იგივე პირობები. მაგალითად, ჩანაწერი 5 * 3 ნიშნავს "დაამატე 5 თავის თავს 3-ჯერ", ანუ უბრალოდ მოკლე შენიშვნა 5+5+5-ისთვის. გამრავლების შედეგი ე.წ მუშაობადა გამრავლებული რიცხვები - მულტიპლიკატორებიან ფაქტორები. ასევე არსებობს გამრავლების ცხრილები.

ჩაწერა

გამრავლება აღინიშნება ვარსკვლავით * , ჯვრით ან წერტილით . ჩანაწერები

იგივეს ნიშნავს. გამრავლების ნიშანი ხშირად გამოტოვებულია, თუ ის არ იწვევს დაბნეულობას. მაგალითად, ჩვეულებისამებრ ჩაწერის ნაცვლად.

თუ ბევრი ფაქტორია, მაშინ ზოგიერთი მათგანი შეიძლება შეიცვალოს წერტილებით. მაგალითად, 1-დან 100-მდე მთელი რიცხვების ნამრავლი შეიძლება დაიწეროს როგორც

AT წერილის შეყვანაპროდუქტის სიმბოლო ასევე გამოიყენება:

იხილეთ ასევე

ფონდი ვიკიმედია. 2010 წ.

ნახეთ, რა არის "პროდუქტი (მათემატიკა)" სხვა ლექსიკონებში:

- (მათემატიკა) გამრავლების შედეგი. Ხელოვნების ნაწილი. მუსიკალური კომპოზიცია. აუდიოვიზუალური ნამუშევარი. სერვისული სამუშაო ... ვიკიპედია

ორი ან მეტი ობიექტის ნამრავლი არის ისეთი ცნებების კატეგორიის თეორიის განზოგადება, როგორიცაა სიმრავლეთა დეკარტის ნამრავლი, პირდაპირი პროდუქტიჯგუფები და ტოპოლოგიური სივრცეების ნამრავლი. ობიექტების ოჯახის პროდუქტი არის ... ... ვიკიპედიაში

Kronecker პროდუქტი არის ორობითი ოპერაცია თვითნებური ზომის მატრიცებზე, რომელიც აღინიშნება. შედეგი არის ბლოკის მატრიცა. Kronecker-ის პროდუქტი არ უნდა აგვერიოს ჩვეულებრივი გამრავლებამატრიცები. ოპერაციას გერმანული ... ... ვიკიპედიის სახელი ჰქვია

მეცნიერების ისტორია საგნის მიხედვით მათემატიკა Ნატურალური მეცნიერება... ვიკიპედია

I. მათემატიკის საგნის განმარტება, კავშირი სხვა მეცნიერებებთან და ტექნიკასთან. მათემატიკა (ბერძნ. mathematike, máthema ცოდნა, მეცნიერება), მეცნიერება რაოდენობრივი ურთიერთობებიდა რეალური სამყაროს სივრცითი ფორმები. "Წმინდა... დიდი საბჭოთა ენციკლოპედია

კატეგორიის თეორია არის მათემატიკის ფილიალი, რომელიც სწავლობს მათემატიკურ ობიექტებს შორის ურთიერთობის თვისებებს, რომლებიც არ არის დამოკიდებული შიდა სტრუქტურაობიექტები. ზოგიერთი მათემატიკოსი [ვინ?] მიიჩნევს კატეგორიის თეორიას ზედმეტად აბსტრაქტულად და უვარგისად ... ... ვიკიპედიისთვის

ვექტორი ამ ტერმინს სხვა მნიშვნელობა აქვს, იხილეთ ვექტორი ... ვიკიპედია

ამ ტერმინს სხვა მნიშვნელობა აქვს, იხილეთ ფუნქცია. "ჩვენების" მოთხოვნა გადამისამართებულია აქ; აგრეთვე სხვა მნიშვნელობები ... ვიკიპედია

ამ ტერმინს სხვა მნიშვნელობა აქვს, იხილეთ ოპერაცია. რუკების ოპერაცია, რომელიც აკავშირებს ერთ ან მეტ კომპლექტის ელემენტს (არგუმენტებს) სხვა ელემენტთან (მნიშვნელობა). ტერმინი "ოპერაცია" ჩვეულებრივ გამოიყენება ... ... ვიკიპედიაზე

ამ ტერმინს სხვა მნიშვნელობა აქვს, იხილეთ Rotor. Rotor, ან vortex არის ვექტორული დიფერენციალური ოპერატორი ვექტორულ ველზე. იგი მითითებულია (რუსულენოვან ლიტერატურაში) ან (ინგლისურენოვან ლიტერატურაში), ასევე ვექტორული გამრავლება ... ვიკიპედია

წიგნები

• მაგიდების კომპლექტი. მათემატიკა. მე-4 კლასი. 8 ცხრილი + მეთოდოლოგია, . სასწავლო ალბომი 8 ფურცელი (ფორმატი 68 x 98 სმ): - დოლი. - რიცხვის ნამრავლზე გამრავლება და გაყოფა. - მნიშვნელობების შეკრება და გამოკლება. - რაოდენობების გამრავლება და გაყოფა. - დაწერილი გამრავლება...
• კირიკ ნოვგოროდეცი - მე-12 საუკუნის რუსი მეცნიერი რუსული წიგნის კულტურაში, სიმონოვი რ.ა.

ამ სტატიაში ჩვენ გავიგებთ როგორ მთელი რიცხვის გამრავლება. პირველ რიგში, ჩვენ შემოგთავაზებთ ტერმინებს და აღნიშვნას, ასევე გავარკვევთ ორი მთელი რიცხვის გამრავლების მნიშვნელობას. ამის შემდეგ, ჩვენ ვიღებთ წესებს ორი დადებითი მთელი რიცხვის, უარყოფითი რიცხვების და მთელი რიცხვების გამრავლების წესებზე. სხვადასხვა ნიშნები. ამ შემთხვევაში ჩვენ მივცემთ მაგალითებს ამოხსნის დეტალური ახსნით. ასევე შევეხებით მთელი რიცხვების გამრავლების შემთხვევებს, როდესაც ერთ-ერთი ფაქტორი ერთის ტოლიან ნულოვანი. შემდეგი, ჩვენ ვისწავლით როგორ შევამოწმოთ გამრავლების შედეგი. და ბოლოს, მოდით ვისაუბროთ გამრავლებაზე სამი, ოთხი და მეტიმთელი რიცხვები.

გვერდის ნავიგაცია.

პირობები და აღნიშვნა

მთელი რიცხვების გამრავლების აღსაწერად გამოვიყენებთ იმავე ტერმინებს, რომლებითაც აღვწერეთ გამრავლება ნატურალური რიცხვები. გავიხსენოთ ისინი.

გასამრავლებელი მთელი რიცხვები ეწოდება მულტიპლიკატორები. გამრავლების შედეგი ე.წ მუშაობა. გამრავლების ოპერაცია აღინიშნება "·" ფორმის გამრავლების ნიშნით. ზოგიერთ წყაროში შეგიძლიათ იპოვოთ გამრავლების აღნიშვნა ნიშნები "*" ან "×".

გამრავლებული a , b და მათი c გამრავლების შედეგი მოხერხებულად იწერება a b=c ფორმის ტოლობის გამოყენებით. ამ აღნიშვნით, მთელი რიცხვი a არის პირველი ფაქტორი, მთელი რიცხვი b არის მეორე ფაქტორი და c არის პროდუქტი. a b ფორმის ასევე დაერქმევა პროდუქტი, ისევე როგორც ამ გამონათქვამის მნიშვნელობა c.

წინსვლისას, გაითვალისწინეთ, რომ ორი მთელი რიცხვის ნამრავლი არის მთელი რიცხვი.

მთელი რიცხვის გამრავლების მნიშვნელობა

დადებითი მთელი რიცხვების გამრავლება

დადებითი მთელი რიცხვები ნატურალური რიცხვებია, ასე რომ დადებითი მთელი რიცხვების გამრავლებახორციელდება ნატურალური რიცხვების გამრავლების ყველა წესის მიხედვით. ცხადია, რომ ორი დადებითი მთელი რიცხვის გამრავლების შედეგად მიიღება დადებითი მთელი რიცხვი (ნატურალური რიცხვი). მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს.

მაგალითი.

რა არის 127 და 5 დადებითი მთელი რიცხვების ნამრავლი?

გადაწყვეტილება.

ჩვენ წარმოვადგენთ პირველ კოეფიციენტს 107, როგორც ბიტის ტერმინების ჯამი, ანუ 100+20+7 სახით. ამის შემდეგ ვიყენებთ რიცხვების ჯამის მოცემულ რიცხვზე გამრავლების წესს: 127 5=(100+20+7) 5=100 5+20 5+7 5. რჩება მხოლოდ გაანგარიშების დასრულება: 100 5+20 5+7 5= 500+100+35=600+35=635 .

ასე რომ, მოცემული 127 და 5 დადებითი მთელი რიცხვების ნამრავლი არის 635.

პასუხი:

127 5=635 .

მრავალმნიშვნელოვანი დადებითი მთელი რიცხვების გასამრავლებლად მოსახერხებელია სვეტის გამრავლების მეთოდის გამოყენება.

მაგალითი.

გაამრავლეთ სამნიშნა დადებითი მთელი რიცხვი 712 ორნიშნა დადებითი მთელი რიცხვით 92 .

გადაწყვეტილება.

მოდით გავამრავლოთ ეს მთელი დადებითი რიცხვები სვეტში:

პასუხი:

712 92=65 504 .

მთელი რიცხვების სხვადასხვა ნიშნით გამრავლების წესი, მაგალითები

შემდეგი მაგალითი დაგვეხმარება სხვადასხვა ნიშნით მთელი რიცხვების გამრავლების წესის ჩამოყალიბებაში.

ჩვენ ვიანგარიშებთ უარყოფითი მთელი რიცხვის −5 და მთელი რიცხვის ნამრავლს დადებითი რიცხვი 3 გამრავლების მნიშვნელობიდან გამომდინარე. Ისე (−5) 3=(−5)+(−5)+(−5)=−15. გამრავლების შემცვლელი თვისების მართებულობის შესანარჩუნებლად უნდა შენარჩუნდეს ტოლობა (−5)·3=3·(−5). ანუ 3·(−5)-ის ნამრავლი ასევე −15-ის ტოლია. ადვილი მისახვედრია, რომ −15 უდრის პროდუქტსთავდაპირველი ფაქტორების მოდული, საიდანაც გამომდინარეობს, რომ თავდაპირველი მთელი რიცხვების ნამრავლი სხვადასხვა ნიშნით უდრის საწყისი ფაქტორების მოდულების ნამრავლს, აღებული მინუს ნიშნით.

ასე რომ მივიღეთ გამრავლების წესი მთელი რიცხვებისთვის სხვადასხვა ნიშნით: ორი მთელი რიცხვის გასამრავლებლად სხვადასხვა ნიშნით, თქვენ უნდა გაამრავლოთ ამ რიცხვების მოდულები და მივიღოთ მინუს ნიშანი მიღებული რიცხვის წინ.

გაჟღერებული წესიდან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ სხვადასხვა ნიშნის მქონე მთელი რიცხვების ნამრავლი ყოველთვის უარყოფითი რიცხვია. მართლაც, ფაქტორების მოდულების გამრავლების შედეგად ვიღებთ დადებით მთელ რიცხვს და თუ ამ რიცხვის წინ დავსვამთ მინუს ნიშანს, მაშინ ის გახდება უარყოფითი რიცხვი.

განვიხილოთ სხვადასხვა ნიშნით მთელი რიცხვების ნამრავლის გამოთვლის მაგალითები მიღებული წესის გამოყენებით.

მაგალითი.

გაამრავლეთ დადებითი მთელი რიცხვი 7 მთელ რიცხვზე უარყოფითი რიცხვი −14 .

გადაწყვეტილება.

გამოვიყენოთ სხვადასხვა ნიშნით მთელი რიცხვების გამრავლების წესი. მულტიპლიკატორების მოდულები არის 7 და 14 შესაბამისად. გამოვთვალოთ მოდულების ნამრავლი: 7·14=98 . რჩება მინუს ნიშნის დაყენება მიღებული რიცხვის წინ: -98. ასე რომ, 7·(−14)=−98.

პასუხი:

7 (−14)=−98 .

მაგალითი.

გამოთვალეთ ნამრავლი (−36) 29 .

გადაწყვეტილება.

უნდა გამოვთვალოთ სხვადასხვა ნიშნით მთელი რიცხვების ნამრავლი. ამისათვის ჩვენ ვიანგარიშებთ პროდუქტს აბსოლუტური ღირებულებებიმამრავლები: 36 29 \u003d 1 044 (გამრავლება საუკეთესოდ ხდება სვეტში). ახლა მინუს ნიშანს ვაყენებთ 1044 რიცხვის წინ, მივიღებთ -1044.

პასუხი:

(−36) 29=−1 044.

ამ ქვეგანყოფილების დასასრულებლად ჩვენ ვამტკიცებთ a·(−b)=−(a·b) ტოლობის მართებულობას, სადაც a და −b არის თვითნებური მთელი რიცხვები. ამ თანასწორობის განსაკუთრებული შემთხვევაა სხვადასხვა ნიშნით მთელი რიცხვების გამრავლების გახმოვანებული წესი.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ უნდა დავამტკიცოთ, რომ a (−b) და a b გამონათქვამების მნიშვნელობები საპირისპირო რიცხვებია. ამის დასამტკიცებლად ვპოულობთ a (−b) + a b ჯამს და ვამოწმებთ, რომ ის ნულის ტოლია. შეკრების მიმართ მთელი რიცხვების გამრავლების გამანაწილებელი თვისების ძალით მართებულია ტოლობა a·(−b)+a·b=a·((−b)+b). (−b)+b-ის ჯამი უდრის ნულს, როგორც საპირისპირო მთელი რიცხვების ჯამი, შემდეგ a ((−b)+b)=a 0 . ბოლო ნაჭერიუდრის ნულს მთელი რიცხვის ნულზე გამრავლების თვისებით. ამრიგად, a·(−b)+a·b=0, შესაბამისად, a·(−b) და a·b საპირისპირო რიცხვებია, რაც გულისხმობს ტოლობას a·(−b)=−(a·b) . ანალოგიურად, შეიძლება ვაჩვენოთ, რომ (−a) b=−(a b) .

უარყოფითი მთელი რიცხვების გამრავლების წესი, მაგალითები

ტოლობა (−a)·(−b)=a·b, რომელსაც ახლა დავამტკიცებთ, დაგვეხმარება ორი უარყოფითი რიცხვის გამრავლების წესის მიღებაში.

წინა აბზაცის ბოლოს ჩვენ ვაჩვენეთ, რომ a (−b)=−(a b) და (−a) b=−(a b) , ასე რომ, შეგვიძლია დავწეროთ ტოლობების შემდეგი ჯაჭვი. (−a) (−b)=−(a (−b))=−(−(a ბ)). და მიღებული გამოთქმა −(−(a b)) სხვა არაფერია, თუ არა a b განმარტების ძალით საპირისპირო რიცხვები. ასე რომ, (−a)·(−b)=a·b .

დადასტურებული ტოლობა (−a) (−b)=a b საშუალებას გვაძლევს ჩამოვაყალიბოთ უარყოფითი მთელი რიცხვების გამრავლების წესი: ორი უარყოფითი მთელი რიცხვის ნამრავლი ტოლია ამ რიცხვების მოდულების ნამრავლის.

გაჟღერებული წესიდან გამომდინარეობს, რომ ორი უარყოფითი რიცხვის გამრავლების შედეგი არის დადებითი მთელი რიცხვი.

განვიხილოთ ამ წესის გამოყენება უარყოფითი მთელი რიცხვების გამრავლების შესრულებისას.

მაგალითი.

გამოთვალეთ ნამრავლი (−34)·(−2) .

გადაწყვეტილება.

უნდა გავამრავლოთ ორი უარყოფითი მთელი რიცხვი -34 და -2. გამოვიყენოთ შესაბამისი წესი. ამისათვის ჩვენ ვპოულობთ ფაქტორების მოდულს: და . რჩება 34 და 2 რიცხვების ნამრავლის გამოთვლა, რაც შეგვიძლია. მოკლედ, მთელი ამონახსნი შეიძლება დაიწეროს როგორც (−34)·(−2)=34·2=68 .

პასუხი:

(−34)·(−2)=68 .

მაგალითი.

გაამრავლეთ უარყოფითი მთელი რიცხვი −1041 უარყოფით რიცხვზე −538.

გადაწყვეტილება.

უარყოფითი მთელი რიცხვების გამრავლების წესის მიხედვით, სასურველი ნამრავლი უდრის ფაქტორების მოდულების ნამრავლს. მულტიპლიკატორის მოდულები არის 1041 და 538 შესაბამისად. მოდით გავამრავლოთ სვეტით:

პასუხი:

(−1 041) (−538)=560 058.

მთელი რიცხვის ერთზე გამრავლება

ნებისმიერი a მთელი რიცხვის ერთზე გამრავლების შედეგად მიიღება რიცხვი a. ეს უკვე აღვნიშნეთ, როდესაც განვიხილეთ ორი მთელი რიცხვის გამრავლების მნიშვნელობა. ასე რომ, a 1=a. გამრავლების კომუტაციური თვისების ძალით ტოლობა a·1=1·a უნდა იყოს ჭეშმარიტი. ამიტომ, 1·a=a .

ზემოთ მოყვანილი მსჯელობა მიგვიყვანს ორი მთელი რიცხვის გამრავლების წესამდე, რომელთაგან ერთი უდრის ერთს. ორი მთელი რიცხვის ნამრავლი, რომლებშიც ერთი ფაქტორი ერთია, უდრის მეორე ფაქტორს.

მაგალითად, 56 1=56, 1 0=0 და 1 (−601)=−601. მოდი კიდევ რამდენიმე მაგალითი მოვიყვანოთ. -53 და 1-ის მთელი რიცხვების ნამრავლი არის -53, ხოლო 1-ის და უარყოფითი რიცხვის -989981 გამრავლების შედეგი არის -989981.

გაამრავლეთ მთელი რიცხვი ნულზე

შევთანხმდით, რომ a და ნულის ნებისმიერი მთელი რიცხვის ნამრავლი ნულის ტოლია, ანუ a 0=0. გამრავლების კომუტაციური თვისება გვაიძულებს მივიღოთ ტოლობა 0·a=0. ამრიგად, ორი მთელი რიცხვის ნამრავლი, რომლებშიც ერთ-ერთი ფაქტორი მაინც არის ნულის ტოლი. კერძოდ, ნულის ნულზე გამრავლების შედეგია ნული: 0·0=0 .

მოვიყვანოთ რამდენიმე მაგალითი. დადებითი მთელი რიცხვის 803 და ნულის ნამრავლი არის ნული; ნულის უარყოფით მთელ რიცხვზე −51 გამრავლების შედეგი არის ნული; ასევე (−90 733) 0=0 .

ასევე გაითვალისწინეთ, რომ ორი მთელი რიცხვის ნამრავლი ნულის ტოლია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ერთ-ერთი ფაქტორი მაინც ნული.

მთელი რიცხვების გამრავლების შედეგის შემოწმება

ორი მთელი რიცხვის გამრავლების შედეგის შემოწმებაშესრულებულია გაყოფით. აუცილებელია მიღებული ნამრავლის გაყოფა ერთ-ერთ ფაქტორზე, თუ შედეგად მივიღეთ რიცხვი, რომელიც ტოლია მეორე ფაქტორის, მაშინ გამრავლება შესრულდა სწორად. თუ თქვენ მიიღებთ რიცხვს, რომელიც განსხვავდება სხვა ტერმინისგან, მაშინ სადღაც შეცდომა დაუშვა.

განვიხილოთ მაგალითები, რომლებშიც შემოწმებულია მთელი რიცხვების გამრავლების შედეგი.

მაგალითი.

ორი მთელი რიცხვის -5 და 21-ის გამრავლების შედეგად მიიღეს რიცხვი -115, სწორად არის გამოთვლილი ნამრავლი?

გადაწყვეტილება.

მოდით შევამოწმოთ. ამისთვის გამოთვლილ პროდუქტს -115 ვყოფთ ერთ-ერთ ფაქტორზე, მაგალითად, -5-ზე., შეამოწმეთ შედეგი. (−17)·(−67)=1 139.

სამი ან მეტი მთელი რიცხვის გამრავლება

მთელი რიცხვების გამრავლების ასოციაციური თვისება საშუალებას გვაძლევს ცალსახად განვსაზღვროთ სამი, ოთხი ან მეტი მთელი რიცხვის ნამრავლი. ამავდროულად, მთელი რიცხვების გამრავლების დარჩენილი თვისებები გვაძლევს იმის მტკიცებას, რომ სამი ან მეტი მთელი რიცხვის ნამრავლი არ არის დამოკიდებული ფრჩხილების განლაგებაზე და ნამრავლის ფაქტორების თანმიმდევრობაზე. მსგავსი დებულებები დავასაბუთეთ, როდესაც ვსაუბრობდით სამი ან მეტი ნატურალური რიცხვის გამრავლებაზე. მთელი რიცხვის ფაქტორების შემთხვევაში დასაბუთება სრულიად იგივეა.

განვიხილოთ გადაწყვეტის მაგალითი.

მაგალითი.

გამოთვალეთ ხუთი მთელი რიცხვის ნამრავლი 5 , −12 , 1 , −2 და 15 .

გადაწყვეტილება.

ჩვენ შეგვიძლია თანმიმდევრულად შევცვალოთ ორი მიმდებარე ფაქტორი მარცხნიდან მარჯვნივ მათი ნამრავლით: 5 (−12) 1 (−2) 15= (−60) 1 (−2) 15= (−60) (−2 ) 15= 120 15 =1 800 . პროდუქტის გაანგარიშების ეს ვერსია შეესაბამება ფრჩხილების განთავსების შემდეგ გზას: (((5 (-12)) 1) (-2)) 15.

ჩვენ ასევე შეგვიძლია გადავაწყოთ ზოგიერთი ფაქტორი და განსხვავებულად მოვაწყოთ ფრჩხილები, თუ ეს საშუალებას მოგვცემს უფრო რაციონალურად გამოვთვალოთ ამ ხუთი მთელი რიცხვის ნამრავლი. მაგალითად, შესაძლებელი იყო ფაქტორების გადალაგება შემდეგი თანმიმდევრობით 1 5 (−12) (−2) 15 , შემდეგ დაალაგეთ ფრჩხილები ასე. ((1 5) (−12)) ((−2) 15). ამ შემთხვევაში, გამოთვლები იქნება შემდეგი: ((1 5) (−12)) ((−2) 15)=(5 (−12)) ((−2) 15)= (−60) (−30)=1 800 .

Როგორც ხედავ სხვადასხვა ვარიანტებიფრჩხილები და განსხვავებული შეკვეთაფაქტორების თანმიმდევრობამ მიგვიყვანა იმავე შედეგამდე.

პასუხი:

5 (−12) 1 (−2) 15=1 800.

ცალკე აღვნიშნავთ, რომ თუ ნამრავლში სამი, ოთხი და ა.შ. მთელი რიცხვები, ერთ-ერთი ფაქტორი მაინც ნულის ტოლია, მაშინ ნამრავლი ნულის ტოლია. მაგალითად, ოთხი მთელი რიცხვის ნამრავლი 5, −90 321, 0 და 111 არის ნული; სამი მთელი რიცხვის 0, 0 და −1 983 გამრავლების შედეგი ასევე არის ნული. საპირისპირო დებულებაც მართალია: თუ პროდუქტი ნულის ტოლია, მაშინ ერთ-ერთი ფაქტორი მაინც ნულის ტოლია.

მოდით გავაანალიზოთ გამრავლების კონცეფცია მაგალითით:

ტურისტები გზაზე სამი დღე იყვნენ. ყოველდღე დადიოდნენ ერთი და იგივე ბილიკზე 4200 მ რა მანძილი გაიარეს სამ დღეში? პრობლემის გადაჭრა ორი გზით.

გადაწყვეტილება:
მოდით განვიხილოთ პრობლემა დეტალურად.

პირველ დღეს ლაშქრობებმა 4200მ დაფარეს. მეორე დღეს იგივე ბილიკი ტურისტებმა გაიარეს 4200მ, ხოლო მესამე დღეს - 4200მ. დავწეროთ მათემატიკური ენაზე:
4200+4200+4200=12600მ.
ჩვენ ვხედავთ 4200 რიცხვის სამჯერ გამეორებას, შესაბამისად, შეგვიძლია შევცვალოთ ჯამი გამრავლებით:
4200⋅3=12600მ.
პასუხი: ტურისტებმა სამ დღეში დაფარეს 12600 მეტრი.

განვიხილოთ მაგალითი:

იმისათვის, რომ არ დავწეროთ გრძელი ჩანაწერი, შეგვიძლია დავწეროთ გამრავლების სახით. რიცხვი 2 მეორდება 11-ჯერ, ასე რომ, გამრავლების მაგალითი ასე გამოიყურება:
2⋅11=22

შეაჯამეთ. რა არის გამრავლება?

გამრავლებაარის მოქმედება, რომელიც ცვლის ტერმინის m n-ჯერ გამეორებას.

აღნიშვნა m⋅n და ამ გამოხატვის შედეგი ეწოდება რიცხვების ნამრავლი, და მ და n რიცხვებს უწოდებენ მულტიპლიკატორები.

მოდით შევხედოთ მაგალითს:
7⋅12=84
გამოთქმა 7⋅12 და შედეგი 84 ეწოდება რიცხვების ნამრავლი.
7 და 12 რიცხვებს უწოდებენ მულტიპლიკატორები.

მათემატიკაში გამრავლების რამდენიმე კანონი არსებობს. განიხილეთ ისინი:

გამრავლების კომუტაციური კანონი.

განიხილეთ პრობლემა:

ჩვენს 5 მეგობარს ორი ვაშლი მივეცით. მათემატიკურად ჩანაწერი ასე გამოიყურება: 2⋅5.
ან ჩვენს ორ მეგობარს მივეცით 5 ვაშლი. მათემატიკურად ჩანაწერი ასე გამოიყურება: 5⋅2.
პირველ და მეორე შემთხვევაში ვანაწილებთ იმავე რაოდენობის ვაშლს 10 ცალი.

თუ გავამრავლებთ 2⋅5=10 და 5⋅2=10, მაშინ შედეგი არ შეიცვლება.

საკუთრება გადაადგილების კანონიგამრავლება:
პროდუქტი არ იცვლება ფაქტორების ადგილების შეცვლით.
მ⋅ ნ=n⋅მ

გამრავლების ასოციაციური კანონი.

მოდით შევხედოთ მაგალითს:

(2⋅3)⋅4=6⋅4=24 ან 2⋅(3⋅4)=2⋅12=24 მივიღებთ,
(2⋅3)⋅4=2⋅(3⋅4)
(ა⋅ ბ) ⋅ გ= ა⋅(ბ⋅ გ)

გამრავლების ასოციაციური კანონის თვისება:
რიცხვის ორი რიცხვის ნამრავლზე გასამრავლებლად, შეგიძლიათ ჯერ გაამრავლოთ ის პირველ ფაქტორზე, შემდეგ კი მიღებული ნამრავლი გაამრავლოთ მეორეზე.

მრავალი ფაქტორის შეცვლა და ფრჩხილებში ჩასმა არ ცვლის შედეგს ან პროდუქტს.

ეს კანონები მართალია ნებისმიერი ნატურალური რიცხვისთვის.

ნებისმიერი ნატურალური რიცხვის გამრავლება ერთზე.

განვიხილოთ მაგალითი:
7⋅1=7 ან 1⋅7=7
ა⋅1=a ან 1⋅ა= ა
ნებისმიერი ნატურალური რიცხვის ერთზე გამრავლებისას ნამრავლი ყოველთვის იგივე რიცხვი იქნება.

ნებისმიერი ნატურალური რიცხვის გამრავლება ნულზე.

6⋅0=0 ან 0⋅6=0
ა⋅0=0 ან 0⋅ა=0
ნებისმიერი ნატურალური რიცხვის ნულზე გამრავლებისას ნამრავლი იქნება ნულის ტოლი.

კითხვები თემაზე "გამრავლება":

რა არის რიცხვების ნამრავლი?
პასუხი: რიცხვების ნამრავლი ან რიცხვების ნამრავლი არის გამოხატულება m⋅n, სადაც m არის წევრი, ხოლო n არის ამ წევრის გამეორებების რაოდენობა.

რისთვის არის გამრავლება?
პასუხი: იმისთვის, რომ არ დავწეროთ რიცხვების გრძელი შეკრება, არამედ ჩავწეროთ შემოკლებით. მაგალითად, 3+3+3+3+3+3=3⋅6=18

რა არის გამრავლების შედეგი?
პასუხი: ნაწარმოების მნიშვნელობა.

რას ნიშნავს გამრავლება 3⋅5?
პასუხი: 3⋅5=5+5+5=3+3+3+3+3=15

თუ მილიონს გაამრავლებ ნულზე, რა იქნება ნამრავლი?
პასუხი: 0

მაგალითი #1:
შეცვალეთ ჯამი ნამრავლით: ა) 12+12+12+12+12 ბ) 3+3+3+3+3+3+3+3+3
პასუხი: ა) 12⋅5=60 ბ) 3⋅9=27

მაგალითი #2:
პროდუქციის სახით ჩაწერეთ: ა) ა + ა + ა + ა ბ) გ + გ + გ + გ + გ + გ + გ
გადაწყვეტილება:
ა)ა+ა+ა+ა=4⋅ა
ბ) s+s+s+s+s+s+s=7⋅s

დავალება #1:
დედამ იყიდა 3 ყუთი შოკოლადი. თითოეული ყუთი შეიცავს 8 კანფეტს. რამდენი ტკბილეული იყიდა დედამ?
გადაწყვეტილება:
ერთ ყუთში 8 კანფეტია, ჩვენთან კი 3 ასეთი ყუთია.
8+8+8=8⋅3=24 კანფეტი
პასუხი: 24 კანფეტი.

დავალება #2:
ხელოვნების მასწავლებელმა რვა მოსწავლეს უთხრა, რომ გაკვეთილზე შვიდი ფანქარი მოემზადებინათ. სულ რამდენი ფანქარი ჰქონდათ ბავშვებს?
გადაწყვეტილება:
თქვენ შეგიძლიათ გამოთვალოთ დავალების ჯამი. პირველ მოსწავლეს ჰქონდა 7 ფანქარი, მეორე მოსწავლეს 7 ფანქარი და ა.შ.
7+7+7+7+7+7+7+7=56
ჩანაწერი მოუხერხებელი და გრძელი აღმოჩნდა, თანხას შევცვლით პროდუქტით.
7⋅8=56
პასუხი არის 56 ფანქარი.

- (პროდუქტი) გამრავლების შედეგი. რიცხვების ნამრავლი, ალგებრული გამონათქვამები, ვექტორები ან მატრიცები; შეიძლება გამოჩნდეს წერტილით, ხაზებით ან უბრალოდ ერთმანეთის მიყოლებით დაწერით, ე.ი. f(x).g(y), f(x) x g(y), f(x)g(y)…… ეკონომიკური ლექსიკონი

მეცნიერება მთელი რიცხვების შესახებ. მთელი რიცხვის ცნება (იხ. რიცხვი), ასევე არითმეტიკული მოქმედებებიმეტი რიცხვი ცნობილია უძველესი დროიდან და ერთ-ერთი პირველია მათემატიკური აბსტრაქციები. განსაკუთრებული ადგილიმთელ რიცხვებს შორის, ანუ რიცხვებს ..., 3 ... დიდი საბჭოთა ენციკლოპედია

მაგ., ს., გამოყენება. ხშირად მორფოლოგია: (არა) რა? რისთვის მუშაობს? მუშაობა, (იხილეთ) რა? რისი მუშაობა? რაზე მუშაობა? სამუშაოს შესახებ; pl. რა? მუშაობს, (არა) რა? მუშაობს, რატომ? მუშაობს, (იხილეთ) რა? მუშაობს,...... ლექსიკონიდიმიტრიევა

მატრიცა მათემატიკური ობიექტი, იწერება რიცხვების (ან რგოლის ელემენტების) მართკუთხა ცხრილის სახით და ნებადართულია ალგებრული მოქმედებების (შეკრება, გამოკლება, გამრავლება და ა.შ.) მას და სხვა მსგავს ობიექტებს შორის. აღსრულების წესები ... ... ვიკიპედია

არითმეტიკაში გამრავლება გაგებულია, როგორც იდენტური წევრთა ჯამის მოკლე ჩანაწერი. მაგალითად, აღნიშვნა 5*3 ნიშნავს „დაამატე 5 თავის თავს 3-ჯერ“, რაც მხოლოდ სტენოგრაფიული აღნიშვნაა 5+5+5-ისთვის. გამრავლების შედეგს ნამრავლი ეწოდება და ... ... ვიკიპედია

რიცხვების თეორიის განყოფილება, რომლის მთავარი ამოცანაა ველების მთელი რიცხვების თვისებების შესწავლა ალგებრული რიცხვებისასრული ხარისხი ველზე რაციონალური რიცხვი. n ხარისხის ველის K გაფართოების ველის ყველა მთელი რიცხვის მიღება შესაძლებელია ... ... მათემატიკური ენციკლოპედია

რიცხვების თეორია, ან უმაღლესი არითმეტიკა, არის მათემატიკის ფილიალი, რომელიც სწავლობს მთელ რიცხვებს და მსგავს ობიექტებს. რიცხვთა თეორიაში ფართო გაგებითგანიხილება როგორც ალგებრული, ასევე ტრანსცენდენტული რიცხვები, ასევე ფუნქციები სხვადასხვა წარმოშობისრომელიც ... ... ვიკიპედია

რიცხვების თეორიის განყოფილება, რომელშიც შესწავლილია განაწილების ნიმუშები მარტივი რიცხვები(p.h.) ნატურალურ რიცხვებს შორის. ცენტრალური არის საუკეთესო ასიმპტომურის პრობლემა. გამონათქვამები p(x) ფუნქციისთვის, რომელიც აღნიშნავს p.h-ს რაოდენობას, რომელიც არ აღემატება x-ს, მაგრამ ... ... მათემატიკური ენციკლოპედია

- (ში უცხოური ლიტერატურასკალარული ნამრავლი, წერტილის ნამრავლი, შიდა პროდუქტი) ოპერაცია ორ ვექტორზე, რომლის შედეგია რიცხვი (სკალარი), რომელიც არ არის დამოკიდებული კოორდინატთა სისტემაზე და ახასიათებს ფაქტორების ვექტორების სიგრძეს და კუთხეს შორის ... .. ვიკიპედია

სიმეტრიული ჰერმიციული ფორმა, რომელიც განსაზღვრულია ვექტორულ სივრცეზე L ველზე K, ჩვეულებრივ განიხილება, როგორც ამ სივრცის განმარტების განუყოფელი ნაწილი, ქმნის სივრცეს (დამოკიდებულია სივრცის ტიპზე და შიდა... Wikipedia

წიგნები

• მათემატიკაში ამოცანების კრებული, ვ.ბაჩურინი.წიგნში განხილული კითხვები მათემატიკაზე სრულად შეესაბამება სამივე პროგრამის შინაარსს: სკოლა, მოსამზადებელი განყოფილებები, მისაღები გამოცდები. მიუხედავად იმისა, რომ ამ წიგნს ე.წ.
• ცოცხალი მატერია. ცოცხალი და ევოლუციური პროცესების ფიზიკა, Yashin A.A. ეს მონოგრაფია აჯამებს ავტორის ბოლო რამდენიმე წლის კვლევას. წიგნში წარმოდგენილი ექსპერიმენტული შედეგები ტულსკაიამ მიიღო სამეცნიერო სკოლასაველე ბიოფიზიკა და…

ამოცანა 1.2
მოცემულია ორი მთელი რიცხვი X და T. თუ მათ აქვთ სხვადასხვა ნიშნები, მაშინ X-ს მიანიჭეთ ამ რიცხვების ნამრავლის მნიშვნელობა, T-ს კი მათი მოდულის სხვაობის მნიშვნელობა. თუ ნომრები აქვს იდენტური ნიშნები, შემდეგ მიანიჭეთ X-ს სხვაობის მოდულის მნიშვნელობა საწყისი ნომრებიდა T არის ამ რიცხვების ნამრავლის მნიშვნელობა. აჩვენეთ ახალი X და T მნიშვნელობები ეკრანზე.

ამოცანა ასევე მარტივია. "გაუგებრობები" შეიძლება წარმოიშვას მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ დაგავიწყდათ რა არის მოდულის განსხვავება (იმედი მაქვს, რომ ეს არის ორი მთელი რიცხვის პროდუქტი, თქვენ ჯერ კიდევ გახსოვთ))).

განსხვავების მოდულის ორი რიცხვი

ორი მთელი რიცხვის მოდულური სხვაობა (თუმცა არ არის აუცილებელი მთელი რიცხვები - არა უშავს, უბრალოდ, რიცხვები მთელი რიცხვებია ჩვენს პრობლემაში) - ეს, მარტივად რომ ვთქვათ, როდესაც გამოთვლის შედეგი არის სხვაობის მოდული. ორი ნომრისგან.

ანუ ჯერ შესრულებულია ერთი რიცხვის მეორისგან გამოკლების ოპერაცია. და შემდეგ გამოითვლება ამ ოპერაციის შედეგის მოდული.

მათემატიკურად, ეს შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

თუ ვინმეს დაავიწყდა რა არის მოდული ან როგორ გამოვთვალოთ იგი პასკალში, მაშინ იხილეთ.

ორი რიცხვის ნიშნების განსაზღვრის ალგორითმი

პრობლემის გადაწყვეტა ზოგადად საკმაოდ მარტივია. დამწყებთათვის სირთულემ შეიძლება გამოიწვიოს მხოლოდ ორი რიცხვის ნიშნების განსაზღვრა. ანუ, აუცილებელია პასუხის გაცემა კითხვაზე: როგორ გავარკვიოთ, აქვთ თუ არა ციფრებს იგივე ნიშნები თუ განსხვავებული.

პირველ რიგში, ის ითხოვს რიცხვების ალტერნატიულ შედარებას ნულთან. ეს მისაღებია. მაგრამ წყაროს კოდი საკმაოდ დიდი იქნება. ამიტომ, უფრო სწორია შემდეგი ალგორითმის გამოყენება:

1. გაამრავლეთ რიცხვები ერთმანეთთან
2. თუ შედეგი ნულზე ნაკლებიასე რომ, ციფრებს განსხვავებული ნიშნები აქვთ
3. თუ შედეგი არის ნული ან მეტი ნულზე, მაშინ ციფრებს აქვთ იგივე ნიშნები

მე შევასრულე ეს ალგორითმი ცალკე სახით. და თავად პროგრამა აღმოჩნდა იგივე, რაც ნაჩვენებია პასკალისა და C++ მაგალითებში ქვემოთ.

1.2 ამოცანის ამოხსნა პასკალშიპროგრამის გამშვები ნომრები; var A, X, T: მთელი რიცხვი; //**************************************************** ** **************** // ამოწმებს N1 და N2 რიცხვებს აქვთ თუ არა ერთნაირი ნიშნები. თუ კი, მაშინ // აბრუნებს TRUE-ს, წინააღმდეგ შემთხვევაში - FALSE //************************************ **** ************************** ფუნქცია ZnakNumbers(N1, N2: მთელი რიცხვი) : ლოგიკური; დასაწყისი := (N1 * N2) >= 0; დასასრული; //**************************************************** ** ************* // მთავარი პროგრამა //**************************** ************************************** start Write("X ="); ReadLn(X); ჩაწერეთ ("T ="); ReadLn(T); თუ ZnakNumbers(X, T) მაშინ //თუ რიცხვებს აქვთ იგივე ნიშნები იწყება A:= (X - T); //მიიღეთ განსხვავება მოდულში თავდაპირველი რიცხვები T:= X * T; ბოლოს სხვა //თუ რიცხვებს განსხვავებული ნიშნები აქვთ იწყება A:= X * T; T:= Abs(X - T); დასასრული; X:=A; //დაწერეთ მნიშვნელობა A-დან X-მდე WriteLn("X = ", X); //გამომავალი X WriteLn("T = ", T); //გამომავალი T WriteLn("ბოლო. დააჭირეთ ENTER..."); ReadLn; დასასრული.

1.2 ამოცანის ამოხსნა C++-ში#include #include using namespace std; int A, X, T; //**************************************************** ** **************** // ამოწმებს N1 და N2 რიცხვებს აქვთ თუ არა ერთნაირი ნიშნები. თუ კი, მაშინ // აბრუნებს TRUE-ს, წინააღმდეგ შემთხვევაში - FALSE //************************************ **** ****************************** bool ZnakNumbers(int N1, int N2) ( დაბრუნება ((N1 * N2 ) >= 0); ) //******************************************** ********* ***************** // მთავარი პროგრამა //**************** ************************************************** * int main(int argc, char *argv) ( cout > X; cout > T; if (ZnakNumbers(X, T)) //თუ რიცხვებს აქვთ იგივე ნიშნები ( A = abs(X - T); // მიიღეთ სხვაობის მოდული თავდაპირველი რიცხვები T = X * T; ) სხვა // თუ რიცხვებს აქვთ განსხვავებული ნიშნები ( A = X * T; T = abs(X - T); ) X = A; // ჩაწერეთ მნიშვნელობა A Cout-მდე X

ოპტიმიზაცია

ეს მარტივი პროგრამაშეიძლება კიდევ უფრო გამარტივდეს, თუ არ იყენებთ ფუნქციას და ოდნავ შეცვლით პროგრამის წყაროს კოდს. სადაც სულხაზები საწყისი კოდიოდნავ შემცირდება. როგორ გავაკეთოთ ეს - იფიქრეთ თქვენთვის.