Durante a lição, você poderá estudar independentemente o tópico " Solução gráfica equações, desigualdades. O professor na aula irá analisar os métodos gráficos para resolver equações e desigualdades. Ele vai te ensinar como construir gráficos, analisá-los e obter soluções para equações e desigualdades. A aula também discutirá exemplos concretos neste tópico.

Tópico: Funções numéricas

Lição: Solução gráfica de equações, inequações

1. Tópico da lição, introdução

Nós analisamos os gráficos funções elementares, incluindo gráficos funções de energia c diferentes indicadores. Também consideramos as regras para deslocamento e transformação de gráficos de funções. Todas essas habilidades devem ser aplicadas quando necessário. gráficodecisão equações ou gráfico decisãodesigualdades.

2. Resolvendo equações e desigualdades graficamente

Exemplo 1. Resolva graficamente a equação:

Vamos construir gráficos de funções (Fig. 1).

O gráfico da função é uma parábola que passa pelos pontos

O gráfico da função é uma linha reta, vamos construí-lo de acordo com a tabela.

Gráficos se cruzam em um ponto Não há outros pontos de interseção, pois a função é monotonicamente crescente, a função é decrescente monotonicamente e, portanto, seu ponto de interseção é único.

Exemplo 2. Resolva a desigualdade

uma. Para que a desigualdade seja válida, o gráfico da função deve estar localizado acima da linha reta (Fig. 1). Isso é feito quando

b. Neste caso, pelo contrário, a parábola deve estar abaixo da linha. Isso é feito quando

Exemplo 3. Resolva a desigualdade

Vamos construir gráficos de funções (Figura 2).

Encontre a raiz da equação Quando não há soluções. Existe uma solução para .

Para que a desigualdade seja válida, a hipérbole deve estar localizada acima da linha. Isso é verdade para .

Exemplo 4. Resolva graficamente a desigualdade:

Domínio:

Vamos construir gráficos de funções para (Fig. 3).

uma. O gráfico da função deve estar localizado abaixo do gráfico; isso é feito quando

b. O gráfico da função está localizado acima do gráfico em Mas como temos um sinal não estrito na condição, é importante não perder a raiz isolada

3. Conclusão

Nós revisamos método gráfico resolução de equações e inequações; consideramos exemplos específicos, na solução dos quais usamos propriedades de funções como monotonicidade e uniformidade.

1. Mordkovich A. G. et al. Álgebra 9º ano: Proc. Para educação geral Instituições - 4ª ed. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 p.: il.

2. Mordkovich A. G. et al. Álgebra nota 9: Livro de tarefas para alunos instituições educacionais/ A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina e outros - 4ª ed. — M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: il.

3. Yu. N. Makarychev, Álgebra. 9º ano: livro didático. para alunos do ensino geral. instituições / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. - 7ª edição, Rev. e adicional - M.: Mnemosine, 2008.

4. Sh. A. Alimov, Yu. M. Kolyagin e Yu. V. Sidorov, Algebra. 9º ano 16ª edição. - M., 2011. - 287 p.

5. Mordkovich A. G. Álgebra. 9º ano Às 14h Parte 1. Livro didático para estudantes de instituições educacionais / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 12ª ed., apagada. — M.: 2010. — 224 p.: ll.

6. Álgebra. 9º ano Às 2 horas Parte 2. Livro de tarefas para estudantes de instituições educacionais / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina e outros; Ed. A. G. Mordkovitch. - 12ª edição, Rev. — M.: 2010.-223 p.: ll.

1. Seção da faculdade. ru em matemática.

2. Projeto de Internet "Tarefas".

3. Portal educacional"VOU RESOLVER O USO".

1. Mordkovich A. G. et al. Álgebra 9ª série: Caderno de tarefas para alunos de instituições de ensino / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al. - 4ª ed. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: il. Nº 355, 356, 364.

Um dos métodos mais convenientes para resolver desigualdades quadradasé um método gráfico. Neste artigo, analisaremos como as desigualdades quadráticas são resolvidas graficamente. Primeiro, vamos discutir qual é a essência desse método. E então damos o algoritmo e consideramos exemplos de resolução de desigualdades quadráticas graficamente.

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A essência do método gráfico

Geralmente forma gráfica de resolver inequações com uma variável é usado não apenas para resolver inequações quadradas, mas também inequações de outros tipos. A essência do método gráfico para resolver inequações a seguir: considere as funções y=f(x) e y=g(x) que correspondem à esquerda e partes certas desigualdades, construir seus gráficos em um sistema retangular coordenadas e descobrir em que intervalos o gráfico de um deles está localizado abaixo ou acima do outro. Esses intervalos em que

• o gráfico da função f acima do gráfico da função g são soluções para a inequação f(x)>g(x) ;
• o gráfico da função f não inferior ao gráfico da função g são soluções para a desigualdade f(x)≥g(x) ;
• o gráfico da função f abaixo do gráfico da função g são soluções para a desigualdade f(x)
• o gráfico da função f não acima do gráfico da função g são soluções para a desigualdade f(x)≤g(x) .

Digamos também que as abcissas dos pontos de interseção dos gráficos das funções f e g são soluções da equação f(x)=g(x) .

Vamos transferir esses resultados para o nosso caso – para resolver a desigualdade quadrática a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥).

Introduzimos duas funções: a primeira y=a x 2 +b x+c (neste caso f(x)=a x 2 +b x+c) corresponde ao lado esquerdo da desigualdade quadrática, a segunda y=0 (em neste caso g (x)=0 ) corresponde ao lado direito da desigualdade. cronograma função quadrática f é uma parábola e o gráfico função permanente g é uma reta que coincide com o eixo de abcissas Ox.

Além disso, de acordo com o método gráfico para resolver desigualdades, é necessário analisar em quais intervalos o gráfico de uma função está localizado acima ou abaixo da outra, o que nos permitirá escrever a solução desejada da desigualdade quadrática. No nosso caso, precisamos analisar a posição da parábola em relação ao eixo Ox.

Dependendo dos valores dos coeficientes a, b e c, as seis opções a seguir são possíveis (para nossas necessidades, uma representação esquemática é suficiente e é possível não representar o eixo Oy, pois sua posição não afeta o solução da desigualdade):

Neste desenho, vemos uma parábola cujos ramos são direcionados para cima e que intercepta o eixo Ox em dois pontos, cujas abcissas são x 1 e x 2 . Este desenho corresponde à variante quando o coeficiente a é positivo (é responsável pelo sentido ascendente dos ramos da parábola), e quando o valor é positivo discriminante de um trinômio quadrado a x 2 +b x + c (neste caso, o trinômio tem duas raízes, que denotamos como x 1 e x 2, e assumimos que x 1 0 , D=b 2 −4 a c=(−1) 2 −4 1 (−6)=25>0, x 1 =−2 , x 2 =3 .

Para maior clareza, vamos desenhar em vermelho as partes da parábola localizadas acima do eixo das abcissas e em azul - localizadas abaixo do eixo das abcissas.


Agora vamos descobrir quais lacunas correspondem a essas partes. O desenho a seguir ajudará a determiná-los (no futuro, faremos essas seleções mentalmente na forma de retângulos):


Assim, no eixo das abcissas, dois intervalos (−∞, x 1) e (x 2, +∞) foram destacados em vermelho, neles a parábola é maior que o eixo Ox, eles constituem a solução da desigualdade quadrática a x 2 + b x+c>0 , e o intervalo (x 1 , x 2) é destacado em azul, nele a parábola está abaixo do eixo Ox , é uma solução para a inequação a x 2 + b x + c<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

E agora brevemente: para a>0 e D=b 2 −4 a c>0 (ou D"=D/4>0 para um coeficiente par b)

• a solução para a desigualdade quadrática a x 2 +b x+c>0 é (−∞, x 1)∪(x 2 , +∞) ou, de outra forma, x x2;
• a solução para a desigualdade quadrática a x 2 +b x+c≥0 é (−∞, x 1 ]∪ ou em outra notação x 1 ≤x≤x 2 ,

onde x 1 e x 2 são as raízes do trinômio quadrado a x 2 + b x + c, e x 1


Aqui vemos uma parábola, cujos ramos são direcionados para cima, e que toca o eixo das abcissas, ou seja, tem um ponto em comum com ele, vamos denotar a abcissa deste ponto por x 0. O caso apresentado corresponde a a>0 (os ramos são direcionados para cima) e D=0 ( trinômio quadrado tem uma raiz x 0). Por exemplo, podemos tomar a função quadrática y=x 2 −4 x+4 , aqui a=1>0 , D=(−4) 2 −4 1 4=0 ex 0 =2 .

O desenho mostra claramente que a parábola está localizada acima do eixo Ox em todos os lugares, exceto no ponto de contato, ou seja, nos intervalos (−∞, x 0) , (x 0 , ∞) . Para maior clareza, selecionamos áreas no desenho por analogia com o parágrafo anterior.


Tiramos conclusões: para a>0 e D=0

• a solução para a desigualdade quadrática a x 2 +b x+c>0 é (−∞, x 0)∪(x 0 , +∞) ou em outra notação x≠x 0 ;
• a solução da desigualdade quadrática a x 2 +b x+c≥0 é (−∞, +∞) ou, em outra notação, x∈R ;
• desigualdade quadrática a x 2 +b x+c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
• a desigualdade quadrática a x 2 +b x+c≤0 tem uma única solução x=x 0 (é dada pelo ponto tangente),

onde x 0 é a raiz do trinômio quadrado a x 2 + b x + c.


Neste caso, os ramos da parábola são direcionados para cima e não tem pontos comuns com o eixo das abcissas. Aqui temos as condições a>0 (os ramos são direcionados para cima) e D<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0 , D=0 2 −4 2 1=−8<0 .

Obviamente, a parábola está localizada acima do eixo Ox em todo o seu comprimento (não há intervalos onde esteja abaixo do eixo Ox, não há ponto de contato).


Assim, para a>0 e D<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 e a x 2 +b x+c≥0 é o conjunto de todos numeros reais, e as desigualdades a x 2 +b x+c<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

E há três opções para a localização da parábola com ramos direcionados para baixo, e não para cima, em relação ao eixo Ox. Em princípio, eles não podem ser considerados, pois a multiplicação de ambas as partes da desigualdade por −1 nos permite passar para uma desigualdade equivalente com um coeficiente positivo em x 2 . No entanto, não custa ter uma ideia sobre esses casos. O raciocínio aqui é semelhante, então anotamos apenas os principais resultados.

Algoritmo de solução

O resultado de todos os cálculos anteriores é algoritmo para resolver graficamente inequações quadradas:

No plano de coordenadasé realizado um desenho esquemático, que representa o eixo Ox (não é necessário representar o eixo Oy) e um esboço de uma parábola correspondente a uma função quadrática y \u003d a x 2 +b x + c. Para construir um esboço de uma parábola, basta descobrir dois pontos:

• Primeiro, pelo valor do coeficiente a, descobre-se para onde seus ramos estão direcionados (para a>0 - para cima, para um<0 – вниз).
• E em segundo lugar, pelo valor do discriminante do trinômio quadrado a x 2 + b x + c, verifica-se se a parábola intercepta o eixo x em dois pontos (para D> 0), toca em um ponto (para D = 0), ou não tem pontos comuns com o eixo Ox (para D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

• Quando o desenho estiver pronto, na segunda etapa do algoritmo

  • ao resolver a desigualdade quadrática a·x 2 +b·x+c>0, determinam-se os intervalos em que a parábola está localizada acima do eixo das abcissas;
  • ao resolver a desigualdade a x 2 +b x+c≥0, determinam-se os intervalos em que a parábola está localizada acima do eixo x e a eles são adicionadas as abcissas dos pontos de interseção (ou a abcissa do ponto tangente);
  • ao resolver a inequação a x 2 +b x+c<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
  • finalmente, ao resolver uma inequação quadrática da forma a x 2 +b x+c≤0, existem intervalos em que a parábola está abaixo do eixo Ox e as abcissas dos pontos de interseção (ou a abcissa do ponto de tangência) são somadas a eles;

  eles constituem a solução desejada da desigualdade quadrática, e se não houver tais intervalos e pontos de contato, então a desigualdade quadrática original não tem soluções.

Resta apenas resolver algumas desigualdades quadráticas usando este algoritmo.

Exemplos com soluções

Exemplo.

Resolva a desigualdade .

Decisão.

Precisamos resolver uma desigualdade quadrática, usaremos o algoritmo do parágrafo anterior. Na primeira etapa, precisamos desenhar um esboço do gráfico da função quadrática . O coeficiente em x 2 é 2, é positivo, portanto, os ramos da parábola são direcionados para cima. Vamos descobrir também se a parábola com o eixo das abcissas tem pontos comuns, para isso calculamos o discriminante do trinômio quadrado . Nós temos . O discriminante acabou sendo maior que zero, portanto, o trinômio tem duas raízes reais: e , ou seja, x 1 =−3 e x 2 =1/3.

A partir disso, fica claro que a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos com abcissas −3 e 1/3. Representaremos esses pontos no desenho como pontos comuns, pois estamos resolvendo uma inequação não estrita. De acordo com os dados esclarecidos, obtemos o seguinte desenho (se enquadra no primeiro modelo do primeiro parágrafo do artigo):

Passamos para a segunda etapa do algoritmo. Como estamos resolvendo uma desigualdade quadrática não estrita com o sinal ≤, precisamos determinar os intervalos em que a parábola está localizada abaixo do eixo das abcissas e adicionar a eles as abcissas dos pontos de interseção.

Pode-se ver pelo desenho que a parábola está abaixo da abcissa no intervalo (−3, 1/3) e adicionamos a ela as abcissas dos pontos de interseção, ou seja, os números −3 e 1/3. Como resultado, chegamos ao segmento numérico [−3, 1/3] . Esta é a solução desejada. Ela pode ser escrita como uma dupla desigualdade −3≤x≤1/3 .

Responda:

[−3, 1/3] ou −3≤x≤1/3 .

Exemplo.

Encontre uma solução para a desigualdade quadrática −x 2 +16 x−63<0 .

Decisão.

Como de costume, começamos com um desenho. O coeficiente numérico para o quadrado da variável é negativo, −1, portanto, os ramos da parábola são direcionados para baixo. Vamos calcular o discriminante, ou melhor, sua quarta parte: D"=8 2 −(−1)(−63)=64−63=1. Seu valor é positivo, calculamos as raízes do trinômio quadrado: e , x 1 = 7 e x 2 = 9. Então a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos com as abcissas 7 e 9 (a desigualdade inicial é estrita, então vamos representar esses pontos com um centro vazio) Agora podemos fazer um desenho esquemático:

Como estamos resolvendo uma desigualdade quadrática estrita com sinal<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

O desenho mostra que as soluções para a desigualdade quadrática original são dois intervalos (−∞, 7) , (9, +∞) .

Responda:

(−∞, 7)∪(9, +∞) ou em outra notação x<7 , x>9 .

Ao resolver inequações quadradas, quando o discriminante de um trinômio quadrado em seu lado esquerdo é igual a zero, você precisa ter cuidado com a inclusão ou exclusão da abcissa do ponto tangente da resposta. Depende do sinal da desigualdade: se a desigualdade for estrita, então não é uma solução para a desigualdade, e se não for estrita, então é.

Exemplo.

A desigualdade quadrática 10 x 2 −14 x+4,9≤0 tem pelo menos uma solução?

Decisão.

Vamos traçar a função y=10 x 2 −14 x+4,9 . Seus ramos são direcionados para cima, pois o coeficiente em x 2 é positivo, e toca a abcissa no ponto com a abcissa 0,7, pois D "=(−7) 2 −10 4,9=0, de onde ou 0,7 como decimal. Esquematicamente, fica assim:

Como estamos resolvendo uma inequação quadrática com sinal ≤, então sua solução serão os intervalos em que a parábola está abaixo do eixo Ox, bem como a abcissa do ponto tangente. Pode-se observar pelo desenho que não há um único vão onde a parábola estaria abaixo do eixo Ox, portanto, sua solução será apenas a abcissa do ponto de contato, ou seja, 0,7.

Responda:

esta desigualdade tem solução única 0,7.

Exemplo.

Resolva a desigualdade quadrática –x 2 +8 x−16<0 .

Decisão.

Agimos de acordo com o algoritmo para resolver desigualdades quadráticas e começamos por plotar. Os ramos da parábola são direcionados para baixo, pois o coeficiente em x 2 é negativo, −1. Encontre o discriminante do trinômio quadrado –x 2 +8 x−16 , temos D'=4 2 −(−1)(−16)=16−16=0 e ainda x 0 =−4/(−1) , x 0 =4 . Assim, a parábola toca o eixo Ox no ponto com a abcissa 4 . Vamos fazer um desenho:

Nós olhamos para o sinal da desigualdade original, é<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

No nosso caso, são raios abertos (−∞, 4) , (4, +∞) . Separadamente, notamos que 4 - a abcissa do ponto tangente - não é solução, pois no ponto tangente a parábola não é inferior ao eixo Ox.

Responda:

(−∞, 4)∪(4, +∞) ou em outra notação x≠4 .

Preste atenção especial aos casos em que o discriminante do trinômio quadrado no lado esquerdo da desigualdade quadrada é menos que zero. Não há necessidade de se apressar aqui e dizer que a desigualdade não tem solução (estamos acostumados a fazer tal conclusão para equações quadráticas com um discriminante negativo). O ponto é que a desigualdade quadrática para D<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

Exemplo.

Encontre a solução para a desigualdade quadrática 3 x 2 +1>0 .

Decisão.

Como de costume, começamos com um desenho. O coeficiente a é 3, é positivo, portanto, os ramos da parábola são direcionados para cima. Calcule o discriminante: D=0 2 −4 3 1=−12 . Como o discriminante é negativo, a parábola não tem pontos comuns com o eixo x. As informações obtidas são suficientes para um diagrama esquemático:

Estamos resolvendo uma desigualdade quadrática estrita com sinal >. Sua solução será todos os intervalos onde a parábola está acima do eixo Ox. No nosso caso, a parábola está acima do eixo x ao longo de todo o seu comprimento, então a solução desejada será o conjunto de todos os números reais.

Ox , e também você precisa adicionar a abcissa dos pontos de interseção ou a abcissa do ponto de toque a eles. Mas o desenho mostra claramente que não existem tais lacunas (já que a parábola está em todos os lugares abaixo do eixo das abcissas), assim como não há pontos de interseção, assim como não há pontos de contato. Portanto, a desigualdade quadrática original não tem soluções.

Responda:

não há soluções ou em outra notação ∅.

Bibliografia.

• Álgebra: livro didático para 8 células. Educação geral instituições / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 16ª edição. - M. : Educação, 2008. - 271 p. : doente. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Álgebra: 9º ano: livro didático. para educação geral instituições / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 16ª edição. - M. : Educação, 2009. - 271 p. : doente. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Mordkovitch A. G.Álgebra. 8 ª série. Às 14h Parte 1. Um livro didático para estudantes de instituições educacionais / A. G. Mordkovich. - 11ª ed., apagada. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: il. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Mordkovitch A. G.Álgebra. 9º ano Às 14h Parte 1. Livro didático para estudantes de instituições educacionais / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13ª edição, Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: il. ISBN 978-5-346-01752-3.
• Mordkovitch A. G.Álgebra e início da análise matemática. Grau 11. Às 14h Parte 1. Livro didático para estudantes de instituições educacionais (nível de perfil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2ª ed., apagada. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: il. ISBN 978-5-346-01027-2.

Um gráfico de uma desigualdade linear ou quadrática é construído da mesma forma que um gráfico de qualquer função (equação) é construído. A diferença é que a desigualdade implica múltiplas soluções, portanto, um gráfico de desigualdade não é apenas um ponto em uma reta numérica ou uma reta em um plano coordenado. Com a ajuda de operações matemáticas e o sinal de desigualdade, você pode determinar o conjunto de soluções para a desigualdade.

Passos

Representação gráfica de uma desigualdade linear em uma linha numérica

1. Resolva a desigualdade. Para fazer isso, isole a variável usando os mesmos truques algébricos que você usa para resolver qualquer equação. Lembre-se de que ao multiplicar ou dividir uma inequação por um número (ou termo) negativo, inverta o sinal da inequação.

   • Por exemplo, dada a desigualdade 3a + 9 > 12 (\displaystyle 3a+9>12). Para isolar a variável, subtraia 9 de ambos os lados da desigualdade e, em seguida, divida ambos os lados por 3:
     3a + 9 > 12 (\displaystyle 3a+9>12)
     3 y + 9 − 9 > 12 − 9 (\displaystyle 3y+9-9>12-9)
     3 anos > 3 (\displaystyle 3 anos>3)
     3 y 3 > 3 3 (\displaystyle (\frac (3y)(3))>(\frac (3)(3)))
     y > 1 (\displaystyle y>1)
   • Uma desigualdade deve ter apenas uma variável. Se a desigualdade tiver duas variáveis, é melhor traçar o gráfico no plano coordenado.

2. Desenhe uma reta numérica. Na reta numérica, marque o valor encontrado (a variável pode ser menor, maior ou igual a este valor). Desenhe uma linha numérica de comprimento apropriado (longa ou curta).

   • Por exemplo, se você calculou que y > 1 (\displaystyle y>1), marque o valor 1 na linha numérica.

3. Desenhe um círculo para representar o valor encontrado. Se a variável for menor que ( < {\displaystyle <} ) ou mais ( > (\displaystyle >)) desse valor, o círculo não é preenchido porque o conjunto de soluções não inclui esse valor. Se a variável for menor ou igual a ( ≤ (\displaystyle \leq )) ou maior ou igual a ( ≥ (\displaystyle\geq )) para esse valor, o círculo é preenchido porque o conjunto de soluções inclui esse valor.

   • y > 1 (\displaystyle y>1), na reta numérica, desenhe um círculo aberto no ponto 1 porque 1 não está no conjunto solução.

4. Na reta numérica, sombreie a área que define o conjunto de soluções. Se a variável for maior que o valor encontrado, sombreie a área à direita dela, pois o conjunto de soluções inclui todos os valores maiores que o valor encontrado. Se a variável for menor que o valor encontrado, sombreie a área à esquerda dela, pois o conjunto de soluções inclui todos os valores menores que o valor encontrado.

   • Por exemplo, dada a desigualdade y > 1 (\displaystyle y>1), na linha numérica, sombreie a área à direita de 1 porque o conjunto de soluções inclui todos os valores maiores que 1.

   Representação gráfica de uma desigualdade linear no plano coordenado

   1. Resolva a desigualdade (encontre o valor y (\displaystyle y)). Para obter uma equação linear, isole a variável do lado esquerdo usando métodos algébricos. A variável deve permanecer no lado direito x (\displaystyle x) e possivelmente alguma constante.

      • Por exemplo, dada a desigualdade 3y + 9 > 9x (\displaystyle 3y+9>9x). Para isolar uma variável y (\displaystyle y), subtraia 9 de ambos os lados da inequação e, em seguida, divida ambos os lados por 3:
        3y + 9 > 9x (\displaystyle 3y+9>9x)
        3 y + 9 − 9 > 9 x − 9 (\displaystyle 3y+9-9>9x-9)
        3 y > 9 x − 9 (\displaystyle 3y>9x-9)
        3 y 3 > 9 x − 9 3 (\displaystyle (\frac (3y)(3))>(\frac (9x-9)(3)))
        y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3)

   2. Plote a equação linear no plano coordenado. plote o gráfico como você plota qualquer equação linear. Plote o ponto de interseção com o eixo Y e, em seguida, plote outros pontos usando a inclinação.

      • y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3) plote a equação y = 3 x − 3 (\displaystyle y=3x-3). O ponto de interseção com o eixo Y tem coordenadas , e inclinaçãoé 3 (ou 3 1 (\displaystyle (\frac (3)(1)))). Então, primeiro trace um ponto com coordenadas (0 , − 3) (\displaystyle (0,-3)); o ponto acima do ponto de intersecção com o eixo y tem coordenadas (1 , 0) (\displaystyle (1,0)); o ponto abaixo do ponto de intersecção com o eixo y tem coordenadas (− 1 , − 6) (\displaystyle (-1,-6))

   3. Desenhe uma linha reta. Se a desigualdade for estrita (inclui o sinal < {\displaystyle <} ou > (\displaystyle >)), desenhe uma linha pontilhada, pois o conjunto de soluções não inclui valores que se encontram na linha. Se a desigualdade não for estrita (inclui o sinal ≤ (\displaystyle \leq ) ou ≥ (\displaystyle\geq )), desenhe uma linha sólida, porque o conjunto de soluções inclui valores que se encontram na linha.

      • Por exemplo, em caso de desigualdade y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3) desenhe a linha pontilhada, porque o conjunto de soluções não inclui valores na linha.

   4. Sombreie a área correspondente. Se a desigualdade tem a forma y > m x + b (\displaystyle y>mx+b), preencha a área acima da linha. Se a desigualdade tem a forma y< m x + b {\displaystyle y, preencha a área abaixo da linha.

      • Por exemplo, em caso de desigualdade y > 3 x − 3 (\displaystyle y>3x-3) sombreie a área acima da linha.

   Representação gráfica de uma desigualdade quadrática no plano coordenado

   1. Determine que essa desigualdade é quadrada. A desigualdade quadrática tem a forma a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c). Algumas vezes a desigualdade não contém uma variável de primeira ordem ( x (\displaystyle x)) e/ou termo livre (constante), mas deve incluir uma variável de segunda ordem ( x 2 (\estilo de exibição x^(2))). Variáveis x (\displaystyle x) e y (\displaystyle y) deve ser isolado para lados diferentes desigualdades.

      • Por exemplo, você precisa traçar a desigualdade y< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y.

   2. Desenhe um gráfico no plano coordenado. Para fazer isso, converta a desigualdade em uma equação e construa um gráfico, como você constrói um gráfico de qualquer equação quadrática. Lembre-se que o gráfico de uma equação quadrática é uma parábola.

      • Por exemplo, em caso de desigualdade y< x 2 − 10 x + 16 {\displaystyle y plotar equação quadrática y = x 2 − 10 x + 16 (\displaystyle y=x^(2)-10x+16). O vértice da parábola está no ponto (5 , − 9) (\displaystyle (5,-9)), e a parábola intercepta o eixo x em pontos (2 , 0) (\displaystyle (2,0)) e (8 , 0) (\displaystyle (8,0)).

O método gráfico consiste em construir um conjunto de soluções LLP viáveis ​​e encontrar neste conjunto um ponto correspondente à função objetivo max/min.

Devido às possibilidades limitadas de uma representação gráfica visual, este método é usado apenas para sistemas desigualdades lineares com duas incógnitas e sistemas que podem ser reduzidos a uma determinada forma.

Para demonstrar visualmente o método gráfico, vamos resolver o seguinte problema:

1. Na primeira etapa, é necessário construir a área de soluções viáveis. Para este exemplo, é mais conveniente escolher X2 para a abcissa e X1 para a ordenada e escrever as desigualdades na seguinte forma:

Já que tanto os gráficos quanto a área de soluções admissíveis estão no primeiro trimestre. Para encontrar os pontos de fronteira, resolvemos as equações (1)=(2), (1)=(3) e (2)=(3).

Como pode ser visto na ilustração, o poliedro ABCDE forma uma área de soluções viáveis.

Se o domínio das soluções admissíveis não for fechado, então max(f)=+ ? ou min(f)= -?.

2. Agora podemos prosseguir para encontrar diretamente o máximo da função f.

Substituindo alternadamente as coordenadas dos vértices do poliedro na função f e comparando os valores, encontramos que f(C)=f (4; 1)=19 - o máximo da função.

Esta abordagem é bastante benéfica para um pequeno número de vértices. Mas esse procedimento pode ser atrasado se houver muitos vértices.

Neste caso, é mais conveniente considerar uma linha de nível da forma f=a. Com um aumento monótono no número a de -? para +? linhas retas f=a são deslocadas ao longo do vetor normal. Se, com tal deslocamento da linha de nível, existe algum ponto X - o primeiro ponto comum da região de soluções factíveis (poliedro ABCDE) e a linha de nível, então f(X) é o mínimo de f no conjunto ABCDE . Se X é o último ponto de interseção da linha de nível com o conjunto ABCDE, então f(X) é o máximo no conjunto de soluções viáveis. Se para um>-? a linha f=a intercepta o conjunto de soluções admissíveis, então min(f)= -?. Se isso acontecer quando a>+?, então max(f)=+?.

Primeiro nível

Resolução de equações, inequações, sistemas usando gráficos de funções. guia visual (2019)

Muitas tarefas que estamos acostumados a calcular puramente algebricamente podem ser resolvidas de maneira muito mais fácil e rápida, o uso de gráficos de funções nos ajudará com isso. Você diz "como assim?" desenhar algo, e o que desenhar? Confie em mim, às vezes é mais conveniente e fácil. Podemos começar? Vamos começar com equações!

Solução gráfica de equações

Solução gráfica de equações lineares

Como você já sabe, o gráfico de uma equação linear é uma linha reta, daí o nome desse tipo. Equações lineares são muito fáceis de resolver algebricamente - transferimos todas as incógnitas para um lado da equação, tudo o que sabemos - para o outro, e voila! Encontramos a raiz. Agora vou te mostrar como fazer maneira gráfica.

Então você tem uma equação:

Como resolvê-lo?
Opção 1, e o mais comum é mover as incógnitas para um lado e as conhecidas para o outro, temos:

E agora estamos construindo. O que você conseguiu?

Qual você acha que é a raiz da nossa equação? Isso mesmo, a coordenada do ponto de interseção dos gráficos:

Nossa resposta é

Essa é toda a sabedoria da solução gráfica. Como você pode verificar facilmente, a raiz da nossa equação é um número!

Como eu disse acima, esta é a opção mais comum, perto de solução algébrica, mas também pode ser feito de uma maneira diferente. Para considerar uma solução alternativa, voltemos à nossa equação:

Desta vez não vamos mover nada de um lado para o outro, mas vamos construir gráficos diretamente, como estão agora:

Construído? Olhar!

Qual é a solução desta vez? Tudo bem. A mesma é a coordenada do ponto de intersecção dos gráficos:

E, novamente, nossa resposta é .

Como você pode ver, com equações lineares tudo é extremamente simples. É hora de considerar algo mais complicado... Por exemplo, solução gráfica de equações quadráticas.

Solução gráfica de equações quadráticas

Então, agora vamos começar a resolver a equação quadrática. Digamos que você precise encontrar as raízes desta equação:

Claro, agora você pode começar a contar pelo discriminante, ou de acordo com o teorema de Vieta, mas muitos nervos cometem erros ao multiplicar ou ao quadrado, especialmente se o exemplo for com grandes números, e, como você sabe, você não terá uma calculadora no exame ... Portanto, vamos tentar relaxar um pouco e desenhar enquanto resolvemos esta equação.

Encontrar soluções graficamente dada equação posso jeitos diferentes. Considerar várias opções e você pode escolher qual você mais gosta.

Método 1. Diretamente

Acabamos de construir uma parábola de acordo com esta equação:

Para agilizar, vou dar uma dica: é conveniente iniciar a construção determinando o vértice da parábola. As seguintes fórmulas ajudarão a determinar as coordenadas do vértice da parábola:

Você diz "Pare! A fórmula para é muito semelhante à fórmula para encontrar o discriminante "sim, é, e é um enorme menos construção "direta" de uma parábola para encontrar suas raízes. No entanto, vamos contar até o final, e então eu vou te mostrar como tornar isso muito (muito!) mais fácil!

Você contou? Quais são as coordenadas do vértice da parábola? Vamos descobrir juntos:

Exatamente a mesma resposta? Bom trabalho! E agora já sabemos as coordenadas do vértice, e para construir uma parábola precisamos de mais... pontos. O que você acha, quantos pontos mínimos precisamos? Corretamente, .

Você sabe que uma parábola é simétrica em relação ao seu vértice, por exemplo:

Assim, precisamos de mais dois pontos ao longo do ramo esquerdo ou direito da parábola e, no futuro, refletiremos simetricamente esses pontos no lado oposto:

Voltamos à nossa parábola. Para o nosso caso, o ponto. Precisamos de mais dois pontos, respectivamente, podemos pegar os positivos, mas podemos pegar os negativos? Quais são os melhores pontos para você? É mais conveniente para mim trabalhar com os positivos, então vou calcular com e.

Agora temos três pontos e podemos facilmente construir nossa parábola refletindo os dois últimos pontos sobre seu topo:

Qual você acha que é a solução da equação? Isso mesmo, os pontos em que, isto é, e. Porque.

E se dizemos isso, significa que também deve ser igual, ou.

Apenas? Acabamos de resolver a equação com você de uma forma gráfica complexa, ou haverá mais!

Claro, você pode verificar nossa resposta algebricamente - você pode calcular as raízes através do teorema de Vieta ou do Discriminante. O que você conseguiu? O mesmo? Você vê! Agora vamos ver uma solução gráfica bem simples, tenho certeza que você vai gostar muito!

Método 2. Dividido em várias funções

Vamos pegar tudo, também, nossa equação: , mas escrevemos de uma maneira um pouco diferente, a saber:

Podemos escrever assim? Podemos, pois a transformação é equivalente. Vamos olhar mais longe.

Vamos construir duas funções separadamente:

1. - o gráfico é uma parábola simples, que você pode construir facilmente mesmo sem definir o vértice usando fórmulas e fazendo uma tabela para determinar outros pontos.
2. - o gráfico é uma linha reta, que você pode construir com a mesma facilidade estimando os valores e na sua cabeça sem recorrer a uma calculadora.

Construído? Compare com o que recebi:

Você acha que em este caso são as raízes da equação? Corretamente! Coordenadas por, que são obtidas pelo cruzamento de dois gráficos e, ou seja:

Assim, a solução para esta equação é:

O que você diz? Concordo, este método de solução é muito mais fácil do que o anterior e ainda mais fácil do que procurar raízes através do discriminante! Em caso afirmativo, tente este método para resolver a seguinte equação:

O que você conseguiu? Vamos comparar nossos gráficos:

Os gráficos mostram que as respostas são:

Você conseguiu? Bom trabalho! Agora vamos ver as equações um pouco mais complicadas, ou seja, a solução de equações mistas, ou seja, equações contendo funções de diferentes tipos.

Solução gráfica de equações mistas

Agora vamos tentar resolver o seguinte:

Claro, tudo pode ser trazido para denominador comum, encontre as raízes da equação resultante, não esquecendo de levar em conta a ODZ, mas novamente, tentaremos resolver graficamente, como fizemos em todos os casos anteriores.

Desta vez, vamos plotar os 2 gráficos a seguir:

1. - o gráfico é uma hipérbole
2. - um gráfico é uma linha reta que você pode construir facilmente estimando os valores e na sua cabeça sem sequer recorrer a uma calculadora.

Percebeu? Agora comece a construir.

Aqui está o que aconteceu comigo:

Olhando para esta imagem, quais são as raízes da nossa equação?

Isso mesmo, e. Aqui está a confirmação:

Tente colocar nossas raízes na equação. Ocorrido?

Tudo bem! Concordo, resolver graficamente essas equações é um prazer!

Tente resolver a equação você mesmo graficamente:

Eu te dou uma dica: mova parte da equação para lado direito para que ambos os lados tenham as funções mais simples de construir. Tem a dica? Tome uma atitude!

Agora vamos ver o que você tem:

Respectivamente:

1. - parábola cúbica.
2. - uma linha reta comum.

Bem, estamos construindo:

Como você escreveu por um longo tempo, a raiz desta equação é -.

Tendo resolvido isso um grande número de exemplos, tenho certeza que você percebeu como você pode resolver equações de forma fácil e rápida graficamente. É hora de descobrir como decidir de maneira semelhante sistemas.

Solução gráfica de sistemas

A solução gráfica de sistemas não é essencialmente diferente da solução gráfica de equações. Também construiremos dois grafos, e seus pontos de interseção serão as raízes desse sistema. Um gráfico é uma equação, o segundo gráfico é outra equação. Tudo é extremamente simples!

Vamos começar com o mais simples - resolvendo sistemas de equações lineares.

Resolvendo sistemas de equações lineares

Digamos que temos o seguinte sistema:

Para começar, vamos transformá-lo de tal forma que à esquerda haja tudo o que está conectado e à direita - o que está conectado. Em outras palavras, escrevemos essas equações como uma função na forma usual para nós:

E agora nós apenas construímos duas linhas retas. Qual é a solução no nosso caso? Corretamente! O ponto de sua intersecção! E aqui você precisa ter muito, muito cuidado! Pense por quê? Vou te dar uma dica: estamos lidando com um sistema: o sistema tem os dois, e... Entendeu a dica?

Tudo bem! Ao resolver o sistema, devemos olhar para ambas as coordenadas, e não apenas, como ao resolver equações! Outro ponto importante- anote-os corretamente e não confunda onde temos o valor e onde está o valor! Gravado? Agora vamos comparar tudo em ordem:

E responde: i. Faça uma verificação - substitua as raízes encontradas no sistema e certifique-se de que resolvemos corretamente de maneira gráfica?

Resolvendo sistemas de equações não lineares

Mas e se em vez de uma linha reta, tivermos Equação quadrática? Está bem! Você acabou de construir uma parábola em vez de uma linha reta! Não acredite? Tente resolver o seguinte sistema:

Qual é o nosso Próxima Etapa? Isso mesmo, anote para que seja conveniente para nós construirmos gráficos:

E agora é tudo sobre a coisa pequena - eu construí rapidamente e aqui está a solução para você! Prédio:

Os gráficos são os mesmos? Agora marque as soluções do sistema na imagem e anote corretamente as respostas reveladas!

Eu fiz tudo? Compare com minhas notas:

Tudo bem? Bom trabalho! Você já clica em tarefas como nozes! E se assim for, vamos dar-lhe um sistema mais complicado:

O que estamos fazendo? Corretamente! Escrevemos o sistema de modo que seja conveniente construir:

Vou te dar uma pequena dica, já que o sistema parece muito complicado! Ao construir gráficos, construa-os "mais" e, o mais importante, não se surpreenda com o número de pontos de interseção.

Então vamos! Exalado? Agora comece a construir!

Bem, como? Bonito? Quantos pontos de interseção você conseguiu? Eu tenho três! Vamos comparar nossos gráficos:

Do mesmo jeito? Agora anote cuidadosamente todas as soluções do nosso sistema:

Agora observe o sistema novamente:

Você pode imaginar que você resolveu em apenas 15 minutos? Concordo, a matemática ainda é simples, principalmente quando se olha para uma expressão, você não tem medo de errar, mas você pega e decide! Você é um grande rapaz!

Solução gráfica de inequações

Solução gráfica de desigualdades lineares

Depois último exemplo você tem tudo em seu ombro! Agora expire - em comparação com as seções anteriores, esta será muito, muito fácil!

Começamos, como de costume, com uma solução gráfica de uma desigualdade linear. Por exemplo, este:

Para começar, realizaremos as transformações mais simples - abriremos os colchetes quadrados completos e adicione termos semelhantes:

A desigualdade não é estrita, portanto - não está incluída no intervalo, e a solução será todos os pontos à direita, pois mais, mais e assim por diante:

Responda:

Isso é tudo! Facilmente? Vamos resolver uma inequação simples com duas variáveis:

Vamos desenhar uma função no sistema de coordenadas.

Você tem esse gráfico? E agora olhamos cuidadosamente para o que temos em desigualdade? Menor? Então, pintamos sobre tudo o que está à esquerda de nossa linha reta. E se houvesse mais? Isso mesmo, então eles pintariam tudo que está à direita da nossa linha reta. Tudo é simples.

Todas as soluções desta desigualdade estão “sombreadas” laranja. Pronto, a desigualdade de duas variáveis ​​está resolvida. Isso significa que as coordenadas e qualquer ponto da área sombreada são as soluções.

Solução gráfica de desigualdades quadráticas

Agora vamos lidar com como resolver graficamente as desigualdades quadráticas.

Mas antes de irmos direto ao ponto, vamos recapitular algumas coisas sobre a função quadrada.

Pelo que o discriminante é responsável? Isso mesmo, para a posição do gráfico em relação ao eixo (se você não se lembra disso, então leia a teoria das funções quadráticas com certeza).

De qualquer forma, aqui está um pequeno lembrete para você:

Agora que atualizamos todo o material em nossa memória, vamos ao que interessa - vamos resolver graficamente a desigualdade.

Direi imediatamente que existem duas opções para resolvê-lo.

Opção 1

Escrevemos nossa parábola como uma função:

Usando as fórmulas, determinamos as coordenadas do vértice da parábola (da mesma forma que ao resolver equações do segundo grau):

Você contou? O que você conseguiu?

Agora vamos pegar mais dois vários pontos e calcule para eles:

Começamos a construir um ramo da parábola:

Nós refletimos simetricamente nossos pontos em outro ramo da parábola:

Agora, de volta à nossa desigualdade.

Precisamos que seja menor que zero, respectivamente:

Como em nossa desigualdade há um sinal estritamente menor, excluímos os pontos finais - nós “apontamos”.

Responda:

Longo caminho, certo? Agora vou mostrar uma versão mais simples da solução gráfica usando a mesma desigualdade como exemplo:

opção 2

Voltamos à nossa desigualdade e marcamos os intervalos que precisamos:

Concordo, é muito mais rápido.

Vamos escrever a resposta agora:

Considere outra solução que simplifica e parte algébrica, mas o principal é não se confundir.

Multiplique os lados esquerdo e direito por:

Tente resolver a seguinte desigualdade quadrática por conta própria da maneira que desejar: .

Você conseguiu?

Veja como ficou meu gráfico:

Responda: .

Solução gráfica de desigualdades mistas

Agora vamos passar para desigualdades mais complexas!

Como você gosta disso:

Horrível, certo? Sinceramente, não tenho ideia de como resolver isso algebricamente... Mas, não é necessário. Graficamente, não há nada complicado nisso! Os olhos estão com medo, mas as mãos estão fazendo!

A primeira coisa com a qual começamos é construindo dois gráficos:

Não vou escrever uma tabela para todos - tenho certeza que você pode fazer isso perfeitamente sozinho (claro, há tantos exemplos para resolver!).

Pintado? Agora construa dois gráficos.

Vamos comparar nossos desenhos?

Você tem o mesmo? Multar! Agora vamos colocar os pontos de interseção e determinar com uma cor qual gráfico devemos ter, em teoria, deve ser maior, ou seja. Veja o que aconteceu no final:

E agora vamos ver onde nosso gráfico selecionado é mais alto que o gráfico? Sinta-se à vontade para pegar um lápis e pintar determinada área! Será a solução para nossa complexa desigualdade!

Em que intervalos ao longo do eixo estamos mais altos do que? Direita, . Esta é a resposta!

Bem, agora você pode lidar com qualquer equação e qualquer sistema, e ainda mais com qualquer desigualdade!

BREVEMENTE SOBRE O PRINCIPAL

Algoritmo para resolver equações usando gráficos de funções:

1. Expressar através
2. Defina o tipo de função
3. Vamos construir gráficos das funções resultantes
4. Encontre os pontos de interseção dos gráficos
5. Anote corretamente a resposta (levando em consideração os sinais de ODZ e desigualdade)
6. Verifique a resposta (substitua as raízes na equação ou sistema)

Para obter mais informações sobre plotagem de gráficos de funções, consulte o tópico "".