Accentul acestui articol este logaritm. Aici vom da definiția logaritmului, vom arăta notația acceptată, vom da exemple de logaritmi și vom vorbi despre logaritmi naturali și zecimali. După aceea, luați în considerare identitatea logaritmică de bază.

Navigare în pagină.

Definiţia logarithm

Conceptul de logaritm apare atunci când se rezolvă o problemă în într-un anumit sens invers atunci când trebuie să găsiți exponentul valoare cunoscută grad și bază cunoscută.

Dar destul preambul, este timpul să răspundem la întrebarea „ce este un logaritm”? Să dăm o definiție adecvată.

Definiție.

Logaritmul lui b la baza a, unde a>0 , a≠1 și b>0 este exponentul la care trebuie să creșteți numărul a pentru a obține b ca rezultat.

În această etapă, observăm că cuvântul rostit „logaritm” ar trebui să ridice imediat două întrebări: „ce număr” și „pe ce bază”. Cu alte cuvinte, pur și simplu nu există logaritm, ci există doar logaritmul unui număr într-o anumită bază.

Vă vom prezenta imediat notație logaritmică: logaritmul numărului b la baza a este de obicei notat ca log a b . Logaritmul numărului b la baza e și logaritmul la baza 10 au propriile lor denumiri speciale lnb și, respectiv, lgb, adică nu scriu log e b , ci lnb , și nu log 10 b , ci lgb .

Acum puteți aduce: .
Și înregistrările nu au sens, deoarece în primul dintre ele sub semnul logaritmului este un număr negativ, în al doilea - un număr negativ în bază, iar în al treilea - atât un număr negativ sub semnul logaritmului, cât și o unitate în bază.

Acum să vorbim despre reguli de citire a logaritmilor. Log de intrare a b este citit ca „logaritmul lui b la baza a”. De exemplu, log 2 3 este logaritmul de trei la baza 2 și este logaritmul de două virgulă două treimi la bază Rădăcină pătrată din cinci. Se numește logaritmul la baza e logaritmul natural, iar notația lnb este citită ca „logaritmul natural al lui b”. De exemplu, ln7 este logaritmul natural al lui șapte și îl vom citi ca logaritmul natural al lui pi. Logaritmul la baza 10 are, de asemenea, un nume special - logaritm zecimal , iar notația lgb este citită ca „logaritm zecimal b”. De exemplu, lg1 este logaritmul zecimal de unu, iar lg2.75 este logaritmul zecimal de două virgulă șaptezeci și cinci de sutimi.

Merită să ne oprim separat asupra condițiilor a>0, a≠1 și b>0, în care este dată definiția logaritmului. Să explicăm de unde provin aceste restricții. Pentru aceasta, ne va ajuta o egalitate a formei, numită , care decurge direct din definiția logaritmului dată mai sus.

Să începem cu a≠1 . Deoarece unitatea este egală cu unu la orice putere, atunci egalitatea poate fi valabilă numai pentru b=1, dar în același timp log 1 1 poate fi orice numar real. Pentru a evita această ambiguitate, a≠1 este acceptat.

Să argumentăm oportunitatea condiției a>0 . Cu a=0, după definiția logaritmului, am avea egalitate , ceea ce este posibil doar cu b=0 . Dar atunci log 0 0 poate fi orice număr real diferit de zero, deoarece de la zero la orice putere diferită de zero este zero. Această ambiguitate poate fi evitată prin condiția a≠0 . Și pentru a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и ирindicator rațional definit numai pentru baze nenegative. Prin urmare, condiția a>0 este acceptată.

În sfârșit, din inegalitatea a>0 rezultă condiția b>0, deoarece , iar valoarea gradului cu bază pozitivă a este întotdeauna pozitivă.

În încheierea acestui paragraf, spunem că definiția vocală a logaritmului vă permite să indicați imediat valoarea logaritmului atunci când numărul de sub semnul logaritmului este un anumit grad de bază. Într-adevăr, definiția logaritmului ne permite să afirmăm că dacă b=a p , atunci logaritmul numărului b la baza a este egal cu p . Adică, logul de egalitate a a p =p este adevărat. De exemplu, știm că 2 3 =8 , atunci log 2 8=3 . Vom vorbi mai multe despre asta în articol.

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica o anumită persoană sau pentru a o contacta.

Este posibil să vi se ceară să furnizați informatii personaleîn orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

• Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs E-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

• Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
• Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și mesaje importante.
• Putem folosi, de asemenea, informații personale în scopuri interne, cum ar fi auditarea, analiza datelor și diverse studii pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
• Dacă participați la o tragere la sorți, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

• Dacă este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în procedurile judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a cererilor din partea agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dvs. dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte informații publice. ocazii importante.
• În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

derivată din definiția sa. Și astfel logaritmul numărului b prin rațiune A definit ca exponentul la care trebuie ridicat un număr A pentru a obține numărul b(logaritmul există doar pentru numere pozitive).

Din această formulare rezultă că calculul x=log a b, este echivalent cu rezolvarea ecuației ax=b. De exemplu, log 2 8 = 3 deoarece 8 = 2 3 . Formularea logaritmului face posibilă justificarea că dacă b=a c, apoi logaritmul numărului b prin rațiune A egală cu. De asemenea, este clar că subiectul logaritmului este strâns legat de subiectul puterii unui număr.

Cu logaritmi, ca și în cazul oricăror numere, puteți performa operații de adunare, scădereși se transformă în toate modurile posibile. Dar având în vedere faptul că logaritmii nu sunt numere obișnuite, aici se aplică propriile reguli speciale, care sunt numite proprietăți de bază.

Adunarea și scăderea logaritmilor.

Să luăm doi logaritmi aceleași temeiuri: log xși log a y. Apoi eliminați este posibil să efectuați operații de adunare și scădere:

log a x+ log a y= log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y).

log a(X 1 . X 2 . X 3 ... x k) = log x 1 + log x 2 + log x 3 + ... + log a x k.

Din teoreme logaritmului coeficientului mai poate fi obținută o proprietate a logaritmului. Este bine cunoscut acel jurnal A 1= 0, prin urmare,

Buturuga A 1 /b= jurnal A 1 - jurnal a b= -log a b.

Deci există o egalitate:

log a 1 / b = - log a b.

Logaritmi a două numere reciproc reciproce pe aceeași bază vor diferi unele de altele doar prin semn. Asa de:

Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

Logaritmul unui număr pozitiv b la baza a (a>0, a nu este egal cu 1) este un număr c astfel încât a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Rețineți că logaritmul unui număr nepozitiv nu este definit. În plus, baza logaritmului trebuie să fie număr pozitiv, care nu este egal cu 1. De exemplu, dacă pătratăm -2, obținem numărul 4, dar asta nu înseamnă că baza -2 logaritmului lui 4 este 2.

Identitatea logaritmică de bază

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Este important ca domeniile de definire ale părților din dreapta și din stânga acestei formule să fie diferite. Partea stângă este definită numai pentru b>0, a>0 și a ≠ 1. Partea dreaptă este definit pentru orice b, dar nu depinde deloc de a. Astfel, aplicarea „identității” logaritmice de bază în rezolvarea ecuațiilor și inegalităților poate duce la o modificare a DPV.

Două consecințe evidente ale definiției logaritmului

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Într-adevăr, când ridicăm numărul a la prima putere, obținem același număr, iar când ridicăm la grad zero- unitate.

Logaritmul produsului și logaritmul coeficientului

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Aș dori să îi avertizez pe școlari împotriva folosirii necugetate a acestor formule atunci când rezolvă ecuații și inegalități logaritmice. Când sunt folosite „de la stânga la dreapta”, ODZ se îngustează, iar când se trece de la suma sau diferența de logaritmi la logaritmul produsului sau al coeficientului, ODZ se extinde.

Într-adevăr, expresia log a (f (x) g (x)) este definită în două cazuri: când ambele funcții sunt strict pozitive sau când f(x) și g(x) sunt ambele mai mici decât zero.

Transformare expresie datăîn suma log a f (x) + log a g (x) , trebuie să ne restrângem doar la cazul în care f(x)>0 și g(x)>0. Are loc o îngustare a zonei valori admise, iar acest lucru este categoric inacceptabil, deoarece poate duce la pierderea soluțiilor. Problema asemanatoare există și pentru formula (6).

Gradul poate fi scos din semnul logaritmului

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Și din nou aș dori să fac apel la acuratețe. Luați în considerare următorul exemplu:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Partea stângă a egalității este în mod evident definită pentru toate valorile lui f(x), cu excepția zero. Partea dreaptă este doar pentru f(x)>0! Luând puterea din logaritm, restrângem din nou ODZ. Procedura inversă conduce la o extindere a intervalului de valori admisibile. Toate aceste observații se aplică nu numai puterii lui 2, ci și oricărei puteri par.

Formula pentru mutarea la o nouă bază

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Acea caz rar, când ODZ nu se modifică în timpul transformării. Dacă ați ales cu înțelepciune baza c (pozitivă și nu egală cu 1), formula pentru trecerea la o nouă bază este perfect sigură.

Dacă alegem numărul b ca bază nouă c, obținem un important caz special formule (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Câteva exemple simple cu logaritmi

Exemplul 1 Calculați: lg2 + lg50.
Decizie. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Am folosit formula pentru suma logaritmilor (5) și definiția logaritmului zecimal.

Exemplul 2 Calculați: lg125/lg5.
Decizie. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Am folosit noua formulă de tranziție de bază (8).

Tabel de formule legate de logaritmi

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

Deci, avem puteri de doi. Dacă luați numărul din linia de jos, atunci puteți găsi cu ușurință puterea la care trebuie să ridicați un doi pentru a obține acest număr. De exemplu, pentru a obține 16, trebuie să ridici doi la a patra putere. Și pentru a obține 64, trebuie să ridici doi la a șasea putere. Acest lucru se vede din tabel.

Și acum - de fapt, definiția logaritmului:

Logaritmul la baza a a argumentului x este puterea la care trebuie ridicat numărul a pentru a obține numărul x .

Notație: log a x \u003d b, unde a este baza, x este argumentul, b este de fapt egal cu logaritmul.

De exemplu, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (logaritmul de bază 2 al lui 8 este trei deoarece 2 3 = 8). Ar putea la fel de bine să înregistreze 2 64 = 6 pentru că 2 6 = 64 .

Operația de găsire a logaritmului unui număr la o bază dată se numește logaritm. Deci, să adăugăm un nou rând la tabelul nostru:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Din păcate, nu toți logaritmii sunt considerați atât de ușor. De exemplu, încercați să găsiți log 2 5 . Numărul 5 nu este în tabel, dar logica dictează că logaritmul va fi undeva pe segment. Pentru că 2 2< 5 < 2 3 , а чем grad mai mare doi, cu atât numărul va fi mai mare.

Astfel de numere se numesc iraționale: numerele de după virgulă pot fi scrise la nesfârșit și nu se repetă niciodată. Dacă logaritmul se dovedește a fi irațional, este mai bine să-l lăsați astfel: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 .

Este important de înțeles că logaritmul este o expresie cu două variabile (bază și argument). La început, mulți oameni confundă unde este baza și unde este argumentul. A evita neînțelegeri nefericite uita-te doar la poza:

În fața noastră nu este nimic altceva decât definiția logaritmului. Tine minte: logaritmul este puterea, la care trebuie să ridicați baza pentru a obține argumentul. Este baza care este ridicată la o putere - în imagine este evidențiată cu roșu. Se dovedește că baza este întotdeauna în jos! Le spun studenților mei această regulă minunată chiar de la prima lecție - și nu există nicio confuzie.

Ne-am dat seama de definiție - rămâne să învățăm cum să numărăm logaritmii, de exemplu. scapă de semnul „bușten”. Pentru început, observăm că din definiție rezultă două fapte importante:

1. Argumentul și baza trebuie să fie întotdeauna mai mari decât zero. Aceasta rezultă din definirea gradului de către un exponent rațional, la care se reduce definiția logaritmului.
2. Baza trebuie să fie diferită de unitate, deoarece o unitate pentru orice putere este încă o unitate. Din această cauză, întrebarea „la ce putere trebuie ridicat cineva pentru a obține doi” este lipsită de sens. Nu există o astfel de diplomă!

Se numesc astfel de restricții interval valid(ODZ). Rezultă că ODZ a logaritmului arată astfel: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .

Rețineți că nu există restricții cu privire la numărul b (valoarea logaritmului) nu este impus. De exemplu, logaritmul poate fi negativ: log 2 0,5 \u003d -1, deoarece 0,5 = 2 −1 .

Cu toate acestea, deocamdată doar luăm în considerare expresii numerice, unde nu este necesară cunoașterea ODZ a logaritmului. Toate restricțiile au fost deja luate în considerare de către compilatorii problemelor. Dar când pleacă ecuații logaritmiceși inegalități, cerințele DHS vor deveni obligatorii. Într-adevăr, în bază și argument pot exista construcții foarte puternice, care nu corespund neapărat restricțiilor de mai sus.

Acum luați în considerare schema generala calcule logaritmice. Acesta constă din trei etape:

1. Exprimați baza a și argumentul x ca o putere cu cea mai mică bază posibilă mai mare decât unu. Pe parcurs, este mai bine să scapi de fracțiile zecimale;
2. Rezolvați ecuația pentru variabila b: x = a b ;
3. Numărul rezultat b va fi răspunsul.

Asta e tot! Dacă logaritmul se dovedește a fi irațional, acest lucru se va vedea deja la primul pas. Cerința ca baza să fie mai mare decât unu este foarte relevantă: aceasta reduce probabilitatea de eroare și simplifică foarte mult calculele. Similar cu zecimale: dacă le transpuneți imediat în cele obișnuite, vor fi de multe ori mai puține erori.

Să vedem cum funcționează această schemă pe exemple specifice:

Sarcină. Calculați logaritmul: log 5 25

1. Să reprezentăm baza și argumentul ca o putere a lui cinci: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Să facem și să rezolvăm ecuația:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. A primit un raspuns: 2.

Sarcină. Calculați logaritmul:

Sarcină. Calculați logaritmul: log 4 64

1. Să reprezentăm baza și argumentul ca o putere a doi: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Să facem și să rezolvăm ecuația:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. A primit un raspuns: 3.

Sarcină. Calculați logaritmul: log 16 1

1. Să reprezentăm baza și argumentul ca o putere a doi: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Să facem și să rezolvăm ecuația:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. A primit un raspuns: 0.

Sarcină. Calculați logaritmul: log 7 14

1. Să reprezentăm baza și argumentul ca o putere de șapte: 7 = 7 1 ; 14 nu este reprezentat ca o putere a șapte, deoarece 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Din paragraful anterior rezultă că logaritmul nu este luat în considerare;
3. Răspunsul este fără schimbare: log 7 14.

O mică notă pentru ultimul exemplu. Cum să vă asigurați că un număr nu este o putere exactă a altui număr? Foarte simplu - extindeți-l în factori primi. Dacă există cel puțin doi factori diferiți în expansiune, numărul nu este o putere exactă.

Sarcină. Aflați dacă puterile exacte ale numărului sunt: ​​8; 48; 81; 35; paisprezece .

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - gradul exact, deoarece există un singur multiplicator;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 nu este o putere exactă deoarece există doi factori: 3 și 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - grad exact;
35 = 7 5 - din nou nu este un grad exact;
14 \u003d 7 2 - din nou nu este un grad exact;

De asemenea, observăm că noi numere prime sunt întotdeauna puteri exacte ale lor.

Logaritm zecimal

Unii logaritmi sunt atât de comune încât au un nume și o denumire specială.

Logaritmul zecimal al argumentului x este logaritmul de bază 10, adică. puterea la care trebuie să ridici numărul 10 pentru a obține numărul x. Denumire: lg x .

De exemplu, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - etc.

De acum înainte, când în manual apare o expresie precum „Găsiți lg 0.01”, să știți că aceasta nu este o greșeală de tipar. Acesta este logaritmul zecimal. Cu toate acestea, dacă nu sunteți obișnuit cu o astfel de desemnare, o puteți rescrie oricând:
log x = log 10 x

Tot ceea ce este adevărat pentru logaritmii obișnuiți este valabil și pentru zecimale.

logaritmul natural

Există un alt logaritm care are propria sa notație. Într-un fel, este chiar mai important decât zecimală. Este despre despre logaritmul natural.

Logaritmul natural al lui x este logaritmul de bază e, adică. puterea la care trebuie ridicat numărul e pentru a obține numărul x. Denumire: ln x .

Mulți se vor întreba: ce altceva este numărul e? Aceasta este număr irațional, a lui valoare exacta imposibil de găsit și înregistrat. Iată doar primele numere:
e = 2,718281828459...

Nu vom aprofunda ce este acest număr și de ce este necesar. Nu uitați că e este baza logaritmului natural:
ln x = log e x

Astfel ln e = 1 ; log e 2 = 2 ; ln e 16 = 16 - etc. Pe de altă parte, ln 2 este un număr irațional. În general, logaritmul natural al oricărui Numar rational iraţional. Cu excepția, desigur, unității: ln 1 = 0.

Pentru logaritmi naturali toate regulile care sunt adevărate pentru logaritmii obișnuiți sunt valabile.