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Equações e sistemas de equações do primeiro grau

Dois números ou algumas expressões conectadas pelo sinal "=" forma igualdade. Se os números ou expressões fornecidos são iguais para qualquer valor das letras, essa igualdade é chamada identidade.

Por exemplo, quando se afirma que para qualquer uma válido:

uma + 1 = 1 + uma, aqui a igualdade é uma identidade.

Equaçãoé chamada de igualdade contendo números desconhecidos marcada com letras. Essas letras são chamadas desconhecido. Pode haver mais de uma incógnita em uma equação.

Por exemplo, na equação 2 X + no = 7X– 3 duas incógnitas: X e no.

A expressão do lado esquerdo da equação (2 X + no) é chamado o lado esquerdo da equação, e a expressão no lado direito da equação (7 X– 3) é chamado seu lado direito.

O valor da incógnita em que a equação se torna uma identidade é chamado decisão ou raiz equações.

Por exemplo, se na equação 3 X+ 7=13 em vez de desconhecido X substituindo o número 2, obtemos a identidade. Portanto, o valor X= 2 satisfaz a equação dada e o número 2 é a solução ou raiz da equação dada.

As duas equações são chamadas equivalente(ou equivalente), se todas as soluções da primeira equação são soluções da segunda e vice-versa, todas as soluções da segunda equação são soluções da primeira. Para equações equivalentes também incluem equações que não têm soluções.

Por exemplo Equações 2 X– 5 = 11 e 7 X+ 6 = 62 são equivalentes, pois têm a mesma raiz X= 8; equações X + 2 = X+ 5 e 2 X + 7 = 2X são equivalentes porque ambos não têm soluções.

Propriedades de equações equivalentes

1. Para ambos os lados da equação, você pode adicionar qualquer expressão que faça sentido para todos valores permitidos desconhecido; a equação resultante será equivalente à dada.

Exemplo. Equação 2 X– 1 = 7 tem raiz X= 4. Adicionando 5 a ambos os lados, obtemos a equação 2 X– 1 + 5 = 7 + 5 ou 2 X+ 4 = 12 que tem a mesma raiz X = 4.

2. Se ambas as partes da equação tiverem os mesmos termos, eles podem ser omitidos.

Exemplo. Equação 9 x + 5X = 18 + 5X tem uma raiz X= 2. Omitindo em ambas as partes 5 X, obtemos a equação 9 X= 18 que tem a mesma raiz X = 2.

3. Qualquer termo da equação pode ser transferido de uma parte da equação para outra mudando seu sinal para o oposto.

Exemplo. Equação 7 X- 11 = 3 tem uma raiz X= 2. Se transferirmos 11 para o lado direito com sinal oposto, obtemos a equação 7 X= 3 + 11 que tem a mesma solução X = 2.

4. Ambas as partes da equação podem ser multiplicadas por qualquer expressão (número) que faça sentido e seja diferente de zero para todos os valores admissíveis da incógnita, a equação resultante será equivalente a esta.

Exemplo. Equação 2 X- 15 = 10 – 3X tem uma raiz X= 5. Multiplicando ambos os lados por 3, obtemos a equação 3(2 X- 15) = 3(10 – 3X) ou 6 X – 45 =30 – 9X, que tem a mesma raiz X = 5.

5. Os sinais de todos os termos da equação podem ser invertidos (isso equivale a multiplicar ambas as partes por (-1)).

Exemplo. Equação - 3 x + 7 = - 8 depois de multiplicar ambas as partes por (-1) terá a forma 3 X- 7 = 8. A primeira e a segunda equações têm uma única raiz X = 5.

6. Ambos os lados da equação podem ser divididos pelo mesmo número diferente de zero (ou seja, diferente de zero).

Example..gif" width="49 height=25" height="25">.gif" width="131" height="28"> é equivalente a este porque tem as mesmas duas raízes: e https:/ /pandia.ru/text/78/105/images/image006_96.gif" width="125" height="48 src="> depois de multiplicar ambas as partes por 14, ficará assim:

https://pandia.ru/text/78/105/images/image009_71.gif" width="77 height=20" height="20">, onde números arbitrários, X- desconhecido, chamado equação de primeiro grau com uma incógnita(ou linear equação com uma incógnita).

Exemplo. 2 X + 3 = 7 – 0,5X ; 0,3X = 0.

Uma equação de primeiro grau com uma incógnita sempre tem uma solução; uma equação linear pode não ter soluções () ou tê-las conjunto infinito(https://pandia.ru/text/78/105/images/image013_59.gif" width="344 height=48" height="48">.

Decisão. Multiplique todos os termos da equação pelo mínimo múltiplo comum dos denominadores, que é 12.

https://pandia.ru/text/78/105/images/image015_49.gif" width="183 height=24" height="24">.gif" width="371" height="20 src="> .

Agrupamos em uma parte (esquerda) os termos contendo o desconhecido e na outra parte (direita) - os termos livres:

https://pandia.ru/text/78/105/images/image019_34.gif" width="104" height="20">. Dividindo ambas as partes por (-22), obtemos X = 7.

Sistemas de duas equações do primeiro grau com duas incógnitas

Uma equação como https://pandia.ru/text/78/105/images/image021_34.gif" width="87" height="24 src="> é chamada equação do primeiro grau com duas incógnitas x e no. Se eles encontrarem soluções comuns para duas ou mais equações, eles dizem que essas equações formam um sistema, geralmente são escritas uma sob a outra e combinadas com um colchete, por exemplo.

Cada par de incógnitas que satisfaz simultaneamente ambas as equações do sistema é chamado solução do sistema. Resolva o sistema- isso significa encontrar todas as soluções desse sistema ou mostrar que ele não as possui. Os dois sistemas de equações são chamados equivalente (equivalente), se todas as soluções de um deles são soluções do outro, e vice-versa, todas as soluções do outro são soluções do primeiro.

Por exemplo, a solução do sistema é um par de números X= 4 e no= 3. Esses números também são a única solução sistemas . Portanto, esses sistemas de equações são equivalentes.

Formas de resolver sistemas de equações

1. Maneira adição algébrica. Se os coeficientes de alguma incógnita em ambas as equações forem iguais em valor absoluto, então, adicionando ambas as equações (ou subtraindo uma da outra), você pode obter uma equação com uma incógnita. Resolvendo esta equação, uma incógnita é determinada e, substituindo-a em uma das equações do sistema, a segunda incógnita é encontrada.

Exemplos: Resolver sistemas de equações: 1) .

Aqui os coeficientes em no são iguais em valor absoluto, mas opostos em sinal. Para obter uma equação com um equação desconhecida adicionamos os sistemas termo a termo:

Valor recebido X= 4 substituímos em alguma equação do sistema, por exemplo, na primeira, e encontramos o valor no: .

Responda: X = 4; no = 3.

2) https://pandia.ru/text/78/105/images/image029_23.gif" width="112" height="57 src=">.gif" width="220" height="87 src=" >

https://pandia.ru/text/78/105/images/image033_21.gif" width="103" height="47 src=">.

2. Método de substituição. A partir de qualquer equação do sistema, expressamos uma das incógnitas em termos do resto e, em seguida, substituímos o valor dessa incógnita nas equações restantes. Considere este método com exemplos específicos:

1) Vamos resolver o sistema de equações. Vamos expressar uma das incógnitas da primeira equação, por exemplo X: https://pandia.ru/text/78/105/images/image036_18.gif" width="483" height="24 src=">

Substituto no= 1 na expressão para X, Nós temos .

Resposta: https://pandia.ru/text/78/105/images/image039_18.gif" width="99" height="55 src=">. Nesse caso, é conveniente expressar no da segunda equação:

https://pandia.ru/text/78/105/images/image041_16.gif" width="660" height="24">Substitua o valor X= 5 na expressão para no, obtemos https://pandia.ru/text/78/105/images/image043_15.gif" width="96" height="24 src=">.

3) Vamos resolver o sistema de equações https://pandia.ru/text/78/105/images/image045_12.gif" width="205" height="48">. Substituindo esse valor na segunda equação, obtemos uma equação com uma incógnita no: https://pandia.ru/text/78/105/images/image049_11.gif" largura="128" altura="48">

Resposta: https://pandia.ru/text/78/105/images/image051_12.gif" width="95" height="108 src="> .

Vamos reescrever o sistema como: . Substituímos as incógnitas configurando , obtemos sistema linear ..gif" width="11 height=17" height="17"> na segunda equação, obtemos uma equação com uma incógnita:

Substituindo o valor v na expressão para t, obtemos: https://pandia.ru/text/78/105/images/image060_9.gif" width="92 height=51" height="51"> encontramos .

Resposta: https://pandia.ru/text/78/105/images/image062_9.gif" width="120" height="57">, onde estão os coeficientes para desconhecidos, https://pandia.ru/text/ 78/105/images/image065_10.gif" width="67" height="52 src=">, então o sistema tem a única coisa decisão.

B) Se https://pandia.ru/text/78/105/images/image067_9.gif" width="105" height="52 src=">, então o sistema tem conjunto infinito soluções.

Example..gif" width="47" height="48 src=">), para que o sistema tenha uma solução única.

Sério, .

https://pandia.ru/text/78/105/images/image073_7.gif" width="115" height="48 src=">.

Example..gif" width="91 height=48" height="48"> ou após encurtar , portanto o sistema não tem soluções.

Exemplo..gif" largura="116 altura=48" altura="48"> ou após encurtar , então o sistema tem um número infinito de soluções.

Equações contendo módulo

Ao resolver equações contendo um módulo, o conceito de módulo é usado número real. módulo (valor absoluto ) número real uma o próprio número é chamado se e Número oposto (– uma), se https://pandia.ru/text/78/105/images/image082_7.gif" width="20" height="28">.

Então, https://pandia.ru/text/78/105/images/image084_8.gif" width="44" height="28 src=">, já que o número 3 > 0; , já que o número é 5< 0, поэтому ; , como (); , como .

Propriedades do módulo:

1) https://pandia.ru/text/78/105/images/image093_7.gif" width="72" height="28 src=">

3) https://pandia.ru/text/78/105/images/image095_8.gif" width="123" height="56 src=">

5) https://pandia.ru/text/78/105/images/image097_7.gif" width="73" height="28 src=">.

Dado que a expressão abaixo do módulo pode ter dois valores https://pandia.ru/text/78/105/images/image099_8.gif" width="68" height="20 src=">, então dada equação se reduz a resolver duas equações: e ou e ..gif" width="52" height="20 src=">. Vamos fazer uma verificação substituindo cada valor X na condição: if https://pandia.ru/text/78/105/images/image106_5.gif" width="165" height="28 src=">..gif" width="144" height=" 28 src=">.

Resposta: https://pandia.ru/text/78/105/images/image104_6.gif" width="49" height="20 src=">.

Exemplo..gif" largura="408" altura="55">

Resposta: https://pandia.ru/text/78/105/images/image111_6.gif" width="41" height="20 src=">.

Example..gif" width="137" height="20"> e . Separe os valores resultantes X no eixo numérico, dividindo-o em intervalos:

Se https://pandia.ru/text/78/105/images/image117_5.gif" width="144" height="24">, porque nesse intervalo, ambas as expressões estão sob o sinal do módulo menos que zero, e, removendo o módulo, devemos mudar o sinal da expressão para o oposto. Vamos resolver a equação resultante:

Gif" largura="75 altura=24" altura="24">. O valor do limite pode ser incluído no primeiro e no segundo intervalo, assim como o valor pode ser incluído no segundo e no terceiro. No segundo intervalo, nossa equação terá a forma: - esta expressão não faz sentido, ou seja, neste intervalo, a equação de soluções não tem soluções sob o sinal do módulo, nós as igualamos a zero. Encontramos as raízes de todas as expressões, com

Próximo espaçamento https://pandia.ru/text/78/105/images/image124_6.gif" width="225" height="20">..gif" width="52" height="20 src="> .gif" largura="125" altura="25">, onde a, b, c são números arbitrários ( uma≠ 0), e xé uma variável chamada quadrado. Para resolver esta equação, você precisa calcular o discriminante D = b 2 – 4ac. Se um D> 0, então a equação quadrática tem duas soluções (raízes): e .

Se um D= 0, a equação quadrática obviamente tem dois soluções idênticas(múltiplos da raiz).

Se um D< 0, квадратное уравнение не имеет raízes reais.

Se um dos coeficientes b ou c zero, então a equação quadrática pode ser resolvida sem calcular o discriminante:

1) https://pandia.ru/text/78/105/images/image131_5.gif" width="28" height="18 src="> x(machado+ b)=0

2)machado 2 + c = 0 machado 2 = – c; se https://pandia.ru/text/78/105/images/image135_3.gif" width="101" height="52">.

Existem dependências entre os coeficientes e as raízes da equação quadrática, conhecidas como fórmulas ou teorema de Vieta:

Biquadrado equações são equações da forma https://pandia.ru/text/78/105/images/image138_4.gif" width="53" height="29">, então da equação original obtemos uma equação quadrática, de que encontramos no, e então X, de acordo com a fórmula .

Exemplo. resolva a equação . Trazemos as expressões em ambas as partes da igualdade para denominador comum..gif" width="212" height="29 src=">. Resolvemos a equação quadrática resultante: , nesta equação uma= 1, b= –2,c= -15, então o discriminante é igual a: D = b 2 – 4ac= 64. Raízes da equação: , ..gif" width="130 height=25" height="25">. Fazemos a substituição. Então a equação se torna é uma equação quadrática, onde uma= 1, b= – 4,c= 3, seu discriminante é: D = b 2 – 4ac = 16 – 12 = 4.

As raízes da equação quadrática são iguais, respectivamente: e .

Raízes da equação original , , , ..gif" largura="78" altura="51">, onde PN(x) e PM(x) são polinômios de graus n e m respectivamente. Uma fração é zero se o numerador for zero e o denominador não, mas tal equação polinomial é obtida principalmente somente após longas transformações, transições de uma equação para outra. No processo de resolução, portanto, cada equação é substituída por uma nova, e a nova pode ter novas raízes. Acompanhar essas mudanças nas raízes, evitar a perda de raízes e poder rejeitar as extras é a tarefa decisão certa equações.

É claro que a melhor maneira- cada vez que substituir uma equação por uma equivalente, as raízes da última equação serão as raízes da original. No entanto, tal caminho perfeito difícil de implementar na prática. Via de regra, a equação é substituída por sua consequência, que não é necessariamente equivalente a ela, enquanto todas as raízes da primeira equação são as raízes da segunda, ou seja, não ocorre a perda de raízes, mas de estranhas pode aparecer (ou não aparecer). No caso em que pelo menos uma vez no processo de transformações a equação foi substituída por uma desigual, precisamos verificação obrigatória raízes obtidas.

Assim, se a solução foi realizada sem analisar a equivalência e as fontes de raízes estranhas, a verificação é parte obrigatória soluções. Sem verificação, a solução não será considerada completa, mesmo que raízes estranhas não apareceu. Quando eles apareceram e não foram descartados, essa decisão está simplesmente errada.

Aqui estão algumas propriedades de um polinômio:

A raiz do polinômio chame o valor x, para o qual o polinômio é igual a zero. Qualquer polinômio de grau n tem exatamente n raízes. Se a equação polinomial é escrita como , então , Onde x 1, x 2,…, xn são as raízes da equação.

Qualquer polinômio tem grau par com coeficientes reais existe pelo menos uma raiz real e, em geral, sempre tem um número ímpar de raízes reais. Um polinômio de grau par pode não ter raízes reais e, quando o fazem, seu número é par.

Um polinômio em qualquer circunstância pode ser decomposto em fatores lineares e trinômios quadrados com discriminante negativo. Se conhecermos sua raiz x 1, então PN(x) = (x - x 1) Pn- 1(x).

Se um PN(x) = 0 é uma equação de grau par, então, além do método de fatoração em fatores, você pode tentar introduzir uma mudança de variável, com a ajuda da qual o grau da equação diminuirá.

Exemplo. Resolva a equação:

Esta equação do terceiro grau (ímpar) significa que é impossível introduzir uma variável auxiliar que diminua o grau da equação. Deve ser resolvido fatorando o lado esquerdo, para o qual primeiro abrimos os colchetes e depois escrevemos na forma padrão.

Nós temos: x 3 + 5x – 6 = 0.

Esta é a equação reduzida (coeficiente em o mais alto grau igual a um), então procuramos suas raízes entre os fatores do termo livre - 6. Estes são os números ±1, ±2, ±3, ±6. Substituindo x= 1 na equação, vemos que x= 1 é sua raiz, então o polinômio x 3 + 5x–6 = 0 dividido por ( x- 1) nenhum resíduo. Vamos fazer esta divisão:

x 3 + 5x –6 = 0 x- 1

x 3 – x 2 x 2+x + 6

x 2 + 5x- 6

x 2– x

https://pandia.ru/text/78/105/images/image167_4.gif"> 6 x- 6

https://pandia.ru/text/78/105/images/image168_4.gif" width="50"> 6 x- 6

então x 3 + 5x –6 = 0; (x- 1)(x 2+ x + 6) = 0

A primeira equação dá a raiz x= 1, que já está selecionado, e na segunda equação D< 0, não tem soluções reais. Desde a ODZ desta equação , é possível não verificar.

Example..gif" width="52" height="21 src=">. Se você multiplicar o primeiro fator pelo terceiro e o segundo pelo quarto, esses produtos terão as mesmas partes, que dependem x: (x 2 + 4x – 5)(x 2 + 4x – = 0.

Deixe ser x 2 + 4x = y, então escrevemos a equação na forma ( y – 5)(s- 21) – 297 = 0.

Esta equação quadrática tem soluções: y 1 = 32, y 2 = - 6 ..gif" largura="140" altura="61 src=">; ODZ: x ≠ – 9.

Se reduzirmos esta equação a um denominador comum, um polinômio de quarto grau aparecerá no numerador. Assim, é permitido alterar a variável, o que diminuirá o grau da equação. Portanto, não é necessário reduzir imediatamente essa equação a um denominador comum. Aqui você pode ver que à esquerda está a soma dos quadrados. Assim, você pode adicioná-lo a quadrado cheio somas ou diferenças. De fato, subtraia e some duas vezes o produto das bases desses quadrados: https://pandia.ru/text/78/105/images/image179_3.gif" width="80" height="59 src=">, então y 2 + 18y– 40 = 0. De acordo com o teorema de Vieta y 1 = 2; y 2 = – 20. https://pandia.ru/text/78/105/images/image183_4.gif" width="108 height=32" height="32"> e no segundo D< 0. Эти корни удовлетворяют ОДЗ

Resposta: https://pandia.ru/text/78/105/images/image185_4.gif" width="191 height=51" height="51">.gif" width="73 height=48" height=" 48"> .gif" largura="132" altura="50 src=">.

Obtemos uma equação quadrática uma(y 2 https://pandia.ru/text/78/105/images/image192_3.gif" largura="213" altura="31">.

Equações irracionais

irracional chamada de equação na qual a variável está contida sob o sinal do radical (raiz ) ou sob o signo de elevação a grau fracionário()..gif" largura="120" altura="32"> e têm o mesmo domínio de definição da incógnita. Ao elevar ao quadrado a primeira e a segunda equações, obtemos a mesma equação . As soluções desta equação são as soluções de ambas as equações irracionais.

1. Método de substituição: de qualquer equação do sistema expressamos uma incógnita em função de outra e a substituímos na segunda equação do sistema.

Tarefa. Resolva o sistema de equações:

Decisão. Da primeira equação do sistema, expressamos no Através dos X e substitua na segunda equação do sistema. Vamos pegar o sistema equivalente ao original.

Após trazer tais termos, o sistema terá a forma:

Da segunda equação encontramos: . Substituindo esse valor na equação no = 2 - 2X, Nós temos no= 3. Portanto, a solução deste sistema é um par de números .

2. Método de adição algébrica: adicionando duas equações, obtém uma equação com uma variável.

Tarefa. Resolva a equação do sistema:

Decisão. Multiplicando ambos os lados da segunda equação por 2, obtemos o sistema equivalente ao original. Somando as duas equações deste sistema, chegamos ao sistema

Depois de reduzir termos semelhantes, este sistema terá a forma: Da segunda equação encontramos . Substituindo esse valor na Equação 3 X + 4no= 5, obtemos , Onde . Portanto, a solução deste sistema é um par de números .

3. Método para introdução de novas variáveis: estamos procurando algumas expressões repetidas no sistema, que denotaremos por novas variáveis, simplificando assim a forma do sistema.

Tarefa. Resolva o sistema de equações:

Decisão. Vamos escrever este sistema por outro lado:

Deixe ser x + y = você, oi = v. Então obtemos o sistema

Vamos resolvê-lo pelo método de substituição. Da primeira equação do sistema, expressamos você Através dos v e substitua na segunda equação do sistema. Vamos pegar o sistema Essa.

Da segunda equação do sistema encontramos v 1 = 2, v 2 = 3.

Substituindo esses valores na equação você = 5 - v, Nós temos você 1 = 3,
você 2 = 2. Então temos dois sistemas

Resolvendo o primeiro sistema, obtemos dois pares de números (1; 2), (2; 1). O segundo sistema não tem soluções.

Exercícios para trabalho independente

1. Resolver sistemas de equações usando o método de substituição.

Sistemas de equações recebidos ampla aplicação no setor econômico modelagem matemática vários processos. Por exemplo, ao resolver problemas de gestão e planejamento da produção, rotas logísticas (problema de transporte) ou colocação de equipamentos.

Os sistemas de equações são usados ​​não apenas no campo da matemática, mas também na física, química e biologia, ao resolver problemas de encontrar o tamanho da população.

sistema equações lineares nomeie duas ou mais equações com várias variáveis ​​para as quais é necessário encontrar decisão comum. Tal sequência de números para os quais todas as equações se tornam verdadeiras igualdades ou provam que a sequência não existe.

Equação linear

Equações da forma ax+by=c são chamadas lineares. As designações x, y são as incógnitas, cujo valor deve ser encontrado, b, a são os coeficientes das variáveis, c é o termo livre da equação.
Resolver a equação traçando seu gráfico parecerá uma linha reta, todos os pontos dos quais são a solução do polinômio.

Tipos de sistemas de equações lineares

Os mais simples são exemplos de sistemas de equações lineares com duas variáveis ​​X e Y.

F1(x, y) = 0 e F2(x, y) = 0, onde F1,2 são funções e (x, y) são variáveis ​​de função.

Resolver um sistema de equações - significa encontrar tais valores (x, y) para os quais o sistema se torna uma verdadeira igualdade, ou estabelecer que não existem valores adequados de x e y.

Um par de valores (x, y), escrito como coordenadas de ponto, é chamado de solução para um sistema de equações lineares.

Se os sistemas têm uma solução comum ou não há solução, eles são chamados de equivalentes.

Sistemas homogêneos de equações lineares são sistemas parte direita que é igual a zero. Se a parte direita após o sinal de "igual" tiver um valor ou for expressa por uma função, esse sistema não é homogêneo.

O número de variáveis ​​pode ser muito mais do que dois, então devemos falar sobre um exemplo de um sistema de equações lineares com três variáveis ​​ou mais.

Diante dos sistemas, os escolares assumem que o número de equações deve necessariamente coincidir com o número de incógnitas, mas não é assim. O número de equações no sistema não depende das variáveis, pode haver um número arbitrariamente grande delas.

Métodos simples e complexos para resolver sistemas de equações

Não há comum Método Analítico soluções de sistemas semelhantes, todos os métodos são baseados em soluções numéricas. O curso de matemática escolar descreve em detalhes métodos como permutação, adição algébrica, substituição, bem como o método gráfico e matricial, a solução pelo método de Gauss.

A principal tarefa no ensino de métodos de resolução é ensinar como analisar corretamente o sistema e encontrar algoritmo ideal soluções para cada exemplo. O principal não é memorizar um sistema de regras e ações para cada método, mas entender os princípios de aplicação de um método específico.

Resolução de exemplos de sistemas de equações lineares da 7ª aula do programa Ensino Médio bastante simples e explicado em grande detalhe. Em qualquer livro de matemática, esta seção recebe atenção suficiente. A solução de exemplos de sistemas de equações lineares pelo método de Gauss e Cramer é estudada com mais detalhes nos primeiros cursos das instituições de ensino superior.

Solução de sistemas pelo método de substituição

As ações do método de substituição visam expressar o valor de uma variável por meio da segunda. A expressão é substituída na equação restante e, em seguida, é reduzida a uma única forma de variável. A ação é repetida dependendo do número de incógnitas no sistema

Vamos dar um exemplo de um sistema de equações lineares da 7ª classe pelo método de substituição:

Como pode ser visto no exemplo, a variável x foi expressa através de F(X) = 7 + Y. A expressão resultante, substituída na 2ª equação do sistema no lugar de X, ajudou a obter uma variável Y na 2ª equação . Decisão este exemplo não causa dificuldades e permite obter o valor Y. O último passo é verificar os valores recebidos.

Nem sempre é possível resolver um exemplo de sistema de equações lineares por substituição. As equações podem ser complexas e a expressão da variável em termos da segunda incógnita será muito complicada para cálculos posteriores. Quando há mais de 3 incógnitas no sistema, a solução de substituição também é impraticável.

Solução de um exemplo de um sistema de equações lineares não homogêneas:

Solução usando adição algébrica

Ao procurar uma solução para sistemas pelo método de adição, adição termo a termo e multiplicação de equações por vários números. objetivo final operações matemáticasé uma equação com uma variável.

Para aplicativos este métodoé preciso prática e observação. Não é fácil resolver um sistema de equações lineares usando o método de adição com o número de variáveis ​​3 ou mais. A adição algébrica é útil quando as equações contêm frações e números decimais.

Algoritmo de ação da solução:

1. Multiplique ambos os lados da equação por algum número. Como resultado operação aritmética um dos coeficientes da variável deve se tornar igual a 1.
2. Some a expressão resultante termo a termo e encontre uma das incógnitas.
3. Substitua o valor resultante na 2ª equação do sistema para encontrar a variável restante.

Método de solução introduzindo uma nova variável

Uma nova variável pode ser introduzida se o sistema precisar encontrar uma solução para não mais que duas equações, o número de incógnitas também não deve ser maior que duas.

O método é usado para simplificar uma das equações introduzindo uma nova variável. A nova equação é resolvida em relação à incógnita inserida e o valor resultante é usado para determinar a variável original.

O exemplo mostra que ao introduzir uma nova variável t, foi possível reduzir a 1ª equação do sistema ao padrão trinômio quadrado. Você pode resolver um polinômio encontrando o discriminante.

É necessário encontrar o valor do discriminante por fórmula conhecida: D = b2 - 4*a*c, onde D é o discriminante desejado, b, a, c são os multiplicadores do polinômio. NO dado exemplo a=1, b=16, c=39, portanto D=100. Se o discriminante for maior que zero, então existem duas soluções: t = -b±√D / 2*a, se o discriminante for menor que zero, então há apenas uma solução: x= -b / 2*a.

A solução para os sistemas resultantes é encontrada pelo método de adição.

Um método visual para resolver sistemas

Adequado para sistemas com 3 equações. O método consiste em construir eixo coordenado gráficos de cada equação incluída no sistema. As coordenadas dos pontos de intersecção das curvas serão a solução geral do sistema.

O método gráfico tem várias nuances. Considere vários exemplos de resolução de sistemas de equações lineares de forma visual.

Como pode ser visto no exemplo, foram construídos dois pontos para cada linha, os valores da variável x foram escolhidos arbitrariamente: 0 e 3. Com base nos valores de x, foram encontrados os valores para y: 3 e 0. Pontos com coordenadas (0, 3) e (3, 0) foram marcados no gráfico e conectados por uma linha.

Os passos devem ser repetidos para a segunda equação. O ponto de intersecção das linhas é a solução do sistema.

NO próximo exemplo obrigado a encontrar solução gráfica sistemas de equações lineares: 0,5x-y+2=0 e 0,5x-y-1=0.

Como pode ser visto no exemplo, o sistema não tem solução, porque os gráficos são paralelos e não se cruzam ao longo de todo o seu comprimento.

Os sistemas dos Exemplos 2 e 3 são semelhantes, mas quando construídos, torna-se óbvio que suas soluções são diferentes. Deve-se lembrar que nem sempre é possível dizer se o sistema tem solução ou não, é sempre necessário construir um grafo.

Matrix e suas variedades

As matrizes são usadas para abreviação sistemas de equações lineares. Uma tabela é chamada de matriz. tipo especial cheio de números. n*m tem n - linhas e m - colunas.

Uma matriz é quadrada quando o número de colunas e linhas é igual. Um vetor-matriz é uma matriz de coluna única com um número infinitamente possível de linhas. Matriz com unidades ao longo de uma das diagonais e outras zero elementos chamado singular.

Uma matriz inversa é uma tal matriz, quando multiplicada pela qual a original se transforma em uma unidade, tal matriz existe apenas para o quadrado original.

Regras para transformar um sistema de equações em uma matriz

No que diz respeito aos sistemas de equações, os coeficientes e membros livres das equações são escritos como números da matriz, uma equação é uma linha da matriz.

Uma linha da matriz é chamada diferente de zero se pelo menos um elemento da linha não for igual a zero. Portanto, se em qualquer uma das equações o número de variáveis ​​for diferente, é necessário inserir zero no lugar da incógnita ausente.

As colunas da matriz devem corresponder estritamente às variáveis. Isso significa que os coeficientes da variável x só podem ser escritos em uma coluna, por exemplo na primeira, o coeficiente da incógnita y - apenas na segunda.

Ao multiplicar uma matriz, todos os elementos da matriz são sucessivamente multiplicados por um número.

Opções para encontrar a matriz inversa

A fórmula para encontrar a matriz inversa é bastante simples: K -1 = 1 / |K|, onde K -1 - matriz inversa, e |K| - determinante matricial. |K| não deve ser igual a zero, então o sistema tem solução.

O determinante é facilmente calculado para uma matriz de dois por dois, bastando apenas multiplicar os elementos diagonalmente um pelo outro. Para a opção "três por três", existe uma fórmula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Você pode usar a fórmula ou lembrar que precisa pegar um elemento de cada linha e cada coluna para que os números de coluna e linha dos elementos não se repitam no produto.

Solução de exemplos de sistemas de equações lineares pelo método matricial

O método matricial de encontrar uma solução permite reduzir notações complicadas ao resolver sistemas com grande quantidade variáveis ​​e equações.

No exemplo, a nm são os coeficientes das equações, a matriz é um vetor x n são as variáveis ​​e b n são os termos livres.

Solução de sistemas pelo método de Gauss

NO matemática superior o método de Gauss é estudado em conjunto com o método de Cramer, e o processo de encontrar uma solução para sistemas é chamado de método de solução de Gauss-Cramer. Esses métodos são usados ​​para encontrar variáveis ​​do sistema com muitas equações lineares.

O método gaussiano é muito semelhante às soluções de substituição e adição algébrica, mas é mais sistemático. No curso escolar, a solução gaussiana é usada para sistemas de 3 e 4 equações. O objetivo do método é trazer o sistema para a forma de um trapézio invertido. maneira transformações algébricas e substituições é o valor de uma variável em uma das equações do sistema. A segunda equação é uma expressão com 2 incógnitas e 3 e 4 - com 3 e 4 variáveis, respectivamente.

Depois de trazer o sistema para a forma descrita, a solução adicional é reduzida à substituição sequencial de variáveis ​​conhecidas nas equações do sistema.

NO livros escolares para o grau 7, um exemplo de solução pelo método de Gauss é descrito a seguir:

Como pode ser visto no exemplo, na etapa (3) foram obtidas duas equações 3x 3 -2x 4 =11 e 3x 3 +2x 4 =7. A solução de qualquer uma das equações permitirá que você descubra uma das variáveis ​​x n.

O teorema 5, mencionado no texto, diz que se uma das equações do sistema for substituída por uma equivalente, o sistema resultante também será equivalente ao original.

O método de Gauss é difícil para os alunos entenderem ensino médio, mas é um dos mais maneiras interessantes desenvolver a engenhosidade das crianças inscritas no programa estudo aprofundado nas aulas de matemática e física.

Para facilitar o registro dos cálculos, é comum fazer o seguinte:

Coeficientes de equação e termos livres são escritos na forma de uma matriz, onde cada linha da matriz corresponde a uma das equações do sistema. separa o lado esquerdo da equação do lado direito. Os algarismos romanos denotam o número de equações no sistema.

Primeiro, eles escrevem a matriz com a qual trabalhar, depois todas as ações realizadas com uma das linhas. A matriz resultante é escrita após o sinal de "seta" e continua a realizar as necessárias ações algébricas até que o resultado seja alcançado.

Como resultado, deve-se obter uma matriz na qual uma das diagonais é 1 e todos os outros coeficientes são iguais a zero, ou seja, a matriz é reduzida a uma única forma. Não devemos esquecer de fazer cálculos com os números de ambos os lados da equação.

Essa notação é menos complicada e permite que você não se distraia listando inúmeras incógnitas.

A aplicação gratuita de qualquer método de solução exigirá cuidado e certa experiência. Nem todos os métodos são aplicados. Algumas formas de encontrar soluções são mais preferíveis em uma determinada área da atividade humana, enquanto outras existem para fins de aprendizado.

I. Equações diferenciais ordinárias

1.1. Conceitos básicos e definições

Uma equação diferencial é uma equação que relaciona uma variável independente x, a função desejada y e seus derivados ou diferenciais.

Simbolicamente equação diferencial está escrito assim:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y(n))=0

Uma equação diferencial é chamada de ordinária se a função desejada depende de uma variável independente.

Resolvendo a equação diferencialé chamada de função que transforma essa equação em uma identidade.

A ordem da equação diferencialé a ordem da maior derivada nesta equação

Exemplos.

1. Considere a equação diferencial de primeira ordem

A solução para esta equação é a função y = 5 ln x. Com efeito, substituindo você" na equação, temos - uma identidade.

E isso significa que a função y = 5 ln x– é a solução desta equação diferencial.

2. Considere a equação diferencial de segunda ordem y" - 5y" + 6y = 0. A função é a solução desta equação.

Sério, .

Substituindo essas expressões na equação, obtemos: , - identidade.

E isso significa que a função é a solução desta equação diferencial.

Integração de equações diferenciaisé o processo de encontrar soluções para equações diferenciais.

Solução geral da equação diferencialé chamada de função da forma , que inclui tantas constantes arbitrárias independentes quanto a ordem da equação.

Solução parcial da equação diferencialé chamada a solução obtida da solução geral para diferentes valores numéricos de constantes arbitrárias. Os valores de constantes arbitrárias são encontrados em determinados valores iniciais do argumento e da função.

O gráfico de uma solução particular de uma equação diferencial é chamado curva integral.

Exemplos

1. Encontre uma solução particular para uma equação diferencial de primeira ordem

xdx + ydy = 0, E se y= 4 em x = 3.

Decisão. Integrando ambos os lados da equação, obtemos

Comente. Uma constante arbitrária C obtida como resultado da integração pode ser representada de qualquer forma conveniente para transformações posteriores. Nesse caso, levando em consideração a equação canônica do círculo, é conveniente representar uma constante arbitrária С na forma .

é a solução geral da equação diferencial.

Uma solução particular de uma equação que satisfaz as condições iniciais y = 4 em x = 3 é encontrado a partir do geral substituindo as condições iniciais na solução geral: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Substituindo C = 5 na solução geral, temos x2+y2 = 5 2 .

Esta é uma solução particular da equação diferencial obtida da solução geral sob dadas condições iniciais.

2. Encontre a solução geral da equação diferencial

A solução desta equação é qualquer função da forma , onde C é uma constante arbitrária. De fato, substituindo nas equações, obtemos: , .

Portanto, esta equação diferencial tem um número infinito de soluções, pois para valores diferentes da constante C, a igualdade determina várias soluções equações.

Por exemplo, por substituição direta, pode-se verificar que as funções são soluções da equação.

Um problema no qual é necessário encontrar uma solução particular para a equação y" = f(x, y) satisfazendo a condição inicial y(x0) = y0, é chamado de problema de Cauchy.

Solução de equação y" = f(x, y), satisfazendo a condição inicial, y(x0) = y0, é chamado de solução para o problema de Cauchy.

A solução do problema de Cauchy tem um significado geométrico simples. De fato, de acordo com essas definições, para resolver o problema de Cauchy y" = f(x, y) dado que y(x0) = y0, significa encontrar a curva integral da equação y" = f(x, y) que passa dado ponto M0 (x0,0).

II. Equações diferenciais de primeira ordem

2.1. Conceitos Básicos

Uma equação diferencial de primeira ordem é uma equação da forma F(x,y,y") = 0.

A equação diferencial de primeira ordem inclui a primeira derivada e não inclui derivadas de ordem superior.

A equação y" = f(x, y)é chamada de equação de primeira ordem resolvida em relação à derivada.

Uma solução geral de uma equação diferencial de primeira ordem é uma função da forma , que contém uma constante arbitrária.

Exemplo. Considere uma equação diferencial de primeira ordem.

A solução desta equação é a função .

De fato, substituindo nesta equação por seu valor, obtemos

ou seja 3x=3x

Portanto, a função é uma solução geral da equação para qualquer constante C.

Encontre uma solução particular desta equação que satisfaça a condição inicial y(1)=1 Substituindo as condições iniciais x=1, y=1 na solução geral da equação, obtemos de onde C=0.

Assim, obtemos uma solução particular da geral substituindo nesta equação, o valor resultante C=0é uma decisão privada.

2.2. Equações diferenciais com variáveis ​​separáveis

Uma equação diferencial com variáveis ​​separáveis ​​é uma equação da forma: y"=f(x)g(y) ou através de diferenciais, onde f(x) e g(y) são dadas funções.

Para aqueles y, para o qual , a equação y"=f(x)g(y)é equivalente à equação em que a variável y está presente apenas no lado esquerdo, e a variável x está presente apenas no lado direito. Eles dizem, "na equação y"=f(x)g(y separando as variáveis.

Tipo de equação é chamada de equação variável separada.

Depois de integrar ambas as partes da equação em x, Nós temos G(y) = F(x) + Cé a solução geral da equação, onde G(y) e F(x) são algumas primitivas, respectivamente, de funções e f(x), C constante arbitrária.

Algoritmo para resolver uma equação diferencial de primeira ordem com variáveis ​​separáveis

Exemplo 1

resolva a equação y" = xy

Decisão. Derivada de uma função você" substituir com

separamos as variáveis

Vamos integrar as duas partes da igualdade:

Exemplo 2

2aa" = 1- 3x 2, E se e 0 = 3 no x0 = 1

Esta é uma equação de variável separada. Vamos representá-lo em diferenciais. Para fazer isso, reescrevemos essa equação na forma Daqui

Integrando ambas as partes da última igualdade, encontramos

Substituindo valores iniciais x 0 = 1, y 0 = 3 encontrar Com 9=1-1+C, ou seja C = 9.

Portanto, a integral parcial desejada será ou

Exemplo 3

Escreva uma equação para uma curva que passa por um ponto M(2;-3) e tendo uma tangente com uma inclinação

Decisão. De acordo com a condição

Esta é uma equação variável separável. Dividindo as variáveis, temos:

Integrando ambas as partes da equação, temos:

Usando as condições iniciais, x=2 e y=-3 encontrar C:

Portanto, a equação desejada tem a forma

2.3. Equações diferenciais lineares de primeira ordem

Uma equação diferencial linear de primeira ordem é uma equação da forma y" = f(x)y + g(x)

Onde f(x) e g(x)- algumas funções dadas.

Se um g(x)=0 então a equação diferencial linear é chamada de homogênea e tem a forma: y" = f(x)y

Se então a equação y" = f(x)y + g(x) chamado heterogêneo.

Solução geral de uma equação diferencial homogênea linear y" = f(x)y dado pela fórmula: onde Comé uma constante arbitrária.

Em particular, se C \u003d 0, então a solução é y=0 Se linear equação homogênea tem a forma y" = ky Onde ké alguma constante, então sua solução geral tem a forma: .

Solução geral de uma equação diferencial não homogênea linear y" = f(x)y + g(x) dado pela fórmula ,

Essa. é igual à soma da solução geral da equação homogênea linear correspondente e a solução particular desta equação.

Para uma equação linear não homogênea da forma y" = kx + b,

Onde k e b- alguns números e uma solução particular serão uma função constante. Portanto, a solução geral tem a forma .

Exemplo. resolva a equação y" + 2y +3 = 0

Decisão. Representamos a equação na forma y" = -2y - 3 Onde k=-2, b=-3 A solução geral é dada pela fórmula .

Portanto, onde C é uma constante arbitrária.

2.4. Solução de equações diferenciais lineares de primeira ordem pelo método de Bernoulli

Encontrando uma solução geral para uma equação diferencial linear de primeira ordem y" = f(x)y + g(x) reduz a resolver duas equações diferenciais com variáveis ​​separadas usando a substituição y=uv, Onde você e v- funções desconhecidas de x. Este método de solução é chamado de método de Bernoulli.

Algoritmo para resolver uma equação diferencial linear de primeira ordem

y" = f(x)y + g(x)

1. Insira uma substituição y=uv.

2. Diferencie essa igualdade y"=u"v + uv"

3. Substituir y e você" nesta equação: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) ou u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Agrupe os termos da equação para que você tire-o dos colchetes:

5. Do colchete, igualando-o a zero, encontre a função

Esta é uma equação separável:

Divida as variáveis ​​e obtenha:

Onde . .

6. Substitua o valor recebido v na equação (do item 4):

e encontre a função Esta é uma equação separável:

7. Escreva a solução geral na forma: , ou seja .

Exemplo 1

Encontre uma solução particular para a equação y" = -2y +3 = 0 E se y=1 no x=0

Decisão. Vamos resolver com substituição y=uv,.y"=u"v + uv"

Substituindo y e você" nesta equação, obtemos

Agrupando o segundo e terceiro termos do lado esquerdo da equação, tiramos o fator comum você fora dos colchetes

Igualamos a expressão entre parênteses a zero e, tendo resolvido a equação resultante, encontramos a função v = v(x)

Temos uma equação com variáveis ​​separadas. Integramos ambas as partes desta equação: Encontre a função v:

Substituir o valor resultante v na equação temos:

Esta é uma equação de variável separada. Integramos as duas partes da equação: Vamos encontrar a função u = u(x,c) Vamos encontrar uma solução geral: Vamos encontrar uma solução particular da equação que satisfaça as condições iniciais y=1 no x=0:

III. Equações diferenciais de ordem superior

3.1. Conceitos básicos e definições

Uma equação diferencial de segunda ordem é uma equação que contém derivadas não superiores à segunda ordem. No caso geral, a equação diferencial de segunda ordem é escrita como: F(x,y,y",y") = 0

A solução geral de uma equação diferencial de segunda ordem é uma função da forma , que inclui duas constantes arbitrárias C1 e C2.

Uma solução particular de uma equação diferencial de segunda ordem é uma solução obtida da geral para alguns valores de constantes arbitrárias C1 e C2.

3.2. Equações diferenciais homogêneas lineares de segunda ordem com proporções constantes.

Equação diferencial homogênea linear de segunda ordem com coeficientes constantesé chamada de equação da forma y" + py" + qy = 0, Onde p e q são valores constantes.

Algoritmo para resolver equações diferenciais homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes

1. Escreva a equação diferencial na forma: y" + py" + qy = 0.

2. Componha sua equação característica, denotando você" Através dos r2, você" Através dos r, y em 1: r2 + pr +q = 0