Notă. Acest material conține teorema și demonstrația acesteia, precum și o serie de probleme care ilustrează aplicarea teoremei asupra sumei unghiurilor unui poligon convex pe exemple practice.

Teorema sumei unghiului poligonului convex

.

Dovada.

Pentru a demonstra teorema asupra sumei unghiurilor unui poligon convex, folosim teorema deja dovedită conform căreia suma unghiurilor unui triunghi este de 180 de grade.

Fie dat A 1 A 2... A n poligon convex, și n > 3. Desenați toate diagonalele poligonului din vârful A 1. Îl împart în n – 2 triunghiuri: Δ A 1 A 2 A 3, Δ A 1 A 3 A 4, ... , Δ A 1 A n – 1 A n . Suma unghiurilor poligonului este aceeași cu suma unghiurilor tuturor acestor triunghiuri. Suma unghiurilor fiecărui triunghi este 180°, iar numărul triunghiurilor este (n - 2). Prin urmare, suma unghiurilor unui n-gon convex A 1 A 2... A n este de 180° (n – 2).

Sarcină.

Într-un poligon convex, trei unghiuri sunt de 80 de grade, iar restul sunt de 150 de grade. Câte colțuri sunt într-un poligon convex?

Decizie.

Teorema spune: Pentru un n-gon convex, suma unghiurilor este 180°(n-2) .

Deci, pentru cazul nostru:

180(n-2)=3*80+x*150, unde

3 unghiuri de 80 de grade ne sunt date în funcție de starea problemei, iar numărul altor unghiuri ne este încă necunoscut, așa că notăm numărul lor cu x.

Cu toate acestea, din intrarea din partea stângă, am determinat numărul de colțuri ale poligonului ca n, deoarece știm valorile a trei dintre ele din starea problemei, este evident că x=n-3.

Deci ecuația va arăta astfel:

180(n-2)=240+150(n-3)

Rezolvăm ecuația rezultată

180n - 360 = 240 + 150n - 450

180n - 150n = 240 + 360 - 450

Răspuns: 5 vârfuri

Sarcină.

Câte vârfuri poate avea un poligon dacă fiecare unghi este mai mic de 120 de grade?

Decizie.

Pentru a rezolva această problemă, folosim teorema privind suma unghiurilor unui poligon convex.

Teorema spune: Pentru un n-gon convex, suma tuturor unghiurilor este 180°(n-2) .

Prin urmare, pentru cazul nostru, este necesar să se estimeze mai întâi condițiile la limită ale problemei. Adică, presupuneți că fiecare dintre unghiuri este egal cu 120 de grade. Primim:

180n - 360 = 120n

180n - 120n = 360 (vom lua în considerare această expresie separat mai jos)

Pe baza ecuației obținute, concluzionăm: când unghiurile sunt mai mici de 120 de grade, numărul de colțuri ale poligonului este mai mic de șase.

Explicaţie:

Pe baza expresiei 180n - 120n = 360, cu condiția ca partea dreaptă scăzută să fie mai mică de 120n, diferența ar trebui să fie mai mare de 60n. Astfel, coeficientul de împărțire va fi întotdeauna mai mic de șase.

Răspuns: numărul vârfurilor poligonului va fi mai mic de șase.

Sarcină

Un poligon are trei unghiuri de 113 grade, iar restul sunt egale între ele și cu ele măsura gradului este un număr întreg. Aflați numărul de vârfuri ale poligonului.

Decizie.

Pentru a rezolva această problemă, folosim teorema privind suma unghiurilor externe ale unui poligon convex.

Teorema spune: Pentru un n-gon convex, suma tuturor unghiurilor exterioare este 360° .

Prin urmare,

3*(180-113)+(n-3)x=360

partea dreaptă a expresiei este suma unghiurilor exterioare, în partea stângă suma celor trei unghiuri este cunoscută după condiție, iar gradul de măsură a restului (numărul lor, respectiv, n-3, deoarece trei unghiuri sunt cunoscut) se notează cu x.

159 este descompus doar în doi factori 53 și 3, iar 53 este un număr prim. Adică nu există alte perechi de factori.

Astfel, n-3 = 3, n=6, adică numărul de colțuri ale poligonului este șase.

Răspuns: șase colțuri

Sarcină

Demonstrați că un poligon convex poate avea cel mult trei colțuri ascuțite.

Decizie

După cum știți, suma unghiurilor externe ale unui poligon convex este 360 ​​0 . Să demonstrăm prin contradicție. Dacă un poligon convex are cel puțin patru acute colțurile interne, prin urmare, printre unghiurile sale externe există cel puțin patru obtuze, ceea ce presupune că suma tuturor unghiurilor externe ale poligonului este mai mare decât 4*90 0 = 360 0 . Avem o contradicție. Afirmația a fost dovedită.

Suma unghiurilor unei teoreme n-gon. Suma unghiurilor unui n-gon convex este 180 o (n-2). Dovada. Dintr-un vârf al unui n-gon convex tragem toate diagonalele acestuia. Apoi n-gonul se va rupe în n-2 triunghiuri. În fiecare triunghi, suma unghiurilor este 180 o, iar aceste unghiuri alcătuiesc unghiurile n-gonului. Prin urmare, suma unghiurilor unui n-gon este 180 o (n-2).

A doua metodă de demonstrare Teorema. Suma unghiurilor unui n-gon convex este 180 o (n-2). Dovada 2. Fie O unele punct interior convex n-gon A 1 …A n. Conectați-l la vârfurile acestui poligon. Apoi n-gonul va fi împărțit în n triunghiuri. În fiecare triunghi, suma unghiurilor este de 180 o. Aceste unghiuri alcătuiesc unghiurile n-gonului și alte 360 ​​o. Prin urmare, suma unghiurilor unui n-gon este 180 o (n-2).

Exercițiul 3 Demonstrați că suma unghiurilor exterioare ale unui n-gon convex este 360 ​​o. Dovada. Unghiul exterior al unui poligon convex este de 180° minus unghiul interior corespunzător. Prin urmare, suma unghiurilor exterioare ale unui n-gon convex este 180 o n minus suma unghiurilor interioare. Deoarece suma unghiurilor interne ale unui n-gon convex este 180 o (n-2), atunci suma unghiurilor externe va fi 180 o n o (n-2) = 360 o.

Exerciţiul 4 Care sunt unghiurile unui regulat: a) triunghi; b) patrulater; c) un pentagon; d) hexagon; e) un octogon; e) decagon; g) un dodecagon? Răspuns: a) 60 o; b) 90 o; c) 108 o; d) 120 o; e) 135 o; f) 144 o; g) 150 o.

Exercițiul 12* Ce cel mai mare număr poate un n-gon convex să aibă colțuri ascuțite? Decizie. Deoarece suma unghiurilor externe ale unui poligon convex este 360 ​​o, atunci un poligon convex nu poate avea mai mult de trei colțuri obtuze, prin urmare, nu poate avea mai mult de trei unghiuri acute interne. Răspuns. 3.

Aceste forme geometrice ne înconjoară peste tot. Poligoanele convexe sunt naturale, cum ar fi fagurii de miere, sau artificiale (facute de om). Aceste cifre sunt folosite în producție diferite feluri acoperiri, în pictură, arhitectură, decorare etc. Poligoanele convexe au proprietatea că toate punctele lor sunt de aceeași parte a unei linii care trece printr-o pereche de vârfuri adiacente ale acestei drepte. figură geometrică. Există și alte definiții. Un poligon se numește convex dacă este situat într-un singur semiplan în raport cu orice dreaptă care conține una dintre laturile sale.

În cursul geometriei elementare, numai poligoane simple sunt întotdeauna luate în considerare. Pentru a înțelege toate proprietățile acestora, este necesar să înțelegem natura lor. Pentru început, trebuie înțeles că orice linie se numește închisă, ale cărei capete coincid. Mai mult, figura formată de acesta poate avea o varietate de configurații. Un poligon este o linie întreruptă închisă simplă, în care legăturile învecinate nu sunt situate pe aceeași linie dreaptă. Legăturile și vârfurile sale sunt, respectiv, laturile și vârfurile acestei figuri geometrice. O polilinie simplă nu trebuie să aibă auto-intersecții.

Vârfurile unui poligon se numesc adiacente dacă reprezintă capetele uneia dintre laturile sale. O figură geometrică care are al n-lea număr vârfuri și, prin urmare a n-a cantitate laturile se numește n-gon. Linia întreruptă în sine se numește marginea sau conturul acestei figuri geometrice. Un plan poligonal sau un poligon plat se numește partea de capăt a oricărui plan delimitat de acesta. Laturile adiacente ale acestei figuri geometrice se numesc segmente ale unei linii întrerupte care emană dintr-un vârf. Ele nu vor fi adiacente dacă provin din vârfuri diferite ale poligonului.

Alte definiții ale poligoanelor convexe

În geometria elementară, există mai multe definiții echivalente care indică poligonul numit convex. Mai mult, toate aceste expresii acelasi grad sunt adevărate. Un poligon convex este unul care are:

Fiecare segment de linie care leagă oricare două puncte din el se află în întregime în el;

Toate diagonalele sale se află în interiorul ei;

Orice unghi intern nu depășește 180°.

Un poligon împarte întotdeauna un plan în 2 părți. Una dintre ele este limitată (poate fi închisă într-un cerc), iar cealaltă este nelimitată. Prima se numește regiunea interioară, iar a doua este regiunea exterioară a acestei figuri geometrice. Acest poligon este o intersecție (cu alte cuvinte, o componentă comună) a mai multor semiplane. Mai mult, fiecare segment care are capete în puncte care aparțin poligonului îi aparține complet.

Varietăți de poligoane convexe

Definiția unui poligon convex nu indică faptul că există multe tipuri de ele. Și fiecare dintre ele are anumite criterii. Deci, poligoanele convexe care au un unghi interior de 180° se numesc slab convexe. O figură geometrică convexă care are trei vârfuri se numește triunghi, patru - un patrulater, cinci - un pentagon etc. Fiecare dintre n-gonurile convexe corespunde următoarelor cerință esențială: n trebuie să fie egal sau mai mare decât 3. Fiecare dintre triunghiuri este convex. Figura geometrică de acest tip, în care toate vârfurile sunt situate pe același cerc, se numește înscris în cerc. Un poligon convex se numește circumscris dacă toate laturile sale din apropierea cercului îl ating. Se spune că două poligoane sunt egale numai dacă pot fi suprapuse prin suprapunere. Poligon plat numit plan poligonal (parte a planului), care este limitat de această figură geometrică.

Poligoane convexe regulate

Poligoanele regulate sunt forme geometrice cu unghiuri egale si petreceri. În interiorul lor există un punct 0, care se află la aceeași distanță de fiecare dintre vârfurile sale. Se numește centrul acestei figuri geometrice. Segmentele care leagă centrul de vârfurile acestei figuri geometrice se numesc apoteme, iar cele care leagă punctul 0 cu laturile se numesc raze.

Un patrulater regulat este un pătrat. triunghi dreptunghic numit echilateral. Pentru astfel de cifre, există următoarea regulă: fiecare unghi al unui poligon convex este de 180° * (n-2)/ n,

unde n este numărul de vârfuri ale acestei figuri geometrice convexe.

Zona oricărui poligon regulat determinat de formula:

unde p este egal cu jumătate din suma tuturor laturilor poligonului dat, iar h este egal cu lungimea apotemului.

Proprietățile poligoanelor convexe

Poligoanele convexe au anumite proprietăți. Deci, un segment care conectează oricare 2 puncte ale unei astfel de figuri geometrice este în mod necesar situat în el. Dovada:

Să presupunem că P este un poligon convex dat. Luam 2 puncte arbitrare, de exemplu, A, B, care aparțin lui R. By definiția existentă ale unui poligon convex, aceste puncte sunt situate pe o parte a dreptei, care conține orice latură P. Prin urmare, AB are și această proprietate și este conținut în P. Un poligon convex poate fi întotdeauna împărțit în mai multe triunghiuri de absolut toate diagonalele. desenat dintr-unul dintre vârfurile sale.

Unghiurile formelor geometrice convexe

Colțurile unui poligon convex sunt colțurile care sunt formate de laturile sale. Colțurile interioare sunt în regiune interioara această figură geometrică. Unghiul care este format de laturile sale care converg la un vârf se numește unghiul unui poligon convex. cu unghiuri interne ale unei figuri geometrice date se numesc externe. Fiecare colț al unui poligon convex situat în interiorul acestuia este egal cu:

unde x este valoarea unghiului exterior. Acest formulă simplă se aplică oricăror forme geometrice de acest tip.

LA caz general, pentru colturile exterioare exista urmatoarea regula: fiecare unghi al unui poligon convex este egal cu diferența dintre 180° și valoarea unghiului interior. Poate avea valori cuprinse între -180° și 180°. Prin urmare, când unghiul interior este de 120°, unghiul exterior va fi de 60°.

Suma unghiurilor poligoanelor convexe

Suma unghiurilor interioare ale unui poligon convex este determinată de formula:

unde n este numărul de vârfuri ale n-gonului.

Suma unghiurilor unui poligon convex este destul de ușor de calculat. Luați în considerare orice astfel de figură geometrică. Pentru a determina suma unghiurilor din interiorul unui poligon convex, unul dintre vârfurile acestuia trebuie să fie conectat la alte vârfuri. În urma acestei acțiuni, se obțin (n-2) triunghiuri. Știm că suma unghiurilor oricărui triunghi este întotdeauna 180°. Deoarece numărul lor în orice poligon este (n-2), suma unghiurilor interioare ale unei astfel de figuri este 180° x (n-2).

Suma unghiurilor unui poligon convex, și anume oricare două unghiuri interne și externe adiacente, pentru o anumită figură geometrică convexă va fi întotdeauna de 180°. Pe baza acestui lucru, puteți determina suma tuturor unghiurilor sale:

Suma unghiurilor interioare este 180° * (n-2). Pe baza acestui fapt, suma tuturor unghiurilor externe ale unei figuri date este determinată de formula:

180° * n-180°-(n-2)= 360°.

Suma unghiurilor exterioare ale oricărui poligon convex va fi întotdeauna 360° (indiferent de numărul de laturi).

Unghiul exterior al unui poligon convex este în general reprezentat de diferența dintre 180° și unghiul interior.

Alte proprietăți ale unui poligon convex

Pe lângă proprietățile de bază ale acestor forme geometrice, ele au și altele care apar la manipularea lor. Deci, oricare dintre poligoane poate fi împărțit în mai multe n-gonuri convexe. Pentru a face acest lucru, este necesar să continuați fiecare dintre laturile sale și să tăiați această figură geometrică de-a lungul acestor linii drepte. De asemenea, este posibil să împărțiți orice poligon în mai multe părți convexe, astfel încât vârfurile fiecărei piese să coincidă cu toate vârfurile sale. Dintr-o astfel de figură geometrică, triunghiurile pot fi făcute foarte simplu prin desenarea tuturor diagonalelor dintr-un vârf. Astfel, orice poligon poate fi în cele din urmă împărțit într-un anumit număr de triunghiuri, ceea ce se dovedește a fi foarte util în rezolvarea diverse sarcini asociate cu astfel de forme geometrice.

Perimetrul unui poligon convex

Segmentele unei linii întrerupte, numite laturile unui poligon, sunt cel mai adesea indicate prin următoarele litere: ab, bc, cd, de, ea. Acestea sunt laturile unei figuri geometrice cu vârfurile a, b, c, d, e. Suma lungimilor tuturor laturilor acestui poligon convex se numește perimetrul său.

Cercul poligon

Poligoanele convexe pot fi înscrise și circumscrise. Un cerc care atinge toate laturile acestei figuri geometrice se numește înscris în el. Un astfel de poligon se numește circumscris. Centrul unui cerc care este înscris într-un poligon este punctul de intersecție al bisectoarelor tuturor unghiurilor dintr-o figură geometrică dată. Aria unui astfel de poligon este:

unde r este raza cercului înscris și p este semiperimetrul poligonului dat.

Un cerc care conține vârfurile unui poligon se numește circumscris în jurul lui. Mai mult, această figură geometrică convexă se numește înscrisă. Centrul cercului, care este circumscris unui astfel de poligon, este punctul de intersecție al așa-numitelor bisectoare perpendiculare ale tuturor laturilor.

Diagonalele formelor geometrice convexe

Diagonalele unui poligon convex sunt segmente de linie care se conectează vârfuri învecinate. Fiecare dintre ele se află în interiorul acestei figuri geometrice. Numărul de diagonale ale unui astfel de n-gon este determinat de formula:

N = n (n - 3) / 2.

Numărul de diagonale ale unui poligon convex este rol importantîn geometria elementară. Numărul de triunghiuri (K) în care poate fi împărțit fiecare poligon convex se calculează cu următoarea formulă:

Numărul de diagonale ale unui poligon convex depinde întotdeauna de numărul vârfurilor acestuia.

Împărțirea unui poligon convex

În unele cazuri, de rezolvat probleme geometrice este necesară împărțirea unui poligon convex în mai multe triunghiuri cu diagonale care nu se intersectează. Această problemă poate fi rezolvată prin derivarea unei formule specifice.

Definiția problemei: să numim o împărțire corectă a unui n-gon convex în mai multe triunghiuri prin diagonale care se intersectează doar la vârfurile acestei figuri geometrice.

Rezolvare: Să presupunem că Р1, Р2, Р3 …, Pn sunt vârfuri ale acestui n-gon. Numărul Xn este numărul partițiilor sale. Să luăm în considerare cu atenție diagonala rezultată a figurii geometrice Pi Pn. În oricare dintre partițiile obișnuite P1 Pn aparține unui anumit triunghi P1 Pi Pn, care are 1

Fie i = 2 un grup de partiții regulate care conține întotdeauna diagonala Р2 Pn. Numărul de partiții incluse în el coincide cu numărul de partiții ale (n-1)-gon Р2 Р3 Р4… Pn. Cu alte cuvinte, este egal cu Xn-1.

Dacă i = 3, atunci acest alt grup de partiții va conține întotdeauna diagonalele P3 P1 și P3 Pn. În acest caz, numărul de partiții obișnuite conținute în acest grup va coincide cu numărul de partiții ale (n-2)-gon Р3 Р4... Pn. Cu alte cuvinte, va fi egal cu Xn-2.

Fie i = 4, atunci dintre triunghiuri o partiție obișnuită va conține cu siguranță un triunghi P1 P4 Pn, căruia i se va alătura patrulaterul P1 P2 P3 P4, (n-3)-gon P4 P5 ... Pn. Numărul de partiții regulate ale unui astfel de patrulater este X4, iar numărul de partiții ale unui (n-3)-gon este Xn-3. Pe baza celor de mai sus, putem spune că numărul total de partiții corecte conținute în acest grup este Xn-3 X4. Alte grupuri pentru care i = 4, 5, 6, 7... vor conține Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7... partiții obișnuite.

Fie i = n-2, atunci numărul de partiții corecte din acest grup va fi același cu numărul de partiții din grupul în care i=2 (cu alte cuvinte, este egal cu Xn-1).

Deoarece X1 = X2 = 0, X3=1, X4=2..., atunci numărul tuturor partițiilor unui poligon convex este egal cu:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + ... + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14

X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

Numărul de partiții regulate care intersectează o diagonală în interior

Când se verifică cazuri speciale, se poate ajunge la ipoteza că numărul de diagonale ale n-gonurilor convexe este egal cu produsul tuturor partițiilor acestei figuri cu (n-3).

Dovada acestei presupuneri: imaginați-vă că P1n = Xn * (n-3), atunci orice n-gon poate fi împărțit în (n-2)-triunghiuri. Mai mult, un (n-3)-cuadrilateral poate fi compus din ele. Odată cu aceasta, fiecare patrulater va avea o diagonală. Deoarece două diagonale pot fi desenate în această figură geometrică convexă, aceasta înseamnă că diagonale suplimentare (n-3) pot fi desenate în orice (n-3)-cuadrilaterale. Pe baza acestui lucru, putem concluziona că în orice partiție obișnuită este posibil să se deseneze (n-3) diagonale care îndeplinesc condițiile acestei probleme.

Aria poligoanelor convexe

Adesea, atunci când se rezolvă diverse probleme de geometrie elementară, devine necesar să se determine aria unui poligon convex. Să presupunem că (Xi. Yi), i = 1,2,3... n este succesiunea de coordonate a tuturor vârfurilor învecinate ale unui poligon care nu are auto-intersecții. În acest caz, aria sa este calculată prin următoarea formulă:

S = ½ (∑ (X i + X i + 1) (Y i + Y i + 1)),

unde (X 1, Y 1) = (X n +1, Y n + 1).

În cursul de geometrie de bază, se demonstrează că suma unghiurilor unui n-gon convex este de 180° (n-2). Se pare că această afirmație este valabilă și pentru poligoane neconvexe.

Teorema 3. Suma unghiurilor unui n-gon arbitrar este 180° (n - 2).

Dovada. Să împărțim poligonul în triunghiuri desenând diagonale (Fig. 11). Numărul acestor triunghiuri este n-2, iar în fiecare triunghi suma unghiurilor este de 180°. Deoarece unghiurile triunghiurilor sunt unghiurile poligonului, suma unghiurilor poligonului este 180° (n - 2).

Să luăm acum în considerare linii întrerupte închise arbitrare, posibil cu auto-intersecții A1A2…AnA1 (Fig. 12, a). Astfel de linii întrerupte auto-intersectate vor fi numite poligoane în formă de stea (Fig. 12, b-d).

Să fixăm direcția de numărare a unghiurilor în sens invers acelor de ceasornic. Rețineți că unghiurile formate de o polilinie închisă depind de direcția în care este parcursă. Dacă direcția ocolirii polilinei este inversată, atunci unghiurile poligonului vor fi unghiurile care completează unghiurile poligonului original până la 360°.

Dacă M este un poligon format dintr-o linie întreruptă închisă simplă care trece în sensul acelor de ceasornic (Fig. 13, a), atunci suma unghiurilor acestui poligon va fi egală cu 180 ° (n - 2). Dacă linia întreruptă este trecută în sens invers acelor de ceasornic (Fig. 13, b), atunci suma unghiurilor va fi egală cu 180 ° (n + 2).

Astfel, formula generală pentru suma unghiurilor unui poligon format dintr-o polilinie simplă închisă are forma = 180 ° (n 2), unde este suma unghiurilor, n este numărul de unghiuri ale poligonului, " +" sau "-" este luat în funcție de direcția de ocolire a poliliniei.

Sarcina noastră este să derivăm o formulă pentru suma unghiurilor unui poligon arbitrar format dintr-o polilinie închisă (posibil auto-intersectându-se). Pentru a face acest lucru, introducem conceptul de gradul unui poligon.

Gradul unui poligon este numărul de rotații făcute de un punct în timpul unei ocoliri secvențiale complete a laturilor sale. Mai mult, turele făcute în sens invers acelor de ceasornic sunt considerate cu semnul „+”, iar turele în sensul acelor de ceasornic - cu semnul „-”.

Este clar că gradul unui poligon format dintr-o linie întreruptă închisă simplă este +1 sau -1, în funcție de direcția de parcurgere. Gradul liniei întrerupte din Figura 12, a este egal cu doi. Gradul heptagoanelor stelare (Fig. 12, c, d) este egal cu doi, respectiv trei.

Noțiunea de grad este definită în mod similar pentru curbele închise în plan. De exemplu, gradul curbei prezentate în Figura 14 este doi.

Pentru a afla gradul unui poligon sau al unei curbe, puteți proceda după cum urmează. Să presupunem că, deplasându-ne de-a lungul curbei (Fig. 15, a), noi, pornind de la un loc A1, am făcut o întoarcere completă și am ajuns în același punct A1. Să scoatem secțiunea corespunzătoare din curbă și să continuăm deplasarea de-a lungul curbei rămase (Fig. 15b). Dacă, pornind de la un loc A2, am făcut din nou o întoarcere completă și am ajuns în același punct, atunci ștergem secțiunea corespunzătoare a curbei și continuăm mișcarea (Fig. 15, c). Numărând numărul de secțiuni la distanță cu semnele „+” sau „-”, în funcție de direcția lor de ocolire, obținem gradul dorit al curbei.

Teorema 4. Pentru un poligon arbitrar, formula

180° (n+2m),

unde este suma unghiurilor, n este numărul unghiurilor, m este gradul poligonului.

Dovada. Fie poligonul M de gradul m și este prezentat în mod convențional în Figura 16. M1, …, Mk sunt linii întrerupte închise simple, care trec prin care punctul face ture complete. A1, …, Ak sunt punctele de auto-intersecție corespunzătoare ale poliliniei, care nu sunt vârfurile acesteia. Să notăm numărul de vârfuri ale poligonului M care sunt incluse în poligoanele M1, …, Mk prin n1, …, respectiv nk. Deoarece, pe lângă vârfurile poligonului M, la aceste poligoane li se adaugă vârfurile A1, …, Ak, numărul de vârfuri ale poligoanelor M1, …, Mk va fi egal cu n1+1, …, nk+1, respectiv. Apoi suma unghiurilor lor va fi egală cu 180° (n1+12), …, 180° (nk+12). Plus sau minus este luat în funcție de direcția de ocolire a liniilor întrerupte. Suma unghiurilor poligonului M0, rămase din poligonul M după îndepărtarea poligoanelor M1, ..., Mk, este egală cu 180° (n-n1- ...-nk+k2). Sumele unghiurilor poligoanelor M0, M1, …, Mk dau suma unghiurilor poligonului M, iar la fiecare vârf A1, …, Ak obținem suplimentar 360°. Prin urmare, avem egalitatea

180° (n1+12)+…+180° (nk+12)+180° (n-n1-…-nk+k2)=+360°k.

180° (n2…2) = 180° (n+2m),

unde m este gradul poligonului M.

Ca exemplu, luați în considerare calculul sumei unghiurilor unui asterisc cu cinci colțuri (Fig. 17, a). Gradul poliliniei închise corespunzătoare este -2. Prin urmare, suma dorită a unghiurilor este 180.

linie frântă

Definiție

linie frântă, sau mai scurt, linie frântă, se numește o secvență finită de segmente, astfel încât unul dintre capetele primului segment servește ca capăt al celui de-al doilea, celălalt capăt al celui de-al doilea segment servește ca capăt al celui de-al treilea și așa mai departe. În acest caz, segmentele adiacente nu se află pe aceeași linie dreaptă. Aceste segmente sunt numite legături polilinii.

Tipuri de linii întrerupte

Linia întreruptă se numește închis dacă începutul primului segment coincide cu sfârșitul ultimului.

Linia întreruptă se poate traversa, se poate atinge, se poate sprijini pe ea însăși. Dacă nu există astfel de singularități, atunci se numește o astfel de linie întreruptă simplu.

Poligoane

Definiție

O polilinie închisă simplă, împreună cu o parte a planului delimitată de aceasta, se numește poligon.

cometariu

La fiecare vârf al unui poligon, laturile acestuia definesc un unghi al poligonului. Poate fi fie mai puțin decât implementat, fie mai mult decât implementat.

Proprietate

Fiecare poligon are un unghi mai mic de $180^\circ$.

Dovada

Fie dat un poligon $P$.

Să desenăm o linie dreaptă care să nu o intersecteze. O vom muta paralel cu latura poligonului. La un moment dat, pentru prima dată obținem o linie $a$ care are cel puțin un punct comun cu poligonul $P$. Poligonul se află pe o parte a acestei linii (mai mult, unele dintre punctele sale se află pe linia $a$).

Linia $a$ conține cel puțin un vârf al poligonului. Cele două laturi ale sale converg în el, situate pe aceeași parte a liniei $a$ (inclusiv în cazul în care una dintre ele se află pe această linie). Deci, la acest vârf, unghiul este mai mic decât cel dezvoltat.

Definiție

Poligonul se numește convex dacă se află pe o parte a fiecărei linii care îi conține latura. Dacă poligonul nu este convex, se numește neconvex.

cometariu

Un poligon convex este intersecția semiplanurilor delimitate de drepte care conțin laturile poligonului.

Proprietățile unui poligon convex

Un poligon convex are toate unghiurile mai mici de $180^\circ$.

Un segment de linie care leagă oricare două puncte ale unui poligon convex (în special, oricare dintre diagonalele sale) este conținut în acest poligon.

Dovada

Să demonstrăm prima proprietate

Luați orice colț $A$ al unui poligon convex $P$ și latura lui $a$ care vine de la vârful $A$. Fie $l$ o linie care conține latura $a$. Deoarece poligonul $P$ este convex, acesta se află pe o parte a dreptei $l$. Prin urmare, unghiul său $A$ se află și el pe aceeași parte a acestei linii. Prin urmare unghiul $A$ este mai mic decât unghiul îndreptat, adică mai mic decât $180^\circ$.

Să demonstrăm a doua proprietate

Luați oricare două puncte $A$ și $B$ dintr-un poligon convex $P$. Poligonul $P$ este intersecția mai multor semiplane. Segmentul $AB$ este conținut în fiecare dintre aceste semiplane. Prin urmare, este conținut și în poligonul $P$.

Definiție

Poligon diagonal se numește un segment care leagă vârfurile sale neînvecinate.

Teorema (cu privire la numărul de diagonale ale unui n-gon)

Numărul de diagonale ale unui $n$-gon convex se calculează prin formula $\dfrac(n(n-3))(2)$.

Dovada

Din fiecare vârf al unui n-gon se pot trage $n-3$ diagonale (nu se poate trage o diagonală către vârfurile învecinate și către acest vârf însuși). Dacă numărăm toate astfel de segmente posibile, atunci vor fi $n\cdot(n-3)$, deoarece există $n$ vârfuri. Dar fiecare diagonală va fi numărată de două ori. Astfel, numărul de diagonale ale unui n-gon este $\dfrac(n(n-3))(2)$.

Teorema (asupra sumei unghiurilor unui n-gon)

Suma unghiurilor unui $n$-gon convex este $180^\circ(n-2)$.

Dovada

Luați în considerare un $n$-gon $A_1A_2A_3\ldots A_n$.

Luați un punct arbitrar $O$ în interiorul acestui poligon.

Suma unghiurilor tuturor triunghiurilor $A_1OA_2$, $A_2OA_3$, $A_3OA_4$, \ldots, $A_(n-1)OA_n$ este $180^\circ\cdot n$.

Pe de altă parte, această sumă este suma tuturor unghiurilor interioare ale poligonului și a unghiului total $\angle O=\angle 1+\angle 2+\angle 3+\ldots=30^\circ$.

Atunci suma unghiurilor $n$-gonului considerat este egală cu $180^\circ\cdot n-360^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.

Consecinţă

Suma unghiurilor unui $n$-gon neconvex este $180^\circ(n-2)$.

Dovada

Să considerăm un poligon $A_1A_2\ldots A_n$ al cărui singur unghi $\angle A_2$ este neconvex, adică $\angle A_2>180^\circ$.

Să notăm suma capturii sale $S$.

Conectați punctele $A_1A_3$ și luați în considerare poligonul $A_1A_3\ldots A_n$.

Suma unghiurilor acestui poligon este:

$180^\circ\cdot(n-1-2)=S-\angle A_2+\angle 1+\angle 2=S-\angle A_2+180^\circ-\angle A_1A_2A_3=S+180^\circ-( \angle A_1A_2A_3+\angle A_2)=S+180^\circ-360^\circ$.

Prin urmare, $S=180^\circ\cdot(n-1-2)+180^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.

Dacă poligonul inițial are mai mult de un colț neconvex, atunci operația descrisă mai sus se poate face cu fiecare astfel de colț, ceea ce va duce la dovedirea aserției.

Teorema (pe suma unghiurilor exterioare ale unui n-gon convex)

Suma unghiurilor exterioare ale unui $n$-gon convex este $360^\circ$.

Dovada

Unghiul exterior la vârful $A_1$ este $180^\circ-\angle A_1$.

Suma tuturor unghiurilor externe este:

$\sum\limits_(n)(180^\circ-\angle A_n)=n\cdot180^\circ - \sum\limits_(n)A_n=n\cdot180^\circ - 180^\circ\cdot(n) -2)=360^\circ$.