ის ფაქტი, რომ ბევრი კვადრატული ფესვებიარიან ირაციონალური რიცხვები, არ აკლებს მათ მნიშვნელობას, კერძოდ, რიცხვი $\sqrt2$ ძალიან ხშირად გამოიყენება სხვადასხვა საინჟინრო და სამეცნიერო გამოთვლებში. ეს რიცხვი შეიძლება გამოითვალოს იმ სიზუსტით, რომელიც აუცილებელია თითოეულ კონკრეტულ შემთხვევაში. თქვენ შეგიძლიათ მიიღოთ ეს რიცხვი იმდენი ათობითი ნიშნით, რამდენიც მოთმინება გაქვთ.

მაგალითად, რიცხვი $\sqrt2$ შეიძლება განისაზღვროს ექვსი ათობითი ადგილით: $\sqrt2=1.414214$. ეს მნიშვნელობა დიდად არ განსხვავდება ნამდვილი ღირებულება, რადგან $1.414214 \ჯერ 1.414214=2.000001237796$. ეს პასუხი განსხვავდება 2-დან მხოლოდ მემილიონედით. აქედან გამომდინარე, $\sqrt2$-ის ღირებულება, რომელიც უდრის $1.414214$-ს, სავსებით მისაღებია უმრავლესობის გადაწყვეტისთვის. პრაქტიკული ამოცანები. იმ შემთხვევაში, როცა მეტი სიზუსტეა საჭირო, ამდენის მოპოვება რთული არ არის მნიშვნელოვანი პირებიათობითი წერტილის შემდეგ, როგორც საჭიროა ამ შემთხვევაში.

თუმცა, თუ იშვიათ სიჯიუტეს გამოიჩენთ და ცდილობთ ამოიღოთ Კვადრატული ფესვი$\sqrt2$ რიცხვიდან სანამ არ მიაღწევთ ზუსტ შედეგს, თქვენ არასოდეს დაასრულებთ თქვენს საქმეს. გაუთავებელი პროცესია. არ აქვს მნიშვნელობა რამდენ ათწილადს მიიღებთ, ყოველთვის იქნება კიდევ რამდენიმე.

ამ ფაქტმა შეიძლება გაგაოცოთ, როგორც $\frac13$-ის გადაქცევა უსასრულო ათწილადად $0.333333333…$ და ა.შ. ერთი შეხედვით შეიძლება ჩანდეს, რომ ეს უსასრულო და ირაციონალური კვადრატული ფესვები ერთი რიგის ფენომენებია, მაგრამ ეს მთლად ასე არ არის. ყოველივე ამის შემდეგ, ამ უსასრულო წილადებს აქვთ წილადის ეკვივალენტი, ხოლო $\sqrt2$-ს არ აქვს ასეთი ეკვივალენტი. და რატომ, ზუსტად? საქმე იმაშია, რომ $\frac13$-ისა და $\frac17$-ის ათობითი ეკვივალენტი, ასევე უსასრულო რიცხვისხვა წილადები პერიოდულია სასრულ წილადები.

ამავდროულად, $\sqrt2$-ის ათობითი ეკვივალენტი არის არაპერიოდული წილადი. ეს განცხადება ასევე მართალია ნებისმიერი ირ რაციონალური რიცხვი.

პრობლემა ის არის, რომ ნებისმიერი ათწილადი, რომელიც არის 2-ის კვადრატული ფესვის მიახლოება არის არა პერიოდული ფრაქცია . რაც არ უნდა შორს მივიდეთ გამოთვლებში, ნებისმიერი წილადი, რომელსაც მივიღებთ, იქნება არაპერიოდული.

წარმოიდგინეთ წილადი უზარმაზარი თანხაარაპერიოდული ციფრები ათწილადის შემდეგ. თუ მოულოდნელად მემილიონე ციფრის შემდეგ მეორდება ათობითი ადგილების მთელი თანმიმდევრობა, მაშინ ათობითი- პერიოდული და მისთვის არის ეკვივალენტი მთელი რიცხვების თანაფარდობის სახით. თუ წილადს, რომელსაც აქვს უზარმაზარი რიცხვი (მილიარდები ან მილიონები) არაპერიოდული ათობითი ადგილების რაღაც მომენტში, აქვს განმეორებადი ციფრების უსასრულო სერია, მაგალითად $…55555555555…$, ეს ასევე ნიშნავს, რომ ეს წილადი პერიოდულია და არსებობს ექვივალენტი. მისთვის მთელი რიცხვების შეფარდების სახით.

თუმცა, მათი ათობითი ეკვივალენტების შემთხვევაში, ისინი სრულიად არაპერიოდულია და არ შეიძლება გახდეს პერიოდული.

რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ იკითხოთ შემდეგი შეკითხვა: „და ვინ იცის და თქვას დანამდვილებით რა ემართება წილადს, ვთქვათ, ტრილიონი ნიშნის შემდეგ? ვინ იძლევა გარანტიას, რომ წილადი არ გახდება პერიოდული? არსებობს გზები, რათა დაუსაბუთებლად დავამტკიცოთ, რომ ირაციონალური რიცხვები არაპერიოდულია, მაგრამ ასეთი მტკიცებულებები მოითხოვს რთულ მათემატიკურ აპარატს. მაგრამ თუ მოულოდნელად აღმოჩნდა რომ ირაციონალური რიცხვიხდება პერიოდული ფრაქცია, ეს საძირკვლების სრულ ნგრევას ნიშნავს მათემატიკური მეცნიერებები. და სინამდვილეში, ეს ძნელად შესაძლებელია. ეს არ არის მხოლოდ იმისთვის, რომ მუხლებზე გვერდიდან გვერდზე გადააგდოთ, აქ არის რთული მათემატიკური თეორია.

რომ თუ მათ იციან სერიების თეორია, მაშინ მის გარეშე ვერანაირი მეტამატური ცნებების შემოღება შეუძლებელია. უფრო მეტიც, ამ ხალხს მიაჩნია, რომ ის, ვინც მას ყველგან არ იყენებს, უცოდინარია. მოდით, ამ ადამიანების შეხედულებები მათ სინდისს მივატოვოთ. მოდით უკეთ გავიგოთ, რა არის უსასრულო პერიოდული წილადი და როგორ მოვიქცეთ მას ჩვენთვის, გაუნათლებელი ადამიანებისთვის, რომლებმაც საზღვრები არ ვიცით.

გაყავით 237 5-ზე. არა, თქვენ არ გჭირდებათ კალკულატორის გაშვება. მოდით უკეთ გავიხსენოთ საშუალო (ან თუნდაც დაწყებითი?) სკოლა და უბრალოდ გავყოთ სვეტი:

აბა, გახსოვს? შემდეგ შეგიძლიათ საქმეს შეუდგეთ.

მათემატიკაში "წილადის" ცნებას ორი მნიშვნელობა აქვს:

1. არა მთელი რიცხვი.
2. არა მთელი რიცხვის აღნიშვნის ფორმა.

არსებობს წილადების ორი ტიპი - ამ გაგებით, არამთლიანი რიცხვების ჩაწერის ორი ფორმა:

1. მარტივი (ან ვერტიკალური) წილადები, როგორიცაა 1/2 ან 237/5.
2. ათწილადები, როგორიცაა 0.5 ან 47.4.

გაითვალისწინეთ, რომ ზოგადად წილად-აღნიშვნის გამოყენება არ ნიშნავს იმას, რომ რაც წერია არის წილადი რიცხვი, მაგალითად, 3/3 ან 7.0 - არა წილადები სიტყვის პირველი მნიშვნელობით, არამედ მეორეში, რა თქმა უნდა. , წილადები.

მათემატიკაში, ზოგადად, უხსოვარი დროიდან მიღებული იყო ათობითი ანგარიში და, შესაბამისად, ათობითი წილადები უფრო მოსახერხებელია, ვიდრე მარტივი, ანუ წილადი ათობითი მნიშვნელი(ვლადიმერ დალ. ლექსიკონიცოცხალი დიდი რუსული ენა. "ათი").

და თუ ასეა, მაშინ მე მინდა გავაკეთო ნებისმიერი ვერტიკალური წილადი ათობითი („ჰორიზონტალური“). და ამისათვის თქვენ უბრალოდ უნდა გაყოთ მრიცხველი მნიშვნელზე. აიღეთ, მაგალითად, წილადი 1/3 და შეეცადეთ გახადოთ ის ათწილადად.

სრულიად გაუნათლებელი ადამიანიც კი შეამჩნევს: რამდენი ხანი არ უნდა გაგრძელდეს, ისინი არ გაიყოფიან: ასე გაჩნდება სამეული უსასრულოდ. მაშ ასე, ჩავწეროთ: 0,33... ვგულისხმობთ „ რიცხვს, რომელიც მიიღება 1-ის 3-ზე გაყოფისას“, ან მოკლედ „ერთ მესამედს“. ბუნებრივია, მესამედი არის წილადი ამ სიტყვის პირველი მნიშვნელობით, ხოლო „1/3“ და „0.33...“ არის წილადები სიტყვის მეორე მნიშვნელობით, ე.ი. ჩანაწერის ფორმებირიცხვი, რომელიც არის რიცხვთა წრფეზე ნულიდან ისეთ მანძილზე, რომ თუ სამჯერ გადადებთ, მიიღებთ ერთს.

ახლა ვცადოთ 5 გავყოთ 6-ზე:

კიდევ ერთხელ ჩავწეროთ: 0,833... ვგულისხმობთ „ რიცხვს, რომელიც მიიღება 5-ის 6-ზე გაყოფისას“, ან მოკლედ „ხუთ-მეექვსედს“. თუმცა, დაბნეულობა ჩნდება აქ: ნიშნავს თუ არა ეს 0.83333 (და შემდეგ სამეულები მეორდება), თუ 0.833833 (და შემდეგ მეორდება 833). მაშასადამე, ელიფსის ჩანაწერი არ გვიწყობს: გაუგებარია საიდან იწყება განმეორებითი ნაწილი (მას „პერიოდი“ ჰქვია). მაშასადამე, ავიღებთ პერიოდს ფრჩხილებში, ასე: 0, (3); 0.8 (3).

0, (3) არა მხოლოდ უდრისერთი მესამედი არის იქ არისერთი მესამედი, რადგან ჩვენ კონკრეტულად გამოვიმუშავეთ ეს აღნიშვნა ამ რიცხვის სახით ათობითი წილადი.

ამ ჩანაწერს ე.წ უსასრულო პერიოდული წილადი, ან უბრალოდ პერიოდული წილადი.

როდესაც ერთ რიცხვს ვყოფთ მეორეზე, თუ არ მივიღებთ სასრულ წილადს, მაშინ ვიღებთ უსასრულო პერიოდულ წილადს, ანუ ოდესღაც რიცხვების თანმიმდევრობა დაიწყებს გამეორებას. რატომ არის ეს ასე, შეგვიძლია გავიგოთ წმინდა სპეკულაციით, ყურადღებით დავაკვირდებით სვეტის მიხედვით გაყოფის ალგორითმს:

საკონტროლო ნიშნებით მონიშნულ ადგილებში მათი მუდმივად მიღება შეუძლებელია სხვადასხვა წყვილებირიცხვები (რადგან, პრინციპში, არსებობს ასეთი წყვილების სასრული ნაკრები). და როგორც კი იქ გამოჩნდება ასეთი წყვილი, რომელიც უკვე არსებობდა, განსხვავებაც იგივე იქნება - და შემდეგ მთელი პროცესი დაიწყებს თავის გამეორებას. ამის შემოწმება არ არის საჭირო, რადგან სავსებით აშკარაა, რომ როდესაც იგივე ქმედებები განმეორდება, შედეგი იგივე იქნება.

ახლა რომ კარგად გავიგეთ არსიპერიოდული წილადი, მოდით ვცადოთ ერთი მესამედის სამზე გამრავლება. დიახ, გამოვა, რა თქმა უნდა, ერთი, მაგრამ მოდით დავწეროთ ეს წილადი ათობითი ფორმით და გავამრავლოთ სვეტით (ელიფსისის გამო ბუნდოვანება აქ არ წარმოიქმნება, რადგან ათობითი წერტილის შემდეგ ყველა რიცხვი ერთნაირია):

და ისევ შევნიშნავთ, რომ ცხრა, ცხრა და ცხრა ყოველთვის გამოჩნდება ათობითი წერტილის შემდეგ. ანუ, საპირისპიროდ, ფრჩხილის აღნიშვნის გამოყენებით, მივიღებთ 0, (9). ვინაიდან ჩვენ ვიცით, რომ ერთი მესამედისა და სამის ნამრავლი არის ერთეული, მაშინ 0, (9) არის ერთეულის დაწერის ასეთი უცნაური ფორმა. თუმცა, არ არის მიზანშეწონილი აღნიშვნის ამ ფორმის გამოყენება, რადგან ერთეული შესანიშნავად იწერება წერტილის გამოყენების გარეშე, როგორიცაა: 1.

როგორც ხედავთ, 0,(9) არის ერთ-ერთი შემთხვევა, როდესაც მთელი რიცხვი იწერება წილადის სახით, როგორიცაა 3/3 ან 7.0. ანუ 0, (9) არის წილადი მხოლოდ სიტყვის მეორე მნიშვნელობით, მაგრამ არა პირველი.

ასე რომ, ყოველგვარი საზღვრებისა და მწკრივების გარეშე, ჩვენ გავარკვიეთ, რა არის 0, (9) და როგორ გავუმკლავდეთ მას.

მაგრამ მაინც დაიმახსოვრე, რომ სინამდვილეში ჩვენ ჭკვიანები ვართ და ანალიზი შევისწავლეთ. მართლაც, ძნელია ამის უარყოფა:

მაგრამ, ალბათ, არავინ დაობს იმ ფაქტს, რომ:

ეს ყველაფერი, რა თქმა უნდა, მართალია. მართლაც, 0,(9) არის მითითებული კუთხის შემცირებული რიგის და გაორმაგებული სინუსის ჯამი და ბუნებრივი ლოგარითმიეილერის ნომრები.

მაგრამ არც ერთი, არც მეორე და არც მესამე არ არის განმარტება.

იმის თქმა, რომ 0,(9) არის უსასრულო სერიის ჯამი 9/(10 n), როცა n მეტია ერთზე, იგივეა, რაც იმის თქმა, რომ სინუსი არის უსასრულო ტეილორის რიგის ჯამი:

ის საკმაოდ სწორი, და ეს არის მნიშვნელოვანი ფაქტიგამოთვლითი მათემატიკისთვის, მაგრამ ეს არ არის განმარტება და, რაც მთავარია, ეს არ აახლოებს ადამიანს გაგებასთან არსისინუსი. გარკვეული კუთხის სინუსის არსი ის არის, რომ ის არის უბრალოდდამოკიდებულება მოპირდაპირე კუთხეკათეტერი ჰიპოტენუზაში.

ისე, პერიოდული წილადი არის უბრალოდათობითი წილადი, რომელიც წარმოიქმნება როდესაც სვეტით გაყოფისასრიცხვების იგივე ნაკრები მეორდება. აქ ანალიზი საერთოდ არ არის.

და აქ ჩნდება კითხვა: სად ზოგადადავიღეთ რიცხვი 0,(9)? რას ვყოფთ სვეტზე მის მისაღებად? მართლაც, ასეთი რიცხვები არ არსებობს, ერთმანეთზე სვეტად გაყოფისას ჩვენ უსასრულოდ გამოჩენილი ცხრა გვექნებოდა. მაგრამ ჩვენ მოვახერხეთ ამ რიცხვის მიღება 0, (3) სვეტის 3-ზე გამრავლებით? Ნამდვილად არ. ყოველივე ამის შემდეგ, თქვენ უნდა გაამრავლოთ მარჯვნიდან მარცხნივ, რათა სწორად გაითვალისწინოთ ციფრების გადარიცხვები და ჩვენ ეს გავაკეთეთ მარცხნიდან მარჯვნივ, ჭკვიანურად ვისარგებლეთ იმით, რომ გადარიცხვები მაინც არ ხდება არსად. მაშასადამე, 0,(9) ჩაწერის კანონიერება დამოკიდებულია იმაზე, ვაღიარებთ თუ არა სვეტით ასეთი გამრავლების კანონიერებას.

მაშასადამე, შეიძლება ზოგადად ითქვას, რომ აღნიშვნა 0,(9) არასწორია - და გარკვეულწილად მართალია. თუმცა, რადგან აღნიშვნა a ,(b) მიღებულია, უბრალოდ მახინჯია მისი ჩამოგდება, როდესაც b = 9; უმჯობესია გადაწყვიტოთ რას ნიშნავს ასეთი ჩანაწერი. ასე რომ, თუ საერთოდ მივიღებთ აღნიშვნას 0,(9), მაშინ ეს აღნიშვნა, რა თქმა უნდა, ნიშნავს ნომერ პირველს.

რჩება მხოლოდ დავამატოთ, რომ თუ გამოვიყენებდით, ვთქვათ, სამეულ რიცხვთა სისტემას, მაშინ ერთეული სვეტის (1 3) სამმაგზე (10 3) გაყოფისას მივიღებთ 0.1 3 (იკითხება "ნულოვანი წერტილი ერთი მესამედი") და 1-ის 2-ზე გაყოფისას იქნება 0,(1) 3 .

ასე რომ, წილადის ჩანაწერის პერიოდულობა არ არის წილადი რიცხვის რაიმე სახის ობიექტური მახასიათებელი, არამედ მხოლოდ გვერდითი მოვლენებიამა თუ იმ რიცხვთა სისტემის გამოყენებით.

როგორც ცნობილია, რაციონალური რიცხვების სიმრავლე (Q) მოიცავს მთელ რიცხვთა სიმრავლეს (Z), რომელიც თავის მხრივ მოიცავს ნატურალური რიცხვების სიმრავლეს (N). მთელი რიცხვების გარდა, რაციონალურ რიცხვებში შედის წილადები.

მაშინ რატომ განიხილება რაციონალური რიცხვების მთელი სიმრავლე ზოგჯერ უსასრულო ათობითი პერიოდულ წილადებად? ყოველივე ამის შემდეგ, წილადების გარდა, მათში შედის მთელი რიცხვები, ასევე არაპერიოდული წილადები.

ფაქტია, რომ ყველა მთელი რიცხვი, ისევე როგორც ნებისმიერი წილადი, შეიძლება წარმოდგენილი იყოს უსასრულო პერიოდული ათობითი წილადის სახით. ანუ, ყველა რაციონალური რიცხვისთვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ იგივე აღნიშვნა.

როგორ არის წარმოდგენილი უსასრულო პერიოდული ათწილადი? მასში ათწილადის შემდეგ რიცხვების განმეორებითი ჯგუფი აღებულია ფრჩხილებში. მაგალითად, 1.56(12) არის წილადი, რომელშიც მეორდება რიცხვების ჯგუფი 12, ანუ წილადს აქვს მნიშვნელობა 1.561212121212 ... და ასე შემდეგ დაუსრულებლად. რიცხვების განმეორებით ჯგუფს წერტილი ეწოდება.

თუმცა, ანალოგიური ფორმით, ჩვენ შეგვიძლია წარმოვადგინოთ ნებისმიერი რიცხვი, თუ მის პერიოდად განვიხილავთ რიცხვს 0, რომელიც ასევე მეორდება უსასრულოდ. მაგალითად, რიცხვი 2 იგივეა, რაც 2.00000.... მაშასადამე, ის შეიძლება დაიწეროს როგორც უსასრულო პერიოდული წილადი, ანუ 2,(0).

იგივე შეიძლება გაკეთდეს ნებისმიერ სასრულ წილადთან. Მაგალითად:

0,125 = 0,1250000... = 0,125(0)

თუმცა, პრაქტიკაში, სასრული წილადის გარდაქმნა უსასრულო პერიოდულ წილადად არ გამოიყენება. ამიტომ სასრულ წილადები და უსასრულო პერიოდული წილადები გამოყოფილია. ამრიგად, უფრო სწორია იმის თქმა, რომ რაციონალური რიცხვები მოიცავს

• ყველა მთელი რიცხვი,
• საბოლოო წილადები,
• უსასრულო პერიოდული წილადები.

ამავდროულად, მათ უბრალოდ ახსოვთ, რომ მთელი რიცხვები და სასრული წილადები თეორიულად შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც უსასრულო პერიოდული წილადები.

მეორეს მხრივ, სასრული და უსასრულო წილადების ცნებები გამოიყენება ათობითი წილადებისთვის. თუ ვსაუბრობთ ჩვეულებრივ წილადებზე, მაშინ როგორც სასრული, ასევე უსასრულო ათობითი წილადები შეიძლება ცალსახად იყოს წარმოდგენილი, როგორც ჩვეულებრივი წილადი. ასე რომ, ჩვეულებრივი წილადების თვალსაზრისით, პერიოდული და სასრული წილადები ერთი და იგივეა. გარდა ამისა, მთელი რიცხვები ასევე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს საერთო წილადის სახით, თუ წარმოვიდგენთ, რომ ამ რიცხვს გავყოფთ 1-ზე.

როგორ წარმოვიდგინოთ ათობითი უსასრულო პერიოდული წილადი ჩვეულებრივის სახით? ყველაზე ხშირად გამოყენებული ალგორითმია:

1. ისინი წილადს ისე აყენებენ ფორმაში, რომ ათობითი წერტილის შემდეგ რჩება მხოლოდ წერტილი.
2. გაამრავლეთ უსასრულო პერიოდული წილადი 10-ზე ან 100-ზე ან ... ისე, რომ მძიმით გადავიდეს მარჯვნივ ერთი წერტილით (ანუ ერთი წერტილი არის მთელ რიცხვში).
3. საწყისი წილადი (a) ტოლდება x ცვლადთან, ხოლო N რიცხვზე გამრავლებით მიღებული წილადი (b) ტოლია Nx-ის.
4. გამოვაკლოთ x Nx-ს. გამოვაკლოთ a b-ს. ანუ, ისინი ქმნიან განტოლებას Nx - x \u003d b - a.
5. განტოლების ამოხსნისას გამოდის საერთო წილადი.

უსასრულო პერიოდული ათობითი წილადის ჩვეულებრივ წილადად გადაქცევის მაგალითი:
x = 1.13333...
10x = 11.3333...
10x * 10 = 11.33333... * 10
100x = 113.3333...
100x – 10x = 113.3333... – 11.3333...
90x=102
x=

არის რაციონალური რიცხვის კიდევ ერთი წარმოდგენა 1/2, რომელიც განსხვავდება ფორმის 2/4, 3/6, 4/8 და ა.შ. წარმოდგენას ვგულისხმობთ ათწილადის სახით 0.5. ზოგიერთ წილადს აქვს სასრული ათობითი წარმოდგენები, მაგალითად,

ხოლო სხვა წილადების ათობითი გამოსახულებები უსასრულოა:

ეს უსასრულო ათწილადები შეიძლება მივიღოთ შესაბამისი რაციონალური წილადებიდან მრიცხველის მნიშვნელზე გაყოფით. მაგალითად, წილადის 5/11-ის შემთხვევაში, 5000... 11-ზე გაყოფა იძლევა 0,454545...

რომელ რაციონალურ წილადებს აქვთ სასრული ათობითი გამოსახულებები? სანამ ზოგად შემთხვევაში ამ კითხვაზე პასუხს გასცემდე, განიხილეთ კონკრეტული მაგალითი. აიღეთ, ვთქვათ, საბოლოო ათობითი წილადი 0.8625. ჩვენ ეს ვიცით

და რომ ნებისმიერი სასრული ათწილადი შეიძლება დაიწეროს რაციონალურ ათწილადად, მნიშვნელით ტოლი 10, 100, 1000 ან 10-ის სხვა ხარისხებით.

მარჯვნივ წილადის შემცირება შეუქცევად წილადზე, მივიღებთ

მნიშვნელი 80 მიიღება 10000-ის 125-ზე გაყოფით - ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი 10 000 და 8625. ამიტომ გაფართოებაში შევიდა ძირითადი ფაქტორებირიცხვები 80, ისევე როგორც რიცხვები 10000, შეიცავს მხოლოდ ორ მარტივ ფაქტორს: 2 და 5. თუ დავიწყებდით არა 0,8625-ით, არამედ ნებისმიერი სხვა სასრული ათობითი წილადით, მაშინ მიღებულ შეუქცევად რაციონალურ წილადსაც ეს თვისება ექნებოდა. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, b მნიშვნელის დაშლა პირველ ფაქტორებად შეიძლება მოიცავდეს მხოლოდ მარტივი რიცხვები 2 და 5, რადგან b არის 10-ის ზოგიერთი ხარისხის გამყოფი და . ეს გარემოება აღმოჩნდება გადამწყვეტი, კერძოდ, შემდეგი ზოგადი განცხადებაა:

შეუქცევად რაციონალურ წილადს აქვს სასრული ათობითი წარმოდგენა, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ რიცხვს b არ აქვს პირველი გამყოფები, პირადი 2-დან და 5-დან.

გაითვალისწინეთ, რომ ამ შემთხვევაში b არ უნდა იყოს 2 და 5 თავის პირველ გამყოფებს შორის: ის შეიძლება დაიყოს მხოლოდ ერთ მათგანზე ან საერთოდ არ იყოფა მათზე. Მაგალითად,

აქ b უდრის შესაბამისად 25-ს, 16-ს და 1-ს. მთავარია, რომ b-ს არ ჰქონდეს სხვა გამყოფები 2-ისა და 5-ის გარდა.

ზემოთ მოყვანილი წინადადება შეიცავს გამონათქვამს თუ და მხოლოდ თუ. ჯერჯერობით მხოლოდ მაშინ დავამტკიცეთ ის ნაწილი, რომელიც ეხება ბრუნვას. ჩვენ ვაჩვენეთ, რომ რაციონალური რიცხვის გაფართოება ათობითი წილადში იქნება სასრული მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ b-ს არ აქვს 2-ისა და 5-ის გარდა ძირითადი გამყოფები.

(სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ b იყოფა მარტივ რიცხვზე, გარდა 2-ისა და 5-ისა, მაშინ შეუქცევადი წილადიარ აქვს ბოლო ათობითი გამოხატულება.)

წინადადების ის ნაწილი, რომელიც სიტყვას ეხება, შემდეგ წერს, რომ თუ მთელ b რიცხვს არ აქვს f სხვა მარტივი გამყოფები, გარდა 2-ისა და 5-ისა, მაშინ შეუქცევადი რაციონალური წილადი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი სასრული ათობითი წილადით. ამის დასამტკიცებლად ჩვენ უნდა ავიღოთ თვითნებური შეუმცირებელი რაციონალური წილადი, რომლისთვისაც b-ს არ აქვს სხვა მარტივი გამყოფები 2-ისა და 5-ის გარდა და დარწმუნდით, რომ შესაბამისი ათობითი წილადი სასრულია. ჯერ მაგალითი განვიხილოთ. დაე

ათწილადის გაფართოების მისაღებად, ჩვენ ამ წილადს გარდავქმნით წილადად, რომლის მნიშვნელი არის ათი მთელი რიცხვი. ამის მიღწევა შესაძლებელია მრიცხველისა და მნიშვნელის გამრავლებით:

ზემოაღნიშნული განხილვა შეიძლება გავრცელდეს ზოგადი შემთხვევაშემდეგი გზით. დავუშვათ, b არის ფორმა, სადაც ტიპი არის არაუარყოფითი მთელი რიცხვები (ე.ი. დადებითი რიცხვებიან ნულოვანი). შესაძლებელია ორი შემთხვევა: ან ნაკლები ან ტოლი (ეს პირობა იწერება ), ან დიდი (რაც წერია). როცა წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელს ვამრავლებთ

უკვე შევიდა დაწყებითი სკოლამოსწავლეებს საქმე აქვთ წილადებთან. და მერე ჩნდებიან ყველა თემაში. ამ ციფრებით მოქმედებების დავიწყება შეუძლებელია. ამიტომ, თქვენ უნდა იცოდეთ ყველა ინფორმაცია ჩვეულებრივი და ათობითი წილადების შესახებ. ეს ცნებები მარტივია, მთავარია ყველაფერი წესრიგში გაიგოთ.

რატომ არის საჭირო წილადები?

ჩვენს ირგვლივ სამყარო მთლიანი ობიექტებისგან შედგება. ამიტომ აქციების საჭიროება არ არის. მაგრამ ყოველდღიური ცხოვრებისმუდმივად უბიძგებს ადამიანებს საგნების და ნივთების ნაწილებთან მუშაობისკენ.

მაგალითად, შოკოლადი შედგება რამდენიმე ნაჭრისგან. განვიხილოთ სიტუაცია, როდესაც მისი ფილა იქმნება თორმეტი მართკუთხედით. თუ ორად გაყოფთ, მიიღებთ 6 ნაწილად. კარგად დაიყოფა სამად. მაგრამ ხუთეული ვერ შეძლებს შოკოლადის ნაჭრების მთელ რაოდენობას.

სხვათა შორის, ეს ნაჭრები უკვე წილადებია. და მათი შემდგომი დაყოფა იწვევს უფრო რთული რიცხვების გამოჩენას.

რა არის "ფრაქცია"?

ეს არის რიცხვი, რომელიც შედგება ერთი ნაწილისგან. გარეგნულად, ის ჰგავს ორ რიცხვს, რომლებიც გამოყოფილია ჰორიზონტალურად ან ხაზებით. ამ მახასიათებელს წილადი ეწოდება. ზედა (მარცხნივ) დაწერილ რიცხვს მრიცხველი ეწოდება. ქვედა (მარჯვნივ) არის მნიშვნელი.

სინამდვილეში, წილადი ზოლი გამოდის გაყოფის ნიშანი. ანუ მრიცხველს შეიძლება ეწოდოს დივიდენდი, ხოლო მნიშვნელს - გამყოფი.

რა არის წილადები?

მათემატიკაში მათი მხოლოდ ორი ტიპი არსებობს: ჩვეულებრივი და ათობითი წილადები. სკოლის მოსწავლეები პირველად ეცნობიან დაწყებითი სკოლა, მათ უბრალოდ "ფრაქციებს" უწოდებს. მეორე სწავლა მე-5 კლასში. სწორედ მაშინ ჩნდება ეს სახელები.

საერთო წილადები არის ყველა ის, რომელიც იწერება ზოლით გამოყოფილი ორი რიცხვის სახით. მაგალითად, 4/7. ათწილადი არის რიცხვი, რომელშიც წილადის ნაწილს აქვს პოზიციური აღნიშვნა და გამოყოფილია მთელი რიცხვისგან მძიმით. მაგალითად, 4.7. მოსწავლეებმა უნდა გაიგონ, რომ მოცემული ორი მაგალითი სრულიად განსხვავებული რიცხვია.

ყოველი მარტივი წილადიშეიძლება ჩაიწეროს ათწილადად. ეს განცხადება თითქმის ყოველთვის მართალია საპირისპირო მიმართულება. არსებობს წესები, რომლებიც საშუალებას გაძლევთ დაწეროთ ათობითი წილადი, როგორც ჩვეულებრივი წილადი.

რა ქვესახეობები აქვთ ამ ტიპის წილადებს?

სჯობს დაიწყოთ ქრონოლოგიური თანმიმდევრობაროგორც ისინი სწავლობენ. საერთო წილადები პირველ რიგში მოდის. მათ შორის შეიძლება გამოიყოს 5 ქვესახეობა.

სწორი. მისი მრიცხველი ყოველთვის ნაკლებია მნიშვნელზე.

არასწორი. მისი მრიცხველი მეტია ან ტოლია მნიშვნელზე.

შემცირებადი / შეუმცირებელი. ეს შეიძლება იყოს სწორი ან არასწორი. სხვა რამ არის მნიშვნელოვანი, აქვთ თუ არა მრიცხველს და მნიშვნელს საერთო ფაქტორები. თუ არსებობს, მაშინ მათ უნდა გაიყოს წილადის ორივე ნაწილი, ანუ შეამცირონ იგი.

შერეული. მთელი რიცხვი ენიჭება მის ჩვეულებრივ სწორ (არასწორ) წილად ნაწილს. და ის ყოველთვის დგას მარცხნივ.

კომპოზიტური. იგი წარმოიქმნება ერთმანეთზე დაყოფილი ორი ფრაქციისგან. ანუ მას ერთდროულად სამი წილადური თვისება აქვს.

ათწილადებს მხოლოდ ორი ქვესახეობა აქვთ:

საბოლოო, ანუ ის, რომელშიც წილადი ნაწილი შეზღუდულია (აქვს დასასრული);

უსასრულო - რიცხვი, რომლის ციფრებიც ათწილადის შემდეგ არ მთავრდება (ისინი შეიძლება დაუსრულებლად დაიწეროს).

როგორ გადავიტანოთ ათწილადი ჩვეულებრივად?

თუ ეს არის სასრული რიცხვი, მაშინ გამოიყენება წესზე დაფუძნებული ასოციაცია - როგორც მესმის, ისე ვწერ. ანუ სწორად უნდა წაიკითხო და ჩაწერო, მაგრამ მძიმის გარეშე, მაგრამ წილადი ხაზით.

როგორც მინიშნება საჭირო მნიშვნელის შესახებ, გახსოვდეთ, რომ ის ყოველთვის არის ერთი და რამდენიმე ნული. ეს უკანასკნელი უნდა დაიწეროს იმდენივე, რამდენიც ციფრი მოცემული რიცხვის წილადში.

როგორ გადავიყვანოთ ათობითი წილადები ჩვეულებრივად, თუ მათი მთელი ნაწილი აკლია, ანუ ნულის ტოლია? მაგალითად, 0.9 ან 0.05. მითითებული წესის გამოყენების შემდეგ აღმოჩნდება, რომ თქვენ უნდა დაწეროთ ნულოვანი რიცხვები. მაგრამ ეს არ არის მითითებული. რჩება მხოლოდ წილადი ნაწილების ჩაწერა. პირველი რიცხვისთვის მნიშვნელი იქნება 10, მეორის - 100. ანუ მითითებულ მაგალითებს პასუხად ექნებათ რიცხვები: 9/10, 5/100. უფრო მეტიც, ამ უკანასკნელის შემცირება შესაძლებელია 5-ით. ამიტომ, შედეგი მას უნდა ეწეროს 1/20.

როგორ შევქმნათ ჩვეულებრივი წილადი ათწილადიდან, თუ მისი მთელი ნაწილი განსხვავდება ნულიდან? მაგალითად, 5.23 ან 13.00108. ორივე მაგალითი კითხულობს მთელ ნაწილს და წერს მის მნიშვნელობას. პირველ შემთხვევაში, ეს არის 5, მეორეში, 13. შემდეგ თქვენ უნდა გადახვიდეთ წილადის ნაწილზე. მათთან ერთად აუცილებელია იგივე ოპერაციის ჩატარება. პირველ რიცხვს აქვს 23/100, მეორეს აქვს 108/100000. მეორე მნიშვნელობა კვლავ უნდა შემცირდეს. პასუხი ასეთია შერეული ფრაქციები: 5 23/100 და 13 27/25000.

როგორ გადავიყვანოთ უსასრულო ათწილადი საერთო წილადად?

თუ ეს არაპერიოდულია, მაშინ ასეთი ოპერაციის ჩატარება შეუძლებელია. ეს ფაქტი განპირობებულია იმით, რომ ყოველი ათობითი წილადი ყოველთვის გარდაიქმნება საბოლოო ან პერიოდულად.

ერთადერთი, რისი გაკეთებაც დასაშვებია ასეთი წილადით, არის მისი დამრგვალება. მაგრამ მაშინ ათწილადი იქნება დაახლოებით იმ უსასრულობის ტოლი. ის უკვე შეიძლება გადაიქცეს ჩვეულებრივად. მაგრამ საპირისპირო პროცესი: ათწილადად გადაქცევა - არასოდეს მისცემს საწყის მნიშვნელობას. ანუ უსასრულო არაპერიოდული წილადები არ ითარგმნება ჩვეულებრივ წილადებად. ეს უნდა ახსოვდეს.

როგორ დავწეროთ უსასრულო პერიოდული წილადი ჩვეულებრივის სახით?

ამ რიცხვებში ერთი ან მეტი ციფრი ყოველთვის ჩნდება ათობითი წერტილის შემდეგ, რომლებიც მეორდება. მათ პერიოდებს უწოდებენ. მაგალითად, 0.3 (3). აქ "3" იმ პერიოდში. ისინი კლასიფიცირდება როგორც რაციონალური, რადგან ისინი შეიძლება გარდაიქმნას ჩვეულებრივ წილადებად.

მათ, ვინც შეხვდა პერიოდულ წილადებს, იცის, რომ ისინი შეიძლება იყოს სუფთა ან შერეული. პირველ შემთხვევაში, წერტილი დაუყოვნებლივ იწყება მძიმიდან. მეორეში, წილადი ნაწილი იწყება ნებისმიერი რიცხვით და შემდეგ იწყება გამეორება.

წესი, რომლითაც თქვენ უნდა დაწეროთ უსასრულო ათწილადი ჩვეულებრივი წილადის სახით, განსხვავებული იქნება ამ ორი ტიპის რიცხვისთვის. საკმაოდ მარტივია სუფთა პერიოდული წილადების ჩვეულებრივ წილადებად დაწერა. როგორც ბოლო, ისინი უნდა გარდაიქმნას: ჩაწერეთ წერტილი მრიცხველში და რიცხვი 9 იქნება მნიშვნელი, იმეორებს იმდენჯერ, რამდენჯერაც არის რიცხვები წერტილში.

მაგალითად, 0, (5). რიცხვს არ აქვს მთელი ნაწილი, ამიტომ დაუყოვნებლივ უნდა გადახვიდეთ წილადის ნაწილზე. მრიცხველში ჩაწერეთ 5, მნიშვნელში 9. ანუ პასუხი იქნება წილადი 5/9.

წესი, თუ როგორ უნდა დავწეროთ საერთო ათობითი წილადი, რომელიც არის შერეული წილადი.

შეხედეთ პერიოდის ხანგრძლივობას. ამდენი 9 ექნება მნიშვნელი.

ჩაწერეთ მნიშვნელი: ჯერ ცხრა, შემდეგ ნული.

მრიცხველის დასადგენად, თქვენ უნდა დაწეროთ ორი რიცხვის სხვაობა. ათწილადის შემდეგ ყველა ციფრი შემცირდება წერტილთან ერთად. გამოკლებადი - ის პერიოდის გარეშეა.

მაგალითად, 0.5(8) - ჩაწერეთ პერიოდული ათობითი წილადი, როგორც საერთო წილადი. პერიოდის წინ წილადი ნაწილი ერთნიშნაა. ასე რომ ნული იქნება ერთი. ასევე პერიოდში მხოლოდ ერთი ციფრია - 8. ანუ არის მხოლოდ ერთი ცხრა. ანუ მნიშვნელში უნდა ჩაწეროთ 90.

58-დან მრიცხველის დასადგენად საჭიროა გამოკლოთ 5. გამოდის 53. მაგალითად, პასუხად მოგიწევთ დაწეროთ 53/90.

როგორ გარდაიქმნება ჩვეულებრივი წილადები ათწილადად?

ყველაზე მეტად მარტივი ვარიანტიგამოდის რიცხვი, რომლის მნიშვნელში არის რიცხვი 10, 100 და ა.შ. შემდეგ მნიშვნელი უბრალოდ უგულებელყოფილია და წილადს შორის და მთელი ნაწილებიიდება მძიმე.

არის სიტუაციები, როცა მნიშვნელი ადვილად იქცევა 10, 100 და ა.შ. მაგალითად, რიცხვები 5, 20, 25. საკმარისია მათი გამრავლება შესაბამისად 2, 5 და 4-ზე. მხოლოდ საჭიროა არა მხოლოდ მნიშვნელის, არამედ მრიცხველის გამრავლება იმავე რიცხვზე.

ყველა სხვა შემთხვევისთვის მარტივი წესი გამოგადგებათ: გაყავით მრიცხველი მნიშვნელზე. ამ შემთხვევაში, შეგიძლიათ მიიღოთ ორი პასუხი: საბოლოო ან პერიოდული ათობითი წილადი.

მოქმედებები საერთო წილადებით

შეკრება და გამოკლება

მოსწავლეები მათ სხვებზე ადრე ეცნობიან. და ჯერ წილადებით იგივე მნიშვნელებიდა შემდეგ განსხვავებული. Ძირითადი წესებიშეიძლება შემცირდეს ასეთ გეგმამდე.

იპოვეთ მნიშვნელების უმცირესი საერთო ჯერადი.

დამწვრობა დამატებითი მულტიპლიკატორებიყველა ჩვეულებრივ წილადს.

გაამრავლეთ მრიცხველები და მნიშვნელები მათთვის განსაზღვრულ ფაქტორებზე.

დაამატეთ (გამოაკლეთ) წილადების მრიცხველები და დატოვეთ საერთო მნიშვნელი უცვლელი.

თუ მინუენდის მრიცხველი ქვეტრაჰენდზე ნაკლებია, მაშინ უნდა გაარკვიოთ, გვაქვს შერეული რიცხვი თუ სწორი წილადი.

პირველ შემთხვევაში, მთელმა ნაწილმა უნდა მიიღოს ერთი. დაამატეთ მნიშვნელი წილადის მრიცხველს. და შემდეგ გააკეთე გამოკლება.

მეორეში - აუცილებელია გამოკლების წესის გამოყენება პატარა რიცხვიდან უფრო დიდზე. ანუ, გამოაკელით მინუენდის მოდული სუბტრაჰენდის მოდულს და საპასუხოდ დააყენეთ ნიშანი „-“.

ყურადღებით დააკვირდით შეკრების (გამოკლების) შედეგს. თუ თქვენ მიიღებთ არასწორ წილადს, მაშინ მან უნდა შეარჩიოს მთელი ნაწილი. ანუ მრიცხველი გავყოთ მნიშვნელზე.

გამრავლება და გაყოფა

მათი განსახორციელებლად, ფრაქციების შემცირება არ არის საჭირო საერთო მნიშვნელი. ეს აადვილებს მოქმედების განხორციელებას. მაგრამ მათ მაინც უნდა დაიცვან წესები.

ჩვეულებრივი წილადების გამრავლებისას აუცილებელია გავითვალისწინოთ რიცხვები მრიცხველებში და მნიშვნელებში. თუ რომელიმე მრიცხველი და მნიშვნელი აქვს საერთო ფაქტორი, მაშინ ისინი შეიძლება შემცირდეს.

მრიცხველების გამრავლება.

გაამრავლეთ მნიშვნელები.

თუ თქვენ მიიღებთ შემცირებულ წილადს, მაშინ ის კვლავ უნდა გამარტივდეს.

გაყოფისას ჯერ უნდა შეცვალოთ გაყოფა გამრავლებით, ხოლო გამყოფი (მეორე წილადი) - ორმხრივი(გაცვალეთ მრიცხველი და მნიშვნელი).

შემდეგ გააგრძელეთ გამრავლება (დაწყებული ნაბიჯი 1-დან).

იმ ამოცანებში, სადაც საჭიროა გამრავლება (გაყოფა) მთელ რიცხვზე, ეს უკანასკნელი უნდა დაიწეროს სახით არასწორი ფრაქცია. ანუ მნიშვნელით 1. შემდეგ გააგრძელეთ ზემოთ აღწერილი.



ოპერაციები ათწილადებით

შეკრება და გამოკლება

რა თქმა უნდა, თქვენ ყოველთვის შეგიძლიათ ათწილადის გადაქცევა საერთო წილადად. და იმოქმედეთ უკვე აღწერილი გეგმის მიხედვით. მაგრამ ზოგჯერ უფრო მოსახერხებელია მოქმედება ამ თარგმანის გარეშე. მაშინ მათი შეკრებისა და გამოკლების წესები ზუსტად იგივე იქნება.

გაათანაბრეს რიცხვების რიცხვი რიცხვის წილადში, ანუ ათობითი წერტილის შემდეგ. მიანიჭეთ მასში გამოტოვებული ნულების რაოდენობა.

დაწერეთ წილადები ისე, რომ მძიმით იყოს მძიმის ქვეშ.

ნატურალური რიცხვების მსგავსად დამატება (გამოკლება).

ამოიღეთ მძიმე.

გამრავლება და გაყოფა

მნიშვნელოვანია, რომ არ დაგჭირდეთ აქ ნულების დამატება. წილადები უნდა დარჩეს ისე, როგორც ეს მოცემულია მაგალითში. და შემდეგ წადი გეგმის მიხედვით.

გასამრავლებლად, თქვენ უნდა დაწეროთ წილადები ერთმანეთის ქვეშ, არ მიაქციოთ ყურადღება მძიმეებს.

ნატურალური რიცხვების მსგავსად გამრავლება.

პასუხში ჩასვით მძიმე, პასუხის მარჯვენა ბოლოდან დათვალეთ იმდენი ციფრი, რამდენიც არის ორივე ფაქტორის წილადებში.

გაყოფისთვის ჯერ უნდა გადაიყვანოთ გამყოფი: შეასრულოთ იგი ბუნებრივი რიცხვი. ანუ გავამრავლოთ ის 10-ზე, 100-ზე და ა.შ. იმის მიხედვით, თუ რამდენი ციფრია გამყოფის წილადში.

გაამრავლეთ დივიდენდი იმავე რიცხვზე.

ათწილადის გაყოფა ნატურალურ რიცხვზე.

იმ მომენტში, როცა მთელი ნაწილის გაყოფა დასრულდება, პასუხში ჩაწერეთ მძიმით.



რა მოხდება, თუ ერთ მაგალითში ორივე ტიპის წილადია?

დიახ, მათემატიკაში ხშირად არის მაგალითები, რომლებშიც საჭიროა მოქმედებების შესრულება ჩვეულებრივ და ათობითი წილადებზე. ამ პრობლემების ორი შესაძლო გამოსავალი არსებობს. თქვენ ობიექტურად უნდა აწონოთ რიცხვები და აირჩიოთ საუკეთესო.

პირველი გზა: წარმოადგინეთ ჩვეულებრივი ათწილადები

შესაფერისია, თუ გაყოფისას ან გადაქცევისას მიიღება საბოლოო წილადები. თუ მინიმუმ ერთი რიცხვი იძლევა პერიოდულ ნაწილს, მაშინ ეს ტექნიკა აკრძალულია. ამიტომ, თუნდაც არ მოგწონთ ჩვეულებრივ წილადებთან მუშაობა, მოგიწევთ მათი დათვლა.

მეორე გზა: ჩაწერეთ ათობითი წილადები, როგორც ჩვეულებრივი

ეს ტექნიკა მოსახერხებელია, თუ ათობითი წერტილის შემდეგ ნაწილში 1-2 ციფრია. თუ მათგან მეტია, შეგიძლიათ მიიღოთ ძალიან დიდი ჩვეულებრივი ფრაქცია და ათობითი ჩანაწერებისაშუალებას მოგცემთ გამოთვალოთ დავალება უფრო სწრაფად და მარტივად. ამიტომ, ყოველთვის საჭიროა ამოცანის ფხიზელი შეფასება და ამოხსნის უმარტივესი მეთოდის არჩევა.