Riešiť sústavu lineárnych rovníc s dvoma variabilná metóda okrem toho potrebujete:

1) vynásobte ľavú a pravú časť jednej alebo oboch rovníc určitým číslom tak, aby sa koeficienty pre jednu z premenných v rovniciach stali opačnými číslami;

2) zložiť termín za termínom prijaté rovnice a nájdite hodnotu jednej z premenných;

3) dosaďte zistenú hodnotu jednej premennej do jednej z týchto rovníc a nájdite hodnotu druhej premennej.

Ak sú v tejto sústave koeficienty pre jednu premennú opačné čísla, tak sústavu začneme riešiť hneď od bodu 2).

Príklady. Riešte sústavu lineárnych rovníc s dvoma premennými pomocou sčítacej metódy.

Keďže koeficienty pri y sú opačné čísla (-1 a 1), riešenie začneme od bodu 2. Pridáme rovnice po členoch a dostaneme rovnicu 8x = 24. Ako druhú rovnicu sústavy možno zapísať akúkoľvek rovnicu pôvodný systém.

Nájdite x a dosaďte jeho hodnotu do 2. rovnice.

Riešime 2. rovnicu: 9-y \u003d 14, teda y \u003d -5.

Poď robiť overenie. Do pôvodného systému rovníc dosaďte hodnoty x = 3 a y = -5.

Poznámka. Kontrolu možno vykonať ústne a nezaznamenať, ak kontrola nie je uvedená v podmienke.

odpoveď: (3; -5).

Ak vynásobíme 1. rovnicu (-2), koeficienty pre premennú x sa stanú opačnými číslami:

Tieto rovnosti pridávame po členoch.

Získame ekvivalentnú sústavu rovníc, v ktorej 1. rovnica je súčtom dvoch rovníc predchádzajúcej sústavy a 2. rovnicu sústavy napíšeme 1. rovnicu pôvodnej sústavy ( zvyčajne píšte rovnicu s menšími koeficientmi):

nachádzame pri z 1. rovnice a výsledná hodnota sa dosadí do 2. rovnice.

Vyriešime poslednú rovnicu sústavy a dostaneme x = -2.

odpoveď: (-2; 1).

Urobme koeficienty pre premennú pri opačné čísla. Aby sme to dosiahli, vynásobíme všetky členy 1. rovnice 5 a všetky členy 2. rovnice 2.

Do 2. rovnice dosaďte hodnotu x=4.

3 · 4 - 5 rokov \u003d 27. Zjednodušme: 12 - 5 rokov \u003d 27, teda -5 rokov \u003d 15 a y \u003d -3.

odpoveď: (4; -3).

Pri riešení sústavy lineárnych rovníc s dvoma premennými pomocou substitučnej metódy postupujeme takto:

1) jednu premennú vyjadrujeme cez druhú v jednej z rovníc systému (x cez y alebo y cez x);

2) výsledný výraz dosadíme do inej rovnice sústavy a dostaneme lineárna rovnica s jednou premennou;

3) výslednú lineárnu rovnicu riešime s jednou premennou a nájdeme hodnotu tejto premennej;

4) nájdenú hodnotu premennej dosadíme do výrazu (1) za inú premennú a nájdeme hodnotu tejto premennej.

Príklady. Vyriešte sústavu lineárnych rovníc substitučnou metódou.

expresné X cez y z 1. rovnice. Dostaneme: x \u003d 7 + y. Namiesto výrazu (7 + y) dosadíme X do 2. rovnice sústavy.

Dostali sme rovnicu: 3 · (7+y)+2y=16. Toto je rovnica s jednou premennou pri. Riešime to. Otvoríme zátvorky: 21+3y+2y=16. Zber výrazov s premennou pri na ľavej strane a voľné termíny na pravej strane. Pri prenášaní termínu z jednej časti rovnosti do druhej zmeníme znamienko termínu na opačné.

Získame: 3r + 2r \u003d 16-21. Predstavujeme ako podmienky v každej časti rovnice. 5r = -5. Obe strany rovnosti vydelíme koeficientom premennej. y = -5:5; y = -1. Nahraďte túto hodnotu pri do výrazu x=7+y a nájdite X. Dostaneme: x=7-1; x=6. Dvojica premenných hodnôt x=6 a y=-1 je riešením tohto systému.

Zapíšte si: (6; -1). Odpoveď: (6; -1). Je vhodné napísať tieto argumenty tak, ako je uvedené nižšie, t.j. sústavy rovníc - vľavo pod sebou. Vpravo - výpočty, potrebné vysvetlenia, overenie riešenia atď.

Strana 1 z 1 1

I. Obyčajné diferenciálne rovnice

1.1. Základné pojmy a definície

Diferenciálna rovnica je rovnica, ktorá sa týka nezávislej premennej X, požadovanú funkciu r a jeho deriváty alebo diferenciály.

Symbolicky Diferenciálnej rovnice sa píše takto:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

Diferenciálna rovnica sa nazýva obyčajná, ak požadovaná funkcia závisí od jednej nezávislej premennej.

Riešením diferenciálnej rovnice sa nazýva taká funkcia, ktorá mení túto rovnicu na identitu.

Poradie diferenciálnej rovnice je poradie najvyššej derivácie v tejto rovnici

Príklady.

1. Uvažujme diferenciálnu rovnicu prvého rádu

Riešením tejto rovnice je funkcia y = 5 ln x. Naozaj, nahradením y" do rovnice dostaneme - identitu.

A to znamená, že funkcia y = 5 ln x– je riešením tejto diferenciálnej rovnice.

2. Uvažujme diferenciálnu rovnicu druhého rádu y" - 5r" + 6y = 0. Funkcia je riešením tejto rovnice.

Naozaj,.

Dosadením týchto výrazov do rovnice dostaneme: , - identitu.

A to znamená, že funkcia je riešením tejto diferenciálnej rovnice.

Integrácia diferenciálnych rovníc je proces hľadania riešení diferenciálnych rovníc.

Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice sa nazýva funkcia formy , ktorá zahŕňa toľko nezávislých ľubovoľných konštánt, koľko je poradie rovnice.

Parciálne riešenie diferenciálnej rovnice sa nazýva riešenie získané zo všeobecného riešenia pre rôzne číselné hodnoty ľubovoľných konštánt. Hodnoty ľubovoľných konštánt sa nachádzajú pri určitých počiatočných hodnotách argumentu a funkcie.

Graf konkrétneho riešenia diferenciálnej rovnice sa nazýva integrálna krivka.

Príklady

1. Nájdite konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice prvého rádu

xdx + ydy = 0, ak r= 4 at X = 3.

Riešenie. Integráciou oboch strán rovnice dostaneme

Komentujte. Ľubovoľná konštanta C získaná ako výsledok integrácie môže byť reprezentovaná v akejkoľvek forme vhodnej pre ďalšie transformácie. V tomto prípade, berúc do úvahy kanonickú rovnicu kruhu, je vhodné reprezentovať ľubovoľnú konštantu С v tvare .

je všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice.

Konkrétne riešenie rovnice, ktoré spĺňa počiatočné podmienky r = 4 at X = 3 sa zistí zo všeobecného dosadením počiatočných podmienok do všeobecného riešenia: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Dosadením C=5 do všeobecného riešenia dostaneme x2 + y2 = 5 2 .

Toto je konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice získané zo všeobecného riešenia za daných počiatočných podmienok.

2. Nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice

Riešením tejto rovnice je ľubovoľná funkcia tvaru , kde C je ľubovoľná konštanta. Vskutku, dosadením do rovníc dostaneme: , .

Preto táto diferenciálna rovnica má nekonečná množina riešenia, keďže pre rôzne hodnoty konštanty C určuje rovnosť rôzne riešenia rovnice.

Napríklad priamou substitúciou je možné overiť, že funkcie sú riešenia rovnice .

Problém, v ktorom je potrebné nájsť konkrétne riešenie rovnice y" = f(x, y) splnenie počiatočnej podmienky y(x0) = y0, sa nazýva Cauchyho problém.

Riešenie rovnice y" = f(x, y), spĺňajúce počiatočnú podmienku, y(x0) = y0, sa nazýva riešenie Cauchyho problému.

Riešenie Cauchyho úlohy má jednoduchý geometrický význam. V skutočnosti, podľa týchto definícií, vyriešiť Cauchyho problém y" = f(x, y) za podmienky y(x0) = y0, znamená nájsť integrálnu krivku rovnice y" = f(x, y) ktorý prechádza daný bod M0 (x0,y 0).

II. Diferenciálne rovnice prvého rádu

2.1. Základné pojmy

Diferenciálna rovnica prvého rádu je rovnica tvaru F(x,y,y") = 0.

Diferenciálna rovnica prvého rádu zahŕňa prvú deriváciu a nezahŕňa derivácie vyššieho rádu.

Rovnica y" = f(x, y) sa nazýva rovnica prvého rádu vyriešená vzhľadom na deriváciu.

Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice prvého rádu je funkciou tvaru , ktorá obsahuje jednu ľubovoľnú konštantu.

Príklad. Zvážte diferenciálnu rovnicu prvého poriadku.

Riešením tejto rovnice je funkcia .

Nahradením tejto rovnice jej hodnotou skutočne získame

to jest 3x = 3x

Preto je funkcia všeobecným riešením rovnice pre ľubovoľnú konštantu C.

Nájdite konkrétne riešenie tejto rovnice, ktoré spĺňa počiatočnú podmienku y(1)=1 Nahradenie počiatočných podmienok x = 1, y = 1 do všeobecného riešenia rovnice , dostaneme odkiaľ C=0.

Zo všeobecného teda získame konkrétne riešenie tak, že do tejto rovnice dosadíme výslednú hodnotu C=0 je súkromné ​​rozhodnutie.

2.2. Diferenciálne rovnice so separovateľnými premennými

Diferenciálna rovnica so separovateľnými premennými je rovnica v tvare: y"=f(x)g(y) alebo cez diferenciály , kde f(x) a g(y) sú dané funkcie.

Pre tých r, pre ktorú platí rovnica y"=f(x)g(y) je ekvivalentná rovnici v ktorom premenná r je prítomná iba na ľavej strane a premenná x je prítomná iba na pravej strane. Hovoria: „v rovnici y"=f(x)g(y oddelenie premenných.

Zadajte rovnicu sa nazýva separovaná premenná rovnica.

Po integrácii oboch častí rovnice na X, dostaneme G(y) = F(x) + C je všeobecné riešenie rovnice, kde G(y) a F(x) sú niektoré primitívne deriváty funkcií resp f(x), Cľubovoľná konštanta.

Algoritmus riešenia diferenciálnej rovnice prvého rádu so separovateľnými premennými

Príklad 1

vyriešiť rovnicu y" = xy

Riešenie. Derivácia funkcie y" nahraď s

oddeľujeme premenné

Poďme integrovať obe časti rovnosti:

Príklad 2

2yy" = 1- 3x 2, ak y0 = 3 pri x0 = 1

Toto je oddelená premenná rovnica. Znázornime to v diferenciáloch. Aby sme to dosiahli, prepíšeme túto rovnicu do tvaru Odtiaľ

Integráciou oboch častí poslednej rovnosti nájdeme

Nahradenie počiatočných hodnôt x 0 = 1, yo = 3 Nájsť OD 9=1-1+C, t.j. C = 9.

Preto bude požadovaný parciálny integrál alebo

Príklad 3

Napíšte rovnicu pre krivku prechádzajúcu bodom M(2;-3) a má dotyčnicu so sklonom

Riešenie. Podľa stavu

Toto je separovateľná premenná rovnica. Rozdelením premenných dostaneme:

Integráciou oboch častí rovnice dostaneme:

Pomocou počiatočných podmienok, x=2 a y=-3 Nájsť C:

Preto má požadovaná rovnica tvar

2.3. Lineárne diferenciálne rovnice prvého rádu

Lineárna diferenciálna rovnica prvého rádu je rovnica tvaru y" = f(x)y + g(x)

kde f(x) a g(x)- niektoré dané funkcie.

Ak g(x)=0 potom sa lineárna diferenciálna rovnica nazýva homogénna a má tvar: y" = f(x)y

Ak potom rovnica y" = f(x)y + g(x) nazývané heterogénne.

Všeobecné riešenie lineárnej homogénnej diferenciálnej rovnice y" = f(x)y daný vzorcom: kde OD je ľubovoľná konštanta.

Najmä ak C \u003d 0, potom je riesenie y=0 Ak lineárne homogénna rovnica má formu y" = ky kde k je nejaká konštanta, potom má jej všeobecné riešenie tvar: .

Všeobecné riešenie lineárnej nehomogénnej diferenciálnej rovnice y" = f(x)y + g(x) daný vzorcom ,

tie. sa rovná súčtu všeobecného riešenia zodpovedajúcej lineárnej homogénnej rovnice a partikulárneho riešenia tejto rovnice.

Pre lineárnu nehomogénnu rovnicu tvaru y" = kx + b,

kde k a b- niektoré čísla a konkrétne riešenie budú konštantnou funkciou . Preto má všeobecné riešenie tvar .

Príklad. vyriešiť rovnicu y" + 2 y + 3 = 0

Riešenie. Rovnicu reprezentujeme vo forme y" = -2r -3 kde k = -2, b = -3 Všeobecné riešenie je dané vzorcom .

Preto, kde C je ľubovoľná konštanta.

2.4. Riešenie lineárnych diferenciálnych rovníc prvého rádu Bernoulliho metódou

Nájdenie všeobecného riešenia lineárnej diferenciálnej rovnice prvého rádu y" = f(x)y + g(x) redukuje na riešenie dvoch diferenciálnych rovníc so separovanými premennými pomocou substitúcie y=uv, kde u a v- neznáme funkcie z X. Táto metóda riešenia sa nazýva Bernoulliho metóda.

Algoritmus riešenia lineárnej diferenciálnej rovnice prvého rádu

y" = f(x)y + g(x)

1. Zadajte náhradu y=uv.

2. Diferencujte túto rovnosť y"=u"v + uv"

3. Náhradník r a y" v daná rovnica: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) alebo u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Zoskupte členy rovnice tak, aby u vytiahnite to z hranatých zátvoriek:

5. V zátvorke, prirovnajúc ju k nule, nájdite funkciu

Toto je oddeliteľná rovnica:

Rozdeľte premenné a získajte:

Kde . .

6. Nahraďte prijatú hodnotu v do rovnice (z bodu 4):

a nájdite funkciu Toto je oddeliteľná rovnica:

7. Napíšte všeobecné riešenie v tvare: , t.j. .

Príklad 1

Nájdite konkrétne riešenie rovnice y" = -2y +3 = 0 ak y=1 pri x=0

Riešenie. Riešime to substitúciou y=uv,.y"=u"v + uv"

Nahrádzanie r a y" do tejto rovnice dostaneme

Zoskupením druhého a tretieho člena na ľavej strane rovnice vyberieme spoločný faktor u mimo zátvoriek

Výraz v zátvorkách prirovnáme k nule a po vyriešení výslednej rovnice nájdeme funkciu v = v(x)

Dostali sme rovnicu s oddelenými premennými. Integrujeme obe časti tejto rovnice: Nájdite funkciu v:

Dosaďte výslednú hodnotu v do rovnice dostaneme:

Toto je oddelená premenná rovnica. Integrujeme obe časti rovnice: Poďme nájsť funkciu u = u(x,c) Poďme nájsť všeobecné riešenie: Nájdite konkrétne riešenie rovnice, ktoré spĺňa počiatočné podmienky y=1 pri x=0:

III. Diferenciálne rovnice vyššieho rádu

3.1. Základné pojmy a definície

Diferenciálna rovnica druhého rádu je rovnica obsahujúca derivácie nie vyššie ako druhého rádu. Vo všeobecnom prípade je diferenciálna rovnica druhého rádu napísaná ako: F(x,y,y",y") = 0

Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice druhého rádu je funkciou tvaru , ktorý obsahuje dve ľubovoľné konštanty C1 a C2.

Konkrétnym riešením diferenciálnej rovnice druhého rádu je riešenie získané zo všeobecného pre niektoré hodnoty ľubovoľných konštánt C1 a C2.

3.2. Lineárne homogénne diferenciálne rovnice druhého rádu s konštantné pomery.

Lineárna homogénna diferenciálna rovnica druhého rádu s konštantnými koeficientmi sa nazýva rovnica tvaru y" + py" + qy = 0, kde p a q sú konštantné hodnoty.

Algoritmus riešenia homogénnych diferenciálnych rovníc druhého rádu s konštantnými koeficientmi

1. Napíšte diferenciálnu rovnicu v tvare: y" + py" + qy = 0.

2. Zostavte jeho charakteristickú rovnicu, označte y" cez r2, y" cez r, r v 1: r2 + pr + q = 0

1. Substitučná metóda: z ľubovoľnej rovnice sústavy vyjadríme jednu neznámu cez druhú a dosadíme ju do druhej rovnice sústavy.

Úloha. Vyriešte sústavu rovníc:

Riešenie. Z prvej rovnice sústavy vyjadríme pri cez X a dosaďte do druhej rovnice sústavy. Zoberme si systém ekvivalentné originálu.

Po uvedení týchto podmienok bude mať systém podobu:

Z druhej rovnice zistíme: . Dosadenie tejto hodnoty do rovnice pri = 2 - 2X, dostaneme pri= 3. Riešením tejto sústavy je teda dvojica čísel .

2. Metóda algebraické sčítanie : pridaním dvoch rovníc získate rovnicu s jednou premennou.

Úloha. Vyriešte rovnicu systému:

Riešenie. Vynásobením oboch strán druhej rovnice číslom 2 dostaneme systém ekvivalentné originálu. Sčítaním dvoch rovníc tohto systému sa dostaneme k systému

Po zredukovaní podobných výrazov bude mať tento systém podobu: Z druhej rovnice nájdeme . Nahradením tejto hodnoty do rovnice 3 X + 4pri= 5, dostaneme , kde . Preto je riešením tejto sústavy dvojica čísel .

3. Metóda zavádzania nových premenných: hľadáme v systéme nejaké opakované výrazy, ktoré budeme označovať novými premennými, čím zjednodušíme podobu systému.

Úloha. Vyriešte sústavu rovníc:

Riešenie. Poďme si zapísať tento systém inak:

Nechaj x + y = u, hu = v. Potom dostaneme systém

Riešime to substitučnou metódou. Z prvej rovnice sústavy vyjadríme u cez v a dosaďte do druhej rovnice sústavy. Zoberme si systém tie.

Z druhej rovnice sústavy nájdeme v 1 = 2, v 2 = 3.

Nahradením týchto hodnôt do rovnice u = 5 - v, dostaneme u 1 = 3,
u 2 = 2. Potom máme dva systémy

Vyriešením prvej sústavy dostaneme dve dvojice čísel (1; 2), (2; 1). Druhý systém nemá riešenia.

Cvičenie pre samostatnú prácu

1. Riešiť sústavy rovníc substitučnou metódou.

Rovnice a sústavy rovníc prvého stupňa

Dve čísla alebo nejaké výrazy spojené znakom "=" rovnosť. Ak sú dané čísla alebo výrazy rovnaké pre akékoľvek hodnoty písmen, potom sa takáto rovnosť nazýva identity.

Napríklad, keď je uvedené, že pre akékoľvek a platné:

a + 1 = 1 + a, tu je rovnosť identita.

Rovnica sa nazýva rovnosť obsahujúca neznáme čísla označené písmenami. Tieto písmená sú tzv neznámy. V rovnici môže byť viac neznámych.

Napríklad v rovnici 2 X + pri = 7X– 3 dve neznáme: X a pri.

Výraz na ľavej strane rovnice (2 X + pri) sa nazýva ľavá strana rovnice a výraz na pravej strane rovnice (7 X– 3) sa nazýva jeho pravá strana.

Hodnota neznámej, pri ktorej sa rovnica stáva identitou, sa nazýva rozhodnutie alebo koreň rovnice.

Napríklad, ak v rovnici 3 X+ 7=13 namiesto neznámeho X dosaďte číslo 2, dostaneme identitu. Preto hodnota X= 2 spĺňa danú rovnicu a číslo 2 je riešením alebo koreňom danej rovnice.

Tieto dve rovnice sa nazývajú ekvivalent(alebo ekvivalent), ak všetky riešenia prvej rovnice sú riešeniami druhej a naopak, všetky riešenia druhej rovnice sú riešeniami prvej. Komu ekvivalentné rovnice zahŕňajú aj rovnice, ktoré nemajú riešenia.

Napríklad rovnice 2 X– 5 = 11 a 7 X+ 6 = 62 sú ekvivalentné, pretože majú rovnaký koreň X= 8; rovnice X + 2 = X+ 5 a 2 X + 7 = 2X sú ekvivalentné, pretože obe nemajú žiadne riešenia.

Vlastnosti ekvivalentných rovníc

1. Na obe strany rovnice môžete pridať ľubovoľný výraz, ktorý dáva zmysel všetkým povolené hodnoty neznámy; výsledná rovnica bude ekvivalentná danej rovnici.

Príklad. 2. rovnica X– 1 = 7 má koreň X= 4. Pridaním 5 na obe strany dostaneme rovnicu 2 X– 1 + 5 = 7 + 5 alebo 2 X+ 4 = 12, ktorý má rovnaký koreň X = 4.

2. Ak majú obe časti rovnice rovnaké členy, potom ich možno vynechať.

Príklad. Rovnica 9 x + 5X = 18 + 5X má jeden koreň X= 2. Vynechanie v oboch častiach 5 X dostaneme rovnicu 9 X= 18, ktorý má rovnaký koreň X = 2.

3. Ktorýkoľvek člen rovnice možno preniesť z jednej časti rovnice do druhej zmenou jej znamienka na opačné.

Príklad. Rovnica 7 X - 11 = 3 má jeden koreň X= 2. Ak prenesieme 11 na pravá strana s opačné znamenie dostaneme rovnicu 7 X= 3 + 11, ktoré má rovnaké riešenie X = 2.

4. Obe časti rovnice je možné vynásobiť ľubovoľným výrazom (číslom), ktorý dáva zmysel a je nenulový pre všetky prípustné hodnoty neznámej, výsledná rovnica bude ekvivalentná tejto.

Príklad. 2. rovnica X - 15 = 10 – 3X má koreň X= 5. Vynásobením oboch strán číslom 3 dostaneme rovnicu 3(2 X - 15) = 3(10 – 3X) alebo 6 X – 45 =30 – 9X, ktorý má rovnaký koreň X = 5.

5. Znamienka všetkých členov rovnice môžu byť obrátené (toto je ekvivalentné vynásobeniu oboch častí (-1)).

Príklad. Rovnica - 3 x + 7 = - 8 po vynásobení oboch častí číslom (-1) bude mať tvar 3 X - 7 = 8. Prvá a druhá rovnica majú jeden koreň X = 5.

6. Obe strany rovnice možno vydeliť rovnakým číslom iným ako nula (to znamená, že sa nerovná nule).

Príklad..gif" width="49 height=25" height="25">.gif" width="131" height="28"> je ekvivalentný tomuto, pretože má rovnaké dva korene: a https:/ /pandia.ru/text/78/105/images/image006_96.gif" width="125" height="48 src="> po vynásobení oboch častí číslom 14 to bude vyzerať takto:

https://pandia.ru/text/78/105/images/image009_71.gif" width="77 height=20" height="20">, kde ľubovoľné čísla, X- neznámy, tzv rovnica prvého stupňa s jednou neznámou(alebo lineárne rovnica s jednou neznámou).

Príklad. 2 X + 3 = 7 – 0,5X ; 0,3X = 0.

Rovnica prvého stupňa s jednou neznámou má vždy jedno riešenie; lineárna rovnica nemusí mať riešenia () alebo ich má nekonečný počet (https://pandia.ru/text/78/105/images/image013_59.gif" width="344 height=48" height="48" >.

Riešenie. Vynásobte všetky členy v rovnici najmenším spoločným násobkom menovateľov, ktorým je 12.

https://pandia.ru/text/78/105/images/image015_49.gif" width="183 height=24" height="24">.gif" width="371" height="20 src="> .

V jednej časti (vľavo) zoskupujeme výrazy obsahujúce neznáme a v druhej časti (vpravo) - voľné výrazy:

https://pandia.ru/text/78/105/images/image019_34.gif" width="104" height="20">. Vydelením oboch častí (-22) dostaneme X = 7.

Sústavy dvoch rovníc prvého stupňa s dvoma neznámymi

Rovnica ako https://pandia.ru/text/78/105/images/image021_34.gif" width="87" height="24 src="> sa nazýva rovnica prvého stupňa s dvoma neznámymi x a pri. Ak sa nájde všeobecné riešenia dve alebo viac rovníc, potom hovoria, že tieto rovnice tvoria sústavu, väčšinou sa píšu jedna pod druhú a kombinujú sa napr.

Každá dvojica neznámych, ktorá súčasne spĺňa obe rovnice systému, sa nazýva systémové riešenie. Vyriešte systém- to znamená nájsť všetky riešenia tohto systému alebo ukázať, že ich nemá. Dve sústavy rovníc sa nazývajú ekvivalent (ekvivalent), ak všetky riešenia jedného z nich sú riešeniami druhého a naopak, všetky riešenia druhého sú riešeniami prvého.

Napríklad riešením systému je dvojica čísel X= 4 a pri= 3. Tieto čísla sú tiež jediné riešenie systémov . Preto sú tieto sústavy rovníc ekvivalentné.

Spôsoby riešenia sústav rovníc

1. Metóda algebraického sčítania. Ak sú koeficienty pre nejakú neznámu v oboch rovniciach rovnaké v absolútnej hodnote, potom sčítaním oboch rovníc (alebo odčítaním jednej od druhej) môžete získať rovnicu s jednou neznámou. Riešením tejto rovnice sa určí jedna neznáma a jej dosadením do jednej z rovníc sústavy sa nájde druhá neznáma.

Príklady: Riešte sústavy rovníc: 1) .

Tu sú koeficienty pre pri sú rovnaké v absolútnej hodnote, ale opačné v znamienku. Získať rovnicu s jednotkou neznáma rovnica pridávame systémy po členoch:

Prijatá hodnota X= 4 dosadíme do nejakej rovnice sústavy, napríklad do prvej a nájdeme hodnotu pri: .

odpoveď: X = 4; pri = 3.

2) https://pandia.ru/text/78/105/images/image029_23.gif" width="112" height="57 src=">.gif" width="220" height="87 src=" >

https://pandia.ru/text/78/105/images/image033_21.gif" width="103" height="47 src=">.

2. Substitučná metóda. Z ľubovoľnej rovnice systému vyjadríme jednu z neznámych v podmienkach zvyšku a potom dosadíme hodnotu tejto neznámej do zvyšných rovníc. Zvážte túto metódu s konkrétnymi príkladmi:

1) Riešime sústavu rovníc. Vyjadrime napríklad jednu z neznámych z prvej rovnice X: https://pandia.ru/text/78/105/images/image036_18.gif" width="483" height="24 src=">

Náhradník pri= 1 do výrazu pre X, dostaneme .

Odpoveď: https://pandia.ru/text/78/105/images/image039_18.gif" width="99" height="55 src=">. V tomto prípade je vhodné vyjadriť pri z druhej rovnice:

https://pandia.ru/text/78/105/images/image041_16.gif" width="660" height="24">Nahradiť hodnotu X= 5 do výrazu pre pri, dostaneme https://pandia.ru/text/78/105/images/image043_15.gif" width="96" height="24 src=">.

3) Vyriešme sústavu rovníc https://pandia.ru/text/78/105/images/image045_12.gif" width="205" height="48">. Dosadením tejto hodnoty do druhej rovnice dostaneme rovnica s jednou neznámou pri: https://pandia.ru/text/78/105/images/image049_11.gif" width="128" height="48">

Odpoveď: https://pandia.ru/text/78/105/images/image051_12.gif" width="95" height="108 src="> .

Prepíšme systém takto: . Neznáme nahradíme nastavením , dostaneme lineárny systém ..gif" width="11 height=17" height="17"> do druhej rovnice dostaneme rovnicu s jednou neznámou:

Nahradením hodnoty v do výrazu pre t, dostaneme: https://pandia.ru/text/78/105/images/image060_9.gif" width="92 height=51" height="51"> nájdeme .

Odpoveď: https://pandia.ru/text/78/105/images/image062_9.gif" width="120" height="57">, kde sú koeficienty pre neznáme, https://pandia.ru/text/ 78/105/images/image065_10.gif" width="67" height="52 src=">, potom má systém jediná vec Riešenie.

B) Ak https://pandia.ru/text/78/105/images/image067_9.gif" width="105" height="52 src=">, systém má nekonečná množina riešenia.

Príklad..gif" width="47" height="48 src=">), takže systém má jedinečné riešenie.

naozaj, .

https://pandia.ru/text/78/105/images/image073_7.gif" width="115" height="48 src=">.

Príklad..gif" width="91 height=48" height="48"> alebo po zmenšení , preto systém nemá žiadne riešenia.

Príklad..gif" width="116 height=48" height="48"> alebo po skrátení , takže systém má nekonečné množstvo riešení.

Rovnice obsahujúce modul

Pri riešení rovníc obsahujúcich modul sa používa pojem modul Reálne číslo. modul (absolútna hodnota ) Reálne číslo a samotné číslo sa volá, ak a opačné číslo (– a), ak https://pandia.ru/text/78/105/images/image082_7.gif" width="20" height="28">.

Takže https://pandia.ru/text/78/105/images/image084_8.gif" width="44" height="28 src=">, keďže číslo 3 > 0; , keďže číslo je 5< 0, поэтому ; , pretože (); , pretože .

Vlastnosti modulu:

1) https://pandia.ru/text/78/105/images/image093_7.gif" width="72" height="28 src=">

3) https://pandia.ru/text/78/105/images/image095_8.gif" width="123" height="56 src=">

5) https://pandia.ru/text/78/105/images/image097_7.gif" width="73" height="28 src=">.

Vzhľadom na to, že výraz pod modulom môže mať dve hodnoty https://pandia.ru/text/78/105/images/image099_8.gif" width="68" height="20 src=">, potom táto rovnica redukuje na riešenie dvoch rovníc: a or a ..gif" width="52" height="20 src=">. Vykonajte kontrolu nahradením každej hodnoty X do stavu: if https://pandia.ru/text/78/105/images/image106_5.gif" width="165" height="28 src=">..gif" width="144" height=" 28 src=">.

Odpoveď: https://pandia.ru/text/78/105/images/image104_6.gif" width="49" height="20 src=">.

Príklad..gif" width="408" height="55">

Odpoveď: https://pandia.ru/text/78/105/images/image111_6.gif" width="41" height="20 src=">.

Príklad..gif" width="137" height="20"> a . Výsledné hodnoty odložte X na číselná os, rozdelenie na intervaly:

Ak https://pandia.ru/text/78/105/images/image117_5.gif" width="144" height="24">, pretože v tomto intervale sú oba výrazy pod znakom modulu menej ako nula, a odstránením modulu musíme zmeniť znamienko výrazu na opak. Vyriešme výslednú rovnicu:

Gif" width="75 height=24" height="24">. Hraničná hodnota môže byť zahrnutá v prvom aj druhom rozsahu, rovnako ako hodnota môže byť zahrnutá v druhom aj treťom rozsahu. V druhom intervale naša rovnica bude mať tvar: - tento výraz nedáva zmysel, t.j. na tomto intervale rovnica riešení nemá riešenia pod znamienkom modulu, prirovnáme ich k nule Nájdeme korene všetkých výrazov,

Ďalšie medzery https://pandia.ru/text/78/105/images/image124_6.gif" width="225" height="20">..gif" width="52" height="20 src="> .gif" width="125" height="25">, kde a, b, c sú ľubovoľné čísla ( a≠ 0) a X je premenná s názvom námestie. Ak chcete vyriešiť túto rovnicu, musíte vypočítať diskriminant D = b 2 – 4ac. Ak D> 0, potom má kvadratická rovnica dve riešenia (korene): a .

Ak D= 0, kvadratická rovnica má samozrejme dva identické riešenia(násobky koreňa).

Ak D< 0, квадратное уравнение не имеет skutočné korene.

Ak jeden z koeficientov b alebo c nula, potom možno kvadratickú rovnicu vyriešiť bez výpočtu diskriminantu:

1) https://pandia.ru/text/78/105/images/image131_5.gif" width="28" height="18 src="> X(sekera+ b)=0

2)sekera 2 + c = 0 sekera 2 = – c; ak https://pandia.ru/text/78/105/images/image135_3.gif" width="101" height="52">.

Existujú závislosti medzi koeficientmi a koreňmi kvadratickej rovnice, známe ako vzorce alebo Vietov teorém:

Bisquare rovnice sú rovnice v tvare https://pandia.ru/text/78/105/images/image138_4.gif" width="53" height="29">, potom z pôvodnej rovnice dostaneme kvadratickú rovnicu, z ktoré nájdeme pri, a potom X, podľa vzorca .

Príklad. vyriešiť rovnicu . Prinášame výrazy v oboch častiach rovnosti do spoločný menovateľ..gif" width="212" height="29 src=">. Výslednú kvadratickú rovnicu vyriešime: v tejto rovnici a= 1, b= –2,c= -15, potom sa diskriminant rovná: D = b 2 – 4ac= 64. Korene rovnice: , ..gif" width="130 height=25" height="25">. Urobíme náhradu. Potom sa rovnica zmení na je kvadratická rovnica, kde a= 1, b= – 4,c= 3, jeho diskriminant je: D = b 2 – 4ac = 16 – 12 = 4.

Korene kvadratickej rovnice sú rovnaké: a .

Korene pôvodnej rovnice , , , ..gif" width="78" height="51">, kde PN(X) a Popoludnie(X) sú polynómy stupňov n a m resp. Zlomok je nula, ak je čitateľ nula a menovateľ nie, ale takáto polynomická rovnica sa získa najmä po zdĺhavých transformáciách, prechodoch z jednej rovnice do druhej. V procese riešenia je teda každá rovnica nahradená nejakou novou a nová môže mať nové korene. Úlohou je sledovať tieto zmeny v koreňoch, zabrániť strate koreňov a vedieť odmietnuť tie prebytočné správne rozhodnutie rovnice.

Je jasné že najlepšia cesta- vždy nahraďte jednu rovnicu ekvivalentnou, potom korene poslednej rovnice budú koreňmi pôvodnej. Avšak taký perfektná cestaťažko realizovateľné v praxi. Rovnica je spravidla nahradená jej dôsledkom, ktorý s ňou vôbec nemusí byť ekvivalentný, pričom všetky korene prvej rovnice sú koreňmi druhej, t. j. nedochádza k strate koreňov, ale k cudzím. sa môže objaviť (alebo nemusí objaviť). V prípade, že aspoň raz v procese transformácií bola rovnica nahradená nerovnakou, potrebujeme povinná kontrola získané korene.

Takže, ak bolo rozhodnutie vykonané bez analýzy ekvivalencie a zdrojov výskytu cudzie korene, kontrola je povinná časť riešenia. Bez overenia sa riešenie nebude považovať za úplné, aj keď sa neobjavili cudzie korene. Keď sa objavili a neboli vyradené, potom je toto rozhodnutie jednoducho nesprávne.

Tu sú niektoré vlastnosti polynómu:

Koreň polynómu zavolajte hodnotu X, pre ktorý sa polynóm rovná nule. Každý polynóm stupňa n má presne n korene. Ak je polynomická rovnica napísaná ako , potom , kde X 1, X 2,…, xn sú korene rovnice.

Každý polynóm má párny stupeň s reálnymi koeficientmi existuje aspoň jeden skutočný koreň, ale vo všeobecnosti má vždy nepárne číslo skutočné korene. Polynóm párneho stupňa nemusí mať skutočné korene, a keď majú, ich počet je párny.

Polynóm sa dá za každých okolností rozložiť lineárne faktory a štvorcové trojčlenky s negatívny diskriminant. Ak poznáme jeho koreň X 1, potom PN(X) = (X - X 1) Pn- 1(X).

Ak PN(X) = 0 je rovnica párneho stupňa, potom okrem spôsobu jej faktorizácie môžete skúsiť zaviesť zmenu premennej, pomocou ktorej sa stupeň rovnice zníži.

Príklad. Vyriešte rovnicu:

Táto rovnica tretieho (nepárneho) stupňa znamená, že nie je možné zaviesť pomocnú premennú, ktorá zníži stupeň rovnice. Musí sa to vyriešiť rozdelením ľavej strany, pre ktorú najskôr otvoríme zátvorky a potom ju zapíšeme v štandardnom tvare.

Dostaneme: X 3 + 5X – 6 = 0.

Toto je redukovaná rovnica (koeficient at najvyšší stupeň rovný jednej), tak jeho korene hľadáme medzi faktormi voľného členu - 6. Ide o čísla ±1, ±2, ±3, ±6. Nahrádzanie x= 1 do rovnice, vidíme to x= 1 je jeho koreň, teda polynóm X 3 + 5X–6 = 0 delené ( X- 1) žiadne zvyšky. Urobme toto rozdelenie:

X 3 + 5X –6 = 0 X- 1

X 3 – X 2 X 2+x + 6

X 2 + 5X- 6

X 2- X

https://pandia.ru/text/78/105/images/image167_4.gif"> 6 X- 6

https://pandia.ru/text/78/105/images/image168_4.gif" width="50"> 6 X- 6

Preto X 3 + 5X –6 = 0; (X- 1)(X 2+ x + 6) = 0

Prvá rovnica dáva koreň x= 1, ktorý je už vybraný, a v druhej rovnici D< 0, nemá skutočné riešenia. Vzhľadom k tomu, ODZ tejto rovnice , je možné nekontrolovať.

Príklad..gif" width="52" height="21 src=">. Ak vynásobíte prvý faktor tretím a druhý štvrtým, tieto produkty budú mať rovnaké časti, ktoré závisia od X: (X 2 + 4X – 5)(X 2 + 4X – = 0.

Nechaj X 2 + 4X = r, potom rovnicu napíšeme v tvare ( r – 5)(y- 21) – 297 = 0.

Táto kvadratická rovnica má riešenia: r 1 = 32, r 2 = - 6 ..gif" width="140" height="61 src=">; ODZ: X ≠ – 9.

Ak túto rovnicu zredukujeme na spoločného menovateľa, v čitateli sa objaví polynóm štvrtého stupňa. Je teda dovolené zmeniť premennú, čím sa zníži stupeň rovnice. Preto nie je potrebné hneď redukovať túto rovnicu na spoločného menovateľa. Tu môžete vidieť, že vľavo je súčet štvorcov. Takže ho môžete pridať plné námestie sumy alebo rozdiely. V skutočnosti odpočítajte a pridajte dvojnásobok súčinu základov týchto štvorcov: https://pandia.ru/text/78/105/images/image179_3.gif" width="80" height="59 src=">, potom r 2 + 18r– 40 = 0. Podľa Vietovej vety r 1 = 2; r 2 = – 20. https://pandia.ru/text/78/105/images/image183_4.gif" width="108 height=32" height="32"> a v druhom D< 0. Эти корни удовлетворяют ОДЗ

Odpoveď: https://pandia.ru/text/78/105/images/image185_4.gif" width="191 height=51" height="51">.gif" width="73 height=48" height=" 48"> .gif" width="132" height="50 src=">.

Dostaneme kvadratickú rovnicu a(r 2 https://pandia.ru/text/78/105/images/image192_3.gif" width="213" height="31">.

Iracionálne rovnice

iracionálny nazývaná rovnica, v ktorej je premenná obsiahnutá pod znamienkom radikálu (odmocnina ) alebo pod znakom elevácie do zlomkový stupeň()..gif" width="120" height="32"> a majú rovnakú doménu definície neznámeho. Pri kvadratúre prvej a druhej rovnice dostaneme rovnakú rovnicu . Riešenia tejto rovnice sú riešeniami oboch iracionálnych rovníc.

Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, adresy Email atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Nami zozbierané osobné informácie nám umožňuje kontaktovať vás a informovať vás o jedinečné ponuky, propagačné akcie a iné udalosti a nadchádzajúce udalosti.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a správ.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je audit, analýza údajov a rôzne štúdie na zlepšenie nami poskytovaných služieb a na poskytovanie odporúčaní týkajúcich sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade potreby - v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe žiadostí verejnosti alebo žiadostí od vládne agentúry na území Ruskej federácie - zverejnite svoje osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné pre bezpečnosť, presadzovanie práva alebo inú verejnosť dôležité príležitosti.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú tretiu stranu, nástupcu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.