ទំហំប្រូបាប៊ីលីតេ (W, S, P) ។ Axioms នៃទ្រឹស្តីនៃប្រូបាប៊ីលីតេ និងផលវិបាកពីពួកគេ។

គោលបំណងនៃមេរៀន៖ ដើម្បីស្គាល់ព័ត៌មានបឋមពីទ្រឹស្តីនៃសំណុំ; បង្កើត axioms នៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ ផលវិបាករបស់វា និងច្បាប់សម្រាប់បន្ថែមប្រូបាប៊ីលីតេ។

ព័ត៌មានបឋមពីទ្រឹស្តីសំណុំ

ជាច្រើនការប្រមូលវត្ថុណាមួយនៃធម្មជាតិបំពានត្រូវបានគេហៅថា ដែលនីមួយៗត្រូវបានគេហៅថា ធាតុកំណត់.

ឧទាហរណ៍នៃសំណុំ: សិស្សជាច្រើននៅក្នុងការបង្រៀនមួយ; សំណុំនៃចំណុចនៅលើយន្តហោះដែលស្ថិតនៅខាងក្នុងរង្វង់កាំ r; ចំណុចជាច្រើននៅលើ អ័ក្សលេខ, ចម្ងាយពីចំណុចទៅចំណុច ខជាមួយ abscissa កតិចជាង ឃ; មួយបាច់ លេខធម្មជាតិ.

សំណុំត្រូវបានតំណាងតាមរបៀបផ្សេងៗគ្នា។ មួយបាច់ មលេខធម្មជាតិពី 1 ដល់ 100 អាចត្រូវបានសរសេរជា

សំណុំនៃចំណុចនៅលើអ័ក្សលេខ ចម្ងាយពីចំណុចទៅចំណុច ខជាមួយ abscissa កតិចជាង ឃអាចត្រូវបានសរសេរជា

កន្លែងណា x- abscissa នៃចំណុច។

សំណុំនៃចំណុចយន្តហោះស្ថិតនៅខាងក្នុង ឬនៅលើព្រំប្រទល់នៃរង្វង់កាំ rផ្តោតលើប្រភពដើម,

កន្លែងណា x, y – កូអរដោណេ Cartesianពិន្ទុ។

ធាតុមួយទៀតនៃឈុតនេះ។

កន្លែងណាជាកូអរដោនេប៉ូលមួយនៃចំណុច។

យោងតាមចំនួនធាតុសំណុំត្រូវបានបែងចែកទៅជា ចុងក្រោយនិង គ្មានទីបញ្ចប់. សំណុំនេះគឺមានកំណត់ និងមាន 100 ធាតុ។ ប៉ុន្តែសំណុំមួយក៏អាចមានធាតុមួយ ហើយថែមទាំងមិនមានធាតុអ្វីទាំងអស់។

សំណុំនៃលេខធម្មជាតិទាំងអស់គឺគ្មានដែនកំណត់ ដូចគ្នានឹងសំណុំនៃលេខគូគឺគ្មានកំណត់។

សំណុំគ្មានកំណត់ត្រូវបានគេហៅថាអាចរាប់បាន ប្រសិនបើធាតុទាំងអស់របស់វាអាចត្រូវបានរៀបចំតាមលំដាប់លំដោយ និងលេខរៀង (សំណុំទាំងពីរ និង , អាចរាប់បាន)។

ឈុត សនិង គគឺគ្មានកំណត់ និងមិនអាចរាប់បាន (ធាតុរបស់ពួកគេមិនអាចរាប់បាន)។

ពីរឈុត កនិង ខ ការប្រកួតប្រសិនបើពួកវាមានធាតុផ្សំដូចគ្នា៖ និង . ភាពចៃដន្យនៃសំណុំត្រូវបានតំណាងដោយសញ្ញាស្មើគ្នា៖ A=B. សញ្ញាណមានន័យថាវត្ថុ កគឺជាធាតុផ្សំនៃឈុត ប៉ុន្តែឬ " កជាកម្មសិទ្ធិ ប៉ុន្តែ"។ ធាតុមួយទៀតមានន័យថា " កមិនមែនជាកម្មសិទ្ធិ ប៉ុន្តែ".

សំណុំដែលមិនមានធាតុណាមួយត្រូវបានហៅ ទទេហើយត្រូវបានតំណាងដោយនិមិត្តសញ្ញា។

មួយបាច់ អេត្រូវបានគេហៅថាសំណុំរង (ផ្នែក) នៃសំណុំ ប៉ុន្តែប្រសិនបើធាតុទាំងអស់។ អេក៏មាននៅក្នុង ប៉ុន្តែនិងត្រូវបានតំណាងថាជា ឬ . ឧទាហរណ៍, ។

សំណុំរងអាចស្មើនឹងសំណុំខ្លួនវា។ ជាក្រាហ្វិក អ្នកអាចពណ៌នាទំនាក់ទំនងរវាងសំណុំមួយ និងសំណុំរង ដូចដែលបានបង្ហាញក្នុងរូប។ 2.1 ដែលចំនុចនីមួយៗនៃរូប អេជាកម្មសិទ្ធិរបស់រូប ប៉ុន្តែ, ឧ..

សហជីព (ផលបូក) នៃសំណុំ ប៉ុន្តែនិង អេត្រូវបានគេហៅថាសំណុំដែលមានធាតុទាំងអស់។ ប៉ុន្តែនិងធាតុទាំងអស់។ អេ. ដូច្នេះ សហជីពគឺជាបណ្តុំនៃធាតុដែលជាកម្មសិទ្ធិយ៉ាងហោចណាស់មួយនៃសំណុំរួមបញ្ចូលគ្នា។

ឧទាហរណ៍: ។

ការបកស្រាយធរណីមាត្រសហជីពនៃពីរឈុត ប៉ុន្តែនិង អេបង្ហាញក្នុងរូបភព។ ២.២.

សហជីព (ផលបូក) នៃសំណុំជាច្រើនត្រូវបានកំណត់ស្រដៀងគ្នា

ដែលសំណុំលទ្ធផលគឺជាសំណុំនៃធាតុទាំងអស់ដែលរួមបញ្ចូលក្នុងយ៉ាងហោចណាស់មួយនៃសំណុំ៖ .

ប្រសព្វ (ផលិតផល) នៃសំណុំ ប៉ុន្តែនិង អេត្រូវបានគេហៅថាសំណុំ ឃ, មានធាតុរួមបញ្ចូលក្នុងពេលដំណាលគ្នានិងក្នុង ប៉ុន្តែ, និងនៅក្នុង:

ការបកស្រាយធរណីមាត្រនៃចំនុចប្រសព្វត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងរូបភព។ ២.៣.

ចំនុចប្រសព្វនៃសំណុំជាច្រើនត្រូវបានកំណត់ស្រដៀងគ្នា

ជាសំណុំដែលមានធាតុរួមបញ្ចូលក្នុងពេលដំណាលគ្នានៅក្នុងសំណុំទាំងអស់។

ប្រតិបត្តិការនៃសហជីព (ការបន្ថែម) និងប្រសព្វ (គុណ) នៃសំណុំមានលក្ខណៈសម្បត្តិមួយចំនួនដែលស្រដៀងនឹងលក្ខណៈសម្បត្តិនៃការបូក និងគុណលេខ៖

1. ទ្រព្យសម្បត្តិផ្លាស់ទីលំនៅ៖

2. ទ្រព្យសម្បត្តិរួម៖

3. ទ្រព្យសម្បត្តិចែកចាយ:

ការបន្ថែមសំណុំទទេ និងគុណនឹងសំណុំទទេគឺស្រដៀងនឹងប្រតិបត្តិការដែលត្រូវគ្នាលើលេខ ប្រសិនបើអ្នកចាត់ទុកលេខសូន្យជាសំណុំទទេ៖

ប្រតិបត្តិការមួយចំនួននៅលើសំណុំមិនមាន analogues នៅក្នុងប្រតិបត្តិការធម្មតាលើលេខ ជាពិសេស

Axioms នៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ និងផលវិបាករបស់វា។

ច្បាប់បន្ថែមប្រូបាប៊ីលីតេ

ដោយប្រើព័ត៌មានបឋមលើទ្រឹស្ដីសំណុំ មនុស្សម្នាក់អាចផ្តល់នូវគ្រោងការណ៍កំណត់ទ្រឹស្តីសម្រាប់បង្កើតទ្រឹស្ដីប្រូបាប៊ីលីតេ និង axiomatics របស់វា។

នៅក្នុងការពិសោធន៍ជាមួយនឹងលទ្ធផលចៃដន្យ មានសំណុំនៃលទ្ធផលដែលអាចកើតមានទាំងអស់នៃការពិសោធន៍។ ធាតុនីមួយៗនៃឈុតនេះត្រូវបានគេហៅថា ព្រឹត្តិការណ៍បឋម, សំណុំខ្លួនវាគឺ កន្លែងព្រឹត្តិការណ៍បឋម. ព្រឹត្តិការណ៍ណាមួយ។ ប៉ុន្តែនៅក្នុងការបកស្រាយទ្រឹស្តីសំណុំ មានសំណុំរងមួយចំនួននៃសំណុំ : . ប្រសិនបើនៅក្នុងវេន, សំណុំ ប៉ុន្តែបំបែកទៅជាសំណុំរងដែលមិនប្រសព្វគ្នាជាច្រើន (នៅ) បន្ទាប់មកព្រឹត្តិការណ៍ត្រូវបានគេហៅថា "វ៉ារ្យ៉ង់" នៃព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែ. នៅលើរូបភព។ 2.4 ព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែចែកចេញជាបីជម្រើស៖ .

ឧទាហរណ៍នៅពេលបោះ គ្រាប់ឡុកឡាក់ចន្លោះនៃព្រឹត្តិការណ៍បឋម។ ប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍ នោះជម្រើសព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែ: ,

សំណុំរងនៃសំណុំខ្លួនវាក៏អាចត្រូវបានគេពិចារណាផងដែរ - ក្នុងករណីនេះវានឹងមាន ពិតប្រាកដព្រឹត្តិការណ៍។ សំណុំទទេត្រូវបានបន្ថែមទៅចន្លោះទាំងមូលនៃព្រឹត្តិការណ៍បឋម។ ឈុតនេះត្រូវបានចាត់ទុកថាជាព្រឹត្តិការណ៍មួយផងដែរ ប៉ុន្តែ មិនអាចទៅរួច.

ការបកស្រាយទ្រឹស្តីសំណុំនៃលក្ខណៈសម្បត្តិដែលបានពិចារណាពីមុននៃព្រឹត្តិការណ៍មានដូចខាងក្រោម:

1. ទម្រង់នៃព្រឹត្តិការណ៍ជាច្រើន។ ក្រុមពេញ ប្រសិនបើ , ឧ. ផលបូករបស់ពួកគេ (បន្សំ) គឺជាព្រឹត្តិការណ៍ដែលអាចទុកចិត្តបាន។

2. ព្រឹត្តិការណ៍ពីរ ប៉ុន្តែនិង អេបានហៅ មិនឆបគ្នា។ប្រសិនបើសំណុំដែលត្រូវគ្នានឹងពួកវាមិនប្រសព្វគ្នា ពោលគឺ . ព្រឹត្តិការណ៍ជាច្រើនត្រូវបានគេហៅថា មិនត្រូវគ្នាជាគូ, ប្រសិនបើរូបរាងរបស់ពួកវាណាមួយមិនរាប់បញ្ចូលរូបរាងរបស់អ្នកដទៃ: នៅ .

3. ផលបូកនៃព្រឹត្តិការណ៍ពីរ ប៉ុន្តែនិង អេហៅថាព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ ជាមួយដែលមាននៅក្នុងការអនុវត្តព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែឬព្រឹត្តិការណ៍ អេឬព្រឹត្តិការណ៍ទាំងពីររួមគ្នា។ ផលបូកនៃព្រឹត្តិការណ៍ជាច្រើនគឺជាព្រឹត្តិការណ៍ដែលមាននៅក្នុងការប្រតិបត្តិយ៉ាងហោចណាស់មួយក្នុងចំណោមពួកគេ។

4. ផលិតផលនៃព្រឹត្តិការណ៍ពីរ ប៉ុន្តែនិង អេហៅថាព្រឹត្តិការណ៍មួយ។ ឃដែលរួមបញ្ចូលនៅក្នុងការប្រតិបត្តិរួមគ្នានៃព្រឹត្តិការណ៍នេះ។ ប៉ុន្តែនិងព្រឹត្តិការណ៍ អេ. ផលិតផលនៃព្រឹត្តិការណ៍ជាច្រើនគឺជាព្រឹត្តិការណ៍ដែលមាននៅក្នុងការប្រតិបត្តិរួមគ្នានៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំងអស់នេះ។

5. ទល់មុខទាក់ទងនឹងព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែហៅថាព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនមានរូបរាង ប៉ុន្តែនិងព្រឹត្តិការណ៍បំពេញបន្ថែមដែលត្រូវគ្នា។ ប៉ុន្តែទៅ (សូមមើលរូប 2.5)។

ដោយផ្អែកលើការបកស្រាយខាងលើនៃព្រឹត្តិការណ៍ជាសំណុំ axioms នៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេត្រូវបានបង្កើតឡើង។

រាល់ព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែចំនួនជាក់លាក់មួយត្រូវបានផ្តល់ ហៅថាប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍។ ដោយសារព្រឹត្តិការណ៍ណាមួយជាសំណុំ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍គឺ កំណត់មុខងារ.

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះត្រូវតែបំពេញតាម axioms ខាងក្រោម៖

1. ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ណាមួយគឺនៅចន្លោះសូន្យ និងមួយ៖

2. ប្រសិនបើ ប៉ុន្តែនិង អេគឺជាព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនត្រូវគ្នា ឧ

axiom នេះអាចត្រូវបានទូទៅយ៉ាងងាយស្រួលជាមួយ ទ្រព្យសម្បត្តិរួមបន្ថែមសម្រាប់ចំនួនព្រឹត្តិការណ៍ណាមួយ។ ប្រសិនបើនៅ ពេលនោះ

ឧ. ប្រូបាប៊ីលីតេនៃផលបូក ព្រឹត្តិការណ៍មិនឆបគ្នា។គឺស្មើនឹងផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះ។

axiom នេះត្រូវបានគេហៅថា ការបន្ថែម "ទ្រឹស្តីបទ"(សម្រាប់គ្រោងការណ៍នៃករណីវាអាចត្រូវបានបញ្ជាក់) ឬ ច្បាប់នៃការបន្ថែមប្រូបាប៊ីលីតេ.

3. ប្រសិនបើមាន សំណុំដែលអាចរាប់បាន។ព្រឹត្តិការណ៍មិនឆបគ្នា (នៅ) បន្ទាប់មក

axiom នេះមិនបានមកពី axiom មុនទេ ហើយដូច្នេះត្រូវបានបង្កើតជាមួយដាច់ដោយឡែក។

សម្រាប់គ្រោងការណ៍នៃករណី (គ្រោងការណ៍នៃកោដ្ឋ) ពោលគឺ សម្រាប់ព្រឹត្តិការណ៍ដែលមានលក្ខណៈសម្បត្តិនៃភាពពេញលេញ ភាពមិនឆបគ្នា និងសមភាព មនុស្សម្នាក់អាចទាញយករូបមន្តបុរាណ (1.1) សម្រាប់ការគណនាដោយផ្ទាល់ពីប្រូបាប៊ីលីតេពីច្បាប់បន្ថែម (2.1) ។

សូមឱ្យលទ្ធផលនៃការពិសោធន៍ត្រូវបានបង្ហាញជាទម្រង់ នករណីមិនឆបគ្នា។ ឱកាសអំណោយផលព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែប្រសិនបើវាតំណាងឱ្យផ្នែករង ប៉ុន្តែ() ឬនិយាយម្យ៉ាងទៀត នេះគឺជាវ៉ារ្យ៉ង់នៃព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែ. ចាប់តាំងពីពួកគេបង្កើតក្រុមពេញលេញ

យោងតាមច្បាប់នៃការបន្ថែម

កន្លែងដែលយើងទទួលបាន

បន្ទាប់ពីជំនួសកន្សោមដែលទទួលបានទៅជា (2.3) យើងមាន

Q.E.D.

រូបមន្ត (2.3) ក៏អាចទទួលបានសម្រាប់ព្រឹត្តិការណ៍រួមគ្នាច្រើនជាងពីរ។

អស់រយៈពេលជាច្រើនសតវត្សបន្ទាប់ពីការចាប់ផ្តើមនៃការសិក្សាជាប្រព័ន្ធ គោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេមិនទាន់ត្រូវបានកំណត់ច្បាស់លាស់នៅឡើយទេ។ ភាពស្រពិចស្រពិលនៃនិយមន័យជាមូលដ្ឋាន ជារឿយៗនាំឱ្យអ្នកស្រាវជ្រាវឈានដល់ការសន្និដ្ឋានដែលផ្ទុយគ្នា ហើយការអនុវត្តជាក់ស្តែងមិនមានលក្ខណៈគ្រប់គ្រាន់ទេ។ ការអភិវឌ្ឍន៍បន្ថែមទៀតវិទ្យាសាស្ត្រធម្មជាតិត្រូវការការសិក្សាជាប្រព័ន្ធនៃគោលគំនិតជាមូលដ្ឋាននៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ និងការកំណត់លក្ខខណ្ឌដែលវាអាចប្រើលទ្ធផលរបស់វា។ សារៈសំខាន់ជាពិសេសគឺការបញ្ជាក់ឡូជីខលជាផ្លូវការនៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ ដែលជាពិសេសនៅឆ្នាំ 1900 D. Hilbert ត្រូវបានចាត់ថ្នាក់ជា បញ្ហាសំខាន់ៗគណិតវិទ្យា។

គោលការណ៍ឡូជីខលផ្លូវការនៃការសាងសង់តម្រូវឱ្យមានមូលដ្ឋាននៃទ្រឹស្ដីប្រូបាប៊ីលីតេជាបរិវេណអ័ក្សខ្លះដែលជាការទូទៅនៃសតវត្សន៍ចាស់។ បទពិសោធន៍របស់មនុស្ស. ការអភិវឌ្ឍន៍បន្ថែមទៀតនៃគំនិតប្រូបាប៊ីលីសត្រូវតែត្រូវបានសាងសង់ឡើងដោយមធ្យោបាយនៃការកាត់ចេញពីទីតាំង axiomatic ដោយមិនប្រើគំនិតស្រពិចស្រពិល និងវិចារណញាណ។ ទស្សនៈនេះត្រូវបានបង្កើតឡើងជាលើកដំបូងនៅក្នុងឆ្នាំ 1917 ។ គណិតវិទូសូវៀត S.N. ប៊ឺស្ទីន។ ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះ S.N. Bershtein មកពី ការប្រៀបធៀបគុណភាពព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យយោងទៅតាមប្រូបាប៊ីលីតេធំជាង ឬតិចជាងរបស់វា។ ការស្ថាបនាយ៉ាងម៉ត់ចត់តាមគណិតវិទ្យានៃទ្រឹស្ដីប្រូបាប៊ីលីតេអ័ក្សត្រូវបានស្នើឡើងដោយ A.N. Kolmogorov ក្នុងឆ្នាំ 1933 ដោយភ្ជាប់យ៉ាងជិតស្និទ្ធជាមួយទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេជាមួយនឹងទ្រឹស្តីសំណុំ និងទ្រឹស្តីរង្វាស់។ និយមន័យ axiomatic នៃប្រូបាប៊ីលីតេ ជាករណីពិសេស រួមមានទាំងបុរាណ និង និយមន័យស្ថិតិនិងយកឈ្នះលើភាពមិនគ្រប់គ្រាន់របស់ពួកគេម្នាក់ៗ។

ចំណុចចាប់ផ្តើមរបស់ A.N. Kolmogorov គឺជាសំណុំនៃព្រឹត្តិការណ៍បឋមω, ក្នុង អក្សរសិល្ប៍ពិសេសហៅថាលំហដំណាក់កាល ហើយត្រូវបានតំណាងដោយ Ω ។ ព្រឹត្តិការណ៍ដែលអាចសង្កេតបានណាមួយដែលប្រូបាប៊ីលីតេត្រូវកំណត់អាចត្រូវបានតំណាងជាសំណុំរងមួយចំនួននៃលំហដំណាក់កាល។ ដូច្នេះ រួមជាមួយនឹងសំណុំΩ សំណុំΘនៃសំណុំរងនៃព្រឹត្តិការណ៍បឋមត្រូវបានពិចារណា ការរចនានិមិត្តសញ្ញាដែលអាចបំពានបាន។ ព្រឹត្តិការណ៍ជាក់លាក់មួយត្រូវបានតំណាងដោយចន្លោះដំណាក់កាលទាំងមូល។ សំណុំ Θ ត្រូវបានគេហៅថា set algebra ប្រសិនបើតម្រូវការខាងក្រោមត្រូវបានបំពេញ៖
1) Ω ∈ Θ, ∅ ∈ Θ;
2) ការពិតដែលថា A ∈ Ω បង្កប់ន័យថា $\bar A \in \ Theta $ ផងដែរ;
3) ការពិតដែល A ∈ Θ និង B ∈ Θ បង្កប់ន័យថា A ∪ B ∈ Θ និង A ∩ B∈ Θ ។

ប្រសិនបើបន្ថែមពីលើលក្ខខណ្ឌខាងលើ តម្រូវការខាងក្រោមត្រូវបានបំពេញ៖
4) ការពិតដែលថា A n ∈ Θ (សម្រាប់ n = 1,2...) មានន័យថា $\mathop \cup \limits_n (A_n) \in \Theta $ និង $\mathop \cap \limits_n (A_n) \in \Theta $ បន្ទាប់មកសំណុំ Θ ត្រូវបានហៅ σ-ពិជគណិត. ធាតុនៃΘត្រូវបានគេហៅថា ព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យ.

ប្រតិបត្តិការលើព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យនៅក្នុងទ្រឹស្តី axiomatic នៃប្រូបាប៊ីលីតេត្រូវបានយល់ថាជាប្រតិបត្តិការលើសំណុំដែលត្រូវគ្នា។ ជាលទ្ធផល គេអាចបង្កើតការឆ្លើយឆ្លងគ្នាទៅវិញទៅមករវាងពាក្យនៃភាសានៃទ្រឹស្តីសំណុំ និងភាសានៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ។

ក្នុងនាមជា axioms កំណត់ប្រូបាប៊ីលីតេ A.N. Kolmogorov បានទទួលយកការអះអាងដូចខាងក្រោមៈ

Axiom 1. ទៅនីមួយៗ ព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យនិងតម្រឹម លេខមិនអវិជ្ជមាន P (A) ហៅថាប្រូបាប៊ីលីតេរបស់វា។
Axiom 2. P(Ω)= 1.
Axiom 3 (axiom of add) ។ ប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍ A 1 , A 2 , ... ,A n មិនឆបគ្នាជាគូ នោះហើយ។

P(A 1 + A 2 +...+ A n) = P(A 1) + P(A 2) +...+ P(A n)។

សេចក្តីថ្លែងការណ៍ខាងក្រោមគឺជាផលវិបាកនៃ axioms ដែលបានបង្កើតឡើង។

1. ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនអាចទៅរួចគឺសូន្យ៖ P(∅) = 0 ។
2. សម្រាប់ព្រឹត្តិការណ៍ណាមួយ A $P(\bar A) = 1 - P(A)$ ។
3. អ្វីក៏ដោយព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យ A, 0 ≤ P(A) ≤ 1 ។
4. ប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍ A រួមបញ្ចូលព្រឹត្តិការណ៍ B នោះ P(A) ≤ P(B) ។

ចន្លោះប្រូបាប៊ីលីតេជាធម្មតាត្រូវបានគេហៅថានិមិត្តសញ្ញាបីដង (Ω, Θ, P) ដែល Ω គឺជាសំណុំនៃព្រឹត្តិការណ៍បឋម ω, Θ – σ គឺជាពិជគណិតនៃសំណុំរងនៃ Ω ហៅថា ព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យ ហើយ P(A) គឺជា ប្រូបាប៊ីលីតេដែលកំណត់លើ σ ពិជគណិត Θ ។

ដូច្នេះយោងទៅតាម axiomatics របស់ A.N. Kolmogorov ព្រឹត្តិការណ៍ដែលបានសង្កេតនីមួយៗត្រូវបានផ្តល់លេខមិនអវិជ្ជមានជាក់លាក់ដែលហៅថាប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍នេះ ដូច្នេះប្រូបាប៊ីលីតេនៃលំហដំណាក់កាលទាំងមូលគឺស្មើនឹង 1 ហើយទ្រព្យសម្បត្តិ ការបន្ថែម sigma. ទ្រព្យសម្បត្តិចុងក្រោយមានន័យថានៅក្នុងករណីនៃព្រឹត្តិការណ៍ផ្តាច់មុខទៅវិញទៅមកជាគូ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃការកើតឡើងនេះបើយោងតាម យ៉ាងហោចណាស់នៃមួយ (និងដោយសារតែភាពមិនឆបគ្នាជាគូ ពិតប្រាកដមួយ) ព្រឹត្តិការណ៍ដែលបានសង្កេតស្របគ្នាជាមួយនឹងផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលបានសង្កេតពីសំណុំកំណត់ ឬរាប់ដែលអាចរាប់បាននៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលបានអង្កេត។

ក្នុងករណីនិយមន័យនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៅលើ σ - ពិជគណិតដែលមានសំណុំរងមួយចំនួននៃ Ω ទីមួយមិនអាចពង្រីកទៅផ្នែករងផ្សេងទៀតនៃ Ω តាមរបៀបដែលទ្រព្យសម្បត្តិនៃការបន្ថែម sigma ត្រូវបានរក្សាទុកទេ លុះត្រាតែ Ω មានកំណត់។ ឬចំនួនធាតុដែលអាចរាប់បាន។ សេចក្តីណែនាំនៃសារធាតុបន្ថែម sigma ក៏នាំឱ្យមានភាពផ្ទុយគ្នាមួយចំនួនផងដែរ។ ដូច្នេះរួមជាមួយ sigma-additivity ទ្រព្យសម្បត្តិ ការបន្ថែមដែលត្រូវបានយល់ថាជាសមមូលនៃរង្វាស់នៃការរួបរួមនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនឆបគ្នាពីរទៅនឹងផលបូកនៃវិធានការនៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយស្ទើរតែភ្លាមៗវាត្រូវបានបង្ហាញថាការជំនួស sigma-additivity ជាមួយនឹងការបន្ថែមមិនត្រឹមតែមិនដោះស្រាយបញ្ហាទាំងអស់ប៉ុណ្ណោះទេប៉ុន្តែវាក៏នាំឱ្យមានលទ្ធផលផ្ទុយគ្នាផ្សេងទៀត។

ប្រព័ន្ធនៃ axioms របស់ Kolmogorov គឺមានភាពស៊ីសង្វាក់គ្នា និងមិនពេញលេញ អនុញ្ញាតឱ្យអ្នកបង្កើតទ្រឹស្ដីប្រូបាប៊ីលីតេជាផ្នែកនៃទ្រឹស្ដីរង្វាស់ ហើយពិចារណាប្រូបាប៊ីលីតេជាមុខងារសំណុំបន្ថែមធម្មតាដែលមិនអវិជ្ជមាន។ ទោះបីជានៅក្នុងទ្រឹស្តីនៃប្រូបាប៊ីលីតេ A.N. ប្រូបាប៊ីលីតេរបស់ Kolmogorov តែងតែមិនអវិជ្ជមាន ទ្រឹស្តីបទមួយចំនួននៅក្នុងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេអាចត្រូវបានគេធ្វើជាទូទៅចំពោះករណីនៅពេលដែល លេខអវិជ្ជមានដើរតួជាប្រូបាប៊ីលីតេ ហើយក៏ទទួលបានភាពទូទៅផ្សេងទៀតនៃប្រូបាប៊ីលីតេផងដែរ។

មូលដ្ឋានមួយចំនួន ទ្រឹស្តីគណិតវិទ្យាទទួលមរតកគោលគំនិត សំណង់ និងវាក្យស័ព្ទនៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ។ ជាពិសេស បែបនោះ គឺជាទ្រឹស្ដីលទ្ធភាព ដែលពិចារណាផងដែរនូវចន្លោះនៃលទ្ធភាព និងព្រឹត្តិការណ៍បឋមសិក្សា σ - ពិជគណិត។

Axiomatics នៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ

បានណែនាំខាងលើ និយមន័យបុរាណប្រូបាប៊ីលីតេរួមជាមួយ គុណសម្បត្តិជាក់ស្តែងជាចម្បង ភាពសាមញ្ញ និងភាពច្បាស់លាស់នៃវិចារណញាណ មានគុណវិបត្តិសំខាន់ៗមួយចំនួន៖ វាផ្តល់តែសំណុំព្រឹត្តិការណ៍បឋម ឬរាប់ដែលអាចកំណត់បាន ហើយចំណេះដឹងអំពីប្រូបាប៊ីលីតេរបស់ពួកគេគឺជាកាតព្វកិច្ច។ ទាំងអស់នេះគឺមិនតែងតែជាករណីនោះទេ ដូច្នេះហើយនិយមន័យដែលបានណែនាំគឺមិនមានលក្ខណៈទូទៅគ្រប់គ្រាន់នោះទេ។ នាពេលបច្ចុប្បន្ននេះ ការស្ថាបនា axiomatic នៃទ្រឹស្តីនៃប្រូបាប៊ីលីតេ ត្រូវបានទទួលយកជាទូទៅ។

នៅក្នុងគណិតវិទ្យា axioms គឺជាសំណើដែលត្រូវបានទទួលយកថាជាការពិត ហើយមិនត្រូវបានបញ្ជាក់នៅក្នុងក្របខ័ណ្ឌនៃទ្រឹស្តីដែលបានផ្តល់ឱ្យនោះទេ។បទប្បញ្ញត្តិផ្សេងទៀតទាំងអស់នៃទ្រឹស្ដីនេះត្រូវតែបានមកពីសុទ្ធសាធ វិធីឡូជីខលពី axioms ទទួលយក។ ការបង្កើត axioms គឺមិនមែនទេ។ ដំណាក់កាលដំបូងការអភិវឌ្ឍន៍ វិទ្យាសាស្ត្រគណិតវិទ្យាប៉ុន្តែជាលទ្ធផលនៃការប្រមូលផ្តុំដ៏យូរនៃអង្គហេតុ និង ការវិភាគឡូជីខលទទួលបានលទ្ធផល ដើម្បីបង្ហាញការពិតបឋមជាមូលដ្ឋាន។ នេះជារបៀបដែល axioms នៃធរណីមាត្រត្រូវបានបង្កើតឡើង។ ទ្រឹស្ដីនៃប្រូបាប៊ីលីតេបានឆ្លងកាត់ផ្លូវស្រដៀងគ្នា ដែលការស្ថាបនា axiomatic នៃគ្រឹះរបស់វាគឺជាបញ្ហានៃអតីតកាលថ្មីៗនេះ។ ជាលើកដំបូងបញ្ហានៃការសាងសង់ axiomatic នៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេត្រូវបានដោះស្រាយនៅឆ្នាំ 1917 ដោយគណិតវិទូសូវៀត S.N. Bernstein ។

នាពេលបច្ចុប្បន្ននេះ axiomatics របស់អ្នកសិក្សា A.N. Kolmogorov (1933) ដែលភ្ជាប់ទ្រឹស្ដីប្រូបាប៊ីលីតេជាមួយទ្រឹស្តីនៃសំណុំ និងទ្រឹស្តីម៉ែត្រនៃអនុគមន៍។

នៅក្នុង axiomatics របស់ A.N. Kolmogorov, លំហ (សំណុំ) នៃលទ្ធផលបឋមΩគឺបឋម។ តើអ្វីជាធាតុនៃឈុតនេះសម្រាប់ ការអភិវឌ្ឍន៍ឡូជីខលទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេមិនពាក់ព័ន្ធទេ។ បន្ទាប់យើងពិចារណាប្រព័ន្ធ F មួយចំនួននៃសំណុំរងនៃសំណុំΩ; ធាតុនៃប្រព័ន្ធ F ត្រូវបានគេហៅថាព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យ។ ទាក់ទងនឹងរចនាសម្ព័ន្ធនៃប្រព័ន្ធ F តម្រូវការបីខាងក្រោមត្រូវបានសន្មត់ថាត្រូវបានពេញចិត្ត:

1. សំណុំរង F មានព្រឹត្តិការណ៍ជាក់លាក់មួយ Ω ជាធាតុមួយ។

2. ប្រសិនបើ A និង B គឺជាព្រឹត្តិការណ៍ពីរដែលបានកំណត់នៅលើ Ω ត្រូវបានបញ្ចូលក្នុងសំណុំរង F ជាធាតុ នោះសំណុំរង F ក៏មាន A + B, A ∙ B ជាធាតុផងដែរ។

3. ប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍ А 1 , А 2 , … កំណត់លើ Ω គឺជាធាតុនៃសំណុំរង F នោះផលបូករបស់វា និងធ្វើការ ក៏ជាធាតុនៃសំណុំរង F.

សំណុំ F បង្កើតតាមរបៀបដែលបានពិពណ៌នាខាងលើ ហៅថា "σ-ពិជគណិតនៃព្រឹត្តិការណ៍".

ឥឡូវនេះយើងងាកទៅរកការបង្កើត axioms ដែលកំណត់ប្រូបាប៊ីលីតេ។

Axiom ១.(អ័ក្សអត្ថិភាពនៃប្រូបាប៊ីលីតេ) ។ ព្រឹត្តិការណ៍ចៃដន្យនីមួយៗ A ពី σ-ពិជគណិតនៃព្រឹត្តិការណ៍ F ត្រូវបានផ្សារភ្ជាប់ជាមួយនឹងចំនួនមិនអវិជ្ជមាន p(A) ដែលហៅថាប្រូបាប៊ីលីតេរបស់វា។

Axiom ២.(ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ជាក់លាក់) ។ ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ជាក់លាក់មួយគឺស្មើនឹង 1: Р(Ω)=1។ (1.15)

Axiom ៣.(អ័ក្សនៃការបន្ថែម) ។ ប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍ A និង B មិនត្រូវគ្នានោះ

P(A+B) = P(A)+P(B)។ (1.16)

Axiom ៤.(ការបន្ថែម axiom នៃការបន្ថែម) ។ ប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍ A គឺស្មើនឹងការកើតឡើងនៃយ៉ាងហោចណាស់មួយនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនឆបគ្នាជាគូ A 1 , A 2 , … នោះមានន័យថា ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ A គឺស្មើនឹង

ព័ត៌មានបឋមពីទ្រឹស្តីសំណុំ

ឧទាហរណ៍នៃសំណុំ: សិស្សជាច្រើននៅក្នុងការបង្រៀនមួយ; សំណុំនៃចំណុចនៅលើយន្តហោះដែលស្ថិតនៅខាងក្នុងរង្វង់កាំ r; សំណុំនៃចំណុចនៅលើអ័ក្សពិត ចម្ងាយពីចំណុចទៅចំណុច ខជាមួយ abscissa កតិចជាង ឃ; សំណុំនៃលេខធម្មជាតិ។

កន្លែងណា x- abscissa នៃចំណុច។

កន្លែងណា x, yគឺជាកូអរដោនេ Cartesian នៃចំណុច។

ធាតុមួយទៀតនៃឈុតនេះ។

កន្លែងណាជាកូអរដោនេប៉ូលមួយនៃចំណុច។

សំណុំគ្មានកំណត់ត្រូវបានគេហៅថាអាចរាប់បាន ប្រសិនបើធាតុទាំងអស់របស់វាអាចត្រូវបានរៀបចំតាមលំដាប់លំដោយមួយចំនួន និងលេខរៀង (សំណុំទាំងពីរ និង , អាចរាប់បាន)។

ឈុត សនិង គគឺគ្មានកំណត់ និងមិនអាចរាប់បាន (ធាតុរបស់ពួកគេមិនអាចរាប់បាន)។

ឧទាហរណ៍: ។

ការបកស្រាយធរណីមាត្រនៃការរួបរួមនៃសំណុំពីរ ប៉ុន្តែនិង អេបង្ហាញក្នុងរូបភព។ ២.២.

សហជីព (ផលបូក) នៃសំណុំជាច្រើនត្រូវបានកំណត់ស្រដៀងគ្នា

ការបកស្រាយធរណីមាត្រនៃចំនុចប្រសព្វត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងរូបភព។ ២.៣.

ចំនុចប្រសព្វនៃសំណុំជាច្រើនត្រូវបានកំណត់ស្រដៀងគ្នា

ជាសំណុំដែលមានធាតុរួមបញ្ចូលក្នុងពេលដំណាលគ្នានៅក្នុងសំណុំទាំងអស់។

1. ទ្រព្យសម្បត្តិផ្លាស់ទីលំនៅ៖

2. ទ្រព្យសម្បត្តិរួម៖

3. ទ្រព្យសម្បត្តិចែកចាយ៖

Axioms នៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ និងផលវិបាករបស់វា។

ច្បាប់បន្ថែមប្រូបាប៊ីលីតេ

ឧទាហរណ៍ នៅពេលបោះគ្រាប់ឡុកឡាក់ ចន្លោះនៃព្រឹត្តិការណ៍បឋម។ ប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍ នោះជម្រើសព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែ: ,

1. ទម្រង់នៃព្រឹត្តិការណ៍ជាច្រើន។ ក្រុមពេញប្រសិនបើ , ឧ. ផលបូករបស់ពួកគេ (បន្សំ) គឺជាព្រឹត្តិការណ៍ដែលអាចទុកចិត្តបាន។

ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះត្រូវតែបំពេញតាម axioms ខាងក្រោម៖

1. ប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ណាមួយគឺនៅចន្លោះសូន្យ និងមួយ៖

2. ប្រសិនបើ ប៉ុន្តែនិង អេគឺជាព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនត្រូវគ្នា ឧ

axiom នេះអាចត្រូវបានធ្វើជាទូទៅយ៉ាងងាយស្រួលដោយប្រើទ្រព្យសម្បត្តិរួមនៃការបន្ថែមទៅនឹងចំនួននៃព្រឹត្តិការណ៍ណាមួយ។ ប្រសិនបើនៅ ពេលនោះ

ឧ. ប្រូបាប៊ីលីតេនៃផលបូកនៃព្រឹត្តិការណ៍មិនឆបគ្នាគឺស្មើនឹងផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះ។

3. ប្រសិនបើមាន សំណុំដែលអាចរាប់បាន។ព្រឹត្តិការណ៍មិនឆបគ្នា (នៅ) បន្ទាប់មក

axiom នេះមិនបានមកពី axiom មុនទេ ហើយដូច្នេះត្រូវបានបង្កើតជាមួយដាច់ដោយឡែក។

ប៉ុន្តែករណីទាំងអស់គឺមិនឆបគ្នា ហើយច្បាប់នៃការបន្ថែមប្រូបាប៊ីលីតេត្រូវបានអនុវត្តចំពោះពួកគេ។

លើសពីនេះទៀតចាប់តាំងពីព្រឹត្តិការណ៍ទាំងអស់គឺអាចធ្វើទៅបានស្មើគ្នាបន្ទាប់មក

ករណីដែលអំណោយផលចំពោះព្រឹត្តិការណ៍មួយបង្កើតជាវ៉ារ្យ៉ង់របស់វា ហើយចាប់តាំងពីប្រូបាប៊ីលីតេនៃពួកវានីមួយៗគឺ បន្ទាប់មកដោយច្បាប់បន្ថែមយើងទទួលបាន

ប៉ុន្តែនេះគឺជារូបមន្តបុរាណ (1.1) ។

ផលវិបាកនៃច្បាប់នៃការបន្ថែមប្រូបាប៊ីលីតេ

1. ផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃក្រុមពេញលេញនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនឆបគ្នាគឺស្មើនឹងមួយ ពោលគឺប្រសិនបើ

ភស្តុតាង. ដោយសារព្រឹត្តិការណ៍មិនត្រូវគ្នា ច្បាប់បន្ថែមត្រូវអនុវត្តចំពោះពួកគេ។

2. ផលបូកនៃប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយគឺស្មើនឹងមួយ៖

ដូចជាព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែនិងបង្កើតក្រុមពេញលេញ។

ច្បាប់នេះត្រូវបានគេប្រើយ៉ាងទូលំទូលាយនៅក្នុងបញ្ហាដែលវាងាយស្រួលក្នុងការគណនាប្រូបាប៊ីលីតេនៃព្រឹត្តិការណ៍ផ្ទុយ។

3. ប្រសិនបើព្រឹត្តិការណ៍ ប៉ុន្តែនិង អេមានភាពឆបគ្នា, ឧ

ភស្តុតាង. តំណាងឱ្យផលបូកនៃជម្រើសដែលមិនស៊ីគ្នា (មិនត្រួតស៊ីគ្នា) (សូមមើលរូប 2.6)

យោងតាមច្បាប់នៃការបន្ថែម

កន្លែងដែលយើងទទួលបាន

បន្ទាប់ពីជំនួសកន្សោមដែលទទួលបានទៅជា (2.3) យើងមាន

Q.E.D.

រូបមន្ត (2.3) ក៏អាចទទួលបានសម្រាប់ព្រឹត្តិការណ៍រួមគ្នាច្រើនជាងពីរ។

ទុកជាចន្លោះនៃព្រឹត្តិការណ៍បឋម ជាពិជគណិតនៃព្រឹត្តិការណ៍ (ពិជគណិតនៃសំណុំរងនៃសំណុំ)។ axioms ទាំងប្រាំខាងក្រោមបង្ហាញពីទ្រឹស្ដីប្រូបាប៊ីលីតេ។

1. ពិជគណិតនៃព្រឹត្តិការណ៍គឺ - ពិជគណិតនៃព្រឹត្តិការណ៍។

ប្រព័ន្ធនៃព្រឹត្តិការណ៍ត្រូវបានគេហៅថា - ពិជគណិត ប្រសិនបើសម្រាប់លំដាប់នៃព្រឹត្តិការណ៍ណាមួយ ការរួបរួម ចំនុចប្រសព្វ និងការបន្ថែមរបស់ពួកគេក៏ជាកម្មសិទ្ធិផងដែរ i.e. ក៏ជាព្រឹត្តិការណ៍ផងដែរ។ ដូច្នេះ - ពិជគណិតគឺជាប្រព័ន្ធនៃព្រឹត្តិការណ៍បិទនៅក្រោមប្រតិបត្តិការនៃការបំពេញបន្ថែម សហជីពដែលអាចរាប់បាន និងប្រសព្វដែលអាចរាប់បាន។

2. នៅលើ - ពិជគណិតនៃព្រឹត្តិការណ៍ មុខងារណាមួយត្រូវបានកំណត់ ហៅថាប្រូបាប៊ីលីតេ និងទទួលយក តម្លៃលេខពីចន្លោះពេល: ។

axiom នេះគឺជា axiom នៃអត្ថិភាពនៃប្រូបាប៊ីលីតេ - ជាមុខងារនៃ on ជាមួយនឹងតម្លៃពីចន្លោះពេល។ អ័ក្សបីបន្ទាប់កំណត់លក្ខណៈសម្បត្តិនៃអនុគមន៍មួយ។

3. សម្រាប់ព្រឹត្តិការណ៍ពីរបែបនោះ។

Axiom នៃការបន្ថែមប្រូបាប៊ីលីតេ។

ដូច្នេះវាដូចខាងក្រោមសម្រាប់ចំនួនកំណត់នៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនឆបគ្នា។

4. Let, - pairwise incompatible events: and let. បន្ទាប់មក

ទំនាក់ទំនង (15.3) ត្រូវបានគេហៅថា axiom នៃការបន្ថែមដែលអាចរាប់បាននៃប្រូបាប៊ីលីតេ ឬ axiom នៃការបន្តនៃប្រូបាប៊ីលីតេ។ ទីពីរគឺទាក់ទងទៅនឹងការបកស្រាយដូចខាងក្រោមនៃសមភាព (15.3) ។ ព្រឹត្តិការណ៍គួរតែត្រូវបានយល់ថាជាដែនកំណត់នៃលំដាប់

ក្នុងករណីនេះ សមភាព (15.3) អាចត្រូវបានយល់ថាជាទ្រព្យសម្បត្តិនៃការបន្តនៃមុខងារ៖ ឬ

ដែលអនុញ្ញាតឱ្យប្រតិបត្តិការដែនកំណត់ត្រូវបានយកចេញពីមុខងារ។ នេះគឺដោយសារតែការពិតដែលថាលក្ខខណ្ឌ (15.5) បង្កប់ន័យ (15.3):

axiom ទីប្រាំបង្ហាញថាចន្លោះនៃព្រឹត្តិការណ៍បឋមគឺជាព្រឹត្តិការណ៍ជាក់លាក់មួយ។ ដូច្នេះវាផ្ទុកនូវព្រឹត្តិការណ៍ទាំងអស់ដែលអាចត្រូវបានពិចារណានៅក្នុងបញ្ហានេះ។

ចន្លោះនៃព្រឹត្តិការណ៍បឋម - ពិជគណិតនៃព្រឹត្តិការណ៍ និងប្រូបាប៊ីលីតេនៅលើ axioms ពេញចិត្ត 1-5 បង្កើតបានជាគេហៅថាចន្លោះប្រូបាប៊ីលីតេ ដែលជាធម្មតាត្រូវបានតំណាងឱ្យ។

ចំណាំថាប្រព័ន្ធនៃ axioms 1-5 មិនមានភាពផ្ទុយគ្នាទេ ព្រោះវាមានដែលបំពេញ axioms ទាំងនេះ ហើយមិនទាន់ពេញលេញទេ ព្រោះប្រូបាប៊ីលីតេអាចត្រូវបានកំណត់តាមវិធីជាច្រើនក្នុងក្របខ័ណ្ឌនៃ axioms 2-5 ។ គំនិតនៃចន្លោះប្រូបាប៊ីលីតេ (ឬប្រព័ន្ធនៃ axioms 1-5) មានតែភាគច្រើនប៉ុណ្ណោះ។ តម្រូវការទូទៅបានដាក់ជូនទៅ គំរូគណិតវិទ្យាបាតុភូតចៃដន្យ ហើយមិនកំណត់តែប្រូបាប៊ីលីតេទេ។ ក្រោយមកទៀតគឺអាចធ្វើទៅបានលុះត្រាតែ លក្ខខណ្ឌបន្ថែមដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងទម្រង់នៃបញ្ហាដែលកំពុងពិចារណា។

ចន្លោះប្រូបាបដាច់ដោយឡែក

ចន្លោះប្រូបាប៊ីលីតេត្រូវបានគេហៅថាដាច់ពីគ្នា ប្រសិនបើវាកំណត់ ឬរាប់បាន - - ពិជគណិតនៃសំណុំរងទាំងអស់ (រួមទាំង) ប្រូបាប៊ីលីតេត្រូវបានកំណត់សម្រាប់សំណុំរងមួយចំណុចនៃចន្លោះនៃព្រឹត្តិការណ៍បឋមសិក្សា៖

សម្រាប់ព្រឹត្តិការណ៍ណាមួយ ប្រូបាប៊ីលីតេរបស់វាត្រូវបានកំណត់ដោយសមភាព

ឧទាហរណ៍ - ពិជគណិត

១៧.១. ទុកជាចន្លោះបំពាននៃព្រឹត្តិការណ៍បឋម ដែលមិនមានព្រឹត្តិការណ៍ណាមួយត្រូវបានបញ្ជាក់។ ដើម្បីបង្កើតពិជគណិត យោងតាមនិយមន័យ (ធាតុទី 15) ចាំបាច់ត្រូវពិចារណាបន្ថែមទាំងអស់ សហជីព និងចំណុចប្រសព្វ។ កំណត់ព្រឹត្តិការណ៍ហើយបញ្ចូលពួកវាក្នុង - ពិជគណិត។ ដោយសារតែនៅក្នុង ករណីនេះមានព្រឹត្តិការណ៍តែមួយ វាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីសាងសង់តែការបំពេញបន្ថែមរបស់វា។ ឥឡូវនេះមានប្រព័ន្ធនៃព្រឹត្តិការណ៍ពីរ ( ) ។ ការអនុវត្តបន្ថែមទៀតនៃការបន្ថែមសហជីពប្រតិបត្តិការប្រសព្វមិនផ្តល់ព្រឹត្តិការណ៍ថ្មីទេ។ ដូច្នេះនៅក្នុង ឧទាហរណ៍នេះ។- ពិជគណិត។

១៧.២. ទុកជាចន្លោះនៃព្រឹត្តិការណ៍បឋម និងជាព្រឹត្តិការណ៍មួយចំនួនដែលមិនស្របគ្នាជាមួយ ពោលគឺឧ។ . ដូច្នេះមានប្រព័ន្ធនៃព្រឹត្តិការណ៍ពីរ។ ប្រព័ន្ធនេះអាចត្រូវបានពង្រីកដើម្បីរួមបញ្ចូលព្រឹត្តិការណ៍ថ្មីដែលទទួលបានជាលទ្ធផលនៃការបន្ថែម សហជីព ប្រតិបត្តិការប្រសព្វលើព្រឹត្តិការណ៍។ វាសមហេតុផលក្នុងការបន្តនីតិវិធីនៃការពង្រីកប្រព័ន្ធនៃព្រឹត្តិការណ៍ដដែលៗរហូតដល់ការលេចឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ថ្មីឈប់។ ប្រព័ន្ធកំណត់នៃព្រឹត្តិការណ៍ត្រូវបានគេហៅថាពិជគណិតដែលបង្កើតដោយប្រព័ន្ធនៃព្រឹត្តិការណ៍។

ពិចារណាប្រតិបត្តិការបន្ថែមលើព្រឹត្តិការណ៍ប្រព័ន្ធ។ លទ្ធផលរបស់វាគឺព្រឹត្តិការណ៍ថ្មីដែលមិនមាននៅក្នុង ប្រព័ន្ធដើម, ការដាក់បញ្ចូលដែលផ្តល់ឱ្យ ប្រព័ន្ធថ្មី។ព្រឹត្តិការណ៍

ជាក់ស្តែង ប្រតិបត្តិការជាបន្តបន្ទាប់នៃការបន្ថែម សហជីព ចំនុចប្រសព្វមិនផ្តល់ព្រឹត្តិការណ៍ថ្មីដែលមិនមាននៅក្នុង (17.1) ទេ។ ដូច្នេះប្រព័ន្ធនៃព្រឹត្តិការណ៍ (17.1) គឺជាពិជគណិតដែលបង្កើតដោយប្រព័ន្ធ។

១៧.៣. ចូរធ្វើឱ្យឧទាហរណ៍ស្មុគស្មាញ។ ទុកជាចន្លោះនៃព្រឹត្តិការណ៍បឋម ជាព្រឹត្តិការណ៍មិនត្រូវគ្នាពីរ ដូចនោះ។ ដូច្នេះមានប្រព័ន្ធនៃព្រឹត្តិការណ៍បី។ ប្រតិបត្តិការរបស់សហជីពលើព្រឹត្តិការណ៍នៃប្រព័ន្ធនេះនាំឱ្យមានការលេចចេញនូវព្រឹត្តិការណ៍ថ្មីមួយ។ ប្រព័ន្ធលទ្ធផលនៃព្រឹត្តិការណ៍ចំនួនបួនត្រូវបានពង្រីកដល់ប្រាំបីដោយរួមបញ្ចូលការបន្ថែមរបស់ពួកគេ។ វាជាការងាយស្រួលក្នុងការមើលឃើញថាការអនុវត្តនៃការបន្ថែម, សហជីព, ប្រតិបត្តិការប្រសព្វទៅនឹងព្រឹត្តិការណ៍ទាំងប្រាំបីនេះមិនបង្កើតព្រឹត្តិការណ៍ថ្មី។ ដូច្នេះប្រព័ន្ធនៃព្រឹត្តិការណ៍ប្រាំបី

គឺជាពិជគណិតដែលបង្កើតដោយប្រព័ន្ធនៃព្រឹត្តិការណ៍។

១៧.៤. ពិចារណា - ចន្លោះនៃព្រឹត្តិការណ៍បឋមនិងព្រឹត្តិការណ៍បំពានពីរ, រូបភព។ ១៧.១. ដើម្បីបង្កើតពិជគណិតដែលបង្កើតដោយប្រព័ន្ធជាក់លាក់នៃព្រឹត្តិការណ៍ ក្នុងករណីជាច្រើនវាងាយស្រួលក្នុងការអនុវត្តវិធីសាស្ត្រខាងក្រោម។

យើងបែងចែកព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនឆបគ្នាទាំងអស់ រូបភព។ ១៧.១. ក្នុងពេលជាមួយគ្នា។ល។ - ពិជគណិតនឹងមានព្រឹត្តិការណ៍ទាំងអស់ សហជីពទាំងអស់នៃព្រឹត្តិការណ៍ និងផងដែរ។ ព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនអាចទៅរួច. ជាការពិតណាស់ ប្រតិបត្តិការប្រសព្វនៃព្រឹត្តិការណ៍ណាមួយពីសំណុំបង្កើតព្រឹត្តិការណ៍តែមួយ។ ប្រតិបត្តិការបន្ថែមលើព្រឹត្តិការណ៍ពីសំណុំបង្កើតព្រឹត្តិការណ៍មួយ ដែលត្រូវបានបង្ហាញតាមរយៈសហជីពនៃព្រឹត្តិការណ៍។ អាស្រ័យហេតុនេះ វាគ្រប់គ្រាន់ក្នុងការពិចារណាតែប្រតិបត្តិការនៃសហជីពលើព្រឹត្តិការណ៍ប៉ុណ្ណោះ ជំនួសឱ្យប្រតិបត្តិការបី - បន្ថែម ប្រសព្វ សហជីពសម្រាប់ប្រព័ន្ធដើមនៃព្រឹត្តិការណ៍។

ឥឡូវនេះ ដើម្បីសាងសង់ - ពិជគណិត ពិចារណាព្រឹត្តិការណ៍ បន្សំទាំងអស់របស់ពួកគេ និងបង្ហាញពីព្រឹត្តិការណ៍លទ្ធផលតាមរយៈធាតុដើម។ ជាក់ស្តែង៖ , ។ សហជីព Pairwise ផ្តល់ព្រឹត្តិការណ៍ដូចខាងក្រោម: , ; , ; . សហជីពបី: , .

ដូច្នេះ - ពិជគណិតមានព្រឹត្តិការណ៍៖ , ; , ; ក៏ដូចជា និង - ព្រឹត្តិការណ៍សរុបចំនួន ១៦។

ចំណាំថានៅពេលកំណត់ - ពិជគណិត ប្រព័ន្ធបង្កើតព្រឹត្តិការណ៍ ជាក្បួនត្រូវបានផ្សំឡើងនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលបានសង្កេតនៅក្នុងការពិសោធន៍។

យើងកត់សម្គាល់ថាព្រឹត្តិការណ៍ស្របគ្នានឹងព្រឹត្តិការណ៍ (8.1) ដែលត្រូវបានពិចារណានៅពេលទាញយករូបមន្តបន្ថែមសម្រាប់ប្រេកង់។ ពិតប្រាកដណាស់ ហើយចុងក្រោយដោយរូបមន្ត (៦.១)។

១៧.៥. ពិចារណាលើការធ្វើទូទៅនៃឧទាហរណ៍ 4. អនុញ្ញាតឱ្យប្រព័ន្ធដើមនៃព្រឹត្តិការណ៍ - មានព្រឹត្តិការណ៍តាមអំពើចិត្ត។ ដើម្បីបង្កើតពិជគណិត ដូចជាឧទាហរណ៍ទី 4 យើងណែនាំព្រឹត្តិការណ៍នៃទម្រង់

កន្លែងនីមួយៗ ឬ និង និង។ ដោយសារនីមួយៗអាចយកតម្លៃពីរ 0 ឬ 1 ចំនួននៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំងអស់នៃទម្រង់គឺស្មើគ្នា។ ព្រឹត្តិការណ៍ទាំងនេះបង្កើតបានជាក្រុមពេញលេញនៃព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនឆបគ្នា។ ដូច្នេះព្រឹត្តិការណ៍នៅលើ - ពិជគណិតដើរតួនាទីនៃមូលដ្ឋាន orthogonal ដែលធ្វើឱ្យវាអាចតំណាងឱ្យ ព្រឹត្តិការណ៍បំពានតាមរយៈព្រឹត្តិការណ៍ដែលមិនឆបគ្នា (orthogonal ក្នុងន័យនៃប្រតិបត្តិការប្រសព្វ) ។ នៅក្នុងទ្រឹស្តីសំណុំ សំណុំនៃប្រភេទមួយត្រូវបានគេហៅថា constituent ។ ឧបករណ៍ធាតុផ្សំអនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញថាក្នុងឧទាហរណ៍នេះ ចំនួននៃព្រឹត្តិការណ៍ទាំងអស់ - ពិជគណិតមិនលើសពី (រួមទាំង និង) ហើយចំនួនព្រឹត្តិការណ៍ឈានដល់ តម្លៃអតិបរមានៅពេលដែលទាំងអស់ខុសពី (ឧទាហរណ៍ 4) ។ លទ្ធផលនេះធ្វើឱ្យវាអាចធ្វើទៅបានដើម្បីវិនិច្ឆ័យអត្រាកំណើនខ្ពស់នៃចំនួនព្រឹត្តិការណ៍នៅក្នុង - ពិជគណិតអាស្រ័យលើ - ចំនួនព្រឹត្តិការណ៍នៅក្នុងប្រព័ន្ធដើម។ ឧទាហរណ៍ 4 លេខដូច្នេះចំនួននៃព្រឹត្តិការណ៍នៅក្នុង - ពិជគណិតគឺស្មើគ្នា។

វិបផតថលសម្រាប់សិស្ស។ ការបណ្តុះបណ្តាលខ្លួនឯង

Axiomatics នៃទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ

ចន្លោះប្រូបាបដាច់ដោយឡែក

អត្ថបទ​ដែល​ទាក់ទង

អត្ថបទដែលទាក់ទង