Nesta lição, você aprenderá como transformar uma expressão que contém parênteses em uma expressão que não contém parênteses. Você aprenderá como abrir colchetes precedidos por um sinal de mais e um sinal de menos. Vamos lembrar como abrir colchetes usando a lei distributiva da multiplicação. Os exemplos considerados permitirão vincular material novo e previamente estudado em um único todo.
Tópico: Resolução de Equações
Lição: expansão de parênteses
Como abrir colchetes precedidos por um sinal "+". Uso da lei associativa da adição.
Se você precisar adicionar a soma de dois números a um número, poderá adicionar o primeiro termo a esse número e depois o segundo.
À esquerda do sinal de igual está uma expressão com parênteses e à direita uma expressão sem parênteses. Isso significa que ao passar do lado esquerdo da igualdade para o lado direito, os colchetes foram abertos.
Considere exemplos.
Exemplo 1 
Expandindo os colchetes, alteramos a ordem das operações. A contagem tornou-se mais conveniente.
Exemplo 2 
Exemplo 3
Observe que em todos os três exemplos, simplesmente removemos os parênteses. Vamos formular a regra:
Comente.
Se o primeiro termo entre parênteses não estiver assinado, deve ser escrito com um sinal de mais.
Você pode seguir o exemplo passo a passo. Primeiro, adicione 445 a 889. Essa ação mental pode ser realizada, mas não é muito fácil. Vamos abrir os colchetes e ver que a ordem alterada das operações simplificará bastante os cálculos.
Se você seguir a ordem de ações indicada, deve primeiro subtrair 345 de 512 e, em seguida, adicionar 1345. Ao expandir os colchetes, alteraremos a ordem das ações e simplificaremos bastante os cálculos.
Exemplo ilustrativo e regra.
Considere um exemplo: . Você pode encontrar o valor da expressão adicionando 2 e 5 e, em seguida, obtendo o número resultante com o sinal oposto. Recebemos -7.
Por outro lado, o mesmo resultado pode ser obtido somando os números opostos.
Vamos formular a regra:
Exemplo 1 
Exemplo 2
A regra não muda se não houver dois, mas três ou mais termos entre parênteses.
Exemplo 3 
Comente. Os sinais são invertidos apenas na frente dos termos.
Para abrir parênteses, este caso lembre-se da propriedade distributiva.
Primeiro, multiplique o primeiro colchete por 2 e o segundo por 3.
O primeiro colchete é precedido por um sinal “+”, o que significa que os sinais devem ser deixados inalterados. O segundo é precedido por um sinal “-”, portanto, todos os sinais devem ser invertidos
Bibliografia
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matemática 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matemática 6º ano. - Ginásio, 2006.
- Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Atrás das páginas de um livro de matemática. - Iluminismo, 1989.
- Rurukin A.N., Tchaikovsky I.V. Tarefas para o curso de matemática do 5º ao 6º ano - ZSH MEPhI, 2011.
- Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. Matemática 5-6. Subsídio para alunos do 6º ano escola por correspondência MEPHI. - ZSH MEPHI, 2011.
- Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matemática: livro-texto do interlocutor para as séries 5-6 ensino médio. Biblioteca do professor de matemática. - Iluminismo, 1989.
- Testes de matemática online ().
- Você pode baixar os especificados na cláusula 1.2. livros().
Trabalho de casa
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matemática 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (ver link 1.2)
- Dever de casa: Nº 1254, Nº 1255, Nº 1256 (b, d)
- Outras atribuições: Nº 1258(c), Nº 1248
Nesta lição, você aprenderá como transformar uma expressão que contém parênteses em uma expressão que não contém parênteses. Você aprenderá como abrir colchetes precedidos por um sinal de mais e um sinal de menos. Vamos lembrar como abrir colchetes usando a lei distributiva da multiplicação. Os exemplos considerados permitirão vincular material novo e previamente estudado em um único todo.
Tópico: Resolução de Equações
Lição: expansão de parênteses
Como abrir colchetes precedidos por um sinal "+". Uso da lei associativa da adição.
Se você precisar adicionar a soma de dois números a um número, poderá adicionar o primeiro termo a esse número e depois o segundo.
À esquerda do sinal de igual está uma expressão com parênteses e à direita uma expressão sem parênteses. Isso significa que ao passar do lado esquerdo da igualdade para o lado direito, os colchetes foram abertos.
Considere exemplos.
Exemplo 1
Expandindo os colchetes, alteramos a ordem das operações. A contagem tornou-se mais conveniente.
Exemplo 2
Exemplo 3
Observe que em todos os três exemplos, simplesmente removemos os parênteses. Vamos formular a regra:
Comente.
Se o primeiro termo entre parênteses não estiver assinado, deve ser escrito com um sinal de mais.
Você pode seguir o exemplo passo a passo. Primeiro, adicione 445 a 889. Essa ação mental pode ser realizada, mas não é muito fácil. Vamos abrir os colchetes e ver que a ordem alterada das operações simplificará bastante os cálculos.
Se você seguir a ordem de ações indicada, deve primeiro subtrair 345 de 512 e, em seguida, adicionar 1345. Ao expandir os colchetes, alteraremos a ordem das ações e simplificaremos bastante os cálculos.
Exemplo ilustrativo e regra.
Considere um exemplo: . Você pode encontrar o valor da expressão adicionando 2 e 5 e, em seguida, obtendo o número resultante com o sinal oposto. Recebemos -7.
Por outro lado, o mesmo resultado pode ser obtido somando os números opostos.
Vamos formular a regra:
Exemplo 1
Exemplo 2
A regra não muda se não houver dois, mas três ou mais termos entre parênteses.
Exemplo 3
Comente. Os sinais são invertidos apenas na frente dos termos.
Para abrir os colchetes, neste caso, precisamos relembrar a propriedade distributiva.
Primeiro, multiplique o primeiro colchete por 2 e o segundo por 3.
O primeiro colchete é precedido por um sinal “+”, o que significa que os sinais devem ser deixados inalterados. O segundo é precedido por um sinal “-”, portanto, todos os sinais devem ser invertidos
Bibliografia
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matemática 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matemática 6º ano. - Ginásio, 2006.
- Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Atrás das páginas de um livro de matemática. - Iluminismo, 1989.
- Rurukin A.N., Tchaikovsky I.V. Tarefas para o curso de matemática do 5º ao 6º ano - ZSH MEPhI, 2011.
- Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. Matemática 5-6. Um manual para alunos do 6º ano da escola por correspondência MEPhI. - ZSH MEPHI, 2011.
- Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matemática: Interlocutor de livros didáticos para 5-6 séries do ensino médio. Biblioteca do professor de matemática. - Iluminismo, 1989.
- Testes de matemática online ().
- Você pode baixar os especificados na cláusula 1.2. livros().
Trabalho de casa
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matemática 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (ver link 1.2)
- Dever de casa: Nº 1254, Nº 1255, Nº 1256 (b, d)
- Outras atribuições: Nº 1258(c), Nº 1248
A expansão de colchetes é um tipo de transformação de expressão. Nesta seção, descreveremos as regras para expandir colchetes, além de considerar os exemplos mais comuns de tarefas.
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O que é expansão de parênteses?
Os parênteses são usados para indicar a ordem em que as ações são executadas em expressões numéricas e alfabéticas, bem como em expressões com variáveis. É conveniente passar de uma expressão com colchetes para identicamente igual expressão sem colchetes. Por exemplo, substitua a expressão 2 (3 + 4) por uma expressão como 2 3 + 2 4 sem colchetes. Essa técnica é chamada de abertura de parênteses.
Definição 1
Sob a abertura de colchetes, queremos dizer os métodos para se livrar de colchetes e geralmente são considerados em relação a expressões que podem conter:
- sinais "+" ou "-" antes de colchetes que contenham somas ou diferenças;
- o produto de um número, letra ou várias letras e a soma ou diferença, que é colocada entre parênteses.
É assim que costumávamos considerar o processo de ampliação de parênteses no curso currículo escolar. No entanto, ninguém nos impede de olhar para esta ação de forma mais ampla. Podemos chamar de expansão de parênteses a transição de uma expressão que contém números negativos entre parênteses para uma expressão que não tem parênteses. Por exemplo, podemos ir de 5 + (− 3) − (− 7) para 5 − 3 + 7 . Na verdade, isso também é expansão de parênteses.
Da mesma forma, podemos substituir o produto de expressões entre colchetes da forma (a + b) · (c + d) pela soma a · c + a · d + b · c + b · d . Essa técnica também não contradiz o significado da expansão dos parênteses.
Aqui está outro exemplo. Podemos supor que em expressões, em vez de números e variáveis, qualquer expressão pode ser usada. Por exemplo, a expressão x 2 1 a - x + sin (b) corresponderá a uma expressão sem colchetes da forma x 2 1 a - x 2 x + x 2 sin (b) .
Mais um ponto merece atenção especial, que diz respeito às peculiaridades das soluções de escrita ao abrir colchetes. Podemos escrever a expressão inicial entre colchetes e o resultado obtido após a abertura dos colchetes como igualdade. Por exemplo, depois de abrir os parênteses, em vez da expressão 3 − (5 − 7) obtemos a expressão 3 − 5 + 7 . Podemos escrever ambas as expressões como a igualdade 3 − (5 − 7) = 3 − 5 + 7 .
A execução de ações com expressões complicadas pode exigir a escrita resultados intermediários. Então a solução terá a forma de uma cadeia de igualdades. Por exemplo, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 ou 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .
Regras para abrir colchetes, exemplos
Vamos começar com as regras para abrir parênteses.
Números únicos entre parênteses
Números negativos entre parênteses geralmente aparecem em expressões. Por exemplo, (− 4) e 3 + (− 4) . Números positivos entre parênteses também ocorrem.
Vamos formular a regra para abrir colchetes que contêm números positivos únicos. Suponha que a seja qualquer número positivo. Então podemos substituir (a) por a, + (a) por + a, - (a) por - a. Se em vez de um pegarmos um número específico, então de acordo com a regra: o número (5) será escrito como 5 , a expressão 3 + (5) sem colchetes terá a forma 3 + 5 , já que + (5) é substituído por + 5 , e a expressão 3 + (− 5) é equivalente à expressão 3 − 5 , Porque + (− 5) é substituído por − 5 .
Os números positivos geralmente são escritos sem usar parênteses, pois os parênteses são redundantes nesse caso.
Agora considere a regra para abrir colchetes que contêm um único número negativo. + (−a) nós substituímos por - um, − (− a) é substituído por + a . Se a expressão começar com um número negativo (-uma), que é escrito entre colchetes, então os colchetes são omitidos e em vez de (-uma) restos - um.
aqui estão alguns exemplos: (− 5) pode ser escrito como − 5 , (− 3) + 0 , 5 se torna − 3 + 0 , 5 , 4 + (− 3) se torna 4 − 3 , e − (− 4) − (− 3) após a abertura dos colchetes assume a forma 4 + 3 , pois − (− 4) e − (− 3) é substituído por + 4 e + 3 .
Deve-se entender que a expressão 3 · (− 5) não pode ser escrita como 3 · − 5. Isso será discutido nos próximos parágrafos.
Vamos ver em que se baseiam as regras de expansão de parênteses.
De acordo com a regra, a diferença a − b é igual a a + (− b) . Com base nas propriedades das ações com números, podemos fazer uma cadeia de igualdades (a + (− b)) + b = a + ((− b) + b) = a + 0 = a que será justo. Esta cadeia de igualdades, em virtude do significado de subtração, prova que a expressão a + (− b) é a diferença a-b.
Com base nas propriedades números opostos e regras de subtração números negativos podemos afirmar que − (− a) = a , a − (− b) = a + b .
Existem expressões que são compostas por um número, sinais de menos e vários pares de colchetes. O uso das regras acima permite que você se livre sequencialmente dos colchetes, movendo-se dos colchetes internos para os externos ou para dentro. direção oposta. Um exemplo de tal expressão seria − (− ((− (5)))) . Vamos abrir os colchetes, passando de dentro para fora: − (− ((− (5)))) = − (− ((− 5))) = − (− (− 5)) = − (5) = − 5 . Este exemplo também pode ser analisado ao contrário: − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .
Debaixo uma e b podem ser entendidos não apenas como números, mas também como números ou expressões literais com um "+" na frente que não são somas ou diferenças. Em todos esses casos, você pode aplicar as regras da mesma forma que fizemos para números únicos em suportes.
Por exemplo, depois de abrir os colchetes, a expressão − (− 2 x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 x y 2: z) assume a forma 2 x − x 2 − 1 x − 2 x y 2: z . Como o fizemos? Sabemos que − (− 2 x) é + 2 x , e como essa expressão vem primeiro, então + 2 x pode ser escrito como 2 x , - (x 2) = - x 2, + (− 1 x) = − 1 x e − (2 x y 2: z) = − 2 x y 2: z.
Nos produtos de dois números
Vamos começar com a regra para expandir colchetes no produto de dois números.
Vamos fingir que uma e b é dois números positivos. Neste caso, o produto de dois números negativos - um e − b da forma (− a) (− b) pode ser substituído por (a b) , e os produtos de dois números com sinais opostos da forma (− a) b e a (− b) são substituídos por (−ab). Multiplicar um menos por um menos dá um mais, e multiplicar um menos por um mais, como multiplicar um mais por um menos, dá um menos.
A exatidão da primeira parte da regra escrita é confirmada pela regra de multiplicação de números negativos. Para confirmar a segunda parte da regra, podemos usar as regras para multiplicar números por sinais diferentes.
Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 1
Considere o algoritmo de abertura de colchetes no produto de dois números negativos - 4 3 5 e - 2 , da forma (- 2) · - 4 3 5 . Para fazer isso, substituímos a expressão original por 2 · 4 3 5 . Vamos expandir os colchetes e obter 2 · 4 3 5 .
E se pegarmos o quociente de números negativos (− 4) : (− 2) , o registro depois de abrir os colchetes será 4: 2
Em vez de números negativos - um e − b podem ser quaisquer expressões com um sinal de menos à esquerda que não sejam somas ou diferenças. Por exemplo, estes podem ser produtos, parciais, frações, graus, raízes, logaritmos, funções trigonométricas etc.
Vamos abrir os colchetes na expressão - 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) . De acordo com a regra, podemos fazer as seguintes transformações: - 3 x x 2 + 1 x (- ln 5) = - 3 x x 2 + 1 x ln 5 = 3 x x 2 + 1 x ln 5 .
Expressão (− 3) 2 pode ser convertido para a expressão (− 3 2) . Depois disso, você pode abrir os colchetes: − 3 2.
2 3 - 4 5 = - 2 3 4 5 = - 2 3 4 5
A divisão de números com sinais diferentes também pode exigir a expansão preliminar dos colchetes: (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 e 2 3 4: (- 3 , 5) = - 2 3 4: 3 , 5 = - 2 3 4: 3 , 5 .
A regra pode ser usada para realizar multiplicação e divisão de expressões com sinais diferentes. Vamos dar dois exemplos.
1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3
sen (x) (- x 2) \u003d (- sen (x) x 2) \u003d - sen (x) x 2
Nos produtos de três ou mais números
Passemos ao produto e aos quocientes, que contêm grande quantidade números. Para expandir os parênteses, aqui atuará próxima regra. Com um número par de números negativos, você pode omitir os parênteses, substituindo os números por seus opostos. Depois disso, você precisa colocar a expressão resultante entre novos colchetes. Para um número ímpar de números negativos, omitindo os colchetes, substitua os números por seus opostos. Depois disso, a expressão resultante deve ser tomada em novos colchetes e colocar um sinal de menos na frente dela.
Exemplo 2
Por exemplo, vamos pegar a expressão 5 · (− 3) · (− 2) , que é o produto de três números. Existem dois números negativos, então podemos escrever a expressão como (5 3 2) e finalmente abra os colchetes, obtendo a expressão 5 3 2 .
No produto (− 2 , 5) (− 3) : (− 2) 4: (− 1 , 25) : (− 1) cinco números são negativos. então (− 2 , 5) (− 3) : (− 2) 4: (− 1 , 25) : (− 1) = (− 2 . 5 3: 2 4: 1 , 25: 1) . Finalmente abrindo os colchetes, obtemos −2,5 3:2 4:1.25:1.
A regra acima pode ser justificada da seguinte forma. Primeiro, podemos reescrever tais expressões como um produto, substituindo por multiplicação por número recíproco divisão. Representamos cada número negativo como o produto de um multiplicador e substituímos - 1 ou - 1 por (− 1) um.
Usando a propriedade comutativa da multiplicação, trocamos os fatores e transferimos todos os fatores iguais a − 1 , para o início da expressão. O produto de um número par menos um é igual a 1, e um número ímpar é igual a − 1 , o que nos permite usar o sinal de menos.
Se não usássemos a regra, a cadeia de ações para abrir colchetes na expressão - 2 3: (- 2) 4: - 6 7 ficaria assim:
2 3: (- 2) 4: - 6 7 = - 2 3 - 1 2 4 - 7 6 = = (- 1) 2 3 (- 1) 1 2 4 (- 1 ) 7 6 = = (- 1) (- 1) (- 1) 2 3 1 2 4 7 6 = (- 1) 2 3 1 2 4 7 6 = = - 2 3 1 2 4 7 6
A regra acima pode ser usada ao expandir colchetes em expressões que são produtos e quocientes com um sinal de menos que não são somas ou diferenças. Tomemos por exemplo a expressão
x 2 (- x): (- 1 x) x - 3: 2 .
Pode ser reduzido a uma expressão sem colchetes x 2 · x: 1 x · x - 3: 2 .
Abrindo parênteses precedidos por um sinal +
Considere uma regra que pode ser aplicada para expandir colchetes que são precedidos por um sinal de mais, e o "conteúdo" desses colchetes não é multiplicado ou dividido por nenhum número ou expressão.
De acordo com a regra, os colchetes junto com o sinal na frente deles são omitidos, enquanto os sinais de todos os termos entre colchetes são preservados. Se não houver sinal na frente do primeiro termo entre colchetes, você precisará colocar um sinal de mais.
Exemplo 3
Por exemplo, damos a expressão (12 − 3 , 5) − 7 . Ao omitir os colchetes, mantemos os sinais dos termos entre colchetes e colocamos um sinal de mais na frente do primeiro termo. A entrada será semelhante a (12 − 3 , 5) − 7 = + 12 − 3 , 5 − 7 . No exemplo acima, não é necessário colocar um sinal na frente do primeiro termo, pois + 12 - 3, 5 - 7 = 12 - 3, 5 - 7.
Exemplo 4
Vamos considerar mais um exemplo. Pegue a expressão x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x e execute ações com ela x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x
Aqui está outro exemplo de expansão de parênteses:
Exemplo 5
2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 - 1 + x + x2
Como expandir parênteses precedidos por um sinal de menos
Considere os casos em que há um sinal de menos na frente dos colchetes e que não são multiplicados (ou divididos) por nenhum número ou expressão. De acordo com a regra de abertura de colchetes precedido do sinal “-”, os colchetes com o sinal “-” são omitidos, enquanto os sinais de todos os termos dentro dos colchetes são invertidos.
Exemplo 6
Por exemplo:
1 2 \u003d 1 2, - 1 x + 1 \u003d - 1 x + 1, - (- x 2) \u003d x 2
Expressões de variáveis podem ser convertidas usando a mesma regra:
X + x 3 - 3 - - 2 x 2 + 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2,
obtemos x - x 3 - 3 + 2 x 2 - 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2 .
Abrindo parênteses ao multiplicar um número por um parêntese, expressões por um parêntese
Aqui consideraremos casos em que é necessário abrir colchetes que são multiplicados ou divididos por qualquer número ou expressão. Aqui fórmulas da forma (a 1 ± a 2 ± ... ± a n) b = (a 1 b ± a 2 b ± ... ± a n b) ou b (a 1 ± a 2 ± … ± a n) = (b a 1 ± b a 2 ± … ± b a n), Onde a 1 , a 2 , ... , a n e b são alguns números ou expressões.
Exemplo 7
Por exemplo, vamos expandir os colchetes na expressão (3 − 7) 2. De acordo com a regra, podemos fazer as seguintes transformações: (3 − 7) 2 = (3 2 − 7 2) . Obtemos 3 · 2 − 7 · 2 .
Expandindo os colchetes na expressão 3 x 2 1 - x + 1 x + 2, obtemos 3 x 2 1 - 3 x 2 x + 3 x 2 1 x + 2.
Multiplicar um parêntese por um parêntese
Considere o produto de dois colchetes da forma (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) . Isso nos ajudará a obter uma regra para expandir os parênteses ao multiplicar um parêntese por um parêntese.
Para resolver o exemplo acima, denotamos a expressão (b 1 + b 2) como b. Isso nos permitirá usar a regra de multiplicação de expressão de parênteses. Obtemos (a 1 + a 2) (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) b = (a 1 b + a 2 b) = a 1 b + a 2 b . Fazendo uma substituição reversa b em (b 1 + b 2), aplique novamente a regra para multiplicar a expressão pelo colchete: a 1 b + a 2 b = = a 1 (b 1 + b 2) + a 2 (b 1 + b 2) = = (a 1 b 1 + a 1 b 2) + (a 2 b 1 + a 2 b 2) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 2 b 2
Graças a vários truques simples, podemos chegar à soma dos produtos de cada um dos termos do primeiro colchete e cada um dos termos do segundo colchete. A regra pode ser estendida a qualquer número de termos dentro dos colchetes.
Vamos formular as regras para multiplicar um colchete por um colchete: para multiplicar duas somas entre si, é necessário multiplicar cada um dos termos da primeira soma por cada um dos termos da segunda soma e somar os resultados.
A fórmula ficará assim:
(a 1 + a 2 + . . . + a m) (b 1 + b 2 + . . . + b n) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + . . . + a 1 b n + + a 2 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a 2 b n++ . . . + + a m b 1 + a m b 1 + . . . a m b n
Vamos expandir os colchetes na expressão (1 + x) · (x 2 + x + 6) É um produto de duas somas. Vamos escrever a solução: (1 + x) (x 2 + x + 6) = = (1 x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6) = = 1 x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6
Separadamente, vale a pena nos deter nos casos em que há um sinal de menos entre colchetes junto com sinais de mais. Por exemplo, vamos pegar a expressão (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) .
Primeiro, representamos as expressões entre parênteses como somas: (1 + (− x)) (3 x y + (− 2 x y 3)). Agora podemos aplicar a regra: (1 + (− x)) (3 x y + (− 2 x y 3)) = = (1 3 x y + 1 (− 2 x y 3) + (− x) 3 x y + ( − x) (− 2 x y 3))
Vamos expandir os colchetes: 1 3 x y − 1 2 x y 3 − x 3 x y + x 2 x y 3 .
Expansão de parênteses em produtos de vários colchetes e expressões
Se houver três ou mais expressões entre colchetes na expressão, é necessário expandir os colchetes sequencialmente. É necessário iniciar a transformação com o fato de que os dois primeiros fatores são tomados entre parênteses. Dentro desses colchetes, podemos realizar transformações de acordo com as regras discutidas acima. Por exemplo, os parênteses na expressão (2 + 4) 3 (5 + 7 8) .
A expressão contém três fatores ao mesmo tempo (2 + 4) , 3 e (5 + 7 8). Vamos expandir os colchetes sequencialmente. Colocamos os dois primeiros fatores em mais um colchete, que passaremos a vermelho para maior clareza: (2 + 4) 3 (5 + 7 8) = ((2 + 4) 3) (5 + 7 8).
De acordo com a regra de multiplicar um colchete por um número, podemos realizar as seguintes ações: ((2 + 4) 3) (5 + 7 8) = (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) .
Multiplique colchetes por colchetes: (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) = 2 3 5 + 2 3 7 8 + 4 3 5 + 4 3 7 8 .
Parênteses em espécie
Potências cujas bases são algumas expressões escritas entre parênteses, com indicadores naturais pode ser pensado como um produto de vários parênteses. Além disso, de acordo com as regras dos dois parágrafos anteriores, eles podem ser escritos sem esses colchetes.
Considere o processo de transformar a expressão (a + b + c) 2 . Pode ser escrito como um produto de dois colchetes (a + b + c) (a + b + c). Multiplicamos colchetes por colchetes e obtemos a a + a b + a c + b a + b b + b c + c a + c b + c c .
Vamos a outro exemplo:
Exemplo 8
1 x + 2 3 = 1 x + 2 1 x + 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x + 1 x 2 + 2 1 x + 2 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x 1 x + 1 x 2 1 x + 2 1 x 1 x + 2 2 1 x + 1 x 1 x 2 + + 1 x 2 2 + 2 1 x 2 + 2 2 2
Dividindo um parêntese por um número e um parêntese por um parêntese
Dividir um parêntese por um número sugere que você deve dividir pelo número todos os termos entre colchetes. Por exemplo, (x 2 - x): 4 = x 2: 4 - x: 4 .
A divisão pode ser substituída anteriormente pela multiplicação, após o que você pode usar a regra apropriada para abrir colchetes no produto. A mesma regra se aplica ao dividir um parêntese por um parêntese.
Por exemplo, precisamos abrir os colchetes na expressão (x + 2): 2 3 . Para fazer isso, primeiro substitua a divisão multiplicando pelo recíproco de (x + 2) : 2 3 = (x + 2) · 2 3 . Multiplique o colchete pelo número (x + 2) 2 3 = x 2 3 + 2 2 3 .
Aqui está outro exemplo de divisão de parênteses:
Exemplo 9
1 x + x + 1: (x + 2) .
Vamos substituir a divisão pela multiplicação: 1 x + x + 1 1 x + 2 .
Vamos fazer a multiplicação: 1 x + x + 1 1 x + 2 = 1 x 1 x + 2 + x 1 x + 2 + 1 1 x + 2 .
Ordem de expansão de colchetes
Agora considere a ordem de aplicação das regras discutidas acima nas expressões visão geral, ou seja em expressões que contêm somas com diferenças, produtos com quocientes, colchetes em espécie.
A ordem das ações:
- o primeiro passo é elevar os parênteses a uma potência natural;
- na segunda etapa, abrem-se parênteses em obras e particulares;
- o passo final é abrir os colchetes nas somas e diferenças.
Vamos considerar a ordem das ações usando o exemplo da expressão (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) . Vamos transformar das expressões 3 (− 2) : (− 4) e 6 (− 7) , que devem tomar a forma (3 2:4) e (− 6 7) . Substituindo os resultados obtidos na expressão original, obtemos: (− 5) + 3 (− 2) : (− 4) − 6 (− 7) = (− 5) + (3 2: 4) − (− 6 7 ). Expanda os colchetes: − 5 + 3 2: 4 + 6 7 .
Ao lidar com expressões que contêm parênteses dentro de parênteses, é conveniente realizar transformações de dentro para fora.
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Continuo uma série de artigos metodológicos sobre o tema do ensino. É hora de considerar os recursos trabalho individual professor de matemática com alunos do 7º ano. Com muito prazer compartilho meus pensamentos sobre as formas de submissão de um dos principais tópicos curso de álgebra na 7ª série - "colchetes de abertura". Para não tentar abraçar a imensidão, vamos nos concentrar nela escola primária e analisar a metodologia do tutor com a multiplicação de um polinômio por um polinômio. Quão professor de matemática válido em situações difíceis, quando aluno fraco não percebe forma clássica explicações? Que tarefas devem ser preparadas para um aluno forte da sétima série? Vamos considerar essas e outras questões.
Parece, bem, o que é tão difícil? “Parênteses são fáceis”, dirá qualquer bom aluno. “Existe uma lei distributiva e propriedades de graus para trabalhar com monômios, um algoritmo geral para qualquer número de termos. Multiplique cada um por cada um e traga o igual. No entanto, nem tudo é tão simples no trabalho com os atrasados. Apesar dos esforços de um tutor de matemática, os alunos conseguem cometer erros de vários calibres mesmo nas transformações mais simples. A natureza dos erros é impressionante em sua diversidade: desde pequenas omissões de letras e sinais, até graves "erros de parada" sem saída.
O que impede o aluno de realizar corretamente as transformações? Por que há mal-entendidos?
Existem problemas individuais grande multidão e um dos principais entraves à assimilação e consolidação do material é a dificuldade na mudança de atenção oportuna e rápida, a dificuldade em processar uma grande quantidade de informações. Pode parecer estranho para alguns que eu estou falando grande volume, mas um aluno fraco da 7ª série pode não ter recursos de memória e atenção suficientes mesmo para quatro termos. Coeficientes, variáveis, graus (indicadores) interferem. O aluno confunde a sequência das operações, esquece quais monômios já foram multiplicados e quais permaneceram intocados, não consegue lembrar como foram multiplicados, etc.
Abordagem numérica do professor de matemática
Claro, você precisa começar com uma explicação da lógica da construção do próprio algoritmo. Como fazer isso? Precisamos definir a tarefa: como alterar a ordem das ações na expressão 
sem alterar o resultado? Muitas vezes dou exemplos explicando o funcionamento de certas regras em números específicos. E então eu os substituo por letras. Técnica de uso abordagem numérica será descrito abaixo.
Problemas de motivação.
No início da aula, é difícil para um tutor de matemática reunir um aluno se ele não entender a relevância do que está sendo estudado. Dentro da estrutura do programa para as séries 6-7, é difícil encontrar exemplos de uso da regra de multiplicação polinomial. Destaco a necessidade de aprender alterar a ordem das ações em expressões O fato de que isso ajuda a resolver problemas, o aluno deve saber pela experiência da adição. termos semelhantes. Ele também teve que adicioná-los ao resolver equações. Por exemplo, em 2x+5x+13=34 ele usa aquele 2x+5x=7x. Um tutor de matemática só precisa focar a atenção do aluno sobre isso.
Os professores de matemática costumam chamar a técnica de abertura de parênteses regra da fonte.
Esta imagem é bem lembrada e deve ser usada. Mas como essa regra é comprovada? Lembre-se da forma clássica usando transformações de identidade óbvias:
(a+b)(c+d)=(a+b) c+(a+b) d=ac+bc+ad+bd
É difícil para um professor de matemática comentar qualquer coisa aqui. As letras falam por si. Sim, e não é necessário para um aluno forte da 7ª série explicações detalhadas. No entanto, o que fazer com os fracos, que à queima-roupa não veem nenhum conteúdo nessa "mistura alfabética"?
O principal problema que dificulta a percepção da justificativa matemática clássica da “fonte” é a forma inusitada de escrever o primeiro fator. Nem no 5º ano nem no 6º ano o aluno teve que arrastar o primeiro parêntese para cada período do segundo. As crianças lidavam apenas com números (coeficientes), localizados, na maioria das vezes, à esquerda dos colchetes, por exemplo:
Ao final do 6º ano, o aluno desenvolve imagem visual objeto - uma certa combinação de sinais (ações) associados a colchetes. E qualquer desvio do olhar usual para algo novo pode desorientar um aluno da sétima série. É a imagem visual do par “número + colchete” que o tutor de matemática coloca em circulação ao explicar.
A seguinte explicação pode ser oferecida. O tutor argumenta: “Se houvesse algum número na frente do colchete, por exemplo 5, então poderíamos mudar o curso de ação nesta expressão? É claro. Vamos fazer isso então 
. Pense se seu resultado mudará se, em vez do número 5, inserirmos a soma de 2 + 3 entre colchetes? Qualquer aluno dirá ao tutor: "Que diferença faz como escrever: 5 ou 2 + 3." Maravilhoso. Obter um registro. O tutor de matemática faz uma pequena pausa para que o aluno se lembre visualmente da imagem-imagem do objeto. Em seguida, ele chama a atenção para o fato de que o colchete, assim como o número, "distribui" ou "salta" para cada termo. O que isto significa? Significa que esta operação pode ser realizado não apenas com um número, mas também com um colchete. Temos dois pares de fatores e . Com eles o máximo de os alunos podem lidar facilmente por conta própria e escrever o resultado para o tutor. É importante comparar os pares resultantes com o conteúdo dos colchetes 2+3 e 6+4 e ficará claro como eles abrem.
Se necessário, após o exemplo com números, o tutor de matemática realiza uma prova literal. Acaba sendo uma moleza pelas mesmas partes do algoritmo anterior.
Formação da habilidade de abrir colchetes
A formação da habilidade de multiplicar parênteses é uma das Milestones trabalho de um tutor em matemática com um tema. E ainda mais importante do que a etapa de explicar a lógica da regra da “fonte”. Por quê? As justificativas para as transformações serão esquecidas no dia seguinte, e a habilidade, se for formada e fixada no tempo, permanecerá. Os alunos realizam a operação mecanicamente, como se estivessem extraindo a tabuada da memória. Isso é o que precisa ser alcançado. Por quê? Se toda vez que o aluno abrir os colchetes, ele se lembrar por que abriu dessa forma e não de outra, ele esquecerá o problema que está resolvendo. É por isso que o professor de matemática passa o resto da aula transformando a compreensão em memorização. Essa estratégia é frequentemente usada em outros tópicos também.
Como um tutor pode desenvolver a habilidade de abrir colchetes em um aluno? Para isso, um aluno do 7º ano deve realizar uma série de exercícios em quantidade suficiente para consolidar. Isso levanta outro problema. Um aluno fraco da sétima série não consegue lidar com o aumento do número de transformações. Mesmo os pequenos. E os erros continuam vindo um após o outro. O que um professor de matemática deve fazer? Primeiro, é necessário recomendar a pintura de setas de cada termo para cada um. Se o aluno é muito fraco e não consegue mudar rapidamente de um tipo de trabalho para outro, perde a concentração ao seguir comandos simples do professor, então o próprio professor de matemática desenha essas setas. E não tudo de uma vez. Primeiro, o tutor conecta o primeiro termo do colchete esquerdo com cada termo do colchete direito e pede para realizar a multiplicação apropriada. Só depois disso as setas passam do segundo termo para o mesmo colchete direito. Em outras palavras, o tutor divide o processo em duas etapas. É melhor manter uma pequena pausa temporária (5-7 segundos) entre a primeira e a segunda operação.
1) Um conjunto de setas deve ser desenhado acima das expressões e outro conjunto abaixo delas.
2) É importante pular entre as linhas pelo menos par de células. Caso contrário, o registro será muito denso e as setas não apenas subirão para a linha anterior, mas também se misturarão com as setas do próximo exercício.
3) No caso de multiplicação de colchetes no formato 3 por 2, as setas são desenhadas do colchete curto para o longo. Caso contrário, essas "fontes" não serão duas, mas três. A implementação do terceiro é visivelmente mais complicada devido à falta de espaço livre para as setas.
4) as setas são sempre direcionadas de um ponto. Um dos meus alunos continuou tentando colocá-los lado a lado e foi o que ele fez:
Tal arranjo não permite destacar e fixar o prazo atual, com o qual o aluno trabalha em cada uma das etapas.
O trabalho dos dedos do tutor
4) Para manter a atenção um casal separado termos multiplicados, o professor de matemática coloca dois dedos sobre eles. Isso deve ser feito de forma a não bloquear a visão do aluno. Para os alunos mais desatentos, você pode usar o método "pulsação". O tutor de matemática traz o primeiro dedo para o início da seta (para um dos termos) e o fixa, e com o segundo “bate” na ponta (no segundo termo). A pulsação ajuda a focar a atenção no termo pelo qual o aluno se multiplica. Após a primeira multiplicação pelo colchete direito, o tutor de matemática diz: “Agora trabalhamos com outro termo”. O tutor move um “dedo fixo” para ele, e “pulsando” percorre os termos de outro colchete. A pulsação funciona como um "sinalizador de direção" em um carro e permite chamar a atenção de um aluno distraído sobre a operação que ele está realizando. Se a criança escreve pequeno, dois lápis são usados em vez de dedos.
Otimização de repetição
Como no estudo de qualquer outro tópico no curso de álgebra, a multiplicação de polinômios pode e deve ser integrada ao material previamente abordado. Para fazer isso, o tutor de matemática usa tarefas especiais de ponte que permitem encontrar a aplicação do estudado em vários objetos matemáticos. Eles não apenas conectam os tópicos em um único todo, mas também organizam de maneira muito eficaz a repetição de todo o curso de matemática. E quanto mais pontes o tutor construir, melhor.
Tradicionalmente, nos livros didáticos de álgebra para o 7º ano, a abertura dos colchetes é integrada à solução equações lineares. No final da lista de números há sempre tarefas da seguinte ordem: resolver a equação. Ao abrir os colchetes, os quadrados são reduzidos e a equação é facilmente resolvida por meio da aula 7. No entanto, por algum motivo, os autores de livros didáticos esquecem com segurança de traçar um gráfico de uma função linear. A fim de corrigir esta falha, eu aconselharia os professores de matemática a incluir colchetes em expressões analíticas funções lineares, por exemplo . Em tais exercícios, o aluno não só treina as habilidades de conduzir transformações idênticas, mas também repete os gráficos. Você pode pedir para encontrar o ponto de interseção de dois "monstros", determinar arranjo mútuo linhas, encontrar os pontos de sua interseção com os eixos, etc.
Kolpakov A. N. Professor de matemática em Strogino. Moscou
A + (b + c) pode ser escrito sem colchetes: a + (b + c) \u003d a + b + c. Essa operação é chamada de expansão de parênteses.
Exemplo 1 Vamos abrir os colchetes na expressão a + (- b + c).
Solução. a + (-b + c) = a + ((-b) + c) = a + (-b) + c = a-b + c.
Se houver um sinal “+” antes dos colchetes, você pode omitir os colchetes e esse sinal “+”, mantendo os sinais dos termos entre colchetes. Se o primeiro termo entre parênteses for escrito sem sinal, então deve ser escrito com um sinal “+”.
Exemplo 2 Vamos encontrar o valor expressões -2,87+ (2,87-7,639).
Solução. Abrindo os colchetes, obtemos - 2,87 + (2,87 - 7,639) \u003d - - 2,87 + 2,87 - 7,639 \u003d 0 - 7,639 \u003d - 7,639.
Para encontrar o valor da expressão - (- 9 + 5), você precisa adicionar números-9 e 5 e encontre o número oposto ao valor recebido: -(- 9 + 5)= -(- 4) = 4.
O mesmo valor pode ser obtido de uma maneira diferente: primeiro escreva os números opostos a esses termos (ou seja, mude seus sinais) e depois adicione: 9 + (- 5) = 4. Assim, - (- 9 + 5) = 9 - 5 = 4.
Para escrever a soma oposta à soma de vários termos, é necessário alterar os sinais desses termos.
Então - (a + b) \u003d - a - b.
Exemplo 3 Encontre o valor da expressão 16 - (10 -18 + 12).
Solução. 16-(10 -18 + 12) = 16 + (-(10 -18 + 12)) = = 16 + (-10 +18-12) = 16-10 +18-12 = 12.
Para abrir os colchetes precedidos pelo sinal “-”, você precisa substituir esse sinal por “+”, trocando os sinais de todos os termos entre colchetes pelos opostos e, em seguida, abrir os colchetes.
Exemplo 4 Vamos encontrar o valor da expressão 9,36-(9,36 - 5,48).
Solução. 9,36 - (9,36 - 5,48) = 9,36 + (- 9,36 + 5,48) == 9,36 - 9,36 + 5,48 = 0 -f 5,48 = 5,48.
Abrindo parênteses e o uso de comutativos e propriedades associativas aditivos facilitar os cálculos.
Exemplo 5 Encontre o valor da expressão (-4-20)+(6+13)-(7-8)-5.
Solução. Primeiro, abrimos os colchetes e, em seguida, encontramos separadamente a soma de todos os números positivos e separadamente a soma de todos os números negativos e, finalmente, adicionamos os resultados:
(- 4 - 20)+(6+ 13)-(7 - 8) - 5 = -4-20 + 6 + 13-7 + 8-5 = = (6 + 13 + 8)+(- 4 - 20 - 7 - 5)= 27-36=-9.
Exemplo 6 Encontre o valor da expressão
Solução. Primeiro, representamos cada termo como a soma de suas partes inteiras e fracionárias, depois abrimos os colchetes, depois adicionamos o inteiro e separadamente fracionário partes e, finalmente, resumir os resultados:
Como você abre parênteses que são precedidos por um sinal "+"? Como você pode encontrar o valor de uma expressão que é o oposto da soma de vários números? Como abrir colchetes precedidos por um sinal "-"?
1218. Expanda os colchetes:
a) 3,4+(2,6+ 8,3); c) m+(n-k);
b) 4,57+(2,6 - 4,57); d) c+(-a + b).
1219. Encontre o valor da expressão:
1220. Expanda os colchetes:
a) 85+(7,8+ 98); d) -(80-16) + 84; g) a-(b-k-n);
b) (4,7-17) + 7,5; e) -a+ (m-2,6); h) - (a-b + c);
c) 64-(90 + 100); e) c+(-a-b); i) (m-n)-(p-k).
1221. Expanda os colchetes e encontre o valor da expressão:
1222. Simplifique a expressão:
1223. Escreva quantia duas expressões e simplifique:
a) - 4 - m e m + 6,4; d) a + b e p - b
b) 1,1+a e -26-a; e) -m + n e -k - n;
c) a + 13 e -13 + b; e)m - n e n - m.
1224. Escreva a diferença de duas expressões e simplifique-a:
1226. Use a equação para resolver o problema:
a) Em uma prateleira há 42 livros e na outra 34. Vários livros foram retirados da segunda prateleira e tantos quantos ficaram na segunda da primeira. Depois disso, 12 livros permaneceram na primeira prateleira. Quantos livros foram retirados da segunda prateleira?
b) Há 42 alunos na primeira turma, 3 alunos a menos na segunda do que na terceira. Quantos alunos estão na terceira série se houver 125 alunos nessas três séries?
1227. Encontre o valor da expressão:
1228. Calcular oralmente:
1229. Encontrar valor mais alto expressões:
1230. Insira 4 números inteiros consecutivos se:
a) o menor deles é igual a -12; c) o menor deles é igual a n;
b) o maior deles é igual a -18; d) o maior deles é igual a k.
