Space ng posibilidad (W, S, P). Mga Axiom ng teorya ng posibilidad at mga kahihinatnan mula sa kanila

LAYUNIN NG LECTURE: upang makilala ang elementarya na impormasyon mula sa teorya ng mga set; bumalangkas ng mga axiom ng probability theory, ang kanilang mga kahihinatnan at ang panuntunan para sa pagdaragdag ng mga probabilidad.

Elementarya na impormasyon mula sa set theory

marami anumang koleksyon ng mga bagay na may di-makatwirang kalikasan ay tinatawag, ang bawat isa ay tinatawag itakda ang elemento.

Mga halimbawa ng set: maraming estudyante sa isang lecture; ang hanay ng mga punto sa isang eroplano na nasa loob ng isang bilog na radius r; maraming puntos sa numerical axis, ang distansya mula sa kung saan sa punto b may abscissa a mas mababa sa d; isang grupo ng natural na mga numero.

Ang mga set ay tinutukoy sa iba't ibang paraan. Isang grupo ng M Ang mga natural na numero mula 1 hanggang 100 ay maaaring isulat bilang

Ang hanay ng mga puntos sa axis ng numero, ang distansya mula sa kung saan patungo sa punto b may abscissa a mas mababa sa d, ay maaaring isulat bilang

saan x- ang abscissa ng punto.

Ang hanay ng mga punto ng eroplano na nakahiga sa loob o sa hangganan ng isang bilog na radius r nakasentro sa pinanggalingan,

saan x, y – Mga coordinate ng Cartesian puntos.

Isa pang entry ng set na ito

kung saan ang isa sa mga polar coordinate ng punto.

Ayon sa bilang ng mga elemento, ang mga hanay ay nahahati sa pangwakas at walang katapusan. Ang set ay may hangganan at binubuo ng 100 elemento. Ngunit ang isang set ay maaari ding binubuo ng isang elemento at kahit na walang mga elemento.

Ang set ng lahat ng natural na numero ay walang hanggan, tulad ng set ng even na numero ay walang katapusan.

Infinite set ay tinatawag na countable kung ang lahat ng mga elemento nito ay maaaring ayusin sa ilang pagkakasunud-sunod at binilang (parehong set, at , ay mabibilang).

Mga set S at C ay walang hanggan at hindi mabilang (ang kanilang mga elemento ay hindi mabilang).

Dalawang parte A at B tugma, kung binubuo sila ng parehong mga elemento: at . Ang pagkakaisa ng mga hanay ay tinutukoy ng isang pantay na tanda: A=B. Ang notasyon ay nangangahulugan na ang bagay a ay isang elemento ng set PERO o" a nabibilang PERO". Ang ibig sabihin ng isa pang entry ay " a hinde kabilang PERO".

Ang isang set na walang anumang elemento ay tinatawag walang laman at isinasaad ng simbolo .

Isang grupo ng AT ay tinatawag na subset (bahagi) ng set PERO kung lahat ng elemento AT ay nakapaloob din sa PERO, at tinutukoy bilang o . Halimbawa, .

Ang isang subset ay maaaring katumbas ng set mismo. Sa graphically, maaari mong ilarawan ang kaugnayan sa pagitan ng isang set at isang subset, tulad ng ipinapakita sa Fig. 2.1, kung saan ang bawat punto ng figure AT nabibilang sa pigura PERO, ibig sabihin.

Union (sum) ng mga set PERO at AT ay tinatawag na set na binubuo ng lahat ng elemento PERO at lahat ng elemento AT. Kaya, ang unyon ay isang koleksyon ng mga elemento na kabilang sa hindi bababa sa isa sa mga pinagsamang hanay.

Halimbawa: .

Geometric na interpretasyon pagsasama ng dalawang set PERO at AT ipinapakita sa fig. 2.2.

Ang unyon (kabuuan) ng ilang set ay tinukoy nang katulad

kung saan ang resultang set ay ang set ng lahat ng elemento na kasama sa kahit isa sa mga set: .

Intersection (produkto) ng mga set PERO at AT ay tinatawag na set D, na binubuo ng mga elementong kasama nang sabay-sabay at sa PERO, at sa :

Ang geometric na interpretasyon ng intersection ay ipinapakita sa fig. 2.3.

Parehong tinukoy ang intersection ng ilang set

bilang isang set na binubuo ng mga elementong kasama nang sabay-sabay sa lahat ng set.

Ang mga pagpapatakbo ng unyon (addition) at intersection (multiplication) ng mga set ay may ilang mga katangian na katulad ng mga katangian ng pagdaragdag at pagpaparami ng mga numero:

1. Displacement property:

2. Kaakibat na ari-arian:

3. pamamahagi ng ari-arian:

Ang pagdaragdag ng walang laman na hanay at pagpaparami ng walang laman na hanay ay katulad ng kaukulang mga operasyon sa mga numero, kung isasaalang-alang mo ang zero bilang ang walang laman na hanay:

Ang ilang mga operasyon sa mga set ay walang mga analogue sa mga ordinaryong operasyon sa mga numero, sa partikular

Axioms of probability theory at ang kanilang mga kahihinatnan.

Mga panuntunan sa pagdaragdag ng posibilidad

Gamit ang elementarya na impormasyon sa set theory, ang isa ay maaaring magbigay ng set-theoretic scheme para sa pagbuo ng probability theory at ang axiomatics nito.

Sa isang eksperimento na may random na kinalabasan, mayroong isang set ng lahat ng posibleng resulta ng eksperimento. Ang bawat elemento ng set na ito ay tinatawag kaganapan sa elementarya, ang set mismo ay elementarya na espasyo ng kaganapan. Anumang kaganapan PERO sa set-theoretic interpretation mayroong ilang subset ng set : . Kung, sa turn, ang set PERO nahahati sa ilang hindi nagsasalubong na mga subset ( sa ), pagkatapos ay ang mga kaganapan ay tinatawag na "mga variant" ng kaganapan PERO. Sa fig. 2.4 kaganapan PERO nahahati sa tatlong opsyon: .

Halimbawa, kapag naghahagis dais espasyo ng mga pangyayari sa elementarya. Kung kaganapan , pagkatapos ay mga opsyon sa kaganapan PERO: ,

Ang isang subset ng set mismo ay maaari ding isaalang-alang - sa kasong ito ito ay magiging maaasahan kaganapan. Ang isang walang laman na set ay idinagdag sa buong espasyo ng elementarya na mga kaganapan; ang set na ito ay itinuturing din bilang isang kaganapan, ngunit imposible.

Ang set-theoretic na interpretasyon ng mga dating itinuturing na katangian ng mga kaganapan ay ang mga sumusunod:

1. Maramihang mga kaganapan form buong grupo , kung , ibig sabihin, ang kanilang kabuuan (kumbinasyon) ay isang mapagkakatiwalaang kaganapan.

2. Dalawang pangyayari PERO at AT tinawag hindi magkatugma, kung ang mga set na naaayon sa kanila ay hindi nagsalubong, ibig sabihin. Ilang mga kaganapan ang tinatawag magkapares na hindi tugma, kung ang hitsura ng alinman sa mga ito ay hindi kasama ang hitsura ng bawat isa sa iba pa: sa .

3. Ang kabuuan ng dalawang pangyayari PERO at AT tinatawag na isang kaganapan Sa, na binubuo sa pagsasagawa ng kaganapan PERO o mga pangyayari AT, o parehong mga kaganapan nang magkasama. Ang kabuuan ng ilang mga kaganapan ay isang kaganapan na binubuo sa pagpapatupad ng hindi bababa sa isa sa mga ito.

4. Ang produkto ng dalawang kaganapan PERO at AT tinatawag na isang kaganapan D, na binubuo sa magkasanib na pagsasagawa ng kaganapan PERO at mga pangyayari AT. Ang isang produkto ng ilang mga kaganapan ay isang kaganapan na binubuo sa magkasanib na pagpapatupad ng lahat ng mga kaganapang ito.

5. Kabaligtaran kaugnay ng kaganapan PERO ay tinatawag na kaganapang binubuo ng hindi pagpapakita PERO at kaukulang pantulong na kaganapan PERO sa (tingnan ang Fig. 2.5).

Batay sa interpretasyon sa itaas ng mga kaganapan bilang mga set, ang mga axiom ng probability theory ay nabuo.

Bawat kaganapan PERO ang isang tiyak na numero ay itinalaga, na tinatawag na posibilidad ng kaganapan. Dahil ang anumang kaganapan ay isang set, ang posibilidad ng isang kaganapan ay itakda ang function.

Ang mga probabilidad ng kaganapang ito ay dapat matugunan ang mga sumusunod na axiom:

1. Ang posibilidad ng anumang kaganapan ay nasa pagitan ng zero at isa:

2. Kung PERO at AT ay hindi magkatugma na mga kaganapan, ibig sabihin, pagkatapos

Ang axiom na ito ay madaling gawing pangkalahatan nag-uugnay na ari-arian karagdagan para sa anumang bilang ng mga kaganapan. Kung sa , pagkatapos

i.e. ang posibilidad ng kabuuan mga pangyayaring hindi magkatugma ay katumbas ng kabuuan ng mga probabilidad ng mga pangyayaring ito.

Ang axiom na ito ay tinatawag karagdagan "teorama"(para sa scheme ng mga kaso, maaari itong mapatunayan), o tuntunin ng pagdaragdag ng mga probabilidad.

3. Kung magagamit mabibilang na set hindi magkatugma na mga kaganapan ( sa ), pagkatapos

Ang axiom na ito ay hindi nagmula sa nakaraang axiom at samakatuwid ay binabalangkas bilang isang hiwalay.

Para sa isang scheme ng mga kaso (scheme of urns), ibig sabihin, para sa mga kaganapan na may mga katangian ng pagiging kumpleto, hindi pagkakapare-pareho, at equipotentiality, maaaring makuha ng isa ang klasikal na formula (1.1) para sa direktang pagkalkula ng mga probabilidad mula sa tuntunin ng karagdagan (2.1).

Hayaang ipakita ang mga resulta ng eksperimento sa form n hindi magkatugma na mga kaso. Pinapaboran ng pagkakataon ang kaganapan PERO kung ito ay kumakatawan sa isang subset PERO(), o, sa madaling salita, ito ay isang variant ng kaganapan PERO. Dahil bumubuo sila ng isang kumpletong grupo, kung gayon

Ayon sa tuntunin ng karagdagan

kung saan tayo kumukuha

Pagkatapos palitan ang mga nakuhang expression sa (2.3), mayroon na tayo

Q.E.D.

Ang formula (2.3) ay maaari ding makuha para sa higit sa dalawang magkasanib na kaganapan.

Sa loob ng ilang siglo pagkatapos ng simula ng sistematikong pag-aaral nito, ang mga pangunahing konsepto ng teorya ng probabilidad ay hindi pa malinaw na tinukoy. Ang malabo ng mga pangunahing kahulugan ay madalas na humantong sa mga mananaliksik sa magkasalungat na konklusyon, at ang mga praktikal na probabilistikong aplikasyon ay hindi gaanong napatunayan. Karagdagang pag-unlad Ang natural na agham ay nangangailangan ng isang sistematikong pag-aaral ng mga pangunahing konsepto ng teorya ng posibilidad at ang pagpapasiya ng mga kondisyon kung saan posible na gamitin ang mga resulta nito. Ang partikular na kahalagahan ay ang pormal na lohikal na pagpapatibay ng teorya ng probabilidad, na, sa partikular, noong 1900 D. Hilbert ay inuri bilang kritikal na isyu matematika.

Ang pormal-lohikal na prinsipyo ng konstruksyon ay nangangailangan na ang batayan ng teorya ng probabilidad ay ilang axiomatic premises, na isang generalization ng mga siglo na ang edad. karanasan ng tao. Ang karagdagang pag-unlad ng teoretikal at probabilistikong mga konsepto ay kailangang itayo sa pamamagitan ng pagbabawas mula sa axiomatic na mga proposisyon nang hindi gumagamit ng malabo at madaling maunawaan na mga ideya. Ang puntong ito ng pananaw ay unang binuo noong 1917. Sobyet na matematiko S.N. Berstein. Kasabay nito, S.N. Nagmula si Bershtein kwalitatibong paghahambing random na mga kaganapan ayon sa kanilang mas malaki o mas mababang posibilidad. Ang isang mathematically rigorous construction ng axiomatic probability theory ay iminungkahi ni A.N. Kolmogorov noong 1933, malapit na iniuugnay ang teorya ng probabilidad sa set theory at measure theory. Kasama sa axiomatic na kahulugan ng probabilidad bilang mga espesyal na kaso ang parehong klasikal at mga kahulugan ng istatistika at napagtagumpayan ang kakulangan ng bawat isa sa kanila.

Ang panimulang punto ng A.N. Ang Kolmogorov ay ang hanay ng mga elementarya na kaganapan ω, sa espesyal na panitikan tinatawag na phase space at tradisyonal na tinutukoy ng Ω. Anumang nakikitang kaganapan na ang posibilidad ay kailangang matukoy ay maaaring katawanin bilang ilang subset ng phase space. Samakatuwid, kasama ang set Ω, ang set Θ ng mga subset ng elementarya na mga kaganapan ay isinasaalang-alang, ang simbolikong pagtatalaga kung saan ay maaaring maging arbitrary. Ang isang partikular na kaganapan ay kinakatawan ng buong puwang ng phase. Ang set Θ ay tinatawag na set algebra kung ang mga sumusunod na kinakailangan ay natutugunan:
1) Ω ∈ Θ, ∅ ∈ Θ;
2) ang katotohanan na ang A ∈ Ω ay nagpapahiwatig na ang $\bar A \in \Theta $ din;
3) ang katotohanan na ang A ∈ Θ at B ∈ Θ ay nagpapahiwatig na ang A ∪ B ∈ Θ at A ∩ B∈ Θ.

Kung, bilang karagdagan sa itaas, ang sumusunod na kinakailangan ay natutugunan:
4) ang katotohanan na ang A n ∈ Θ (para sa n = 1,2...) ay nagpapahiwatig na ang $\mathop \cup \limits_n (A_n) \in \Theta $ at $\mathop \cap \limits_n (A_n ) \in \Theta $, pagkatapos ay tinatawag ang set na Θ σ-algebra. Ang mga elemento ng Θ ay tinatawag mga random na pangyayari.

Ang mga operasyon sa mga random na kaganapan sa axiomatic theory ng probabilidad ay nauunawaan bilang mga operasyon sa mga kaukulang set. Bilang resulta, posibleng magtatag ng magkaparehong pagsusulatan sa pagitan ng mga termino ng language of set theory at ng language of probability theory.

Bilang mga axiom na tumutukoy sa posibilidad, A.N. Tinanggap ni Kolmogorov ang mga sumusunod na pahayag:

Axiom 1. Sa bawat isa random na pangyayari At nakahanay di-negatibong numero P (A) , tinatawag na probabilidad nito.
Axiom 2. P(Ω)= 1.
Axiom 3 (axiom ng karagdagan). Kung ang mga kaganapan A 1 , A 2 ,...,A n ay magkapares na hindi magkatugma, kung gayon

P(A 1 + A 2 +...+ A n) = P(A 1) + P(A 2) +...+ P(A n).

Ang mga sumusunod na pahayag ay bunga ng mga nabuong axiom.

1. Ang posibilidad ng isang imposibleng kaganapan ay zero: P(∅) = 0.
2. Para sa anumang kaganapan A $P(\bar A) = 1 - P(A)$.
3. Anuman ang random na kaganapan A, 0 ≤ P(A) ≤ 1.
4. Kung ang kaganapan A ay nagsasangkot ng kaganapan B, kung gayon ang P(A) ≤ P(B).

Ang isang probability space ay karaniwang tinatawag na triple ng mga simbolo (Ω, Θ, P), kung saan ang Ω ay ang set ng elementarya na kaganapan ω, Θ – σ ay ang algebra ng mga subset ng Ω, na tinatawag na random na mga kaganapan, at ang P(A) ay ang probabilidad na tinukoy sa σ, ang algebra Θ.

Kaya, ayon sa axiomatics ng A.N. Kolmogorov, ang bawat naobserbahang kaganapan ay itinalaga ng isang tiyak na di-negatibong numero, na tinatawag na posibilidad ng kaganapang ito, upang ang posibilidad ng buong puwang ng phase ay katumbas ng 1, at ang ari-arian sigma additivity. Ang huling pag-aari ay nangangahulugan na sa kaso ng magkapares na magkaparehong eksklusibong mga kaganapan, ang posibilidad ng paglitaw ayon sa kahit na ng isa (at dahil sa pairwise incompatibility, eksaktong isa) naobserbahang kaganapan ay tumutugma sa kabuuan ng mga probabilidad ng mga naobserbahang kaganapan mula sa isang partikular na may hangganan o mabibilang na hanay ng mga naobserbahang kaganapan .

Sa kaso ng isang kahulugan ng probabilidad sa isang σ - algebra na binubuo ng ilang mga subset ng Ω, ang una ay hindi maaaring pahabain sa iba pang mga subset ng Ω sa paraang mapangalagaan ang katangian ng sigma-additivity, maliban kung ang Ω ay binubuo ng isang may hangganan o mabibilang na bilang ng mga elemento. Ang pagpapakilala ng sigma-additivity ay humantong din sa isang bilang ng mga kabalintunaan. Samakatuwid, kasama ng sigma-additivity, ang ari-arian pagkakadagdag, na nauunawaan bilang katumbas ng sukat ng pagsasama ng dalawang hindi magkatugmang kaganapan sa kabuuan ng mga sukat ng mga kaganapang ito. Gayunpaman, halos kaagad na ipinakita na ang pagpapalit ng sigma-additivity sa additivity ay hindi lamang hindi malulutas ang lahat ng mga problema, ngunit humahantong din sa iba pang mga kabalintunaan na mga resulta.

Ang sistema ng mga axioms ni Kolmogorov ay medyo pare-pareho at hindi kumpleto, nagbibigay-daan sa iyo na bumuo ng probability theory bilang bahagi ng measure theory, at isaalang-alang ang probabilidad bilang isang non-negative na normalized additive set function. Bagaman sa teorya ng probabilidad A.N. Ang posibilidad ng Kolmogorov ay palaging hindi negatibo, ang ilang mga theorems sa probability theory ay maaaring gawing pangkalahatan sa kaso kapag mga negatibong numero kumilos bilang mga probabilidad, at kumuha din ng iba pang mga generalization ng probabilidad.

Ang ilang mga pangunahing mga teorya sa matematika magmana ng mga pangunahing konsepto, konstruksyon at terminolohiya ng probability theory. Ito, sa partikular, ay ang teorya ng posibilidad, na isinasaalang-alang din ang mga puwang ng mga posibilidad at elementarya na mga kaganapan, σ - algebra.

Axiomatics ng Probability Theory

Iminungkahi sa itaas klasikong kahulugan probabilidad kasama ng halatang merito, pangunahin ang pagiging simple at intuitive na kalinawan, ay may ilang makabuluhang disbentaha: nagbibigay lamang ito ng limitado o mabibilang na hanay ng mga elementarya na kaganapan at ang kaalaman sa kanilang mga probabilidad ay sapilitan. Ang lahat ng ito ay hindi palaging nangyayari, at samakatuwid ang ipinakilala na kahulugan ay hindi sapat na pangkalahatan. Sa kasalukuyan, ang axiomatic construction ng theory of probability ay naging pangkalahatang tinatanggap.

Sa matematika, ang mga axiom ay mga proposisyon na tinatanggap bilang totoo at hindi napatunayan sa loob ng balangkas ng isang ibinigay na teorya. Ang lahat ng iba pang mga probisyon ng teoryang ito ay dapat na hinango lamang lohikal na paraan mula sa mga tinatanggap na axiom. Ang pagbabalangkas ng mga axiom ay hindi paunang yugto pag-unlad agham ng matematika, ngunit resulta ng mahabang akumulasyon ng mga katotohanan at lohikal na pagsusuri nakakuha ng mga resulta upang maihayag ang talagang pangunahing pangunahing mga katotohanan. Ito ay kung paano nabuo ang mga axiom ng geometry. Ang teorya ng probabilidad ay pumasa sa isang katulad na landas, kung saan ang axiomatic construction ng mga pundasyon nito ay isang bagay ng relatibong kamakailang nakaraan. Sa unang pagkakataon, ang problema ng axiomatic construction ng probability theory ay nalutas noong 1917 ng Soviet mathematician na si S.N. Bernstein.

Sa kasalukuyan, ang axiomatics ng Academician A.N. Kolmogorov (1933), na nag-uugnay sa teorya ng probabilidad sa teorya ng mga set at sa metric theory ng mga function.

Sa axiomatics ng A.N. Kolmogorov, ang espasyo (set) ng elementarya na mga kinalabasan Ω ay pangunahin. Para saan ang mga elemento ng set na ito lohikal na pag-unlad Ang teorya ng posibilidad ay hindi nauugnay. Susunod, isinasaalang-alang namin ang ilang sistema F ng mga subset ng set Ω; Ang mga elemento ng system F ay tinatawag na mga random na kaganapan. Tungkol sa istraktura ng system F, ang sumusunod na tatlong mga kinakailangan ay ipinapalagay na natutugunan:

1. Ang subset F ay naglalaman ng isang partikular na kaganapan Ω bilang isang elemento.

2. Kung ang A at B ay dalawang kaganapan na tinukoy sa Ω, ay kasama sa subset F bilang mga elemento, kung gayon ang subset F ay naglalaman din ng A + B, A ∙ B bilang mga elemento,

3. Kung ang mga kaganapan А 1 , А 2 , …, na tinukoy sa Ω, ay mga elemento ng subset F, kung gayon ang kanilang kabuuan at trabaho ay mga elemento din ng subset F.

Ang set F ay nabuo sa paraang inilarawan sa itaas tinatawag na "σ-algebra of events".

Bumaling tayo ngayon sa pagbabalangkas ng mga axiom na tumutukoy sa posibilidad.

Axiom 1.(axiom ng pagkakaroon ng posibilidad). Ang bawat random na kaganapan A mula sa σ-algebra ng mga kaganapan F ay nauugnay sa isang hindi negatibong numero na p(A), na tinatawag na probabilidad nito.

Axiom 2.(probability ng ilang pangyayari). Ang posibilidad ng isang tiyak na kaganapan ay katumbas ng 1: Р(Ω)=1. (1.15)

Axiom 3.(axiom ng karagdagan). Kung ang mga kaganapan A at B ay hindi magkatugma, kung gayon

P(A+B) = P(A)+P(B). (1.16)

Axiom 4.(pinalawak na axiom ng karagdagan). Kung ang kaganapan A ay katumbas ng paglitaw ng hindi bababa sa isa sa magkapares na hindi magkatugma na mga kaganapan A 1 , A 2 , …, iyon ay, , kung gayon ang posibilidad ng kaganapan A ay katumbas ng

Elementarya na impormasyon mula sa set theory

marami anumang koleksyon ng mga bagay na may di-makatwirang kalikasan ay tinatawag, ang bawat isa ay tinatawag itakda ang elemento.

Mga halimbawa ng set: maraming estudyante sa isang lecture; ang hanay ng mga punto sa isang eroplano na nasa loob ng isang bilog na radius r; hanay ng mga punto sa totoong axis, ang distansya mula sa kung saan papunta sa punto b may abscissa a mas mababa sa d; set ng mga natural na numero.

Ang mga set ay tinutukoy sa iba't ibang paraan. Isang grupo ng M Ang mga natural na numero mula 1 hanggang 100 ay maaaring isulat bilang

Ang hanay ng mga puntos sa axis ng numero, ang distansya mula sa kung saan patungo sa punto b may abscissa a mas mababa sa d, ay maaaring isulat bilang

saan x- ang abscissa ng punto.

Ang hanay ng mga punto ng eroplano na nakahiga sa loob o sa hangganan ng isang bilog na radius r nakasentro sa pinanggalingan,

saan x, y ay ang mga coordinate ng Cartesian ng punto.

Isa pang entry ng set na ito

kung saan ang isa sa mga polar coordinate ng punto.

Ang set ng lahat ng natural na numero ay walang hanggan, tulad ng set ng even na numero ay walang katapusan.

Ang isang walang katapusang set ay tinatawag na countable kung ang lahat ng mga elemento nito ay maaaring isaayos sa ilang pagkakasunod-sunod at binibilang (parehong set, at , ay mabibilang).

Mga set S at C ay walang hanggan at hindi mabilang (ang kanilang mga elemento ay hindi mabilang).

Ang isang set na walang anumang elemento ay tinatawag walang laman at isinasaad ng simbolo .

Isang grupo ng AT ay tinatawag na subset (bahagi) ng set PERO kung lahat ng elemento AT ay nakapaloob din sa PERO, at tinutukoy bilang o . Halimbawa, .

Halimbawa: .

Geometric na interpretasyon ng unyon ng dalawang set PERO at AT ipinapakita sa fig. 2.2.

Ang unyon (kabuuan) ng ilang set ay tinukoy nang katulad

kung saan ang resultang set ay ang set ng lahat ng elemento na kasama sa kahit isa sa mga set: .

Intersection (produkto) ng mga set PERO at AT ay tinatawag na set D, na binubuo ng mga elementong kasama nang sabay-sabay at sa PERO, at sa :

Ang geometric na interpretasyon ng intersection ay ipinapakita sa fig. 2.3.

Parehong tinukoy ang intersection ng ilang set

bilang isang set na binubuo ng mga elementong kasama nang sabay-sabay sa lahat ng set.

Ang mga pagpapatakbo ng unyon (addition) at intersection (multiplication) ng mga set ay may ilang mga katangian na katulad ng mga katangian ng pagdaragdag at pagpaparami ng mga numero:

1. Displacement property:

2. Kaakibat na ari-arian:

3. Pamamahagi ng ari-arian:

Ang ilang mga operasyon sa mga set ay walang mga analogue sa mga ordinaryong operasyon sa mga numero, sa partikular

Axioms of probability theory at ang kanilang mga kahihinatnan.

Mga panuntunan sa pagdaragdag ng posibilidad

Gamit ang elementarya na impormasyon sa set theory, ang isa ay maaaring magbigay ng set-theoretic scheme para sa pagbuo ng probability theory at ang axiomatics nito.

Halimbawa, kapag naghahagis ng dice, ang espasyo ng elementarya na mga kaganapan . Kung kaganapan , pagkatapos ay mga opsyon sa kaganapan PERO: ,

Ang set-theoretic na interpretasyon ng mga dating itinuturing na katangian ng mga kaganapan ay ang mga sumusunod:

1. Maramihang mga kaganapan form buong grupo, kung , ibig sabihin, ang kanilang kabuuan (kumbinasyon) ay isang mapagkakatiwalaang kaganapan.

5. Kabaligtaran kaugnay ng kaganapan PERO ay tinatawag na kaganapang binubuo ng hindi pagpapakita PERO at kaukulang pantulong na kaganapan PERO sa (tingnan ang Fig. 2.5).

Batay sa interpretasyon sa itaas ng mga kaganapan bilang mga set, ang mga axiom ng probability theory ay nabuo.

Ang mga probabilidad ng kaganapang ito ay dapat matugunan ang mga sumusunod na axiom:

1. Ang posibilidad ng anumang kaganapan ay nasa pagitan ng zero at isa:

2. Kung PERO at AT ay hindi magkatugma na mga kaganapan, ibig sabihin, pagkatapos

Ang axiom na ito ay madaling gawing pangkalahatan gamit ang associative property ng karagdagan sa anumang bilang ng mga kaganapan. Kung sa , pagkatapos

ibig sabihin, ang posibilidad ng kabuuan ng hindi magkatugma na mga kaganapan ay katumbas ng kabuuan ng mga probabilidad ng mga kaganapang ito.

Ang axiom na ito ay tinatawag karagdagan "teorama"(para sa scheme ng mga kaso, maaari itong mapatunayan), o tuntunin ng pagdaragdag ng mga probabilidad.

3. Kung magagamit mabibilang na set hindi magkatugma na mga kaganapan ( sa ), pagkatapos

Ang axiom na ito ay hindi nagmula sa nakaraang axiom at samakatuwid ay binabalangkas bilang isang hiwalay.

Ngunit ang lahat ng mga kaso ay hindi tugma, at ang panuntunan ng pagdaragdag ng mga probabilidad ay nalalapat sa kanila

Bilang karagdagan, dahil ang lahat ng mga kaganapan ay pantay na posible, kung gayon

Ang mga kaso na paborable sa isang kaganapan ay bumubuo sa mga variant nito, at dahil ang posibilidad ng bawat isa sa mga ito ay , kung gayon sa pamamagitan ng panuntunan sa pagdaragdag ay nakukuha natin

Ngunit ito ang klasikal na formula (1.1).

Mga kahihinatnan ng panuntunan ng pagdaragdag ng mga probabilidad

1. Ang kabuuan ng mga probabilidad ng isang kumpletong pangkat ng mga hindi tugmang kaganapan ay katumbas ng isa, ibig sabihin, kung

Patunay. Dahil hindi tugma ang mga kaganapan, nalalapat sa kanila ang panuntunan sa pagdaragdag

2. Ang kabuuan ng mga probabilidad ng magkasalungat na kaganapan ay katumbas ng isa:

gaya ng mga pangyayari PERO at bumuo ng isang kumpletong grupo.

Ang panuntunan ay malawakang ginagamit sa mga problema kung saan mas madaling kalkulahin ang posibilidad ng kabaligtaran na kaganapan.

3. Kung ang mga pangyayari PERO at AT ay magkatugma, ibig sabihin, pagkatapos

Patunay. Kinakatawan bilang kabuuan ng mga opsyon na hindi magkatugma (hindi magkakapatong) (tingnan ang Fig. 2.6)

Ayon sa tuntunin ng karagdagan

kung saan tayo kumukuha

Pagkatapos palitan ang mga nakuhang expression sa (2.3), mayroon na tayo

Q.E.D.

Ang formula (2.3) ay maaari ding makuha para sa higit sa dalawang magkasanib na kaganapan.

Hayaan ang espasyo ng mga elementarya na kaganapan, maging ang algebra ng mga kaganapan (ang algebra ng mga subset ng set). Ang sumusunod na limang axiom ay sumasailalim sa teorya ng probabilidad.

1. Ang algebra ng mga kaganapan ay - ang algebra ng mga kaganapan.

Ang sistema ng mga kaganapan ay tinatawag na - algebra, kung para sa anumang pagkakasunud-sunod ng mga kaganapan, ang kanilang unyon, intersection at mga karagdagan ay nabibilang din, i.e. , ay mga kaganapan din. Kaya, - ang algebra ay isang sistema ng mga kaganapan na isinara sa ilalim ng mga operasyon ng complement, countable union at countable intersection.

2. Sa - algebra ng mga kaganapan, para sa anumang, isang function ay tinukoy, na tinatawag na probabilidad at pagkuha mga numerong halaga mula sa pagitan : .

Ang axiom na ito ay ang axiom ng pagkakaroon ng probabilidad - bilang isang function ng on na may mga halaga mula sa pagitan. Ang susunod na tatlong axiom ay tumutukoy sa mga katangian ng isang function.

3. Para sa alinmang dalawang kaganapan tulad na

Axiom ng pagdaragdag ng mga probabilidad.

Kaya't sinusundan iyon para sa isang tiyak na bilang ng mga hindi tugmang kaganapan

4. Hayaan, - magkapares na hindi magkatugma na mga pangyayari: at hayaan. Pagkatapos

Ang kaugnayan (15.3) ay tinatawag na axiom ng countable additivity ng probability o ang axiom ng continuity ng probability. Ang pangalawa ay nauugnay sa sumusunod na interpretasyon ng pagkakapantay-pantay (15.3). Ang kaganapan ay dapat na maunawaan bilang ang limitasyon ng pagkakasunud-sunod

Sa kasong ito, ang pagkakapantay-pantay (15.3) ay maaaring maunawaan bilang isang pag-aari ng pagpapatuloy ng function: o

Na nagpapahintulot sa limitasyon ng operasyon na alisin sa function. Ito ay dahil sa katotohanan na ang kundisyon (15.5) ay nagpapahiwatig ng (15.3):

Ang ikalimang axiom ay nagpapahiwatig na ang espasyo ng elementarya na mga kaganapan ay isang tiyak na kaganapan. Kaya, naglalaman ito ng lahat ng mga kaganapan na maaaring isaalang-alang sa problemang ito.

Ang espasyo ng elementarya na mga kaganapan, - ang algebra ng mga kaganapan at ang probabilidad sa, nagbibigay-kasiyahan sa mga axiom 1-5, ay bumubuo sa tinatawag na probability space, na karaniwang tinutukoy.

Tandaan na ang sistema ng mga axiom 1-5 ay hindi magkasalungat, dahil mayroong umiiral na nagbibigay-kasiyahan sa mga axiom na ito at hindi kumpleto, dahil ang posibilidad ay maaaring tukuyin sa maraming paraan sa loob ng balangkas ng axioms 2-5. Ang konsepto ng isang probability space (o isang sistema ng axioms 1-5) ay naglalaman lamang ng karamihan Pangkalahatang mga kinakailangan ipinasa kay matematikal na modelo random na kababalaghan, at hindi natatanging tinutukoy ang posibilidad. Ang huli ay posible lamang kung karagdagang kondisyon ibinigay sa pagbabalangkas ng problemang pinag-aaralan.

Discrete probability space

Ang isang probability space ay tinatawag na discrete kung ito ay may hangganan o mabibilang, - - ang algebra ng lahat ng mga subset (kabilang), ang probabilidad ay tinukoy para sa bawat isang-puntong subset ng espasyo ng elementarya na mga kaganapan:

Para sa anumang kaganapan, ang posibilidad nito ay tinutukoy ng pagkakapantay-pantay

Mga halimbawa - algebras

17.1. Hayaan ang isang arbitrary na espasyo ng elementarya na mga kaganapan kung saan walang mga kaganapan na tinukoy. Upang makabuo ng isang algebra, ayon sa kahulugan (item 15), kinakailangang isaalang-alang ang lahat ng mga karagdagan, unyon at intersection itakda ang mga kaganapan at isama sila sa - algebra. Dahil sa kasong ito mayroong isang solong kaganapan, posible na bumuo lamang ng pandagdag nito. Ngayon ay may sistema ng dalawang pangyayari ( ). Ang karagdagang aplikasyon ng karagdagan, unyon, mga operasyon ng intersection ay hindi nagbibigay ng mga bagong kaganapan. Kaya, sa halimbawang ito- algebra.

17.2. Hayaan ang espasyo ng mga elementarya na kaganapan at maging ilang kaganapan na hindi nag-tutugma sa, i.e. . Kaya, mayroong isang sistema ng dalawang kaganapan. Maaaring palawigin ang system na ito upang isama ang mga bagong kaganapan na nakuha bilang resulta ng karagdagan, unyon, mga operasyon ng intersection sa mga kaganapan. Makatuwirang ipagpatuloy ang pamamaraan ng pagpapalawak ng sistema ng mga kaganapan nang paulit-ulit hanggang sa paghinto ng paglitaw ng mga bagong kaganapan. Ang sistema ng paglilimita ng mga kaganapan ay tinatawag na algebra na nabuo ng sistema ng mga kaganapan.

Isaalang-alang ang pagpapatakbo ng karagdagan sa mga kaganapan sa system. Ang resulta nito ay mga bagong kaganapan na hindi nakapaloob sa orihinal na sistema, ang pagsasama nito ay nagbibigay bagong sistema mga pangyayari

Malinaw, ang mga kasunod na operasyon ng karagdagan, unyon, intersection ay hindi nagbibigay ng mga bagong kaganapan na hindi nakapaloob sa (17.1). Kaya, ang sistema ng mga kaganapan (17.1) ay isang algebra na nabuo ng system.

17.3. Gawin nating kumplikado ang halimbawa. Hayaan ang espasyo ng elementarya na mga kaganapan, maging dalawang hindi magkatugma na mga kaganapan, tulad na. Kaya, mayroong isang sistema ng tatlong mga kaganapan. Ang operasyon ng unyon sa mga kaganapan ng sistemang ito ay nagreresulta sa paglitaw ng isang bagong kaganapan. Ang resultang sistema ng apat na kaganapan ay pinalawak sa walo sa pamamagitan ng pagsasama ng kanilang mga karagdagan. Madaling makita na ang paglalapat ng karagdagan, unyon, mga operasyon ng intersection sa walong kaganapang ito ay hindi bumubuo ng mga bagong kaganapan. Kaya ang sistema ng walong mga kaganapan

ay isang algebra na nabuo ng isang sistema ng mga kaganapan.

17.4. Isaalang-alang - ang espasyo ng elementarya na mga kaganapan at dalawang di-makatwirang mga kaganapan, fig. 17.1. Upang makabuo ng isang algebra na nabuo ng isang tiyak na sistema ng mga kaganapan, sa maraming mga kaso ito ay maginhawa upang ilapat ang sumusunod na pamamaraan.

Ibinubukod namin ang lahat ng hindi magkatugma na mga kaganapan, Fig. 17.1. Kasabay nito, atbp. - ang algebra ay maglalaman ng lahat ng mga kaganapan, lahat ng mga unyon ng mga kaganapan, at gayundin imposibleng pangyayari. Sa katunayan, ang pagpapatakbo ng intersection ng anumang mga kaganapan mula sa set ay bumubuo ng isang solong kaganapan. Ang pagdaragdag ng operasyon sa mga kaganapan mula sa set ay bumubuo ng isang kaganapan, na ipinahayag sa pamamagitan ng pagsasama-sama ng mga kaganapan. Dahil dito, sapat na upang isaalang-alang lamang ang operasyon ng unyon sa mga kaganapan, sa halip na tatlong operasyon - karagdagan, intersection, unyon para sa orihinal na sistema ng mga kaganapan.

Ngayon, upang bumuo - algebra, isaalang-alang ang mga kaganapan, ang lahat ng kanilang mga kumbinasyon at ipahayag ang mga nagresultang kaganapan sa pamamagitan ng mga orihinal. Malinaw: , . Ang mga pairwise na unyon ay nagbibigay ng mga sumusunod na kaganapan: , ; , ; . Triple unyon: , .

Kaya, - ang algebra ay naglalaman ng mga kaganapan: , ; , ; , pati na rin at - isang kabuuang 16 na kaganapan.

Tandaan na kapag tinutukoy ang - algebra, ang pagbuo ng sistema ng mga kaganapan, bilang panuntunan, ay binubuo ng mga kaganapang naobserbahan sa eksperimento.

Napansin namin na ang mga kaganapan ay nag-tutugma sa mga kaganapan (8.1), na isinasaalang-alang kapag kinukuha ang formula ng karagdagan para sa mga frequency. Sa katunayan, at sa wakas, sa pamamagitan ng formula (6.1) .

17.5. Isaalang-alang ang isang paglalahat ng Halimbawa 4. Hayaan ang orihinal na sistema ng mga pangyayari - naglalaman ng mga pangyayaring arbitraryo. Upang bumuo ng isang algebra, tulad ng halimbawa 4, ipinakilala namin ang mga kaganapan ng form

kung saan ang bawat o, at at. Dahil ang bawat isa ay maaaring tumagal ng dalawang halaga 0 o 1, ang bilang ng lahat ng mga kaganapan ng form ay pantay. Ang mga kaganapang ito ay bumubuo ng isang kumpletong pangkat ng mga hindi tugmang kaganapan. Kaya, ang mga kaganapan sa - algebra ay gumaganap ng isang orthogonal na batayan, na nagpapahintulot sa isa na kumatawan di-makatwirang pangyayari sa pamamagitan ng hindi magkatugma (orthogonal sa kahulugan ng operasyon ng intersection) na mga kaganapan. Sa set theory, ang mga set ng isang uri ay tinatawag na constituents. Ang constituent apparatus ay nagpapahintulot sa amin na ipakita na sa halimbawang ito ang bilang ng lahat ng mga kaganapan - algebra ay hindi lalampas (kabilang ang at), at ang bilang ng mga kaganapan ay umaabot pinakamataas na halaga kapag ang lahat ay iba mula sa (tulad ng sa halimbawa 4). Ginagawang posible ng resultang ito na hatulan ang mataas na rate ng paglago ng bilang ng mga kaganapan sa - algebra depende sa - ang bilang ng mga kaganapan sa orihinal na sistema. Halimbawa 4, ang bilang, samakatuwid, ang bilang ng mga kaganapan sa - algebra ay pantay.

Portal para sa mag-aaral. Pagsasanay sa sarili

Axiomatics ng Probability Theory

Discrete probability space

MGA KAUGNAY NA ARTIKULO