Introducere
1.1 Concepte și definiții de bază
1.3 Formula Cardano
2. Rezolvarea problemelor
Concluzie
Introducere
Ecuații. Se poate spune cu siguranță că nu există o singură persoană care să nu fie familiarizată cu ele. De la o vârstă fragedă, copiii încep să rezolve „problemele cu X”. Mai departe mai mult. Adevărat, pentru mulți, cunoașterea ecuațiilor se termină cu treburile școlare. Celebrul matematician german Courant scria: „De mai bine de două mii de ani, deținerea unor cunoștințe, nu prea superficiale, în domeniul matematicii a fost o necesitate. parte integrantăîn inventarul intelectual al fiecăruia persoană educată". Și printre aceste cunoștințe a fost și capacitatea de a rezolva ecuații.
Deja în antichitate, oamenii și-au dat seama cât de important este să înveți cum să rezolvi ecuații algebrice de forma
a0xn + a1xn - 1 + ... + an = 0
la urma urmei, foarte multe și foarte diverse întrebări de practică și științe naturale se reduc la ele (desigur, aici putem presupune imediat că a0 ¹ 0, deoarece altfel gradul ecuației nu este de fapt n, ci mai mic). Mulți, desigur, au venit cu ideea tentantă de a găsi formule pentru orice putere a lui n care ar exprima rădăcinile ecuației în termeni de coeficienți, adică ar rezolva ecuația în radicali. Cu toate acestea, „evul mediu sumbru” s-a dovedit a fi cât se poate de sumbru în raport cu problema în discuție – timp de șapte secole întregi nimeni nu a găsit formulele cerute! Abia în secolul al XVI-lea, matematicienii italieni au reușit să meargă mai departe - să găsească formule pentru n \u003d 3 și 4. Istoria descoperirilor lor și chiar paternitatea formulelor găsite sunt destul de obscure până în prezent și nu vom afla. Aici relatie complicataîntre Ferro, Cardano, Tartaglia și Ferrari, dar să spunem mai bine esență matematică treburile.
Scopul lucrării este de a explora diverse metode de rezolvare a ecuațiilor de gradul trei.
Pentru a atinge acest obiectiv, este necesar să efectuați o serie de sarcini:
-Analiză literatura stiintifica;
-Analiza manualelor școlare;
-Selectarea exemplelor pentru rezolvare;
-Rezolvarea ecuațiilor prin diverse metode.
Lucrarea constă din două părți. Prima tratează diverse metode de rezolvare a ecuațiilor. A doua parte este dedicată rezolvării ecuațiilor căi diferite.
1. Partea teoretică
1 Concepte și definiții de bază
O ecuație cubică este o ecuație de gradul trei a formei:
Numărul x care transformă ecuația într-o identitate se numește rădăcina sau soluția ecuației. Este, de asemenea, rădăcina unui polinom de gradul al treilea, care se află în partea stângă a notației canonice.
Peste câmpul numerelor complexe, conform teoremei fundamentale a algebrei, o ecuație cubică are întotdeauna 3 rădăcini (ținând cont de multiplicitate).
Deoarece fiecare polinom real nu este chiar gradul are cel puțin o rădăcină reală, toate cazurile posibile de compoziție a rădăcinilor unei ecuații cubice sunt epuizate de cele trei descrise mai jos. Aceste cazuri sunt ușor de distins folosind discriminant
Deci sunt doar trei cazuri posibile:
În cazul în care un? > 0, atunci ecuația are trei rădăcini reale diferite.
În cazul în care un?< 0, то уравнение имеет один вещественный и пару комплексно сопряжённых корней.
În cazul în care un? = 0, atunci cel puțin două rădăcini coincid. Aceasta poate fi atunci când ecuația are o rădăcină reală dublă și o altă rădăcină reală diferită de acestea; sau, toate cele trei rădăcini coincid, formând o rădăcină a multiplicității 3. Rezultanta ecuației cubice și derivata a doua a acesteia ajută la separarea acestor două cazuri: polinomul are o rădăcină de multiplicitate 3 dacă și numai dacă rezultanta indicată este de asemenea zero.
Rădăcinile unei ecuații cubice sunt legate de coeficienți după cum urmează:
1.2 Metode de rezolvare a ecuațiilor cubice
Cea mai comună metodă de rezolvare a ecuațiilor cubice este metoda de enumerare.
Mai întâi, prin enumerare, găsim una dintre rădăcinile ecuației. Adevărul este că ecuații cubice intotdeauna am macar unu rădăcină adevărată, iar rădăcina întreagă a ecuației cubice cu coeficienți întregi este un divizor al termenului liber d. Coeficienții acestor ecuații sunt de obicei aleși astfel încât rădăcina dorită să se afle între numere întregi mici, cum ar fi: 0, ± 1, ± 2, ± 3. Prin urmare, vom căuta rădăcina printre aceste numere și o vom verifica prin substituirea acesteia în ecuația. Rata de succes cu această abordare este foarte mare. Să presupunem această rădăcină.
A doua etapă a soluției este împărțirea polinomului cu binomul x - x1. Conform teoremei lui Bezout, această împărțire fără rest este posibilă și, ca urmare, obținem un polinom de gradul doi, care trebuie egalat cu zero. Rezolvând ecuația pătratică rezultată, vom găsi (sau nu) cele două rădăcini rămase.
Rezolvarea unei ecuații cubice cu doi termeni
Ecuația cubică cu doi termeni are forma (2)
Această ecuație este redusă la forma prin împărțirea la un coeficient A diferit de zero. În continuare, se aplică formula pentru înmulțirea prescurtată a sumei cuburilor:
Din prima paranteză găsim, iar trinomul pătrat are doar rădăcini complexe.
Ecuații cubice recurente
Ecuația cubică reciprocă are forma și coeficienții B.
Să grupăm:
Evident, x=-1 este rădăcina unei astfel de ecuații, iar rădăcinile trinomului pătrat rezultat sunt ușor de găsit prin discriminant.
1.3 Formula Cardano
LA caz general, rădăcinile ecuației cubice se găsesc prin formula Cardano.
Pentru ecuația cubică (1), valorile se găsesc folosind substituția: x= (2), iar ecuația se reduce la forma:
o ecuație cubică incompletă în care nu va exista niciun termen care să conțină gradul doi.
Presupunem că ecuația are coeficienți numere complexe. Această ecuație va avea întotdeauna rădăcini complexe.
Să notăm una dintre aceste rădăcini: . Introducem o necunoscută auxiliară u și considerăm polinomul f(u)=.
Să notăm rădăcinile acestui polinom prin? și?, conform teoremei Viette (vezi p. 8):
Înlocuind în ecuația (3), expresia (4), obținem:
De cealaltă parte a (5): (7)
Rezultă de aici, adică din formulele (6), (7), că numerele sunt rădăcinile ecuației:
Din ultima ecuație:
Celelalte două rădăcini se găsesc după formula:
1.4 formula trigonometrică Vieta
Această formulă găsește soluții la ecuația cubică redusă, adică o ecuație de formă
Evident, orice ecuație cubică poate fi redusă la o ecuație de forma (4) prin simpla împărțire a acesteia la coeficientul a. Deci, algoritmul pentru aplicarea acestei formule:
calculati
2. Calculați
3. a) Dacă, atunci calculează
Și ecuația noastră are 3 rădăcini (reale):
b) Dacă, atunci înlocuiți funcții trigonometrice hiperbolic.
calculati
Apoi singura rădăcină (reala):
Rădăcini imaginare:
C) Dacă, atunci ecuația are mai puțin de trei diverse solutii:
2. Rezolvarea problemelor
Exemplul 1. Aflați rădăcinile reale ale unei ecuații cubice
Aplicăm formula pentru înmulțirea prescurtată a diferenței de cuburi:
Din prima paranteză aflăm că trinomul pătrat din a doua paranteză nu are rădăcini reale, deoarece discriminantul este negativ.
Exemplul 2. Rezolvați ecuația
Această ecuație este reciprocă. Să grupăm:
este rădăcina ecuației. Găsirea rădăcinilor unui trinom pătrat
Exemplul 3. Aflați rădăcinile unei ecuații cubice
Să transformăm ecuația în cea redusă: înmulțim cu ambele părți și facem o schimbare de variabilă.
Membrul liber este 36. Să notăm toți divizorii săi:
Le substituim pe rând în egalitate până când obținem identitatea:
Astfel, este rădăcina. Se potriveste
Împărțiți folosind schema lui Horner.
Coeficienți polinomi2-11129-0,52-11+2*(-0,5)=-1212-12*(-0,5)=189+18*(-0,5)=0
Primim
Să găsim rădăcinile trinomului pătrat:
Evident, adică rădăcina sa multiplă este.
Exemplul 4. Aflați rădăcinile reale ale ecuației
este rădăcina ecuației. Aflați rădăcinile unui trinom pătrat.
Din moment ce discriminantul mai putin de zero, atunci trinomul nu are rădăcini reale.
Exemplul 5. Aflați rădăcinile ecuației cubice 2.
Prin urmare,
Inlocuim in formula Cardano:
ia trei valori. Să le scriem.
Când avem
Când avem
Când avem
Să împărțim aceste valori în perechi, care în produs dau
Prima pereche de valori și
A doua pereche de valori și
A treia pereche de valori și
Înapoi la formula Cardano
Prin urmare,
Concluzie
ecuația trinomială cubică
Ca urmare a executării termen de hârtie au fost investigate diverse metode de rezolvare a ecuatiilor de gradul III, precum metoda enumerarii, formula lui Carano, formula lui Vieta, metode de rezolvare a ecuatiilor reciproce, cu doi termeni.
Lista surselor utilizate
1)Bronstein I.N., Semendyaev K.A. „Manual de matematică pentru ingineri și studenți ai universităților tehnice”, M., 1986.
2)Kolmogorov A.N. Algebra și începuturile analizei. Ghid de studiu pentru clasa a IX-a liceu, 1977.
)Omelchenko V.P. Matematică: tutorial/ V.P. Omelcenko, E.V. Kurbatova. - Rostov n/a.: Phoenix, 2005.- 380s.
Îndrumare
Ai nevoie de ajutor pentru a învăța un subiect?
Experții noștri vă vor consilia sau vă vor oferi servicii de îndrumare pe subiecte care vă interesează.
Trimiteți o cerere indicând subiectul chiar acum pentru a afla despre posibilitatea de a obține o consultație.
Aflați cum să rezolvați ecuații cubice. Se ia în considerare cazul când o rădăcină este cunoscută. Metode de găsire a numerelor întregi și rădăcini raționale. Aplicarea formulelor Cardano și Vieta pentru a rezolva orice ecuație cubică.
Aici luăm în considerare soluția ecuațiilor cubice de forma
(1)
.
Mai mult, presupunem că aceasta este numere reale.
(2)
,
apoi împărțind-o la , obținem o ecuație de forma (1) cu coeficienți
.
Ecuația (1) are trei rădăcini: , și . Una dintre rădăcini este întotdeauna reală. Notăm rădăcina reală ca . Rădăcinile și pot fi conjugate reale sau complexe. Rădăcinile reale pot fi multiple. De exemplu, dacă , atunci și sunt rădăcini duble (sau rădăcini de multiplicitate 2), și este o rădăcină simplă.
Dacă se cunoaşte o singură rădăcină
Să cunoaștem o rădăcină a ecuației cubice (1). Denota rădăcină cunoscută la fel de . Apoi împărțind ecuația (1) la , obținem o ecuație pătratică. Rezolvând ecuația pătratică, găsim încă două rădăcini și .
Pentru demonstrație, folosim faptul că polinomul cubic poate fi reprezentat ca:
.
Apoi, împărțind (1) la , obținem o ecuație pătratică.
Pe pagină sunt prezentate exemple de împărțire a polinoamelor
„Împărțirea și înmulțirea unui polinom cu un polinom cu un colț și o coloană”.
Soluția ecuațiilor pătratice este considerată pe pagină
„Rădăcinile unei ecuații pătratice”.
Dacă una dintre rădăcini este
Dacă ecuația inițială este:
(2)
,
iar coeficienții săi , , , sunt numere întregi, atunci puteți încerca să găsiți o rădăcină întreagă. Dacă această ecuație are o rădăcină întreagă, atunci este un divizor al coeficientului. Metoda de căutare a rădăcinilor întregi este că găsim toți divizorii unui număr și verificăm dacă ecuația (2) este valabilă pentru ei. Dacă ecuația (2) este satisfăcută, atunci i-am găsit rădăcina. Să-l notăm ca . În continuare, împărțim ecuația (2) la . Obținem o ecuație pătratică. Rezolvând-o, găsim încă două rădăcini.
Pe pagină sunt date exemple de definire a rădăcinilor întregi
Exemple de factorizare a polinoamelor > > > .
Găsirea rădăcinilor raționale
Dacă în ecuația (2), , , , sunt numere întregi și , și nu există rădăcini întregi, atunci puteți încerca să găsiți rădăcini raționale, adică rădăcini de forma , unde și sunt numere întregi.
Pentru a face acest lucru, înmulțim ecuația (2) cu și facem înlocuirea:
;
(3)
.
În continuare, căutăm rădăcini întregi ale ecuației (3) printre divizorii termenului liber.
Dacă am găsit o rădăcină întreagă a ecuației (3), atunci, revenind la variabila , obținem rădăcină rațională ecuații (2):
.
Formule Cardano și Vieta pentru rezolvarea unei ecuații cubice
Dacă nu cunoaștem o singură rădăcină și nu există rădăcini întregi, atunci putem găsi rădăcinile unei ecuații cubice folosind formulele lui Cardano.
Luați în considerare ecuația cubică:
(1)
.
Să facem o înlocuire:
.
După aceea, ecuația este redusă la o formă incompletă sau redusă:
(4)
,
Unde
(5)
;
.
Referinte:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți ai instituțiilor de învățământ superior, Lan, 2009.
G. Korn, Manual de matematică pentru oameni de științăși ingineri, 2012.
Ecuația cubică - ecuație algebrică gradul trei. Vedere generală a ecuației cubice: ax3 + bx2 + cx + d = 0, a ≠ 0
Înlocuind x în această ecuație cu o nouă necunoscută y asociată cu x prin egalitatea x = y - (b / 3a), ecuația cubică poate fi redusă la o formă mai simplă (canonică): y3 + pu + q = 0, unde p = - b2 + c , q = 2b – bc + d
3a2 a 27a3 3a2 a soluția acestei ecuații poate fi obținută folosind formula Cardano.
1.1 Istoria ecuațiilor cubice
Termenul „ecuație cubică” a fost introdus de R. Descartes (1619) și W. Outred (1631).
Primele încercări de a găsi soluții la probleme care se reduc la ecuații cubice au fost făcute de matematicienii antici (de exemplu, problemele de dublare a unui cub și trisectare a unui unghi).
Matematicienii din Evul Mediu din Orient au creat destul teoria dezvoltată(în formă geometrică) ecuații cubice; este descrisă cel mai în detaliu în tratatul despre dovezile problemelor de algebră și almukabala „Omar Haya” (circa 1070), unde problema găsirii rădăcini pozitive 14 tipuri de ecuații cubice care conțin numai termeni cu coeficienți pozitivi în ambele părți.
Pentru prima dată în Europa formă trigonometrică o soluție la un caz de ecuație cubică a fost dată de Viet (1953).
Prima soluție în radicali a unuia dintre tipurile de ecuații cubice a fost găsită de S. Ferro (circa 1515), dar nu a fost publicată. Descoperirea a fost repetată independent de Tartaglia (1535), indicând o regulă pentru rezolvarea altor două tipuri de ecuații cubice. Aceste descoperiri au fost publicate în 1545 de către G. Cardano, care a menționat paternitatea lui N. Tartaglia.
La sfârşitul secolului al XV-lea. Profesor de Matematică la Universitățile din Roma și Milano Luca Pacioli în celebrul său manual „Suma cunoștințelor în aritmetică, geometrie, relații și proporționalitate” problema găsirii metoda generala pentru rezolvarea ecuațiilor cubice, a pus-o la egalitate cu problema pătrarii unui cerc. Și totuși, prin eforturile algebriștilor italieni, o astfel de metodă a fost găsită curând.
Să începem cu simplificarea
Dacă ecuaţia cubică vedere generala ax3 + bx2 + cx + d = 0, unde a ≠ 0, împărțit la a, atunci coeficientul de la x3 devine egal cu 1. Prin urmare, în viitor vom proceda de la ecuația x3 + Px2 + Qx + R = 0. (1)
La fel ca în centrul soluției ecuație pătratică se află formula pentru pătratul sumei, soluția ecuației cubice se bazează pe formula pentru cubul sumei:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
Pentru a nu ne confunda în coeficienți, aici înlocuim a cu x și rearanjam termenii:
(x + b)3 = x3 + 3bx2 + 3b2x + b3. (2)
Vedem că într-un mod propriu b, și anume, luând b = P/3, putem realiza asta partea dreaptă a acestei formule va diferi de partea stângă a ecuației x3 + Px2 + Qx + R = 0 doar prin coeficientul de la x și termenul liber. Adăugăm ecuația x3 + Px2 + Qx + R = 0 și (x + b)3 = x3 + 3bx2 + 3b2x + b3 și dăm cele similare:
(x + b)3 + (Q - 3b2)x + R - b3 = 0.
Dacă facem schimbarea aici y = x + b, obținem o ecuație cubică pentru y fără termen cu y2: y3 + py + q = 0.
Deci, am arătat că în ecuația cubică x3 + Px2 + Qx + R = 0, folosind o substituție adecvată, puteți scăpa de termenul care conține pătratul necunoscutului. Prin urmare, acum vom rezolva o ecuație de forma x3 + px + q = 0. (3)
1.2 Istoria formulei Cardano
Formula Cardano poartă numele lui J. Cardano, care a publicat-o pentru prima dată în 1545.
Autorul acestei formule este Niccolò Tartaglia. El a creat această soluție în 1535 special pentru participarea la un concurs de matematică, în care, desigur, a câștigat. Tartaglia, dând formula (în formă poetică) Cardano, a prezentat doar acea parte a soluției ecuației cubice în care rădăcina are o valoare (reală).
Rezultatele lui Cardano în această formulă se referă la luarea în considerare a așa-numitului caz ireductibil, în care ecuația are trei valori (valori reale, în acele zile nu existau numere imaginare sau chiar negative, deși au existat încercări în acest sens. direcţie). Cu toate acestea, spre deosebire de faptul că Cardano a indicat în publicația sa paternitatea lui Tartaglia, formula este numită cu numele de Cardano.
1. 3 Formula Cardano
Acum să ne uităm din nou la formula cubului sumei, dar scrieți-o diferit:
(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b).
Comparați această intrare cu ecuația x3 + px + q = 0 și încercați să stabiliți o conexiune între ele. Înlocuiți în formula noastră x = a + b: x3 = a3 + b3 + 3abx, sau x3 - 3abx - (a3 + b3) = 0
Acum este deja clar: pentru a găsi rădăcina ecuației x3 + px + q = 0, este suficient să rezolvi sistemul de ecuații a3 + b3 = - q, a3 + b3 = - q, sau
3аb \u003d - p, a3b3 \u003d - p 3,
3 și luați ca x suma lui a și b. Prin schimbarea u = a3, v = b3 acest sistem este redus la a complet la vedere: și + v = - q și v = - p 3.
Apoi puteți acționa în moduri diferite, dar toate „drumurile” vor duce la aceeași ecuație pătratică. De exemplu, conform teoremei Vieta, suma rădăcinilor ecuației pătratice date este egală cu coeficientul de la x cu semnul minus, iar produsul este termenul liber. Aceasta implică faptul că și și v sunt rădăcinile ecuației t2 + qt – (p/3)3 = 0.
Să scriem aceste rădăcini: t1,2 = - q ± q 2 + p 3.
Variabilele a și b sunt egale cu rădăcinile cubice din t1 și t2, iar soluția dorită a ecuației cubice x3 + px + q = 0 este suma acestor rădăcini: x = 3 - q + q 2 + p 3+ 3 - q - q 2 + p 3 .
Această formulă este cunoscută ca formula Cardano.
Rezolvarea ecuațiilor
Înainte de a analiza formula Cardano din lucrare, să explicăm cum să găsim celelalte rădăcini ale acesteia, dacă există, dintr-o rădăcină a ecuației cubice x3 + px + q = 0.
Să se știe că ecuația noastră are rădăcina h. Apoi partea stângă poate fi descompusă în liniară și multiplicatori pătrați. Acest lucru se face foarte simplu. Înlocuim expresia termenului liber prin rădăcina q \u003d - h3 - ph în ecuație și folosim formula pentru diferența de cuburi:
0 \u003d x3 - h3 + px - ph \u003d (x - h) (x2 + hx + h2) + p (x - h) \u003d (x - h) (x2 + hx + h2 + p).
Acum puteți rezolva ecuația pătratică x2 + hx + h2 + p = 0 și puteți găsi restul rădăcinilor acestei ecuații cubice.
Deci, suntem complet înarmați și, s-ar părea, putem face față oricărei ecuații cubice. Să ne încercăm mâna.
1. Să începem cu ecuația x3 + 6x - 2 = 0
Înlocuim p = 6 și q = -2 în formula Cardano și după reduceri simple obținem răspunsul: x = 3√4 - 3√2. Ei bine, formula este destul de drăguță. Doar perspectiva de a lua factorul x - (3√4 - 3√2) din partea stângă a ecuației și de a rezolva ecuația pătratică rămasă cu coeficienți „teribili” pentru a calcula alte rădăcini nu este foarte inspirată. Cu toate acestea, privind ecuația mai atent, ne putem calma: funcția din partea stângă crește strict și, prin urmare, poate dispărea o singură dată. Aceasta înseamnă că numărul găsit este singura rădăcină reală a ecuației.
y y \u003d x3 + 6x - 2
3√4 – 3√2 x
Orez. 1 Graficul funcției y \u003d x3 + 6x - 2 traversează axa x într-un punct - 3√4 - 3√2.
2. Următorul exemplu- ecuația x3 + 3x - 4 = 0.
Formula lui Cardano dă x = 3 2 + √5 + 3 2 - √5.
Ca și în exemplul anterior, vedem că această rădăcină este unică. Dar nu trebuie să fii foarte perspicace pentru a te uita la ecuație și a-i ghici rădăcina: x = 1. Trebuie să recunoaștem că formula a dat unitatea obișnuită într-o formă atât de bizară. Apropo, pentru a simplifica această expresie greoaie, dar nu lipsită de eleganță transformări algebrice eșuează - iraționalitățile cubice din el sunt inevitabile.
3. Ei bine, acum să luăm o ecuație care are evident trei rădăcini reale. Este ușor să îl compuneți - doar înmulțiți trei paranteze de forma x - b. Trebuie doar să aveți grijă ca suma rădăcinilor să fie egală cu zero, deoarece, conform teorema generala Vieta, diferă de coeficientul la x2 doar în semn. Cel mai simplu set de astfel de rădăcini este 0, 1 și -1.
Să aplicăm formula Cardano la ecuația x (x - 1) (x + 1) = 0 sau x3 - x = 0.
Presupunând p = -1 și q = 0 în el, obținem x = 3 √ - 1/27 + 3 - √ - 1/27.
y y \u003d x (x - 1) (x + 1)
Orez. 2 Ecuația x (x - 1) (x + 1) \u003d 0 are trei rădăcini reale: -1, 0 și 1. În consecință, graficul funcției y \u003d x (x - 1) (x + 1) intersectează axa x în trei puncte.
apărut sub semnul rădăcinii pătrate un număr negativ. Acest lucru se întâmplă și la rezolvarea ecuațiilor pătratice. Dar ecuația pătratică în acest caz nu are rădăcini reale, în timp ce cea cubică are trei dintre ele!
O analiză mai atentă arată că nu am căzut întâmplător în această capcană. Ecuația x3 + px + q = 0 are trei rădăcini reale dacă și numai dacă expresia Δ = (q/2)2 + (p/3)3 sub rădăcină pătratăîn formula Cardano este negativă. Dacă Δ > 0, atunci există o rădăcină reală (Fig. 3b), iar dacă Δ = 0, atunci există două dintre ele (una dintre ele este dublă), cu excepția cazului p = q = 0, când toate cele trei rădăcinile fuzionează.
y Δ 0 y \u003d -px - q y \u003d x3
0 x 0 x y \u003d -px - q y \u003d x3 a) b)
Orez. 3 Ecuația cubică x3 + px + q = 0 poate fi reprezentată ca x3 = -px - q. Aceasta arată că rădăcinile ecuației vor corespunde cu abscisele punctelor de intersecție ale celor două grafice: y \u003d x3 și y \u003d -px - q. Dacă Δ 0 este unu.
1.4 Teorema lui Vieta
teorema lui Vieta. Dacă un număr întreg ecuație rațională gradul n redus la vedere standard, are n rădăcini reale distincte x1, x2,. xn, atunci ele satisfac egalitățile: x1 + x2 + + xn = - a1, a0 x1x2 + x1x3 + + xn-1xn = a2 a0 x1 x2 xn = (-1)nаn.
Pentru rădăcinile ecuației de gradul al treilea a0x3 + a1x2 + a2x + a3 = 0, unde a0 ≠ 0, egalitățile x1 + x2 + x3 = - a1, a0 x1x2 + x1x3 + x2x3 = a2, a0 x1x2x3 = - a3 sunt valabile.
1. 5 Teorema lui Bezout. Schema lui Horner
Rezolvarea ecuațiilor este strâns legată de factorizarea polinoamelor. Prin urmare, atunci când rezolvăm ecuații, este important tot ceea ce este legat de selecția din polinom factori liniari, adică cu împărțirea polinomului A(x) la binomul x - α. Baza multor cunoștințe despre împărțirea polinomului A(x) la binomul x - α este o teoremă aparținând matematician francez Etienne Bez (1730-1783) și purtând numele său.
teorema lui Bezout. Restul împărțirii polinomului A (x) la binomul x - α este egal cu A (α) (adică valoarea polinomului A (x) la x = α).
Aflați restul după împărțirea polinomului A(x) = x4 - 6x3 + 8 la x + 2.
Decizie. Conform teoremei Bezout, restul împărțirii cu x + 2 este A (-2) \u003d (-2) 4 - 6 (-2) 3 + 8 \u003d 72.
O modalitate convenabilă de a găsi valorile unui polinom când valoarea stabilită Variabila x a fost introdusă de matematicianul englez Williams George Horner (1786-1837). Această metodă a fost numită ulterior schema lui Horner. Constă în completarea unui tabel de două rânduri. De exemplu, pentru a calcula A(-2) în exemplul anterior, în linia de sus a tabelului listăm coeficienții polinom dat, scris în forma standard x4 - 6x3 + 8 = x4 + (-6)x3 + 0 x2 + 0 x + 8.
Duplicăm coeficientul la cel mai înalt grad în linia de jos, iar înaintea lui scriem valoarea variabilei x = -2, la care se calculează valoarea polinomului. Rezultă următorul tabel:
Celulele goale ale tabelului sunt completate conform următoarei reguli: numărul din dreapta al rândului de jos este înmulțit cu -2 și adăugat la numărul de deasupra celulei goale. Conform acestei reguli, prima celulă goală conține numărul (-2) 1 + (-6) = -8, a doua celulă conține numărul (-2) (-8) + 0 = 16, a treia celulă conține numărul număr (- 2) 16 + 0 = - 32, in ultima cușcă- numărul (-2) (-32) + 8 \u003d 72. Tabelul completat complet conform schemei lui Horner arată astfel:
2 1 -8 16 -32 72
Numărul din ultima celulă este restul împărțirii polinomului la x + 2, A(-2) = 72.
De fapt, din tabelul rezultat, completat conform schemei lui Horner, se poate nota nu numai restul, ci și coeficientul incomplet.
Q(x) \u003d x3 - 8x2 + 16x - 32, deoarece numărul de pe a doua linie (fără a număra de la ultima) este coeficienții polinomului Q (x) - câtul incomplet al împărțirii cu x + 2.
Rezolvați ecuația x3 - 2x2 - 5x + 6 = 0
Scriem toți divizorii termenului liber al ecuației: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6.
x=1, x=-2, x=3
Răspuns: x = 1, x = -2, x = 3
2. CONCLUZIE
Voi formula principalele concluzii despre munca depusă.
În procesul de lucru, m-am familiarizat cu istoria dezvoltării problemei de rezolvare a unei ecuații de gradul al treilea. Semnificația teoretică a rezultatelor obținute constă în faptul că aceasta ține în mod deliberat locul formulei Cardano în rezolvarea unor ecuații de gradul trei. M-am asigurat că există formula de rezolvare a ecuației de gradul al treilea, dar din cauza greutății sale nu este populară și nu foarte fiabilă, deoarece nu ajunge întotdeauna la rezultatul final.
În viitor, putem lua în considerare astfel de întrebări: cum să aflăm dinainte ce rădăcini are o ecuație de gradul trei; se poate rezolva o ecuație cubică grafic dacă este posibil, cum; cum se estimează aproximativ rădăcinile unei ecuații cubice?
Obiectivele lecției.
- Să aprofundeze cunoștințele studenților pe tema „Rezolvarea ecuațiilor de grade superioare” și să sintetizeze materialul educațional.
- Introducerea studenților în metodele de rezolvare a ecuațiilor de grade superioare.
- Să-i învețe pe elevi să aplice teoria divizibilității la rezolvarea ecuațiilor de grade superioare.
- Pentru a-i învăța pe elevi cum să împartă un polinom într-un polinom după „colț”.
- Dezvoltați abilitățile și abilitățile de a lucra cu ecuații de grade superioare.
În curs de dezvoltare:
- Dezvoltarea atenției elevilor.
- Dezvoltarea capacității de a obține rezultate ale muncii.
- Dezvoltarea interesului pentru învățarea algebrei și a abilităților de muncă independentă.
Hrănirea:
- Creșterea unui sentiment de colectivism.
- Formarea simțului responsabilității pentru rezultatul muncii.
- Formarea la elevi stima de sine adecvată atunci când alegeți o notă pentru lucrul la lecție.
Echipament: calculator, proiector.
În timpul orelor
1 etapa de lucru. Organizarea timpului.
2 etapă de lucru. Motivația și rezolvarea problemelor
Ecuația unu a cele mai importante concepte matematică. Dezvoltarea metodelor de rezolvare a ecuațiilor, pornind de la nașterea matematicii ca știință, perioadă lungă de timp a fost subiectul principal de studiu al algebrei.
LA curs şcolar studiului matematicii se acordă multă atenție rezolvării diverselor tipuri de ecuații. Până în clasa a IX-a, am putut rezolva doar ecuații liniare și pătratice. Ecuațiile celei de-a treia, a patra etc. grade se numesc ecuații de grade superioare. În clasa a IX-a, ne-am familiarizat cu două metode de bază pentru rezolvarea unor ecuații de gradul III și IV: factorizarea unui polinom în factori și utilizarea unei schimbări de variabilă.
Este posibil să se rezolve ecuații de grade superioare? Vom încerca să găsim un răspuns la această întrebare astăzi.
3 etapă de lucru. Revizuiți materialul învățat anterior. Introduceți conceptul de ecuație de grade superioare.
1) Rezolvarea unei ecuații liniare.
Linear este o ecuație de forma , unde prin definiție. Această ecuație are o singură rădăcină.
2) Rezolvarea unei ecuații pătratice.
O ecuație a formei 
, Unde . Numărul de rădăcini și rădăcinile în sine sunt determinate de discriminantul ecuației. Căci ecuația nu are rădăcini, căci are o rădăcină (două rădăcini identice)
Din ecuațiile liniare și pătratice considerate, vedem că numărul de rădăcini ale ecuației nu este mai mare decât gradul său. În cursul algebrei superioare, se demonstrează că ecuația de gradul --lea nu are mai mult de n rădăcini. În ceea ce privește rădăcinile în sine, situația este mult mai complicată. Pentru ecuațiile de gradul al treilea și al patrulea, sunt cunoscute formule pentru găsirea rădăcinilor. Cu toate acestea, aceste formule sunt foarte complexe și greoaie și aplicație practică Nu Aveți. Pentru ecuațiile de gradul cinci și superior formule generale nu există și nu poate exista (cum a fost dovedit în secolul al XIX-lea de N. Abel și E. Galois).
Vom numi ecuațiile a treia, a patra etc. grade prin ecuații de grade superioare. Câteva ecuații grade înalte poate fi rezolvată folosind două tehnici principale: factorizarea unui polinom în factori sau utilizarea unei schimbări de variabilă.
3) Rezolvarea ecuației cubice.
Să rezolvăm ecuația cubică
Grupăm termenii polinomului din partea stângă a ecuației și îl factorizăm. Primim:
Produsul factorilor este egal cu zero dacă unul dintre factori este egal cu zero. Obținem trei ecuații liniare:
Deci, această ecuație cubică are trei rădăcini: ; ;.
4) Rezolvarea ecuației biquadratice.
Ecuațiile biquadratice sunt foarte frecvente, care au forma (adică, ecuații care sunt pătratice în raport cu ). Pentru a le rezolva, se introduce o nouă variabilă.
Vom decide ecuație biquadratică.
Să introducem o nouă variabilă și să obținem o ecuație pătratică, ale cărei rădăcini sunt numerele și 4.
Să revenim la vechea variabilă și să obținem două ecuații pătratice simple:
(rădăcini și ) (rădăcini și )Deci, această ecuație biquadratică are patru rădăcini:
; ;
.
Să încercăm să rezolvăm ecuația folosind metodele de mai sus.
ESCĂ!!!
4 etapă de lucru. Dați câteva afirmații despre rădăcinile unui polinom de forma , unde polinom nth grad
Iată câteva afirmații despre rădăcinile unui polinom de forma:
1) Un polinom de gradul al III-lea are cel mult rădăcini (ținând cont de multiplicitățile acestora). De exemplu, un polinom de gradul trei nu poate avea patru rădăcini.
2) Un polinom de grad impar are cel puțin o rădăcină. De exemplu, polinoamele primului, al treilea, al cincilea etc. grade au cel puțin o rădăcină. Polinoamele de grad par pot avea sau nu rădăcini.
3) Dacă la capetele segmentului valorile polinomului au semne diferite (adică, 
), atunci intervalul conține cel puțin o rădăcină. Această afirmație este utilizată pe scară largă pentru calculul aproximativ al rădăcinilor unui polinom.
4) Dacă numărul este rădăcina unui polinom de forma , atunci acest polinom poate fi reprezentat ca un produs , unde polinomul (gradul --lea. Cu alte cuvinte, polinomul formei poate fi împărțit fără rest la binom.Aceasta permite ca ecuația gradului al-lea să fie redusă la ecuație (gradul --lea (reduceți gradul ecuației).
5) Dacă ecuația cu toți coeficienții întregi (mai mult, termenul liber) are o rădăcină întreagă, atunci această rădăcină este un divizor al termenului liber. O astfel de afirmație vă permite să alegeți întreaga rădăcină a polinomului (dacă acesta există).
5 etapă de lucru. Arată cum se aplică teoria divizibilității pentru a rezolva ecuații de grade superioare. Luați în considerare exemple de rezolvare a ecuațiilor de grade superioare, în care partea stângă este factorizată folosind metoda împărțirii unui polinom la un polinom cu un „colț”.
Exemplul 1. Rezolvați ecuația 
.
Astfel, am descompus de fapt partea stângă a ecuației în factori:
Produsul factorilor este egal cu zero dacă unul dintre factori este egal cu zero. Obținem două ecuații.
Ecuațiile cubice au forma topor 3 + bx 2 + cx + d= 0). O metodă de rezolvare a unor astfel de ecuații este cunoscută de câteva secole (a fost descoperită în secolul al XVI-lea de către matematicienii italieni). Rezolvarea unor ecuații cubice este destul de dificilă, dar cu abordarea corectă (și nivel bun cunoștințe teoretice) veți putea rezolva chiar și cele mai complexe ecuații cubice.
Pași
Rezolvare folosind o formulă pentru rezolvarea unei ecuații pătratice
- Dacă există o interceptare, utilizați o metodă de soluție diferită (consultați secțiunile următoare).
-
Din moment ce în ecuația dată nu există un termen liber, atunci toți termenii acestei ecuații conțin o variabilă x (\displaystyle x), care poate fi între paranteze: x (a x 2 + b x + c) (\displaystyle x(ax^(2)+bx+c)).
- Exemplu. 3 x 3 + − 2 x 2 + 14 x = 0 (\displaystyle 3x^(3)+-2x^(2)+14x=0). Dacă înduri x (\displaystyle x) paranteze, primești x (3 x 2 + − 2 x + 14) = 0 (\displaystyle x(3x^(2)+-2x+14)=0).
-
Rețineți că ecuația dintre paranteze este o ecuație pătratică de forma ( a x 2 + b x + c (\displaystyle ax^(2)+bx+c)), care poate fi rezolvată folosind formula ((- b +/-√ (). Rezolvați o ecuație pătratică și veți rezolva o ecuație cubică.
- În exemplul nostru, înlocuiți valorile coeficienților a (\displaystyle a), b (\displaystyle b), c (\displaystyle c) (3 (\displaystyle 3), − 2 (\displaystyle -2), 14 (\displaystyle 14)) în formula: − b ± b 2 − 4 a c 2 a (\displaystyle (\frac (-b\pm (\sqrt (b^(2)-4ac)))(2a))) − (− 2) ± ((− 2) 2 − 4 (3) (14) 2 (3) (\displaystyle (\frac (-(-2)\pm (\sqrt (((-2)^(2)) )-4(3)(14))))(2(3)))) 2 ± 4 − (12) (14) 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt (4-(12)(14))))(6))) 2 ± (4 − 168 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt ((4-168)))(6))) 2 ± − 164 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt (-164)))(6)))
- Soluția 1: 2 + − 164 6 (\displaystyle (\frac (2+(\sqrt (-164)))(6))) 2 + 12,8 i 6 (\displaystyle (\frac (2+12,8i)(6)))
- Soluția 2: 2 − 12,8 i 6 (\displaystyle (\frac (2-12,8i)(6)))
-
Amintiți-vă că ecuațiile pătratice au două soluții, în timp ce ecuațiile cubice au trei soluții. Ați găsit două soluții la o ecuație pătratică și, prin urmare, o ecuație cubică. În cazurile în care puneți „x” între paranteze, a treia soluție este întotdeauna 0 (\displaystyle 0).
- Acest lucru este adevărat deoarece orice număr sau expresie înmulțită cu 0 (\displaystyle 0), egal 0 (\displaystyle 0). De când ai îndurat x (\displaystyle x) din paranteze, atunci ați descompus ecuația cubică în doi factori ( x (\displaystyle x)și o ecuație pătratică), dintre care una trebuie să fie egală cu 0 (\displaystyle 0) astfel încât întreaga ecuație să fie egală cu 0 (\displaystyle 0).
Găsirea de soluții întregi folosind factorizarea
-
Verificați dacă ecuația cubică care ți-a fost dată are o interceptare. Metoda descrisă în secțiunea anterioară nu este potrivită pentru rezolvarea ecuațiilor cubice în care există un termen liber. În acest caz, va trebui să utilizați metoda descrisă în această secțiune sau în următoarea secțiune.
- Exemplu. 2 x 3 + 9 x 2 + 13 x = − 6 (\displaystyle 2x^(3)+9x^(2)+13x=-6). Aici, mișcă o pula liberă d = - 6 (\displaystyle d=-6)în partea stângă a ecuaţiei astfel încât partea dreapta obține 0 (\displaystyle 0): 2 x 3 + 9 x 2 + 13 x + 6 = 0 (\displaystyle 2x^(3)+9x^(2)+13x+6=0).
-
Găsiți multiplicatori de coeficienți a (\displaystyle a)(coeficientul la x 3 (\displaystyle x^(3))) și membru gratuit d (\displaystyle d). Factorii unui număr sunt numere care, atunci când sunt înmulțite, dau numărul original. De exemplu, factorii numărului 6 (\displaystyle 6) sunt numerele 1 (\displaystyle 1), 2 (\displaystyle 2), 3 (\displaystyle 3), 6 (\displaystyle 6) (6×1 (\displaystyle 6\times 1)și 2 × 3 (\displaystyle 2\times 3)).
- În exemplul nostru a = 2 (\displaystyle a=2)și d = 6 (\displaystyle d=6). Multiplicatori 2 (\displaystyle 2) sunt numere 1 (\displaystyle 1)și 2 (\displaystyle 2). Multiplicatori 6 (\displaystyle 6) sunt numere 1 (\displaystyle 1), 2 (\displaystyle 2), 3 (\displaystyle 3), și 6 (\displaystyle 6).
-
Împărțiți multiplicatorii coeficienților a (\displaystyle a) prin factori ai termenului liber d (\displaystyle d). Veți obține fracții și numere întregi. Soluția întreagă a ecuației cubice care ți-a fost dată va fi fie unul dintre aceste numere întregi, fie valoarea negativă a unuia dintre aceste numere întregi.
- În exemplul nostru, împărțiți factorii a (\displaystyle a) (1 (\displaystyle 1), 2 (\displaystyle 2)) prin factori d (\displaystyle d) (1 (\displaystyle 1), 2 (\displaystyle 2), 3 (\displaystyle 3), 6 (\displaystyle 6)) si ia: 1 (\displaystyle 1), , , , 2 (\displaystyle 2)și . Acum adăugați la acest rând de numere lor valori negative: 1 (\displaystyle 1), − 1 (\displaystyle -1), 1 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))), − 1 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2))), 1 3 (\displaystyle (\frac (1)(3))), − 1 3 (\displaystyle -(\frac (1)(3))), 1 6 (\displaystyle (\frac (1)(6))), − 1 6 (\displaystyle -(\frac (1)(6))), 2 (\displaystyle 2), − 2 (\displaystyle -2), 2 3 (\displaystyle (\frac (2)(3)))și − 2 3 (\displaystyle -(\frac (2)(3))). Soluțiile întregi ale ecuației cubice care ți se oferă sunt în această serie de numere.
-
Acum puteți găsi soluții întregi pentru ecuația dvs. cubică prin înlocuirea cu numere întregi din seria de numere găsită în ea. Dar dacă nu vrei să pierzi timpul cu asta, folosește. Această schemă implică împărțirea numerelor întregi în valori a (\displaystyle a), b (\displaystyle b), c (\displaystyle c), d (\displaystyle d) ecuația cubică dată. Dacă restul este 0 (\displaystyle 0), întregul este una dintre soluțiile ecuației cubice.
- Diviziunea lui Horner nu este un subiect ușor; a primi Informații suplimentare urmați linkul de mai sus. Iată un exemplu despre cum să găsești una dintre soluțiile unei ecuații cubice care ți se oferă folosind diviziunea lui Horner: -1 | 2 9 13 6 __| -2-7-6 __| 2 7 6 0 Din moment ce restul 0 (\displaystyle 0), atunci una dintre soluțiile ecuației este un număr întreg − 1 (\displaystyle -1).
Folosind discriminantul
-
În această metodă, veți lucra cu valori ale coeficienților a (\displaystyle a), b (\displaystyle b), c (\displaystyle c), d (\displaystyle d). Prin urmare, este mai bine să scrieți în avans valorile acestor coeficienți.
- Exemplu. matematică>x^3-3x^2+3x-1. Aici a = 1 (\displaystyle a=1), b = − 3 (\displaystyle b=-3), c = 3 (\displaystyle c=3), d = − 1 (\displaystyle d=-1). Nu uita că atunci când x (\displaystyle x) nu există coeficient, asta înseamnă că coeficientul este egal cu 1 (\displaystyle 1).
-
calculati △ = b 2 − 3 a c (\displaystyle \triangle _(0)=b^(2)-3ac). Această metodă va necesita niște calcule complexe, dar dacă o înțelegeți, veți putea rezolva cele mai complexe ecuații cubice. Pentru a începe, calculează △ 0 (\displaystyle \triunghi _(0)), una dintre câteva cantități importante de care vom avea nevoie prin înlocuirea valorilor corespunzătoare în formulă.
- În exemplul nostru: b 2 - 3 a c (\displaystyle b^(2)-3ac) (− 3) 2 − 3 (1) (3) (\displaystyle (-3)^(2)-3(1)(3)) 9 − 3 (1) (3) (\displaystyle 9-3(1)(3)) 9 − 9 = 0 = △ 0 (\displaystyle 9-9=0=\triunghi _(0)) 2 (− 27) − 9 (− 9) + 27 (− 1) (\displaystyle 2(-27)-9(-9)+27(-1)) − 54 + 81 − 27 (\displaystyle -54+81-27) 81 − 81 = 0 = △ 1 (\displaystyle 81-81=0=\triunghi _(1))
-
Calculați Δ = Δ1 2 - 4Δ0 3) ÷ -27 A 2 . Acum calculați discriminantul ecuației folosind valorile găsite ale Δ0 și Δ1. Discriminantul este un număr care vă oferă informații despre rădăcinile unui polinom (s-ar putea să știți deja că discriminantul unei ecuații pătratice este b 2 - 4ac). În cazul unei ecuații cubice, dacă discriminantul este pozitiv, atunci ecuația are trei soluții; dacă discriminantul este zero, atunci ecuația are una sau două soluții; dacă discriminantul este negativ, atunci ecuația are o singură soluție. O ecuație cubică are întotdeauna cel puțin o soluție deoarece graficul unei astfel de ecuații intersectează axa x în cel puțin un punct.
- Dacă înlocuiți valorile adecvate ale cantităților în această formulă, obțineți solutii posibile ecuația cubică dată ție. Înlocuiți-le în ecuația originală și dacă egalitatea este îndeplinită, atunci soluțiile sunt corecte. De exemplu, dacă introduceți valorile în formulă și obțineți 1, conectați 1 X 3 - 3X 2 + 3X- 1 și obțineți 0. Adică se respectă egalitatea și 1 este una dintre soluțiile ecuației cubice care ți se oferă.
După cum sa menționat mai sus, ecuațiile cubice au forma a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 (\displaystyle ax^(3)+bx^(2)+cx+d=0), unde coeficienții c (\displaystyle c)și d (\displaystyle d) poate fi egal 0 (\displaystyle 0), adică o ecuație cubică poate consta dintr-un singur termen (cu o variabilă în gradul trei). În primul rând, verifică dacă ecuația cubică care ți-a fost dată are o interceptare, adică d (\displaystyle d). Dacă nu există un termen liber, puteți rezolva această ecuație cubică folosind formula pentru rezolvarea unei ecuații pătratice.
