Acțiuni cu fracții. În acest articol, vom analiza exemple, totul este detaliat cu explicații. Vom lua în considerare fracții comune. În viitor, vom analiza zecimale. Recomand să urmăriți întregul și să studiați secvențial.
1. Suma fracțiilor, diferența de fracții.
Regula: când se adună fracții cu numitori egali, ca rezultat obținem o fracție - al cărei numitor rămâne același, iar numărătorul ei va fi este egală cu suma numărători de fracții.
Regula: atunci când se calculează diferența fracțiilor cu aceiași numitori, obținem o fracție - numitorul rămâne același, iar numărătorul celei de-a doua se scade din numărătorul primei fracții.
Notarea formală a sumei și diferenței fracțiilor cu numitori egali:
Exemple (1):
Este clar că atunci când sunt date fracții obișnuite, atunci totul este simplu, dar dacă sunt amestecate? Nimic complicat...
Opțiunea 1- le puteți converti în altele obișnuite și apoi le puteți calcula.
Opțiunea 2- puteți „lucra” separat cu părțile întregi și fracționale.
Exemple (2):
Mai mult:
Și dacă este dată diferența a două fracții mixte și numărătorul primei fracții este mai mic decât numărătorul celei de-a doua? De asemenea, se poate face în două moduri.
Exemple (3):
* Convertit în fracții obișnuite, calculat diferența, translat rezultatul fracție improprieîntr-una mixtă.
* Împărțit în părți întregi și fracționale, am obținut trei, apoi a prezentat 3 ca sumă a lui 2 și 1, cu unitatea prezentată ca 11/11, apoi a găsit diferența dintre 11/11 și 7/11 și a calculat rezultatul. Sensul transformărilor de mai sus este să luăm (selectăm) o unitate și să o prezentăm ca o fracție cu numitorul de care avem nevoie, apoi din această fracție putem deja să scădem alta.
Alt exemplu:
Concluzie: există o abordare universală - pentru a calcula suma (diferența) fracțiilor mixte cu numitori egali, acestea pot fi întotdeauna convertite în fracții improprii, apoi executați acțiunea necesară. După aceea, dacă în rezultat obținem o fracție improprie, o traducem într-una mixtă.
Mai sus, ne-am uitat la exemple cu fracții care au numitori egali. Ce se întâmplă dacă numitorii diferă? În acest caz, fracțiile sunt reduse la același numitor și se efectuează acțiunea specificată. Pentru a schimba (transforma) o fracție, se folosește proprietatea principală a fracției.
Luați în considerare exemple simple:
În aceste exemple, vedem imediat cum una dintre fracții poate fi convertită pentru a obține numitori egali.
Dacă desemnăm modalități de reducere a fracțiilor la un numitor, atunci acesta va fi numit METODA 1.
Adică, imediat când „evaluați” fracția, trebuie să vă dați seama dacă o astfel de abordare va funcționa - verificăm dacă numitorul mai mare este divizibil cu cel mai mic. Și dacă este împărțit, atunci efectuăm transformarea - înmulțim numărătorul și numitorul astfel încât numitorii ambelor fracții să devină egali.
Acum uită-te la aceste exemple:
Această abordare nu se aplică lor. Există și alte moduri de a reduce fracțiile la numitor comun Să aruncăm o privire la ele.
Metoda A DOUA.
Înmulțiți numărătorul și numitorul primei fracții cu numitorul celei de-a doua, iar numărătorul și numitorul celei de-a doua fracții cu numitorul primei:
*De fapt, aducem fracții la forma când numitorii devin egali. În continuare, folosim regula adunării timizi cu numitori egali.
Exemplu:
*Această metodă poate fi numită universală și funcționează întotdeauna. Singurul negativ este că, după calcule, se poate dovedi o fracție care va trebui redusă în continuare.
Luați în considerare un exemplu:
Se poate observa că numărătorul și numitorul sunt divizibile cu 5:
Metoda A TREIA.
Găsiți cel mai mic multiplu comun (MCM) al numitorilor. Acesta va fi numitorul comun. Ce este acest numar? Este cel mai mic numar natural, care este divizibil cu fiecare dintre numere.
Uite, aici sunt două numere: 3 și 4, există multe numere care sunt divizibile cu ele - acestea sunt 12, 24, 36, ... Cel mai mic dintre ele este 12. Sau 6 și 15, 30, 60, 90 sunt divizibil de ei.... Cel puțin 30. Întrebare - cum se determină acest cel mai mic multiplu comun?
Există un algoritm clar, dar adesea acest lucru se poate face imediat, fără calcule. De exemplu, conform exemplelor de mai sus (3 și 4, 6 și 15), nu este nevoie de un algoritm, am luat numere mari (4 și 15), le-am dublat și am văzut că sunt divizibile cu al doilea număr, dar perechi de numere pot fi altele, cum ar fi 51 și 119.
Algoritm. Pentru a determina cel mai mic multiplu comun al mai multor numere, trebuie:
- descompuneți fiecare dintre numere în factori SIMPLI
- scrieți descompunerea CEI MAI MARI dintre ele
- înmulțiți-l cu factorii LIPSĂ ai altor numere
Luați în considerare exemple:
50 și 60 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5
în descompunere Mai mult lipsește unul cinci
=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300
48 și 72 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3
în extinderea unui număr mai mare lipsesc doi și trei
=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144
* Cel mai mic multiplu comun de doi numere prime egal cu produsul lor
Întrebare! Și de ce este util să găsiți cel mai mic multiplu comun, deoarece puteți utiliza a doua metodă și pur și simplu reduceți fracția rezultată? Da, poți, dar nu este întotdeauna convenabil. Uită-te la numitorul numerelor 48 și 72, dacă doar le înmulți 48∙72 = 3456. Fii de acord că este mai plăcut să lucrezi cu numere mai mici.
Luați în considerare exemple:
*51 = 3∙17 119 = 7∙17
în extinderea unui număr mai mare, lipsește un triplu
=> LCM(51,119) = 3∙7∙17
Și acum aplicăm prima metodă:
* Uitați-vă la diferența dintre calcule, în primul caz există un minim, iar în al doilea trebuie să lucrați separat pe o bucată de hârtie și chiar și fracțiunea pe care o obțineți trebuie redusă. Găsirea LCM simplifică considerabil munca.
Mai multe exemple:
* În al doilea exemplu, este clar că cel mai mic număr, care este împărțit la 40 și 60 este egal cu 120.
TOTAL! ALGORITM GENERAL DE CALCUL!
- aducem fracții la cele obișnuite, dacă există o parte întreagă.
- aducem fractiile la un numitor comun (mai intai ne uitam sa vedem daca un numitor este divizibil cu altul, daca este divizibil, apoi inmultim numaratorul si numitorul acestei alte fractii; daca nu este divizibil, actionam folosind alte metode indicate mai sus).
- primind fracții cu numitori egali, efectuăm acțiuni (adunare, scădere).
- daca este necesar, reducem rezultatul.
- dacă este necesar, selectați întreaga parte.
2. Produsul fracțiilor.
Regula este simplă. La înmulțirea fracțiilor, numărătorii și numitorii lor se înmulțesc:
Exemple:
Primul nivel
Conversia expresiei. Teorie detaliată (2019)
Conversia expresiei
Adesea auzim asta o frază neplăcută: „simplificați expresia”. De obicei, în acest caz, avem un fel de monstru ca acesta:
„Da, mult mai ușor”, spunem noi, dar un astfel de răspuns de obicei nu funcționează.
Acum vă voi învăța să nu vă fie frică de astfel de sarcini. Mai mult, la sfârșitul lecției, tu însuți vei simplifica acest exemplu la (doar!) număr obișnuit(da, la naiba cu acele scrisori).
Dar înainte de a începe această lecție, trebuie să fiți capabil să gestionați fracțiile și polinoamele factorizați. Prin urmare, mai întâi, dacă nu ați făcut acest lucru înainte, asigurați-vă că stăpâniți subiectele „” și „”.
Citit? Dacă da, atunci ești gata.
Operații de simplificare de bază
Acum vom analiza principalele tehnici care sunt folosite pentru simplificarea expresiilor.
Cel mai simplu dintre ele este
1. Aducerea asemănătoare
Ce sunt asemănătoare? Ai trecut prin asta în clasa a VII-a, când literele au apărut pentru prima dată la matematică în loc de cifre. Asemănători sunt termenii (monoamele) cu aceeași parte de literă. De exemplu, în total termeni asemănători- asta și.
Amintit?
A aduce termeni asemănători înseamnă a adăuga mai mulți termeni similari unul altuia și a obține un singur termen.
Dar cum putem pune litere împreună? - tu intrebi.
Acest lucru este foarte ușor de înțeles dacă vă imaginați că literele sunt un fel de obiecte. De exemplu, scrisoarea este un scaun. Atunci care este expresia? Două scaune plus trei scaune, cât va fi? Așa e, scaune: .
Acum încearcă această expresie:
Ca să nu te încurci, hai litere diferite reprezintă lucruri diferite. De exemplu, - acesta este (ca de obicei) un scaun și - aceasta este o masă. Apoi:
scaune mese scaune mese scaune scaune mese
Se numesc numerele cu care se înmulțesc literele din astfel de termeni coeficienți. De exemplu, în monom coeficientul este egal. Și el este egal.
Deci, regula pentru a aduce similare:
Exemple:
Aduceți similare:
Raspunsuri:
2. (și sunt asemănătoare, întrucât, deci, acești termeni au aceeași parte de literă).
2. Factorizarea
Acesta este de obicei cel mai mult parte principalăîn simplificarea expresiilor. După ce ai dat altele asemănătoare, de cele mai multe ori expresia rezultată trebuie factorizată, adică prezentată ca produs. Acest lucru este deosebit de important în fracții: la urma urmei, pentru a reduce o fracție, numărătorul și numitorul trebuie reprezentate ca un produs.
Ați trecut prin metodele detaliate de factorizare a expresiilor din subiectul „”, așa că aici trebuie doar să vă amintiți ce ați învățat. Pentru a face acest lucru, rezolvați câteva exemple(de luat în calcul):
Solutii:
3. Reducerea fracțiilor.
Ei bine, ce poate fi mai frumos decât să tai o parte din numărător și numitor și să le arunci din viața ta?
Aceasta este frumusețea abrevierilor.
E simplu:
Dacă numărătorul și numitorul conțin aceiași factori, ei pot fi redusi, adică îndepărtați din fracție.
Această regulă rezultă din proprietatea de bază a unei fracții:
Adică, esența operației de reducere este aceea Împărțim numărătorul și numitorul unei fracții la același număr (sau la aceeași expresie).
Pentru a reduce o fracție, aveți nevoie de:
1) numărătorul și numitorul factorizați
2) dacă numărătorul și numitorul conțin factori comuni, acestea pot fi șterse.
Principiul, cred, este clar?
Vreau să atrag atenția asupra unuia greseala tipica la reducerea. Deși acest subiect este simplu, mulți oameni fac totul greșit, fără să-și dea seama de asta a tăia- inseamna divide numărător și numitor cu același număr.
Fără abrevieri dacă numărătorul sau numitorul este suma.
De exemplu: trebuie să simplificați.
Unii fac asta: ceea ce este absolut greșit.
Un alt exemplu: reduce.
„Cel mai inteligent” va face asta:.
Spune-mi ce e în neregulă aici? S-ar părea: - acesta este un multiplicator, așa că puteți reduce.
Dar nu: - acesta este un factor de un singur termen în numărător, dar numărătorul în sine în ansamblu nu este descompus în factori.
Iată un alt exemplu: .
Această expresie este descompusă în factori, ceea ce înseamnă că puteți reduce, adică împărțiți numărătorul și numitorul cu, apoi cu:
Puteți împărți imediat la:
Pentru a evita astfel de greșeli, amintiți-vă calea ușoară cum să determinați dacă o expresie este factorizată:
Operația aritmetică care se efectuează ultima la calcularea valorii expresiei este „principală”. Adică dacă înlocuiți câteva (orice) numere în loc de litere și încercați să calculați valoarea expresiei, atunci dacă ultima acțiune este înmulțirea, atunci avem un produs (expresia este descompusă în factori). Dacă ultima acțiune este adunarea sau scăderea, aceasta înseamnă că expresia nu este factorizată (și, prin urmare, nu poate fi redusă).
Pentru a o repara, rezolvați singur câteva exemple:
Raspunsuri:
1. Sper că nu te-ai grăbit imediat să tai și? Încă nu a fost suficient să „reducem” unități ca aceasta:
Primul pas ar trebui să fie factorizarea:
4. Adunarea și scăderea fracțiilor. Aducerea fracțiilor la un numitor comun.
Adunare si scadere fracții obișnuite- operația este binecunoscută: căutăm un numitor comun, înmulțim fiecare fracție cu factorul care lipsește și adunăm/scădem numărătorii. Să ne amintim:
Raspunsuri:
1. Numitorii și sunt coprime, adică nu au factori comuni. Prin urmare, LCM a acestor numere este egal cu produsul lor. Acesta va fi numitorul comun:
2. Aici numitorul comun este:
3. Primul lucru aici fractii mixte transforma-le în unele greșite și apoi - conform schemei obișnuite:
Este cu totul altă problemă dacă fracțiile conțin litere, de exemplu:
Să începem simplu:
a) Numitorii nu conțin litere
Aici totul este la fel ca în cazul fracțiilor numerice obișnuite: găsim un numitor comun, înmulțim fiecare fracție cu factorul care lipsește și adunăm/scădem numărătorii:
acum, la numărător, puteți aduce altele similare, dacă există, și le puteți factoriza:
Incearca-l tu insuti:
b) Numitorii conțin litere
Să ne amintim principiul găsirii unui numitor comun fără litere:
În primul rând, determinăm factorii comuni;
Apoi scriem toți factorii comuni o dată;
și înmulțiți-le cu toți ceilalți factori, nu cu cei comuni.
Pentru a determina factorii comuni ai numitorilor, mai întâi îi descompunem în factori simpli:
Subliniem factorii comuni:
Acum scriem factorii comuni o dată și adăugăm la ei toți factorii necomuni (nu subliniați):
Acesta este numitorul comun.
Să revenim la scrisori. Numitorii sunt dați exact în același mod:
Descompunem numitorii în factori;
determina multiplicatori comuni (identici);
scrie toți factorii comuni o dată;
Le înmulțim cu toți ceilalți factori, nu cu cei comuni.
Deci, in ordine:
1) descompuneți numitorii în factori:
2) determinați factorii comuni (identici):
3) scrieți toți factorii comuni o dată și înmulțiți-i cu toți ceilalți factori (nesubliniați):
Deci numitorul comun este aici. Prima fracție trebuie înmulțită cu, a doua - cu:
Apropo, există un truc:
De exemplu: .
Vedem aceiași factori în numitori, doar totul cu indicatori diferiți. Numitorul comun va fi:
in masura
in masura
in masura
în grad.
Să complicăm sarcina:
Cum se face ca fracțiile să aibă același numitor?
Să ne amintim proprietatea de bază a unei fracții:
Nicăieri nu se spune că același număr poate fi scăzut (sau adunat) de la numărătorul și numitorul unei fracții. Pentru că nu este adevărat!
Vedeți singur: luați orice fracție, de exemplu, și adăugați un număr la numărător și numitor, de exemplu, . Ce s-a învățat?
Deci, o altă regulă de neclintit:
Când aduceți fracții la un numitor comun, folosiți numai operația de înmulțire!
Dar ce trebuie să înmulți pentru a obține?
Aici și înmulțiți. Și înmulțiți cu:
Expresiile care nu pot fi factorizate vor fi numite „factori elementari”. De exemplu, este un factor elementar. - de asemenea. Dar - nu: se descompune în factori.
Ce zici de exprimare? Este elementar?
Nu, deoarece poate fi factorizat:
(ați citit deja despre factorizare în subiectul „”).
Deci, factorii elementari în care descompuneți expresia cu litere este un analog factori primiîn care descompuneți numerele. Și vom face același lucru cu ei.
Vedem că ambii numitori au un factor. Va merge la numitorul comun în putere (rețineți de ce?).
Multiplicatorul este elementar și nu îl au în comun, ceea ce înseamnă că prima fracție va trebui pur și simplu înmulțită cu ea:
Alt exemplu:
Decizie:
Înainte de a înmulți acești numitori într-o panică, trebuie să te gândești cum să-i factorizezi? Ambele reprezintă:
Amenda! Apoi:
Alt exemplu:
Decizie:
Ca de obicei, factorizăm numitorii. În primul numitor, pur și simplu îl punem între paranteze; în al doilea - diferența de pătrate:
S-ar părea că nu există factori comuni. Dar dacă te uiți cu atenție, sunt deja atât de asemănătoare... Și adevărul este:
Deci hai sa scriem:
Adică, s-a dovedit așa: în paranteză, am schimbat termenii și, în același timp, semnul din fața fracției s-a schimbat la opus. Ia notă, va trebui să faci asta des.
Acum aducem la un numitor comun:
Am înţeles? Acum să verificăm.
Sarcini pentru soluție independentă:
Raspunsuri:
Aici trebuie să ne amintim încă un lucru - diferența de cuburi:
Vă rugăm să rețineți că numitorul celei de-a doua fracții nu conține formula „pătratul sumei”! Pătratul sumei ar arăta astfel:
A este așa-numitul pătrat incomplet al sumei: al doilea termen din acesta este produsul dintre primul și ultimul, și nu produsul lor dublat. Pătratul incomplet al sumei este unul dintre factorii de extindere a diferenței de cuburi:
Ce se întâmplă dacă există deja trei fracții?
Da, la fel! În primul rând, să facem astfel încât suma maxima factorii din numitori au fost aceiași:
Atenție: dacă schimbați semnele dintr-o paranteză, semnul din fața fracției se schimbă în opus. Când schimbăm semnele din a doua paranteză, semnul din fața fracției este inversat din nou. Drept urmare, el (semnul din fața fracției) nu s-a schimbat.
Scriem primul numitor în întregime în numitorul comun, apoi adăugăm la el toți factorii care nu au fost încă scriși, din al doilea și apoi din al treilea (și așa mai departe, dacă sunt mai multe fracții). Adică merge așa:
Hmm... Cu fracții, este clar ce să faci. Dar ce zici de cei doi?
Este simplu: știi cum să adunăm fracții, nu? Deci, trebuie să vă asigurați că zeul devine o fracțiune! Amintiți-vă: o fracție este o operație de împărțire (numărătorul este împărțit la numitor, în cazul în care ați uitat brusc). Și nu este nimic mai ușor decât împărțirea unui număr la. În acest caz, numărul în sine nu se va schimba, ci se va transforma într-o fracție:
Exact ce este nevoie!
5. Înmulțirea și împărțirea fracțiilor.
Ei bine, partea cea mai grea s-a terminat. Și în fața noastră este cel mai simplu, dar în același timp cel mai important:
Procedură
Care este procedura de numărare expresie numerică? Amintiți-vă, având în vedere valoarea unei astfel de expresii:
ai numarat?
Ar trebui să funcționeze.
Deci, vă reamintesc.
Primul pas este să calculezi gradul.
Al doilea este înmulțirea și împărțirea. Dacă există mai multe înmulțiri și împărțiri în același timp, le puteți face în orice ordine.
Și, în sfârșit, facem adunarea și scăderea. Din nou, în orice ordine.
Dar: expresia dintre paranteze este evaluată în dezordine!
Dacă mai multe paranteze sunt înmulțite sau împărțite între ele, mai întâi evaluăm expresia din fiecare dintre paranteze, apoi le înmulțim sau le împărțim.
Ce se întâmplă dacă există și alte paranteze între paranteze? Ei bine, să ne gândim: o expresie este scrisă între paranteze. Care este primul lucru de făcut atunci când evaluezi o expresie? Așa e, calculează paranteze. Ei bine, ne-am dat seama: mai întâi calculăm parantezele interioare, apoi totul.
Deci, ordinea acțiunilor pentru expresia de mai sus este următoarea (acțiunea curentă este evidențiată cu roșu, adică acțiunea pe care o efectuez chiar acum):
Bine, totul este simplu.
Dar asta nu este același lucru cu o expresie cu litere, nu-i așa?
Nu, e la fel! Doar în schimb operatii aritmetice trebuie să faceți algebric, adică acțiunile descrise în secțiunea anterioară: aducând similare, adunarea fracțiilor, reducerea fracțiilor și așa mai departe. Singura diferență va fi acțiunea de factorizare a polinoamelor (o folosim adesea când lucrăm cu fracții). Cel mai adesea, pentru factorizare, trebuie să aplicați i sau pur și simplu să scoateți factor comun pentru paranteze.
De obicei, scopul nostru este de a reprezenta o expresie ca produs sau coeficient.
De exemplu:
Să simplificăm expresia.
1) Mai întâi simplificăm expresia dintre paranteze. Acolo avem diferența de fracții, iar scopul nostru este să o reprezentăm ca produs sau coeficient. Deci, aducem fracțiile la un numitor comun și adăugăm:
Este imposibil să simplificați mai mult această expresie, toți factorii de aici sunt elementari (mai vă amintiți ce înseamnă asta?).
2) obținem:
Înmulțirea fracțiilor: ce ar putea fi mai ușor.
3) Acum puteți scurta:
Asta e. Nimic complicat, nu?
Alt exemplu:
Simplificați expresia.
Mai întâi, încercați să o rezolvați singur și abia apoi uitați-vă la soluție.
În primul rând, să definim procedura. Mai întâi, să adăugăm fracțiile dintre paranteze, în loc de două fracții, se va dovedi una. Apoi vom face împărțirea fracțiilor. Ei bine, adăugăm rezultatul cu ultima fracție. Voi numerota schematic pașii:
Acum voi arăta întregul proces, colorând acțiunea curentă cu roșu:
În cele din urmă, vă voi oferi două sfaturi utile:
1. Daca sunt asemanatoare, acestea trebuie aduse imediat. In orice moment avem altele asemanatoare, este indicat sa le aducem imediat.
2. Același lucru este valabil și pentru fracțiile reducătoare: de îndată ce apare o oportunitate de reducere, aceasta trebuie folosită. Excepție fac fracțiile pe care le adunați sau scădeți: dacă au aceiași numitori, atunci reducerea ar trebui lăsată pentru mai târziu.
Iată câteva sarcini pe care le puteți rezolva singur:
Și a promis chiar de la început:
Soluții (pe scurt):
Dacă ați făcut față cel puțin primelor trei exemple, atunci, luați în considerare, ați stăpânit subiectul.
Acum, la învățare!
CONVERSIUNEA EXPRESIILOR. REZUMAT ȘI FORMULA DE BAZĂ
Operatii de simplificare de baza:
- Aducerea asemănătoare: pentru a adăuga (reduce) termeni similari, trebuie să adăugați coeficienții acestora și să atribuiți partea de litere.
- Factorizare: scoaterea din paranteze a factorului comun, aplicarea etc.
- Reducerea fracțiilor: numărătorul și numitorul unei fracții pot fi înmulțite sau împărțite cu același număr diferit de zero, din care valoarea fracției nu se modifică.
1) numărătorul și numitorul factorizați
2) dacă există factori comuni la numărător și numitor, aceștia pot fi tăiați.IMPORTANT: numai multiplicatorii pot fi redusi!
- Adunarea și scăderea fracțiilor:
; - Înmulțirea și împărțirea fracțiilor:
;
La școala de tip VIII, elevii se familiarizează cu următoarele transformări ale fracțiilor: exprimarea unei fracții în fracții mai mari (clasa a VI-a), exprimarea unei fracții improprie cu un număr întreg sau mixt (clasa a VI-a), exprimarea fracțiilor în părți egale. (clasa a VII-a), expresie număr mixt fracție improprie (clasa a VII-a).
Exprimarea improprie a fracțiuniisau număr mixt
Studiez acest material ar trebui să începeți cu sarcina: luați 2 cercuri cusute și împărțiți fiecare dintre ele în 4 părți egale, numărați numărul de a patra părți (Fig. 25). În plus, se propune să scrieți această sumă ca o fracție (t). Apoi se adaugă a patra părți între ele și elevii sunt convinși că s-a dovedit
primul cerc. Prin urmare, -t= unu . Se adaugă la patru sferturi - succesiv mai multe -t, iar elevii notează: t=1, -7=1 6 2 7 3 8 9
Profesorul atrage atenția elevilor asupra faptului că în toate cazurile luate în considerare au luat o fracție improprie, iar ca urmare a transformării au primit fie un număr întreg, fie un număr mixt, adică au exprimat o fracție improprie ca număr întreg. sau număr mixt. În continuare, trebuie să ne străduim să ne asigurăm că elevii determină în mod independent ce operație aritmetică poate fi efectuată această transformare.Exemple vii care conduc la răspuns
4 . 8 0 5 .1 7 .3 „ L
la întrebare sunt: -2-=! și t = 2, 4" = 1t și t T " YV °D : la
Pentru a exprima o fracție improprie ca număr întreg sau mixt, trebuie să împărțiți numărătorul fracției la numitor, să scrieți câtul ca număr întreg, să scrieți restul în numărător și să lăsați numitorul același. Întrucât regula este greoaie, nu este deloc necesar ca elevii să o memoreze. Ei ar trebui să poată spune în mod constant despre acțiunile când efectuează această transformare.
Înainte de a introduce elevii în exprimarea unei fracții improprie printr-un număr întreg sau mixt, este indicat să repetați împreună cu ei împărțirea unui număr întreg la un număr întreg cu rest.
Consolidarea unei noi transformări pentru studenți este facilitată de rezolvarea unor probleme de natură vitală și practică, de exemplu:
„În vază sunt nouă sferturi dintr-o portocală. Skol| Portocalele întregi pot fi adăugate din aceste acțiuni? Câte sferturi vor mai rămâne?"
„Pentru fabricarea capacelor pentru cutii, fiecare coală a cardului
35 este tăiat în 16 părți egale. A primit -^. Câte goluri!
Tăiați foi de carton? Câte șaisprezemi dintr-o tăietură! din bucata urmatoare? etc.
Exprimarea numărului întreg și a numărului mixtfracție improprie
Introducerea studenților în această nouă transformare ar trebui să fie precedată de rezolvarea problemelor, de exemplu:
„2 bucăți de țesătură, de lungime egală, având forma unui pătrat. > se taie in 4 parti egale. Din fiecare astfel de părți a fost cusută câte o batistă. Câte batiste ai luat? Înregistrez: 2= - 1 4^-, 2= -% ]
ai luat vin? Scrieți: au fost 1 * cercuri, a devenit * cercuri, ceea ce înseamnă
Astfel, pe o bază vizuală și practică, luăm în considerare o serie de exemple. În exemplele luate în considerare, elevii sunt rugați să compare numărul inițial (mixt sau întreg) și numărul care a rezultat după conversie (fracție improprie).
Pentru a familiariza elevii cu regula exprimării unui întreg și a unui număr mixt ca fracție improprie, este necesar să le atragă atenția asupra comparației numitorilor unui număr mixt și a unei fracții improprie, precum și asupra modului în care se obține numărătorul, pt. exemplu:
1 2"=?, 1 = 2", plus ^, total ^ 3 ^=?, 3=-^-, plus ^, total
va fi -^-. Ca urmare, se formulează regula: astfel încât un număr mixt
exprimat ca o fracție improprie, trebuie să înmulțiți numitorul cu un număr întreg, să adăugați numărătorul la produs și să scrieți suma ca numărător și să lăsați numitorul neschimbat.
În primul rând, trebuie să-i exersați pe elevi în exprimarea unei unități ca o fracție improprie, apoi a oricărui alt număr întreg cu numitor și abia apoi un număr mixt:
Proprietatea de bază a fracției 1
[conceptul de imuabilitate a unei fracții în creștere
1 scădere a membrilor săi, adică numărătorul și numitorul, se învață de elevii școlii de tip VIII cu cu mare dificultate. Acest concept trebuie introdus pe materialul vizual și didactic,
De ce este important ca elevii să nu observe doar activitățile profesorului, ci să lucreze activ cu material didactic și, pe baza observațiilor și activităților practice, să ajungă la anumite concluzii, generalizări.
De exemplu, profesorul ia un nap întreg, îl împarte în 2 răzbunări egale și întreabă: „Ce ai obținut la împărțirea întregului nap.
în jumătate? (2 jumătăți.) Arată * napi. Să tăiem (separam)
jumătate de nap în încă 2 părți egale. Ce vom primi? -y. Hai să scriem:
tt \u003d - m - Să comparăm numărătorii și numitorii acestor fracții. La ce oră
ori a crescut numărătorul? De câte ori a crescut numitorul? De câte ori au crescut atât numărătorul, cât și numitorul? S-a schimbat fracția? De ce nu s-a schimbat? Care au fost acțiunile: mai mari sau mai mici? Numărul a crescut sau a scăzut
Apoi toți elevii împart cercul în 2 părți egale, fiecare jumătate este împărțită în încă 2 părți egale, fiecare sfert este împărțit în continuare în
2 părți egale etc., și notează: „o ^ A ^ tg ^ tgg și t - L- Apoi stabilesc de câte ori au crescut numărătorul și numitorul fracției, dacă fracția s-a schimbat. Apoi trag o segmentați și împărțiți-l succesiv la 3, 6, 12 părti egale si scrie:
1 21 4 La compararea fracțiilor -^ și -^, -^ și -^, se constată că
numărătorul și numitorul fracției r crește de același număr de ori, fracția nu se modifică din aceasta.
După ce au luat în considerare o serie de exemple, elevii ar trebui să fie rugați să răspundă la întrebarea: „Se va schimba fracția dacă numărătorul Unele cunoștințe pe tema „Fracțiuni obișnuite” sunt excluse din programa de matematică din școlile corecționale de tip VIII, dar acestea sunt comunicate elevilor din școlile pentru copii cu retard mintal, din orele de nivelare pentru copiii cu dificultăți de învățare la matematică. În acest manual, paragrafele care oferă o metodologie pentru studierea acestui material,
marcate cu un asterisc (*).
Exemple similare sunt date atunci când se consideră reducerea numărătorului și numitorului cu același număr de ori (număratorii și numitorul sunt împărțite la același număr). De exemplu, cr>"
( 4 \ împărțit în 8 părți egale, luați 4 optimi de cerc I -o-]
după ce au mărit acțiunile, iau a patra, vor fi 2. După ce au mărit acțiunile
4 2 1 ia a doua. Va fi 1 : ~ al-lea = -d--%- Compară follower!I
numărătorii și numitorii acestor fracții, răspunzând la întrebările: „În<>de câte ori scade numărătorul și numitorul? Se va schimba fracția?
Un bun beneficiu îl reprezintă dungile, împărțite în 12, 6, 3 părți egale (Fig. 26).
H
12 6 3 Fig. 26
Pe baza exemplelor luate în considerare, elevii pot concluziona că fracția nu se va modifica dacă numărătorul și numitorul fracției sunt împărțite la același număr (redus de același număr de ori). Apoi se dă o concluzie generalizată - proprietatea principală a unei fracții: fracția nu se va schimba dacă numărătorul și numitorul fracției sunt mărite sau micșorate de același număr de ori.Numerele și expresiile care alcătuiesc expresia originală pot fi înlocuite cu expresii care sunt identic egale cu acestea. O astfel de transformare a expresiei originale duce la o expresie care este identic egală cu aceasta.
De exemplu, în expresia 3+x, numărul 3 poate fi înlocuit cu suma 1+2 , din care rezultă expresia (1+2)+x , care este identic egală cu expresia originală. Un alt exemplu: în expresia 1+a 5 gradul a 5 poate fi înlocuit cu un produs identic egal cu acesta, de exemplu, de forma a·a 4 . Aceasta ne va da expresia 1+a·a 4 .
Această transformare este, fără îndoială, artificială și este de obicei o pregătire pentru o transformare ulterioară. De exemplu, în suma 4·x 3 +2·x 2 , ținând cont de proprietățile gradului, termenul 4·x 3 poate fi reprezentat ca un produs 2·x 2 ·2·x . După o astfel de transformare, expresia originală va lua forma 2·x 2 ·2·x+2·x 2 . Evident, termenii din suma rezultată au un factor comun 2 x 2, deci putem efectua următoarea transformare - paranteze. După aceasta, vom ajunge la expresia: 2 x 2 (2 x+1) .
Adunarea și scăderea aceluiași număr
O altă transformare artificială a unei expresii este adunarea și scăderea aceluiași număr sau expresie în același timp. O astfel de transformare este identică, deoarece este, de fapt, echivalentă cu adăugarea zero, iar adăugarea zero nu schimbă valoarea.
Luați în considerare un exemplu. Să luăm expresia x 2 +2 x . Dacă unul i se adaugă și unul este luat, atunci acest lucru va permite să se realizeze încă o transformare identică în viitor - selectați pătratul binomului: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 −1.
Bibliografie.
- Algebră: manual pentru 7 celule. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVII-a. - M. : Educație, 2008. - 240 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Algebră: manual pentru 8 celule. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M. : Educație, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovich A. G. Algebră. clasa a 7-a. La 14:00 Partea 1. Manualul elevului institutii de invatamant/ A. G. Mordkovich. - Ed. a XVII-a, add. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 p.: ill. ISBN 978-5-346-02432-3.
Printre diverse expresii, care sunt considerate în algebră, loc important sunt sume de monomii. Iată exemple de astfel de expresii:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)
Suma monomiilor se numește polinom. Termenii dintr-un polinom sunt numiți membri ai polinomului. Mononoamele sunt denumite și polinoame, considerând un monom ca un polinom format dintr-un membru.
De exemplu, polinom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
poate fi simplificat.
Reprezentăm toți termenii sub formă de monomii vedere standard:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)
Dăm termeni similari în polinomul rezultat:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Rezultatul este un polinom, toți membrii căruia sunt monomii ale formei standard, iar printre ele nu există altele similare. Astfel de polinoame se numesc polinoame de formă standard.
In spate gradul polinom forma standard ia cea mai mare dintre puterile membrilor săi. Deci, binomul \(12a^2b - 7b \) are al treilea grad, iar trinomul \(2b^2 -7b + 6 \) are al doilea.
De obicei, membrii polinoamelor de formă standard care conțin o variabilă sunt aranjați în ordinea descrescătoare a exponenților acesteia. De exemplu:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)
Suma mai multor polinoame poate fi convertită (simplificată) într-o formă standard de polinom.
Uneori, membrii unui polinom trebuie împărțiți în grupuri, încadrând fiecare grup între paranteze. Deoarece parantezele sunt opusul parantezelor, este ușor de formulat reguli de deschidere a parantezelor:
Dacă semnul + este plasat înaintea parantezelor, atunci termenii încadrați între paranteze se scriu cu aceleași semne.
Dacă un semn „-” este plasat în fața parantezelor, atunci termenii cuprinsi între paranteze sunt scrise cu semne opuse.
Transformarea (simplificarea) a produsului dintre un monom și un polinom
Prin intermediul proprietate distributivăînmulțirile pot fi convertite (simplificate) într-un polinom, produsul dintre un monom și un polinom. De exemplu:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Produsul unui monom și al unui polinom este identic egal cu suma produselor acestui monom și a fiecăruia dintre termenii polinomului.
Acest rezultat este de obicei formulat ca o regulă.
Pentru a înmulți un monom cu un polinom, trebuie să înmulțim acest monom cu fiecare dintre termenii polinomului.
Am folosit în mod repetat această regulă pentru înmulțirea cu o sumă.
Produsul polinoamelor. Transformarea (simplificarea) produsului a două polinoame
În general, produsul a două polinoame este identic egal cu suma produsului fiecărui termen al unui polinom și al fiecărui termen al celuilalt.
Utilizați de obicei următoarea regulă.
Pentru a înmulți un polinom cu un polinom, trebuie să înmulțiți fiecare termen al unui polinom cu fiecare termen al celuilalt și să adăugați produsele rezultate.
Formule de înmulțire prescurtate. Sumă, diferență și pătrate diferențe
Cu unele expresii în transformări algebrice trebuie să se ocupe de mai mult decât alții. Poate că cele mai comune expresii sunt \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) și \(a^2 - b^2 \), adică pătratul sumei, pătratul diferenței și pătratul diferenței. Ați observat că numele expresiilor indicate par a fi incomplete, deci, de exemplu, \((a + b)^2 \) este, desigur, nu doar pătratul sumei, ci pătratul sumei lui a și b. Cu toate acestea, pătratul sumei lui a și b nu este atât de comun, de regulă, în loc de literele a și b, conține expresii diverse, uneori destul de complexe.
Expresiile \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) sunt ușor de convertit (simplificat) în polinoame de forma standard, de fapt, ați întâlnit deja o astfel de sarcină atunci când înmulțiți polinoame :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Identitățile rezultate sunt utile de reținut și aplicate fără calcule intermediare. Formulări verbale scurte ajută acest lucru.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - pătratul sumei este egal cu suma pătratelor și a produsului dublu.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - pătratul diferenței este suma pătratelor fără a dubla produsul.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - diferența de pătrate este egală cu produsul dintre diferență și suma.
Aceste trei identități permit transformărilor să înlocuiască părțile din stânga cu cele din dreapta și invers - părțile din dreapta cu cele din stânga. Cel mai dificil lucru în acest caz este să vedeți expresiile corespunzătoare și să înțelegeți ce variabilele a și b sunt înlocuite în ele. Să ne uităm la câteva exemple de utilizare a formulelor de înmulțire abreviate.
