Exemple de progresie geometrică.

Progresie geometrică, împreună cu aritmetica, este un lucru important serii numerice care se studiază în curs şcolar algebră în clasa a IX-a. În acest articol, vom lua în considerare numitorul unei progresii geometrice și modul în care valoarea acesteia îi afectează proprietățile.

Definiţia geometric progression

În primul rând, să definim asta serie de numere. O progresie geometrică este o serie numere rationale, care se formează prin înmulțirea secvențială a primului său element cu număr constant, care se numește numitor.

De exemplu, numerele din seria 3, 6, 12, 24, ... sunt o progresie geometrică, deoarece dacă înmulțim 3 (primul element) cu 2, obținem 6. Dacă înmulțim 6 cu 2, obținem 12 și așa mai departe.

Membrii secvenței luate în considerare sunt de obicei notați prin simbolul ai, unde i este un număr întreg care indică numărul elementului din serie.

Definiția de mai sus a unei progresii poate fi scrisă în limbajul matematicii astfel: an = bn-1 * a1, unde b este numitorul. Este ușor să verificăm această formulă: dacă n = 1, atunci b1-1 = 1 și obținem a1 = a1. Dacă n = 2, atunci an = b * a1 și ajungem din nou la definiția seriei de numere luate în considerare. Raționament similar poate fi continuat pentru valori mari n.

Numitorul unei progresii geometrice

Numărul b determină complet ce caracter va avea întreaga serie de numere. Numitorul b poate fi pozitiv, negativ sau mai mare sau mai mic decât unu. Toate opțiunile de mai sus conduc la secvențe diferite:

b > 1. Există o serie crescândă de numere raţionale. De exemplu, 1, 2, 4, 8, ... Dacă elementul a1 este negativ, atunci întreaga succesiune va crește doar modulo, dar va scădea ținând cont de semnul numerelor.
b = 1. Adesea un astfel de caz nu se numește progresie, deoarece există o serie obișnuită de numere raționale identice. De exemplu, -4, -4, -4.

Formula pentru suma

Înainte de a trece la revizuire sarcini specifice folosind numitorul tipului de progresie luat în considerare, ar trebui să se aducă formula importanta pentru suma primelor sale n elemente. Formula este: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Puteți obține această expresie singur dacă luați în considerare o secvență recursivă de membri ai progresiei. De asemenea, rețineți că în formula de mai sus este suficient să cunoașteți doar primul element și numitorul pentru a găsi suma unui număr arbitrar de termeni.

Secvență infinit descrescătoare

Mai sus a fost o explicație a ceea ce este. Acum, cunoscând formula pentru Sn, să o aplicăm acestei serii de numere. Deoarece orice număr al cărui modul nu depășește 1, atunci când este ridicat la grade mari tinde spre zero, adică b∞ => 0 dacă -1

Deoarece diferența (1 - b) va fi întotdeauna pozitivă, indiferent de valoarea numitorului, semnul sumei unei progresii geometrice infinit descrescătoare S∞ este determinat în mod unic de semnul primului său element a1.

Acum vom lua în considerare câteva probleme, în care vom arăta cum să aplicăm cunoștințele dobândite unor numere specifice.

Sarcina numărul 1. Calculul elementelor necunoscute ale progresiei și ale sumei

Având în vedere o progresie geometrică, numitorul progresiei este 2, iar primul său element este 3. Care va fi al 7-lea și al 10-lea termen și care este suma celor șapte elemente inițiale?

Starea problemei este destul de simplă și implică utilizarea directă a formulelor de mai sus. Deci, pentru a calcula elementul cu numărul n, folosim expresia an = bn-1 * a1. Pentru al 7-lea element avem: a7 = b6 * a1, înlocuind datele cunoscute, obținem: a7 = 26 * 3 = 192. Facem același lucru pentru al 10-lea membru: a10 = 29 * 3 = 1536.

Folosim formula binecunoscută pentru sumă și determinăm această valoare pentru primele 7 elemente ale seriei. Avem: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Sarcina numărul 2. Determinarea sumei elementelor arbitrare ale progresiei

Fie -2 numitorul este egal progresii exponențial bn-1 * 4, unde n este un număr întreg. Este necesar să se determine suma de la al 5-lea la al 10-lea element din această serie, inclusiv.

Problema în cauză nu poate fi rezolvată direct folosind formule cunoscute. Puteți rezolva cu 2 diverse metode. De dragul completității, le prezentăm pe ambele.

Metoda 1. Ideea sa este simplă: trebuie să calculați cele două sume corespunzătoare ale primilor termeni, apoi să scădeți pe celălalt dintr-unul. Calculați suma mai mică: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Acum calculăm suma mare: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Rețineți că în ultima expresie au fost însumați doar 4 termeni, deoarece al 5-lea este deja inclus în suma care trebuie calculată în funcție de starea problemei. În cele din urmă, luăm diferența: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Metoda 2. Înainte de a înlocui numere și de a număra, puteți obține o formulă pentru suma dintre termenii m și n ai seriei în cauză. Acționăm exact la fel ca în metoda 1, doar că lucrăm mai întâi cu reprezentarea simbolică a sumei. Avem: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . În expresia rezultată, puteți înlocui numere cunoscute si calculeaza rezultat final: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Sarcina numărul 3. Care este numitorul?

Fie a1 = 2, găsiți numitorul progresiei geometrice, cu condiția ca sa suma infinita este 3 și se știe că este o serie descrescătoare de numere.

În funcție de starea problemei, nu este greu de ghicit ce formulă ar trebui utilizată pentru a o rezolva. Desigur, pentru suma unei progresii infinit descrescătoare. Avem: S∞ = a1 / (1 - b). De unde exprimăm numitorul: b = 1 - a1 / S∞. Rămâne de înlocuit valori cunoscuteși obțineți numărul necesar: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 sau -0,333(3). Putem verifica acest rezultat calitativ dacă ne amintim că pentru acest tip de secvență, modulul b nu trebuie să depășească 1. După cum puteți vedea, |-1 / 3|

Sarcina numărul 4. Restaurarea unei serii de numere

Să fie date 2 elemente dintr-o serie de numere, de exemplu, al 5-lea este egal cu 30 și al 10-lea este egal cu 60. Este necesar să restabilim întreaga serie din aceste date, știind că satisface proprietățile unei progresii geometrice.

Pentru a rezolva problema, trebuie mai întâi să scrieți expresia corespunzătoare pentru fiecare membru cunoscut. Avem: a5 = b4 * a1 și a10 = b9 * a1. Acum împărțim a doua expresie la prima, obținem: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. De aici determinăm numitorul luând rădăcina de gradul cinci a raportului membrilor cunoscut din condiția problemei, b = 1,148698. Înlocuim numărul rezultat într-una dintre expresiile unui element cunoscut, obținem: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.

Astfel, am găsit care este numitorul progresiei bn, iar progresia geometrică bn-1 * 17,2304966 = an, unde b = 1,148698.

Unde se folosesc progresiile geometrice?

Dacă nu ar exista o aplicare a acestei serii numerice în practică, atunci studiul ei s-ar reduce la un pur interes teoretic. Dar există o astfel de aplicație.

Cele mai cunoscute 3 exemple sunt enumerate mai jos:

Paradoxul lui Zenon, în care agilul Ahile nu poate ajunge din urmă cu broasca țestoasă lentă, este rezolvat folosind conceptul de succesiune de numere infinit descrescătoare.
Dacă pentru fiecare celulă tablă de şah pune boabe de grâu în așa fel încât 1 bob să fie așezat pe prima celulă, 2 - pe a 2-a, 3 - pe a 3-a și așa mai departe, apoi pentru a umple toate celulele tablei vei avea nevoie de 18446744073709551615 boabe!
În jocul „Tower of Hanoi”, pentru a rearanja discurile de la o tijă la alta, este necesar să efectuați 2n - 1 operații, adică numărul lor crește exponențial de la numărul de discuri n utilizate.

Instruire

10, 30, 90, 270...

Este necesar să se găsească numitorul unei progresii geometrice.
Decizie:

1 opțiune. Să luăm un membru arbitrar al progresiei (de exemplu, 90) și să-l împărțim la cel anterior (30): 90/30=3.

Dacă se cunoaște suma mai multor membri ai unei progresii geometrice sau suma tuturor membrilor unei progresii geometrice descrescătoare, atunci pentru a găsi numitorul progresiei, utilizați formulele adecvate:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), unde Sn este suma primilor n termeni ai progresiei geometrice și
S = b1/(1-q), unde S este suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare (suma tuturor membrilor progresiei cu un numitor mai mic de unu).
Exemplu.

Primul termen al unei progresii geometrice descrescătoare egal cu unu, iar suma tuturor termenilor săi este egală cu doi.

Este necesar să se determine numitorul acestei progresii.
Decizie:

Înlocuiți datele din sarcină în formulă. Obține:
2=1/(1-q), de unde – q=1/2.

O progresie este o succesiune de numere. Într-o progresie geometrică, fiecare termen ulterior se obține prin înmulțirea celui precedent cu un număr q, numit numitor al progresiei.

Instruire

Dacă se cunosc două membre vecine ale geometricului b(n+1) și b(n), pentru a obține numitorul este necesar să se împartă numărul cu număr mare la cel care îl precede: q=b(n). +1)/b(n). Aceasta rezultă din definiția progresiei și a numitorului acesteia. O condiție importantă este inegalitatea zero a primului termen și numitorul progresiei, în caz contrar se consideră nedefinită.

Astfel, între membrii progresiei se stabilesc următoarele relații: b2=b1 q, b3=b2 q, … , b(n)=b(n-1) q. Prin formula b(n)=b1 q^(n-1) poate fi calculat orice membru al unei progresii geometrice, în care numitorul q și membrul b1 sunt cunoscuți. De asemenea, fiecare modulo de progresie este egal cu media membrilor săi vecini: |b(n)|=√, deci progresia a primit .

Un analog al unei progresii geometrice este cel mai simplu functie exponentiala y=a^x, unde x este în exponent, a este un număr. În acest caz, numitorul progresiei este același cu primul termen și este egal cu numărul A. Valoarea funcției y poate fi înțeleasă ca al n-lea termen progresii dacă argumentul x este luat ca numar natural n (contor).

Există pentru suma primilor n membri ai unei progresii geometrice: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). Această formulă valabil pentru q≠1. Dacă q=1, atunci suma primilor n termeni se calculează prin formula S(n)=n b1. Apropo, progresia va fi numită crescătoare pentru q mai mare de unu și pozitiv b1. Când numitorul progresiei, modulo nu depășește unu, progresia se va numi descrescătoare.

caz special progresie geometrică - o progresie geometrică infinit descrescătoare (b.u.g.p.). Faptul este că membrii unei progresii geometrice descrescătoare vor scădea din nou și din nou, dar nu vor ajunge niciodată la zero. În ciuda acestui fapt, este posibil să se găsească suma tuturor termenilor unei astfel de progresii. Se determină prin formula S=b1/(1-q). Total n membri sunt infiniti.

Pentru a vizualiza cum puteți adăuga un număr infinit de numere și nu obține infinit, coaceți o prăjitură. Tăiați jumătate din ea. Apoi tăiați 1/2 din jumătate și așa mai departe. Piesele pe care le veți obține nu sunt altceva decât membri ai unei progresii geometrice infinit descrescătoare cu un numitor de 1/2. Dacă puneți toate aceste bucăți împreună, obțineți tortul original.

Problemele de geometrie sunt varietate deosebită exerciții care necesită gândirea spațială. Dacă nu poți rezolva geometria sarcinăîncercați să respectați regulile de mai jos.

Instruire

Citiți starea problemei cu mare atenție, dacă nu vă amintiți sau nu înțelegeți ceva, recitiți-o din nou.

Încercați să vă dați seama ce fel probleme geometrice este, de exemplu: computațional, când trebuie să aflați o valoare, sarcini care necesită un lanț logic de raționament, sarcini de construit folosind o busolă și o riglă. Mai multe sarcini tip mixt. Odată ce v-ați dat seama de tipul de problemă, încercați să gândiți logic.

Aplicați teorema necesară pentru această problemă, dacă există îndoieli sau nu există deloc opțiuni, atunci încercați să vă amintiți teoria pe care ați studiat-o pe tema relevantă.

Faceți și o schiță a problemei. Încercați să utilizați metode cunoscute pentru a verifica corectitudinea soluției dvs.

Completați cu grijă rezolvarea problemei într-un caiet, fără pete și baraje și, cel mai important -. Poate că va dura timp și efort pentru a rezolva primele probleme geometrice. Cu toate acestea, odată ce înțelegi acest proces, vei începe să dai clic pe sarcini precum nuci și să te distrezi făcându-l!

O progresie geometrică este o succesiune de numere b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n) astfel încât b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n ) =b(n-1)*q, b1≠0, q≠0. Cu alte cuvinte, fiecare membru al progresiei se obține din cel precedent înmulțindu-l cu vreun numitor diferit de zero al progresiei q.

Instruire

Problemele pe o progresie se rezolvă cel mai adesea prin compilarea și urmărirea unui sistem în raport cu primul termen al progresiei b1 și numitorul progresiei q. Pentru a scrie ecuații, este util să ne amintim câteva formule.

Cum se exprimă al n-lea membru al progresiei prin primul membru al progresiei și numitorul progresiei: b(n)=b1*q^(n-1).

Luați în considerare separat cazul |q|<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Progresie geometrică nu mai puţin important în matematică decât în aritmetică. O progresie geometrică este o astfel de succesiune de numere b1, b2,..., b[n] al căror membru următor se obține prin înmulțirea celui precedent cu un număr constant. Acest număr, care caracterizează și rata de creștere sau scădere a progresiei, se numește numitorul unei progresii geometrice si denota

Pentru o atribuire completă a unei progresii geometrice, pe lângă numitor, este necesară cunoașterea sau determinarea primului termen al acesteia. Pentru o valoare pozitivă a numitorului, progresia este o succesiune monotonă, iar dacă această succesiune de numere este monoton descrescătoare și monoton crescândă când. Cazul în care numitorul este egal cu unu nu este luat în considerare în practică, deoarece avem o succesiune de numere identice, iar însumarea lor nu prezintă interes practic.

Termen general al unei progresii geometrice calculate după formula

Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice determinat de formula

Să luăm în considerare soluțiile problemelor clasice de progresie geometrică. Să începem cu cel mai simplu de înțeles.

Exemplul 1. Primul termen al unei progresii geometrice este 27, iar numitorul său este 1/3. Găsiți primii șase termeni ai unei progresii geometrice.

Rezolvare: Scriem starea problemei în formular

Pentru calcule, folosim formula pentru al n-lea membru al unei progresii geometrice

Pe baza acestuia, găsim membri necunoscuți ai progresiei

După cum puteți vedea, calcularea termenilor unei progresii geometrice nu este dificilă. Progresia în sine va arăta astfel

Exemplul 2. Se dau primii trei membri ai unei progresii geometrice: 6; -12; 24. Aflați numitorul și al șaptelea termen.

Rezolvare: Calculăm numitorul progresiei geometrice pe baza definiției acesteia

Avem o progresie geometrică alternativă al cărei numitor este -2. Al șaptelea termen se calculează prin formula

Pe această sarcină este rezolvată.

Exemplul 3. O progresie geometrică este dată de doi dintre membrii săi . Găsiți al zecelea termen al progresiei.

Decizie:

Să scriem valorile date prin formule

Conform regulilor, ar fi necesar să găsim numitorul și apoi să căutați valoarea dorită, dar pentru al zecelea termen avem

Aceeași formulă poate fi obținută pe baza unor manipulări simple cu datele de intrare. Împărțim al șaselea termen al seriei la altul, ca rezultat obținem