Kursus geometri luas, banyak dan beragam: mencakup banyak berbagai topik, aturan, teorema dan ilmu yang bermanfaat. Dapat dibayangkan bahwa segala sesuatu di dunia kita terdiri dari yang sederhana, bahkan yang paling kompleks. Titik, garis, bidang - semua ini ada dalam hidup Anda. Dan mereka setuju dengan hukum dunia yang ada tentang hubungan benda-benda di ruang angkasa. Untuk membuktikan ini, seseorang dapat mencoba membuktikan paralelisme garis dan bidang.

Garis lurus adalah garis yang menghubungkan dua titik di sepanjang jalur terpendek, tanpa akhir dan abadi di kedua sisi hingga tak terhingga. Sebuah pesawat adalah permukaan yang terbentuk selama gerakan kinematik dari sebuah generatrix dari garis lurus sepanjang panduan. Dengan kata lain, jika ada dua garis yang memiliki titik potong dalam ruang, mereka juga dapat terletak pada bidang yang sama. Namun, bagaimana cara mengungkapkan yang langsung jika data ini tidak cukup untuk pernyataan seperti itu?

Kondisi utama untuk paralelisme garis lurus dan bidang adalah bahwa mereka tidak memiliki poin umum. Tidak seperti garis lurus, yang, jika tidak ada titik bersama, mungkin tidak sejajar, tetapi divergen, bidang itu dua dimensi, yang tidak termasuk garis lurus divergen. Jika sebuah keadaan ini paralelisme tidak diamati - itu berarti bahwa garis memotong bidang yang diberikan pada satu titik atau terletak sepenuhnya di dalamnya.

Apa yang paling jelas ditunjukkan oleh kondisi paralelisme garis lurus dan bidang? Fakta bahwa pada setiap titik dalam ruang jarak antara garis sejajar dan bidang akan tetap. Dengan adanya kemiringan sekecil apapun, dalam sepersejuta derajat, garis lurus cepat atau lambat akan melintasi bidang karena saling tak terhingga. Itulah sebabnya paralelisme garis lurus dan bidang hanya mungkin jika aturan ini dipatuhi, jika tidak, kondisi utamanya - tidak adanya titik bersama - tidak akan diamati.

Apa yang bisa ditambahkan, berbicara tentang paralelisme garis dan bidang? Fakta bahwa jika salah satu garis paralel milik pesawat, maka yang kedua sejajar dengan pesawat, atau juga milik itu. Bagaimana membuktikannya? Paralelisme sebuah garis dan sebuah bidang yang memuat sebuah garis yang sejajar dengan sebuah garis tertentu terbukti sangat sederhana. tidak memiliki titik yang sama - oleh karena itu, mereka tidak berpotongan. Dan jika garis tersebut tidak memotong bidang pada satu titik, maka garis itu sejajar atau terletak pada bidang. Ini sekali lagi membuktikan paralelisme garis lurus dan bidang yang tidak memiliki titik potong.

Ada juga teorema dalam geometri yang menyatakan bahwa jika ada dua bidang dan sebuah garis lurus yang tegak lurus pada keduanya, maka bidang-bidang tersebut sejajar. Teorema serupa menyatakan bahwa jika dua garis tegak lurus terhadap satu bidang, mereka harus sejajar satu sama lain. Apakah paralelisme garis dan bidang, yang diungkapkan oleh teorema ini, benar dan dapat dibuktikan?

Ternyata memang begitu. Lurus, tegak lurus bidang, akan selalu tegak lurus terhadap setiap garis yang terletak pada bidang tertentu dan juga memiliki titik potong dengan garis lain. Jika sebuah garis memiliki perpotongan serupa dengan beberapa bidang dan tegak lurus terhadapnya dalam semua kasus, maka semua bidang ini sejajar satu sama lain. contoh yang baik piramida anak-anak dapat berfungsi: sumbunya akan menjadi garis tegak lurus yang diinginkan, dan cincin piramida akan menjadi bidang.

Oleh karena itu, cukup mudah untuk membuktikan paralelisme garis dan bidang. Pengetahuan ini diperoleh anak sekolah ketika mempelajari dasar-dasar geometri dan sangat menentukan asimilasi materi lebih lanjut. Jika Anda tahu cara menggunakan pengetahuan yang diperoleh di awal pelatihan dengan benar, akan mungkin untuk beroperasi di mana jumlah besar formula dan lewati tautan logis yang tidak perlu di antara mereka. Yang utama adalah memahami dasar-dasarnya. Jika tidak ada, maka studi geometri dapat diibaratkan dengan bangunan tanpa pondasi. Itu sebabnya topik ini membutuhkan perhatian dan penelitian yang mendalam.

Pengertian garis sejajar dan sifat-sifatnya dalam ruang sama dengan pengertian pada bidang (lihat butir 11).

Pada saat yang sama, satu lagi kasus pengaturan garis dimungkinkan di ruang angkasa - garis miring. Garis yang tidak berpotongan dan tidak terletak pada bidang yang sama disebut garis berpotongan.

Gambar 121 menunjukkan tata letak ruang tamu. Anda melihat bahwa garis-garis yang menjadi milik segmen AB dan BC adalah miring.

Sudut antara garis yang berpotongan adalah sudut antara garis berpotongan yang sejajar dengannya. Sudut ini tidak bergantung pada garis berpotongan mana yang diambil.

Besarnya derajat sudut antara garis sejajar diasumsikan nol.

Garis tegak lurus yang sama dari dua garis yang berpotongan adalah segmen dengan ujung-ujungnya pada garis-garis ini, yang merupakan tegak lurus terhadap masing-masing garis tersebut. Dapat dibuktikan bahwa dua garis yang berpotongan memiliki tegak lurus yang sama, dan terlebih lagi, hanya satu. Ini adalah tegak lurus umum dari bidang paralel yang melewati garis-garis ini.

Jarak antara garis yang berpotongan adalah panjang garis tegak lurus yang sama. Ini sama dengan jarak antara bidang paralel yang melewati garis-garis ini.

Jadi, untuk mencari jarak antara garis berpotongan a dan b (Gbr. 122), kita perlu menggambar bidang sejajar a dan melalui masing-masing garis ini. Jarak antara bidang-bidang ini akan menjadi jarak antara garis berpotongan a dan b. Pada Gambar 122, jarak ini, misalnya, jarak AB.

Contoh. Garis a dan b sejajar dan garis c dan d berpotongan. Dapatkah masing-masing garis a dan berpotongan dengan kedua garis?

Keputusan. Garis a dan b terletak pada bidang yang sama, dan oleh karena itu setiap garis yang memotong masing-masing garis terletak pada bidang yang sama. Oleh karena itu, jika masing-masing garis a, b memotong kedua garis c dan d, maka garis-garis itu akan terletak pada bidang yang sama dengan garis a dan b, dan ini tidak mungkin, karena garis-garis tersebut berpotongan.

42. Paralelisme garis lurus dan bidang.

Garis dan bidang disebut sejajar jika tidak berpotongan, yaitu tidak memiliki titik persekutuan. Jika garis a sejajar dengan bidang a, maka ditulis:.

Gambar 123 menunjukkan garis lurus yang sejajar dengan bidang a.

Jika lurus, tidak milik pesawat, sejajar dengan beberapa garis di bidang ini, maka itu juga sejajar dengan bidang itu sendiri (tanda paralelisme garis dan bidang).

Teorema ini memungkinkan situasi tertentu Buktikan bahwa garis dan bidang sejajar. Gambar 124 menunjukkan garis lurus b yang sejajar dengan garis lurus a yang terletak pada bidang a, yaitu sepanjang garis lurus b yang sejajar dengan bidang a, yaitu.

Contoh. Melalui bagian atas sudut kanan Dari segi empat segitiga ABC Sebuah bidang ditarik sejajar dengan sisi miring pada jarak 10 cm darinya. Proyeksi kaki-kaki pada bidang ini adalah 30 dan 50 cm. Tentukan proyeksi sisi miring pada bidang yang sama.

Keputusan. Dari segitiga siku-siku BBVC dan (Gbr. 125) kami menemukan:

Dari segitiga ABC kita menemukan:

Proyeksi sisi miring AB pada bidang a adalah . Karena AB sejajar dengan bidang a, maka Jadi,.

43. Pesawat paralel.

Dua bidang disebut paralel. jika mereka tidak berpotongan.

Dua bidang sejajar" jika salah satunya sejajar dengan dua garis berpotongan yang terletak di bidang lain (tanda paralelisme dua bidang).

Pada Gambar 126, bidang a sejajar dengan garis berpotongan a dan b yang terletak pada bidang tersebut, kemudian sepanjang bidang-bidang tersebut sejajar.

Melalui sebuah titik di luar bidang tertentu, seseorang dapat menggambar bidang yang sejajar dengan bidang tersebut, dan terlebih lagi, hanya satu.

Jika dua bidang sejajar berpotongan dengan bidang ketiga, maka garis-garis perpotongannya sejajar.

Gambar 127 menunjukkan dua bidang sejajar, dan bidang y memotongnya sepanjang garis lurus a dan b. Kemudian, dengan Teorema 2.7, kita dapat menyatakan bahwa garis a dan b sejajar.

Ruas-ruas garis sejajar yang terletak di antara dua bidang sejajar adalah sama besar.

Menurut T.2.8, segmen AB dan ditunjukkan pada Gambar 128 adalah sama, karena

Biarkan pesawat ini berpotongan. Gambarlah sebuah bidang yang tegak lurus terhadap garis perpotongannya. Ini memotong bidang-bidang ini sepanjang dua garis lurus. Sudut antara garis-garis ini disebut sudut antara bidang-bidang ini (Gbr. 129). Sudut antara bidang yang didefinisikan dengan cara ini tidak bergantung pada pilihan bidang garis potong.

Kursus video "Dapatkan A" mencakup semua topik yang diperlukan untuk sukses lulus ujian dalam matematika untuk 60-65 poin. Sepenuhnya semua tugas 1-13 ujian profil matematika. Juga cocok untuk lulus PENGGUNAAN Dasar dalam matematika. Jika Anda ingin lulus ujian dengan 90-100 poin, Anda harus menyelesaikan bagian 1 dalam 30 menit dan tanpa kesalahan!

Kursus persiapan untuk ujian untuk kelas 10-11, serta untuk guru. Semua yang Anda butuhkan untuk menyelesaikan bagian 1 ujian matematika (12 soal pertama) dan soal 13 (trigonometri). Dan ini lebih dari 70 poin pada Ujian Negara Bersatu, dan baik siswa seratus poin maupun seorang humanis tidak dapat melakukannya tanpa mereka.

Semua teori yang diperlukan. Cara Cepat solusi, jebakan dan GUNAKAN rahasia. Semua tugas yang relevan bagian 1 dari tugas Bank FIPI telah dianalisis. Kursus ini sepenuhnya sesuai dengan persyaratan USE-2018.

Kursus ini berisi 5 topik besar, masing-masing 2,5 jam. Setiap topik diberikan dari awal, sederhana dan jelas.

Ratusan tugas ujian. Tugas teks dan teori probabilitas. Algoritma pemecahan masalah yang sederhana dan mudah diingat. Geometri. Teori, materi referensi, analisis semua jenis tugas USE. Stereometri. Solusi rumit, lembar contekan yang berguna, pengembangan imajinasi spasial. Trigonometri dari awal - ke tugas 13. Memahami alih-alih menjejalkan. Penjelasan visual konsep yang kompleks. Aljabar. Akar, pangkat dan logaritma, fungsi dan turunan. Dasar untuk solusi tugas yang menantang 2 bagian ujian.

Geometri awal mempelajari konsep dan hubungan objek. Tanpa pembenaran yang jelas, tidak mungkin untuk menavigasi masuk area aplikasi. Tanda paralelisme garis lurus dan bidang adalah langkah pertama dalam geometri ruang. Menguasai kategori awal akan mendekatkan ke dunia presisi, logika, kejelasan yang menakjubkan.

dalam kontak dengan

Rasio objek: opsi yang memungkinkan

Stereometri adalah alat untuk memahami dunia. Ini meneliti hubungan objek satu sama lain, mengajarkan cara menghitung jarak tanpa penggaris. Latihan yang sukses membutuhkan menguasai konsep dasar.

Ada permukaan a dan garis l. Ada tiga kasus korelasi objek. Mereka ditentukan oleh titik persimpangan. Mudah diingat:

• 0 poin - paralel;
• 1 titik - saling berpotongan;
• tak terhingga banyak - garis terletak di pesawat.

Sangat mudah untuk menggambarkan tanda paralelisme objek. Di permukaan a ada garis dengan || l, lalu l || sebuah.

Sebuah klaim sederhana membutuhkan bukti. Biarkan permukaan digambar melalui garis: l || c. Dalam , a = c. Biarkan l memiliki titik yang sama dengan a. Itu harus terletak di hal. Ini bertentangan dengan kondisi: l || c. Maka l sejajar dengan bidang a. Posisi awal Baik.

Penting! Setidaknya ada satu baris dalam spasi || permukaan rata. Hal ini sesuai dengan pernyataan geometri awal (planimetri).

Sebuah pemikiran sederhana: a milik lebih dari satu titik l, jadi garis l sepenuhnya milik a.

sebuah || aku hanya jika tidak adanya satu titik persimpangan.

Ini adalah definisi logis dari paralelisme garis lurus dan bidang.

Mudah ditemukan penggunaan praktis ketentuan. Bagaimana membuktikan bahwa satu garis sejajar dengan bidang?

Cukup menggunakan fitur yang diselidiki.

Apa yang berguna untuk diketahui?

Untuk solusi masalah yang kompeten, diperlukan untuk mempelajari pengaturan objek tambahan. Basis adalah tanda paralelisme garis lurus dan bidang. Penggunaannya akan memudahkan pemahaman unsur-unsur lain. Geometri ruang mempertimbangkan kasus-kasus khusus.

Persimpangan dalam stereometri

Bendanya sama: permukaan datar a, garis c, l. Bagaimana mereka hidup berdampingan? Dengan || l. L berpotongan a. Mudah dimengerti: c pasti akan berpotongan a. Ide ini adalah lemma pada perpotongan bidang dengan garis sejajar.

Bidang kegiatan berkembang. Sebuah permukaan ditambahkan ke objek yang diteliti. Dia memiliki l. Tidak ada perubahan pada objek aslinya: l || sebuah. Sekali lagi, ini sederhana: dalam kasus persimpangan pesawat garis umum d || l. Konsepnya segera mengikuti: dua bidang mana yang disebut berpotongan. Mereka yang memiliki garis yang sama.

Teorema apa yang perlu dipelajari?

Konsep utama hubungan objek mengarah pada deskripsi pernyataan utama. Mereka memerlukan bukti yang diperpanjang. Pertama: teorema tentang paralelisme satu garis lurus dan bidang. Berbagai kasus dipertimbangkan.

1. Benda: permukaan P, Q, R, garis AB, CD. Kondisi: P||Q, R memotong keduanya. Tentu saja, AB||CD.

1. Subyek penelitian: garis AB, CD, A1B1, C1D1. AB memotong CD di satu bidang, A1B1 memotong C1D1 di bidang lain. AB||A1B1, CD||C1D1. Kesimpulan: permukaan yang berpotongan berpasangan garis sejajar, ||.

Sebuah konsep baru muncul . Garis yang bersilangan itu sendiri tidak sejajar. meskipun mereka terletak di bidang paralel. Ini adalah C1D1 dan AB, A1B1 dan CD. Fenomena ini banyak digunakan dalam stereometri praktis.

Pernyataan alami: melalui salah satu garis persimpangan, itu nyata melewati satu bidang paralel.

1. Maka mudah untuk sampai pada teorema jejak. Ini adalah pernyataan ketiga tentang paralelisme garis dan permukaan. Ada garis l. Dia || sebuah. l milik. Dalam , a = d. Satu-satunya pilihan yang mungkin adalah: d || l.

Penting! Garis dan bidang disebut || dengan tidak adanya objek umum - poin.

Sifat Paralelisme dan Buktinya

Sangat mudah untuk sampai pada konsep lokasi permukaan datar:

• himpunan kosong titik-titik bersama (disebut paralel);
• berpotongan dalam garis lurus.

Mereka digunakan dalam stereometri sifat paralel. Setiap gambar spasial memiliki permukaan dan garis. Untuk solusi sukses masalah itu diperlukan untuk mempelajari teorema utama:

• Objek yang diselidiki: a || b; c b = l, c a = m. Keluaran: l||m. Asumsi itu membutuhkan bukti. Lokasi l dan m adalah salah satu dari dua: berpotongan atau sejajar. Tetapi dalam kasus kedua, permukaan tidak memiliki titik yang sama. Lalu aku || m. Penegasan itu terbukti. Harus diingat: jika garis terletak pada bidang, maka mereka memiliki lebih dari satu titik persimpangan.

• Ada permukaan a, titik A bukan milik a. Maka hanya ada satu permukaan b || a melewati A. Proposisi mudah dibuktikan. Biarkan l m; l, m milik a. Sebuah pesawat dibangun melalui masing-masing dari mereka dan A. Dia melintasi a. Memiliki garis yang melalui A dan || sebuah. Di titik A mereka berpotongan. Mereka membentuk satu-satunya permukaan b || sebuah.

• Ada garis berpotongan l dan m. Lalu ada || permukaan a dan b tempat l dan m berada. Adalah logis untuk melakukan ini: pada l dan m pilih poin sewenang-wenang. Pindahkan m1 || m, l1 || l. Garis berpotongan berpasangan || => sebuah || b. Posisinya sudah terbukti.

Pengetahuan tentang sifat-sifat paralelisme satu garis lurus dan bidang akan memungkinkan Anda untuk menerapkannya dengan terampil dalam praktik. Bukti sederhana dan logis akan membantu Anda menavigasi dunia yang menarik stereometri.

Pesawat: evaluasi paralelisme

Menggambarkan konsep itu mudah. Pertanyaan: apa artinya, satu garis lurus dan sebuah bidang sejajar, diselesaikan. Studi tentang kategori awal geometri ruang mengarah pada pernyataan yang lebih kompleks.

Saat memutuskan tugas yang diterapkan paralelisme berlaku. Deskripsi sederhana: misalkan l m, l1 m1, l, m milik a, l1, m1 – b. Dalam hal ini, aku || l1, m || m1. Lalu sebuah || b.

Tanpa aplikasi simbol matematika: Bidang-bidang dikatakan sejajar jika ditarik melalui garis-garis sejajar berpasangan yang berpotongan.

Stereometri mempertimbangkan sifat-sifat bidang sejajar. Mereka dijelaskan oleh teorema:

Objek yang diselidiki: a || b, a c = l, b c = m. Lalu aku || m. Jelas bukti. dan Garis terletak pada bidang yang sama jika mereka || atau berpotongan. Pernyataan tentang paralelisme garis dan permukaan harus diterapkan. Kemudian menjadi jelas: l dan m tidak dapat berpotongan. Satu-satunya yang tersisa adalah aku || m.

Garis dan bidang disebut sejajar jika tidak memiliki titik persekutuan. Jika suatu garis yang tidak berada pada suatu bidang tertentu sejajar dengan garis pada bidang tersebut

1. Jika sebuah bidang melalui suatu garis tertentu yang sejajar dengan bidang lain dan memotong bidang tersebut, maka garis perpotongan bidang tersebut sejajar dengan garis yang diberikan.

2. Jika salah satu dari dua garis sejajar sejajar dengan bidang tertentu, dan garis lainnya memiliki titik yang sama dengan bidang, maka garis ini terletak pada bidang yang diberikan. bidang, maka itu sejajar dengan bidang itu sendiri.

Kasus-kasus pengaturan timbal balik dari garis lurus dan bidang: a) garis terletak pada bidang;

b) garis dan bidang hanya mempunyai satu titik persekutuan; c) garis dan bidang tidak mempunyai titik persekutuan.

2. Penentuan ukuran alami suatu ruas garis lurus pada kedudukan umum dengan metode segitiga siku-siku.

Nilai natural (n.v.) ruas garis AB pada posisi umum adalah sisi miring dari segitiga siku-siku ABK. Dalam segitiga ini, kaki AK sejajar dengan bidang proyeksi 1 dan sama dengan proyeksi horizontal segmen A"B". Kaki BK sama dengan selisih jarak titik A dan B dari bidang 1.

Dalam kasus umum, untuk menentukan ukuran alami segmen garis lurus, perlu untuk membangun sisi miring dari segitiga siku-siku, satu kakinya adalah proyeksi horizontal (frontal) segmen, kaki lainnya adalah segmen yang sama besarnya dengan perbedaan aljabar dari koordinat Z (Y) dari titik-titik ekstrim segmen.

Sudut ditemukan dari segitiga siku-siku - sudut kemiringan garis lurus ke bidang proyeksi horizontal.

Untuk menentukan sudut kemiringan garis lurus ke bidang proyeksi frontal, perlu untuk melakukan konstruksi serupa pada proyeksi frontal segmen.

3. Garis utama bidang (horizontal, frontal).

Horisontal bidang P adalah garis lurus yang terletak pada bidang ini dan sejajar dengan bidang horizontal. Garis horizontal sebagai garis lurus yang sejajar dengan bidang horizontal memiliki proyeksi frontal sejajar dengan sumbu x.

Bagian depan bidang P adalah garis lurus yang terletak pada bidang ini dan sejajar dengan bidang frontal.

Frontal adalah garis lurus yang sejajar dengan bidang frontal, dan proyeksi horizontal f sejajar dengan sumbu x.

4. Saling posisi garis lurus dalam ruang. Penentuan visibilitas dengan poin bersaing. Dua garis lurus dalam ruang dapat memiliki letak yang berbeda: A) berpotongan (berada pada bidang yang sama). Kasus perpotongan khusus - di sudut kanan; B) bisa sejajar (berbaring di bidang yang sama); C) bertepatan - kasus paralelisme khusus; D) silang (berbaring di bidang yang berbeda dan tidak berpotongan).

Titik-titik yang proyeksinya pada P1 bertepatan disebut bersaing terhadap bidang P1, dan titik-titik yang proyeksinya pada P2 bertepatan disebut bersaing terhadap bidang P2.

Titik K dan L bersaing terhadap bidang P1, karena pada bidang P1 titik K dan L diproyeksikan menjadi satu titik: K1 = L1.

Titik K lebih tinggi dari titik L, karena K2 lebih tinggi dari titik L2, oleh karena itu K1 terlihat pada P1.