មេរៀនទី ៣២-៣៣។ បញ្ច្រាស អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ

09.07.2015 5917 0

គោលដៅ: ពិចារណាអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្របញ្ច្រាស ការប្រើប្រាស់របស់ពួកគេសម្រាប់ការសរសេរដំណោះស្រាយ សមីការត្រីកោណមាត្រ.

I. ការទំនាក់ទំនងប្រធានបទ និងគោលបំណងនៃមេរៀន

II. រៀនសម្ភារៈថ្មី។

1. អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្របញ្ច្រាស

ចូរចាប់ផ្តើមប្រធានបទនេះជាមួយនឹងឧទាហរណ៍ខាងក្រោម។

ឧទាហរណ៍ ១

តោះដោះស្រាយសមីការ៖ក) sin x = 1/2; ខ) sin x \u003d ក។

ក) នៅលើអ័ក្សតម្រៀប កំណត់ឡែកតម្លៃ 1/2 ហើយគូសមុំ x ១ និង x2 ដែល sin x = 1/2 ។ ក្នុងករណីនេះ x1 + x2 = π, ពេលណា x2 = π − x ១ . យោងតាមតារាងតម្លៃនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រយើងរកឃើញតម្លៃ x1 \u003d π / 6 បន្ទាប់មកយើងយកទៅពិចារណាពីភាពទៀងទាត់នៃមុខងារស៊ីនុស ហើយសរសេរដំណោះស្រាយ សមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យ: កន្លែងដែល k ∈ Z ។

ខ) វាច្បាស់ណាស់ថាក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ដោះស្រាយសមីការអំពើបាប x = a គឺដូចគ្នានឹងកថាខណ្ឌមុនដែរ។ ជា​ការ​ពិត​ណាស់ ឥឡូវ​នេះ​តម្លៃ​របស់ a ត្រូវ​បាន​គូស​តាម​អ័ក្ស y ។ ចាំបាច់ត្រូវកំណត់មុំ x1 ដូចម្ដេច។ យើង​បាន​យល់​ព្រម​បញ្ជាក់​មុំ​បែប​នេះ​ដោយ​និមិត្តសញ្ញាអំពើបាប arc ក. បន្ទាប់មកដំណោះស្រាយនៃសមីការនេះអាចត្រូវបានសរសេរជារូបមន្តទាំងពីរនេះអាចបញ្ចូលគ្នាជាតែមួយ៖ត្រង់ណា

អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្របញ្ច្រាសផ្សេងទៀតត្រូវបានណែនាំស្រដៀងគ្នា។

ជាញឹកញាប់ណាស់វាចាំបាច់ក្នុងការកំណត់តម្លៃនៃមុំដោយ តម្លៃដែលគេស្គាល់មុខងារត្រីកោណមាត្ររបស់វា។ បញ្ហាបែបនេះមានតម្លៃច្រើន - មានចំនួនមុំគ្មានកំណត់ដែលអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រស្មើនឹងតម្លៃដូចគ្នា។ ដូច្នេះដោយផ្អែកលើ monotonicity នៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ, សម្រាប់ និយមន័យមិនច្បាស់លាស់មុំណែនាំអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្របញ្ច្រាសខាងក្រោម។

អាកស៊ីននៃអាកស៊ីន (arcsin ដែលស៊ីនុសស្មើនឹង a, i.e.

Arc កូស៊ីនុសនៃចំនួនមួយ។ a(arccos a) - មុំបែបនេះ a ពីចន្លោះពេល, កូស៊ីនុសដែលស្មើនឹង a, i.e.

អ័ក្សតង់សង់នៃលេខមួយ។ a(arctg ក) - មុំបែបនេះ a ពីចន្លោះពេលតង់សង់​របស់​វា​គឺ a, i.e.tg a = ក។

អ័ក្សតង់សង់នៃលេខមួយ។ a(arctg a) - មុំបែបនេះ a ពីចន្លោះពេល (0; π) ដែលកូតង់សង់គឺស្មើនឹង a, i.e. ctg a = ក។

ឧទាហរណ៍ ២

ចូរយើងស្វែងរក៖

ដោយបានផ្តល់និយមន័យនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្របញ្ច្រាស យើងទទួលបាន៖

ឧទាហរណ៍ ៣

គណនា

អនុញ្ញាតឱ្យមុំ a = arcsin ៣/៥ បន្ទាប់មកតាមនិយមន័យ sin a = 3/5 និង . ដូច្នេះយើងត្រូវស្វែងរក cos ក. ដោយប្រើមេ អត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រ, យើង​ទទួល​បាន:វាត្រូវបានយកទៅក្នុងគណនីដែល cos a ≥ 0. ដូច្នេះ,

មុខងារមុខងារ	មុខងារ
	y = arcsin x	y = arccos x	y = arctg x	y = arcctg x
ដែន	x ∈ [−1; មួយ]	x ∈ [−1; មួយ]	x ∈ (-∞; +∞)	x ∈ (-∞ +∞)
ជួរនៃតម្លៃ	y ∈ [-π/2 ; π/2]	y ∈	y ∈ (-π/2 ; π / 2)	y ∈ (0; π)
ភាពស្មើគ្នា	សេស	ទាំង​ក៏​មិន​ចម្លែក	សេស	ទាំង​ក៏​មិន​ចម្លែក
មុខងារសូន្យ (y = 0)	នៅពេល x = 0	សម្រាប់ x = 1	នៅពេល x = 0	y ≠ 0
ចន្លោះពេលថេរ	y > 0 សម្រាប់ x ∈ (0; 1], នៅ< 0 при х ∈ [-1; 0)	y > 0 សម្រាប់ x ∈ [−1; មួយ)	y > 0 សម្រាប់ x ∈ (0; +∞), នៅ< 0 при х ∈ (-∞; 0)	y > 0 សម្រាប់ x ∈ (-∞; +∞)
ម៉ូណូតូន	ការកើនឡើង	ថយចុះ	ការកើនឡើង	ថយចុះ
ទំនាក់ទំនងជាមួយអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ	sin y \u003d x	cos y = x	tg y = x	ctg y = x
កាលវិភាគ

តោះយកស៊េរីមួយទៀត ឧទាហរណ៍ធម្មតា។ទាក់ទងទៅនឹងនិយមន័យ និងលក្ខណៈសម្បត្តិជាមូលដ្ឋាននៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្របញ្ច្រាស។

ឧទាហរណ៍ 4

ស្វែងរកដែននៃមុខងារ

ដើម្បីឱ្យមុខងារ y ត្រូវបានកំណត់ វាចាំបាច់ដែលវិសមភាពដែលស្មើនឹងប្រព័ន្ធវិសមភាពដំណោះស្រាយចំពោះវិសមភាពទីមួយគឺចន្លោះពេល x∈ (-∞; +∞) ទីពីរ -គម្លាតនេះ។ និងជាដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធវិសមភាព ហេតុដូច្នេះហើយបានជាដែននៃមុខងារ

ឧទាហរណ៍ 5

ស្វែងរកតំបន់នៃការផ្លាស់ប្តូរមុខងារ

ពិចារណាអំពីឥរិយាបថនៃមុខងារ z \u003d 2x - x2 (មើលរូប)។

គេអាចមើលឃើញថា z ∈ (-∞; ១] z មុខងារនៃតង់សង់បញ្ច្រាសប្រែប្រួលក្នុងដែនកំណត់ដែលបានបញ្ជាក់ ពីទិន្នន័យក្នុងតារាងដែលយើងទទួលបាននោះ។ដូច្នេះតំបន់នៃការផ្លាស់ប្តូរ

ឧទាហរណ៍ ៦

ចូរយើងបញ្ជាក់ថាមុខងារ y = arctg x សេស។ អនុញ្ញាតឱ្យមានបន្ទាប់មក tg a \u003d -x ឬ x \u003d - tg a \u003d tg (- a) និង ដូច្នេះ - a \u003d arctg x ឬ a \u003d - arctg X. ដូច្នេះ​ហើយ យើង​ឃើញ​ដូច្នេះឧ. y(x) គឺជាមុខងារសេស។

ឧទាហរណ៍ ៧

យើងបង្ហាញនៅក្នុងលក្ខខណ្ឌនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្របញ្ច្រាសទាំងអស់។

អនុញ្ញាតឱ្យមាន វាច្បាស់ណាស់។ បន្ទាប់មកចាប់តាំងពី

សូមណែនាំមុំមួយ។ ជា បន្ទាប់មក

ដូចគ្នានេះដែរ និង

ដូច្នេះ

ឧទាហរណ៍ ៨

ចូរយើងបង្កើតក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y \u003d cos (arcsin x) ។

សម្គាល់ \u003d arcsin x បន្ទាប់មក យើងយកទៅពិចារណាថា x \u003d sin a និង y \u003d cos a, i.e. x 2 + y2 = 1, និងការរឹតបន្តឹងលើ x (x∈ [-មួយ; 1]) និង y (y ≥ 0) ។ បន្ទាប់មកក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = cos(arcsin x) គឺជារង្វង់ពាក់កណ្តាល។

ឧទាហរណ៍ ៩

ចូរយើងបង្កើតក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y \u003d arccos (cosx) ។

ចាប់តាំងពីមុខងារ cos x ការផ្លាស់ប្តូរនៅលើផ្នែក [-1; 1] បន្ទាប់មកអនុគមន៍ y ត្រូវបានកំណត់លើទាំងមូល អ័ក្សលេខនិងការផ្លាស់ប្តូរនៅលើផ្នែក។ យើងនឹងចាំថា y = arccos(cosx) \u003d x នៅលើផ្នែក; អនុគមន៍ y គឺគូ និងតាមកាលកំណត់ជាមួយនឹងរយៈពេលនៃ 2π ។ ពិចារណាថាមុខងារមានលក្ខណៈសម្បត្តិទាំងនេះ cos x , ឥឡូវនេះវាងាយស្រួលក្នុងការគ្រោង។

យើងកត់សំគាល់សមភាពដែលមានប្រយោជន៍មួយចំនួន៖

ឧទាហរណ៍ 10

ស្វែងរកតូចបំផុតនិង តម្លៃដ៏អស្ចារ្យបំផុត។មុខងារបញ្ជាក់ បន្ទាប់មក ទទួលបានមុខងារមួយ។ មុខងារនេះមានអប្បបរមានៅចំណុច z = π/4 ហើយវាស្មើនឹង តម្លៃអតិបរមានៃមុខងារត្រូវបានឈានដល់ចំណុច z = -π/2 ហើយវាស្មើនឹង ដូចនេះ និង

ឧទាហរណ៍ 11

ចូរយើងដោះស្រាយសមីការ

យើងយកទៅក្នុងគណនីនោះ។ បន្ទាប់មកសមីការមើលទៅដូចនេះ៖ឬ កន្លែងណា តាមនិយមន័យនៃតង់សង់ធ្នូ យើងទទួលបាន៖

2. ដំណោះស្រាយនៃសមីការត្រីកោណមាត្រសាមញ្ញបំផុត។

ស្រដៀងគ្នាទៅនឹងឧទាហរណ៍ទី 1 អ្នកអាចទទួលបានដំណោះស្រាយចំពោះសមីការត្រីកោណមាត្រសាមញ្ញបំផុត។

សមីការ	ការសម្រេចចិត្ត
tgx = ក
ctg x = ក

ឧទាហរណ៍ 12

ចូរយើងដោះស្រាយសមីការ

ដោយសារអនុគមន៍ស៊ីនុសគឺសេស យើងសរសេរសមីការក្នុងទម្រង់ដំណោះស្រាយចំពោះសមីការនេះ៖តើយើងរកបាននៅឯណា

ឧទាហរណ៍ 13

ចូរយើងដោះស្រាយសមីការ

យោងតាមរូបមន្តខាងលើ យើងសរសេរដំណោះស្រាយនៃសមីការ៖និងស្វែងរក

ចំណាំថាក្នុងករណីពិសេស (a = 0; ± 1) នៅពេលដោះស្រាយសមីការ sin x = a និង cos x = a គឺងាយស្រួល និងងាយស្រួលប្រើជាង រូបមន្តទូទៅនិងសរសេរដំណោះស្រាយដោយផ្អែកលើ រង្វង់ឯកតា:

សម្រាប់សមីការ sin x = 1 ដំណោះស្រាយ

សម្រាប់សមីការ sin x \u003d 0 ដំណោះស្រាយ x \u003d π k;

សម្រាប់សមីការ sin x = −1 ដំណោះស្រាយ

សម្រាប់សមីការ cos x = 1 ដំណោះស្រាយ x = 2π k;

សម្រាប់សមីការ cos x = 0 ដំណោះស្រាយ

សម្រាប់សមីការ cos x = −1 ដំណោះស្រាយ

ឧទាហរណ៍ 14

ចូរយើងដោះស្រាយសមីការ

ចាប់តាំងពីនៅក្នុង ឧទាហរណ៍នេះ។មាន ករណីពិសេសសមីការ បន្ទាប់មកយោងតាមរូបមន្តដែលត្រូវគ្នា យើងសរសេរដំណោះស្រាយ៖តើយើងរកបាននៅឯណា

III. សំណួរសាកល្បង(ការបោះឆ្នោតខាងមុខ)

1. កំណត់ និងរាយបញ្ជីលក្ខណៈសម្បត្តិសំខាន់ៗនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្របញ្ច្រាស។

2. ផ្តល់ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្របញ្ច្រាស។

3. ដំណោះស្រាយនៃសមីការត្រីកោណមាត្រសាមញ្ញបំផុត។

IV. កិច្ចការក្នុងមេរៀន

§ 15, លេខ 3 (a, b); ៤ (គ, ឃ); ៧(ក); ៨(ក); ១២(ខ); ១៣(ក); ១៥ (គ); ១៦(ក); 18 (a, b); ១៩ (គ); ២១;

§ 16, លេខ 4 (a, b); ៧(ក); ៨ (ខ); 16 (a, b); ១៨(ក); ១៩ (គ, ឃ);

§ 17, លេខ 3 (a, b); ៤ (គ, ឃ); 5 (a, b); ៧ (គ, ឃ); ៩ (ខ); ១០ (ក, គ) ។

V. កិច្ចការផ្ទះ

§ 15, លេខ 3 (គ, ឃ); 4 (a, b); ៧ (គ); ៨ (ខ); ១២(ក); ១៣(ខ); ១៥ (ឃ); ១៦(ខ); 18 (គ, ឃ); ១៩ (ឃ); ២២;

§ 16, លេខ 4 (c, d); ៧(ខ); ៨(ក); ១៦ (គ, ឃ); 18(ខ); 19 (a, b);

§ 17 លេខ 3 (គ, ឃ); 4 (a, b); 5 (គ, ឃ); 7 (a, b); ៩ (ឃ); 10 (ខ, ឃ) ។

VI. ភារកិច្ចច្នៃប្រឌិត

1. ស្វែងរកវិសាលភាពនៃមុខងារ៖

ចម្លើយ៖

2. ស្វែងរកជួរនៃមុខងារ៖

ចម្លើយ៖

3. ក្រាហ្វនៃមុខងារ៖

VII. សង្ខេបមេរៀន

អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្របញ្ច្រាសគឺ មុខងារគណិតវិទ្យាដែលជាមុខងារបញ្ច្រាសនៃត្រីកោណមាត្រ។

អនុគមន៍ y=arcsin(x)

arcsine នៃលេខ α គឺជាលេខ α ពីចន្លោះពេល [-π/2; π/2] ដែលស៊ីនុសស្មើនឹង α ។
ក្រាហ្វមុខងារ
មុខងារ y \u003d sin⁡ (x) នៅលើចន្លោះពេល [-π / 2; π / 2] គឺកំពុងកើនឡើងយ៉ាងតឹងរ៉ឹង និងបន្ត។ ដូច្នេះនាងមាន មុខងារបញ្ច្រាសកើនឡើងយ៉ាងតឹងរ៉ឹង និងបន្ត។
អនុគមន៍ច្រាសសម្រាប់អនុគមន៍ y= sin⁡(x) ដែល x ∈[-π/2; π/2] ត្រូវបានគេហៅថា arcsine ហើយត្រូវបានតាងថា y=arcsin(x) ដែល x∈[-1;1 ]
ដូច្នេះយោងទៅតាមនិយមន័យនៃអនុគមន៍បញ្ច្រាសដែននៃនិយមន័យនៃ arcsine គឺផ្នែក [-1; 1] ហើយសំណុំនៃតម្លៃគឺចម្រៀក [-π/2; π/2] ។
ចំណាំថាក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y=arcsin(x) ដែល x ∈[-1; 1] គឺស៊ីមេទ្រីទៅនឹងក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y= sin(⁡x) ដែល x∈[-π/2;π /2] ទាក់ទងទៅនឹង bisector នៃមុំកូអរដោនេនៃត្រីមាសទីមួយ និងទីបី។

វិសាលភាពនៃអនុគមន៍ y=arcsin(x)។

ឧទាហរណ៍លេខ 1 ។

ស្វែងរក arcsin (1/2)?

ដោយសារជួរនៃអនុគមន៍ arcsin(x) ជារបស់ចន្លោះពេល [-π/2;π/2] មានតែតម្លៃ π/6 ប៉ុណ្ណោះដែលសមរម្យ។ ដូច្នេះ arcsin(1/2) = π/6។
ចម្លើយ៖ π/៦

ឧទាហរណ៍ #2 ។
ស្វែងរក arcsin(-(√3)/2)?

ចាប់តាំងពីតំបន់ តម្លៃ arcsin(x) x ∈[-π/2;π/2] បន្ទាប់មកមានតែតម្លៃ -π/3 ប៉ុណ្ណោះដែលសមរម្យ។ ដូច្នេះ arcsin(-(√3)/2) =- π/3 ។

អនុគមន៍ y=arccos(x)

អាក់កូស៊ីននៃលេខ α គឺជាលេខ α ពីចន្លោះពេលដែលកូស៊ីនុសស្មើនឹង α ។

ក្រាហ្វមុខងារ

អនុគមន៍ y = cos(⁡x) នៅលើចន្លោះពេលកំពុងថយចុះយ៉ាងតឹងរ៉ឹង និងបន្ត។ ដូច្នេះ វាមានមុខងារច្រាស ដែលថយចុះយ៉ាងតឹងរ៉ឹង និងបន្ត។
អនុគមន៍ច្រាសសម្រាប់អនុគមន៍ y = cos⁡x ដែល x ∈ ត្រូវបានហៅ អាកកូស៊ីនុសនិងតំណាង y=arccos(x) ដែល x ∈[-1;1] ។
ដូច្នេះយោងទៅតាមនិយមន័យនៃអនុគមន៍បញ្ច្រាសដែននៃនិយមន័យនៃ arccosine គឺជាផ្នែក [-1; 1] ហើយសំណុំនៃតម្លៃគឺជាផ្នែក។
ចំណាំថាក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y=arccos(x) ដែល x ∈[-1; 1] គឺស៊ីមេទ្រីទៅនឹងក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y= cos(⁡x) ដែល x ∈ ទាក់ទងទៅនឹង bisector នៃ សំរបសំរួលមុំនៃត្រីមាសទី 1 និងទី 3 ។

វិសាលភាពនៃអនុគមន៍ y=arccos(x)។

ឧទាហរណ៍ #3 ។

ស្វែងរក Arccos (1/2)?

ដោយសារជួរនៃ arccos(x) គឺ x∈ មានតែតម្លៃ π/3 ប៉ុណ្ណោះដែលសមរម្យ។ ដូច្នេះ arccos(1/2) =π/3។
ឧទាហរណ៍លេខ 4 ។
ស្វែងរក Arccos(-(√2)/2)?

ដោយសារជួរនៃអនុគមន៍ arccos(x) ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ចន្លោះពេល មានតែតម្លៃ 3π/4 ប៉ុណ្ណោះដែលសមរម្យ។ ដូច្នេះហើយ arccos(-(√2)/2) =3π/4។

ចម្លើយ៖ ៣π/៤

អនុគមន៍ y=arctg(x)

តង់សង់ធ្នូនៃលេខ α គឺជាលេខ α ពីចន្លោះពេល [-π/2; π/2] ដែលតង់ហ្សង់គឺស្មើនឹង α ។

ក្រាហ្វមុខងារ

អនុគមន៍តង់សង់គឺបន្ត និងកើនឡើងយ៉ាងតឹងរ៉ឹងនៅចន្លោះពេល (-π/2; π/2); ដូច្នេះ វា​មាន​មុខងារ​បញ្ច្រាស​ដែល​កំពុង​បន្ត​និង​កើនឡើង​យ៉ាង​តឹងរ៉ឹង។
អនុគមន៍​បញ្ច្រាស​សម្រាប់​អនុគមន៍ y= tg⁡(x), ដែល x∈(-π/2; π/2); ត្រូវបានគេហៅថា arctangent និងតំណាង y=arctg(x) ដែល x∈R ។
ដូច្នេះយោងទៅតាមនិយមន័យនៃអនុគមន៍បញ្ច្រាសដែននៃនិយមន័យនៃអាកតង់សង់គឺជាចន្លោះពេល (-∞;+∞) ហើយសំណុំនៃតម្លៃគឺជាចន្លោះពេល។
(-π/2; π/2) ។
ចំណាំថាក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y=arctg(x) ដែល x∈R គឺស៊ីមេទ្រីទៅនឹងក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y=tg⁡x ដែល x ∈ (-π/2; π/2) ទាក់ទងនឹង bisector នៃមុំកូអរដោនេនៃត្រីមាសទីមួយ និងទីបី។

វិសាលភាពនៃអនុគមន៍ y=arctg(x)។

ឧទាហរណ៍ #5?

ស្វែងរក Arctg((√3)/3)។

ដោយសារជួរនៃ arctan(x) x ∈(-π/2;π/2) មានតែតម្លៃ π/6 ប៉ុណ្ណោះដែលសមរម្យ។ ដូច្នេះ arctg((√3)/3) =π/6។
ឧទាហរណ៍លេខ ៦ ។
ស្វែងរក Arctg(-1)?

ដោយសារជួរនៃ arctg(x) x ∈(-π/2;π/2) មានតែតម្លៃ -π/4 ប៉ុណ្ណោះដែលសមរម្យ។ ដូច្នេះ arctg(-1) = - π/4 ។

អនុគមន៍ y=arctg(x)

តង់ហ្សង់ធ្នូនៃលេខ α គឺជាលេខ α ពីចន្លោះពេល (0; π) ដែលកូតង់សង់ស្មើនឹង α ។

ក្រាហ្វមុខងារ

នៅចន្លោះពេល (0;π) មុខងារកូតង់សង់ថយចុះយ៉ាងតឹងរ៉ឹង។ លើសពីនេះ វាបន្តនៅគ្រប់ចំណុចនៃចន្លោះពេលនេះ។ ដូច្នេះ នៅចន្លោះពេល (0;π) មុខងារនេះមានអនុគមន៍ច្រាស ដែលបន្ថយយ៉ាងតឹងរ៉ឹង និងបន្ត។
អនុគមន៍​បញ្ច្រាស​សម្រាប់​អនុគមន៍ y=ctg(x) ដែល x ∈(0;π) ត្រូវ​បាន​ហៅ​ថា arc cotangent ហើយ​ត្រូវ​បាន​តាង​ថា y=arcctg(x) ដែល x∈R ។
ដូច្នេះយោងទៅតាមនិយមន័យនៃអនុគមន៍ច្រាសដែននៃនិយមន័យនៃតង់សង់បញ្ច្រាសនឹងមាន រតម្លៃ – ចន្លោះពេល (0; π) ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y=arcctg(x) ដែល x∈R គឺស៊ីមេទ្រីទៅនឹងក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y=ctg(x) x∈(0; π) ជាមួយ គោរពទៅផ្នែកនៃមុំកូអរដោនេនៃត្រីមាសទីមួយ និងទីបី។

វិសាលភាពនៃអនុគមន៍ y=arcctg(x)។

ឧទាហរណ៍លេខ ៧ ។
ស្វែងរក arcctg((√3)/3)?

ដោយសារជួរនៃ arcctg(x) x ∈(0;π) មានតែតម្លៃ π/3 ប៉ុណ្ណោះដែលសមរម្យ។ ដូច្នេះ arccos((√3)/3) =π/3។

ឧទាហរណ៍លេខ ៨ ។
ស្វែងរក arcctg(-(√3)/3)?

ដោយសារជួរនៃ arcctg(x) x∈(0;π) មានតែតម្លៃ 2π/3 ប៉ុណ្ណោះដែលសមរម្យ។ ដូច្នេះ arccos(-(√3)/3) =2π/3។

អ្នកកែសម្រួល៖ Ageeva Lyubov Alexandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna

និយមន័យនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្របញ្ច្រាស និងក្រាហ្វរបស់វាត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ក៏ដូចជារូបមន្តដែលទាក់ទងនឹងអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្របញ្ច្រាស រូបមន្តសម្រាប់ផលបូក និងភាពខុសគ្នា។

និយមន័យនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្របញ្ច្រាស

ដោយសារអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រមានលក្ខណៈតាមកាលកំណត់ មុខងារបញ្ច្រាសទៅពួកវាមិនមានតម្លៃតែមួយទេ។ ដូច្នេះសមីការ y = sin xសម្រាប់ការផ្តល់ឱ្យ វាមានឫសជាច្រើនគ្មានកំណត់។ ពិតប្រាកដណាស់ ដោយសារភាពទៀងទាត់នៃស៊ីនុស ប្រសិនបើ x គឺជាឫសបែបនេះ x + 2n(ដែល n ជាចំនួនគត់) ក៏នឹងជាឫសគល់នៃសមីការផងដែរ។ ដូច្នេះ អនុគមន៍​ត្រីកោណមាត្រ​បញ្ច្រាស​ត្រូវ​បាន​គុណតម្លៃ. ដើម្បីធ្វើឱ្យវាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការធ្វើការជាមួយពួកគេ គំនិតនៃតម្លៃចម្បងរបស់ពួកគេត្រូវបានណែនាំ។ ពិចារណាឧទាហរណ៍ស៊ីនុសៈ y = sin x. ប្រសិនបើយើងកំណត់អាគុយម៉ង់ x ទៅចន្លោះពេល នោះមុខងារ y = sin xកើនឡើងឯកតា។ ដូច្នេះ វា​មាន​អនុគមន៍​បញ្ច្រាស​តម្លៃ​តែ​មួយ​ដែល​គេ​ហៅ​ថា arcsine: x = arcsin y.

លុះត្រាតែមានចែងផ្សេងពីនេះ អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្របញ្ច្រាសមានន័យថាតម្លៃចម្បងរបស់វា ដែលត្រូវបានកំណត់ដោយនិយមន័យខាងក្រោម។

Arcsine ( y= arcsin x) គឺជាមុខងារបញ្ច្រាសនៃស៊ីនុស ( x= ខុស

ធ្នូ កូស៊ីនុស ( y= arccos x) គឺជាមុខងារបញ្ច្រាសនៃកូស៊ីនុស ( x= cos y) ដែលមានដែននិយមន័យ និងសំណុំនៃតម្លៃ។

Arctangent ( y= arctg x) គឺជាមុខងារបញ្ច្រាសនៃតង់សង់ ( x= tg y) ដែលមានដែននិយមន័យ និងសំណុំនៃតម្លៃ។

តង់សង់ធ្នូ ( y= arcctg x) គឺជាមុខងារបញ្ច្រាសនៃកូតង់សង់ ( x= ctg y) ដែលមានដែននិយមន័យ និងសំណុំនៃតម្លៃ។

ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្របញ្ច្រាស

ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្របញ្ច្រាសត្រូវបានទទួលពីក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ រូបភាពកញ្ចក់ទាក់ទងទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់ y = x ។ សូមមើលផ្នែក ស៊ីនុស កូស៊ីនុស តង់សង់ កូតង់សង់។

y= arcsin x

y= arccos x

y= arctg x

y= arcctg x

រូបមន្តមូលដ្ឋាន

នៅទីនេះ ការយកចិត្តទុកដាក់ជាពិសេសគួរតែត្រូវបានបង់ទៅចន្លោះពេលដែលរូបមន្តមានសុពលភាព។

arcsin(sin x) = xនៅ
sin(arcsin x) = x
arccos(cos x) = xនៅ
cos(arccos x) = x

arctg(tg x) = xនៅ
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = xនៅ
ctg(arctg x) = x

រូបមន្តដែលទាក់ទងនឹងអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្របញ្ច្រាស

រូបមន្តបូកនិងភាពខុសគ្នា

នៅ ឬ

នៅ និង

នៅ និង

នៅ ឬ

នៅ និង

នៅ និង

នៅ

នៅ

នៅ

នៅ

អនុគមន៍ sin, cos, tg, និង ctg តែងតែត្រូវបានអមដោយ arcsine, arccosine, arctangent និង arccotangent ។ មួយ​ជា​លទ្ធផល​នៃ​មុខងារ​មួយ​ទៀត ហើយ​មុខងារ​ជា​គូ​មាន​សារៈសំខាន់​ដូចគ្នា​សម្រាប់​ការ​ធ្វើ​ការ​ជាមួយ​កន្សោម​ត្រីកោណមាត្រ។

ពិចារណាគំនូរនៃរង្វង់ឯកតាដែលបង្ហាញក្រាហ្វិកតម្លៃនៃអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ។

ប្រសិនបើអ្នកគណនា arcs OA, arcos OC, arctg DE និង arcctg MK នោះពួកវាទាំងអស់នឹងស្មើនឹងតម្លៃនៃមុំα។ រូបមន្តខាងក្រោមឆ្លុះបញ្ចាំងពីទំនាក់ទំនងរវាងអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រចម្បង និងធ្នូដែលត្រូវគ្នា។

ដើម្បីស្វែងយល់បន្ថែមអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ arcsine វាចាំបាច់ត្រូវពិចារណាមុខងាររបស់វា។ កាលវិភាគ មានទម្រង់នៃខ្សែកោង asymmetric ឆ្លងកាត់កណ្តាលនៃកូអរដោនេ។

លក្ខណៈសម្បត្តិ Arcsine៖

ប្រសិនបើយើងប្រៀបធៀបក្រាហ្វ អំពើបាបនិង អំពើបាប arcអនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រពីរអាចរកឃើញគំរូទូទៅ។

អាកកូស៊ីនុស

Arccos នៃចំនួន a គឺជាតម្លៃនៃមុំ α ដែលជាកូស៊ីនុសដែលស្មើនឹង a ។

ខ្សែកោង y = Arcos xឆ្លុះមើលគ្រោងនៃ arcsin x ជាមួយនឹងភាពខុសគ្នាតែមួយគត់គឺថាវាឆ្លងកាត់ចំណុច π/2 នៅលើអ័ក្ស OY ។

ពិចារណាអំពីមុខងារ arccosine ឱ្យបានលំអិត៖

1. មុខងារត្រូវបានកំណត់នៅលើផ្នែក [-1; មួយ]។
2. ODZ សម្រាប់ arccos - .
3. ក្រាហ្វមានទីតាំងនៅទាំងស្រុងក្នុងត្រីមាសទី 1 និងទី 2 ហើយមុខងារខ្លួនវាមិនសូម្បីតែឬសេស។
4. Y = 0 សម្រាប់ x = 1 ។
5. ខ្សែកោងថយចុះតាមបណ្តោយប្រវែងទាំងមូលរបស់វា។ លក្ខណៈសម្បត្តិមួយចំនួនរបស់ arc cosine គឺដូចគ្នាទៅនឹងមុខងារកូស៊ីនុសដែរ។

លក្ខណៈសម្បត្តិមួយចំនួនរបស់ arc cosine គឺដូចគ្នាទៅនឹងមុខងារកូស៊ីនុសដែរ។

វាអាចទៅរួចដែលថាការសិក្សា "លម្អិត" នៃ "ធ្នូ" បែបនេះនឹងហាក់ដូចជាគ្មានប្រយោជន៍សម្រាប់សិស្សសាលា។ បើមិនដូច្នេះទេ បឋមសិក្សាខ្លះ ភារកិច្ចធម្មតា។ការប្រឡងបង្រួបបង្រួមរដ្ឋអាចនាំសិស្សទៅទីបញ្ចប់។

លំហាត់ 1 ។បញ្ជាក់មុខងារដែលបង្ហាញក្នុងរូប។

ចម្លើយ៖អង្ករ។ ១ - ៤ រូប ២ - ១ ។

ក្នុងឧទាហរណ៍នេះ ការសង្កត់ធ្ងន់គឺទៅលើរឿងតូចតាច។ ជា​ធម្មតា សិស្ស​មិន​សូវ​យក​ចិត្ត​ទុក​ដាក់​ចំពោះ​ការ​បង្កើត​ក្រាហ្វ និង​រូបរាង​មុខងារ។ ជាការពិតណាស់ ហេតុអ្វីបានជាទន្ទេញចាំទម្រង់នៃខ្សែកោង ប្រសិនបើវាអាចត្រូវបានបង្កើតឡើងពីចំណុចដែលបានគណនាជានិច្ច។ កុំភ្លេចថានៅក្រោមលក្ខខណ្ឌសាកល្បងពេលវេលាចំណាយលើការគូរសម្រាប់ កិច្ចការដ៏សាមញ្ញមួយ។ទាមទារសម្រាប់កិច្ចការស្មុគស្មាញបន្ថែមទៀត។

អាកតង់ហ្សង់

Arctgលេខ a គឺជាតម្លៃនៃមុំ α ដែលតង់ហ្សង់របស់វាស្មើនឹង a ។

ប្រសិនបើយើងពិចារណាលើគ្រោងនៃតង់សង់ធ្នូ យើងអាចបែងចែកលក្ខណៈសម្បត្តិដូចខាងក្រោមៈ

1. ក្រាហ្វគឺគ្មានដែនកំណត់ និងកំណត់នៅលើចន្លោះពេល (- ∞; + ∞) ។
2. អាកតង់ហ្សង់ មុខងារសេសដូច្នេះ arctan (- x) = - arctan x ។
3. Y = 0 សម្រាប់ x = 0 ។
4. ខ្សែកោងកើនឡើងលើដែនទាំងមូលនៃនិយមន័យ។

នេះគឺជាសង្ខេប ការវិភាគប្រៀបធៀប tg x និង arctg x ជាតារាង។

អ័ក្សតង់សង់

Arcctg នៃចំនួន a - យកតម្លៃនៃαពីចន្លោះពេល (0; π) ដែលកូតង់សង់របស់វាស្មើនឹង a ។

លក្ខណៈ​នៃ​អនុគមន៍​កូតង់សង់​ធ្នូ៖

1. ចន្លោះពេលកំណត់មុខងារគឺគ្មានកំណត់។
2. តំបន់ តម្លៃអនុញ្ញាតគឺជាចន្លោះពេល (0; π) ។
3. F(x) មិនមែនសូម្បីតែឬសេស។
4. នៅទូទាំងប្រវែងរបស់វាក្រាហ្វនៃមុខងារថយចុះ។

ការប្រៀបធៀប ctg x និង arctg x គឺសាមញ្ញណាស់ អ្នកគ្រាន់តែត្រូវគូររូបពីរ ហើយពិពណ៌នាអំពីឥរិយាបថនៃខ្សែកោង។

កិច្ចការទី 2 ។ភ្ជាប់ក្រាហ្វ និងទម្រង់នៃអនុគមន៍។

ឡូជីខល ក្រាហ្វបង្ហាញថាមុខងារទាំងពីរកំពុងកើនឡើង។ ដូច្នេះ តួលេខទាំងពីរបង្ហាញមុខងារ arctg មួយចំនួន។ វាត្រូវបានគេស្គាល់ពីលក្ខណៈសម្បត្តិនៃតង់ហ្សង់ធ្នូថា y = 0 សម្រាប់ x = 0,

ចម្លើយ៖អង្ករ។ ១ - ១ រូប។ ២-៤.

អត្តសញ្ញាណត្រីកោណមាត្រ arcsin, arcos, arctg និង arcctg

ពីមុន យើងបានកំណត់ទំនាក់ទំនងរវាង arches និងមុខងារសំខាន់នៃត្រីកោណមាត្ររួចហើយ។ ការពឹងផ្អែកនេះអាចត្រូវបានបង្ហាញដោយរូបមន្តមួយចំនួនដែលអនុញ្ញាតឱ្យបង្ហាញឧទាហរណ៍ស៊ីនុសនៃអាគុយម៉ង់តាមរយៈ arcsine, arccosine ឬច្រាសមកវិញ។ ចំណេះដឹងអំពីអត្តសញ្ញាណបែបនេះអាចមានប្រយោជន៍ក្នុងការដោះស្រាយឧទាហរណ៍ជាក់លាក់។

វាក៏មានសមាមាត្រសម្រាប់ arctg និង arcctg:

រូបមន្តគូមានប្រយោជន៍មួយទៀតកំណត់តម្លៃសម្រាប់ផលបូកនៃតម្លៃ arcsin និង arcos និង arcctg និង arcctg នៃមុំដូចគ្នា។

ឧទាហរណ៍នៃការដោះស្រាយបញ្ហា

កិច្ចការត្រីកោណមាត្រអាចបែងចែកជាបួនក្រុម៖ គណនា តម្លៃលេខកន្សោមជាក់លាក់ បង្កើតក្រាហ្វនៃមុខងារនេះ ស្វែងរកដែននៃនិយមន័យ ឬ ODZ ហើយអនុវត្តការបំប្លែងការវិភាគដើម្បីដោះស្រាយឧទាហរណ៍។

នៅពេលដោះស្រាយបញ្ហាប្រភេទទី 1 វាចាំបាច់ត្រូវប្រកាន់ខ្ជាប់ ផែនការបន្ទាប់សកម្មភាព៖

នៅពេលធ្វើការជាមួយក្រាហ្វមុខងាររឿងសំខាន់គឺចំណេះដឹងអំពីលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ពួកគេនិង រូបរាងកោង។ តារាងនៃអត្តសញ្ញាណគឺចាំបាច់ដើម្បីដោះស្រាយសមីការត្រីកោណមាត្រ និងវិសមភាព។ រូបមន្តកាន់តែច្រើនដែលសិស្សចងចាំ វាកាន់តែងាយស្រួលក្នុងការស្វែងរកចម្លើយចំពោះកិច្ចការ។

ឧបមាថានៅក្នុងការប្រឡងចាំបាច់ត្រូវស្វែងរកចម្លើយសម្រាប់សមីការនៃប្រភេទ៖

ប្រសិនបើអ្នកផ្លាស់ប្តូរកន្សោមឱ្យបានត្រឹមត្រូវហើយនាំទៅ ប្រភេទត្រឹមត្រូវ។បន្ទាប់មក វាគឺសាមញ្ញណាស់ ហើយលឿនក្នុងការដោះស្រាយវា។ ជាដំបូង សូមផ្លាស់ទី arcsin x ទៅ ផ្នែក​ខាងស្តាំសមភាព។

ប្រសិនបើយើងចងចាំរូបមន្ត arcsin (sinα) = αបន្ទាប់មកយើងអាចកាត់បន្ថយការស្វែងរកចម្លើយដើម្បីដោះស្រាយប្រព័ន្ធនៃសមីការពីរ៖

ឧបសគ្គនៅលើគំរូ x បានកើតឡើងម្តងទៀតពីលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់ arcsin: ODZ សម្រាប់ x [-1; មួយ]។ នៅពេលដែល ≠ 0 ផ្នែកនៃប្រព័ន្ធគឺ សមីការ​ការ៉េជាមួយឫស x1 = 1 និង x2 = - 1/a ។ ជាមួយនឹង a = 0, x នឹងស្មើនឹង 1 ។