რეკურსიული ფილტრების სინთეზი ანალოგური პროტოტიპით

სტანდარტული სიხშირის შერჩევითი ფილტრების სინთეზირებისას მოსახერხებელია ანალოგური ფილტრების გამოსათვლელად კარგად განვითარებული აპარატის გამოყენება. ყველაზე ფართოდ გამოყენებული მეთოდებია:

1. იმპულსური პასუხის ინვარიანტობის მეთოდი (ტრანსფორმაციის სტანდარტული მეთოდი).

2. ბილინარული - ტრანსფორმაციის მეთოდი.

3. წარმოებულების სასრულ სხვაობებით ჩანაცვლების მეთოდი.

4.2.1. იმპულსური პასუხის ინვარიანტობის მეთოდი (სტანდარტული - ტრანსფორმაციის მეთოდი)

იმპულსური პასუხის უცვლელობა გაგებულია, როგორც იმპულსური პასუხის წაკითხვის თანასწორობა ციფრული ფილტრიანალოგური პროტოტიპის იმპულსური პასუხის მნიშვნელობები აღებული შერჩევის პერიოდით.

მეთოდის განსახორციელებლად საჭიროა:

იპოვნეთ პროტოტიპის იმპულსური პასუხი;

მიიღეთ ციფრული ფილტრის იმპულსური პასუხი პერიოდის შერჩევით, სკალირების ფაქტორის გათვალისწინებით:

; (4.1)

იპოვეთ ფილტრის გადაცემის ფუნქცია აღებით - ტრანსფორმირებით :

. (4.2)

სურათი 3.1 - ანალოგური პროტოტიპის იმპულსური პასუხის ნიმუში

დავუშვათ, რომ ანალოგური პროტოტიპის გადაცემის ფუნქცია იწერება მარტივი წილადების ჯამის სახით:

. (4.3)

ამ შემთხვევაში, შესაბამისად შებრუნებული ტრანსფორმაციაანალოგური პროტოტიპის ლაპლასის იმპულსური პასუხი აქვს შემდეგი ხედი:

. (4.4)

დისკრეტიზაციის შემდეგ, ჩვენ ვიღებთ ციფრული ფილტრის საჭირო იმპულსურ პასუხს:

აპლიკაციის ტრანსფორმაციის შედეგად სინთეზირებული ციფრული ფილტრის გადაცემის ფუნქციას აქვს შემდეგი ფორმა:

შედეგად მიღებული გადაცემის ფუნქცია შეესაბამება ციფრული ფილტრის პარალელურ სტრუქტურას. სტრუქტურული სქემასინთეზირებული ციფრული ფილტრის ერთი ბმული გადაცემის მახასიათებლით აქვს შემდეგი ფორმა: ნახაზი 3.2.

სურათი 3.2 - ციფრული ფილტრის ერთი რგოლის ბლოკ-სქემა

ამრიგად, ციფრული ფილტრის სინთეზის პროცედურა იმპულსური პასუხის ინვარიანტობის მეთოდით შეიცავს შემდეგი ნაბიჯები:

1. დააყენეთ მოთხოვნები ციფრული ფილტრისთვის.

3. დაიშალა მარტივ წილადებად.

4. დაწერეთ ციფრული ფილტრის გადაცემის ფუნქცია (4.3) და (4.6) მიმართებების საფუძველზე.

შედეგად მიღებული ფილტრის სიხშირის პასუხი დაკავშირებულია ანალოგური პროტოტიპის სიხშირის პასუხთან ისევე, როგორც ნიმუშის სიგნალის სპექტრი დაკავშირებულია ანალოგური სიგნალის სპექტრთან: პერიოდული გამეორება. ამიტომ, მისაღებად კარგი შედეგიამ მეთოდისთვის, ანალოგური პროტოტიპის მომატება უმნიშვნელო უნდა იყოს Nyquist სიხშირეზე ზემოთ სიხშირეებზე. აქედან გამომდინარე, მეთოდი შესაფერისია LPF და PF-ის შესაქმნელად, მაგრამ არ გამოიყენება HPF და RF განვითარებისთვის.

იმპულსური პასუხის ინვარიანტობის მეთოდის გამოყენების მაგალითი

მოდით, ანალოგური პროტოტიპის გადაცემის ფუნქციას ჰქონდეს შემდეგი ფორმა:

.

ამრიგად, გამოხატვის (4.3) შესაბამისად, ანალოგური პროტოტიპის შემდეგი პარამეტრები შეიძლება ჩაიწეროს:

,

.

გამოთქმის (4.6) შესაბამისად ვიღებთ შემდეგ გამონათქვამს for გადაცემის ფუნქციასასურველი ციფრული ფილტრი:

.

მოდით მივიღოთ ციფრული ფილტრაციის განტოლება. ამისათვის ჩვენ ვწერთ ციფრული ფილტრის გადაცემის ფუნქციას სახით:

,

სად ,

.

ბოლო გამონათქვამის მათემატიკური გარდაქმნების სერიის შედეგად შეიძლება მივიღოთ:

,

z-ტრანსფორმირებული სურათებიდან ორიგინალებზე გადასვლის შემდეგ, ვიღებთ ციფრული ფილტრაციის განტოლებას:

4.2.2. ორხაზოვანი მეთოდი - ტრანსფორმაცია

ლაპლასის ტრანსფორმაცია და - ტრანსფორმაცია დაკავშირებულია მიმართებით:

. (4.7)

გამოხატვის (4.7) პირდაპირ გამოყენება შეუძლებელია ციფრული ფილტრის გამოსათვლელად ანალოგური პროტოტიპის ცნობილი გადაცემის მახასიათებლით, რადგან ინვერსიული მიმართება ტრანსცენდენტულია:

. (4.8)

ეს სირთულე გადალახულია სერიის გაფართოების გამოყენებით:

.

პირველი გაფართოების ტერმინის გამოყენებით, შეგიძლიათ მიიღოთ:

. (4.9)

ეს ტრანსფორმაციაარის არგუმენტის პირველი რიგის წილადი რაციონალური ფუნქცია და ე.წ ორხაზოვანი z-ტრანსფორმა.

ციფრული ფილტრის გადაცემის ფუნქცია მიღებულია ანალოგური პროტოტიპის გადაცემის ფუნქციიდან შემდეგი ჩანაცვლების გამოყენებით:

. (4.10)

განვიხილოთ ბიწრფივი ტრანსფორმაციის თვისებები. ამისთვის ვიღებთ:

. (4.11)

ამრიგად, ბიწრფივი ტრანსფორმაცია იწვევს ანალოგური პროტოტიპის სიხშირის პასუხის მნიშვნელოვან დეფორმაციას, როდესაც ის გარდაიქმნება ციფრულ ფორმაში ორიგინალურ თანაფარდობასთან შედარებით. . პროტოტიპის სიხშირეზე პასუხის სიხშირეებსა და ციფრული ფილტრის სიხშირეებს შორის კავშირი განისაზღვრება ურთიერთობიდან:

.

დაბოლოს, კავშირი ანალოგური პროტოტიპის სიხშირესა და ციფრული ფილტრის სიხშირეს შორის ასეთია:

. (4.12)

ბოლო გამოხატვის შესაბამისად, ანალოგური პროტოტიპის უსასრულო სიხშირის პასუხის ღერძის მთელი ღერძი მთლიანად მოთავსებულია Nyquist ინტერვალში ციფრული სიხშირის ღერძზე 0-დან. : სურათი 3.3. ამრიგად, იმპულსური პასუხის უცვლელობის მეთოდის თანდაყოლილი სიხშირის პასუხების ასლების გადახურვის ეფექტი მთლიანად აღმოიფხვრება. დაბალი სიხშირის რეგიონში, ანალოგური და ციფრული ფილტრების სიხშირის მახასიათებლები იგივეა:

. (4.13)

ნახაზი 3.3 - სიხშირის ღერძის ტრანსფორმაცია ბიწრფივი ტრანსფორმაციით

სიხშირეზე პასუხის დამახინჯების ეფექტი ადვილად მხედველობაში მიიღება სიხშირის შერჩევითი ფილტრებისთვის, რომლებიც ხასიათდება გამშვები ზოლის საზღვრებით, ბოლო სიხშირის დაწყვილების გამოხატვის გამოყენებით.

ფილტრის გაანგარიშების პროცედურა შემდეგია:

1) გამოთვლილი ფილტრის სიხშირის პასუხი დაყენებულია სიხშირის სკალაზე და მონიშნულია იმავე სკალაზე. დამახასიათებელი წერტილები AFC.

2) ტრანსფორმაციის ფუნქციის გამოყენება ანალოგური პროტოტიპისთვის სიხშირის სკალის იგივე დამახასიათებელი წერტილები განისაზღვრება და კეთდება გამოხატულება მისი გადაცემის ფუნქციისთვის.

3) ბილინარული ტრანსფორმაციის მეთოდის გამოყენებით გადაცემის ფუნქცია გარდაიქმნება ციფრული ფილტრის გადაცემის ფუნქციად.

ამრიგად, ანალოგური პროტოტიპის PFC-ის დეფორმაციასთან დაკავშირებული მინუსი აღმოიფხვრა.

ორმხრივი კონვერტაციის მეთოდი მთლიანად გამორიცხავს სიხშირის პასუხის სუპერპოზიციის ეფექტს, არ საჭიროებს შერჩევის სიჩქარის გაზრდას სიხშირის პასუხის რეპროდუქციაში შეცდომების შესამცირებლად. მეთოდი გამოიყენება, როდესაც არ არის საჭირო გაზრდილი სიზუსტეანალოგური პროტოტიპის სიხშირის პასუხის რეპროდუქცია.

ბილინარული ტრანსფორმაციის მეთოდის გამოყენების მაგალითი

მოდით, ანალოგური პროტოტიპის გადაცემის ფუნქცია აღწერილი იყოს გამონათქვამით:

.

გამოხატვის (4.10) გათვალისწინებით, ჩვენ შეგვიძლია მივიღოთ შემდეგი გამოხატულება სასურველი ციფრული ფილტრის გადაცემის ფუნქციისთვის:

,

სად ;

მარყუჟის ინვარიანტული მეთოდი გამეორების მეთოდის განსაკუთრებული შემთხვევაა.

მნიშვნელობების ზოგიერთი ნაკრები მითითებულია М, Р М არის შედეგების ქვეჯგუფი. ჩვენ უნდა ვიპოვოთ x  P წერტილი. ამისათვის ვირჩევთ I M და Q M სიმრავლეებს და ისე, რომ   I  Q  P. ამრიგად, ჩვენი ამოცანა მცირდება წერტილის პოვნამდე, რომელიც ეკუთვნის. ამ კომპლექტების კვეთამდე. უფრო მეტიც, ჩვენ გამოვიყენებთ მხოლოდ ისეთ გარდაქმნებს, რომლებიც არ გამოდიან I-დან, ანუ ჩვენს შემთხვევაში, წერტილის კუთვნილება I სიმრავლეზე ინვარიანტულია (მუდმივი მნიშვნელობა).

მოდით x0  I იყოს საწყისი წერტილი.

Т:I\QI – ტრანსფორმაცია ინვარიანტულია იმ მხრივ, რომ წერტილი ეკუთვნის I სიმრავლეს.

ზემოთ მოყვანილი ილუსტრაცია:

T ტრანსფორმაციის მოქმედებით, x0 წერტილი მიდის რაღაც x1 წერტილში, რომელიც მიეკუთვნება I სიმრავლეს. წერტილი x1, თავის მხრივ, მიდის x2 წერტილში, რომელიც ასევე ეკუთვნის I-ს. ეს პროცესი გრძელდება მანამ, სანამ xN წერტილი არ გადავა წერტილი, რომელიც მიეკუთვნება ზოგიერთ Q სიმრავლეს, რომელიც არჩეულია ისე, რომ მისი I-თან კვეთა შეიცავს P-ს. შედეგად მიღებული წერტილი ეკუთვნის Q-ს, ერთი მხრივ, ხოლო I-ს, მეორე მხრივ, T ტრანსფორმაციის უცვლელობის გამო. მე.

პროგრამის სქემა:

ხოლო არა q(x) გავაკეთოთ

(x  IQ  P)

დავწეროთ პროგრამა ზემოაღნიშნული მეთოდის საილუსტრაციოდ, რომელიც უზრუნველყოფს რიცხვის აწევას დადებით მთელ რიცხვამდე.

ტიპი _რეალური = მარტოხელა;

ფუნქციის სიმძლავრე (x: _ რეალური; n: _ ხელმოწერის გაუქმება ): რეალური;

(x - ფუძე, n - მაჩვენებლები. ქვეპროექტი უზრუნველყოფს გაძლიერებას)

ხოლო n > 0 do (z*x n - უცვლელი)

თუ კენტი(n) მაშინ (კენტი შემოწმება)

dec(n); (n:=n-1)

n:=n chr 1; (n:= n div 2)

ეს დავამტკიცოთ ამ პროგრამასსრულდება სასრული რაოდენობის ნაბიჯებით. ქვეპროგრამა მთავრდება, როდესაც z = x n, ე.ი. შექმნილია x-ის n-ე ხარისხზე ასამაღლებლად. გამეორებების რაოდენობა უდრის რიცხვს "0" + 2* რიცხვი "1" -1 n რიცხვის ბინარულ აღნიშვნაში.<= 2*количество значащих цифр – 1 в двоичной записи = 2*]log 2 n[ - 1. При этом данная программа будет очень эффективна.

უცვლელი ფუნქციის მეთოდი.

ინვარიანტული ფუნქციის მეთოდი არის მარყუჟის ინვარიანტული მეთოდის განსაკუთრებული შემთხვევა.

ამ შემთხვევაში x = x0 და აუცილებელია f(x0) გამოთვლა. სადაც

I = (კომპლექტი x | f(x) = f(x0))

P = (სიმრავლე x | f(x) ადვილი გამოსათვლელია).

ავაშენოთ Т ტრანსფორმაცია, რომელიც უცვლელია I-ის მიმართ და ავიღოთ მნიშვნელობა P თავად (Q = P), როგორც შეწყვეტის პირობა.

პროგრამის სქემა:

x:= x0; (x  I)

ხოლო არა p(x) აკეთებს

დაწყება (x  I\P)

x:= T(x); (x  I)

დასასრული; (x  P  I)

სისწორის დასადასტურებლად საკმარისია იმის დამტკიცება, რომ ციკლი შესრულდება სასრული რაოდენობის ნაბიჯებით.

მოდით დავწეროთ პროგრამა საილუსტრაციოდ ამ მეთოდით.

მოდით x = (a, b) და f(x) = N.O.D.(a, b). აუცილებელია N.O.D.(a, b) გამოთვლა.

ეს პროგრამა გამოიყენებს იმ ფაქტს, რომ ორი რიცხვის გამყოფი

იქნება მათი სხვაობის გამყოფი.

a:= a0; b:= b0; (>=0)

ხოლო (a>0) და (b>0) აკეთებენ

თუ a>b მაშინ a:= a - b

სხვა b:= b - a;

შედეგი:= a+b; (მარყუჟიდან გასვლის პირობა არის ტოლობა 0 ან a ან b, ამიტომ ამ რიცხვების ჯამი მოგვცემს ერთ რიცხვს, რომელიც არ არის 0-ის ტოლი)

28 გვერდი (Word ფაილი)

ყველა გვერდის ნახვა

ნაწარმოების ტექსტის ფრაგმენტი

საინფორმაციო ტექნოლოგიებისა და კომუნიკაციების სამინისტრო

ფედერალური საკომუნიკაციო სააგენტო

ხაბაროვსკის საინფორმაციო კომუნიკაციების ინსტიტუტი

(ფილიალი) GOU VPO ციმბირის სახელმწიფო

ტელეკომუნიკაციებისა და ინფორმატიკის უნივერსიტეტი

საკურსო სამუშაო

ციფრული დამუშავების მათემატიკურ საფუძვლებზე

სიგნალები

თემა: რეკურსიული ციფრული ფილტრის გაანგარიშება

სპეციალობა 210405

რადიოკავშირი, მაუწყებლობა და ტელევიზია

ვარიანტი ნომერი 30

შესრულდა

Პროექტის მენეჯერი

უფროსი ფილიალი

ხაბაროვსკი

	ტექნიკური დავალება	3
	საწყისი მონაცემები No30 ვარიანტისთვის	4
	შესავალი	5
1	დავალების გრაფიკული წარმოდგენა	6
1.1	რეკურსიული ციფრული ფილტრების დიზაინის მეთოდები	7
1.2	რიცხვითი ინტეგრაციის მეთოდები	8
1.3	იმპულსური პასუხის ინვარიანტობის მეთოდი	10
1.4	ორხაზოვანი ტრანსფორმაციის მეთოდი	12
1.5	განზოგადებული ბინომიური ტრანსფორმაცია	13
2.	ანალოგური ფილტრის გადაცემის ფუნქციის გამოთვლა და ციფრული ფილტრის გადაცემის ფუნქციად გადაქცევა	14
3.	ციფრული ფილტრის ბლოკ-სქემა	22
4.	ციფრული ფილტრის დანერგვის მეთოდები	23
4.1	აპარატურის მეთოდი	23
4.2	პროგრამის მეთოდი	24
4.3	აპარატურულ-პროგრამული მეთოდი	25
	დასკვნა	27
	ბიბლიოგრაფია	28

ტექნიკური დავალება

საწყის მონაცემებზე დაყრდნობით აუცილებელია რეკურსიული ციფრული ფილტრის გამოთვლა.

შემდეგი პარამეტრები ჩაითვლება კომპლექტით:

1 ფილტრის ტიპი: LPF, HPF.

2 ფილტრის ტიპი: Butterworth (B) ან Chebyshev (Ch).

3 შერჩევის სიხშირე fd.

4 გამტარუნარიანობის საზღვრები (BW):

სიჩქარის ზედა ზღვარი fp LPF-სთვის;

გამტარუნარიანობის ქვედა ზღვარი fp HPF-სთვის;

5 გაჩერების ზოლის საზღვრები (LR);

PZ fz-ის ქვედა ზღვარი LPF-სთვის;

PZ fz-ის ზედა ზღვარი HPF-სთვის.

6 ამპლიტუდა-სიხშირის მახასიათებლის დასაშვები უთანასწორობა PP ∆A max, dB.

7 მინიმალური დასაშვები შესუსტება PZ A წთ-ში, dB.

№30 ვარიანტის საწყისი მონაცემები

LPF ფილტრის ტიპი

Butterworth ფილტრის ტიპი

შერჩევის სიხშირე fd = 16 kHz

გამშვები ზოლის საზღვრები fп = 1.7 kHz

გაჩერების დიაპაზონის ლიმიტები fb = 3.8 kHz

დასაშვები DP უთანასწორობა ∆A max = 1,35 dB

დასაშვები შესუსტება PZ A min = 25 dB.

მასწავლებელი _____________ სტუდენტი ___ ____________

"__27__" _______მაისი_______ 2011 წ.

შესავალი

მაღალი ხარისხის სიხშირის არარეკურსიული ციფრული ფილტრები (NTF) ჩვეულებრივ აქვთ დიდი ფანჯრის სიგანე (პოლინომიური ფილტრის ოპერატორი). რაც უფრო მცირეა ფილტრის სიხშირეზე პასუხის გარდამავალი ზონის დასაშვები სიგანე გავლისა და ჩახშობის ზოლებს შორის, მით უფრო დიდია ფილტრის ფანჯარა. ალტერნატიული გამოსავალი არის რეკურსიული ციფრული ფილტრების (RDF) გამოყენება, რისთვისაც ფილტრის კოეფიციენტების რაოდენობა შეიძლება შემცირდეს NDF-თან შედარებით მასშტაბის რამდენიმე ბრძანებით.

რეკურსიულ ფილტრებს აქვთ გარკვეული "მეხსიერება" წინა ნიმუშების მნიშვნელობებისთვის, რაც ლიმიტში შეიძლება იყოს უსასრულო. ამ ფაქტორის გათვალისწინებით, რეკურსიულ ფილტრებს უწოდებენ ფილტრებს უსასრულო იმპულსური პასუხით (IIR ფილტრები), განსხვავებით არარეკურსიული ფილტრებისგან, რომლებსაც ყოველთვის აქვთ სასრული იმპულსური პასუხი (FIR ფილტრები). რეკურსიული ფილტრის რეაქცია სიგნალზე "მეხსიერებით" შეუძლებელს ხდის ფილტრების შექმნას თანაბარი იმპულსური პასუხით, ხოლო რეკურსიული ფილტრების სიხშირის პასუხები ყოველთვის რთულია. რეკურსიული სიხშირის ფილტრების დიზაინი მოცემული სიხშირის მახასიათებლებით ხორციელდება z-ტრანსფორმების გამოყენებით.

1. გრაფიკული გამოსახულებადავალებები

მოდით გრაფიკულად აჩვენოთ მოთხოვნები დაბალი გამტარი ფილტრის სიხშირის პასუხის შესახებ, ამისათვის თქვენ უნდა გამოთვალოთ:

სურათი 1 - ბუტერვორტის ფილტრის AFC და ფილტრის AFC

ბუტერვორთი დბ.

1.1. რეკურსიული ციფრული ფილტრების დიზაინის მეთოდები

ციფრული IIR ფილტრების გადაცემის ფუნქცია მოცემულია , რომელიც AF გადაცემის ფუნქციის მსგავსია, როდესაც z ცვლადი იცვლება s-ით. ამიტომ, ციფრული IIR ფილტრების დიზაინის ერთ-ერთი მიდგომა არის AF გადაცემის ფუნქციის ციფრული ფილტრის გადაცემის ფუნქციად გადაქცევა. იმისათვის, რომ ციფრულ ფილტრებს ჰქონდეთ საჭირო თვისებები, როგორც მათი AF, უნდა დაკმაყოფილდეს ორი პირობა:

1. s სიბრტყის () წარმოსახვითი ღერძი გამოსახული იყო z- სიბრტყის ერთეულ წრეზე ( ). ეს მდგომარეობა აუცილებელია AF-ის სიხშირის მახასიათებლების შესანარჩუნებლად.

2. s-plane () მარცხენა ნახევარი გამოსახული იყო შიგნით z-plane-ში ერთეული წრე(). ეს მდგომარეობა აუცილებელია AF-ის სტაბილურობის თვისებების შესანარჩუნებლად.

1.2. მეთოდი რიცხვითი ინტეგრაცია

დიფერენციალური განტოლება, რომელიც აღწერს AF-ს, ჩანაცვლებულია CF განსხვავების განტოლებით, წარმოებულის გარკვეული სასრული სხვაობებით მიახლოებით. ეს ოპერაცია იწვევს რთული ცვლადის s ჩანაცვლებას AF-ის გადაცემის ფუნქციაში ციფრული ფილტრის გადაცემის ფუნქციის კომპლექსური z ცვლადით.

რიცხვითი ინტეგრაციის სხვადასხვა მეთოდს მოგცემთ სხვადასხვა ფუნქციებიგარდამავალი და, შესაბამისად, განსხვავებული ციფრული ფილტრები. განვიხილოთ ეილერის მეთოდი დროის წარმოებულის მიახლოებით უწყვეტი ფუნქციაფორმის სასრული განსხვავება

, სადაც T არის შერჩევის ინტერვალი და y(n)=y(nT). ოპერატორის სახით, განტოლება იძლევა

.

მოდით ვაჩვენოთ, რომ ეს მეთოდი აკმაყოფილებს ზემოთ მოცემულ ორ პირობას:

1. ან აქედან გამომდინარეობს, რომ ზე .

ლაბორატორიული სამუშაო 6

ფილტრების დამუშავება უსასრულო იმპულსური პასუხით

სამუშაოს მიზანი:შეიძინეთ IIR ფილტრების შემუშავების უნარები .

სამუშაო ამოცანები:

1. გაეცანით IIR ფილტრების დიზაინის ძირითად მეთოდებს

2. ისწავლეთ MATLAB ბრძანებები, რომლებიც საშუალებას გაძლევთ შეასრულოთ IIR ფილტრების სინთეზი

1. თეორიული ინფორმაცია .. 2

1.1. IIR ფილტრის კოეფიციენტების გამოთვლის მეთოდები. 2

1.1.1. ფილტრის კოეფიციენტების გამოთვლა ნულებისა და პოლუსების დაყენებით. 2

1.1.2. იმპულსური პასუხის უცვლელი ტრანსფორმაცია. 4

1.1.3. ორხაზოვანი ზ- კონვერტაცია. 8

1.1.4. IIR ფილტრის კოეფიციენტების გამოთვლის მეთოდის შერჩევა. 12

1.2. Nyquist ეფექტი. 12

1.3. IIR ფილტრების დაპროექტება MATLAB-ით.. 16

2. შესასრულებელი ამოცანები.. 18

3. საკონტროლო კითხვები.. 20

4. ლიტერატურა .. 24

თეორიული მონაცემები

IIR ფილტრის კოეფიციენტების გამოთვლის მეთოდები

ამ ეტაპზე ჯერ არჩეულია მიახლოების მეთოდი, რომელიც შემდეგ გამოიყენება კოეფიციენტების მნიშვნელობების გამოსათვლელად. კდა ბ კ, რომლითაც დაკმაყოფილდება განვითარების პირველ ეტაპზე მიღებული სიხშირეზე პასუხის სპეციფიკაციები. (უფრო დეტალურად განვითარების ეტაპებისა და ფილტრის სპეციფიკაციების დაყენების შესახებ მე-4 ლაბორატორიულ ნაშრომში).

ამისთვის მარტივი ქვითარი IIR ფილტრის კოეფიციენტები, შეგიძლიათ გონივრულად მოათავსოთ ბოძები და ნულები რთული თვითმფრინავიისე, რომ მიღებულ ფილტრს ჰქონდეს სასურველი სიხშირის პასუხი. Ეს მიდგომა, რომელიც ცნობილია როგორც ნულოვანი და პოლუსიანი განლაგების მეთოდი, გამოსადეგია მხოლოდ მარტივი ფილტრების შემუშავებისას, როგორიცაა ჩაღრმავებული ფილტრები, სადაც ფილტრის პარამეტრები (როგორიცაა გამშვები ზოლის ტალღა) ზუსტად არ არის საჭირო. უფრო ეფექტური მიდგომაა ჯერ ანალოგური ფილტრის დაპროექტება სასურველი სპეციფიკაციით და შემდეგ მისი ექვივალენტურ ციფრულ ფილტრად გადაქცევა. ციფრული IIR ფილტრების უმეტესობა შექმნილია ამ გზით. ეს მიდგომა ფართოდ გავრცელდა, რადგან ამჟამადლიტერატურაში უამრავი ინფორმაციაა ანალოგური ფილტრების შესახებ, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას ციფრული ფილტრების შესაქმნელად. ანალოგური ფილტრების ეკვივალენტურ ციფრულზე გადაქცევის სამი ყველაზე გავრცელებული მეთოდია უცვლელი იმპულსური პასუხის კონვერტაციის მეთოდი, რომელიც არის ზ- ტრანსფორმაცია და ორხაზოვანი ზ- ტრანსფორმაცია.

შემდეგი სექციები განიხილავს ამ მეთოდებს IIR ფილტრის კოეფიციენტების გამოსათვლელად:

ნულების და პოლუსების განთავსების მეთოდი;

იმპულსური პასუხის ინვარიანტული ტრანსფორმაციის მეთოდი;

ორმხრივი ზ- ტრანსფორმაცია.

ფილტრის კოეფიციენტების გამოთვლა ნულებისა და პოლუსების დაყენებით

თუ ნული მოთავსებულია რთული სიბრტყის რომელიმე წერტილში, სიხშირის პასუხი ამ წერტილში იქნება ნული. მეორე მხრივ, ბოძი წარმოქმნის მაქსიმუმს (ნახ. 1). პოლუსები, რომლებიც ახლოს არიან ერთეულ წრესთან, წარმოქმნიან დიდ მწვერვალებს, ხოლო ნულები, რომლებიც ახლოს არიან ერთეულ წრეზე, წარმოქმნიან მინიმალურ მახასიათებელს. ამრიგად, პოლუსებისა და ნულების სტრატეგიული განლაგება კომპლექსურ სიბრტყეში იძლევა მარტივი დაბალი გამტარი ფილტრის ან სხვა სიხშირის შერჩევითი ფილტრის საშუალებას.

ერთი რამ უნდა გახსოვდეთ ფილტრის შექმნისას მნიშვნელოვანი წერტილი: იმისათვის, რომ ფილტრის კოეფიციენტები იყოს რეალური, პოლუსები და ნულები ან უნდა იყოს რეალური ან ქმნიან კომპლექსურ კონიუგატ წყვილებს. აღწერილ მეთოდს მაგალითებით ვაჩვენებთ.

ბრინჯი. 1. მარტივი ფილტრის ნულებისა და პოლუსების დიაგრამა (პანელი a); ამ ფილტრის სიხშირის პასუხის სქემატური წარმოდგენა (პანელი b)

მაგალითი 1ფილტრის კოეფიციენტების გამოთვლის ილუსტრაცია გამოყენებით მარტივი მეთოდინულები და პოლუსები. საჭიროა ციფრული გამტარი ფილტრი, რომელიც აკმაყოფილებს შემდეგ მახასიათებლებს:

სიგნალის სრული უარყოფა 0 და 250 ჰც სიხშირეზე;

ვიწრო გამტარობა ორიენტირებული 125 ჰც-ზე;

3 დბ გამტარობა არის 10 ჰც.

500 ჰც-ის შერჩევის სიჩქარის დაშვებით, განსაზღვრეთ ფილტრის გადაცემის ფუნქცია, სათანადოდკომპლექსურ სიბრტყეზე პოლუსებისა და ნულების განთავსება და სხვაობის განტოლების ჩაწერა.

გამოსავალი

ჯერ უნდა დაადგინოთ კომპლექსურ სიბრტყეზე სად უნდა მოათავსოთ პოლუსები და ნულები. იმის გამო, რომ საჭიროა სრული ჩაჭრა 0 და 250 ჰც სიხშირეზე, ნულები უნდა განთავსდეს რთული სიბრტყის შესაბამის წერტილებში. ეს წერტილები დევს ერთეულ წრეზე 0° და 360° x 250/500 = 180° კუთხეების შესაბამის ადგილებში. იმისთვის, რომ გამტარობა იყოს ცენტრირებული 125 ჰც-ზე, ბოძი უნდა განთავსდეს ±360° x 125/500 = ±90°. იმისთვის, რომ კოეფიციენტები რეალური იყოს, საჭიროა რთული კონიუგატური ბოძების წყვილი.

რადიუსი რბოძები განისაზღვრება სასურველი გამტარუნარიანობით. მიახლოებითი გამტარუნარიანობის (wB) დასადგენად რ> 0.9 გამოიყენება შემდეგი მიმართება:

ბრინჯი. 2. ნულებისა და პოლუსების დიაგრამა (პანელი ა).

ამ პრობლემაში w = 10 Hz და ფს= 500 ჰც, საიდანაც რ\u003d 1 - (10/500) π \u003d 0,937. ნულებისა და პოლუსების შედეგად მიღებული დიაგრამა ნაჩვენებია ნახ. 2. ამ დიაგრამის გამოყენებით ვწერთ გადაცემის ფუნქციას:

განსხვავების განტოლება:

წ(ნ) = -0,877969ზე(ნ - 2) + x(ნ) - x(ნ - 2).

გადაცემის ფუნქციის შედარება ჰ(ზ) თან ზოგადი განტოლება IIR ფილტრები, ჩვენ აღმოვაჩენთ, რომ ფილტრი არის მეორე რიგის ბლოკი შემდეგი კოეფიციენტებით:

ბ 0 =1 ა 1 =0

ბ 1 =0 ა 2 =0.877969

უცვლელი იმპულსური რეაგირების ტრანსფორმაცია

ციფრული ფილტრების აგების მეორე გზა შედგება ორიგინალური ანალოგური ფილტრის პარამეტრების დისკრეტული ფილტრის პარამეტრებში ტრანსფორმაციაში, რომელშიც ფილტრების იმპულსური რეაქციები (ანალოგური და დისკრეტული) ემთხვევა დისკრეტულ დროს .

მათემატიკურად, ფილტრების იმპულსური პასუხების დამთხვევის პირობა (ანალოგური და დისკრეტული) იწერება როგორც

, (1)

სადაც, , არის ანალოგური და დისკრეტული ფილტრების იმპულსური რეაქციები, შესაბამისად.

განსაზღვრეთ ანალოგური ფილტრის გადაცემის ფუნქცია და შემდეგ წარმოადგინეთ იგი ფორმაში მარტივი წილადები

, (2)

სად არის ანალოგური ფილტრის გადაცემის ფუნქციის სხვადასხვა პოლუსი (ფესვები); - რომელიმეს მიერ განსაზღვრული კოეფიციენტები ცნობილი მეთოდები; არის მნიშვნელის დამახასიათებელი განტოლების ხარისხი.

(2) განტოლების მსგავსად, შეიძლება მივიღოთ ურთიერთობები, რომლებიც განსაზღვრავენ ზარის დისკრეტული ფილტრის გადაცემის ფუნქცია, რომელიც ასევე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადების ჯამის სახით

. (3)

გამონათქვამების (2) და (3) შედარებისას ვიღებთ ანალოგური ფილტრებიდან ციფრულ ფილტრებზე გადასვლის თანაფარდობას იმპულსური პასუხის უცვლელი ტრანსფორმაციის მეთოდის გამოყენებით.

, (4)

.

მაგალითი 2მოდით, მოცემული იყოს ანალოგური ფილტრის გადაცემის ფუნქცია

.

იპოვეთ ციფრული ფილტრი იმპულსური გარდამავალი ფუნქციის ინვარიანტული ტრანსფორმაციის მეთოდით. ჩვენ წარმოვადგენთ გადაცემის ფუნქციას მარტივი წილადების სახით

. (5)

განვსაზღვროთ ასევე ჰევისაიდის მეთოდით

,

.

(4) მიმართებით ვწერთ ზარის ციფრული ფილტრის გადაცემის ფუნქცია

გამოთქმის (6) გამარტივებით ვიღებთ

. (7)

ამისთვის, ვიღებთ

. (8)

ყველა შრომატევადი გამოთვლა, რომელიც დაკავშირებულია უწყვეტი გადაცემიდან დისკრეტულ ფუნქციებზე გადასვლასთან, შეიძლება აღმოიფხვრას MATLABimpinvar ბრძანების გამოყენებით.

იმპინვარი (b,a,Fs),

სადაც, , არის ანალოგური პროტოტიპის გადაცემის ფუნქციის მრიცხველის და მნიშვნელის კოეფიციენტების მოცემული ვექტორები, არის სიგნალის შერჩევის სიხშირე ჰერცებში და , არის დისკრეტული გადაცემის ფუნქციის მრიცხველისა და მნიშვნელის გამოთვლილი კოეფიციენტები. დისკრეტული ფილტრის.

დისკრეტული ფილტრის პარამეტრების განსაზღვრის პროცედურა მისი ანალოგური პროტოტიპით, რომელიც ეფუძნება ორივე ფილტრის იმპულსური პასუხების დამთხვევას სიგნალის კვანტიზაციის წერტილებში, წარმოდგენილია MATLAB პროგრამით.

h=tf(,) % უწყვეტი ფილტრის გადაცემის ფუნქცია.

Tp=0.1; დისკრეტული ინტერვალი.

hd=c2d(h,Tp) %დისკრეტული ფილტრის გადაცემის ფუნქცია.

Tfdata (h"v")

უწყვეტი ფილტრის ფუნქციები.

იმპინვარი(n,d,10)

% დისკრეტული ფილტრის ფუნქცია.

f=ფილტრი(nd,dd,0.1)

% დისკრეტული ფილტრის ფუნქცია.

bode (h, hd, f), ბადე %ლოგარითმული მახასიათებლების შესახებ

შემუშავებული ფილტრების %.

უნდა აღინიშნოს, რომ ციფრული ფილტრის მომატება ნულოვანი სიხშირეზე არის , ხოლო ანალოგური ფილტრის მომატება არის 1. ამიტომ, თუ შევადარებთ გამოხატულებას (8) MATLAB-ის პაკეტში მიღებულ ანალოგიურ გამოსახულებას, მაშინ არსებობს შეუსაბამობა. განისაზღვრება ფაქტორით. ამიტომ, ანალიტიკურად მიღებული გამოთვლების შედეგების (გამოთქმები 5-8) შესაბამისობაში მოყვანა MATLAB-ის პაკეტში მიღებულ გამოანგარიშების შედეგებთან, გამოხატულება (8) უნდა იყოს ნორმალიზებული მისი დისკრეტულობის ინტერვალზე გამრავლებით.

ამ პროგრამის შესრულების შედეგები აჩვენებს, რომ გადაცემის ფუნქციები მიღებულია შრომატევადი გამოთვლებით (გამოთქმები 5–8) და იმპინვარის პროცედურის გამოყენებით. , დაწყვილება. გამოყენებით მიღებული ლოგარითმული მახასიათებლები სხვადასხვა პროცედურები, განსხვავებულია: პროცედურა impinvar იძლევა უფრო მცირე შეცდომას.

ნახ.3. ფილტრების ლოგარითმული მახასიათებლები (1 - ანალოგი; 2 - დისკრეტული (impinvar პროცედურები); 3 - დისკრეტული (c2d პროცედურები)).

1.1.3. ორხაზოვანი ზ- კონვერტაცია

ცნობილია, რომ იმპულსური გადასვლის ფუნქციის გარდაქმნის მეთოდი ეფუძნება სიბრტყის წერტილების შეერთებას. სთვითმფრინავის წერტილებით ზ, განსაზღვრული მიმართებით

სად არის კუთხე შორის რეალური ღერძითვითმფრინავი ზდა ვექტორები, რომლებიც განსაზღვრავენ წერტილებს სიბრტყის ერთეული რადიუსის წრეზე ზ.

(9)-დან გამომდინარეობს, რომ კავშირი სიბრტყის წერტილებს შორის სდა ზარის ორაზროვანი, რაც იწვევს გადახურვას და შეუძლია შედეგების დამახინჯება, ე.ი. ამ გზით სინთეზირებული ციფრული ფილტრი არ იქნება მისი ანალოგური პროტოტიპის ადეკვატური. მართლაც, სიხშირეები; და თვითმფრინავში ზჩვენება ერთ წერტილში ზ=1.

სუპერპოზიციის არასასურველი ეფექტის აღმოსაფხვრელად შემოღებულია ორწრფივი ტრანსფორმაცია, რომელიც ცალსახად გარდაქმნის სიბრტყის წარმოსახვითი ღერძის წერტილებს. სსიბრტყის წარმოსახვითი ღერძის წერტილებზე ზ. ამრიგად, თვითმფრინავის წარმოსახვითი ღერძიდან გადასვლა სთვითმფრინავამდე ზხორციელდება ორი გარდაქმნით: გამონათქვამები (9) და (10). გამოთქმა (9) გარდაქმნის სიბრტყის წარმოსახვით ღერძს სსიბრტყის ერთეული რადიუსის წრეზე ზ, და გამოხატულება (10) გარდაქმნის სიბრტყის წარმოსახვით ღერძს სთვითმფრინავის წარმოსახვითი ღერძისკენ ზ. ბოლო ტრანსფორმაცია (გამოხატვა (10) ცნობილია როგორც ვტრანსფორმაცია და თვითმფრინავი ზასეთი ტრანსფორმაციის ქვეშ აღინიშნება როგორც თვითმფრინავი ვ.

(10)

(10) განტოლების ამოხსნა ზვიღებთ გამონათქვამს, რომელიც განსაზღვრავს სიბრტყედან გადასვლას ვთვითმფრინავში ს

ურთიერთობების გამოყენებით (9-11), ჩვენ გავამართლებთ ციფრული ფილტრების გამოთვლის მეთოდს, რომელიც არ განსხვავდება ადრე განხილულისგან და შედგება შემდეგი ნაბიჯებისგან.

1. საფუძველზე ტექნიკური მოთხოვნები, განვსაზღვრავთ საჭირო ანალოგური ფილტრის გადაცემის ფუნქციას .

2. გამოიყენეთ ორხაზოვანი ტრანსფორმაცია და მიიღეთ ციფრული ფილტრის Z-გადაცემის ფუნქცია

. (12)

ტრანსფორმაცია (12) შეინარჩუნებს ანალოგური ფილტრის სიხშირის მახასიათებლებს და სტაბილურობის თვისებებს. თუმცა, ეს არ ნიშნავს, რომ ანალოგური და ციფრული ფილტრების სიხშირეები ერთნაირია, მხოლოდ მათი ფორმაა იგივე. მაგალითად, თუ ანალოგური ფილტრის სიხშირის პასუხი მონოტონურად ირთვება, როდესაც სიხშირე იცვლება 0-დან უსასრულობამდე, ციფრული ფილტრის სიხშირის პასუხი მონოტონურად გამოირთვება, როცა ციფრული სიხშირე იცვლება 0-დან ; თუ ანალოგური ფილტრის სიხშირის პასუხი იზრდება და ეცემა სიხშირის დიაპაზონში 0-დან უსასრულობამდე, მაშინ შესაბამისი ციფრული ფილტრის სიხშირე ექნება ციფრული სიხშირის აწევა და ვარდნა 0-დან . უფრო მეტიც, და შორის ურთიერთობა არაწრფივია.

(15)

ციფრული ფილტრის პარამეტრების განსაზღვრის პროცედურა ბილინარული ტრანსფორმაციის მეთოდის საფუძველზე შეიძლება დაჩქარდეს MATLAB პაკეტის ბილინარული ან c2d პროცედურების გამოყენებით.

ბილინარული პროცედურის წვდომა შესაძლებელია სამი გზით

ორხაზოვანი (b,a,Fs,Fp) (16)

ორხაზოვანი (z,p,kFs,Fp) (17)

ორხაზოვანი (A,B,C,D,Fs,Fp) (18)

შეყვანილი მონაცემები ანალოგური ფილტრის პარამეტრის ორხაზოვანი პროცედურის შესასრულებლად, მითითებული LTI ფორმაში. Fs პარამეტრი განსაზღვრავს შერჩევის სიხშირეს ჰერცში. Fp პარამეტრი არჩევითია. ის განსაზღვრავს სიხშირეს ჰერცში, რომლისთვისაც სიხშირის პასუხი კონვერტაციამდე და მის შემდეგ უნდა შეესაბამებოდეს.

გამოთქმა (16)-(18) განსხვავდება თავდაპირველი მონაცემებისგან. (16) მრიცხველის bd და დისკრეტული ფილტრის მნიშვნელი ad კოეფიციენტები განისაზღვრება მრიცხველის b და მნიშვნელის a კოეფიციენტებით, ანალოგური პროტოტიპი. გამოხატულებაში (17), ანალოგური პროტოტიპის საწყისი მონაცემები არის ნულები z, პოლუსები და მომატების ფაქტორი k . გამოხატვის (17) მითითება საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ ნულები zd, პოლუსები pd და დისკრეტული ფილტრის მომატება kd. და ბოლოს, გამოხატულება (18) განსაზღვრავს ფილტრის მდგომარეობის სივრცის დისკრეტულ მატრიცას ამ ფილტრის მდგომარეობის სივრცის ცნობილი უწყვეტი მატრიცებიდან.

პროცედურა c2d განსაზღვრავს დისკრეტული ფილტრის პარამეტრებს უწყვეტი გადაცემის ფუნქციიდან h და დისკრეტული ინტერვალით T П

hd=c2d(h,Tp,'მეთოდი') (19)

MATLAB გთავაზობთ რამდენიმე მიახლოების მეთოდს: ნულოვანი რიგის, პირველი რიგის, ტუსტინის ბიწრფივი დაახლოების, ტუსტინის შესწორებული ბიწრფივი დაახლოების და ნულოვანი პოლუსების შესატყვისობის მეთოდს. მიახლოების მეთოდის არჩევისას მითითებულია გამოხატულება (19) (გამოყენებულია ტუსტინის ბიწრფივი დაახლოება)

hd=c2d(h,Tp,'TUSTIN'). (20)

ნახ.4. ფილტრების ლოგარითმული მახასიათებლები (1 - ანალოგი; 2 - დისკრეტული (ბილინარული ტრანსფორმაციის პროცედურები); 3 - დისკრეტული (c2d პროცედურები))

Ყველა ზემოთხსენებული თეორიული პოზიციებიციფრული ფილტრების გაანგარიშებისას ორმხრივი ტრანსფორმაციის გამოყენებით ილუსტრირებულია პროგრამით:

h=tf(,) % საწყისი მონაცემები

syms z s %შეიყვანეთ სიმბოლური ცვლადები

k=2; შეიყვანეთ სიმბოლური ცვლადები.

s=(2/Tp)*(1-z^-1)/(1+z^-1) % გადატანა W სიბრტყეზე.

hs=k/(s^2+3*s+3)

% ანალოგური ფილტრი.

hs1=გამარტივება(hs) % ალგებრული გარდაქმნები

hs2=filt(,,Tp)*(2/463)% განტოლება

% ციფრული ფილტრი ორმხრივი კონვერტაციისთვის.

Tfdata(h"v") %კოეფიციენტის განსაზღვრა

უწყვეტი ფილტრის გადაცემის ფუნქციის %.

Bilinear(n,d,10) ციფრული ფილტრის განტოლება ამისთვის

% ორმხრივი ტრანსფორმაცია.

hdt=c2d(h,Tp"TUSTIN") %ციფრული ფილტრის განტოლება

Tustin გარდაქმნის.

hdv=filt(nd,dd,Tp) %განტოლების შემცირება ფილტრის ფორმამდე.

bode (h, hdt, hdv, hs2), ბადე %ლოგარითმზე

ანალოგური და ციფრული ფილტრების მახასიათებლები.

ამ პროგრამის გამოთვლების შედეგები ნაჩვენებია ნახაზზე 4, საიდანაც ირკვევა, რომ შრომატევადი გამოთვლებით (გამოხატვა (15)) და ბიწრფივი და c2d პროცედურების გამოყენებით მიღებული სიხშირის მახასიათებლების გრაფიკები ერთმანეთს ემთხვევა.