რიცხვების ტიპები. ნატურალური, მთელი რიცხვები, რაციონალური და რეალური რიცხვები არის აბსტრაქცია, რომელიც გამოიყენება რაოდენობრივი მახასიათებლებიობიექტები. რიცხვები წარმოიშვა პრიმიტიული საზოგადოებაადამიანთა საჭიროებასთან დაკავშირებით საგნების დათვლა. დროთა განმავლობაში, მეცნიერების განვითარებასთან ერთად, რიცხვი გახდა ყველაზე მნიშვნელოვანი მათემატიკური ცნება.

პრობლემის გადასაჭრელად და დასამტკიცებლად სხვადასხვა თეორემებითქვენ უნდა გესმოდეთ რა ტიპის რიცხვებია. რიცხვების ძირითად ტიპებს მიეკუთვნება: ნატურალური რიცხვები, მთელი რიცხვები, რაციონალური რიცხვები, რეალური რიცხვები.

მთელი რიცხვები- ეს არის ობიექტების ბუნებრივი დათვლით მიღებული რიცხვები, უფრო სწორად, მათი ნუმერაციით ("პირველი", "მეორე", "მესამე" ...). Რამოდენიმე ნატურალური რიცხვებიაღინიშნა ლათინური ასო ნ(შეიძლება დაიმახსოვროთ საფუძველზე ინგლისური სიტყვაბუნებრივი). შეიძლება ითქვას რომ ნ ={1,2,3,....}

Მთელი რიცხვებიარის რიცხვები სიმრავლიდან (0, 1, -1, 2, -2, ....). ეს ნაკრები შედგება სამი ნაწილისაგან - ნატურალური რიცხვები, უარყოფითი მთელი რიცხვები (ნატურალური რიცხვების საპირისპირო) და რიცხვი 0 (ნული). მთელი რიცხვები აღინიშნება ლათინური ასოებით ზ. შეიძლება ითქვას რომ ზ={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,....}.

Რაციონალური რიცხვიარის რიცხვები, რომლებიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადად, სადაც m არის მთელი რიცხვი, ხოლო n არის ნატურალური რიცხვი. ამ შემთხვევაში, რიცხვი m ეწოდება მრიცხველიდა ნომერი n - მნიშვნელიწილადები. ასეთი წილადი უნდა გავიგოთ, როგორც m n-ზე გაყოფის შედეგი, მაშინაც კი, თუ მისი სრულად გაყოფა შეუძლებელია. ლათინური ასო გამოიყენება რაციონალური რიცხვების აღსანიშნავად ქ. Q={... ;-3;-2,5;-2;-1;0; ;1;2;3;3,5....}. ყველა ნატურალური და მთელი რიცხვი რაციონალურია. ასევე, რაციონალური რიცხვების მაგალითებად შეგიძლიათ მოიყვანოთ: , , . AT ნამდვილი ცხოვრებარაციონალური რიცხვები გამოიყენება ზოგიერთი მთლიანი, მაგრამ გასაყოფი საგნების ნაწილების დასათვლელად, როგორიცაა ნამცხვრები ან სხვა საკვები, რომლებიც რამდენიმე ნაწილად არის დაჭრილი, ან უხეშად შეფასდეს გაფართოებული ობიექტების სივრცითი ურთიერთობები.

რეალური (რეალური) რიცხვებიარის რიცხვები, რომლებიც გამოიყენება გასაზომად უწყვეტი რაოდენობით. Რამოდენიმე რეალური რიცხვებიაღინიშნება ლათინური ასო R. ნამდვილ რიცხვებში შედის რაციონალური და ირაციონალური რიცხვები. ირაციონალური რიცხვები- ეს არის რიცხვები, რომლებიც მიღებულია რაციონალური რიცხვებით სხვადასხვა მოქმედებების შესრულების შედეგად (მაგალითად, ფესვის ამოღება, ლოგარითმების გამოთვლა), მაგრამ არ არის რაციონალური. ირაციონალური რიცხვების მაგალითებია , , .

ნებისმიერი რეალური რიცხვი შეიძლება გამოჩნდეს რიცხვების ხაზში:

ზემოთ ჩამოთვლილი რიცხვების ნაკრებისთვის, შემდეგი განცხადება მართალია:

ანუ ნატურალური რიცხვების სიმრავლე შედის მთელი რიცხვების სიმრავლეში. მთელი რიცხვების სიმრავლე შედის რაციონალურ რიცხვთა სიმრავლეში. ხოლო რაციონალური რიცხვების სიმრავლე შედის ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეში. ეს განცხადება შეიძლება ილუსტრირებული იყოს ეილერის წრეების გამოყენებით.

ბუნებრივი რიცხვების განმარტება არის მთელი რიცხვები დადებითი რიცხვები. ნატურალური რიცხვები გამოიყენება ობიექტების დასათვლელად და მრავალი სხვა მიზნებისთვის. ეს რიცხვებია: 1; 2; 3; 4;...

ეს არის რიცხვების ბუნებრივი სერია.
ნული ნატურალური რიცხვია? არა, ნული არ არის ნატურალური რიცხვი.
რამდენი ნატურალური რიცხვია? არსებობს უსასრულო ნაკრებინატურალური რიცხვები.
რა არის ყველაზე პატარა ნატურალური რიცხვი? ერთი არის უმცირესი ნატურალური რიცხვი.
რა არის ყველაზე დიდი ბუნებრივი რიცხვი? მისი დაკონკრეტება შეუძლებელია, რადგან არსებობს ნატურალური რიცხვების უსასრულო ნაკრები.

ნატურალური რიცხვების ჯამი ნატურალური რიცხვია. ასე რომ, a და b ნატურალური რიცხვების შეკრება:

ნატურალური რიცხვების ნამრავლი არის ნატურალური რიცხვი. მაშ ასე, a და b ნატურალური რიცხვების ნამრავლი:

c ყოველთვის ნატურალური რიცხვია.

ნატურალური რიცხვების სხვაობა ყოველთვის არ არის ნატურალური რიცხვი. თუ მინუენდი მეტია ქვეტრაჰენდზე, მაშინ ნატურალური რიცხვების სხვაობა ნატურალური რიცხვია, წინააღმდეგ შემთხვევაში არა.

ნატურალური რიცხვების კოეფიციენტი ყოველთვის არ არის ნატურალური რიცხვი. თუ ნატურალური რიცხვებისთვის a და b

სადაც c არის ნატურალური რიცხვი, ეს ნიშნავს, რომ a თანაბრად იყოფა b-ზე. ამ მაგალითში a არის დივიდენდი, b არის გამყოფი, c არის კოეფიციენტი.

ნატურალური რიცხვის გამყოფი არის ნატურალური რიცხვი, რომლითაც პირველი რიცხვი თანაბრად იყოფა.

ყველა ნატურალური რიცხვი იყოფა 1-ზე და საკუთარ თავზე.

მარტივი ნატურალური რიცხვები იყოფა მხოლოდ 1-ზე და საკუთარ თავზე. აქ ეს ნიშნავს, რომ ისინი მთლიანად იყოფა. მაგალითი, ნომრები 2; 3; 5; 7 იყოფა მხოლოდ 1-ზე და საკუთარ თავზე. ეს არის მარტივი ბუნებრივი რიცხვები.

ერთი არ ითვლება მარტივ რიცხვად.

რიცხვებს, რომლებიც ერთზე მეტია და რომლებიც არ არიან მარტივი, კომპოზიციურ რიცხვებს უწოდებენ. მაგალითები კომპოზიტური რიცხვები: 4; 6; 8; 9; 10

ერთი არ ითვლება შედგენილ რიცხვად.

ნატურალური რიცხვების სიმრავლე არის ერთი, მარტივი რიცხვებიდა კომპოზიტური რიცხვები.

ნატურალური რიცხვების სიმრავლე აღინიშნება ლათინური ასო N-ით.

ნატურალური რიცხვების შეკრებისა და გამრავლების თვისებები:

დამატების კომუტაციური თვისება

ასოციაციური საკუთრებადამატებები

(a + b) + c = a + (b + c);

გამრავლების კომუტაციური თვისება

გამრავლების ასოციაციური თვისება

(ab)c = a(bc);

გამანაწილებელი ქონებაგამრავლება

a (b + c) = ab + ac;

Მთელი რიცხვები

მთელი რიცხვები არის ნატურალური რიცხვები, ნული და ნატურალური რიცხვების საპირისპირო.

ნატურალური რიცხვების საპირისპირო რიცხვები მთელი რიცხვებია. უარყოფითი რიცხვებიმაგალითად: -1; -2; -3; -4;...

მთელი რიცხვების სიმრავლე აღინიშნება ლათინური ასოთი Z.

Რაციონალური რიცხვი

რაციონალური რიცხვები არის მთელი რიცხვები და წილადები.

ნებისმიერი რაციონალური რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს პერიოდული წილადის სახით. მაგალითები: -1,(0); 3, (6); 0, (0);...

მაგალითებიდან ირკვევა, რომ ნებისმიერი მთელი რიცხვი არის პერიოდული ფრაქციანულოვანი პერიოდით.

ნებისმიერი რაციონალური რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადად m/n, სადაც m მთელი რიცხვი,nბუნებრივი რიცხვი. წარმოვიდგინოთ რიცხვი 3,(6) წინა მაგალითიდან ასეთ წილადად: 22/6 = 3,(6);

კიდევ ერთი მაგალითი: რაციონალური რიცხვი 9 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს მარტივი წილადის სახით, როგორც 18/2 ან როგორც 36/4.

კიდევ ერთი მაგალითი: რაციონალური რიცხვი -9 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს მარტივი წილადის სახით, როგორც -18/2 ან როგორც -72/8.

რაციონალური რიცხვების სიმრავლე აღინიშნება ლათინური ასო Q-ით.

ირაციონალური რიცხვები

ირაციონალური რიცხვები არის უსასრულო არაგანმეორებადი ათწილადები.

მაგალითები: pi = 3.141592... e = 2.718281...

რეალური რიცხვები

ნამდვილი რიცხვები არის რაციონალური და ყველა ირაციონალური რიცხვი.

ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლე აღინიშნება ლათინური ასო R-ით.

მიზანი: იცოდეთ რა არის ნატურალური, მთელი რიცხვი, რაციონალური რიცხვი, პერიოდული წილადი; შეძლოს დაუსრულებლად წერა ათობითიჩვეულებრივი სახით, შეეძლოს მოქმედებების შესრულება ათობითი და ჩვეულებრივი წილადებით.

1. შესწავლილი მასალის კონსოლიდაცია, სამუშაოს სახეების შეცვლა, ამ თემაზე „მთლიანი და რაციონალური რიცხვები“.
2. ათწილადი და ჩვეულებრივი წილადებით მოქმედებების შესრულების უნარ-ჩვევების გამომუშავება, განვითარება ლოგიკური აზროვნებასწორი და კომპეტენტური მათემატიკური მეტყველება, დამოუკიდებლობის განვითარება და ნდობა მათი ცოდნისა და უნარების შესრულებისას. განსხვავებული ტიპებიმუშაობს.
3. გაზარდეთ მათემატიკისადმი ინტერესი მასალის სხვადასხვა სახის კონსოლიდაციის დანერგვით: ზეპირი სამუშაო, სახელმძღვანელოსთან მუშაობა, დაფაზე მუშაობა, კითხვებზე პასუხის გაცემა და ინტროსპექციის უნარი, დამოუკიდებელი მუშაობის უნარი; მოსწავლეთა საქმიანობის სტიმულირება და წახალისება.

ᲛᲔ. ორგანიზების დრო.
II. Ახალი თემა:
"მთლიანი და რაციონალური რიცხვები".
1.თეორიული ნაწილი.
2. პრაქტიკული ნაწილი.
3. მუშაობა სახელმძღვანელოს მიხედვით და დაფაზე.
4. დამოუკიდებელი მუშაობავარიანტების მიხედვით.
III. შედეგი.
1. კითხვებისთვის.
IV. Საშინაო დავალება.

გაკვეთილების დროს

I. საორგანიზაციო მომენტი.

მასწავლებლისა და მოსწავლეების ემოციური განწყობა და მზადყოფნა გაკვეთილისთვის. მიზნებისა და ამოცანების კომუნიკაცია.

II. ახალი თემა: "მთლიანი და რაციონალური რიცხვები":

თეორიული ნაწილი.

1. თავდაპირველად რიცხვი მხოლოდ ნატურალურ რიცხვებად იყო გაგებული. რაც საკმარისია ცალკეული ნივთების დასათვლელად.

ნაკრები N = (1; 2; 3...) ნატურალური რიცხვებიდახურულია შეკრებისა და გამრავლების ოპერაციებით. ეს ნიშნავს, რომ ნატურალური რიცხვების ჯამი და ნამრავლი ნატურალური რიცხვებია.

2. თუმცა ორი ნატურალური რიცხვის სხვაობა ყოველთვის ნატურალური რიცხვი აღარ არის.

(მოიყვანეთ მაგალითები: 5 - 5 = 0; 5 - 7 = - 2, რიცხვები 0 და - 2 არ არის ბუნებრივი).

ამრიგად, ორი იდენტური ნატურალური რიცხვის გამოკლების შედეგი მივყავართ ნულის ცნებას და შესავალს. არაუარყოფითი მთელი რიცხვების სიმრავლეები

Z0 = (0; 1; 2;...).

3. გამოკლების მოქმედების შესასრულებლად ჩაწერეთ უარყოფითი მთელი რიცხვები, ანუ ნატურალურის საპირისპირო რიცხვები. ამრიგად, მიიღება მთელი რიცხვების ნაკრები Z={...; -3; -2; -1; 0; 1; 2;...}.

იმისათვის, რომ ნებისმიერი რიცხვით გაყოფის მოქმედება განხორციელდეს ნულის ტოლი არ არის, აუცილებელია ყველა მთელი რიცხვის სიმრავლეს დავუმატოთ ყველა დადებითი და უარყოფითი წილადები. შედეგი არის რაციონალური რიცხვების ნაკრები Q=.

როცა აკეთებს ოთხს არითმეტიკული მოქმედებები(გარდა ნულზე გაყოფისა) რაციონალურ რიცხვებზე, რაციონალური რიცხვები ყოველთვის მიიღება.

4. ყოველი რაციონალური რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს პერიოდული ათობითი წილადის სახით.

გავიხსენოთ რა არის პერიოდული ფრაქცია. ეს არის უსასრულო ათობითი წილადი, რომელშიც, გარკვეული ათწილადიდან დაწყებული, მეორდება ერთი და იგივე ციფრი ან რამდენიმე ციფრი - წილადის პერიოდი. მაგალითად, 0.3333…= 0,(3);

1,057373…=1,05(73).

ეს წილადები ასე იკითხება: "0 მთელი და 3 პერიოდში", "1 მთელი, 5 მეასედი და 73 პერიოდში".

რაციონალურ რიცხვებს ვწერთ უსასრულო პერიოდული ათობითი წილადის სახით:

ნატურალური რიცხვი 25 = 25.00…= 25,(0);

მთელი რიცხვი -7 = -7,00…= -7,(0);

(ვიყენებთ კუთხის გაყოფის ალგორითმს).

5. საპირისპირო დებულებაც მართალია: ყოველი უსასრულო პერიოდული ათობითი წილადი არის რაციონალური რიცხვი, ვინაიდან ის შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადად, სადაც m არის მთელი რიცხვი, n არის ნატურალური რიცხვი.

განვიხილოთ მაგალითი:

1) მოდით x \u003d 0.2 (18) გავამრავლოთ 10-ზე, მივიღებთ 10x \u003d 2.1818 ... (თქვენ უნდა გაამრავლოთ წილადი 10 ნ-ზე, სადაც n არის ათწილადების რაოდენობა, რომელიც შეიცავს ამ წილადის ჩანაწერს ზემოთ. პერიოდამდე: x10 n).

2) ბოლო ტოლობის ორივე გვერდის 100-ზე გამრავლებით მივიღებთ

1000x = 218.1818… (გამრავლება 10 k-ზე, სადაც k არის ციფრების რაოდენობა x10 n 10 k = x10 n+k პერიოდში).

3) ტოლობის (2) ტოლობის (1) გამოკლებით მივიღებთ 990x = 216, x = .

პრაქტიკული ნაწილი.

1. დაწერეთ ათწილადის სახით:

1) - დაფაზე;

3) - დაფაზე ერთი მოსწავლე იწერს გადაწყვეტილებას, დანარჩენები ადგილზე წყვეტენ, შემდეგ ამოწმებენ ერთმანეთს;

4) - კარნახით, ყველა ასრულებს დავალებას და ერთი ხმამაღლა საუბრობს.

2. შეასრულეთ მოქმედებები და დაწერეთ შედეგი ათწილადის სახით:

1) - დაფაზე;

3) - კარნახით, ყველა ასრულებს დავალებას, ერთი კი ხმამაღლა ლაპარაკობს;

5) - დამოუკიდებლად შემდგომი შემოწმებით.

3. ჩაწერეთ როგორც საერთო წილადიუსასრულო ათობითი:

6) -2.3(82) - მასწავლებელი აჩვენებს ამოხსნას დაფაზე, ალგორითმის მიხედვით.