Aula e apresentação sobre o tema: “Propriedades da enésima raiz. Teoremas”

Materiais adicionais
Caros usuários, não se esqueçam de deixar seus comentários, críticas, desejos! Todos os materiais foram verificados por um programa antivírus.

Auxiliares de ensino e simuladores na loja online Integral para o 11º ano
Manual interativo para as séries 9 a 11 "Trigonometria"
Manual interativo para séries 10–11 "Logaritmos"

Propriedades da enésima raiz. Teoremas

Pessoal, continuamos estudando as raízes n de número real. Como quase todo mundo objetos matemáticos, raízes do enésimo grau possuem algumas propriedades, hoje iremos estudá-las.
Todas as propriedades que consideraremos são formuladas e comprovadas apenas para valores não negativos das variáveis ​​​​contidas sob o sinal da raiz.
No caso de um expoente de raiz ímpar, eles também são realizados para variáveis ​​negativas.

Teorema 1. A enésima raiz do produto de dois números não negativos igual ao produto enésimas raízes destes números: $\sqrt[n](a*b)=\sqrt[n](a)*\sqrt[n](b)$ .

Vamos provar o teorema.
Prova. Pessoal, para provar o teorema, vamos introduzir novas variáveis, denotando-as:
$\sqrt[n](a*b)=x$.
$\sqrt[n](a)=y$.
$\sqrt[n](b)=z$.
Precisamos provar que $x=y*z$.
Observe que as seguintes identidades também são válidas:
$a*b=x^n$.
$a=y^n$.
$b=z^n$.
Então a seguinte identidade é válida: $x^n=y^n*z^n=(y*z)^n$.
As potências de dois números não negativos e seus expoentes são iguais, então as bases das próprias potências são iguais. Isso significa $x=y*z$, que é o que precisava ser provado.

Teorema 2. Se $а≥0$, $b>0$ e n – número natural, que é maior que 1, então a seguinte igualdade é válida: $\sqrt[n](\frac(a)(b))=\frac(\sqrt[n](a))(\sqrt[n](b ))$.

Ou seja, a enésima raiz do quociente é igual ao quociente das enésimas raízes.

Prova.
Para provar isso, usaremos um diagrama simplificado em forma de tabela:

Exemplos de cálculo da enésima raiz

Exemplo.
Calcule: $\sqrt(16*81*256)$.
Solução. Vamos usar o Teorema 1: $\sqrt(16*81*256)=\sqrt(16)*\sqrt(81)*\sqrt(256)=2*3*4=24$.

Exemplo.
Calcule: $\sqrt(7\frac(19)(32))$.
Solução. Vamos imaginar expressão radical como Fração imprópria: $7\frac(19)(32)=\frac(7*32+19)(32)=\frac(243)(32)$.
Vamos usar o Teorema 2: $\sqrt(\frac(243)(32))=\frac(\sqrt(243))(\sqrt(32))=\frac(3)(2)=1\frac(1 ) (2)$.

Exemplo.
Calcular:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)$.
b)$\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))$.
Solução:
a) $\sqrt(24)*\sqrt(54)=\sqrt(24*54)=\sqrt(8*3*2*27)=\sqrt(16*81)=\sqrt(16)*\ quadrado(81)=2*3=6$.
b) $\frac(\sqrt(256))(\sqrt(4))=\sqrt(\frac(256)(4))=\sqrt(64)=24$.

Teorema 3. Se $a≥0$, k e n são números naturais maiores que 1, então a igualdade é válida: $(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a^k)$.

Para construir uma raiz em grau natural, basta elevar a expressão radical a esta potência.

Prova.
vamos considerar caso especial para $ k = 3 $. Vamos usar o Teorema 1.
$(\sqrt[n](a))^k=\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)*\sqrt[n](a)=\sqrt[n](a*a *a)=\sqrt[n](a^3)$.
O mesmo pode ser provado para qualquer outro caso. Pessoal, provem vocês mesmos para o caso em que $k=4$ e $k=6$.

Teorema 4. Se $a≥0$ b n,k são números naturais maiores que 1, então a igualdade é válida: $\sqrt[n](\sqrt[k](a))=\sqrt(a)$.

Para extrair raiz de raiz, basta multiplicar os indicadores das raízes.

Prova.
Vamos provar isso brevemente novamente usando uma tabela. Para provar isso, usaremos um diagrama simplificado em forma de tabela:

Exemplo.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.
$\sqrt(\sqrt(a))=\sqrt(a)$.

Teorema 5. Se os expoentes da raiz e da expressão radical forem multiplicados pelo mesmo número natural, então o valor da raiz não mudará: $\sqrt(a^(kp))=\sqrt[n](a)$ .

Prova.
O princípio de provar nosso teorema é o mesmo de outros exemplos. Vamos introduzir novas variáveis:
$\sqrt(a^(k*p))=x=>a^(k*p)=x^(n*p)$ (por definição).
$\sqrt[n](a^k)=y=>y^n=a^k$ (por definição).
Vamos elevar a última igualdade à potência p
$(y^n)^p=y^(n*p)=(a^k)^p=a^(k*p)$.
Pegou:
$y^(n*p)=a^(k*p)=x^(n*p)=>x=y$.
Ou seja, $\sqrt(a^(k*p))=\sqrt[n](a^k)$, que é o que precisava ser provado.

Exemplos:
$\sqrt(a^5)=\sqrt(a)$ (dividiu os indicadores por 5).
$\sqrt(a^(22))=\sqrt(a^(11))$ (dividiu os indicadores por 2).
$\sqrt(a^4)=\sqrt(a^(12))$ (indicadores multiplicados por 3).

Exemplo.
Execute ações: $\sqrt(a)*\sqrt(a)$.
Solução.
Os indicadores raiz são números diferentes, portanto não podemos usar o Teorema 1, mas aplicando o Teorema 5, podemos obter indicadores iguais.
$\sqrt(a)=\sqrt(a^3)$ (indicadores multiplicados por 3).
$\sqrt(a)=\sqrt(a^4)$ (indicadores multiplicados por 4).
$\sqrt(a)*\sqrt(a)=\sqrt(a^3)*\sqrt(a^4)=\sqrt(a^3*a^4)=\sqrt(a^7)$.

Problemas para resolver de forma independente

1. Calcule: $\sqrt(32*243*1024)$.
2. Calcule: $\sqrt(7\frac(58)(81))$.
3. Calcule:
a) $\sqrt(81)*\sqrt(72)$.
b)$\frac(\sqrt(1215))(\sqrt(5))$.
4. Simplifique:
a) $\sqrt(\sqrt(a))$.
b)$\sqrt(\sqrt(a))$.
c)$\sqrt(\sqrt(a))$.
5. Execute ações: $\sqrt(a^2)*\sqrt(a^4)$.

Anotações importantes!
1. Se você vir gobbledygook em vez de fórmulas, limpe seu cache. Como fazer isso no seu navegador está escrito aqui:
2. Antes de começar a ler o artigo, preste atenção ao nosso navegador ao máximo recurso útil Para

Vamos tentar descobrir o que é esse conceito de “raiz” e “com o que se come”. Para fazer isso, vejamos exemplos que você já encontrou em sala de aula (bem, ou você está prestes a encontrar isso).

Por exemplo, temos uma equação. Qual é a solução dada equação? Que números podem ser elevados ao quadrado e obtidos? Lembrando da tabuada, você pode facilmente dar a resposta: e (afinal, quando dois números negativos são multiplicados, obtém-se um número positivo)! Para simplificar, os matemáticos introduziram o conceito especial de raiz quadrada e atribuíram-lhe um símbolo especial.

Vamos definir aritmética raiz quadrada.

Por que o número tem que ser não negativo? Por exemplo, a que é igual? Bem, bem, vamos tentar escolher um. Talvez três? Vamos verificar: , não. Talvez, ? Novamente, verificamos: . Bem, não cabe? Isso era de se esperar - porque não existem números que, quando elevados ao quadrado, dêem um número negativo!
Isto é o que você precisa lembrar: o número ou expressão sob o sinal da raiz deve ser não negativo!

Porém, os mais atentos provavelmente já notaram que a definição diz que a solução da raiz quadrada de “um número chama-se assim não negativo número cujo quadrado é igual a ". Alguns de vocês dirão que no início vimos um exemplo, selecionamos números que podem ser elevados ao quadrado e obtidos, a resposta foi e, mas aqui estamos falando de alguns “ número não negativo"! Esta observação é bastante apropriada. Aqui você só precisa distinguir entre os conceitos de equações quadráticas e a raiz quadrada aritmética de um número. Por exemplo, não é equivalente à expressão.

Segue-se que, isto é, ou. (Leia o tópico "")

E segue isso.

Claro que isso é muito confuso, mas é preciso lembrar que os sinais são o resultado da resolução da equação, pois ao resolver a equação devemos anotar todos os X's, que, quando substituídos na equação original, darão o resultado correto. Na nossa Equação quadrática adequado para ambos.

No entanto, se basta tirar a raiz quadrada de alguma coisa, então sempre obtemos um resultado não negativo.

Agora tente resolver esta equação. Nem tudo é mais tão simples e tranquilo, não é? Tente analisar os números, talvez algo dê certo? Vamos começar do início - do zero: - não cabe, siga em frente - menos de três, varra também para o lado, e se. Vejamos: - também não é adequado, porque... isso é mais do que três. É a mesma história com números negativos. Então, o que devemos fazer agora? A pesquisa realmente não nos deu nada? De forma alguma, agora sabemos com certeza que a resposta será algum número entre e, bem como entre e. Além disso, obviamente as soluções não serão números inteiros. Além disso, eles não são racionais. Então, o que vem a seguir? Vamos representar graficamente a função e marcar as soluções nela.

Vamos tentar enganar o sistema e obter a resposta usando uma calculadora! Vamos tirar a raiz disso! Oh-oh-oh, acontece que sim. Esse número nunca acaba. Como você pode se lembrar disso, já que não haverá calculadora no exame!? Tudo é muito simples, você não precisa lembrar, basta lembrar (ou poder estimar rapidamente) o valor aproximado. e as próprias respostas. Esses números são chamados de irracionais; foi para simplificar a escrita de tais números que o conceito de raiz quadrada foi introduzido.

Vejamos outro exemplo para reforçar isso. Vejamos este problema: você precisa cruzar na diagonal campo quadrado com um lado de km, quantos km você tem que caminhar?

O mais óbvio aqui é considerar o triângulo separadamente e usar o teorema de Pitágoras: . Por isso, . Então, qual é a distância necessária aqui? Obviamente, a distância não pode ser negativa, entendemos isso. A raiz de dois é aproximadamente igual, mas, como observamos anteriormente, - já é uma resposta completa.

Para resolver exemplos com raízes sem causar problemas, é preciso vê-los e reconhecê-los. Para fazer isso, você precisa conhecer pelo menos os quadrados dos números de até e também ser capaz de reconhecê-los. Por exemplo, você precisa saber o que é igual a um quadrado e também, inversamente, o que é igual a um quadrado.

Você entendeu o que é uma raiz quadrada? Depois resolva alguns exemplos.

Exemplos.

Bem, como funcionou? Agora vamos ver estes exemplos:

Respostas:

raiz cúbica

Bem, parece que entendemos o conceito de raiz quadrada, agora vamos tentar descobrir o que é uma raiz cúbica e qual é a sua diferença.

A raiz cúbica de um número é o número cujo cubo é igual. Você notou que tudo é muito mais simples aqui? Não há restrições valores possíveis tanto os valores sob o sinal da raiz cúbica quanto o número que está sendo extraído. Ou seja, a raiz cúbica pode ser extraída de qualquer número: .

Você entende o que é uma raiz cúbica e como extraí-la? Então vá em frente e resolva os exemplos.

Exemplos.

Respostas:

Raiz - oh grau

Bem, entendemos os conceitos de raízes quadradas e cúbicas. Agora vamos resumir o conhecimento adquirido com o conceito 1ª raiz.

1ª raiz de um número é um número cuja potência é igual, ou seja,

equivalente.

Se - mesmo, Que:

• com negativo, a expressão não faz sentido (raízes pares de números negativos não pode ser removido!);
• para não negativo() expressão tem um não raiz negativa.

Se - for ímpar, então a expressão terá uma raiz única para qualquer.

Não se assuste, os mesmos princípios se aplicam aqui às raízes quadradas e cúbicas. Ou seja, os princípios que aplicamos ao considerar as raízes quadradas são estendidos a todas as raízes de grau par.

E as propriedades que foram utilizadas para a raiz cúbica aplicam-se a raízes de grau ímpar.

Bem, ficou mais claro? Vejamos exemplos:

Aqui tudo é mais ou menos claro: primeiro olhamos - sim, o grau é par, o número sob a raiz é positivo, o que significa que nossa tarefa é encontrar um número cuja quarta potência nos dará. Bem, algum palpite? Talvez, ? Exatamente!

Então, o grau é igual - ímpar, o número abaixo da raiz é negativo. Nossa tarefa é encontrar um número que, quando elevado a uma potência, produza. É muito difícil perceber imediatamente a raiz. No entanto, você pode restringir imediatamente sua pesquisa, certo? Em primeiro lugar, o número requerido é definitivamente negativo e, em segundo lugar, pode-se notar que é ímpar e, portanto, o número desejado é ímpar. Tente encontrar a raiz. Claro, você pode descartá-lo com segurança. Talvez, ?

Sim, era isso que procurávamos! Observe que para simplificar o cálculo utilizamos as propriedades dos graus: .

Propriedades básicas das raízes

Está claro? Caso contrário, depois de olhar os exemplos, tudo deverá se encaixar.

Multiplicando raízes

Como multiplicar raízes? A propriedade mais simples e básica ajuda a responder a esta pergunta:

Vamos começar com algo simples:

As raízes dos números resultantes não são extraídas exatamente? Não tem problema - aqui estão alguns exemplos:

E se não houver dois, mas mais multiplicadores? O mesmo! A fórmula para multiplicar raízes funciona com qualquer número de fatores:

O que podemos fazer com isso? Bem, é claro, esconda o três embaixo da raiz, lembrando que três é a raiz quadrada de!

Por que nós precisamos disso? Sim, apenas para expandir nossas capacidades na resolução de exemplos:

O que você acha dessa propriedade das raízes? Isso torna a vida muito mais fácil? Para mim, isso é exatamente certo! Você só tem que lembrar disso Só podemos inserir números positivos sob o sinal da raiz de um grau par.

Vamos ver onde mais isso pode ser útil. Por exemplo, o problema requer a comparação de dois números:

Que mais:

Você não pode dizer imediatamente. Bem, vamos usar a propriedade desmontada de inserir um número sob o sinal de raiz? Então vá em frente:

Bem, sabendo o que número maior sob o signo da raiz, maior será a própria raiz! Aqueles. se então, . Disto concluímos firmemente que. E ninguém nos convencerá do contrário!

Antes inserimos um multiplicador sob o sinal da raiz, mas como removê-lo? Você só precisa fatorar isso em fatores e extrair o que você extrai!

Foi possível seguir um caminho diferente e expandir para outros fatores:

Nada mal, certo? Qualquer uma dessas abordagens está correta, decida como desejar.

Por exemplo, aqui está uma expressão:

Neste exemplo, o grau é par, mas e se for ímpar? Novamente, aplique as propriedades dos expoentes e fatore tudo:

Tudo parece claro com isso, mas como extrair a raiz de um número elevado a uma potência? Aqui, por exemplo, é isto:

Muito simples, certo? E se o grau for maior que dois? Seguimos a mesma lógica usando as propriedades dos graus:

Bem, está tudo claro? Então aqui está um exemplo:

Estas são as armadilhas, sobre elas sempre vale a pena lembrar. Na verdade, isso se reflete nos exemplos de propriedades:

para estranho: para par e:

Está claro? Reforce com exemplos:

Sim, vemos que a raiz está elevada a uma potência par, o número negativo sob a raiz também está elevado a uma potência par. Bem, funciona da mesma forma? Aqui está o que:

Isso é tudo! Agora aqui estão alguns exemplos:

Entendi? Então vá em frente e resolva os exemplos.

Exemplos.

Respostas.

Se você recebeu respostas, então você pode paz de espírito ir em frente. Se não, então vamos entender estes exemplos:

Vejamos duas outras propriedades das raízes:

Essas propriedades devem ser analisadas em exemplos. Bem, vamos fazer isso?

Entendi? Vamos protegê-lo.

Exemplos.

Respostas.

RAÍZES E SUAS PROPRIEDADES. NÍVEL MÉDIO

Raiz quadrada aritmética

A equação tem duas soluções: e. Estes são números cujo quadrado é igual a.

Considere a equação. Vamos resolver isso graficamente. Vamos desenhar um gráfico da função e uma linha no nível. Os pontos de intersecção dessas linhas serão as soluções. Vemos que esta equação também tem duas soluções - uma positiva e outra negativa:

Mas em nesse caso soluções não são números inteiros. Além disso, eles não são racionais. Para anotar estes decisões irracionais, introduzimos um símbolo especial de raiz quadrada.

Raiz quadrada aritméticaé um número não negativo cujo quadrado é igual a. Quando a expressão não está definida, porque Não existe número cujo quadrado seja igual a um número negativo.

Raiz quadrada: .

Por exemplo, . E segue isso ou.

Deixe-me chamar sua atenção mais uma vez, isso é muito importante: A raiz quadrada é sempre um número não negativo: !

raiz cúbica de um número é um número cujo cubo é igual a. A raiz cúbica é definida para todos. Pode ser extraído de qualquer número: . Como você pode ver, também pode assumir valores negativos.

A décima raiz de um número é um número cuja ésima potência é igual, ou seja,

Se for par, então:

• se, então a raiz de a não está definida.
• se, então a raiz não negativa da equação é chamada de raiz aritmética do décimo grau de e é denotada.

Se - for ímpar, então a equação terá uma raiz única para qualquer.

Você notou que à esquerda acima do sinal da raiz escrevemos seu grau? Mas não para a raiz quadrada! Se você vir uma raiz sem grau, significa que ela é quadrada (graus).

Exemplos.

Propriedades básicas das raízes

RAÍZES E SUAS PROPRIEDADES. BREVEMENTE SOBRE AS COISAS PRINCIPAIS

Raiz quadrada (raiz quadrada aritmética) de um número não negativo é chamado assim número não negativo cujo quadrado é

Propriedades das raízes:

Bem, o assunto acabou. Se você está lendo estas linhas, significa que você é muito legal.

Porque apenas 5% das pessoas conseguem dominar algo sozinhas. E se você ler até o fim, você está nesses 5%!

Agora o mais importante.

Você entendeu a teoria sobre este tópico. E, repito, isso... isso é simplesmente fantástico! Você já é melhor do que maioria absoluta seus pares.

O problema é que isso pode não ser suficiente...

Para que?

Para sucesso passando no Exame Estadual Unificado, para admissão na faculdade com orçamento limitado e, O MAIS IMPORTANTE, para o resto da vida.

Não vou te convencer de nada, só vou dizer uma coisa...

Pessoas que receberam uma boa educação, ganham muito mais do que quem não recebeu. Isto são estatísticas.

Mas isto não é o principal.

O principal é que eles fiquem MAIS FELIZES (existem estudos desse tipo). Talvez porque haja muito mais coisas abertas diante deles mais possibilidades e a vida se torna mais brilhante? Não sei...

Mas pense por si mesmo...

O que é necessário para ser melhor do que os outros no Exame de Estado Unificado e, em última análise, ser... mais feliz?

GANHE SUA MÃO RESOLVENDO PROBLEMAS NESTE TÓPICO.

Não será solicitada teoria durante o exame.

Você vai precisar resolver problemas contra o tempo.

E, se você não os resolveu (MUITO!), com certeza cometerá um erro estúpido em algum lugar ou simplesmente não terá tempo.

É como nos esportes: você precisa repetir muitas vezes para vencer com certeza.

Encontre a coleção onde quiser, necessariamente com soluções, análise detalhada e decida, decida, decida!

Você pode usar nossas tarefas (opcionais) e nós, claro, as recomendamos.

Para melhorar o uso de nossas tarefas, você precisa ajudar a prolongar a vida útil do livro YouClever que está lendo atualmente.

Como? Existem duas opções:

1. Acesso aberto a todos tarefas ocultas Neste artigo -
2. Desbloqueie o acesso a todas as tarefas ocultas em todos os 99 artigos do livro - Compre um livro didático - 499 RUR

Sim, temos 99 desses artigos em nosso livro e o acesso a todas as tarefas e todos os textos ocultos nelas podem ser abertos imediatamente.

O acesso a todas as tarefas ocultas é fornecido durante TODA a vida do site.

Para concluir...

Se você não gosta de nossas tarefas, encontre outras. Só não pare na teoria.

“Entendido” e “Posso resolver” são habilidades completamente diferentes. Você precisa de ambos.

Encontre problemas e resolva-os!

Com e número natural n 2 .

Número complexo Z chamado raizn– c, Se Z n = c.

Vamos encontrar todos os valores da raiz n– oh potência de um número complexo Com. Deixar c=| c|·(porque Argumento c+ eu· pecado ArgumentoCom), A Z = | Z|·(comsistema operacional Argumento Z + eu· pecado Argumento Z) , Onde Z raiz n- oh potência de um número complexo Com. Então deve ser = c = | c|·(porque Argumento c+ eu· pecado ArgumentoCom). Segue que
E n· Argumento Z = ArgumentoCom
Argumento Z =
(k=0,1,…) . Por isso, Z =
(porque
+ eu· pecado
), (k=0,1,…) . É fácil ver que qualquer um dos valores
, (k=0,1,…) difere de um dos valores correspondentes
,(k = 0,1,…, n-1) por múltiplos 2π. É por isso , (k = 0,1,…, n-1) .

Exemplo.

Vamos calcular a raiz de (-1).

, obviamente |-1| = 1, argumento (-1) = π

-1 = 1·(porque π + eu· pecado π )

, (k = 0, 1).

= eu

Potência com um expoente racional arbitrário

Vamos pegar um número complexo arbitrário Com. Se n número natural, então Com n = | c| n ·(Comsistema operacional nArgs +eu· pecado nArgCom)(6). Esta fórmula também é verdadeira no caso n = 0 (s≠0)
. Deixar n < 0 E n Z E s ≠ 0, Então

Com n =
(porque nArgCom+i·sin nArgCom) = (porque nArgCom+ i·sin nArgCom) . Assim, a fórmula (6) é válida para qualquer n.

Vamos pegar um número racional , Onde q número natural e R está inteiro.

Então sob grau c R vamos entender o número
.

Nós entendemos isso ,

(k = 0, 1, …, q-1). Esses valores q pedaços, se a fração não for redutível.

Aula nº 3 O limite de uma sequência de números complexos

Uma função de valor complexo de um argumento natural é chamada seqüência números complexos e é designado (Com n ) ou Com 1 , Com 2 , ..., Com n . Com n = um n + b n · eu (n = 1,2, ...) números complexos.

Com 1 , Com 2 , … - membros da sequência; Com n – membro comum

Número complexo Com = a+ b· eu chamado limite de uma sequência de números complexos (c n ) , Onde Com n = um n + b n · eu (n = 1, 2, …) , onde para qualquer

que na frente de todos n > N a desigualdade se mantém
. Uma sequência com limite finito é chamada convergente seqüência.

Teorema.

Para que uma sequência de números complexos (com n ) (Com n = um n + b n · eu) convergiu para um número com = a+ b· eu, é necessário e suficiente para que a igualdade se mantenhalimão a n = a, limão b n = b.

Prova.

Provaremos o teorema com base na seguinte desigualdade dupla óbvia

, Onde Z = x + sim· eu (2)

Necessidade. Deixar limão(Com n ) = s. Vamos mostrar que as igualdades são verdadeiras limão a n = a E limão b n = b (3).

Obviamente (4)

Porque
, Quando n → ∞ , então do lado esquerdo da desigualdade (4) segue que
E
, Quando n → ∞ . portanto, as igualdades (3) são satisfeitas. A necessidade foi comprovada.

Adequação. Deixemos agora as igualdades (3) serem satisfeitas. Da igualdade (3) segue que
E
, Quando n → ∞ , portanto, devido ao lado direito da desigualdade (4), será
, Quando n→∞ , Significa limão(Com n )=c. A suficiência foi comprovada.

Assim, a questão da convergência de uma sequência de números complexos equivale à convergência de duas sequências de números reais, portanto todas as propriedades básicas dos limites das sequências de números reais se aplicam a sequências de números complexos.

Por exemplo, para sequências de números complexos o critério de Cauchy é válido: para que uma sequência de números complexos (com n ) converge, é necessário e suficiente que para qualquer

, que para qualquern, eu > Na desigualdade se mantém
.

Teorema.

Seja uma sequência de números complexos (com n ) E (z n ) convergem para c e respectivamentez, então as igualdades são verdadeiraslimão(Com n z n ) = c z, limão(Com n · z n ) = c· z. Se for sabido com certeza queznão é igual a 0, então a igualdade é verdadeira
.

Parabéns: hoje veremos as raízes - um dos temas mais alucinantes do 8º ano. :)

Muitas pessoas ficam confusas sobre raízes, não porque sejam complexas (o que há de tão complicado nisso - algumas definições e mais algumas propriedades), mas porque na maioria dos livros escolares as raízes são definidas através de uma selva tão grande que apenas os autores dos livros didáticos eles mesmos podem entender esta escrita. E mesmo assim só com uma garrafa de um bom whisky. :)

Portanto, agora darei a definição mais correta e competente de raiz - a única que você realmente deve lembrar. E então explicarei: por que tudo isso é necessário e como aplicar na prática.

Mas primeiro lembre-se de um ponto importante, sobre o qual muitos compiladores de livros didáticos por algum motivo “esquecem”:

As raízes podem ser de grau par (nosso $\sqrt(a)$ favorito, bem como todos os tipos de $\sqrt(a)$ e até $\sqrt(a)$) e de grau ímpar (todos os tipos de $\sqrt(a)$ (a)$, $\sqrt(a)$, etc.). E a definição de uma raiz de grau ímpar é um pouco diferente de uma raiz par.

Provavelmente 95% de todos os erros e mal-entendidos associados às raízes estão escondidos nesta porra de “um pouco diferente”. Então, vamos esclarecer a terminologia de uma vez por todas:

Definição. Mesmo raiz n do número $a$ é qualquer não negativo o número $b$ é tal que $((b)^(n))=a$. E a raiz ímpar do mesmo número $a$ é geralmente qualquer número $b$ para o qual a mesma igualdade é válida: $((b)^(n))=a$.

Em qualquer caso, a raiz é denotada assim:

\(a)\]

O número $n$ em tal notação é chamado de expoente raiz, e o número $a$ é chamado de expressão radical. Em particular, para $n=2$ obtemos nossa raiz quadrada “favorita” (a propósito, esta é uma raiz de grau par), e para $n=3$ obtemos uma raiz cúbica (grau ímpar), que é também frequentemente encontrado em problemas e equações.

Exemplos. Exemplos clássicos raízes quadradas:

\[\begin(alinhar) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \fim(alinhar)\]

A propósito, $\sqrt(0)=0$ e $\sqrt(1)=1$. Isso é bastante lógico, já que $((0)^(2))=0$ e $((1)^(2))=1$.

As raízes cúbicas também são comuns - não há necessidade de ter medo delas:

\[\begin(alinhar) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \fim(alinhar)\]

Bem, alguns “exemplos exóticos”:

\[\begin(alinhar) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \fim(alinhar)\]

Se você não entende qual é a diferença entre um grau par e um grau ímpar, releia a definição novamente. É muito importante!

Enquanto isso, consideraremos uma característica desagradável das raízes, por causa da qual precisávamos introduzir uma definição separada para expoentes pares e ímpares.

Por que as raízes são necessárias?

Depois de ler a definição, muitos estudantes perguntarão: “O que os matemáticos estavam fumando quando criaram isso?” E realmente: por que todas essas raízes são necessárias?

Para responder a esta pergunta, vamos voltar por um momento para classes primárias. Lembre-se: naqueles tempos distantes, quando as árvores eram mais verdes e os bolinhos mais saborosos, nossa principal preocupação era multiplicar os números corretamente. Bem, algo como “cinco por cinco – vinte e cinco”, só isso. Mas você pode multiplicar números não em pares, mas em trigêmeos, quádruplos e geralmente conjuntos inteiros:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cponto 5\cponto 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

No entanto, este não é o ponto. O truque é diferente: os matemáticos são pessoas preguiçosas, por isso tiveram dificuldade em escrever a multiplicação de dez cincos assim:

É por isso que eles criaram diplomas. Por que não escrever o número de fatores como sobrescrito em vez de uma sequência longa? Algo assim:

É muito conveniente! Todos os cálculos são reduzidos significativamente e você não precisa desperdiçar um monte de folhas de pergaminho e cadernos para anotar cerca de 5.183. Esse registro foi chamado de potência de um número; nele foram encontradas várias propriedades, mas a felicidade acabou durando pouco.

Depois de uma grande festa, organizada apenas para a “descoberta” dos graus, algum matemático particularmente teimoso perguntou de repente: “E se soubermos o grau de um número, mas o próprio número for desconhecido?” Agora, de fato, se sabemos que um certo número $b$, digamos, elevado à 5ª potência dá 243, então como podemos adivinhar a que o próprio número $b$ é igual?

Este problema revelou-se muito mais global do que pode parecer à primeira vista. Porque descobriu-se que para a maioria dos poderes “prontos” não existem esses números “iniciais”. Julgue por si mesmo:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \fim(alinhar)\]

E se $((b)^(3))=50$? Acontece que precisamos encontrar um determinado número que, quando multiplicado por ele mesmo três vezes, nos dará 50. Mas qual é esse número? É claramente maior que 3, pois 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Isso é esse número está em algum lugar entre três e quatro, mas você não entenderá a que ele é igual.

É precisamente por isso que os matemáticos criaram raízes $n$. É precisamente por isso que o símbolo radical $\sqrt(*)$ foi introduzido. Para designar o próprio número $b$, que no grau indicado nos dará um valor previamente conhecido

\[\sqrt[n](a)=b\Rightarrow ((b)^(n))=a\]

Não discuto: muitas vezes essas raízes são facilmente calculadas - vimos vários exemplos acima. Mas ainda assim, na maioria dos casos, se você pensar em um número arbitrário e depois tentar extrair dele a raiz de um grau arbitrário, você terá uma chatice terrível.

O que é aquilo! Mesmo o $\sqrt(2)$ mais simples e familiar não pode ser representado em nossa forma usual - como um número inteiro ou uma fração. E se você inserir esse número em uma calculadora, verá o seguinte:

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

Como você pode ver, após a vírgula há uma sequência infinita de números que não obedecem a nenhuma lógica. É claro que você pode arredondar esse número para compará-lo rapidamente com outros números. Por exemplo:

\[\sqrt(2)=1,4142...\aproximadamente 1,4 \lt 1,5\]

Ou aqui está outro exemplo:

\[\sqrt(3)=1,73205...\aproximadamente 1,7 \gt 1,5\]

Mas todos esses arredondamentos, em primeiro lugar, são bastante grosseiros; e em segundo lugar, você também precisa ser capaz de trabalhar com valores aproximados, caso contrário, poderá detectar vários erros não óbvios (aliás, a habilidade de comparar e arredondar obrigatório verificado no perfil Exame Estadual Unificado).

Portanto, na matemática séria você não pode prescindir de raízes - elas são os mesmos representantes iguais do conjunto de todos os números reais $\mathbb(R)$, assim como as frações e os inteiros que nos são familiares há muito tempo.

A incapacidade de representar uma raiz como uma fração da forma $\frac(p)(q)$ significa que esta raiz não é número racional. Tais números são chamados de irracionais e não podem ser representados com precisão, exceto com a ajuda de um radical ou outras construções especialmente projetadas para isso (logaritmos, potências, limites, etc.). Mas falaremos mais sobre isso em outra ocasião.

Consideremos vários exemplos onde, depois de todos os cálculos, os números irracionais ainda permanecerão na resposta.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\approx 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\aprox -1,2599... \\ \end(align)\]

Naturalmente, de acordo com aparência root é quase impossível adivinhar quais números virão depois da vírgula decimal. No entanto, você pode contar com uma calculadora, mas mesmo a calculadora de data mais avançada nos fornece apenas os primeiros dígitos Número irracional. Portanto, é muito mais correto escrever as respostas na forma $\sqrt(5)$ e $\sqrt(-2)$.

É exatamente por isso que eles foram inventados. Para registrar respostas convenientemente.

Por que são necessárias duas definições?

O leitor atento provavelmente já percebeu que todas as raízes quadradas dadas nos exemplos são retiradas de números positivos. Bem, pelo menos do zero. Mas as raízes cúbicas podem ser extraídas com segurança de absolutamente qualquer número - seja ele positivo ou negativo.

Por que isso está acontecendo? Dê uma olhada no gráfico da função $y=((x)^(2))$:

Agendar função quadrática dá duas raízes: positiva e negativa

Vamos tentar calcular $\sqrt(4)$ usando este gráfico. Para fazer isso, uma linha horizontal $y=4$ é desenhada no gráfico (marcada em vermelho), que cruza com a parábola em dois pontos: $((x)_(1))=2$ e $((x )_(2)) =-2$. Isto é bastante lógico, pois

Tudo fica claro com o primeiro número - é positivo, então é a raiz:

Mas então o que fazer com o segundo ponto? Como se quatro tivessem duas raízes ao mesmo tempo? Afinal, se elevarmos ao quadrado o número −2, também obteremos 4. Por que não escrever $\sqrt(4)=-2$ então? E por que os professores olham para essas postagens como se quisessem te comer? :)

Esse é o problema, se você não aplicar nenhum condições adicionais, então o quádruplo terá duas raízes quadradas - positiva e negativa. E qualquer número positivo também terá dois deles. Mas os números negativos não terão nenhuma raiz - isso pode ser visto no mesmo gráfico, já que a parábola nunca cai abaixo do eixo sim, ou seja não aceita valores negativos.

Um problema semelhante ocorre em todas as raízes com numero par:

1. A rigor, cada número positivo terá duas raízes com expoente par $n$;
2. De números negativos, a raiz com $n$ par não é extraída.

É por isso que na definição de uma raiz de grau par $n$ é especificamente estipulado que a resposta deve ser um número não negativo. É assim que nos livramos da ambiguidade.

Mas para $n$ ímpares não existe esse problema. Para ver isso, vejamos o gráfico da função $y=((x)^(3))$:

Uma parábola cúbica pode assumir qualquer valor, então a raiz cúbica pode ser obtida de qualquer número

Duas conclusões podem ser tiradas deste gráfico:

1. Os ramos de uma parábola cúbica, ao contrário de uma parábola normal, vão ao infinito em ambas as direções - para cima e para baixo. Portanto, não importa a altura em que traçamos uma linha horizontal, esta linha certamente se cruzará com nosso gráfico. Conseqüentemente, a raiz cúbica sempre pode ser extraída de absolutamente qualquer número;
2. Além disso, tal interseção sempre será única, então você não precisa pensar em qual número é considerado a raiz “correta” e qual ignorar. É por isso que determinar raízes para um grau ímpar é mais simples do que para um grau par (não há exigência de não negatividade).

É uma pena que essas coisas simples não sejam explicadas na maioria dos livros didáticos. Em vez disso, nossos cérebros começam a voar alto com todos os tipos de raízes aritméticas e suas propriedades.

Sim, não discuto: você também precisa saber o que é uma raiz aritmética. E falarei sobre isso em detalhes em uma lição separada. Hoje também falaremos sobre isso, porque sem ele todos os pensamentos sobre raízes da $n$-ésima multiplicidade estariam incompletos.

Mas primeiro você precisa entender claramente a definição que dei acima. Do contrário, devido à abundância de termos, vai começar uma bagunça na sua cabeça que no final você não vai entender nada.

Tudo que você precisa fazer é entender a diferença entre indicadores pares e ímpares. Portanto, vamos mais uma vez reunir tudo o que você realmente precisa saber sobre raízes:

1. Uma raiz de grau par existe apenas a partir de um número não negativo e é sempre um número não negativo. Para números negativos, essa raiz é indefinida.
2. Mas a raiz de um grau ímpar existe em qualquer número e pode ser qualquer número: para números positivos é positiva, e para números negativos, como o limite sugere, é negativa.

É difícil? Não, não é difícil. Está claro? Sim, é completamente óbvio! Então agora vamos praticar um pouco com os cálculos.

Propriedades básicas e limitações

Existem muitas raízes propriedades estranhas e restrições - haverá uma lição separada sobre isso. Portanto, agora consideraremos apenas o “truque” mais importante, que se aplica apenas a raízes com índice par. Vamos escrever esta propriedade como uma fórmula:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\esquerda| x\direita|\]

Em outras palavras, se elevarmos um número a uma potência par e depois extrairmos a raiz da mesma potência, não obteremos número original, e seu módulo . Esse teorema simples, o que é fácil de provar (basta considerar separadamente $x$ não negativos e depois considerar separadamente os negativos). Os professores falam constantemente sobre isso, é ensinado em todos livro escolar. Mas uma vez que se trata de uma decisão equações irracionais(ou seja, equações contendo um sinal radical), os alunos esquecem por unanimidade esta fórmula.

Para entender o problema em detalhes, vamos esquecer todas as fórmulas por um minuto e tentar calcular dois números de frente:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\esquerda(-3 \direita))^(4)))=?\]

Isto é muito exemplos simples. A maioria das pessoas resolverá o primeiro exemplo, mas muitas pessoas ficarão presas no segundo. Para resolver qualquer porcaria sem problemas, considere sempre o procedimento:

1. Primeiro, o número é elevado à quarta potência. Bem, é meio fácil. Você receberá um novo número que pode ser encontrado até na tabuada;
2. E agora deste novo número é necessário extrair a raiz quarta. Aqueles. não ocorre nenhuma “redução” de raízes e poderes - estas são ações sequenciais.

Vejamos a primeira expressão: $\sqrt(((3)^(4)))$. Obviamente, primeiro você precisa calcular a expressão sob a raiz:

\[((3)^(4))=3\cponto 3\cponto 3\cponto 3=81\]

Então extraímos a raiz quarta do número 81:

Agora vamos fazer o mesmo com a segunda expressão. Primeiro, elevamos o número −3 à quarta potência, o que requer multiplicá-lo por ele mesmo 4 vezes:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ esquerda(-3 \direita)=81\]

Obtivemos um número positivo porque total Existem 4 pontos negativos no trabalho, e todos eles se anulam (afinal, menos por menos dá um sinal de mais). Então extraímos a raiz novamente:

Em princípio, esta linha não poderia ter sido escrita, pois é óbvio que a resposta seria a mesma. Aqueles. uma raiz par da mesma potência par “queima” os pontos negativos e, nesse sentido, o resultado é indistinguível de um módulo normal:

\[\begin(alinhar) & \sqrt(((3)^(4)))=\esquerda| 3 \direito|=3; \\ & \sqrt(((\esquerda(-3 \direita))^(4)))=\esquerda| -3 \direito|=3. \\ \fim(alinhar)\]

Esses cálculos estão de acordo com a definição de raiz de grau par: o resultado é sempre não negativo, e o sinal radical também contém sempre um número não negativo. Caso contrário, a raiz será indefinida.

Nota sobre o procedimento

1. A notação $\sqrt(((a)^(2)))$ significa que primeiro elevamos ao quadrado o número $a$ e depois extraímos a raiz quadrada do valor resultante. Portanto, podemos ter certeza de que sempre há um número não negativo sob o sinal da raiz, pois $((a)^(2))\ge 0$ em qualquer caso;
2. Mas a notação $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, pelo contrário, significa que primeiro tiramos a raiz de um certo número $a$ e só depois elevamos ao quadrado o resultado. Portanto, o número $a$ não pode em caso algum ser negativo – este é um requisito obrigatório incluído na definição.

Assim, em nenhum caso se deve reduzir impensadamente raízes e graus, supostamente “simplificando” a expressão original. Porque se a raiz tiver um número negativo e seu expoente for par, teremos vários problemas.

No entanto, todos estes problemas são relevantes apenas para indicadores pares.

Removendo o sinal de menos abaixo do sinal de raiz

Naturalmente, raízes com expoentes ímpares também possuem uma característica própria, que em princípio não existe com os pares. Nomeadamente:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Resumindo, você pode remover o sinal de menos sob o sinal das raízes de graus ímpares. Isto é muito propriedade útil, o que permite “jogar fora” todos os negativos:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cponto 2=6. \fim(alinhar)\]

Esta propriedade simples simplifica muito muitos cálculos. Agora você não precisa se preocupar: de repente está escondido sob as raízes expressão negativa, mas o grau da raiz acabou sendo par? Basta “jogar fora” todos os pontos negativos fora das raízes, após o que eles podem ser multiplicados entre si, divididos e geralmente fazer muitas coisas suspeitas, que no caso das raízes “clássicas” certamente nos levarão a um erro.

E aqui entra em cena outra definição - a mesma com a qual a maioria das escolas começa a estudar expressões irracionais. E sem o qual nosso raciocínio estaria incompleto. Encontrar!

Raiz aritmética

Suponhamos por um momento que sob o sinal da raiz só possam existir números positivos ou, em casos extremos, zero. Vamos esquecer os indicadores pares/ímpares, vamos esquecer todas as definições dadas acima - trabalharemos apenas com números não negativos. E então?

E então obteremos uma raiz aritmética - ela se sobrepõe parcialmente às nossas definições “padrão”, mas ainda difere delas.

Definição. Raiz aritmética A $n$ésima potência de um número não negativo $a$ é um número não negativo $b$ tal que $((b)^(n))=a$.

Como podemos ver, não estamos mais interessados ​​na paridade. Em vez disso, apareceu uma nova restrição: a expressão radical agora é sempre não negativa, e a própria raiz também é não negativa.

Para entender melhor como a raiz aritmética difere da usual, dê uma olhada nos gráficos da parábola quadrada e cúbica que já conhecemos:

A área de busca por uma raiz aritmética não é números negativos

Como você pode ver, a partir de agora estamos interessados ​​​​apenas nas partes dos gráficos que estão localizadas no primeiro trimestre coordenado— onde as coordenadas $x$ e $y$ são positivas (ou pelo menos zero). Não é mais necessário olhar para o indicador para entender se temos o direito de colocar um número negativo na raiz ou não. Porque os números negativos não são mais considerados em princípio.

Você pode perguntar: “Bem, por que precisamos de uma definição tão castrada?” Ou: “Por que não podemos seguir a definição padrão dada acima?”

Bem, darei apenas uma propriedade pela qual a nova definição se torna apropriada. Por exemplo, a regra para exponenciação:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Observação: podemos elevar a expressão radical a qualquer potência e ao mesmo tempo multiplicar o expoente raiz pela mesma potência - e o resultado será o mesmo número! Aqui estão alguns exemplos:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(align)\]

Então qual é o problema? Por que não pudemos fazer isso antes? Aqui está o porquê. Vamos considerar uma expressão simples: $\sqrt(-2)$ - este número é bastante normal em nosso compreensão clássica, mas é absolutamente inaceitável do ponto de vista da raiz aritmética. Vamos tentar convertê-lo:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Como você pode ver, no primeiro caso retiramos o menos do radical (temos todo o direito, já que o expoente é ímpar), e no segundo caso usamos a fórmula acima. Aqueles. Do ponto de vista matemático, tudo é feito de acordo com as regras.

O que é isso?! Como pode o mesmo número ser positivo e negativo? Sem chance. Acontece que a fórmula da exponenciação, que funciona muito bem para números positivos e zero, começa a produzir uma heresia completa no caso de números negativos.

Foi para se livrar dessa ambigüidade que foram inventadas as raízes aritméticas. Uma grande lição separada é dedicada a eles, onde consideramos detalhadamente todas as suas propriedades. Portanto, não vamos nos alongar sobre eles agora - a lição já se tornou muito longa.

Raiz algébrica: para quem quer saber mais

Pensei muito se deveria colocar esse tópico em um parágrafo separado ou não. No final decidi deixar aqui. Este material destina-se a quem deseja compreender ainda melhor as raízes - não mais no nível médio “escolar”, mas próximo ao nível olímpico.

Portanto: além da definição “clássica” da $n$ésima raiz de um número e da divisão associada em expoentes pares e ímpares, há uma definição mais “adulta” que não depende de forma alguma da paridade e de outras sutilezas. Isso é chamado de raiz algébrica.

Definição. Raiz algébrica O $n$ésimo grau de qualquer $a$ é o conjunto de todos os números $b$ tais que $((b)^(n))=a$. Não existe uma designação estabelecida para tais raízes, então vamos apenas colocar um travessão no topo:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

Diferença fundamental de definição padrão dado no início da lição é que uma raiz algébrica não é um número específico, mas um conjunto. E como trabalhamos com números reais, esse conjunto vem em apenas três tipos:

1. Conjunto vazio. Ocorre quando você precisa encontrar uma raiz algébrica de grau par a partir de um número negativo;
2. Um conjunto composto por um único elemento. Todas as raízes de potências ímpares, bem como raízes de potências pares de zero, enquadram-se nesta categoria;
3. Finalmente, o conjunto pode incluir dois números - os mesmos $((x)_(1))$ e $((x)_(2))=-((x)_(1))$ que vimos no função quadrática gráfica. Conseqüentemente, tal arranjo só é possível ao extrair a raiz de um grau par de um número positivo.

O último caso merece mais consideração detalhada. Vamos contar alguns exemplos para entender a diferença.

Exemplo. Avalie as expressões:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Solução. A primeira expressão é simples:

\[\overline(\sqrt(4))=\esquerda\( 2;-2 \direita\)\]

São dois números que fazem parte do conjunto. Porque cada um deles ao quadrado dá quatro.

\[\overline(\sqrt(-27))=\esquerda\( -3 \direita\)\]

Aqui vemos um conjunto composto por apenas um número. Isto é bastante lógico, uma vez que o expoente raiz é ímpar.

Finalmente, a última expressão:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnada \]

Recebemos um conjunto vazio. Porque não existe um único número real que, quando elevado à quarta potência (ou seja, par!), nos dará o número negativo −16.

Nota final. Atenção: não foi por acaso que notei em todos os lugares que trabalhamos com números reais. Porque também existem números complexos - é bem possível calcular $\sqrt(-16)$ ali, e muitas outras coisas estranhas.

No entanto, na moderna curso escolar Na matemática, os números complexos quase nunca são encontrados. Eles foram removidos da maioria dos livros didáticos porque nossos funcionários consideram o tema “muito difícil de entender”.

Neste artigo iremos apresentar conceito de raiz de um número. Procederemos sequencialmente: começaremos pela raiz quadrada, a partir daí passaremos à descrição da raiz cúbica, após a qual generalizaremos o conceito de raiz, definindo a enésima raiz. Ao mesmo tempo, apresentaremos definições, notações, daremos exemplos de raízes e daremos as explicações e comentários necessários.

Raiz quadrada, raiz quadrada aritmética

Para entender a definição da raiz de um número, e da raiz quadrada em particular, você precisa ter. Neste ponto, encontraremos frequentemente a segunda potência de um número – o quadrado de um número.

Vamos começar com definições de raiz quadrada.

Definição

Raiz quadrada de umé um número cujo quadrado é igual a a.

Para trazer exemplos de raízes quadradas, pegue vários números, por exemplo, 5, −0,3, 0,3, 0, e eleve-os ao quadrado, obtemos os números 25, 0,09, 0,09 e 0, respectivamente (5 2 =5·5=25, (−0,3) 2 =(−0,3)·(−0,3)=0,09, (0,3) 2 =0,3·0,3=0,09 e 0 2 =0·0=0 ). Então, pela definição dada acima, o número 5 é a raiz quadrada do número 25, os números −0,3 e 0,3 são as raízes quadradas de 0,09 e 0 é a raiz quadrada de zero.

Deve-se notar que não existe para qualquer número a um cujo quadrado seja igual a a. Ou seja, para qualquer número negativo a não existe um número real b cujo quadrado seja igual a a. Na verdade, a igualdade a=b 2 é impossível para qualquer a negativo, pois b 2 é um número não negativo para qualquer b. Por isso, não existe raiz quadrada de um número negativo no conjunto dos números reais. Em outras palavras, no conjunto dos números reais a raiz quadrada de um número negativo não está definida e não tem significado.

Isto leva a uma questão lógica: “Existe uma raiz quadrada de a para qualquer a não negativo”? A resposta é sim. A justificativa para esse fato pode ser considerada maneira construtiva, usado para encontrar o valor da raiz quadrada.

Então surge a próxima questão lógica: “Qual é o número de todas as raízes quadradas de um determinado número não negativo a - um, dois, três ou até mais”? Aqui está a resposta: se a for zero, então a única raiz quadrada de zero é zero; se a for algum número positivo, então o número de raízes quadradas do número a é dois e as raízes são . Vamos justificar isso.

Vamos começar com o caso a=0 . Primeiro, vamos mostrar que zero é de fato a raiz quadrada de zero. Isto decorre da igualdade óbvia 0 2 =0·0=0 e da definição da raiz quadrada.

Agora vamos provar que 0 é a única raiz quadrada de zero. Vamos usar o método oposto. Suponha que exista algum número b diferente de zero que seja a raiz quadrada de zero. Então a condição b 2 =0 deve ser satisfeita, o que é impossível, pois para qualquer b diferente de zero o valor da expressão b 2 é positivo. Chegamos a uma contradição. Isso prova que 0 é a única raiz quadrada de zero.

Vamos passar para os casos em que a é um número positivo. Dissemos acima que sempre existe uma raiz quadrada de qualquer número não negativo, seja a raiz quadrada de a o número b. Digamos que exista um número c, que também é a raiz quadrada de a. Então, pela definição de raiz quadrada, as igualdades b 2 =a e c 2 =a são verdadeiras, daí segue-se que b 2 −c 2 =a−a=0, mas como b 2 −c 2 =( b−c)·( b+c) , então (b−c)·(b+c)=0 . A igualdade resultante é válida propriedades de operações com números reais possível somente quando b−c=0 ou b+c=0 . Assim, os números b e c são iguais ou opostos.

Se assumirmos que existe um número d, que é outra raiz quadrada do número a, então, por raciocínios semelhantes aos já dados, fica provado que d é igual ao número b ou ao número c. Portanto, o número de raízes quadradas de um número positivo é dois e as raízes quadradas são números opostos.

Para facilitar o trabalho com raízes quadradas, a raiz negativa é “separada” da positiva. Para tanto, é introduzido definição de raiz quadrada aritmética.

Definição

Raiz quadrada aritmética de um número não negativo aé um número não negativo cujo quadrado é igual a a.

A notação para a raiz quadrada aritmética de a é. O sinal é chamado de sinal de raiz quadrada aritmética. Também é chamado de sinal radical. Portanto, às vezes você pode ouvir tanto “raiz” quanto “radical”, o que significa o mesmo objeto.

O número sob o sinal de raiz quadrada aritmética é chamado número radical, e a expressão sob o sinal de raiz é expressão radical, enquanto o termo “número radical” é frequentemente substituído por “expressão radical”. Por exemplo, na notação o número 151 é um número radical, e na notação a expressão a é uma expressão radical.

Ao ler, a palavra "aritmética" é frequentemente omitida, por exemplo, a entrada é lida como "a raiz quadrada de sete vírgula vinte e nove". A palavra “aritmética” é usada apenas quando querem enfatizar que estamos falando sobre especificamente sobre a raiz quadrada positiva de um número.

À luz da notação introduzida, segue-se da definição de uma raiz quadrada aritmética que para qualquer número não negativo a .

As raízes quadradas de um número positivo a são escritas usando o sinal de raiz quadrada aritmética como e. Por exemplo, as raízes quadradas de 13 são e. Raiz quadrada aritmética de zero igual a zero, aquilo é, . Para números negativos a, não atribuiremos significado à notação até estudarmos números complexos. Por exemplo, as expressões e não têm sentido.

Com base na definição da raiz quadrada, são comprovadas as propriedades das raízes quadradas, que são frequentemente utilizadas na prática.

Concluindo este ponto, notamos que as raízes quadradas do número a são soluções da forma x 2 =a em relação à variável x.

Raiz cúbica de um número

Definição de raiz cúbica do número a é dado de forma semelhante à definição da raiz quadrada. Só que se baseia no conceito de cubo de um número, não de quadrado.

Definição

Raiz cúbica de umé um número cujo cubo é igual a a.

Vamos dar exemplos de raízes cúbicas. Para fazer isso, pegue vários números, por exemplo, 7, 0, −2/3, e coloque-os ao cubo: 7 3 =7·7·7=343, 0 3 =0·0·0=0, . Então, com base na definição de raiz cúbica, podemos dizer que o número 7 é a raiz cúbica de 343, 0 é a raiz cúbica de zero e −2/3 é a raiz cúbica de −8/27.

Pode-se mostrar que a raiz cúbica de um número, ao contrário da raiz quadrada, sempre existe, não apenas para a não negativo, mas também para qualquer número real a. Para fazer isso, você pode usar o mesmo método que mencionamos ao estudar raízes quadradas.

Além disso, existe apenas uma única raiz cúbica de determinado número a. Vamos provar a última afirmação. Para fazer isso, considere três casos separadamente: a é um número positivo, a=0 e a é um número negativo.

É fácil mostrar que se a é positivo, a raiz cúbica de a não pode ser um número negativo nem zero. Na verdade, seja b a raiz cúbica de a, então, por definição, podemos escrever a igualdade b 3 =a. É claro que esta igualdade não pode ser verdadeira para be negativo e para b=0, pois nestes casos b 3 =b·b·b será um número negativo ou zero, respectivamente. Portanto, a raiz cúbica de um número positivo a é um número positivo.

Agora suponha que além do número b exista outra raiz cúbica do número a, vamos denotá-la como c. Então c 3 =a. Portanto, b 3 −c 3 =a−a=0, mas b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(esta é a fórmula de multiplicação abreviada diferença de cubos), de onde (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0. A igualdade resultante só é possível quando b−c=0 ou b 2 +b·c+c 2 =0. Da primeira igualdade temos b=c, e a segunda igualdade não tem soluções, pois seu lado esquerdo é um número positivo para quaisquer números positivos b e c como a soma de três termos positivos b 2, b·c e c 2. Isso prova a unicidade da raiz cúbica de um número positivo a.

Quando a = 0, a raiz cúbica do número a é apenas o número zero. Na verdade, se assumirmos que existe um número b, que é uma raiz cúbica diferente de zero de zero, então a igualdade b 3 =0 deve ser válida, o que só é possível quando b=0.

Para a negativo, argumentos semelhantes ao caso para a positivo podem ser dados. Primeiro, mostramos que a raiz cúbica de um número negativo não pode ser igual a um número positivo nem a zero. Em segundo lugar, assumimos que existe uma segunda raiz cúbica de um número negativo e mostramos que ela coincidirá necessariamente com a primeira.

Portanto, sempre existe uma raiz cúbica de qualquer número real a e um único.

Vamos dar definição de raiz cúbica aritmética.

Definição

Raiz cúbica aritmética de um número não negativo aé um número não negativo cujo cubo é igual a a.

A raiz cúbica aritmética de um número não negativo a é denotada como , o sinal é chamado de sinal da raiz cúbica aritmética, o número 3 nesta notação é chamado índice raiz. O número sob o sinal da raiz é número radical, a expressão sob o sinal da raiz é expressão radical.

Embora a raiz cúbica aritmética seja definida apenas para números não negativos a, também é conveniente usar notações nas quais os números negativos são encontrados sob o sinal da raiz cúbica aritmética. Vamos entendê-los da seguinte forma: , onde a é um número positivo. Por exemplo, .

Falaremos sobre as propriedades das raízes cúbicas no artigo geral propriedades das raízes.

Calcular o valor de uma raiz cúbica é chamado de extração de raiz cúbica; esta ação é discutida no artigo extraindo raízes: métodos, exemplos, soluções.

Para concluir este ponto, digamos que a raiz cúbica do número a é uma solução da forma x 3 =a.

enésima raiz, raiz aritmética do grau n

Generalizemos o conceito de raiz de um número - introduzimos definição de enésima raiz para n.

Definição

enésima raiz de aé um número cuja enésima potência é igual a a.

De esta definiçãoé claro que a raiz de primeiro grau do número a é o próprio número a, pois ao estudar o grau c indicador natural aceitamos a 1 =a .

Acima, vimos casos especiais da enésima raiz para n=2 e n=3 - raiz quadrada e raiz cúbica. Ou seja, uma raiz quadrada é uma raiz de segundo grau e uma raiz cúbica é uma raiz de terceiro grau. Para estudar raízes do enésimo grau para n=4, 5, 6, ..., é conveniente dividi-las em dois grupos: o primeiro grupo - raízes de graus pares (ou seja, para n = 4, 6, 8 , ...), o segundo grupo - raízes de graus ímpares (ou seja, com n=5, 7, 9, ...). Isso se deve ao fato de que as raízes das potências pares são semelhantes às raízes quadradas e as raízes das potências ímpares são semelhantes às raízes cúbicas. Vamos lidar com eles um por um.

Comecemos pelas raízes, cujos poderes são números pares 4, 6, 8, ... Como dissemos, são semelhantes à raiz quadrada do número a. Ou seja, a raiz de qualquer grau par do número a existe apenas para a não negativo. Além disso, se a=0, então a raiz de a é única e igual a zero, e se a>0, então existem duas raízes de grau par do número a, e são números opostos.

Vamos fundamentar a última afirmação. Seja b uma raiz par (denotamos como 2·m, onde m é algum número natural) do número a. Suponha que exista um número c - outra raiz de grau 2·m do número a. Então b 2·m −c 2·m =a−a=0 . Mas conhecemos a forma b 2 m −c 2 m = (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), então (b−c)·(b+c)· (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Desta igualdade segue que b−c=0, ou b+c=0, ou b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. As duas primeiras igualdades significam que os números b e c são iguais ou b e c são opostos. E a última igualdade é válida apenas para b=c=0, pois no seu lado esquerdo há uma expressão que é não negativa para qualquer b e c como a soma de números não negativos.

Quanto às raízes do enésimo grau para n ímpar, elas são semelhantes à raiz cúbica. Ou seja, a raiz de qualquer grau ímpar do número a existe para qualquer número real a, e para um determinado número a é único.

A unicidade de uma raiz de grau ímpar 2·m+1 do número a é provada por analogia com a prova da unicidade da raiz cúbica de a. Só aqui em vez de igualdade a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2) uma igualdade da forma b 2 m+1 −c 2 m+1 = é usada (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m). A expressão no último colchete pode ser reescrita como b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Por exemplo, com m=2 temos b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). Quando aeb são ambos positivos ou ambos negativos, seu produto é um número positivo, então a própria expressão b 2 +c 2 +b·c entre parênteses alto grau aninhamento, é positivo como a soma de números positivos. Agora, passando sequencialmente para as expressões entre parênteses dos graus de aninhamento anteriores, estamos convencidos de que elas também são positivas como a soma dos números positivos. Como resultado, obtemos que a igualdade b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m)=0 possível somente quando b−c=0, ou seja, quando o número b é igual ao número c.

É hora de entender a notação das enésimas raízes. Para tanto é dado definição de raiz aritmética do enésimo grau.

Definição

Raiz aritmética do enésimo grau de um número não negativo aé um número não negativo cuja enésima potência é igual a a.