Resolva o sistema com duas incógnitas - isso significa encontrar todos os pares de valores de variáveis ​​​​​​que satisfaçam cada uma das equações dadas. Cada um desses pares é chamado solução do sistema.

Exemplo:
O par de valores \(x=3\);\(y=-1\) é uma solução para o primeiro sistema, pois substituindo esses triplos e menos no sistema em vez de \(x\) e \ (y\), ambas as equações se tornam igualdades válidas \(\begin(cases)3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end(cases) \)

Mas \(x=1\); \(y=-2\) - não é uma solução para o primeiro sistema, pois após a substituição a segunda equação "não converge" \(\begin(cases)1-2\cdot(-2)=5 \\3 \cdot1+2 \cdot(-2)≠7 \end(casos)\)

Observe que esses pares geralmente são escritos mais curtos: em vez de "\(x=3\); \(y=-1\)" eles escrevem assim: \((3;-1)\).

Como resolver um sistema de equações lineares?

Existem três maneiras principais de resolver sistemas equações lineares:

1. Método de substituição.

\(\begin(cases)x-2y=5\\3x+2y=7 \end(cases)\)\(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x=5+2y\\3x+2y= 7\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)

Substitua a expressão resultante em vez dessa variável em outra equação do sistema.

\(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)x=5+2y\\3(5+2y)+2y=7\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)

1. \(\begin(casos)13x+9y=17\\12x-2y=26\end(casos)\)

   Na segunda equação, cada termo é par, então simplificamos a equação dividindo-a por \(2\).
   

   \(\begin(casos)13x+9y=17\\6x-y=13\end(casos)\)

   Este sistema pode ser resolvido de qualquer uma das maneiras, mas me parece que o método de substituição é o mais conveniente aqui. Vamos expressar y da segunda equação.
   

   \(\begin(casos)13x+9y=17\\y=6x-13\end(casos)\)

   Substitua \(6x-13\) por \(y\) na primeira equação.
   

   \(\begin(cases)13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\end(cases)\)

   A primeira equação tornou-se normal. Nós resolvemos.

   Vamos abrir os parênteses primeiro.
   

   \(\begin(casos)13x+54x-117=17\\y=6x-13\end(casos)\)

   Vamos mover \(117\) para a direita e dar termos semelhantes.

   \(\begin(casos)67x=134\\y=6x-13\end(casos)\)

   Divida ambos os lados da primeira equação por \(67\).

   \(\begin(cases)x=2\\y=6x-13\end(cases)\)

   Viva, encontramos \(x\)! Substitua seu valor na segunda equação e encontre \(y\).

   \(\begin(cases)x=2\\y=12-13\end(cases)\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin(cases)x=2\\y=-1\end(cases )\)

   Vamos anotar a resposta.

Vamos analisar dois tipos de resolução de sistemas de equações:

1. Solução do sistema pelo método de substituição.
2. Solução do sistema por adição termo a termo (subtração) das equações do sistema.

Para resolver o sistema de equações método de substituição você precisa seguir um algoritmo simples:
1. Expressamos. De qualquer equação, expressamos uma variável.
2. Substituto. Substituímos em outra equação ao invés da variável expressa, o valor resultante.
3. Resolvemos a equação resultante com uma variável. Encontramos uma solução para o sistema.

Resolver sistema por adição termo a termo (subtração) necessidade:
1. Selecione uma variável para a qual faremos os mesmos coeficientes.
2. Adicionamos ou subtraímos as equações, como resultado obtemos uma equação com uma variável.
3. Resolvemos a equação linear resultante. Encontramos uma solução para o sistema.

A solução do sistema são os pontos de interseção dos gráficos da função.

Vamos considerar em detalhes a solução de sistemas usando exemplos.

Exemplo 1:

Vamos resolver pelo método de substituição

Resolvendo o sistema de equações pelo método de substituição

2x+5y=1 (1 equação)
x-10y=3 (2ª equação)

1. Expresso
Pode-se ver que na segunda equação existe uma variável x com um coeficiente de 1, portanto, é mais fácil expressar a variável x a partir da segunda equação.
x=3+10y

2. Depois de expressar, substituímos 3 + 10y na primeira equação em vez da variável x.
2(3+10ano)+5ano=1

3. Resolvemos a equação resultante com uma variável.
2(3+10y)+5y=1 (colchetes abertos)
6+20anos+5anos=1
25 anos = 1-6
25ano=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

A solução do sistema de equações são os pontos de interseção dos gráficos, portanto precisamos encontrar x e y, pois o ponto de interseção consiste em x e y. Vamos encontrar x, no primeiro parágrafo onde expressamos substituímos y ali.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

É costume escrever pontos em primeiro lugar, escrevemos a variável x e, em segundo lugar, a variável y.
Resposta: (1; -0,2)

Exemplo #2:

Vamos resolver por adição termo a termo (subtração).

Resolvendo um sistema de equações pelo método de adição

3x-2y=1 (1 equação)
2x-3y=-10 (2ª equação)

1. Selecione uma variável, digamos que selecionamos x. Na primeira equação, a variável x tem um coeficiente de 3, na segunda - 2. Precisamos tornar os coeficientes iguais, para isso temos o direito de multiplicar as equações ou dividir por qualquer número. Multiplicamos a primeira equação por 2 e a segunda por 3 e obtemos um coeficiente total de 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Da primeira equação, subtraia a segunda para se livrar da variável x. Resolva a equação linear.
__6x-4y=2

5a=32 | :5
y=6,4

3. Encontre x. Substituímos o y encontrado em qualquer uma das equações, digamos na primeira equação.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

O ponto de interseção será x=4,6; y=6,4
Resposta: (4,6; 6,4)

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Mais confiável do que o método gráfico discutido no parágrafo anterior.

Método de substituição

Usamos este método no 7º ano para resolver sistemas de equações lineares. O algoritmo que foi desenvolvido na 7ª série é bastante adequado para resolver sistemas de duas equações quaisquer (não necessariamente lineares) com duas variáveis ​​xey (claro, as variáveis ​​podem ser denotadas por outras letras, o que não importa). De fato, usamos esse algoritmo na seção anterior, quando o problema de dois dígitos levou a modelo matemático, que é um sistema de equações. Resolvemos este sistema de equações acima pelo método de substituição (veja o exemplo 1 do § 4).

Algoritmo para usar o método de substituição na resolução de um sistema de duas equações com duas variáveis ​​x, y.

1. Expresse y em termos de x de uma equação do sistema.
2. Substitua a expressão resultante em vez de y em outra equação do sistema.
3. Resolva a equação resultante para x.
4. Substitua cada uma das raízes da equação encontrada na terceira etapa em vez de x na expressão de y a x obtida na primeira etapa.
5. Anote a resposta na forma de pares de valores (x; y), que foram encontrados, respectivamente, na terceira e quarta etapas.

4) Substitua cada um dos valores encontrados de y na fórmula x \u003d 5 - Zy. Se então
5) Pares (2; 1) e soluções de um dado sistema de equações.

Resposta: (2; 1);

Método de adição algébrica

Este método, como o método de substituição, é familiar para você no curso de álgebra da 7ª série, onde foi usado para resolver sistemas de equações lineares. Recordemos a essência do método próximo exemplo.

Exemplo 2 Resolver um sistema de equações

Multiplicamos todos os termos da primeira equação do sistema por 3 e deixamos a segunda equação inalterada:
Subtraia a segunda equação do sistema de sua primeira equação:

Como resultado da adição algébrica de duas equações sistema original a equação resultante é mais simples que a primeira e a segunda equações do sistema dado. Com esta equação mais simples, temos o direito de substituir qualquer equação de um determinado sistema, por exemplo, a segunda. Então o sistema de equações dado será substituído por um sistema mais simples:

Este sistema pode ser resolvido pelo método de substituição. Da segunda equação encontramos Substituindo esta expressão em vez de y na primeira equação do sistema, obtemos

Resta substituir os valores encontrados de x na fórmula

Se x = 2 então

Assim, encontramos duas soluções para o sistema:

Método para introdução de novas variáveis

Você se familiarizou com o método de introdução de uma nova variável ao resolver equações racionais com uma variável no curso de álgebra da 8ª série. A essência deste método na resolução de sistemas de equações é a mesma, mas com ponto técnico visão, existem alguns recursos que discutiremos nos exemplos a seguir.

Exemplo 3 Resolver um sistema de equações

Vamos introduzir uma nova variável Então a primeira equação do sistema pode ser reescrita em mais forma simples: Vamos resolver esta equação para a variável t:

Ambos os valores satisfazem a condição e, portanto, são raízes equação racional com variável t. Mas isso significa ou de onde encontramos que x = 2y, ou
Assim, com a ajuda do método de introdução de uma nova variável, conseguimos, por assim dizer, “estratificar” a primeira equação do sistema, que é bastante complexa na aparência, em duas equações mais simples:

x = 2y; e - 2x.

Qual é o próximo? E então cada um dos dois recebeu equações simplesé necessário considerar por sua vez no sistema com a equação x 2 - y 2 \u003d 3, que ainda não lembramos. Em outras palavras, o problema é reduzido a resolver dois sistemas de equações:

É necessário encontrar soluções para o primeiro sistema, o segundo sistema e incluir todos os pares de valores resultantes na resposta. Vamos resolver o primeiro sistema de equações:

Vamos usar o método de substituição, especialmente porque tudo está pronto para isso aqui: substituímos a expressão 2y em vez de x na segunda equação do sistema. Obter

Como x \u003d 2y, encontramos x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 2, respectivamente. Assim, duas soluções para o sistema dado são obtidas: (2; 1) e (-2; -1). Vamos resolver o segundo sistema de equações:

Vamos usar o método de substituição novamente: substituímos a expressão 2x em vez de y na segunda equação do sistema. Obter

Esta equação não tem raízes, o que significa que o sistema de equações não tem soluções. Assim, apenas as soluções do primeiro sistema devem ser incluídas na resposta.

Resposta: (2; 1); (-2;-1).

O método de introdução de novas variáveis ​​na resolução de sistemas de duas equações com duas variáveis ​​é utilizado em duas versões. Primeira opção: uma nova variável é introduzida e utilizada em apenas uma equação do sistema. Foi exatamente o que aconteceu no exemplo 3. A segunda opção: duas novas variáveis ​​são introduzidas e utilizadas simultaneamente em ambas as equações do sistema. Este será o caso do exemplo 4.

Exemplo 4 Resolver um sistema de equações

Vamos introduzir duas novas variáveis:

Aprendemos que então

Isso permitirá que você reescreva este sistema de uma forma muito mais simples, mas em relação às novas variáveis ​​a e b:

Desde a \u003d 1, então da equação a + 6 \u003d 2 encontramos: 1 + 6 \u003d 2; 6=1. Assim, para as variáveis ​​a e b, temos uma solução:

Voltando às variáveis ​​x e y, obtemos o sistema de equações

Para resolver este sistema, aplicamos o método adição algébrica:

Desde então, da equação 2x + y = 3 encontramos:
Assim, para as variáveis ​​x e y, temos uma solução:

Vamos concluir esta seção com uma discussão teórica breve, mas bastante séria. Você já ganhou alguma experiência em resolver várias equações: linear, quadrado, racional, irracional. Você sabe que a ideia principal de resolver uma equação é passar gradualmente de uma equação para outra, mais simples, mas equivalente à dada. Na seção anterior, introduzimos a noção de equivalência para equações com duas variáveis. Este conceito também é usado para sistemas de equações.

Definição.

Dois sistemas de equações com variáveis ​​x e y são considerados equivalentes se tiverem as mesmas soluções ou se ambos os sistemas não tiverem soluções.

Todos os três métodos (substituição, adição algébrica e introdução de novas variáveis) que discutimos nesta seção são absolutamente corretos do ponto de vista da equivalência. Em outras palavras, usando esses métodos, substituímos um sistema de equações por outro, mais simples, mas equivalente ao sistema original.

Método gráfico para resolver sistemas de equações

Já aprendemos como resolver sistemas de equações de maneiras tão comuns e confiáveis ​​como o método de substituição, adição algébrica e a introdução de novas variáveis. E agora vamos relembrar o método que você já estudou na lição anterior. Então, vamos recapitular o que você sabe sobre método gráfico soluções.

Método para resolver sistemas de equações graficamenteé a construção de um gráfico para cada uma das equações específicas que estão incluídas neste sistema e estão em um plano de coordenadas, e também onde é necessário encontrar as interseções dos pontos desses gráficos. Para resolver este sistema de equações são as coordenadas deste ponto (x; y).

Deve-se lembrar que para sistema gráfico equações tendem a ter um único a decisão certa, ou conjunto infinito soluções, ou não têm nenhuma solução.

Agora vamos dar uma olhada em cada uma dessas soluções. E assim, o sistema de equações pode ter única decisão se as linhas, que são os gráficos das equações do sistema, se cruzam. Se essas linhas são paralelas, então esse sistema de equações não tem absolutamente nenhuma solução. No caso da coincidência dos gráficos diretos das equações do sistema, esse sistema permite encontrar muitas soluções.

Bem, agora vamos dar uma olhada no algoritmo para resolver um sistema de duas equações com 2 incógnitas usando um método gráfico:

Primeiramente, construímos um gráfico da 1ª equação;
O segundo passo será traçar um gráfico que se relacione com a segunda equação;
Em terceiro lugar, precisamos encontrar os pontos de interseção dos gráficos.
E como resultado, obtemos as coordenadas de cada ponto de interseção, que será a solução do sistema de equações.

Vejamos esse método com mais detalhes com um exemplo. Temos um sistema de equações a ser resolvido:

Resolvendo equações

1. Primeiro, vamos construir um cronograma dada equação: x2+y2=9.

Mas deve-se notar que este gráfico de equações será um círculo centrado na origem, e seu raio será igual a três.

2. Nosso próximo passo será traçar uma equação como: y = x - 3.

Neste caso, devemos construir uma reta e encontrar os pontos (0;−3) e (3;0).

3. Vamos ver o que temos. Vemos que a linha intercepta o círculo em dois de seus pontos A e B.

Agora estamos procurando as coordenadas desses pontos. Vemos que as coordenadas (3;0) correspondem ao ponto A, e as coordenadas (0;−3) correspondem ao ponto B.

E o que obtemos como resultado?

Os números (3;0) e (0;−3) obtidos na interseção de uma reta com um círculo são exatamente as soluções de ambas as equações do sistema. E disso segue-se que esses números também são soluções desse sistema de equações.

Ou seja, a resposta desta solução são os números: (3;0) e (0;−3).

Sistemas de equações recebidos ampla aplicação no setor econômico modelagem matemática vários processos. Por exemplo, ao resolver problemas de gestão e planejamento da produção, rotas logísticas (problema de transporte) ou colocação de equipamentos.

Os sistemas de equações são usados ​​não apenas no campo da matemática, mas também na física, química e biologia, ao resolver problemas de encontrar o tamanho da população.

Um sistema de equações lineares é um termo para duas ou mais equações com várias variáveis ​​para as quais é necessário encontrar uma solução comum. Tal sequência de números para os quais todas as equações se tornam verdadeiras igualdades ou provam que a sequência não existe.

Equação linear

Equações da forma ax+by=c são chamadas lineares. As designações x, y são as incógnitas, cujo valor deve ser encontrado, b, a são os coeficientes das variáveis, c é o termo livre da equação.
Resolver a equação traçando seu gráfico parecerá uma linha reta, todos os pontos dos quais são a solução do polinômio.

Tipos de sistemas de equações lineares

Os mais simples são exemplos de sistemas de equações lineares com duas variáveis ​​X e Y.

F1(x, y) = 0 e F2(x, y) = 0, onde F1,2 são funções e (x, y) são variáveis ​​de função.

Resolver um sistema de equações - significa encontrar tais valores (x, y) para os quais o sistema se torna uma verdadeira igualdade, ou estabelecer que não existem valores adequados de x e y.

Um par de valores (x, y), escrito como coordenadas de ponto, é chamado de solução para um sistema de equações lineares.

Se os sistemas têm uma solução comum ou não há solução, eles são chamados de equivalentes.

Sistemas homogêneos de equações lineares são sistemas parte direita que é igual a zero. Se a parte direita após o sinal de "igual" tiver um valor ou for expressa por uma função, esse sistema não é homogêneo.

O número de variáveis ​​pode ser muito mais do que dois, então devemos falar sobre um exemplo de um sistema de equações lineares com três variáveis ​​ou mais.

Diante dos sistemas, os escolares assumem que o número de equações deve necessariamente coincidir com o número de incógnitas, mas não é assim. O número de equações no sistema não depende das variáveis, pode haver um número arbitrariamente grande delas.

Métodos simples e complexos para resolver sistemas de equações

Não há comum Método Analítico soluções de sistemas semelhantes, todos os métodos são baseados em soluções numéricas. O curso de matemática escolar descreve em detalhes métodos como permutação, adição algébrica, substituição, bem como o método gráfico e matricial, a solução pelo método de Gauss.

A principal tarefa no ensino de métodos de resolução é ensinar como analisar corretamente o sistema e encontrar algoritmo ideal soluções para cada exemplo. O principal não é memorizar um sistema de regras e ações para cada método, mas entender os princípios de aplicação de um método específico.

Resolução de exemplos de sistemas de equações lineares da 7ª aula do programa Ensino Médio bastante simples e explicado em grande detalhe. Em qualquer livro de matemática, esta seção recebe atenção suficiente. A solução de exemplos de sistemas de equações lineares pelo método de Gauss e Cramer é estudada com mais detalhes nos primeiros cursos das instituições de ensino superior.

Solução de sistemas pelo método de substituição

As ações do método de substituição visam expressar o valor de uma variável por meio da segunda. A expressão é substituída na equação restante e, em seguida, é reduzida a uma única forma de variável. A ação é repetida dependendo do número de incógnitas no sistema

Vamos dar um exemplo de um sistema de equações lineares da 7ª classe pelo método de substituição:

Como pode ser visto no exemplo, a variável x foi expressa através de F(X) = 7 + Y. A expressão resultante, substituída na 2ª equação do sistema no lugar de X, ajudou a obter uma variável Y na 2ª equação . Decisão este exemplo não causa dificuldades e permite obter o valor Y. O último passo é verificar os valores recebidos.

Nem sempre é possível resolver um exemplo de sistema de equações lineares por substituição. As equações podem ser complexas e a expressão da variável em termos da segunda incógnita será muito complicada para cálculos posteriores. Quando há mais de 3 incógnitas no sistema, a solução de substituição também é impraticável.

Solução de um exemplo de um sistema de equações lineares não homogêneas:

Solução usando adição algébrica

Ao procurar uma solução para sistemas pelo método de adição, adição de termos e multiplicação de equações por vários números. objetivo final operações matemáticasé uma equação com uma variável.

Para aplicativos este métodoé preciso prática e observação. Não é fácil resolver um sistema de equações lineares usando o método de adição com o número de variáveis ​​3 ou mais. A adição algébrica é útil quando as equações contêm frações e números decimais.

Algoritmo de ação da solução:

1. Multiplique ambos os lados da equação por algum número. Como resultado operação aritmética um dos coeficientes da variável deve se tornar igual a 1.
2. Some a expressão resultante termo a termo e encontre uma das incógnitas.
3. Substitua o valor resultante na 2ª equação do sistema para encontrar a variável restante.

Método de solução introduzindo uma nova variável

Uma nova variável pode ser introduzida se o sistema precisar encontrar uma solução para não mais que duas equações, o número de incógnitas também não deve ser maior que duas.

O método é usado para simplificar uma das equações introduzindo uma nova variável. A nova equação é resolvida em relação à incógnita inserida e o valor resultante é usado para determinar a variável original.

O exemplo mostra que ao introduzir uma nova variável t, foi possível reduzir a 1ª equação do sistema ao padrão trinômio quadrado. Você pode resolver um polinômio encontrando o discriminante.

É necessário encontrar o valor do discriminante por fórmula conhecida: D = b2 - 4*a*c, onde D é o discriminante desejado, b, a, c são os multiplicadores do polinômio. NO dado exemplo a=1, b=16, c=39, portanto D=100. Se o discriminante for maior que zero, então existem duas soluções: t = -b±√D / 2*a, se o discriminante menos que zero, então há apenas uma solução: x= -b / 2*a.

A solução para os sistemas resultantes é encontrada pelo método de adição.

Um método visual para resolver sistemas

Adequado para sistemas com 3 equações. O método consiste em construir eixo coordenado gráficos de cada equação incluída no sistema. As coordenadas dos pontos de intersecção das curvas e serão solução comum sistemas.

O método gráfico tem várias nuances. Considere vários exemplos de resolução de sistemas de equações lineares de forma visual.

Como pode ser visto no exemplo, foram construídos dois pontos para cada linha, os valores da variável x foram escolhidos arbitrariamente: 0 e 3. Com base nos valores de x, foram encontrados os valores para y: 3 e 0. Pontos com coordenadas (0, 3) e (3, 0) foram marcados no gráfico e conectados por uma linha.

Os passos devem ser repetidos para a segunda equação. O ponto de intersecção das linhas é a solução do sistema.

O exemplo a seguir precisa encontrar solução gráfica sistemas de equações lineares: 0,5x-y+2=0 e 0,5x-y-1=0.

Como pode ser visto no exemplo, o sistema não tem solução, porque os gráficos são paralelos e não se cruzam ao longo de todo o seu comprimento.

Os sistemas dos Exemplos 2 e 3 são semelhantes, mas quando construídos, torna-se óbvio que suas soluções são diferentes. Deve-se lembrar que nem sempre é possível dizer se o sistema tem solução ou não, é sempre necessário construir um grafo.

Matrix e suas variedades

As matrizes são usadas para abreviação sistemas de equações lineares. Uma tabela é chamada de matriz. tipo especial cheio de números. n*m tem n - linhas e m - colunas.

Uma matriz é quadrada quando o número de colunas e linhas é igual. Um vetor-matriz é uma matriz de coluna única com um número infinitamente possível de linhas. Matriz com unidades ao longo de uma das diagonais e outras zero elementos chamado singular.

Uma matriz inversa é uma tal matriz, quando multiplicada pela qual a original se transforma em uma unidade, tal matriz existe apenas para o quadrado original.

Regras para transformar um sistema de equações em uma matriz

No que diz respeito aos sistemas de equações, os coeficientes e membros livres das equações são escritos como números da matriz, uma equação é uma linha da matriz.

Uma linha da matriz é chamada diferente de zero se pelo menos um elemento da linha não for zero. Portanto, se em qualquer uma das equações o número de variáveis ​​for diferente, é necessário inserir zero no lugar da incógnita ausente.

As colunas da matriz devem corresponder estritamente às variáveis. Isso significa que os coeficientes da variável x só podem ser escritos em uma coluna, por exemplo na primeira, o coeficiente da incógnita y - apenas na segunda.

Ao multiplicar uma matriz, todos os elementos da matriz são multiplicados sequencialmente por um número.

Opções para encontrar a matriz inversa

A fórmula para encontrar a matriz inversa é bastante simples: K -1 = 1 / |K|, onde K -1 - matriz inversa, e |K| - determinante matricial. |K| não deve ser igual a zero, então o sistema tem solução.

O determinante é facilmente calculado para uma matriz de dois por dois, bastando apenas multiplicar os elementos diagonalmente um pelo outro. Para a opção "três por três", existe uma fórmula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Você pode usar a fórmula ou lembrar que precisa pegar um elemento de cada linha e cada coluna para que os números de coluna e linha dos elementos não se repitam no produto.

Solução de exemplos de sistemas de equações lineares pelo método matricial

O método matricial de encontrar uma solução permite reduzir notações complicadas ao resolver sistemas com grande quantidade variáveis ​​e equações.

No exemplo, a nm são os coeficientes das equações, a matriz é um vetor x n são as variáveis ​​e b n são os termos livres.

Solução de sistemas pelo método de Gauss

NO matemática superior o método de Gauss é estudado em conjunto com o método de Cramer, e o processo de encontrar uma solução para sistemas é chamado de método de solução de Gauss-Cramer. Esses métodos são usados ​​para encontrar variáveis ​​do sistema com muitas equações lineares.

O método gaussiano é muito semelhante às soluções de substituição e adição algébrica, mas é mais sistemático. No curso escolar, a solução gaussiana é usada para sistemas de 3 e 4 equações. O objetivo do método é trazer o sistema para a forma de um trapézio invertido. maneira transformações algébricas e substituições é o valor de uma variável em uma das equações do sistema. A segunda equação é uma expressão com 2 incógnitas e 3 e 4 - com 3 e 4 variáveis, respectivamente.

Depois de trazer o sistema para a forma descrita, a solução adicional é reduzida à substituição sequencial de variáveis ​​conhecidas nas equações do sistema.

NO livros escolares para o grau 7, um exemplo de solução pelo método de Gauss é descrito a seguir:

Como pode ser visto no exemplo, na etapa (3) foram obtidas duas equações 3x 3 -2x 4 =11 e 3x 3 +2x 4 =7. A solução de qualquer uma das equações permitirá que você descubra uma das variáveis ​​x n.

O teorema 5, mencionado no texto, diz que se uma das equações do sistema for substituída por uma equivalente, o sistema resultante também será equivalente ao original.

O método de Gauss é difícil para os alunos entenderem ensino médio, mas é um dos mais maneiras interessantes desenvolver a engenhosidade das crianças inscritas no programa estudo aprofundado nas aulas de matemática e física.

Para facilitar o registro dos cálculos, é costume fazer o seguinte:

Coeficientes de equação e termos livres são escritos na forma de uma matriz, onde cada linha da matriz corresponde a uma das equações do sistema. separa o lado esquerdo da equação do lado direito. Os algarismos romanos denotam o número de equações no sistema.

Primeiro, eles escrevem a matriz com a qual trabalhar, depois todas as ações realizadas com uma das linhas. A matriz resultante é escrita após o sinal de "seta" e continua a realizar as necessárias ações algébricas até que o resultado seja alcançado.

Como resultado, deve-se obter uma matriz na qual uma das diagonais é 1 e todos os outros coeficientes são iguais a zero, ou seja, a matriz é reduzida a uma única forma. Não devemos esquecer de fazer cálculos com os números de ambos os lados da equação.

Essa notação é menos complicada e permite que você não se distraia listando inúmeras incógnitas.

A aplicação gratuita de qualquer método de solução exigirá cuidado e certa experiência. Nem todos os métodos são aplicados. Algumas formas de encontrar soluções são mais preferíveis em uma determinada área da atividade humana, enquanto outras existem para fins de aprendizado.