Ang graph ng isang linear o quadratic inequality ay binuo sa parehong paraan tulad ng graph ng anumang function (equation). Ang pagkakaiba ay ang hindi pagkakapantay-pantay ay nagpapahiwatig ng maraming solusyon, kaya ang graph ng isang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi lamang isang punto sa isang linya ng numero o isang linya sa coordinate na eroplano. Sa pamamagitan ng paggamit mga operasyong matematikal at ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay, matutukoy ng isa ang hanay ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay.

Mga hakbang

Graphical na representasyon ng linear inequality sa number line

1. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay. Upang gawin ito, ihiwalay ang variable gamit ang parehong algebraic techniques na ginagamit mo upang malutas ang anumang equation. Tandaan na kapag nagpaparami o naghahati ng hindi pagkakapantay-pantay sa isang negatibong numero(o termino), baligtarin ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay.

   • Halimbawa, ibinigay ang hindi pagkakapantay-pantay 3 y + 9 > 12 (\displaystyle 3y+9>12). Upang ihiwalay ang isang variable, ibawas ang 9 sa magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay, at pagkatapos ay hatiin ang magkabilang panig ng 3:
     3 y + 9 > 12 (\displaystyle 3y+9>12)
     3 y + 9 − 9 > 12 − 9 (\displaystyle 3y+9-9>12-9)
     3 y > 3 (\displaystyle 3y>3)
     3 y 3 > 3 3 (\displaystyle (\frac (3y)(3))>(\frac (3)(3)))
     y > 1 (\displaystyle y>1)
   • Ang isang hindi pagkakapantay-pantay ay dapat magkaroon lamang ng isang variable. Kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay may dalawang variable, mas mainam na i-plot ang graph sa coordinate plane.

2. Gumuhit ng linya ng numero. Sa linya ng numero, markahan ang halaga na iyong nakita (ang variable ay maaaring mas mababa sa, mas malaki kaysa, o katumbas ng halagang ito). Gumuhit ng numerong linya ng naaangkop na haba (mahaba o maikli).

   • Halimbawa, kung kalkulahin mo iyon y > 1 (\displaystyle y>1), markahan ang halaga 1 sa linya ng numero.

3. Gumuhit ng bilog na kumakatawan sa nakitang halaga. Kung ang variable ay mas mababa sa ( < {\displaystyle <} ) o higit pang mga ( > (\displaystyle >)) ng halagang ito, hindi napupunan ang bilog dahil hindi kasama sa hanay ng solusyon ang halagang ito. Kung ang variable ay mas mababa sa o katumbas ng ( ≤ (\displaystyle \leq )) o mas malaki kaysa o katumbas ng ( ≥ (\displaystyle \geq )) sa halagang ito, ang bilog ay napunan dahil kasama sa hanay ng solusyon ang halagang ito.

   • y > 1 (\displaystyle y>1), sa linya ng numero, gumuhit ng bukas na bilog sa punto 1 dahil ang 1 ay wala sa hanay ng solusyon.

4. Sa linya ng numero, lilim ang rehiyon na tumutukoy sa hanay ng solusyon. Kung ang variable ay mas malaki kaysa sa halaga na natagpuan, lilim ang lugar sa kanan nito, dahil kasama sa hanay ng solusyon ang lahat ng mga halaga na mas malaki kaysa sa halaga na natagpuan. Kung ang variable ay mas mababa kaysa sa halaga na natagpuan, lilim ang lugar sa kaliwa nito, dahil kasama sa hanay ng solusyon ang lahat ng mga halaga na mas mababa kaysa sa halaga na natagpuan.

   • Halimbawa, kung bibigyan ng hindi pagkakapantay-pantay y > 1 (\displaystyle y>1), sa linya ng numero, lilim ang lugar sa kanan ng 1 dahil kasama sa hanay ng solusyon ang lahat ng value na higit sa 1.

   Graphic na representasyon ng linear inequality sa coordinate plane

   1. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay (hanapin ang halaga y (\displaystyle y)). Para makuha linear equation, ihiwalay ang variable sa kaliwang bahagi gamit ang kilala algebraic na pamamaraan. Dapat mayroong isang variable sa kanang bahagi x (\displaystyle x) at marahil ilang pare-pareho.

      • Halimbawa, ibinigay ang hindi pagkakapantay-pantay 3 y + 9 > 9 x (\displaystyle 3y+9>9x). Upang ihiwalay ang isang variable y (\displaystyle y), ibawas ang 9 sa magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay, at pagkatapos ay hatiin ang magkabilang panig ng 3:
        3 y + 9 > 9 x (\displaystyle 3y+9>9x)
        3 y + 9 − 9 > 9 x − 9 (\displaystyle 3y+9-9>9x-9)
        3 y > 9 x − 9 (\displaystyle 3y>9x-9)
        3 y 3 > 9 x − 9 3 (\displaystyle (\frac (3y)(3))>(\frac (9x-9)(3)))
        y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3)

   2. Gumuhit ng graph ng isang linear equation sa coordinate plane. gumuhit ng isang graph tulad ng gagawin mo sa isang graph ng anumang linear equation. I-plot ang Y-intercept at pagkatapos ay gamitin ang slope upang i-plot ang iba pang mga punto.

      • y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3) i-graph ang equation y = 3 x − 3 (\displaystyle y=3x-3). Ang punto ng intersection sa Y axis ay may mga coordinate at dalisdis katumbas ng 3 (o 3 1 (\displaystyle (\frac (3)(1)))). Kaya unang i-plot ang punto na may mga coordinate (0 , − 3) (\displaystyle (0,-3)); ang punto sa itaas ng y-axis intersection point ay may mga coordinate (1 , 0) (\displaystyle (1,0)); ang punto sa ibaba ng Y-axis intersection point ay may mga coordinate (− 1 , − 6) (\displaystyle (-1,-6))

   3. Gumuhit ng isang tuwid na linya. Kung mahigpit ang hindi pagkakapantay-pantay (kasama ang sign < {\displaystyle <} o > (\displaystyle >)), gumuhit ng isang tuldok na linya dahil ang hanay ng solusyon ay hindi kasama ang mga halaga sa linya. Kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi mahigpit (kasama ang sign ≤ (\displaystyle \leq ) o ≥ (\displaystyle \geq )), gumuhit ng solidong linya dahil ang hanay ng solusyon ay may kasamang mga halaga na nasa linya.

      • Halimbawa, sa kaso ng hindi pagkakapantay-pantay y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3) gumuhit ng isang tuldok na linya dahil ang hanay ng solusyon ay hindi kasama ang mga halaga sa linya.

   4. Lilim ang angkop na lugar. Kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay nasa anyo y > m x + b (\displaystyle y>mx+b), lilim ang lugar sa itaas ng linya. Kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay nasa anyo y< m x + b {\displaystyle y, lilim ang lugar sa ilalim ng linya.

      • Halimbawa, sa kaso ng hindi pagkakapantay-pantay y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3) lilim ang lugar sa itaas ng linya.

   Graphical na representasyon ng quadratic inequality sa coordinate plane

   1. Tukuyin na ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay parisukat. Quadratic inequality parang a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c). Minsan ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi naglalaman ng isang variable ng unang order ( x (\displaystyle x)) at/o isang libreng termino (constant), ngunit kinakailangang may kasamang pangalawang-order na variable ( x 2 (\displaystyle x^(2))). Mga variable x (\displaystyle x) At y (\displaystyle y) dapat na ihiwalay sa iba't ibang panig ng hindi pagkakapantay-pantay.

      • Halimbawa, kailangan mong i-plot ang hindi pagkakapantay-pantay y< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y.

   2. Gumuhit ng graph sa coordinate plane. Upang gawin ito, i-convert ang hindi pagkakapantay-pantay sa isang equation at i-graph ito gaya ng pag-graph mo ng anumang quadratic equation. Tandaan na ang graph ng isang quadratic equation ay isang parabola.

      • Halimbawa, sa kaso ng hindi pagkakapantay-pantay y< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y graph ng isang quadratic equation y = x 2 − 10 x + 16 (\displaystyle y=x^(2)-10x+16). Ang vertex ng parabola ay nasa punto (5 , − 9) (\displaystyle (5,-9)), at ang parabola ay nag-intersect sa X axis sa mga punto (2 , 0) (\displaystyle (2,0)) At (8 , 0) (\displaystyle (8,0)).

Ang hindi pagkakapantay-pantay ay dalawang numero o mathematical expression na konektado ng isa sa mga palatandaan: > (mas malaki kaysa, sa kaso ng mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay),< (меньше, в случае строгих неравенств), ≥ (больше или равно, в случае нестрогих неравенств), ≤ (меньше или равно, в случае нестрогих неравенств).

Ang hindi pagkakapantay-pantay ay linear sa ilalim ng parehong mga kondisyon tulad ng equation: naglalaman ito ng mga variable hanggang sa unang antas lamang at hindi naglalaman ng mga produkto ng mga variable.

Solusyon mga linear na hindi pagkakapantay-pantay at ang mga sistema ng linear inequalities ay inextricably na nauugnay sa kanilang geometric na kahulugan: ang solusyon sa isang linear inequality ay isang tiyak na kalahating eroplano kung saan ang buong eroplano ay nahahati sa isang tuwid na linya, ang equation na tumutukoy sa linear inequality. Ang kalahating eroplano na ito, at sa kaso ng isang sistema ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay, ang bahagi ng eroplano na limitado ng ilang tuwid na linya, ay dapat na matagpuan sa pagguhit.

Maraming mga problema sa ekonomiya, sa partikular, ang mga problema sa linear programming, kung saan kinakailangan upang mahanap ang maximum o minimum ng isang function, ay nabawasan sa paglutas ng mga sistema ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay na may malaking bilang ng mga variable.

Paglutas ng mga sistema ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay sa anumang bilang ng mga hindi alam

Una, tingnan natin ang mga linear na hindi pagkakapantay-pantay sa eroplano. Isaalang-alang ang isang hindi pagkakapantay-pantay na may dalawang variable at :

,

kung saan ang mga koepisyent ng mga variable (ilang numero), ay ang libreng termino (ilang numero din).

Ang isang hindi pagkakapantay-pantay na may dalawang hindi alam, tulad ng isang equation, ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon. Ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay na ito ay isang pares ng mga numero na nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay na ito. Sa geometrically, ang hanay ng mga solusyon sa isang hindi pagkakapantay-pantay ay inilalarawan bilang isang kalahating eroplano na nakatali ng isang tuwid na linya

,

na tatawagin nating boundary line.

Hakbang 1. Bumuo ng isang linya na nagliligpit sa hanay ng mga solusyon sa isang linear na hindi pagkakapantay-pantay

Upang gawin ito, kailangan mong malaman ang anumang dalawang punto sa linyang ito. Hanapin natin ang mga punto ng intersection sa mga coordinate axes. Intersection ordinate A katumbas ng zero (Figure 1). Ang mga numerical na halaga sa mga axes sa figure na ito ay tumutukoy sa halimbawa 1, na susuriin namin kaagad pagkatapos ng teoretikal na iskursiyon na ito.

Nahanap namin ang abscissa sa pamamagitan ng paglutas ng equation ng linya na may equation ng axis bilang isang sistema.

Hanapin natin ang intersection sa axis:

Ang pagpapalit ng halaga sa unang equation, nakukuha natin

saan .

Kaya, natagpuan namin ang abscissa ng punto A .

Hanapin natin ang mga coordinate ng punto ng intersection sa axis.

Mga tuldok ng abscissa B katumbas ng zero. Lutasin natin ang equation ng boundary line na may equation ng coordinate axis:

,

samakatuwid, ang mga coordinate ng punto B: .

Hakbang 2. Gumuhit ng isang tuwid na linya na naglilimita sa hanay ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay. Alam ang mga punto A At B intersection ng boundary line na may coordinate axes, maaari nating iguhit ang linyang ito. Ang isang tuwid na linya (muling Figure 1) ay naghahati sa buong eroplano sa dalawang bahagi na nakahiga sa kanan at kaliwa (sa itaas at sa ibaba) ng tuwid na linya na ito.

Hakbang 3. Tukuyin kung aling kalahating eroplano ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay na ito. Upang gawin ito, kailangan mong palitan ang pinagmulan ng mga coordinate (0; 0) sa hindi pagkakapantay-pantay na ito. Kung ang mga coordinate ng pinagmulan ay nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay, kung gayon ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ay ang kalahating eroplano kung saan matatagpuan ang pinagmulan ng mga coordinate. Kung ang mga coordinate ay hindi nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay, kung gayon ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ay isang kalahating eroplano na hindi naglalaman ng pinagmulan. Ang kalahating eroplano ng solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ay ilalarawan ng mga stroke mula sa tuwid na linya patungo sa kalahating eroplano, tulad ng sa Figure 1.

Kung malulutas natin ang isang sistema ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay, pagkatapos ay isasagawa ang bawat hakbang para sa bawat hindi pagkakapantay-pantay ng system.

Halimbawa 1. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay

Solusyon. Gumuhit tayo ng isang tuwid na linya

Ang pagpapalit ng isang tuwid na linya sa equation, makuha natin ang , at ang pagpapalit ng , makuha natin ang . Samakatuwid, ang mga coordinate ng mga punto ng intersection sa mga axes ay magiging A(3; 0) , B(0; 2) . Gumuhit tayo ng isang tuwid na linya sa mga puntong ito (muli, Figure 1).

Pumili tayo ng kalahating eroplano ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay. Upang gawin ito, pinapalitan namin ang mga coordinate ng pinagmulan (0; 0) sa hindi pagkakapantay-pantay:

nakukuha namin , ibig sabihin, ang mga coordinate ng pinagmulan ay nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay na ito. Dahil dito, ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ay ang kalahating eroplano na naglalaman ng pinagmulan ng mga coordinate, ibig sabihin, ang kaliwa (aka mas mababang) kalahating eroplano.

Kung ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay mahigpit, iyon ay, magkakaroon ito ng anyo

kung gayon ang mga punto ng linya ng hangganan ay hindi magiging isang solusyon, dahil hindi nila natutugunan ang hindi pagkakapantay-pantay.

Ngayon isaalang-alang ang isang sistema ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay na may dalawang hindi alam:

Ang bawat isa sa mga hindi pagkakapantay-pantay ng sistemang ito sa eroplano ay tumutukoy sa isang kalahating eroplano. Ang isang sistema ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay ay tinatawag na pare-pareho kung mayroon itong kahit isang solusyon, at hindi pare-pareho kung wala itong mga solusyon. Ang solusyon sa isang sistema ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay ay anumang pares ng mga numero () na nakakatugon sa lahat ng hindi pagkakapantay-pantay ng ibinigay na sistema.

Sa geometriko, ang solusyon sa isang sistema ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay ay ang hanay ng mga puntos na nakakatugon sa lahat ng hindi pagkakapantay-pantay ng sistema, iyon ay, ang karaniwang bahagi ng mga nagresultang kalahating eroplano. Samakatuwid, sa geometrically, sa pangkalahatang kaso, ang solusyon ay maaaring ilarawan sa anyo ng ilang polygon sa isang partikular na kaso, maaari itong maging isang linya, isang segment, o kahit na isang punto. Kung ang isang sistema ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay ay hindi pare-pareho, kung gayon walang isang punto sa eroplano na nakakatugon sa lahat ng hindi pagkakapantay-pantay ng sistema.

Halimbawa 2.

Solusyon. Kaya, kailangan nating maghanap ng polygon ng mga solusyon sa sistemang ito ng hindi pagkakapantay-pantay. Bumuo tayo ng isang linya ng hangganan para sa unang hindi pagkakapantay-pantay, iyon ay, isang linya, at isang linya ng hangganan para sa pangalawang hindi pagkakapantay-pantay, iyon ay, isang linya.

Ginagawa namin ito nang sunud-sunod, tulad ng ipinakita sa teoretikal na sanggunian at sa halimbawa 1, lalo na dahil sa halimbawa 1 nagtayo kami ng isang linya ng hangganan para sa hindi pagkakapantay-pantay, na siyang una sa sistemang ito.

Ang mga kalahating eroplano ng mga solusyon na tumutugma sa mga hindi pagkakapantay-pantay ng sistemang ito ay inilalagay sa loob sa Figure 2. Ang karaniwang bahagi ng solusyon na kalahating eroplano ay isang bukas na anggulo ABC. Nangangahulugan ito na ang hanay ng mga punto sa eroplano na bumubuo sa isang bukas na anggulo ABC, ay isang solusyon sa una at pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ng system, iyon ay, ito ay isang solusyon sa isang sistema ng dalawang linear na hindi pagkakapantay-pantay. Sa madaling salita, ang mga coordinate ng anumang punto mula sa set na ito ay nakakatugon sa parehong hindi pagkakapantay-pantay ng system.

Halimbawa 3. Lutasin ang isang sistema ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay

Solusyon. Bumuo tayo ng mga linya ng hangganan na tumutugma sa mga hindi pagkakapantay-pantay ng sistema. Ginagawa namin ito sa pamamagitan ng pagsunod sa mga hakbang na ibinigay sa teoretikal na tulong para sa bawat hindi pagkakapantay-pantay. Ngayon ay tinutukoy namin ang kalahating eroplano ng mga solusyon para sa bawat hindi pagkakapantay-pantay (Larawan 3).

Ang mga kalahating eroplano ng mga solusyon na tumutugma sa mga hindi pagkakapantay-pantay ng isang naibigay na sistema ay inilalagay sa loob. Ang intersection ng kalahating eroplano ng mga solusyon ay inilalarawan, tulad ng ipinapakita sa figure, sa anyo ng isang quadrilateral ABCE. Natagpuan namin na ang polygon ng mga solusyon sa isang sistema ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay na may dalawang variable ay isang quadrilateral ABCE .

Lahat ng inilarawan sa itaas tungkol sa mga sistema ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay na may dalawang hindi alam ay nalalapat din sa mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay na may anumang bilang ng mga hindi alam, na may pagkakaiba lamang na ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay sa n ang hindi alam ay magiging kabuuan n mga numero () na nagbibigay-kasiyahan sa lahat ng hindi pagkakapantay-pantay, at sa halip na linya ng hangganan ay magkakaroon ng boundary hyperplane n-dimensional na espasyo. Ang solusyon ay magiging isang solusyon polyhedron (simplex) bounded sa pamamagitan ng hyperplanes.

Paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay sa dalawang variable, at higit pa mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay na may dalawang variable, tila isang mahirap na gawain. Gayunpaman, mayroong isang simpleng algorithm na tumutulong sa paglutas ng tila napakakomplikadong mga problema ng ganitong uri nang madali at walang labis na pagsisikap. Subukan nating malaman ito.

Magkaroon tayo ng hindi pagkakapantay-pantay na may dalawang variable ng isa sa mga sumusunod na uri:

y > f(x); y ≥ f(x); y< f(x); y ≤ f(x).

Upang ilarawan ang hanay ng mga solusyon sa gayong hindi pagkakapantay-pantay sa coordinate plane, magpatuloy bilang sumusunod:

1. Bumuo kami ng isang graph ng function na y = f(x), na naghahati sa eroplano sa dalawang rehiyon.

2. Piliin ang alinman sa mga resultang lugar at suriin ito di-makatwirang punto. Sinusuri namin ang pagiging posible ng orihinal na hindi pagkakapantay-pantay para sa puntong ito. Kung ang resulta ng pagsusulit ay tama hindi pagkakapantay-pantay ng numero, pagkatapos ay napagpasyahan namin na ang orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay nananatili sa buong rehiyon kung saan nabibilang ang napiling punto. Kaya, ang hanay ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ay ang rehiyon kung saan nabibilang ang napiling punto. Kung ang resulta ng tseke ay isang maling numerical inequality, ang hanay ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ay ang pangalawang rehiyon kung saan hindi nabibilang ang napiling punto.

3. Kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit, kung gayon ang mga hangganan ng rehiyon, iyon ay, ang mga punto ng graph ng function na y = f(x), ay hindi kasama sa hanay ng mga solusyon at ang hangganan ay inilalarawan na may tuldok na linya. Kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi mahigpit, kung gayon ang mga hangganan ng rehiyon, iyon ay, ang mga punto ng graph ng function na y = f(x), ay kasama sa hanay ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay na ito at ang hangganan sa kasong ito ay inilalarawan. solidong linya.
Ngayon tingnan natin ang ilang mga problema sa paksang ito.

Gawain 1.

Anong set ng mga puntos ang ibinibigay ng hindi pagkakapantay-pantay x · y ≤ 4?

Solusyon.

1) Bumubuo kami ng graph ng equation x · y = 4. Para magawa ito, binago muna namin ito. Malinaw, x in sa kasong ito ay hindi nagiging 0, dahil kung hindi, magkakaroon tayo ng 0 · y = 4, na hindi tama. Nangangahulugan ito na maaari nating hatiin ang ating equation sa x. Nakukuha namin ang: y = 4/x. Ang graph ng function na ito ay isang hyperbola. Hinahati nito ang buong eroplano sa dalawang rehiyon: ang isa sa pagitan ng dalawang sangay ng hyperbola at ang nasa labas ng mga ito.

2) Pumili tayo ng arbitraryong punto mula sa unang rehiyon, hayaan itong maging punto (4; 2).
Suriin natin ang hindi pagkakapantay-pantay: 4 · 2 ≤ 4 – mali.

Nangangahulugan ito na ang mga punto ng rehiyong ito ay hindi nakakatugon sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay. Pagkatapos ay maaari nating tapusin na ang hanay ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ay ang pangalawang rehiyon kung saan ang napiling punto ay hindi nabibilang.

3) Dahil hindi mahigpit ang hindi pagkakapantay-pantay, iginuhit namin ang mga boundary point, iyon ay, ang mga punto ng graph ng function na y = 4/x, na may solidong linya.

Kulayan natin ang hanay ng mga puntos na tumutukoy sa orihinal na hindi pagkakapantay-pantay, dilaw (Larawan 1).

Gawain 2.

Iguhit ang lugar na tinukoy sa coordinate plane ng system
( y > x 2 + 2;
(y + x > 1;
( x 2 + y 2 ≤ 9.

Solusyon.

Magsimula tayo sa pagbuo ng mga graphics sumusunod na mga function (Larawan 2):

y = x 2 + 2 – parabola,

y + x = 1 – tuwid na linya

x 2 + y 2 = 9 – bilog.

1) y > x 2 + 2.

Kinukuha namin ang punto (0; 5), na nasa itaas ng graph ng function.
Suriin natin ang hindi pagkakapantay-pantay: 5 > 0 2 + 2 – totoo.

Dahil dito, ang lahat ng puntos na nasa itaas ng ibinigay na parabola y = x 2 + 2 ay nakakatugon sa unang hindi pagkakapantay-pantay ng sistema. Pintahan natin sila ng dilaw.

2) y + x > 1.

Kinukuha namin ang punto (0; 3), na nasa itaas ng graph ng function.
Suriin natin ang hindi pagkakapantay-pantay: 3 + 0 > 1 – totoo.

Dahil dito, ang lahat ng mga puntos na nasa itaas ng tuwid na linya y + x = 1 ay nakakatugon sa pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ng sistema. Pintahan natin sila ng berdeng pagtatabing.

3) x 2 + y 2 ≤ 9.

Kunin ang punto (0; -4), na nasa labas ng bilog x 2 + y 2 = 9.
Suriin natin ang hindi pagkakapantay-pantay: 0 2 + (-4) 2 ≤ 9 – mali.

Samakatuwid, ang lahat ng mga punto na nakahiga sa labas ng bilog x 2 + y 2 = 9, huwag bigyang-kasiyahan ang ikatlong hindi pagkakapantay-pantay ng sistema. Pagkatapos ay maaari nating tapusin na ang lahat ng mga punto na nakahiga sa loob ng bilog x 2 + y 2 = 9 ay nakakatugon sa ikatlong hindi pagkakapantay-pantay ng sistema. Pintahan natin sila ng purple shading.

Huwag kalimutan na kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit, kung gayon ang kaukulang linya ng hangganan ay dapat na iguguhit na may tuldok na linya. Nakukuha namin ang sumusunod na larawan (Larawan 3).

(Larawan 4).

Gawain 3.

Iguhit ang lugar na tinukoy sa coordinate plane ng system:
(x 2 + y 2 ≤ 16;
(x ≥ -y;
(x 2 + y 2 ≥ 4.

Solusyon.

Upang magsimula, bumuo kami ng mga graph ng mga sumusunod na function:

x 2 + y 2 = 16 – bilog,

x = -y – tuwid

x 2 + y 2 = 4 – bilog (Larawan 5).

Ngayon tingnan natin ang bawat hindi pagkakapantay-pantay nang hiwalay.

1) x 2 + y 2 ≤ 16.

Kunin ang punto (0; 0), na nasa loob ng bilog x 2 + y 2 = 16.
Suriin natin ang hindi pagkakapantay-pantay: 0 2 + (0) 2 ≤ 16 – totoo.

Samakatuwid, ang lahat ng mga puntos na nakahiga sa loob ng bilog x 2 + y 2 = 16 ay nakakatugon sa unang hindi pagkakapantay-pantay ng sistema.
Pintahan natin sila ng red shading.

Kinukuha namin ang punto (1; 1), na nasa itaas ng graph ng function.
Suriin natin ang hindi pagkakapantay-pantay: 1 ≥ -1 – totoo.

Dahil dito, ang lahat ng mga puntos na nasa itaas ng linyang x = -y ay nakakatugon sa pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ng sistema. Pintahan natin sila ng asul na pagtatabing.

3) x 2 + y 2 ≥ 4.

Kunin ang punto (0; 5), na nasa labas ng bilog x 2 + y 2 = 4.
Suriin natin ang hindi pagkakapantay-pantay: 0 2 + 5 2 ≥ 4 – totoo.

Dahil dito, ang lahat ng mga puntos na nasa labas ng bilog x 2 + y 2 = 4 ay nakakatugon sa ikatlong hindi pagkakapantay-pantay ng sistema. Pintahan natin sila ng asul.

Sa problemang ito, ang lahat ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi mahigpit, na nangangahulugan na gumuhit tayo ng lahat ng mga hangganan na may isang solidong linya. Nakukuha namin ang sumusunod na larawan (Larawan 6).

Ang lugar ng paghahanap ay ang lugar kung saan ang lahat ng tatlong kulay na lugar ay nagsalubong sa isa't isa (Larawan 7).

May mga tanong pa ba? Hindi mo alam kung paano lutasin ang isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay na may dalawang variable?
Upang makakuha ng tulong mula sa isang tagapagturo -.
Ang unang aralin ay libre!

blog.site, kapag kumukopya ng materyal nang buo o bahagi, kinakailangan ang isang link sa orihinal na pinagmulan.

Mayroon lamang "X's" at abscissa axis lamang, ngunit ngayon ay idinagdag ang "Y's" at ang larangan ng aktibidad ay lumalawak sa buong coordinate plane. Dagdag pa sa teksto, ang pariralang "linear inequality" ay nauunawaan sa isang two-dimensional na kahulugan, na magiging malinaw sa loob ng ilang segundo.

Bukod sa analytical geometry, ang materyal ay may kaugnayan para sa isang bilang ng mga gawain pagsusuri sa matematika, ekonomiya pagmomodelo ng matematika, kaya inirerekomenda ko na pag-aralan mo ang panayam na ito nang buong kaseryosohan.

Mga linear na hindi pagkakapantay-pantay

Mayroong dalawang uri ng linear inequalities:

1) Mahigpit hindi pagkakapantay-pantay: .

2) Lax hindi pagkakapantay-pantay: .

Alin geometriko na kahulugan ang mga hindi pagkakapantay-pantay na ito? Kung ang isang linear na equation ay tumutukoy sa isang linya, ang isang linear na hindi pagkakapantay-pantay ay tumutukoy kalahating eroplano.

Upang maunawaan ang impormasyon sa ibaba, kailangan mong malaman ang mga uri ng mga tuwid na linya sa isang eroplano at makabuo ng mga tuwid na linya. Kung mayroon kang anumang mga paghihirap sa bahaging ito, basahin ang tulong Mga graph at katangian ng mga function– talata tungkol sa linear function.

Magsimula tayo sa pinakasimpleng linear inequalities. Ang pangarap ng bawat mahirap na mag-aaral ay isang coordinate plane kung saan walang anuman:

Tulad ng alam mo, ang x-axis ay ibinibigay ng equation - ang "y" ay palaging (para sa anumang halaga ng "x") ay katumbas ng zero

Isaalang-alang natin ang hindi pagkakapantay-pantay. Paano ito impormal na unawain? Ang "Y" ay palaging positibo (para sa anumang halaga ng "x"). Malinaw, ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay tumutukoy sa itaas na kalahating eroplano - pagkatapos ng lahat, ang lahat ng mga puntos na may positibong "mga laro" ay matatagpuan doon.

Sa kaganapan na ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi mahigpit, sa itaas na kalahating eroplano dagdag pa ang axis mismo ay idinagdag.

Katulad nito: ang hindi pagkakapantay-pantay ay natutugunan ng lahat ng mga punto ng mas mababang kalahating eroplano;

Ang parehong prosaic na kuwento ay may y-axis:

– ang hindi pagkakapantay-pantay ay tumutukoy sa tamang kalahating eroplano;
– ang hindi pagkakapantay-pantay ay tumutukoy sa tamang kalahating eroplano, kabilang ang ordinate axis;
– ang hindi pagkakapantay-pantay ay tumutukoy sa kaliwang kalahating eroplano;
– ang hindi pagkakapantay-pantay ay tumutukoy sa kaliwang kalahating eroplano, kabilang ang ordinate axis.

Sa ikalawang hakbang, isinasaalang-alang namin ang mga hindi pagkakapantay-pantay kung saan nawawala ang isa sa mga variable.

Walang "Y":

O walang "x":

Ang mga hindi pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring harapin sa dalawang paraan: mangyaring isaalang-alang ang parehong mga diskarte. Sa daan, tandaan at pagsamahin natin ang mga aksyon ng paaralan na may mga hindi pagkakapantay-pantay, na napag-usapan na sa klase Function na Domain.

Halimbawa 1

Lutasin ang mga linear na hindi pagkakapantay-pantay:

Ano ang ibig sabihin ng paglutas ng linear inequality?

Ang paglutas ng linear inequality ay nangangahulugan ng paghahanap ng kalahating eroplano, na ang mga punto ay nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay na ito (kasama ang linya mismo, kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi mahigpit). Solusyon, kadalasan, graphic.

Ito ay mas maginhawa upang agad na isagawa ang pagguhit at pagkatapos ay magkomento sa lahat:

a) Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay

Pamamaraan isa

Ang pamamaraan ay lubos na nakapagpapaalaala sa kuwento na may mga coordinate axes, na aming tinalakay sa itaas. Ang ideya ay upang baguhin ang hindi pagkakapantay-pantay - upang iwanan ang isang variable sa kaliwang bahagi nang walang anumang mga pare-pareho, sa kasong ito ang variable na "x".

Panuntunan: Sa isang hindi pagkakapantay-pantay, ang mga termino ay inililipat mula sa bahagi patungo sa bahagi na may pagbabago ng tanda, habang ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay Mismo hindi nagbabago(halimbawa, kung mayroong isang “mas mababa sa” sign, ito ay mananatiling “mas mababa sa”).

Inilipat namin ang "limang" sa kanang bahagi may pagbabago ng tanda:

Panuntunan POSITIBO hindi nagbabago.

Ngayon gumuhit ng isang tuwid na linya (asul na tuldok na linya). Ang tuwid na linya ay iginuhit bilang isang tuldok na linya dahil ang hindi pagkakapantay-pantay mahigpit, at ang mga puntong kabilang sa linyang ito ay tiyak na hindi isasama sa solusyon.

Ano ang kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay? Ang "X" ay palaging (para sa anumang halaga ng "Y") ay mas mababa sa . Malinaw, ang pahayag na ito ay nasiyahan sa lahat ng mga punto ng kaliwang kalahating eroplano. Ang kalahating eroplano na ito, sa prinsipyo, ay maaaring i-shade, ngunit lilimitahan ko ang aking sarili sa maliliit na asul na mga arrow upang hindi gawing isang artistikong palette ang pagguhit.

Ikalawang pamamaraan

Ito ay isang unibersal na pamamaraan. BASAHIN NG MABUTI!

Una, gumuhit kami ng isang tuwid na linya. Para sa kalinawan, sa pamamagitan ng paraan, ito ay ipinapayong ipakita ang equation sa form .

Ngayon pumili ng anumang punto sa eroplano, hindi kabilang sa direktang. Sa karamihan ng mga kaso, ang matamis na lugar ay, siyempre. Palitan natin ang mga coordinate ng puntong ito sa hindi pagkakapantay-pantay:

Natanggap huwad na hindi pagkakapantay-pantay (sa simpleng salita, hindi ito maaaring maging), na nangangahulugan na ang punto ay hindi nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay .

Pangunahing Panuntunan ating gawain:
hindi nasiyahan hindi pagkakapantay-pantay, kung gayon LAHAT mga punto ng isang ibinigay na kalahating eroplano huwag masiyahan ang hindi pagkakapantay-pantay na ito.
– Kung anumang punto ng kalahating eroplano (hindi kabilang sa isang linya) nakakabusog hindi pagkakapantay-pantay, kung gayon LAHAT mga punto ng isang ibinigay na kalahating eroplano masiyahan ang hindi pagkakapantay-pantay na ito.

Maaari mong subukan: anumang punto sa kanan ng linya ay hindi masisiyahan ang hindi pagkakapantay-pantay.

Ano ang konklusyon mula sa eksperimento sa punto? Walang mapupuntahan, ang hindi pagkakapantay-pantay ay nasiyahan sa lahat ng mga punto ng isa pa - kaliwang kalahating eroplano (maaari mo ring suriin).

b) Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay

Pamamaraan isa

Ibahin natin ang hindi pagkakapantay-pantay:

Panuntunan: Ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring i-multiply (hatiin) ng NEGATIBO numero, na may tanda ng hindi pagkakapantay-pantay NAGBABAGO sa kabaligtaran (halimbawa, kung mayroong isang "mas malaki kaysa sa o katumbas" na senyales, ito ay magiging "mas mababa sa o katumbas").

Pinaparami namin ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng:

Gumuhit tayo ng isang tuwid na linya (pula), at gumuhit ng isang solidong linya, dahil mayroon tayong hindi pagkakapantay-pantay hindi mahigpit, at ang tuwid na linya ay malinaw na kabilang sa solusyon.

Ang pagkakaroon ng pag-aralan ang nagresultang hindi pagkakapantay-pantay, dumating kami sa konklusyon na ang solusyon nito ay ang mas mababang kalahating eroplano (+ ang tuwid na linya mismo).

Inilalagay namin o minarkahan ang naaangkop na kalahating eroplano na may mga arrow.

Ikalawang pamamaraan

Gumuhit tayo ng isang tuwid na linya. Pumili tayo ng isang di-makatwirang punto sa eroplano (hindi kabilang sa isang linya), halimbawa, at palitan ang mga coordinate nito sa ating hindi pagkakapantay-pantay:

Natanggap tunay na hindi pagkakapantay-pantay, na nangangahulugan na ang punto ay nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay, at sa pangkalahatan, ang LAHAT ng mga punto ng mas mababang kalahating eroplano ay nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay na ito.

Dito, kasama ang pang-eksperimentong punto, "natamaan" namin ang ninanais na kalahating eroplano.

Ang solusyon sa problema ay ipinahiwatig ng isang pulang linya at mga pulang arrow.

Sa personal, mas gusto ko ang unang solusyon, dahil ang pangalawa ay mas pormal.

Halimbawa 2

Lutasin ang mga linear na hindi pagkakapantay-pantay:

Ito ay isang halimbawa para sa malayang desisyon. Subukang lutasin ang problema sa dalawang paraan (sa pamamagitan ng paraan, ito ay magandang paraan pagsuri sa solusyon). Ang sagot sa pagtatapos ng aralin ay maglalaman lamang ng pangwakas na guhit.

Sa palagay ko, pagkatapos ng lahat ng mga aksyon na ginawa sa mga halimbawa, kakailanganin mong pakasalan sila;

Magpatuloy tayo upang isaalang-alang ang pangatlo, pangkalahatang kaso, kapag ang parehong mga variable ay naroroon sa hindi pagkakapantay-pantay:

Bilang kahalili, ang libreng terminong "ce" ay maaaring maging zero.

Halimbawa 3

Maghanap ng mga kalahating eroplano na tumutugma sa mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay:

Solusyon: Ginamit dito unibersal na pamamaraan mga solusyon na may pagpapalit ng punto.

a) Bumuo tayo ng isang equation para sa tuwid na linya, at ang linya ay dapat iguhit bilang isang tuldok na linya, dahil ang hindi pagkakapantay-pantay ay mahigpit at ang tuwid na linya mismo ay hindi isasama sa solusyon.

Pumili kami ng isang pang-eksperimentong punto ng eroplano na hindi kabilang sa isang naibigay na linya, halimbawa, at pinapalitan ang mga coordinate nito sa aming hindi pagkakapantay-pantay:

Natanggap huwad na hindi pagkakapantay-pantay, na nangangahulugan na ang punto at LAHAT ng mga punto ng isang ibinigay na kalahating eroplano ay hindi nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay. Ang solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ay magiging isa pang kalahating eroplano, hangaan natin ang asul na kidlat:

b) Lutasin natin ang hindi pagkakapantay-pantay. Una, gumawa tayo ng isang tuwid na linya. Hindi ito mahirap gawin; mayroon tayong canonical direct proportionality. Patuloy kaming gumuhit ng linya, dahil ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi mahigpit.

Pumili tayo ng di-makatwirang punto ng eroplano na hindi kabilang sa tuwid na linya. Gusto kong gamitin muli ang pinanggalingan, ngunit, sayang, hindi ito angkop ngayon. Samakatuwid, kakailanganin mong magtrabaho kasama ang isa pang kaibigan. Ito ay mas kumikita upang kunin ang punto mula sa maliliit na halaga mga coordinate, halimbawa, . Ipalit natin ang mga coordinate nito sa ating hindi pagkakapantay-pantay:

Natanggap tunay na hindi pagkakapantay-pantay, na nangangahulugan na ang punto at lahat ng mga punto ng isang ibinigay na kalahating eroplano ay nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay . Ang nais na kalahating eroplano ay minarkahan ng mga pulang arrow. Bilang karagdagan, kasama sa solusyon ang mismong tuwid na linya.

Halimbawa 4

Maghanap ng mga kalahating eroplano na tumutugma sa mga hindi pagkakapantay-pantay:

Ito ay isang halimbawa para sa iyo upang malutas sa iyong sarili. Kumpletong solusyon, isang tinatayang sample ng huling disenyo at ang sagot sa katapusan ng aralin.

Ayusin natin ito baligtad na problema:

Halimbawa 5

a) Binigyan ng tuwid na linya. Tukuyin ang kalahating eroplano kung saan matatagpuan ang punto, habang ang tuwid na linya mismo ay dapat na kasama sa solusyon.

b) Binigyan ng tuwid na linya. Tukuyin kalahating eroplano kung saan matatagpuan ang punto. Ang tuwid na linya mismo ay hindi kasama sa solusyon.

Solusyon: Hindi na kailangan ng drawing dito at ang solusyon ay magiging analytical. Walang mahirap:

a) Gumawa tayo ng auxiliary polynomial at kalkulahin ang halaga nito sa punto:
. Kaya, ang nais na hindi pagkakapantay-pantay ay magkakaroon ng "mas mababa sa" senyales. Sa pamamagitan ng kondisyon, ang tuwid na linya ay kasama sa solusyon, kaya ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi magiging mahigpit:

b) Bumuo tayo ng polynomial at kalkulahin ang halaga nito sa punto:
. Kaya, ang ninanais na hindi pagkakapantay-pantay ay magkakaroon ng "mas malaki kaysa" na senyales. Sa pamamagitan ng kondisyon, ang tuwid na linya ay hindi kasama sa solusyon, samakatuwid, ang hindi pagkakapantay-pantay ay magiging mahigpit: .

Sagot:

Malikhaing halimbawa Para sa sariling pag-aaral:

Halimbawa 6

Binigyan ng mga puntos at isang tuwid na linya. Sa mga nakalistang punto, hanapin ang mga iyon, kasama ang pinanggalingan ng mga coordinate, ay nasa parehong gilid ng ibinigay na linya.

Isang maliit na pahiwatig: kailangan mo munang lumikha ng isang hindi pagkakapantay-pantay na tumutukoy sa kalahating eroplano kung saan matatagpuan ang pinagmulan ng mga coordinate. Analitikal na solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Mga sistema ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay

Ang isang sistema ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay ay, tulad ng naiintindihan mo, isang sistema na binubuo ng ilang mga hindi pagkakapantay-pantay. Lol, well, binigay ko ang definition =) Hedgehog is a hedgehog, a knife is a knife. Ngunit ito ay totoo - ito ay naging simple at naa-access! Hindi, seryoso, ayaw kong magbigay ng anumang mga halimbawa ng pangkalahatang pananaw, kaya dumiretso tayo sa mga isyu sa pagpindot:

Ano ang ibig sabihin ng paglutas ng isang sistema ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay?

Lutasin ang isang sistema ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay- ibig sabihin nito hanapin ang hanay ng mga punto sa eroplano, na nagbibigay-kasiyahan sa bawat isa hindi pagkakapantay-pantay ng sistema.

Bilang pinakasimpleng mga halimbawa, isaalang-alang natin ang mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay na tumutukoy sa mga coordinate quarter hugis-parihaba na sistema mga coordinate (“ang larawan ng mga mahihirap na mag-aaral” ay nasa pinakasimula ng aralin):

Ang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay ay tumutukoy sa unang coordinate quarter (kanan sa itaas). Mga coordinate ng anumang punto sa unang quarter, halimbawa, atbp. masiyahan sa bawat isa hindi pagkakapantay-pantay ng sistemang ito.

Gayundin:
– ang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay ay tumutukoy sa ikalawang coordinate quarter (kaliwa sa itaas);
– ang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay ay tumutukoy sa ikatlong coordinate quarter (ibabang kaliwa);
– ang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay ay tumutukoy sa ikaapat na coordinate quarter (kanan sa ibaba).

Ang isang sistema ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring walang mga solusyon, ibig sabihin, maging hindi magkasanib. muli pinakasimpleng halimbawa: . Malinaw na ang "x" ay hindi maaaring sabay na higit sa tatlo at mas mababa sa dalawa.

Ang solusyon sa sistema ng hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring isang tuwid na linya, halimbawa: . Swan, crayfish, walang pike, hinihila ang isang cart sa dalawa magkaibang panig. Oo, nariyan pa rin ang mga bagay - ang solusyon sa sistemang ito ay ang tuwid na linya.

Ngunit ang pinakakaraniwang kaso ay kapag ang solusyon sa system ay ilan lugar ng eroplano. Lugar ng solusyon Maaaring hindi limitado(halimbawa, coordinate quarters) o limitado. Ang limitadong rehiyon ng solusyon ay tinatawag polygon solution system.

Halimbawa 7

Lutasin ang isang sistema ng mga linear na hindi pagkakapantay-pantay

Sa pagsasagawa, sa karamihan ng mga kaso kailangan nating harapin ang mahihinang hindi pagkakapantay-pantay, kaya sila ang mangunguna sa mga round dances para sa natitirang bahagi ng aralin.

Solusyon: Hindi dapat nakakatakot ang katotohanan na napakaraming hindi pagkakapantay-pantay. Gaano karaming mga hindi pagkakapantay-pantay ang maaaring magkaroon sa sistema? Oo, hangga't gusto mo. Ang pangunahing bagay ay ang pagsunod sa isang nakapangangatwiran na algorithm para sa pagbuo ng isang lugar ng solusyon:

1) Una, haharapin natin ang pinakasimpleng hindi pagkakapantay-pantay. Ang mga hindi pagkakapantay-pantay ay tumutukoy sa unang coordinate quarter, kabilang ang hangganan mula sa coordinate axes. Ito ay mas madali na, dahil ang lugar ng paghahanap ay lumiit nang malaki. Sa pagguhit ay agad naming minarkahan ng mga arrow ang kaukulang kalahating eroplano (pula at asul na mga arrow)

2) Ang pangalawang pinakasimpleng hindi pagkakapantay-pantay ay walang "Y" dito. Una, binubuo namin ang mismong tuwid na linya, at, pangalawa, pagkatapos i-convert ang hindi pagkakapantay-pantay sa anyo , agad na nagiging malinaw na ang lahat ng "X" ay mas mababa sa 6. Minarkahan namin ang kaukulang kalahating eroplano na may berdeng mga arrow. Kaya, ang lugar ng paghahanap ay naging mas maliit - tulad ng isang parihaba na hindi limitado mula sa itaas.

3) Sa huling hakbang, nalulutas natin ang mga hindi pagkakapantay-pantay "na may buong bala": . Tinalakay namin ang algorithm ng solusyon nang detalyado sa nakaraang talata. Sa madaling salita: una kaming bumuo ng isang tuwid na linya, pagkatapos, gamit ang isang pang-eksperimentong punto, nakita namin ang kalahating eroplano na kailangan namin.

Tumayo, mga bata, tumayo sa isang bilog:


Ang lugar ng solusyon ng system ay isang polygon, sa pagguhit ay nakabalangkas ito ng isang pulang-pula na linya at may kulay. Na-overdid ko ito ng kaunti =) Sa notebook, sapat na upang lilim ang lugar ng solusyon o balangkasin ito nang mas matapang gamit ang isang simpleng lapis.

Anumang punto ng isang binigay na polygon ay nakakatugon sa BAWAT hindi pagkakapantay-pantay ng system (maaari mo itong suriin para masaya).

Sagot: Ang solusyon sa system ay isang polygon.

Kapag nag-aaplay para sa isang malinis na kopya, magandang ideya na ilarawan nang detalyado kung aling mga punto ang ginamit mo upang bumuo ng mga tuwid na linya (tingnan ang aralin Mga graph at katangian ng mga function), at kung paano natukoy ang mga kalahating eroplano (tingnan ang unang talata ang araling ito). Gayunpaman, sa pagsasagawa, sa karamihan ng mga kaso ay bibigyan ka ng kredito at simple tamang pagguhit. Ang mga kalkulasyon mismo ay maaaring isagawa sa isang draft o kahit na pasalita.

Bilang karagdagan sa polygon ng mga solusyon sa system, sa pagsasagawa, kahit na mas madalas, ito ay nangyayari bukas na lugar. Subukan mong gumawa ng out susunod na halimbawa sa sarili. Bagaman, para sa kapakanan ng katumpakan, walang labis na pagpapahirap dito - pareho ang algorithm ng konstruksiyon, ito ay hindi limitado ang lugar.

Halimbawa 8

Lutasin ang sistema

Ang solusyon at sagot ay nasa katapusan ng aralin. Malamang na magkakaroon ka ng magkakaibang mga titik para sa mga vertex ng resultang rehiyon. Hindi ito mahalaga, ang pangunahing bagay ay upang mahanap nang tama ang mga vertex at tama ang pagtatayo ng lugar.

Ito ay hindi pangkaraniwan kapag ang mga problema ay nangangailangan ng hindi lamang pagbuo ng isang solusyon na domain ng isang system, ngunit din sa paghahanap ng mga coordinate ng mga vertices ng domain. Sa dalawang nakaraang halimbawa, ang mga coordinate ng mga puntong ito ay halata, ngunit sa pagsasagawa, ang lahat ay malayo sa yelo:

Halimbawa 9

Lutasin ang system at hanapin ang mga coordinate ng vertices ng resultang rehiyon

Solusyon: Ilarawan natin sa pagguhit ang lugar ng solusyon ng sistemang ito. Ang hindi pagkakapantay-pantay ay tumutukoy sa kaliwang kalahating eroplano na may ordinate axis, at wala nang freebie dito. Pagkatapos ng mga kalkulasyon sa isang malinis/draft paper o malalim mga proseso ng pag-iisip, nakukuha namin ang sumusunod na lugar ng solusyon:

Hayaan itong ibigay equation na may dalawang variable F(x; y). Naging pamilyar ka na sa mga paraan upang malutas ang mga naturang equation nang analytical. Maraming mga solusyon ng naturang mga equation ay maaari ding ilarawan sa anyong graph.

Ang graph ng equation na F(x; y) ay ang set ng mga puntos sa coordinate plane xOy na ang mga coordinate ay nakakatugon sa equation.

Upang i-graph ang mga equation sa dalawang variable, ipahayag muna ang y variable sa equation sa mga tuntunin ng x variable.

Tiyak na alam mo na kung paano bumuo ng iba't ibang mga graph ng mga equation na may dalawang variable: ax + b = c – tuwid na linya, yx = k – hyperbola, (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 – bilog na may radius ay katumbas ng R, at ang sentro ay nasa puntong O(a; b).

Halimbawa 1.

I-graph ang equation x 2 – 9y 2 = 0.

Solusyon.

I-factorize natin ang kaliwang bahagi ng equation.

(x – 3y)(x+ 3y) = 0, ibig sabihin, y = x/3 o y = -x/3.

Sagot: Larawan 1.

Ang isang espesyal na lugar ay inookupahan ng kahulugan ng mga numero sa eroplano sa pamamagitan ng mga equation na naglalaman ng sign ganap na halaga, na tatalakayin natin nang detalyado. Isaalang-alang natin ang mga yugto ng pagbuo ng mga graph ng mga equation ng anyong |y| = f(x) at |y| = |f(x)|.

Ang unang equation ay katumbas ng system

(f(x) ≥ 0,
(y = f(x) o y = -f(x).

Ibig sabihin, ang graph nito ay binubuo ng mga graph ng dalawang function: y = f(x) at y = -f(x), kung saan f(x) ≥ 0.

Upang i-plot ang pangalawang equation, i-plot ang dalawang function: y = f(x) at y = -f(x).

Halimbawa 2.

I-graph ang equation |y| = 2 + x.

Solusyon.

Ang ibinigay na equation ay katumbas ng system

(x + 2 ≥ 0,
(y = x + 2 o y = -x – 2.

Bumubuo kami ng maraming puntos.

Sagot: Larawan 2.

Halimbawa 3.

I-plot ang equation |y – x| = 1.

Solusyon.

Kung y ≥ x, kung gayon y = x + 1, kung y ≤ x, kung gayon y = x – 1.

Sagot: Larawan 3.

Kapag gumagawa ng mga graph ng mga equation na naglalaman ng variable sa ilalim ng modulus sign, ito ay maginhawa at makatuwiran na gamitin paraan ng lugar, batay sa paghahati ng coordinate plane sa mga bahagi kung saan ang bawat submodular na expression ay nagpapanatili ng sign nito.

Halimbawa 4.

I-graph ang equation na x + |x| + y + |y| = 2.

Solusyon.

SA sa halimbawang ito ang tanda ng bawat submodular expression ay nakasalalay sa coordinate quarter.

1) Sa unang coordinate quarter x ≥ 0 at y ≥ 0. Pagkatapos buksan ang module ibinigay na equation magiging ganito:

2x + 2y = 2, at pagkatapos ng pagpapasimple x + y = 1.

2) Sa ikalawang quarter, kung saan ang x< 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.

3) Sa ikatlong quarter x< 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.

4) Sa ikaapat na quarter, para sa x ≥ 0, at y< 0 получим, что x = 1.

Iskedyul ibinigay na equation Magtatayo kami sa quarters.

Sagot: Larawan 4.

Halimbawa 5.

Gumuhit ng isang set ng mga puntos na ang mga coordinate ay nakakatugon sa pagkakapantay-pantay |x – 1| + |y – 1| = 1.

Solusyon.

Ang mga zero ng submodular na expression na x = 1 at y = 1 ay naghahati sa coordinate plane sa apat na rehiyon. Hatiin natin ang mga module ayon sa rehiyon. Ayusin natin ito sa anyo ng isang talahanayan.

Rehiyon	Submodular expression sign	Ang resultang equation pagkatapos palawakin ang module
ako	x ≥ 1 at y ≥ 1	x + y = 3
II	x< 1 и y ≥ 1	-x + y = 1
III	x< 1 и y < 1	x + y = 1
IV	x ≥ 1 at y< 1	x – y = 1

Sagot: Larawan 5.

Sa coordinate plane, maaaring tukuyin ang mga numero at hindi pagkakapantay-pantay.

Graph ng hindi pagkakapantay-pantay na may dalawang variable ay ang set ng lahat ng mga punto ng coordinate plane na ang mga coordinate ay mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay na ito.

Isaalang-alang natin algorithm para sa pagbuo ng isang modelo para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay na may dalawang variable:

1. Isulat ang equation na naaayon sa hindi pagkakapantay-pantay.
2. I-graph ang equation mula sa hakbang 1.
3. Pumili ng isang arbitrary na punto sa isa sa mga kalahating eroplano. Suriin kung ang mga coordinate ng napiling punto ay nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay na ito.
4. Iguhit nang grapiko ang hanay ng lahat ng solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay.

Isaalang-alang muna natin ang hindi pagkakapantay-pantay na ax + bx + c > 0. Ang equation na ax + bx + c = 0 ay tumutukoy sa isang tuwid na linya na naghahati sa eroplano sa dalawang kalahating eroplano. Sa bawat isa sa kanila, ang function na f(x) = ax + bx + c ay nagpapanatili ng sign nito. Upang matukoy ang sign na ito, sapat na kumuha ng anumang punto na kabilang sa kalahating eroplano at kalkulahin ang halaga ng function sa puntong ito. Kung ang tanda ng pag-andar ay nag-tutugma sa tanda ng hindi pagkakapantay-pantay, kung gayon ang kalahating eroplano na ito ang magiging solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay.

Tingnan natin ang mga halimbawa graphic na solusyon ang pinakakaraniwang hindi pagkakapantay-pantay na may dalawang variable.

1) ax + bx + c ≥ 0. Larawan 6.

2) |x| ≤ a, a > 0. Larawan 7.

3) x 2 + y 2 ≤ a, a > 0. Larawan 8.

4) y ≥ x 2 . Larawan 9.

5) xy ≤ 1. Larawan 10.

Kung mayroon kang mga katanungan o gusto mong magsanay sa pagguhit sa isang modelo ng eroplano ng mga hanay ng lahat ng mga solusyon sa mga hindi pagkakapantay-pantay sa dalawang variable gamit ang mathematical modeling, maaari mong isagawa libreng 25 minutong aralin na may online na tutor pagkatapos mong magregister. Para sa karagdagang trabaho Sa iyong guro, magkakaroon ka ng pagkakataong pumili ng plano ng taripa na nababagay sa iyo.

May mga tanong pa ba? Hindi mo alam kung paano gumuhit ng figure sa isang coordinate plane?
Upang makakuha ng tulong mula sa isang tutor, magparehistro.
Ang unang aralin ay libre!

website, kapag kumukopya ng materyal nang buo o bahagi, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.