ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ Г. БРАТСКА

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 35»

МУНИЦИПАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА БРАТСКА

Заседание ШМО учителей математики и информатики

МБОУ «СОШ № 35»

Протокол № 1

от « ___ » августа 2015 г.

Руководитель ШМО

О.В. Куневич ________

Рабочая программа

специального курса

« математические основы информатики »

для обучающихся 10А класса

на 2015-2016 учебный год

Предметная область: «Информатика и ИКТ»

Разработала: Перминова О.В.

учитель информатики,

первой квалификационной категории

Братск, 2015 г.

Пояснительная записка

Рабочая программа по специальному курсу для 10А класса разработана на основе авторской программы по информатике «Математические основы информатики», авторы Е.В. Андреева, Л.Л. Босова, И.Н. Фалина (Информатика. Программы для общеобразовательных учреждений. 2-11 классы: методическое пособие /составитель М.Н. Бородин. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012), допущенной Министерством образования и науки РФ, в соответствии с ФКГОС 2004 г., ООП СОО и учебным планом МБОУ «СОШ №35» на 2015-2016 учебный год.

Отличительные особенности рабочей программы по сравнению с авторской программой . В содержание и распределение часов в данной рабочей программе изменения не вносились.

Психолого-педагогические особенности обучающихся данного класса обусловлены следующим:

старший школьный возраст главным образом связан с задачами первого периода юношеского возраста - постановка жизненных целей.

ведущей деятельностью данного периода жизни человека является самоопределение как практика становления, связанная с конструированием возможных образов будущего, проектированием и планированием в нем своей индивидуальной траектории (своего пути).

развитие целенаправленной и мотивированной активности обучающегося, направленной на овладение учебной деятельностью, основой которой выступает формирование устойчивой системы учебно-познавательных и социальных мотивов и личностного смысла учения.

процессы самоопределения реализуются через осуществление набора проб и приобретение опыта подготовки к принятию решений о мере, содержании и способе своего участия в образовательных и социальных практиках, которые могут выражаться в разных формах.

Процессы самоопределения реализуются через осуществление набора проб и приобретение опыта подготовки к принятию решений о мере, содержании и способе своего участия в образовательных и социальных практиках, которые могут выражаться в разных формах. В качестве таких форм для юношества выступают:

внутренний мир и самопознание;

любовь и семья;

ценности и товарищество;

интересы и профессия;

мораль и общественная позиция.

Становление юношества - это попытка обретения практического мышления. Поэтому единицей организации содержания образования в старшей школе является «проблема» и проблемная организация учебного материала, предполагающая преодоление задачно-целевой организации учебной деятельности и выход в следующий управляющий контур – в пространство «смыслов», «горизонтов», «возможностей».

В данном классе есть много способных и талантливых учащихся, для которых освоение программы не составит большой трудности. Но вместе с тем в классе есть часть учащихся, у которых надо обращать особое внимание на проверку понимания изучаемого материала учащимися.

Курс рассчитан на учеников, имеющих базовую подготовку по информатике; может изучаться как при наличии компьютерной поддержки, так и в безмашинном варианте.

Специальный курс предусматривает классно-урочную и лекционно-практическую системы обучения.

Цель программы:

Расширить знания обучающихся в области математических основ информатики, ориентировать на профилизацию обучения.

Задачи программы:

формирование у обучаемых системное представление о теоретической базе информационных и коммуникационных технологий;

развитие представлений о взаимосвязи и взаимовлиянии математики и информатики;

привитие учащимся навыков, требуемых большинством видов современной деятельности (налаживание контактов с другими членами коллектива, планирование и организа­ция совместной деятельности и т. д.);

формирование умения решения исследовательских задач;

формирование умения решения практических задач, требующих получения законченного продукта;

развитие способности к самообучению;

формирование у выпускников школы основ научного мировоззрения;

создание условий для саморазвития и самовоспитания личности.

Общая характеристика курса

Программа данного курса носит интегрированный, междисциплинарный характер, материал курса раскрывает взаимосвязь математики и информатики, показывает, как развитие одной из этих научных областей стимулировало развитие другой.

Данный курс направлен на удовлетворение познавательных интересов учащихся, имеет прикладное общеобразовательное значение, способствует развитию логического мышления учащихся, использует целый ряд межпредметных связей. Специальный курс должен позволить учащемуся не столько приобрести знания, сколько овладеть различными способами познавательной деятельности. В каждом разделе курса имеются задания на актуализацию и систематизацию знаний учащихся, содержание курса способствует решению задач самоопределения ученика в его дальнейшей профессиональной деятельности.

В основе реализации программы лежит системно-деятельностный подход, согласно которому на всех уровнях организации образования – начиная с программных документов до методического обеспечения каждого педагогического действия, соблюдаются следующие условия :

понятия раскрываются через цели, способы и средства человеческих действий , лежащих за этими понятиями.

способы и средства действия не сообщаются в готовом виде – в форме образцов, правил и определений, а задаются в виде ситуаций , обеспечивающих самостоятельный поиск и открытие этих средств и способов.

присвоение способов и средств действия обеспечивается не только системой тренировки, но и через разнообразие организационных форм работы , обеспечивающих учет индивидуальных особенностей каждого обучающегося (включая одаренных детей и детей с ограниченными возможностями здоровья), рост творческого потенциала, познавательных мотивов, обогащение форм взаимодействия со сверстниками и взрослыми в познавательной деятельности .

создаются инструменты , позволяющие соотносить полученный результат действия и намеченную цель, и обеспечивающие непрерывный мониторинг образования для всех его участников.

Эти условия в равной степени относятся и к действиям учеников, и к педагогическим действиям, и к действиям тех, кто управляет образованием.

В соответствии с системно-деятельностным подходом активность обучающегося признаётся основой достижения развивающих целей образования - знания не передаются в готовом виде, а добываются самими обучающимися в процессе познавательной деятельности. Признание активной роли обучающегося в учении приводит к изменению представлений о содержании взаимодействия обучающегося с учителем и одноклассниками. Оно принимает характер сотрудничества. Единоличное руководство учителя в этом сотрудничестве замещается активным участием обучающихся в выборе методов обучения.

Основными видами деятельности подростков, связанные с освоением данного курса являются :

Совместно-распределенная учебная деятельность (С-РУД)

Совместно-распределенная проектная деятельность (С-РПД)

Учебная исследовательская деятельность (УИД)

Деятельность управления системными объектами (группами людей) (ДУСО)

Творческая деятельность (техническое и другие виды творчества) (ТД)

Задачи, решаемые подростками в разных видах деятельности

Научиться самостоятельно планировать учебную работу, свое участие в разных видах совместной деятельности, осуществлять целеполагание в знакомых видах деятельности.

Научиться осуществлять контроль и содержательную оценку собственного участия в разных видах деятельности.

Освоить разные способы представления результатов своей деятельности.

Научиться действовать по собственному замыслу, в соответствии с самостоятельно поставленными целями, находя способы реализации своего замысла.

Выстроить адекватное представление о собственном месте в мире, осознать собственные предпочтения и возможности в разных видах деятельности; выстроить собственную картину мира и свою позицию.

Научиться эффективно взаимодействовать со сверстниками, взрослыми и младшими детьми, осуществляя разнообразную совместную деятельность с ними

Задачи, решаемые педагогами, реализующими данную программу на основной ступени обучения:

Реализовать программу в разнообразных организационно-учебных формах (уроки, занятия, проекты, практики, и пр.), с постепенным расширением возможностей школьников осуществлять выбор уровня и характера самостоятельной работы. Сфера учения должна стать для подростка местом встречи замыслов с их реализацией, местом социального экспериментирования, позволяющего ощутить границы собственных возможностей.

Подготовить учащихся к выбору и реализации индивидуальных образовательных траекторий в заданной программой области знаний.

Создать пространство для проявления инициативных действий.

Формы организации учебного процесса:

Организация учебно-воспитательного процесса основана на технологии личностно-ориентированного подхода, в соответствии с чем выбираются форма и структура учебного занятия:

индивидуальные;

групповые;

индивидуально-групповые;

фронтальные;

практикум.

Основной формой организации учебно-воспитательной работы с учащимися в школе является урок (урок ознакомления с новым материалом, урок закрепления изученного, урок применения знаний и умений, урок обобщения и систематизации знаний, урок проверки и коррекции знаний и умений, комбинированный урок). Применение разнообразных, нестандартных форм обучения должно в первую очередь соответствовать интеллектуальному уровню развития обучающихся и их психологическим особенностям. Применяются нестандартные формы обучения: лекции, семинары, консультации, практикумы, деловые игры, дидактические игры, уроки-зачеты, работа в группах.

Описание ценностных ориентиров содержания курса

В процессе реализации программы у учащихся формируется следующая система ценностей:

Ценность человека как разумного существа, стремящегося к добру и самосовершенствованию.

Ценность истины – это ценность научного познания как части культуры человечества, разума, понимания сущности бытия, мироздания.

Ценность науки - ценность знания, стремление к истине, научная картина мира.

Ценность труда и творчества как естественного условия человеческой жизни, состояния нормального человеческого существования. Уважение к труду, творчество и созидание, целеустремлённость и настойчивость.

Описание места курса в учебном плане

Данный курс «Математические основы информатики» для обучающихся 10А реализуется через компонент образовательного учреждения учебного плана. Рабочая программа курса рассчитана на 68 часов в год (2 часа в неделю) в соответствие с учебным планом МБОУ СОШ №35 на 2015-2016 учебный год. Курс ориентирован на учащихся, желающих расширить свои представления о математике в информатике и об информатике в математике. Список группы сформирован в соответствии с заказом обучающихся.

ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

Содержание программы

1. Системы счисления (11 часов)

Единичная система. Древнеегипетская десятичная непозиционная система. Вавилонская шестидесятеричная система. Римская система. Алфавитные системы. Индийская мультипликативная система. Появление нуля. Система счисления, цифра, позиционная система счисления, непозиционная система счисления, базис, алфавит, основание. Теорема существования и единственности представления натурального числа в виде степенного ряда. Развернутая форма записи числа, свернутая форма Сложение, вычитание, умножение, деление чисел в различных системах счисления. Перевод целого числа из Р-ичной системы счисления в десятичную. Перевод конечной Р-ичной дроби в десятичную. Перевод бесконечной периодической Р-ичной дроби в десятичную. Перевод целого числа из десятичной системы счисления в Р-ичную. Перевод конечной десятичной дроби в Р-ичную. Перевод бесконечной периодической десятичной дроби в Р-ичную. Перевод чисел из Р-ичной системы в Q –ичную. Взаимосвязь между системами счисления с основаниями Pm =Q.

Представление информации на компьютере (10 часов)

Представление целых и действительных чисел в компьютере. Мантисса, нормализованная форма. Дополнительный и обратный код, фиксированная запятая, плавающая запятая. Целочисленная арифметика в ограниченном числе разрядов. Нормализированная запись вещественных чисел. Представление чисел с плавающей запятой. Особенности реализации вещественной компьютерной арифметики. Байт и символ. Кодировки. Ввод по коду. Числовой код символа, таблицы кодировок символов (системы кодирования, универсальная система кодирования текста). Растр, принцип декомпозиции, система кодирования RGB. Пространственная дискретизация. Палитра цветов растрового изображения. Разрешающая способность экрана, глубина цвета, графический режим. Режимы кодировки цветного изображения. Аналоговая и дискретная форма информации. Дискретизация. Частота дискретизации. Глубина кодирования. Методы сжатия цифровой информации. Представление информации в компьютере

Введение в алгебру логики (14 часов)

Что такое алгебра высказываний. Высказывание. Простое высказывание, сложное высказывание. Операции логического отрицания, дизъюнкции, конъюнкции, импликации, эквиваленции. Свойства логических операций. Логические формулы, таблицы истинности Законы тождества, противоре­чия, исключенного третьего, двойного отрицания, идемпотентности, коммуникативности, ассоциативности, дистрибутивности, де Моргана. Решение логической задачи с помощью Булевы функции рассуждений. Построение и преобразование логических выражений. Вычисление значения логического выражения. Построение для логической функции таблицы истинности и логической схемы. Решение системы логических уравнений.Решение средствами алгебры логики. Графический способ решения логических задач: графы, деревья. Табличный способ решения. Решение логических задач на компьютере: на языке программирования, в табличном процессоре. Минимизация булевых функций в классе дизъюнктивных нормальных форм. Логические элементы И, ИЛИ, НЕ: структурные и функцио­нальные схемы, принцип работы.

Элементы теории алгоритмов (13 часов)

Алфавит, буква, слово, вхождение слов, преобразования слов, подстановка, заключительная подстановка, композиция алгоритмов, эквивалентные слова, ассоциативное исчисление. Виды алгоритмов, способы записи алгоритмов. Решение задач на составление алгоритмов. Уточнение понятия алгоритма. Машина Тьюринга. Решение задач на программирование машин Тьюринга. Машина Поста как уточнение понятия алгоритма. Алгоритмически неразрешимые задачи и вычислимые функции Понятие сложности алгоритма. Алгоритмы поиска Алгоритмы сортировки.

Основы теории информации (9 часов)

Понятие информации. Количество информации. Единицы измерения информации. Формула Хартли. Закон аддитивности информации. Формула Шеннона. Оптимальное кодирование информации. Код Хаффмана

Математические основы вычислительной геометрии и компьютерной графики (11часов)

Координаты и векторы на. Задачи компьютерной графики на взаимное расположение точек и фигур. Многоугольники. Геометрические объекты в пространстве.

Планируемые результаты изучения предмета

Личностное развитие

Изучение курса "Математические основы информатики" дает возможность учащимся достичь следующих результатов развития:

умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, понимать смысл поставленной задачи, выстраивать аргументацию приводить примеры и контрпримеры;

критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания, отличать гипотезу от факта;

представление об информатике как сфере человеческой деятельности, об этапах ее развития, о ее значимости для развития цивилизации;

креативность мышления, инициатива, находчивость, активность при решении математических задач;

умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности;

способность к эмоциональному восприятию математических объектов, задач, решений, рассуждений.

Формирование общих учебных умений, навыков и способов деятельности

Познавательная деятельность

Обучающийся научится:

основам реализации проектно-исследовательской деятельности. Исследовать несложные практические ситуации, выдвигать предположения, понимать необходимость их проверки на практике. Использовать практические и лабораторные работы, несложные эксперименты для доказательства выдвигаемых предположений; описывать результаты этих работ;

использовать под руководством учителя для познания окружающего мира метод наблюдение;

осуществлять расширенный поиск информации с использованием ресурсов библиотек и Интернета;

осуществлять сравнение, сопоставление,;

строить логическое рассуждение;

объяснять явления, процессы, связи и отношения, выявляемые в ходе исследования;

основам ознакомительного, изучающего, усваивающего и поискового чтения;

находить в различных источниках информацию, необходимую для решения математических проблем, и представлять ее в понятной форме; принимать решение в условиях неполной и избыточной, точной и вероятностной информации;

ставить цели, выбирать и создавать алгоритмы для решения учебных математических проблем;

видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации в других дисциплинах, в окружающей жизни;

понимать и использовать математические средства наглядности (графики, диаграммы, таблицы, схемы и др.) для иллюстрации, интерпретации, аргументации;

выдвигать гипотезы при решении учебных задач и понимать необходимость их проверки;

применять индуктивные и дедуктивные способы рассуждений, видеть различные стратегии решения задач;

понимать сущности алгоритмических предписаний и уметь действовать в соответствии с предложенным алгоритмом;

самостоятельно ставить цели, выбирать и создавать алгоритмы для решения учебных математических проблем;

умение планировать и осуществлять деятельность, направленную на решение задач исследовательского характера.

Информационно-коммуникативная деятельность

Обучающийся научится:

• адекватно воспринимать устную речь и передавать содержание прослушанного текста в сжатом или развернутом виде в соответствии с целью учебного задания.

  владеть монологической и диалогической речью, строить монологическое контекстное высказывание; вступать в речевое общение, участвовать в диалоге (понимать точку зрения собеседника, признавать право на иное мнение);

  владеть устной и письменной речью; создавать письменные высказывания, адекватно передающие прослушанную и прочитанную информацию с заданной степенью свернутости (кратко, выборочно, полно), составлять планы;

  приводить примеры, подбирать аргументы, формулировать выводы, отражать в устной или письменной форме результаты своей деятельности;

  адекватно использовать речевые средства для решения различных коммуникативных задач; выбирать и использовать выразительные средства языка и знаковые системы (текст, таблица, схема, аудиовизуальный ряд и др.) в соответствии с коммуникативной задачей, сферой и ситуацией общения.

  использовать адекватные языковые средства для отображения своих чувств, мыслей, мотивов и потребностей;

  использовать для решения познавательных и коммуникативных задач различные источники информации, включая энциклопедии, словари, интернет-ресурсы и другие базы данных.

  формулировать собственное мнение и позицию, аргументировать и координировать её с позициями партнёров в сотрудничестве при выработке общего решения в совместной деятельности;

  задавать вопросы, необходимые для организации собственной деятельности и сотрудничества с партнёром;

  осуществлять взаимный контроль и оказывать в сотрудничестве необходимую взаимопомощь;

  работать в группе - устанавливать рабочие отношения.

  брать на себя инициативу в организации совместного действия (деловое лидерство);

  в процессе коммуникации достаточно точно, последовательно и полно передавать партнёру необходимую информацию как ориентир для построения действия;

  вступать в диалог, а также участвовать в коллективном обсуждении проблем;

Рефлексивная деятельность

Обучающийся научится:

целеполаганию, включая постановку новых целей, преобразование практической задачи в познавательную;

самостоятельно организовывать учебную деятельность (постановка цели, планирование.).

оценивать свои учебные достижения, поведение.

соблюдать нормы поведения в окружающей среде

уметь самостоятельно контролировать своё время и управлять им;

Формирование ИКТ-компетентности обучающихся

Обращение с устройствами ИКТ

Обучающийся научится:

осуществлять информационное подключение к локальной сети и глобальной сети Интернет;

входить в информационную среду образовательного учреждения, в том числе через Интернет, размещать в информационной среде различные информационные объекты.

Коммуникация и социальное взаимодействие

Обучающийся научится:

использовать возможности электронной почты для информационного обмена;

осуществлять образовательное взаимодействие в информационном пространстве образовательного учреждения (получение и выполнение заданий, получение комментариев, совершенствование своей работы, формирование портфолио);

Поиск и организация хранения информации

Обучающийся научится:

использовать различные приёмы поиска информации в Интернете, поисковые сервисы, строить запросы для поиска информации и анализировать результаты поиска;

использовать приёмы поиска информации на персональном компьютере, в информационной среде учреждения и в образовательном пространстве;

использовать различные библиотечные, в том числе электронные, каталоги для поиска необходимых книг;

Основы учебно-исследовательской и проектной деятельности

Обучающийся получит возможность научиться:

планировать и выполнять учебное исследование и учебный проект, используя методы и приёмы, адекватные исследуемой проблеме;

ясно, логично и точно излагать свою точку зрения, использовать языковые средства, адекватные обсуждаемой проблеме;

Формирование читательской компетентности,

умений и навыков работы с текстом

Работа с текстом: поиск информации и понимание прочитанного

Обучающийся научится:

ориентироваться в содержании текста и понимать его целостный смысл:

определять главную тему, общую цель или назначение текста;

выбирать из текста или придумать заголовок, соответствующий содержанию и общему смыслу текста;

формулировать тезис, выражающий общий смысл текста;

предвосхищать содержание предметного плана текста по заголовку и с опорой на предыдущий опыт;

объяснять порядок частей/инструкций, содержащихся в тексте;

сопоставлять основные текстовые и внетекстовые компоненты: обнаруживать соответствие между частью текста и его общей идеей, сформулированной вопросом, объяснять назначение карты, рисунка, пояснять части графика или таблицы и т.д.;

находить в тексте требуемую информацию (пробегать текст глазами, определять его основные элементы, сопоставлять формы выражения информации в запросе и в самом тексте, устанавливать, являются ли они тождественными или синонимическими, находить необходимую единицу информации в тексте);

решать учебно-познавательные и учебно-практические задачи, требующие полного и критического понимания текста:

ставить перед собой цель чтения, направляя внимание на полезную в данный момент информацию;

понимать душевное состояние персонажей текста, сопереживать им.

Работа с текстом: преобразование и интерпретация информации

Обучающийся научится:

структурировать текст, используя нумерацию страниц, списки, ссылки, оглавление; проводить проверку правописания; использовать в тексте таблицы, изображения;

преобразовывать текст, используя новые формы представления информации: формулы, графики, диаграммы, таблицы (в том числе динамические, электронные, в частности в практических задачах), переходить от одного представления данных к другому;

интерпретировать текст:

сравнивать и противопоставлять заключённую в тексте информацию разного характера;

обнаруживать в тексте доводы в подтверждение выдвинутых тезисов;

Работа с текстом: оценка информации

Обучающийся научится:

откликаться на содержание текста:

связывать информацию, обнаруженную в тексте, со знаниями из других источников;

оценивать утверждения, сделанные в тексте, исходя из своих представлений о мире;

находить доводы в защиту своей точки зрения;

откликаться на форму текста: оценивать не только содержание текста, но и его форму, а в целом - мастерство его исполнения;

ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

В результате изучения этого курса учащиеся будут знать:

• о роли фундаментальных знаний (математики) в развитии информатики,

информационных и коммуникационных тех­нологий;

• особенности компьютерной арифметики над целыми числами;

  способы представления вещественных чисел в компьютере;

  принцип представления текстовой информации в компьютере;

  принцип оцифровки графической и звуковой информации;

  аксиомы и функции алгебры логики;

  функционально полные наборы логических функций;

  понятие «дизъюнктивная нормальная форма»;

  понятие исполнителя, среды исполнителя;

  понятие сложности алгоритма;

  понятие вычислимой функции;

  суть различных подходов к определению количества информации;

  сферу применения формул Хартли и Шеннона;

  способы работы с многоугольниками и многогранниками в компьютерной графике;

  формулы поворота в пространстве.

Учебно–методическое обеспечение программы

При проведении занятий предусмотрена реализация системно-деятельностного, дифференцированного и личностно-ориентированного подходов, которые позволят ученикам двигаться внутри курса по своей траектории и быть успешными, для этого предусмотрены задания разной степени трудности.

Формы организации учебного процесса

Единицей учебного процесса является урок. В первой части урока проводиться объяснение нового материала, а на конец урока планируется компьютерный практикум (практические работы). Работа учеников за компьютером в 10 классах 15-20 минут. В ходе обучения учащимся предлагаются короткие (5-10 минут) проверочные работы (в форме тестирования). Очень важно, чтобы каждый ученик имел доступ к компьютеру и пытался выполнять практические работы по описанию самостоятельно, без посторонней помощи учителя или товарищей.

Особое внимание уделяется организации самостоятельной работы учащихся на компьютере . Формирование пользовательских навыков для введения компьютера в учебную деятельность должно подкрепляться самостоятельной творческой работой , личностно-значимой для обучаемого. Это достигается за счет информационно-предметного практикума , сущность которого состоит в наполнении задач по информатике актуальным предметным содержанием.

Для развития познавательной, информационно-коммуникативной, рефлексивной деятельности используются:

технология проблемного обучения, которая предполагает организацию самостоятельной поисковой деятельности учащихся по решению проблем: учитель не сообщает знания в готовом виде, а ставит перед учеником проблему, заинтересовывает его, пробуждает желание найти способ ее решения. В ходе проблемного обучения у учащихся формируются новые знания и умения, развиваются познавательная активность, творческое мышление и другие личностные качества;

технология проектного обучения, которая предполагает решение практических задач, проживание конкретных ситуаций, конструирование новых процессов. Целью проектного обучения является не столько усвоение суммы знаний, а развитие и обогащение собственного опыта учащихся и их представлений о мире;

дифференцированное обучение – создание групп разного уровня по качеству знаний, темпам усвоения материала, учебной мотивацией, способу мышления.

Вопрос эффективного использования ИКТ на уроке очень актуален.

Ученики принимают активное участие в образовательной деятельности, где технология представляет собой простой инструмент, используемый для создания и выполнения поставленных задач и обучения.

Ученики используют технологию, чтобы понять содержание и придать смысл их обучению.

Ученики используют технологические средства для совместной работы с другими обучающимися.

Ученики выбирают соответствующие технологические инструменты, чтобы выполнять межпредметные задания, включая вопросы цифрового этикета и ответственного социального взаимодействия.

Ученики используют технологические инструменты для исследования данных, постановки цели, планирования деятельности, контроля за ходом выполнения заданий, и оценке результатов.

При организации занятий по информатике и информационным технологиям необходимо использовать различные методы и средства обучения с тем, чтобы с одной стороны, свести работу за ПК к регламентированной норме; с другой стороны, достичь наибольшего педагогического эффекта.

На уроках параллельно применяются общие и специфические методы, связанные с применением средств ИКТ:

словесные методы обучения (рассказ, объяснение, беседа, работа с учебником);

наглядные методы (наблюдение, иллюстрация, демонстрация наглядных пособий, презентаций);

практические методы (устные и письменные упражнения, практические работы за ПК);

проблемное обучение;

метод проектов;

ролевой метод.

Основные типы уроков:

урок изучения нового материала;

урок контроля знаний;

обобщающий урок;

комбинированный урок.

ФОРМЫ КОНТРОЛЯ УРОВНЯ ДОСТИЖЕНИЙ ОБУЧАЮЩИХСЯ

И КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ

Для контроля и оценки достижения общеучебных результатов используется следующие система форм и видов контрольно-оценочных действий:

стартовый контроль :

Стартовая диагностическая работа;

текущий контроль :

Наблюдения за деятельностью обучающегося в процессе занятий;

Самостоятельные работы;

Текущее выполнения выборочных учебно-практических и учебно-познавательных заданий на оценку способности и готовности учащихся к освоению систематических знаний, их самостоятельному пополнению, переносу и интеграции; способности к сотрудничеству и коммуникации, к решению личностно и социально значимых проблем и воплощению решений в практику; способности к самоорганизации, саморегуляции и рефлексии;

Диагностическая работа по изучаемой теме и др.;

промежуточный контроль:

Тестирование;

Выполнения творческих работ;

Проверочные работы;

итоговый контроль

– итоговая работа

Формы итогового контроля:

тест;

творческая практическая работа.

Критерии и нормы оценки знаний, умений и навыков обучающихся

Контроль предполагает выявление уровня освоения учебного материала при изучении, как отдельных разделов, так и всего курса информатики и информационных технологий в целом.

Текущий контроль усвоения материала осуществляется путем устного/письменного опроса. Периодически знания и умения по пройденным темам проверяются письменными контрольными или тестовых заданиями.

Зачетная работа (устный или письменный ответ)

« Зачёт» - полный развернутый ответ, с привлечением дополнительного материала.. Ответ излагается последовательно, с использованием своих примеров. Обучающийся сравнивает материал с предыдущим. Самостоятельно может вывести теоретические положения на основе фактов, наблюдений, опытов. Сравнивает различные теории и высказывает по ним свою точку зрения с приведением аргументов. Или при ответе неполно раскрыто содержание материала, но показано общее понимание вопроса и продемонстрированы умения, достаточные для дальнейшего усвоения программного материала. Имеются ошибки в определении понятий, использовании физических терминов, которые исправляются при наводящих вопросах учителя.

«Незачёт» - знания отрывочные несистемные, допускаются грубые ошибки. Недостаточные знания не позволяют понять материал или отказ от ответа.

Практическая работа

«Зачёт» - создание обучающимся модели прибора, макета или реферата, самостоятельно разрабатывает план постановки, технику безопасности, может объяснить результат. Создание модели, макета, реферата с некоторыми недочеты (результаты опыта объясняются только с наводящими вопросами, результаты не соответствуют истине).

«Незачёт» - Не соблюдаются правила техники безопасности, не соблюдается последовательность создания модели, макета, реферата. Ученик не может объяснить результат или отказ от выполнения работы.

МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА

Учебно-методический комплект

методическое пособие

: учебное пособие .

Технические средства обучения:

классная доска с набором приспособлений для крепления таблиц, постеров и картинок;

мультимедийный проектор;

экспозиционный экран;

персональный компьютер для учителя (1 шт.);

персональный компьютер для учащихся (11 шт.)

сканер;

принтер лазерный;

фотокамера цифровая;

Экранно-звуковые пособия:

мультимедийные (цифровые) образовательные ресурсы, соответствующие тематике программы.

Оборудование класса:

ученические двухместные столы с комплектом стульев;

стол учительский с тумбой;

шкафы для хранения учебников, дидактических материалов, пособий и пр.;

настенные доски для вывешивания иллюстративного материала.

ИНФОРАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ

Литература, использованная при подготовке программы

В состав учебно-методического комплекта по базовому курсу «Математические основы информатики» входят:

Программы для общеобразовательных учреждений: Информатика. 2-11 классы/ Составитель М. Н. Бородин. - М.: Бином. Лаборатория знаний, 2012. – 584с

Е.В. Андреева, Л.Л. Босова, И.Н. Фалина "Математические основы информатики". Элективный курс: методическое пособие - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012.

Е.В. Андреева, Л.Л. Босова, И.Н. Фалина "Математические основы информатики". Элективный курс : учебное пособие - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012 .

Стандарт базового уровня общего образования, утверждённого приказом МО РФ № 1312 от 09.03.2004 года.

Примерная программа (основного) общего образования по информатике и информационным технологиям (письмо Департамента государственной политики в образовании МОиН РФ от 07.07.2005г. № 03-1263)

Кузнецов А.А., Пугач В. Тестовые задания. Методическое пособие. – М.: «Бином. Лаборатория знаний», 2003 + дискета

Самылкина В. Построение тестовых заданий по информатике. Методическое пособие. – М.: «Бином. Лаборатория знаний», 2003

Чернов А.В. Информатика. Тесты к олимпиадам и итоговому тестированию. – Волгоград: «Учитель», 2006

Шакин В.Н. Информатика. Учебное пособие для абитуриентов МТУСИ. Москва, 2005

Шакин В.Н. Информатика. Сборник задач для абитуриентов МТУСИ. Москва, 2005

Тихомиров В.П. Информатика часть 1-5. МЭСИ. – Москва, 2005

Ларина Э.С. Информатика. 5-11 классы. Проектная деятельность учащихся. – Волгоград: «Учитель», 2009

Пышная Е.А. Информатика. 5-11 классы. Материалы к урокам и внеклассным мероприятиям. – Волгоград: «Учитель», 2009

Мендель А.В. Информатика 9-11. Подготовка учащихся к олимпиадам. – Волгоград: «Учитель», 2009

Энциклопедия учителя информатики ГИ №11-17.07

Олимпиады по информатике ГИ №16.06, 23.06(стр. 22 – 40)

Набор цифровых образовательных ресурсов для 10 класса (http://metodist.lbz.ru)

Ресурсы Единой коллекции цифровых образовательных ресурсов (http://school-collection.edu.ru/)

Ресурсы Википедии

Интернет-ресурсы

« Российский образовательный портал – [электронный ресурс]. (дата обращения: 22.08.2013)

Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов – [электронный ресурс]. (дата обращения: 22.08.2013)

Федеральный центр информационно- образовательных ресурсов– [электронный ресурс]. (дата обращения: 22.08.2013)

КАЛЕНДАРНО – ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

Календарные сроки

№ урока

Тема и тип урока

Количество часов

Результаты обучения

Вид контроля, самостоятельной деятельности

Предметные

Общие учебные умения, навыки и способы деятельности, компетентности

1. Раздел «Системы счисления» (10 ч)

07.09

Основные определения, связанные с позиционными системами счисления. Понятия базиса. Принцип позиционности.

Знать общие представления о позиционных и непозиционных системах счисления; уметь определять основание и алфавит системы счисления

Познавательная: Строить логическую цепочку вычислений, связно, точно и грамотно выражать свои мысли в устной и письменной речи; овладевать системой математических знаний и умений, необходимых для применений в практической деятельности, изучения смежных дисциплин, продолжения образования;

Рефлексивная:

07.09

Единственность представления чисел в Р-ичных системах счисления. Цифры позиционных систем счисления.

Знать: теорема существования и единственности представления натурального числа в виде степенного ряда

14 .09

Развернутая и свернутая формы записи чисел. Представление произвольных чисел в позиционных системах счисления.

Знать способы представления чисел с свернутой и развернутой формах, уметь представлять числа в разных формах

14 .09

Самостоятельная работа №1. Арифметические операции в Р-ичных системах счисления.

Самостоятельная работа

21 .09

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Знать алгоритм перевода целого числа из Р-ичной системы счисления в десятичную. Перевод конечной Р-ичной дроби в десятичную. Перевод бесконечной периодической Р-ичной дроби в десятичную. уметь выполнять арифметические операции над небольшими числами.

21 .09

Перевод чисел их Р-ичной системы счисления в десятичную.

28 .09

Перевод чисел их десятичной системы счисления в Р-ичную.

Знать алгоритм перевода целого числа из десятичной системы счисления в Р-ичную. Перевод чисел из Р-ичной системы в Q –ичную.

28 .09

Самостоятельная работа №2. Взаимосвязь между системами счисления с основаниями P m = Q

Уметь находить взаимосвязь между системами счисления с основаниями P m = Q

Самостоятельная работа

0 5.10

Системы счисления и архитектура компьютеров

Знать системы счисления и архитектура компьютеров

0 5.10

Контрольная работа

Уметь выполнять арифметические операции над числами в разных системах счисления

Контрольная работа

12 .10

Анализ контрольной работы. Заключительный урок.

2. Раздел «Представление информации в компьютере» (11 ч)

12 .10

Представление целых чисел. Прямой код. Дополнительный код.

Знать способы представление целых и действительных чисел в компьютере. Уметь записывать дополнительный и обратный код.

Познавательная:

самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели; поиск и выделение необходимой информации; применение методов информационного поиска, в том числе с помощью компьютерных средств; структурирование знаний;

Информационно-коммуникативная:

поиск и выделение необходимой информации; применение методов информационного поиска, в том числе с помощью компьютерных средств;

Планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками – определение целей, функций участников, способов взаимодействия;

Рефлексивная: адекватно оценивать и применять свои способности в коллективной деятельности

1 9.10

Целочисленная арифметика в ограниченном числе разрядов.

Уметь производить арифметические действия в ограниченном числе разрядов.

1 9.10

Самостоятельная работа №3. Нормализированная запись вещественных чисел. Представление чисел с плавающей запятой.

Уметь представлять числа с плавающей запятой.

Самостоятельная работа

02.11

Особенности реализации вещественной компьютерной арифметики. Самостоятельная работа №4.

Уметь реализовывать действия вещественной компьютерной арифметики.

Самостоятельная работа

02.11

Практическая работа №1 «Представление текстовой информации»

Знать способы кодирования текстовой информации, основные системы кодирования; уметь кодировать текст

Практическая работа

09.11

Практическая работа №2 «Представление графической информации»

Знать принцип декомпозиции, систему кодирования RGB . .

Уметь определять разрешающую способность экрана, глубину цвета, графический режим, режимы кодировки цветного изображения.

Практическая работа

09.11

Представление звуковой информации.

Знать аналоговую и дискретную формы информации..

1 6.11

Методы сжатия цифровой информации.

Знать методы сжатия цифровой информации.

1 6.11

Контрольная работа

Уметь представлять информацию в компьютере

Контрольная работа

2 3.11

Анализ контрольной работы.

3. Раздел «Введение в алгебру логики» (14 ч)

2 3.11

Алгебра логики. Понятие высказывания.

Иметь представления о разделе математики алгебре логики, высказывании как еѐ объекте, об операциях над высказываниями.

Познавательная: Умение

Умение объяснять действительности

Информационно-коммуникативная:

Согласовывать и координировать деятельность с другими участниками; объективно оцениватьсвой вклад в решение общих задач коллектива

Рефлексивная: адекватно оценивать и применять свои способности в коллективной деятельности

30 .11

Логические операции.

Знать основные логические операциях над высказываниями, свойства логических операций.

30 .11

Логические формулы, таблицы истинности..

Знать основные законы алгебры логики Уметь составлять и преобразовывать логические выражения в соответствии с логическими законами, составлять таблицу истинности

0 7.12

Законы алгебры логики

0 7.12

Применение алгебры логики (решение текстовых логических задач или алгебра переключательных схем)

Уметь решать логические задачи с помощью рассуждений. Решение средствами алгебры логики. Графический способ решения логических задач: графы, деревья. Табличный способ решения. Решение логических задач на компьютере: на языке программирования, в табличном процессоре.

1 4.12

Проверочная работа. Таблицы истинности

Проверочная работа

1 4.12

Булевы функции

Знать булевы функции

21 .12

Канонические формы логических формул. Теорема о СДНФ.

Уметь строить и преобразовывать логические выражений. вычислять значения логического выражения. строить для логической функции таблицы истинности и логической схемы.

21 .12

Минимизация булевых функций в классе дизъюнктивных нормальных форм.

Уметь минимизировать булевы функции

11.01

Практическая работа по построению СДНФ и ее минимизации

Уметь строить СДНФ и ее минимизировать

Практическая работа

11.01

18.01

Элементы схемотехники

Знать о логических элементах (конъюнкторе, дизъюнкторе, инверторе) и электронных схемах. Уметь записывать и преобразования логических выражений с операциями И, ИЛИ, НЕ.

1 8.01

25.01

Итоговая контрольная работа.

Анализ контрольной работы.

Контрольная работа

4. Раздел «Элементы теории алгоритмов» (12 ч)

2 5.01

Понятие алгоритма. Свойства алгоритмов.

Знать понятие «алгоритм», «исполнитель», свойства алгоритма

Познавательная:

планирование и осуществление алгоритмической деятельности, выполнение заданных и конструирование новых алгоритмов. Развитие логического мышления, пространственного представления,

Информационно-коммуникативная: ориентироваться на разнообразие способов решения задач;

Согласовывать и координировать деятельность с другими участниками; объективно оценивать свой вклад в решение общих задач коллектива

Рефлексивная: адекватно оценивать и применять свои способности в коллективной деятельности

01.02

Виды алгоритмов, способы записи алгоритмов. Решение задач на составление алгоритмов.

Знать виды алгоритмов, способы записи алгоритмов. Уметь решать задачи на составление алгоритмов.

01.02

08.02

Уточнение понятия алгоритма. Машина Тьюринга. Решение задач на программирование машин Тьюринга.

Решать задач и на программирование машин Тьюринга и Поста.

0 8.02

Машина Поста как уточнение понятия алгоритма.

1 5.02

Алгоритмически неразрешимые задачи и вычислимые функции

1 5.02

Проверочная работа

Проверочная работа

22 .02

Анализ проверочной работы. Понятие сложности алгоритма.

Понятие сложности алгоритма.

22 .02

Алгоритмы поиска

Уметь составлять алгоритмы поиска

2 9.02

29.02

Алгоритмысортировки

Уметь составлять алгоритмысортировки

0 7.03

07.03

Проектная работа по теме «Культурное значение формализации понятия алгоритма»

Решать задачи на составление алгоритмов и уточнение понятия алгоритма.

Проектная работа

5. Раздел «Основы теории информации» (9 ч)

1 4.03

Понятие информации. Количество информации. Единицы измерения информации.

Иметь общие представления об информации и её свойствах; Знать единицы измерения информации и свободное оперирование ими. Понимать сущность измерения как сопоставления измеряемой величины с единицей измерения.

Познавательная: Умение выделять, называть, читать, описывать объекты реальной действительности.

Умение объяснять взаимосвязь первоначальных понятий информатики и объектов реальной действительности (соотносить их между собой, включать в свой активный словарь ключевые понятия информатики).

Информационно-коммуникативная: ориентироваться на разнообразие способов решения задач;

согласовывать и координировать деятельность с другими участниками; объективно оцениватьсвой вклад в решение общих задач коллектива.

Рефлексивная: адекватно оценивать и применять свои способности в коллективной деятельности

1 4.03

04 . 04

Формула Хартли

Знать формулу Хартли, уметь применять данную формулу

04.04

Проверочная работа

Применение формулы Хартли

Проверочная работа

11.04

Закон аддитивности информации

Знать закон аддитивности информации

11.04

Формула Шеннона

Знать формулу Шеннона, уметь применять данную формулу

18.04

Оптимальное кодирование информации. Код Хаффмана

Знать Код Хаффмана. Уметь кодировать информацию.

18.04

Контрольная работа

Знать основы теории информации

Контрольная работа

25.04

Анализ контрольной работы. Заключительный урок

6. Раздел «Математические основы вычислительной геометрии и компьютерной графики» (10 ч)

25.04

Координаты и векторы на плоскости

Уметь определять координаты и векторы на плоскости

Познавательная: овладевать системой математических знаний и умений, необходимых для применений в практической деятельности, изучения смежных дисциплин, продолжения образования;

Информационно-коммуникативная: формирование умения осуществлять совместную информационную деятельность, в частности, при выполнении учебных заданий, в том числе проектов.

Рефлексивная: адекватно оценивать и применять свои способности в коллективной деятельности

03.05

03.05

Способы описания линий на плоскости

Знать способы описания линий на плоскости, нормированное уравнение прямой, параметрические уравнения прямой, луча, отрезка

10.05

10.05

Задачи компьютерной графики на взаимное расположение точек и фигур

Уметь решать задачи компьютерной графики на взаимное расположение точек и фигур

16.05

16.05

Многоугольники

Уметь вычислять площадь многоугольника., проверка выпуклости многоугольника

23.05

23.05

Геометрические объекты в пространстве

Знать основные формулы, уметь определять точки пересечения прямой и фигуры в пространстве

6768

Практическая работа

Знать математические основы вычислительной геометрии и компьютерной графики

Практическая работа

ИТОГО

Введение 3

1 Теория графов 5

1.1 Понятие и терминология теории графов 5

1.2 Некоторые задачи теории графов 6

2 Математическая логикаи теория типов 25

Заключение 27

Список использованной литературы 30

Введение

В широком смысле информа́тика (ср. со сходными по звучанию и происхождению нем. Informatik и фр. Informatique, в противоположность традиционному англоязычному термину англ. computer science - наука о компьютерах - в США или англ. computing science - вычислительная наука -в Британии есть наука о вычислениях, хранении и обработке информации. Она включает дисциплины, так или иначе относящиеся к вычислительным машинам: как абстрактные, вроде анализа алгоритмов, так и довольно конкретные, например, разработка языков программирования.

Согласно тезису Чёрча - Тьюринга, все известные типы вычислительных машин качественно эквивалентны в своих возможностях: любое действие, выполнимое на одной вычислительной машине, также выполнимо и на другой. Тезис иногда преподносят как фундаментальный принцип информатики, обращая особое внимание на машину Тьюринга и машину фон-неймановской архитектуры, поскольку они имеют явное сходство с большинством из ныне действующих компьютеров. В рамках современной информатики учёные изучают также и другие типы машин, не только практически осуществимые (такие, как параллельные и квантовые компьютеры), но и сугубо абстрактные математические модели (к примеру, машина случайного доступа, которая имеет бесконечное число регистров).

Темами исследований в информатике являются вопросы: что можно, а что нельзя реализовать в программах (теория вычислимости и искусственный интеллект), каким образом можно решать специфические задачи с максимальной эффективностью (алгоритмы), в каком виде следует хранить и восстанавливать информацию специфического вида (структуры данных), как программы и люди должны взаимодействовать друг с другом (пользовательский интерфейс и языки программирования) и т. п.

Отдельной наукой информатика была признана лишь в 1970-х; до этого она развивалась в составе математики, электроники и других технических наук. Некоторые начала информатики можно обнаружить даже в лингвистике. С момента своего признания отдельной наукой информатика разработала собственные методы и терминологию.

Первый факультет информатики был основан в 1962 году в университете Пердью (Purdue University). Сегодня факультеты и кафедры информатики имеются в большинстве университетов мира.

Высшей наградой за заслуги в области информатики является премия Тьюринга.

1 Теория графов

Тео́рия гра́фов - раздел дискретной математики, изучающий свойства графов. В наиобщем смысле граф представляется как множество вершин (узлов), соединённых рёбрами. В строгом определении графом называется такая пара множеств

G={R,V},

где V есть подмножество любого счётного множества,

а R - подмножество V×V.

Рис. 1. Граф с шестью вершинами и семью рёбрами

Теория графов находит применение, например, в геоинформационных системах (ГИС). Существующие или вновь проектируемые дома, сооружения, кварталы и т. п. рассматриваются как вершины, а соединяющие их дороги, инженерные сети, линии электропередач и т. п. - как рёбра. Применение различных вычислений, производимых на таком графе, позволяет, например, найти кратчайший объездной путь или ближайший продуктовый магазин, спланировать оптимальный маршрут (см. Рис. 1).

Терминология теории графов поныне не определена строго. В частности в монографии Гудман, Хидетниеми, 1981 сказано «В программистском мире нет единого мнения о том, какой из двух терминов "граф" или "сеть". Мы выбрали термин "сеть", так как он, по-видимому, чаще встречается в прикладных областях» .

* Семь мостов Кёнигсберга - один из первых результатов в теории графов, опубликован Эйлером в 1736.

* Проблема четырёх красок - была сформулирована в 1852 году, но доказательство получено лишь в 1976 году (достаточно 4-х красок для карты на сфере (плоскости)).

* Задача коммивояжёра - одна из наиболее известных NP-полных задач.

* Задача о клике - ещё одна NP-полная задача.

* Нахождение минимального стягивающего дерева.

Задача коммивояжёра заключается в отыскании самого выгодного маршрута, проходящего через указанные города хотя бы по одному разу. В условиях задачи указываются критерий выгодности маршрута (кратчайший, самый дешёвый, совокупный критерий и т. п.) и соответствующие матрицы расстояний, стоимости и т. п. Как правило указывается, что маршрут должен проходить через каждый город только один раз, в таком случае выбор осуществляется среди гамильтоновых циклов.

Существует масса разновидностей обобщённой постановки задачи, в частности геометрическая задача коммивояжёра (когда матрица расстояний отражает расстояния между точками на плоскости), треугольная задача коммивояжёра (когда на матрице стоимостей выполняется неравенство треугольника), симметричная и асимметричная задачи коммивояжёра.

Простейшие методы решения задачи коммивояжёра: полный лексический перебор, жадные алгоритмы (метод ближайшего соседа, метод включения ближайшего города, метод самого дешёвого включения), метод минимального остовного дерева. На практике применяются различные модификации более эффективных методов: метод ветвей и границ и метод генетических алгоритмов, а так же алгоритм муравьиной колонии.

Все эффективные (сокращающие полный перебор) методы решения задачи коммивояжёра - методы эвристические. В большинстве эвристических методов находится не самый эффективный маршрут, а приближённое решение. Зачастую востребованы так называемые any-time алгоритмы, то есть постепенно улучшающие некоторое текущее приближенное решение.

Задача коммивояжёра есть NP-полная задача . Часто на ней проводят обкатку новых подходов к эвристическому сокращению полного перебора.

Назовём языком множество слов над алфавитом Σ. Задачей здесь является определение того, принадлежит данное слово языку или нет. Язык L 1 называется сводимым (по Карпу) к языку L 2 , если существует функция, , вычислимая за полиномиальное время, обладающая следующим свойством: f(x) принадлежит L 2 тогда и только тогда, когда x принадлежит L 1 . Язык L 2 называется NP-трудным, если любой язык из класса NP сводится к нему. Язык называют NP-полным, если он NP-труден и при этом сам лежит в классе NP. Таким образом, если будет найден алгоритм, решающий хоть одну NP-полную задачу за полиномиальное время, все NP-задачи будут лежать в классе P.

Вернемся к задаче коммивояжера.

Математическая модель.

Исходные параметры модели.

Пусть i=0,1,2,...,m - номера городов, i=0 - номер выделенного города (начало и окончание маршрута). Обозначим через R=r(i,j) - (m+1)(m+1) матрицу расстояний, элемент которой r(i,j) - расстояние между городом с номером i и городом с номером j.

Варьируемые параметры модели.

Обозначим через X=x(i,j) - (m+1)(m+1) матрицу неизвестных, элемент которой x(i,j) =1, если коммивояжер из города с номером i переедет в город с номером j, x(i,j) = 0, в противном случае; u(i) - специальные переменные, i=1,2,...m.

Ограничения математической модели.

x(i,j) =1, j=1,2,...,m, (1)

x(i,j) =1, i=1,2,...,m, (2)

u(i) - u(j) + m x(i,j) m-1, i=1,2,...,m, j=1,2,...,m, ij., (3)

x(i,j) {0,1}. (4)

Здесь условия (1) означают, что коммивояжер ровно один раз въедет в каждый город (кроме города с номером 0); условия (2) означают, что коммивояжер ровно один раз выедет из каждого города (кроме города с номером 0), ограничения (3) означают существование лишь одного цикла, начинающегося в городе с номером 0, проходящего через все города и завершающегося в городе с номером 0; ограничения (4) являются естественными условиями на введенные переменные.

Покажем, что условия (3) являются необходимыми и достаточными условиями существования лишь одного цикла.

Действительно, пусть это не так и найдется подцикл с числом городов k

С другой стороны, покажем, что для цикла, проходящего через все города, начинающегося и заканчивающегося в городе с номером 0, найдутся величины u(i), удовлетворяющие условиям (3).

Положим u(i)=p, если город с номером i будет посещен коммивояжером p-ым по порядку, p=1,2,...,m.

Пусть x(i,j) = 0. Тогда условия (3) примут вид:

u(i) - u(j) m-1, что верно, так как p0.

Пусть x(i,j) = 1. Тогда, так как если u(i) = p, то u(j)=p+1 (это следует из того, что город с номером j будет следующим в маршруте коммивояжера после города с номером i). Получим:

u(i) - u(j) + m x(i,j) = p - (p+1) +m = m - 1, что и доказывает правомочность присутствия в модели ограничений (3).

Постановка оптимизационной задачи.

Критерий оптимальности для задачи коммивояжера имеет вид:

F(X)= r(i,j) x(i,j) min . (5)

Задача (1) - (5) называется задачей коммивояжера или задачей бродячего торговца.

С помощью рассмотренной математической модели описываются следующие прикладные задачи: задача минимизации времени переналадок уникального оборудования; задача развозки готовой продукции по потребителям; задача управления работой снегоочистительных машин и др.

Задача выполнимости булевых формул. Задача выполнимости булевых формул (SAT или ВЫП) - задача распознавания, важная для теории вычислительной сложности.

Экземпляром задачи SAT является булева формула, состоящая только из имен переменных, скобок и операций (И ), (ИЛИ ) и (HE ). Задача заключается в следующем: можно ли назначить всем переменным, встречающимся в формуле, значения ЛОЖЬ и ИСТИНА так, чтобы формула стала истинной.

Согласно теореме Кука, доказанной Стивеном Куком в 1971-м году, проблема SAT NP-полна.

Чтобы четко сформулировать задачу распознавания необходимо условиться об алфавите, с помощью которого задаются экземпляры языка. Этот алфавит должен быть фиксирован и конечен. В своей книге Хопкрофт, Мотвани и Ульман предлагают использовать следующий алфавит: {«», «», «», «(», «)», «x », «0», «1»}.

При использовании такого алфавита скобки и операторы записываются естественным образом, а переменные получают следующие имена: x1, x10, x11, x100 и т. д., согласно их номерам, записанным в двоичной системе счисления.

Пусть некоторая булева формула, записанная в обычной математической нотации, имела длину N символов. В ней каждое вхождение каждой переменной было описано хотя бы одним символом, следовательно, всего в данной формуле не более N переменных. Значит, в предложенной выше нотации каждая переменная будет записана с помощью символов. В таком случае, вся формула в новой нотации будет иметь длину символов, то есть длина строки возрастет в полиномиальное число раз.

Например, формула примет вид .

Семь мостов Кёнигсберга. Семь мосто́в Кёнигсберга существовали в Кёнигсберге (нынешнем Калининграде) в XVI-XX веках (см. Рис. 2). Взаимное расположение мостов натолкнуло математика Леонарда Эйлера на размышления, приведшие к возникновению теории графов.

Рис. 2. Старинная карта Кёнигсберга. Буквами обозначены части города: А - Альтштадт, Б - Кнайпхоф, В - Ломзе, Г - Форштадт. Цифрами обозначены мосты (в порядке строительства): 1 - Лавочный, 2 - Зелёный, 3 - Рабочий, 4 - Кузнечный, 5 - Деревянный, 6 - Высокий, 7 - Медовый

Издавна среди жителей Кёнигсберга была распространена такая загадка: как пройти по всем мостам, не проходя ни по одному из них дважды? Многие кёнигсбержцы пытались решить эту задачу, как теоретически, так и практически, во время прогулок. Но никому это не удавалось, однако доказать, что это даже теоретически невозможно.

В 1736 году задача о семи мостах заинтересовала выдающегося математика, члена Петербургской академии наук Леонарда Эйлера, о чём он написал в письме итальянскому математику и инженеру Мариони от 13 марта 1736 года. В этом письме Эйлер пишет о том, что он смог найти правило, пользуясь которым легко определить, можно ли пройти по всем мостам, не проходя дважды ни по одному из них (в случае семи мостов Кёнигсберга это невозможно).

На упрощённой схеме части города (графе) мостам соответствуют линии (рёбра графа), а частям города - точки соединения линий (вершины графа). В ходе рассуждений Эйлер пришёл к следующим выводам:

Число нечётных вершин (вершин, к которым ведёт нечётное число рёбер) графа всегда чётно. Невозможно начертить граф, который имел бы нечётное число нечётных вершин.

Если все вершины графа чётные, то можно, не отрывая карандаша от бумаги, начертить граф, при этом можно начинать с любой вершины графа и завершить его в той же вершине.

Граф с более чем двумя нечётными вершинами невозможно начертить одним росчерком.

Граф кёнигсбергских мостов имел четыре нечётные вершины, следовательно невозможно пройти по всем мостам, не проходя ни по одному из них дважды .

Рис. 3. Упрощённая схема мостов Кёнигсберга. Значение букв и цифр - см. Рис.2 - комментарий к старинной карте Кёнигсберга

Рис. 4. Граф кёнигсбергских мостов

Созданная Эйлером теория графов нашла очень широкое применение: например, её используют при изучении транспортных и коммуникационных систем, в частности, для маршрутизации данных в Интернете.

Проблема четырёх красок - математическая задача, предложенная Ф. Госри (англ. Francis Guthrie) в 1852 году.

Выяснить, можно ли всякую, расположенную на сфере карту, раскрасить четырьмя красками так, чтобы любые две области, имеющие общий участок границы в виде дуги, были раскрашены в разные цвета.

К. Аппель и В. Хакен доказали в 1976 г., что так можно раскрасить любую карту. Это была первая крупная математическая теорема, для доказательства которой был применён компьютер. Не смотря на последующие упрощения, доказательство практически невозможно проверить не используя компьютер.

Раскрашивая географическую карту естественно пользоваться по возможности меньшим количеством цветов, однако так, чтобы две страны, имеющие общую часть границы (не только общую точку), были окрашены по-разному. В 1852 году Френсис Гутри (Guthrie), составляя карту графств Англии, обратил внимание, что для такой цели вполне хватает четырех красок. Его брат, Фредерик, сообщил об этом наблюдении известному математику О. Де Моргану (DeMorgan), а тот – математической общественности. Точная формулировка гипотезы опубликована А. Кэли (Cayley, 1878).

Первое доказательство появилось год спустя и принадлежало В. Кемпе (Kempe). Одиннадцать лет спустя П. Хивуд (Heawood) обнаружил в нем ошибку . За первым ошибочным доказательством последовало множество других. В этом отношении проблема четырех красок уступала лишь знаменитой проблеме Ферма. До середины XX века, хотя проблемой четырех красок занимались многие выдающиеся математики, положение с доказательством изменилось несущественно: идеи Дж. Д. Биркгофа позволили П. Франклину в 1913 году доказать гипотезу для карты с не более чем 25 странами. Позже это число было увеличено до 38.

В 1977 году доказательство гипотезы четырех красок было наконец получено К. Аппелем и У. Хакеном (Appel, Haken) и опубликовано в двух статьях. Значительную часть рутинных проверок выполнил компьютер, и это революционное нововведение в сложившуюся практику дедуктивных рассуждений в чистой математике служит основанием для некоторого естественного скептицизма по отношению к данному доказательству и по сей день. Сначала мы приведем точные формулировки, докажем теорему о пяти красках и укажем некоторые эквивалентные проблемы.

Проблемы раскраски карты на глобусе и плоскости эквивалентны. Действительно, в случае карты на сфере можно вырезать кусок внутренней области какой-либо страны; продырявленную сферу можно деформировать (растянуть) в плоскую область – представим, что карта сделана из тонкой резины. На плоской карте отверстие превратится в "океан", омывающий со всех сторон одну страну. Разумеется, длины границ, их форма, размеры стран подвергнутся при растяжении значительным изменениям, но сетка границ останется, добавится лишь растянутая граница прорезанного отверстия, внешняя граница океана. Ее можно убрать, то есть раскрасить океан так же, как и окруженную им страну. Такие деформации стран и их границ, очевидно, не меняют задачи раскраски. Ниже рассматривается плоская карта.

Начнем с того, что заменим задачу раскраски плоской карты на эквивалентную ей проблему, касающуюся плоских графов. Выберем столицу у каждой страны (то есть выберем по одной внутренней точке в каждой из стран) и соединим дугами столицы стран, имеющих общий сегмент границы. В результате получится так называемый плоский граф.

Определение 1. Графом G называется конечное множество вершин V(G) и конечное множество ребер R(G), так что каждое ребро имеет своими концами две различные вершины. Граф называется плоским, если вершины являются точками плоскости, а ребра – ломаными линиями (составленными из отрезков) в этой же плоскости, имеющими своими концами вершины, не пересекающимися между собой и не включающими других вершин, кроме своих концов.

Отметим, что в плоском графе не допускаются петли (ребра, имеющие началом и концом одну и ту же вершину).

Плоский граф разрезает плоскость на совокупность D(G) неперекрывающихся многоугольных областей, необязательно конечных (рис. 5).

Рис. 5. 4-раскраска плоского графа

Если перенумеровать используемые краски 1, 2, ..., n, то на соответствующем карте плоском графе этими числами окажутся занумерованы вершины / столицы.

Определение 2. Правильной n-раскраской плоского графа G называется отображение f: V(G) ® {1, 2, ..., n}, причем f(u1) # f(u2) в случае, если существует такое ребро r k R(G), что граница r состоит из u1 и u2 .

Наконец, можно сформулировать проблему четырех красок в виде следующего утверждения.

Теорема 1. Любой плоский граф допускает правильную 4-раскраску.

Вот решение этой-то проблемы и заняло более столетия. Однако на первый взгляд чуть более слабое утверждение о правильной 5-раскраске доказать достаточно просто. Для доказательства понадобится формула Эйлера, связывающая число вершин, ребер и областей. Пусть | M | обозначает число элементов конечного множества M.

Теорема Эйлера. Для любого плоского графа | V(G) | – | R(G) | + | D(G) | = 2.

Заметим, что если не учитывать внешнюю бесконечную область, то формула Эйлера для триангуляции конечного плоского графа имеет вид | V(G) | – | R(G) | + + | D(G) | = 1.

Теорема 2. Любой плоский граф допускает правильную 5-раскраску.

Доказательство. Сначала упростим граф. Если есть несколько ребер, соединяющих некоторую пару вершин (такая ситуация может возникнуть, если две страны имеют несколько несвязанных между собой кусков границы, например как у России и Китая), то оставим только одно ребро: правильность раскраски такого уменьшенного графа все равно гарантирует правильную раскраску исходного.

Проведем теперь индукцию по числу вершин графа. Для графа с тремя вершинами утверждение теоремы очевидно. Пусть оно справедливо для всех графов с n – 1 вершиной.

Пусть D1 , D2 , ..., Dm – полный набор всех m = D(G) областей графа, а N(Di) – число ребер, составляющих границу i-й области графа. При этом N(Di) ³ 3 для любого i. Любое ребро входит в границу в точности двух областей, поэтому

N(D1) + N(D2)+ ... +N(Dm) = 2R(G).

Вследствие неравенств N(Di) ³ 3 имеем

2R(G) = N(D1) + N(D2) + ... + N(Dm) ³ 3m = 3D(G),

откуда 2R(G) ³ 3D(G).

По формуле Эйлера | V(G) | – 2 + | D(G) | = | R(G) |, откуда

3 | R(G) | = 3 | V(G) | – 6 + 3 | D(G) | £ 3 | V(G) | – 6 + 2 | R(G) |

и, следовательно,

| R(G) | £ 3 | V(G) | – 6.

Заметим, что удвоенное число ребер можно отождествить и с другой характеристикой графа. Пусть a1 , a2 , ... ..., an есть полный набор n = V(G) вершин графа, а M(aj) – число ребер, сходящихся в вершине с номером j. Но каждое ребро заканчивается двумя вершинами, поэтому

2R(G) = M(a1) + M(a2) + ... + M(an).

Кроме того, как это следует из неравенства (1), 2 | R(G) | £ 6 | V(G) | – 12. Следовательно,

M(a1) + M(a2) + ... + M(an) £ 6 | V(G) | – 12.

Из последнего неравенства можно вывести, что существует по крайней мере одна вершина, в которой сходится не более пяти ребер. Действительно, предположим противное, то есть "j M(aj) ³ 6. Тогда

M(a1) + M(a2) + ... + M(an) ³ 6n = 6V(G),

что противоречит (2).

Перенумеруем вершины так, что в вершине a = an сходится не более пяти ребер.

Если в вершине a сходятся не более четырех ребер, то рассмотрим граф G \ a, который получается из G устранением вершины a и всех оканчивающихся в ней ребер. Граф G \ a допускает правильную 5-раскраску по предположению индукции. А так как ребра соединяют вершину a не более чем с четырьмя вершинами этого меньшего графа, то для правильной раскраски a остается по крайней мере один цвет (из пяти).

Пусть теперь в a сходится ровно пять ребер. Рассмотрим граф H É G, состоящий из тех пяти вершин, куда приходят ребра, выходящие из a и соединяющих их (в G) ребер. В графе H обязательно найдутся две вершины, не соединенные ребром. Действительно в противном случае в пятиугольнике H будет C 5 2 = 10 ребер (это нетрудно посчитать и непосредственно). Однако в силу (1)

| R(H) | £ 3| V(H) | – 6 = 3 " 5 – 6 = 9,

и мы приходим к противоречию.

Пусть b и g суть те вершины H, которые не соединены между собой. Не соединены они и в G \ a. Рассмотрим граф G ", который получается из G \ a при помощи деформации, которая отождествляет (совмещает) b и g. Граф G " – это плоский граф, так как при отождествлении вершин в этой ситуации не может возникнуть петли. Но для G " справедливо предположение индукции, и существует некоторая его правильная 5-раскраска j. Разъединим в этом раскрашенном графе вершины b и g. Тогда правильную 5-раскраску получает и граф G \ a, причем такую, что j(b) = j(g). Иными словами, b и g раскрашены одинаково и, следовательно, раскраска пяти соседних с a вершин графа H использует не более четырех цветов.

Используем оставшийся цвет для раскраски вершины a и получим правильную 5-раскраску G!

Проблема четырех красок кажется на первый взгляд изолированной задачей, мало связанной с другими разделами математики и практическими задачами. На самом деле это не так. Известно более 20 ее переформулировок, которые связывают эту проблему с задачами алгебры, статистической механики и задачами планирования. И это тоже характерно для математики: решение задачи, изучаемой из чистого любопытства, оказывается полезным в описании реальных и совершенно различных по своей природе объектов и процессов. Здесь мы рассмотрим одну задачу, эквивалентную проблеме четырех красок.

Пусть i, j и k суть стандартные единичные направляющие векторы координатных осей x, y и z соответственно. В трехмерном пространстве определено векторное произведение векторов, обозначаемое знаком i. Если u, u k R3 – два вектора, то их векторное произведение u i u имеет длину а направление определяется по правилу буравчика или правой руки. Легко убедиться в том, что это произведение не ассоциативно, то есть произведение u1 i u2 i ... i un , вообще говоря, не определено, если в нем не расставлены скобки. Действительно, например, 0 = i i (j i j) (i i j) i j = – i. Для того чтобы выражение u1 i u2 i ... i un имело определенный смысл, в нем нужно правильным образом расставить n – 2 пары скобок. Такое выражение со скобками называется ассоциацией.

Теорема 3. Для каждой пары ассоциаций, связанных с выражением u1 i u2 i ... i un , существует такая подстановка {u1 , u2 , ..., un} {i, j, k} (то есть {i, j, k} подставляются каким-то образом вместо всех uk), что значения ассоциаций будут равны между собой и отличны от нуля.

Утверждение касается только векторов в трехмерном пространстве и кажется простым, но доказать его так же трудно, как и теорему о 4-раскраске. Доказательство эквивалентности последней теоремы проблеме четырех красок дано Л. Кауфманом и объяснено на пальцах. Здесь мы только коротко объясним связь этих задач.

Во-первых, причем здесь графы? Графически ассоциацию можно представлять себе в виде дерева, то есть графа специального вида, устроенного следующим образом. Произведению всякой пары u i u соответствует пара ребер (веток), имеющих общую вершину, при этом концы ветвей соответствуют сомножителям, а общее начало – произведению. Шаг за шагом выполняя действия, предписанные в ассоциации скобками, приходим к корню этого дерева, соответствующему результату выполнения всех перемножений в заданной ассоциации. В верхней части рис. 2 представлены деревья, определяемые ассоциациями (u1 i u2) i (u3 i u4) (внизу, ветвями вверх) и (((u1 i u2) i u3) i u4) (вверху, ветвями вниз).

Склеим теперь оба эти дерева по концам веток (концы соответствуют всем элементам ассоциации u1 , u2 , u3 , u4) и затем соединим корни обоих деревьев дополнительным ребром. Получится плоский граф, изображенный в нижней части рис. 6. Отметим два специфических свойства такого графа: в любой его вершине сходится ровно три ребра (это свойство называется кубичностью графа). Удаление любого ребра не приводит к разделению графа на две не связанные между собой компоненты (это свойство назовем отсутствием разделяющего ребра).

Рис. 6. Плоский граф

Эта конструкция обобщается для любой пары ассоциаций с одинаковым количеством сомножителей.

Во-вторых, причем здесь раскраски? Будем считать векторы i, j и k тремя красками, приписанными всем элементам ассоциации или, что то же, концевым веткам деревьев. Остальные ветки вплоть до корня окрасятся по правилам вычисления векторного произведения. Если мы хотим после вычислений получить ненулевой результат, то, как легко проверить, три ребра, сходящиеся в любой вершине, должны быть раскрашены по-разному.

Тем самым кубический плоский граф, полученный склеиванием двух деревьев различных ассоциаций, получит такую раскраску ребер, что в любой вершине сходятся три по-разному окрашенных ребра. Это так называемая правильная 3-раскраска ребер.

В-третьих, причем здесь проблема четырех красок? Дело в том, что проблемы правильной 4-раскраски вершин и правильной 3-раcкраски ребер эквивалентны. Точнее, справедлива

Теорема 4. Всякий кубический граф без разделяющих ребер допускает правильную 3-раскраску ребер.

Эта теорема эквивалентна теореме 1 о правильной 4-раскраске карт. Доказательство эквивалентности не очень сложно, и его можно найти в большинстве учебников по теории графов.

Объясним лишь, как 4-раскраска областей кубического графа порождает 3-раскраску его ребер. Пусть области кубического графа окрашены четырьмя красками. Вместо того чтобы нумеровать краски числами 1, 2, 3 и 4, занумеруем их парами (0, 0), (0, 1), (1, 0) и (1, 1). При отсутствии разделяющих ребер к каждому ребру примыкают две разные области. Припишем ребру, разделяющему области, окрашенные с помощью (i, j) и (k, l), цвет по формуле (i + k, j + l)(mod 2). Здесь n(mod 2) означает остаток от деления n на 2. Различающиеся пары цветов областей порождают только три пары (0, 1), (1, 0) и (1, 1) для раскраски ребер.

Доказательство Аппеля и Хакена, в целом хотя и принятое математическим сообществом, вызывает до сих пор определенный скептицизм. Для читателя, поверхностно знакомого с математикой, предыдущая фраза должна вызвать изумление: а как же обязательный для математики принцип исключенного третьего, в соответствии с которым утверждение либо справедливо, либо нет? Дело обстоит не так просто. Вот что пишут сами авторы доказательства: "Читатель должен разобраться в 50 страницах текста и диаграмм, 85 страницах с почти 2500 дополнительными диаграммами, 400 страницами микрофишей, содержащими еще диаграммы, а также тысячи отдельных проверок утверждений, сделанных в 24 леммах основного текста. Вдобавок читатель узнает, что проверка некоторых фактов потребовала 1200 часов компьютерного времени, а при проверке вручную потребовалось бы гораздо больше. Статьи устрашающи по стилю и длине, и немногие математики прочли их сколько-нибудь подробно".

Говоря прямо, компьютерную часть доказательства невозможно проверить вручную, а традиционная часть доказательства длинна и сложна настолько, что ее никто целиком и не проверял. Между тем доказательство, не поддающееся проверке, есть нонсенс. Согласиться с подобным доказательством означает примерно то же, что просто поверить авторам. Но и здесь все сложнее.

Вернемся сначала к доказательствам формулы Эйлера и теоремы о 5-раскраске. Ее-то вроде бы нетрудно проверить, взяв лист бумаги и карандаш. Но рассуждения в ней основаны на очевидных соображениях типа: "Плоский граф разрезает плоскость на совокупность D(G) неперекрывающихся многоугольных областей". Между тем это утверждение не принадлежит к числу аксиом или школьных теорем плоской геометрии, и его нужно доказывать. Соответствующая теорема, сформулированная К. Жорданом, доказывается очень непросто, однако основные трудности связаны с тем, как следует понимать слова типа "разрезает", интуитивно вполне ясные, но с трудом поддающимся формализации. В свете этого замечания становится уже не совсем понятным, доказана ли теорема о пяти красках или мы поверили правдоподобным рассуждениям, основанным на интуитивных представлениях о свойствах геометрических фигур.

Долгое время идеалом математической строгости были формулировки и доказательства Евклида, в которых осуществлялась программа вывода теорем из аксиом по определенным правилам (метод дедукции, позволяющий получать неочевидные утверждения из очевидных посредством ряда явно предъявляемых элементарных, очевидно законных, умозаключений). Этот образец строгости и в наше время недостижим в курсе школьной математики, но для современной чистой математики стандарты Евклида недостаточны. Евклид, по-видимому, не задумывался над тем, почему прямая делит плоскость на две части (и что это значит), он не определял понятия "между", считая это понятие очевидным и т.д. Большая часть соответствующих утверждений доказана или включена в аксиоматику геометрии только в последнюю сотню лет. Формальные выводы из новой системы аксиом стали гораздо длиннее, чем в античные времена.

Трудно даже вообразить длину полного вывода теоремы о пяти красках в соответствии с современными стандартами математической логики и системы аксиом геометрии. Но совершенно точно, что такое рассуждение никто никогда не проделывал из-за бесполезности этого занятия: формальные выводы практически не поддаются проверке в силу свойств человеческой психики: помимо их гораздо большей (по сравнению с привычными рассуждениями) длины их сознательное усвоение идет гораздо медленнее. Поэтому обычно удовлетворяются уверенностью в том, что формальный вывод возможен в принципе.

В формуле Эйлера, например, математики не сомневаются. Вообще принятие доказательства есть некий социальный акт. Выдающийся алгебраист Ю.И. Манин в своей книге "Доказуемое и недоказуемое" пишет по этому поводу: "...отсутствие ошибок в математической работе (если они не обнаружены), как и в других естественных науках, часто устанавливается по косвенным данным: имеют значение соответствие с общими ожиданиями, использование аналогичных аргументов в других работах, разглядывание "под микроскопом" отдельных участков доказательства, даже репутация автора, словом, воспроизводимость в широком смысле. "Непонятные" доказательства могут сыграть очень полезную роль, стимулируя поиски более доступных рассуждений."

Именно такая история происходит и с доказательством теоремы о четырех красках. Не так давно появилось новое доказательство, причем та часть, которая выполнена не на компьютере, уже поддается проверке. Однако компьютерная часть все еще остается скорее предметом веры. Ведь даже проверка распечаток всех программ и всех входных данных не может гарантировать от случайных сбоев или даже от скрытых пороков электроники (вспомним, что ошибки при выполнении деления у первой версии процессора Pentium были случайно обнаружены спустя полгода после начала его коммерческих продаж – кстати, математиком, специалистом в теории чисел). По-видимому, единственный способ проверки компьютерных результатов – написать другую программу и для другого типа компьютера. Это, конечно, совсем непохоже на стандартный идеал дедуктивных рассуждений, но именно так осуществляется проверка утверждений во всех экспериментальных науках .

Из которых математика, стало быть, исключена напрасно.

2 Математическая логика и теория типов

Математическая логика - раздел математики, изучающий доказательства. Согласно определению П. С. Порецкого, «математическая логика есть логика по предмету, математика по методу» .

Применение в логике математических методов становится возможным тогда, когда суждения формулируются на некотором точном языке. Такие точные языки имеют две стороны: синтаксис и семантику. Синтаксисом называется совокупность правил построения объектов языка (обычно называемых формулами). Семантикой называется совокупность соглашений, описывающих наше понимание формул (или некоторых из них) и позволяющих считать одни формулы верными, а другие - нет.

Важную роль в математической логике играет понятие исчисления. Исчислением называется совокупность правил вывода, позволяющих считать некоторые формулы выводимыми. Правила вывода подразделяются на два класса. Одни из них непосредственно квалифицируют некоторые формулы как выводимые. Такие правила вывода принято называть аксиомами. Другие же позволяют считать выводимыми формулы A , синтаксически связанные некоторым заранее определённым способом с конечными наборами выводимых формул. Широко применяемым правилом второго типа является правило modus ponens: если выводимы формулы A и , то выводима и формула B .

Отношение исчислений к семантике выражается понятиями семантической пригодности и семантической полноты исчисления. Исчисление И называется семантически пригодным для языка Я, если любая выводимая в И формула языка Я является верной. Аналогично, исчисление И называется семантически полным в языке Я, если любая верная формула языка Я выводима в И.

Многие из рассматриваемых в математической логике языков обладают семантически полными и семантически пригодными исчислениями. В частности, известен результат К. Гёделя о том, что так называемое классическое исчисление предикатов является семантически полным и семантически пригодным для языка классической логики предикатов первого порядка. С другой стороны, имеется немало языков, для которых построение семантически полного и семантически пригодного исчисления невозможно. В этой области классическим результатом является теорема Гёделя о неполноте, утверждающая невозможность семантически полного и семантически пригодного исчисления для языка формальной арифметики.

Теория типов - математически формализованная база для проектирования, анализа и изучения систем типов данных в теории языков программирования (раздел информатики). Многие программисты используют это понятие для обозначения любого аналитического труда, изучающего системы типов в языках программирования. В научных кругах под теорией типов чаще всего понимают более узкий раздел дискретной математики, в частности λ-исчисление.

Современная теория типов была частично разработана в процессе разрешения парадокса Рассела и во многом базируется на работе Бертрана Рассела и Альфреда Уайтхэда «Principia Mathematica» (этот фундаметальный трёхтомник математической логики до сих пор не издан на русском языке) .

Заключение

Прародителем информатики является кибернетика, основанная американским математиком Норбертом Винером, опубликовавшим в 1948 году одноименную книгу. Основоположником советской школы кибернетики и информатики признан профессор МГУ Алексей Андреевич Ляпунов.

Слово «информатика» для обозначения комплекса компьютерных наук было введено в словарь русского языка в 1976 году академиком Андреем Петровичем Ершовым.

Несмотря на широкую распространенность термина «информатика», у специалистов до сих пор нет единого мнения о его толковании. Существуют три подхода:

Сверхширокий, включающий в информатику все, что связано с любыми процессами получения, преобразовании и передачи информации;

Широкий, включающий в информатику все, что связано с компьютерами, в том числе вопросы конструирования вычислительной техники;

Узкий, определяющий информатику только как науку о применении компьютеров, то есть как науку о компьютерных технологиях.

Таким образом, к настоящему времени имеются три толкования термина «информатика».

Первое – сверхширокое, при котором в сферу ее ведения попадает весь комплекс наук, так или иначе связанных с получением и обработкой информации, независимо от использования компьютеров. В этом значении термин часто используется в изданиях философской и методологической направленности, а также в непрофессиональной среде (журналистами, политиками).

Второе – информатика как полный набор компьютерных наук, точный эквивалент computer science. В данном значении термин объединяет самые разные стороны программирования и использования компьютеров, методов их конструирования и разработки программного обеспечения. Такое толкование чаще всего используется в обычном профессиональном языке и при обратном переводе на английский. Например, «факультет информатики» правильнее всего перевести как «computer science faculty» или «computer science department» в зависимости от того, на какую аудиторию рассчитан перевод (в британском английском более распространено слово «faculty», а в американском – «department»).

Третье – информатика в узком смысле, когда за рамки computer science выносятся детальные вопросы технического устройства компьютеров (hardware), а в составе науки остаются проблемы их применения. В таком значении термин обычно используется в узкопрофессиональной среде программистов, а также в учебных программах. Именно так его следует понимать в общепринятом в образовательной среде словосочетании «информатика и вычислительная техника», иначе получается логическая некорректность.

Как известно, всякая классификация условна и имеет некоторую цель. В свете всего изложенного мы, имея в виду подготовку специалистов в области компьютерных наук, будем пользоваться последним, узким толкованием и определим информатику как научную дисциплину, предметом которой являются компьютерные технологии. Вместо термина «компьютерные» часто используются аналогичные по смыслу определения «новые информационные» или просто «информационные», поэтому в специальной литературе можно встретить термины «ИТ-служба», «ИТ-специалист», «факультет ИТ» и т.п.

Для иллюстрации границ раздела между кибернетикой, вычислительной техникой и информатикой можно воспользоваться таким образным сравнением. Если уподобить кибернетика, разрабатывающего алгоритмы, композитору, сочиняющего музыку, а конструктора ЭВМ – скрипичному мастеру, то специалиста по информатике можно будет сравнить со скрипачом, реализующим замысел композитора и обогащающим его своим мастерством и талантом. Поэтому информатика – не просто отрасль знаний, а неделимый сплав ремесла, науки и искусства.

Возникновение информатики во второй половине XX столетия не является случайностью. Компьютер и электросвязь – два закономерных продукта и инструмента информационной революции, знаменующей переход от индустриальной к постиндустриальной (информационной) эпохе в истории человечества.

Список использованной литературы

1. Апокин И. А., Майстров Л. Е. История вычислительной техники: От простейших счетных приспособлений до сложных релейных систем. М.: Наука, 2000.

2. Гладких Б. А. От абака до компьютера. Томск: Изд-во НТЛ, 2005.

3. Гутер Р. С., Полунов Ю. Л. От абака до компьютера. М.: Знание, 2001. .

4. Кук Д., Бейз Г. Компьютерная математика. М., Наука, 2000.

5. Марков А.А. Элементы математической логики. М.: Изд-во МГУ, 2004.

6. Пойа Д. Математическое открытие. М.: Наука, 2000.

7. Прилуцкий М.Х. Математические основы информатики. Нижний Новгород: Нижег.гос.ун-т, 2000.

8. Симонович С., Евсеев Г., Алексеев А. Общая информатика. М.: Дело, 1999.

9. Турецкий В.Я. Математика и информатика. Екатеринбург: Пропаганда,2002.

10. Фор Р., Кофман А., Дени-Папен М. Современная математика. М.: Мир, 2006.

11. Частиков А. Архитекторы компьютерного мира. Спб: БХВ-Петербург, 2002.

12. Шенфилд Дж. Математическая логика. М.: Наука, 2005.

Прилуцкий М.Х. Математические основы информатики. Нижний Новгород: Нижег.гос.ун-т, 2000. С. 21.

В теории алгоритмов NP-полные задачи - это класс задач, лежащих в классе NP (то есть для которых пока не найдено быстрых алгоритмов решения, но проверка того, является ли данное решение правильным, проходит быстро), к которым сводятся все задачи класса NP. Это означает, что если найдут быстрый алгоритм для решения любой из NP-полных задач, любая задача из класса NP сможет быть решена быстро.

Если не прибегнуть к хитрости спрыгнуть в воду и доплыть до противоположного берега, что позволит решить задачу с мостами, но, к сожалению, изменит условие задачи с графами...

Однако из доказательства Хивуд понял, что пяти красок действительно достаточно. Тем не менее для любой конкретной карты хватало четырех красок!

Марков А.А. Элементы математической логики. М.: Изд-во МГУ, 2004. С. 211.

Кук Д., Бейз Г. Компьютерная математика. М., Наука, 2000. С. 156.

Турецкий В.Я. Математика и информатика. Екатеринбург: Пропаганда, 2002. С. 109.

Симонович С., Евсеев Г., Алексеев А. Общая информатика. М.: Дело, 1999. С. 231.

Гладких Б. А. От абака до компьютера. Томск: Изд-во НТЛ, 2005. С. 87.

Математические основы информатики. Андреева Е.В., Босова Л.Л., Фалина И.Н.

М.: 2005. - 328 с.

Учебное пособие входит в УМК для старших классов наряду с мето­ дическим пособием и хрестоматией. Материал раскрывает взаимосвязь математики и информатики, показывает, как развитие одной из этих научных областей стимулировало развитие другой. Дается углубленное представление о математическом аппарате, используемом в информатике, показывается, как теоретические результаты, полученные в математике, послужили источником новых идей и результатов в теории алго­ритмов, программировании и в других разделах информатики.

Для учащихся старших классов информационно-технологического, физико-математического и естественно-научного профилей, желающих расширить свои теоретические представления о математике в информатике и информатике в математике.

Формат: pdf

Размер: 1 3, 7Мб

Скачать: drive.google

Оглавление

Глава 1. Системы счисления ................................................. 11

§ 1.1. Позиционные системы счисления. Основные

Определения..................................................................... 13

Вопросы и задания........................................................... 19

§ 1.2. Единственность представления чисел в Р-ичных

системах счисления......................................................... 20

Вопросы и задания...................................................... ... 24

§1.3. Представление произвольных чисел в позиционных

системах счисления......................................................... 25

1.3.1. Развернутая и свернутая формы записи............ 25

1.3.2. Перечисление натуральных чисел.................... 26

1.3.3. Представление обыкновенных десятичных дробей

В Р-ичных системах счисления 28

Вопросы и задания........................................................... 30

§1.4. Арифметические операции в Р-ичных системах

Счисления......................................................................... 31

1.4.1. Сложение.......................................................... 31

1.4.2. Вычитание.................................................. .... 33

1.4.3. Умножение....................................................... 33

1.4.4. Деление............................................................. 35

Вопросы и задания........................................................... 37

§1.5. Перевод чисел из Р-ичной системы счисления

в десятичную................................................................... 38

1.5.1. Перевод целых Р-ичных чисел..................... . . 38

1.5.2. Перевод конечных Р-ичных дробей................. 40

1.5.3. Перевод периодических Р-ичных дробей......... 42

Вопросы и задания.......................................................... 44

§1.6. Перевод чисел из десятичной системы счисления

в Р-ичную....................................................................... 44

1.6.1. Два способа перевода целых чисел.................... 44

1.6.2. Перевод конечных десятичных дробей............ 47

Вопросы и задания........................................................... 49

§ 1.7. Смешанные системы счисления...................................... 50

Вопросы и задания.......................................................... 54

§ 1.8. Системы счисления и архитектура компьютеров........... 54

1.8.1. Использование уравновешенной троичной системы

Счисления 56

1.8.2. Использование фибоначчиевой системы счисления 58

1.8.3. Недвоичные компьютерные арифметики............. 60

Вопросы и задания......................................................... 61

Заключение............................................................................... 61

Глава 2. Представление информации в компьютере ....... 63

§ 2.1. Представление целых чисел........................................... 65

2.1.1. Представление целых положительных чисел... 66

2.1.2. Представление целых отрицательных чисел... 68

2.1.3. Перечисление чисел в целочисленной компьютерной

арифметике 71

2.1.4. Особенности реализации арифметических операций

в конечном числе разрядов 73

Вопросы и задания......................................................... 74

§2.2. Представление вещественных чисел............................... 74

2.2.1. Нормализованная запись числа............................ 75

2.2.2. Представление вещественных чисел

в формате с плавающей запятой.......................... 80

2.2.3. Выполнение арифметических операций

над вещественными числами............................... 81

2.2.4. Особенности реализации вещественной
компьютерной арифметики................................... 84

Вопросы и задания......................................................... 88

§2.3. Представление текстовой информации............................. 89

Вопросы и задания.......................................................... 95

§ 2.4. Представление графической информации........................ 96

2.4.1. Общие подходы к представлению

в компьютере информации естественного
происхождения..................................................... 97

2.4.2. Векторное и растровое представление графической

Информации................................................ 102

2.4.3. Квантование цвета............................................. 104

2.4.4. Цветовая модель RGB ....................................... 107

2.4.5. Цветовая модель CMYK ................................... 112

2.4.6. Цветовая модель HSB ....................................... 115

Вопросы и задания....................................................... 119

§ 2.5. Представление звуковой информации............................ 120

2.5.1. Понятие звукозаписи.......................................... 122

2.5.2. Импульсно-кодовая модуляция.......................... 123

2.5.3. Формат MIDI ..................................................... 127

2.5.4. Принципы компьютерного воспроизведения

Звука.................................................................. 128

Вопросы и задания....................................................... 129

§2.6. Методы сжатия цифровой информации.......................... 130

2.6.1. Алгоритмы обратимых методов........................ 132

2.6.2. Методы сжатия с регулируемой потерей информации 141

Вопросы и задания....................................................... 145

Заключение............................................................................ 145

Глава 3. Введение в алгебру логики ................................ 147

§3.1. Алгебра логики. Понятие высказывания........................ 148

Вопросы и задания....................................................... 151

§ 3.2. Логические операции. Таблицы истинности.................. 152

Вопросы и задания....................................................... 162

§ 3.3. Логические формулы. Законы алгебры логики.............. 164

Вопросы и задания....................................................... 167

§ 3.4. Методы решения логических задач.............................. 168

Вопросы и задания....................................................... 172

§ 3.5. Алгебра переключательных схем................................. 173

Вопросы и задания....................................................... 175

§ 3.6. Булевы функции............................................................ 176

Вопросы и задания....................................................... 178

§ 3.7. Канонические формы логических формул.

Теорема о СДНФ ......................................................... 178

Вопросы и задания....................................................... 184

§ 3.8. Минимизация булевых функций в классе

дизъюнктивных нормальных форм............................... 185

Практические задания.................................................. 189

§ 3.9. Полные системы булевых функций............................... 190

Вопросы и задания....................................................... 192

§ 3.10. Элементы схемотехники. Логические схемы.............. 193

Вопросы и задания....................................................... 197

Заключение............................................................................. 197

Глава 4. Элементы теории алгоритмов ........................... 199

§4.1. Понятие алгоритма. Свойства алгоритмов..................... 200

Вопросы и задания....................................................... 208

§ 4.2. Уточнение понятия алгоритма. Машина Тьюринга. . 209

4.2.1. Необходимость уточнения понятия алгоритма. 209

4.2.2. Описание машины Тьюринга.............................. 212

4.2.3. Примеры машин Тьюринга................................ 215

4.2.4. Формальное описание алгоритма. Математическое

описание машины Тьюринга.........................................218

Вопросы и задания........................................................ 220

§4.3. Машина Поста как уточнение понятия алгоритма. . . 220

Вопросы и задания....................................................... 223

§4.4. Алгоритмически неразрешимые задачи

и вычислимые функции................................................. 224

Вопросы и задания....................................................... 229

§4.5. Понятие сложности алгоритма....................................... 230

Вопросы и задания....................................................... 234

§ 4.6. Анализ алгоритмов поиска............................................ 234

4.6.1. Последовательный поиск в неупорядоченном массиве 235

4.6.2. Алгоритм бинарного поиска в упорядоченном массиве 237

Вопросы и задания....................................................... 238

§ 4.7. Анализ алгоритмов сортировки..................................... 238

4.7.1. Обменная сортировка методом «пузырька» . . . 239

4.7.2. Сортировка выбором.......................................... 241

4.7.3. Сортировка вставками........................................ 243

4.7.4. Сортировка слиянием......................................... 244

Вопросы и задания........................................................ 247

Заключение............................................................................. 248

Глава 5. Основы теории информации .............................. 249

§ 5.1. Понятие информации. Количество информации.

Единицы измерения информации.................................. 250

Вопросы и задания........................................................ 254

§5.2. Формула Хартли определения количества

Информации................................................................... 254

Вопросы и задания........................................................ 260

§ 5.3. Применение формулы Хартли....................................... 261

Вопросы и задания........................................................ 265

§5.4. Закон аддитивности информации. Алфавитный

подход к измерению информации.................................. 266

Вопросы и задания........................................................ 269

§5.5. Информация и вероятность. Формула Шеннона............. 269

Вопросы и задания........................................................ 276

§5.6. Оптимальное кодирование информации

и ее сложность.............................................................. 277

Вопросы и задания........................................................ 280

Заключение............................................................................. 281

Глава 6. Математические основы вычислительной

геометрии и компьютерной графики ................ 283

§ 6.1. Координаты и векторы на плоскости............................ 285

Вопросы и задания....................................................... 292

§ 6.2. Способы описания линий на плоскости.......................... 292

6.2.1. Общее уравнение прямой................................... 292

6.2.2. Нормированное уравнение прямой...................... 294

6.2.3. Параметрические уравнения прямой, луча, отрезка 296

6.2.4. Способы описания окружности........................... 297

Вопросы и задания....................................................... 298

§6.3. Задачи компьютерной графики на взаимное

расположение точек и фигур......................................... 298

и проходящая через заданную точку.................. 298

6.3.2. Расположение точки относительно прямой,

луча или отрезка................................................ 299

6.3.3. Взаимное расположение прямых, отрезков, лучей 301

6.3.4. Взаимное расположение окружности

и прямой............................................................. 303

6.3.5. Взаимное расположение двух окружностей. . . 305
Вопросы и задания........................................................ 307

§ 6.4. Многоугольники............................................................ 307

6.4.1. Проверка выпуклости многоугольника............... 308

6.4.2. Проверка принадлежности точки внутренней

области многоугольника 308

6.4.3. Вычисление площади простого многоугольника. 310

Вопросы и задания........................................................ 311

§6.5. Геометрические объекты в пространстве...................... 312

6.5.1. Основные формулы............................................ 312

6.5.2. Определение пересечения прямой линии

и треугольника в пространстве........................... 314

6.5.3. Вращение точки вокруг заданной прямой

в пространстве................................................... 315

Вопросы и задания....................................................... 317

Заключение............................................................................ 318

Приложение......................................................................... 319

Предметный указатель...................................................... 320

Название : Математические основы информатики - Элективный курс - Учебное пособие.

Учебное пособие входит в УМК для старших классов наряду с методическим пособием и хрестоматией.
Материал раскрывает взаимосвязь математики и информатики, показывает, как развитие одной из этих научных областей стимулировало развитие другой. Дается углубленное представление о математическом аппарате, используемом в информатике, демонстрируется, как результаты, полученные в математике, послужили источником новых идей и результатов в теории алгоритмов, программировании и в других разделах информатики.

Оглавление
От авторов. 8
Глава 1. Системы счисления. 11
§1.1. Позиционные системы счисления. Основные определения. 13
Вопросы и задания. 19
§1.2. Единственность представления чисел в Р-ичных системах счисления. 20
Вопросы и задания. 24
§1.3. Представление произвольных чисел в позиционных системах счисления. 25
1.3.1. Развернутая и свернутая формы записи. 25
1.3.2. Перечисление натуральных чисел. 26
1.3.3. Представление обыкновенных десятичных дробей в Р-ичных системах счисления. 28
Вопросы и задания. 30
§1.4. Арифметические операции в Р-ичных системах счисления. 31
1.4.1. Сложение. 31
1.4.2. Вычитание. 33
1.4.3. Умножение. 33
1.4.4. Деление. 35
Вопросы и задания. 37
§1.5. Перевод чисел из Р-ичной системы счисления в десятичную. 38
1.5.1. Перевод целых Р-ичных чисел. 38
1.5.2. Перевод конечных Р-ичных дробей. 40
1.5.3. Перевод периодических Р-ичных дробей. 42
Вопросы и задания. 44
§1.6. Перевод чисел из десятичной системы счисления в Р-ичную. 44
1.6.1. Два способа перевода целых чисел. 44
1.6.2. Перевод конечных десятичных дробей. 47
Вопросы и задания. 49
§ 1.7. Смешанные системы счисления. 50
Вопросы и задания. 54
§ 1.8. Системы счисления и архитектура компьютеров. 54
1.8.1. Использование уравновешенной троичной системы счисления. 56
1.8.2. Использование фибоначчиевой системы счисления. 58
1.8.3. Недвоичные компьютерные арифметики. 60
Вопросы и задания. 61
Заключение. 61
Глава 2. Представление информации в компьютере. 63
§ 2.1. Представление целых чисел. 65
2.1.1. Представление целых положительных чисел. 66
2.1.2. Представление целых отрицательных чисел. 68
2.1.3. Перечисление чисел в целочисленной компьютерной арифметике. 71
2.1.4. Особенности реализации арифметических операций в конечном числе разрядов. 73
Вопросы и задания. 74
§2.2. Представление вещественных чисел. 74
2.2.1. Нормализованная запись числа. 75
2.2.2. Представление вещественных чисел в формате с плавающей запятой. 80
2.2.3. Выполнение арифметических операций над вещественными числами. 81
2.2.4. Особенности реализации вещественной компьютерной арифметики. 84
Вопросы и задания. 88
§ 2.3. Представление текстовой информации. 89
Вопросы и задания. 95
§ 2.4. Представление графической информации. 96
2.4.1. Общие подходы к представлению в компьютере информации естественного происхождения. 97
2.4.2. Векторное и растровое представление графической информации. 102
2.4.3. Квантование цвета. 104
2.4.4. Цветовая модель RGB. 107
2.4.5. Цветовая модель CMYK. 112
2.4.6. Цветовая модель HSB. 115
Вопросы и задания. 119
§ 2.5. Представление звуковой информации. 120
2.5.1. Понятие звукозаписи. 122
2.5.2. Импульсно-кодовая модуляция. 123
2.5.3. Формат MIDI. 127
2.5.4. Принципы компьютерного воспроизведения звука. 128
Вопросы и задания. 129
§ 2.6. Методы сжатия цифровой информации. 130
2.6.1. Алгоритмы обратимых методов. 132
2.6.2. Методы сжатия с регулируемой потерей информации. 141
Вопросы и задания. 145
Заключение. 145
Глава 3. Введение в алгебру логики. 147
§ 3.1. Алгебра логики. Понятие высказывания. 148
Вопросы и задания. 151
§ 3.2. Логические операции. Таблицы истинности. 152
Вопросы и задания. 162
§ 3.3. Логические формулы. Законы алгебры логики. 164
Вопросы и задания. 167
§ 3.4. Методы решения логических задач. 168
Вопросы и задания. 172
§ 3.5. Алгебра переключательных схем. 173
Вопросы и задания. 175
§ 3.6. Булевы функции. 176
Вопросы и задания. 178
§ 3.7. Канонические формы логических формул. Теорема о СДНФ. 178
Вопросы и задания. 184
§ 3.8. Минимизация булевых функций в классе дизъюнктивных нормальных форм. 185
Практические задания. 189
§ 3.9. Полные системы булевых функций. 190
Вопросы и задания. 192
§ 3.10. Элементы схемотехники. Логические схемы. 193
Вопросы и задания. 197
Заключение. 197
Глава 4. Элементы теории алгоритмов. 199
§ 4.1. Понятие алгоритма. Свойства алгоритмов. 200
Вопросы и задания. 208
§ 4.2. Уточнение понятия алгоритма. Машина Тьюринга. 209
4.2.1. Необходимость уточнения понятия алгоритма. 209
4.2.2. Описание машины Тьюринга. 212
4.2.3. Примеры машин Тьюринга. 215
4.2.4. Формальное описание алгоритма. Математическое описание машины Тьюринга. 218
Вопросы и задания. 220
§4.3. Машина Поста как уточнение понятия алгоритма. 220
Вопросы и задания. 223
§4.4. Алгоритмически неразрешимые задачи и вычислимые функции. 224
Вопросы и задания. 229
§4.5. Понятие сложности алгоритма. 230
Вопросы и задания. 234
§ 4.6. Анализ алгоритмов поиска. 234
4.6.1. Последовательный поиск в неупорядоченном массиве. 235
4.6.2. Алгоритм бинарного поиска в упорядоченном массиве. 237
Вопросы и задания. 238
§ 4.7. Анализ алгоритмов сортировки. 238
4.7.1. Обменная сортировка методом «пузырька». 239
4.7.2. Сортировка выбором. 241
4.7.3. Сортировка вставками. 243
4.7.4. Сортировка слиянием. 244
Вопросы и задания. 247
Заключение. 248
Глава 5. Основы теории информации. 249
§ 5.1. Понятие информации. Количество информации. Единицы измерения информации. 250
Вопросы и задания. 254
§ 5.2. Формула Хартли определения количества информации. 254
Вопросы и задания. 260
§ 5.3. Применение формулы Хартли. 261
Вопросы и задания. 265
§ 5.4. Закон аддитивности информации. Алфавитный подход к измерению информации. 266
Вопросы и задания. 269
§5.5. Информация и вероятность. Формула Шеннона. 269
Вопросы и задания. 276
§ 5.6. Оптимальное кодирование информации и ее сложность. 277
Вопросы и задания. 280
Заключение. 281
Глава 6. Математические основы вычислительной геометрии и компьютерной графики. 283
§ 6.1. Координаты и векторы на плоскости. 285
Вопросы и задания. 292
§ 6.2. Способы описания линий на плоскости. 292
6.2.1. Общее уравнение прямой. 292
6.2.2. Нормированное уравнение прямой. 294
6.2.3. Параметрические уравнения прямой, луча, отрезка. 296
6.2.4. Способы описания окружности. 297
Вопросы и задания. 298
§6.3. Задачи компьютерной графики на взаимное расположение точек и фигур. 298
6.3.1. Прямая, перпендикулярная данной и проходящая через заданную точку. 298
6.3.2. Расположение точки относительно прямой, луча или отрезка. 299
6.3.3. Взаимное расположение прямых, отрезков, лучей. 301
6.3.4. Взаимное расположение окружности и прямой. 303
6.3.5. Взаимное расположение двух окружностей. 305
Вопросы и задания. 307
§ 6.4. Многоугольники. 307
6.4.1. Проверка выпуклости многоугольника. 308
6.4.2. Проверка принадлежности точки внутренней области многоугольника. 308
6.4.3. Вычисление площади простого многоугольника. 310
Вопросы и задания. 311
§6.5. Геометрические объекты в пространстве. 312
6.5.1. Основные формулы. 312
6.5.2. Определение пересечения прямой линии и треугольника в пространстве. 314
6.5.3. Вращение точки вокруг заданной прямой в пространстве. 315
Вопросы и задания. 317
Заключение. 318
Приложение. 319
Предметный указатель.

Использование фибоначчиевой системы счисления .
На заре компьютерной эры было сделано еще два открытия в области позиционных способов представления чисел, которые, однако, малоизвестны и в тот период не привлекли особого внимания математиков и инженеров. Речь идет о свойствах фибоначчиевой системы счисления и системы счисления золотой пропорции.

В последние десятилетия XX века группой математиков под руководством профессора А. П. Стахова в СССР были получены чрезвычайно интересные результаты, связанные с решением проблемы надежности хранения, обработки и передачи информации в компьютерных системах. Математиками было предложено использовать в качестве системы счисления в компьютерах фибоначчиеву систему. Напомним, что алфавитом этой системы являются цифры 0 и 1, а базисом - последовательность чисел Фибоначчи: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 ... .

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Математические основы информатики - Элективный курс - Учебное пособие - Андреева Е.В. Босова Л.Л. Фалина И.Н. - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.