > 0 (g''< 0) បន្ទាប់មកចំណុចនេះ។ គឺជាចំណុចនៃអតិបរមា (អតិបរមា) ឬអប្បបរមា (អប្បបរមា) នៃមុខងារ។

ការធ្វើតេស្តភាពប៉ោង

មុខងារត្រូវបានគេហៅថាប៉ោងចុះក្រោម (ឬប៉ោង) នៅចន្លោះពេល (a, ខ)នៅពេលដែលក្រាហ្វនៃអនុគមន៍មានទីតាំងនៅមិនខ្ពស់ជាងលេខសេកាននៅលើចន្លោះពេលសម្រាប់ x ជាមួយ (a, ខ)ដែលឆ្លងកាត់ចំណុចទាំងនេះ .

មុខងារនឹងមានរាងប៉ោងយ៉ាងតឹងរ៉ឹង (a, ខ), ប្រសិនបើ - ក្រាហ្វស្ថិតនៅខាងក្រោមផ្នែកនៅចន្លោះពេល។

មុខងារត្រូវបានគេហៅថាប៉ោងឡើងលើ (ប៉ោង) នៅចន្លោះពេល (a, ខ), ប្រសិនបើសម្រាប់ t ពិន្ទុ ជាមួយ (a, ខ)ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍នៅលើចន្លោះពេលមិនទាបជាងផ្នែកដែលឆ្លងកាត់ abscissas នៅចំណុចទាំងនេះទេ .

មុខងារនឹងមានរាងប៉ោងឡើងលើយ៉ាងតឹងរ៉ឹង (ក, ខ) ប្រសិនបើ - ក្រាហ្វនៅលើចន្លោះពេលស្ថិតនៅខាងលើផ្នែក។

ប្រសិនបើមុខងារស្ថិតនៅក្នុងសង្កាត់មួយចំនួននៃចំណុច បន្តនិងឆ្លងកាត់ t. x 0ក្នុងអំឡុងពេលនៃការផ្លាស់ប្តូរមុខងារផ្លាស់ប្តូរប៉ោងរបស់វាបន្ទាប់មកចំណុចនេះត្រូវបានគេហៅថាចំណុច inflection នៃមុខងារ។

សិក្សាសម្រាប់ asymtotes

និយមន័យ។បន្ទាត់ត្រង់ត្រូវបានគេហៅថា asymptote g(x)ប្រសិនបើនៅចម្ងាយគ្មានកំណត់ពីប្រភពដើម ចំណុចនៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ទៅជិតវា៖ d(M,l)។

Asymptotes អាចជាបញ្ឈរ ផ្ដេក ឬ oblique ។

បន្ទាត់បញ្ឈរជាមួយសមីការ x = x 0 នឹងជា asymptote នៃក្រាហ្វបញ្ឈរនៃអនុគមន៍ g ប្រសិនបើចំនុច x 0 មានគម្លាតគ្មានកំណត់ នោះយ៉ាងហោចណាស់មានព្រំដែនខាងឆ្វេង ឬខាងស្តាំមួយនៅចំណុចនេះ - ភាពគ្មានទីបញ្ចប់។

ការស៊ើបអង្កេតមុខងារនៅលើផ្នែកសម្រាប់តម្លៃនៃតូចបំផុត និងធំបំផុត

ប្រសិនបើមុខងារបន្តដំណើរការ បន្ទាប់មកតាមទ្រឹស្តីបទ Weierstrass មានតម្លៃធំបំផុត និងតម្លៃតូចបំផុតនៅលើផ្នែកនេះ នោះគឺមាន t វ៉ែនតាដែលជាកម្មសិទ្ធិ បែបនោះ។ g(x 1) ≤ g(x)< g(x 2), x 2 є . ពីទ្រឹស្តីបទអំពី monotonicity និង extrema យើងទទួលបានគ្រោងការណ៍ខាងក្រោមសម្រាប់សិក្សាមុខងារមួយនៅលើផ្នែកសម្រាប់តម្លៃតូចបំផុត និងធំបំផុត។

ផែនការ

ស្វែងរកដេរីវេ g'(x).
រកមើលតម្លៃនៃមុខងារមួយ។ gនៅចំណុចទាំងនេះនិងនៅចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក។
ប្រៀបធៀបតម្លៃដែលបានរកឃើញ ហើយជ្រើសរើសតូចបំផុត និងធំបំផុត។

មតិយោបល់។ប្រសិនបើអ្នកត្រូវសិក្សាមុខងារមួយនៅលើចន្លោះពេលកំណត់ (a, ខ)ឬនៅលើគ្មានកំណត់ (-∞; ខ); (-∞; +∞)នៅលើតម្លៃអតិបរិមា និងអប្បបរមា បន្ទាប់មកនៅក្នុងផែនការ ជំនួសឱ្យតម្លៃនៃមុខងារនៅចុងបញ្ចប់នៃចន្លោះពេល ពួកគេស្វែងរកព្រំដែនម្ខាងដែលត្រូវគ្នា៖ ជំនួសឱ្យ f(a)កំពុងរកមើល f(a+) = limf(x), ជំនួសអោយ f(b)កំពុងរកមើល f(-b). ដូច្នេះអ្នកអាចស្វែងរកមុខងារ ODZ នៅចន្លោះពេល ព្រោះថា absolute extrema មិនចាំបាច់ក្នុងករណីនេះទេ។

ការអនុវត្តនៃដេរីវេទៅនឹងដំណោះស្រាយនៃបញ្ហាដែលបានអនុវត្តសម្រាប់កម្រិតខ្ពស់នៃបរិមាណមួយចំនួន

បង្ហាញតម្លៃនេះក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃបរិមាណផ្សេងទៀតពីលក្ខខណ្ឌនៃបញ្ហា ដូច្នេះវាជាមុខងារនៃអថេរតែមួយ (ប្រសិនបើអាច)។
ចន្លោះពេលនៃការផ្លាស់ប្តូរនៃអថេរនេះត្រូវបានកំណត់។
ធ្វើការសិក្សាអំពីមុខងារនៅលើចន្លោះពេលសម្រាប់តម្លៃអតិបរមា និងអប្បបរមា។

កិច្ចការ។វាចាំបាច់ក្នុងការសាងសង់វេទិការាងចតុកោណដោយប្រើសំណាញ់នៅជិតជញ្ជាំងដើម្បីឱ្យនៅម្ខាងវានៅជាប់នឹងជញ្ជាំងហើយនៅម្ខាងទៀតត្រូវបានហ៊ុមព័ទ្ធដោយសំណាញ់។ តើតំបន់នៃគេហទំព័របែបនេះនឹងធំជាងគេនៅសមាមាត្រមួយណា?

S=xyគឺជាមុខងារនៃ 2 variables ។

S = x(a − 2x)- មុខងារនៃអថេរទី 1 ; x є ។

S = ពូថៅ - 2x2; S" = a − 4x = 0, xєR, x = a: 4 ។

S(a: 4) = a 2: 8- តម្លៃខ្ពស់បំផុត;

S(0)=0។

រកជ្រុងម្ខាងទៀតនៃចតុកោណកែង៖ នៅ = ក៖ ២.

សមាមាត្រ៖ y:x=2 ។

ចម្លើយ។តំបន់ធំបំផុតនឹងមាន មួយ 2/8ប្រសិនបើផ្នែកដែលស្របនឹងជញ្ជាំងគឺ 2 ដងម្ខាងទៀត។

ការស្រាវជ្រាវមុខងារ។ ឧទាហរណ៍

ឧទាហរណ៍ ១

មាន y=x 3: (1-x) 2 . ធ្វើការស្រាវជ្រាវ។

ODZ៖ хє(-∞; 1) U (1; ∞) ។
មុខងារទូទៅមួយ (ទាំងឬសេស) មិនស៊ីមេទ្រីទាក់ទងនឹងចំណុច 0 (សូន្យ)។
សញ្ញាមុខងារ។ អនុគមន៍គឺបឋម ដូច្នេះវាអាចផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាតែនៅចំណុចដែលវាស្មើនឹង 0 (សូន្យ) ឬមិនមាន។
មុខងារគឺបឋម ដូច្នេះបន្តនៅលើ ODZ៖ (-∞; 1) U (1; ∞) ។

គម្លាត៖ x = 1;

limx 3: (1− x) 2 = ∞- ការដាច់នៃប្រភេទទី 2 (គ្មានកំណត់) ដូច្នេះមាន asymptote បញ្ឈរនៅចំណុច 1;

x = ១- សមីការនៃ asymptote បញ្ឈរ។

5. y' = x 2 (3 − x) : (1 − x) 3 ;

ODZ (y'): x ≠ 1;

x = ១គឺជាចំណុចសំខាន់មួយ។

y' = 0;

0; 3 គឺជាចំណុចសំខាន់។

6. y'' = 6x: (1 − x) 4 ;

t. 1, 0;

x= 0 - ចំណុចប្រសព្វ, y(0) = 0 ។

7. limx 3: (1 − 2x + x 2) = ∞- មិនមាន asymptote ផ្តេកទេ ប៉ុន្តែវាអាចជា oblique ។

k = ១- ចំនួន;

b = ២- ចំនួន។

ដូច្នេះមាន asymptote oblique y=x+2ទៅ + ∞ និង ទៅ - ∞ ។

ឧទាហរណ៍ ២

បានផ្តល់ឱ្យ y = (x 2 + 1) : (x − 1)។ ផលិតនិងការស៊ើបអង្កេត។ បង្កើតក្រាហ្វ។

1. ផ្ទៃនៃអត្ថិភាពគឺជាបន្ទាត់លេខទាំងមូលលើកលែងតែអ្វីដែលគេហៅថា។ x=1.

2. yឆ្លងកាត់ OY (ប្រសិនបើអាច) រួមបញ្ចូល។ (0; g(0)). យើងស្វែងរក y(0) = -1 - ចំណុចប្រសព្វ OY .

ចំណុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វជាមួយ OXស្វែងរកដោយការដោះស្រាយសមីការ y=0. សមីការមិនមានឫសគល់ពិតប្រាកដទេ ដូច្នេះមុខងារនេះមិនប្រសព្វគ្នាទេ។ OX.

3. មុខងារគឺមិនទៀងទាត់។ ពិចារណាការបញ្ចេញមតិ

g(-x) ≠ g(x) និង g(-x) ≠ -g(x). នេះមានន័យថាវាជាមុខងារទូទៅ (មិនថាទាំងឬសេស)។

4. ធ. x=1ភាពមិនដំណើរការគឺជាប្រភេទទីពីរ។ នៅគ្រប់ចំណុចផ្សេងទៀត មុខងារបន្ត។

5. ការសិក្សាអំពីមុខងារសម្រាប់ភាពជ្រុលនិយម៖

(x 2 - 2x − 1): (x − 1)2=y"

និងដោះស្រាយសមីការ y" = 0 ។

ដូច្នេះ 1 - √2, 1 + √2, 1 - ចំណុចសំខាន់ ឬចំណុចខ្លាំងដែលអាចកើតមាន។ ចំណុចទាំងនេះបែងចែកបន្ទាត់លេខជាបួនចន្លោះពេល .

នៅចន្លោះពេលនីមួយៗ និស្សន្ទវត្ថុមានសញ្ញាជាក់លាក់មួយ ដែលអាចត្រូវបានកំណត់ដោយវិធីសាស្រ្តនៃចន្លោះពេល ឬដោយការគណនាតម្លៃនៃដេរីវេតាមចំនុចនីមួយៗ។ នៅចន្លោះពេល (-∞; 1 - √2 ) យូ (1 + √2 ; ∞) ដេរីវេវិជ្ជមាន ដែលមានន័យថាមុខងារកំពុងរីកចម្រើន។ ប្រសិនបើ xє(1 - √2 ; 1) យូ(1; 1 + √2 ) បន្ទាប់មកមុខងារកំពុងថយចុះ ពីព្រោះដេរីវេគឺអវិជ្ជមាននៅចន្លោះពេលទាំងនេះ។ តាមរយៈ t ។ x ១ក្នុងអំឡុងពេលនៃការផ្លាស់ប្តូរ (ចលនាពីឆ្វេងទៅស្តាំ) ការផ្លាស់ប្តូរដេរីវេសញ្ញាពី "+" ទៅ "-" ដូច្នេះនៅចំណុចនេះមានអតិបរមាក្នុងស្រុកយើងរកឃើញ

yអតិបរមា = 2 - 2 √2 .

ពេលឆ្លងកាត់ x2ផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាដេរីវេពី "-" ទៅ "+" ដូច្នេះមានអប្បបរមាក្នុងស្រុកនៅចំណុចនេះ និង

y លាយ = 2 + 2√2 ។

ធ. x=1មិនខ្លាំងពេកទេ។

6.4: (x − 1) 3 = y””។

នៅលើ (-∞; 1 ) 0 > y"" ជាលទ្ធផល ខ្សែកោងគឺប៉ោងនៅលើចន្លោះពេលនេះ; ប្រសិនបើ xє (1 ; ∞) - ខ្សែកោងគឺកោង។ នៅក្នុង t ចំណុច 1គ្មានមុខងារត្រូវបានកំណត់ ដូច្នេះចំណុចនេះមិនមែនជាចំណុចបញ្ឆេះទេ។

7. វាធ្វើតាមលទ្ធផលនៃកថាខណ្ឌទី 4 នោះ។ x=1គឺជា asymptote បញ្ឈរនៃខ្សែកោង។

មិនមាន asymtotes ផ្ដេកទេ។

x + 1 = y គឺជា asymptote នៃជម្រាលនៃខ្សែកោងនេះ។ មិនមានរោគសញ្ញាផ្សេងទៀតទេ។

8. ដោយគិតពីការសិក្សាដែលបានធ្វើឡើង យើងបង្កើតក្រាហ្វមួយ (សូមមើលរូបខាងលើ)។

ថ្ងៃនេះ យើងសូមអញ្ជើញអ្នកឱ្យស្វែងយល់ និងរៀបចំក្រាហ្វិកមុខងារជាមួយយើង។ បន្ទាប់ពីការសិក្សាយ៉ាងយកចិត្តទុកដាក់លើអត្ថបទនេះ អ្នកនឹងមិនចាំបាច់បែកញើសយូរដើម្បីបំពេញកិច្ចការប្រភេទនេះទេ។ វាមិនងាយស្រួលទេក្នុងការរុករក និងរៀបចំក្រាហ្វមុខងារមួយ ការងារមានពន្លឺខ្លាំង ទាមទារ ការយកចិត្តទុកដាក់អតិបរមានិងភាពត្រឹមត្រូវនៃការគណនា។ ដើម្បីជួយសម្រួលដល់ការយល់ឃើញនៃសម្ភារៈ យើងនឹងសិក្សាបន្តិចម្តងៗនូវមុខងារដូចគ្នា ពន្យល់រាល់សកម្មភាព និងការគណនារបស់យើង។ សូមស្វាគមន៍មកកាន់អស្ចារ្យនិង ពិភពលោកគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍គណិតវិទ្យា! ទៅ!

ដែន

ដើម្បីស្វែងយល់ និងធ្វើក្រាហ្វិកមុខងារមួយ អ្នកត្រូវដឹងពីនិយមន័យមួយចំនួន។ អនុគមន៍ គឺជាគោលគំនិតជាមូលដ្ឋាន (មូលដ្ឋាន) ក្នុងគណិតវិទ្យា។ វាឆ្លុះបញ្ចាំងពីការពឹងផ្អែករវាងអថេរជាច្រើន (ពីរ បី ឬច្រើន) ជាមួយនឹងការផ្លាស់ប្តូរ។ មុខងារក៏បង្ហាញពីភាពអាស្រ័យនៃសំណុំផងដែរ។

ស្រមៃថាយើងមានអថេរពីរដែលមាន ជួរជាក់លាក់ការផ្លាស់ប្តូរ។ ដូច្នេះ y គឺជាអនុគមន៍ x ដែលផ្តល់ថាតម្លៃនីមួយៗនៃអថេរទីពីរត្រូវគ្នាទៅនឹងតម្លៃមួយនៃទីពីរ។ ក្នុងករណីនេះ អថេរ y គឺអាស្រ័យ ហើយវាត្រូវបានគេហៅថា អនុគមន៍។ វាជាទម្លាប់ក្នុងការនិយាយថាអថេរ x និង y គឺនៅក្នុង ដើម្បីភាពច្បាស់លាស់កាន់តែខ្លាំងនៃការពឹងផ្អែកនេះ ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ត្រូវបានបង្កើតឡើង។ តើក្រាហ្វមុខងារជាអ្វី? នេះគឺជាសំណុំនៃចំណុច សំរបសំរួលយន្តហោះដែលតម្លៃនីមួយៗនៃ x ត្រូវគ្នានឹងតម្លៃមួយនៃ y ។ ក្រាហ្វអាចមានភាពខុសប្លែកគ្នា - បន្ទាត់ត្រង់ អ៊ីពែបូឡា ប៉ារ៉ាបូឡា ស៊ីនុស ជាដើម។

ក្រាហ្វមុខងារមិនអាចត្រូវបានគូសដោយគ្មានការរុករកទេ។ ថ្ងៃនេះយើងនឹងរៀនពីរបៀបធ្វើការស្រាវជ្រាវ និងរៀបចំក្រាហ្វមុខងារ។ វាមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់ក្នុងការធ្វើកំណត់ចំណាំអំឡុងពេលសិក្សា។ ដូច្នេះវានឹងកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការដោះស្រាយជាមួយនឹងភារកិច្ច។ ផែនការសិក្សាងាយស្រួលបំផុត៖

ដែន។
ការបន្ត។
សូម្បីតែឬសេស។
វដ្តរដូវ។
រោគសញ្ញា។
សូន្យ។
ភាពស្ថិតស្ថេរ។
ឡើង និងចុះ។
ជ្រុល។
ភាពប៉ោង និងរាងមូល។

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងចំណុចដំបូង។ ចូរយើងស្វែងរកដែននៃនិយមន័យ នោះគឺនៅលើចន្លោះពេលមុខងាររបស់យើងមាន៖ y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) ។ ក្នុងករណីរបស់យើង មុខងារមានសម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃ x ពោលគឺដែននៃនិយមន័យគឺ R. នេះអាចសរសេរជា xОR ។

ការបន្ត

ឥឡូវនេះយើងនឹងស្វែងយល់ពីមុខងារឈប់ដំណើរការ។ នៅក្នុងគណិតវិទ្យា ពាក្យ "បន្ត" បានលេចឡើងជាលទ្ធផលនៃការសិក្សាអំពីច្បាប់នៃចលនា។ តើអ្វីទៅជាគ្មានកំណត់? លំហ ពេលវេលា ភាពអាស្រ័យមួយចំនួន (ឧទាហរណ៍មួយគឺការពឹងផ្អែកនៃអថេរ S និង t ក្នុងបញ្ហាចលនា) សីតុណ្ហភាពនៃវត្ថុដែលគេឱ្យឈ្មោះថា (ទឹក ខ្ទះឆា ទែម៉ូម៉ែត្រ ហើយដូច្នេះនៅលើ) បន្ទាត់បន្ត (នោះគឺមួយ ដែលអាចត្រូវបានគូរដោយមិនចាំបាច់យកវាចេញពីខ្មៅដៃសន្លឹក) ។

ក្រាហ្វមួយត្រូវបានចាត់ទុកថាបន្ត ប្រសិនបើវាមិនបំបែកនៅចំណុចណាមួយ។ មួយនៃភាគច្រើន ឧទាហរណ៍ដ៏ល្អក្រាហ្វបែបនេះគឺជារលកស៊ីនុស ដែលអ្នកអាចមើលឃើញក្នុងរូបភាព ផ្នែកនេះ។. មុខងារបន្តនៅចំណុចមួយចំនួន x0 ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌមួយចំនួនត្រូវបានបំពេញ៖

មុខងារត្រូវបានកំណត់នៅចំណុចជាក់លាក់មួយ;
ដែនកំណត់ខាងស្តាំនិងខាងឆ្វេងនៅចំណុចមួយគឺស្មើគ្នា;
ដែនកំណត់ ស្មើនឹងតម្លៃមុខងារនៅចំណុច x 0 ។

ប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់លក្ខខណ្ឌមួយមិនត្រូវបានបំពេញ មុខងារត្រូវបាននិយាយថាខូច។ ហើយចំនុចដែលបំបែកមុខងារត្រូវបានគេហៅថា ចំនុចបំបែក។ ឧទាហរណ៍នៃមុខងារដែលនឹង "បំបែក" នៅពេលបង្ហាញក្រាហ្វិកគឺ: y = (x + 4) / (x-3) ។ លើសពីនេះទៅទៀត y មិនមាននៅចំណុច x = 3 ទេ (ព្រោះវាមិនអាចបែងចែកដោយសូន្យ) ។

នៅក្នុងមុខងារដែលយើងកំពុងសិក្សា (y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) អ្វីគ្រប់យ៉ាងប្រែទៅជាសាមញ្ញព្រោះក្រាហ្វនឹងបន្ត។

សូម្បីតែ, សេស

ឥឡូវនេះពិនិត្យមើលមុខងារសម្រាប់ភាពស្មើគ្នា។ ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងទ្រឹស្តីតូចមួយ។ អនុគមន៍គូគឺជាអនុគមន៍ដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ f (-x) = f (x) សម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃអថេរ x (ពីជួរតម្លៃ) ។ ឧទាហរណ៍គឺ៖

ម៉ូឌុល x (ក្រាហ្វមើលទៅដូច Jackdaw ដែលជាផ្នែកនៃត្រីមាសទីមួយ និងទីពីរនៃក្រាហ្វ);
x ការ៉េ (ប៉ារ៉ាបូឡា);
កូស៊ីនុស x (រលកកូស៊ីនុស) ។

ចំណាំថាក្រាហ្វទាំងអស់នេះគឺស៊ីមេទ្រីនៅពេលមើលដោយគោរពតាមអ័ក្ស y ។

ដូចម្តេចដែលហៅថា មុខងារសេស? ទាំងនេះគឺជាមុខងារដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ៖ f (-x) \u003d - f (x) សម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃអថេរ x ។ ឧទាហរណ៍:

អ៊ីពែបូឡា;
ប៉ារ៉ាបូឡាគូប;
sinusoid;
តង់ហ្សង់ ជាដើម។

សូមចំណាំថាមុខងារទាំងនេះគឺស៊ីមេទ្រីអំពីចំណុច (0:0) ពោលគឺប្រភពដើម។ ដោយផ្អែកលើអ្វីដែលបាននិយាយនៅក្នុងផ្នែកនៃអត្ថបទនេះ គូ និង មុខងារសេសត្រូវតែមានទ្រព្យសម្បត្តិ៖ x ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ការកំណត់និយមន័យ និង -x ផងដែរ។

ចូរយើងពិនិត្យមើលមុខងារសម្រាប់ភាពស្មើគ្នា។ យើងអាចមើលឃើញថានាងមិនសមនឹងការពិពណ៌នាណាមួយឡើយ។ ដូច្នេះ មុខងាររបស់យើងគឺមិនសូម្បីតែក៏មិនចម្លែកដែរ។

រោគសញ្ញា

ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងនិយមន័យ។ asymptote គឺជាខ្សែកោងដែលនៅជិតបំផុតតាមដែលអាចធ្វើទៅបានចំពោះក្រាហ្វ ពោលគឺចម្ងាយពីចំណុចខ្លះមានទំនោរទៅសូន្យ។ មាន asymtotes បីប្រភេទ៖

បញ្ឈរ, នោះគឺ, ស្របទៅនឹងអ័ក្ស y;
ផ្ដេក ពោលគឺ ស្របទៅនឹងអ័ក្ស x;
oblique ។

សម្រាប់ប្រភេទទីមួយ បន្ទាត់ទាំងនេះគួរតែត្រូវបានរកមើលនៅចំណុចមួយចំនួន៖

គម្លាត;
ចុងបញ្ចប់នៃដែន។

ក្នុងករណីរបស់យើង មុខងារគឺបន្ត ហើយដែននៃនិយមន័យគឺ R. ដូច្នេះមិនមាន asymptotes បញ្ឈរទេ។

ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍មួយមាន asymptote ផ្តេក ដែលបំពេញតាមតម្រូវការខាងក្រោម៖ ប្រសិនបើ x ទំនោរទៅរកភាពគ្មានកំណត់ ឬដកគ្មានដែនកំណត់ ហើយដែនកំណត់គឺស្មើនឹងចំនួនជាក់លាក់មួយ (ឧទាហរណ៍ ក)។ ក្នុងករណីនេះ y=a គឺជា asymptote ផ្ដេក។ នៅក្នុងមុខងារដែលយើងកំពុងសិក្សា asymtotes ផ្ដេកទេ

asymptote oblique មានលុះត្រាតែមានលក្ខខណ្ឌពីរត្រូវបានបំពេញ៖

lim(f(x))/x=k;
lim f(x)-kx=b ។

បន្ទាប់មកវាអាចត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត៖ y = kx + b ។ ជាថ្មីម្តងទៀតនៅក្នុងករណីរបស់យើង។ asymtotes obliqueទេ

មុខងារសូន្យ

ជំហានបន្ទាប់គឺពិនិត្យមើលក្រាហ្វនៃអនុគមន៍សម្រាប់លេខសូន្យ។ វាក៏សំខាន់ផងដែរក្នុងការកត់សម្គាល់ថា ភារកិច្ចដែលទាក់ទងនឹងការស្វែងរកលេខសូន្យនៃអនុគមន៍មួយកើតឡើងមិនត្រឹមតែនៅក្នុងការសិក្សា និងការគូសវាសនៃអនុគមន៍ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែក៏ជា កិច្ចការឯករាជ្យនិងជាមធ្យោបាយដោះស្រាយវិសមភាព។ អ្នកអាចត្រូវបានតម្រូវឱ្យស្វែងរកលេខសូន្យនៃអនុគមន៍នៅលើក្រាហ្វ ឬប្រើសញ្ញាណគណិតវិទ្យា។

ការស្វែងរកតម្លៃទាំងនេះនឹងជួយឱ្យអ្នកគូសប្លង់មុខងារកាន់តែត្រឹមត្រូវ។ បើនិយាយ ភាសាសាមញ្ញបន្ទាប់មកសូន្យនៃអនុគមន៍គឺជាតម្លៃនៃអថេរ x ដែល y=0 ។ ប្រសិនបើអ្នកកំពុងស្វែងរកលេខសូន្យនៃអនុគមន៍នៅលើក្រាហ្វ នោះអ្នកគួរតែយកចិត្តទុកដាក់លើចំណុចដែលក្រាហ្វប្រសព្វជាមួយអ័ក្ស x ។

ដើម្បីស្វែងរកលេខសូន្យនៃអនុគមន៍ អ្នកត្រូវដោះស្រាយ សមីការខាងក្រោម៖ y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0។ បន្ទាប់ពីធ្វើការគណនាចាំបាច់ យើងទទួលបានចម្លើយដូចខាងក្រោម៖

សញ្ញានៃភាពស្ថិតស្ថេរ

ដំណាក់កាលបន្ទាប់ក្នុងការសិក្សា និងការសាងសង់មុខងារ (ក្រាហ្វិក) គឺការស្វែងរកចន្លោះពេលនៃសញ្ញា។ នេះមានន័យថាយើងត្រូវកំណត់ថាតើចន្លោះពេលមុខងារត្រូវប្រើអ្វីខ្លះ តម្លៃវិជ្ជមាននិងនៅលើមួយចំនួន - អវិជ្ជមាន។ លេខសូន្យនៃមុខងារដែលបានរកឃើញនៅក្នុងផ្នែកមុននឹងជួយយើងឱ្យធ្វើកិច្ចការនេះ។ ដូច្នេះយើងត្រូវគូរបន្ទាត់ត្រង់ (ដាច់ដោយឡែកពីក្រាហ្វ) និងក្នុង លំដាប់ត្រឹមត្រូវ។ចែកលេខសូន្យនៃអនុគមន៍លើវាពីតូចបំផុតទៅធំបំផុត។ ឥឡូវអ្នកត្រូវកំណត់ថាតើចន្លោះពេលលទ្ធផលមួយណាមានសញ្ញា "+" ហើយមួយណាមានសញ្ញា "-" ។

ក្នុងករណីរបស់យើង អនុគមន៍យកតម្លៃវិជ្ជមាននៅលើចន្លោះពេល៖

ពី 1 ទៅ 4;
ពីលេខ 9 រហូតដល់គ្មានកំណត់។

អត្ថន័យអវិជ្ជមាន៖

ពីដកគ្មានកំណត់ទៅ 1;
ពី 4 ទៅ 9 ។

នេះពិតជាងាយស្រួលក្នុងការកំណត់។ ជំនួសលេខណាមួយពីចន្លោះពេលទៅក្នុងមុខងារ ហើយមើលថាតើសញ្ញាអ្វីជាចម្លើយ (ដក ឬបូក)។

មុខងារកើនឡើង និងថយចុះ

ដើម្បីស្វែងយល់ និងបង្កើតមុខងារមួយ យើងត្រូវស្វែងរកកន្លែងដែលក្រាហ្វនឹងកើនឡើង (ឡើងលើ Oy) និងកន្លែងដែលវានឹងធ្លាក់ចុះ (រំកិលចុះតាមអ័ក្ស y)។

មុខងារកើនឡើងលុះត្រាតែតម្លៃធំជាងនៃអថេរ x ត្រូវគ្នានឹងតម្លៃធំជាងនៃ y ។ នោះគឺ x2 ធំជាង x1 ហើយ f(x2) ធំជាង f(x1)។ ហើយយើងសង្កេតឃើញបាតុភូតផ្ទុយទាំងស្រុងនៅក្នុងមុខងារថយចុះ (x កាន់តែច្រើន y តិច)។ ដើម្បីកំណត់ចន្លោះពេលនៃការកើនឡើង និងបន្ថយ អ្នកត្រូវស្វែងរកដូចខាងក្រោម៖

វិសាលភាព (យើងមានវារួចហើយ);
ដេរីវេ (ក្នុងករណីរបស់យើង៖ 1/3 (3x^2-28x+49);
ដោះស្រាយសមីការ 1/3(3x^2-28x+49)=0 ។

បន្ទាប់ពីការគណនាយើងទទួលបានលទ្ធផល៖

យើងទទួលបាន៖ មុខងារកើនឡើងនៅលើចន្លោះពេលពីដកគ្មានកំណត់ទៅ 7/3 និងពី 7 ទៅគ្មានកំណត់ ហើយថយចុះនៅចន្លោះពេលពី 7/3 ទៅ 7។

ជ្រុល

អនុគមន៍ដែលបានស៊ើបអង្កេត y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) គឺបន្ត ហើយមានសម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃអថេរ x ។ ចំណុចខ្លាំងបង្ហាញពីអតិបរមា និងអប្បបរមានៃមុខងារនេះ។ ក្នុងករណីរបស់យើង គ្មានអ្វីទេ ដែលជួយសម្រួលដល់ការងារសាងសង់។ បើមិនដូច្នោះទេពួកគេក៏ត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើមុខងារដេរីវេផងដែរ។ បន្ទាប់ពីរកឃើញកុំភ្លេចសម្គាល់ពួកវានៅលើតារាង។

ភាពប៉ោង និងរាងមូល

យើងបន្តសិក្សាមុខងារ y(x)។ ឥឡូវនេះយើងត្រូវពិនិត្យមើលវាសម្រាប់ប៉ោងនិង concavity ។ និយមន័យនៃគោលគំនិតទាំងនេះគឺពិបាកយល់ណាស់ វាជាការប្រសើរក្នុងការវិភាគអ្វីៗគ្រប់យ៉ាងដោយប្រើឧទាហរណ៍។ សម្រាប់ការធ្វើតេស្ត៖ មុខងារមួយមានរាងប៉ោង ប្រសិនបើវាជាមុខងារមិនបន្ថយ។ យល់ស្រប នេះមិនអាចយល់បាន!

យើងត្រូវស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍លំដាប់ទីពីរ។ យើងទទួលបាន៖ y = 1/3 (6x-28) ។ ឥឡូវនេះស្មើ ផ្នែកខាងស្តាំដល់សូន្យ និងដោះស្រាយសមីការ។ ចម្លើយ៖ x = ១៤/៣ ។ យើងបានរកឃើញចំណុចបញ្ឆេះ នោះគឺជាកន្លែងដែលក្រាហ្វប្តូរពីប៉ោងទៅប៉ោង ឬច្រាសមកវិញ។ នៅចន្លោះពេលពីដកគ្មានដែនកំណត់ទៅ 14/3 មុខងារគឺប៉ោង ហើយចាប់ពី 14/3 ដល់បូកនឹងភាពគ្មានទីបញ្ចប់ វាមានរាងប៉ោង។ វាក៏សំខាន់ផងដែរក្នុងការកត់សម្គាល់ថាចំណុច inflection នៅលើគំនូសតាងគួរតែរលូននិងទន់ ជ្រុងមុតស្រួចមិនគួរមានវត្តមានទេ។

និយមន័យនៃចំណុចបន្ថែម

ភារកិច្ចរបស់យើងគឺរុករក និងរៀបចំក្រាហ្វិកមុខងារ។ យើងបានបញ្ចប់ការសិក្សាហើយ វានឹងមិនមានការលំបាកក្នុងការគ្រោងមុខងារឥឡូវនេះ។ សម្រាប់ការផលិតឡើងវិញនូវខ្សែកោង ឬបន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះកូអរដោណេដែលត្រឹមត្រូវ និងលម្អិតជាងនេះ អ្នកអាចស្វែងរកចំណុចជំនួយជាច្រើន។ វាងាយស្រួលណាស់ក្នុងការគណនាពួកគេ។ ឧទាហរណ៍ យើងយក x=3 ដោះស្រាយសមីការលទ្ធផល ហើយរក y=4។ ឬ x=5 និង y=-5 ជាដើម។ អ្នកអាចយកចំណុចបន្ថែមជាច្រើនតាមដែលអ្នកត្រូវការដើម្បីបង្កើត។ យ៉ាងហោចណាស់ 3-5 នៃពួកគេត្រូវបានរកឃើញ។

គ្រោង

យើងត្រូវស៊ើបអង្កេតមុខងារ (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y ។ សញ្ញាសម្គាល់ចាំបាច់ទាំងអស់នៅក្នុងវគ្គសិក្សានៃការគណនាត្រូវបានធ្វើឡើងនៅលើយន្តហោះកូអរដោនេ។ អ្វីដែលនៅតែត្រូវធ្វើគឺការបង្កើតក្រាហ្វ ពោលគឺភ្ជាប់ចំណុចទាំងអស់ទៅកាន់គ្នា។ ការភ្ជាប់ចំណុចគឺរលូន និងត្រឹមត្រូវ នេះជាបញ្ហានៃជំនាញ - ការអនុវត្តតិចតួច ហើយកាលវិភាគរបស់អ្នកនឹងល្អឥតខ្ចោះ។

ការសិក្សាអំពីមុខងារត្រូវបានអនុវត្តតាមគ្រោងការណ៍ច្បាស់លាស់ និងតម្រូវឱ្យសិស្សធ្វើ ចំណេះដឹងរឹងមាំមេ គំនិតគណិតវិទ្យាដូចជាដែននៃនិយមន័យ និងតម្លៃ ភាពបន្តនៃមុខងារ ភាពមិនស៊ីគ្នា ចំណុចខ្លាំង ភាពស្មើគ្នា ភាពទៀងទាត់។ល។ សិស្សត្រូវតែបែងចែកមុខងារ និងដោះស្រាយសមីការដោយសេរី ដែលជួនកាលវាស្មុគស្មាញណាស់។

នោះគឺ កិច្ចការនេះពិនិត្យលើស្រទាប់សំខាន់នៃចំណេះដឹង គម្លាតណាមួយដែលនឹងក្លាយជាឧបសគ្គដល់ការទទួលបាន ការសម្រេចចិត្តត្រឹមត្រូវ។. ជាពិសេសជាញឹកញាប់ការលំបាកកើតឡើងជាមួយនឹងការសាងសង់ក្រាហ្វនៃមុខងារ។ កំហុសនេះចាប់ភ្នែកគ្រូភ្លាម ហើយអាចបំផ្លាញថ្នាក់របស់អ្នកយ៉ាងខ្លាំង បើទោះជាអ្វីៗផ្សេងទៀតត្រូវបានធ្វើត្រឹមត្រូវក៏ដោយ។ នៅទីនេះអ្នកអាចរកបាន ភារកិច្ចសម្រាប់ការសិក្សាមុខងារតាមអ៊ីនធឺណិត៖ សិក្សាឧទាហរណ៍ ទាញយកដំណោះស្រាយ កិច្ចការបញ្ជា។

ស៊ើបអង្កេតមុខងារ និងគ្រោង៖ ឧទាហរណ៍ និងដំណោះស្រាយតាមអ៊ីនធឺណិត

យើងបានរៀបចំសម្រាប់អ្នកនូវការសិក្សាអំពីមុខងារដែលត្រៀមរួចជាស្រេចជាច្រើន ទាំងការបង់ប្រាក់នៅក្នុងសៀវភៅដំណោះស្រាយ និងឥតគិតថ្លៃនៅក្នុងផ្នែកឧទាហរណ៍នៃការស្រាវជ្រាវលក្ខណៈពិសេស។ នៅលើមូលដ្ឋាននៃកិច្ចការដែលបានដោះស្រាយទាំងនេះ អ្នកនឹងអាចស្គាល់យ៉ាងលម្អិតជាមួយនឹងវិធីសាស្រ្តសម្រាប់ការអនុវត្តកិច្ចការបែបនេះ ដោយភាពស្រដៀងគ្នា ធ្វើការស្រាវជ្រាវផ្ទាល់ខ្លួនរបស់អ្នក។

យើងផ្តល់ជូន ឧទាហរណ៍ដែលត្រៀមរួចជាស្រេចការសិក្សាពេញលេញ និងការធ្វើផែនការមុខងារនៃប្រភេទទូទៅបំផុត៖ ពហុនាម ប្រភាគ-សនិទានភាព អសមហេតុផល អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល លោការីត អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ។ បញ្ហាដែលបានដោះស្រាយនីមួយៗត្រូវបានអមដោយក្រាហ្វដែលត្រៀមរួចជាស្រេចជាមួយនឹងចំណុចសំខាន់ៗដែលបានជ្រើសរើស asymptotes maxima និង minima ដំណោះស្រាយត្រូវបានអនុវត្តតាមក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់សិក្សាមុខងារ។

ឧទាហរណ៍ដែលបានដោះស្រាយក្នុងករណីណាក៏ដោយនឹងក្លាយជាជំនួយដ៏ល្អសម្រាប់អ្នកព្រោះវាគ្របដណ្តប់ប្រភេទមុខងារពេញនិយមបំផុត។ យើងផ្តល់ជូនអ្នកនូវបញ្ហារាប់រយដែលត្រូវបានដោះស្រាយរួចហើយ ប៉ុន្តែដូចដែលអ្នកដឹងស្រាប់ហើយថា មុខងារគណិតវិទ្យាមានចំនួនមិនកំណត់នៅក្នុងពិភពលោក ហើយគ្រូគឺជាចៅហ្វាយនាយដ៏អស្ចារ្យក្នុងការបង្កើតកិច្ចការដ៏ស្មុគស្មាញបន្ថែមទៀតសម្រាប់សិស្សក្រីក្រ។ ដូច្នេះ សិស្សានុសិស្សជាទីគោរព ជំនួយដែលមានលក្ខណៈសម្បត្តិគ្រប់គ្រាន់នឹងមិនធ្វើឱ្យអ្នកឈឺចាប់ឡើយ។

ការដោះស្រាយបញ្ហាសម្រាប់ការសិក្សាមុខងារដើម្បីបញ្ជា

ក្នុងករណីនេះ ដៃគូរបស់យើងនឹងផ្តល់ជូនអ្នកនូវសេវាកម្មមួយផ្សេងទៀត - ការសិក្សាពេញលេញលក្ខណៈពិសេសអនឡាញដើម្បីបញ្ជា។ ភារកិច្ចនឹងត្រូវបានបញ្ចប់សម្រាប់អ្នកដោយអនុលោមតាមតម្រូវការទាំងអស់សម្រាប់ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការដោះស្រាយបញ្ហាបែបនេះដែលនឹងពេញចិត្តគ្រូរបស់អ្នកយ៉ាងខ្លាំង។

យើងនឹងធ្វើការសិក្សាពេញលេញអំពីមុខងារសម្រាប់អ្នក៖ យើងនឹងរកឃើញដែននៃនិយមន័យ និងជួរនៃតម្លៃ ពិនិត្យមើលភាពបន្ត និងការមិនបន្ត កំណត់ភាពស្មើគ្នា ពិនិត្យមើលមុខងាររបស់អ្នកសម្រាប់ភាពទៀងទាត់ ស្វែងរកចំណុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្សកូអរដោនេ។ . ហើយជាការពិតណាស់ បន្ថែមទៀត ដោយមានជំនួយពីការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែល៖ យើងនឹងរកឃើញ asymtotes គណនា extrema ចំណុច inflection និងបង្កើតក្រាហ្វដោយខ្លួនឯង។

វិបផតថលសម្រាប់សិស្ស។ ការបណ្តុះបណ្តាលខ្លួនឯង