Merkintä. Tämä materiaali sisältää lauseen ja sen todisteen sekä joukon ongelmia, jotka kuvaavat lauseen soveltamista kuperan monikulmion kulmien summaan käytännön esimerkeissä.

Kupera monikulmiokulman summalause

.

Todiste.

Kuperan monikulmion kulmien summan lauseen todistamiseksi käytämme jo todistettua lausetta, että kolmion kulmien summa on 180 astetta.

Olkoon A 1 A 2... A n annettu kupera monikulmio, ja n > 3. Piirrä kaikki monikulmion lävistäjät kärjestä A 1. Ne jakavat sen n – 2 kolmioon: Δ A 1 A 2 A 3, Δ A 1 A 3 A 4, ... , Δ A 1 A n – 1 A n . Monikulmion kulmien summa on sama kuin kaikkien näiden kolmioiden kulmien summa. Kunkin kolmion kulmien summa on 180° ja kolmioiden lukumäärä on (n - 2). Siksi kuperan n-kulman A 1 A 2... A n kulmien summa on 180° (n – 2).

Tehtävä.

Kuperassa monikulmiossa kolme kulmaa ovat 80 astetta ja loput 150 astetta. Kuinka monta kulmaa on kuperassa monikulmiossa?

Ratkaisu.

Lause sanoo: Kuperalle n-kulmiolle kulmien summa on 180°(n-2) .

Joten meidän tapauksessamme:

180(n-2)=3*80+x*150, missä

Meille on annettu 3 80 asteen kulmaa tehtävän ehdon mukaan, ja muiden kulmien lukumäärä on meille vielä tuntematon, joten merkitsemme niiden lukumäärän x:llä.

Vasemman puolen merkinnästä määritimme kuitenkin monikulmion kulmien lukumääräksi n, koska tiedämme niistä kolmen arvot tehtävän ehdosta, on selvää, että x=n-3.

Joten yhtälö näyttää tältä:

180 (n-2) = 240 + 150 (n-3)

Ratkaisemme tuloksena olevan yhtälön

180n - 360 = 240 + 150n - 450

180n - 150n = 240 + 360 - 450

Vastaus: 5 huippua

Tehtävä.

Kuinka monta kärkeä monikulmiolla voi olla, jos jokainen kulma on pienempi kuin 120 astetta?

Ratkaisu.

Tämän ongelman ratkaisemiseksi käytämme lausetta kuperan monikulmion kulmien summasta.

Lause sanoo: Kuperalla n-kulmiolla kaikkien kulmien summa on 180°(n-2) .

Tästä syystä meidän tapauksessamme on välttämätöntä ensin arvioida ongelman reunaehdot. Eli oletetaan, että jokainen kulmista on 120 astetta. Saamme:

180n - 360 = 120n

180n - 120n = 360 (käsittelemme tätä lauseketta erikseen alla)

Saadun yhtälön perusteella päätämme: kun kulmat ovat alle 120 astetta, monikulmion kulmien lukumäärä on pienempi kuin kuusi.

Selitys:

Lausekkeen 180n - 120n = 360 perusteella, edellyttäen, että vähennetty oikea puoli on pienempi kuin 120n, eron tulee olla suurempi kuin 60n. Siten jaon osamäärä on aina pienempi kuin kuusi.

Vastaus: polygonipisteiden määrä on pienempi kuin kuusi.

Tehtävä

Monikulmiolla on kolme 113 asteen kulmaa, ja loput ovat yhtä suuria keskenään ja niiden kanssa tutkinnon mitta on kokonaisluku. Selvitä monikulmion kärkien lukumäärä.

Ratkaisu.

Tämän ongelman ratkaisemiseksi käytämme lausetta kuperan monikulmion ulkokulmien summasta.

Lause sanoo: Kuperalla n-kulmiolla kaikkien ulkokulmien summa on 360° .

Tällä tavalla,

3*(180-113)+(n-3)x=360

lausekkeen oikea puoli on ulkokulmien summa, vasemmalla puolella kolmen kulman summa tunnetaan ehdon perusteella ja lopun astemitta (niiden lukumäärä, vastaavasti n-3, koska kolme kulmaa on tunnettu) on merkitty x:llä.

159 on jaettu vain kahdeksi tekijäksi 53 ja 3, ja 53 on alkuluku. Eli muita tekijäpareja ei ole olemassa.

Näin ollen n-3 = 3, n=6, eli monikulmion kulmien lukumäärä on kuusi.

Vastaus: kuusi kulmaa

Tehtävä

Todista, että kuperalla monikulmiolla voi olla enintään kolme terävät kulmat.

Ratkaisu

Kuten tiedät, kuperan monikulmion ulkokulmien summa on 360 0 . Todistakaamme ristiriidalla. Jos kuperalla monikulmiolla on vähintään neljä akuuttia sisäiset kulmat, siksi sen ulkokulmien joukossa on vähintään neljä tylppäkulmaa, mikä tarkoittaa, että monikulmion kaikkien ulkokulmien summa on suurempi kuin 4*90 0 = 360 0 . Meillä on ristiriita. Väite on todistettu.

N-kulmaisen lauseen kulmien summa. Kuperan n-kulman kulmien summa on 180 o (n-2). Todiste. Jostakin kuperan n-kulman kärjestä piirretään kaikki sen diagonaalit. Sitten n-kulmio hajoaa n-2 kolmioon. Jokaisessa kolmiossa kulmien summa on 180 o, ja nämä kulmat muodostavat n-kulman kulmat. Siksi n-kulman kulmien summa on 180 o (n-2).

Toinen todistusmenetelmä Lause. Kuperan n-kulman kulmien summa on 180 o (n-2). Todistus 2. Olkoon O jokin sisäinen kohta kupera n-kulmio A 1 …A n. Yhdistä se tämän monikulmion kärkiin. Sitten n-kulmio jaetaan n kolmioon. Jokaisessa kolmiossa kulmien summa on 180 o. Nämä kulmat muodostavat n-kulman ja toisen 360 asteen kulmat. Siksi n-kulman kulmien summa on 180 o (n-2).

Harjoitus 3 Osoita, että kuperan n-kulman ulkokulmien summa on 360 o. Todiste. Kuperan monikulmion ulkokulma on 180° miinus vastaava sisäkulma. Siksi kuperan n-kulman ulkokulmien summa on 180 o n miinus sisäkulmien summa. Koska kuperan n-gonin sisäkulmien summa on 180 o (n-2), niin ulkokulmien summa on 180 o n o (n-2) = 360 o.

Harjoitus 4 Mitkä ovat säännöllisen kulmat: a) kolmio; b) nelikulmio; c) viisikulmio; d) kuusikulmio; e) kahdeksankulmio; e) kymmenkulmio; g) kaksikymmentäkolme? Vastaus: a) 60 o, b) 90 o, c) 108 o, d) 120 o; e) 135 o, f) 144 o g) 150 o.

Harjoitus 12* Mitä suurin määrä voiko kuperalla n-kulmiolla olla teräviä kulmia? Ratkaisu. Koska kuperan monikulmion ulkokulmien summa on 360 o, niin kuperassa monikulmiossa ei voi olla enempää kuin kolme tylsät kulmat, siksi sillä ei voi olla enempää kuin kolme sisäistä terävää kulmaa. Vastaus. 3.

Nämä geometriset muodot ympäröivät meitä kaikkialla. Kuperat monikulmiot voivat olla luonnollisia, kuten hunajakennoja, tai keinotekoisia (keinotekoisia). Näitä lukuja käytetään tuotannossa monenlaisia pinnoitteet, maalaus, arkkitehtuuri, sisustus jne. Kuperilla monikulmioilla on ominaisuus, että kaikki niiden pisteet ovat samalla puolella suoraa, joka kulkee tämän suoran vierekkäisten kärkien parin läpi. geometrinen kuvio. Muitakin määritelmiä on olemassa. Monikulmiota kutsutaan kuperaksi, jos se sijaitsee yhdessä puolitasossa minkä tahansa sen yhden sivun sisältävän suoran suhteen.

Alkeisgeometrian aikana huomioidaan aina vain yksinkertaiset monikulmiot. Kaikkien tällaisten ominaisuuksien ymmärtämiseksi on tarpeen ymmärtää niiden luonne. Aluksi on ymmärrettävä, että mitä tahansa riviä kutsutaan suljetuksi, jonka päät ovat samat. Lisäksi sen muodostamalla hahmolla voi olla erilaisia ​​konfiguraatioita. Monikulmio on yksinkertainen suljettu katkoviiva, jossa viereiset linkit eivät sijaitse samalla suoralla. Sen linkit ja kärjet ovat vastaavasti tämän geometrisen kuvion sivut ja kärjet. Yksinkertaisella polyline-viivalla ei saa olla itseleikkauksia.

Monikulmion kärkipisteitä kutsutaan vierekkäisiksi, jos ne edustavat sen yhden sivun päitä. Geometrinen kuvio, jolla on n:s numero kärjet, ja siten n. määrä sivuja kutsutaan n-kulmioksi. Itse katkoviivaa kutsutaan tämän geometrisen hahmon reunaksi tai ääriviivaksi. Monikulmion tasoa tai tasaista monikulmiota kutsutaan minkä tahansa sen rajoittaman tason päätyosiksi. Tämän geometrisen kuvion vierekkäisiä sivuja kutsutaan yhdestä kärjestä lähtevän katkoviivan segmenteiksi. Ne eivät ole vierekkäisiä, jos ne tulevat monikulmion eri pisteistä.

Muita konveksien monikulmioiden määritelmiä

Alkeisgeometriassa on useita vastaavia määritelmiä, jotka osoittavat, mitä monikulmiota kutsutaan kuperaksi. Lisäksi kaikki nämä ilmaisut sama tutkinto ovat totta. Kupera monikulmio on sellainen, jolla on:

Jokainen jana, joka yhdistää kaksi pistettä siinä, on kokonaan sen sisällä;

Kaikki sen lävistäjät ovat sen sisällä;

Sisäinen kulma ei ylitä 180°.

Monikulmio jakaa tason aina kahteen osaan. Yksi niistä on rajoitettu (se voidaan sulkea ympyrään), ja toinen on rajoittamaton. Ensimmäistä kutsutaan sisäalueeksi ja toista tämän geometrisen hahmon ulkoalueeksi. Tämä monikulmio on useiden puolitasojen leikkauspiste (toisin sanoen yhteinen komponentti). Lisäksi jokainen segmentti, jonka päät ovat pisteissä, jotka kuuluvat monikulmioon, kuuluvat kokonaan siihen.

Kuperoiden monikulmioiden lajikkeet

Kuperan monikulmion määritelmä ei osoita, että niitä on monenlaisia. Ja jokaisella niistä on tietyt kriteerit. Joten kuperia monikulmiota, jonka sisäkulma on 180°, kutsutaan heikosti kuperaksi. Kupera geometrinen kuvio, jolla on kolme kärkeä, on nimeltään kolmio, neljä - nelikulmio, viisi - viisikulmio jne. Kukin kupera n-kulmio vastaa seuraavaa olennainen vaatimus: n:n on oltava yhtä suuri tai suurempi kuin 3. Jokainen kolmio on kupera. Geometrinen kuvio tämän tyyppistä, jossa kaikki kärjet sijaitsevat samalla ympyrällä, kutsutaan ympyrään piirretyksi. Kuperaa monikulmiota kutsutaan rajatuksi, jos kaikki sen ympyrän lähellä olevat sivut koskettavat sitä. Kahden monikulmion sanotaan olevan yhtä suuri vain, jos ne voidaan asettaa päällekkäin superpositiolla. Tasainen monikulmio kutsutaan monikulmiotasoksi (tason osaksi), jota tämä geometrinen kuvio rajoittaa.

Säännölliset kuperat monikulmiot

Säännölliset monikulmiot ovat geometrisia muotoja yhtäläiset kulmat ja juhlia. Niiden sisällä on piste 0, joka on samalla etäisyydellä jokaisesta kärjestään. Sitä kutsutaan tämän geometrisen kuvion keskipisteeksi. Segmenttejä, jotka yhdistävät keskustan tämän geometrisen hahmon kärkipisteisiin, kutsutaan apoteemiksi, ja niitä, jotka yhdistävät pisteen 0 sivuihin, kutsutaan säteiksi.

Säännöllinen nelikulmio on neliö. suorakulmainen kolmio kutsutaan tasasivuiseksi. Tällaisille kuvioille on olemassa seuraava sääntö: kuperan monikulmion kukin kulma on 180° * (n-2)/n,

missä n on tämän kuperan geometrisen kuvion kärkien lukumäärä.

Minkä tahansa alueen säännöllinen monikulmio määräytyy kaavalla:

jossa p on yhtä suuri kuin puolet annetun monikulmion kaikkien sivujen summasta ja h on yhtä suuri kuin apoteemin pituus.

Kuperan monikulmion ominaisuudet

Kuperilla polygoneilla on tiettyjä ominaisuuksia. Joten segmentti, joka yhdistää minkä tahansa 2 pistettä tällaisesta geometrisesta kuviosta, sijaitsee välttämättä siinä. Todiste:

Oletetaan, että P on annettu kupera monikulmio. Otamme 2 mielivaltaisia ​​pisteitä esimerkiksi A, B, jotka kuuluvat R:lle. By olemassa oleva määritelmä kuperan monikulmion pisteet sijaitsevat toisella puolella suoraa, joka sisältää minkä tahansa sivun P. Siksi myös AB:llä on tämä ominaisuus ja se sisältyy P:hen. Kupera monikulmio voidaan aina jakaa useisiin kolmioihin ehdottomasti kaikilla lävistäjällä piirretty yhdestä sen kärjestä.

Kuperien geometristen muotojen kulmat

Kuperan monikulmion kulmat ovat kulmia, jotka muodostuvat sen sivuista. Sisäkulmat ovat sisällä sisäalue tämä geometrinen kuvio. Kulmaa, jonka muodostavat sen yhdessä kärjessä suppenevat sivut, kutsutaan kuperan monikulmion kulmaksi. Tietyn geometrisen kuvion sisäkulmia kutsutaan ulkoisiksi. Jokainen kuperan monikulmion kulma sen sisällä on yhtä suuri kuin:

missä x on ulkokulman arvo. Tämä yksinkertainen kaava koskee kaikkia tämän tyyppisiä geometrisia muotoja.

AT yleinen tapaus, ulkokulmia varten on olemassa sääntöä noudattaen: kuperan monikulmion kukin kulma on yhtä suuri kuin 180°:n ja sisäkulman arvon välinen ero. Sen arvot voivat vaihdella -180° - 180°. Siksi, kun sisäkulma on 120°, ulkokulma on 60°.

Kuperoiden monikulmioiden kulmien summa

Kuperan monikulmion sisäkulmien summa määritetään kaavalla:

missä n on n-kulman kärkien lukumäärä.

Kuperan monikulmion kulmien summa on melko helppo laskea. Harkitse mitä tahansa tällaista geometristä kuviota. Kuperan monikulmion sisällä olevien kulmien summan määrittämiseksi yksi sen kärjeistä on yhdistettävä muihin kärkipisteisiin. Tämän toiminnon tuloksena saadaan (n-2) kolmioita. Tiedämme, että minkä tahansa kolmion kulmien summa on aina 180°. Koska niiden lukumäärä missä tahansa monikulmiossa on (n-2), tällaisen kuvion sisäkulmien summa on 180° x (n-2).

Kuperan monikulmion, eli minkä tahansa kahden sisä- ja vierekkäisen ulkokulman kulmien summa tietylle kuperalle geometriselle kuviolle on aina 180°. Tämän perusteella voit määrittää kaikkien sen kulmien summan:

Sisäkulmien summa on 180° * (n-2). Tämän perusteella tietyn kuvan kaikkien ulkokulmien summa määritetään kaavalla:

180°*n-180°-(n-2) = 360°.

Minkä tahansa kuperan monikulmion ulkokulmien summa on aina 360° (riippumatta sivujen lukumäärästä).

Kuperan monikulmion ulkokulmaa edustaa yleensä 180°:n ja sisäkulman välinen ero.

Muita kuperan monikulmion ominaisuuksia

Näiden geometristen muotojen perusominaisuuksien lisäksi niillä on muita, jotka syntyvät niitä käsiteltäessä. Joten mikä tahansa monikulmioista voidaan jakaa useisiin kuperaan n-kulmioon. Tätä varten on tarpeen jatkaa sen kutakin sivua ja leikata tämä geometrinen kuvio näitä suoria viivoja pitkin. On myös mahdollista jakaa mikä tahansa monikulmio useisiin kuperaan osaan siten, että kunkin palan kärjet osuvat yhteen kaikkien sen kärkien kanssa. Tällaisesta geometrisesta kuviosta voidaan tehdä hyvin yksinkertaisesti kolmioita vetämällä kaikki lävistäjät yhdestä kärjestä. Siten mikä tahansa monikulmio voidaan lopulta jakaa tiettyyn määrään kolmioita, mikä osoittautuu erittäin hyödylliseksi ratkaisemisessa erilaisia ​​tehtäviä liittyvät sellaisiin geometrisiin muotoihin.

Kuperan monikulmion kehä

Katkoviivan segmentit, joita kutsutaan monikulmion sivuiksi, osoitetaan useimmiten seuraavilla kirjaimilla: ab, bc, cd, de, ea. Nämä ovat geometrisen kuvion sivut, joiden kärjet ovat a, b, c, d, e. Tämän kuperan monikulmion kaikkien sivujen pituuksien summaa kutsutaan sen kehäksi.

Monikulmion ympyrä

Kuperia polygoneja voidaan piirtää ja rajata. Ympyrää, joka koskettaa tämän geometrisen hahmon kaikkia sivuja, kutsutaan siihen piirretyksi. Tällaista monikulmiota kutsutaan rajatuksi. Monikulmioon piirretyn ympyrän keskipiste on kaikkien kulmien puolittajien leikkauspiste tietyssä geometrisessa kuviossa. Tällaisen monikulmion pinta-ala on:

missä r on piirretyn ympyrän säde ja p on annetun monikulmion puolikehä.

Ympyrää, joka sisältää monikulmion kärjet, kutsutaan sen ympärille rajatuksi. Lisäksi tätä kuperaa geometrista kuviota kutsutaan kaiverretuksi. Tällaisen monikulmion ympärille rajatun ympyrän keskipiste on kaikkien sivujen ns. kohtisuorien puolittajien leikkauspiste.

Kuperien geometristen muotojen diagonaalit

Kuperan monikulmion lävistäjät ovat janaja, jotka yhdistävät toisiinsa naapuripisteitä. Jokainen niistä on tämän geometrisen hahmon sisällä. Tällaisen n-kulman diagonaalien lukumäärä määritetään kaavalla:

N = n (n - 3) / 2.

Kuperan monikulmion diagonaalien lukumäärä on tärkeä rooli alkeisgeometriassa. Kolmioiden lukumäärä (K), joihin kukin kupera monikulmio voidaan jakaa, lasketaan seuraavalla kaavalla:

Kuperan monikulmion diagonaalien määrä riippuu aina sen kärkien lukumäärästä.

Kuperan monikulmion jakaminen

Joissakin tapauksissa ratkaista geometrisia ongelmia on tarpeen jakaa kupera monikulmio useiksi kolmioksi, joiden lävistäjät eivät leikkaa. Tämä ongelma voidaan ratkaista johtamalla tietty kaava.

Tehtävän määritelmä: Kutsutaan kupera n-kulmio oikea osio useiksi kolmioksi diagonaaleilla, jotka leikkaavat vain tämän geometrisen kuvion kärjet.

Ratkaisu: Oletetaan, että Р1, Р2, Р3 …, Pn ovat tämän n-kulman kärkiä. Numero Xn on sen osioiden lukumäärä. Tarkastellaan tarkasti saatua geometrisen hahmon Pi Pn diagonaalia. Missä tahansa säännöllisistä osioista P1 Pn kuuluu tiettyyn kolmioon P1 Pi Pn, jolla on 1

Olkoon i = 2 säännöllisten osioiden ryhmä, joka sisältää aina diagonaalin Р2 Pn. Siihen sisältyvien osioiden lukumäärä on sama kuin (n-1)-gonin Р2 Р3 Р4… Pn osioiden lukumäärä. Toisin sanoen se on yhtä kuin Xn-1.

Jos i = 3, niin tämä toinen osioiden ryhmä sisältää aina diagonaalit P3 P1 ja P3 Pn. Tässä tapauksessa tämän ryhmän sisältämien tavallisten osioiden lukumäärä on sama kuin (n-2)-gonin Р3 Р4… Pn osioiden lukumäärä. Toisin sanoen se on yhtä suuri kuin Xn-2.

Olkoon i = 4, silloin kolmioiden joukossa säännöllinen osio sisältää varmasti kolmion P1 P4 Pn, johon nelikulmio P1 P2 P3 P4, (n-3)-gon P4 P5 ... Pn liittyy. Tällaisen nelikulmion säännöllisten osioiden lukumäärä on X4 ja (n-3)-gonin osioiden lukumäärä on Xn-3. Edellä olevan perusteella voimme sanoa, että tähän ryhmään sisältyvien oikeiden osioiden kokonaismäärä on Xn-3 X4. Muut ryhmät, joille i = 4, 5, 6, 7… sisältävät Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 … tavalliset osiot.

Olkoon i = n-2, niin oikeiden osioiden määrä tässä ryhmässä on sama kuin osioita ryhmässä, jossa i=2 (eli yhtä kuin Xn-1).

Koska X1 = X2 = 0, X3 = 1, X4 = 2…, niin kuperan monikulmion kaikkien osioiden lukumäärä on yhtä suuri:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + ... + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14

X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

Niiden säännöllisten osioiden lukumäärä, jotka leikkaavat yhden diagonaalin sisällä

Erikoistapauksia tarkasteltaessa voidaan olettaa, että kuperoiden n-kulmien diagonaalien lukumäärä on yhtä suuri kuin tämän luvun kaikkien osioiden tulo (n-3).

Todiste tälle oletukselle: kuvittele, että P1n = Xn * (n-3), niin mikä tahansa n-kulmio voidaan jakaa (n-2)-kolmioihin. Lisäksi niistä voidaan muodostaa (n-3)-neliikulmio. Tämän lisäksi jokaisella nelikulmiolla on diagonaali. Koska tähän kuperaan geometriseen kuvioon voidaan piirtää kaksi diagonaalia, tämä tarkoittaa, että mihin tahansa (n-3)-neliikulmioon voidaan piirtää lisää (n-3) diagonaalia. Tämän perusteella voimme päätellä, että missä tahansa säännöllisessä osiossa on mahdollista piirtää (n-3)-lävistäjät, jotka täyttävät tämän ongelman ehdot.

Kuperoiden monikulmioiden pinta-ala

Usein, kun ratkaistaan ​​erilaisia ​​perusgeometrian ongelmia, on tarpeen määrittää kuperan monikulmion pinta-ala. Oletetaan, että (Xi. Yi), i = 1,2,3… n on monikulmion, jolla ei ole itseleikkauksia, kaikkien vierekkäisten kärkien koordinaattijono. Tässä tapauksessa sen pinta-ala lasketaan seuraavalla kaavalla:

S = ½ (∑ (X i + X i + 1) (Y i + Y i + 1)),

jossa (X 1, Y 1) = (X n + 1, Y n + 1).

Geometrian peruskurssilla osoitetaan, että kuperan n-gonin kulmien summa on 180° (n-2). Osoittautuu, että tämä väite pätee myös ei-kuperille polygoneille.

Lause 3. Satunnaisen n-kulman kulmien summa on 180° (n - 2).

Todiste. Jaetaan monikulmio kolmioiksi piirtämällä diagonaalit (kuva 11). Tällaisten kolmioiden lukumäärä on n-2, ja kunkin kolmion kulmien summa on 180°. Koska kolmioiden kulmat ovat monikulmion kulmia, monikulmion kulmien summa on 180° (n - 2).

Tarkastellaan nyt mielivaltaisia ​​suljettuja katkoviivoja, joissa on mahdollisesti itseleikkaukset A1A2…AnA1 (kuva 12, a). Tällaisia ​​itsensä leikkaavia katkoviivoja kutsutaan tähden muotoisiksi monikulmioiksi (kuva 12, b-d).

Kiinnitetään kulmien laskennan suunta vastapäivään. Huomaa, että suljetun polylinen muodostamat kulmat riippuvat suunnasta, jossa se kulkee. Jos polylinjan poikkisuunta on päinvastainen, monikulmion kulmat ovat kulmia, jotka täydentävät alkuperäisen monikulmion kulmia 360° asti.

Jos M on monikulmio, joka muodostuu yksinkertaisesta suljetusta katkoviivasta, joka kulkee myötäpäivään (kuva 13, a), niin tämän monikulmion kulmien summa on 180 ° (n - 2). Jos katkoviiva ohitetaan vastapäivään (kuva 13, b), kulmien summa on 180 ° (n + 2).

Siten yksinkertaisen suljetun monikulmion muodostaman monikulmion kulmien summan yleinen kaava on muotoa = 180 ° (n 2), jossa on kulmien summa, n on monikulmion kulmien lukumäärä, " +" tai "-" otetaan polylinjan ohituksen suunnasta riippuen.

Tehtävämme on johtaa kaava suljetun (mahdollisesti itsensä leikkaavan) polylinjan muodostaman mielivaltaisen monikulmion kulmien summalle. Tätä varten otamme käyttöön monikulmion asteen käsitteen.

Monikulmion aste on pisteen kierrosten lukumäärä sen sivujen täydellisen peräkkäisen ohituksen aikana. Lisäksi vastapäivään tehdyt käännökset huomioidaan “+”-merkillä ja käännökset myötäpäivään “-”-merkillä.

On selvää, että yksinkertaisen suljetun katkoviivan muodostaman monikulmion aste on +1 tai -1 poikkisuunnasta riippuen. Kuvan 12 katkoviivan aste a on kaksi. Tähtien seitsekulmioiden aste (kuva 12, c, d) on kaksi ja kolme.

Asteen käsite määritellään samalla tavalla tason suljetuille käyrälle. Esimerkiksi kuvassa 14 esitetyn käyrän aste on kaksi.

Voit selvittää monikulmion tai käyrän asteen seuraavasti. Oletetaan, että kulkiessamme käyrää pitkin (kuva 15, a) jostain paikasta A1 alkaen teimme täyden käännöksen ja päädyimme samaan pisteeseen A1. Poistetaan vastaava osio käyrästä ja jatketaan liikkumista jäljellä olevaa käyrää pitkin (kuva 15b). Jos jostain paikasta A2 alkaen teimme jälleen täyden käännöksen ja pääsimme samaan pisteeseen, poistamme käyrästä vastaavan osan ja jatkamme liikkumista (kuva 15, c). Laskemalla etäosien lukumäärän merkillä "+" tai "-" niiden ohitussuunnasta riippuen saadaan haluttu käyrän aste.

Lause 4. Mielivaltaiselle monikulmiolle kaava

180° (n+2m),

missä on kulmien summa, n on kulmien lukumäärä, m on monikulmion aste.

Todiste. Olkoon monikulmion M aste m ja se esitetään tavanomaisesti kuvassa 16. M1, …, Mk ovat yksinkertaisia ​​suljettuja katkoviivoja, joiden läpi piste tekee täydet kierrokset. A1, …, Ak ovat polylinjan vastaavat itseleikkauspisteet, jotka eivät ole sen huippuja. Merkitään polygoneihin M1, …, Mk sisältyvien monikulmion M kärkien lukumäärä n1, …, nk, vastaavasti. Koska monikulmion M kärkien lisäksi näihin monikulmioihin lisätään kärjet A1, …, Ak, monikulmioiden M1, …, Mk kärkien lukumäärä on yhtä suuri kuin n1+1, …, nk+1, vastaavasti. Silloin niiden kulmien summa on 180° (n1+12), …, 180° (nk+12). Plus tai miinus otetaan katkoviivojen ohituksen suunnasta riippuen. Monikulmion M0 kulmien summa, joka jää jäljelle monikulmiosta M monikulmioiden M1, ..., Mk poistamisen jälkeen, on 180° (n-n1- ...-nk+k2). Monikulmioiden M0, M1, …, Mk kulmien summat antavat monikulmion M kulmien summan, ja kussakin kärjessä A1, …, Ak saadaan lisäksi 360°. Meillä on siis tasa-arvo

180° (n1+12)+…+180° (nk+12)+180° (n-n1-…-nk+k2)=+360°k.

180° (n2…2) = 180° (n+2m),

missä m on monikulmion M aste.

Harkitse esimerkkinä viisisakaraisen tähden kulmien summan laskemista (kuva 17, a). Vastaavan suljetun moniviivan aste on -2. Siksi haluttu kulmien summa on 180.

rikkinäinen linja

Määritelmä

rikkinäinen linja tai lyhyempi, rikkinäinen linja, kutsutaan rajalliseksi segmenttien sarjaksi siten, että ensimmäisen segmentin toinen pää toimii toisen ja toisen segmentin päänä kolmannen päätepisteenä ja niin edelleen. Tässä tapauksessa vierekkäiset segmentit eivät ole samalla suoralla linjalla. Näitä segmenttejä kutsutaan polyline-linkeiksi.

Katkoviivojen tyypit

Katkoviivaa kutsutaan suljettu jos ensimmäisen jakson alku on sama kuin viimeisen jakson loppu.

Katkoviiva voi ylittää itsensä, koskettaa itseään, nojata itseensä. Jos tällaisia ​​singulaarisuuksia ei ole, niin tällaista katkoviivaa kutsutaan yksinkertainen.

Monikulmiot

Määritelmä

Yksinkertaista suljettua polylinjaa yhdessä sen rajoittaman tason osan kanssa kutsutaan monikulmio.

Kommentti

Monikulmion jokaisessa kärjessä sen sivut määrittävät monikulmion jonkin kulman. Se voi olla joko vähemmän kuin käytössä tai enemmän kuin käytössä.

Omaisuus

Jokaisen polygonin kulma on pienempi kuin $180^\circ$.

Todiste

Olkoon monikulmio $P$ annettu.

Piirretään suora viiva, joka ei leikkaa sitä. Siirrämme sen samansuuntaisesti polygonin sivun kanssa. Jossain vaiheessa saamme ensimmäistä kertaa suoran $a$, jolla on vähintään yksi yhteinen piste polygonin $P$ kanssa. Monikulmio on tämän viivan toisella puolella (lisäksi osa sen pisteistä on suoralla $a$).

Rivi $a$ sisältää vähintään yhden polygonin kärjen. Sen kaksi puolta yhtyvät siinä, ja ne sijaitsevat samalla puolella viivaa $a$ (mukaan lukien tapaus, jossa toinen niistä on tällä viivalla). Joten tässä kärjessä kulma on pienempi kuin kehitetty.

Määritelmä

Monikulmiota kutsutaan kupera jos se on jokaisen sen puolen sisältävän rivin toisella puolella. Jos monikulmio ei ole kupera, sitä kutsutaan ei-kupera.

Kommentti

Kupera monikulmio on monikulmion sivut sisältävien viivojen rajaamien puolitasojen leikkauspiste.

Kuperan monikulmion ominaisuudet

Kuperan monikulmion kaikki kulmat ovat alle $180^\circ$.

Jana, joka yhdistää kuperan monikulmion mitkä tahansa kaksi pistettä (erityisesti minkä tahansa sen diagonaalista), sisältyy tähän monikulmioon.

Todiste

Todistetaan ensimmäinen ominaisuus

Otetaan mikä tahansa kuperan monikulmion $P$ kulma $A$ ja sen sivu $a$, joka tulee kärjestä $A$. Olkoon $l$ rivi, joka sisältää sivun $a$. Koska monikulmio $P$ on kupera, se on suoran $l$ toisella puolella. Siksi sen kulma $A$ on myös samalla puolella tätä viivaa. Tästä syystä kulma $A$ on pienempi kuin suoristettu kulma, eli pienempi kuin $180^\circ$.

Todistetaan toinen ominaisuus

Otetaan mitkä tahansa kaksi kuperan monikulmion $P$ pistettä $A$ ja $B$. Monikulmio $P$ on useiden puolitasojen leikkauspiste. Segmentti $AB$ sisältyy jokaiseen näistä puolitasoista. Siksi se sisältyy myös polygoniin $P$.

Määritelmä

Diagonaalinen monikulmio kutsutaan segmentiksi, joka yhdistää sen ei-naapuripisteet.

Lause (n-kulman lävistäjämäärästä)

Kuperan $n$-gonin diagonaalien lukumäärä lasketaan kaavalla $\dfrac(n(n-3))(2)$.

Todiste

Jokaisesta n-kulman kärjestä voidaan vetää $n-3$ diagonaalia (lävistäjä ei voi piirtää viereisiin kärkipisteisiin ja itse tähän kärkeen). Jos laskemme kaikki tällaiset mahdolliset segmentit, tulee $n\cdot(n-3)$, koska siellä on $n$ pisteitä. Mutta jokainen diagonaali lasketaan kahdesti. Siten n-kulmion lävistäjien lukumäärä on $\dfrac(n(n-3))(2)$.

Lause (n-kulmion kulmien summasta)

Kuperan $n$-gonin kulmien summa on $180^\circ(n-2)$.

Todiste

Harkitse $n$-gon $A_1A_2A_3\ldots A_n$.

Ota mielivaltainen piste $O$ tämän polygonin sisältä.

Kaikkien kolmioiden $A_1OA_2$, $A_2OA_3$, $A_3OA_4$, \ldots, $A_(n-1)OA_n$ kulmien summa on $180^\circ\cdot n$.

Toisaalta tämä summa on monikulmion kaikkien sisäkulmien ja kokonaiskulman $\angle O=\angle 1+\angle 2+\angle 3+\ldots=30^\circ$ summa.

Tällöin tarkastellun $n$-gonin kulmien summa on yhtä suuri kuin $180^\circ\cdot n-360^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.

Seuraus

Ei-kuperan $n$-gonin kulmien summa on $180^\circ(n-2)$.

Todiste

Tarkastellaan monikulmiota $A_1A_2\ldots A_n$, jonka ainoa kulma $\angle A_2$ on ei-kupera, eli $\angle A_2>180^\circ$.

Merkitään hänen saaliinsa $S$ summa.

Yhdistä pisteet $A_1A_3$ ja harkitse monikulmiota $A_1A_3\ldots A_n$.

Tämän monikulmion kulmien summa on:

180 $^\circ\cdot(n-1-2)=S-\kulma A_2+\kulma 1+\kulma 2=S-\kulma A_2+180^\circ-\angle A_1A_2A_3=S+180^\circ-( \angle A_1A_2A_3+\angle A_2)=S+180^\circ-360^\circ$.

Siksi $S=180^\circ\cdot(n-1-2)+180^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.

Jos alkuperäisessä polygonissa on useampi kuin yksi ei-kupera kulma, niin yllä kuvattu operaatio voidaan tehdä jokaisella tällaisella kulmalla, mikä johtaa väitteen todentamiseen.

Lause (kuperan n-kulman ulkokulmien summasta)

Kuperan $n$-gonin ulkokulmien summa on $360^\circ$.

Todiste

Ulkokulma kärjessä $A_1$ on $180^\circ-\angle A_1$.

Kaikkien ulkokulmien summa on:

$\sum\limits_(n)(180^\circ-\angle A_n)=n\cdot180^\circ - \sum\limits_(n)A_n=n\cdot180^\circ - 180^\circ\cdot(n) -2)=360^\circ$.