Dentre várias expressões, que são considerados em álgebra, Lugar importante são somas de monômios. Aqui estão alguns exemplos de tais expressões:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

A soma dos monômios é chamada de polinômio. Os termos em um polinômio são chamados de membros do polinômio. Os mononômios também são chamados de polinômios, considerando um monômio como um polinômio que consiste em um membro.

Por exemplo, polinômio
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
pode ser simplificado.

Representamos todos os termos como monômios da forma padrão:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Damos termos semelhantes no polinômio resultante:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
O resultado é um polinômio, todos os membros do qual são monômios da forma padrão e entre eles não há semelhantes. Esses polinômios são chamados polinômios de forma padrão.

Por grau polinomial formulário padrão tomar o maior dos poderes de seus membros. Assim, o binômio \(12a^2b - 7b \) tem o terceiro grau, e o trinômio \(2b^2 -7b + 6 \) tem o segundo.

Normalmente, os termos de polinômios de forma padrão contendo uma variável são organizados em ordem decrescente de seus expoentes. Por exemplo:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

A soma de vários polinômios pode ser convertida (simplificada) em um polinômio de forma padrão.

Às vezes, os membros de um polinômio precisam ser divididos em grupos, colocando cada grupo entre parênteses. Como os parênteses são o oposto dos parênteses, é fácil formular regras de abertura de parênteses:

Se o sinal + for colocado antes dos colchetes, os termos entre colchetes serão escritos com os mesmos sinais.

Se um sinal "-" for colocado na frente dos colchetes, os termos entre colchetes serão escritos com sinais opostos.

Transformação (simplificação) do produto de um monômio e um polinômio

Usando a propriedade distributiva da multiplicação, pode-se transformar (simplificar) o produto de um monômio e um polinômio em um polinômio. Por exemplo:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

O produto de um monômio e de um polinômio é identicamente igual à soma dos produtos desse monômio e cada um dos termos do polinômio.

Este resultado é geralmente formulado como uma regra.

Para multiplicar um monômio por um polinômio, deve-se multiplicar esse monômio por cada um dos termos do polinômio.

Usamos repetidamente essa regra para multiplicar por uma soma.

O produto de polinômios. Transformação (simplificação) do produto de dois polinômios

Em geral, o produto de dois polinômios é identicamente igual à soma do produto de cada termo de um polinômio e cada termo do outro.

Geralmente use a seguinte regra.

Para multiplicar um polinômio por um polinômio, você precisa multiplicar cada termo de um polinômio por cada termo do outro e adicionar os produtos resultantes.

Fórmulas de multiplicação abreviadas. Quadrados de Soma, Diferença e Diferença

Com algumas expressões em transformações algébricas tem que lidar com mais do que outros. Talvez as expressões mais comuns sejam \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) e \(a^2 - b^2 \), ou seja, o quadrado da soma, o quadrado da diferença e diferença quadrada. Você notou que os nomes dessas expressões parecem incompletos, então, por exemplo, \((a + b)^2 \) é, obviamente, não apenas o quadrado da soma, mas o quadrado da soma de a e b. No entanto, o quadrado da soma de a e b não é tão comum, como regra, em vez das letras a e b, contém várias expressões, às vezes bastante complexas.

As expressões \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) são fáceis de converter (simplificar) em polinômios da forma padrão; de fato, você já encontrou essa tarefa ao multiplicar polinômios :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

As identidades resultantes são úteis para serem lembradas e aplicadas sem cálculos intermediários. Formulações verbais curtas ajudam nisso.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - soma ao quadrado é igual à soma quadrados e duplo produto.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - o quadrado da diferença é a soma dos quadrados sem dobrar o produto.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - a diferença de quadrados é igual ao produto da diferença pela soma.

Essas três identidades permitem transformações para substituir suas partes esquerdas por direitas e vice-versa - partes direitas por esquerdas. O mais difícil neste caso é ver as expressões correspondentes e entender o que as variáveis ​​a e b são substituídas nelas. Vejamos alguns exemplos de uso de fórmulas de multiplicação abreviadas.

Agora vamos apenas abrir colchetes em expressões nas quais a expressão entre colchetes é multiplicada por um número ou expressão. Vamos formular a regra para abrir colchetes precedidos por um sinal de menos: os colchetes junto com o sinal de menos são omitidos e os sinais de todos os termos entre colchetes são substituídos por sinais opostos.

Um tipo de transformação de expressão é a expansão de parênteses. Expressões numéricas, literais e variáveis ​​são compostas por colchetes, que podem indicar a ordem em que as ações são executadas, conter um número negativo, etc. Vamos supor que nas expressões descritas acima, em vez de números e variáveis, pode haver qualquer expressão.

E vamos prestar atenção em mais um ponto referente às peculiaridades de escrever a solução ao abrir os colchetes. No parágrafo anterior, tratamos do que é chamado de expansão de parênteses. Para fazer isso, existem regras para abrir colchetes, que agora revisamos. Esta regra é ditada pelo fato de que é costume escrever números positivos sem colchetes, colchetes neste caso são desnecessários. A expressão (−3.7)−(−2)+4+(−9) pode ser escrita sem colchetes como −3.7+2+4−9.

Finalmente, a terceira parte da regra se deve simplesmente às peculiaridades de escrever números negativos à esquerda da expressão (que mencionamos na seção de colchetes para escrever números negativos). Você pode encontrar expressões compostas por um número, sinais de menos e vários pares de parênteses. Se você expandir os colchetes, movendo do interno para o externo, a solução será: −(−((−(5))))=−(−((−5)))=−(−(−5)) =−( 5)=−5.

Como abrir parênteses?

Aqui está uma explicação: −(−2 x) é +2 x, e como essa expressão vem primeiro, então +2 x pode ser escrito como 2 x, −(x2)=−x2, +(−1/ x)= −1/xe −(2 x y2:z)=−2 x y2:z. A primeira parte da regra escrita para abrir colchetes segue diretamente da regra para multiplicar números negativos. A segunda parte é uma consequência da regra para multiplicar números com sinais diferentes. Vamos passar para exemplos de expansão de colchetes em produtos e quocientes de dois números com sinais diferentes.

Abertura de colchetes: regras, exemplos, soluções.

A regra acima leva em consideração toda a cadeia dessas ações e acelera significativamente o processo de abertura de parênteses. A mesma regra permite abrir colchetes em expressões que são produtos e expressões privadas com um sinal de menos que não são somas e diferenças.

Considere exemplos da aplicação desta regra. Damos a regra correspondente. Acima, já encontramos expressões da forma −(a) e −(−a), que sem colchetes são escritas como −a e a, respectivamente. Por exemplo, −(3)=3, e. Estes são casos especiais da regra declarada. Agora considere exemplos de colchetes de abertura quando somas ou diferenças são incluídas neles. Mostraremos exemplos do uso dessa regra. Denote a expressão (b1+b2) como b, após o que usamos a regra para multiplicar o colchete pela expressão do parágrafo anterior, temos (a1+a2) (b1+b2)=(a1+a2) b=( a1b+a2b)=a1b+a2b.

Por indução, essa afirmação pode ser estendida a um número arbitrário de termos em cada colchete. Resta abrir os colchetes na expressão resultante, usando as regras dos parágrafos anteriores, como resultado, obtemos 1 3 x y−1 2 x y3−x 3 x y+x 2 x y3.

A regra em matemática é a abertura de colchetes se houver (+) e (-) na frente dos colchetes, uma regra muito necessária

Esta expressão é o produto de três fatores (2+4), 3 e (5+7 8). Os colchetes devem ser abertos sequencialmente. Agora usamos a regra para multiplicar um colchete por um número, temos ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8). Potências cujas bases são algumas expressões escritas entre parênteses, com indicadores naturais pode ser pensado como um produto de vários parênteses.

Por exemplo, vamos transformar a expressão (a+b+c)2. Primeiro, escrevemos como um produto de dois colchetes (a + b + c) (a + b + c), agora multiplicamos o colchete por colchetes, obtemos a a + a b + a c + b a + b b+b c+ c a+c b+c c.

Digamos também que para aumentar as somas e diferenças de dois números em grau naturalé aconselhável usar a fórmula binomial de Newton. Por exemplo, (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2. Não é menos conveniente substituir preliminarmente a divisão pela multiplicação e, em seguida, usar a regra apropriada para abrir colchetes no produto.

Resta descobrir a ordem de abertura dos colchetes usando exemplos. Pegue a expressão (−5)+3 (−2):(−4)−6 (−7). Substitua esses resultados na expressão original: (−5)+3 (−2):(−4)−6 (−7)=(−5)+(3 2:4)−(−6 7) . Resta apenas completar a abertura dos colchetes, como resultado temos −5+3 2:4+6 7. Isso significa que ao passar do lado esquerdo da igualdade para o lado direito, os colchetes foram abertos.

Observe que em todos os três exemplos, simplesmente removemos os parênteses. Primeiro, adicione 445 a 889. Essa ação mental pode ser realizada, mas não é muito fácil. Vamos abrir os colchetes e ver que a ordem alterada das operações simplificará bastante os cálculos.

Como abrir parênteses em um grau diferente

Exemplo ilustrativo e regra. Considere um exemplo: . Você pode encontrar o valor da expressão adicionando 2 e 5 e, em seguida, obtendo o número resultante com o sinal oposto. A regra não muda se não houver dois, mas três ou mais termos entre parênteses. Comente. Os sinais são invertidos apenas na frente dos termos. Para abrir parênteses, este caso lembre-se da propriedade distributiva.

Números únicos entre parênteses

Seu erro não está nos sinais, mas na trabalho errado com frações? No 6º ano, deparamo-nos com resultados positivos e números negativos. Como vamos resolver exemplos e equações?

Quanto está entre parênteses? O que pode ser dito sobre essas expressões? Claro, o resultado do primeiro e segundo exemplos é o mesmo, então você pode colocar um sinal de igual entre eles: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. Então o que fizemos com os colchetes?

Demonstração do slide 6 com as regras de abertura de colchetes. Assim, as regras para abrir colchetes nos ajudarão a resolver exemplos, simplificar expressões. Em seguida, os alunos são convidados a trabalhar em pares: é necessário conectar a expressão contendo colchetes com a expressão correspondente sem colchetes com setas.

Slide 11 Era uma vez Cidade ensolarada Znayka e Dunno discutiram qual deles resolveu a equação corretamente. Em seguida, os alunos resolvem a equação de forma independente, aplicando as regras de abertura de colchetes. Resolvendo equações ”Objetivos da lição: educacional (fixando ZUNs no tópico:“ Abrindo colchetes.

Tópico da lição: “Abrindo parênteses. Nesse caso, você precisa multiplicar cada termo dos primeiros colchetes por cada termo dos segundos colchetes e, em seguida, adicionar os resultados. Primeiro, são tomados os dois primeiros fatores, incluídos em mais um colchete, e dentro desses colchetes, os colchetes são abertos de acordo com uma das regras já conhecidas.

rawalan.freezeet.ru

Abertura de colchetes: regras e exemplos (7ª série)

A principal função dos colchetes é alterar a ordem das ações ao calcular os valores expressões numéricas . Por exemplo, dentro em termos numéricos\(5 3+7\) a multiplicação será calculada primeiro e depois a adição: \(5 3+7 =15+7=22\). Mas na expressão \(5·(3+7)\), a adição entre parênteses será calculada primeiro, e só depois a multiplicação: \(5·(3+7)=5·10=50\).

No entanto, se estamos lidando com expressão algébrica contendo variável- por exemplo, assim: \ (2 (x-3) \) - então é impossível calcular o valor entre colchetes, a variável interfere. Portanto, neste caso, os colchetes são “abertos”, utilizando-se as regras apropriadas para isso.

Regras de expansão de colchetes

Se houver um sinal de mais antes do colchete, o colchete é simplesmente removido, a expressão nele permanece inalterada. Em outras palavras:

Aqui é necessário esclarecer que em matemática, para reduzir entradas, costuma-se não escrever o sinal de mais se for o primeiro da expressão. Por exemplo, se adicionarmos dois números positivos, por exemplo, sete e três, não escrevemos \(+7+3\), mas simplesmente \(7+3\), apesar de sete também ser número positivo. Da mesma forma, se você vir, por exemplo, a expressão \((5+x)\) - saiba que há um sinal de mais na frente do colchete, que não está escrito.

Exemplo . Abra o colchete e dê termos semelhantes: \((x-11)+(2+3x)\).
Solução : \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).

Se houver um sinal de menos na frente do colchete, quando o colchete for removido, cada membro da expressão dentro dele mudará o sinal para o oposto:

Aqui é necessário esclarecer que a, enquanto estava entre colchetes, tinha um sinal de mais (eles simplesmente não o escreveram) e, após remover o colchete, esse mais mudou para menos.

Exemplo : Simplifique a expressão \(2x-(-7+x)\).
Solução : há dois termos dentro do colchete: \(-7\) e \(x\), e há um menos antes do colchete. Isso significa que os sinais mudarão - e o sete estará agora com mais e o x com menos. abra o suporte e trazer termos semelhantes .

Exemplo. Expanda o colchete e dê termos semelhantes \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Solução : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Se houver um fator na frente do colchete, cada membro do colchete será multiplicado por ele, ou seja:

Exemplo. Expanda os colchetes \(5(3-x)\).
Solução : Temos \(3\) e \(-x\) entre parênteses e um cinco na frente dos parênteses. Isso significa que cada membro do colchete é multiplicado por \ (5 \) - lembro que o sinal de multiplicação entre um número e um colchete em matemática não é escrito para reduzir o tamanho dos registros.

Exemplo. Expanda os colchetes \(-2(-3x+5)\).
Solução : Como no exemplo anterior, \(-3x\) e \(5\) entre colchetes são multiplicados por \(-2\).

Resta considerar a última situação.

Ao multiplicar parênteses por parênteses, cada termo do primeiro parêntese é multiplicado por cada termo do segundo:

Exemplo. Expanda os colchetes \((2-x)(3x-1)\).
Solução : Temos um produto de colchetes e ele pode ser aberto imediatamente usando a fórmula acima. Mas para não ficar confuso, vamos fazer tudo passo a passo.
Etapa 1. Removemos o primeiro colchete - cada um de seus membros é multiplicado pelo segundo colchete:

Etapa 2. Expanda os produtos do colchete pelo fator conforme descrito acima:
- o primeiro primeiro...

Passo 3. Agora multiplicamos e trazemos termos semelhantes:

Não é necessário pintar todas as transformações em detalhes, você pode multiplicar imediatamente. Mas se você está apenas aprendendo a abrir colchetes - escreva em detalhes, haverá menos chance de cometer um erro.

Nota para toda a seção. Na verdade, você não precisa se lembrar de todas as quatro regras, você só precisa se lembrar de uma, esta: \(c(a-b)=ca-cb\) . Por quê? Porque se substituirmos um em vez de c, obtemos a regra \((a-b)=a-b\) . E se substituirmos menos um, obtemos a regra \(-(a-b)=-a+b\) . Bem, se você substituir outro colchete em vez de c, você pode obter a última regra.

parênteses dentro de parênteses

Às vezes, na prática, há problemas com colchetes aninhados dentro de outros colchetes. Aqui está um exemplo de tal tarefa: simplificar a expressão \(7x+2(5-(3x+y))\).

Para ter sucesso nessas tarefas, você precisa:
- entenda cuidadosamente o aninhamento de colchetes - qual está em qual;
- abra os colchetes sequencialmente, começando, por exemplo, pelo mais interno.

É importante ao abrir um dos suportes não toque no resto da expressão, apenas reescrevendo-o como está.
Vamos pegar a tarefa acima como exemplo.

Exemplo. Abra os colchetes e dê termos semelhantes \(7x+2(5-(3x+y))\).
Solução:

Vamos começar a tarefa abrindo o suporte interno (o de dentro). Ao abri-lo, estamos lidando apenas com o fato de estar diretamente relacionado a ele - este é o próprio colchete e o menos na frente dele (destacado em verde). Todo o resto (não selecionado) é reescrito como estava.

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Simplificação polinomial.
Multiplicação de polinômios.

Com este programa matemático, você pode simplificar um polinômio.
Enquanto o programa está em execução:
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Um pouco de teoria.

O produto de um monômio e um polinômio. O conceito de polinômio

Entre as várias expressões consideradas na álgebra, as somas de monômios ocupam um lugar importante. Aqui estão alguns exemplos de tais expressões:

A soma dos monômios é chamada de polinômio. Os termos em um polinômio são chamados de membros do polinômio. Os mononômios também são chamados de polinômios, considerando um monômio como um polinômio que consiste em um membro.

Representamos todos os termos como monômios da forma padrão:

Damos termos semelhantes no polinômio resultante:

O resultado é um polinômio, todos os membros do qual são monômios da forma padrão e entre eles não há semelhantes. Esses polinômios são chamados polinômios de forma padrão.

Por grau polinomial formulário padrão tomar o maior dos poderes de seus membros. Assim, um binômio tem um terceiro grau e um trinômio tem um segundo.

Normalmente, os termos de polinômios de forma padrão contendo uma variável são organizados em ordem decrescente de seus expoentes. Por exemplo:

A soma de vários polinômios pode ser convertida (simplificada) em um polinômio de forma padrão.

Às vezes, os membros de um polinômio precisam ser divididos em grupos, colocando cada grupo entre parênteses. Como os parênteses são o oposto dos parênteses, é fácil formular regras de abertura de parênteses:

Se o sinal + for colocado antes dos colchetes, os termos entre colchetes serão escritos com os mesmos sinais.

Se um sinal "-" for colocado na frente dos colchetes, os termos entre colchetes serão escritos com sinais opostos.

Transformação (simplificação) do produto de um monômio e um polinômio

Usando a propriedade distributiva da multiplicação, pode-se transformar (simplificar) o produto de um monômio e um polinômio em um polinômio. Por exemplo:

O produto de um monômio e de um polinômio é identicamente igual à soma dos produtos desse monômio e cada um dos termos do polinômio.

Este resultado é geralmente formulado como uma regra.

Para multiplicar um monômio por um polinômio, deve-se multiplicar esse monômio por cada um dos termos do polinômio.

Usamos repetidamente essa regra para multiplicar por uma soma.

O produto de polinômios. Transformação (simplificação) do produto de dois polinômios

Em geral, o produto de dois polinômios é identicamente igual à soma do produto de cada termo de um polinômio e cada termo do outro.

Geralmente use a seguinte regra.

Para multiplicar um polinômio por um polinômio, você precisa multiplicar cada termo de um polinômio por cada termo do outro e adicionar os produtos resultantes.

Fórmulas de multiplicação abreviadas. Quadrados de Soma, Diferença e Diferença

Algumas expressões em transformações algébricas precisam ser tratadas com mais frequência do que outras. Talvez as expressões mais comuns sejam e, ou seja, o quadrado da soma, o quadrado da diferença e a diferença de quadrados. Você notou que os nomes dessas expressões parecem incompletos, então, por exemplo, - isso, é claro, não é apenas o quadrado da soma, mas o quadrado da soma de a e b. No entanto, o quadrado da soma de a e b não é tão comum, como regra, em vez das letras a e b, contém várias expressões, às vezes bastante complexas.

As expressões são fáceis de converter (simplificar) em polinômios da forma padrão; de fato, você já encontrou essa tarefa ao multiplicar polinômios:

As identidades resultantes são úteis para serem lembradas e aplicadas sem cálculos intermediários. Formulações verbais curtas ajudam nisso.

- o quadrado da soma é igual à soma dos quadrados e duas vezes o produto.

- o quadrado da diferença é igual à soma dos quadrados sem o duplo produto.

- a diferença de quadrados é igual ao produto da diferença pela soma.

Essas três identidades permitem transformações para substituir suas partes esquerdas por direitas e vice-versa - partes direitas por esquerdas. O mais difícil neste caso é ver as expressões correspondentes e entender o que as variáveis ​​a e b são substituídas nelas. Vejamos alguns exemplos de uso de fórmulas de multiplicação abreviadas.

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Expansão do suporte

Continuamos a estudar os fundamentos da álgebra. NO esta lição aprenderemos como abrir colchetes em expressões. Expandir colchetes significa livrar a expressão desses colchetes.

Para abrir colchetes, você precisa aprender de cor apenas duas regras. Com a prática regular, você pode abrir colchetes com olhos fechados, e aquelas regras que precisavam ser memorizadas podem ser esquecidas com segurança.

A primeira regra da expansão de parênteses

Considere a seguinte expressão:

O valor desta expressão é 2 . Vamos abrir os colchetes nesta expressão. Expandir parênteses significa livrar-se deles sem afetar o significado da expressão. Ou seja, após eliminar os colchetes, o valor da expressão 8+(−9+3) ainda deve ser igual a dois.

A primeira regra de expansão de parênteses se parece com isso:

Ao abrir colchetes, se houver um sinal de mais antes dos colchetes, esse sinal de mais será omitido junto com os colchetes.

Então vemos que na expressão 8+(−9+3) há um plus na frente dos colchetes. Este mais deve ser omitido junto com os parênteses. Em outras palavras, os colchetes desaparecerão junto com o sinal de mais que estava na frente deles. E o que estava entre colchetes será escrito inalterado:

8−9+3 . Esta expressãoé igual a 2 , como a expressão anterior entre parênteses era igual a 2 .

8+(−9+3) e 8−9+3

8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3

Exemplo 2 Expandir colchetes em uma expressão 3 + (−1 − 4)

Há um sinal de mais na frente dos colchetes, então esse sinal de mais é omitido junto com os colchetes. O que estava entre colchetes permanecerá inalterado:

3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4

Exemplo 3 Expandir colchetes em uma expressão 2 + (−1)

NO este exemplo a abertura dos colchetes tornou-se uma espécie de operação inversa de substituir a subtração pela adição. O que isto significa?

Na expressão 2−1 ocorre a subtração, mas pode ser substituída pela adição. Então você obtém a expressão 2+(−1) . Mas se na expressão 2+(−1) abra os colchetes, você obtém o original 2−1 .

Portanto, a primeira regra de expansão de colchetes pode ser usada para simplificar expressões após algumas transformações. Ou seja, livrar-se de colchetes e torná-lo mais fácil.

Por exemplo, vamos simplificar a expressão 2a+a−5b+b .

Para simplificar esta expressão, podemos adicionar termos semelhantes. Lembre-se que para trazer termos semelhantes, você precisa adicionar os coeficientes de termos semelhantes e multiplicar o resultado pela parte da letra comum:

Tem uma expressão 3a+(−4b). Nesta expressão, abra os colchetes. Há um mais antes dos colchetes, então usamos a primeira regra para abrir colchetes, ou seja, omitimos os colchetes junto com o mais que vem antes desses colchetes:

Então a expressão 2a+a−5b+b simplificado para 3a−4b .

Tendo aberto um parênteses, outros podem se encontrar ao longo do caminho. Aplicamos-lhes as mesmas regras que ao primeiro. Por exemplo, vamos expandir os colchetes na seguinte expressão:

Há dois lugares onde você precisa expandir os colchetes. Nesse caso, aplica-se a primeira regra para expandir os parênteses, ou seja, omitir os parênteses junto com o sinal de mais que vem antes desses parênteses:

2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6

Exemplo 3 Expandir colchetes em uma expressão 6+(−3)+(−2)

Nos dois lugares onde há colchetes, eles são precedidos por um sinal de mais. Aqui, novamente, a primeira regra de expansão de parênteses se aplica:

Às vezes, o primeiro termo entre parênteses é escrito sem sinal. Por exemplo, na expressão 1+(2+3−4) primeiro termo entre parênteses 2 escrito sem sinal. Surge a questão, que sinal virá antes do deuce depois que os colchetes e o sinal de mais na frente dos colchetes forem omitidos? A resposta sugere-se - haverá um plus na frente do empate.

Na verdade, mesmo estando entre parênteses, há um plus na frente do deuce, mas não o vemos devido ao fato de não estar escrito. Já dissemos que a notação completa de números positivos se parece com +1, +2, +3. Mas as vantagens não são tradicionalmente escritas, e é por isso que vemos os números positivos que nos são familiares. 1, 2, 3 .

Portanto, para abrir parênteses em uma expressão 1+(2+3−4) , você precisa omitir os colchetes como de costume junto com o sinal de mais na frente desses colchetes, mas escreva o primeiro termo que estava entre colchetes com um sinal de mais:

1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4

Exemplo 4 Expandir colchetes em uma expressão −5 + (2 − 3)

Há um mais na frente dos colchetes, então aplicamos a primeira regra para abrir colchetes, ou seja, omitimos os colchetes junto com o mais que vem antes desses colchetes. Mas o primeiro termo, que está escrito entre parênteses com um sinal de mais:

−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3

Exemplo 5 Expandir colchetes em uma expressão (−5)

Há um sinal de mais antes do parêntese, mas não está escrito devido ao fato de não haver outros números ou expressões antes dele. Nossa tarefa é remover os colchetes aplicando a primeira regra para expandir colchetes, ou seja, omitindo os colchetes junto com este mais (mesmo que seja invisível)

Exemplo 6 Expandir colchetes em uma expressão 2a + (−6a + b)

Há um sinal de mais na frente dos colchetes, então esse sinal de mais é omitido junto com os colchetes. O que estava entre parênteses será escrito inalterado:

2a + (−6a + b) = 2a −6a + b

Exemplo 7 Expandir colchetes em uma expressão 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)

Nesta expressão, há dois lugares onde você precisa abrir os colchetes. Em ambas as seções, há um sinal de mais na frente dos colchetes, o que significa que esse mais é omitido junto com os colchetes. O que estava entre parênteses será escrito inalterado:

5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a −7b + 6c + 3a − 2d

A segunda regra para abrir parênteses

Agora vamos olhar para a segunda regra de expansão de parênteses. É usado quando há um menos antes dos parênteses.

Se houver um menos antes dos colchetes, esse menos será omitido junto com os colchetes, mas os termos que estavam nos colchetes mudam de sinal para o oposto.

Por exemplo, vamos expandir os colchetes na seguinte expressão

Vemos que há um sinal de menos antes dos colchetes. Portanto, você precisa aplicar a segunda regra de expansão, ou seja, omitir os colchetes junto com o menos na frente desses colchetes. Nesse caso, os termos que estavam entre colchetes mudarão de sinal para o oposto:

Temos uma expressão sem colchetes 5+2+3 . Essa expressão é igual a 10, assim como a expressão anterior com colchetes era igual a 10.

Assim, entre as expressões 5−(−2−3) e 5+2+3 você pode colocar um sinal de igual, pois eles são iguais ao mesmo valor:

5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3

Exemplo 2 Expandir colchetes em uma expressão 6 − (−2 − 5)

Há um menos antes dos colchetes, então aplicamos a segunda regra para abrir colchetes, ou seja, omitimos os colchetes junto com o menos que vem antes desses colchetes. Neste caso, os termos que estavam entre parênteses são escritos com sinais opostos:

6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5

Exemplo 3 Expandir colchetes em uma expressão 2 − (7 + 3)

Há um sinal de menos antes dos colchetes, então aplicamos a segunda regra para abrir colchetes:

Exemplo 4 Expandir colchetes em uma expressão −(−3 + 4)

Exemplo 5 Expandir colchetes em uma expressão −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)

Há dois lugares onde você precisa expandir os colchetes. No primeiro caso, você precisa aplicar a segunda regra para abrir colchetes e, quando chegar a vez, a expressão +(−9−2) você precisa aplicar a primeira regra:

−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2

Exemplo 6 Expandir colchetes em uma expressão −(−a−1)

Exemplo 7 Expandir colchetes em uma expressão −(4a + 3)

Exemplo 8 Expandir colchetes em uma expressão uma −(4b + 3) + 15

Exemplo 9 Expandir colchetes em uma expressão 2a + (3b − b) − (3c + 5)

Há dois lugares onde você precisa expandir os colchetes. No primeiro caso, você precisa aplicar a primeira regra para expandir os colchetes e, quando chegar a vez da expressão −(3c+5) você precisa aplicar a segunda regra:

2a + (3b − b) − (3c + 5) = 2a + 3b − b − 3c − 5

Exemplo 10 Expandir colchetes em uma expressão -uma − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)

Existem três lugares onde você precisa expandir os colchetes. Primeiro você precisa aplicar a segunda regra para expandir colchetes, depois a primeira e depois novamente a segunda:

-a - (-4a) + (-6b) - (-8c + 15) = −a + 4a - 6b + 8c - 15

Mecanismo de expansão de parênteses

As regras para abrir colchetes, que já consideramos, são baseadas na lei distributiva da multiplicação:

Na verdade abertura de colchetes chamar o procedimento quando fator comum multiplique por cada termo entre parênteses. Como resultado dessa multiplicação, os colchetes desaparecem. Por exemplo, vamos expandir os colchetes na expressão 3×(4+5)

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

Portanto, se você precisar multiplicar um número por uma expressão entre colchetes (ou multiplicar uma expressão entre colchetes por um número), precisará dizer abra os colchetes.

Mas como a lei distributiva da multiplicação se relaciona com as regras de abertura de colchetes que consideramos anteriormente?

O fato é que antes de qualquer parênteses existe um fator comum. No exemplo 3×(4+5) fator comum é 3 . E no exemplo a(b+c) fator comum é uma variável uma.

Se não houver números ou variáveis ​​antes dos colchetes, então o fator comum é 1 ou −1 , dependendo de qual caractere vem antes dos colchetes. Se houver um mais na frente dos colchetes, então o fator comum é 1 . Se houver um menos antes dos colchetes, então o fator comum é −1 .

Por exemplo, vamos expandir os colchetes na expressão −(3b−1). Há um menos antes dos colchetes, então você precisa usar a segunda regra para abrir colchetes, ou seja, omitir os colchetes junto com o menos antes dos colchetes. E a expressão que estava entre colchetes, escreva com sinais opostos:

Expandimos os parênteses usando a regra de expansão de parênteses. Mas esses mesmos colchetes podem ser abertos usando a lei distributiva da multiplicação. Para fazer isso, primeiro escrevemos o fator comum 1 na frente dos colchetes, que não foi escrito:

O menos que costumava ficar na frente dos suportes referia-se a esta unidade. Agora você pode abrir os colchetes aplicando a lei distributiva da multiplicação. Para isso, o fator comum −1 você precisa multiplicar por cada termo entre colchetes e adicionar os resultados.

Por conveniência, substituímos a diferença entre colchetes pela soma:

−1 (3b −1) = −1 (3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1

Como em última vez temos a expressão −3b+1. Todos concordarão que desta vez mais tempo foi gasto na resolução de um exemplo tão simples. Portanto, é mais razoável usar as regras prontas para abrir colchetes, que consideramos nesta lição:

Mas não custa saber como essas regras funcionam.

Nesta lição, aprendemos outra transformação idêntica. Juntamente com a abertura dos colchetes, tirando o geral dos colchetes e trazendo termos semelhantes, é possível ampliar um pouco o leque de tarefas a serem resolvidas. Por exemplo:

Aqui você precisa executar duas ações - primeiro abra os colchetes e depois traga os termos semelhantes. Então, na ordem:

1) Expanda os colchetes:

2) Damos termos semelhantes:

Na expressão resultante −10b+(−1) você pode abrir os colchetes:

Exemplo 2 Abra colchetes e adicione termos semelhantes na seguinte expressão:

1) Expanda os colchetes:

2) Apresentamos termos semelhantes. Desta vez, para economizar tempo e espaço, não vamos escrever como os coeficientes são multiplicados pela parte da letra comum

Exemplo 3 Simplifique a expressão 8m+3m e encontre seu valor em m=−4

1) Vamos simplificar a expressão primeiro. Para simplificar a expressão 8m+3m, você pode tirar o fator comum nele m para colchetes:

2) Encontre o valor da expressão m(8+3) no m=−4. Para isso, na expressão m(8+3) em vez de uma variável m substitua o número −4

m(8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (−4) × 3 = −32 + (−12) = −44

Neste artigo, vamos dar uma olhada nas regras básicas de tais tópico importante curso de matemática, como a abertura de colchetes. Você precisa conhecer as regras para abrir colchetes para resolver corretamente as equações nas quais eles são usados.

Como abrir parênteses corretamente ao adicionar

Expanda os colchetes precedidos pelo sinal "+"

Este é o caso mais simples, pois se houver um sinal de adição na frente dos colchetes, quando os colchetes são abertos, os sinais dentro deles não mudam. Exemplo:

(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.

Como abrir colchetes precedidos por um sinal "-"

Nesse caso, você precisa reescrever todos os termos sem colchetes, mas ao mesmo tempo alterar todos os sinais dentro deles para os opostos. Os sinais mudam apenas para os termos daqueles colchetes que foram precedidos pelo sinal “-”. Exemplo:

(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.

Como abrir colchetes na multiplicação

Os parênteses são precedidos por um multiplicador

Nesse caso, você precisa multiplicar cada termo por um fator e abrir os colchetes sem alterar os sinais. Se o multiplicador tiver o sinal "-", ao multiplicar, os sinais dos termos são invertidos. Exemplo:

3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.

Como abrir dois colchetes com um sinal de multiplicação entre eles

Nesse caso, você precisa multiplicar cada termo dos primeiros colchetes por cada termo dos segundos colchetes e, em seguida, adicionar os resultados. Exemplo:

(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.

Como abrir colchetes em um quadrado

Se a soma ou diferença de dois termos for elevada ao quadrado, os colchetes devem ser expandidos de acordo com a seguinte fórmula:

(x + y)^2 = x^2 + 2*x*y + y^2.

No caso de um menos dentro dos colchetes, a fórmula não muda. Exemplo:

(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.

Como abrir parênteses em um grau diferente

Se a soma ou diferença dos termos for elevada, por exemplo, à 3ª ou 4ª potência, basta quebrar o grau do colchete em “quadrados”. As potências dos mesmos fatores são somadas e, ao dividir, o grau do divisor é subtraído do grau do dividendo. Exemplo:

(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.

Como abrir 3 colchetes

Existem equações em que 3 colchetes são multiplicados de uma só vez. Nesse caso, você deve primeiro multiplicar os termos dos dois primeiros colchetes entre si e depois multiplicar a soma dessa multiplicação pelos termos do terceiro colchete. Exemplo:

(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.

Essas regras de abertura de colchetes se aplicam igualmente a equações lineares e trigonométricas.

Os parênteses são usados ​​para indicar a ordem em que as operações são executadas em números e expressões literais, bem como em expressões com variáveis. É conveniente passar de uma expressão com colchetes para uma expressão identicamente igual sem colchetes. Essa técnica é chamada de abertura de parênteses.

Expandir colchetes significa livrar a expressão desses colchetes.

Outro ponto merece atenção especial, que diz respeito às peculiaridades das soluções de escrita ao abrir colchetes. Podemos escrever a expressão inicial entre colchetes e o resultado obtido após a abertura dos colchetes como igualdade. Por exemplo, depois de abrir os parênteses, em vez da expressão
3−(5−7) obtemos a expressão 3−5+7. Podemos escrever ambas as expressões como a igualdade 3−(5−7)=3−5+7.

E mais um ponto importante. Em matemática, para reduzir entradas, é costume não escrever um sinal de mais se for o primeiro em uma expressão ou entre colchetes. Por exemplo, se adicionarmos dois números positivos, por exemplo, sete e três, escrevemos não +7 + 3, mas simplesmente 7 + 3, apesar de sete também ser um número positivo. Da mesma forma, se você vir, por exemplo, a expressão (5 + x) - saiba que há um mais na frente do colchete, que não está escrito, e há um mais + (+5 + x) na frente do cinco.

Regra de expansão de colchetes para adição

Ao abrir colchetes, se houver um sinal de mais antes dos colchetes, esse sinal de mais será omitido junto com os colchetes.

Exemplo. Abra os colchetes na expressão 2 + (7 + 3) Antes dos colchetes mais, os caracteres na frente dos números entre colchetes não mudam.

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

A regra para expandir colchetes ao subtrair

Se houver um menos antes dos colchetes, esse menos será omitido junto com os colchetes, mas os termos que estavam nos colchetes mudam de sinal para o oposto. A ausência de um sinal antes do primeiro termo entre parênteses implica um sinal +.

Exemplo. Abra colchetes na expressão 2 − (7 + 3)

Há um sinal de menos antes dos colchetes, então você precisa alterar os sinais antes dos números dos colchetes. Não há sinal entre parênteses antes do número 7, o que significa que o sete é positivo, considera-se que o sinal + está na frente dele.

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

Ao abrir os colchetes, removemos o menos do exemplo, que estava antes dos colchetes, e os próprios colchetes 2 − (+ 7 + 3), e trocamos os sinais que estavam nos colchetes pelos opostos.

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

Expandindo parênteses ao multiplicar

Se houver um sinal de multiplicação na frente dos colchetes, cada número dentro dos colchetes é multiplicado pelo fator na frente dos colchetes. Ao mesmo tempo, multiplicar um menos por um menos dá um mais, e multiplicar um menos por um mais, como multiplicar um mais por um menos, dá um menos.

Assim, os parênteses nas obras são expandidos de acordo com propriedade distributiva multiplicação.

Exemplo. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7

Ao multiplicar parênteses por parênteses, cada termo do primeiro parêntese é multiplicado por cada termo do segundo parêntese.

(2 + 3) (4 + 5) = 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5

Na verdade, não há necessidade de lembrar todas as regras, basta lembrar apenas uma, esta: c(a−b)=ca−cb. Por quê? Porque se substituirmos um em vez de c, obtemos a regra (a−b)=a−b. E se substituirmos menos um, obtemos a regra −(a−b)=−a+b. Bem, se você substituir outro colchete em vez de c, você pode obter a última regra.

Expandir parênteses ao dividir

Se houver um sinal de divisão após os colchetes, cada número dentro dos colchetes é divisível pelo divisor após os colchetes e vice-versa.

Exemplo. (9 + 6): 3=9: 3 + 6: 3

Como expandir parênteses aninhados

Se a expressão contiver colchetes aninhados, eles serão expandidos em ordem, começando com externo ou interno.

Ao mesmo tempo, ao abrir um dos colchetes, é importante não tocar nos outros colchetes, apenas reescrevê-los como estão.

Exemplo. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b

Continuo uma série de artigos metodológicos sobre o tema do ensino. É hora de considerar os recursos trabalho individual professor de matemática com alunos do 7º ano. Com muito prazer compartilho meus pensamentos sobre as formas de submissão de um dos principais tópicos curso de álgebra na 7ª série - "colchetes de abertura". Para não tentar abraçar a imensidão, vamos nos concentrar nela escola primária e analisar a metodologia do tutor com a multiplicação de um polinômio por um polinômio. Quão professor de matemática válido em situações difíceis, quando aluno fraco não percebe forma clássica explicações? Que tarefas devem ser preparadas para um aluno forte da sétima série? Vamos considerar essas e outras questões.

Parece, bem, o que é tão difícil? “Parênteses são fáceis”, dirá qualquer bom aluno. “Existe uma lei distributiva e propriedades de graus para trabalhar com monômios, um algoritmo geral para qualquer número de termos. Multiplique cada um por cada um e traga o igual. No entanto, nem tudo é tão simples no trabalho com os atrasados. Apesar dos esforços de um tutor de matemática, os alunos conseguem cometer erros de vários calibres mesmo nas transformações mais simples. A natureza dos erros é impressionante em sua diversidade: desde pequenas omissões de letras e sinais, até graves "erros de parada" sem saída.

O que impede o aluno de realizar corretamente as transformações? Por que há mal-entendidos?

Existem problemas individuais grande multidão e um dos principais entraves à assimilação e consolidação do material é a dificuldade na mudança de atenção oportuna e rápida, a dificuldade em processar uma grande quantidade de informações. Pode parecer estranho para alguns que eu estou falando grande volume, mas um aluno fraco da 7ª série pode não ter recursos de memória e atenção suficientes mesmo para quatro termos. Coeficientes, variáveis, graus (indicadores) interferem. O aluno confunde a sequência das operações, esquece quais monômios já foram multiplicados e quais permaneceram intocados, não consegue lembrar como foram multiplicados, etc.

Abordagem numérica do professor de matemática

Claro, você precisa começar com uma explicação da lógica da construção do próprio algoritmo. Como fazer isso? Precisamos definir a tarefa: como alterar a ordem das ações na expressão sem alterar o resultado? Muitas vezes dou exemplos explicando o funcionamento de certas regras em números específicos. E então eu os substituo por letras. A técnica para usar a abordagem numérica será descrita a seguir.

Problemas de motivação.
No início da aula, é difícil para um tutor de matemática reunir um aluno se ele não entender a relevância do que está sendo estudado. Dentro da estrutura do programa para as séries 6-7, é difícil encontrar exemplos de uso da regra de multiplicação polinomial. Destaco a necessidade de aprender alterar a ordem das ações em expressões O fato de que isso ajuda a resolver problemas, o aluno deve saber pela experiência de adicionar termos semelhantes. Ele também teve que adicioná-los ao resolver equações. Por exemplo, em 2x+5x+13=34 ele usa aquele 2x+5x=7x. Um tutor de matemática só precisa focar a atenção do aluno sobre isso.

Os professores de matemática costumam chamar a técnica de abertura de parênteses regra da fonte.

Esta imagem é bem lembrada e deve ser usada. Mas como essa regra é comprovada? Lembre-se da forma clássica usando transformações de identidade óbvias:

(a+b)(c+d)=(a+b) c+(a+b) d=ac+bc+ad+bd

É difícil para um professor de matemática comentar qualquer coisa aqui. As letras falam por si. Sim, e não é necessário para um aluno forte da 7ª série explicações detalhadas. No entanto, o que fazer com os fracos, que à queima-roupa não veem nenhum conteúdo nessa "mistura alfabética"?

O principal problema que dificulta a percepção da justificativa matemática clássica da "fonte" é a forma inusitada de escrever o primeiro fator. Nem no 5º ano nem no 6º ano o aluno teve que arrastar o primeiro parêntese para cada período do segundo. As crianças lidavam apenas com números (coeficientes), localizados, na maioria das vezes, à esquerda dos colchetes, por exemplo:

Ao final do 6º ano, o aluno desenvolve imagem visual objeto - uma certa combinação de sinais (ações) associados a colchetes. E qualquer desvio do olhar usual para algo novo pode desorientar um aluno da sétima série. É a imagem visual do par “número + colchete” que o tutor de matemática coloca em circulação ao explicar.

A seguinte explicação pode ser oferecida. O tutor argumenta: “Se houvesse algum número na frente do colchete, por exemplo 5, então poderíamos mudar o curso de ação nesta expressão? É claro. Vamos fazer isso então . Pense se seu resultado mudará se, em vez do número 5, inserirmos a soma de 2 + 3 entre colchetes? Qualquer aluno dirá ao tutor: "Que diferença faz como escrever: 5 ou 2 + 3." Maravilhoso. Obter um registro. O tutor de matemática faz uma pequena pausa para que o aluno se lembre visualmente da imagem-imagem do objeto. Em seguida, ele chama a atenção para o fato de que o colchete, assim como o número, "distribui" ou "salta" para cada termo. O que isto significa? Significa que esta operação pode ser realizado não apenas com um número, mas também com um colchete. Temos dois pares de fatores e . Com eles o máximo de os alunos podem lidar facilmente por conta própria e escrever o resultado para o tutor. É importante comparar os pares resultantes com o conteúdo dos colchetes 2+3 e 6+4 e ficará claro como eles abrem.

Se necessário, após o exemplo com números, o tutor de matemática realiza uma prova literal. Acaba sendo uma moleza pelas mesmas partes do algoritmo anterior.

Formação da habilidade de abrir colchetes

A formação da habilidade de multiplicar parênteses é uma das Milestones trabalho de um tutor em matemática com um tema. E ainda mais importante do que a etapa de explicar a lógica da regra da “fonte”. Por quê? As justificativas para as transformações serão esquecidas no dia seguinte, e a habilidade, se for formada e fixada no tempo, permanecerá. Os alunos realizam a operação mecanicamente, como se estivessem extraindo a tabuada da memória. Isso é o que precisa ser alcançado. Por quê? Se toda vez que o aluno abrir os colchetes, ele se lembrar por que abriu dessa forma e não de outra, ele esquecerá o problema que está resolvendo. É por isso que o professor de matemática passa o resto da aula transformando a compreensão em memorização. Essa estratégia é frequentemente usada em outros tópicos também.

Como um tutor pode desenvolver a habilidade de abrir colchetes em um aluno? Para isso, um aluno do 7º ano deve realizar uma série de exercícios em quantidade suficiente para consolidar. Isso levanta outro problema. Um aluno fraco da sétima série não consegue lidar com o aumento do número de transformações. Mesmo os pequenos. E os erros continuam vindo um após o outro. O que um professor de matemática deve fazer? Primeiro, é necessário recomendar a pintura de setas de cada termo para cada um. Se o aluno é muito fraco e não consegue mudar rapidamente de um tipo de trabalho para outro, perde a concentração ao seguir comandos simples do professor, então o próprio professor de matemática desenha essas setas. E não tudo de uma vez. Primeiro, o tutor conecta o primeiro termo do colchete esquerdo com cada termo do colchete direito e pede para realizar a multiplicação apropriada. Só depois disso as setas passam do segundo termo para o mesmo colchete direito. Em outras palavras, o tutor divide o processo em duas etapas. É melhor manter uma pequena pausa temporária (5-7 segundos) entre a primeira e a segunda operação.

1) Um conjunto de setas deve ser desenhado acima das expressões e outro conjunto abaixo delas.
2) É importante pular entre as linhas pelo menos par de células. Caso contrário, o registro será muito denso e as setas não apenas subirão para a linha anterior, mas também se misturarão com as setas do próximo exercício.

3) No caso de multiplicação de colchetes no formato 3 por 2, as setas são desenhadas do colchete curto para o longo. Caso contrário, essas "fontes" não serão duas, mas três. A implementação do terceiro é visivelmente mais complicada devido à falta de espaço livre para as setas.
4) as setas são sempre direcionadas de um ponto. Um dos meus alunos continuou tentando colocá-los lado a lado e foi o que ele fez:

Tal arranjo não permite destacar e fixar o prazo atual, com o qual o aluno trabalha em cada uma das etapas.

O trabalho dos dedos do tutor

4) Para manter a atenção um casal separado termos multiplicados, o professor de matemática coloca dois dedos sobre eles. Isso deve ser feito de forma a não bloquear a visão do aluno. Para os alunos mais desatentos, você pode usar o método "pulsação". O tutor de matemática traz o primeiro dedo para o início da seta (para um dos termos) e o fixa, e com o segundo “bate” na ponta (no segundo termo). A pulsação ajuda a focar a atenção no termo pelo qual o aluno se multiplica. Após a primeira multiplicação pelo colchete direito, o tutor de matemática diz: “Agora trabalhamos com outro termo”. O tutor move um “dedo fixo” para ele, e “pulsando” percorre os termos de outro colchete. A pulsação funciona como um "sinalizador de direção" em um carro e permite chamar a atenção de um aluno distraído sobre a operação que ele está realizando. Se a criança escreve pequeno, dois lápis são usados ​​​​em vez de dedos.

Otimização de repetição

Como no estudo de qualquer outro tópico no curso de álgebra, a multiplicação de polinômios pode e deve ser integrada ao material previamente abordado. Para fazer isso, o tutor de matemática usa tarefas especiais de ponte que permitem encontrar a aplicação do estudado em vários objetos matemáticos. Eles não apenas conectam os tópicos em um único todo, mas também organizam de maneira muito eficaz a repetição de todo o curso de matemática. E quanto mais pontes o tutor construir, melhor.

Tradicionalmente, nos livros didáticos de álgebra para o 7º ano, a abertura dos colchetes é integrada à solução de equações lineares. No final da lista de números há sempre tarefas da seguinte ordem: resolver a equação. Ao abrir os colchetes, os quadrados são reduzidos e a equação é facilmente resolvida por meio da aula 7. No entanto, por algum motivo, os autores de livros didáticos esquecem com segurança de traçar um gráfico de uma função linear. A fim de corrigir esta falha, eu aconselharia os professores de matemática a incluir colchetes em expressões analíticas funções lineares, por exemplo . Nesses exercícios, o aluno não apenas treina as habilidades de realizar transformações idênticas, mas também repete os gráficos. Você pode pedir para encontrar o ponto de interseção de dois "monstros", determinar arranjo mútuo linhas, encontrar os pontos de sua interseção com os eixos, etc.

Kolpakov A. N. Professor de matemática em Strogino. Moscou