Nós não escolhemos matemática sua profissão, e ela nos escolhe.

O matemático russo Yu.I. Manin

Módulo Equações

Os problemas mais difíceis de resolver na matemática escolar são equações contendo variáveis ​​sob o sinal de módulo. Para solução de sucesso tais equações, é necessário conhecer a definição e as propriedades básicas do módulo. Naturalmente, os alunos devem ter habilidades para resolver equações desse tipo.

Conceitos básicos e propriedades

Módulo (valor absoluto) número real denotado e é definido da seguinte forma:

PARA propriedades simples módulo incluem as seguintes relações:

Observação, que as duas últimas propriedades valem para qualquer grau par.

Além disso, se , onde , então e

Mais propriedades complexas módulo, que pode ser efetivamente usado na resolução de equações com módulos, são formuladas por meio dos seguintes teoremas:

Teorema 1.Para qualquer funções analíticas E a desigualdade

Teorema 2. Igualdade é o mesmo que desigualdade.

Teorema 3. Igualdade é equivalente à desigualdade.

Considerar exemplos típicos resolução de problemas sobre o tema "Equações, contendo variáveis ​​sob o sinal do módulo.

Resolvendo Equações com Módulo

Mais comum em matemática escolar o método para resolver equações com módulo é o método, com base na expansão do módulo. Este método é genérico, no entanto, em caso Geral sua aplicação pode levar a cálculos muito complicados. A este respeito, os alunos também devem estar cientes de outras, mais métodos eficazes e métodos para resolver tais equações. Em particular, precisa ter as habilidades para aplicar os teoremas, dado neste artigo.

Exemplo 1 Resolva a equação. (1)

Solução. A equação (1) será resolvida pelo método "clássico" - o método de expansão do módulo. Para fazer isso, quebramos o eixo numérico pontos e intervalos e considere três casos.

1. Se , então , , , e a equação (1) assume a forma . Segue daqui. Porém, aqui , então o valor encontrado não é a raiz da equação (1).

2. Se , então da equação (1) obtemos ou .

Desde então a raiz da equação (1).

3. Se , então a equação (1) assume a forma ou . Observe que .

Responder: , .

Ao decidir sobre as seguintes equações com o módulo, usaremos ativamente as propriedades dos módulos para aumentar a eficiência da resolução de tais equações.

Exemplo 2 resolva a equação.

Solução. desde e então segue da equação. A respeito disso, , , e a equação fica. A partir daqui nós obtemos. No entanto , então a equação original não tem raízes.

Resposta: sem raízes.

Exemplo 3 resolva a equação.

Solução. Desde então . Se então , e a equação fica.

A partir daqui obtemos.

Exemplo 4 resolva a equação.

Solução.Vamos reescrever a equação na forma equivalente. (2)

A equação resultante pertence a equações do tipo .

Levando em consideração o Teorema 2, podemos afirmar que a equação (2) é equivalente à desigualdade . A partir daqui obtemos.

Responder: .

Exemplo 5 Resolva a equação.

Solução. Esta equação tem a forma. É por isso , de acordo com o Teorema 3, aqui temos a desigualdade ou .

Exemplo 6 resolva a equação.

Solução. Vamos supor que. Porque , Que dada equação assume a forma de uma equação quadrática, (3)

Onde . Como a equação (3) tem um único raiz positiva e então . A partir daqui, obtemos duas raízes da equação original: E .

Exemplo 7 resolva a equação. (4)

Solução. já que a equaçãoé equivalente à combinação de duas equações: E , então ao resolver a equação (4) é necessário considerar dois casos.

1. Se , então ou .

Daqui obtemos , e .

2. Se , então ou .

Desde então .

Responder: , , , .

Exemplo 8resolva a equação . (5)

Solução. Desde e , então . Daqui e da Eq. (5) segue-se que e , ou seja, aqui temos um sistema de equações

No entanto este sistema equações é inconsistente.

Resposta: sem raízes.

Exemplo 9 resolva a equação. (6)

Solução. se nós designarmos e da equação (6) obtemos

Ou . (7)

Como a equação (7) tem a forma , essa equação é equivalente à desigualdade . A partir daqui obtemos. Desde , então ou .

Responder: .

Exemplo 10resolva a equação. (8)

Solução.Pelo Teorema 1, podemos escrever

(9)

Levando em consideração a equação (8), concluímos que ambas as desigualdades (9) se transformam em igualdades, ou seja, existe um sistema de equações

Porém, pelo Teorema 3, o sistema de equações acima é equivalente ao sistema de desigualdades

(10)

Resolvendo o sistema de desigualdades (10) obtemos . Como o sistema de desigualdades (10) é equivalente à equação (8), a equação original tem uma única raiz .

Responder: .

Exemplo 11. resolva a equação. (11)

Solução. Let E , então a equação (11) implica a igualdade .

Disto segue que e . Assim, temos aqui um sistema de desigualdades

A solução para este sistema de desigualdades é E .

Responder: , .

Exemplo 12.resolva a equação. (12)

Solução. A equação (12) será resolvida pelo método de expansão sucessiva de módulos. Para fazer isso, considere vários casos.

1. Se , então .

1.1. Se , então e , .

1.2. Se então . No entanto , tão em este caso a equação (12) não tem raízes.

2. Se , então .

2.1. Se , então e , .

2.2. Se , então e .

Responder: , , , , .

Exemplo 13resolva a equação. (13)

Solução. Como o lado esquerdo da equação (13) é não negativo, então e . A este respeito, , e a equação (13)

assume a forma ou .

Sabe-se que a equação é equivalente à combinação de duas equações E , resolvendo o que obtemos, . Porque , então a equação (13) tem uma raiz.

Responder: .

Exemplo 14 Resolver um sistema de equações (14)

Solução. Desde e , então e . Portanto, do sistema de equações (14) obtemos quatro sistemas de equações:

As raízes dos sistemas de equações acima são as raízes do sistema de equações (14).

Responder: ,, , , , , , .

Exemplo 15 Resolver um sistema de equações (15)

Solução. Desde então . Nesse sentido, do sistema de equações (15) obtemos dois sistemas de equações

As raízes do primeiro sistema de equações são e , e do segundo sistema de equações obtemos e .

Responder: , , , .

Exemplo 16 Resolver um sistema de equações (16)

Solução. Segue da primeira equação do sistema (16) que .

Desde então . Considere a segunda equação do sistema. Porque o, Que , e a equação fica, , ou .

Se substituirmos o valorna primeira equação do sistema (16), então , ou .

Responder: , .

Para um estudo mais profundo dos métodos de resolução de problemas, relacionado com a solução de equações, contendo variáveis ​​sob o sinal do módulo, você pode aconselhar tutoriais da lista de literatura recomendada.

1. Coleta de tarefas em matemática para candidatos a universidades técnicas / Ed. MI. Scanavi. - M.: Mundo e Educação, 2013. - 608 p.

2. Suprun V.P. Matemática para alunos do ensino médio: tarefas complexidade aumentada. - M.: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 200 p.

3. Suprun V.P. Matemática para alunos do ensino médio: métodos não padronizados Solução de problemas. - M.: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 296 p.

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Tochilkina Julia

O artigo apresenta vários métodos para resolver equações com um módulo.

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Instituição de ensino orçamentária municipal

"Escola secundária nº 59"

Módulo Equações

trabalho abstrato

Realizado aluno do 9º ano

MBOU "Escola Secundária No. 59", Barnaul

Tochilkina Julia

Supervisor

Zakharova Ludmila Vladimirovna,

professor de matemática

MBOU "Escola Secundária No. 59", Barnaul

Barnaul 2015

Introdução

Estou na nona série. Este ano lectivo tenho de fazer certificação final para o curso primário. Para nos prepararmos para o exame, compramos uma coleção de D. A. Maltsev Mathematics. 9º ano Olhando através da coleção, encontrei equações contendo não apenas um, mas também vários módulos. O professor explicou para mim e meus colegas que tais equações são chamadas de equações de "módulos aninhados". Este nome parecia incomum para nós, e a solução à primeira vista, bastante complicada. Foi assim que surgiu o tema do meu trabalho “Equações com módulo”. Resolvi estudar mais a fundo esse tema, principalmente porque vai ser útil para mim na hora de passar nos exames de final. ano escolar e acho que será necessário na 10ª e 11ª séries. Todos os itens acima determinam a relevância do tópico que escolhi.

Objetivo do trabalho:

1. Considerar vários métodos solução de equações com módulo.
2. Aprenda a resolver equações contendo o sinal do valor absoluto usando vários métodos

Para trabalhar o tema, foram formuladas as seguintes tarefas:

Tarefas:

1. Explorar material teórico sobre o tema "O módulo de um número real".
2. Considerar métodos de resolução de equações e consolidar os conhecimentos adquiridos na resolução de problemas.
3. Aplicar os conhecimentos adquiridos na resolução de várias equações contendo o sinal do módulo no ensino médio

Objeto de estudo:métodos para resolver equações com um módulo

Objeto de estudo:equações de módulo

Métodos de pesquisa:

Teórico : estudo da literatura sobre o tema da pesquisa;

Internet - informação.

Análise informações obtidas no estudo da literatura; resultados obtidos ao resolver equações com módulo jeitos diferentes.

Comparação formas de resolver equações, o assunto da racionalidade de seu uso na resolução de várias equações com um módulo.

“Começamos a pensar quando esbarramos em algo.” Paulo Valéria.

1. Conceitos e definições.

O conceito de "módulo" é amplamente utilizado em muitas seções curso escolar matemática, por exemplo, no estudo de valores absolutos e erros relativos número aproximado; em geometria e física, estudam-se os conceitos de vetor e seu comprimento (módulo vetorial). Conceitos do módulo aplicados em cursos matemática superior, física e ciências técnicas estudou em instituições de ensino superior.

A palavra "módulo" vem de palavra latina“módulo”, que significa “medida” na tradução. Esta palavra tem muitos significados e é usada não só em matemática, física e tecnologia, mas também em arquitetura, programação e outras ciências exatas.

Acredita-se que o termo foi proposto para ser usado por Kots, um aluno de Newton. O sinal do módulo foi introduzido no século 19 por Weierstrass.

Na arquitetura, um módulo é a unidade inicial de medida estabelecida para uma determinada estrutura arquitetônica.

Na engenharia, este é um termo usado em vários campos técnica usada para designar vários coeficientes e quantidades, por exemplo, o módulo de elasticidade, o módulo de engate...

Na matemática, um módulo tem vários significados, mas vou tratá-lo como o valor absoluto de um número.

Definição1: Módulo (valor absoluto) de um número real A o próprio número é chamado se A ≥0, ou o número oposto - e se A módulo zero zero.

Ao resolver equações com um módulo, é conveniente usar as propriedades do módulo.

Considere as provas das propriedades 5,6,7.

Declaração 5. Igualdade │ é verdadeiro se av ≥ 0.

Prova. De fato, depois de elevar ao quadrado ambas as partes dessa igualdade, obtemos, │ a+v │²=│ a │²+2│ ab │+│ a │²,

a² + 2 av + b² \u003d a² + 2│ av │ + b², de onde │ av │ = av

E a última igualdade será verdadeira para av ≥0.

Declaração 6. Igualdade │ a-c │=│ a │+│ c │ é verdadeiro quando av ≤0.

Prova. Para prová-lo, basta na igualdade

│ a + in │=│ a │+│ in │ substitua in por - in, então a (- in) ≥0, de onde av ≤0.

Declaração 7. Igualdade │ a │+│ in │= a + in realizada em a ≥0 eb ≥0.

Prova . Considerando quatro casos a ≥0 eb ≥0; a ≥0 e b A em ≥0; A V a ≥0 eb ≥0.

(a-c) em ≥0.

interpretação geométrica

|a| é a distância na linha de coordenadas do ponto com coordenada A , para a origem das coordenadas.

|-a| |a|

A 0 a x

Interpretação geométrica do significado |a| confirma claramente que |-a|=|a|

Se um 0, então na linha de coordenadas existem dois pontos a e -a, equidistantes de zero, cujos módulos são iguais.

Se a=0, então na linha de coordenadas |a| representado pelo ponto 0.

Definição 2: Uma equação com módulo é uma equação contendo uma variável sob o sinal de valor absoluto (sob o sinal de módulo). Por exemplo: |x +3|=1

Definição 3: Resolver uma equação significa encontrar todas as suas raízes, ou provar que não há raízes.

2. Métodos de solução

A partir da definição e propriedades do módulo, seguem os principais métodos para resolver equações com um módulo:

1. "Expandir" um módulo (ou seja, usar uma definição);
2. Usando o significado geométrico do módulo (propriedade 2);
3. Método de solução gráfica;
4. Uso transformações equivalentes(propriedades 4.6);
5. Substituição de variável (isso usa a propriedade 5).
6. método de intervalo.

eu decidi o suficiente um grande número de exemplos, mas no trabalho que apresento a sua atenção apenas alguns, na minha opinião, exemplos típicos, resolvido de várias maneiras, porque o resto se duplica e para entender como resolver equações com módulo, não é necessário considerar todos os exemplos resolvidos.

SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES | f(x)| = a

Considere a equação | f(x)| = a, e R

Uma equação deste tipo pode ser resolvida definindo o módulo:

Se A então a equação não tem raízes.

Se a= 0, então a equação é equivalente a f(x)=0.

Se a>0, então a equação é equivalente ao conjunto

Exemplo. Resolva a equação |3x+2|=4.

Solução.

|3x+2|=4, então 3x+2=4,

3x+2= -4;

X=-2,

X=2/3

Resposta: -2;2/3.

SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES USANDO AS PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DO MÓDULO.

Exemplo 1 Resolva a equação /x-1/+/x-3/=6.

Solução.

Resolver esta equação significa encontrar todos esses pontos em eixo numérico Oh, para cada um dos quais a soma das distâncias dele aos pontos com coordenadas 1 e 3 é igual a 6.

Nenhum dos pontos na linhanão satisfaz esta condição, porque a soma das distâncias especificadas é 2. Fora deste segmento, existem dois pontos: 5 e -1.

1 1 3 5

Resposta: -1;5

Exemplo 2 Resolver a equação |x 2 +x-5|+|x 2 +x-9|=10.

Solução.

Denote x 2 + x-5 \u003d a, então / a / + / a-4 /=10. Vamos encontrar pontos no eixo x de modo que, para cada um deles, a soma das distâncias aos pontos com coordenadas 0 e 4 seja igual a 10. Essa condição é satisfeita por -4 e 7.

3 0 4 7

Então x 2 + x-5 \u003d 4 x 2 + x-5 \u003d 7

X 2 + x-2 \u003d 0 x 2 + x-12 \u003d 0

X 1 \u003d 1, x 2 \u003d -2 x 1 \u003d -4, x 2 \u003d 3 Resposta: -4; -2; 1; 3.

SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES | f(x)| = | g(x)|.

1. Desde | a |=|b |, se a=b, então uma equação da forma | f(x)| = | g(x )| equivale a um agregado

Exemplo 1.

Resolver equação | x–2| = |3 - x |.

Solução.

Esta equação é equivalente a duas equações:

x - 2 \u003d 3 - x (1) e x - 2 \u003d -3 + x (2)

2 x = 5 -2 = -3 - incorreto

x = 2,5 a equação não tem solução.

Resposta: 2.5.

Exemplo 2

Resolver a equação |x 2 + 3x-20|= |x 2 -3x+ 2|.

Solução.

Como ambos os lados da equação são não negativos, entãoao quadrado é a transformação equivalente:

(x 2 + 3x-20) 2 \u003d (x 2 -3x + 2) 2

(x 2 + 3x-20) 2 - (x 2 -3x + 2) 2 \u003d 0,

(x 2 + 3x-20-x 2 + 3x-2) (x 2 + 3x-20 + x 2 -3x + 2) \u003d 0,

(6x-22)(2x 2 -18)=0,

6x-22=0 ou 2x 2 -18=0;

X=22/6, x=3, x=-3.

X=11/3

Resposta: -3; 3; 3/11.

SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DA VISTA | f(x)| = g(x).

A diferença entre essas equações e| f(x)| = um em que o lado direito também é uma variável. E pode ser positivo e negativo. Portanto, deve-se verificar especialmente que é não negativo, porque o módulo não pode ser igual a número negativo(propriedade№1 )

1 caminho

Solução de equação | f(x)| = g(x ) é reduzido ao conjunto de soluções das equaçõese verificando a validade da desigualdade g(x )>0 para os valores encontrados da incógnita.

2 vias (por definição de módulo)

Desde | f(x)| = g(x) se f(x) = 0; | f(x)| = - f(x) se f(x)

Exemplo.

Resolva a equação |3 x –10| = x - 2.

Solução.

Esta equação é equivalente à combinação de dois sistemas:

O t e t: 3; 4.

SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DA FORMA |f 1 (x)|+|f 2 (x)|+…+|f n (x)|=g(x)

A solução de equações deste tipo é baseada na definição do módulo. Para cada função f 1 (x), f 2 (x), …, f n (x) é necessário encontrar o domínio de definição, seus zeros e pontos de descontinuidade que quebram área geral definições em intervalos, em cada um dos quais as funções f 1 (x), f 2 (x), …, f n (x) manter seu sinal. Além disso, usando a definição do módulo, para cada uma das áreas encontradas, obtemos uma equação que deve ser resolvida em um determinado intervalo. Este método foi chamado "método de intervalo»

Exemplo.

Resolva a equação |x-2|-3|x+4|=1.

Solução.

Vamos encontrar os pontos onde as expressões do submódulo são iguais a zero

x-2=0, x+4=0,

x=2; x=-4.

Vamos quebrar a reta numérica em intervalos x

A solução da equação é reduzida à solução de três sistemas:

Resposta: -15, -1,8.

MÉTODO GRÁFICO PARA RESOLVER EQUAÇÕES CONTENDO SINAL DO MÓDULO.

forma gráfica resolver as equações é aproximado, pois a precisão depende do segmento de unidade selecionado, a espessura do lápis, os ângulos em que as linhas se cruzam, etc. Mas esse método permite estimar quantas soluções uma determinada equação possui.

Exemplo. Resolva graficamente a equação |x - 2| + |x - 3| + |2x - 8| = 9

Solução. Vamos construir gráficos de funções em um sistema de coordenadas

y=|x - 2| + |x - 3| + |2x - 8| e y=9.

Para construir um gráfico, considere esta função em cada intervalo (-∞; 2); [ 3/2 ; ∞)

Resposta: (- ∞ ; 4/3] [ 3/2 ; ∞ )

Também usamos o método das transformações equivalentes na resolução das equações | f(x)| = | g(x)|.

EQUAÇÕES COM "MÓDULO COMPLEXO"

Outro tipo de equações são as equações com um módulo "complexo". Tais equações incluem equações que possuem "módulos dentro de um módulo". Equações deste tipo podem ser resolvidas usando vários métodos.

Exemplo 1

Resolva a equação ||||x| – |–2| –1| –2| = 2.

Solução.

Pela definição do módulo, temos:

Vamos resolver a primeira equação.

1. ||| x |–2| –1| = 4

| x | – 2 = 5;

| x | = 7;

x = 7.

Vamos resolver a segunda equação.

1. ||| x | –2| –1| = 0,

|| x | –2| = 1,

| x | -2 = 1,

| x | = 3 e | x | = 1,

x = 3; x = 1.

O n e t: 1; 3; 7.

Exemplo 2

Resolva a equação |2 – |x + 1|| = 3.

Solução.

Vamos resolver a equação introduzindo uma nova variável.

Deixe | x + 1| = y , então |2 – y | = 3, portanto

Vamos fazer a substituição inversa:

(1) | x + 1| = -1 - sem soluções.

(2) | x + 1| = 5

A n e t: -6; 4.

Exemplo3 .

Quantas raízes tem a equação | 2 | x | -6 | = 5 - x?

Solução. Vamos resolver a equação usando esquemas de equivalência.

Equação | 2 | x | -6 | = 5 -x é equivalente ao sistema:

Módulo é o valor absoluto da expressão. Para designar pelo menos de alguma forma um módulo, costuma-se usar colchetes retos. O valor que está entre colchetes pares é o valor que é tomado módulo. O processo de resolução de qualquer módulo é expandir os mesmos colchetes que linguagem matemática são chamados de suportes modulares. A divulgação deles é um certo número regras. Além disso, na ordem de resolução dos módulos, também existem conjuntos de valores dessas expressões que estavam entre colchetes do módulo. Na maioria dos casos, o módulo é expandido de forma que a expressão que era submodular fique positiva e valores negativos, que também inclui o valor zero. Se começarmos com as propriedades estabelecidas do módulo, várias equações ou desigualdades da expressão original serão compiladas no processo, que precisam ser resolvidas. Vamos descobrir como resolver os módulos.

Processo de Solução

A solução do módulo começa escrevendo a equação original com o módulo. Para responder à questão de como resolver equações com módulo, você precisa abri-lo completamente. Para resolver tal equação, o módulo é expandido. Todas as expressões modulares devem ser consideradas. É necessário determinar em que valores quantidades desconhecidas incluída em sua composição, desaparece a expressão modular entre parênteses. Para fazer isso, basta igualar a expressão em colchetes modulares a zero e, a seguir, calcular a solução da equação resultante. Os valores encontrados devem ser registrados. Da mesma forma, você também precisa determinar o valor de todas as variáveis ​​desconhecidas para todos os módulos nesta equação. Em seguida, é preciso tratar da definição e consideração de todos os casos de existência de variáveis ​​em expressões quando diferentes do valor zero. Para fazer isso, você precisa escrever algum sistema de inequações correspondente a todos os módulos na inequação original. As desigualdades devem ser elaboradas de modo que cubram todos os recursos disponíveis e valores possíveis para uma variável que é encontrada na reta numérica. Então você precisa desenhar para visualização esta mesma linha numérica, na qual colocar todos os valores obtidos no futuro.

Quase tudo agora pode ser feito online. O módulo não foge às regras. Você pode resolvê-lo online em um dos muitos recursos modernos. Todos aqueles valores da variável que estão no módulo zero serão uma restrição especial que será utilizada no processo de resolução da equação modular. Na equação original, é necessário expandir todos os colchetes modulares disponíveis, alterando o sinal da expressão para que os valores da variável desejada coincidam com os valores visíveis na reta numérica. A equação resultante deve ser resolvida. O valor da variável, que será obtido no decorrer da resolução da equação, deve ser conferido com a restrição que é feita pelo próprio módulo. Se o valor da variável satisfizer totalmente a condição, então ela está correta. Todas as raízes que serão obtidas no decorrer da resolução da equação, mas que não se encaixam nas restrições, devem ser descartadas.

Esta calculadora matemática online irá ajudá-lo resolver uma equação ou inequação com módulos. programa para resolvendo equações e inequações com módulos não apenas dá a resposta para o problema, mas também leva solução detalhada com explicações, ou seja exibe o processo de obtenção do resultado.

Este programa pode ser útil para alunos do ensino médio escolas de educação geral em preparação para trabalho de controle e exames, ao testar o conhecimento antes do exame, os pais controlam a solução de muitos problemas de matemática e álgebra. Ou talvez seja muito caro para você contratar um tutor ou comprar novos livros didáticos? Ou você só quer fazer isso o mais rápido possível? trabalho de casa matemática ou álgebra? Nesse caso, você também pode usar nossos programas com uma solução detalhada.

Desta forma, você pode realizar seu próprio treinamento e/ou treinar seus Irmãos mais novos ou irmãs, enquanto o nível de educação no campo das tarefas a serem resolvidas aumenta.

|x| ou abs(x) - módulo x

Digite equação ou desigualdade com módulos

Resolver uma equação ou desigualdade

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Um pouco de teoria.

Equações e inequações com módulos

No curso básico de álgebra escolar, você pode conhecer as equações e inequações mais simples com módulos. Para resolvê-los, pode-se aplicar método geométrico, com base no fato de que \(|x-a| \) é a distância na reta numérica entre os pontos x e a: \(|x-a| = \rho (x;\; a) \). Por exemplo, para resolver a equação \(|x-3|=2 \), você precisa encontrar pontos na reta numérica que estão a uma distância de 2 do ponto 3. Existem dois desses pontos: \(x_1=1 \) e \(x_2=5 \) .

Resolvendo a desigualdade \(|2x+7|

Mas a principal forma de resolver equações e inequações com módulos está relacionada com a chamada “expansão de módulo por definição”:
se \(a \geq 0 \), então \(|a|=a \);
if \(a Via de regra, uma equação (desigualdade) com módulos se reduz a um conjunto de equações (desigualdades) que não contém o sinal do módulo.

Além da definição acima, as seguintes afirmações são usadas:
1) Se \(c > 0 \), então a equação \(|f(x)|=c \) é equivalente ao conjunto de equações: \(\left[\begin(array)(l) f(x )=c \\ f(x)=-c \end(matriz)\direita.\)
2) Se \(c > 0 \), então a desigualdade \(|f(x)| 3) Se \(c \geq 0 \), então a desigualdade \(|f(x)| > c \) é equivalente ao conjunto de desigualdades : \(\left[\begin(array)(l) f(x) c \end(array)\right. \)
4) Se ambas as partes da desigualdade \(f(x) EXEMPLO 1. Resolva a equação \(x^2 +2|x-1| -6 = 0 \).

Se \(x-1 \geq 0 \), então \(|x-1| = x-1 \) e a equação dada torna-se
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Seta para a direita x^2 +2x -8 = 0 \).
Se \(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Seta para a direita x^2 -2x -4 = 0 \).
Assim, a equação dada deve ser considerada separadamente em cada um dos dois casos indicados.
1) Seja \(x-1 \geq 0 \), ou seja, \(x \geq 1 \). Da equação \(x^2 +2x -8 = 0 \) encontramos \(x_1=2, \; x_2=-4\). A condição \(x \geq 1 \) é satisfeita apenas pelo valor \(x_1=2\).
2) Seja \(x-1 Resposta: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)

EXEMPLO 2. Resolva a equação \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3) \).

primeira via(expansão do módulo por definição).
Argumentando como no Exemplo 1, concluímos que a equação dada deve ser considerada separadamente sob duas condições: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) ou \(x^2-6x+7

1) Se \(x^2-6x+7 \geq 0 \), então \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) e a equação dada torna-se \(x^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Seta para a direita 3x^2-23x+30=0 \). resolvendo Equação quadrática, obtemos: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \).
Vamos descobrir se o valor \(x_1=6 \) satisfaz a condição \(x^2-6x+7 \geq 0 \). Para fazer isso, substitua o valor especificado em desigualdade quadrada. Obtemos: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), ou seja, \(7 \geq 0 \) é a desigualdade correta. Então \(x_1=6 \) é a raiz de dada equação.
Vamos descobrir se o valor \(x_2=\frac(5)(3) \) satisfaz a condição \(x^2-6x+7 \geq 0 \). Para fazer isso, substituímos o valor indicado na desigualdade quadrática. Obtemos: \(\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), ou seja, \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) é uma desigualdade inválida. Então \(x_2=\frac(5)(3) \) não é uma raiz da equação dada.

2) Se \(x^2-6x+7 O valor \(x_3=3\) satisfaz a condição \(x^2-6x+7 O valor \(x_4=\frac(4)(3) \) não não satisfaz a condição \ (x^2-6x+7 Portanto, a equação dada tem duas raízes: \(x=6, \; x=3 \).

A segunda maneira. Dada uma equação \(|f(x)| = h(x) \), então para \(h(x) \(\left[\begin(array)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end(matriz)\direita. \)
Ambas as equações são resolvidas acima (com o primeiro método de resolução da equação dada), suas raízes são: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4)( 3) \). Condição \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) destes quatro valores satisfazem apenas dois: 6 e 3. Portanto, a equação dada tem duas raízes: \(x=6, \; x=3 \).

terceira via(gráfico).
1) Vamos plotar a função \(y = |x^2-6x+7| \). Primeiro construímos uma parábola \(y = x^2-6x+7\). Temos \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). O gráfico da função \(y = (x-3)^2-2 \) pode ser obtido a partir do gráfico da função \(y = x^2 \) deslocando-o 3 unidades de escala para a direita (no eixo x) e 2 unidades de escala para baixo (ao longo do eixo y). A reta x=3 é o eixo da parábola que nos interessa. Como pontos de controle para plotagem mais precisa, é conveniente tomar o ponto (3; -2) - o topo da parábola, o ponto (0; 7) e o ponto (6; 7) simétrico a ele em relação ao eixo da parábola.
Para construir agora o gráfico da função \(y = |x^2-6x+7| \), você precisa deixar inalteradas as partes da parábola construída que não estão abaixo do eixo x e espelhar a parte do parábola que está abaixo do eixo x em torno do eixo x.
2) Vamos construir um gráfico Função linear\(y = \frac(5x-9)(3) \). É conveniente tomar os pontos (0; –3) e (3; 2) como pontos de controle.

É essencial que o ponto x \u003d 1,8 da interseção da reta com o eixo das abscissas esteja localizado à direita do ponto de interseção esquerdo da parábola com o eixo das abscissas - este é o ponto \(x=3-\ sqrt(2) \) (pois \(3-\sqrt(2 ) 3) A julgar pelo desenho, os gráficos se interceptam em dois pontos - A (3; 2) e B (6; 7). Substituindo as abcissas desses pontos x \u003d 3 e x \u003d 6 na equação dada, garantimos que tanto outro valor forneça a igualdade numérica correta. Portanto, nossa hipótese foi confirmada - a equação tem duas raízes: x \u003d 3 e x \u003d 6 . Resposta: 3; 6.

Comente. O método gráfico, com toda a sua elegância, não é muito confiável. No exemplo considerado, funcionou apenas porque as raízes da equação são números inteiros.

EXEMPLO 3. Resolva a equação \(|2x-4|+|x+3| = 8 \)

primeira via
A expressão 2x–4 torna-se 0 no ponto x = 2, e a expressão x + 3 no ponto x = –3. Esses dois pontos dividem a reta numérica em três intervalos: \(x

Considere o primeiro intervalo: \((-\infty; \; -3) \).
Se x Considere o segundo intervalo: \([-3; \; 2) \).
Se \(-3 \leq x Considere o terceiro intervalo: \( Resposta: o comprimento da lacuna é 6.№3 . Resolva a equação, na resposta indique o número de soluções inteiras: │2 + x - x 2 │ = 2 + x - x 2 + x - x 2 ≥ 0 x 2 - x - 2 ≤ 0 [- 1; 2] Resposta: 4 soluções completas.№4 . Resolva a equação, dê sua resposta raiz maior:
│4 - x -
│= 4 – x –
x 2 - 5x + 5 \u003d 0 D \u003d 5 x 1,2 \u003d
≈ 1,4

Resposta: x = 3.

Exercícios: №12. Resolva a equação, na resposta indique a raiz inteira: │x 2 + 6x + 8 │= x 2 + 6x + 8 №13. Resolva a equação, na resposta indique o número de soluções inteiras: │13x - x 2 - 36│+ x 2 - 13x + 36 = 0 №14. Resolva a equação, na resposta indique um inteiro que não seja a raiz da equação:

Seção 5. Equações da forma │F(x)│= │G(x)│

Como ambos os lados da equação são não negativos, a solução envolve considerar dois casos: expressões de submódulos são iguais ou opostas em sinal. Portanto, a equação original é equivalente à combinação de duas equações: │ F(x)│= │ G(x)│
Exemplos: №1. Resolva a equação, na resposta indique a raiz inteira: │x + 3│ \u003d │2x - 1│
Resposta: raiz inteira x = 4.№2. Resolva a equação: │ x - x 2 - 1│ \u003d │2x - 3 - x 2 │
Resposta: x = 2.№3 . Resolva a equação, na resposta indique o produto das raízes:




As raízes da equação 4x 2 + 2x - 1 \u003d 0 x 1,2 \u003d - 1±√5 / 4 Resposta: o produto das raízes é 0,25. Exercícios: №15 . Resolva a equação, na resposta indique a solução completa: │x 2 - 3x + 2│ \u003d │x 2 + 6x - 1│ №16. Resolva a equação, na resposta indique a raiz menor: │5x - 3│=│7 - x│ №17 . Resolva a equação, na resposta escreva a soma das raízes:

Seção 6. Exemplos de resolução de equações não padronizadas

EM esta seção veremos exemplos equações não padronizadas, em cuja solução o valor absoluto da expressão é revelado por definição. Exemplos:

№1. Resolva a equação, na resposta indique a soma das raízes: x │x│- 5x - 6 \u003d 0
Resposta: a soma das raízes é 1 №2. . Resolva a equação, na resposta indique a raiz menor: x 2 - 4x
- 5 = 0
Resposta: raiz menor x = - 5. №3. Resolva a equação:

Resposta: x = -1. Exercícios: №18. Resolva a equação e escreva a soma das raízes: x │3x + 5│= 3x 2 + 4x + 3
№19. Resolva a equação: x 2 - 3x \u003d

№20. Resolva a equação:

Seção 7. Equações da forma │F(x)│+│G(x)│=0

É fácil ver que no lado esquerdo de uma equação desse tipo, a soma das quantidades não negativas. Portanto, a equação original tem solução se e somente se ambos os termos forem simultaneamente iguais a zero. A equação é equivalente ao sistema de equações: │ F(x)│+│ G(x)│=0
Exemplos: №1 . Resolva a equação:
Resposta: x = 2. №2. Resolva a equação: Resposta: x = 1. Exercícios: №21. Resolva a equação: №22 . Resolva a equação, na resposta escreva a soma das raízes: №23 . Resolva a equação, na resposta indique o número de soluções:

Seção 8. Equações da forma

Para resolver equações desse tipo, é utilizado o método dos intervalos. Se for resolvido pela expansão sequencial de módulos, então obtemos n conjuntos de sistemas, o que é muito pesado e inconveniente. Considere o algoritmo do método do intervalo: 1). Encontrar valores de variáveis x, para o qual cada módulo é igual a zero (zeros de expressões de submódulo):
2). Os valores encontrados são marcados em uma linha numérica, que é dividida em intervalos (o número de intervalos, respectivamente, é igual a n+1 ) 3). Determine com que sinal cada módulo é revelado em cada um dos intervalos obtidos (ao fazer uma solução, você pode usar uma linha numérica, marcando os sinais nela) 4). A equação original é equivalente ao conjunto n+1 sistemas, em cada um dos quais a associação da variável é indicada x um dos intervalos. Exemplos: №1 . Resolva a equação, dê sua resposta maior raiz:
1). Vamos encontrar os zeros das expressões do submódulo: x = 2; x = -3 2). Marcamos os valores encontrados na linha numérica e determinamos com que sinal cada módulo é revelado nos intervalos obtidos:
x – 2 x – 2 x – 2 - - + - 3 2 x 2x + 6 2x + 6 2x + 6 - + + 3)
- sem soluções A equação tem duas raízes. Resposta: a maior raiz é x = 2. №2. Resolva a equação, escreva a raiz inteira na resposta:
1). Vamos encontrar os zeros das expressões dos submódulos: x = 1,5; x = - 1 2). Marcamos os valores encontrados na linha numérica e determinamos com que sinal cada módulo é revelado nos intervalos obtidos: x + 1 x + 1 x + 1 - + +
-1 1,5 х 2х – 3 2х – 3 2х – 3 - - +
3).
sistema mais recente não tem soluções, então a equação tem duas raízes. Ao resolver a equação, você deve prestar atenção ao sinal “-” na frente do segundo módulo. Resposta: raiz inteira x = 7. №3. Resolva a equação, na resposta indique a soma das raízes: 1). Vamos encontrar os zeros das expressões do submódulo: x = 5; x = 1; x = - 2 2). Marcamos os valores encontrados na linha numérica e determinamos com que sinal cada módulo é revelado nos intervalos obtidos: x - 5 x - 5 x - 5 x - 5 - - - +
-2 1 5 x x – 1 x – 1 x – 1 x – 1 - - + + x + 2 x + 2 x + 2 x + 2 - + + +
3).
A equação tem duas raízes x = 0 e 2. Resposta: a soma das raízes é 2. №4 . Resolva a equação: 1). Vamos encontrar os zeros das expressões dos submódulos: x = 1; x = 2; x = 3. 2). Vamos determinar o sinal com que cada módulo é expandido nos intervalos obtidos. 3).
Vamos combinar soluções primeiros três sistemas. Responder: ; x = 5.
Exercícios: №24. Resolva a equação:
№25. Resolva a equação, na resposta escreva a soma das raízes: №26. Resolva a equação, na resposta indique a raiz menor: №27. Resolva a equação, dê a maior raiz em sua resposta:

Seção 9. Equações contendo vários módulos

Equações contendo vários módulos assumem a presença valores absolutos em expressões de submódulo. O princípio básico da resolução de equações desse tipo é a divulgação sequencial dos módulos, começando pelo “externo”. No decorrer da solução, as técnicas discutidas nas seções nº 1 e nº 3 são usadas.

Exemplos: №1. Resolva a equação:
Resposta: x = 1; - onze. №2. Resolva a equação:
Resposta: x = 0; 4; - 4. №3. Resolva a equação, na resposta indique o produto das raízes:
Resposta: O produto das raízes é 8. №4. Resolva a equação:
Denote as equações da população (1) E (2) e considere a solução de cada um deles separadamente para conveniência do projeto. Como ambas as equações contêm mais de um módulo, é mais conveniente realizar uma transição equivalente para conjuntos de sistemas. (1)

(2)


Responder:
Exercícios: №36. Resolva a equação, na resposta indique a soma das raízes: 5 │3x-5│ \u003d 25 x №37. Resolva a equação, se houver mais de uma raiz, na resposta indique a soma das raízes: │x + 2│ x - 3x - 10 = 1 №38. Resolva a equação: 3 │2x -4│ \u003d 9 │x│ №39. Resolva a equação, na resposta indique o número de raízes para: 2 │ sen x │ = √2 №40 . Resolva a equação, na resposta indique o número de raízes:

Seção 3. Equações logarítmicas.

Antes de resolver as seguintes equações, é necessário repetir as propriedades dos logaritmos e função logarítmica. Exemplos: №1. Resolva a equação, na resposta indique o produto das raízes: log 2 (x + 1) 2 + log 2 │x + 1 │ \u003d 6 O.D.Z. x+1≠0 x≠ - 1

Caso 1: se x ≥ - 1, então log 2 (x+1) 2 + log 2 (x+1) = 6 log 2 (x+1) 3 = log 2 2 6 (x+1) 3 = 2 6 x+1 = 4 x = 3 – satisfaz a condição x ≥ - 1 2 caso: se x log 2 (x+1) 2 + log 2 (-x-1) = 6 log 2 (x+1) 2 + log 2 (-(x+1)) = 6 log 2 (-(x+1) 3) = log 2 2 6- (x+1) 3 = 2 6- (x+1) = 4 x = - 5 – satisfaz a condição x - 1
Resposta: O produto das raízes é 15.
№2. Resolva a equação, na resposta indique a soma das raízes: lg
O.D.Z.

Resposta: a soma das raízes é 0,5.
№3. Resolva a equação: log 5
O.D.Z.

Resposta: x = 9. №4. Resolva a equação: │2 + log 0,2 x│+ 3 = │1 + log 5 x│ O.D.Z. x > 0 Vamos usar a fórmula para mover para outra base. │2 - log 5 x│+ 3 = │1 + log 5 x│
│2 - log 5 x│- │1 + log 5 x│= - 3 Vamos encontrar os zeros das expressões dos submódulos: x = 25; x = Esses números dividem a área valores permitidos em três intervalos, então a equação é equivalente ao conjunto três sistemas.
Responder: )