Das Thema „Einbeschriebene und umschriebene Kreise in Dreiecken“ ist eines der schwierigsten im Geometriekurs. Sie verbringt sehr wenig Zeit im Unterricht.
Die geometrischen Probleme dieses Themas werden im zweiten Teil behandelt Prüfungsarbeit NUTZUNG pro Kurs weiterführende Schule. Für erfolgreiche Umsetzung Diese Aufgaben sind notwendig solides Wissen grundlegende geometrische Fakten und etwas Erfahrung im Lösen geometrische Probleme.
Für jedes Dreieck gibt es nur einen umschriebenen Kreis. Dies ist ein Kreis, auf dem alle drei Eckpunkte eines Dreiecks mit gegebenen Parametern liegen. Das Ermitteln seines Radius kann nicht nur im Geometrieunterricht erforderlich sein. Damit müssen sich Konstrukteure, Schneider, Schlosser und Vertreter vieler anderer Berufe ständig auseinandersetzen. Um seinen Radius zu ermitteln, müssen Sie die Parameter des Dreiecks und seine Eigenschaften kennen. Der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises liegt im Schnittpunkt der Mittelsenkrechten des Dreiecks.
Ich mache Sie auf alle Formeln aufmerksam, mit denen Sie den Radius des umschriebenen Kreises und nicht nur des Dreiecks ermitteln können. Formeln für den eingeschriebenen Kreis können eingesehen werden.
a, b. Mit - Seiten eines Dreiecks
α -
Winkel gegenüberliegende SeiteA,
S-Fläche eines Dreiecks,
P- Halbumfang.
Um dann den Radius zu finden ( R) des umschriebenen Kreises verwenden Sie die Formeln:
Die Fläche eines Dreiecks lässt sich wiederum mit einer der folgenden Formeln berechnen:
Und hier sind noch einige weitere Formeln.
1. Der Radius des umschriebenen Kreises beträgt ca rechtwinkliges Dreieck. Wenn A Seite des Dreiecks
2. Der Radius des umschriebenen Kreises beträgt ca gleichschenkligen Dreiecks. Lassen a, b sind also die Seiten des Dreiecks
Der Durchmesser eines Kreises ist ein gerades Liniensegment, das die beiden am weitesten voneinander entfernten Punkte des Kreises verbindet und durch den Mittelpunkt des Kreises verläuft. Namensdurchmesser, abgeleitet von griechisch und in wörtliche Übersetzung meinte quer. Der Durchmesser wird mit der Buche D bezeichnet Lateinisches Alphabet oder das O-Symbol.
Kreisdurchmesser
Um zu wissen, wie man den Durchmesser eines Kreises ermittelt, müssen Sie sich auf die Formeln beziehen. Grundformeln, mit dem sich der Durchmesser eines Kreises berechnen lässt. Der erste ist D = 2R. Hier ist der Durchmesser gleich dem Doppelten des Radius, wobei der Radius der Abstand vom Mittelpunkt zu einem beliebigen Punkt auf dem Kreis (R) ist. Betrachten Sie ein Beispiel: Wenn der Radius in der Aufgabe bekannt ist und 10 cm beträgt, können Sie den Durchmesser leicht ermitteln. Für diesen Wert des Radius ersetzen wir in der Formel D \u003d 2 * 10 \u003d 20 cm
Die zweite Formel ermöglicht es, den Durchmesser entlang des Umfangs zu ermitteln und sieht wie folgt aus: D \u003d L / P, wobei L der Wert des Umfangs und P die Zahl Pi ist, die ungefähr 3,14 entspricht. Diese Formel ist in der Praxis sehr praktisch anzuwenden. Wenn Sie den Durchmesser eines Mannlochs, eines Tankdeckels oder einer Grube wissen möchten, messen Sie einfach deren Umfang und dividieren Sie ihn durch 3,14. Der Umfang beträgt beispielsweise 600 cm, also D = 600 / 3,14 = 191,08 cm.
Durchmesser des umschriebenen Kreises
Der Durchmesser des umschriebenen Kreises kann auch ermittelt werden, wenn dieser von einem Dreieck umschrieben oder eingeschrieben ist. Dazu müssen Sie zunächst den Radius für den eingeschriebenen Kreis mithilfe der Formel ermitteln: R \u003d S / p, wobei S die Fläche des Dreiecks bezeichnet und p sein halber Umfang ist, p ist gleichgesetzt mit (a + b + c) / 2. Nachdem der Radius bekannt ist, müssen Sie die erste Formel verwenden. Oder ersetzen Sie sofort alle Werte in der Formel D = 2S/p.
Wenn Sie nicht wissen, wie Sie den Durchmesser des umschriebenen Kreises ermitteln, verwenden Sie die Formel, um den Radius des um ein Dreieck umschriebenen Kreises zu ermitteln. R = (a * b * c) / 4 * S, S in der Formel gibt die Fläche des Dreiecks an. Setzen Sie dann auf die gleiche Weise den Wert des Radius in die Formel D = 2R ein.
Mittelsenkrecht zum Segment
Definition 1 . Mittelsenkrecht zum Segment genannt, eine gerade Linie senkrecht zu diesem Segment und durch seine Mitte verlaufend (Abb. 1).
Satz 1. Jeder Punkt der Mittelsenkrechten zum Segment ist im gleichen Abstand von den Enden dieses Segment.
Nachweisen . In Betracht ziehen beliebiger Punkt D liegt auf der Mittelsenkrechten zum Segment AB (Abb. 2) und beweisen, dass die Dreiecke ADC und BDC gleich sind.
Tatsächlich handelt es sich bei diesen Dreiecken um rechtwinklige Dreiecke, deren Schenkel AC und BC gleich sind, während die Schenkel DC gemeinsam sind. Aus der Gleichheit der Dreiecke ADC und BDC folgt die Gleichheit der Segmente AD und DB. Satz 1 ist bewiesen.
Satz 2 (Umgekehrt zu Satz 1). Befindet sich ein Punkt im gleichen Abstand von den Enden einer Strecke, so liegt er auf der Mittelsenkrechten dieser Strecke.
Nachweisen . Beweisen wir Satz 2 mit der Methode „durch Widerspruch“. Nehmen wir zu diesem Zweck an, dass ein Punkt E den gleichen Abstand von den Enden des Segments hat, aber nicht auf der Mittelsenkrechten zu diesem Segment liegt. Bringen wir diese Annahme auf einen Widerspruch. Betrachten Sie zunächst den Fall, dass die Punkte E und A entlang liegen verschiedene Seiten von der Mittelsenkrechten (Abb. 3). In diesem Fall schneidet die Strecke EA irgendwann die Mittelsenkrechte, die wir mit dem Buchstaben D bezeichnen.
Beweisen wir, dass das Segment AE länger ist als das Segment EB. Wirklich,
Für den Fall, dass die Punkte E und A auf gegenüberliegenden Seiten der Mittelsenkrechten liegen, haben wir also einen Widerspruch erhalten.
Betrachten Sie nun den Fall, dass die Punkte E und A auf derselben Seite der Mittelsenkrechten liegen (Abb. 4). Beweisen wir, dass das Segment EB länger ist als das Segment AE. Wirklich,
Der resultierende Widerspruch vervollständigt den Beweis von Satz 2
Kreis, der ein Dreieck umschreibt
Definition 2 . Ein Kreis, der ein Dreieck umschreibt, nennen Sie den Kreis, der durch alle drei Eckpunkte des Dreiecks verläuft (Abb. 5). In diesem Fall heißt das Dreieck ein in einen Kreis eingeschriebenes Dreieck oder beschriftetes Dreieck.
Eigenschaften eines um ein Dreieck umschriebenen Kreises. Sinussatz
| Figur | Zeichnung | Eigentum |
| Mittelsenkrechte zu den Seiten des Dreiecks |  |
sich in einem Punkt schneiden
. |
 |
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| Center umschrieben von einem spitzen Dreieck eines Kreises | Zentrum beschrieben über spitzwinklig innen Dreieck. | |
| Center ein um ein rechtwinkliges Dreieck umschriebener Kreis |  | Das Zentrum des beschriebenen etwa rechteckig
Mittelpunkt der Hypotenuse
. |
| Center beschrieben über Stumpfes Dreieck Kreise |  | Zentrum beschrieben über stumpf Kreis Dreieck liegt außen Dreieck. |
 |
|
|
| Quadrat Dreieck |  | S= 2R 2 Sünde A Sünde B Sünde C , |
| Radius des umschriebenen Kreises | Für jedes Dreieck gilt die Gleichheit: |
,| Mittelsenkrechte zu den Seiten eines Dreiecks |
Alle Mittelsenkrechten zu den Seiten gezogen beliebiges Dreieck, sich in einem Punkt schneiden . |
| Kreis, der ein Dreieck umschreibt |
Jedes Dreieck kann von einem Kreis umschrieben werden. . Der Mittelpunkt des das Dreieck umschreibenden Kreises ist der Punkt, an dem sich alle zu den Seiten des Dreiecks gezogenen Mittelsenkrechten schneiden. |
| Mittelpunkt eines Kreises, der von einem spitzen Dreieck umschrieben wird |
Zentrum beschrieben über spitzwinklig Kreis Dreieck liegt innen Dreieck. |
| Mittelpunkt eines um ein rechtwinkliges Dreieck umschriebenen Kreises |
Das Zentrum des beschriebenen etwa rechteckig Kreisdreieck ist Mittelpunkt der Hypotenuse . |
| Mittelpunkt eines Kreises, der von einem stumpfen Dreieck umschrieben wird |
Zentrum beschrieben über stumpf Kreis Dreieck liegt außen Dreieck. |
Für jedes Dreieck gelten Gleichheiten (Sinussatz):
Dabei sind a, b, c die Seiten des Dreiecks, A, B, C die Winkel des Dreiecks und R der Radius des umschriebenen Kreises. |
| Fläche eines Dreiecks |
Für jedes Dreieck gilt die Gleichheit: S= 2R 2 Sünde A Sünde B Sünde C , wobei A, B, C die Winkel des Dreiecks sind, S die Fläche des Dreiecks ist, R der Radius des umschriebenen Kreises ist. |
| Radius des umschriebenen Kreises |
Für jedes Dreieck gilt die Gleichheit: wobei a, b, c die Seiten des Dreiecks sind, S die Fläche des Dreiecks ist, R der Radius des umschriebenen Kreises ist. |
Beweise von Sätzen über die Eigenschaften eines um ein Dreieck umschriebenen Kreises
Satz 3. Alle zu den Seiten eines beliebigen Dreiecks gezogenen Mittelsenkrechten schneiden sich in einem Punkt.
Nachweisen . Betrachten Sie zwei senkrechte Winkelhalbierende, die zu den Seiten AC und AB gezogen sind Dreieck ABC, und bezeichnen den Punkt ihres Schnittpunkts mit dem Buchstaben O (Abb. 6).
Da der Punkt O auf der Mittelsenkrechten zur Strecke AC liegt, gilt aufgrund von Satz 1 die folgende Gleichheit:
Da der Punkt O auf der Mittelsenkrechten zur Strecke AB liegt, gilt aufgrund von Satz 1 die folgende Gleichheit:
Daher gilt die Gleichheit:
Daraus schließen wir mit Satz 2, dass der Punkt O auf der Mittelsenkrechten zum Segment BC liegt. Somit gehen alle drei Mittelsenkrechten durch denselben Punkt, der bewiesen werden sollte.
Folge. Jedes Dreieck kann von einem Kreis umschrieben werden. . Der Mittelpunkt des das Dreieck umschreibenden Kreises ist der Punkt, an dem sich alle zu den Seiten des Dreiecks gezogenen Mittelsenkrechten schneiden.
Nachweisen . Betrachten wir den Punkt O, an dem sich alle zu den Seiten des Dreiecks ABC gezogenen Mittelsenkrechten schneiden (Abb. 6).
Beim Beweis von Satz 3 wurde die folgende Gleichheit erhalten:
Daraus folgt, dass der Kreis mit Mittelpunkt O und den Radien OA, OB, OC durch alle drei Eckpunkte des zu beweisenden Dreiecks ABC verläuft.
Du wirst brauchen
- Dreieck mit gegebenen Parametern
- Kompass
- Herrscher
- Quadrat
- Tabelle der Sinus- und Kosinuswerte
- Mathematische Konzepte
- Bestimmung der Höhe eines Dreiecks
- Formeln für Sinus und Cosinus
- Dreiecksflächenformel
Anweisung
Zeichnen Sie ein Dreieck mit den gewünschten Parametern. Ein Dreieck besteht entweder aus drei Seiten oder aus zwei Seiten und einem Winkel zwischen ihnen oder aus einer Seite und zwei angrenzenden Winkeln. Beschriften Sie die Eckpunkte des Dreiecks mit A, B und C, die Winkel mit α, β und γ und die den Ecken gegenüberliegenden Seiten mit a, b und c.
Zeichnen Sie zu allen Seiten des Dreiecks und finden Sie den Punkt, an dem sie sich schneiden. Bezeichnen Sie die Höhen als h mit den entsprechenden Indizes für die Seiten. Finden Sie den Schnittpunkt und markieren Sie ihn als O. Er wird der Mittelpunkt des Kreises sein. Somit sind die Radien dieses Kreises die Segmente OA, OB und OS.
Ermitteln Sie den Radius mithilfe von zwei Formeln. Zum einen müssen Sie zunächst berechnen. Er ist gleich allen Seiten des Dreiecks mal dem Sinus eines beliebigen Winkels geteilt durch 2.
In diesem Fall wird der Radius des umschriebenen Kreises nach der Formel berechnet
Für den anderen reicht die Länge einer der Seiten und der Sinus des gegenüberliegenden Winkels.
Berechnen Sie den Radius und beschreiben Sie den Umfang des Dreiecks.
Denken Sie daran, wie hoch ein Dreieck ist. Dies ist eine Senkrechte, die von der Ecke zur gegenüberliegenden Seite gezogen wird.
Die Fläche eines Dreiecks kann auch als Produkt aus dem Quadrat einer der Seiten und den Sinuswerten beider dargestellt werden angrenzende Winkel dividiert durch den doppelten Sinus der Summe dieser Winkel.
S=à2*sinβ*sinγ/2sinγ
Quellen:
- Tabelle mit Radien des umschriebenen Kreises
- Radius eines um ein Gleichseitiges umschriebenen Kreises
Es gilt als um ein Polygon umschrieben, wenn es alle seine Eckpunkte berührt. Bemerkenswerterweise ist das Zentrum eines solchen Kreise fällt mit dem Schnittpunkt der Senkrechten zusammen, die von den Mittelpunkten der Seiten des Polygons gezogen werden. Radius beschrieben Kreise hängt ganz von dem Polygon ab, um das herum es beschrieben wird.
Du wirst brauchen
- Kennen Sie die Seiten eines Polygons, seine Fläche/Umfang.
Anweisung
beachten Sie
Ein Kreis kann nur dann um ein Polygon herum beschrieben werden, wenn es regelmäßig ist, d. h. alle seine Seiten sind gleich und alle seine Winkel sind gleich.
Die These, dass der Mittelpunkt des um das Polygon umschriebenen Kreises der Schnittpunkt seiner Mittelsenkrechten ist, gilt für alle regelmäßige Polygone.
Quellen:
- wie man den Radius eines Polygons ermittelt
Wenn es für ein Polygon möglich ist, den umschriebenen Kreis zu konstruieren, dann ist die Fläche dieses Polygons weniger Fläche umschriebener Kreis, aber mehr Fläche eingeschriebener Kreis. Für einige Polygone sind Formeln zum Finden bekannt Radius eingeschriebene und umschriebene Kreise.
Anweisung
Ein in ein Polygon eingeschriebener Kreis, der alle Seiten des Polygons berührt. Für Dreieck Radius Kreise: r = ((p-a)(p-b)(p-c)/p)^1/2, wobei p der Halbumfang ist; a, b, c – Seiten des Dreiecks. Denn die Formel ist vereinfacht: r = a / (2 * 3 ^ 1 / 2) und ist die Seite des Dreiecks.
Ein um ein Polygon umschriebener Kreis ist ein Kreis, auf dem alle Eckpunkte des Polygons liegen. Für ein Dreieck wird der Radius durch die Formel ermittelt: R = abc / (4 (p (p-a) (p-b) (p-c)) ^ 1/2), wobei p der Halbumfang ist; a, b, c – Seiten des Dreiecks. Für die richtige ist es einfacher: R = a/3^1/2.
Bei Polygonen ist es nicht immer möglich, das Verhältnis der Radien des eingeschriebenen Polygons und der Länge seiner Seiten herauszufinden. Häufiger beschränken sie sich auf die Konstruktion solcher Kreise um das Polygon und dann auf das Physische Radius Kreise mit Messgeräte oder Vektorraum.
Um den umschriebenen Kreis eines konvexen Polygons zu konstruieren, werden die Winkelhalbierenden seiner beiden Winkel konstruiert; der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises liegt in ihrem Schnittpunkt. Der Radius ist der Abstand vom Schnittpunkt der Winkelhalbierenden zum Scheitelpunkt einer beliebigen Ecke des Polygons. Der Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der Senkrechten, die innerhalb des Polygons von den Mittelpunkten der Seiten gebildet werden (diese Senkrechten sind Mittelwerte). Es reicht aus, zwei solcher Senkrechten zu konstruieren. Eingeschriebener Kreisradius gleich der Entfernung vom Schnittpunkt der Mittelsenkrechten zur Seite des Polygons.
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beachten Sie
Es ist unmöglich, einen Kreis in ein beliebig gegebenes Polygon einzuschreiben und einen Kreis darum herum zu beschreiben.
Hilfreicher Rat
Ein Kreis kann in ein Viereck eingeschrieben werden, wenn a + c = b + d, wobei a, b, c, d die Seiten des Vierecks in dieser Reihenfolge sind. Ein Kreis kann um ein Viereck herum beschrieben werden, wenn seine entgegengesetzten Winkel zusammen 180 Grad ergeben;
Für ein Dreieck existieren solche Kreise immer.
Tipp 4: So ermitteln Sie die Fläche eines Dreiecks mit drei Seiten
Das Ermitteln der Fläche eines Dreiecks ist eine der häufigsten Aufgaben in der Schulplanimetrie. Die Kenntnis der drei Seiten eines Dreiecks reicht aus, um die Fläche eines Dreiecks zu bestimmen. In besonderen Fällen und bei gleichseitigen Dreiecken reicht es aus, die Längen von zwei bzw. einer Seite zu kennen.
Du wirst brauchen
- Seitenlängen von Dreiecken, Heronsche Formel, Kosinussatz
Anweisung
Herons Formel für die Fläche eines Dreiecks lautet wie folgt: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Wenn Sie den Halbumfang p malen, erhalten Sie: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c) /2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.
Auch aus Überlegungen lässt sich eine Formel für die Fläche eines Dreiecks ableiten, beispielsweise durch Anwendung des Kosinussatzes.
Nach dem Kosinusgesetz gilt AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Mit der eingeführten Notation können diese auch die Form haben: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Daher ist cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)
Die Fläche eines Dreiecks wird auch durch die Formel S = a*c*sin(ABC)/2 durch zwei Seiten und den Winkel zwischen ihnen ermittelt. Sinus Winkel ABC kann in dieser Hinsicht mit dem Hauptwort ausgedrückt werden trigonometrische Identität: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2) Indem wir den Sinus in die Formel für die Fläche einsetzen und ihn malen, können wir zur Formel für die Fläche des Dreiecks ABC gelangen.
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Drei Punkte, die ein Dreieck eindeutig definieren Kartesisches System Koordinaten sind seine Eckpunkte. Wenn Sie ihre Position relativ zu jeder der Koordinatenachsen kennen, können Sie beliebige Parameter davon berechnen flache Figur, einschließlich und begrenzt durch seinen Umfang Quadrat. Dies kann auf verschiedene Arten erfolgen.
Anweisung
Verwenden Sie die Formel von Heron, um die Fläche zu berechnen Dreieck. Dabei geht es um die Abmessungen der drei Seiten der Figur, also beginnen Sie mit den Berechnungen. Die Länge jeder Seite muss gleich der Wurzel der Summe der Quadrate der Längen ihrer Projektionen sein Koordinatenachsen. Wenn wir die Koordinaten A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) und C(X₃,Y₃,Z₃) bezeichnen, können die Längen ihrer Seiten wie folgt ausgedrückt werden: AB = √((X₁- X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).
Um die Berechnungen zu vereinfachen, geben Sie eine Hilfsvariable ein – den Halbumfang (P). Daraus ergibt sich die Hälfte der Summe der Längen aller Seiten: P = ½ * (AB + BC + AC) = ½ * (√ ((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁- Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²).
Berechnung Quadrat(S) nach Herons Formel – ziehen Sie die Wurzel aus dem Produkt aus dem Halbumfang und der Differenz zwischen diesem und der Länge jeder Seite. IN Gesamtansicht es kann wie folgt geschrieben werden: S = √(P*(P-AB)*(P-BC)*(P-AC)) = √(P*(P-√((X₁-X₂)² + (Y₁ -Y₂ )² + (Z₁-Z₂)²))*(P-√((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²))*(P-√((X₁- X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²)).
Für praktische Berechnungen ist es praktisch, spezielle Taschenrechner zu verwenden. Hierbei handelt es sich um Skripte, die auf den Servern einiger Websites gehostet werden und alles tun notwendigen Berechnungen basierend auf den Koordinaten, die Sie im entsprechenden Formular eingegeben haben. Der einzige Dienst dieser Art besteht darin, dass er keine Erklärungen und Begründungen für jeden Schritt der Berechnungen bereitstellt. Wenn Sie also nur daran interessiert sind Endergebnis, und keine allgemeinen Berechnungen, gehen Sie zum Beispiel auf die Seite http://planetcalc.ru/218/.
Geben Sie in die Formularfelder jede Koordinate jedes Eckpunkts ein Dreieck- Sie sind hier als Axe, Ay, Az usw. Wenn das Dreieck durch zweidimensionale Koordinaten gegeben ist, schreiben Sie in die Felder Az, Bz und Cz Null. Stellen Sie im Feld „Berechnungsgenauigkeit“ die gewünschte Anzahl der Nachkommastellen ein, indem Sie mit der Plus- oder Minus-Maus klicken. Es ist nicht notwendig, die orangefarbene Schaltfläche „Berechnen“ unter dem Formular zu drücken, die Berechnungen werden ohne diese Schaltfläche durchgeführt. Die Antwort finden Sie neben der Aufschrift „Quadrat“. Dreieck” – es befindet sich direkt unter der orangefarbenen Schaltfläche.
Quellen:
- Finden Sie die Fläche eines Dreiecks mit Eckpunkten an Punkten
Manchmal kann ein konvexes Polygon so gezeichnet werden, dass die Eckpunkte aller Ecken darauf liegen. Ein solcher Kreis in Bezug auf das Polygon sollte als umschrieben bezeichnet werden. Ihr Center muss nicht innerhalb des Umfangs der beschrifteten Figur liegen, sondern die Eigenschaften des beschriebenen nutzen Kreise, diesen Punkt zu finden ist normalerweise nicht sehr schwierig.
Du wirst brauchen
- Lineal, Bleistift, Winkelmesser oder Winkel, Zirkel.
Anweisung
Wenn das Polygon, um das Sie den Kreis beschreiben möchten, auf Papier gezeichnet wird, finden Sie es Center und ein Kreis reicht für Lineal, Bleistift und Winkelmesser oder Quadrat. Messen Sie die Länge einer beliebigen Seite der Figur, bestimmen Sie deren Mitte und setzen Sie an dieser Stelle der Zeichnung einen Hilfspunkt. Zeichnen Sie mit einem Quadrat oder einem Winkelmesser ein Segment senkrecht zu dieser Seite innerhalb des Polygons, bis es es schneidet gegenüberliegende Seite.
Führen Sie den gleichen Vorgang mit jeder anderen Seite des Polygons durch. Der Schnittpunkt der beiden konstruierten Segmente wird sein angestrebte Stelle. Dies ergibt sich aus der Haupteigenschaft des Beschriebenen Kreise- ihr Center V konvexes Polygon auf jeder Seite liegt immer im Schnittpunkt der zu diesen gezogenen Mittelsenkrechten
Sehr oft müssen Sie beim Lösen geometrischer Probleme Aktionen mit Hilfsfiguren ausführen. Ermitteln Sie beispielsweise den Radius eines eingeschriebenen oder umschriebenen Kreises usw. In diesem Artikel erfahren Sie, wie Sie den Radius eines Kreises ermitteln, der ein Dreieck umschreibt. Oder mit anderen Worten, der Radius des Kreises, in den das Dreieck eingeschrieben ist.
So ermitteln Sie den Radius eines um ein Dreieck umschriebenen Kreises – die allgemeine Formel
Die allgemeine Formel lautet wie folgt: R = abc/4√p(p - a)(p - b)(p - c), wobei R der Radius des umschriebenen Kreises und p der Umfang des Dreiecks geteilt durch 2 ist (halber Umfang). a, b, c sind die Seiten des Dreiecks.
Finden Sie den Radius des Umkreises des Dreiecks, wenn a = 3, b = 6, c = 7.
Basierend auf der obigen Formel berechnen wir also den Halbumfang:
p = (a + b + c)/2 = 3 + 6 + 7 = 16. => 16/2 = 8.
Ersetzen Sie die Werte in der Formel und erhalten Sie:
R = 3 × 6 × 7/4√8(8 – 3)(8 – 6)(8 – 7) = 126/4√(8 × 5 × 2 × 1) = 126/4√80 = 126/16 √5.
Antwort: R = 126/16√5
So ermitteln Sie den Radius eines Kreises, der von einem gleichseitigen Dreieck umschrieben wird
Den Radius eines umschriebenen Kreises ermitteln gleichseitiges Dreieck, es gibt durchaus einfache Formel: R = a/√3, wobei a der Wert seiner Seite ist.
Beispiel: Die Seite eines gleichseitigen Dreiecks ist 5. Ermitteln Sie den Radius des umschriebenen Kreises.
Da alle Seiten eines gleichseitigen Dreiecks gleich sind, müssen Sie zur Lösung des Problems lediglich seinen Wert in die Formel eingeben. Wir erhalten: R = 5/√3.
Antwort: R = 5/√3.
So ermitteln Sie den Radius eines um ein rechtwinkliges Dreieck umschriebenen Kreises
Die Formel sieht so aus: R = 1/2 × √(a² + b²) = c/2, wobei a und b die Schenkel und c die Hypotenuse sind. Wenn wir die Quadrate der Beine falten rechtwinkliges Dreieck, wir erhalten das Quadrat der Hypotenuse. Wie aus der Formel hervorgeht, liegt dieser Ausdruck unter der Wurzel. Indem wir die Wurzel des Quadrats der Hypotenuse berechnen, erhalten wir die Länge selbst. Die Multiplikation des resultierenden Ausdrucks mit 1/2 führt schließlich zum Ausdruck 1/2 × c = c/2.
Beispiel: Berechnen Sie den Radius des umschriebenen Kreises, wenn die Schenkel des Dreiecks 3 und 4 sind. Setzen Sie die Werte in die Formel ein. Wir erhalten: R = 1/2 × √(3² + 4²) = 1/2 × √25 = 1/2 × 5 = 2,5.
IN Ausdruck gegeben 5 ist die Länge der Hypotenuse.
Antwort: R = 2,5.
So ermitteln Sie den Radius eines Kreises, der um ein gleichschenkliges Dreieck beschrieben wird
Die Formel sieht so aus: R = a² / √ (4a² - b²), wobei a die Länge des Schenkels des Dreiecks und b die Länge der Basis ist.
Beispiel: Berechnen Sie den Radius eines Kreises, wenn seine Hüfte = 7 und seine Basis = 8 ist.
Lösung: Wir setzen diese Werte in die Formel ein und erhalten: R \u003d 7² / √ (4 × 7² - 8²).
R = 49/√(196 - 64) = 49/√132. Die Antwort kann direkt so geschrieben werden.
Antwort: R = 49/√132
Online-Ressourcen zur Berechnung des Radius eines Kreises
Bei all diesen Formeln kommt man sehr leicht durcheinander. Daher können Sie bei Bedarf verwenden Online-Rechner, das Ihnen bei der Lösung von Problemen beim Finden des Radius hilft. Das Funktionsprinzip solcher Miniprogramme ist sehr einfach. Geben Sie den Wert der Seite in das entsprechende Feld ein und Sie erhalten eine vorgefertigte Antwort. Sie können zwischen mehreren Optionen zum Runden der Antwort wählen: auf Dezimalstellen, Hundertstel, Tausendstel usw.
