घातीय समीकरणों का समाधान। उदाहरण।

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

क्या घातीय समीकरण? यह एक समीकरण है जिसमें अज्ञात (x) और उनके साथ व्यंजक में हैं संकेतककुछ डिग्री। और केवल वहाँ! क्या यह महत्वपूर्ण है।

वहां आप हैं घातीय समीकरणों के उदाहरण:

3 x 2 x = 8 x + 3

टिप्पणी! डिग्री के आधार में (नीचे) - केवल संख्या. पर संकेतकडिग्री (ऊपर) - एक्स के साथ अभिव्यक्ति की एक विस्तृत विविधता। यदि, अचानक, संकेतक के अलावा कहीं और समीकरण में एक x दिखाई देता है, उदाहरण के लिए:

यह होगा समीकरण मिश्रित प्रकार. ऐसे समीकरणों को हल करने के लिए स्पष्ट नियम नहीं हैं। हम अभी उन पर विचार नहीं करेंगे। यहां हम निपटेंगे घातीय समीकरणों का समाधानअपने शुद्धतम रूप में।

वास्तव में, यहां तक ​​कि शुद्ध घातीय समीकरणहमेशा स्पष्ट रूप से परिभाषित नहीं होते हैं। लेकिन वहां थे विशेष प्रकारघातीय समीकरण जिन्हें हल किया जा सकता है और होना चाहिए। ये वे प्रकार हैं जिन्हें हम देख रहे हैं।

सरलतम घातीय समीकरणों का हल।

आइए कुछ बहुत ही बुनियादी से शुरू करते हैं। उदाहरण के लिए:

बिना किसी सिद्धांत के भी सरल चयन से यह स्पष्ट हो जाता है कि x=2. और कुछ नहीं, है ना!? कोई अन्य x मान रोल नहीं। और अब आइए इस मुश्किल घातांक समीकरण के समाधान को देखें:

हमने क्या किया है? हमने, वास्तव में, बस उन्हीं बॉटम्स (ट्रिपल) को बाहर फेंक दिया। पूरी तरह से बाहर फेंक दिया। और, क्या अच्छा है, निशान मारो!

वास्तव में, यदि घातीय समीकरण में बाईं ओर और दाईं ओर हैं वहीकिसी भी डिग्री में संख्या, इन नंबरों को हटाया जा सकता है और बराबर घातांक। गणित अनुमति देता है। यह एक बहुत ही सरल समीकरण को हल करने के लिए बनी हुई है। यह अच्छा है, है ना?)

हालाँकि, आइए विडंबना याद रखें: आप आधारों को तभी हटा सकते हैं जब बाएँ और दाएँ आधार संख्याएँ शानदार अलगाव में हों!बिना किसी पड़ोसी और गुणांक के। आइए समीकरणों में कहें:

2 x +2 x + 1 = 2 3 , या

आप डबल्स नहीं हटा सकते!

खैर, हमने सबसे महत्वपूर्ण चीज में महारत हासिल कर ली है। बुराई से कैसे आगे बढ़ें घातीय अभिव्यक्तिसरल समीकरणों के लिए।

"यहाँ वे समय हैं!" - आप बताओ। "नियंत्रण और परीक्षा पर ऐसा आदिम कौन देगा !?"

सहमत होने के लिए मजबूर। कोई नहीं होगा। लेकिन अब आप जानते हैं कि भ्रमित करने वाले उदाहरणों को हल करते समय कहाँ जाना है। इसे ध्यान में लाना आवश्यक है, जब समान आधार संख्या बाईं ओर - दाईं ओर हो। तब सब कुछ आसान हो जाएगा। दरअसल, यह गणित की क्लासिक्स है। हम मूल उदाहरण लेते हैं और इसे वांछित में बदलते हैं हममन। गणित के नियमों के अनुसार, बिल्कुल।

उन उदाहरणों पर विचार करें जिन्हें सरलतम में लाने के लिए कुछ अतिरिक्त प्रयास की आवश्यकता होती है। चलो उन्हें बुलाते हैं सरल घातीय समीकरण।

सरल घातीय समीकरणों का समाधान। उदाहरण।

घातीय समीकरणों को हल करते समय, मुख्य नियम हैं शक्तियों के साथ क्रिया।इन क्रियाओं के ज्ञान के बिना, कुछ भी काम नहीं करेगा।

डिग्री के साथ कार्यों के लिए, व्यक्तिगत अवलोकन और सरलता को जोड़ना होगा। ज़रुरत है एक ही आधार संख्या? इसलिए हम उन्हें उदाहरण में स्पष्ट या एन्क्रिप्टेड रूप में ढूंढ रहे हैं।

आइए देखें कि यह व्यवहार में कैसे किया जाता है?

आइए हमें एक उदाहरण दें:

2 2x - 8 x+1 = 0

पहली नज़र मैदान।वे... वे अलग हैं! दो और आठ। लेकिन निराश होना जल्दबाजी होगी। यह याद रखने का समय है कि

दो और आठ डिग्री में रिश्तेदार हैं।) यह लिखना काफी संभव है:

8 x+1 = (2 3) x+1

यदि हम शक्तियों के साथ क्रियाओं के सूत्र को याद करते हैं:

(ए एन) एम = ए एनएम,

यह आम तौर पर बहुत अच्छा काम करता है:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

प्रारंभिक उदाहरणइस तरह दिखने लगे:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

हम हस्तांतरण 2 3 (एक्स+1)दाईं ओर (गणित की प्राथमिक क्रियाओं को किसी ने रद्द नहीं किया!), हमें मिलता है:

2 2x \u003d 2 3 (एक्स + 1)

व्यावहारिक रूप से बस इतना ही। आधार हटाना:

हम इस राक्षस को हल करते हैं और प्राप्त करते हैं

यह सही जवाब है।

इस उदाहरण में, दो की शक्तियों को जानने से हमें मदद मिली। हम पहचान कीआठ में, एन्क्रिप्टेड ड्यूस। यह तकनीक (एन्क्रिप्शन सामान्य आधारविभिन्न संख्याओं के अंतर्गत) - घातांकीय समीकरणों में एक बहुत लोकप्रिय ट्रिक! हाँ, लघुगणक में भी। संख्या में अन्य संख्याओं की शक्तियों को पहचानने में सक्षम होना चाहिए। यह घातीय समीकरणों को हल करने के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण है।

तथ्य यह है कि किसी भी संख्या को किसी भी शक्ति तक बढ़ाना कोई समस्या नहीं है। गुणा करें, यहां तक ​​कि कागज के एक टुकड़े पर भी, और बस इतना ही। उदाहरण के लिए, हर कोई 3 से पांचवीं शक्ति बढ़ा सकता है। यदि आप गुणन तालिका जानते हैं तो 243 निकलेगा।) लेकिन घातीय समीकरणों में, अधिक बार यह आवश्यक है कि एक शक्ति को न बढ़ाया जाए, लेकिन इसके विपरीत ... कितने नंबर से किस हद तकसंख्या 243 के पीछे छिपा है, या कहें, 343... यहाँ कोई कैलकुलेटर आपकी मदद नहीं करेगा।

आपको कुछ संख्याओं की शक्तियों को दृष्टि से जानना होगा, हाँ ... क्या हम अभ्यास करेंगे?

निर्धारित करें कि कौन सी शक्तियाँ और कौन सी संख्याएँ संख्याएँ हैं:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

उत्तर (एक गड़बड़ में, बिल्कुल!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

अगर आप गौर से देखेंगे तो आपको एक अजीबोगरीब तथ्य नजर आएगा। सवालों से ज्यादा जवाब हैं! खैर, ऐसा होता है... उदाहरण के लिए, 2 6 , 4 3 , 8 2 सभी 64 हैं।

आइए मान लें कि आपने संख्याओं से परिचित होने की जानकारी पर ध्यान दिया है।) मैं आपको याद दिला दूं कि घातीय समीकरणों को हल करने के लिए, हम आवेदन करते हैं पूरागणितीय ज्ञान का भंडार। जिनमें निम्न-मध्यम वर्ग शामिल हैं। आप सीधे हाई स्कूल नहीं गए, है ना?

उदाहरण के लिए, घातांकीय समीकरणों को हल करते समय, सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर रखने से अक्सर मदद मिलती है (ग्रेड 7 को नमस्ते!)। आइए एक उदाहरण देखें:

3 2x+4 -11 9 x = 210

और फिर, पहली नज़र - मैदान पर! डिग्री के आधार अलग हैं ... तीन और नौ। और हम चाहते हैं कि वे वही हों। खैर, इस मामले में, इच्छा काफी संभव है!) क्योंकि:

9 x = (3 2) x = 3 2x

डिग्री के साथ कार्यों के लिए समान नियमों के अनुसार:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

यह बहुत अच्छा है, आप लिख सकते हैं:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

हमने उन्हीं कारणों से एक उदाहरण दिया। तो, आगे क्या है!? थ्री को बाहर नहीं फेंका जा सकता ... मृत अंत?

बिल्कुल भी नहीं। सबसे सार्वभौमिक और शक्तिशाली निर्णय नियम को याद रखना सब गणित कार्य:

यदि आप नहीं जानते कि क्या करना है, तो वह करें जो आप कर सकते हैं!

तुम देखो, सब कुछ बनता है)।

इस घातीय समीकरण में क्या है कर सकते हैंकरना? हाँ, बाईं ओर सीधे कोष्ठक के लिए पूछता है! सामान्य गुणक 3 2x स्पष्ट रूप से इसका संकेत देता है। आइए कोशिश करें, और फिर हम देखेंगे:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

उदाहरण बेहतर और बेहतर होता जा रहा है!

हमें याद है कि क्षारकों को समाप्त करने के लिए हमें बिना किसी गुणांक के एक शुद्ध घात की आवश्यकता होती है। 70 की संख्या हमें परेशान करती है। तो हम समीकरण के दोनों पक्षों को 70 से विभाजित करते हैं, हम प्राप्त करते हैं:

ओप-पा! सब ठीक हो गया!

यह अंतिम उत्तर है।

हालांकि, ऐसा होता है कि उसी आधार पर टैक्सी चलाना प्राप्त होता है, लेकिन उनका परिसमापन नहीं होता है। यह दूसरे प्रकार के घातीय समीकरणों में होता है। आइए इस प्रकार को प्राप्त करें।

घातांकीय समीकरणों को हल करने में चर का परिवर्तन। उदाहरण।

आइए समीकरण को हल करें:

4 एक्स - 3 2 एक्स +2 = 0

पहला - हमेशा की तरह। आइए आधार पर चलते हैं। ड्यूस को।

4 x = (2 2) x = 2 2x

हमें समीकरण मिलता है:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

और यहाँ हम लटकेंगे। पिछली तरकीबें काम नहीं करेंगी, चाहे आप इसे कैसे भी मोड़ लें। हमें एक और शक्तिशाली और बहुमुखी तरीके के शस्त्रागार से बाहर निकलना होगा। यह कहा जाता है परिवर्तनीय प्रतिस्थापन।

विधि का सार आश्चर्यजनक रूप से सरल है। एक जटिल आइकन (हमारे मामले में, 2 x) के बजाय, हम दूसरा लिखते हैं, सरल एक (उदाहरण के लिए, टी)। ऐसा प्रतीत होता है कि अर्थहीन प्रतिस्थापन आश्चर्यजनक परिणाम देता है!) सब कुछ बस स्पष्ट और समझने योग्य हो जाता है!

तो चलो

फिर 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

हम अपने समीकरण में सभी शक्तियों को x द्वारा t से प्रतिस्थापित करते हैं:

ठीक है, यह हो गया?) अभी तक द्विघात समीकरणों को नहीं भूले हैं? हम विवेचक के माध्यम से हल करते हैं, हमें मिलता है:

यहाँ, मुख्य बात रुकना नहीं है, जैसा कि होता है ... यह अभी तक उत्तर नहीं है, हमें x की आवश्यकता है, t की नहीं। हम Xs पर लौटते हैं, अर्थात। एक प्रतिस्थापन कर रहा है। टी 1 के लिए पहला:

वह है,

एक जड़ मिली। हम दूसरे की तलाश कर रहे हैं, टी 2 से:

उम... बायां 2 x, दायां 1... एक अड़चन? हाँ, बिलकुल नहीं! यह याद रखने के लिए पर्याप्त है (डिग्री वाले कार्यों से, हाँ ...) कि एकता है कोई भीमें संख्या शून्य डिग्री. कोई भी। आपको जो चाहिए, हम डाल देंगे। हमें दो चाहिए। माध्यम:

अब बस इतना ही। 2 जड़ें मिलीं:

यही उत्तर है।

पर घातीय समीकरणों को हल करनाअंत में, कभी-कभी कुछ अजीब अभिव्यक्ति प्राप्त होती है। प्रकार:

सात से, दो से साधारण डिग्रीकाम नहीं करता। वे रिश्तेदार नहीं हैं ... मैं यहाँ कैसे हो सकता हूँ? कोई भ्रमित हो सकता है ... लेकिन जो व्यक्ति इस साइट पर "लॉगरिदम क्या है?" विषय पढ़ता है। , केवल कम से कम मुस्कुराएं और एक दृढ़ हाथ से बिल्कुल सही उत्तर लिखें:

परीक्षा में कार्य "बी" में ऐसा कोई उत्तर नहीं हो सकता है। एक विशिष्ट संख्या की आवश्यकता है। लेकिन कार्यों में "सी" - आसानी से।

यह पाठ सबसे सामान्य घातीय समीकरणों को हल करने के उदाहरण प्रदान करता है। आइए मुख्य पर प्रकाश डालें।

व्यावहारिक सुझाव:

1. सबसे पहले, हम देखते हैं मैदानडिग्री। चलो देखते हैं कि क्या वे नहीं किया जा सकता वही।आइए इसे सक्रिय रूप से उपयोग करके करने का प्रयास करें शक्तियों के साथ क्रिया।यह मत भूलो कि x के बिना भी संख्याएँ डिग्री में बदली जा सकती हैं!

2. हम बाएँ और दाएँ होने पर घातांकीय समीकरण को रूप में लाने का प्रयास करते हैं वहीकिसी भी डिग्री के लिए संख्या। हम प्रयोग करते हैं शक्तियों के साथ कार्रवाईऔर गुणनखंडनसंख्याओं में क्या गिना जा सकता है - हम गिनते हैं।

3. यदि दूसरी सलाह काम नहीं करती है, तो हम परिवर्तनशील प्रतिस्थापन को लागू करने का प्रयास करते हैं। परिणाम एक समीकरण हो सकता है जिसे आसानी से हल किया जा सकता है। सबसे अधिक बार - वर्ग। या भिन्नात्मक, जो एक वर्ग में भी कम हो जाता है।

4. के लिए सफल समाधानघातीय समीकरण, आपको "दृष्टि से" कुछ संख्याओं की डिग्री जानने की आवश्यकता है।

हमेशा की तरह, पाठ के अंत में आपको थोड़ा हल करने के लिए आमंत्रित किया जाता है।) अपने दम पर। सरल से जटिल तक।

घातीय समीकरणों को हल करें:

ज्यादा कठिन:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 एक्स - 2 0.5 एक्स + 1 - 8 = 0

जड़ों का उत्पाद खोजें:

2 3-एक्स + 2 एक्स = 9

हो गई?

तो ठीक है सबसे कठिन उदाहरण(निर्णय लिया, हालांकि, मन में ...):

7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3

अधिक दिलचस्प क्या है? तो यहाँ आपके लिए एक बुरा उदाहरण है। बढ़ी हुई कठिनाई पर काफी खींचना। मैं संकेत दूंगा कि इस उदाहरण में, सरलता और सबसे अधिक सार्वभौमिक नियमसभी गणित की समस्याएं।)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

एक उदाहरण सरल है, विश्राम के लिए):

9 2 x - 4 3 x = 0

और डेज़र्ट के लिए। समीकरण के मूलों का योग ज्ञात कीजिए:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

हाँ हाँ! यह एक मिश्रित प्रकार का समीकरण है! जिस पर हमने इस पाठ में विचार नहीं किया। और उन पर क्या विचार करें, उन्हें हल करने की आवश्यकता है!) यह पाठ समीकरण को हल करने के लिए काफी है। खैर, सरलता की जरूरत है ... और हां, सातवीं कक्षा आपकी मदद करेगी (यह एक संकेत है!)

उत्तर (अव्यवस्था में, अर्धविराम से अलग):

एक; 2; 3; 4; कोई समाधान नहीं हैं; 2; -2; -5; 4; 0.

क्या सब कुछ सफल है? बढ़िया।

एक समस्या है? कोई बात नहीं! विशेष धारा 555 में, इन सभी घातांकीय समीकरणों को हल किया जाता है विस्तृत व्याख्या. क्या, क्यों और क्यों। और, ज़ाहिर है, एक अतिरिक्त है बहुमूल्य जानकारीसभी प्रकार के घातीय समीकरणों के साथ काम करने पर। इनके साथ ही नहीं।)

विचार करने के लिए एक आखिरी मजेदार सवाल। इस पाठ में, हमने घातांकीय समीकरणों के साथ काम किया। मैंने यहाँ ODZ के बारे में एक शब्द भी क्यों नहीं कहा?समीकरणों में, यह एक बहुत ही महत्वपूर्ण बात है, वैसे ...

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आरंभ करने के लिए, आइए याद रखें बुनियादी सूत्रडिग्री और उनके गुण।

एक संख्या का उत्पाद एस्वयं n बार होता है, हम इस व्यंजक को a… a=a n . के रूप में लिख सकते हैं

1. ए 0 = 1 (ए 0)

3. ए एन ए एम = ए एन + एम

4. (ए ​​एन) एम = एक एनएम

5. ए एन बी एन = (एबी) एन

7. ए एन / ए एम \u003d ए एन - एम

शक्ति या घातीय समीकरण- ये ऐसे समीकरण हैं जिनमें चर घात (या घातांक) में हैं, और आधार एक संख्या है।

घातीय समीकरणों के उदाहरण:

पर यह उदाहरणसंख्या 6 आधार है, यह हमेशा सबसे नीचे है, और चर एक्सडिग्री या माप।

आइए हम घातीय समीकरणों के और उदाहरण दें।
2 एक्स *5=10
16x-4x-6=0

अब देखते हैं कि घातांकीय समीकरण कैसे हल किए जाते हैं?

आइए एक साधारण समीकरण लें:

2 एक्स = 2 3

ऐसा उदाहरण मन में भी सुलझ सकता है। यह देखा जा सकता है कि x=3. आखिरकार, बाएँ और दाएँ पक्ष समान होने के लिए, आपको x के बजाय संख्या 3 डालने की आवश्यकता है।
अब देखते हैं कि यह निर्णय कैसे लिया जाना चाहिए:

2 एक्स = 2 3
एक्स = 3

इस समीकरण को हल करने के लिए, हमने हटा दिया एक ही आधार(अर्थात, ड्यूस) और जो बचा था उसे लिख दिया, ये डिग्री हैं। हमें वह उत्तर मिल गया जिसकी हमें तलाश थी।

आइए अब हमारे समाधान को संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं।

घातीय समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिदम:
1. जाँच करने की आवश्यकता है वहीक्या समीकरण के आधार दाईं ओर और बाईं ओर हैं। यदि आधार समान नहीं हैं, तो हम इस उदाहरण को हल करने के लिए विकल्पों की तलाश कर रहे हैं।
2. आधार समान होने के बाद, समानताडिग्री और परिणामी नए समीकरण को हल करें।

अब कुछ उदाहरण हल करते हैं:

आइए सरल शुरू करें।

बाईं और दाईं ओर के आधार संख्या 2 के बराबर हैं, जिसका अर्थ है कि हम आधार को त्याग सकते हैं और उनकी डिग्री की बराबरी कर सकते हैं।

x+2=4 सबसे सरल समीकरण निकला है।
एक्स = 4 - 2
एक्स = 2
उत्तर: x=2

पर निम्नलिखित उदाहरणयह देखा जा सकता है कि आधार भिन्न हैं - 3 और 9।

3 3x - 9 x + 8 = 0

आरंभ करने के लिए, हम नौ को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, हमें मिलता है:

अब आपको वही आधार बनाने की जरूरत है। हम जानते हैं कि 9=3 2 . आइए शक्ति सूत्र (a n) m = a nm का उपयोग करें।

3 3x \u003d (3 2) x + 8

हमें 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16 . मिलता है

3 3x \u003d 3 2x + 16 अब आप देख सकते हैं कि बाईं ओर और दाईं ओरआधार समान हैं और तीन के बराबर हैं, जिसका अर्थ है कि हम उन्हें त्याग सकते हैं और डिग्री की बराबरी कर सकते हैं।

3x=2x+16 को सबसे सरल समीकरण मिला
3x-2x=16
एक्स = 16
उत्तर: एक्स = 16।

आइए निम्नलिखित उदाहरण देखें:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

सबसे पहले, हम आधारों को देखते हैं, आधार दो और चार अलग-अलग हैं। और हमें वही होना चाहिए। हम सूत्र (a n) m = a nm के अनुसार चौगुनी को रूपांतरित करते हैं।

4 x = (2 2) x = 2 2x

और हम एक सूत्र a n a m = a n + m का भी उपयोग करते हैं:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

समीकरण में जोड़ें:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

हमने उन्हीं कारणों से एक उदाहरण दिया। लेकिन अन्य संख्याएँ 10 और 24 हमारे साथ हस्तक्षेप करती हैं। उनका क्या करें? यदि आप बारीकी से देखें, तो आप देख सकते हैं कि बाईं ओर हम 2 2x दोहराते हैं, यहाँ उत्तर है - हम कोष्ठक में से 2 2x डाल सकते हैं:

2 2x (2 4 - 10) = 24

आइए कोष्ठक में व्यंजक की गणना करें:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

हम पूरे समीकरण को 6 से विभाजित करते हैं:

कल्पना कीजिए 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 आधार समान हैं, उन्हें त्यागें और डिग्री की बराबरी करें।
2x \u003d 2 सबसे सरल समीकरण निकला। हम इसे 2 से विभाजित करते हैं, हमें मिलता है
एक्स = 1
उत्तर: एक्स = 1।

आइए समीकरण को हल करें:

9 x - 12*3 x +27= 0

आइए रूपांतरित करें:
9 x = (3 2) x = 3 2x

हमें समीकरण मिलता है:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

हमारे आधार समान हैं, तीन के बराबर। इस उदाहरण में, यह स्पष्ट है कि पहले ट्रिपल में दूसरे (सिर्फ x) की तुलना में दो बार (2x) डिग्री है। इस मामले में, आप तय कर सकते हैं प्रतिस्थापन विधि. के साथ संख्या कम से कम डिग्रीबदलने के:

फिर 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

हम सभी डिग्री को x के साथ समीकरण में t के साथ बदलते हैं:

टी 2 - 12टी + 27 \u003d 0
हमें द्विघात समीकरण मिलता है। हम विवेचक के माध्यम से हल करते हैं, हम प्राप्त करते हैं:
डी=144-108=36
t1 = 9
टी2 = 3

वेरिएबल पर वापस जाएं एक्स.

हम टी 1 लेते हैं:
टी 1 \u003d 9 \u003d 3 x

वह है,

3 एक्स = 9
3 एक्स = 3 2
एक्स 1 = 2

एक जड़ मिली। हम दूसरे की तलाश कर रहे हैं, टी 2 से:
टी 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 एक्स = 3 1
एक्स 2 = 1
उत्तर: x 1 \u003d 2; एक्स 2 = 1.

साइट पर आप रुचि के प्रश्न पूछने के लिए सहायता निर्णय अनुभाग में कर सकते हैं, हम निश्चित रूप से आपको उत्तर देंगे।

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व्याख्यान: "घातीय समीकरणों को हल करने के तरीके।"

1 . घातीय समीकरण।

घातांक में अज्ञातों वाले समीकरणों को घातांकीय समीकरण कहते हैं। इनमें से सबसे सरल समीकरण ax = b है, जहाँ a > 0 और a 1 है।

1)बी . के लिए< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 घातांक प्रकार्य, कोई समाधान नहीं है।

2) b > 0 के लिए, फलन की एकरसता और मूल प्रमेय का उपयोग करते हुए, समीकरण का एक ही मूल होता है। इसे खोजने के लिए, b को b = aс, ax = bс ó x = c या x = logab के रूप में दर्शाया जाना चाहिए।

द्वारा घातीय समीकरण बीजीय परिवर्तननेतृत्व करने के लिए मानक समीकरण, जिन्हें निम्नलिखित विधियों का उपयोग करके हल किया जाता है:

1) एक आधार में कमी की विधि;

2) मूल्यांकन विधि;

3) ग्राफिक विधि;

4) नए चर शुरू करने की विधि;

5) गुणन विधि;

6) सांकेतिक - शक्ति समीकरण;

7) एक पैरामीटर के साथ घातीय।

2 . एक आधार पर घटाने की विधि।

यह विधि अंशों के निम्नलिखित गुणधर्म पर आधारित है: यदि दो अंश समान हों और उनके आधार समान हों, तो उनके घातांक बराबर होते हैं, अर्थात समीकरण को रूप में कम करने का प्रयास करना चाहिए

उदाहरण। प्रश्न हल करें:

1 . 3x=81;

कल्पना करना दाईं ओर 81 = 34 के रूप में समीकरण और मूल 3 x = 34 के बराबर एक समीकरण लिखें; एक्स = 4. उत्तर: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> और घातांक के लिए समीकरण पर जाएं 3x+1 = 3 - 5x; 8x = 4; x = 0.5 उत्तर: 0.5

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

ध्यान दें कि संख्याएँ 0.2, 0.04, 5 और 25 5 की घात हैं। आइए इसका उपयोग करें और मूल समीकरण को इस प्रकार रूपांतरित करें:

, जहाँ से 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, जहाँ से हम x = -1 का हल पाते हैं। उत्तर 1।

5. 3x = 5. लघुगणक की परिभाषा के अनुसार, x = log35. उत्तर: लॉग 35.

6. 62x+4 = 33x। 2x+8.

आइए समीकरण को 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, यानी..png" width="181" height="49 src="> इसलिए x - 4 =0, x = 4 के रूप में फिर से लिखें। उत्तर: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. घातों के गुणों का उपयोग करते हुए, हम समीकरण को ई. x+1 = 2, x =1 के रूप में लिखते हैं। उत्तर 1।

बैंक ऑफ टास्क नंबर 1.

प्रश्न हल करें:

टेस्ट नंबर 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = 3।	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
ए3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) कोई जड़ नहीं
	1) 7;1 2) कोई जड़ नहीं 3) -7;1 4) -1;-7
ए5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
ए6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

टेस्ट #2

ए 1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
ए2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
ए3	1) 2;-1 2) कोई जड़ नहीं 3) 04) -2;1
ए4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
ए5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 मूल्यांकन पद्धति।

मूल प्रमेय: यदि फलन f (x) अंतराल I पर बढ़ता है (घटता है), संख्या a इस अंतराल पर f द्वारा लिया गया कोई भी मान है, तो समीकरण f (x) = a का अंतराल I पर एक ही मूल है।

अनुमान विधि द्वारा समीकरणों को हल करते समय, इस प्रमेय और फ़ंक्शन के एकरसता गुणों का उपयोग किया जाता है।

उदाहरण। समीकरण हल करें: 1. 4x = 5 - x।

फेसला। आइए समीकरण को 4x + x = 5 के रूप में फिर से लिखें।

1. यदि x \u003d 1, तो 41 + 1 \u003d 5, 5 \u003d 5 सत्य है, तो 1 समीकरण का मूल है।

फलन f(x) = 4x R पर बढ़ रहा है और g(x) = x R पर बढ़ रहा है => h(x)= f(x)+g(x) बढ़ते कार्यों के योग के रूप में R पर बढ़ रहा है, अतः x = 1 समीकरण 4x = 5 - x का एकमात्र मूल है। उत्तर 1।

2.

फेसला। हम समीकरण को फॉर्म में फिर से लिखते हैं .

1. यदि x = -1, तो , 3 = 3-सत्य, इसलिए x = -1 समीकरण का मूल है।

2. सिद्ध कीजिए कि यह अद्वितीय है।

3. फलन f(x) = - R पर घटता है, और g(x) = - x - R पर घटता है => h(x) = f(x) + g(x) - योग के रूप में R पर घटता है घटते कार्यों का। तो मूल प्रमेय के अनुसार, x = -1 समीकरण का एकमात्र मूल है। उत्तर 1।

बैंक ऑफ टास्क नंबर 2. प्रश्न हल करें

क) 4x + 1 = 6 - x;

बी)

ग) 2x - 2 = 1 - x;

4. नए चरों को प्रस्तुत करने की विधि।

विधि खंड 2.1 में वर्णित है । एक नए चर (प्रतिस्थापन) की शुरूआत आमतौर पर समीकरण की शर्तों के परिवर्तन (सरलीकरण) के बाद की जाती है। उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण। आरसमीकरण खाओ: 1. .

आइए समीकरण को अलग तरीके से फिर से लिखें: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i..png" width="210" ऊंचाई = "45">

फेसला। आइए समीकरण को अलग तरीके से फिर से लिखें:

निरूपित करें https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - उपयुक्त नहीं है।

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - अपरिमेय समीकरण. हमने ध्यान दिया कि

समीकरण का हल x = 2.5 4 है, इसलिए 2.5 समीकरण का मूल है। उत्तर : 2.5.

फेसला। आइए समीकरण को फॉर्म में फिर से लिखें और दोनों पक्षों को 56x+6 ≠ 0 से विभाजित करें। हमें समीकरण मिलता है

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, इसलिए..png" चौड़ाई = "118" ऊंचाई = "56">

द्विघात समीकरण के मूल - t1 = 1 और t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

फेसला . हम समीकरण को फॉर्म में फिर से लिखते हैं

और ध्यान दें कि यह दूसरी डिग्री का एक सजातीय समीकरण है।

समीकरण को 42x से विभाजित करने पर हमें प्राप्त होता है

https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> बदलें।

उत्तर: 0; 0.5.

टास्क बैंक #3। प्रश्न हल करें

बी)

जी)

टेस्ट #3 उत्तर के विकल्प के साथ। न्यूनतम स्तर।

ए 1	1) -0.2;2 2) लॉग52 3) -लॉग52 4) 2
2 0.52x - 3 0.5x +2 = 0।	1) 2;1 2) -1;0 3) कोई जड़ नहीं 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) कोई जड़ नहीं 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

टेस्ट #4 उत्तर के विकल्प के साथ। सामान्य स्तर।

ए 1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
2 2x - (0.5)2x - (0.5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
ए5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) कोई जड़ नहीं

5. गुणनखंडन की विधि।

1. समीकरण को हल करें: 5x+1 - 5x-1 = 24।

Solution..png" width="169" height="69"> , जहां से

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2।

फेसला। आइए हम समीकरण के बाईं ओर 6x और दाईं ओर 2x निकालते हैं। हमें समीकरण 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x प्राप्त होता है।

चूँकि सभी x के लिए 2x >0, हम समाधान खोने के डर के बिना इस समीकरण के दोनों पक्षों को 2x से विभाजित कर सकते हैं। हमें 3x = 1ó x = 0 प्राप्त होता है।

3.

फेसला। हम फैक्टरिंग द्वारा समीकरण को हल करते हैं।

हम द्विपद का वर्ग चुनते हैं

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" चौड़ाई = "500" ऊंचाई = "181">

x = -2 समीकरण का मूल है।

समीकरण x + 1 = 0 "शैली="बॉर्डर-पतन:पतन;बॉर्डर:कोई नहीं">

ए1 5x-1 +5x -5x+1 = -19।

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1.5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

टेस्ट #6 सामान्य स्तर।

ए1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0.2
ए2	1) 2.5 2) 3;4 3) लॉग 43/2 4) 0
ए3 2x-1-3x=3x-1-2x+2।	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
ए4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
ए5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. घातीय - शक्ति समीकरण।

घातांकीय समीकरण तथाकथित घातांक-शक्ति समीकरणों से जुड़े होते हैं, यानी फॉर्म के समीकरण (f(x))g(x) = (f(x))h(x)।

यदि यह ज्ञात है कि f(x)>0 और f(x) 1, तो समीकरण, घातांक की तरह, घातांक g(x) = f(x) की बराबरी करके हल किया जाता है।

यदि स्थिति f(x)=0 और f(x)=1 की संभावना को बाहर नहीं करती है, तो हमें घातीय शक्ति समीकरण को हल करते समय इन मामलों पर विचार करना होगा।

1..png" चौड़ाई = "182" ऊंचाई = "116 src=">

2.

फेसला। x2 +2x-8 - किसी भी x के लिए समझ में आता है, क्योंकि एक बहुपद, इसलिए समीकरण सेट के बराबर है

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

बी)

7. मापदंडों के साथ घातीय समीकरण।

1. पैरामीटर p के किन मानों के लिए समीकरण 4 (5 - 3)2 +4p2–3p = 0 (1) है केवल निर्णय?

फेसला। आइए हम परिवर्तन 2x = t, t > 0 का परिचय दें, फिर समीकरण (1) t2 - (5p - 3)t + 4p2 - 3p = 0 का रूप लेगा। (2)

समीकरण (2) का विभेदक D = (5p - 3)2 - 4(4p2 - 3p) = 9(p - 1)2 है।

समीकरण (1) का एक अद्वितीय हल है यदि समीकरण (2) में एक है सकारात्मक जड़. यह निम्नलिखित मामलों में संभव है।

1. यदि D = 0, अर्थात् p = 1, तो समीकरण (2) t2 - 2t + 1 = 0 का रूप लेगा, इसलिए t = 1, इसलिए, समीकरण (1) का एक अद्वितीय हल x = 0 है।

2. यदि p1, तो 9(p - 1)2 > 0, तो समीकरण (2) के दो भिन्न मूल हैं t1 = p, t2 = 4p - 3. सिस्टम का सेट समस्या की स्थिति को संतुष्ट करता है

सिस्टम में t1 और t2 को प्रतिस्थापित करते हुए, हमारे पास है

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="(!LANG:no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

फेसला। रहने दो तब समीकरण (3) t2 - 6t - a = 0 का रूप लेगा। (4)

आइए मान खोजेंपैरामीटर a जिसके लिए समीकरण का कम से कम एक मूल (4) शर्त t > 0 को संतुष्ट करता है।

आइए हम फलन f(t) = t2 - 6t - a का परिचय दें। निम्नलिखित मामले संभव हैं।

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант !} वर्ग त्रिपदच (टी);

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

स्थिति 2. समीकरण (4) में एक अद्वितीय . है सकारात्मक निर्णय, अगर

D = 0, यदि a = - 9, तो समीकरण (4) (t - 3)2 = 0, t = 3, x = - 1 का रूप लेगा।

स्थिति 3. समीकरण (4) के दो मूल हैं, लेकिन उनमें से एक असमानता t> 0 को संतुष्ट नहीं करता है। यह संभव है यदि

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="(!LANG:no35_17" width="267" height="63">!}

इस प्रकार, a 0 पर समीकरण (4) का एक धनात्मक मूल है . तब समीकरण (3) का एक अद्वितीय हल है

एक के लिए< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

यदि एक< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
यदि a = – 9, तो x = – 1;

अगर एक  0, तो

आइए समीकरण (1) और (3) को हल करने की विधियों की तुलना करें। ध्यान दें कि समीकरण (1) को हल करते समय इसे घटाकर . कर दिया गया था द्विघात समीकरण, जिसका विवेचक एक पूर्ण वर्ग है; इस प्रकार, समीकरण (2) के मूलों को द्विघात समीकरण के मूलों के सूत्र द्वारा तुरंत परिकलित किया गया और फिर इन मूलों के संबंध में निष्कर्ष निकाला गया। समीकरण (3) को द्विघात समीकरण (4) में घटा दिया गया है, जिसका विवेचक नहीं है पूर्ण वर्गइसलिए, समीकरण (3) को हल करते समय, एक वर्ग ट्रिनोमियल और एक ग्राफिकल मॉडल की जड़ों के स्थान पर प्रमेयों का उपयोग करने की सलाह दी जाती है। ध्यान दें कि समीकरण (4) को वियत प्रमेय का उपयोग करके हल किया जा सकता है।

आइए अधिक जटिल समीकरणों को हल करें।

कार्य 3. समीकरण हल करें

फेसला। ओडीजेड: एक्स1, एक्स2।

आइए एक प्रतिस्थापन का परिचय दें। मान लीजिए 2x = t, t > 0, फिर, परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, समीकरण t2 + 2t - 13 - a = 0 का रूप लेगा। (*) a का मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए कम से कम एक मूल समीकरण (*) शर्त t > 0 को संतुष्ट करता है।

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

उत्तर: यदि a > - 13, a 11, a 5, तो यदि a - 13,

a = 11, a = 5, तो कोई मूल नहीं है।

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उदाहरण:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

घातीय समीकरणों को कैसे हल करें

किसी भी घातीय समीकरण को हल करते समय, हम इसे \(a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) \) के रूप में लाने का प्रयास करते हैं, और फिर संकेतकों की समानता के लिए संक्रमण करते हैं, अर्थात्:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

उदाहरण के लिए:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

जरूरी! एक ही तर्क से, इस तरह के संक्रमण के लिए दो आवश्यकताओं का पालन किया जाता है:
- में संख्या बाएँ और दाएँ समान होना चाहिए;
- बाएँ और दाएँ डिग्री "शुद्ध" होनी चाहिए, अर्थात्, कोई नहीं होना चाहिए, गुणा, भाग, आदि।

उदाहरण के लिए:

समीकरण को \(a^(f(x))=a^(g(x))\) के रूप में लाने के लिए और उपयोग किया जाता है।

उदाहरण . घातांकीय समीकरण को हल करें \(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
फेसला:

\(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		हम जानते हैं कि \(27 = 3^3\)। इसे ध्यान में रखते हुए, हम समीकरण को बदलते हैं।
\(\sqrt(3^3) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		जड़ के गुण से \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) हम पाते हैं कि \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). इसके अलावा, डिग्री गुण \((a^b)^c=a^(bc)\) का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^( 3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		हम यह भी जानते हैं कि \(a^b a^c=a^(b+c)\)। इसे बाईं ओर लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं: \(3^(\frac(3)(2)) 3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)=3 ^ (1.5 + x-1)=3^(x+0.5)\)।
\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		अब याद रखें कि: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\)। इस सूत्र का उपयोग में भी किया जा सकता है दूसरी तरफ: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\)। फिर \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\)।
\(3^(x+0.5)=(3^(-1))^(2x)\)		गुण \((a^b)^c=a^(bc)\) को दाईं ओर लगाने पर, हमें प्राप्त होता है: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\)।
\(3^(x+0.5)=3^(-2x)\)		और अब हमारे पास आधार समान हैं और कोई हस्तक्षेप करने वाले गुणांक आदि नहीं हैं। तो हम संक्रमण कर सकते हैं।
		उदाहरण . घातांक समीकरण को हल करें \(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\) फेसला: \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) हम फिर से डिग्री गुण \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) का उपयोग करते हैं विपरीत दिशा. \(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\) अब याद रखें कि \(4=2^2\)। \((2^2)^x (2^2)^(0,5)-5 2^x+2=0\) डिग्री के गुणों का उपयोग करते हुए, हम रूपांतरित करते हैं: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0.5)=2^(2 0.5)=2^1=2.\) \(2 (2^x)^2-5 2^x+2=0\) हम समीकरण को ध्यान से देखते हैं, और हम देखते हैं कि प्रतिस्थापन \(t=2^x\) स्वयं यहां सुझाव देता है। \(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) हालाँकि, हमें मान \(t\) मिले, और हमें \(x\) की आवश्यकता है। हम रिवर्स प्रतिस्थापन करते हुए, एक्स पर लौटते हैं। \(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) हम संपत्ति का उपयोग करके दूसरे समीकरण को बदलते हैं नकारात्मक डिग्री… \(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) ... और उत्तर तक हल करें। \(x_1=1\) \(x_2=-1\) जवाब : \(-1; 1\). प्रश्न बना रहता है - कैसे समझें कि किस विधि को कब लागू किया जाए? यह अनुभव के साथ आता है। इस बीच, आपने इसे अर्जित नहीं किया है, उपयोग करें सामान्य सिफारिशसमाधान के लिए चुनौतीपूर्ण कार्य"यदि आप नहीं जानते कि क्या करना है, तो वह करें जो आप कर सकते हैं।" यही है, देखें कि आप सिद्धांत रूप में समीकरण को कैसे बदल सकते हैं, और इसे करने का प्रयास करें - क्या होगा यदि यह बाहर आता है? मुख्य बात केवल गणितीय रूप से उचित परिवर्तन करना है। समाधान के बिना घातीय समीकरण आइए दो और स्थितियों को देखें जो अक्सर छात्रों को भ्रमित करती हैं: - सकारात्मक संख्याघात के बराबर शून्य, उदाहरण के लिए, \(2^x=0\); - सकारात्मक संख्या घात के बराबर होती है ऋणात्मक संख्या, उदाहरण के लिए, \(2^x=-4\)। आइए इसे क्रूर बल द्वारा हल करने का प्रयास करें। यदि x एक धनात्मक संख्या है, तो जैसे-जैसे x बढ़ता है, पूरी शक्ति \(2^x\) ही बढ़ेगी: \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=2\); \(2^2=4\) \(x=3\); \(2^3=8\)। \(x=0\); \(2^0=1\) अतीत भी। नकारात्मक x हैं। संपत्ति को याद रखना \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\), हम जांचते हैं: \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\) \(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\) \(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\) इस तथ्य के बावजूद कि प्रत्येक चरण के साथ संख्या कम होती जाती है, यह कभी भी शून्य तक नहीं पहुंच पाएगी। तो नकारात्मक डिग्री ने हमें भी नहीं बचाया। हम एक तार्किक निष्कर्ष पर आते हैं: किसी भी घात के लिए एक धनात्मक संख्या एक धनात्मक संख्या बनी रहेगी। इस प्रकार, उपरोक्त दोनों समीकरणों का कोई हल नहीं है। विभिन्न आधारों के साथ घातीय समीकरण व्यवहार में, कभी-कभी घातांकीय समीकरण होते हैं अलग आधार, एक दूसरे के लिए कम करने योग्य नहीं है, और साथ ही साथ एक ही संकेतकडिग्री। वे इस तरह दिखते हैं: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), जहां \(a\) और \(b\) सकारात्मक संख्याएं हैं। उदाहरण के लिए: \(7^(x)=11^(x)\) \(5^(x+2)=3^(x+2)\) \(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\) इस तरह के समीकरणों को समीकरण के किसी भी भाग से विभाजित करके आसानी से हल किया जा सकता है (आमतौर पर दाईं ओर से विभाजित करके, यानी \ (b ^ (f (x)) \) से विभाजित किया जा सकता है। आप इस तरह से विभाजित कर सकते हैं, क्योंकि एक सकारात्मक संख्या किसी भी अंश तक धनात्मक होती है (अर्थात हम शून्य से भाग नहीं देते हैं।) हमें प्राप्त होता है: \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) उदाहरण . घातांकीय समीकरण को हल करें \(5^(x+7)=3^(x+7)\) फेसला: \(5^(x+7)=3^(x+7)\) यहां हम पांच को तीन में नहीं बदल सकते हैं, या इसके विपरीत (के अनुसार कम से कम, उपयोग के बिना)। इसलिए हम \(a^(f(x))=a^(g(x))\) के रूप में नहीं आ सकते। इसी समय, संकेतक समान हैं। आइए समीकरण को दाईं ओर से विभाजित करें, यानी \(3^(x+7)\) (हम ऐसा कर सकते हैं, क्योंकि हम जानते हैं कि ट्रिपल किसी भी डिग्री में शून्य नहीं होगा)। \(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) अब गुण याद रखें \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) और इसे बाईं ओर से विपरीत दिशा में उपयोग करें। दाईं ओर, हम केवल भिन्न को कम करते हैं। \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) यह बेहतर नहीं लग रहा था। लेकिन डिग्री की एक और संपत्ति याद रखें: \(a^0=1\), दूसरे शब्दों में: "शून्य शक्ति के लिए कोई भी संख्या \(1\)" के बराबर है। इसका विलोम भी सत्य है: "एक इकाई को शून्य के घात तक किसी भी संख्या के रूप में दर्शाया जा सकता है।" हम इसका उपयोग दाईं ओर के आधार को बाईं ओर वाले के समान बनाकर करते हैं। \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) वोइला! हम नींव से छुटकारा पाते हैं। हम उत्तर लिखते हैं। जवाब : \(-7\). कभी-कभी प्रतिपादकों की "समानता" स्पष्ट नहीं होती है, लेकिन डिग्री के गुणों का कुशल उपयोग इस मुद्दे को हल करता है। उदाहरण . घातांकीय समीकरण को हल करें \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) फेसला: \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) समीकरण बहुत उदास लग रहा है... इतना ही नहीं, आधारों को घटाया नहीं जा सकता वही नंबर(सात \(\frac(1)(3)\) के बराबर नहीं होगा), इसलिए संकेतक भी अलग हैं ... हालांकि, चलो दो को लेफ्ट डिग्री इंडिकेटर में रखते हैं। \(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) संपत्ति को ध्यान में रखते हुए \((a^b)^c=a^(b c)\) , बाईं ओर रूपांतरित करें: \(7^(2(x-2))=7^(2 (x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\)। \(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) अब, ऋणात्मक शक्ति गुण \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\) को याद करते हुए, हम दाईं ओर रूपांतरित करते हैं: \((\frac(1)(3))^(- x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) \(49^(x-2)=3^(x-2)\) हलेलुजाह! स्कोर समान हैं! पहले से परिचित योजना के अनुसार कार्य करते हुए, हम उत्तर से पहले निर्णय लेते हैं। जवाब : \(2\).