संभाव्यता स्थान (डब्ल्यू, एस, पी)। संभाव्यता के सिद्धांत के स्वयंसिद्ध और उनसे परिणाम

व्याख्यान का उद्देश्य: सेट के सिद्धांत से प्राथमिक जानकारी से परिचित होना; प्रायिकता सिद्धांत के अभिगृहीत, उनके परिणाम और प्रायिकता जोड़ने का नियम तैयार कर सकेंगे।

सेट सिद्धांत से प्राथमिक जानकारी

अनेकमनमानी प्रकृति की वस्तुओं के किसी भी संग्रह को कहा जाता है, जिनमें से प्रत्येक को कहा जाता है तत्व सेट करें.

सेट के उदाहरण: एक व्याख्यान में बहुत सारे छात्र; त्रिज्या के एक वृत्त के अंदर स्थित तल पर बिंदुओं का समुच्चय आर; कई बिंदु संख्यात्मक अक्ष, वह दूरी जिससे बिंदु तक बीभुज के साथ एसे कम डी; गुच्छा प्राकृतिक संख्याएं.

सेट को अलग-अलग तरीकों से निरूपित किया जाता है। गुच्छा एम 1 से 100 तक की प्राकृत संख्याओं को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

संख्या अक्ष पर बिन्दुओं का समुच्चय, जिससे बिन्दु तक की दूरी बीभुज के साथ एसे कम डी, के रूप में लिखा जा सकता है

कहाँ पे एक्स- बिंदु का भुज।

त्रिज्या के एक वृत्त की सीमा के अंदर या सीमा पर स्थित समतल बिंदुओं का समुच्चय आरमूल पर केंद्रित,

कहाँ पे एक्स, आप – कार्तीय निर्देशांकअंक।

इस सेट की एक और प्रविष्टि

जहां बिंदु के ध्रुवीय निर्देशांक में से एक है।

तत्वों की संख्या के अनुसार, समुच्चयों को विभाजित किया जाता है अंतिमऔर अनंत. समुच्चय परिमित है और इसमें 100 अवयव हैं। लेकिन एक समुच्चय में एक अवयव भी हो सकता है और यहां तक कि कोई अवयव भी नहीं हो सकता है।

जिस प्रकार सम संख्याओं का समुच्चय अनंत होता है, उसी प्रकार सभी प्राकृत संख्याओं का समुच्चय अनंत होता है।

अनंत सेटगणनीय कहा जाता है यदि इसके सभी तत्वों को किसी क्रम में व्यवस्थित किया जा सकता है और क्रमांकित किया जा सकता है (दोनों सेट, और, गणनीय हैं)।

सेट एसऔर सीअनंत और बेशुमार हैं (उनके तत्वों को क्रमांकित नहीं किया जा सकता है)।

दो सेट एऔर बी मिलान, यदि वे समान तत्वों से मिलकर बने हैं: तथा . समुच्चय के संयोग को एक समान चिह्न द्वारा निरूपित किया जाता है: ए = बी. संकेतन का अर्थ है कि वस्तु एसेट का एक तत्व है लेकिनया " एअंतर्गत आता है लेकिन"। एक अन्य प्रविष्टि का अर्थ है कि " एसंबंधित नहीं लेकिन".

वह समुच्चय जिसमें कोई अवयव न हो, कहलाता है खालीऔर प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है।

गुच्छा परसमुच्चय का उपसमुच्चय (भाग) कहलाता है लेकिनयदि सभी तत्व परमें भी निहित हैं लेकिन, और इसे या के रूप में दर्शाया गया है। उदाहरण के लिए, ।

एक सबसेट सेट के बराबर हो सकता है। आलेखीय रूप से, आप समुच्चय और उपसमुच्चय के बीच संबंध को चित्रित कर सकते हैं, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। 2.1, जहां आकृति का प्रत्येक बिंदु परआकृति के अंतर्गत आता है लेकिन, अर्थात। ।

समुच्चय का संघ (योग) लेकिनऔर परसभी तत्वों से युक्त समुच्चय कहलाता है लेकिनऔर सभी तत्व पर. इस प्रकार, एक संघ उन तत्वों का एक संग्रह है जो संयुक्त सेटों में से कम से कम एक से संबंधित हैं।

उदाहरण के लिए: ।

ज्यामितीय व्याख्यादो सेटों का मिलन लेकिनऔर परअंजीर में दिखाया गया है। 2.2.

कई समुच्चयों के मिलन (योग) को समान रूप से परिभाषित किया जाता है

जहां परिणामी सेट कम से कम एक सेट में शामिल सभी तत्वों का सेट है: .

सेटों का प्रतिच्छेदन (उत्पाद) लेकिनऔर परएक सेट कहा जाता है डी, एक साथ और में शामिल तत्वों से मिलकर बनता है लेकिन, और में :

चौराहे की ज्यामितीय व्याख्या अंजीर में दिखाई गई है। 2.3.

कई सेटों के प्रतिच्छेदन को समान रूप से परिभाषित किया गया है

सभी सेटों में एक साथ शामिल तत्वों से युक्त एक सेट के रूप में।

समुच्चय के संघ (जोड़) और प्रतिच्छेदन (गुणा) के संचालन में कई गुण होते हैं जो संख्याओं के जोड़ और गुणन के गुणों के समान होते हैं:

1. विस्थापन संपत्ति:

2. सहयोगी संपत्ति:

3. वितरण संपत्ति:

यदि आप शून्य को रिक्त समुच्चय मानते हैं, तो रिक्त समुच्चय को जोड़ना और रिक्त समुच्चय से गुणा करना संख्याओं पर संगत संक्रियाओं के समान है:

सेट पर कुछ ऑपरेशनों का संख्याओं पर सामान्य संचालन में कोई एनालॉग नहीं होता है, विशेष रूप से

संभाव्यता सिद्धांत के सिद्धांत और उनके परिणाम।

संभाव्यता जोड़ नियम

सेट थ्योरी पर प्राथमिक जानकारी का उपयोग करके, कोई संभाव्यता सिद्धांत और उसके स्वयंसिद्धों के निर्माण के लिए एक सेट-सैद्धांतिक योजना दे सकता है।

एक यादृच्छिक परिणाम वाले प्रयोग में, प्रयोग के सभी संभावित परिणामों का एक सेट होता है। इस समुच्चय के प्रत्येक अवयव को कहते हैं प्रारंभिक घटना, सेट ही है प्राथमिक घटना स्थान. किसी घटना लेकिनसेट-सैद्धांतिक व्याख्या में सेट का कुछ सबसेट है:। अगर, बदले में, सेट लेकिनकई गैर-अंतर्विभाजक उपसमुच्चय ( at ) में विभाजित हो जाता है, फिर घटनाओं को घटना के "संस्करण" कहा जाता है लेकिन. अंजीर पर। 2.4 घटना लेकिनतीन विकल्पों में विभाजित: .

उदाहरण के लिए, फेंकते समय पासाप्रारंभिक घटनाओं का स्थान। यदि घटना है, तो घटना विकल्प लेकिन: ,

स्वयं समुच्चय के उपसमुच्चय पर भी विचार किया जा सकता है - इस स्थिति में यह होगा भरोसेमंदप्रतिस्पर्धा। प्रारंभिक घटनाओं के पूरे स्थान में एक खाली सेट जोड़ा जाता है; इस सेट को एक घटना के रूप में भी माना जाता है, लेकिन असंभव.

घटनाओं के पहले माने गए गुणों की सेट-सैद्धांतिक व्याख्या इस प्रकार है:

1. कई इवेंट फॉर्म पूरा समूह , यदि , अर्थात उनका योग (संयोजन) एक विश्वसनीय घटना है।

2. दो घटनाएं लेकिनऔर परबुलाया असंगत, यदि उनके संगत समुच्चय प्रतिच्छेद नहीं करते हैं, अर्थात . कई घटनाओं को कहा जाता है जोड़ीवार असंगत, यदि उनमें से किसी के प्रकटन में अन्यों में से प्रत्येक का प्रकटन शामिल नहीं है: पर .

3. दो घटनाओं का योग लेकिनऔर परएक घटना कहा जाता है साथ में, घटना के निष्पादन में शामिल है लेकिनया घटना पर, या दोनों घटनाएँ एक साथ। कई घटनाओं का योग उनमें से कम से कम एक के निष्पादन में शामिल एक घटना है।

4. दो घटनाओं का उत्पाद लेकिनऔर परएक घटना कहा जाता है डी, घटना के संयुक्त निष्पादन में शामिल है लेकिनऔर घटनाएं पर. कई घटनाओं का एक उत्पाद एक ऐसी घटना है जिसमें इन सभी घटनाओं का संयुक्त निष्पादन होता है।

5. विलोमघटना के संबंध में लेकिनगैर-उपस्थिति में शामिल एक घटना कहा जाता है लेकिनऔर संबंधित पूरक घटना लेकिनसे (चित्र 2.5 देखें)।

घटनाओं के सेट के रूप में उपरोक्त व्याख्या के आधार पर, संभाव्यता सिद्धांत के स्वयंसिद्ध सूत्र तैयार किए जाते हैं।

हर घटना लेकिनएक निश्चित संख्या दी जाती है, जिसे घटना की प्रायिकता कहा जाता है। चूँकि कोई भी घटना एक समुच्चय है, किसी घटना की प्रायिकता है समारोह सेट करें.

इन घटना संभावनाओं को निम्नलिखित स्वयंसिद्धों को पूरा करना चाहिए:

1. किसी घटना की प्रायिकता शून्य और एक के बीच होती है:

2. अगर लेकिनऔर परअसंगत घटनाएँ हैं, अर्थात्, तब

इस अभिगृहीत को आसानी से सामान्यीकृत किया जा सकता है संबंधी संपत्तिघटनाओं की किसी भी संख्या के लिए अतिरिक्त। अगर पर, तो

यानी योग की संभावना असंगत घटनाएंइन घटनाओं की संभावनाओं के योग के बराबर है।

इस अभिगृहीत को कहा जाता है जोड़ "प्रमेय"(मामलों की योजना के लिए, इसे सिद्ध किया जा सकता है), या प्रायिकताओं के योग का नियम.

3. यदि उपलब्ध हो गणनीय सेटअसंगत घटनाएँ ( पर ), तब

यह स्वयंसिद्ध पिछले स्वयंसिद्ध से नहीं लिया गया है और इसलिए इसे एक अलग के रूप में तैयार किया गया है।

मामलों की एक योजना (कलश की योजना) के लिए, यानी, उन घटनाओं के लिए जिनमें पूर्णता, असंगतता और समरूपता के गुण हैं, कोई भी अतिरिक्त नियम (2.1) से सीधे संभावनाओं की गणना के लिए शास्त्रीय सूत्र (1.1) प्राप्त कर सकता है।

प्रयोग के परिणामों को इस रूप में प्रस्तुत करने दें एनअसंगत मामले। मौके के पक्ष में घटना लेकिनअगर यह एक सबसेट का प्रतिनिधित्व करता है लेकिन(), या, दूसरे शब्दों में, यह घटना का एक प्रकार है लेकिन. चूँकि वे एक पूर्ण समूह बनाते हैं, तो

जोड़ के नियम के अनुसार

हमें कहाँ मिलता है

प्राप्त व्यंजकों को (2.3) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है

क्यू.ई.डी.

दो से अधिक संयुक्त आयोजनों के लिए सूत्र (2.3) भी निकाला जा सकता है।

अपने व्यवस्थित अध्ययन की शुरुआत के बाद कई शताब्दियों तक, संभाव्यता सिद्धांत की बुनियादी अवधारणाओं को अभी तक स्पष्ट रूप से परिभाषित नहीं किया गया था। बुनियादी परिभाषाओं की अस्पष्टता अक्सर शोधकर्ताओं को परस्पर विरोधी निष्कर्षों तक ले जाती है, और व्यावहारिक संभाव्य अनुप्रयोगों को खराब रूप से प्रमाणित किया गया था। आगामी विकाशप्राकृतिक विज्ञान ने संभाव्यता सिद्धांत की मूल अवधारणाओं के एक व्यवस्थित अध्ययन और उन परिस्थितियों के निर्धारण की आवश्यकता की जिसके तहत इसके परिणामों का उपयोग करना संभव है। संभाव्यता के सिद्धांत का औपचारिक तार्किक औचित्य विशेष महत्व का था, जिसे विशेष रूप से, 1900 में डी। हिल्बर्ट के रूप में वर्गीकृत किया गया था गंभीर समस्याएंअंक शास्त्र।

निर्माण के औपचारिक-तार्किक सिद्धांत के लिए आवश्यक है कि संभाव्यता के सिद्धांत का आधार कुछ स्वयंसिद्ध परिसर हों, जो सदियों पुराने एक सामान्यीकरण हैं। मानव अनुभव. संभाव्य अवधारणाओं के आगे के विकास को अस्पष्ट और सहज विचारों का सहारा लिए बिना स्वयंसिद्ध पदों से कटौती के माध्यम से बनाया जाना था। इस दृष्टिकोण को पहली बार 1917 में विकसित किया गया था। सोवियत गणितज्ञएस.एन. बर्स्टीन। वहीं, एस.एन. Bershtein से आया था गुणात्मक तुलनायादृच्छिक घटनाओं को उनकी अधिक या कम संभावना के अनुसार। स्वयंसिद्ध संभाव्यता सिद्धांत का गणितीय रूप से कठोर निर्माण ए.एन. द्वारा प्रस्तावित किया गया था। कोलमोगोरोव ने 1933 में सेट थ्योरी और मेजरमेंट थ्योरी के साथ संभाव्यता सिद्धांत को बारीकी से जोड़ा। विशेष मामलों के रूप में संभाव्यता की स्वयंसिद्ध परिभाषा में शास्त्रीय और दोनों शामिल हैं सांख्यिकीय परिभाषाएंऔर उनमें से प्रत्येक की अपर्याप्तता को दूर करता है।

शुरुआती बिंदु ए.एन. कोलमोगोरोव प्राथमिक घटनाओं का समूह है , in विशेष साहित्यचरण स्थान कहा जाता है और पारंपरिक रूप से द्वारा निरूपित किया जाता है। कोई भी देखने योग्य घटना जिसकी संभावना को निर्धारित करने की आवश्यकता है, उसे चरण स्थान के कुछ सबसेट के रूप में दर्शाया जा सकता है। इसलिए, सेट के साथ, प्राथमिक घटनाओं के सबसेट के सेट पर विचार किया जाता है, जिसका प्रतीकात्मक पदनाम मनमाना हो सकता है। एक निश्चित घटना पूरे चरण स्थान द्वारा प्रतिनिधित्व योग्य है। एक सेट को एक सेट बीजगणित कहा जाता है यदि निम्नलिखित आवश्यकताएं पूरी होती हैं:
1) , ;
2) तथ्य यह है कि ए का तात्पर्य है कि $\bar A \in \Theta $ भी;
3) तथ्य यह है कि ए और बी ∈ का तात्पर्य है कि ए बी ∈ और ए बी∈ ।

यदि, उपरोक्त के अतिरिक्त, निम्नलिखित आवश्यकता पूरी होती है:
4) तथ्य यह है कि A n (n = 1,2... के लिए) का तात्पर्य है कि $\mathop \cup \limits_n (A_n) \in \Theta $ और $\mathop \cap \limits_n (A_n ) \in \ थीटा $, फिर सेट Θ को कहा जाता है σ-बीजगणित. के तत्वों को कहा जाता है यादृच्छिक घटनाएं.

संभाव्यता के स्वयंसिद्ध सिद्धांत में यादृच्छिक घटनाओं पर संचालन को संबंधित सेट पर संचालन के रूप में समझा जाता है। नतीजतन, सेट सिद्धांत की भाषा और संभाव्यता सिद्धांत की भाषा की शर्तों के बीच एक पारस्परिक पत्राचार स्थापित करना संभव है।

संभाव्यता को परिभाषित करने वाले स्वयंसिद्धों के रूप में, ए.एन. कोलमोगोरोव ने निम्नलिखित कथनों को स्वीकार किया:

स्वयंसिद्ध 1. प्रत्येक के लिए यादृच्छिक घटनाऔर संरेखित गैर-ऋणात्मक संख्यापी (ए), इसकी संभावना कहा जाता है।
अभिगृहीत 2. पी(Ω)= 1.
स्वयंसिद्ध 3 (जोड़ का स्वयंसिद्ध)। यदि घटनाएँ A 1, A 2,...,A n जोड़ीवार असंगत हैं, तो

पी (ए 1 + ए 2 +...+ ए एन) = पी (ए 1) + पी (ए 2) +... + पी (ए एन)।

निम्नलिखित कथन तैयार किए गए स्वयंसिद्धों के परिणाम हैं।

1. एक असंभव घटना की प्रायिकता शून्य है: P(∅) = 0.
2. किसी भी घटना के लिए A $P(\bar A) = 1 - P(A)$।
3. जो भी यादृच्छिक घटना ए, 0 पी (ए) ≤ 1.
4. यदि घटना ए में घटना बी शामिल है, तो पी(ए) ≤ पी(बी)।

एक संभाव्यता स्थान को आम तौर पर प्रतीकों का एक तिहाई कहा जाता है (Ω, Θ, पी), जहां Ω प्राथमिक घटनाओं का सेट है , Θ - के सबसेट का बीजगणित है, जिसे यादृच्छिक घटनाएं कहा जाता है, और पी (ए) है , बीजगणित पर परिभाषित प्रायिकता।

इस प्रकार, ए.एन. के स्वयंसिद्धों के अनुसार। कोलमोगोरोव, प्रत्येक देखी गई घटना को एक निश्चित गैर-ऋणात्मक संख्या सौंपी जाती है, जिसे इस घटना की संभावना कहा जाता है, ताकि पूरे चरण स्थान की संभावना 1 के बराबर हो, और संपत्ति सिग्मा एडिटिविटी. अंतिम गुण का अर्थ है कि जोड़ीवार परस्पर अपवर्जी घटनाओं के मामले में, के अनुसार घटित होने की प्रायिकता कम से कमएक का (और जोड़ीवार असंगति के कारण, ठीक एक) प्रेक्षित घटना प्रेक्षित घटनाओं के दिए गए परिमित या गणनीय सेट से प्रेक्षित घटनाओं की प्रायिकताओं के योग के साथ मेल खाती है।

-बीजगणित पर प्रायिकता की परिभाषा के मामले में, जिसमें के कुछ उपसमुच्चय होते हैं, पहले वाले को Ω के अन्य उपसमुच्चय तक इस तरह विस्तारित नहीं किया जा सकता है कि सिग्मा-एडिटिविटी संपत्ति संरक्षित है, जब तक कि Ω में एक परिमित न हो या तत्वों की गणनीय संख्या। सिग्मा-एडिटिविटी की शुरूआत ने कई विरोधाभासों को भी जन्म दिया है। इसलिए, सिग्मा-एडिटिविटी के साथ, संपत्ति additivity, जिसे इन घटनाओं के उपायों के योग के लिए दो असंगत घटनाओं के मिलन के माप के तुल्यता के रूप में समझा जाता है। हालांकि, लगभग तुरंत ही यह दिखाया गया कि सिग्मा-एडिटिविटी को एडिटिविटी से बदलने से न केवल सभी समस्याओं का समाधान होता है, बल्कि अन्य विरोधाभासी परिणाम भी सामने आते हैं।

कोलमोगोरोव के स्वयंसिद्धों की प्रणाली अपेक्षाकृत सुसंगत और अधूरी है, आपको माप सिद्धांत के हिस्से के रूप में संभाव्यता सिद्धांत बनाने की अनुमति देती है, और संभावना को एक गैर-नकारात्मक सामान्यीकृत योगात्मक सेट फ़ंक्शन के रूप में मानती है। यद्यपि संभाव्यता के सिद्धांत में ए.एन. कोलमोगोरोव प्रायिकता हमेशा गैर-ऋणात्मक होती है, संभाव्यता सिद्धांत में कुछ प्रमेयों को उस स्थिति में सामान्यीकृत किया जा सकता है जब ऋणात्मक संख्यासंभावनाओं के रूप में कार्य करते हैं, और संभाव्यता के अन्य सामान्यीकरण भी प्राप्त करते हैं।

कुछ मौलिक गणितीय सिद्धांतसंभाव्यता सिद्धांत की बुनियादी अवधारणाओं, निर्माणों और शब्दावली को विरासत में मिला है। ऐसा, विशेष रूप से, संभावना सिद्धांत है, जो संभावनाओं और प्रारंभिक घटनाओं के स्थान पर भी विचार करता है, - बीजगणित।

संभाव्यता सिद्धांत के स्वयंसिद्ध सिद्धांत

ऊपर सुझाया गया क्लासिक परिभाषासंभावनाओं के साथ स्पष्ट गुण, मुख्य रूप से सादगी और सहज ज्ञान युक्त स्पष्टता में कई महत्वपूर्ण कमियां हैं: यह प्राथमिक घटनाओं का केवल एक सीमित या गणनीय सेट प्रदान करता है और उनकी संभावनाओं का ज्ञान अनिवार्य है। यह सब किसी भी तरह से हमेशा मामला नहीं होता है, और इसलिए पेश की गई परिभाषा पर्याप्त रूप से सामान्य नहीं है। वर्तमान में, संभाव्यता के सिद्धांत के स्वयंसिद्ध निर्माण को आम तौर पर स्वीकार कर लिया गया है।

गणित में, स्वयंसिद्ध ऐसे प्रस्ताव हैं जिन्हें सत्य के रूप में स्वीकार किया जाता है और किसी दिए गए सिद्धांत के ढांचे के भीतर सिद्ध नहीं किया जाता है।इस सिद्धांत के अन्य सभी प्रावधान विशुद्ध रूप से व्युत्पन्न होने चाहिए तार्किक तरीकास्वीकृत स्वयंसिद्धों से। अभिगृहीतों का निरूपण नहीं है आरंभिक चरणविकास गणितीय विज्ञान, लेकिन तथ्यों के एक लंबे संचय का परिणाम है और तार्किक विश्लेषणवास्तव में बुनियादी प्राथमिक तथ्यों को प्रकट करने के लिए परिणाम प्राप्त किए। इस प्रकार ज्यामिति के स्वयंसिद्धों का निर्माण हुआ। संभाव्यता का सिद्धांत एक समान मार्ग से गुजरा है, जिसमें इसकी नींव का स्वयंसिद्ध निर्माण अपेक्षाकृत हाल के दिनों की बात थी। पहली बार संभाव्यता सिद्धांत के स्वयंसिद्ध निर्माण की समस्या को 1917 में सोवियत गणितज्ञ एस.एन. बर्नस्टीन।

वर्तमान में, शिक्षाविद ए.एन. कोलमोगोरोव (1933), जो संभाव्यता के सिद्धांत को सेट के सिद्धांत और कार्यों के मीट्रिक सिद्धांत से जोड़ता है।

के स्वयंसिद्धों में ए.एन. कोलमोगोरोव, प्राथमिक परिणामों का स्थान (सेट) प्राथमिक है। इस सेट के तत्व क्या हैं तार्किक विकाससंभाव्यता सिद्धांत अप्रासंगिक है। इसके बाद, हम समुच्चय के उपसमुच्चय के कुछ निकाय F पर विचार करते हैं; सिस्टम F के तत्वों को यादृच्छिक घटनाएँ कहा जाता है। सिस्टम एफ की संरचना के संबंध में, निम्नलिखित तीन आवश्यकताओं को संतुष्ट माना जाता है:

1. उपसमुच्चय F में एक निश्चित घटना एक तत्व के रूप में शामिल है।

2. यदि ए और बी दो घटनाएं हैं जो Ω पर परिभाषित हैं, उपसमुच्चय एफ में तत्वों के रूप में शामिल हैं, तो उपसमुच्चय एफ में ए + बी, ए ∙ बी भी तत्व के रूप में शामिल हैं,

3. यदि पर परिभाषित घटनाएँ 1, А 2, ..., उपसमुच्चय F के अवयव हैं, तो उनका योग और काम उपसमुच्चय F के भी अवयव हैं।

समुच्चय F ऊपर वर्णित तरीके से बनता है "घटनाओं का σ-बीजगणित" कहा जाता है.

अब हम उन अभिगृहीतों के निरूपण की ओर मुड़ते हैं जो प्रायिकता को परिभाषित करते हैं।

अभिगृहीत 1.(संभाव्यता के अस्तित्व का स्वयंसिद्ध)। घटनाओं F के -बीजगणित से प्रत्येक यादृच्छिक घटना A एक गैर-ऋणात्मक संख्या p(A) से जुड़ी होती है, जिसे इसकी प्रायिकता कहा जाता है।

स्वयंसिद्ध 2.(किसी घटना की प्रायिकता)। किसी निश्चित घटना की प्रायिकता 1: (Ω)=1 के बराबर होती है। (1.15)

अभिगृहीत 3.(अतिरिक्त का स्वयंसिद्ध)। यदि घटनाएँ A और B संगत नहीं हैं, तो

पी (ए + बी) = पी (ए) + पी (बी)। (1.16)

अभिगृहीत 4.(अतिरिक्त का विस्तारित स्वयंसिद्ध)। यदि घटना A, जोड़ीवार असंगत घटनाओं में से कम से कम एक के घटित होने के तुल्य है, A 1, A 2,…, अर्थात, घटना A की प्रायिकता बराबर है

सेट सिद्धांत से प्राथमिक जानकारी

सेट के उदाहरण: एक व्याख्यान में बहुत सारे छात्र; त्रिज्या के एक वृत्त के अंदर स्थित तल पर बिंदुओं का समुच्चय आर; वास्तविक अक्ष पर बिन्दुओं का समुच्चय, जहाँ से बिन्दु तक की दूरी बीभुज के साथ एसे कम डी; प्राकृतिक संख्याओं का समूह।

कहाँ पे एक्स- बिंदु का भुज।

कहाँ पे एक्स, आपबिंदु के कार्तीय निर्देशांक हैं।

इस सेट की एक और प्रविष्टि

जहां बिंदु के ध्रुवीय निर्देशांक में से एक है।

एक अनंत सेट को गणनीय कहा जाता है यदि इसके सभी तत्वों को किसी क्रम में व्यवस्थित किया जा सकता है और क्रमांकित किया जा सकता है (दोनों सेट, और, गणनीय हैं)।

उदाहरण के लिए: ।

दो समुच्चयों के मिलन की ज्यामितीय व्याख्या लेकिनऔर परअंजीर में दिखाया गया है। 2.2.

कई समुच्चयों के मिलन (योग) को समान रूप से परिभाषित किया जाता है

जहां परिणामी सेट कम से कम एक सेट में शामिल सभी तत्वों का सेट है: .

चौराहे की ज्यामितीय व्याख्या अंजीर में दिखाई गई है। 2.3.

कई सेटों के प्रतिच्छेदन को समान रूप से परिभाषित किया गया है

सभी सेटों में एक साथ शामिल तत्वों से युक्त एक सेट के रूप में।

1. विस्थापन संपत्ति:

2. सहयोगी संपत्ति:

3. वितरण संपत्ति:

संभाव्यता सिद्धांत के सिद्धांत और उनके परिणाम।

संभाव्यता जोड़ नियम

उदाहरण के लिए, एक पासा फेंकते समय, प्रारंभिक घटनाओं का स्थान। यदि घटना है, तो घटना विकल्प लेकिन: ,

घटनाओं के पहले माने गए गुणों की सेट-सैद्धांतिक व्याख्या इस प्रकार है:

1. कई इवेंट फॉर्म पूरा समूह, यदि , अर्थात उनका योग (संयोजन) एक विश्वसनीय घटना है।

घटनाओं की समुच्चय के रूप में उपरोक्त व्याख्या के आधार पर, संभाव्यता सिद्धांत के स्वयंसिद्ध सूत्र तैयार किए जाते हैं।

इन घटना संभावनाओं को निम्नलिखित स्वयंसिद्धों को पूरा करना चाहिए:

1. किसी घटना की प्रायिकता शून्य और एक के बीच होती है:

2. अगर लेकिनऔर परअसंगत घटनाएँ हैं, अर्थात्, तब

किसी भी संख्या में घटनाओं के योग के साहचर्य गुण का उपयोग करके इस स्वयंसिद्ध को आसानी से सामान्यीकृत किया जा सकता है। अगर पर, तो

अर्थात्, असंगत घटनाओं के योग की प्रायिकता इन घटनाओं की प्रायिकताओं के योग के बराबर होती है।

3. यदि उपलब्ध हो गणनीय सेटअसंगत घटनाएँ ( पर ), तब

लेकिन सभी मामले असंगत हैं, और संभावनाओं को जोड़ने का नियम उन पर लागू होता है

इसके अतिरिक्त, चूँकि सभी घटनाएँ समान रूप से संभव हैं, तब

एक घटना के अनुकूल मामले इसके रूप बनाते हैं, और चूंकि उनमें से प्रत्येक की संभावना है, तो अतिरिक्त नियम से हमें मिलता है

लेकिन यह शास्त्रीय सूत्र (1.1) है।

प्रायिकताओं के योग के नियम के परिणाम

1. असंगत घटनाओं के एक पूरे समूह की प्रायिकताओं का योग एक के बराबर होता है, अर्थात यदि

प्रमाण. चूंकि ईवेंट असंगत हैं, इसलिए उन पर जोड़ नियम लागू होता है

2. विपरीत घटनाओं की प्रायिकताओं का योग एक के बराबर होता है:

घटनाओं के रूप में लेकिनऔर एक पूरा समूह बनाएं।

नियम व्यापक रूप से उन समस्याओं में उपयोग किया जाता है जहां विपरीत घटना की संभावना की गणना करना आसान होता है।

3. यदि घटनाएं लेकिनऔर परसंगत हैं, अर्थात्, तब

प्रमाण. असंगत (गैर-अतिव्यापी) विकल्पों के योग के रूप में प्रतिनिधित्व करें (चित्र 2.6 देखें)

जोड़ के नियम के अनुसार

हमें कहाँ मिलता है

प्राप्त व्यंजकों को (2.3) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है

क्यू.ई.डी.

दो से अधिक संयुक्त आयोजनों के लिए सूत्र (2.3) भी निकाला जा सकता है।

आज्ञा देना प्राथमिक घटनाओं का स्थान हो, घटनाओं का बीजगणित हो (सेट के उपसमुच्चय का बीजगणित)। निम्नलिखित पाँच स्वयंसिद्ध प्रायिकता के सिद्धांत के अंतर्गत आते हैं।

1. घटनाओं का बीजगणित है - घटनाओं का बीजगणित।

घटनाओं की प्रणाली को कहा जाता है - बीजगणित, यदि घटनाओं के किसी क्रम के लिए, उनका मिलन, प्रतिच्छेदन और जोड़ भी संबंधित हैं, अर्थात। , घटनाएँ भी हैं। इस प्रकार, - बीजगणित पूरक, गणनीय संघ और गणनीय प्रतिच्छेदन के संचालन के तहत बंद घटनाओं की एक प्रणाली है।

2. घटनाओं के बीजगणित पर, किसी के लिए, एक फ़ंक्शन परिभाषित किया जाता है, जिसे प्रायिकता और लेना . कहा जाता है संख्यात्मक मूल्यअंतराल से:।

यह स्वयंसिद्ध प्रायिकता के अस्तित्व का स्वयंसिद्ध है - अंतराल से मूल्यों के साथ के एक समारोह के रूप में। अगले तीन स्वयंसिद्ध एक फ़ंक्शन के गुणों को परिभाषित करते हैं।

3. किन्हीं दो घटनाओं के लिए जैसे कि

संभावनाओं के जोड़ का स्वयंसिद्ध।

इसलिए यह इस प्रकार है कि असंगत घटनाओं की एक सीमित संख्या के लिए

4. चलो, - जोड़ीदार असंगत घटनाएं: और चलो। फिर

संबंध (15.3) को प्रायिकता की गणनीय योगात्मकता का अभिगृहीत या प्रायिकता की निरंतरता का स्वयंसिद्ध कहा जाता है। दूसरा समानता की निम्नलिखित व्याख्या (15.3) से संबंधित है। घटना को अनुक्रम की सीमा के रूप में समझा जाना चाहिए

इस मामले में, समानता (15.3) को फ़ंक्शन की निरंतरता की संपत्ति के रूप में समझा जा सकता है: या

जो लिमिट ऑपरेशन को फंक्शन से बाहर निकालने की अनुमति देता है। यह इस तथ्य के कारण है कि शर्त (15.5) का तात्पर्य (15.3) है:

पाँचवाँ स्वयंसिद्ध इंगित करता है कि प्रारंभिक घटनाओं का स्थान एक निश्चित घटना है। इस प्रकार, इसमें वे सभी घटनाएँ शामिल हैं जिन्हें इस समस्या में माना जा सकता है।

प्रारंभिक घटनाओं का स्थान, - घटनाओं का बीजगणित और संभाव्यता, 1-5 को संतुष्ट करने वाले, तथाकथित प्रायिकता स्थान बनाते हैं, जिसे आमतौर पर निरूपित किया जाता है।

ध्यान दें कि 1-5 स्वयंसिद्धों की प्रणाली विरोधाभासी नहीं है, क्योंकि वहाँ मौजूद हैं जो इन स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करते हैं और पूर्ण नहीं हैं, क्योंकि संभाव्यता को स्वयंसिद्ध 2-5 के ढांचे के भीतर कई तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है। संभाव्यता स्थान की अवधारणा (या स्वयंसिद्धों की एक प्रणाली 1-5) में केवल सबसे अधिक होता है सामान्य आवश्यकताएँको प्रस्तुत गणित का मॉडलयादृच्छिक घटना, और संभावना को विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं करता है। उत्तरार्द्ध तभी संभव है जब अतिरिक्त शर्तविचाराधीन समस्या के निरूपण में दिया गया है।

असतत संभावना स्थान

एक संभाव्यता स्थान को असतत कहा जाता है यदि यह परिमित या गणनीय है, - - सभी उपसमुच्चय (सहित) का बीजगणित, प्राथमिक घटनाओं के स्थान के प्रत्येक एक-बिंदु उपसमुच्चय के लिए संभाव्यता परिभाषित की जाती है:

किसी भी घटना के लिए, इसकी संभावना समानता द्वारा निर्धारित की जाती है

उदाहरण - बीजगणित

17.1 आज्ञा देना प्रारंभिक घटनाओं का एक मनमाना स्थान है जिस पर कोई घटना निर्दिष्ट नहीं है। एक बीजगणित के निर्माण के लिए, परिभाषा (आइटम 15) के अनुसार, सभी जोड़, संघ और चौराहों पर विचार करना आवश्यक है ईवेंट सेट करेंऔर उन्हें - बीजगणित में शामिल करें। क्योंकि इस मामले मेंएक ही घटना है, केवल उसके पूरक का निर्माण करना संभव है। अब दो घटनाओं ( ) की एक प्रणाली है। जोड़, संघ, चौराहे के संचालन के आगे आवेदन नई घटनाओं को नहीं देता है। इस प्रकार, में यह उदाहरण- बीजगणित।

17.2 आज्ञा देना प्रारंभिक घटनाओं का स्थान हो और कुछ ऐसी घटना हो जो मेल नहीं खाती है, अर्थात। . इस प्रकार, दो घटनाओं की एक प्रणाली है। घटनाओं पर जोड़, संघ, चौराहे के संचालन के परिणामस्वरूप प्राप्त होने वाली नई घटनाओं को शामिल करने के लिए इस प्रणाली को बढ़ाया जा सकता है। नई घटनाओं की उपस्थिति बंद होने तक घटनाओं की प्रणाली को बार-बार विस्तारित करने की प्रक्रिया को जारी रखना समझ में आता है। घटनाओं की सीमित प्रणाली को घटनाओं की प्रणाली द्वारा उत्पन्न बीजगणित कहा जाता है।

सिस्टम ईवेंट पर अतिरिक्त ऑपरेशन पर विचार करें। इसका परिणाम नई घटनाएँ हैं जिनमें शामिल नहीं हैं मूल प्रणाली, जिसका समावेश देता है नई प्रणालीआयोजन

जाहिर है, जोड़, संघ, चौराहे के बाद के संचालन नई घटनाएं नहीं देते हैं जो (17.1) में शामिल नहीं हैं। इस प्रकार, घटनाओं की प्रणाली (17.1) प्रणाली द्वारा उत्पन्न बीजगणित है।

17.3. आइए उदाहरण को जटिल करें। आज्ञा देना प्राथमिक घटनाओं का स्थान हो, दो असंगत घटनाएँ हों, जैसे कि। इस प्रकार, तीन घटनाओं की एक प्रणाली है। इस प्रणाली की घटनाओं पर संघ के संचालन के परिणामस्वरूप एक नई घटना का आभास होता है। चार घटनाओं की परिणामी प्रणाली को उनके परिवर्धन को शामिल करके आठ तक विस्तारित किया जाता है। यह देखना आसान है कि इन आठ घटनाओं में जोड़, संघ, चौराहे के संचालन के आवेदन से नई घटनाएँ उत्पन्न नहीं होती हैं। तो आठ घटनाओं की प्रणाली

घटनाओं की एक प्रणाली द्वारा उत्पन्न एक बीजगणित है।

17.4. विचार करें - प्राथमिक घटनाओं का स्थान और दो मनमानी घटनाएं, अंजीर। 17.1 घटनाओं की एक निश्चित प्रणाली द्वारा उत्पन्न बीजगणित का निर्माण करने के लिए, कई मामलों में निम्नलिखित विधि को लागू करना सुविधाजनक होता है।

हम सभी असंगत घटनाओं को अलग करते हैं, अंजीर। 17.1 उसी समय, आदि। - बीजगणित में सभी घटनाएँ, घटनाओं के सभी संघ, और भी शामिल होंगे असंभव घटना. दरअसल, सेट से किसी भी घटना के प्रतिच्छेदन का संचालन एक ही घटना उत्पन्न करता है। सेट से घटनाओं पर जोड़ ऑपरेशन एक घटना उत्पन्न करता है, जिसे घटनाओं के संघ के माध्यम से व्यक्त किया जाता है। नतीजतन, यह घटनाओं की मूल प्रणाली के लिए तीन संचालन - जोड़, चौराहे, संघ के बजाय केवल घटनाओं पर संघ के संचालन पर विचार करने के लिए पर्याप्त है।

अब, बीजगणित बनाने के लिए, घटनाओं, उनके सभी संयोजनों पर विचार करें और परिणामी घटनाओं को मूल घटनाओं के माध्यम से व्यक्त करें। स्पष्टतः: , । जोड़ीदार संघ निम्नलिखित घटनाएँ देते हैं: , ; , ; . ट्रिपल यूनियन: , .

इस प्रकार, - बीजगणित में घटनाएं होती हैं: , ; , ; , साथ ही और - कुल 16 इवेंट।

ध्यान दें कि - बीजगणित को परिभाषित करते समय, घटनाओं की जनरेटिंग प्रणाली, एक नियम के रूप में, प्रयोग में देखी गई घटनाओं से बनी होती है।

हम ध्यान दें कि घटनाएं घटनाओं (8.1) के साथ मेल खाती हैं, जिन्हें आवृत्तियों के लिए अतिरिक्त सूत्र प्राप्त करते समय माना जाता था। वास्तव में, और अंत में, सूत्र (6.1) द्वारा।

17.5. उदाहरण 4 के सामान्यीकरण पर विचार करें। माना कि घटनाओं की मूल प्रणाली - में मनमानी घटनाएं होती हैं। बीजगणित बनाने के लिए, उदाहरण 4 की तरह, हम फॉर्म की घटनाओं का परिचय देते हैं

जहां प्रत्येक या, और। चूंकि प्रत्येक दो मान 0 या 1 ले सकता है, फॉर्म की सभी घटनाओं की संख्या बराबर है। ये घटनाएँ असंगत घटनाओं का एक पूरा समूह बनाती हैं। इस प्रकार, - बीजगणित पर घटनाएँ एक ओर्थोगोनल आधार की भूमिका निभाती हैं, जिससे प्रतिनिधित्व करना संभव हो जाता है मनमाना घटनाअसंगत (चौराहे संचालन के अर्थ में ऑर्थोगोनल) घटनाओं के माध्यम से। समुच्चय सिद्धांत में, एक प्रकार के समुच्चय को संघटक कहा जाता है। घटक तंत्र हमें यह दिखाने की अनुमति देता है कि इस उदाहरण में सभी घटनाओं की संख्या - बीजगणित (और सहित) से अधिक नहीं है, और घटनाओं की संख्या तक पहुंच जाती है अधिकतम मूल्यजब सभी अलग हैं (उदाहरण के लिए 4)। यह परिणाम मूल प्रणाली में घटनाओं की संख्या के आधार पर - बीजगणित में घटनाओं की संख्या की उच्च वृद्धि दर का न्याय करना संभव बनाता है। उदाहरण के लिए 4, संख्या, इसलिए - बीजगणित में घटनाओं की संख्या बराबर है।

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